人教版高三复习资料共60页文档

第一节集合的概念与运算1．集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2．集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3．集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表示集合的关系及运算．1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法2.1．集合的运算性质 并集的性质：A ∪∅＝A ；A ∪A ＝A ；A ∪B ＝B ∪A ；A ∪B ＝A ⇔B ⊆A . 交集的性质：A ∩∅＝∅；A ∩A ＝A ；A ∩B ＝B ∩A ；A ∩B ＝A ⇔A ⊆B . 补集的性质：A ∪(∁U A )＝U ；A ∩(∁U A )＝∅；∁U (∁U A )＝A . 2．判断集合关系的三种方法 (1)一一列举观察．(2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断集合关系．(3)数形结合法：利用数轴或Venn 图．1．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( )A ．A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32 D ．A ∪B ＝R解析： 因为B ＝{x |3－2x >0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <32，A ＝{x |x <2}，所以A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32，A ∪B ＝{x |x <2}．故选A.答案： A2．已知集合P ＝{x |x <2}，Q ＝{x |x 2<2}，则( ) A ．P ⊆Q B ．P ⊇Q C ．P ⊆∁R QD ．Q ⊆∁R P解析： 解x 2<2，得－2<x <2，∴P ⊇Q . 答案： B3．(2017·天津卷)设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{1,2,3,4}，则(A ∪B )∩C ＝( ) A ．{2} B ．{1,2,4} C ．{1,2,4,6}D ．{1,2,3,4,6}解析： 由题意知A ∪B ＝{1,2,4,6}，∴(A ∪B )∩C ＝{1,2,4}，故选B. 答案： B4．已知集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，则(∁R A )∩B ＝________. 解析： 因为∁R A ＝{x |x <3或x ≥7}，所以(∁R A )∩B ＝{x |2<x <3或7≤x <10}． 答案： {x |2<x <3或7≤x <10}5．已知集合M ＝{1，m }，N ＝{n ，log 2n }，若M ＝N ，则(m －n )2 019＝________. 解析： 由M ＝N 知⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝1，log 2n ＝m 或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝m ，log 2n ＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝2.答案： －1或0考向一 集合的基本概念自主练透型1．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{(x ，y )|x ≥y ，x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1B ．3C ．6D ．9解析： 当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0或y ＝1；当x ＝2时，y ＝0,1,2. 故集合B ＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，即集合B 中有6个元素． 答案： C2．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________.解析： 因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2. 答案： 23．设集合A ＝{x |(x －a )2<1}，且2∈A,3∉A ，则实数a 的取值范围为________．解析： 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2<1，(3－a )2≥1即⎩⎪⎨⎪⎧1<a <3，a ≤2或a ≥4，所以1<a ≤2. 答案： (1,2]求解集合基本问题的一般思路(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件．当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性. 考向二 集合间的基本关系互动讲练型(1)已知集合A ＝{x |y ＝ln(x ＋3)}，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( ) A ．A ＝B B ．A ∩B ＝∅ C ．A ⊆BD ．B ⊆A(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．解析： (1)因为A ＝{x |x >－3}，B ＝{x |x ≥2}，结合数轴可得：B ⊆A . (2)∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2.②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3. 答案： (1)D (2)(－∞，3](1)判断两集合的关系的三种常用方法①列举法：根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．②变形：从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断(如例(1))．③数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．(2)根据两集合的关系求参数的方法①若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．[注意] 题目中若有条件B ⊆A ，则应分B ＝∅和B ≠∅两种情况进行讨论(如例(2)). [跟踪训练]1．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析： 因为A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，A ⊆C ⊆B ，则集合C 可以为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．答案： D2．已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }．若B ⊆A ，则m 的取值范围为________．解析： 当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，∵A ＝{x |－1<x <3}． 