必修第一册学案：3.1.1函数的概念

新人教A版必修第一册【新教材】3.1.1 函数的概念（人教A版）函数在高中数学中占有很重要的比重，因而作为函数的第一节内容，主要从三个实例出发，引出函数的概念.从而就函数概念的分析判断函数，求定义域和函数值，再结合三要素判断函数相等.课程目标1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则。

2.掌握判定函数和函数相等的方法。

3.学会求函数的定义域与函数值。

数学学科素养1.数学抽象：通过教材中四个实例总结函数定义；2.逻辑推理：相等函数的判断；3.数学运算：求函数定义域和求函数值；4.数据分析：运用分离常数法和换元法求值域；5.数学建模：通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，提高学生的抽象概括能力。

重点：函数的概念，函数的三要素。

难点：函数概念及符号y=f(x)的理解。

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，那么在初中函数是怎样定义的？高中又是怎样定义？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本60-65页，思考并完成以下问题1. 在集合的观点下函数是如何定义？函数有哪三要素？2. 如何用区间表示数集？3. 相等函数是指什么样的函数？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个属x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)x.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)3．其它区间的表示四、典例分析、举一反三题型一 函数的定义例1 下列选项中(横轴表示x 轴,纵轴表示y 轴),表示y 是x 的函数的是( )【答案】D解题技巧：（判断是否为函数）1.（图形判断）y 是x 的函数,则函数图象与垂直于x 轴的直线至多有一个交点.若有两个或两个以上的交点,则不符合函数的定义,所对应图象不是函数图象.2.（对应关系判断）对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系；“一对多”的不是函数关系. 跟踪训练一1.集合A={x|0≤x ≤4},B={y|0≤y ≤2},下列不表示从A 到B 的函数的是( )【答案】C题型二 相等函数例2 试判断以下各组函数是否表示同一函数:(1)f(x)=( )2,g(x)= ;(2)y=x 0与y=1(x ≠0);(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z). 【答案】见解析【解析】:(1)因为函数f(x)=( )2的定义域为{x|x≥0},而g(x)= 的定义域为{x|x ∈R},它们的定义域不同,所以它们不表示同一函数.(2)因为y=x 0要求x ≠0,且当x ≠0时,y=x 0=1,故y=x 0与y=1(x ≠0)的定义域和对应关系都相同,所以它们表示同一函数.(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z)两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故它们不表示同一函数. 解题技巧：(判断函数相等的方法) 定义域优先原则1.先看定义域，若定义域不同，则函数不相等.2.若定义域相同，则化简函数解析式，看对应关系是否相等. 跟踪训练二1.试判断以下各组函数是否表示同一函数: ①f(x)= -,g(x)=x-1;②f(x)=,g(x)=;③f(x)= ),g(x)=x+3;④f(x)=x+1,g(x)=x+x 0;⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t ≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x ≤5). 其中表示相等函数的是 (填上所有正确的序号). 【答案】⑤【解析】①f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数; ②f(x)与g(x)的解析式不同,不是同一函数; ③f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式不同,不是同一函数; ④f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;⑤f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同,是同一函数. 题型三 区间例3 已知集合A={x|5-x ≥0},集合B={x||x|-3≠0},则A ∩B 用区间可表示为 . 【答案】(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5] 【解析】∵A={x|5-x ≥0},∴A={x|x ≤5}. ∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x ≠±3}. ∴A ∩B={x|x<-3或-3<x<3或3<x ≤5}, 即A ∩B=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]. 解题技巧：（如何用区间表示集合）1.正确利用区间表示集合,要特别注意区间的端点值能否取到,即“小括号”和“中括号”的区别.2.用区间表示两集合的交集、并集、补集运算时,应先求出相应集合,再用区间表示. 跟踪训练三1.集合{x|0<x<1或2≤x≤11}用区间表示为.2. 若集合A=[2a-1,a+2],则实数a的取值范围用区间表示为.【答案】(1)(0,1)∪[2,11] (2)(-∞,3)【解析】 (2)由区间的定义知,区间(a,b)(或[a,b])成立的条件是a<b.∵A=[2a-1,a+2],∴2a-1<a+2.∴a<3,∴实数a的取值范围是(-∞,3).题型四求函数的定义域例4求下列函数的定义域:(1)y=)||-; (2)f(x)=---.【答案】(1) (-∞,-2)∪(-2,0)(2) (-∞,1)∪(1,4]【解析】(1)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足,||-,即-,||,解得x<0,且x≠-2.故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).(2)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足-,-,即,故原函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4].解题方法（求函数定义域的注意事项）(1)如果函数f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R;(2)如果函数f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数组成的集合;(3)如果函数f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数组成的集合;(4)如果函数f(x)是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成的,那么函数的定义域是使各式子都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集).跟踪训练四1.求函数y=-的定义域.2.已知函数f(x)的定义域是[-1,4],求函数f(2x+1)的定义域.【答案】(1)-,且(2)-,【解析】(1)要使函数有意义,需 ,- , ,解得-≤x<2,且x ≠0,所以函数y= -的定义域为 -,且 . (2)已知f(x)的定义域是[-1,4],即-1≤x≤4. 故对于f(2x+1)应有-1≤2x+1≤4, ∴-2≤2x≤3,∴-1≤x≤.∴函数f(2x+1)的定义域是 - ,.题型五 求函数值（域）例5 (1)已知f(x)＝(x ∈R ，且x ≠－1)，g(x)＝x 2＋2(x ∈R)，则f(2)＝________， f(g(2))＝________. (2)求下列函数的值域：①y ＝x ＋1； ②y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； ③y ＝； ④y ＝2x － .【答案】（1）13 17 （2）① R ② [2,6) ③ {y|y ∈R 且y≠3} ④ ⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞【解析】(1) ∵f (x)＝11＋x ，∴f(2)＝11＋2＝13.又∵g (x)＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6， ∴f ( g(2))＝f (6)＝11＋6＝17.(2) ①(观察法)因为x ∈R ，所以x ＋1∈R ，即函数值域是R.②(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．③(分离常数法)y ＝3x －1x ＋1＝3x ＋3－4x ＋1＝3－4x ＋1.∵4x ＋1≠0，∴y≠3， ∴y ＝3x －1x ＋1的值域为{y|y ∈R 且y≠3}．④(换元法)设t ＝x －1，则t≥0且x ＝t 2＋1，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞.解题方法（求函数值（域)的方法）1.已知f(x)的表达式时,只需用数a 替换表达式中的所有x 即得f(a)的值.2.求f(g(a))的值应遵循由内到外的原则.3. 求函数值域常用的4种方法（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；（2）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法或二次函数图像求其值域；（3）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为 “反比例函数类”的形式，便于求值域；（4）换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对于f （x ）=ax+b+ （其中a ，b ，c ，d 为常数，且a 0）型的函数常用换元法. 跟踪训练五1.求下列函数的值域：(1)y ＝ ＋1；(2)y ＝. 【答案】(1) [1，＋∞) (2) －【解析】(1)因为2x ＋1≥0，所以2x ＋1＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)． (2)因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x2，又函数的定义域为R ，所以x 2＋1≥1，所以0＜21＋x 2≤2，则y ∈(－1,1]． 所以所求函数的值域为(－1,1]. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本67页练习、72页1-5本节课主要通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，尤其在求抽象函数定义域时，先根据特殊函数的规律总结一般规律.。

3.1.1函数的概念（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第三章)一、教材地位本节课是普通高中课程标准实验教科书人教A版第三章第一节第一课时（第60～64页）.1.概念本身角度：函数是高中数学最抽象的概念，初中曾用运动变化的观点给出函数的描述性定义，并把函数看作两个变量间的依赖关系，但这一定义有一定的阶段性和局限性.2.学科角度：函数是高中数学的核心概念，是整个高中函数知识体系的基石，它不仅将函数概念由“对应论”发展到“集合论”，更承上启下，为后继研究基本初等函数，比如指数函数、对数函数、幂函数、三角函数以及函数的性质等提供研究方法和理论依据，让我们体会到重要概念对数学发展和数学学习的巨大作用；同时，函数的基础知识在日常生活、社会经济、以及等其他学科也有着广泛应用.3.高考角度：函数是高考数学的热点，函数图象性质、函数与代数式方程不等式数列三角解析几何导数的结合问题常考常新，从基础题、中档题到压轴题，每年高考都是绝对重点，高考所考察的五大数学思想中的数形结合思想、函数与方程思想贯穿高中数学学习的全过程.有人说，“得函数者得数学，得数学者得高考”，更是形象的道出了函数在高考中的重要地位.二、学情分析1.从学生知识层面看：通过初中函数相关知识的学习,学生具备了一定的知识经验和基础；通过必修一第一章“集合”的学习，对集合思想的认识也日渐提高，为重新定义函数、从根本上揭示函数的本质提供了知识保证．2.从学生能力层面看：学生已有一定的分析、推理和概括能力，初步具备了运用数形结合思想解决问题的能力，但数形结合的意识和思维的深刻性还有待进一步加强.3.从学生情感培养方面看：多数学生对教学新内容的学习有很高学习兴趣和积极性，但探究能力以及合作交流等能力仍需要通过课堂主渠道加以培养和提高.三、教学目标1.知识与技能：会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数的概念；理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数的三要素；会求一些简单函数的定义域.（重点）2.过程与方法：让学生亲身经历函数概念的形成过程，经历从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，培养学生抽象概括能力，让学生学会数学表达和交流，激发数学学习兴趣，发展数学应用意识.（难点）3.情感、态度与价值观：培养学生细心观察、认真分析、严谨表达的良好思维习惯，养成用函数模型描述和解决现实世界中蕴含的规律，培养学生提出问题的能力，培养创新意识.四、教学重点用集合语言和对应关系刻画函数的概念.五、教学难点对函数概念的理解.六、教学过程1.函数概念的形成1.1创设情境，引发思考思考1：(1)若正方形的边长为1，则其周长l= ；(2)若正方形的边长为2，则其周长l= ；(3)若正方形的边长为x，则其周长l= ；【预设答案】（1）4（2）8（3）4x【设计意图】通过具体的例子复习函数的概念，让学生再次体会函数高度“抽象”的作用.思考2：初中学习的函数的概念是什么？【预设答案】设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的函数.其中x 叫自变量，y 叫因变量.【设计意图】复习初中函数概念，强调函数是一种特殊的对应.思考3：请同学们考虑以下两个问题【设计意图】从初中的概念来看，这两组中的两个函数没什么不同，但我们有感觉它们是不同函数.让学生体会初中函数概念不够精确，从而有些问题解决不了.1.2探究典例，形成概念问题1： 某“复兴号”高速列车到350km/h 后保持匀速运行半小时.这段时间内，列车行进的路程S （单位：km ）与运行时间t （单位：h ）的关系可以表示为 S=350t.思考：根据对应关系S=350t ，这趟列车加速到350km/h 后，运行1h 就前进了350km ，这个说法正确吗？【预设答案】不正确.对应关系应为S=350t ，其中 }1750|{},5.00|{11≤≤=∈≤≤=∈s s B s t t A t .问题2 ：某电气维修告诉要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w （单位：元）是他工作天数d 的函数吗？【预设答案】是函数，对应关系为w=350d,其中},6,5,4,3,2,1{2=∈A d}2100,1750,1400,1050,700,350{2=∈B w .思考：在问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？【预设答案】不是.自变量的取值范围不一样.问题3 :如图，是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图.如何根据该图确定这一天内任一时刻th 的空气质量指数的值I ？你认为这里的I 是t 的函数吗？44y x l x ==（1）与周长是同一函数吗？22x y x y x==（）与是同一函数吗？【预设答案】是，t 的变化范围是}240|{A 3≤≤=t t ，I 的范围是}1500|{I B 3<<=I .问题4： 国际上常用恩格尔系数）总支出金额食物支出金额=r r ( 反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.上表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从表中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高.你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数r 是年份y 的函数吗？思考：上述问题1到问题4中的函数有哪些共同点和不同点？【预设答案】共同点有：（1）都包含两个非空数集，用A ，B 来表示；（2）都有一个对应关系不同点有：（1）（2）是通过解析式表示对应关系，（3）是通过图象，（4）是通过表格【设计意图】通过四个具体的例子，发现要在集合的基础上定义函数会比较准确，同时让学生体会函数对应关系的3种表示形式.函数概念：一般地，设A , B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =f (x )，x ∈A .其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}()f x x A |∈叫做函数的值域.函数的三个要素：定义域，对应关系，值域.常见函数的三要素：正比例函数：y kx =的定义域是R ，值域也是R .对应关系f 把R 中的任意一个数x ，对应到R 中唯一确定的数(0)ax b a +≠.一次函数：(0)y ax b a =+≠的定义域是R ，值域也是R .对应关系f 把R 中的任意一个数x ，对应到R 中唯一确定的数(0)ax b a +≠.二次函数：2(0)y ax bx c a =++≠的定义域是R ，值域是B .当a >0时，244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭；当a <0时，244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭.对应关系f 把R 中的任意一个数x ，对应到B 中唯一确定的数2(0)ax bx c a ++≠.反比例函数：(0)k y k x=≠的定义域为{}0x x ≠，对应关系为“倒数的k 倍”，值域为{}0y y ≠.反比例函数用函数定义叙述为：对于非空数集{}0A x x =≠中的任意一个x 值，按照对应关系f ：“倒数(0)k k ≠倍”，在集合{}0B y y =≠中都有唯一确定的数k x 和它对应，那么此时f ：A B →就是集合A 到集合B 的一个函数，记作()(0),.k f x k x A x =≠∉2.例题讲解，理解概念例1.判断下列对应是否是函数【预设答案】（1）是（2）是（3）不是【设计意图】让学生体会函数只能是“一对一”或“多对一”，不能“一对多”.例2. 判断下列图象能表示函数图象的是（ ）【预设答案】D【设计意图】让学生体会概念中的“唯一”二字例3 .你能构建一个问题情景，使其中函数的对应关系为y=x (10-x )吗？【预设答案】长方形的周长为20，设一边长为x ，面积为y ，那么y=x （10-x ），其中x 的取值范围是A={x|0<x<10},y 的取值范围是B={y|0<y≤25}.对应关系f 把每一个长方形的边长x,对应到唯一确定的面积x(10-x)【设计意图】让学生体会数学建模，数学应用思想，同时巩固函数概念是建立在集合基础上的.3.课堂练习，巩固新知练习1.若函数y =f(x)的定义域为{x|−3≤x ≤8,x ≠5}，值域为{y|−1≤y ≤2,y ≠0}，则y =f(x)的图象可能是( )A. B.C. D.【答案】B分别由下表给出．则g(f(5))=；f(g(2))=．【答案】4 3练习3.集合A，B与对应关系f，如图所示，f：A→B是否为从集合A到集合B的函数？如果是，那么定义值域与对应关系各是什么？【答案】由图知A中的任意一个数，B中都有唯一确定数，与之对应，所以f：A→B 是从A 到B的函数定义域是A={1,2,3,4,5},值域C={2，3，4，5}4.构建一个问题情景，使其中的变量关系能用解析式y=√x来描述.【答案】正方形的面积为x,其边长为y，则y=√x，其中x的取值范围是A={x|0<x},y的取值范围是B={y|0<y}4.课堂小结，思想升华本节课主要是在集合的基础上重新定义了函数，让函数的概念更加清晰准确.。

