连比的化简及拓展

比的意义和基本性质（1）【知识点详解】1. 比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。

（1） 比的前项：在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项。

（2） 比的后项：在两个数的比中，比号后面的数叫做比的前项。

（3）比值：比的前项除以后项所得的商，叫做比值。

2. 连比：三个或三个以上的数也能够用比表示，这样的比叫做连比。

3. 反比：假如一个比的前项和后项是另一个比的后项和前项，这两个比叫做互为反比。

如：a ：b 和b ：a 互为反比。

4. 互为反比的两个比的比值互为倒数。

5. 前项为0的比没有反比，因为比的后项不能为0。

6. 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外）比值不变，这叫做比的基本性质。

7. 最简单的整数比：比的前项和后项是互质数的比，叫做最简单的整数比。

8. 化简比：把两个数的比化成最简单的整数比，叫做化简比，也叫做比的化简。

9. 把一个数量按照一定的比实行分配，这种方法通常叫做按比例分配。

典 型 例 题 精 讲知识点一：求比值。

（1） 求两个数比的比值，就是用比的前项除以比的后项。

（2） 比值和比都能够用分数形式来表示，（3） 比表示一种除法关系，比值是一个数值。

（4） 比值不能写成比的形式，但是它能够是分数，也能够是小数或整数。

（5） 比与分数、除法的关系为：a ：b=a ÷b=ba (b ≠0) 【例1】：求比值。

（1）12：0.7 （2）41：13 （3）0.36：52【例2】：求比值（有单位名称的比：先统一单位名称再求比值）。

（提示：任何一个比的比值都不带有单位名称）.（1）3km ：4km (2)20分：0.25时 （3）3.75吨：250千克知识点二：化简比。

1.整数比的化简方法：把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。

【例3】（1）15：10 (2)180：1202.分数比的化简方法：（1）比的前项和后项中含有分数的，把比的前项和后项同时乘他们分母的最小公倍数，变成整数比，再实行化简；（2）利用求比值的方法也能够化简分数比，但结果必须写成比的形式。

比的知识点整理在数学的世界中，“比”是一个非常重要的概念，它不仅在基础数学中频繁出现，在实际生活和其他学科领域也有着广泛的应用。

接下来，让我们一起深入地整理一下关于比的知识点。

一、比的定义两个数相除又叫做两个数的比，记作 a:b。

其中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。

比号“：”相当于除号“÷”。

例如，6÷4 可以写成 6:4。

二、比的基本性质比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变。

这一性质在化简比时非常有用。

比如，将 12:18 化简，我们可以找出 12 和 18 的最大公因数 6，然后前项和后项同时除以 6，得到 2:3。

三、求比值用比的前项除以后项所得的商，就是比值。

比值可以是整数、小数或分数。

例如，8:4 的比值为 8÷4 ＝ 2。

四、比与除法、分数的关系比与除法、分数有着密切的联系。

比的前项相当于被除数、分子；比号相当于除号、分数线；比的后项相当于除数、分母；比值相当于商、分数值。

但它们也有一些区别。

比如，除法是一种运算，分数是一个数，而比表示两个数的关系。

五、按比分配在实际问题中，经常会遇到按照一定的比来分配的情况。

例如，有 30 个苹果要按照 2:3 的比例分给甲、乙两人。

那么总共的份数是 2 ＋ 3 ＝ 5 份。

甲分得的苹果数为 30×（2/5) ＝ 12 个；乙分得的苹果数为 30×（3/5) ＝ 18 个。

六、比在生活中的应用1、地图比例尺地图上的比例尺就是图上距离与实际距离的比。

通过比例尺，我们可以知道地图上的距离所代表的实际距离有多远。

2、溶液配比在配置溶液时，需要按照溶质和溶剂的一定比例来进行。

3、建筑设计在建筑设计中，各种图形的比例关系非常重要，以保证建筑的美观和结构的合理性。

七、比的拓展应用1、连比当涉及到三个或三个以上数量的比较时，就会出现连比。

例如，甲、乙、丙三人的工作效率之比为 2:3:4。

第三章 比和比例本章知识结构第一节 比和比例3.1比的意义两个数相除，又叫做这两个数的比，“：”是比号，比的后项不能为0。

a 、b 两个数或两个同类的量，为了把b 和a 相比较，将a 于b 相除叫做a 与b 的比，记作b a :或写成）（0≠b ba ，读作a 比b ，或a 与b 的比。

a 叫做比的前项，b 叫做比的后项，b a 为a 与b 的比值。

比的前项相当于分数的分子和除式中的被除数； 比的后项相当于分数的分母和除式中的除数； 比值相当于分数的分数值和除式中的商；注意：求两个同类量的比值时，单位一定要相同。

