静定结构--组合结构和三铰拱
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结构力学三铰拱图文
第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
当两支座在同一水平线上时，称为等高拱或平拱，否 则称为斜拱。分析竖向荷载作用下三铰拱的内力和反 力时，与同跨度、同荷载的简支梁相对比，以便于计 算和对比分析拱的受力性质。
FP1
C FP2
f
A
B
l
FP1
FP2
1 竖向荷载作用下拱反力计算 mB 0
y
A FAx
第一节 三铰拱的组成和类型
2. 三铰拱的构成
矢高：起拱线至拱顶的 竖直距离。
拱趾
拱顶
矢高f 起拱线
跨度L
拱轴 拱趾
第一节 三铰拱的组成和类型
2. 三铰拱的构成
带拉杆的拱：在 屋架中，为消除 水平推力对墙或 柱的影响，在两 支座间增加一拉 杆，由拉杆来承 担水平推力，桥 梁中应用也非常 广泛。
第一节 三铰拱的组成和类型
yk
A
B
k
C
Fy' 0
F0 Ay
F0 Sk
F0 Ay
P1
F0 By
FS k FAy cosk P1 cosk FH sin k
M 0 F0 x Px a
k
Ay k
1k
1
FA0y P1 cosk
FS
0 k
c os k
FH
FH sin k
sin k
FN k
Fx' 0
FAy sink P1 sink FH cosk
在工程实践中，由于载荷的多样性，不可能有真正的无弯矩 拱，但是可以想象，接近合理拱轴的设计，应当是可行的方 案。赵州桥是我国隋代工匠李春建造的一个著名的范例。
第一节 三铰拱的组成和类型
1、工程上使用的拱结构实例
静定结构的内力分析
静定结构的内力分析-建筑结构
一级注册建筑师
静定结构按其受力特性，可以分为静定梁、静定刚架、三铰拱、静定桁架和静定组合结构。
一、静定梁
1 ．截面内力分量及正负号规定
平面杆件的任一截面上一般有三个内力分量：轴力N ，剪力Q 和弯矩M 。
内力的正负号一般规定为：
（1 ）轴力以受拉为正；
（2 ）剪力以绕隔离体顺时针方向为正；
（ 3 ）弯矩一般不规定正负号（对水平梁通常以使梁的下侧受拉为正）。
内力图一般以杆轴为基线绘制。
弯矩图规定画在杆件的受拉侧，无需标明正负号；剪力图和轴力图则可画在杆件的任一侧（对水平杆件通常将正的剪力和轴力绘于杆件上侧），但需标明正负号。
2 ．截面法
截面法是结构内力分析的基本方法。
截面法计算结构内力的基本步骤为：
（1）将结构沿拟求内力的截面切开。
（2）取截面任一侧的部分为隔离体，作出隔离体的受力图；受力图中的力包括两部分：外荷载和截断约束处的约束力（截面内力或支座反力），未知截面内力一般假设为正号方向。
（3）利用静力平衡条件计算所求内力。
对于平面结构，一般情况下隔离体上的各力组成一平面任意力系，故有三个独立的平衡方程（投影方程或力矩方程）：
或
特殊情况下，例如截取的是一个铰节点，则各丸组成一平面汇交力系，故有两个独立的投影平衡方程：
本篇文章来源于《中国注册建筑师考试网》。
第3章 三铰拱
（二） 对称三铰拱的数解法
1. 计算支座反力
图示三铰拱中，共有 四个反力： VA、HA、VB、HB。 根据整体的平衡 条件可建立三个 平衡方程： ∑MA=0 ∑MB=0 ∑X=0 再取中间铰一侧隔离 体， ∑ MC=0， 由这四个方程可 解出四个反力。
由∑MB= 0，得： VAl－P1b1－ P2b2－…= 0 VA= (P1b1 ＋ P2b2 ＋ …)/ l V0A 由∑MA= 0，得： VB= (P1a1＋ P2a2＋…)/ l V0B 把两个竖向反力VA 、VB与相应简支梁支座反力V0A 、 V0B 相比，可知竖向荷载作用下，对称三铰拱的竖向反力与 其相应简支梁的反力完全相同。
两个投影方程可用拱轴在该点的法线n和切线t为 投影轴。
∑n = 0 ，得： QD = VA cosφD －P1 cosφD －P2 cosφD －H sinφD = (V0A－P1－P2) cosφD －H sinφD
= Q0D cosφD －H sinφD
∑t = 0 ，得： ND = VA sinφD - P1 sinφD -P2 sinφD +H cosφD = (V0A－P1－P2) sinφD +H cosφD
由∑X= 0，得： HA= HB = H 中间铰左侧隔离体 ∑MC=0 得：
∑ MC =
VAl1－P1(l1 － a1) － P2(l1 － a2) － P3(l1 － a3)－ H f = 0 得： H=[VAl1－P1(l1 － a1)－ P2(l1 － a2)－ P3(l1 － a3)] / f 因 VA = V0A ，得：H= M0C / f M0C为相应简支梁截面C的弯矩。
最后根据本例的已知条件，进行具体计算。
VA=VB= V0A = q l / 2= 4× 16 / 2 = 32kN H = (q l 2 / 8) / f = (4× 162 / 8) / 4 = 32kN
结构力学-静定结构
dx 2
dx
水平梁,分布荷载向下
a.均布荷载q向上时,弯矩图抛物线的凹向与M 坐标正向一致，
即凹向朝下（因为M 坐标的正方向取向下）；
b.均布荷载q向下时,弯矩图抛物线的凹向与M 坐标正向相反，
即凹向朝上。
即：M图抛物线的凹向与分布荷载箭头指向相反.
8
§3-2 单跨静定梁 3.内力的符号与画法约定
弯矩M
M MM M 材力：
M图画在杆件受拉边，要注明正负号. 结力：M图画在杆件受拉边，不必标正负号.
9
§3-2 单跨静定梁
3.内力的符号与画法约定
剪力Q
Q QQ Q 材力： Q图一般正的画在水平梁上方，负的
画在下方，而且要注明正负号.