3．1 函数的概念及其表示第1课时 函数的概念(一)教材要点(1)非空性：函数定义中的集合A ，B 必须是两个非空实数集．(2)任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值．(3)单值性：每一个自变量有唯一的函数值与之对应．(4)方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系．根底自测1.思考辨析(正确的画“√〞，错误的画“×〞)(1)函数的定义域和值域一定是无限集合．()(2)任何两个集合之间都可以建立函数关系．()(3)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．()(4)在函数的定义中，集合B 是函数的值域．()2．以下可作为函数y ＝f (x )的图象的是() 3．函数y ＝√x−1的定义域是()A ．{x |x ≥1}B ．{x |x ≤1}C ．{x |x ＞1}D ．{x |x ＜1}4．假设f (x )＝x －√x +1，那么f (3)＝________．题型1 函数关系的判断例1(1)以下从集合A 到集合B 的对应关系f 是函数的是()A ．A ＝{－1，0，1}，B ＝{0，1}，f ：A 中的数平方B ．A ＝{0，1}，B ＝{－1，0，1}，f ：A 中的数开方C ．A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数D ．A ＝{平行四边形}，B ＝R ，f ：求A 中平行四边形的面积(2)设A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤2}，能表示从集合A 到集合B 的函数关系的是()方法归纳(1)判断所给对应是否为函数的方法①首先观察两个数集A ，B 是否非空；②其次验证对应关系下，集合A 中x 的任意性，集合B 中y 的唯一性，既不能没有数y 对应数x ，也不能有多于一个的数y 对应x .(2)根据图形判断对应是否为函数的方法步骤①任取一条垂直于x 轴的直线l ；②在定义域内平行移动直线l ；③假设l 与图形有且只有一个交点，那么是函数；假设在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，那么不是函数．跟踪训练1(1)(多项选择)集合M ＝{－1，1，2，4}，N ＝{1，2，4}，给出以下四个对应关系：①y ＝x 2，②y ＝x ＋1，③y ＝x －1，④y ＝|x |.其中不能构成从M 到N 的函数的是()A ．①B ．②C ．③D ．④(2)图中所给图象是函数图象的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4题型2 求函数值例2设f (x )＝2x 2＋2，g (x )＝1x+2，(1)求f (2)，f (a ＋3)，g (a )＋g (0)(a ≠－2)；(2)求g (f (2))，f (g (2))．方法归纳函数求值的方法(1)f (x )的表达式时，只需用a 替换表达式中的x 即得f (a )的值．(2)求f (g (a ))的值应遵循由里往外的原那么． 跟踪训练2函数f (x )＝x+1x+2.(1)求f (2)；(2)求f (f (1))．题型3 求函数的定义域角度1 解析式求定义域例3(1)函数f (x )＝√1−x +1x+3的定义域为()A ．{x |－3＜x ≤0}B ．{x |－3＜x ≤1}C ．{x |x ＜－3或－3＜x ≤0}D ．{x |x ＜－3或－3＜x ≤1}(2)函数f (x )＝(x −12)0＋√x +2的定义域为() A ．{x|x ≥−2且x ≠12}B ．{x |x ≥－2}C ．{x|x ＞−2且x ≠12}D ．{x |x ＞－2}角度2 实际问题中函数的定义域例4如下图，用长为1的铁丝做一个下面为矩形、上面为半圆的框架，假设半圆的半径为x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数解析式，并写出它的定义域．方法归纳求给出解析式的函数的定义域的根本步骤常见函数的定义域(1)f (x )为整式型函数时，定义域为R ；(2)由于分式的分母不为0，所以当f (x )为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数的集合；(3)由于偶次根式的被开方数非负，所以当f (x )为二次根式型函数时，定义域为使被开方数非负的实数的集合；(4)函数y ＝x 0中的x 不为0；(5)如果函数是由一些简单函数通过四那么运算构成的，那么它的定义域是各个简单函数定义域的交集．跟踪训练3(1)函数f (x )＝√−x 2x 2−3x−2的定义域为() A ．{x |x ≤0}B ．{x|x ≤−12}C ．{x|x ≤0且x ≠−12}D ．{x|−12＜x ≤0}(2)函数y ＝√x+3x−2的定义域为________．易错辨析 忽略参数取值范围致误 例5假设函数f (x )＝√mx 2−mx+2的定义域为R ，那么实数m 的取值范围是________． 解析：函数f (x )＝√mx 2−mx+2的定义域为R ， 即mx 2－mx ＋2＞0恒成立．当m ＝0时，易知成立，当m ≠0时，需满足{m ＞0，Δ=m 2−8m ＜0，∴0＜m ＜8，综上所述，0≤m ＜8.答案：0≤m ＜8课堂十分钟1．以下各图中，一定不是函数图象的是()2．函数f (x )＝√1−3x x 的定义域为() A ．{x|x ≤13}B ．{x|x ＜13}C ．{x|0＜x ≤13} D ．{x|x ≤13且x ≠0}3．假设A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，以下图形中能表示以A 为定义域，B 为值域的函数的是()4．函数f (x )＝11+x ，又知f (t )＝6，那么t ＝________．5．函数f (x )＝1x+1+√x +2. (1)求f (x )的定义域；(2)假设a ＞0，求f (a －1)的值．第三章 函数的概念与性质3．1 函数的概念及其表示3． 函数的概念第1课时 函数的概念(一)新知初探·课前预习要点实数集 任意一个数x 唯一 x[根底自测]1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．答案：D3．答案：C4．答案：1题型探究·课堂解透例1解析：(1)对B ，集合A 中的元素1对应集合B 中的元素±1，不符合函数的定义；对C ，集合A 中的元素0取倒数没有意义，在集合B 中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对D ，A 集合不是数集，故不符合函数的定义．综上，选A.(2)A 中，函数的值域为{y |0≤y ≤2}，不满足条件；B 中，函数的值域为{y |0≤y ≤2}，不满足条件；C 中，在0≤x <2内，一个x 有两个y 与之对应，不满足条件；D 中，每个x 都满足函数的性质，是函数关系．应选D.答案：(1)A(2)D跟踪训练1解析：(1)①中，当x ＝4时，y ＝42＝16∉N ，故不能构成函数．②中，当x ＝－1时，y ＝－1＋1＝0∉N ，故不能构成函数；③中，当x ＝－1时，y ＝－1－1＝－2∉N ，故不能构成函数；④中，当x ＝±1时，y ＝|x |＝1∈N ，当x ＝2时，y ＝|x |＝2∈N ，当x ＝4时，y ＝|x |＝4∈N ，故构成函数．应选ABC.(2)根据函数的概念可知③④是函数的图象．应选B.答案：(1)ABC(2)B例2解析：(1)f (2)＝2×22＋2＝10；f (a ＋3)＝2(a ＋3)2＋2＝2a 2＋12a ＋20；g (a )＋g (0)＝1a+2+12；(2)g (f (2))＝g (10)＝110+2＝112；f (g (2))＝f (14)＝2×(14)2＋2＝178.跟踪训练2解析：(1)f (2)＝2+12+2＝34； (2)∵f (1)＝1+11+2＝23； ∴f (f (1))＝f (23)＝23+123+2＝58. 例3解析：(1)要使函数f (x )有意义，那么{1−x ≥0，x +3≠0，解得x ≤1且x ≠－3， 所以函数f (x )的定义域为{x |x ≤1且x ≠－3}，应选D.(2)要使函数f (x )有意义， 那么{x ≠12，x +2≥0，解得x ≥－2且x ≠12，应选A. 答案：(1)D(2)A例4解析：由题意知，AB ＝2x ，CD̂的长为πx ， 于是AD ＝1−2x−πx 2，∴y ＝2x ·1−2x−πx 2+πx 22， 即y ＝－π+42x 2＋x .由{2x >0，1−2x−πx 2>0，解得0<x <1π+2， ∴所求函数的定义域为(0，1π+2). 故所求的函数为y ＝－π+42x 2＋x (0<x <1π+2).跟踪训练3解析：(1)要使函数f (x )有意义，那么{−x ≥0，2x 2−3x −2≠0，解得x ≤0且x ≠－12，应选C. (2)∵函数解析式为y ＝√x+3x−2，∴x ＋3≥0且x ≠2，∴x ≥－3且x ≠2.答案：(1)C(2){x |x ≥－3且x ≠2} [课堂十分钟]1．答案：A2．答案：D3．答案：B 4．答案：－565．解析：(1)由{x +1≠0x +2≥0，解得x ≥－2且x ≠－1， 故f (x )的定义域为{x |x ≥−2且x ≠−1}；(2)假设a >0，f (a －1)＝1a−1+1+√a −1+2＝1a +√a +1.。

3.1.1 函数的概念课程标准(1)通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．(2)了解构成函数的三要素，能求简单函数的定义域．(3)能够正确使用“区间”的符号表示某些集合．(4)理解同一个函数的概念，能判断两个函数是否是同一个函数．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点一函数的概念要点二同一个函数如果两个函数的________相同，并且________完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数❷.要点三区间及有关概念1．一般区间的表示设a，b∈R，且a<b，规定如下：2.特殊区间的表示助学批注批注❶抓住两点：(1)可以“多对一”、“不可一对多”；(2)集合A中的元素无剩余，集合B中的元素可剩余．批注❷只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数．定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是相同的函数，因为函数对应关系不一定相同．批注❸这里的实数a与b都叫做相应区间的端点．区间的左端点一定要小于右端点，即a <b.基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．( )(2)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．( )(3)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.( )(4)区间是数集的另一种表示方法，任何数集都能用区间表示．( )2．下列选项中(横轴表示x轴，纵轴表示y轴)，表示y是x的函数的是( )A B C D3．区间(0，1)等于 ( )A．{0，1}B．{(0，1)}C．{x|0＜x＜1}D．{x|0≤x≤1}4．若f(x)＝x－√x+1，则f(3)＝________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型 1 函数的概念例1 (1)(多选)下列图形中是函数图象的是( )(2)下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是( ) A．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D．A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积方法归纳1．根据图形判断对应关系是否为函数的一般步骤2．判断一个对应关系是否为函数的方法巩固训练1 (多选)下列对应关系是集合A到集合B的函数的是( )A．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：x→y＝|x|B．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2C．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝√xD．A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0题型 2 求函数值(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x 例2 [2022·山东青岛高一期中]已知f(x)＝11+x∈R)．(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(3))的值．方法归纳求函数值的2种策略巩固训练2 已知函数f(x)＝x+1.x+2(1)求f(2)；(2)求f(f(1))．题型 3 求函数的定义域例3 求下列函数的定义域．； (2)y＝√x2−2x−3；(1)y＝2＋3x−2(3)y＝√3−x·√x−1； (4)y＝(x－1)0＋√2.x+1方法归纳求函数定义域的常用策略巩固训练3 (1)函数f (x )＝√1+x −1x的定义域是( )A ．[－1，0)∪(0，+∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0，+∞)D ．R(2)函数f (x )＝√−x 2+6x −5的定义域为________．题型 4 同一函数的判断例4 下面各组函数中表示同一个函数的是( ) A ．f (x )＝x ，g (x )＝(√x )2B ．f (t )＝|t |，g (x )＝√x 2C ．f (x )＝x 2−1x−1，g (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝|x |x ，g (x )＝{1，x ≥0−1，x <0方法归纳判断同一函数的三个步骤和两个注意点(1)判断同一函数的三个步骤(2)两个注意点：①在化简解析式时，必须是等价变形； ②与用哪个字母表示无关．巩固训练4 下列函数中与函数y ＝x 2是同一函数的是( ) A ．u ＝v 2B ．y ＝x ·|x |C ．y ＝x 3x D ．y ＝(√x )43．1.1 函数的概念新知初探·课前预习[教材要点]要点一实数集 任意一个数x 唯一 要点二定义域 对应关系 要点三1．(a ，b ) (a ，b ]2．(－∞，＋∞) [a ，＋∞) (a ，＋∞) (－∞，a ] (－∞，a )[基础自测]1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．解析：只有D 的函数图象与垂直于x 轴的直线至多有一个交点，故选D. 答案：D 3．答案：C4．解析：f (3)＝3－√3+1＝3－2＝1. 答案：1题型探究·课堂解透例1 解析：(1)A 中至少存在一处如x ＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A 中至少有一个元素在集合B 中对应的元素不唯一，故A 不是函数图象，其余B ，C ，D 均符合函数定义．(2)对于选项B ，集合A 中的元素1对应集合B 中的元素±1，不符合函数的定义；对于选项C ，集合A 中的元素0取倒数没有意义，在集合B 中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对于选项D ，A 集合不是数集，故不符合函数的定义．答案：(1)BCD (2)A巩固训练1 解析：选项A 中，对于A 中的任意一个实数x ，在B 中都有唯一确定的数y 与之对应，故是A 到B 的函数．选项B 中，对于集合A 中的任意一个整数x ，按照对应关系f ：x →y ＝x 2在集合B 中都有唯一一个确定的整数x 2与其对应，故是集合A 到集合B 的函数．选项C 中，集合A 中的负整数没有平方根，在集合B 中没有对应的元素，故不是集合A 到集合B 的函数．选项D 中，对于集合A 中任意一个实数x ，按照对应关系f ：x →y ＝0在集合B 中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A 到集合B 的函数．答案：ABD例2 解析：(1)∵f (x )＝11+x ，∴f (2)＝11+2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6. (2)∵g (3)＝32＋2＝11，∴f (g (3))＝f (11)＝11+11＝112.巩固训练2 解析：(1)f (2)＝2+12+2＝34； (2)∵f (1)＝1+11+2＝23；∴f (f (1))＝f (23)＝23+123+2＝58.例3 解析：(1)当且仅当x －2≠0，即x ≠2时，函数y ＝2＋3x−2有意义，所以这个函数的定义域为{x |x ≠2}．(2)要使函数有意义，需x 2－2x －3≥0，即(x －3)(x ＋1)≥0，所以x ≥3或x ≤－1，即函数的定义域为{x |x ≥3或x ≤－1}．(3)函数有意义，当且仅当{3−x ≥0，x −1≥0，解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x |1≤x ≤3}．(4)函数有意义，当且仅当{x −1≠0，2x+1≥0，x +1≠0，解得x >－1，且x ≠1，所以这个函数的定义域为{x |x >－1且x ≠1}．巩固训练3 解析：(1)由{1+x ≥0x ≠0，解得：x ≥－1且x ≠0.∴函数f (x )＝√1+x −1x 的定义域是[－1，0)∪(0，+∞)． (2)由－x 2＋6x －5≥0，得x 2－6x ＋5≤0，(x －1)(x －5)≤0， 解得1≤x ≤5，所以函数的定义域为[1，5]. 答案：(1)A (2)[1，5]例4 解析：对于A ，f (x )＝x 的定义域为R ，而g (x )＝(√x )2的定义域为[0，＋∞)，两函数的定义域不相同，所以不是同一个函数；对于B ，两个函数的定义域都为R ，定义域相同，g (x )＝√x 2＝|x |，这两个函数是同一个函数；对于C ，f (x )＝x 2−1x−1的定义域为{x |x ≠1}，而g (x )＝x ＋1的定义域是R ，两个函数的定义域不相同，所以不是同一个函数；对于D ，f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ≠0}，而g (x )＝{1，x ≥0−1，x <0的定义域是R ，两个函数的定义域不相同，所以不是同一个函数．答案：B巩固训练4 解析：函数y ＝x 2的定义域为R ，对于A 项，u ＝v 2的定义域为R ，对应法则与y ＝x 2一致，则A 正确；对于B 项，y ＝x ·|x |的对应法则与y ＝x 2不一致，则B 错误；对于C 项，y ＝x 3x 的定义域为{x |x ≠0}，则C 错误；对于D 项，y ＝(√x )4的定义域为{x |x ≥0}，则D 错误；故选A.答案：A。