当B ⊆A 时，有∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m <m .∴0<m ≤1.综上所述，m 的范围为m ≤1. 答案： (－∞，1]考向三 集合的基本运算分层深化型(1)(2017·全国卷Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( )A ．{1，－3}B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}(2)(2017·广东七校联考)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x >0}，B ＝{x |y ＝lg(x －1)}，则(∁U A )∩B ＝( )A ．{x |x >2或x <0}B ．{x |1<x <2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2}解析： (1)∵A ∩B ＝{1}，∴1∈B ， ∴1－4＋m ＝0，即m ＝3.∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．故选C.(2)解不等式x 2－2x >0，即x (x －2)>0，得x <0或x >2，故A ＝{x |x <0或x >2}．集合B 是函数y ＝lg(x －1)的定义域，由x －1>0，解得x >1，所以B ＝{x |x >1}．易知∁U A ＝{x |0≤x ≤2}，所以(∁U A )∩B ＝{x |0≤x ≤2}∩{x |x >1}＝{x |1<x ≤2}．答案： (1)C (2)C集合基本运算的方法技巧(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．(3)集合的交、并、补运算口诀如下：交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集.[同类练]1．(2017·天津卷)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝()A．{2} B．{1,2,4}C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}解析：因为A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，所以A∪B＝{1,2,4,6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，所以(A∪B)∩C＝{1,2,4}．答案： B2．(2017·南昌市第一次模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|y＝lg x}，集合B＝{y|y＝x＋1}，那么A∩(∁U B)＝()A．∅B．(0,1]C．(0,1) D．(1，＋∞)解析：由题知，A＝{x|y＝lg x}＝{x|x>0}＝(0，＋∞)，B＝{y|y＝x＋1}＝{y|y≥1}＝[1，＋∞)，所以A∩(∁U B)＝(0，＋∞)∩(－∞，1)＝(0,1)．答案： C[变式练]3．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{9}，则A＝() A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}解析：因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又(∁U B)∩A＝{9}，所以9∈A.若5∈A，则5∉B(否则5∈A∩B)，从而5∈∁U B，则(∁U B)∩A＝{5,9}，与题中条件矛盾，故5∉A.同理1∉A,7∉A，故A＝{3,9}．答案： D4．(2017·洛阳市第一次统一考试)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所表示阴影部分所示的集合为()A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}解析： 依题意得A ＝{x |x <－1或x >4}，因为∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}．答案： D [拓展练]5．(2017·江西南昌模拟)已知集合M ＝{x |x 2－4x <0}，N ＝{x |m <x <5}，若M ∩N ＝{x |3<x <n }，则m ＋n 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析： 由x 2－4x <0得0<x <4，所以M ＝{x |0<x <4}．又因为N ＝{x |m <x <5}，M ∩N ＝{x |3<x <n }，所以m ＝3，n ＝4，则m ＋n ＝7.答案： C6．已知集合A ＝{x |a －1<x <a ＋1}，B ＝{x |x 2－5x ＋4≥0}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________．解析： 因为A ＝{x |a －1<x <a ＋1}，B ＝(－∞，1]∪[4，＋∞)，由已知A ∩B ＝∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥1，a ＋1≤4，所以2≤a ≤3. 答案： [2,3]常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解、解决创新问题的能力．(1)设U ＝{1,2,3}，M ，N 是U 的子集，若M ∩N ＝{1,3}，则称(M ，N )为一个“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M ，N )与(N ，M )不同)为________；(2)设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈(A ∪B )且x ∉(A ∩B )．已知集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝________.解析： (1)符合条件的理想配集有①M ＝{1,3}，N ＝{1,3}；②M ＝{1,3}，N ＝{1,2,3}；③M ＝{1,2,3}，N ＝{1,3}．共3个．(2)由已知A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，又由新定义A ⊗B ＝{x |x ∈(A ∪B )且x ∉(A ∩B )，结合数轴得A ⊗B ＝{0}∪[2，＋∞)．答案： (1)3 (2){0}∪[2，＋∞)解决集合中新定义问题的两个关键点(1)紧扣新定义：新定义型试题的难点就是对新定义的理解和运用，在解决问题时要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质：集合的性质是破解集合类新定义型试题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质.[跟踪训练]1．定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B .已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合BA ∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析： 由题意知，B ＝{0,1,2}，B A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，则BA ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，2，共有7个元素．