一类交通流问题及其激波解

第五章连续交通流模型如果从飞机上俯看某条高速公路，我们会很自然地把来来往往的车流想象成河流或某种连续的流体。

正是由于这种相似性，经常使用流量、密度、速度等流体力学术语来描述交通流特性。

我们知道，流体满足两个基本假设：一是流量守恒，二是速度与密度（或流量与密度）对应。

对于交通流，其中第一个假设比较容易证明，而第二个假设的成立需要有一定的条件。

本章将推导交通守恒方程，介绍它的解析解法和数值解法，以此为依据还将介绍更精确的动态模型，并详细地讨论交通波理论。

第一节守恒方程一、守恒方程的建立守恒方程比较容易推导，可以采用下面的方法：考察一个单向连续路段，在该路段上选择两个交通记数站，如图5—1所示，两站间距为Δx,两站之间没有出口或入口（即该路段上没有交通流的产生或离去）。

设N i为Δt时间内通过i站的车辆数，q i是通过站i的流量，Δt为1、2站同时开始记数所持续的时间。

令ΔN = N2-N1，则有：N1/Δt=q1N2/Δt=q2ΔN/Δt=Δq如果Δx足够短，使得该路段内的密度k保持一致，那么密度增量△k可以表示如下：x NN k∆--=∆) (12∆x图5—1 用于推导守恒方程的路段示意图式中（N 2－N 1）前面之所以加上“-”号，是因为如果（N 2－N 1）>0，说明从站2驶离的车辆数大于从站1驶入的车辆数，也就是两站之间车辆数减少，即密度减小。

换句话说，ΔN 与△k 的符号相反，于是：N x k ∆-=∆∆同时，根据流量的关系，有：△q △t =△N 因此x k t q ∆∆=∆∆- 即0=∆∆+∆∆tk x q 假设两站间车流连续，且允许有限的增量为无穷小，那么取极限可得：0=∂∂+∂∂tk x q （5—1） 该式描述了交通流的守恒规律,即有名的守恒方程或连续方程，这一方程与流体力学的方程有着相似的形式。

如果路段上有交通的产生或离去，那么守恒方程采用如下更一般的形式：),(t x g tk x q =∂∂+∂∂ （5—2）这里的g （x ，t ）是指车辆的产生（或离去）率（每单位长度、每单位时间内车辆的产生或离去数）。

