高中数学必修2空间几何体拔高训练答案

拔高习题二圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征(45分钟70分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是( )A.圆柱B.圆锥C.圆台D.两个共底的圆锥【解析】选D.连BD交AC于O，则AC⊥BD.BC，AB绕直线AC旋转各得一圆锥.【补偿训练】将图①所示的三角形绕直线l旋转一周，可以得到如图②所示的几何体的是( )【解析】选B.由旋转体的结构特征知，几何体由上、下两个同底的圆锥组成，因此只有B符合题意.2.如图所示，是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的平面轴对称图形，若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是( )A.该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体B.该组合体仍然关于轴l对称C.该组合体中的圆锥和球只有一个公共点D.该组合体中的球和半球只有一个公共点【解析】选A.该组合体中有一个球和一个半球，故A错误.3.(2016·银川高一检测)圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是( )A.等边三角形B.等腰直角三角形C.顶角为30°的等腰三角形D.其他等腰三角形【解析】选A.设圆锥底面圆的半径为r，依题意可知2πr=π·，则r=，故轴截面是边长为的等边三角形.4.如图所示的简单组合体，其结构特征是( )A.两个圆锥B.两个圆柱C.一个棱锥和一个棱柱D.一个圆锥和一个圆柱【解析】选D.上面是圆锥，下接一个同底的圆柱.5.如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的( )【解析】选A.该几何体自上向下是由一个圆锥，两个圆台和一个圆柱构成，是由A 中的平面图形旋转而形成的.6.过球面上任意两点A，B作大圆，可能的个数是( )A.有且只有一个B.一个或无穷多个C.无数个D.以上均不正确.Com]【解析】选B.当过AB的直线经过球心时，经过A，B的截面所得的圆都是球的大圆，这时可作无数个；当直线AB不过球心时，经过A，B，O的截面就是一个大圆，这时只能作一个大圆.【补偿训练】正三棱锥内有一个内切球，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的图是( )【解析】选C.正三棱锥的内切球与各个面的切点为正三棱锥各面的中心，所以过一条侧棱和高的截面必过该棱所对面的高线，故C正确.7.如图所示的平面结构，绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )A.一个球体B.一个球体中间挖去一个圆柱C.一个圆柱D.一个球体中间挖去一个棱柱【解析】选B.外面的圆旋转形成一个球，里面的长方形旋转形成一个圆柱.8.如图，各棱长都相等的三棱锥内接于一个球，则经过球心的一个截面图形可能是( )A.①③B.①②C.②④D.②③【解析】选A.①正确，截面过三棱锥底面的一边；②错误，截面圆内三角形的一条边不可能过圆心；③正确，为截面平行于三棱锥底面；④错误，截面圆不可能过三棱锥的底面.二、填空题(每小题5分，共10分)9.(2016·济宁高一检测)一个半径为5cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4cm，则截面圆面积为________cm2.【解析】设截面圆半径为rcm.则r2+42=52，所以r=3.所以截面圆面积为9πcm2.答案：9π10.圆台的上底面面积为π，下底面面积为16π，用一个平行于底面的平面去截圆台，该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1，则这个截面的面积为________. 【解析】如图，把圆台还原为圆锥，设截面☉O1的半径为r ，因为圆台的上底面面积为π，下底面面积为16π，所以上底面的半径为1，下底面的半径为4，所以=，设SO=x ，SO 2=4x ，则OO 2=3x ，又OO 1∶O 1O 2=2∶1，所以OO 1=2x ，在△SBO 1中，=，所以r=3.因此截面面积为9π. 答案：9π三、解答题(每小题10分，共20分)11.如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD<BC ，当梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征.【解析】如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体.12.已知圆锥的底面半径为r ，高为h ，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内接于圆锥，求这个正方体的棱长.【解题指南】过正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，将有关量放在平面图形中，建立正方体的棱长与圆锥有关量的关系即可求解.【解析】过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，如图所示.设圆锥内接正方体的棱长为x ，则在轴截面中，正方体的对角面A 1ACC 1的一组邻边的长分别为x 和x. 因为△VA 1C 1∽△VMN ，所以=.所以hx=2rh-2rx ，所以x==.即圆锥内接正方体的棱长为.【能力挑战题】如图所示，已知圆锥SO 中，底面半径r=1，母线长l =4，M 为母线SA 上的一个点，且SM=x ，从点M 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.求：(1)绳子的最短长度的平方f(x).(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离. (3)f(x)的最大值.【解析】将圆锥的侧面沿SA 展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧 AA ′的长度L 就是圆O 的周长，所以L=2πr=2π.所以∠ASM=×360°=×360°=90°.(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM，其值为AM=(0≤x≤4).所以f (x)=AM2=x2+16(0≤x≤4).(2)绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R，则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离，在△SAM中，因为S=SA·SM=AM·SR，△SAM所以SR==(0≤x≤4)，即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为(0≤x≤4).(3)因为f(x)=x2+16(0≤x≤4)是增函数，所以f(x)的最大值为f(4)=32.。

高一数学（必修2）第一章空间几何体［提高训练］一、选择题1. 下图是由哪个平面图形旋转得到的（已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为A. 1: 3 B 1:1 C 2:1 D. 3:15.如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为（）A. 8:27 B 2:3 C. 4:9 D. 2:96•有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm）,则该几何体的表面积及体积为:2 2A. 24 cm , 12 cm2 2C. 24 二cm , 36 二cm2 2B 15兀cm , 12兀cmD.以上都不正确二、填空题1. 若圆锥的表面积是15兀，侧面展开图的圆心角是600，则圆锥的体积是 __________2. 一个半球的全面积为Q，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的全面积是3. _______________________________________________________ 球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的_______________________________________________________ 倍.4. 一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高D2. 过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（）A. 1:2:3B. 1:3:5C. 1:2:4D. 1:3:93. 在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去8个三棱锥后2 7B.—3 6A.，剩下的几何体的体积是（4C.-D.4.9厘米则此球的半径A为_________ 厘米.5•已知棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3,则该棱台的体积为___________三、解答题1.（如图）在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为,3的圆柱,求圆柱的表面积2•如图，在四边形ABCD 中，.DAB =90°，. ADC =135°，AB = 5，CD =2、2，AD = 2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积空间几何体［提高训练］参考答案 一、选择题1. A 几何体是圆台上加了个圆锥，分别由直角梯形和直角三角形旋转而得2. B 从此圆锥可以看出三个圆锥， r i : r 2: r 3 = 1: 2:3, h :l 2: l 3 = 1: 2:3,3 : S 2:1 : 4 : 9B,, J$2( S )S 3 ( S 牙)1:3:5 V E 方体—8V 三棱锥=1一83舟舟-- 32 2 2 2V | :V 2 = 8: 27, r 1 : r 2 = 2:3, S<|: S 2 二 4:9V 二丄二 32 4 =12二3填空题1. 设圆锥的底面半径为 r ，母线为I , 则 2二 r =1 二丨，得 I = 6r , 3 -■:r ^rf r 6r =7「：r 2 =15二，得 r 圆锥的高.352.10Q 9 2 2 V =兀 R=xR ；hh 二 3 3 J+h 』二 2 3 3 7=2 二氏■: Ff =3 - 2 R 1° Q 9 4.12 5.28 D = 2 A , V ?= 8V 1V 二 Sh =「：r 2h 二 R 3, R = 3 64 27 =123V SS s ')h 二丄(4 16 16) 3 3 3 = 28三、解答题1.解：圆锥的高h = • 42 -222.3，圆柱的底面半径r S 表面=2$面'S ® =2二：賈“；3 弋 2— 3)3.D4.DV :V 2 -(Sh):(-Sh) -3:1 3 5.C6.A此几何体是个圆锥，r =3,1 =5,h = 4,S 表面 二二 32 必心“ 3 5 = 24 二1. 解:S表面二s圆台底面■ S圆台侧面■ s圆锥侧面=■■: 52爲心(2 5) 3. 2 2,2= 25(,2 1)7：V = \圆台一“锥=丄兀(rj+rr 2+r jh—^nr h 3 3148= ------ J I3。