3.1 函数的概念及其表示3.1.1 函数的概念第一课时函数的概念(一)课标要求素养要求1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.1.通过对函数概念的理解，提升数学抽象素养.2.通过求简单函数的定义域，提升数学运算素养.新知探究某物体从高度为44.1 m的空中自由下落，物体下落的距离s(m)与所用时间t(s)的平方成正比，这个规律用数学式子可以描述为s＝12gt2，其中g取9.8 m/s2.问题1时间t和物体下落的距离s有何限制？提示0≤t≤3，0≤s≤44.1.问题2时间t(0≤t≤3)确定后，下落的距离s确定吗？提示确定.问题3下落后的某一时刻能同时对应两个距离吗？提示不能.函数的概念注意函数概念中的任意性、唯一性拓展深化『微判断』1.函数的定义域和值域一定是无限集合.(×)提示函数的定义域和值域也可能是有限集，如f(x)＝1.2.根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.(×)提示根据函数的定义，对于定义域中的任意一个数x，在值域中都有唯一确定的数y与之对应.3.在函数的定义中，集合B是函数的值域.(×)提示在函数的定义中，函数的值域是集合B的子集.『微训练』1.函数y＝x－1的定义域是________.『解析』只需满足x－1≥0，∴x≥1.『答案』{x|x≥1}2.若f(x)＝x2－x＋1，则f(3)＝________.『解析』f(3)＝9－3＋1＝9－2＝7.『答案』7『微思考』1.在函数的概念中，如果函数y＝f(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？提示确定，一一对应.2.如果函数y＝f(x)的定义域、值域确定，那么对应关系确定吗？提示不确定，例如函数的定义域为A＝{－1，0，1}，值域为B＝{0，1}，则对应关系f(x)＝x2或f(x)＝|x|均可.题型一函数关系的判断角度1给出三要素判断是否为函数『例1－1』判断下列对应是否为集合A到集合B的函数.(1)A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x；(4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0.解(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数. (2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数.(3)集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A 到集合B的函数.(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数.角度2给出图形判断是否为函数图象『例1－2』下列图形中不是函数图象的是()『解析』A中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一，故A不是函数图象，其余B，C，D均符合函数定义.『答案』 A规律方法 1.根据图形判断对应关系是否为函数的方法(1)任取一条垂直于x轴的直线l；(2)在定义域内平行移动直线l；(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.2.判断一个对应关系是否为函数的方法『训练1』(1)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是()(2)已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4}，给出下列四个对应关系：①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|，其中能构成从M到N的函数是()A.①B.②C.③D.④『解析』(1)A中的定义域不是{x|－2≤x≤2}，C中图形不满足唯一性，D中的值域不是{y|0≤y≤2}，故选B.(2)只有y＝|x|是符合题意的对应关系，故选D.『答案』(1)B(2)D题型二求函数值『例2』已知f(x)＝11＋x(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f『g(3)』的值.解(1)∵f(x)＝11＋x，∴f(2)＝11＋2＝13.又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.(2)∵g(3)＝32＋2＝11，∴f『g(3)』＝f(11)＝11＋11＝112.规律方法求函数值的方法及关注点(1)方法：①已知f(x)的『解析』式时，只需用a替换『解析』式中的x即得f(a)的值；②求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.(2)关注点：用来替换『解析』式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则求值无意义.『训练2』已知函数f(x)＝x＋1 x＋2.(1)求f(2)；(2)求f『f(1)』.解 (1)∵f (x )＝x ＋1x ＋2，∴f (2)＝2＋12＋2＝34.(2)f (1)＝1＋11＋2＝23，f 『f (1)』＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23＋123＋2＝58.题型三 求函数的定义域 角度1 求具体函数的定义域 『例3－1』 求下列函数的定义域： (1)y ＝(x －1)0＋2x ＋1； (2)y ＝（x ＋1）2x ＋1＋1－x .解 (1)要使函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，2x ＋1≥0，x ＋1≠0，解得x >－1且x ≠1，所以这个函数的定义域为{x |x >－1且x ≠1}.(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，解得x ≤1且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}.角度2 求抽象函数的定义域『例3－2』 已知函数f (x －1)的定义域为{x |－2≤x ≤3}，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A.{x |－1≤x ≤9}B.{x |－3≤x ≤7}C.{x |－2≤x ≤1}D.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－2≤x ≤12 『解 析』 ∵函数y ＝f (x －1)的定义域为{x |－2≤x ≤3}，∴－2≤x ≤3，则－3≤x －1≤2，即函数f (x )的定义域为{x |－3≤x ≤2}. ∴对函数f (2x ＋1)，有－3≤2x ＋1≤2，解得－2≤x ≤12.即函数f (2x ＋1)的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－2≤x ≤12.『答 案』 D角度3 求实际问题中函数的定义域『例3－3』 如图所示，用长为1的铁丝做一个下面为矩形、上面为半圆的框架，若半圆的半径为x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数. 解 由题意知，AB ＝2x ，CD ︵的长为πx ， 于是AD ＝1－2x －πx2，∴y ＝2x ·1－2x －πx 2＋πx 22，即y ＝－π＋42x 2＋x .由⎩⎪⎨⎪⎧2x >0，1－2x －πx 2>0，解得0<x <1π＋2，∴所求函数的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫0，1π＋2. 故所求的函数为y ＝－π＋42x 2＋x ⎝⎛⎭⎪⎫0<x <1π＋2. 规律方法 求函数定义域时，要注意应用下列原则： (1)如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R .(2)如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合. (3)如果f (x )是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合.(4)如果f (x )是由几部分构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，也就是使各部分有意义的实数的集合的交集.(5)如果f (x )是根据实际问题列出的，那么函数的定义域是使『解 析』式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.(6)复合函数的定义域就是使所有式子都有意义的自变量的取值范围，注意相同的对应法则所作用对象的范围是一致的. 『训练3』 (1)函数f (x )＝2x －1x 2－1的定义域为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12 B.{x |x >1}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x <1或x >1 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤12或x >1 (2)设全集为R ，函数f (x )＝2－x 的定义域为M ，则∁R M 为( ) A.{x |x >2} B.{x |x <2} C.{x |x ≤2}D.{x |x ≥2}(3)已知函数f (x ＋2)的定义域为{x |－2<x <0}，则函数f (2x －2)的定义域为( ) A.{x |0<x <2}B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <12 C.{x |1<x <2}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <0『解 析』 (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足 ⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x 2－1≠0，解得⎩⎨⎧x ≥12，x ≠±1， 即x ≥12且x ≠1，故选C.(2)自变量x 的取值必须满足2－x ≥0，即x ≤2， ∴M ＝{x |x ≤2}，∴∁R M ＝{x |x >2}，故选A.(3)由题意知－2<x<0，∴0<x＋2<2，即f(x)的定义域为{x|0<x<2}，∴0<2x－2<2，解得1<x<2.故f(2x－2)的定义域是{x|1<x<2}.『答案』(1)C(2)A(3)C一、素养落地1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象、数学运算素养.2.函数符号“y ＝f (x )”是数学中抽象符号之一，“y ＝f (x )”仅为y 是x 的函数的数学表示，不表示y 等于f 与x 的乘积，f (x )也不一定是『解 析』式，还可以是图表或图象. 二、素养训练1.下列关于函数y ＝f (x )的说法正确的是( )①y 是x 的函数；②x 是y 的函数；③对于不同的x ，y 也不同；④f (a )表示x ＝a 时，f (x )的函数值是一个常数. A.①④ B.②③ C.①③D.②④『解 析』 根据函数的定义，对于不同的x ，y 可以相同，例如f (x )＝1. 『答 案』 A2.已知函数f (x )＝3x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A.1aB.3aC.aD.3a『解 析』 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝31a ＝3a .故选D.『答 案』 D3.下列函数中定义域为R 的是( ) A.y ＝x B.y ＝(x －1)0 C.y ＝x 2＋3D.y ＝1x 『解 析』 A 中x ≥0，B 中要求x ≠1，D 中x ≠0.故选C. 『答 案』C高中数学人教A 版（新教材）必修第一册11 4.函数f (x )＝1－3x x 的定义域为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x ≤13 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <0或0<x ≤13 『解 析』 要使f (x )有意义，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧1－3x ≥0，x ≠0，即x ≤13且x ≠0，故选D. 『答 案』 D5.若A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，下列图形中能表示以A 为定义域，B 为值域的函数的是( )『解 析』 A 中值域为{y |0≤y ≤2}，故错误；C ，D 中值域为{1，2}，故错误，故选B.『答 案』 B。

§3．1．1 函数的概念导学目标：1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。

2．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．（预习教材P59~ P66，回答下列问题）回忆：初中学习的函数概念是什么？设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，则称x是自变量，y是x的函数；其中自变量x的取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y的值叫做函数的值域。

情景：请同学们考虑以下两个问题：①1y=是函数吗？②y x=和2xyx=是同一个函数吗？为了得到函数更准确的定义，我们一起看下面几个函数，回答相应的问题：问题一：某“复兴号”高速列车加速到350km后保持匀速运行半小时，这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t(单位：h）的关系可以表示为350S t=．①思考1：有人说：“根据对应关系350S t=，这趟列车加速到50/km t后，运行1h就前进了350km．”你认为这个说法正确吗?本题中，t和S是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S是t的函数．第二章 一元二次函数、方程和不等式- 2 -问题二：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资。

显然，工人一周的工资w （元）和他一周工作天数d （天）的关系可表示为350w d ．②思考2：问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么?问题三：下图是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图．如何根据该图确定这一天内任一时刻t 的空气质量指数的值I ？思考3：本题中变量I 是变量t 的函数吗？问题四：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。