结力：使隔离体有顺时针转动趋势为正，反之为负； Q图可画在杆件任一侧，但要注明正负号.
静定结构的受力分析是利用静力平衡方程求结构的支座反力 和内力、绘内力图、分析结构的力学性能。
学习静定结构的过程中应注意以下几点：
1）静定结构与超静定结构的区别（是否需考虑变形条件）；
2）结构力学与材料力学的关系。材料力学研究单根杆件，结 构力学则是研究结构，其方法是将结构拆解为单杆再作计算；
3）受力分析与几何组成分析的关系。几何组成分析是研究如 何将单杆组合成结构——即“如何搭”；受力分析是研究如何 把结构的内力计算拆解为单杆的内力计算——即“如何拆”。
qL2/8是沿垂直于梁轴线方向
B 量取（不是垂直于MAMB的
连线）。
12
§3-2 单跨静定梁
例2： MA
A
MA
P L/2 L/2
P
4.（区段）叠加法作弯矩图
MB 结论:
B
把两头的弯矩标在
静定结构解题总结
结构位移计算——荷载作用下
不同情况下的位移计算公式
1.梁与刚架
ip M PMi ds EI N P Ni ds EA N P Nil EA
4.拱
ip [ M PMi N N P i ]ds EI EA
2.桁架
ip
这些公式的适 用条件是什么?
3.组合结构
注意图乘法的适用条件 以及复杂图形的分解
结构位移计算——温度作用下
求结构某点沿某方向的位移⊿it。 步骤：
1、虚设力状态，即沿欲求⊿方向设单位荷载 FP=1 。 2、画出虚力状态下的 M , F N 图。 3、根据公式可求出⊿。
it t0 FN l ()
t
h
AM
等截面直杆
步骤：
1、虚设力状态，即沿欲求⊿方向设单位荷载FP=1 。 2、根据平衡条件求出虚设FP=1作用下的 M , F Q , F N ，以及实际荷载作用下的M、 FQ 、FN。 3、根据公式可求出⊿kp。
KP k F Q FQP F N FNP MMP dx dx dx EA GA EI
分段 定点 连线
注意：简支刚架、悬臂刚架、三铰刚架的不 同特点及求解过程。复杂刚架 要求：能速画弯矩图
静定结构的内力图——静定平面桁架
具体步骤： 1、求支座反力 2、根据桁架的特点及题目的要求，选 用结点法、截面法或者两者联合应用 要求：会判断桁架结构中的零杆，能 利用桁架对称性求桁架杆的内力
静定结构的内力图——组合结构
静定结构的解题总结
几何组成分析
方法1: 若基础与其它部分三杆相连, 去掉基础只分析其它部分 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片 看成链杆. 方法4: 去掉二元体. 方法5: 从基础部分(几何不变部分)依次添加.
04.三铰拱、组合结构
M ( x) M 0 ( x) FHy( x) 0
于是合理拱轴线的方程为：
M 0 ( x) y ( x) FH
例2： 试求图示对称三铰拱在均匀荷载q作 用下的合理轴线。 解：作出相应简支梁如图所示，其弯矩方程为
1 1 2 1 M qlx qx qx (l x) 2 2 2
0 VA
100 9 20 6 3 FHA 12 105kN
0 FVB FVB
C
4m
A
B FHB
x 6m 6m
100 3 20 6 9 12 115kN
FVA
FVB
0 MC 105 6 100 3 FH FHA FHB 82.5kN f 4
2、三铰拱的类型
平拱 斜拱
虚铰拱
二、三铰平拱的计算
1、支座反力的计算
y a2 a1
i
HA
P2 C
f
an
Pn
M B 0
FVA F (l a )F
i
P1
A
B FHB
x l/2 l/2
l
M A 0
FVB l
Fa
FVA P2 P1 FHA C
f
FVB
i i
M C 0
N图
讨论:影响屋架内 力图的主要原因 有两个: ①高跨比f /l D 高跨比越小轴力 NDE=MC0/ f f1=0.5m， 0.75 越大屋架轴力也 F f2=0.7m A 越大。 0.75 0.75 ②f1与f2的关系 当高度f 确定 D 后，内力状态随 D f1与 f2的比例不 f =1.2m f =0 ，2 1 同而变。 D 弦杆轴力变化 幅度不大，但上 4.5 弦杆弯矩变化幅 度很大。
结构力学第三章静定结构的受力分析
例2： MA
A
MA
FP L/2 L/2
FP
MB
B 结论
把两头的弯矩标在杆
端，并连以直线，然
后在直线上叠加上由
节间荷载单独作用在
简支梁上时的弯矩图
MB MA
FPL/4
FPL/4
2020年5月29日星期五7时56分M25秒B
§3-1 梁的内力计算的回顾
3）画剪力图
要求杆件上某点的剪力，通常是以弯矩图为
C
B FQBA
由： MA 0 FQBA (81 26) 2 9kN
也可由： Y 0 FQCA 17 8 9kN
剪力图要注意以下问题： ▲ 集中力处剪力有突变； ▲ 没有荷载的节间剪力是常数； ▲ 均布荷载作用的节间剪力是斜线； ▲ 集中力矩作用的节间剪力是常数。
2020年5月29日星期五7时56分25秒
L/2
M/2
FPL/4
L/2
M
M/2
2020年L5/月229日星期五L7/时2 56分25秒
§3-1 梁的内力计算的回顾
2）用叠加法画简支梁在几种简单荷载共同作用下 的弯矩图
例1： MA
q
MB
q
A
B=
qL2/8
MA
MB
+
+
MA
=A
qL2/8
MB
B
2020年5月29日星期五7时56分25秒
§3-1 梁的内力计算的回顾
2020年5月29日星期五7时56分25秒
§3-1 梁的内力计算的回顾
正 MAB
杆端内力
FNAB
A端 FQAB
MBA 正
B端