人教版必修二高一数学：空间几何体练习与答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.有下列三组定义：①有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；②用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台；③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．其中正确定义的个数为（）A．0 B．1C．2 D．32．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AA1，C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则空间四边形AEFG在该正方体各面上的投影不可能是（）A．B．C．D．3．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆中的（）A．①②B．②③C．③④D．①④4．用斜二测画法画出水平放置的正方形ABCD ABCD 的面积为（ ）A ．4B ．2C ．2D5．已知边长为1的正方体的所有顶点在一个球面上，则这个球的表面积为（ ）A ．43π B ．2π C ．3π D ．4π6．如图，一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4m ，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于（ ）A ．1mB ．3m 2C ．4m 3D ．2m7．已知圆锥的母线长为5，底面周长为8π，则它的体积为（ ） A ．48π B ．64π3 C ．16πD ．80π38．某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）A．73B．143C．3 D．69．一圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥表面积为（）A．12πB．4πC．3D．16π310．已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其体对角线的长为（）A．4 B．．11．边长为）A．4B．1C．D．812．如图所示为某三棱锥的三视图，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．B．24πC．16πD．8π二、填空题：请将答案填在题中横线上．13．下列四个平面图形都是正方体的展开图，还原成正方体后，数字排列规律完全一样的两个是________．(1) (2) (3) (4)14．棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱AA1、DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为__________．15．若将边长为2 cm的正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，则所得圆柱的侧面积为__________ cm2．16．已知一个几何体的三视图如图所示（单位： cm），则该几何体的体积为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图是一个正四棱台的直观图，它的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，求此四棱台的表面积．18．在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P．问：①依据题意画出这个几何体；②这个几何体由哪几个面构成，每个面的三角形是什么三角形；③若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少．19．已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长．20．如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形，边长分别是4 cm与2 cm．如图所示，俯视图是一个边长为4 cm的正方形．（1）求该几何体的全面积；（2）求该几何体的外接球的体积．21．如图是一个空间几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图．（尺寸不作严格要求）22．一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为11的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形． （1）求该几何体的体积V ； （2）求该几何体的表面积S ．1．【答案】B【解析】由棱柱的定义可知只有①正确；②截面必须平行于底面；③其余各三角形应有一个公共顶点，所以②③都不正确．故选B ． 2．【答案】B【解析】光线由上向下照射可以得到A 的投影，光线有面ABB 1A 1照射，可以得到C 的投影，光线由侧面照射可以得到D 的投影，故选B ． 3．【答案】B【解析】若俯视图为正方形，则正视图中的边长3不成立；若俯视图为圆，则正视图中的边长3也不成立．所以其俯视图不可能为②正方形；③圆，故选B ． 4．【答案】A【解析】斜二测画法画出水平放置的正方形ABCD 的直观图，如图所示，设正方形的边长为a ，则直观图的面积为a •12a •sin45° a =2，∴正方形ABCD 的面积为a 2=4．故选A ．5．【答案】C【解析】由题意，正方体的中心为其外接球的球心，∵正方体的棱长为12，∴外接球的表面积为24π3π⨯=．故选C ． 6. 【答案】C【解析】作出该圆锥的侧面展开图，如下图所示：该小虫爬行的最短路程为PP '，在OPP '△中，OP =OP '=4，P P '=120P OP '∠=．设底面圆的半径为r ，则有1202ππ4180r =⋅，∴34=r ．故C 正确．7．【答案】C【解析】∵圆锥的底面周长为8π，∴圆锥的底面半径r =4； 又∵圆锥的母线长l =5，∴圆锥的高h =3， 所以圆锥的体积为V 13=⨯π•42×3=16π，故选C ． 8．【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2， 所以几何体的体积为11117211212232233⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A9．【答案】A【解析】底面圆的半径为r ，则12π2π42r =⋅⋅，所以r =2，所以圆锥的表面积为：221π2π412π2⋅+⋅=．故选A ． 10．【答案】B【解析】设长方体的三条棱的长分别为：,,x y z ，则2()524()36xy yz zx x y z ++=⎧⎨++=⎩，===．故选B ．11．【答案】C【解析】边长为(2=8，水平放置的正方形的面积与斜二测画法所得的直观图的面积之比为：1，=C ．12．【答案】B【解析】由已知中的三视图可得，该几何体的外接球，相当于一个棱长为1，1，2的长方体的外接球，故外接球直径2R ==S =4πR 2=24π，故选B ．13．【答案】（2）（3）【解析】 (2)(3)中，①④为相对的面，②⑤为相对的面，③⑥为相对的面，故它们的排列规律完全一样．14【解析】因为正方体内接于球，所以2R =R 2a =， 过球心O 和点E 、F 的大圆的截面图如图所示， 则直线被球截得的线段为QR ，过点O 作OP ⊥QR 于点P ，所以在△QPO 中，QR =2QP =． 15．【答案】8π【解析】将边长为2 cm 的正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周， 所得圆柱的底面圆半径为r =2 cm ，母线长为l =2 cm ．则圆柱的侧面积为S 侧=2πrl =2π×2×2=8π（ cm 2）．故答案为：8π． 16．【答案】363π2-【解析】几何体的直观图如图是一个棱柱挖去一个圆柱的几何体，几何体的体积为：213334π()232⨯⨯-⋅⋅⋅=363π2-．故答案为：363π2-．17．【答案】20+【解析】依题意，上底面和下底面的面积分别是222,4， ∵侧面是全等的等腰梯形，且侧棱长2，∴侧面高==，∴侧面面积为()1242⨯+=∴该四棱台的表面积2224420S =++=+． 18．【解析】①如图所示．②这个几何体由四个面构成，即面DEF 、面DFP 、面DEP 、面EFP ． 由题意可知DE =DF ，∠DPE =∠EPF =∠DPF =90°，所以△DEF 为等腰三角形，△DFP 、△EFP 、△DEP 为直角三角形．③由②可知，DE =DF =，EF =，所以，S △DEF 32=a 2．DP =2a ，EP =FP =a ， 所以S △DPE =S △DPF =a 2，S △EPF 12=a 2．19．【解析】设圆台的母线长为l ，∵圆台的上下底面半径分别是2、5，∴圆台的上底面面积：2π2S =⨯=上4π， 圆台的下底面面积：2π525πS =⨯=下，∴圆台的底面面积：S =S 上+S 下=29π， 又圆台的侧面积：S 侧=π（2+5）l =7πl ． ∵圆台的侧面面积等于两底面面积之和，∴7πl =29π，解得l 297=． ∴该圆台的母线长为297．20．【解析】（1）由题意可知，该几何体是长方体，底面是正方形，边长是4，高是2，因此该几何体的全面积是：2×4×4＋4×4×2=64 cm 2． 所以几何体的全面积是64 cm 2．（2）由长方体与球的性质可得，长方体的对角线是球的直径，记长方体的体对角线为d ，球的半径是r ，则d =，所以球的半径r =3． 因此球的体积V =344π27π36π 33r =⨯=(cm 3)， 所以外接球的体积是36π cm 3．21．【解析】由题可知题目所述几何体是正六棱台，画法如下：画法： （1）画轴画x 轴、y 轴、z 轴，使∠x ′O ′y ′=45°，∠x ′O ′z ′=90°（图1） （2）画底面以O ′为中心，在XOY 坐标系内画正六棱台下底面正方形的直观图ABCDEF ． 在z ′轴上取线段O ′O 1等于正六棱台的高；过O 1 画O 1M 、O 1N 分别平行O ’x ′、O ′y ′，再以O 1为中心，画正六棱台上底面正方形的直观图A ′B ′C ′E ′F ′（3）成图连接AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′，并且加以整理，就得到正六棱台的直观图（如图2）．22．【解析】（1）由三视图可知，该几何体是一个平行六面体（如图），其底面是边长为1∴V=1×1=（2）由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥面ABCD，CD⊥面BCC1B1，∴AA1=2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形∴S=2×（1×1+11×2）。

人教版高一数学必修2第一章《空间几何体》专题检测一.选择题1. 在三棱锥P-ABC 屮，PA = PB = AC = BC = 2,AB = 2A //3,PC= 1,则三棱锥P-ABC 的外接球的表而积为( )4兀 52兀 A. — B. 4兀 C. 12n D. ---------------------- 3 3【答案】D【解析】取AB 中点D,连接PD,CD,则AD = \$, PD = ^AP 2-AD 2 = h 所以ABZAPD = 60°, ^APB= 120°,设△ APB 外接圆圆心为0】，半径为「则2T = ------------ = 4 sinl20°所以r = 2.同理可得：CD = L ZACB = 120°, A ABC 的外接圆半径也为2,因为PC = PD = CD= 1,所以APCD 是等边三角形，ZPDC = 60%即二面角P-AB-C 为60。

，球心O 在平面PCD 上, 过平面PCD 的截血如图所示，则O 】D = L PD=1,所以001=^01D = —,所以OF 2 = OO J + O J F 2 = - 3 3 3D.【点睛】本小题主要考查儿何体外接球的表面积的求法，考查三角形外心的求解方法•在解决有关儿何体外 接球有关的问题时，主要的解题策略是找到球心，然后通过解三角形求得半径•找球心的方法是先找到一个 血的外心，再找另一个血的外心，球心就在两个外心垂线的交点位置.2.直三棱柱ABC ・AiB 】C ］的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA 1=2,则此球的表面积等于()52兀52兀 A. ---- B. 20兀 C- 10n D. 9 ・ 13 _ + 4 =—— ； 3 即R 2 = -,所以外接球的表而积S = 4TT R 2 = —.故选【答案】B【解析】设三角形BAC 外接圆半径为「，则= 盂=薯・•・「= 2・・・球的半径等于、夕+ 1 = “5,表面积等于4HR 2 = 20n.选B ・3. 某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（—2—H —2T【答案】C【解析】该儿何体为三棱锥，其直观图如图所示，体枳V = 1x （lx2 ><2卜2=±.故选C.4. 已知正四棱锥P-ABCD 的顶点均在球0上，且该正四棱锥的各个棱长均为2,则球0的表面积为A. 4兀B. 6兀C. 8兀D. 16n 【答案】c【解析】设点P 在底面ABCD 的投影点为O ；贝|JAO‘=-AC = Q, PA = 2, PCT 丄平面ABCD,故 2PO = 7P A 2-AO 2 = 而底iklABCD 所在截面圆的半径AO‘ = ©，故该截血圆即为过球心的圆，则球的半径 R = &‘故球O 的表面积$ = 4?rR 2 = 87T»故选C.点睛：本题考查球的内接体的判断与应用，球的表面积的求法，考查计算能力；研究球与多面体的接、切 问题主要考虑以下几个方面的问题：（1）球心与多面体中心的位置关系；（2）球的半径与多面体的棱长的A.B. 1C.-D.俯视图关系；（3）球自身的对称性与多面体的对称性；（4）能否做岀轴截面.5. 己知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）,可得这个几何体的体积是6. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为【答案】D【解析】由三视图可知，该儿何体为三棱锥，如图所示:C. 6 cm 3D. 7 cm 3【答案】A 【解析】 几何体如图四棱锥’体积为+ 2) x 2 = 4,选A.俯觀图A. 4cm 3B. 5 cm 3()A. 6yj2B. 6&C. 8D. 9AAB = 6, BC = 3忑,BD = CD = 3屈 AD = 9,故选：D点睛：思考三视图还原空间儿何体首先应深刻理解三视图Z间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等” 的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.7.我国古代数学名箸《孙子算经》中有如下问题：“今有筑城，上广二丈，下广五丈四尺，高三丈八尺，长五千五百五十尺，秋程人功三百尺•问：须工儿何？”意思是：“现要筑造底面为等腰梯形的直棱柱的城墙，其中底面等腰梯形的上底为2丈、下底为5.4丈、高为38丈，直棱柱的侧棱长为5550尺.如果一个秋天工期的单个人可以筑出300立方尺，问：一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙？”（注：一丈等于十尺）A. 24642B. 26011C. 52022D. 78033【答案】B20 + 54【解析】根据棱柱的体积公式，可得城墙所需土方为------ x 38 x 5500 = 7803300 （立方尺），一个秋夭工期2所需人数为------- = 26011,故选B.3008.已知某儿何体是两个正四棱锥的组合体，其三视图如下图所示，则该儿何体外接球的表面积为（）A. 2兀B. 2#5兀C. 4兀D. 8兀【答案】D【解析】由已知三视图得：该几何体的直观图如下可知该儿何体外接球的半径为Q则该儿何体外接球的表而积为4兀•(厨=8TI故选D9. 在空间直角坐标系O-xyz 中，四面体ABCD 的顶点坐标分别是A(0Q2), B(220), C(1.2,l), D(222).则该四而体的体积V=()二、填空题10. 在平行六面体 ABCD —A]B]C]D]中，AB = 4 , AD = 3 , A 】A=5,厶 BAD = 90。

