启新教育三年级奥数第十七讲数阵图二

数阵图与幻方知识框架一、数阵图定义及分类：定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．三、幻方起源：幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．四、幻方定义：幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216。

数阵图
1、把1到6这六个数分别填入下图的六个圈内，使得每个正方形顶点上的数的和都为13。

2、将2到7这六个数，填入上图的圈中，使得每条线上的三个数的和相等。

练习：请将1到7这7个数填入下图中，使得每条线上的三个数的和相等。

3、将1到9这九个数填入下图，使得从中心出发的每条线段上的三个数的和相等。

练习：将1到8填入下图，使两个正方形顶点上的数的和相等，并且用斜线连接的4对数的和也都相等。

4、将1到5这五个数填入上图中，使得圆周上四个数的和与每条直线上的三个数的和都相等。

练习：在图中填上7、8、10、12，使得每个圆内的四个数的和相等。

5、将1到16填入4*4（16格）的正方形中，使每行、每列、每条对角线的和都相等。

数阵图练习
1、将6到10这五个数填入下图，使得每条边上的三个数的和相等。

2、将2到11填入下图，使得每条线段上的三个数之和相等。

3、将2到10填入下图，使得每条线上的四个数的和相等。

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简单数阵图一、辐射型数阵图从一个中心出发，向外作若干条射线，在每条射线上安放同样多个数，使其和是一个不变的数。

突破关键：确定中心数，多算的次数，公共的和。

先求重叠数。

数总和+中心数×重复次数＝公共的和×线数重叠部分=线总和-数总和/线总和=公共的和×线数数和：指所有要填的数字加起来的和中心数：指中间那数字，即重复计算那数字（重叠数）重复次数：中心数多算的次数，一般比线数少1公共的和：指每条直线上几个数的和线数：指算公共和的线条数例1、把1-5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数与竖列三数之和都等于9。

例2、把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。

分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。

也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。

因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以：总和数=(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。

分析与解：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。

所以，必须先求出这个“和”。

根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。

例3、把1~5这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等例4、将1~7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。

分析与解：例1是知道每条直线上的三数之和，不知道重叠数；例2是知道重叠数，不知道两条直线上的三个数之和；本例是这两样什么都不知道。

但由例1、例2的分析知道，(1+2+3+4+5)+重叠数=每条直线三数之和×2，每条直线上三数之和=(15+重叠数)÷2。

【我生命中最最最重要的朋友们，请你们认真听老师讲并且跟着老师的思维走。

学业的成功重在于考点的不断过滤，相信我赠予你们的是你们学业成功的过滤器。

谢谢使用！！！】数阵图(二)一、考点、热点回顾上一讲我们讲了仅有一个“重叠数”的辐射型数阵图的填数问题，这一讲我们讲有多个“重叠数”的封闭型数阵图。

1、一个“重叠数”的辐射型数阵图的填数问题2、有多个“重叠数”的封闭型数阵图。

一般地，在m边形中，每条边上有n个数的形如下图的图形称为封闭型m-n图。

与“辐射型m-n图只有一个重叠数，重叠次数是m-1”不同的是，封闭型m-n图有m个重叠数，重叠次数都是1次。

对于封闭型数阵图，因为重叠数只重叠一次，所以已知各数之和+重叠数之和=每边各数之和×边数。

二、典型例题例1 、将1～8这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。

例2、将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。

1例3 、将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○中，使得三角形每条边上的三个数之和都相等。

例4、将2～9这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18。

例5、把1～7分别填入左下图中的七个空块里，使每个圆圈里的四个数之和都等于13。

2三、习题练习1、把1～8填入下页左上图的八个○里，使每个圆圈上的五个数之和都等于20。

2、把1～6这六个数填入右上图的○里，使每个圆圈上的四个数之和都相等。

3、将1～8填入左下图的八个○中，使得每条边上的三个数之和都等于15。

4、将1～8填入右上图的八个○中，使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的四个数之和都相等。

35、将1～7填入右图的七个○，使得每条直线上的各数之和都相等。

6、把1，3，5，7，9，11，13分别填入左图中的七个空块中，使得每个圆内的四个数之和都等于34。

7、将4、5、6、7、8、9六个数填在下图，使每条边上得三个数之和都相等，并且和为最大，和为最小呢？8、将2～9这八个数分别填入下图的○里，使每条边上的三数之和都等于1849、将1～9这九个数分别填入下图中的○里(其中9已填好)，使每条直线上的三个数之和都相等。

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1.将1~7这七个数分别填入左下图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12。

如果每条直线上的三个数之和等于10，那么又该如何填？
9
（第1题）（第2题）
2.将1~9这九个数分别填入右上图中的○里（其中9已填好），使每条直线上的三个数之和都相等。

如果中心数是5，那么又该如何填？
3将1~9这九个数分别填入右图中的小方格里，
使横行和竖列上五个数之和相等。

（至少找出两
种本质上不同的填法）
4.将3~9这七个数分别填入左下图的○里，使（第3题）
每条直线上的三个数之和等于20。

（第4题）（第5题）
5.将1~11这十一个数分别填入右上图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。

6.将1~7这七个数分别填入右图的○里，
使得每条直线上三个数之和与每个圆圈
上的三个数之和都相等。

1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．复合型数阵图【例 1】 由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，每个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________．313233212223131211【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，3题 【分析】 这9个数的和：111213212223313233++++++++10203031233198=++⨯+++⨯=（）（）由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这9个数全部都取到了，且有一个数取了两遍．所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就是所求的数．那么，这个数是12011119833+-=．【答案】33【例 2】 如图1，圆圈内分别填有1，2，……，7这7个数。