FNBA
FQBA
结构力学I-第三章 静定结构的受力分析(桁架、组合结构)
FNEC FNED 33.54 kN
Y 0 FNEC sin FNED sin FNEA sin 10 kN 0
联立解出
FNEC FNED 10 5 33.5 思考：能否更快呢？ FNEC 22.36 kN， FNED 11.18 kN
00:44
静定平面桁架
• 桁架的内力计算
由力矩平衡方程 ∑ ME = 0，可求CD杆内力。
FA×d - FNCD×h = 0
FNCD = FAd / h = M0E / h
F1 F2 F3 F4 F5
M0E FA
6d
M FB
若M0E > 0，则FNCD >0 (下弦杆受拉 )
M0E是什么？
00:44
I
II
静定平面桁架
I
II
• 桁架的内力计算
简支梁
悬臂梁
伸臂梁
刚架：受弯构件，由若干直杆联结而成的结构，其中全部或部份 结点为刚结点；
A
D
B
C
简支刚架
悬臂刚架
三铰刚架
00:44
回顾
• 结构内力图
M–AB (表0) 示结构上各截面内力值的图形：弯矩图、M剪BA (0)
力图、A端轴力图；
A
B
FNA横B 坐标 -- 截面位置；
内力图 - 弯矩
A
FA
FB
– 截面法
• 例1：试求图示桁架中杆EF、ED，CD，DG的内力。
解: ⑶ 求上弦杆EF内力，力矩法；
取 ED 和 CD 杆 的 交 点 D 为 矩 心 ， 先 求 EF 杆 的 水 平 分 力
FxEF，由力矩平衡方程∑MD = 0，
FA×2d - F1×d + FxEF×H = 0
Y 0 FNEC sin FNED sin FNEA sin 10 kN 0
联立解出
FNEC FNED 10 5 33.5 思考：能否更快呢？ FNEC 22.36 kN， FNED 11.18 kN
00:44
静定平面桁架
• 桁架的内力计算
由力矩平衡方程 ∑ ME = 0，可求CD杆内力。
FA×d - FNCD×h = 0
FNCD = FAd / h = M0E / h
F1 F2 F3 F4 F5
M0E FA
6d
M FB
若M0E > 0，则FNCD >0 (下弦杆受拉 )
M0E是什么？
00:44
I
II
静定平面桁架
I
II
• 桁架的内力计算
简支梁
悬臂梁
伸臂梁
刚架：受弯构件，由若干直杆联结而成的结构，其中全部或部份 结点为刚结点；
A
D
B
C
简支刚架
悬臂刚架
三铰刚架
00:44
回顾
• 结构内力图
M–AB (表0) 示结构上各截面内力值的图形：弯矩图、M剪BA (0)
力图、A端轴力图；
A
B
FNA横B 坐标 -- 截面位置；
内力图 - 弯矩
A
FA
FB
– 截面法
• 例1：试求图示桁架中杆EF、ED，CD，DG的内力。
解: ⑶ 求上弦杆EF内力，力矩法；
取 ED 和 CD 杆 的 交 点 D 为 矩 心 ， 先 求 EF 杆 的 水 平 分 力
FxEF，由力矩平衡方程∑MD = 0，
FA×2d - F1×d + FxEF×H = 0
结构力学——组合结构-三铰拱ppt课件
（A,B,C三铰在一直线上，成为几何瞬变体。）
.
②拱内力计算：
QM
P1
N
D
HA
VA
弯矩：受拉侧做弯矩图； 剪力：垂直于拱轴线的切线（顺时针为正)； 轴力：平行于拱轴线的切线(拉为正)。
.
a1
M
P1 D
y HA x
VA
•弯矩：
由 MD0
M V A x P 1 ( x a 1 ) H y 0 M M oH y
C
Mc0q2l /8
l
Mc0 / 6
Mc0 / 6
B
A
C
B
Mc0 / 6
0.207 l 0.586 l 0.207 l
优点：方便，简单； 缺点：截面仍有弯矩。
.
②三铰曲拱：
f MM0Hy (HM c0/ f)
优点：截面弯矩很小或无弯矩； 缺点：曲线杆件施工复杂。
.
③桁架： 上弦、下弦承受弯矩；腹杆承受剪力。
其中：M o V A x P 1 (x a 1 )— 对应点的简支梁弯矩
.
Qo
Q
M
P1
φ
DH
HA
VA
•剪力：
其中：
QQ oco sH sin
Q VAP 1–– 对应点的简支梁剪力
— 切线与水平线所成锐角
（由水平向逆时针为正）
+φ -φ
左右
.
Qo M N
P1
φ
DH
y
HA x
•轴力：
VA
N Q s i n H c os
q M
qr
C
d θ
A
r
任意截面内力：
M q2r(1co )so qrdrsin () q2r(1co )sq2r(1co )s0
.
②拱内力计算：
QM
P1
N
D
HA
VA
弯矩：受拉侧做弯矩图； 剪力：垂直于拱轴线的切线（顺时针为正)； 轴力：平行于拱轴线的切线(拉为正)。
.
a1
M
P1 D
y HA x
VA
•弯矩：
由 MD0
M V A x P 1 ( x a 1 ) H y 0 M M oH y
C
Mc0q2l /8
l
Mc0 / 6
Mc0 / 6
B
A
C
B
Mc0 / 6
0.207 l 0.586 l 0.207 l
优点：方便，简单； 缺点：截面仍有弯矩。
.
②三铰曲拱：
f MM0Hy (HM c0/ f)
优点：截面弯矩很小或无弯矩； 缺点：曲线杆件施工复杂。
.
③桁架： 上弦、下弦承受弯矩；腹杆承受剪力。
其中：M o V A x P 1 (x a 1 )— 对应点的简支梁弯矩
.
Qo
Q
M
P1
φ
DH
HA
VA
•剪力：
其中：
QQ oco sH sin
Q VAP 1–– 对应点的简支梁剪力
— 切线与水平线所成锐角
（由水平向逆时针为正）
+φ -φ
左右
.