3.2比的基本性质)0(:::)0(≠==≠÷÷==k kbk a kb ka b a k k b k a bk ak b a 得到即比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变。

商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍（0除外），商不变。

乘积是1的两个数互为倒数。

1的倒数是1，0没有倒数。

三项连比的性质：1.如果k n m c b a k n c b n m b a ::::,::,::===那么；2. 如果kc k b k a ck bk ak c b a k ::::::,0==≠那么。

3.3比例比例：如果d c b a ::=，那么就说d c b a 、、、成比例，d c b a 、、、依次叫做第一，二、三，四比例项，第一，四叫做比例外项，第二三叫做比例内项。

如果两个比例内项相同即c b b a ::=，那么把的比例中项。

和叫做c a b比例的基本性质：如果d c b a ::=或dcb a =，那么bc ad =。

反之，如果d c b a 、、、都不为零，且bc ad =，那么d c b a ::=或dc b a =。

比与比例的对比：求比值与化简比：化简比的方法：判断两个量是否成正比例、反比例或不成比例：一、写（写出数量关系式）1、根据数量间的关系或公式，写出数量关系式。

比和比例的法则或方式【比的化简方式】（1）化简整数比的方式是：用比的前项和后项的最大公约数，去除比的前项和后项。

（2）化简分数比的方式是：用前、后项分母的最小公倍数，去乘前项和后项，化成整数比，再把整数比化简。

（3）化简小数比的方式是：按照小数位数最多有几位，就把前、后项的小数点向右移动相同的位数，化成整数比，再把整数比化简。

【求几个数的连例如法】求几个数的连比的方式，如已知甲数与乙数的比是5∶6，乙数与丙数的比是8∶7，求甲乙丙三个数的连比。

解题时，可先把两个比排列成右面竖式的形式，再在两个空位上填入左侧或右边相邻的数（为了与比的项相区别，用括号括起来），然后将每一竖行的两个数相乘，就得出了甲乙丙这三个数的连比。

若是这个连比中各个项都含有除1之外的公约数，就用公约数去除各个项，直到它们的最大公约数是1为止，从而将这连续比化简。

【求比的未知项的方式】求比的未知项的方式比较简单：（1）未知项x为前项，则x=后项×比值；（2）未知项x为后项，则x=前项÷比值。

【解比例的方式】解比例就是求比例中的未知项。

解比例的方式也比较简单：（1）若未知数x为其中的一个外项，则（2）若未知数x为其中的一个内项，则显然，这是依据比例的大体性质而取得的方式。

【坡度计算】地面或屋顶等的倾斜度，即是“坡度”。

坡度常常利用“i”来表示。

用数量表示坡度，可以用坡面与水平面之间的夹角来表示，如图1.12，这一坡度i可以用∠a的度数来表示。

另外，也可采用与角a有关的边长的比来表示，即坡度i=垂直距离h水平距离d其中前项h通常常利用l表示，故坡度通常写成下面的式子：i=l∶m其中的“m”叫做“边坡系数”。

坡度i及边坡系数的计算方式是：。

运用转化单位“l”的方法，找中间量的方法和设数的方法解决连比问题例题甲数是乙数的310，乙数是丙数的49，求这三个数的连比。

方法一转化单位“l”的方法分析题中两个分率310与49所对应的单位“1”不同，不能直接比，可以把甲、乙、丙三个数中的一个数看作单位“1”，用单位“1”表示出另外两个数后再比。

两个条件中都有乙数，把乙数看作单位“1”，乙数是丙数的94，则丙数是乙数的49。

解答甲数；乙数：丙数=310：1：49=6：20：45方法二找中间量的方法分析在计算中可以用份数表示各数量，先把几分之几转化成比，甲数是乙数的3 10，甲数和乙数的比是3：10；乙数是丙数的49，乙数和丙数的比是4:9。

两个比中都有乙数，但份数不同，不能直接连比。

可以先找出乙数在两个比中的两个份数的最小公倍数，然后利用比的基本性质，使其相等后，改成连比。

解答甲数：乙数=3：10=6：20乙数：丙数=4：9=20：45甲数：乙数：丙数=6：20：45方法三设数的方法分析可以设这三个数中的一个数为具体数，一般设两个比中都d的量（中间量）较简单。