- 1 -第一讲 守恒律方程及其应用 ——红绿灯下的交通流问题1、守恒律2、双曲守恒律方程及基础知识3、交通流模型4、红绿灯下的交通流问题 第一章 守恒律对于一维空间变量的偏微分方程0)(=+x t u f u （*）称为守恒型方程，其中)u ,,(n 21 u u u=是关于t 和x 的n 维矢量函数，称为守恒量，或状态量，如流体力学中的质量、速度和能量等．更精确点就是i u 是第i个状态变量的密度函数．dx t x u x x i ),(21⎰表示该状态量在区间[]21,x x 中t时刻的总量．我们称这个状态变量是守恒的是指dxt x u x x i ⎰21),(关于t是不变的．))(),(),(()(21n u f u f u f u f =称为流函数．该守恒方程是由物理定律在任意两点1x 和2x 之间如下形式的积分得到的)),(()),((),(2121t x u f t x u f dx t x u dt d x x -=⎰表示在区间][21,x x 中的总流量．（如质量、动量、能量等）的变化仅仅与两端点处的流量有关，这就是守恒的基础，其中))((,1t x u f 和))((,2t x u f 分别表示在1x 和2x 点的流入流出量．例如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+⋅∇+=∇+⊗⋅∇+=⋅∇+（状态方程）（能量守恒）（动量守恒）（质量守恒）),,(,0)()(,0)()( ,0)(S f p up uE E p u u u u t t t ρρρρρρρ 其中S e p u ,,,，ρ分别为理想流体的密度、速度、压强、内能和比熵，e u E +=2||21，),,(z y x ∂∂∂=∇，⊗是张量积．第二章 双曲守恒律方程及基础知识2.1 间断现象方程0)(=+x tu f u （*）的特征方程为⎪⎩⎪⎨⎧==0)(dtduu dt dxλ （2.1）- 2 -其中)()(u f u '=λ.明显地可以看出，方程的解是),,(u t x 空间内的直线，其平行于),(t x 平面，且其值由特征线所决定．为简单起见，特征线在),(t x 平面上的投影仍称为特征．设0)(≠'u λ，称其为凸性条件，则方程（*）被称为凸方程．这个问题中映射)(u u λ→是一一对应的，并且方程在),,(u t x 空间中的解曲面与),(t x 平面的特征域具有相同的一一对应关系．可以证明当且仅当方程在),(t x 平面上的特征域是单值连续变化时，方程的解),(t x u 是单值连续的． 为简单起见，设0)(>'u λ. （2.2）对于标量u 考察初值问题))(()0,(0+∞<<-∞=x x u x u （2.3）并且求解0>t时方程（*）/(2.3)的解．很明显，从特征域出发并且由初始条件（2.3）所决定的特征线，在0>t 的半内是单值连续变化的，当且仅当)(0x u 是非减函数.并且解的这种非减的性质不随t 变化，即当连续函数)()0,(0x u x u =是非减的，则函数),(t x u 对任意0>t也是非减的．这样的解),(t x u 称为稀疏波，用R 表示．图2-1)(0x u 是非减的当)(0x u 是减函数时，例如，存在1x 、2x 点，有))(()(20)(01x u f u f x '>' 那么始于)0,(1x 和)0,(2x 的特征线在p 点相交（0>t ），在p 点解是超定的．因为不同的特征线相交，每一个特征线代表不同的u 值，很容易得到解是不连续的．这种解的不连续问题对应于力学中的激波现象．- 3 -图2-2)(0x u 是非增的上述结论与f和)(0x u 是否光滑无关，无论初始条件多么光滑，都会出现不连续解．这是拟线性双曲方程最重要的特征，也是与线性双曲方程最根本的不同．定理2.1.1 假设)(u f 是定义在R I ⊂上的一条光滑的函数，并且满足凸性条件．那么对于0>t ，当且仅当)(0x u 是非减函数则初值问题（*）/（2.3）的解是一个连续单值解．引理2.1.2 在定理（2.1.1）的假设条件下，对于0>t ，当)(0x u 是减函数时，间断解)(x u 总会出现．2.2 黎曼问题- 4 -图2-3 图2-4但是，对于上述+->u u时这类函数是无解的．现在我们来考查分片光滑函数．在ωξ=处，间断的函数在广义积分下0)(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎰+-ξξξξεωεωd d u df d du成立，则)(ξu 称为（*）/（2.4）的一个弱解．利用分部积分并且令0→ε时得到[][])(u f u =ω（2.9）其中[])0()0(--+≡ωωu u u ，[]))0(())0((--+≡ωωu f u f f ．