高等数学同济六版教学导数与微分

§2. 3 高阶导数一般地, 函数y =f (x )的导数y '=f '(x )仍然是x 的函数. 我们把y '=f '(x )的导数叫做函数y =f (x )的二阶导数, 记作 y ''、f ''(x )或22dx y d , 即 y ''=(y ')', f ''(x )=[f '(x )]' , )(22dxdy dx d dx y d =. 相应地, 把y =f (x )的导数f '(x )叫做函数y =f (x )的一阶导数.类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, ⋅ ⋅ ⋅, 一般地, (n -1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作y ''', y (4), ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) 或33dx y d , 44dx y d , ⋅ ⋅ ⋅ , nn dx y d . 函数f (x )具有n 阶导数, 也常说成函数f (x )为n 阶可导. 如果函数f (x )在点x 处具有n 阶导数, 那么函数f (x )在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数. 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数.y '称为一阶导数, y '', y ''', y (4), ⋅ ⋅ ⋅, y (n )都称为高阶导数.例1．y =ax +b , 求y ''.解: y '=a , y ''=0.例2．s =sin ω t , 求s ''.解: s '=ω cos ω t , s ''=-ω 2sin ω t .例3．证明: 函数22x x y -=满足关系式y 3y ''+1=0.证明: 因为22212222x x x x x x y --=--=', 22222222)1(2x x x x x x x x y -------='')2()2()1(22222x x x x x x x ----+-=32321)2(1y x x -=--=, 所以y 3y ''+1=0.例4．求函数y =e x 的n 阶导数.解; y '=e x , y ''=e x , y '''=e x , y ( 4)=e x ,一般地, 可得y ( n )=e x ,即 (e x )(n )=e x .例5．求正弦函数与余弦函数的n 阶导数.解: y =sin x ,)2sin(cos π+=='x x y ,)22sin()2 2 sin()2 cos(ππππ⋅+=++=+=''x x x y , )23sin()2 2 2sin()2 2cos(ππππ⋅+=+⋅+=⋅+='''x x x y , )24sin()2 3cos()4(ππ⋅+=⋅+=x x y , 一般地, 可得)2 sin()(π⋅+=n x y n , 即)2sin()(sin )(π⋅+=n x x n . 用类似方法, 可得)2cos()(cos )(π⋅+=n x x n . 例6．求对函数ln(1+x )的n 阶导数解: y =ln(1+x ), y '=(1+x )-1, y ''=-(1+x )-2,y '''=(-1)(-2)(1+x )-3, y (4)=(-1)(-2)(-3)(1+x )-4,一般地, 可得y (n )=(-1)(-2)⋅ ⋅ ⋅(-n +1)(1+x )-n n n x n )1()!1()1(1+--=-, 即 nn n x n x )1()!1()1()]1[ln(1)(+--=+-. 例6．求幂函数y =x μ (μ是任意常数)的n 阶导数公式.解: y '=μx μ-1,y ''=μ(μ-1)x μ-2,y '''=μ(μ-1)(μ-2)x μ-3,y ( 4)=μ(μ-1)(μ-2)(μ-3)x μ-4,一般地, 可得y (n )=μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ (μ-n +1)x μ-n ,即 (x μ )(n ) =μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ (μ-n +1)x μ-n .当μ=n 时, 得到(x n )(n ) = μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1=n ! .而 (x n )( n +1)=0 .如果函数u =u (x )及v =v (x )都在点x 处具有n 阶导数, 那么显然函数u (x )±v (x )也在点x 处具有n 阶导数, 且(u ±v )(n )=u (n )+v (n ) .(uv )'=u 'v +uv '(uv )''=u ''v +2u 'v '+uv '',(uv )'''=u '''v +3u ''v '+3u 'v ''+uv ''' ,用数学归纳法可以证明∑=-=nk k k n k nn v u C uv 0)()()()(,这一公式称为莱布尼茨公式.例8．y =x 2e 2x , 求y (20).解: 设u =e 2x , v =x 2, 则(u )(k )=2k e 2x (k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , 20),v '=2x , v ''=2, (v )(k ) =0 (k =3, 4, ⋅ ⋅ ⋅ , 20),代入莱布尼茨公式, 得y (20)=(u v )(20)=u (20)⋅v +C 201u (19)⋅v '+C 202u (18)⋅v ''=220e 2x ⋅ x 2+20 ⋅ 219e 2x ⋅ 2x !21920⋅+218e 2x ⋅ 2 =220e 2x (x 2+20x +95).§2. 4 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率一、隐函数的导数显函数: 形如y =f (x )的函数称为显函数. 例如y =sin x , y =ln x ++e x .隐函数: 由方程F (x , y )=0所确定的函数称为隐函数.例如, 方程x +y 3 -1=0确定的隐函数为y 31x y -=.如果在方程F (x , y )=0中, 当x 取某区间内的任一值时, 相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在, 那么就说方程F (x , y )=0在该区间内确定了一个隐函数.把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化. 隐函数的显化有时是有困难的, 甚至是不可能的. 但在实际问题中, 有时需要计算隐函数的导数, 因此, 我们希望有一种方法, 不管隐函数能否显化, 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来.例1．求由方程e y +xy -e =0 所确定的隐函数y 的导数.解: 把方程两边的每一项对x 求导数得(e y )'+(xy )'-(e )'=(0)',即 e y ⋅ y '+y +xy '=0,从而 y ex y y +-='(x +e y ≠0). 例2．求由方程y 5+2y -x -3x 7=0 所确定的隐函数y =f (x )在x =0处的导数y '|x =0.解: 把方程两边分别对x 求导数得5y ⋅y '+2y '-1-21x 6=0,由此得 2521146++='y x y . 