新教材必修第一册3.1.1：函数的概念及其表示课标解读：1.函数的概念.（理解）2.函数的定义域.（掌握）3.函数的值域.（理解）4.区间的概念.（了解）学习指导：函数的概念是初中函数知识的基础上出现的全新的现代定义方式（利用集合语言定义函数），相对来说比较抽象，学习时要注意对概念的理解、三要素的把握、数形结合，重点理解定义中的“任意性、存在性、唯一性”，要通过适量的练习加以巩固，为后续的学习打牢基础.此部分题目灵活多变，要学会举一反三，领悟核心要素.知识导图：教材全解知识点1：函数的概念1.函数的传统定义（变量说）一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就称x是自变量，y是x的函数.2.函数的现代定义（对于关系说）一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称:f A →B 为集合A 到集合B 的一个函数，记作.),(A x x f y ∈=其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合}|)({A x x f ∈叫做函数的值域.显然，值域是集合B 的子集.例1-1：下列对应关系是集合A 到集合B 的函数的为A. ||:},0|{,x y x f y y B R A =→>==B. 2:,,x y x f Z B Z A =→==C. x y x f Z B Z A =→==:,,D. 0:},0{],1,1[=→=-=y x f B AE. }6,5,4{},3,2,1{==B A ，对应关系如图所示：答案：A 不是 B 是 C 不是 D 是 E 不是变式训练：由下列式子是否确定y 是x 的函数？（1）222=+y x ；（2）;111=-+-y x （3）.12x x y -+-=答案：（1）不能确定；（2）能确定；（3）不能确定.知识点2：函数的三要素由函数的概念知，一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域.1.定义域函数的定义域是自变量的取值范围.在函数关系的表述中，函数的定义域有时可以忽略，这时就约定这个函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合.在实际问题中，函数的定义域还要受到自变量实际意义的制约.2.对应关系对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”.按照这一“程序”，从定义域A中任何取一个x，可得到值域}fyy∈=中唯一的yx),(|{Ax与之对应.同一“f”可以“操作”不同形式的变量.3.值域函数值域是函数值的集合，通常一个函数的定义域和对应关系确定，它的值域也就随之确定了.例2-2：下列说法不正确的是（）A.定义域与对应关系后，函数值域也就确定了B.函数的定义域是无限集，则值域也是无限集C.若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素D.对于)(=不随着x的变化而变化，所以5x)0(=f也成立.xf∈,5,)(xfR答案：B例2-3：下列说法正确的是（）A.函数值域中每一个数在定义域中一定有一个数与之对应B.函数的定义域和值域可以是空集C.函数的定义域和值域一定是数集D.函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了答案：C例2-4：下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是（ ）A.}11|{≤≤-x yB. RC.}32|{≤≤x yD.}1,0,1{-答案：D例2-5：下列函数的定义域不是R 的是（ ）A. 1+=x yB.2x y =C.x y 1= D.x y 2=答案：C例2-6：已知函数1)(2-+=x x x f ；（1）求);1(),1(),(+a f x f x f（2）,5)(=b f 求.b（2）32-=或b知识点3：函数的相等只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才相等，即是同一个函数.例3-7：下列表示同意函数的是（ ）A.2)()(,)(x x g x x f ==B.1)(,1)(22+=+=t t g x x fC.x xx g x f ==)(,1)( D.||)(,)(x x g x x f ==答案：B知识点4：区间区间的概念： 设b a ,是两个实数，且b a <，R b a ∈,，规定.),(}|{),(},|{),(}|{],(},|{),[}|{),(},|{],[R b x x b a x x a b x a x b a b x a x b a b x a x b a b x a x b a =+∞-∞<=-∞>=+∞≤<=<≤=<<=≤≤= ),(],,[b a b a 分别叫做闭区间、开区间；],(),,[b a b a 叫做半开半闭区间；b a ,叫做相应区间的端点.注意点：（1）区间符号内的两个字母或数之间用“，”隔开. （2）∞读作无穷大，它是一个符号，不是一个数.（3）开区间（b a ,）与平面上的点（b a ,）要区分开，在读题时注意结合上下文加以区别.（4）在数轴上表示区间时，用实心点表示端点在区间内，用空心点表示端点不在区间内.例4-8：用区间表示下列数集：（1）}1|{≥x x = ；（2）}32|{≤<x x = ；（3）=≠->}21|{x x x 且 ；（4）R= ；（5）=<≤-⋂-≤}25{}1|{x x x ；（6）=<<⋂<}209{}9|{x x x .答案：（1）),1[+∞ （2）]32(，（3）),2()2,1(+∞⋃- （4）),(+∞-∞ （5）[-5，-1] （6）)20,9()9,(⋃-∞例4-9：求解下列问题（1）区间],1[a a -关于原点对称，求a 及该区间.（2）区间]12,[-a a 的右端点为3，求a 及该区间.例4-10：设集合},0|{},0)3)(2(|{>=≥--=x x T x x x S 则=⋂T S （ ）A.]3,2[B.),3[]2,(+∞⋃-∞C.),3[+∞D.),3[]2,0(+∞⋃答案：D重难拓展知识点5：抽象函数与复合函数1.抽象函数的概念没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数.2.复合函数的概念若函数)(t f 的定义域为A ，函数)(x g t =的定义域为D ，值域为C ，则当A C ⊆时，称函数))((x g f y =为)(t f 与)(x g 在D 上的复合函数.3.抽象函数或复合函数的定义域理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点：（1）函数)(x f 的定义域是指x 的取值所组成的集合；（2）函数))((x f ϕ的定义域是指x 的取值范围，而不是)(x ϕ的范围；（3）)(t f ，))((x f ϕ，))((x h f 三个函数中的t ，)(x ϕ，)(x h 在对应关系在f 下的范围相同；（4）已知)(x f 的定义域为A ，求))((x f ϕ的定义域，其实质是已知)(x ϕ的范围（值域）为A ，求出x 的取值范围；（5）已知))((x f ϕ的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知))((x f ϕ中的x 的取值范围B ，求出)(x ϕ的范围（值域），此范围就是)(x f 的定义域.例5-11：下列函数中，是符合函数的是（ ）A.32)(x x x f +=B.1)(+=x x fC.为常数）（k x k x x x f ++=2)(D.x x f 2)(=答案：B例5-12：函数)(x f 的定义域为),0(+∞，且对定义域的任意y x ,都有)()()(y f x f xy f +=，如1)2(=f ，则)2(f 的值为（ ）A. 2-B.21-C.21D.2答案：C题型与方法题型1：一元二次不等式的解法例13：（多选题）下列对应关系f 是从集合A 到集合B 的函数的有（ ）.A. A={1,2,3}，B={7,8,9}，f(1)=f(2)=7，f(3)=8B. A=Z ，B={-1,1}，n 为奇数时，1)(-=n f ，n 为偶数时，1)(=n fC. A=B={1,2,3}，12)(-=x x fD. A=B=12)(},1|{+=-≥x x f x x答案：ABD题型2：求函数值例14：已知.2)(),1(11)(2+=-≠+=x x g x x x f（1）求)2(f 和);2(g（2）求));(()),2((x g f f g（3）若4))((1=x g f ，求x .例15：已知函数)(x f 对任意正实数b a ,，都有).()()(b f a f ab f +=（1）求)1(f 的值；（2）若为常数）（q p q f p f ,)3(,)2(==，求)36(f 的值.答案：（1）0)1(=f （2）.22)36(q p f +=题型3：函数的定义域问题1.已知解析式求函数的定义域：（1）;32+-=x y （2）;11)(+-=x x f（3）;11x x y -+-= （4）.112-+=x x y答案：}.1|){4(}1|){3(}1|){2(};|){1(±≠=≠∈x x x x x x R x x变式训练：函数2322---=x x x y 的定义域为（ ）. A.]0,(-∞ B.]21,(--∞ C.]0,21(]21,(-⋃--∞ D.]0,21(-答案：C2.求实际问题中函数的定义域例17：如图，用长为1的铁丝做一个下部为矩形、上部为半圆的框架，若半圆的半径为x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数.答案：).210(242+<<++-=ππx x x y3.求抽象函数或复合函数的定义域（1）已知)(x f 的定义域，求))((x g f 的定义域例18：已知函数,32)(2++-=x x x f 则)23(-x f 的定义域为 .答案：]3531[，（2）已知))((x g f 的定义域，求)(x f 的定义域例19：已知的)1(2-x f 定义域[0,3]，则)(x f 的定义域为 .答案：[-1,8]（3）已知))((x g f 的定义域，求))((x h f 的定义域例20：若函数)1(+x f 的定义域为]2,21[-，则函数)1(-x f 的定义域为 . 答案：]4,23[（4）求运算型抽象函数的定义域例21：已知函数)(x f 的定义域为[0,1]，求函数)0)(()()(>-++=m m x f m x f x g 的定义域. 答案：当210≤<m ，函数)(x g 的定义域为}1|{m x m x -≤≤.变式训练：设函数1)(-=x x f ，则)()2(x f f +的定义域为（ ）.A.]421[， B.]42[， C.)1[∞+， D.]241[， 答案：B4.定义域的逆向问题 例22：已知函数182++=bx ax y 的定义域为[-3,6]，则a 的值为 ,b 的值为 . 答案：-1 3例23：已知函数13122+++=kx x k kx y 的定义域为R ，则实数k 的值为 . 答案：0题型4：函数的值域问题1.求函数的值域例24：求下列函数的值域（1）};5,4,3,2,1{,1∈+=x x y （2）；)3,0[,322∈+-=x x x y（3）;312-+=x x y （4）.12--=x x y例25：函数152222++++=x x x x y 的值域为 . 答案：]6,2(4.下列函数中值域是),0(+∞的是（ ）A.232++=x x yB.212++=x x yC.||1x y = D.12+=x y 答案：C2.函数值域的逆向问题例26：已知函数1822+++=x nx mx y 的定义域为R ，值域为[1,9]，则m 的值为 ;n 的值为 . 答案：5 5易错提醒易错1：求函数定义域时非等价化简解析式致误 例27：函数22+⋅-=x x y 的定义域为 . 答案：),2[+∞易错2：用换元法求值域时，忽略中间变量的取值范围致错 例28：函数12++=x x y 的值域为 .易错3：误认为))((x g f 与))((x h f 中“x ”含义相同例29：已知)2(+x f 的定义域为[1,2]，则)12(+x f 的定义域为 .感知高考考向1：函数的概念例32：定义在R 上的函数)(x f 满足)(2)1(x f x f =+，若当10≤≤x 时，)1()(x x x f -=，则当01≤≤-x 时，)(x f = .考向2：函数的定义域例33：函数267x x y -+=的定义域是 . 答案：[-1,7]考向3：函数值例35：设函数13)(23++=x x x f .已知0≠a ，且R x a x b x a f x f ∈--=-,))(()()(2，则实数=a,b= .答案：-2 1基础巩固： 1.函数x x y -++=211的定义域为（ ） A.]2,0[ B.]2,1()1,(-⋃--∞ C.)2,1()1,(-⋃--∞ D.)2,(-∞2.已知函数,1)(xx x f +=则)2()2(-+f f 的值是（ ）A. -1B. 0C. 1D. 2 3.下列函数，值域为),0(+∞的是（ ） A.x y = B.xy 1=C.x y 1= D.12+=x y4.与函数x y =是同一个函数的是（ ）A.||x y =B.33x y = C.2x y = D.xx y 2=5.函数145-+=x x y 的值域是（ ） A.)5,(-∞ B.),5(+∞ C.),5()5,(+∞⋃-∞ D.),1()1,(+∞⋃-∞ 6.若函数)23(x f y -=的定义域为[-1,2]，则函数)(x f 的定义域是（ ） A.]1,25[-- B.]2,1[- C.]5,1[- D.]2,21[7.已知等腰三角形ABC 的周长为10，底边长y 关于腰长x 的函数关系式为x y 210-=，则此函数的定义域为（ ）A.RB.}0|{>x xC.}50|{<<x xD.}525|{<<x x8.已知函数21)(2+=x x f ，则)(x f 的值域是（ ） A.]21,(-∞ B.),21[+∞ C.]21,0( D.),0(+∞能力提升9.若函数)(x f 与函数xxx g -=1)(是相等函数，则函数)(x f 的定义域是（ ）. A.)0,(-∞ B.]1,0()0,(⋃-∞ C.)1,0()0,(⋃-∞ D.),1[+∞ 10.)2(1≥--=x x x y 的值域为（ ）.A.)43,(--∞ B.]43,(--∞ C.]1,(--∞ D.)1(--∞，11.已知定义在R 上函数)(x f 的值域也是R ，并且对任意R y x ∈,，都有xy y xf f =))((，则|)2020(|f 等于（ ）.A. 0B. 1C. 2020²D. 202012.已知)),(()(),0()(2x f f x g a c bx ax x f =>++=若)(x g 的值域为),2[+∞，)(x f 的值域为）+∞,[k ，则实数k 的最大值为（ ）.A. 0B. 1C. 2D. 413.（多选题）已知集合}40|{},20|{≤≤=≤≤=y y B x x A ，则下列对应关系，能够构成A 为定义域，B 为值域的函数的是（ ）A.x y 2=B.2x y =C.|24|x y -=D.5+=x yE.2)2(-=x y 14.已知函数)(),(x g x f 分别由下表给出：则))1((g f 的值为 ，满足))(())((x f g x g f >的x 的值是 .15.已知2211)(x x x f +-=，那么)4()3()2()1()0()21()31()41(f f f f f f f f +++++++的值为 .16.求下列函数的值域.（1）x x x f 2)(2-=，其定义域为A={0,1,2,3}； （2）;642+-=x x y（3）12122++++=x x x x y .17.已知4)(),2(21)(+=≠-=x x g x xx f . （1）求)1(),1(g f 的值； （2）求))1(()),1((f g g f 的值； （3）求))(()),((x f g x g f 的解析式.18.已知函数)(=-ff⋅f+--⋅yfgyxg，求xgxfy==)1(,0(=,1f同时满足1x),(xg)1)0(((()))((),)gg的值.0(g)2(),1(),参考答案1. B2. B3. B4. B5. C6. C7. D8. C9. B 10. C 11. D 12. C 13. ABCE 14. 1 2 15. 116. （1）{-1,0,3} （2）),2[+∞ （3）),43[+∞17. （1） 5)1(,1)1(==g f ；（2）31))1((-=g f ，5))1((=f g ；（3）2,21))((-≠--=x xx g f ； .2,421))((≠+-=x xx f g 18..1)2(,0)1(,1)0(-===g g g。

【新教材】3.1.1 函数的概念（人教A版）函数在高中数学中占有很重要的比重，因而作为函数的第一节内容，主要从三个实例出发，引出函数的概念.从而就函数概念的分析判断函数，求定义域和函数值，再结合三要素判断函数相等.课程目标1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则。

2.掌握判定函数和函数相等的方法。

3.学会求函数的定义域与函数值。

数学学科素养1.数学抽象：通过教材中四个实例总结函数定义；2.逻辑推理：相等函数的判断；3.数学运算：求函数定义域和求函数值；4.数据分析：运用分离常数法和换元法求值域；5.数学建模：通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，提高学生的抽象概括能力。