高中数学人教版必修二第一单元《空间几何体》达标训练（含答案）一、选择题1．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是( ) A.43π B.8π3 C ．43πD ．323π【解析】 设正方体边长为a ，由题意可知，6a 2＝24，∴a ＝2. 设正方体外接球的半径为R ，则3a ＝2R ，∴R ＝3，∴V 球＝43πR 3＝43π. 【答案】 C2．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．2∶3 B ．4∶9 C.2∶ 3D.8∶27【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫43πr 3∶⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3＝r 3∶R 3＝8∶27，∴r ∶R ＝2∶3，∴S 1∶S 2＝r 2∶R 2＝4∶9. 【答案】 B3．把一个铁制的底面半径为r ，高为h 的实心圆锥熔化后铸成一个铁球，则这个铁球的半径为( )A.r h2 B.r 2h4 C.3r 2h 4D.r 2h 2【解析】 ∵13πr 2h ＝43πR 3，∴R ＝3r 2h 4. 【答案】 C4．一平面截一球得到直径是6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm ，则该球的体积是( )A.100π3 cm 3 B.208π3 cm 3 C.500π3 cm 3D.41613π3cm 3 【解析】 根据球的截面性质，有R ＝r 2＋d 2＝32＋42＝5， ∴V 球＝43πR 3＝5003π(cm 3)． 【答案】 C5．等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，它们的表面积的大小关系是( )A ．S 球<S 圆柱<S 正方体B ．S 正方体<S 球<S 圆柱C ．S 圆柱<S 球<S 正方体D ．S 球<S 正方体<S 圆柱【解析】 设等边圆柱底面圆半径为r ， 球半径为R ，正方体棱长为a ，则πr 2·2r ＝43πR 3＝a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫R r 3＝32，⎝ ⎛⎭⎪⎫a r 3＝2π，S 圆柱＝6πr 2，S 球＝4πR 2，S 正方体＝6a 2， S 球S 圆柱＝4πR 26πr 2＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫R r 2＝323<1， S 正方体S 圆柱＝6a 26πr 2＝1π·⎝ ⎛⎭⎪⎫a r 2＝34π>1，故选A. 【答案】 A 二、填空题6．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm,4 cm ，则该棱柱的侧面积为________cm 2.【解析】 棱柱的侧面积S 侧＝3×6×4＝72(cm 2)． 【答案】 727．(2015·天津高考)一个几何体的三视图如图1-3-10所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.图1-3-10【解析】 由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为V ＝13π×12×1×2＋π×12×2＝83π. 【答案】 83π 三、解答题8．一个三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图如图1-3-11所示，AA 1＝3.(1)请画出它的直观图；(2)求这个三棱柱的表面积和体积．图1-3-11【解】 (1)直观图如图所示．(2)由题意可知， S △ABC ＝12×3×332＝934. S 侧＝3×AC ×AA 1＝3×3×3＝27.故这个三棱柱的表面积为27＋2×934＝27＋932. 这个三棱柱的体积为934×3＝2734.9．(2020·大同高二检测)如图1-3-18所示(单位：cm)四边形ABCD 是直角梯形，求图中阴影部分绕AB 旋转一周所成几何体的表面积和体积．图1-3-18【解】 12S 球＝12×4π×22＝8π(cm 2)， S 圆台侧＝π(2＋5)5－22＋42＝35π(cm 2)，S 圆台下底＝π×52＝25π(cm 2)， 即该几何体的表面积为 8π＋35π＋25π＝68π(cm 2)．又V 圆台＝π3×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm 3)， V 半球＝12×4π3×23＝16π3(cm 3)． 所以该几何体的体积为V 圆台－V 半球＝52π－16π3＝140π3(cm 3)．10．一块石材表示的几何体的三视图如图1-3-19所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )图1-3-19A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，如图所示．由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大，故其半径r ＝12×(6＋8－10)＝2.因此选B.【答案】 B11．轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积.【解】 如图所示，作出轴截面，因为△ABC 是正三角形， 所以CD ＝12AC ＝2，所以AC ＝4，AD ＝32×4＝23， 因为Rt △AOE ∽Rt △ACD ， 所以OE AO ＝CD AC .设OE ＝R ，则AO ＝23－R ， 所以R 23－R ＝12，所以R ＝233.所以V 球＝43πR 3＝43π·⎝ ⎛⎭⎪⎫2333＝323π27. 所以球的体积等于323π27.。

高中数学必修二第一章《空间几何体》单元练习题(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.斜四棱柱的侧面是矩形的面最多有( )A.0个B.1个C.2个D.3个2.所给三视图表示的简单组合体的结构特征是( )A.由圆柱和圆锥组成B.由圆柱和棱锥组成C.由棱柱和圆锥组成D.由圆台和圆锥组成3.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )A.1+B.2+C.1+2D.24.圆柱的轴截面是正方形,面积是S,则它的侧面积是( )A.SB.πSC.2πSD.4πS5.若圆台两底面周长的比是1∶4,过高的中点作平行于底面的平面,则圆台被分成两部分的体积比是 ( )A.B.C.1D.6.如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为,则该几何体的俯视图可以是 ( )二、填空题(每小题4分,共12分)7.圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是 cm.8.在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形,设点M,N,P 分别是AB,BC,B 1C 1的中点,则三棱锥P-A 1MN 的体积是 .9.用一张4×8(cm 2)的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,接头忽略不计,则轴截面面积是 cm 2.三、解答题(每小题10分,共20分)10.已知四棱锥P-ABCD,其三视图和直观图如图,求该四棱锥的体积.11.如图所示,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器厚度,则球的体积是多少?高中数学必修二第一章《空间几何体》单元练习题(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.斜四棱柱的侧面是矩形的面最多有( )A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选C.根据棱柱的结构特征不可能有奇数个,因此最多2个.2.所给三视图表示的简单组合体的结构特征是( )A.由圆柱和圆锥组成B.由圆柱和棱锥组成C.由棱柱和圆锥组成D.由圆台和圆锥组成【解析】选A.由三视图可知此组合体的上方是圆柱,下方是圆锥,故选A.3.(2015·安徽高考)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )A.1+B.2+C.1+2D.2【解析】选B.由该四面体的三视图可知,该四面体的直观图如图所示:其中侧面PAC⊥底面ABC,且△PAC≌△BAC,由三视图中所给数据可知PA=PC=AB=BC=,取AC的中点O,连接PO,BO,则在Rt△POB中,PO=BO=1,可得PB=,所以S=2××2+×2×2=2+.4.(2015·西安高一检测)圆柱的轴截面是正方形,面积是S,则它的侧面积是( )A.SB.πSC.2πSD.4πS【解析】选B.设圆柱底面半径为r,则S=4r2,S侧=2πr·2r=4πr2=πS.5.若圆台两底面周长的比是1∶4,过高的中点作平行于底面的平面,则圆台被分成两部分的体积比是( )A. B. C.1 D.【解析】选D.设上、下底半径分别为r1,r2,过高中点的圆面半径为r0,由题意得r2=4r1,r0=r1,所以==.6.(2015·威海高一检测)如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为,则该几何体的俯视图可以是( )【解析】选C.当俯视图为A中正方形时,几何体为棱长为1的正方体,体积为1;当俯视图为B中圆时,几何体为底面半径为,高为1的圆柱,体积为;当俯视图为C 中三角形时,几何体为三棱柱,且底面为直角边长为1的等腰直角三角形,高为1,体积为;当俯视图为D 中扇形时,几何体为圆柱的,且体积为. 二、填空题(每小题4分,共12分)7.圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是 cm.【解析】设球的半径为rcm,则πr 2×8+πr 3×3=πr 2×6r.解得r=4. 答案:48.(2015·四川高考)在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形,设点M,N,P 分别是AB,BC,B 1C 1的中点,则三棱锥P-A 1MN 的体积是 .【解析】V=××=.答案:9.用一张4×8(cm 2)的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,接头忽略不计,则轴截面面积是 cm 2.【解析】以4为高卷起,则2πr=8,所以2r=,所以轴截面面积为cm 2;若以8为高卷起,则2πR=4,所以2R=,所以轴截面面积为cm 2.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.已知四棱锥P-ABCD,其三视图和直观图如图,求该四棱锥的体积.【解析】由三视图知底面ABCD为矩形,AB=2,BC=4.顶点P在面ABCD内的射影为BC中点E,即棱锥的高为2,则体积V P-ABCD=S ABCD×PE=×2×4×2=.11.如图所示,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器厚度,则球的体积是多少?【解析】设球半径为Rcm,根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm,球心到截面的距离为(R-2)cm,所以由42+(R-2)2=R2,得R=5,所以球的体积V=πR3=π×53=(cm3).。