Qo M N
P1
φ
DH
y
HA x
•轴力：
VA
N Q s i n H c os
q M
qr
C
d θ
A
r
任意截面内力：
M q2r(1co )so qrdrsin () q2r(1co )sq2r(1co )s0
结构力学 第十二讲组合结构、静定结构小结
RC 0
NDA
NDK D NDE
A 90kN
10kN/m
HC
K
C RC
D
NDE
取KC段为脱离体，
MKC
10kN/m
可得： Fy 0, VKC 30kN
NKC
K
HC
C
MK 0,
M KC
10 32 2
45kN
m
VKC（上边受拉）源自同理，取结点A和AK段为脱离体，
可得 VAK 22.5kN VKA 37.5kN 4）绘制M图和V图
弯杆件的M图和V图。 解：AB杆为受
10kN/m I
弯杆，其余为
桁架杆，结构 A
KC
G
B
对称。 1）求支反力
RA
DI
E
6m
3m 3m
6m
RB
3m
RA RB 90kN ( )
2）求轴力杆的内力。
10kN/m
由截面I－I取脱离体
MC
0
NDE
3
1 2
10 92
909
0
A
NDE 135kN（拉力）
MKA 45kN m
45
45
22.5
30
37.5
A
KC
G
BA
KC
G
B
D
E
37.5 D
30 E
22.5
自学P81例5-7、P83例5-8所示组合结构
总结：
1、切断关键链杆、拆铰求解组合结构的内力。
2、桁架的内力计算，灵活运用结点法、截面法， 判零杆、等力杆，以及截面法单杆。正反对称的利 用等可以提高计算速度。
P P/2 NAB
NDA
NDK D NDE
A 90kN
10kN/m
HC
K
C RC
D
NDE
取KC段为脱离体，
MKC
10kN/m
可得： Fy 0, VKC 30kN
NKC
K
HC
C
MK 0,
M KC
10 32 2
45kN
m
VKC（上边受拉）源自同理，取结点A和AK段为脱离体，
可得 VAK 22.5kN VKA 37.5kN 4）绘制M图和V图
弯杆件的M图和V图。 解：AB杆为受
10kN/m I
弯杆，其余为
桁架杆，结构 A
KC
G
B
对称。 1）求支反力
RA
DI
E
6m
3m 3m
6m
RB
3m
RA RB 90kN ( )
2）求轴力杆的内力。
10kN/m
由截面I－I取脱离体
MC
0
NDE
3
1 2
10 92
909
0
A
NDE 135kN（拉力）
MKA 45kN m
45
45
22.5
30
37.5
A
KC
G
BA
KC
G
B
D
E
37.5 D
30 E
22.5
自学P81例5-7、P83例5-8所示组合结构
总结：
1、切断关键链杆、拆铰求解组合结构的内力。
2、桁架的内力计算，灵活运用结点法、截面法， 判零杆、等力杆，以及截面法单杆。正反对称的利 用等可以提高计算速度。
P P/2 NAB
3静定结构的受力分析-三铰拱结构力学
1 结构力学多媒体课件一、拱式结构的特征 1、拱与曲梁的区别拱式结构：指的是杆轴线是曲线，且在竖向荷载作用下会产生水平反力（推力）的结构。
FABH A ＝0 FABH A ＝0 三铰拱F PF P曲梁H≠0H≠0是否产生水平推力，是拱与梁的基本区别。
拱结构的应用：主要用于屋架结构、桥梁结构。
拱结构的应用：主要用于屋架结构、桥梁结构。
拱桥 （无铰拱）超静定拱 世界上最古老的铸铁拱桥（英国科尔布鲁克代尔桥) 万县长江大桥：世界上跨度最大的混凝土拱桥 灞陵桥是一座古典纯木结构伸臂曲拱型廊桥, 号称“渭水长虹”、“渭水第一桥” 主跨：40 米 建成时间：三峡工程对外交通专用公路下牢溪大桥（上承式钢管混凝土拱桥，主跨：160米 ，建成时间：1997）2、拱的类型三铰拱两铰拱无铰拱拉杆拱静 定 拱超 静 定 拱3、拱的优缺点a、在拱结构中，由于水平推力的存在，其各截面的弯矩要比相应简支梁或曲梁小得多，因此它的截面就可做得小一些，能节省材料、减小自重、加大跨度b、在拱结构中，主要内力是轴压力，因此可以用抗拉性能比较差而抗压性能比较好的材料来做。
c、由于拱结构会对下部支撑结构产生水平的推力，因此它需要更坚固的基础或下部结构。
同时它的外形比较复杂，导致施工比较困难，模板费用也比较大4、拱的各部分名称lf 高跨比 BACf拱顶拱轴线拱高 f拱趾 起拱线跨度 l 平拱斜拱二、三铰拱的计算 1、支座反力的计算L 2L 1Lb 2a 2b 3a 3b 1a 1k y kx kCBAfF P1F P2F P3kCBAF P1F P2F P3B M =∑0Pi iYA YAFbF FL ==∑0A M =∑0Pi iYB YBF a F FL==∑取左半跨为隔离体：CM=∑()()01111212YA P P CH F L F L a F L a M F ff⨯----==F HF H1、支座反力的计算L 2L 1Lb 2a 2b 3a 3b 1a 1k y kx kCBA fF P1F P2F P3kCBAF P1F P2F P3在竖向荷载作用下，三铰拱的支座反力有如下特点： 1）支座反力与拱轴线形状无关，而与三个铰的位置有关。
结构力学 5静定结构受力分析-三铰拱
tg 2 =
4 f 2x 1 l l
x =3
=
4 × 4 2 × 3 1 12 12
= 0.667
2 = 33 41′, sin 2 = 0.555,cos 2 = 0.832
M 2 = M 2 Hy2 = (11 × 3 2 × 3 × 15) 7.5 × 3 . = 15kN m .