重点：函数的概念，函数的三要素。

难点：函数概念及符号y=f(x)的理解。

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，那么在初中函数是怎样定义的？高中又是怎样定义？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本60-65页，思考并完成以下问题1. 在集合的观点下函数是如何定义？函数有哪三要素？2. 如何用区间表示数集？3. 相等函数是指什么样的函数？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个属x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)x∈A.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)3．其它区间的表示四、典例分析、举一反三题型一 函数的定义例1下列选项中(横轴表示x 轴,纵轴表示y 轴),表示y 是x 的函数的是( )【答案】D解题技巧：（判断是否为函数）1.（图形判断）y 是x 的函数,则函数图象与垂直于x 轴的直线至多有一个交点.若有两个或两个以上的交点,则不符合函数的定义,所对应图象不是函数图象.2.（对应关系判断）对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系；“一对多”的不是函数关系. 跟踪训练一1.集合A={x|0≤x ≤4},B={y|0≤y ≤2},下列不表示从A 到B 的函数的是( )【答案】C题型二 相等函数例2 试判断以下各组函数是否表示同一函数:(1)f(x)=(√x )2,g(x)=√x 2;(2)y=x 0与y=1(x ≠0);(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z). 【答案】见解析【解析】:(1)因为函数f(x)=(√x )2的定义域为{x|x≥0},而g(x)=2的定义域为{x|x ∈R},它们的定义域不同,所以它们不表示同一函数.(2)因为y=x 0要求x ≠0,且当x ≠0时,y=x 0=1,故y=x 0与y=1(x ≠0)的定义域和对应关系都相同,所以它们表示同一函数.(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z)两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故它们不表示同一函数. 解题技巧：(判断函数相等的方法) 定义域优先原则1.先看定义域，若定义域不同，则函数不相等.2.若定义域相同，则化简函数解析式，看对应关系是否相等. 跟踪训练二1.试判断以下各组函数是否表示同一函数: ①f(x)=x 2-x x,g(x)=x-1;②f(x)=√x x,g(x)=√x;③f(x)=√(x +3)2,g(x)=x+3;④f(x)=x+1,g(x)=x+x 0;⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t ≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x ≤5). 其中表示相等函数的是 (填上所有正确的序号). 【答案】⑤【解析】①f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数; ②f(x)与g(x)的解析式不同,不是同一函数; ③f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式不同,不是同一函数; ④f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;⑤f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同,是同一函数. 题型三 区间例3已知集合A={x|5-x ≥0},集合B={x||x|-3≠0},则A ∩B 用区间可表示为 . 【答案】(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5] 【解析】∵A={x|5-x ≥0},∴A={x|x ≤5}. ∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x ≠±3}. ∴A ∩B={x|x<-3或-3<x<3或3<x ≤5}, 即A ∩B=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]. 解题技巧：（如何用区间表示集合）1.正确利用区间表示集合,要特别注意区间的端点值能否取到,即“小括号”和“中括号”的区别.2.用区间表示两集合的交集、并集、补集运算时,应先求出相应集合,再用区间表示. 跟踪训练三1.集合{x|0<x<1或2≤x ≤11}用区间表示为 .2. 若集合A=[2a-1,a+2],则实数a 的取值范围用区间表示为 . 【答案】(1)(0,1)∪[2,11] (2)(-∞,3)【解析】 (2)由区间的定义知,区间(a,b)(或[a,b])成立的条件是a<b. ∵A=[2a-1,a+2],∴2a-1<a+2.∴a<3, ∴实数a 的取值范围是(-∞,3). 题型四 求函数的定义域 例4 求下列函数的定义域: (1)y=(x+2)|x |-x; (2)f(x)=x 2-1x -1−√4-x .【答案】(1) (-∞,-2)∪(-2,0) (2) (-∞,1)∪(1,4]【解析】(1)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足{x +2≠0,|x |-x ≠0,即{x ≠-2,|x |≠x ,解得x<0,且x ≠-2.故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).(2)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足{4-x ≥0,x -1≠0,即{x ≤4,x ≠1.故原函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4]. 解题方法（求函数定义域的注意事项）(1)如果函数f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R;(2)如果函数f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数组成的集合;(3)如果函数f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数组成的集合; (4)如果函数f(x)是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成的,那么函数的定义域是使各式子都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集). 跟踪训练四1.求函数y=√2x +3√2-x1x的定义域.2.已知函数f(x)的定义域是[-1,4],求函数f(2x+1)的定义域. 【答案】(1){x |-32≤x <2,且x ≠0} (2)[-1,32]【解析】(1)要使函数有意义,需{2x +3≥0,2-x >0,x ≠0,解得-32≤x<2,且x ≠0,所以函数y=√2x +32-x1x的定义域为{x |-32≤x <2,且x ≠0}.(2)已知f(x)的定义域是[-1,4],即-1≤x≤4. 故对于f(2x+1)应有-1≤2x+1≤4, ∴-2≤2x≤3,∴-1≤x≤32. ∴函数f(2x+1)的定义域是[-1,32]. 题型五 求函数值（域） 例5(1)已知f(x)＝11+x(x ∈R ，且x ≠－1)，g(x)＝x 2＋2(x ∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________. (2)求下列函数的值域：①y ＝x ＋1；②y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； ③y ＝3x−11+x ；④y ＝2x －√x −1. 【答案】（1）1317（2）① R ② [2,6)③ {y|y ∈R 且y≠3}④⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞ 【解析】(1) ∵f(x)＝11＋x ，∴f(2)＝11＋2＝13.又∵g(x)＝x 2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6， ∴f(g(2))＝f(6)＝11＋6＝17.(2) ①(观察法)因为x ∈R ，所以x ＋1∈R ，即函数值域是R.②(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．③(分离常数法)y ＝3x －1x ＋1＝3x ＋3－4x ＋1＝3－4x ＋1.∵4x ＋1≠0，∴y≠3， ∴y ＝3x －1x ＋1的值域为{y|y ∈R 且y≠3}．④(换元法)设t ＝x －1，则t≥0且x ＝t 2＋1，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞.解题方法（求函数值（域)的方法）1.已知f(x)的表达式时,只需用数a 替换表达式中的所有x 即得f(a)的值.2.求f(g(a))的值应遵循由内到外的原则.3. 求函数值域常用的4种方法（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；（2）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法或二次函数图像求其值域；（3）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为 “反比例函数类”的形式，便于求值域；（4）换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对于f （x ）=ax+b+√cx +d （其中a ，b ，c ，d 为常数，且a ≠0）型的函数常用换元法. 跟踪训练五1.求下列函数的值域：(1)y ＝√2x +1 ＋1；(2)y ＝1−x 21+x 2. 【答案】(1) [1，＋∞) (2)(－1,1]【解析】(1)因为2x ＋1≥0，所以2x ＋1＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)． (2)因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x2，又函数的定义域为R ，所以x 2＋1≥1，所以0＜21＋x 2≤2，则y ∈(－1,1]． 所以所求函数的值域为(－1,1]. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计 七、作业课本67页练习、72页1-5本节课主要通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，尤其在求抽象函数定义域时，先根据特殊函数的规律总结一般规律.。

3.1.1 函数的概念教材分析函数在高中数学中占有很重要的比重，因而作为函数的第一节内容，主要从三个实例出发，引出函数的概念.从而就函数概念的分析判断函数，求定义域和函数值，再结合三要素判断函数相等.教学目标与核心素养课程目标1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则。

2.掌握判定函数和函数相等的方法。

3.学会求函数的定义域与函数值。

数学学科素养1.数学抽象：通过教材中四个实例总结函数定义；2.逻辑推理：相等函数的判断；3.数学运算：求函数定义域和求函数值；4.数据分析：运用分离常数法和换元法求值域；5.数学建模：通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，提高学生的抽象概括能力。

教学重难点重点：函数的概念，函数的三要素。

难点：函数概念及符号y=f(x)的理解。

课前准备教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程一、情景导入初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，那么在初中函数是怎样定义的？高中又是怎样定义？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本，思考并完成以下问题1. 在集合的观点下函数是如何定义？函数有哪三要素？2. 如何用区间表示数集？3. 相等函数是指什么样的函数？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个属x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)x∈A.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间{x|a＜x＜b}开区间{x|a≤x＜b}半开半闭区间{x|a＜x≤b}半开半闭区间3．其它区间的表示R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a} 定义符号四、典例分析、举一反三题型一 函数的定义例1 下列选项中(横轴表示x 轴,纵轴表示y 轴),表示y 是x 的函数的是( )【答案】D解题技巧：（判断是否为函数）1.（图形判断）y 是x 的函数,则函数图象与垂直于x 轴的直线至多有一个交点.若有两个或两个以上的交点,则不符合函数的定义,所对应图象不是函数图象.2.（对应关系判断）对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系；“一对多”的不是函数关系. 跟踪训练一1.集合A ={x |0≤x ≤4},B={y |0≤y ≤2},下列不表示从A 到B 的函数的是( )【答案】C 题型二 相等函数例2 试判断以下各组函数是否表示同一函数:(1)f (x )=(√x )2,g(x )=√x 2; (2)y =x 0与y =1(x ≠0);(3)y =2x +1(x ∈Z )与y =2x -1(x ∈Z ). 【答案】见解析【解析】(1)因为函数f (x )=(√x )2的定义域为{x |x ≥0},而g(x )=√x 2的定义域为{x |x ∈R },它们的定义域不同,所以它们不表示同一函数.(2)因为y = x 0要求x ≠0,且当x ≠0时,y = x 0=1,故y = x 0与y =1(x ≠0)的定义域和对应关系都相同,所以它们表示同一函数.(3)y =2x +1(x ∈Z )与y =2x -1(x ∈Z )两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故它们不表示同一函数.解题技巧：(判断函数相等的方法) 定义域优先原则1.先看定义域，若定义域不同，则函数不相等.2.若定义域相同，则化简函数解析式，看对应关系是否相等. 跟踪训练二1.试判断以下各组函数是否表示同一函数: ①f (x )=x 2-x x,g(x )=x -1;②f (x )=√xx ,g(x )=√x ;③f (x )=√(x +3)2,g(x )=x +3;④f (x )=x +1,g(x )=x +x 0;⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f (t)=80t(0≤t ≤5)与一次函数g(x )=80x (0≤x ≤5). 其中表示相等函数的是 (填上所有正确的序号). 【答案】⑤【解析】①f (x )与g(x )的定义域不同,不是同一函数; ②f (x )与g(x )的解析式不同,不是同一函数; ③f (x )=|x +3|,与g(x )的解析式不同,不是同一函数; ④f (x )与g(x )的定义域不同,不是同一函数;⑤f (x )与g(x )的定义域、值域、对应关系皆相同,是同一函数. 题型三 区间例3 已知集合A ={x |5-x ≥0},集合B ={x ||x |-3≠0},则A ∩B 用区间可表示为 . 【答案】(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5] 【解析】∵A ={x |5-x ≥0},∴A ={x |x ≤5}. ∵B ={x ||x |-3≠0},∴B ={x |x ≠±3}. ∴A ∩B ={x |x <-3或-3<x <3或3<x ≤5},即A ∩B =(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]. 解题技巧：（如何用区间表示集合）1.正确利用区间表示集合,要特别注意区间的端点值能否取到,即“小括号”和“中括号”的区别.2.用区间表示两集合的交集、并集、补集运算时,应先求出相应集合,再用区间表示. 跟踪训练三1.集合{x |0<x <1或2≤x ≤11}用区间表示为 .2. 若集合A =[2a -1,a +2],则实数a 的取值范围用区间表示为 . 【答案】(1)(0,1)∪[2,11] (2)(-∞,3)【解析】 (2)由区间的定义知,区间(a ,b )(或[a ,b ])成立的条件是a <b . ∵A =[2a -1,a+2],∴2a -1<a +2.∴a <3, ∴实数a 的取值范围是(-∞,3). 题型四 求函数的定义域 例4 求下列函数的定义域: (1)y =(x+2)0|x |-x; (2)f (x )=x 2-1x -1−√4-x .【答案】(1) (-∞,-2)∪(-2,0) (2) (-∞,1)∪(1,4]【解析】(1)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足{x +2≠0,|x |-x ≠0,即{x ≠-2,|x |≠x ,解得x <0,且x ≠-2.故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).(2)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足{4-x ≥0,x -1≠0,即{x ≤4,x ≠1.故原函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4]. 解题方法（求函数定义域的注意事项）(1)如果函数f (x )是整式,那么函数的定义域是实数集R ;(2)如果函数f (x )是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数组成的集合;(3)如果函数f (x )是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数组成的集合;(4)如果函数f (x )是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成的,那么函数的定义域是使各式子都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集). 跟踪训练四1.求函数y =√2x +3−√2-x+1x 的定义域.2.已知函数f (x )的定义域是[-1,4],求函数f (2x +1)的定义域. 【答案】(1) {x |-32≤x <2,且x ≠0} (2) [-1,32]【解析】(1)要使函数有意义,需{2x +3≥0,2-x >0,x ≠0,解得-32≤x <2,且x ≠0,所以函数y =√2x +3−1√2-x+1x 的定义域为{x |-32≤x <2,且x ≠0}. (2)已知f (x )的定义域是[-1,4],即-1≤x ≤4. 故对于f (2x +1)应有-1≤2x +1≤4, ∴-2≤2x ≤3,∴-1≤x ≤32.∴函数f (2x +1)的定义域是[-1,32]. 题型五 求函数值（域） 例5 (1)已知f (x )＝11+x(x ∈R ，且x ≠－1)，g(x )＝x 2＋2(x ∈R)，则f (2)＝________，f (g(2))＝________. (2)求下列函数的值域：①y ＝x ＋1； ②y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； ③y ＝3x−11+x； ④y ＝2x －√x −1.【答案】（1）13 17（2）① R ② [2,6) ③ {y |y ∈R 且y ≠3} ④ ⎣⎡⎭⎫158，＋∞ 【解析】(1) ∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6，∴f ( g(2))＝f (6)＝11＋6＝17. (2) ①(观察法)因为x ∈R ，所以x ＋1∈R ，即函数值域是R .②(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．③(分离常数法)y ＝3 x －1 x ＋1＝3 x ＋3－4 x ＋1＝3－4x ＋1.∵4x ＋1≠0，∴y ≠3， ∴y ＝3 x －1 x ＋1的值域为{y |y ∈R 且y ≠3}．④(换元法)设t ＝x －1，则t≥0且x ＝t 2＋1，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2 ⎝⎛⎭⎫t －142＋158，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为⎣⎡⎭⎫158，＋∞.解题方法（求函数值（域)的方法）1.已知f (x )的表达式时,只需用数a 替换表达式中的所有x 即得f (a )的值.2.求f (g(a ))的值应遵循由内到外的原则.3. 求函数值域常用的4种方法（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；（2）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法或二次函数图像求其值域；（3）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为 “反比例函数类”的形式，便于求值域；（4）换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对于f （x ）=ax +b +√cx +d （其中a ，b ，c ，d 为常数，且a ≠0）型的函数常用换元法. 跟踪训练五1.求下列函数的值域：(1)y ＝ √2x +1 ＋1；(2)y ＝1−x 21+x 2.【答案】(1) [1，＋∞)(2) (－1,1]【解析】(1)因为2x＋1≥0，所以2x＋1＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)．(2)因为y＝1－x21＋x2＝－1＋21＋x 2，又函数的定义域为R，所以x2＋1≥1，所以0＜21＋x 2≤2，则y∈(－1,1]．所以所求函数的值域为(－1,1].五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业教学反思本节课主要通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，尤其在求抽象函数定义域时，先根据特殊函数的规律总结一般规律.。