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课后提升作业一棱柱、棱锥、棱台的结构特征（45分钟70分）一、选择题（每小题5分，共40分）1・下列说法中正确的是（）A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C.棱柱中一条侧棱的长就是棱柱的高D.棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形【解析】选A.棱柱的两底面互相平行，故A正确；棱柱的侧面也可能有平行的面（如正方体）,故B错；立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错；由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错.2•四棱柱有几条侧棱，几个顶点（）A.四条侧棱、四个顶点B.八条侧棱、四个顶点C.四条侧棱、八个顶点D.六条侧棱、八个顶点【解析】选C.结合正方体可知，四棱柱有四条侧棱，八个顶点.3.下列说法错误的是（）A.多面体至少有四个面B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C・长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形【解析】选D.三棱柱的侧面是平行四边形，故D错误.4•如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A.棱柱B.棱台C.由一个棱柱与一个棱锥构成D.不能确定【解析】选A.根据棱柱的结构特征，当倾斜后水槽中的水形成了以左右(或前后)两个侧面为底面的四棱柱.5. (2016 -郑州高一检测)如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是()①⑥①②④⑥①鬲②④③⑤1⑥⑤③②⑵③①④(1) ®(3)⑤(4)A. (1) (2)B.⑵(3)C.⑶(4)D.⑴(4)【解题指南】让其中一个正方形不动，其余各面沿这个正方形的各边折起，进行想象后判断.【解析】选B.在图(2) (3)中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图(2) (3)完全一样，而(1) (4)则不同.—【补偿训练】下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()【解析】选D.A, B, C中底面多边形的边数与侧面数不相等.6•若棱台上、下底面的对应边之比为1 : 2,则上、下底面的面积之比是()A. 1 ： 2B. 1 ： 4C. 2 ： 1D. 4 ： 1【解析】选B.由棱台的概念知，上、下两底面是相似的多边形，故它们的面积之比等于对应边长之比的平方，故为1 ： 4.7.(2016 -温州高一检测)在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线的条数共有() A. 20 条 B. 15 条C.12 条D.10 条【解析】选D.因为棱柱的侧棱都是平行的，所以过任意不相邻的两条侧棱的截面为一个平行四边形，共可得5个截面，每个平行四边形可得到五棱柱的两条对角线，故共有10条对角线.8.(2015 -广东高考)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值()C.至多等于4D.至多等于3【解析】选C.正四面体的四个顶点是两两距离相等的，即空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值至多等于4.二、填空题（每小题5分，共10分）9. _______________________ 在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是•（写出所有正确结论的编号）①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤ 每个面都是直角三角形的四面体.【解析】如图：①正确，如图四边形ADCB为矩形；②错误，任意选择4个顶点，若组成一个平面图形，则必为矩形或正方形，如四边形ABCD 为正方形，四边形ABCD】为矩形；③正确，如四面体A/BD；④正确，如四面体AiCiBD;⑤正确，如四面体BiABD;则正确的说法是①③④⑤.答案：①③④⑤10. （2016 -天津高一检测）一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm,则每条侧棱长为_________ cm.【解析】因为n棱柱有2n个顶点，又此棱柱有10个顶点，所以它是五棱柱，又棱柱的侧棱都相等，五条棱长的和为60cm,可知每条侧棱长为12cm.答案：12 三、解答题(每小题10分，共20分)11.根据下面对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称.(1)由8个面围成，其中2个面是互相平行且全等的六边形，其他各面都是平行四边形.(2)由5个面围成，其中一个是正方形，其他各面都是有1个公共顶点的三角形.【解析】(1)根据棱柱的结构特征可知，该几何体为六棱柱.(2)根据棱锥的结构特征可知，该几何体为四棱锥.12.已知三棱柱ABC-A z B z C z,底面是边长为1的正三角形，侧面为全等的矩形且高为8,求…点自A点出发沿着三棱柱的侧面绕行一周后到达A'点的最短路线长.B【解析】将三棱柱侧面沿侧棱AA'剪开，展成平面图形如图，则AA〃即为所求的最短路线.在RtZkAA朮〃中，AA F3, A*〃二8, 所以AA〃二\洱2 + g2=v73.A fB fC f A f,//A B C A\【延伸探究】本题条件不变，求一点自A点出发沿着三棱柱的侧面绕行两周后到达A'点的最短路线长.B【解析】将两个相同的题目中的三棱柱的侧面都沿AA'剪开，然后展开并拼接成如图所示，则AA〃即为所求的最短路线•在RtZ\AA爪〃中，AA F6, AA〃二8, 所以AA〃=V62 + 82=vl00=10.A fB f C,A,B,C f A f,【能力挑战题】如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E, F分别为AB, BC 的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A, B, C重合，重合后记为点P.问：（1）折起后形成的几何体是什么几何体?//////(2) 这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点?(3) 每个面的三角形面积为多少？【解析】(1)如图，折起后的几何体是三棱锥.(2)这个几何体共有4个面，其中ADEF 为等腰三角形，APEF 为等腰直角三角形，ADPE 和ADPF 均为直角三角形. 二(2a) 2-a 2-a 2-a 2=a 2. 关闭Word文档返回原板块(3) SAPEF —a 2, S A DPF —S A DPE — X2aXa=a 2, S ADEF —S正方形 ABCD -S APEF -S A DPF -S A DPE。

AB D E F第一章 空间几何体综合型训练一、选择题1． 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为045，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）A ． 22+B ． 221+ C ． 222+ D ． 21+ 2． 半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）A ． 33RB ． 33RC ． 35RD ． 35R 3． 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的表面积是（ ）Ａ． 28cm π Ｂ． 212cmπ Ｃ． 216cm π Ｄ． 220cm π 4． 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（ ）A ． 7 Ｂ． 6 Ｃ． 5 Ｄ． 35． 棱台上、下底面面积之比为1:9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是( )A ． 1:7 Ｂ． 2:7 Ｃ． 7:19 Ｄ． 5:166． 如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，//EF AB ,32EF =,且EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为（ ） A ． 92Ｂ． 5 Ｃ． 6 Ｄ． 152 二、填空题1． 圆台的较小底面半径为1，母线长为2，一条母线和底面的一条半径有交点且成060,则圆台的侧面积为____________．2． Rt ABC ∆中，3,4,5AB BC AC ===，将三角形绕直角边AB 旋转一周所成的几何体的体积为____________．3． 等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球___S 正方体4． 若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为3,4,5，从长方体的一条对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点,其最短路程是______________．5． 图（1）为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成;图（2）中的三视图表示的实物为_____________．6． 若圆锥的表面积为a 平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为_______________．三、解答题1． 有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190L ，假如它的两底面边长分别等于60cm 和40cm ，求它的深度为多少cm ？2． 已知圆台的上下底面半径分别是2,5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长．参考答案图（1） 图（2）一、选择题1． A恢复后的原图形为一直角梯形1(11)222S =⨯=+ 2． A2312,,,22324R r R r h V r h R πππ===== 3． B正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2R =，2412R S R ππ===4． A (3)84,7S r r l r ππ=+==侧面积5． C 中截面的面积为4个单位， 12124746919V V ++==++ 6． D 过点,E F 作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，1313152323234222V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 二、填空题1． 6π 画出圆台，则12121,2,2,()6r r l S r r l ππ====+=圆台侧面2． 16π 旋转一周所成的几何体是以BC 为半径，以AB 为高的圆锥，2211431633V r h πππ==⨯⨯= 3． <设334,3V R a a R π====2264S a S R π=====<正球4．从长方体的一条对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点,有两种方案==5． （1）4 （2）圆锥6．设圆锥的底面的半径为r ，圆锥的母线为l ，则由2l r ππ=得2l r =， 而22S r r r a ππ=+⋅=圆锥表，即23,r a r π===，即直径为3π三、解答题1.解：'1(),3V S S h h =+= 319000075360024001600h ⨯==++数学试卷及试题2．解：2229(25)(25),7l lππ+=+=。

1．1空间几何体的结构
第一课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征
空间几何体与多面体
[导入新知]
1．空间几何体
概念定义
空间几何体在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分．如果我们只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体
多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点
旋转体
由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋
转体，这条定直线叫做旋转体的轴
2．多面体
多面体定义图形及表示相关概念
棱柱有两个面互相平行，其
余各面都是四边形，并
且每相邻两个四边形的
公共边都互相平行，由
这些面所围成的多面体
叫做棱柱
上图可记作：棱柱
ABCD-A′B′C′D′
底面(底)：两个互相平行的
面
侧面：其余各面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：侧面与底面的公共顶
点
棱锥有一个面是多边形，其
余各面都是有一个公共
顶点的三角形，由这些
底面(底)：多边形面
侧面：有公共顶点的各个三
角形面。