答案： B2．对于集合M 、N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )，设A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－94，x ∈R ，B ＝{x |x <0，x ∈R }，则A ⊕B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫－94，0 B ．⎣⎡⎭⎫－94，0 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－94∪[0，＋∞) D ．⎝⎛⎦⎤－∞，－94∪(0，＋∞) 解析： 依题意得A －B ＝{x |x ≥0，x ∈R }，B －A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－94，x ∈R ，故A ⊕B ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－94∪[0，＋∞)．答案： C(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)1．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析： 集合A 表示以原点O 为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合， 集合B 表示直线y ＝x 上的所有点的集合． 结合图形可知，直线与圆有两个交点， 所以A ∩B 中元素的个数为2. 故选B. 答案： B2．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤3}，则(∁U A )∪B ＝( ) A ．(2,3] B ．(－∞，1]∪(2，＋∞) C ．[1,2)D ．(－∞，0)∪[1，＋∞)解析： 因为∁U A ＝{x |x >2或x <0}，B ＝{y |1≤y ≤3}，所以(∁U A )∪B ＝(－∞，0)∪[1，＋∞)． 答案： D3．已知集合A ＝{x |x 2－3x <0}，B ＝{1，a }，且A ∩B 有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,1)∪(1,3)C ．(0,1)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析： ∵A ∩B 有4个子集，∴A ∩B 中有2个不同的元素，∴a ∈A ，∴a 2－3a <0，解得0<a <3且a ≠1，即实数a 的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.答案： B4．(2017·湖北武昌一模)设A ，B 是两个非空集合，定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }．若A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10<0}，则A －B ＝( )A ．{0,1}B ．{1,2}C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,5}解析： ∵A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}＝{0,1,2,3,4,5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10<0}＝{x |2<x <5}，A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，∴A －B ＝{0,1,2,5}．故选D. 答案： D5．(2017·河北衡水中学七调)已知集合A ＝{x |log 2x <1}，B ＝{x |0<x <c }，若A ∪B ＝B ，则c 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,2]D ．[2，＋∞)解析： A ＝{x |log 2x <1}＝{x |0<x <2}，因为A ∪B ＝B ，所以A ⊆B ，所以c ≥2，所以c ∈[2，＋∞)，故选D.答案： D6．(2017·江苏卷)已知集合A ＝{1,2}，B ＝{a ，a 2＋3}．若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________．解析： ∵B ＝{a ，a 2＋3}，A ∩B ＝{1}，∴a ＝1或a 2＋3＝1， ∵a ∈R ，∴a ＝1.经检验，满足题意． 答案： 17．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x －1x ＝0，则满足A ∪B ＝{－1,0,1}的集合B 的个数是________． 解析： 解方程x －1x ＝0，得x ＝1或x ＝－1，所以A ＝{1，－1}，又A ∪B ＝{－1,0,1}，所以B ＝{0}或{0,1}或{0，－1}或{0,1，－1}，集合B 共有4个．答案： 48．设集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z }，A ＝{1,2}，B ＝{－2，－1,2}，则A ∩(∁I B )＝________. 解析： 因为集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z }＝{－2，－1,0,1,2}，A ＝{1,2}，B ＝{－2，－1,2}，所以∁I B ＝{0,1}，则A ∩(∁I B )＝{1}．答案： {1}9．已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值． (1)9∈(A ∩B )； (2){9}＝A ∩B .解析： (1)∵9∈(A ∩B )， ∴2a －1＝9或a 2＝9， ∴a ＝5或a ＝3或a ＝－3.当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}； 当a ＝3时，a －5＝1－a ＝－2， 不满足集合元素的互异性；当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}， 所以a ＝5或a ＝－3. (2)由(1)可知，当a ＝5时， A ∩B ＝{－4,9}，不合题意， 当a ＝－3时，A ∩B ＝{9}． 所以a ＝－3.10．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}． (1)若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解析： A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}． (1)∵A ∩B ＝[1,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝1，m ＋2≥3，得m ＝3. (2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}． ∵A ⊆∁R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1. ∴m >5或m <－3.故m 的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．