如可设乙数为10（或20，30，…），则甲数为10×310，丙数为10÷49=45，然后写出这三个数的连比，并化简。

解答设乙数为10，则甲数=10×310=3，丙数=10÷49=452。

甲数：乙数：丙数=3：10：452=6：20：45答：这三个数的连比是6：20：45。

提示解此类问题时，应注意观察，选择合适的方法解答。

小学数学 比的化简与求值知识梳理：你能帮小蜗牛找到自己的家吗？解答：6∶30=1∶5 0.1∶0.4=1∶4 2∶6=1∶3 2∶8=1∶451∶1=1∶5 16∶20=4∶5化最简整数比的方法：1. 化简整数比：比的前项和后项同时除以它们的最大公因数，使前项和后项只有公因数1。

2. 化简分数比：比的前项和后项同时乘它们分母的最小公倍数，转化成整数比，再化简成最简整数比。

3. 化简小数比：比的前项和后项同时乘整十、整百数等，转化成整数比，再化简成最简整数比。

4. 化简带单位的比：把前项和后项所带单位化统一，再求最简整数比。

5. 化简连比：方法和上述方法一样，只是最大公因数、分母最小公倍数要是所有项的。

求比值的方法：求一个比的比值，就是用比的前项除以比的后项所得的结果，比值可以用分数、小数或整数表示。

带单位的比要先把单位化统一再求比值。

典例精析例题1 化简下列各比。

63∶27 0.75∶0.25 92185： 4小时10分∶2小时30分 16125141：： 解答过程：63∶27=（63÷9）∶（27÷9）=7∶30.75∶0.25 =75∶25=3∶1 92185：=（18185⨯）∶（1892⨯）=5∶4 4小时10分∶2小时30分=425:625212:61==15:25=5∶3 16125141：：=)400161(:)400251(:)40041(⨯⨯⨯=100∶16∶25 技巧点拨：运用化简比的方法进行化简，最后要检查一下，看结果是否有公因数。

例题2 求下列各比的比值。

10∶0.82543： 500毫升∶1升 2.5千克∶400克 解答过程：10：0.8=10÷0.8=12.5 2543：=43÷25=1003 500毫升∶1升=0.5÷1=0.5 2.5千克∶400克=2.5÷0.4=425 技巧点拨：求一个比的比值，就是用比的前项除以比的后项所得的结果，比值可以用分数、小数或整数表示。

3.2 （2）比的基本性质教学目标1．理解并掌握三项连比的性质2．能运用三项连比的性质,化简三项连比.教学重点理解并掌握三项连比的性质教学难点能运用三项连比的性质,化简三项连比.教学过程一、复习导入1. 比的基本性质：符号表示：2. 化简下列各比1）511320:. 2）103541: 3）0.02米 : 1.5厘米 二、新课学习1. 思考：1）一种糕点的部分配料是30克可可粉、10克白砂糖、20克奶粉，求：可可粉、白砂糖、奶粉这三种配料之比？2）小明的身高是1.36米，小丽的身高是1.45米，小杰的身高是1.50米，求：小明、小丽、小杰三人的身高之比？2. 归纳——三项连比的性质：性质1：性质2：3. 例题1 化简下列各比：1）4538160.:.:. 2）32151::.例题2 1）已知35:b :a =，23:c :b =，求c :b :a2）已知45:b :a = 23:c :b =，求c :b :a .小结：练习：已知32:b :a = 59:c :b =，求c :b :a .已知53:b :a = 75:c :a =，求c :b :a .例题31）已知32:b :a =，15=+b a ，求b a 、的值.2）已知234::c :b :a =，36=++c b a ，求c b a 、、的值.练习：已知513::c :b :a =，18=++c b a ，求c b a 、、的值.小结：三、课堂小结1.连比的性质及其应用2.“设k 法”的应用.四、布置作业数学练习册 习题3.2思维拓展1．把300个苹果按4:5:6分给幼儿园的小、中、大三个班。

问小班、中班、大班各分得多少个苹果？2. 一段公路分成上坡、平路、下坡三段，各段路程之比为1:2:3，某人走各段路程所用之间之比为4:5:6. 问此人走各段路程的速度之比？。

1、五（2）班男生和女生的比是5：4。 （1）男生人数是女生人数的（ ） （2）女生人数是男生人数的（ ），女生人数和男生人数的比是（ ）． （3）男生人数占全班人数的（ ），男生人数和全班人数的比是（ ）． （4）女生人数占全班人数的（ ），女生人数和全班人数的比是（ ）． 2.修一条路，已修的是剩下的5／6 。 （1）剩下的和已修的比是（ ）。 （2）已修的和全长的比是（ ）。 （3）剩下的和全长的比是（ ）。 3、学校把栽70棵树的任务按照六年级三个班的人数分配给各班，一班有46人，二班有44人，三班有50人。三个班各应栽多少棵树？（ 提示：这道题是按比例分配的问题。题目当中没有直接给出按比例分配的比，而是提供了三个班的人数，学生要先根据题目信息得出三个班人数的比46:44:50，再进行按比例分配。）