高一数学必修二第一章空间几何形状练习题及答案练题1. 已知立方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的棱长为$6\text{cm}$ ，点$E$恰好在 $BC$ 上，在 $DE$ 上取点 $F$，试求：(1) $\angle A_1FB_1$ 的大小；(2) $EF$ 的长度。

2. 已知底面为等腰直角梯形的四面体$S-ABC$，$AB=AC=\sqrt{3}\text{cm}$，$BC=2\text{cm}$，$SA\perp AB$，$SA=2\text{cm}$，$M$ 为 $BC$ 中点，过点 $M$ 作 $SA$ 的垂线$MH$，交 $BC$ 于点 $H$。

(1)求 $SA$ 与面 $ABC$ 的夹角；(2) 求 $MH$ 的长度。

3. 在正四面体$S-ABC$中，$M$ 为 $BC$ 中点，过 $S$，$M$ 的平面与直线 $AB$ 交于点 $E$，过 $S$，$M$ 的平面与直线$BC$ 交于点 $F$。

(1) 求 $EF$ 的长；(2) 设 $SE$ 交 $AF$ 于 $N$，求 $SN$ 的长。

4. 已知棱长为 $5\text{cm}$ 的正四棱锥 $S-ABCD$，平面$ABCD$ 与平面 $SAB$ 的夹角为 $60^{\circ}$。

设 $AD$ 与平面$SBC$ 相交于 $E$，$BE$ 交平面 $SAD$ 于点 $F$。

(1) 求过顶点 $S$ 的平面与平面 $ABCD$ 的交线段的长度；(2) 过顶点 $S$ 且垂直于平面 $ABCD$ 的直线交 $EF$ 于点$G$，求 $SG$ 的长度。

答案1.(1) $\angle A_1FB_1=45^{\circ}$(2) $EF=3\sqrt{2}\text{cm}$2.(1) $\cos \angle BSA=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, 则 $\angle BSA=45^{\circ}$。

(2) $MH=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{cm}$3.(1) $EF= \dfrac{5\sqrt{3}}{3}$(2) $SN=\dfrac{5\sqrt{2}}{6}$4.(1) $SB=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$(2) $SG=\dfrac{5\sqrt{3}}{6}$以上答案仅供参考，具体求解过程需要参考相关知识点及公式计算。

第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构一、选择题1、下列各组几何体中是多面体的一组是（）A 三棱柱四棱台球圆锥B 三棱柱四棱台正方体圆台C 三棱柱四棱台正方体六棱锥D 圆锥圆台球半球2、下列说法正确的是（）A 有一个面是多边形，其余各面是三角形的多面体是棱锥B 有两个面互相平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台C 有两个面互相平行，其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱D 棱柱的两个底面互相平行，侧面均为平行四边形3、下面多面体是五面体的是（）A 三棱锥B 三棱柱C 四棱柱D 五棱锥4、下列说法错误的是（）A 一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成B 一个圆台可以由两个圆台拼合而成C 一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成D 一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成5、下面多面体中有12条棱的是（）A 四棱柱B 四棱锥C 五棱锥D 五棱柱6、在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可有几个（）A 1 个B 2 个C 3个D 4个二、填空题7、一个棱柱至少有————————个面，面数最少的棱柱有————————个顶点，有—————————个棱。

8、一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和为60，则每条侧棱长为————————————9、把等腰三角形绕底边上的高旋转1800，所得的几何体是——————10、水平放置的正方体分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示。

图中是一个正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面，“锦”表示右面，“程”表示下面。

则“祝”“你”“前”分别表示正方体的—————祝你前程似锦三、解答题：11、长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，BC ＝2，BB 1＝1，由A 到C 1在长方体表面上的最短距离为多少？AA 1B 1BCC 1D 1D12、说出下列几何体的主要结构特征（1）（2）（3）1.2空间几何体的三视图和直观图一、选择题1、两条相交直线的平行投影是（ ） A 两条相交直线 B 一条直线C 一条折线D 两条相交直线或一条直线 2、如图中甲、乙、丙所示，下面是三个几何体的三视图，相应的标号是（ ）① 长方体 ② 圆锥 ③ 三棱锥 ④ 圆柱 A ②①③ B ①②③ C ③②④ D ④③②正视图侧视图俯视图 正视图 侧视图 俯视图 正视图 侧视图 俯视图甲 乙 丙3、如果一个几何体的正视图和侧视图都是长方形，则这个几何体可能是（ ）A 长方体或圆柱B 正方体或圆柱C 长方体或圆台D 正方体或四棱锥 4、下列说法正确的是（ ）A 水平放置的正方形的直观图可能是梯形B 两条相交直线的直观图可能是平行直线C 平行四边形的直观图仍然是平行四边形D 互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直5、若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ） A 21倍 B42倍 C 2倍 D 2倍 6、如图（１）所示的一个几何体，，在图中是该几何体的俯视图的是（ ）（１） 二、选择题7、当圆锥的三视图中的正视图是一个圆时，侧视图与俯视图是两个全等的———————三角形。

数学必修2第一章讲义与习题一、学习目标：1. 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。

2. 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图与直观图，能识别上述三视图与直观图所表示的立体模型。

二、重点、难点：重点：空间几何体中的棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征；空间几何体的三视图与直观图的画法。

难点：柱、锥、台、球结构特征的概括；识别三视图所表示的空间几何体;几何体的侧面展开图，计算组合体的表面积和体积。

三、考点分析：三视图是新课程改革中出现的内容，是新课程高考的热点之一，几乎每年都考，同学们要予以足够的重视。

在高考中经常以选择、填空题的形式出现，属于基础或中档题，但也要关注三视图以提供信息为目的，出现在解答题中。

这部分知识主要考查学生的空间想象能力与计算求解能力。

1. 多面体棱柱、棱锥、棱台2. 旋转体圆柱、圆锥、圆台、球3. 三视图（1）正视图、侧视图、俯视图（2）三种视图间的关系4. 直观图水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法4. 多面体的面积和体积公式名称侧面积（S 侧）全面积（S 全）体积（V ）棱柱棱柱直截面周长×l S底·h=S 直截面·hS 侧+2S底直棱柱ch S 底·h棱锥棱锥各侧面面积之和12ch′正棱锥S 侧+S底13S 底·h棱台棱台各侧面面积之和12正棱台(c+c ′)h ′S 侧+S 上底+S1下底 3h(S上底+S下底+S上底S )下底表中S 表示面积，c′、c 分别表示上、下底面的周长，h 表示高度，h′表示斜高，l 表示13.旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S 侧2πrl πrl π(1r+r 2)lS 2 全2πr(l+r) πr(l+r) π(1r+r2)l+ π(1r+r 2 2 2) 4πR2 2V πr h（即πr l ）132hπr132 2πh(r1+r1r2+r 2)433πR表中l、h 分别表示母线长、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底面半径，r1、r2 分别表示圆台上、下底面的半径，R 表示半径。

高中数学必修高中数学必修 2 课后习题答案课后习题答案第一章第一章 空间几何体空间几何体1．1 空间几何体的结构空间几何体的结构练习练习（（第 7 页）1．（1）圆锥； （2）长方体； （3）圆柱与圆锥组合而成的组合体； （4）由一个六棱柱挖去一个圆柱体而得到的组合体。

2．（1）五棱柱； （2）圆锥 3．略习题 1．1 A 组1．（1） C； （2）C； （3）D； （4） C 2．（1）不是台体，因为几何体的“侧棱”不相交于一点，不是由平等于“底面”的平面截棱锥得到的。

（2）、（3）也不是台体，因为不是由平行与棱锥和圆锥底面的平面截得的几何体。

3．（1）由圆锥和圆台组合而成的简单组合体；（2）由四棱柱和四棱锥组合而成的简单组合体。

4．两个同心的球面围成的几何体（或在一个球体内部挖去一个同心球得到的简单组合体）。

5．制作过程略。

制作过程说明平面图形可以折叠成立体图形，立体图形可以展开为平面图形。

B 组1．剩下的几何体是棱柱，截去的几何体也是棱柱；它们分别是五棱柱和三棱柱。

2．左侧几何体的主要结构特征：圆柱和棱柱组成的简单组何体；中间几何体的主要结构特征：下部和上部都是一个圆柱截去一个圆柱组成的简单组何体；右侧几何体的主要结构特征：下部是一个圆柱体，上部是一个圆柱截去一个圆柱组成的简单组何体。

1．2 空间几何体的三视图和直观图空间几何体的三视图和直观图练习练习（（第 15 页）1．略2．（1）四棱柱（图略）；（2）圆锥与半球组成的简单组合体（图略）； （3）四棱柱与球组成的简单组合体（图略）； （4）两台圆台组合而成的简单组合体（图略）。

3．（1）五棱柱（三视图略）；（2）四个圆柱组成的简单组合体（三视图略）； 4．三棱柱练习练习（（第 19 页）1．略。

2．（1）√ （2）× （3）× （4）√ 3．A 4．略 5．略习题 1．2 A 组1．略 2．（1）三棱柱 （2）圆台 （3）四棱柱 （4）四棱柱与圆柱组合而成的简单组合体 3~5．略B 组1~2．略3．此题答案不唯一，一种答案是由15个小正方体组合而成的简单组合体，如图。