在力学数学语中（2.9）称为Rankine-Hugoniot 约束条件，简称Rankine-Hugoniot 关系，它代表间断线的切线斜率ω与它对应的跳跃值之间的关系． 我们得到的间断解称为激波（见图）.xtξtu][)]([u u f =ω-ut+u t -u t+u t图2-5- 5 -第三章 交通流模型各种类型的汽车一辆接着一辆沿公路飞驶而过，其情景就像在湍急的江河中奔腾的水流一样．在这种情况下我们不去分析每辆汽车的运动规律，而是把车队看作连续的流体，称为交通流或车流．研究每一时刻通过公路上每一点的交通流的流量、速度和密度等变量间的关系，特别是在出现譬如红绿灯改变、交通事故等干扰的情况下交通流的变化过程，下面建立交通流的模型对其进行分析． 3.1交通流模型研究对象是在无穷长公路上沿单向运动的一条车流．假定不允许超车，公路上也没有岔路，即汽车不会从其它通道进入公路或从公路驶出．在公路上选定一个坐标原点，记作0=x ．以车流运动方向作为x 轴的正向，于是公路上任一点可用坐标x 表示．对于每一时刻t和每一点x ，引入下面三个基本函数：流量),(t x q ：时刻t 单位时间内通过点x 的车辆数；密度),(t x ρ：时刻t 点x 处单位长度内的车辆数；速度),(t x u ：时刻t通过点x 的车流速度．将交通流视为一维流体场，这些函数完全可以类比作流体的流量、密度和速度．注意：这里速度),(t x u ，不表示固定的哪一辆汽车的速度．这三个基本函数之间存在着密切关系．首先可以知道，单位时间内通过的车辆数等于单位长度内的车辆数与车流速度的乘积． 即),(),(),(t x t x u t x q ρ= （3.1）其次，经验告诉我们，车流速度u 总是随着车流密度ρ的增加而减小的．当一辆汽车前面没有车辆时，它将以最大速度行驶，可描述为0=ρ时m u u = (最大值)；当车队首尾相接造成堵塞时，车辆无法前进，可记为m ρρ= (最大值)时0=u ．显然在这两种极端情况下的车流量0=q ．进一步观察可以发现，当ρ较小时随着ρ的增加q 也会增长；但当ρ较大时，q 将随着ρ的增加而减小．同理，当u 较小时随着u 的增加q 也会增长；但当u 较大时，q 将随着u 的增加而减小．综上分析，流量q与密度ρ之间的关系可表为图3-1的形式（流量q与速度u之- 6 -图）．图3-1 流量q 与密度ρ的关系在交通流模型中流量和密度的关系常用以下的二次函数表述．)1(mm u q ρρρ-= （3.2） 显然2*mρρ=时，由（3.2）可以看出流量取得最大值．应该指出(3.2)式是在平衡状态下ρ 、u 和q 之间的关系，即假定所有车辆的速度相同，公路上各处的车流密度相同．3.2连续交通流问题3.2.1 连续交通流问题的疏散波解对于正常运动的交通流，可以假定流量),(t x q 密度),(t x ρ和速度),(t x u 都是x 和t 的连续可微函数，并满足解析运算所需要的性质．下面根据守恒原理推导这些函数满足的方程．考察x 轴的任意区间][b a ,和任意时刻t ，单位时间内通过a 、b 点的流量分别为),(t a q 和),(t b q ．因为时刻t 在区间][b a ,内的车辆数为dx t x b a ⎰),(ρ，其变化率为dx t x dtd b a ⎰),(ρ在公路没有岔路的假定下区间][b a , 内的车辆数守恒，于是=-),(),(t b q t a q dx t x dtd ba ⎰),(ρ （3.3） 这是交通流方程的积分形式，它并不需要函数对x 的连续性．在关于q 和ρ的解析性质的假定下，=-),(),(t b q t a q dx t x q x ba ),(⎰∂∂-, dx t x dtd ba ⎰),(ρ=dx t x q xb a ),(⎰∂∂- 所以（3.3）式化为0)(=∂∂+∂∂⎰dx xqt baρ （3.4）- 7 -由于区间][b a ,是任意的，故0=∂∂+∂∂xqt ρ （3.5）这就是连续交通流方程．当把q 表示为ρ的已知函数)(ρq q =时（如（3.2）式）导数ρd dq也是已知函数，记为)(ρθ，于是按照求导法则有=∂∂=∂∂x d dq x q ρρ)(ρθx∂∂ρ 这样，方程（3.5）可以写成：⎪⎩⎪⎨⎧=+∞<<∞->==∂∂+∂∂)()0,(,0,,0)(x f x x t d dq x tρρρθρρθρ）（ （3.6）其中)(x f 是初始密度．方程（3.6）的解),(t x ρ描述了任意时刻公路上各处的车流分布状况，再由)(ρq 即可得到流量函数),(t x q ．