q=2kN .m y
P=8kN
f=4m
0
例 5.1 三铰拱及其 所受荷载如图所示拱 的轴线为抛物线方程
y= 4f x(l x) 2 l
7.5kN
A
x 6m 3m 6m
B
H= 7.5kN VB = 9kN
计算反力
x2=3m VA =11kN
并绘制内力图。
解：（1）计算支座反力
2×6×9+8×3 VA = VA = = 11kN 12 2 × 6× 3+ 8× 9 VB = VB = = 9 kN 12 M C 11 × 6 2 × 6 × 3 H= = = 7.5kN f 4
M 0 ( x) 则轴线方程为： y ( x) ≡ H
② 竖向荷载下三铰拱的合理拱轴线 例1：求均布荷载q作用下三铰拱的合理拱轴线。
q y A l/2 l/2 C f B x
A x
q l
B
解：
q C f B l/2 x
M 0 ( x) y y ( x) = H A 1 1 2 0 M ( x) = qlx qlx l/2 2 2 1 l 1 l 2 1 2 ql ql × q × ( ) 0 MC 2 2 2 2 =8 H= = f f f 1 1 2 qlx qlx 4f 2 2 y ( x) = = 2 x(l x) 1 2 l ( ql / f ) 8
结构力学复习汇总
结构力学复习1、结构几何构造分析几何不变体系，几何可变体系（含瞬变体系）。
约束，多余约束，瞬铰（虚铰）组成规律：三刚片规则：教材规则1和规则4.两刚片规则：教材规则3和规则5.二元体规则：教材规则22、“计算自由度”的计算W=3m-(3g+2h+b)W=2j-b3、静定结构计算（1）梁（2）刚架（3）静定平面桁架（a）轴力计算：结点法、截面法、联合法（b ）零杆判别（4）静定拱（三铰拱）（a ）水平推力fM F CH 0=（水平代梁）（b ）合理拱轴线y y F M M H ⇒=-=00（5）组合结构4、结构位移计算—单位载荷法—图乘法 （1）静定结构位移计算 （2）超静定结构位移计算图示结构，EI=常数，试求A ，B 两截面的相对转角AB θ。
]18321221[122⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=a qa a qa EI ABθ 例：均布载荷q ，梁的EI=常数，弹性支座的弹簧刚度k ，求中点竖向位移C ∆。
先不考虑弹性支座2]3252832[21⨯⨯⨯⨯=∆l l ql C将梁看成刚体，因弹性支座位移012=∆⨯+∆⨯BP B C F ，k ql k F B BP2=-=∆，kqlC 42=∆ 21C C C ∆+∆=∆求A 处的转角超静定结构位移计算。
1、取图示基本结构2、虚加单位载荷，并做出虚弯矩图3、图乘法计算挠度 （)(38412896)]2838232()122221[(144422↓=-=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=∆EIql EI ql EI ql lql l ql l l EI5、影响线及其应用 （1）静力法做影响线 （2）机动法做影响线 （3）影响线应用（a ）求固定载荷作用时的量值 （b ）最不利载荷位置及其最大值图示梁，利用影响线求E 截面弯矩EM 。
做M E影响线求量值qA+=2S+yFFy121图示梁式桁架，承受汽车车队载荷，载荷为汽车—20级。
求汽车车队从B向A左行时，桁架杆1轴力的最不利载荷位置及轴力F的N1最大值。
静定梁平面刚架三铰拱
A B
HA HB VB 26.25kn() V A 53.75kn()
取半刚架研究：
M
C
0
H B 27.5kn() H A 27.5kn()
校核:
Y 53.75 26.25 10 8 0
第三章
第三章
第三章 三、三铰拱的压力线及合理拱轴的概念 1、压力线 在荷载作用下，三铰拱的任意截面一般有三个内力分量Mk、Qk、 Nk。这三个内力分量可用它的合力R代替。将三铰拱每一截面上合力 作用点用折线或曲线连接起来，这些折线或曲线成为三铰拱的压力线。
第三章 2、弯矩、剪力、荷载集度之间的微分关系
P
x dx
q(x)
q(x)
Q
N M dx
Q+dQ
N+dN M+dM
dQ q( x ) dx dM Q dx 2 d M q ( x ) d 2x
(1)在无荷区段q(x)＝０，剪力图为水平直线，弯矩图为斜直线。
（2）在q(x)＝常量段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。 其凹下去的曲线象锅底一样兜住q(x)的箭头。
（3）集中力作用点两侧，剪力值有突变、弯矩图形成尖点；集 中力偶作用点两侧，弯矩值突变、剪力值无变化。弯矩图形成尖点。
第三章
3、用“拟简支梁法”绘弯矩图
结论：
用叠加法绘 弯矩图时，先绘出控制截 面的弯矩竖标，其间若无外荷载作用，可 用直线相连；若有外荷载作用，则以上述 直线为基线，再叠加上荷载在相应简支梁 上的弯矩图。
（二）绘内力图：
H A
=0
V
A =130KN
X 0 M 0 M 0
C C
NC 0 QC 130KN M C 130KN.M
HA HB VB 26.25kn() V A 53.75kn()
取半刚架研究：
M
C
0
H B 27.5kn() H A 27.5kn()
校核:
Y 53.75 26.25 10 8 0
第三章
第三章
第三章 三、三铰拱的压力线及合理拱轴的概念 1、压力线 在荷载作用下，三铰拱的任意截面一般有三个内力分量Mk、Qk、 Nk。这三个内力分量可用它的合力R代替。将三铰拱每一截面上合力 作用点用折线或曲线连接起来，这些折线或曲线成为三铰拱的压力线。
第三章 2、弯矩、剪力、荷载集度之间的微分关系
P
x dx
q(x)
q(x)
Q
N M dx
Q+dQ
N+dN M+dM
dQ q( x ) dx dM Q dx 2 d M q ( x ) d 2x