第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念课前自主学习知识点1函数的定义及相关概念(1)函数的定义：一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个实数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)相关概念：x叫做，x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应的y值叫做，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的. 显然，值域是集合B的.(3)同一个函数：如果两个函数的相同，并且完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数．[微思考](1)任何两个集合之间都可以建立函数关系吗？(2)什么样的对应可以构成函数关系？知识点2区间及相关概念(1)一般区间的表示设a，b是两个实数，而且，我们规定：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间{x|a<x<b}开区间{x|a≤x<b}半闭半开区间{x|a<x≤b}半开半闭区间(2)实数集R可以用区间表示为，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．(3)特殊区间的表示定义区间数轴表示{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤b}{x|x<b}[微体验]1．下列区间与集合{x|x<－2或x≥0}相对应的是()A．(－2,0)B．(－∞，－2]∪[0，＋∞)C．(－∞，－2)∪[0，＋∞)D．(－∞，－2]∪(0，＋∞)2．下列集合不能用区间的形式表示的个数为()①A＝{0,1,5,10}；②{x|2<x≤10，x∈N}；③∅；④{x|x是等边三角形}；⑤{x|x≤0或x≥3}；⑥{x|x >1，x∈Q}．A．2B．3C．4D．53．{x|x＞1且x≠2}用区间表示为________．课堂互动探究探究一函数关系的判断例1 下列对应中是A 到B 的函数的个数为( ) (1)A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x |； (2)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x 2； (3)A ＝[－1,1]，B ＝{0}，f ：x →y ＝0；(4)A ＝{1,2,3}，B ＝{a ，b }，对应关系如下图所示：(5)A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6}，对应关系如下图所示：A ．1B ．2C ．3D ．4[方法总结]判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断 (1)A ，B 必须是非空数集；(2)A 中任何一个元素在B 中必须有元素与其对应； (3)A 中任何一个元素在B 中的对应元素必须唯一． 跟踪训练1 对于函数y ＝f (x )，以下说法正确的有( )①y 是x 的函数；②对于不同的x 值，y 的值也不同；③f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量；④f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个探究二 求函数定义域问题 例2 求下列函数的定义域：(1)y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x |x |－3；(3)y ＝ax －3(a 为常数)．变式探究 将本例(1)改为y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x 2，其定义域如何？[方法总结]求函数定义域的常用依据(1)若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零； (2)若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零；(3)若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合； (4)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义； (5)若f (x )是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． 跟踪训练2 (1)设全集为R ，函数f (x )＝2－x 的定义域为M ，则∁R M 为( ) A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，2]D ．[2，＋∞)(2)函数f (x )＝xx －1的定义域为________．探究三 求函数值和函数值域问题例3 已知f (x )＝11＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )．(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f (g (2))的值； (3)求f (x )，g (x )的值域．[方法总结]求函数值域的原则及常用方法(1)原则：①先确定相应的定义域；②再根据函数的具体形式及运算确定其值域．(2)常用方法：①逐个求法：当定义域为有限集时，常用此法；②观察法：如y＝x2，可观察出y≥0；③配方法：对于求二次函数值域的问题常用此法；④换元法：对于形如y＝ax＋b＋cx＋d的函数，求值域时常用换元法，令t＝cx＋d，将原函数转化为关于t的二次函数；⑤分离常数法：对于形如y＝cx＋dax＋b的函数，常用分离常数法求值域；⑥图象法：对于易作图象的函数，可用此法，如y＝1 x－1.跟踪训练3求下列函数的值域：(1)y＝3x－1，x∈{1,3,5,7}；(2)y＝－x2＋2x＋1，x∈R；(3)y＝x＋1－2x.探究四同一个函数的判定例4 下列各组函数是同一个函数的是________．(填序号)①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x0与g(x)＝1x0；③f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.[方法总结]判断同一个函数的三个步骤和两个注意点(1)判断函数是否相等的三个步骤．(2)两个注意点．①在化简解析式时，必须是等价变形；②与用哪个字母表示变量无关．跟踪训练4下列各组中的两个函数是否为同一个函数？(1)y1＝(x＋3)(x－5)x＋3，y2＝x－5；(2)y1＝x＋1·x－1，y2＝(x＋1)(x－1).随堂本课小结1．对函数概念的五点说明(1)对数集的要求：集合A，B为非空数集．(2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)对符号“f”的认识：它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．(4)一个区别：f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值．(5)函数三要素：定义域、对应关系和值域是函数的三要素，三者缺一不可．2．求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值范围，列不等式(组)是求函数定义域的基本方法．3．求函数的值域常用的方法有：观察法、配方法、换元法、分离常数法、图象法等．【参考答案】课前自主学习知识点1函数的定义及相关概念(2)自变量定义域函数值值域子集(3)定义域对应关系[微思考](1)提示：不一定，两个集合必须是非空的数集.(2)提示：两个非空数集之间是一一对应关系或多对一可构成函数关系．知识点2区间及相关概念(1)a<b[a，b](a，b)[a，b)(a，b](2) (－∞，＋∞)(3) [a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，b](－∞，b)[微体验]1．C【解析】集合{ x|x<－2或x≥0}可表示为(－∞，－2)∪[0，＋∞)．2．D【解析】用区间表示的集合必须是连续的实数构成的集合，只有⑤是连续实数构成的集合，因此只有⑤可以用区间表示．3．(1,2)∪(2，＋∞)【解析】{x|x＞1且x≠2}用区间表示为(1,2)∪(2，＋∞)．课堂互动探究探究一函数关系的判断例1 B【解析】(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数；(3)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数；(4)集合B 不是确定的数集，故不是A 到B 的函数；(5)集合A 中的元素3在B 中没有对应元素，且A 中元素2在B 中有两个元素5和6与之对应，故不是A 到B 的函数． 跟踪训练1 B【解析】①③正确，②是错误的，对于不同的x 值，y 的值可以相同，这符合函数的定义，④是错误的，f (x )表示的是函数，而函数并不是都能用具体的式子表示出来． 探究二 求函数定义域问题例2 解 (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，解得x ≤1，且x ≠－1，即函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数的定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}．(3)要使函数有意义，必须使ax －3≥0.当a ＞0时，原函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≥3a ； 当a ＜0时，原函数的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≤3a； 当a ＝0时，ax －3≥0的解集为∅，不符合函数的定义，故此时不是函数．变式探究 解 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x 2≥0，解得{x |－1＜x ≤1}．跟踪训练2 (1)A【解析】由2－x ≥0，解得x ≤2，所以M ＝(－∞，2]，所以∁R M ＝(2，＋∞)． (2){x |x ≥0，且x ≠1}【解析】要使xx －1有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x －1≠0，解得x ≥0，且x ≠1，故函数f (x )的定义域为{x |x ≥0，且x ≠1}．探究三 求函数值和函数值域问题例3 解 (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6.(2)f (g (2))＝f (6)＝11＋6＝17. (3)f (x )＝11＋x 的定义域为{x |x ≠－1}，∴值域是{y |y ≠0}．g (x )＝x 2＋2的定义域为R ，最小值为2，∴值域是{y |y ≥2}．跟踪训练3 解 (1)(逐个求法)将x ＝1,3,5,7依次代入解析式，得y ＝2，8,14,20.∴函数的值域是{2,8,14,20}．(2)(配方法)∵y ＝－x 2＋2x ＋1＝－(x －1)2＋2≤2， ∴函数的值域是(－∞，2]．(3)(换元法或配方法)令1－2x ＝t ，则x ＝1－t 22，且t ≥0，∴原函数化为y ＝1－t 22＋t ＝－12t 2＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1≤1.∴所求函数的值域是(－∞，1]． 探究四 同一个函数的判定 例4 ②③【解析】①f (x )＝－x －2x ，g (x )＝x －2x ，对应关系不同，故f (x )与g (x )不是同一个函数； ②f (x )＝x 0＝1(x ≠0)，g (x )＝1x 0＝1(x ≠0)，对应关系与定义域均相同，故是同一个函数；③f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1，对应关系和定义域均相同，故是同一个函数． 跟踪训练4 解 (1)两函数定义域不同，所以不是同一个函数．(2)y 1＝x ＋1·x －1的定义域为{x |x ≥1}，而y 2＝(x ＋1)(x －1)的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，定义域不同，所以不是同一个函数．。

设计意图：问题（1）是引导学生使用不同的表示方法，例如表格的形式：解析式w =350d ；等等. 问题（3）是让学生模仿问题1的方法给出描述，既让他们熟悉表述方法，又训练抽象概括能力.通过追问，使学生进一步关注到定义域、值域问题.问题3：图3.1-1是北京市2016年11月23日的空气质量指数（Air QualityIndex ，简称AQI ）变化图.（1）如何根据该图确定这一天内任一时刻t h 的空气质量指数（AQI ）的值I ？（2）你认为这里的I 是t 的函数吗？如果是，你能仿照前面的方法描述I 与t 的对应关系吗？师生活动：给学生适当时间阅读思考. 有些学生可能认为I 不是时间t 的函数，对此可进行如下追问.追问：（1）你能根据图3.1-1找到中午12时的AQI 的值吗？这个值是否唯一存在？（2）对于数集}240{3≤≤=t t A 中的任意一个值t ，你会用什么方法寻找此时对应的I 值？在追问的基础上，教师阐释：因为对于数集}240{3≤≤=t t A 中的任意一个值t ，都有唯一确定的AQI 的值与之对应，所以我们可以根据初中所学的函数定义，得出I 是t 的函数，而且还可以断定I 的取值范围也是确定的，不过从图中我们不能确定这个范围. 如果我们设I 的取值范围为C ，那么从图中可以确定，{}15003<<=⊆I I B C .这样我们可以把I 与t 的对应关系描述为：对于数集3A 中的任一时刻t ，按照图3.1-1中曲线所给定的对应关系，在数集3B 中都有唯一确定的AQI 的值I 与之对应，因此I 是t 的函数.设计意图：学生根据图象描述对应关系有困难，特别是在值域不能完全确定时，通过引入一个较大范围的集合，使函数值“落入其中”，这是学生经验中不具备的. 实际上，如果用映射的观点看，这时的映射就是非满射. 为此，在问题（1）之后，先让学生认可图象表示一个函数，然后再通过教师讲解，给出对应关系的描述方法，从而化解难点. 这里，只要学生能够理解I 是t 的函数，并能够接受这种描述方式就可以了.问题4：国际上常用恩格尔系数r ）总支出金额食物支出金额（%100⨯=r 反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高. 表3.1-1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高.表3.1-1 我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况（1）你认为按表3.1-1给出的对应关系，恩格尔系数r 是年份y 的函数吗？为什么？（2）如果是，你能仿照前面的方法给出精确的刻画吗？（3）如果我们引入}10{4≤<=r r B ，将对应关系表述为“对于任意一个年份y ，都有4B 中唯一确定的r 与之对应”，你认为有道理吗？师生活动：先让学生思考，然后通过举手表决的方式对“恩格尔系数r 是年份y 的函数吗”进行“是”与“不是”的选择性投票，教师根据投票情况进行点评，从而解决问题（1）.让学生不看教科书，分组练习用集合与对应的语言刻画函数，并让学生代表发言，教师给予点评，从而解决问题（2）.学生给出的函数值取值范围可能是表中r 的10个值，教师在肯定的基础上进行引导：根据恩格尔系数的定义，r 的取值范围是}10{4≤<=r r B ，以4B 为年份与所对应的r的值所在的集合更具有一般性.设计意图：与问题3的情况类似，学生对用表格表示的对应关系是否为函数关系的判断存在疑惑，通过问题引导学生思考，教师再作适当讲解，从而使学生B的合理性，以教师从恩格尔系数的定义的接受. 另外，对于函数值所在的集合4角度进行解释即可.问题5：上述问题1~问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数的本质特征吗？师生活动：给学生充分的思考时间，引导学生重新回顾用集合与对应的语言刻画函数的过程. 如果学生归纳、概括有困难，可以给出如下的表格帮助学生思考.教师引导学生得出它们的共同特征：（1）都包含两个非空数集，用A，B来表示；（2）都有一个对应关系；（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应.在上述归纳的基础上，教师先讲解：事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法，为了表示方便，我们引进符号f 统一表示对应关系，然后给出函数的一般概念，并解释函数的记号y = f (x)，x A.设计意图：让学生通过归纳四个实例中函数的共同特征，体会数学抽象过程，概括出用集合与对应语言刻画的一般性函数概念. 在此过程中，要突破“从实例中抽象出本质特征，并用抽象的符号去表达”这一教学难点，突出“在学生初中已有函数认识的基础上，通过实例归纳概括出函数的基本特征（要素），用集合与对应的语言建立函数的概念”这一教学重点.。