（3.6）式是一阶拟线性偏微分方程，可用特征方程和首次积分法求解如下: 由首次积分，与方程（3.6）的同解方程为,0)(1ρρθd dx dt == （3.7） 即0=dtd ρ, 且)(ρθ=dtdx， 则0)()(x t t x +=ρθ, 0)0(x x =即00))(()(x t x f t x +=θ （3.8）容易验证（3.8）满足方程（3.6）．实际上对)),((t t x ρ求关于t 的全导数有0=∂∂+∂∂dtdxx t ρρ（3.9）再将（3.7）)(ρθ=dtdx代入（3.9）就是方程（3.6）．至于（3.7）（3.8）满足初始条件)()0,(x f x =ρ则是显然的． 3.2.2 交通流的特征线上面方程（3.6）的解（3.7）（3.8）两式有着明显的几何意义，在t x ~平面上（3.8）表示一族直线（图3-2），它与x 轴- 8 -的交点是坐标是0x ，斜率为))((10x f k θ=（t 对x 的斜率），当函数θ 、f给定后，k 随0x 改变，这族直线称为方程的特征线．（3.7）式表明，沿每一条特征线)(t x x =车流密度),(t x ρ是常数)(0x f ，当然在不同的特征线上),(t x ρ随0x 不同而不同．图3-2 方程（3-6）的特征线这样，从形式上看当流量函数)(ρq 和初始密度)(x f 给定后，（3.7）（3.8）就完全确定了方程（3.6）的解，但是下面将会看到，由于初始密度)(x f 不同可以导致两种截然不同结果．设)(ρq 如（3.2）式表出，则)21()(mm u d dq ρρρρθ-==（3.10） )(ρθ是减函数，当2*mρρρ==时0*)(=ρθ，对于*1ρρ< 0)(1>ρθ，对于*2ρρ>，0)(2<ρθ（见图3-3）图3-3)(ρθ的图形如果初始密度)(x f 是x 的减函数，如图3-4所示，即沿车辆行驶的x 轴正向，前面的密度小，后面的密度大，则特征线的形状如图3-5．在密度*ρ的*x 点（即**)(ρ=x f ），因为0*))((=x f θ，从*x 出发的特征线的斜率∞→=))((1*)(0x f x k θ，所以这条特征线垂直于x轴．对于*1x x >，*)(11ρρ<=x f ，因为- 9 -0)(1>ρθ，0)(1)(11>=ρθx k ，所以从1x 出发的特征线的斜率方向如图3-5所示；对于*2x x <，*)(22ρρ>=x f ，因为0)(2<ρθ，0)(2<x k ，所以从2x 出发的特征线向相反的方向倾斜．这种情况下（3.7）（3.8）的确是方程（3.6）的解．图3-4 初始密度 图3-5 特征线 但是如果初始密度)(x f 是x 的增函数，如图3-6，前面密度大，后面密度小，则用类似于上面的分析方法可知，特征线的形状如图3-7所示，它们必然相交．我们知道，在任一条特征线上密度),(t x ρ等于该线与x 轴交点处的初始密度，那么当如图所示从1x 和'1x 两点出发的特征线相交于),(t x p 点时，p 点的密度),(t x ρ将既等于)(1x f 又等于)('1x f ．当)(1x f ≠)('1x f 时这个结果显然是荒谬的．图3-6 初始密度 图3-7 特征线相交从实际现象分析为什么会得到这个错误的结果．与图3-4给出的初始密度)(x f 不同，图3-6的)(x f 表示前面的车辆拥挤，后面的车辆稀疏，于是后面的车速比前面的大．当速度快的汽车追上速度慢的汽车又不允许超车时，它的速度就会突然降下来，并且引起在它后面的汽车的连锁反应，一辆一辆地突然减速．车流速度),(t x u 的突变像水波一样向后传播，我们在日常生活中可以观察到这种现象．速度的突变必然导致密度),(t x ρ和流量),(t x q 的突变，这意味着函数),(t x ρ和),(t x q 在某些),(t x 处出现了间断．这种情况下不能再假定这些函数是连续可微的，因而不能再用微分方程（3.6）描述车流的分布，方程（3.7）（3.8）也没有意义了． 3.2.3 连续流问题的间断解当密度函数),(t x ρ出现间断时，具有实际意义的也是常见的一种情况，一连串的间断点),(t x 在t x ~平面上构成一- 10 -条孤立的间断的间断线，记做)(t x x =．图3-7引出的间断就是这种情况．下面推导间断线)(t x x s =应满足的方程时，还假设它是可微的．在任意时刻t ，)(t x x s =在x 轴上是孤立的，可以取区间][b a ,，使b t x a s <<)(．在][b a ,内交通流的方程的积分的形式（3.4）仍然成立．