因为当x =0时, 从原方程得y =0, 所以 21|25211|0460=++='==x x y x y . 例3. 求椭圆191622=+y x 在)323 ,2(处的切线方程. 解: 把椭圆方程的两边分别对x 求导, 得 0928='⋅+y y x . 从而 yx y 169-='. 当x =2时, 323=y , 代入上式得所求切线的斜率 43|2-='==x y k .所求的切线方程为 )2(43323--=-x y , 即03843=-+y x . 解: 把椭圆方程的两边分别对x 求导, 得 0928='⋅+y y x . 将x =2, 323=y , 代入上式得 03141='⋅+y , 于是 k =y '|x =243-=. 所求的切线方程为 )2(43323--=-x y , 即03843=-+y x . 例4．求由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数y 的二阶导数.解: 方程两边对x 求导, 得 0cos 211=⋅+-dx dy y dx dy , 于是 ydx dy cos 22-=. 上式两边再对x 求导, 得 3222)cos 2(sin 4)cos 2(sin 2y y y dx dyy dx y d --=-⋅-=. 对数求导法: 这种方法是先在y =f (x )的两边取对数, 然后再求出y 的导数.设y =f (x ), 两边取对数, 得ln y = ln f (x ),两边对x 求导, 得 ])([ln 1'='x f y y, y '= f (x )⋅[ln f (x )]'.对数求导法适用于求幂指函数y =[u (x )]v (x )的导数及多因子之积和商的导数.例5．求y =x sin x (x >0)的导数.解法一: 两边取对数, 得ln y =sin x ⋅ ln x ,上式两边对x 求导, 得 xx x x y y 1sin ln cos 1⋅+⋅=', 于是 )1sin ln (cos xx x x y y ⋅+⋅=' )sin ln (cos sin xx x x x x +⋅=. 解法二: 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求:y =x sin x =e sin x ·ln x , )sin ln (cos )ln (sin sin ln sin xx x x x x x e y x x x +⋅='⋅='⋅. 例6. 求函数)4)(3()2)(1(----=x x x x y 的导数. 解: 先在两边取对数(假定x >4), 得ln y 21=[ln(x -1)+ln(x -2)-ln(x -3)-ln(x -4)], 上式两边对x 求导, 得 )41312111(211-----+-='x x x x y y , 于是 )41312111(2-----+-='x x x x y y . 当x <1时, )4)(3()2)(1(x x x x y ----=; 当2<x <3时, )4)(3()2)(1(x x x x y ----=; 用同样方法可得与上面相同的结果.注: 严格来说, 本题应分x >4, x <1, 2<x <3三种情况讨论, 但结果都是一样的.二、由参数方程所确定的函数的导数设y 与x 的函数关系是由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ确定的. 则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数.在实际问题中, 需要计算由参数方程所确定的函数的导数. 但从参数方程中消去参数t 有时会有困难. 因此, 我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数. 设x =ϕ(t )具有单调连续反函数t =ϕ-1(x ), 且此反函数能与函数y =ψ(t )构成复合函数y =ψ[ϕ-1(x ) ], 若x =ϕ(t )和y =ψ(t )都可导, 则 )()(1t t dtdx dt dy dx dt dt dy dx dy ϕψ''=⋅=⋅=,即 )()(t t dx dy ϕψ''=或dtdx dt dy dx dy =. 若x =ϕ(t )和y =ψ(t )都可导, 则)()(t t dx dy ϕψ''=. 例7. 求椭圆⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos 在相应于4 π=t 点处的切线方程. 解: t ab t a t b t a t b dx dy cot sin cos )cos ()sin (-=-=''=. 所求切线的斜率为ab dx dyt -==4π. 切点的坐标为224 cos 0a a x ==π, 224sin 0b b y ==π. 切线方程为)22(22a x a b b y --=-, 即 bx +ay 2-ab =0.例8．抛射体运动轨迹的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==22121gt t v y t v x , 求抛射体在时刻t 的运动速度的大小和方向. y =v 2t -g t 2解: 先求速度的大小.速度的水平分量与铅直分量分别为x '(t )=v 1, y '(t )=v 2-gt ,所以抛射体在时刻t 的运动速度的大小为 22)]([)]([t y t x v '+'=2221)(gt v v -+=. 再求速度的方向,设α是切线的倾角, 则轨道的切线方向为 12)()(tan v gt v t x t y dx dy -=''==α. 已知x =ϕ(t ), y =ψ(t ), 如何求二阶导数y ''?由x =ϕ(t ), )()(t t dx dy ϕψ''=, dxdt t t dt d dx dy dx d dx y d ))()(()(22ϕψ''== )(1)()()()()(2t t t t t t ϕϕϕψϕψ'⋅''''-'''=)()()()()(3t t t t t ϕϕψϕψ''''-'''=. 例9．计算由摆线的参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x 所确定 的函数y =f (x )的二阶导数.解: )()(t x t y dx dy ''=)cos 1(sin ])sin ([])cos 1([t a t a t t a t a -='-'-= 2cot cos 1sin t t t =-=(t ≠2n π, n 为整数). dxdt t dt d dx dy dx d dx y d ⋅==)2(cot )(22 22)cos 1(1)cos 1(12sin 21t a t a t --=-⋅-= (t ≠2n π, n 为整数).三、相关变化率设x =x (t )及y =y (t )都是可导函数, 而变量x 与y 间存在某种关系, 从而变化率dtdx 与dt dy 间也存在一定关系. 这两个相互依赖的变化率称为相关变化率. 相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系, 以便从其中一个变化率求出另一个变化率.例10一气球从离开观察员500f 处离地面铅直上升, 其速度为140m/min(分). 当气球高度为500m 时, 观察员视线的仰角增加率是多少？解 设气球上升t (秒)后, 其高度为h , 观察员视线的仰角为α, 则500tan h =α. 其中α及h 都是时间t 的函数. 