新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念教学案新人教A 版必修第一册3.1.1 函数的概念(教师独具内容)课程标准：1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型.2.在此基础上学习用集合与对应的符号语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，能求一些简单函数的定义域．教学重点：1.理解函数的定义，会求一些简单函数的定义域和值域.2.明确函数的两个要素，了解同一个函数的定义，会判定两个给定的函数是否是同一个函数．教学难点：1.对应关系f 的正确理解，函数符号y ＝f (x )的理解.2.抽象函数的定义域.3.一些简单函数值域的求法.【知识导学】知识点一 函数的概念一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有□01唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作□02y ＝f (x )，x ∈A .其中，x 叫做□03自变量，x 的取值范围A 叫做函数的□04定义域；与x 的值相对应的y 值叫做□05函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的□06值域．显然，□07值域是集合B 的子集． 注意：(1)两个非空实数集间的对应能否构成函数，主要看是否满足三性：任意性、存在性、唯一性．这是因为函数概念中明确要求对于非空实数集A 中的任意一个(任意性)元素x ，在非空实数集B 中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y 与之对应．这三性只要有一个不满足便不能构成函数．(2)集合A 是函数的定义域，因为给定A 中每一个x 值都有唯一的y 值与之对应；集合B 不一定是函数的值域，因为B 中的元素可以在A 中没有与之对应的x ，也就是说，B 中的某些元素可以不是函数值，即{f (x )|x ∈A }⊆B .(3)在函数定义中，我们用符号y ＝f (x )表示函数，其中f (x )表示“x 对应的函数值”，而不是“f 乘x ”．知识点二 函数的两要素从函数的定义可以看出，函数有三个要素：□01定义域、□02对应关系、□03值域，由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：□04定义域和对应关系．即要检验给定的两个变量(变量均为数值)之间是否具有函数关系，只要检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x 在其定义域中的每一个值是否都有唯一的函数值y 和它对应．知识点三 区间的概念(1)设a ，b 是两个实数，而且a <b .我们规定：①满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做□01闭区间，表示为□02[a ，b ]； ②满足不等式a <x <b 的实数x 的集合叫做□03开区间，表示为□04(a ，b )； ③满足不等式a ≤x <b 或a <x ≤b 的实数x 的集合叫做□05半开半闭区间，分别表示为□06[a ，b )，(a ，b ]．这里的实数a 与b 都叫做相应区间的□07端点． 实数集R 可以用区间表示为□08(－∞，＋∞)，“∞”读作“□09无穷大”，“－∞”读作“□10负无穷大”，“＋∞”读作“□11正无穷大”． 我们可以把满足x ≥a ，x >a ，x ≤b ，x <b 的实数x 的集合，用区间分别表示为□12[a ，＋∞)，□13(a ，＋∞)，□14(－∞，b ]，□15(－∞，b )． (2)区间的几何表示在用数轴表示区间时，用实心点表示□16包括在区间内的端点，用空心点表示□17不包括在区间内的端点．(3)含“∞”的区间的几何表示注意：(1)无穷大“∞”只是一个符号，而不是一个数，因而它不具备数的一些性质和运算法则．(2)以“－∞”或“＋∞”为区间一端时，这一端必须用小括号． 知识点四 同一个函数如果两个函数的□01定义域相同，并且□02对应关系完全一致，即相同的□03自变量对应的□04函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．【新知拓展】(1)函数符号“y ＝f (x )”是数学中抽象符号之一，“y ＝f (x )”仅为y 是x 的函数的数学表示，不表示y 等于f 与x 的乘积，f (x )也不一定是解析式，还可以是图表或图象．(2)函数的概念中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，这是因为函数定义中明确要求是对于非空实数集A 中的任意一个(任意性)数x ，在非空实数集B 中都有(存在性)唯一确定(唯一性)的数y 和它对应，这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应．( ) (2)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )(3)定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了．( )(4)若函数的定义域中只有一个元素，则值域中也只有一个元素．( )(5)对于定义在集合A 到集合B 上的函数y ＝f (x )，x 1，x 2∈A ，若x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)．( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)下列给出的对应关系f ，不能确定从集合A 到集合B 的函数关系的是________． ①A ＝{1,4}，B ＝{－1,1，－2,2}，对应关系：开平方； ②A ＝{0,1,2}，B ＝{1,2}，对应关系：③A ＝[0,2]，B ＝[0,1]，对应关系：(2)下列函数中，与函数y ＝x 是同一个函数的是________． ①y ＝x 2；②y ＝3x 3；③y ＝(x )2；④s ＝t . 答案 (1)①③ (2)②④题型一 求函数的定义域 例1 求下列函数的定义域： (1)y ＝2x ＋3；(2)f (x )＝1x ＋1；(3)y ＝x －1＋1－x ；(4)y ＝x ＋1x 2－1；(5)y ＝(1－2x )0. [解] (1)函数y ＝2x ＋3的定义域为{x |x ∈R }．(2)要使函数式有意义，即分式有意义，则x ＋1≠0，x ≠－1.故函数的定义域为{x |x ≠－1}．(3)要使函数式有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，1－x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ≤1，所以x ＝1，从而函数的定义域为{x |x ＝1}．(4)因为当x 2－1≠0，即x ≠±1时，x ＋1x 2－1有意义，所以函数的定义域是{x |x ≠±1}． (5)∵1－2x ≠0，即x ≠12，∴函数的定义域为{|x x ≠12}.例2 已知函数f (x )的定义域是[－1,4]，求函数f (2x ＋1)的定义域． [解] 已知函数f (x )的定义域是[－1,4]，即－1≤x ≤4. 故对于f (2x ＋1)应有－1≤2x ＋1≤4. ∴－2≤2x ≤3，∴－1≤x ≤32，∴函数f (2x ＋1)的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32. 例3 如图所示，用长为1 m 的铁丝做一个下部为矩形、上部为半圆形的框架(铁丝恰好用完)，若半圆的半径为x (单位：m)，求此框架围成的面积y (单位：m 2)与x 的函数关系式．[解] 由题意可得，AB ＝2x ，CD ︵的长为πx ， 于是AD ＝1－2x －πx2，∴y ＝2x ·1－2x －πx 2＋πx 22，即y ＝－π＋42x 2＋x .由⎩⎪⎨⎪⎧2x >0，1－2x －πx2>0，得0<x <1π＋2，∴此函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1π＋2. 故所求的函数关系式为y ＝－π＋42x 2＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <1π＋2.金版点睛求函数定义域的基本要求(1)整式：若y ＝f (x )为整式，则函数的定义域是实数集R .(2)分式：若y ＝f (x )为分式，则函数的定义域为使分母不为0的实数集．(3)偶次根式：若y ＝f (x )为偶次根式，则函数的定义域为被开方数非负的实数集(特别注意0的0次幂没有意义)．(4)几部分组成：若y ＝f (x )是由几部分数学式子的和、差、积、商组成的形式，定义域是使各部分都有意义的集合的交集．(5)对于抽象函数的定义域：①若f (x )的定义域为[a ，b ]，则f [g (x )]中，g (x )∈[a ，b ]，从中解得x 的解集即f [g (x )]的定义域．②若f [g (x )]的定义域为[m ，n ]，则由x ∈[m ，n ]可确定g (x )的范围，设u ＝g (x )，则f [g (x )]＝f (u )，又f (u )与f (x )是同一个函数，所以g (x )的范围即f (x )的定义域．③已知f [φ(x )]的定义域，求f [h (x )]的定义域，先由f [φ(x )]中x 的取值范围，求出φ(x )的取值范围，即f (x )中的x 的取值范围，即h (x )的取值范围，再根据h (x )的取值范围便可以求出f [h (x )]中x 的取值范围．(6)实际问题：若y ＝f (x )是由实际问题确定的，其定义域要受实际问题的约束．如：例3中，任何一条线段的长均大于零．[跟踪训练1] (1)若函数f (x ＋1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2，则函数f (x －1)的定义域为________；(2)求下列函数的定义域：①y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x ；②y ＝x ＋1|x |－x ；(3)①求函数y ＝5－x ＋x －1－1x 2－9的定义域； ②将长为a m 的铁丝折成矩形(铁丝恰好用完)，求矩形的面积y (单位：m 2)关于一边长x (单位：m)的解析式，并写出此函数的定义域．答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4 (2)见解析 (3)见解析解析 (1)由题意知，－12≤x ≤2，则12≤x ＋1≤3，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，∴12≤x －1≤3，解得32≤x ≤4.∴f (x －1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4.(2)①要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，x ≤1，∴函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．②要使函数有意义，需满足|x |－x ≠0，即|x |≠x ， ∴x <0.∴函数的定义域为{x |x <0}． (3)①解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，x －1≥0，x 2－9≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤5，x ≥1，x ≠±3.故函数的定义域是{x |1≤x ≤5，且x ≠3}．②因为矩形的一边长为x ，则另一边长为12(a －2x )，所以y ＝x ·12(a －2x )＝－x 2＋12ax ，定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <a 2. 题型二 已知函数值求自变量的值例4 已知函数f (x )＝2x 2－4，x ∈R ，若f (x 0)＝2，求x 0的值． [解] 易知f (x 0)＝2x 20－4， ∴2x 20－4＝2，即x 20＝3. 又∵x 0∈R ，∴x 0＝± 3. 金版点睛就本例而言，已知函数值求自变量的值就是解方程，需要注意：所求的自变量的值必须在函数的定义域内．如果本例中加一个条件“x ∈[0，＋∞)”，则x 0＝3(－3不符合题意，舍去)．[跟踪训练2] 已知函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈(－∞，0)，若f (x 0)＝3.求x 0的值． 解 由题意可得f (x 0)＝x 20－2x 0. ∴x 20－2x 0＝3，即x 20－2x 0－3＝0. 解得x 0＝3或x 0＝－1.又∵x 0∈(－∞，0)，∴x 0＝－1. 题型三 已知自变量的值求函数值 例5 已知f (x )＝x 2，x ∈R ，求： (1)f (0)，f (1)； (2)f (a )，f (a ＋1)．[解] (1)f (0)＝02＝0，f (1)＝12＝1. (2)∵a ∈R ，a ＋1∈R ， ∴f (a )＝a 2，f (a ＋1)＝(a ＋1)2. 金版点睛对于函数定义域内的每一个值，都可以求函数值(当然函数值唯一)，本例可以直接应用公式：f (x )＝x 2求解，实质上就是求代数式的值，例如f (1)就是当x ＝1时，代数式x 2的值，而f (a ＋1)就是当x ＝a ＋1时，代数式x 2的值．[跟踪训练3] 已知f (x )＝x ＋1x ＋1，求： (1)f (2)；(2)当a >0时，f (a ＋1)的值． 解 (1)f (2)＝2＋13.(2)易知f (x )的定义域A ＝[0，＋∞)， ∵a >0，∴a ＋1>1，则a ＋1∈A ， ∴f (a ＋1)＝a ＋1＋1a ＋2. 题型四 求函数的值域 例6 求下列函数的值域： (1)y ＝x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； (3)y ＝2x ＋1x －3；(4)y ＝2x －x －1.[解] (1)(观察法)因为x ∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．(2)(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．(3)(分离常数法)y ＝2x ＋1x －3＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3，显然7x －3≠0，所以y ≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．(4)(换元法)设t ＝x －1，则x ＝t 2＋1，且t ≥0，所以y ＝2(t 2＋1)－t＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158，由t ≥0，再结合函数的图象(如右图)，可得函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞. 金版点睛求函数值域的原则及常用方法(1)原则：①先确定相应的定义域；②再根据函数的具体形式及运算法则确定其值域． (2)常用方法①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到． ②配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．③换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f (x )＝ax ＋b ＋cx ＋d (其中a ，b ，c ，d 为常数，且ac ≠0)型的函数常用换元法．④分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．[跟踪训练4] 求下列函数的值域： (1)y ＝xx ＋1；(2)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)； (3)y ＝x ＋x ＋1. 解 (1)∵y ＝xx ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1＝1－1x ＋1，且1x ＋1≠0，∴函数y ＝xx ＋1的值域为{y |y ≠1}．(2)配方，得y ＝(x －2)2＋2. ∵x ∈[1,5)，∴结合函数的图象可知，函数的值域为{y |2≤y <11}． (3)(换元法)设t ＝x ＋1，则x ＝t 2－1，且t ≥0，所以y ＝t 2＋t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－54，由t ≥0，再结合函数的图象可得函数的值域为[－1，＋∞). 题型五 相同函数的判断例7 下列各组函数表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝x 2＋1，g (t )＝t 2＋1 C ．f (x )＝1，g (x )＝x xD ．f (x )＝x ，g (x )＝|x |[解析] A 项中，由于f (x )＝x 的定义域为R ，g (x )＝(x )2的定义域为{x |x ≥0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数．B 项中，函数的定义域、值域和对应关系都相同，所以它们是同一函数．C 项中，由于f (x )＝1的定义域为R ，g (x )＝x x的定义域为{x |x ≠0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数．D 项中，两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不是同一函数． [答案] B 金版点睛判断两个函数为同一函数的条件(1)判断两个函数是相同函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同．定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相同函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相同函数．(2)函数是两个实数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．另外，在化简解析式时，必须是等价变形．[跟踪训练5] 下列函数中哪个与函数y ＝x 相同？(1)y ＝(x )2；(2)y ＝3x 3；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x 2x.解 (1)y ＝(x )2＝x (x ≥0)，y ≥0，定义域不同且值域不同，所以不相同． (2)y ＝3x 3＝x (x ∈R )，y ∈R ，对应关系相同，定义域和值域都相同，所以相同． (3)y ＝x2＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，y ≥0；值域不同，且当x <0时，它的对应关系与函数y＝x 不相同，所以不相同．(4)y ＝x 2x的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x 的定义域不相同，所以不相同．1．下列各图中，可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )答案 D解析 A ，B 中的图象与y 轴有两个交点，即有两个y 值与x ＝0对应，所以A ，B 不可能是函数y ＝f (x )的图象；对于C 中图象，过x ＝1作与x 轴垂直的直线，与图象有两个交点，所以C 不可能是函数y ＝f (x )的图象．故选D.2．函数f (x )＝x ＋2－x 的定义域是( )A ．{x |x ≥2} B．{x |x >2}C ．{x |x ≤2} D．{x |x <2}答案 C解析 要使函数式有意义，则2－x ≥0，即x ≤2.所以函数的定义域为{x |x ≤2}．3．已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 答案 B解析 ∵原函数的定义域为(－1,0)，∴－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12. ∴函数f (2x ＋1)的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12. 4．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5的定义域和值域都是[1，a ]，则a ＝________.答案 2解析 因为f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，所以f (x )在[1，a ]上是减函数，又f (x )的定义域和值域均为[1，a ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a ，f (a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2. 5．已知函数f (x )＝x 2＋x －1.(1)求f (2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，f (a ＋1)； (2)若f (x )＝5，求x . 解 (1)f (2)＝22＋2－1＝5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 2＋1x －1＝1＋x －x 2x 2， f (a ＋1)＝(a ＋1)2＋(a ＋1)－1＝a 2＋3a ＋1.(2)∵f (x )＝x 2＋x －1＝5，∴x 2＋x －6＝0，解得x ＝2或x ＝－3.。