将][b a ,分为两个区间[))(,t x a s 和(]b t x s ),(，在每个区间内),(t x ρ是连续可微的，于是有dtdx t t x dx t dt dx t t x dx t dx t x dx t x dt d t b q t a q ss b t x s s t x a t x a b t x s s s s )),(()),((),(),(),(),()()()()(+--∂∂++∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-⎰⎰⎰⎰ρρρρρρ （3.11）其中)(t x s -和)(t x s +分别表示从小于和大于)(t x s 一侧趋向)(t x s 时的极限值．在这种趋势下),(t x ρ和),(t x q 的极限记作))((,t s t x --=ρρ ))((,t s t x ++=ρρ))((,t s t x q q --= ))((,t s t x q q ++= （3.12）ρ和q 在间断点s x 处的跳跃值记作[]-+-=ρρρ []-+-=q q q （3.13）如图3-8所示．图3-8),(t x ρ在)(t x s 处间断当)(t x as -→，)(t x b s +→时（3.11）式中的0)(=∂∂⎰dx tt x as ρ0)(=∂∂⎰dx tb t x s ρ．利用（3.12）、（3.13）式的记号立即得到[][]dtdx q s ρ=，或者[][]ρq dtdx s=（3.14）这就是间断线)(t x x s =应满足的方程，其中[]ρ和[]q 可以用连续的交通流方程解得的ρ和q 在间断点处的极限值算出．- 11 -第四章 红绿灯下的交通流问题为了方便起见设交通信号灯置于0=x 处．若原来公路上的交通处于稳定状态，即初始密度)(x f 是常数．某时刻交通灯突然变红，于是交通灯前面（0>x ）的车辆继续行驶，而后面（0<x ）的车辆则一辆辆的堵塞起来．经过一段时间后交通灯变绿，被堵塞的车辆得以快速的向前行驶．此模型主要研究这一过程中车流密度和速度的变化，红绿灯亮后被堵塞的车辆多长时间才能追上远离的车队，多长时间堵塞状态才会消失，多长时间交通会恢复正常等问题．红绿灯的变化必然引起密度函数),(t x ρ和速度函数),(t x u 的间断，下面用方程（3.14）研究间断线的变化规律，而在),(t x ρ和),(t x u 的连续点处仍用（3.7）（3.8）式进行分析．设+=0t时交通灯突然由绿变红，τ=t 时又由红变绿．下面依时间顺序用图形结合公式计算的方法讨论),(t x ρ的演变过程并回答上面的“何时追上车队”、“何时堵塞消失”等问题．1、-≤0t时设0)()0,(ρρ==x f x （常数），见图（4-1） 为确定起见不妨设定*0ρρ<，即初始密度小于使流量达到最大的*ρ，这种交通流称为稀疏流．2、τ<≤+t 0红灯亮．在红灯后面（0<x ）车辆堵塞导致最大密度m ρρ=，与初始密度0ρρ=形成间断，这条左间断线记作)(t x x sl =，表示堵塞的车队尾部随时间向后（左）延伸的过程，红灯前面（0>x ）的车辆继续行驶，空出的路段导致0=ρ（此时车辆速度达到最大m u u =）与0ρρ=形成间断，这条右间断线记作)(t x x sr =，表示远离的车队尾部向前（右）延伸的过程，见图（4-2），)(t x sl 和)(t x sr 由方程（3.14）确定．而流量)(ρq 的计算由(3.2)式给出．对于0][ρρρ-=m , mm m m u q q q ρρρρρρ)()()(][000--=-=于是⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0(0sl m m slx u dtdx ρρ其解为t u t x mm sl ρρ0)(-=. （4.1）对于)(t x xsr =, []0ρρ=, mm m u q ρρρρ)(][00-=,⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()(0sr m m m sr x u dtdx ρρρ- 12 -t u t x mm m sr ρρρ)0()(-=（4.2）因为2*0mρρρ=< 由（4.1）（4.2）可知)(t x sr 向前的速度比)(t x sl 向后的速度大．3、τ=t 时绿灯亮，被阻止在0<x 处的车队开始向前行驶（图4-3）4、τ>t ，见图（4-4）．用)(1t x 表示堵塞车队行驶时最前面那辆车的位置，即由0=ρ变为0>ρ那一点的位置；用)(2t x 表示堵塞车队行驶时最后面那辆车的位置，即由m ρρ<变为m ρρ=那一点的位置．