八年级数学下册1.4角平分线的性质习题课件湘教版

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例1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分 ∠CAB，DE⊥AB于E，F 在AC上，BE＝FC， 求证：BD＝DF.
证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E， ∠C＝90°，∴DE＝DC. 在△BDE和△FDC中， DE=CD ,
∠DEB=∠C,
BE=FC, ∴ △BDE ≌ △FDC （SAS） ∴ BD=DF (全等三角形中对应边相等).
7
合作探究
思 考
分
逆命题
析
到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
它是真命题吗? 如果是.请你证明它.
′ 已知:如图, ∠AOB,
PD⊥OA, PE⊥OB,且PD=PE,垂足分O
A D
P C
别是D,E.
求证:点P在∠AOB的平分线上.
E
分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可
B
以先作出过点P的射线OC,然后证明
11
例2、 如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于 点E，
BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∠BDE＝∠CDF
∠DEB＝∠DFC
BE＝CF
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DE＝DF.
C P FB
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分 线上.∵ PF⊥OB，PE⊥OA
且PE＝PF.
∴点P在∠AOB的平分线上.
14
自我检测
1、已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点，
PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别C,D.
求证:(1)OC=OD;

HL
角平分线
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
第二十四页，共26页。
1. “斜边、直角边定理” 是判定两个直角三角形全等所独 有的，在运用该判定定理时，要注意全等的前提条件是 两个直角三角形.
2. 2. 要注意本章中的互逆命题，如直角三角形的性质和判 定定理，勾股定理及其逆定理，角平分线的性质定理及 其逆定理等，它们都是互为逆命题.
图1-26
第三页，共26页。
将∠AOB 沿OC 对折，我发现PD 与PE 重合， 即PD与PE相等.
你能证明吗？
图1-26
第四页，共26页。
我们来证明(zhèngmíng)这个结论.
∵ PD⊥OA， PE⊥OB，
∴ ∠PDO =∠PEO = 90°. 在△PDO和△PEO中，
∵ ∠PDO =∠PEO， ∠DOP =∠EOP， OP = OP，
（2）在Rt△OED和Rt△OEC中， ∵ OE= OE， ED = EC， ∴ Rt△OED≌Rt△OEC(HL). ∴ OD=OC.
第二十一页，共26页。
2. 如图，在△ABC 中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，
BC 分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段(xiànduàn)DE
上.
证明(zhèn求gm证í：ngA) B=作ADC+MB⊥E.AB于点M. ∵ AC，BC 分别平分∠BAD，∠ABE，
第七页，共26页。
图1-27
如图1-27，过点O，P作射线(shèxiàn)OC.
∵ PD⊥OA， PE⊥OB， ∴ ∠PDO =∠PEO = 90°.
在Rt△PDO和Rt△PEO中， ∵ OP = OP，PD = PE， ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO.

(2)①BD与ED有什么关系?为什么? 提示:BD=2ED.∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°, 又∵∠B=30°,∴BD=2ED. ②请结合CD的长,以及CD与ED的关系确定BD的长. 提示:∵ED=CD=1,∴BD=2ED=2.
【总结提升】角平分线图形结构中的两种数量关系 如图,OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,DE交OC于点F, 可以得到以下结论: 1.角之间的相等关系: ∠AOC=∠BOC=∠PDF=∠PEF; ∠ODP=∠OEP=∠DFO=∠EFO=∠DFP=∠EFP;∠DPO=∠EPO =∠ODF=∠OEF. 2.线段的相等关系: OD=OE,DP=EP,DF=EF.
【证明】过点P作PE⊥OA于E,PF⊥OD于F,
∵S△PAB=S△PCD,
∴ A1 B·PE=1 CD·PF.
2
2
∵AB=CD,∴PE=PF.
∴点P在∠AOD的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这
个角的平分线上).
∴OP平分∠AOD.
6.如图,△ABC中,BP,CP分别是∠B,∠C的外角平分线. 求证:点P在∠A的平分线上.
( ×)
知识点 1 角平分线的性质 【例1】(2013·温州中考)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分 ∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E. (1)求证:△ACD≌△AED. (2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长.
【解题探究】(1)①CD与ED有什么关系?为什么? 提示:CD=ED.∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,∴CD=ED. ②由CD与ED的关系能判定△ACD≌△AED吗?为什么? 提示:能.∵在Rt△ACD和Rt△AED中,AD=AD,CD=ED,∴由“HL” 定理可得Rt△ACD≌Rt△AED.