(1)在无荷区段q(x)＝０，剪力图为水平直线，弯矩图为斜直线。
（2）在q(x)＝常量段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。 其凹下去的曲线象锅底一样兜住q(x)的箭头。
（3）集中力作用点两侧，剪力值有突变、弯矩图形成尖点；集 中力偶作用点两侧，弯矩值突变、剪力值无变化。弯矩图形成尖点。
第三章
3、用“拟简支梁法”绘弯矩图
结论：
用叠加法绘 弯矩图时，先绘出控制截 面的弯矩竖标，其间若无外荷载作用，可 用直线相连；若有外荷载作用，则以上述 直线为基线，再叠加上荷载在相应简支梁 上的弯矩图。
（二）绘内力图：
H A
=0
V
A =130KN
X 0 M 0 M 0
C C
NC 0 QC 130KN M C 130KN.M
静定结构的内力—三铰拱(建筑力学)
愈大）。
三铰拱
（2）截面内力的计算
① 截面内力的正负规定
轴力以压力为正；剪力以有使截面产生顺时针转动的趋势者为正；弯矩
以拱内侧纤维受拉者为正。
② 任意截面的内力计算
设K截面形心的坐标分别为xK、yK，K截面的法线与x轴
的夹角为φK，且左半拱的φK为正值，右半拱的φK为负值。
取三铰拱的K截面以左
部分为隔离体，得
FNE FQ0E sin E Fx cosE 134kN
三铰拱
4 三铰拱的合理拱轴线
若拱的所有截面上的弯矩都为零，这样的拱轴线为合理拱轴线。
三铰拱在竖向荷载作用下任意截面上的弯矩为
MK
M
0 K
Fx yK
由 M M 0 Fx y 0 得
M0
合理拱轴线方程为： y
Fx
M 0——代梁在该竖向荷载作用下的弯矩方程
三铰拱
C B
C
C
A
B
A
B
l
有拉杆的三铰拱
两铰拱
(c)
(a)
梁式结构在竖向荷载作用下是不会产生推力的。
C
A B
B
A
B
曲梁
三铰拱
2 三铰拱的组成
拱顶
拱轴线
f 矢高
拱趾
拱趾
l 跨度
拱顶：拱的最高点
拱趾：支座处
跨度：两支座之间的水平距离，用l表示
矢高：拱顶到两拱趾间联线的竖向距离，用f 表示 高跨比 f/l 是拱的一个重要的几何参数 工程实际中，高跨比在1／10 ~ 1之间，变化的范围很大
Fx
M
0 C
f
ql 2 f
8 ql 2 8f
合理拱轴的方程为
结构力学2-静定结构内力分析知识重点及习题解析
（1）为求解静定结构位移作准备。求解静定结构位移时，首先要求出外荷载和单 位荷载作用下的内力，然后用虚功原理（单位荷载法）进行求解。
（2）为求解超静定结构作准备。无论是位移法还是力法都要用到力的平衡条件。 （3）为求解移动荷载乃至动力荷载作用下结构的内力与位移作准备。例如影响线 和结构动力分析。 根据结构的形式及受力特点，静定结构内力分析可以分为： （1）梁与刚架的内力分析。梁与刚架由受弯杆件组成，杆件内力一般包含轴力、 剪力和弯矩，内力分析的结果是画出各杆的 N 图、Q 图及 M 图。通常做法是“逐杆绘制， 分段叠加”，并要求能做到快速准确地画出内力图。 （2）桁架结构的内力分析。桁架由只受轴力的杆件组成，因此内力分析的结果是 给出各杆件轴力。基本分析方法是结点法、截面法以及二者的联合应用。根据特殊结点 准确而快速地判断零杆，并要善于识别结点单杆和截面单杆。 （3）三铰拱的内力分析。拱是在竖向荷载作用下具有水平支座反力的结构，主要 受压，一般同时具有轴力、剪力和弯矩。对于三铰平拱可以由相应的简支梁进行快速分 析，且弯矩为 M=M0-FHy。 （4）组合结构的内力分析。组合结构由链杆和梁式杆件组成，链杆部分只受轴力， 而梁式杆除受轴力外，还受弯矩和剪力作用。因此求解的首要问题是识别链杆和梁式杆， 正确选取隔离体进行分析，为简化分析，一般尽最避免截断梁式杆。 虽然静定结构的结构形式干在万别，但其内力分析万变不离其宗，基本过程是“选 隔离体→列平衡方程→解方程求未知力”，熟练应用这一基本过程是解决复杂问题关键。 因此过程的关键一步在于选隔离体，也就是“如何拆”原结构的问题，这是问题的切入点。 值得注意的是拆原结构要以相应的内力或支座反力代替，因此要充分掌握上述各类结构
《结构力学》 静定结构内力分析知识重点及习题解析
一、知识重点 在任意荷载作用下，结构的全部反力和内力都可以由静力平衡条件确定，这样的结
（2）为求解超静定结构作准备。无论是位移法还是力法都要用到力的平衡条件。 （3）为求解移动荷载乃至动力荷载作用下结构的内力与位移作准备。例如影响线 和结构动力分析。 根据结构的形式及受力特点，静定结构内力分析可以分为： （1）梁与刚架的内力分析。梁与刚架由受弯杆件组成，杆件内力一般包含轴力、 剪力和弯矩，内力分析的结果是画出各杆的 N 图、Q 图及 M 图。通常做法是“逐杆绘制， 分段叠加”，并要求能做到快速准确地画出内力图。 （2）桁架结构的内力分析。桁架由只受轴力的杆件组成，因此内力分析的结果是 给出各杆件轴力。基本分析方法是结点法、截面法以及二者的联合应用。根据特殊结点 准确而快速地判断零杆，并要善于识别结点单杆和截面单杆。 （3）三铰拱的内力分析。拱是在竖向荷载作用下具有水平支座反力的结构，主要 受压，一般同时具有轴力、剪力和弯矩。对于三铰平拱可以由相应的简支梁进行快速分 析，且弯矩为 M=M0-FHy。 （4）组合结构的内力分析。组合结构由链杆和梁式杆件组成，链杆部分只受轴力， 而梁式杆除受轴力外，还受弯矩和剪力作用。因此求解的首要问题是识别链杆和梁式杆， 正确选取隔离体进行分析，为简化分析，一般尽最避免截断梁式杆。 虽然静定结构的结构形式干在万别，但其内力分析万变不离其宗，基本过程是“选 隔离体→列平衡方程→解方程求未知力”，熟练应用这一基本过程是解决复杂问题关键。 因此过程的关键一步在于选隔离体，也就是“如何拆”原结构的问题，这是问题的切入点。 值得注意的是拆原结构要以相应的内力或支座反力代替，因此要充分掌握上述各类结构