将时间坐标轴平移为τ-=t t '，初始密度(0'=t)可记作⎪⎩⎪⎨⎧=0)(ρρmx fsrsl sr sl x x x x x x x x ><<<<<,00对于sr x x <<00，由（3.10）式可得m u x f =))((0θ，在特征线0'x t u x m +=上，密度0),('=t x ρ，令+→00x ，我们得到''1)(t u t x m = 或 )()(1τ-=t u t x m（4.3）其实因为前面的那辆车能以最大的速度m u 行驶（0=ρ时m u u =）．（4.3）式立即可写出． 类似的，对于00<<x x sl 时,由（3.10）得m u x f -=))((0θ，)()(2τ--=t u t x m （4.4）而对于)()(12t x x t x ≤≤，利用（3.7）（3.8）可知')(t x ρθ= ．再注意到)(ρθ的表达式（3.10），我们得到))(21(τρρ--=t u x mm （4.5）即))(1(2),(τρρ--=t u xt x m m， )()(12t x x t x ≤≤（4.6）),(t x ρ对x 是线性的，且2),0(mt ρρ=，所以图中用直线表示．实际上，在)(1t x 和)(2t x 之间的那些车辆，是一辆辆的逐渐动起来的，由于初始速度是均匀的，)(1t x 和)(2t x 又是线性的，所以),(t x ρ与x 之间的线性关系是可以预料的．5、d t t =时堵塞消失，见图（4-5）．由于)(1t x 、)(2t x 向前向后的移动速度都是m u ，)(t x sl 向后的速度为mm u ρρ0，)(t x sr 向前的速度为mm m u ρρρ)(0-．在2*0mρρρ=<的假定下不难知道，)(2t x 会首先赶上)(t x sl，记这个时刻为d t ，在（4.1）（4.4）式中令)()(2d d sl t x t x =，即d mmd m t u t u ρρτ0)(=- 可解得- 13 -τρρρ0-=m m d t（4.7）显然，d t 是堵塞消失的时刻．6、u t t=时追上车队，见图（4-6）．当)(1t x 赶上)(t x sr 时，堵塞车队的最前面那辆车追上远离的车队，记这个时刻为u t ，在（4.2）（4.3）式中令)()(1u u sr t x t x =，可计算出τu u u t m mu -=（4.8）7、u t t >，见图（4-7）．)(t x sl 和)(t x sr 继续移动，而),(t x ρ的跳跃值逐渐减小．下面分析)(t x sl 的变化规律．)(t x sl 满足间断交通流方程（3.14），其中+ρ由（4.6）))(1(2τρρ--=+t u x m slm来确定，而0ρρ=-，由（3.2）式计算出)(++=ρq q ，)(--=ρq q可得[][]⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-==m m m sl sl ut u x q dtdx ρρτρ0212)(2 （4.9）方程（4.9）的定解条件是)()(τ--=d m d sl t u t x（4.10）其中 τρρρ0-=m m dt 给出. 其通解为,)())(21()(2110ττρρ-+--=t B t u t x mm sl （4.11）0))(1(221001<---=ρρτρρρm m m u B （4.12）对（4.11）求导可得,)()21()(2110--+-=τρρt B u dt t dx mm sl当t 足够大时，必有)21(|)(|0211mm u t B ρρτ-<--（4.13）这时- 14 -0)21(lim>-=∞→mo m sl t u dt dx ρρ（4.14）所以一定存在某个时刻，使)(t x sl 由d t t =时的向后移动（因为0|<=d t t sldtdx ）变成向前移动.同理可得 0)21(lim>-=∞→mo m sr t u dtdx ρρ（4.15）这说明当t足够大时，间断线)(t x x sl =和)(t x x sr =移动的速度是一样的，它们不会再相交而形成新的间断．8、*t t=时0=x 处交通恢复，见图（4-8）．)(t x sl 向前移动确定0=x 点的时刻记作*t ，在（4.11）式中令0)(*=t x sl 可以解出2*)21(mt ρρτ-=（4.16）从（4.16）式可知，红灯的时间τ越短，初始速度与最大速度之比mρρ0越小，恢复的就越快．设830=m ρρ，由（4.16）式可以算出τ16*=t .将τ看做由交通事故造成的堵塞而停止交通的时间，那么5=τ分钟的堵塞，需要755516=-⨯分钟堵塞才会恢复原状.当*t t >后，)(),(t x t x sr sl 都在0>x 处向前移动，并且ρ的跳跃值越来越小.理论上要当∞→t 时全线（∞<<∞-x ）的交通才能恢复到初始状态0ρρ=.。