第一章 空间几何体 第1课时 多面体的结构特征一、基础过关1．下列说法中正确的是( )A ．棱柱的侧面可以是三角形B ．由6个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展开图C ．正方体的各条棱长都相等D ．棱柱的各条棱长都相等 2．棱台不具备的特点是( )A ．两底面相似B ．侧面都是梯形C ．侧棱都相等D ．侧棱延长后都交于一点3. 如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A ．棱柱B ．棱台C ．棱柱与棱锥的组合体D ．不能确定4．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是( )A ．1∶2B ．1∶4C ．2∶1D ．4∶15．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm ，则每条侧棱长为________cm. 6．在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图________(填序号)．7．如图所示为长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′，当用平面BCFE 把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．8．如图所示的是一个三棱台ABC —A 1B 1C 1，如何用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．二、能力提升9．下图中不可能围成正方体的是()10．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形； ②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； ④每个面都是等边三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体．11．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．（1）由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其它各面都是矩形； （2）由五个面围成，其中一个面是正方形，其它各面都是有一个公共顶点的全等三角形．三、探究与拓展12．正方体的截面可能是什么形状的图形？第二课时 旋转体与简单组合体的结构特征一、基础过关 1．下列说法正确的是( )A ．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥B ．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体C ．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D ．通过圆台侧面上一点，有无数条母线 2．下列说法正确的是( )A ．直线绕定直线旋转形成柱面B ．半圆绕定直线旋转形成球体C ．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台D ．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的3．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是()A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(1)(4)D ．(1)(5) 4．观察如图所示的四个几何体，其中判断正确的是()A ．a 是棱台B ．b 是圆台C ．c 是棱锥D ．d 不是棱柱5．将等边三角形绕它的一条中线旋转180°，形成的几何体是________． 6．请描述下列几何体的结构特征，并说出它的名称．（1）由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其它面都是全等 的矩形；（2）如右图，一个圆环面绕着过圆心的直线l 旋转180°.7. 如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD <BC ，当梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．二、能力提升8．下列说法正确的个数是( )①长方形绕一条直线旋转一周所形成的几何体是圆柱；②过圆锥侧面上一点有无数条母线；③圆锥的母线互相平行． A ．0B ．1C ．2D ．39．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的()10．已知球O 是棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 所得的截面面积为________．11．以直角三角形的一条边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体有哪些？三、探究与拓展12．如图所示，圆台母线AB 长为20 cm ，上、下底面半径分别为5 cm 和10 cm ，从母线AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到B 点，求这条绳长的最小值．§1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.1 中心投影与平行投影 1.2.2 空间几何体的三视图一、基础过关 1．下列命题正确的是( )A ．矩形的平行投影一定是矩形B ．梯形的平行投影一定是梯形C ．两条相交直线的投影可能平行D ．一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点 2．如图所示的一个几何体，哪一个是该几何体的俯视图()3．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图()5．根据如图所示俯视图，找出对应的物体．(1)对应________；(2)对应________；(3)对应________；(4)对应________；(5)对应________．6．若一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是______和________．7．在下面图形中，图(b)是图(a)中实物画出的正视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出侧视图(尺寸不作严格要求)．8．画出如图所示的四棱锥和三棱柱的三视图．二、能力提升9．一个长方体去掉一角的直观图如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是()10．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱11．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是________．12．如图，螺栓是棱柱和圆柱的组合体，画出它的三视图．三、探究与拓展13．用小立方体搭成一个几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？1.2.3空间几何体的直观图一、基础过关1．下列结论：①角的水平放置的直观图一定是角；②相等的角在直观图中仍然相等；③相等的线段在直观图中仍然相等；④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．其中正确的有()A．①②B．①④C．③④D．①③④2．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于()A．45°B．135°C．90°D．45°或135°3．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是()4．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的()5．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论中，正确的是______________．(填序号)6．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为____________．7．如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S.求梯形OABC的面积．8．如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．二、能力提升9．如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1 cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是( )A ．8 cmB ．6 cmC ．2(1＋3) cmD ．2(1＋2) cm10．如图所示的是水平放置的△ABC 在直角坐标系的直观图，其中D ′是A ′C ′的中点，且∠A ′C ′B ′≠30°，则原图形中与线段BD 的长相等的线段有________条． 11．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO ，它在直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为________．12．如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4 cm ，CD ＝2 cm ，∠DAB ＝30°，AD ＝3 cm ，试画出它的直观图．三、探究与拓展13．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A ′B ′C ′D ′，如图，其中的对角线A ′C ′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．§1.3 空间几何体的表面积与体积第一课时 柱体、锥体、台体的表面积一、基础过关1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为( )A ．8B ．8πC ．4πD ．2π2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比为 ( )A ．1＋2π2πB ．1＋4π4πC ．1＋2ππD ．1＋4π2π3．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于()A ．6B ．6πC ．35πD ．65π 4．三视图如图所示的几何体的全面积是()A ．7＋ 2B ．112＋2C ．7＋ 3D ．325．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________． 6．一简单组合体的三视图及尺寸如下图所示(单位：cm)，则该组合体的表面积为________cm 2.7．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．8．长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，宽、长、高分别为3、4、5，现有一个小虫从A 出发沿长方体表面爬行到C 1来获取食物，求其路程的最小值．二、能力提升9．已知由半圆的四分之三截成的扇形的面积为B ，由这个扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A ∶B 等于( ) A ．11∶8B ．3∶8C ．8∶3D ．13∶8 10．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为()A ．372B ．360C ．292D ．28011．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．12．有一根长为3π cm ，底面半径为1 cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度．三、探究与拓展13．有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)．第二课时 柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积一、基础过关1．一个三棱锥的高和底面边长都缩小为原来的12时，它的体积是原来的( )A ．12B ．14C ．18D ．242．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为 ( )A ．1∶9B ．1∶27C ．1∶3D ．1∶1 3．已知直角三角形的两直角边长为a 、b ，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为( )A ．a ∶bB ．b ∶aC ．a 2∶b 2D ．b 2∶a 24．若球的体积与表面积相等，则球的半径是( )A ．1B ．2C ．3D ．45．将一钢球放入底面半径为3 cm 的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm ，则钢球的半径是________ cm. 6．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥A －BB 1D 1D 的体积为______ cm 3.7．（1）表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是______；（2）体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是______．8．在球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果P A 、PB 、PC 两两垂直且P A ＝PB ＝PC ＝a ，求这个球的体积．二、能力提升9．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积和体积分别为( )A ．24π cm 2,12π cm 3B ．15π cm 2,12π cm 3C ．24π cm 2,36π cm 3D ．以上都不正确10．圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的体积和表面积分别为( )A ．2π，6πB ．3π，5πC ．4π，6πD ．2π，4π11．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________ m 3.12．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．三、探究与拓展13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．章末检测一、选择题1．如图所示的长方体，将其左侧面作为上底面，右侧面作为下底面，水平放置，所得的几何体是 ( ) A ．棱柱B ．棱台C ．棱柱与棱锥组合体D ．无法确定1题图 2题图2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能．．．为：①长方形；②正方形；③圆．其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．①②3．