《结构力学》 静定结构内力分析知识重点及习题解析
一、知识重点 在任意荷载作用下，结构的全部反力和内力都可以由静力平衡条件确定，这样的结
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• • 内力图均不再为直线； 集中力作用处，剪力图将发 生突变； 集中力偶作用处，弯矩图将 发生突变； 上述公式仅适合于平拱，且 承受竖向荷载情况； 拱的内力仍然有FS=dM/ds
•
• •
例题：三铰拱所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物线方程
y 4f x l x l2
计算其反力并绘制内力图
（2）、 三铰拱的构成
拱顶 拱轴 拱趾
起拱线
矢高f
拱趾
拱跨L
带拉杆的拱： 在屋架中，为 消除水平推力 对墙或柱的影 响，在两支座 间增加一拉杆， 由拉杆来承担 水平推力
（3）、 三铰拱的分类
三铰拱
两铰拱
拉杆拱1
无铰拱
拉杆拱2
斜拱
（4）、 三铰拱的受力特点
FP 拱的基本特点是在 竖向荷载作用下会 产生水平推力，从 而大大减小拱内弯 矩。水平推力的存 在与否是区别拱与 梁的主要标志。
（3）、拱的内力图 由于拱轴线是弯曲的，所以内力图都是曲 线形的，内力图要通过逐点描图的方法绘制， 总的规律仍符合荷载和内力的微分关系。
关于内力
M 1 0 y M 0 0 FS 0 cos sin FS 0 sin cos F H FN
需强调的是，要注意区分桁杆和梁式杆。 在建立平衡方程计算中，要尽可能避免截取由桁杆 和梁式杆相连的结点。
B A FP 桁杆 A B C 梁式杆 C
B
C
（全铰）
桁杆 B
A
A
梁式杆
（组合结点）
【例】试求图示组合结构的内力，并作内力图。
4FP
A
Ⅰ
F C G -2FP 2 2F P a Ⅰ E a B
解：(1)进行几何组成分析 (2)计算支座反力
FP
C A F FP G B A
FP
FP
F C G FP
FP
B
FQ梁图
B
A
FQ图
2 FP A B F C 2 FP 2 2FP 2 2FP G
2FP
FN梁图
FPa
A
F FPa
C G
B
D
M图
E
2 FP
FN图
二、三铰拱
1、 三铰拱的组成和类型
（1）、工程上使用的拱结构实例
三铰拱是一种静定的拱式结构，在大跨度结构上用料 比梁省，因而在桥梁和屋盖中广泛应用。
曲梁
FP
拱
2、
竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
当两支座在同一水平线上时，称为等高拱或平拱，否 则称为斜拱。分析竖向荷载作用下三铰拱的内力和反 力时，与同跨度、同荷载的简支梁相对比，以便于计 算和对比分析拱的受力性质。 C FP1 FP2 f A B l
FP1 FP2
（1）、竖向荷载作用下拱反力计算 mB 0
Ⅱ 3FP
Ⅱ
a FP
2 2FP -2FP 2 FP D a a 4FP
A
F 2FP 2 2FP
C
G 2FP 2 2FP FPa
B +2FP 2FP F
(3)计算桁杆轴力 FNDE = 2FP
2FP + 3F 2FP
P
P
2FP A
2FP
F
C G 2FP
B
FP
2FP
(4)分析梁式杆内力
FP
FPa
(5)作组合结构内力图
§3-5---3-6 组合结构和三铰拱
● 本章教学基本要求：掌握静定组合结构的受力特点及
内力计算方法；了解铰拱的组成特点及其优缺点；掌握
三铰拱的反力和内力计算及内力图的绘制；掌握三铰拱 的合理拱轴线。
● 本章教学内容的重点：静定组合结构内力的计算方法；
三铰拱的反力和内力计算及内力图的绘制；三铰拱的 合理拱轴线。
FA0y
0 FBy
FAx f P1 (l1 a1 ) FAyl1 0
0 MC FBx FH f
X 0
FAx
FAyl1 P 1 (l1 a1 ) f
关于反力
FAy=YAy0 FBy=YBy0 FAx=FBx =FH FH= MC0 / f
• 拱的竖向反力与其相应简支梁 的竖向反力相等； • 水平反力只与三个铰的位置有 关而与拱轴线形状无关; • 荷载与跨度一定时，水平推力 与矢高成反比，且总是正的。 • 该组结论仅适合于平拱，且承 受竖向荷载。
（2）、竖向荷载作用下指定截面内力计算
FSK FP1 FNK KM K
由
m
K
0
0 MK MK FH y
FAx FAy
n
由
F 0
FSK FSK cos FH sin
0
A
FP1
FSK0 MK
0
由
F
n
0
0
FNK FSK sin FH cos
一、静定组合结构
组合结构是由桁杆（二力杆）和梁式杆所组成的、常用于房 屋建筑中的屋架、吊车梁以及桥梁的承重结构。
计算组合结构时，先分清各杆内力性 质，并进行几何组成分析，对可分清 主次结构的，按层次图，有次要结构 向主要结构的顺序，对结构进行内力 分析；对无主次结构关系的，则需在 求出支座反力后，先求联系桁杆的内 力，再分别求出其余桁杆以及梁式杆 的内力，最后，作出其M、FQ和FN图。
y a1 P1 a2 b1 b2
FAyl P b P2b2 0 1 1
P b P2b2 1 1 FAy l Pi bi 0 FAy l
mA 0
FBy
B
C
P2
f
A
FAx
FAy
l1
l P1 A C
l2
x
B
FBx
FBy
P2
mc 0
P a i i FB0y l
q=2kN· m C A FAy FAx f=4m l=16m FBx
[解] 1、支座反力计算 FP=8kN B FBy
FAy 14 kN
FBy 10 kN
FAx FAy FH 12kN
[解] 2、求截面 3 内力
4f y 2 x(l x ) l dy 4 f 2 (l 2 x ) dx l
FAy0
关于内力
0 M 1 0 y M 0 FS 0 cos sin FS F 0 sin cos F N H
•
• •
•