1.4 角平分线的性质
例题2 如图1-4-9, BD是∠ABC的平分线, AB=BC, 点P在BD上, PM⊥AD, PN⊥CD, 垂足分别是 M, N．试说明PM=PN.
1.4 角平分线的性质
分析 根据角平分线的定义, 可得∠ABD= ∠CBD, 然后利用“SAS” 证明
△ABD 和△CBD全 等, 再根据全等三角形的对应角相等, 可得∠ADB= ∠CDB, 然后根据角平分线上的点到角的两边的距离 相等即可证明.
第1章 直角三角形
1.4 角平分线的性质
第1章 直角三角形
1.4 角平分线的性质
考场对接
1.4 角平分线的性质
考场对接
题型一 运用角平分线的性质定理证明线段相等
例题1 如 图 1 - 4 - 8 所 示 , AD是△ABC的角平分线, DE, DF 分别是 △ ABD和 △ A C D 的 高 . 求证：AE=AF.
1.4 角平分线的性质
题型四 运用角平分线的性质定理解决其他几何问题
例题5 如图1-4-13所示, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, AC=BC, AD平分 ∠CAB, 交BC于点D, DE⊥AB于点E, 且AB=6 cm, 求△BDE的周长.
1.4 角平分线的性质
解： ∵AD平分∠CAB, ∴∠1=∠2. ∵DC⊥AC, DE⊥AB, ∴DE=DC, ∴BD+DE=BD+DC=BC. 由已知易证△ADE≌△ADC, ∴AE=AC. 又∵BC=AC, ∴BC=AE, ∴BD+DE=AE, ∴BD+DE+BE=AE+BE=AB. ∵AB=6 cm, ∴BD+DE+BE=6 cm, 即△BDE的周长为6 cm.

—— 华罗庚
第十一页，共11页。
A
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,Байду номын сангаас
ND
M
PF
∴PD=PE
B
E
C
(角平分线上的点到这个(zhè ge)角的两边距离相等).
同理,PE=PF.
∴PD＝PE=PF.
即点P到三边(sān biān)AB、BC、CA的距离相 等
第七页，共11页。
1、如图，在△ABC中，D是BC的中点(zhōnɡ diǎn)，
解：∵AP是∠DAC的平分线
E
D
又PE⊥DB，PF⊥AC ∴PE=PF
在△EBP中，BE+PE＞PB
A
P
∴BE+PF＞PB。
B
FC
第五页，共11页。
1、如图，为了促进当地旅游发展， 某地要在三条公路围成的一块平地上 修建一个度假村.要使这个(zhè ge)度 假村到三条公路的距离相等,应在何处 修建?
N
MN=MF）
∵ME⊥CD，MN⊥CA
∴M在∠ACD的平分线上，
即CM是∠ACD的平分线
A
同理可得AM是∠CAB的平分线。
M
F
B
第四页，共11页。
例2， 如图，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任(shàng
rèn)取一点
P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F。试探索
BE+PF与PB的大小关系。
分析:由于没有限制(xiànzhì) 在何处选址,故要求的地址共 有四处。
第九页，共11页。
3、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点 E,BD,CE交点(jiāodiǎn)F,CF=BF,求证:点F在 ∠A的平分线上.

分线，DE，DF分别是△ ABD和△ ACD的高，
60
AE = 12，DF = 5，则点E到直线AD的距离为__1_3.
图1.4-12 图1.4-13
13.（2023·乐山）如图1.4-14，点O在直线AB上， OD是∠BO C的平分线，若∠AOC = 140∘ ，则∠BOD 的度数为_2_0_∘_.
A.2: 1
B.1: 1
C.3: 2
D.2: 3
6.如图1.4-7，点O是Rt △ ABC的内角平分线的交点，
OD//AC，AC = 5，BC = 12，AB = 13，则OD等于
( A )．
A.2
B.3
C.1
D.4
图1.4-6 图1.4-7
7.如图1.4-8，已知在△ ABC中，∠C = 90∘ ， ∠A = 36∘ ，ED ⊥ AB于点D，且EC = ED，则 ∠CEB =_6_3__∘ .
图1.4-14
PE，垂足分别是点D，E，连接DE，那么图中全等的直
角三角形共有( A ) .
A.3对
B.2对
C.1对
D.0对
图1.4-4 图1.4-5
5.如图1.4-6，在△ ABC中，∠C = 90∘ ，
AB = 2BC，BD是∠ABC的平分线，设△ ABD，
△ BCD的面积分别为S1，S2，则S1: S2 =( A ) ．
A.20∘
B.25∘
C.30∘
D.50∘
图1.4-3
3.如图1.4-4，在△ ABC中，∠C = 90∘ ， AC = 8，D C = 1 AD，BD平分∠ABC，则点D到
3
AB的距离等于( C ) .
A.4
B.3
C.2