4、用120cm长的铁丝做一个长方体的框架。长、宽、高的比是3 :2 :1。这个长方体的长、宽、高分别是多少？ （提示：这两题都是按比例分配问题的拓展练习。题目中呈现的都是三个数的连比。由于长方体的长、宽、高都有4条，因此要先将120除以4求出长、宽、高各一条的长度，再进行按比例分）

5、客货两车分别从甲乙两地同时相对开出，相遇时客车的行程与货车行程的比是5：3，已知客车比货车多行了122千米，甲乙两地相距多少千米？ （法一：先按照比的意义说出客车的行程与货车行程分别是总路程的几分之几，客车的行程比货车行程多出总路程的几分之几； 法二：把客车的行程与货车行程分别看成5份、3份，客车的行程比货车行程多出2份，而这两份是122千米，求出1份的，再求整个路程。）

6、某仓库里储存了150t大米，60t面粉和15t杂粮，求这个仓库里储存的大米、面粉和杂粮的比。并把它化成最简单的整数比。 （这道题是化简比知识的拓展，和一般化简比知识不同的是，这道题是一个连比，化简时这个比中的三项同时除以它们的最大公因数。） 7、混凝土中的水泥、沙子和石子的比是2 ：3 ：5。要搅拌20t的混凝土，需要水泥、沙子和石子各多少吨？

六年级上册数学比知识点总结本文介绍了比的概念、基本性质、求比值和化简比的方法以及比的应用。

比是指两个数的商，可以用分数或小数表示。

比的前项和后项同时乘或除以相同的数（除以零）时，比值不变，这是分数的基本性质。

如果比的前项和后项是互质数，那么这是最简单的整数比。

化简比是把两个数的比化为最简整数比。

连比是多个比的连乘积。

在应用方面，比可以用于求已知数量和比例的问题。

例如，已知男女生的人数比是5：7，总人数为60人，可以求出男生和女生的人数。

六年级有男生25人，男女生的比是5:7，求女生有多少人？全班共有多少人？解题思路：首先，我们可以通过已知条件得出男女生的比例为5:7.我们可以将男生数量分成5份，每份为25÷5=5人。

因此，女生数量为7份，即5×7=35人。

全班人数为男女生数量之和，即25+35=60人。

六年级的男生比女生多20人（或女生比男生少20人），男女生的比是7:5，男女生各有多少人？全班共有多少人？解题思路：已知男女生的比例为7:5，因此男生比女生多几份为7-5=2份。

我们可以将这20人分成2份，每份为20÷2=10人。

因此，男生数量为10×7=70人，女生数量为10×5=50人。

全班人数为男女生数量之和，即70+50=120人。

一个学校篮球队和足球队人数之比为5:4，足球队和排球队之比为3:5.已知篮球队比足球队和排球队总和少34人，求各组人数。

解题思路：我们可以将篮球队、足球队和排球队的人数分别表示为15x、12x和20x，其中x为一个常数。

因为篮球队和足球队的比例为5:4，因此15x÷5=3x为篮球队每份人数，12x÷4=3x为足球队每份人数。

同理，因为足球队和排球队的比例为3:5，因此12x÷3=4x为足球队每份人数，20x÷5=4x为排球队每份人数。

根据题目中的条件，我们可以得到一个方程：15x=12x+20x-34.解方程得到x=17，因此篮球队人数为15x=255人，足球队人数为12x=204人，排球队人数为20x=340人。