研究探讨令城市道路交通流波动存在的问题及对策措施关键词：城市道路;交通流波动;车流密度;通行能力;差异车道;服务水平近年来，我国社会经济发展较为迅速，居民的生活 水平稳步提高,机动车保有量日益增长,交通拥堵问题 已经成为人们普遍关注的社会热点。

大部分城市兴建 快速路、改造主干路、扩建次干路等以缓解交通压力， 但其进展缓慢，而且实际的交通成效远远低于设计时的预期。

道路的通行效率与运行能力及其等级、规模 等有着较为复杂的关系，并非简单的正比关系，而是与当时交通状况密切相关。

良好的交通状况能有效降低 交通流波动幅度，交通流波动性负面影响随之减弱，道 路服务水平随之提高，使其达到预期设想。

一、城市道路交通流波动的特点在城市主流道路中经常出现具有非均匀特点的交 通流，公路路网也是如此。

当对交通流波动进行解释 时，会将交通流假设成为声音，显而易见，这种声音的变化,即声波的波动就是车流疏密的改变，这是由集结 波和疏散波组成的抽象的"交通流波动” 0集结波会在 道路分流处、交叉口或事故发生导致的拥堵处出现，时 间越长，集结队伍排得越长，运行速度也随之降低。

疏 散波会在车辆分流处出现，队伍可能逐渐变短，运行速 度随之提高。

如果受新的外来因素影响，波动也会呈 新一轮变换，交通流波动性特征也会随之更变。

学术上把车流密度、车距视距、运行车速、通行能力等4个 部分作为交通流的波动特性。

1.车流密度处于波动状态的交通流出现意味着道路上车流分 布不平衡，此时显然集结波处密度大，疏散波处小。

一 般情况下，集结波的起始位置有动态和静态两种形式之分。

前者主要出现在慢车错行快车道以及路面存在 动态作业等情况下，后者则集中在平交口、事故发生点、 路面定点作业等位置。

而其终点的大部分状态处于动 态之中，可认为与车辆自身的行驶速度相关。

车距视距、运行车速、通行能力会随着车流密度的变化而变化。

2. 车距视距交通流波动过程中，车距在集结波态时缩短，在疏 散波处增长，故车辆间隔会随之相应变化。

基于激波分析理论的交通拥堵传播和消散机理研究邓文;陶茂华【期刊名称】《物流技术》【年(卷),期】2012(031)004【摘要】Studies on the propagation and dissipation mechanism of traffic congestion are the core and foundation of efforts in dealing with urban traffic congestion. Triangular fundamental diagram is a widely used model to describe the macroscopic traffic flow. The model is composed of two characteristics curves: a forward wave and a backward wave. The forward wave indicates the dynamic process of the evolution of unobstructed traffic flow whereas the backward wave indicates the dynamic process of the evolution of congested traffic flow. When the unobstructed and the congested traffic flows cross over, a shock wave belt will be generated which separates the two traffic statuses and propagates simultaneously upstream and downstream at certain speed. Therefore, the propagation and dissipation of congestion is in nature the propagation of the shock wave. Finally, in a numerical example, the paper analyzes the patterns for the backward propagation of the congestion after the formation of the downstream bottleneck and the dissipation of the congestion once the bottleneck is unclogged.%交通拥堵传播和消散机制的研究是解决城市拥堵问题的核心基础工作.三角形基本图是一种广泛使用的宏观交通流模型,在该模型中有两种特征线,前置波和后置波.前置波表示畅通交通流的动态演化进程,后置波表示拥堵交通流的动态演化进程.当畅通交通流与拥堵交通流交叉时会形成一条激波带,激波带分离了两种交通状态,且以一定的速度向上游和下游传播.拥堵的传播和消散本质上是激波的传播.最后,以一数字算例,分析了由下游瓶颈造成的拥堵向后传播的规律以及瓶颈能力恢复后拥堵消散的规律.【总页数】4页(P71-73,101)【作者】邓文;陶茂华【作者单位】北京交通大学交通运输学院,北京100044;北京交通大学交通运输学院,北京100044【正文语种】中文【中图分类】U491.1+7【相关文献】1.基于故障传播有向图的交通拥堵传播研究∗ [J], 梁坤;孙莉;罗建锋;戴权2.缓解交通拥堵收取拥堵费是必然选择——基于外部性理论下的北京交通拥堵分析[J], 陈淑玲;李卫东3.城市交通拥堵传播规律与消散控制策略研究 [J], 高自友;龙建成;李新刚4.基于激波管装置的乙烯氧化实验研究与动力学机理分析 [J], 熊小鹤;丁艳军;操晓波;彭志敏;李永华5.基于元胞自动机的轨道交通突发客流拥堵消散演化机理研究 [J], 蒋阳升;刘纹滔;姚志洪因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。