又∵OM=ON，
∴在Rt△BOM和Rt△AON中，
AO BO,
O
M
ON，
∴Rt△BOM≌Rt△AON(HL)，∴AN=BM.
第二十一页，共四十七页。
【学霸提醒】 应用角平分线的性质的两点注意(zhù yì)
1.应用角平分线的性质时，角平分线、角平分线上的点到角两 边的距离两个条件缺一不可，不能错用为角平分线上的点到角
1.4 角平分线的性质(xìngzhì)
第一页，共四十七页。
【知识再现】 1.角的平分线：在角的内部，把角分成两个相等(xiāngděng)角的 ___射__线__(s_h_èx叫iàn作) 角的平分线. 2.全等三角形的性质：全等三角形的对应边 ___相__等____，对应角_____相__等__.
第四页，共四十七页。
PD
PE
第一次
第二次
第三次
第五页，共四十七页。
2.你能用所学知识证明以上你发现(fāxiàn)的结论吗？ 已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别是D，E，如图所示，求证：PD=PE.
第六页，共四十七页。
证明(zhèngmíng)：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=____9_0_°___， 在△PDO和△PEO中， ∴△PDO≌△PEO(____A_A_S__)， ∴PD=____P_E__.
第九页，共四十七页。
4.通过以上探索和证明，我们得出了角平分线的性质是：
性质定理(dìnglǐ)：角平分线上的点到角的两边的距离相等. 逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线 上.
第十页，共四十七页。
【基础小练】
请自我检测(jiǎn cè)一下预习的效果吧！ 1.(2019·盐城盐都区期末)如图，AO是∠BAC的平分 线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若ON=8 cm，则OM长 为 ( C)

求证：三角形的三条角平分线交于一点。
例 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相 交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直 于AB、BC、CA，垂足为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM
上（已知）
A
∴PD=PE
（在角平分线上的点到角的两边的距离D
E
∴__D_C__=_D_E____
(__在__角__平__分___线__上__的___点__到__角___的__两__边__的_C__距__离__相D___等__)
Hale Waihona Puke B. ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
∴_∠__1_=_∠__2___
(_到__一__个__角__的__两__边__的__距__离__相__等__的__点__，__在__这__个__角__平__分__线__上__。)
画一画
画∠AOB,将∠AOB对折,折痕 OC ,在OC上任取一点P,过P向角的 两边作垂线段PD、PE,并度量所 画PD、PE是否等长？
命题：在角平分线上的点到角的两边的距离相等
题设：一个点在一个角的平分线上 结论：它到角的两边的距离相等 已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E. A
一个货物中转站,要求它到三条公路的距
离相等,则可供选择的地址有:( )
A.一处
B. 两处
C.三处
D.四处
分析:由于没有限制在 何处选址,故要求的地 址共有四处。
练习册P63P64
作业
用符号语言表示为： ∵PD=PE
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
A

0.025m=2.5cm 图上距离为2.5cm.
PC F
点P即为所求．
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8 m，DC= 1 AD，BD平分
2
∠ABC，求D到AB的距离.
解：
3.如图，已知BD平分∠ABC，BA=BC，点P在BD上，作PM⊥AD，
PN⊥CD，垂足分别为点M，N.求证: PM=PN.
解：过点F作FH⊥AD于H， FG⊥BC于G，FR⊥AE于R， 则可得FH=FG=FR. ∴点F在∠A的平分线上.
课堂小结
1 说一说本节课的收获. 2 你还存在哪些疑惑？
八年级数学下册 第1章 直角三角形1.4 角平分线的性质（练习课）习题课件 （新版）湘教版
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们 休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐 对身体不好哦~
结束语
八年级数学下册 第1章 直角三角形1.4 角平分线 的性质（练习课）习题课件（新版）湘教版
复习课件
八年级数学下册 第1章 直角三角形1.4 角平分线的性质（练习课）习题课件（新版）湘教版
①
习题1.4
巩固练习
1. 如图，一个工厂在A区，它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和
铁路的交叉处O点为500m，在图上标出它的来自置(比例尺为1∶20000).
解：
500÷20000=0.025m,
E
证明：BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD. 又BA=BC，BD为公共边， ∴△ABD≌△CBD(SAS). ∴∠ADB=∠CDB. 又PM⊥AD， PN⊥CD， ∴ PM=PN.
4.如图，求作一点P，使PM=PN，并且使点P到∠AOB的两边OA，