如果6个三角形的顶点处圆圈内的数字的和是64，那么，中间圆圈内填入的数是 。

例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-2.数阵图【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第5题，5分 【解析】 2 【答案】2【例 3】 如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和.（1）17894【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2），（2）a cb49817则有a+4+9=a+b+c （1）b+8+9=a+b+c （2）c+17+9=a+b+c （3） （1）+（2）+（3）：（a+b+c ）+56=3（a+b+c ），a+b+c=28，则 a=28－（4+9）=15，b=28－（8+9）=11，c=28-（17+9）=2解：见图.1789411215【答案】1789411215【例 4】 请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图（2）所示.设A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k（A+B+C ）+（A+F+G ）+（A+D+E ）+（B+D+F ）+（C+E+G ）=5k ，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k ，2（A+B+C+D+E+F+G）+A=5k，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k，56+A=5k.，因为56+A为5的倍数，得A=4，进而推出k=12，因为在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12，不妨设B=1，F=5，D=6，则C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.，解：得到一个基本解为：（见图）7654321【答案】7654321【例 5】在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有3个相邻(即有线段相连的圆圈)的圆圈。

第十七周数阵图把一些数字依据必定的要求，摆列成各种各种的图形，叫做数阵图。

数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。

幻方一般均为正方形。

图中纵、横、对角线数字和相等。

数阵则不单有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。

变化多姿，奇趣迷人。

一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、关闭型数阵、复合型数阵。

【解题技巧】数阵的分类：关闭型：关闭型数阵图的解题打破口，是确立各边极点所应填的数。

为确立这些数，采纳的方法是成立相关的等式，经过以最小值到最大值的议论，来确立每条边上的几个数之和，再将和数进行拆分以找到极点应填入的数，其余的数再利用和与极点的数就简单被填出。

（1—6）辐射型：辐射型数阵图，解法的重点是确立中心数。

详细方法是：经过所给条件成立相关等式，经过整除性的议论，确立出中心数的取值，而后求出各边上数的和，最后将和自然数分拆成中心数的若干个自然数之和，确立边上其余的数。

复合型：复合型数阵图，解题的重点是要以中心数和极点数为打破口。

数阵的特色：每一条直线段或由若干线段构成的关闭线上的数字和相等。

它的表达形式多为给出必定数目的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特色。

解数阵问题的一般思路是：1.求出条件中若干已知数字的和。

2.依据“和相等” ，列出关系式，找出重点数——重复使用的数。

3.确立重复用数后，比较“和相等”的条件，用试试的方法，求出其余各数。

有时，因数字存在不一样的组合方法，答案常常不是独一的。

【铜牌例题】将 2 、 3、 4、 5、 6、 7 、 8 、 9、 10 填入下列图中的9 个方格中，使每行、每列及对角线之和相等，小明已经填了 5 个数，请将其余 4 个数填入。

【答案】【分析】先依据最左侧一列求出幻和，然后依据这个和和给出的数字逐渐计算。

3+8+7=18 ；第二行中间的数是：18-8-4=6；第三行中间的数是：18-7-9=2；第一行第一个数是：18-4-9=5；第一行中间的数是：18-3-5=10；【贯通融会 1 】（第十届走美杯初赛）小华需要结构一个3× 3 的乘积魔方，使得每行、每列、每条对角线上三个正整数的乘积都相等；此刻他已经填入了 2 ， 3， 6 三个数，那当小华的乘积魔方结构完成后，x 等于 ______ 。

【参考文档】三年级奥数题及参考答案：数阵图问题-word范文
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三年级奥数题及参考答案：数阵图问题
编者导语：数学竞赛活动对于开发学生智力、开拓视野、促进教学改革、提高
教学水平、发现和培养数学人才都有着积极的作用。

这项活动也激励着广大青
少年学习数学的兴趣，吸引他们去进行积极的探索，不断培养和提高他们的创
造性思维能力。

数学网为大家准备了小学三年级奥数题，希望小编整理的三年
级奥数题及参考答案：数阵图问题，可以帮助到你们，助您快速通往高分之路!!
1.这个表中100在哪两行行?前两行的和是多少?前三行呢?
解答：看最右侧一列，第一行是1 ，第二行是2 ，所以100在第99 行和第
100行.前两行和为1+2+3=6 ，前三行和为 1+2+3+3+4+5=18
2.自然数按从小到大的顺序排成螺旋形.在2处拐第-个弯，在3处拐第二个弯，在5处拐第三个弯…问拐第二十个弯的地方是哪-个数?
解答：这是一个十分经典的题目，法1是参考书上的解答，其解答固然巧妙，
帮助孩子拓宽眼界，但却没什么头绪去找到这样一个办法，法2将给大家介绍
一个"通用"的思路，它能帮助你解决更多的问题.
(法1)：过1画-条横线，拐弯，画竖线;再拐弯，画横线;….到第二十个拐弯
处，共有11条竖线， 10条横线.其中的数共11×10+1=111 ，即拐第二十个弯
的地方是 111.
(法2)：先把拐角处数字找出来，观察规律，我们发现(利用画图法分析差值，
发现此规律)：。