上式两边对t 求导, 得dtdh dt d ⋅=⋅5001sec 2αα. 已知140=dtdh (米/秒). 又当h =500(米)时, tan α=1, sec 2 α=2. 代入上式得 14050012⋅=dt d α, 所以 14.050070==dt d α(弧度/秒). 即观察员视线的仰角增加率是每秒0. 14弧度.§2. 5 函数的微分一、微分的定义引例 函数增量的计算及增量的构成.一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其边长由x 0变到x 0+∆x , 问此薄片的面积改变了多少？设此正方形的边长为x , 面积为A , 则A 是x 的函数: A =x 2. 金属薄片的面积改变量为 ∆A =(x 0+∆x )2-(x 0)2 =2x 0∆x +(∆x )2.几何意义: 2x 0∆x 表示两个长为x 0宽为∆x 的长方形面积; (∆x )2表示边长为∆x 的正方形的面积.数学意义: 当∆x →0时, (∆x )2是比∆x 高阶的无穷小, 即(∆x )2=o (∆x ); 2x 0∆x 是∆x 的线性函数, 是∆A 的主要部分, 可以近似地代替∆A .定义 设函数y =f (x )在某区间内有定义, x 0及x 0+∆x 在这区间内, 如果函数的增量 ∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)可表示为∆y =A ∆x +o (∆x ),其中A 是不依赖于∆x 的常数, 那么称函数y =f (x )在点x 0是可微的, 而A ∆x 叫做函数y =f (x )在点x 0相应于自变量增量∆x 的微分, 记作 dy , 即dy =A ∆x .函数可微的条件: 函数f (x )在点x 0可微的充分必要条件是函数f (x )在点x 0可导, 且当函数f (x )在点x 0可微时, 其微分一定是dy =f '(x 0)∆x .证明: 设函数f (x )在点x 0可微, 则按定义有∆y =A ∆x +o (∆x ),上式两边除以∆x , 得xx o A x y ∆∆+=∆∆)(. 于是, 当∆x →0时, 由上式就得到 )(lim00x f x y A x '=∆∆=→∆. 因此, 如果函数f (x )在点x 0可微, 则f (x )在点x 0也一定可导, 且A =f '(x 0).反之, 如果f (x )在点x 0可导, 即)(lim 00x f xy x '=∆∆→∆ 存在, 根据极限与无穷小的关系, 上式可写成α+'=∆∆)(0x f x y , 其中α→0(当∆x →0), 且A =f (x 0)是常数, α∆x =o (∆x ). 由此又有∆y =f '(x 0)∆x +α∆x .因且f '(x 0)不依赖于∆x , 故上式相当于∆y =A ∆x +o (∆x ),所以f (x )在点x 0 也是可导的.简要证明: 一方面A x f x y xx o A x y x o x A y x ='=∆∆⇒∆∆+=∆∆⇒∆+∆=∆→∆)(lim )()(00. 别一方面x x x f y x f x y x f x y x ∆+∆'=∆⇒+'=∆∆⇒'=∆∆→∆αα)()()(lim 0000. 以微分dy 近似代替函数增量 ∆y 的合理性:当f '(x 0)≠0时, 有 1lim )(1)(lim lim00000=∆'=∆'∆=∆→∆→∆→∆dx y x f x x f y dy y x x x . ∆y =dy +o (d y ).结论: 在f '(x 0)≠0的条件下, 以微分dy =f '(x 0)∆x 近似代替增量∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)时, 其误差为o (dy ). 因此, 在|∆x |很小时, 有近似等式∆y ≈dy .函数y =f (x )在任意点x 的微分, 称为函数的微分, 记作dy 或 d f (x ), 即dy =f '(x )∆x ,例如 d cos x =(cos x )'∆x =-sin x ∆x ; de x =(e x )'∆x =e x ∆x .例1 求函数y =x 2在x =1和x =3处的微分.解 函数y =x 2在x =1处的微分为dy =(x 2)'|x =1∆x =2∆x ;函数y =x 2在x =3处的微分为dy =(x 2)'|x =3∆x =6∆x .例2．求函数 y =x 3当x =2, ∆x =0. 02时的微分.解: 先求函数在任意点x 的微分dy =(x 3)'∆x =3x 2∆x .再求函数当x =2, ∆x =0. 02时的微分dy |x =2, ∆x =0.02 =3x 2| x =2, ∆x =0.02 =3⨯22⨯0.02=0.24.自变量的微分:因为当y =x 时, dy =dx =(x )'∆x =∆x , 所以通常把自变量x 的增量∆x 称为自变量的微分, 记作dx , 即dx =∆x . 于是函数y =f (x )的微分又可记作dy =f '(x )dx .从而有 )(x f dxdy '=. 这就是说, 函数的微分dy 与自变量的微分dx 之商等于该函数的导数. 因此, 导数也叫做“微商”.二、微分的几何意义当∆y 是曲线y =f (x )上的点的纵坐标的增量时, dy 就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量. 当|∆x |很小时, |∆y -dy |比|∆x |小得多. 因此在点M 的邻近, 我们可以用切线段来近似代替曲线段.三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则从函数的微分的表达式dy =f '(x )dx可以看出, 要计算函数的微分, 只要计算函数的导数, 再乘以自变量的微分. 因此, 可得如果下的微分公式和微分运算法则.1. 基本初等函数的微分公式导数公式: 微分公式:(x μ)'=μ x μ-1 d (x μ)=μ x μ-1d x(sin x )'=cos x d (sin x )=cos x d x(cos x )'=-sin x d (cos x )=-sin x d x(tan x )'=sec 2 x d (tan x )=sec 2x d x(cot x )'=-csc 2x d (cot x )=-csc 2x d x(sec x )'=sec x tan x d (sec x )=sec x tan x d x(csc x )'=-csc x cot x d (csc x )=-csc x cot x d x(a x )'=a x ln a d (a x )=a x ln a d x(e x )=e x d (e x )=e x d xax x a ln 1)(log =' dx a x x d a ln 1)(log = x x 1)(ln =' dx xx d 1)(ln = 211)(arcsin x x -=' dx x x d 211)(arcsin -= 211)(arccos x x --=' dx x x d 211)(arccos --= 211)(arctan x x +=' dx xx d 211)(arctan += 211)cot arc (x x +-=' dx xx d 211)cot arc (+-=2. 函数和、差、积、商的微分法则求导法则: 微分法则:(u ±v )'=u '± v ' d (u ±v )=du ±dv(Cu )'=Cu ' d (Cu )=Cdu(u ⋅v )'= u 'v +uv ' d (u ⋅v )=vdu +udv)0()(2≠'-'='v v v u v u v u )0()(2≠-=v dx v udv vdu v u d 证明乘积的微分法则:根据函数微分的表达式, 有d (uv )=(uv )'dx .