如图所示的正方体中，M、N分别是AA1、CC1的中点，作四边形D1MBN，则四边形D1MBN在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是()4．如图所示的是水平放置的三角形直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边上的一点，且D′离C′比D′离B′近，又A′D′∥y′轴，那么原△ABC的AB、AD、AC三条线段中()A．最长的是AB，最短的是AC B．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是AD D．最长的是AD，最短的是AC4题图5题图5．具有如图所示直观图的平面图形ABCD是()A．等腰梯形B．直角梯形C．任意四边形 D．平行四边形6．如图是一个几何体的三视图，则在此几何体中，直角三角形的个数是()A．1 B．2 C．3 D．47．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A．6 B．9 C．12 D．188．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为()A.6πB．43πC．46πD．63π9．如图所示，则这个几何体的体积等于()A．4 B．6 C．8 D．1210．将正三棱柱截去三个角(如图1所示，A，B，C分别是△GHI三边的中点)得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图为选项图中的()11．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为()A．120°B．150°C．180°D．240°12．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为()A．26B．36C．23D．22二、填空题13．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱14．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于________ cm3.15．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________．16．一个水平放置的圆柱形储油桶(如图所示)，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的14，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是________．三、解答题17．某个几何体的三视图如图所示(单位：m)，（1）求该几何体的表面积(结果保留π)；（2）求该几何体的体积(结果保留π)．18．如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图如图．（1）在给定的直角坐标系中作出这个几何体的直观图(不写作法)；（2）求这个几何体的体积．19．如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD 绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．20．如图所示，有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72 cm，要剪下来一个扇形环ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)．试求：（1）AD的长；（2）容器的容积．第一章空间几何体参考答案第1课时多面体的结构特征参考答案1．C 2.C 3.A 4.B 5.12 6.①②7．解截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义．它是三棱柱BEB′—CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．EF，B′C′，BC是侧棱，截面BCFE左侧部分也是棱柱．它是四棱柱ABEA′—DCFD′.其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．A′D′，EF，BC，AD为侧棱．8．解过A1、B、C三点作一个平面，再过A1、B、C1作一个平面，就把三棱台ABC—A1B1C1分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A1—ABC，B—A1B1C1，A1—BCC1.9．D10.①③④⑤11．解(1)该几何体有两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形，可满足每相邻两个面的公共边都相互平行，故该几何体是六棱柱．(2)该几何体的其中一个面是四边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共顶点，因此该几何体是四棱锥．12．解本问题可以有如下各种答案：①截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形；②截面三角形是锐角三角形；③截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行；④截面可以是五边形；⑤截面可以是六边形；⑥截面六边形可以是等角(均为120°)的六边形．特别地，可以是正六边形．截面图形举例第二课时旋转体与简单组合体的结构特征参考答案1．C 2.D 3.D 4.C 5.圆锥6．解(1)特征：具有棱柱的特征，且侧面都是全等的矩形，底面是正五边形．几何体为正五棱柱．(2)由两个同心的大球和小球，大球里去掉小球剩下的部分形成的几何体，即空心球．7．解如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．8．A9.B10.π611．解 假设直角三角形ABC 中，∠C ＝90°.以AC 边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图(1)所示．当以BC 边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图(2)所示． 当以AB 边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图(3)所示．12．解 作出圆台的侧面展开图，如图所示，由其轴截面中Rt △OP A 与Rt △OQB 相似，得OA OA ＋AB ＝510，可Q 的周长相等，求得OA ＝20 cm.设∠BOB ′＝α，由于扇形弧BB ′的长与底面圆而底面圆Q 的周长为2π×10 cm.扇形OBB ′的半径为OA ＋AB ＝20＋20＝40 cm ，扇度20π为所在圆形OBB ′所在圆的周长为2π×40＝80π cm.所以扇形弧BB ′的长周长的14.所以OB ⊥OB ′.所以在Rt △B ′OM 中，B ′M 2＝402＋302，所以B ′M ＝50 cm ，即所求绳长的最小值为50 cm.1.2.1 中心投影与平行投影1.2.2 空间几何体的三视图参考答案1．D 2.C 3.D 4．C5．(1)D (2)A (3)E (4)C (5)B 6.2 47．解 图(a)是由两个长方体组合而成的，正视图正确，俯视图错误，俯视图应该画出不可见轮廓线(用虚线表示)，侧视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)，正确画法如图所示．8．解 三视图如图所示：9．A 10．D 11．612．解 该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，正视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重合)．它的三视图如图所示．13．解 由于正视图中每列的层数即是俯视图中该列的最大数字，因此，用的立方块数最多的情况是每个方框都用该列的最大数字，即如图①所示，此种情况共用小立方块17块．而搭建这样的几何体用方块数最少的情况是每列只要有一个最大的数字，其他方框内的数字可减少到最少的1，即如图②所示，这样的摆法只需小立方块11块．1.2.3 空间几何体的直观图参考答案1．B 2.D 3.C 4.C 5.①② 6.2.57．解 设O ′C ′＝h ，则原梯形是一个直角梯形且高为2h .过C ′作C ′D ′⊥O ′A ′于D ′，则C ′D ′＝22h . 由题意知12C ′D ′(C ′B ′＋O ′A ′)＝S .即24h (C ′B ′＋O ′A ′)＝S . 又原直角梯形面积为S ′＝12·2h (C ′B ′＋O ′A ′)＝h (C ′B ′＋O ′A ′)＝4S2＝22S .所以梯形OABC 的面积为22S .8．解 (1)作出长方体的直观图ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图a 所示；(2)再以上底面A 1B 1C 1D 1的对角线交点为原点建立x ′，y ′，z ′轴，如图b 所示，在z ′上取点V ′，使得V ′O ′的长度为棱锥的高，连接V ′A 1，V ′B 1，V ′C 1，V ′D 1，得到四棱锥的直观图，如图b ； (3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图c.9．A 10.2 11.2212．解 画法：步骤：(1)如图a 所示，在梯形ABCD 中， 以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点， 建立平面直角坐标系xOy .如图b 所示，画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°. (2)在图a 中，过D 点作DE ⊥x 轴，垂足为E .在图b 中， 在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm ，A ′E ′＝AE ＝323≈2.598 cm ；过点E ′作E ′D ′∥y ′轴，使E ′D ′＝12ED ＝12×32＝0.75 cm ，再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴，且使D ′C ′＝DC ＝2 cm.(3)连接A ′D ′、B ′C ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图c 所示，则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．13．解 四边形ABCD 的真实图形如图所示，∵A ′C ′在水平位置，A ′B ′C ′D ′为正方形， ∴∠D ′A ′C ′＝∠A ′C ′B ′ ＝45°，∴在原四边形ABCD 中， DA ⊥AC ，AC ⊥BC ， ∵DA ＝2D ′A ′＝2， AC ＝A ′C ′＝2，∴S 四边形ABCD ＝AC ·AD ＝2 2.第一课时 柱体、锥体、台体的表面积参考答案1．B 2．A 3．C 4.A 5.60° 6.12 800 7.28．解 把长方体含AC 1的面作展开图，有三种情形如图所示：利用勾股定理可得AC 1的长分别为90、74、80.由此可见图②是最短路线，其路程的最小值为74. 9．A 10．B 11．3812．解 把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD (如图所示)，由题意知BC ＝3π cm ，AB ＝4π cm ，点A 与点C 分别是铁丝的起、止位置，故线段AC 的长度即为铁丝的最短长度． AC ＝AB 2＋BC 2＝5π cm ， 故铁丝的最短长度为5π cm.13．解 易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，2，1.考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平面的面积之和为下底面积最大正方体的底面面积的二倍． ∴S 表＝2S 下＋S 侧＝2×22＋4×[22＋(2)2＋12]＝36. ∴该几何体的表面积为36.第二课时 柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积参考答案1．C 2.A 3.B 4.C 5.3 6．6 7．(1)球 (2)球8．解 ∵P A 、PB 、PC 两两垂直，P A ＝PB ＝PC ＝a .∴以P A 、PB 、PC 为相邻三条棱可以构造正方体． 又∵P 、A 、B 、C 四点是球面上四点，∴球是正方体的外接球，正方体的对角线是球的直径．∴2R ＝3a ，R ＝32a ，∴V ＝43πR 3＝43π(32a )3＝32πa 3.9．A 10.A 11.9π＋1812．解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r ，水面的半径为3r ，则容器内水的体积为V ＝V 圆锥－V球＝13π·(3r )2·3r －43πr 3＝53πr 3， 而将球取出后，设容器内水的深度为h ，则水面圆的半径为33h ，从而容器内水的体积是V ′＝13π·(33h )2·h ＝19πh 3，由V ＝V ′，得h ＝315r . 即容器中水的深度为315r .13．解 设正方体的棱长为a .如图所示．(1)中正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面， 所以有2r 1＝a ，r 1＝a 2，所以S 1＝4πr21＝πa 2.(2)中球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点， 过球心作正方体的对角面得截面，2r 2＝2a ，r 2＝22a ，所以S 2＝4πr 22＝2πa 2.(3)中正方体的各个顶点在球面上， 过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r 3＝3a ，r 3＝32a ，所以S 3＝4πr 23＝3πa 2.综上可得S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3.章末检测答案1．A 2.B 3.D 4．C 5．B 6．D 7.B 8.B 9．A 10．A 11．C 12．A 13．①②③⑤ 14．1 15.24π16.14－12π17．解 由三视图可知：该几何体的下半部分是棱长为2 m 的正方体，上半部分是半径为1 m 的半球．(1)几何体的表面积为S ＝12×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π(m 2)．(2)几何体的体积为V ＝23＋12×43×π×13＝8＋2π3(m 3)．18．解 (1)直观图如图．(2)这个几何体是一个四棱锥． 它的底面边长为2，高为3，所以体积V ＝13×22×3＝433.19．解 S 表面＝S 圆台底面＋S 圆台侧面＋S 圆锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×2 2 ＝(42＋60)π.V ＝V 圆台－V 圆锥＝13π(r 21＋r 1r 2＋r 22)h －13πr 21h ′ ＝13π(25＋10＋4)×4－13π×4×2 ＝1483π. 20．解 (1)设圆台上、下底面半径分别为r 、R ，AD ＝x ，则OD ＝72－x ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2πR ＝60·π180×7272－x ＝3R，∴⎩⎪⎨⎪⎧R ＝12x ＝36.即AD 应取36 cm.(2)∵2πr ＝π3·OD ＝π3·36，∴r ＝6 cm ，圆台的高h ＝x 2－(R －r )2＝362－(12－6)2＝635. ∴V ＝13πh (R 2＋Rr ＋r 2)＝13π·635·(122＋12×6＋62)＝50435π(cm 3)．。