第三章 比和比例 3.1比的意义-3.2比的基本性质一、填空题（每题3分，3×10=30分）1.一个比的前项是10，后项是9，则这个比是 .2.两个正方形的边长分别为3cm 和1dm,则这两边长的比是 .3.比的前项是43,比的后项是217,它们的比值是 .4.15cm ∶1.3m 的比值是 .6.把22∶0.25化成后项为100的比 .7()=819∶5,()++=34232.9. 把连比化为最简整数比：2∶4∶8＝ ;21∶31∶61= ； 0.3∶0.15∶0.45= ；10. 化简比：120分∶1.2小时∶1小时20分钟= . 二、选择题（每题3分，3×4=12分）11．下列各数中,与3∶2不相等的是…………………………………（ ） （A ）1.5 （B ）32 （C ）23 （D ）81212．一段绳子,原长14米,一次用去了2.8米,余下的绳子长与原来的绳长的最简整数比是…………………………………（ ）（A ）5∶1 （B ）1∶5 （C ）4∶5 （D ）5∶4 13．一项工程甲队单独做3天完成,乙队单独做5天完成,丙队单独做6天完成,那么 甲、乙、丙三队的工作效率比是………………………………（ ）（A ）3∶5∶6 （B ）1∶5∶2 （C ）10∶6∶5 （D ）31∶51∶6114．若三角形三个内角之比为2∶3∶1，则其中最大的角为 ……（ ） （A ）︒60 （B ）︒90 （C ）︒120 （D ）︒150 三、解答题（满分58分）15．求下列各比的比值. （每小题4分，4×4=16分） (1) 4∶36 (2) 21∶31(3) 211 ∶ 322 （4）211 ∶ 2316．求下列各比的比值. （每小题4分，4×4 =16分）(1) 1g ∶0.3kg (2) 30分钟∶1小时45分钟（3） 5天∶72小时 （4） 375毫升∶1.25升17．利用已知条件，求a ∶b ∶c （每小题5分，2×4=8分）（1）. a ∶b =2∶3，b ∶c =6∶5； （2）. a ∶b =2∶3，b ∶c =4∶318. 甲、乙两人加工300个同样的零件甲10分钟内完成6个，乙在5分钟内完成6个，求 ：(1)甲、乙两人完成300个零件的速度比；(2)甲、乙两人完成300个零件的时间比.（6分+6分）19. 在一次植树活动中,甲组植树256棵,乙组植树320棵,丙组植树216棵.求甲乙丙植树的最简整数连比.（6分）四、拓展题（每小题5分，2×5=10分）20. 六年级有230人参加电脑、美术、健美操三个兴趣小组，已知参加电脑班的人数∶参加美术班的人数=2∶3，参加电脑班的人数∶参加健美班的人数=3∶4，问参加电脑、美术、健美操三个兴趣小组的人数各是多少？21．如图是某公园的设计图，其中正方形的43是草地，圆的76是竹林，求正方形与圆的面积比.3.3比例-3.4百分比的意义根据比例的基本性质，写，比例外项是 .3. 写出外项是1和3,内项是6和2的一个比例: .. 5. 一辆汽车2小时行驶130米,照这样的速度,从甲地到乙地共驶3.5小时,甲、乙两地间的公路长 千米6. 养鸡场的公鸡与母鸡的只数比是3∶2,已知公鸡有450只,母鸡有 只.7. 在1.34,⋅31．,10031,131%四个数中最大的数是 ., 最小的数是 .8. 把431化成百分数是 ，把25%化成小数是 . 9. 比较大小:：0.34 0.34%；0.24%241. 10. 今年的房价比去年同期上涨了40%,今年的房价是去年房价的 % 二、选择题（每题3分，3×4=12分）11．已知yx 52=,下列各式成立的是…………………………………（ ）（A ）2x =5y （B ）xy =10 （C ）25=x y （D ）25=y x 12．下列四组数中,不能组成比例的是…………………………………（ ） （A ）2,3,4,6 （B ）1,2,2,4 （C ）0.1, 0.3 ,0.5 ,1.5 （D ）51,41,31,2113．两地的实际距离是500千米，地图上的距离是5厘米，则比例尺是（ ） （A ）５：500 （B ）５：5000000（C ）１：0000000 （D ）１：100 14．在832、221%、2.2、2.5%中,最大的数是……………………………（ ）（A ）832 （B ）221%（C）2.2、 （D ）2.5%三、解答题15．（每题5分，满分20分）求下列各式中的x(1) x ∶16=5∶12 (2) 6515=x (3) 3226=+x . (4) 2x ∶3＝(x-1)∶4 .16．将15本厚度相同的书叠起来，他们的高度为33厘米，将40本同样的书叠起来，高度是多少厘米？ （6分）17．如图，A 圆的52与B 圆的41重叠在一起，求B 圆面积与A 圆面积之比.（5分）18. 把下列各数化成百分数:（6分）(1)100 (2)0.05 (3)85219. 把下列百分数化成整数或小数: （6分）(1)3% （2）150% （3）1.75%20 .把百分数化成最简分数: （6分）(1)0.4% (2)12% (3)21.05%21. 求下列各题的商,并把所得的商化成百分比.(除不尽的保留一位小数) （9分）(1)240 ÷600 (2)2÷3.2 (3)5÷8.2四、附加题（10分）22．如果x能与4，5，6，这三个数组成比例，求x的值.。