高中数学第一册［新教材］人教A版（2019）必修一第三章函数的概念和性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念【学习目标】1.在初中的基础之上，进一步体会函数描述的是变量之间的依赖关系，会用集合与对应的语言来刻画函数,2.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域3.理解函数的三要素及函数符号的深刻含义【核心素养】1，通过学习函数的概念，培养数学抽象素养2，借助函数定义域的求解，培养数学运算素养．3．借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养【知识导学】知识点一函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．【名师点拨】(1)对应中的两个集合A，B是非空的实数集，（2）函数概念中明确要求对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．注意其中的(任意性)、(存在性)、(唯一性)（3）集合A是函数的定义域，因为给定A中每一个x值都有唯一的y值与之对应；集合B不一定是函数的值域，因为B中的元素可以在A中没有与之对应的x，也就是说，B中的某些元素可以不是函数值，即{f(x)|x∈A}⊆B.（4）在函数定义中，我们用符号y＝f(x)表示函数，其中f(x)表示“x对应的函数值”，而不是“f乘x”，也就是说：对应关系f是函数的本质特征，好比计算机的某种程序（或解决某问题的方法），当我们在f( )中括号里面放入某个x，就会按照这个程序得到一个结果即y值（5）函数的三要素，从函数的定义可以看出，函数有三个要素：定义域、对应关系、值域，判定函数和函数相等的依据知识点二区间的概念(1)设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间{x|a＜x＜b}开区间{x|a≤x＜b}半开半闭区间{x|a＜x≤b}半开半闭区间(2)特殊区间的表示定R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a}义符(－∞，＋∞) [a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)号注意：(1)无穷大“∞”只是一个符号，而不是一个数，因而它不具备数的一些性质和运算法则．(2)以“－∞”或“＋∞”为区间一端时，这一端必须用小括号．【初试身手】1．（2020·浙江高一开学考试）下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．【答案】C。

3.1.1 函数的概念（第1课时）教材分析：函数是现代数学最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具.在高中阶段，函数不仅贯穿数学课程的始终，而且也是学习方程、不等式、数列、导数等内容的工具和基础，在物理、化学、生物等其它学科中也有广泛应用；在高等数学中，函数是基本数学对象；在实际应用中，函数是数学建模的重要基础.学生在初中学习了函数概念.函数定义采用“变量说”.高中阶段要建立函数的“对应关系说”，它比“变量说”更具一般性.与初中的“变量说”相比，高中用集合语言与对应关系表述函数概念；明确了定义域、值域；引入抽象符号f（x）.函数概念的核心是“对应关系”：两个非空数集A，B间有一种确定的对应关系f.即对于数集A中每一个x，数集B中都有唯一确定的y和它对应.这里的关键词是“每一个”，“唯一确定”.集合A，B及对应关系f是一个整体，是两个集合的元素间的一种对应关系，这种“整体观”很重要.基于以上分析，确定本节课的教学重点：用集合语言与对应关系建立函数概念.学情分析：学生在初中学习函数概念时，没有涉及自变量与函数值的取值范围，也不知道为何要研究变量的取值范围，这是教学中首先遇到的问题.教学中应结合教科书实例1与实例2的分析、比较，让学生认识到研究自变量、函数值取值范围的必要性.如何认识函数的对应关系，就成为了第二个教学问题.教学中，要让学生通过四个实例建立解析式、图象、表格与函数对应关系的联系，通过具体的解析式、图象与表格去体会变量之间如何对应，由此抽象出函数的对应关系f的本质.在对四个实例分析的基础上，学生认识到了函数自变量的取值范围、函数值的取值范围及对应关系对于函数的重要性，但如何在此基础上让学生进行归纳，抽象出函数概念，并以此培养学生数学抽象素养，成为第三个教学问题，也是本节课的教学难点.教学中可以将四个实例各自得到的三个要素表格化，让学生从表格中抽象出函数要素及其表示，并在此基础上给出一般的函数概念.在得出函数概念后，如何用新的函数概念重新认识已经学习过的函数，建立知识之间的联系，是第四个教学问题.教学中，除让学生按函数定义，仿照四个实例的分析去具体表述一次函数、二次函数、反比例函数外，还必须重视让学生采用教科书中的练习题与习题进行练习，也可以根据学生的学习状态适当增加一些问题供他们练习.教学目标：（1）建立“对应关系说”观点下用集合语言表述的函数概念.（2）理解的含义，能用函数的定义刻画简单具体的函数.（3）在具体函数实例到一般函数概念的概括过程中，培养学生的数学抽象素养.教学过程：导入：在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具. 例如，正方形的周长l与边长x的对应关系是l=4x，而且对于每一个确定的x 都有唯一的l与之对应，所以l是x的函数.这个函数与正比例函数y=4x相同吗？又如，你能用已有的函数知识判断y=x与是否相同吗？要解决这些问题，就需要进一步学习函数概念.（一）函数概念的抽象问题1：请同学们根据如下情境回答问题：某“复兴号”高速列车加速到350 km∕h后保持匀速运行半小时.（1）这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系如何表示？这是一个函数吗？为什么？（2）如果有人说：“根据对应关系S=350 t，这趟列车加速到350 km∕h后，运行1 h 就前进了350 km.”你认为这个说法正确吗？（3）你认为如何表述S与t的对应关系才是精确的？师生活动：教师给出问题后让学生先独立思考并写出回答要点，再小组交流，并提醒学生先不要看教科书.让学生分组收集并归纳问题的回答要点，并将要点反馈给教师（有条件的学校可以利用信息技术平台收集与呈现学生的回答要点），教师在全班交流的基础上进行适当点评.学生对问题（3）可能会有困难，教师可以在学生回答的基础上给出精确表述的示范.设计意图：问题（1）是为了让学生回顾初中所学函数概念，用“是否满足定义要求”来回答问题；问题（2）是要激发认知冲突，发现其中的不严谨；问题（3）是为了让学生关注到t的变化范围，并尝试用精确的语言表述.问题2：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么：（1）你认为该怎样确定一个工人每周的工资？（2）一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？（3）你能仿照问题1中对S与t的对应关系的精确表示，给出这个问题中w与d的对应关系的精确表示吗？追问：问题1和2中的函数对应关系相同，你认为它们是同一个函数吗？为什么？师生活动：学生阅读题目后，自主回答.设计意图：问题（1）是引导学生使用不同方法，例如表格的形式：解析式w=350d；等等.问题（3）是让学生模仿问题1的方法给出描述，既让他们熟悉表述方法，同时训练抽象概括能力.通过追问，使学生进一步关注到定义域、值域问题.问题3：如图所示是北京市2016年11月23日的空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）变化图.（1）如何根据该图确定这一天内任一时刻t的空气质量指数（AQI）的值I？（2）你认为这里的I是t的函数吗？如果是，你能仿照前面的方法描述I与t的对应关系吗？师生活动：教师用PPT或其他方式呈现问题3，给学生适当时间阅读思考.有些学生可能认为I不是时间t的函数，对此可进行如下追问.追问：（1）你能根据图3.1-1找到中午12时的AQI的值吗？这个值是否唯一存在？（2）对于数集A3={t|0≤t≤24}中的任意一个值t，你会用什么方法寻找此时对应的I 值？在追问的基础上，教师阐释：因为对于数集A3={t|0≤t≤24}中的任意一个值t，都有唯一确定的AQI的值与之对应，所以我们可以根据初中所学的函数定义，得出I是t的函数，而且还可以断定I的取值范围也是确定的，不过从图中我们不能确定这个范围.如果我们设I的取值范围为C，那么从图中可以确定，对于数集A3中的任一时刻t，按照图3.1-1中曲线所给定的对应关系，在数集B3中都有唯一确定的AQI的值I与之对应，因此I是t的函数.设计意图：学生根据图象描述对应关系有困难，特别是在值域不能完全确定时，通过引入一个较大范围的集合，使函数值“落入其中”，这是学生经验中不具备的.实际上，如果用映射的观点看，这时的映射就是非满射.为此，在问题（1）之后，先让学生认可图象表示一个函数，然后再通过教师讲解，给出对应关系的描述方法，从而化解难点.这里，只要学生能够理解I是t的函数，并能够接受这种描述方式就可以了.（1）你认为按表3.1-1给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？为什么？（2）如果是，你能仿照前面的说法给出精确的语言刻画吗？（3）如果我们引入B4={ r|0≤r≤1}，将对应关系表述为“对于任意一个年份y，都有B4中唯一确定的r与之对应”，你认为有道理吗？师生活动：教师用PPT呈现上述内容和问题，学生思考后，通过信息技术平台或其它方式对“恩格尔系数r是年份y的函数吗？”进行“是”与“不是”的选择性投票，教师根据投票情况进行点评，从而解决问题（1）.让学生不看教科书，分组练习用集合与对应的语言刻画函数，并让学生代表发言，教师给予点评，从而解决问题（2）.学生给出的函数值取值范围可能是表中r的10个值，教师在肯定的基础上进行引导：根据恩格尔系数的定义，r的取值范围是B4={ r|0≤r≤1}，以B4为年份与所对应的r值所在的集合更具有一般性.设计意图：与问题3的情况类似，学生对用表格表示的对应关系是否为函数关系的判断存在疑惑，通过问题引导学生思考，教师再作适当讲解，从而使学生接受之.另外，对于函数值所在的集合B4的合理性，以教师从恩格尔系数的定义的角度进行解释即可.问题5：上述问题1～问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数的本质特征吗？师生活动：给学生充分思考的时间，引导学生重新回顾用集合语言与对应关系刻画函数的过程.如果学生归纳、概括有困难，可以给出下表帮助学生思考：教师引导学生得出：（Ⅰ）都包含两个非空数集，用A，B来表示；（Ⅱ）都有一个对应关系；（Ⅲ）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应.在上述归纳的基础上，教师讲解：事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法.为了表示方便，我们引进符号f统一表示对应关系.然后给出函数的一般性定义，并解释函数的记号y=f（x），x∈A.设计意图：让学生通过归纳四个实例中函数的共同特征，体会数学抽象过程，概括出用集合与对应语言刻画的一般性函数概念.在此过程中，要突破“如何在四个实例基础上让学生进行归纳、概括、抽象出函数概念，并以此培养学生数学抽象素养”这一难点，突出“在学生初中已有函数认识基础上，通过实例归纳概括出函数的基本特征（要素），用集合与对应的语言建立函数的概念”这一教学重点.（二）函数概念的初步应用问题6：如果让你用函数的定义重新认识一次函数、二次函数与反比例函数，那么你会怎样表述这些函数？师生活动：在学生思考后，教师用一次函数与二次函数进行示范，学生用反比例函数进行练习.学生完成教科书中的练习第1题～第3题，教师对学生的练习进行点评.设计意图：用函数定义重新认识已学函数，加深对函数定义的理解，进一步体会定义域、对应关系与值域是函数的三个要素.问题7：你能构建一个问题情境，使其中函数的对应关系为y=x（10-x）吗？师生活动：在学生思考后，教师以例1进行示范.如果学生学习基础好，可以让他们完成教科书例1后的探究：“构建其它问题情景，并用解析式y=x（10-x）描述其中的变量关系”；对学习基础一般的同学，要求他们完成教科书练习第4题.设计意图：让学生在完成例1的过程中，进一步体会函数模型应用的广泛性，加深对函数概念的理解.（三）课堂小结、布置作业教师引导学生回顾本节课的学习内容，并引导学生回答下列问题：（1）什么是函数？其三要素是什么？（2）对于对应关系f，你有哪些认识？（3）与初中学习过的函数概念相比，你对函数又有什么新的认识？（4）本节课我们是怎样得到函数概念的？结合本节课的学习，你对如何学习数学又有什么体会？师生活动：教师出示问题后，先由学生思考后再进行全班交流，最后教师再进行总结.要强调如下几点：（1）函数的定义是判断一个对应关系是不是函数的标准；（2）要通过具体例子理解函数的对应关系f的特征，特别是对于“A中任意一个数”“B中都有唯一确定的数”等关键词的含义要认真体会；（3）对应关系f的表示形式可以是解析式、图象、表格等多种形式，但它们的实质相同，在后续的学习中要注意积累用适当的方式表示函数的经验；等等.设计意图：引导学生从函数概念的内涵、要素的归纳过程、关键词的理解等角度进行小结，进一步加深对函数概念的理解.布置作业：教科书习题3.1第1，11，14题.六、目标检测设计1.近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题.图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979~2001年的变化情况.（1）臭氧层空洞的面积是时间的函数，这个函数的对应关系是；（2）上述函数的定义域是______________值域是__________设计意图：考查学生对函数三个要素的认识，巩固函数概念.2.习题3.1第8题：如图，矩形的面积为10.如果矩形的长为x，宽为y，对角线为d，周长为l，那么你能获得关于这些量的哪些函数？设计意图：考查学生运用函数概念刻画实际问题.。