再根据乘积的求导法则, 有(uv )'=u 'v +uv '.于是 d (uv )=(u 'v +uv ')dx =u 'vdx +uv 'dx .由于u 'dx =du , v 'dx =dv ,所以d (uv )=vdu +udv .3. 复合函数的微分法则设y =f (u )及u =ϕ(x )都可导, 则复合函数y =f [ϕ(x )]的微分为dy =y 'x dx =f '(u )ϕ'(x )dx .于由ϕ'(x )dx =du , 所以, 复合函数y =f [ϕ(x )]的微分公式也可以写成dy =f '(u )du 或 dy =y 'u du .由此可见, 无论u 是自变量还是另一个变量的可微函数, 微分形式dy =f '(u )du 保持不变. 这一性质称为微分形式不变性. 这性质表示, 当变换自变量时, 微分形式dy =f '(u )du 并不改变. 例3．y =sin(2x +1), 求dy .解: 把2x +1看成中间变量u , 则dy =d (sin u )=cos udu =cos(2x +1)d (2x +1)=cos(2x +1)⋅2dx =2cos(2x +1)dx .在求复合函数的导数时, 可以不写出中间变量.例4.)1ln(2x e y +=, 求dy .解:)1(11)1ln(222x x x e d e e d dy ++=+= xdx e e x d e e x x x x 211)(1122222⋅⋅+=⋅+=dx e xe x x 2212+=. 例5．y =e 1-3x cos x , 求dy .解: 应用积的微分法则, 得dy =d (e 1-3x cos x )=cos xd (e 1-3x )+e 1-3x d (cos x )=(cos x )e 1-3x (-3dx )+e 1-3x (-sin xdx )=-e 1-3x (3cos x +sin x )dx .例6．在括号中填入适当的函数, 使等式成立.(1) d ( )=xdx ;(2) d ( )=cos ω t dt .解: (1)因为d (x 2)=2xdx , 所以 )21()(2122x d x d xdx ==, 即xdx x d =)21(2.一般地, 有xdx C x d =+)21(2(C 为任意常数). (2)因为d (sin ω t )=ω cos ω tdt , 所以 ) sin 1() (sin 1 cos t d t d tdt ωωωωω==. 因此 tdt C t d cos ) sin 1(ωωω=+(C 为任意常数). 四、微分在近似计算中的应用1．函数的近似计算在工程问题中, 经常会遇到一些复杂的计算公式. 如果直接用这些公式进行计算, 那是很费力的. 利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替.如果函数y =f (x )在点x 0处的导数f '(x )≠0, 且|∆x |很小时, 我们有∆y ≈dy =f '(x 0)∆x ,∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)≈dy =f '(x 0)∆x ,f (x 0+∆x )≈f (x 0)+f '(x 0)∆x .若令x =x 0+∆x , 即∆x =x -x 0, 那么又有f (x )≈ f (x 0)+f '(x 0)(x -x 0).特别当x 0=0时, 有f (x )≈ f (0)+f '(0)x .这些都是近似计算公式.例1．有一批半径为1cm 的球, 为了提高球面的光洁度, 要镀上一层铜, 厚度定为0. 01cm . 估计一了每只球需用铜多少g (铜的密度是8. 9g/cm 3)?解: 已知球体体积为334R V π=, R 0=1cm , ∆R =0. 01cm . 镀层的体积为∆V =V (R 0+∆R )-V (R 0)≈V '(R 0)∆R =4πR 02∆R =4⨯3. 14⨯12 ⨯0. 01=0. 13(cm 3).于是镀每只球需用的铜约为0. 13 ⨯8. 9 =1. 16(g ).例2．利用微分计算sin 30︒30'的近似值.解: 已知30︒30'3606 ππ+=, 6 0π=x , 360π=∆x . sin 30︒30'=sin(x 0+∆x )≈sin x 0+∆x cos x 03606 cos 6 sin πππ⋅+= 5076.03602321=⋅+=π. 即 sin 30︒30'≈0. 5076.常用的近似公式（假定|x |是较小的数值）:(1)x nx n 111+≈+; (2)sin x ≈x ( x 用弧度作单位来表达);(3)tan x ≈x ( x 用弧度作单位来表达);(4)e x ≈1+x ;(5)ln(1+x )≈x .证明 (1)取n x x f +=1)(, 那么f (0)=1, n x nf x n 1)1(1)0(011=+='=-, 代入f (x )≈f (0)+f '(0) x 便得 x nx n 111+≈+. 证明(2)取f (x )=sin x , 那么f (0)=0, f '(0)=cos x |x =0=1, 代入f (x )≈f (0)+f '(0) x 便得sin x ≈x .例3．计算05.1的近似值.解: 已知 x nx n 111+≈+, 故 025.105.021105.0105.1=⨯+≈+=. 直接开方的结果是02470.105.1=.2．误差估计在生产实践中, 经常要测量各种数据. 但是有的数据不易直接测量, 这时我们就通过测量其它有关数据后, 根据某种公式算出所要的数据. 由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响, 测得的数据往往带有误差, 而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差, 我们把它叫做间接测量误差.下面就讨论怎样用微分来估计间接测量误差.绝对误差与相对误差: 如果某个量的精确值为A , 它的近似值为a , 那么|A -a |叫做a 的绝对误差, 而绝对误差|A -a |与|a |的比值||||a a A -叫做a 的相对误差. 在实际工作中, 某个量的精确值往往是无法知道的, 于是绝对误差和相对误差也就无法求得. 但是根据测量仪器的精度等因素, 有时能够确定误差在某一个范围内. 如果某个量的精确值是A , 测得它的近似值是a , 又知道它的误差不超过δ A :|A -a |≤δ A , 则δ A 叫做测量A 的绝对误差限,||a Aδ叫做测量A 的相对误差限(简称绝对误差).例4．设测得圆钢截面的直径D =60. 03mm , 测量D 的绝对误差限D δ=0.05. 利用公式24D A π=计算圆钢的截面 积时, 试估计面积的误差.解: D D D A dA A ∆⋅=∆⋅'=≈∆2π, |∆A |≈|dA |D D D D δππ⋅≤∆⋅=2||2 . 已知D =60.03, δD =0. 05, 所以 715.405.003.6022 =⨯⨯=⋅=πδπδD A D (mm 2); %17.003.6005.022422≈⨯=⋅=⋅=D D D A D DAδπδπδ. 若已知A 由函数y =f (x )确定: A =y , 测量x 的绝对误差是δx , 那么测量y 的δy =? 由∆y ≈dy =y '∆x , 有|∆y |≈|dy |=|y '|⋅|∆x |≤|y '|⋅δ x ,所以测量y 的绝对误差δy =|y '|⋅δ x , 测量y 的相对误差为xy y y y δδ⋅'=||.。