三铰拱的内力不但与荷载及三个 铰的位置有关，而且与拱轴线的 形状有关； 由于推力的存在，拱的弯矩比相 应简支梁的弯矩要小; 三铰拱在竖向荷载作用下内力轴 压为主; 公式是以左半跨推导的，对右半 跨取角度为负即可；
•
• •
例题：三铰拱所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物线方程
y 4f x l x l2
计算其反力并绘制内力图
（2）、 三铰拱的构成
拱顶 拱轴 拱趾
起拱线
矢高f
拱趾
拱跨L
带拉杆的拱： 在屋架中，为 消除水平推力 对墙或柱的影 响，在两支座 间增加一拉杆， 由拉杆来承担 水平推力
（3）、 三铰拱的分类
三铰拱
两铰拱
拉杆拱1
无铰拱
拉杆拱2
斜拱
（4）、 三铰拱的受力特点
FP 拱的基本特点是在 竖向荷载作用下会 产生水平推力，从 而大大减小拱内弯 矩。水平推力的存 在与否是区别拱与 梁的主要标志。
（3）、拱的内力图 由于拱轴线是弯曲的，所以内力图都是曲 线形的，内力图要通过逐点描图的方法绘制， 总的规律仍符合荷载和内力的微分关系。
关于内力
M 1 0 y M 0 0 FS 0 cos sin FS 0 sin cos F H FN
需强调的是，要注意区分桁杆和梁式杆。 在建立平衡方程计算中，要尽可能避免截取由桁杆 和梁式杆相连的结点。
B A FP 桁杆 A B C 梁式杆 C
B
C
（全铰）
桁杆 B
A
A
梁式杆
（组合结点）
【例】试求图示组合结构的内力，并作内力图。
4FP
A
Ⅰ
F C G -2FP 2 2F P a Ⅰ E a B
解：(1)进行几何组成分析 (2)计算支座反力
FP
C A F FP G B A
FP
FP
F C G FP
FP
B
FQ梁图
B
A
FQ图
2 FP A B F C 2 FP 2 2FP 2 2FP G
2FP
FN梁图
FPa
A
F FPa
C G
B
D
M图
E
2 FP
FN图
二、三铰拱
1、 三铰拱的组成和类型
（1）、工程上使用的拱结构实例
三铰拱是一种静定的拱式结构，在大跨度结构上用料 比梁省，因而在桥梁和屋盖中广泛应用。
曲梁
FP
拱
2、
竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
当两支座在同一水平线上时，称为等高拱或平拱，否 则称为斜拱。分析竖向荷载作用下三铰拱的内力和反 力时，与同跨度、同荷载的简支梁相对比，以便于计 算和对比分析拱的受力性质。 C FP1 FP2 f A B l
FP1 FP2
（1）、竖向荷载作用下拱反力计算 mB 0
Ⅱ 3FP
Ⅱ
a FP
2 2FP -2FP 2 FP D a a 4FP
A
F 2FP 2 2FP
C
G 2FP 2 2FP FPa
B +2FP 2FP F
(3)计算桁杆轴力 FNDE = 2FP
2FP + 3F 2FP
P
P
2FP A
2FP
F
C G 2FP
B
FP
2FP
(4)分析梁式杆内力
FP
FPa
(5)作组合结构内力图
§3-5---3-6 组合结构和三铰拱
● 本章教学基本要求：掌握静定组合结构的受力特点及
内力计算方法；了解铰拱的组成特点及其优缺点；掌握
三铰拱的反力和内力计算及内力图的绘制；掌握三铰拱 的合理拱轴线。
● 本章教学内容的重点：静定组合结构内力的计算方法；
三铰拱的反力和内力计算及内力图的绘制；三铰拱的 合理拱轴线。
FA0y
0 FBy
FAx f P1 (l1 a1 ) FAyl1 0
0 MC FBx FH f
X 0
FAx
FAyl1 P 1 (l1 a1 ) f
关于反力
FAy=YAy0 FBy=YBy0 FAx=FBx =FH FH= MC0 / f
• 拱的竖向反力与其相应简支梁 的竖向反力相等； • 水平反力只与三个铰的位置有 关而与拱轴线形状无关; • 荷载与跨度一定时，水平推力 与矢高成反比，且总是正的。 • 该组结论仅适合于平拱，且承 受竖向荷载。
（2）、竖向荷载作用下指定截面内力计算
FSK FP1 FNK KM K
由
m
K
0
0 MK MK FH y
FAx FAy
n
由
F 0
FSK FSK cos FH sin
0
A
FP1
FSK0 MK
0
由
F
n
0
0
FNK FSK sin FH cos
一、静定组合结构
组合结构是由桁杆（二力杆）和梁式杆所组成的、常用于房 屋建筑中的屋架、吊车梁以及桥梁的承重结构。
计算组合结构时，先分清各杆内力性 质，并进行几何组成分析，对可分清 主次结构的，按层次图，有次要结构 向主要结构的顺序，对结构进行内力 分析；对无主次结构关系的，则需在 求出支座反力后，先求联系桁杆的内 力，再分别求出其余桁杆以及梁式杆 的内力，最后，作出其M、FQ和FN图。
y a1 P1 a2 b1 b2
FAyl P b P2b2 0 1 1
P b P2b2 1 1 FAy l Pi bi 0 FAy l
mA 0
FBy
B
C
P2
f
A
FAx
FAy
l1
l P1 A C
l2
x
B
FBx
FBy
P2
mc 0
P a i i FB0y l
q=2kN· m C A FAy FAx f=4m l=16m FBx
[解] 1、支座反力计算 FP=8kN B FBy
FAy 14 kN
FBy 10 kN
FAx FAy FH 12kN
[解] 2、求截面 3 内力
4f y 2 x(l x ) l dy 4 f 2 (l 2 x ) dx l
FAy0
关于内力
0 M 1 0 y M 0 FS 0 cos sin FS F 0 sin cos F N H
•
• •
•
三铰拱的内力不但与荷载及三个 铰的位置有关，而且与拱轴线的 形状有关； 由于推力的存在，拱的弯矩比相 应简支梁的弯矩要小; 三铰拱在竖向荷载作用下内力轴 压为主; 公式是以左半跨推导的，对右半 跨取角度为负即可；