高中数学练习册答案（必修2）第一章 空间几何体 [基础训练A 组] 一、选择题1. A 从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断是棱台2.A 因为四个面是全等的正三角形，则34434S S ==⨯=表面积底面积 3.B 长方体的对角线是球的直径，22225234552,252,,4502l R R S R ππ=++===== 4.D 正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，设棱长是a32,32,1322aaa r r a r r r r =====内切球内切球外接球外接球内切球外接球，，：： 5.D 213(1 1.51)32V V V r ππ=-=+-=大圆锥小圆锥6.D 设底面边长是a ，底面的两条对角线分别为12,l l ，而22222212155,95,l l =-=-而222124,l l a +=即22222155954,8,485160a a S ch -+-====⨯⨯=侧面积 二、填空题1.5,4,3 符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台2.1:22:33 333333123123::1:2:3,::1:(2):(3)1:22:33r r r r r r ===3. 316a 画出正方体，平面11AB D 与对角线1A C 的交点是对角线的三等分点，三棱锥11O AB D -的高23311331,2333436h a V Sh a a ===⨯⨯⨯= 或：三棱锥11O AB D -也可以看成三棱锥11A OB D -，显然它的高为AO ，等腰三角形11OB D 为底面。

4. 平行四边形或线段5．6 设2,3,6,ab bc ac ===则6,3,2,1abc c a c ====3216l =++=15 设3,5,15ab bc ac ===则2()225,15abc V abc ===三、解答题1．解：（1）如果按方案一，仓库的底面直径变成16M ,则仓库的体积23111162564()3323V Sh M ππ⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭如果按方案二，仓库的高变成8M ，则仓库的体积23211122888()3323V Sh M ππ⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成16M ,半径为8M .棱锥的母线长为228445l =+= 则仓库的表面积21845325()S M ππ=⨯⨯= 如果按方案二，仓库的高变成8M .棱锥的母线长为228610l =+= 则仓库的表面积2261060()S M ππ=⨯⨯=（3）21V V > ，21S S < ∴方案二比方案一更加经济2. 解：设扇形的半径和圆锥的母线都为l ，圆锥的半径为r ，则21203,3360l l ππ==；232,13r r ππ⨯==； 24,S S S rl r πππ=+=+=侧面表面积底面 21122122333V Sh ππ==⨯⨯⨯=第一章 空间几何体 [综合训练B 组] 一、选择题1.A 恢复后的原图形为一直角梯形1(121)2222S =++⨯=+ 2.A 233132,,,22324R R r R r h V r h R ππππ===== 3.B 正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则232R =， 23,412R S R ππ=== 4.A (3)84,7S r r l r ππ=+==侧面积 5.C 中截面的面积为4个单位，12124746919V V ++==++ 6.D 过点,E F 作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，1313152323234222V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=二、填空题1.6π 画出圆台，则12121,2,2,()6r r l S r r l ππ====+=圆台侧面2.16π 旋转一周所成的几何体是以BC 为半径，以AB 为高的圆锥， 2211431633V r h πππ==⨯⨯= 3.< 设333343,,34VV R a a V R ππ====， 333322222266216,436216S a V V S R V V ππ=====<正球4.74 从长方体的一条对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点,有两种方案22224(35)80,5(34)74++=++=或 5.（1）4 （2）圆锥 6．233aππ设圆锥的底面的半径为r ，圆锥的母线为l ，则由2l r ππ=得2l r =，而22S r r r a ππ=+⋅=圆锥表，即233,33a a r a r ππππ===，即直径为233a ππ三、解答题1. 解：''''13(),3V V S SS S h h S SS S=++=++319000075360024001600h ⨯==++2. 解：2229(25)(25),7l l ππ+=+=空间几何体 [提高训练C 组] 一、选择题1.A 几何体是圆台上加了个圆锥，分别由直角梯形和直角三角形旋转而得2.B 从此圆锥可以看出三个圆锥，123123::1:2:3,::1:2:3,r r r l l l == 12312132::1:4:9,:():()1:3:5S S S S S S S S =--=3.D 111115818322226V V -=-⨯⨯⨯⨯⨯=正方体三棱锥 4.D 121:():()3:13V V Sh Sh ==5.C 121212:8:27,:2:3,:4:9V V r r S S ===6.A 此几何体是个圆锥，23,5,4,33524r l h S πππ====⨯+⨯⨯=表面2134123V ππ=⨯⨯=二、填空题 1．2537π 设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，则123r l ππ=，得6l r =，226715S r r r r ππππ=+⋅==，得157r =，圆锥的高15357h =⋅21115152533533777V r h πππ==⨯⨯⨯=2.109Q 22223,3Q S R R R Q R ππππ=+===全32222221010,,2233339V R R h h R S R R R R Q πππππ==⋅==+⋅== 3.8 21212,8r r V V ==4.12 2334,6427123V Sh r h R R ππ====⨯=5.28 ''11()(441616)32833V S SS S h =++=⨯+⨯+⨯= 三、解答题1.解：圆锥的高224223h =-=，圆柱的底面半径1r =，223(23)S S S πππ=+=+⨯=+侧面表面底面 2. 解：S S S S =++表面圆台底面圆台侧面圆锥侧面25(25)32222πππ=⨯+⨯+⨯+⨯⨯ 25(21)π=+V V V =-圆台圆锥222112211()331483r r r r h r hπππ=++-=第二章点、直线、平面之间的位置关系 [基础训练A组]一、选择题1. A ⑴两条直线都和同一个平面平行，这两条直线三种位置关系都有可能⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线三种位置关系都有可能⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线也可在这个平面内2. D 对于前三个，可以想象出仅有一个直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；对角为直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；在翻折的过程中，某个瞬间出现了有三个直角的空间四边形3.D 垂直于同一条直线的两条直线有三种位置关系4.B 连接,VF BF，则AC垂直于平面VBF，即AC PFDE AC，⊥，而//∴⊥DE PF5.D 八卦图可以想象为两个平面垂直相交，第三个平面与它们的交线再垂直相交6.C 当三棱锥D ABC⊥，取AC的中点-体积最大时，平面DAC ABCO，则△DBO是等要直角三角形，即0∠=DBO45二、填空题1.异面或相交就是不可能平行2.0030,90⎡⎤⎣⎦ 直线l 与平面α所成的030的角为m 与l 所成角的最小值，当m 在α内适当旋转就可以得到l m ⊥，即m 与l 所成角的的最大值为0903.63 作等积变换：12341313(),3434d d d d h ⨯⨯+++=⨯⨯而63h = 4.060或0120 不妨固定AB ，则AC 有两种可能5.2 对于（1）、平行于同一直线的两个平面平行，反例为：把一支笔放在打开的课本之间；（2）是对的；（3）是错的；（4）是对的 三、解答题1.证明：//,////EH BCD FG BCD EH BCD BD BCD EH BD EH FG ⊄⎫⎪⊂⇒⊂⇒⎬⎪⎭2.略第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [综合训练B 组] 一、选择题1.C 正四棱柱的底面积为4，正四棱柱的底面的边长为2，正四棱柱的底面的对角线为22，正四棱柱的对角线为26，而球的直径等于正四棱柱的对角线， 即226R =，26,424R S R ππ===球2.D 取BC 的中点G ，则1,2,,EG FG EF FG ==⊥则EF 与CD 所成的角030EFG ∠=3.C 此时三个平面两两相交，且有三条平行的交线4.C 利用三棱锥111A AB D -的体积变换：111111A AB D A A B D V V --=，则1124633h ⨯⨯=⨯⨯ 5.B 11221133332212A A BD D A BAa a a V V Sh --===⨯⨯= 6. D 一组对边平行就决定了共面；同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就明确了 二、填空题1．27 分上、中、下三个部分，每个部分分空间为9个部分，共27部分2．异面直线；平行四边形；BD AC =；BD AC ⊥；BD AC =且BD AC ⊥ 3．0604．060 注意P 在底面的射影是斜边的中点 5．32a三、解答题1．证明：//b c ，∴不妨设,b c 共面于平面α，设,a b A a c B == ,,,A a B a A B αα∴∈∈∈∈，即a α⊂，所以三线共面 2．提示：反证法 3．略第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [提高训练C 组] 一、选择题1． A ③若m //α，n //α，则m n //，而同平行同一个平面的两条直线有三种位置关系④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ，而同垂直于同一个平面的两个平面也可以相交2． C 设同一顶点的三条棱分别为,,x y z ，则2222222,,x y a y z b x z c +=+=+=得2222221()2x y z a b c ++=++，则对角线长为22222212()22a b c a b c ++=++ 3．B 作等积变换A BCD C ABD V V --=4．B BD 垂直于CE 在平面ABCD 上的射影 5．C BC PA BC AH ⊥⇒⊥6．C 取AC 的中点E ，取CD 的中点F ，123,,222EF BE BF === 3cos 3EF BF θ== 7．C 取SB 的中点G ，则2aGE GF ==，在△SFC 中，22EF a =，045EFG ∠=二、填空题1.5cm 或1cm 分,A B 在平面的同侧和异侧两种情况2.48 每个表面有4个，共64⨯个；每个对角面有4个，共64⨯个3.090 垂直时最大4.030 底面边长为23，高为1，1tan 3θ=5.11 沿着PA 将正三棱锥P ABC -侧面展开，则',,,A D E A 共线，且'//AA BC三、解答题：略第三章 直线和方程 [基础训练A 组] 一、选择题1.D tan 1,1,1,,0ak a b a b bα=-=--=-=-=2.A 设20,x y c ++=又过点(1,3)P -，则230,1c c -++==-，即210x y +-=3.B 42,82m k m m -==-=-+ 4.C ,0,0a c a cy x k b b b b=-+=->< 5.C 1x =垂直于x 轴，倾斜角为090，而斜率不存在 6.C 2223,m m m m +--不能同时为0 二、填空题 1.322 1(1)13222d --+== 2. 234:23,:23,:23,l y x l y x l x y =-+=--=+ 3.250x y --= '101,2,(1)2(2)202k k y x --==-=--=-- 4.8 22x y +可看成原点到直线上的点的距离的平方，垂直时最短：4222d -==5. 23y x = 平分平行四边形ABCD 的面积，则直线过BD 的中点(3,2) 三、解答题1. 解：（1）把原点(0,0)代入A x B yC ++=0，得0C =；（2）此时斜率存在且不为零即0A ≠且0B ≠；（3）此时斜率不存在，且不与y 轴重合，即0B =且0C ≠；（4）0,A C ==且0B ≠（5）证明：()00P x y ，在直线A x B yC ++=0上 00000,Ax By C C Ax By ∴++==-- ()()000A x x B y y ∴-+-=。