（完整版）同济第六版《高等数学》教案WORD版-第02章导数与微分.docx高等数学教案第二章导数与微分第二章导数与微分教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。

2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数。

4、会求分段函数的导数。

5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。

教学重点：1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；3、基本初等函数的导数公式；4、高阶导数；6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。

教学难点：1、复合函数的求导法则；2、分段函数的导数；3、反函数的导数4、隐函数和由参数方程确定的导数。

§2. 1导数概念一、引例1．直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动时刻 t 质点的坐标为s s 是 t 的函数s f(t)求动点在时刻 t0的速度考虑比值s s0 f (t) f (t0)t t0t t0这个比值可认为是动点在时间间隔t t0内的平均速度如果时间间隔选较短这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度但这样做是不精确的更确地应当这样令 t t0 0 取比值 f (t)f (t0 )的极限如果这个极限存在设为 v 即t t0v lim f (t) f (t0)t t0t t0这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度2．切线问题设有曲线 C 及 C 上的一点 M 在点 M 外另取 C 上一点 N作割线MN 当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置 MT直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线设曲线 C 就是函数 y f(x)的图形现在要确定曲线在点M(x ,y )( y 0f(x )) 处的切线只要000定出切线的斜率就行了为此在点 M 外另取 C 上一点 N(x, y)于是割线 MN 的斜率为y y0 f ( x) f (x0)tanx0x x0x其中为割线 MN 的倾角当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时 x x0如果当x0 时上式的极限存在设为 k即k f (x)f (x0)limx x0x x0存在则此极限 k是割线斜率的极限也就是切线的斜率这里 k tan其中是切线 MT 的倾角于是通过点 M(x0, f(x0))且以 k为斜率的直线 MT 便是曲线 C 在点 M 处的切线二、导数的定义1函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看出非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限lim f ( x) f ( x0)x x0x x0令 x x x0则 y f(x0x) f(x0)f( x) f(x0) x x0相当于 x0 于是lim f ( x) f (x0)x x0x x0成为lim y或 lim f (x0x) f (x0)x0x x0x定义设函数y f(x)在点仍在该邻域内)时相应地函数限存在则称函数 y f(x)在点x0的某个邻域内有定义当自变量 x 在 x0处取得增量x(点x0 x y 取得增量 y f( x0x) f(x0)如果 y 与 x 之比当 x0 时的极x0处可导并称这个极限为函数y f(x)在点 x0处的导数记为y |x x0即f ( x ) lim y lim f (x0x) f (x0)x x0xx 0也可记为 y |x x 0dy 或 df (x)x 0dx x x 0dx x函数 f(x)在点 x 处可导有时也说成 f(x) 在点 x具有导数或导数存在导数的定义式也可取不同的形式常见的有f (x 0 ) lim f (x 0 h) f ( x 0 )hh 0f ( x ) lim f (x) f (x 0)x x 0 x x 0在实际中需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢” 问题在数学上就是所谓函数的变化率问题导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述如果极限 limf (x 0x) f (x 0) 不存在就说函数 y f(x)在点 x 0 处不可导x 0x如果不可导的原因是由于lim f (x 0x) f (x 0)x 0x 也往往说函数 y f(x) 在点 x 0 处的导数为无穷大如果函数 y f(x) 在开区间 I 内的每点处都可导就称函数 f(x)在开区间 I 内可导这时对于任一 x I都对应着 f( x)的一个确定的导数值这样就构成了一个新的函数这个函数叫做原来函数 y f(x)的导函数记作 yf ( x)dy 或 df (x)dx dx导函数的定义式y limf ( x x) f ( x)limf ( xh) f ( x)xx h 0hf (x )与 f (x)之间的关系函数 f(x)在点 x 0 处的导数 f(x)就是导函数 f (x)在点 x x 0 处的函数值即f ( x 0 ) f (x) x x 0导函数 f (x)简称导数而 f(x )是 f(x)在 x 处的导数或导数左右导数所列极限存在则定义f( x)在 x 0 的左导数 f ( x 0 ) f (x 0 h) f ( x 0 )limhh 0f( x)在 x 0 的右导数f (x 0 ) f (x 0 h) f (x 0 )lim hh 0如果极限 limf (x 0 h) f ( x 0) 存在则称此极限值为函数在h0 h如果极限 limf (x 0h) f ( x 0)存在则称此极限值为函数在hh导数与左右导数的关系f (x 0) Af (x 0) f (x 0 ) Af (x)在 x 0 处的值x 0 的左导数x 0 的右导数高等数学教案第二章导数与微分2．求导数举例例 1．求函数 f(x) C （C 为常数）的导数解 f ( x) lim f (xh) f ( x) lim CC 0 h 0h h 0h即 (C ) 0例 2 求 f (x)1x 的导数f (x h) f (x)1 1h 解f ( x) lim lim x h xlim h 0 h h 0hh 0 h(x h) x例 3 求 f (x) x 的导数解f (x)f ( x h) f (x)lim x h xlim hhh 0hlimh11x 2 xh 0h( x hx) h 0 x h例 2．求函数 f(x) x n (n 为正整数 )在 x a 处的导数解 f (a) lim f (x) f (a)lim x na n lim (x n 1ax n 2xax a x axa x a 把以上结果中的 a 换成 x 得 f (x)nx n 1 即 (x n )nx n 1lim11x 2h 0 (x h)xa n 1) na n 1(C) 0 (1 ) 1 ( x) 1(x )x x 22 x 更一般地有 (x )其中为常数例 3．求函数 f(x) sin x 的导数解 f (x)lim f ( x h) f ( x)lim sin( xh 0h h 01 hh lim2 cos(x2) sinhh2x 1h) sin xhlim cos(x h)sin h2 cos xh 02 h2即 (sin x) cos x用类似的方法可求得 (cos x ) sin x例 4．求函数 f(x) a x (a>0 a 1) 的导数解 f (x) limh) f (x) lim a x h a xh 0hh 0ha x lim a h1 令a h 1 t a x lim th 0 htlog a (1 t)a x 1 a x ln alog a e特别地有 (e x ) e x例 5．求函数 f(x) log a x (a>0 a 1) 的导数解 f ( x) limf (x h) f ( x) h 0h lim 1log a (xh ) h 0 hxlim log a ( x h) log a xh 0h1lim x log a (1 h )1lim log a (1 h )h xx hxx h 0x1log a e1x xln a解log a (x h) log a x 1log a (1 h ) f (x) lim hlimxh 0h0 h1lim log a (1 h ) h x 1log a e1x h 0 x xxlna即(log a x)1xln a1 特殊地x(log a x)1(ln x)1xln a x3．单侧导数极限 lim f (x h)f ( x)存在的充分必要条件是h 0hlim f ( x h) f (x)及 lim f (x h) f (x)h 0h h 0h 都存在且相等f( x)在 x 处的左导数 f ( x 0 ) lim f (x h) f (x)0 h 0 hf( x)在 x 0 处的右导数 f ( x 0 ) lim f (x h) f ( x)h 0h导数与左右导数的关系函数 f(x)在点 x 0 处可导的充分必要条件是左导数左导数f (x 0 ) 和右导数 f (x 0)都存在且相等如果函数 f(x)在开区间 (a, b)内可导且右导数 f (a) 和左导数 f (b)都存在就说 f(x) 有闭区间 [a, b]上可导例 6．求函数 f(x) x|在 x 0 处的导数(0) lim f (0 h)f (0) lim |h|1h 0hh 0 hf (0) lim f (0 h) f (0) lim |h|1h 0 h h 0 h因为 f (0) f (0) 所以函数 f(x) |x|在 x 0 处不可导四、导数的几何意义函数 y f(x)在点 x 0 处的导数 f (x 0)在几何上表示曲线y f(x) 在点 M( x 0, f(x 0 ))处的切线的斜率即f ( x 0) tan其中是切线的倾角如果 y f(x)在点 x 0 处的导数为无穷大这时曲线 y f(x) 的割线以垂直于 x 轴的直线 x x 0为极限位置即曲线 y f( x)在点 M (x 0, f( x 0))处具有垂直于x 轴的切线 x x 0由直线的点斜式方程可知曲线 y f(x)在点 M(x , y )处的切线方程为y y 0 f (x 0)(x x 0)过切点 M(x , y )且与切线垂直的直线叫做曲线y f(x)在点 M 处的法线如果f (x 0) 0法线的斜率为1 从而法线方程为f ( x 0)y y 01( x x 0 )f (x 0 )例 8 求等边双曲线 1 1y x 在点 (2 , 2) 处的切线的斜率并写出在该点处的切线方程和法线方程解y1所求切线及法线的斜率分别为x2k 1 ( 1 ) x 14k 21 1x 22k 14所求切线方程为 y 24( x 1 ) 即 4x y 42所求法线方程为 y 21(x 1) 即 2x 8y 15 04 2例 9 求曲线 y x x 的通过点 (0 4)的切线方程解设切点的横坐标为x 0则切线的斜率为31f ( x 0 ) (x 2 )3x 2x 03 x 02 x 2于是所求切线的方程可设为3y x 0 x2x 0(x x 0)根据题目要求点 (0 4)在切线上因此4 x 0 x 03x 0(0 x 0 )2解之得 x 0 4 于是所求切线的方程为3y 4 4 4 (x 4) 即 3x y 4 0四、函数的可导性与连续性的关系设函数 y f(x)在点 x 0 处可导即 limy (x 0 ) 存在则fxxlimy limy x lim y lim x f (x ) 0 0x 0x 0 x x 0 xx 0这就是说函数 y f(x)在点 x 0 处是连续的所以如果函数 y f(x)在点 x 处可导则函数在该点必连续另一方面一个函数在某点连续却不一定在该点处可导例 7．函数 f (x)3x 在区间 ( , )内连续但在点 x 0 处不可导这是因为函数在点x 0 处导数为无穷大f (0 h) f (0) 3 h 0limhlimhh 0h 0x§2 2 函数的求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则定理 1 如果函数 u u(x)及 vv( x)在点 x 具有导数那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外 )都在点 x 具有导数并且[u(x) v(x)] u (x) v (x)[u(x) v(x)] u (x)v(x) u(x)v (x) u(x) u ( x)v( x) u(x)v (x)v(x)v 2 (x)证明 (1) [ u( x) v(x)] lim [ u( xh) v( x h)] [u(x)v( x)]hhlimu(x h) u( x)v( x h) v(x)u (x) v (x)h 0h h法则 (1) 可简单地表示为(u v) u v(2) [ u(x) v( x)] limu( xh)v(x h) u(x)v(x)h 0hlim 1 [u(x h)v(xh) u(x)v( x h)u( x)v(x h) u(x)v(x)]h 0 hlim u(x h) u( x) v( x h) u(x) v( xh) v( x)h 0 h hlimu(xh) u(x) lim v(x h)u(x) limv(xh) v(x)hh h 0hhu (x)v(x) u(x)v ( x)其中 lim v(x h)v(x) 是由于 v (x)存在故 v( x)在点 x 连续h 0法则 (2) 可简单地表示为(uv) u v uvu(x h) u(x)(3) u( x)limv(xh) v(x) lim u(x h)v(x) u( x)v( x h) v(x) hh h 0 v( x h)v( x)hlim [u(x h)u(x)] v(x) u(x)[v(x h) v(x)] h 0v(x h)v(x)hu(x h) u(x) v(x) u( x)v( xh) v( x) lim hv( x h)v(x)hh 0u (x)v(x) u(x)v (x)v 2( x)法则 (3) 可简单地表示为( u) u v uvvv 2(u v) u v(uv) u v uv ( u)u v uvv v 2定理 1 中的法则 (1)、 (2)可推广到任意有限个可导函数的情形例如设 u u(x)、 v v(x)、ww(x)均可导则有(u v w) uv w(uvw) [( uv)w] (uv) w (uv) w(u v uv )w uvw u vw uv w uvw 即(uvw)u vw uv w uvw(Cu) Cu例 1． y 2x 3 5x 2 3x 7 求 y解 y (2x 3 5x 23x7) (2x 3) 5x 2) 3x)7) 2 (x 3) 5 x 2) 3 x)2 3x 2 5 2x3 6x 2 10x 3例 2 f (x) x 34cos x sin求 f (x)及 f ()22解32f ( x)(x ) (4 cos x) (sin 2)3x4sin xf () 3242 4例 3． y e x (sin x cos x) 求 y解 ye x ) (sin x cos x) e x (sin x cos x)e x (sin x cos x) e x (cos x sin x) 2e x cos x例 4． y tan x 求 y解 y(tan x)( sin x )cos xcos 2 x sin 2 xcos 2x(sin x) cos xsin x(cos x)cos 2 x1sec 2xcos 2x即(tan x) sec 2x例 5． y sec x 求 y 解y (secx) ( 1)(1) cos x 1 (cos x)cos xcos 2 x 即(sec x) sec x tan xsin x sec x tan xcos 2x用类似方法还可求得余切函数及余割函数的导数公式(cot x) csc 2x(csc x)csc x cot x二、反函数的求导法则定理 2 如果函数 xf(y)在某区间 I y 内单调、可导且 f (y) 0 那么它的反函数 y f 1( x)在对应区间 I x { x|x f(y) yI y } 内也可导并且[ f 1( x) ] f 1dy1 ( y)或 dxdxdy简要证明由于 x f(y)在 I y 内单调、可导 (从而连续 ) 所以 x f(y)的反函数 y f 1(x)存在且 f 1( x)在 I x 内也单调、连续任取 xI x 给 x 以增量x( x 0 xx I x ) 由 y f 1(x) 的单调性可知11于是y 1x xy因为 y f 1(x)连续故lim y0x 0从而[ f1(x)] lim y lim11x x f(y)x 0y0y上述结论可简单地说成反函数的导数等于直接函数导数的倒数例 6．设 x sin y y[2,]为直接函数则 y arcsin x 是它的反函数函数 x sin y 在开2区间 (,)内单调、可导且22(sin y)cos y0因此由反函数的求导法则在对应区间 I x ( 11)内有(arcsin x)1111cos y1sin 2 y 1 x2(sin y)类似地有(arccosx)11x2例 7．设 x tan y y(,) 为直接函数则 y arctan x 是它的反函数函数x tan y 在22区间 (,)内单调、可导且22(tan y) sec2 y0因此由反函数的求导法则在对应区间 I x () 内有(arctan x)1111 (tan y)sec2 y1tan2 y 1 x2类似地有(arccot x)11x2例 8 设 x a y(a 0a1)为直接函数) 内单调、可导且(a y) a y ln a0因此由反函数的求导法则在对应区间(log a x)111(a y) a y ln a xln a则 y log a x 是它的反函数函数x a y在区间I y(I x (0)内有杂的初等函数的导数如可求呢？如函数lntan x、 e x3、的导数怎样求？三、复合函数的求导法则定理 3如果 u g( x)在点 x 可导函数 y f(u)在点 u g(x)可导则复合函数y f[g(x)] 在点 x 可导且其导数为dy dy dy dudx f (u) g ( x) 或dx du dx证明当 u g(x)在 x 的某邻域内为常数时y=f[(x)] 也是常数此时导数为零结论自然成立当 u g(x)在 x 的某邻域内不等于常数时u 0此时有y f [ g(x x)] f [g (x)] f [ g( x x)] f [ g( x)]g(x x)g(x)x x g (x x)g(x)xf (u u) f (u)g( x x) g( x)u xdy lim y lim f (u u) f (u)lim g (x x)g (x) = f( u) g (x )dx x0x u0u x 0x简要证明dy lim y lim y u lim y lim u f (u)g (x)dx x 0 x x 0 ux u 0 u x 0 x例9 y e x3求dydx解函数 y e x3可看作是由 y e u u x3复合而成的因此dy dy du u3x 22x3dx du dx e3x e例 10y sin2x dy 1 x2求dx解函数y sin2x是由 y sin uu2x复合而成的1x2 1 x2因此dy dydu cosu2(1x2 )(2x)22(1x2)2x2 dx du(12)222 cosdx x(1 x ) 1 x 对复合函数的导数比较熟练后就不必再写出中间变量dy例 11． lnsin x 求dx(ln sin x)1(sin x)1cosx cot x解sin xdx sin x例 12． y31 2x2求 dydxdy 12解[(1 2x 2 )3 ]1(1 2x 2) 3(12x 2)4xdx3 33 (1 2x 2) 2复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形例如设 y f(u)u (v) v (x)则dy dy du dy du dvdx du dx du dv dxdy 例 13． y lncos(e ) 求 dx dy x 1x 解dx [ln cos(e )]cos(e x ) [cos(e )]1xxxxcos(e x ) [ sin(e )] (e ) e tan(e ) sin 1 dy例 14． y e x 求dx1)cos1(1)解dy(ex )e x(sinexsin 1sin 1sin 1dxx x x1 sin 1cos 1e xx 2 x 例 15 设 x 0 证明幂函数的导数公式(x )x1解因为 x(e ln x ) eln x 所以(x ) (e ln x) e ln x( ln x) eln xx 1x1四、基本求导法则与导数公式1．基本初等函数的导数(1)(C) 0 (2)(x )x 1(3)(sin x) cos x (4)(cos x) sin x (5)(tan x) sec 2 x(6)(cot x) csc 2x(7)(sec x) sec x tan x(8)(csc x) csc x cot x (9)(a x ) a x ln a (10)( e x )e x(11) (log a x)1x ln a (12) (ln x)1(13) (arcsin x)1 1 x2(14) (arccos x) 11 x 2(15) (arctan x)1 1 x2(16) (arccot x)11 x 22．函数的和、差、积、商的求导法则设 u u(x) v v(x)都可导则 (1)(u v) u v (2)(C u) C u (3)(u v) u v u v (4) ( u )u vuvvv 23．反函数的求导法则设 x f(y)在区间 I y 内单调、可导且f (y) 0 则它的反函数 y f 1(x)在 I x f(I y )内也可导并且[ f1( x) ]1 或 dy 1f ( y)dxdxdy4．复合函数的求导法则设 y f(x)而 u g(x)且 f(u)及 g(x)都可导则复合函数 y f[g(x)] 的导数为dy dy du或 y (x) f (u) g (x)dxdu dx例 16 求双曲正弦 sh x 的导数 . 解因为sh x1x e x) 所以2 (e(sh x)1(e xe x) 1 (e x e x ) ch x22即 (sh x) ch x类似地有(ch x) sh x例 17 求双曲正切 th x 的导数解因为 th xsh x 所以ch x(th x) ch 2 x sh 2 x1ch 2xch 2x解因为 arsh x ln( x1x2 )所以(arsh x)1(1x)1x11x2x2 1 x2由 arch x ln( x x21) 可得 (arch x)1 x2 1由 arth x 1ln1x可得 (arth x)1 21x 1 x2类似地可得 (arch x)1(arth x)1 x211x2例 19． y sin nx sin n x (n 为常数 )求 y解 y (sin nx)sin n x + sin nx(sin n x)ncos nx sin n x+sin nx n sin n1x (sin x )ncos nx sin n x+n sin n 1x cos x n sin n 1x sin(n+1)x §2. 3高阶导数一般地函数 y f(x)的导数 y f(x) 仍然是 x 的函数我们把 y f (x)的导数叫做函数 y f(x)的二阶导数记作y 、 f (x) 或d 2 y dx2即y (y ) f(x) [f(x)] d 2 y d( dy )dx2dx dx相应地把 y f(x)的导数 f (x)叫做函数 y f(x)的一阶导数类似地二阶导数的导数叫做三阶导数三阶导数的导数叫做四阶导数一般地 (n 1)阶导数的导数叫做n 阶导数分别记作yy (4)nd 3 y d 4 y d n y y ( )或dx 3dx 4dx n函数 f(x)具有 n 阶导数也常说成函数 f(x)为 n 阶可导如果函数 f(x)在点 x 处具有 n 阶导数那么函数 f(x)在点 x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数二阶及二阶以上的导数统称高阶导数y 称为一阶导数 y y y (4)y (n)都称为高阶导数例 1． y ax b 求 y 解 y a y 0例 2． s sin t 求 s解 scost s 2sin t例 3．证明函数 y2x x 2 满足关系式 y 3y 1 0证明因为 y2 2x 1 x2 2x x22x x 22x x 2(1 x) 2 2 xx2x)22x x 22x (1 11y22 x x 2(2x x 2 ) (2 x x 2)3y 3(2x x 2) 2所以 y 3y1 0例 4．求函数 y e x的 n 阶导数解 y e x y e x y e x y ( 4) e x一般地可得y ( n) e x即(e x )(n) e x例 5．求正弦函数与余弦函数的 n 阶导数解 y sin x y cos x sin( x 2)ycos(x) sin( x2) sin( x 2 )222 ycos(x2 ) sin( x 22) sin(x 3 )22 2y (4) cos(x 3) sin(x 4 )22一般地可得y (n) sin( x n) 即 (sin x)(n) sin(x n)22用类似方法可得 (cos x)(n) cos(x n)例 6．求对函数ln(1 x)的 n阶导数解y ln(1x)y(1x) 1y(1x)2y(1)(2)(1x)3y(4)(1)(2)(3)(1x) 4一般地可得(n 1)!y(n)(1)(2)(n1)(1x) n( 1)n 1(1x)n即[ln(1x)] (n)(1) n 1 (n 1)!(1x)n例 6．求幂函数 y x ( 是任意常数 )的 n 阶导数公式解 y x1y(1)x2y(1)(2)x3y ( 4)(1)(2)(3)x4一般地可得y (n)(1)(2)(n1)x n即(x )(n)(1)(2)(n 1)x n当n 时得到n(n)(x )( 1)( 2) 3 2 1 n!而(x n)( n 1) 0如果函数u u(x)及v v(x)都在点x处具有n阶导数那么显然函数u(x) v(x)也在点 x 处具有 n阶导数且(u v) (n) u(n) v(n)(uv)u v uv(uv)u v2u v uv(uv)u v 3u v3u v uv用数学归纳法可以证明n(uv)(n)C n k u(n k)v(k)k0这一公式称为莱布尼茨公式2 2x(20)例 8． y x e求 y解设 u e2 x v x2则(u)(k)2k e2x (k1, 2,, 20)v 2x v 2 (v)(k)0 (k 3, 4,, 20)代入莱布尼茨公式得y (20)(u v)(20)u(20)v C 201u(19) v C 202u(18)v220e2x x2 20 219e2x 2x20 19218e2 x 22!220e2x(x220x95)§2. 4隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率一、隐函数的导数显函数形如 y f(x) 的函数称为显函数例如 y sin x y ln x +e x隐函数由方程 F(x y) 0所确定的函数称为隐函数例如方程 x y3 1 0 确定的隐函数为y y 3 1 x如果在方程F(x y) 0 中当x取某区间内的任一值时相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在那么就说方程F(x y) 0 在该区间内确定了一个隐函数把一个隐函数化成显函数叫做隐函数的显化隐函数的显化有时是有困难的甚至是不可能的但在实际问题中有时需要计算隐函数的导数因此我们希望有一种方法不管隐函数能否显化都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来例 1．求由方程 e y xye 0 所确定的隐函数 y 的导数解把方程两边的每一项对x 求导数得(e y ) (xy) (e) (0) 即 e y y y xy从而yy yx e y(x e0)例 2．求由方程 y 5 2y x 3x 7 0 所确定的隐函数 y f (x)在x 0 处的导数 y |x 0解把方程两边分别对 x 求导数得5y y 2y 1 21x 6 0由此得y1 21x 65 y 42因为当 x 0 时从原方程得 y 0 所以y |x 0 1 21x 6 |x 015y 4 2 2例 3求椭圆 x2y 21 在 (2, 33) 处的切线方程16 9 2 解把椭圆方程的两边分别对 x 求导得x2y y 08 9从而y9 x16y当 x 2 时y3 3 代入上式得所求切线的斜率2k y |x 234所求的切线方程为y 3 33 ( x 2) 即 3x4 y 8 3 02 4解把椭圆方程的两边分别对 x 求导得 x 2 y y 0 89将 x 2y3 3代入上式得211 y 043于是k y |x3 24所求的切线方程为y333( x 2) 即 3x 4 y 8 3 024例 4．求由方程x y 12sin y 0所确定的隐函数y的二阶导数解方程两边对x 求导得1dy1cos y dy0dx2dx于是dy2dx 2 cos y上式两边再对x 求导得d 2 y 2sin ydy4sin ydxdx2(2cos y)2(2 cos y)3对数求导法这种方法是先在y f(x)的两边取对数然后再求出 y 的导数设 y f(x)两边取对数得ln y ln f(x)两边对 x 求导得1 y[ln f (x)]yy f( x) [ln f(x)]对数求导法适用于求幂指函数 y [u(x)] v(x)的导数及多因子之积和商的导数例5．求 y x sin x (x>0) 的导数解法一两边取对数得ln y sin x ln x上式两边对x 求导得1y cos x ln x sin x1y x于是y y(cos x ln x sin x 1 ) xx sin x(cos x ln x sin x)x解法二这种幂指函数的导数也可按下面的方法求。