1．设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为________．解析： 因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}，则u ＝1－x 2∈(0,1]，所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}，A ∪B ＝(－∞，1)，A ∩B ＝(－1,0]，故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0,1)．答案： (－∞，－1]∪(0,1)2．设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)·(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为________．解析： 若a >1，则集合A ＝{x |x ≥a 或x ≤1}，利用数轴可知，要使A ∪B ＝R ，需要a －1≤1，则1<a ≤2；若a ＝1，则集合A ＝R ，满足A ∪B ＝R ，故a ＝1符合题意；若a <1，则集合A ＝{x |x ≤a 或x ≥1}，显然满足A ∪B ＝R ，故a <1符合题意．综上所述，a 的取值范围为(－∞，2]．答案： (－∞，2]3．已知集合A ＝{y |y ＝2x －1,0<x ≤1}，B ＝{x |(x －a )[x －(a ＋3)]<0}．分别根据下列条件，求实数a 的取值范围．(1)A ∩B ＝A ；(2)A ∩B ≠∅.解析： 因为集合A 是函数y ＝2x －1(0<x ≤1)的值域， 所以A ＝(－1,1]，B ＝(a ，a ＋3)．(1)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a ＋3>1，即－2<a ≤－1，故当A ∩B ＝A 时，a 的取值范围是(－2，－1]． (2)当A ∩B ＝∅时，结合数轴知，a ≥1或a ＋3≤－1，即a ≥1或a ≤－4. 故当A ∩B ≠∅时，a 的取值范围是(－4,1)． 4．设集合A ＝{x ∈R |2x 2＋ax －a 2＝0},1∈A ，－2∉A . (1)求a 的值，并写出A 的所有子集；(2)若集合B ＝{x ∈R |x 2＋(m －3)x ＋m ＝0}，(∁R A )∩B ＝∅，求实数m 的值构成的集合． 解析： (1)因为1∈A ，所以2×12＋a ×1－a 2＝0，解得a ＝－1,2，当a ＝2时，A ＝{x ∈R |2x 2＋2x －4＝0}＝{1，－2}，与已知－2∉A 矛盾，所以a ≠2；当a ＝－1时，A ＝{x ∈R |2x 2－x －1＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，1，符合题意．所以A 的所有子集为∅，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，{1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，1.(2)因为(∁R A )∩B ＝∅，所以B ⊆A ，因为方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m －3)2－4m ＝m 2－10m ＋9， 所以按照判别式的符号分类讨论如下：①当Δ<0即1<m <9时，集合B 为空集，符合题意．②当Δ＝0即m ＝1或m ＝9时，若m ＝1，则B ＝{1}，符合题意，若m ＝9，则B ＝{－3}，不符合题意，舍去．③当Δ>0即m <1或m >9时，集合B 有两个元素，所以B ＝A ，所以⎩⎨⎧－12＋1＝－(m －3)，⎝⎛⎭⎫－12×1＝m ，矛盾，舍去．所以实数m 的值构成的集合为[1,9)．第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件1．理解命题的概念．2．了解“若p ，则q ”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.1．四种命题及其关系 (1)四种命题若原命题为“若p ，则q ”，则其逆命题是若q ，则p ；否命题是若綈p ，则綈q ；逆否命题是若綈q ，则綈p .(2)四种命题间的关系2．充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p，则q”为真命题，记作：p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作：p⇔q，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件．1．四种命题间的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们的真假性相同．(2)两个命题互为逆命题或者互为否命题，它们的真假性没有关系．2．充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件．(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q，且q⇒r”⇒“p⇒r”或“p⇐q，且q⇐r”⇒“p⇐r”．1．在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由正弦定理知asin A＝bsin B＝2R(R为△ABC外接圆半径)．若sin A>sin B，则a2R>b2R，即a>b，所以A>B；若A>B，则a>b，所以2R sin A>2R sin B，即sin A>sin B，所以“A>B”是“sin A>sin B”成立的充要条件．答案： C2．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0解析：根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．故选D.答案： D3．“x>1”是“x2＋2x>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由x2＋2x>0，得x>0或x<－2，所以“x>1”是“x2＋2x>0”的充分不必要条件，故选A.答案： A4．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：________.解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，结论：∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”．答案：“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”5．在命题“若m>－n，则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m＝2，n＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m＝－3，n＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案： 3考向一四种命题及其相互关系自主练透型1．(2017·河南八市联考)命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是()A．若a≤b，则a＋c≤b＋c B．若a＋c≤b＋c，则a≤bC．若a＋c>b＋c，则a>b D．若a>b，则a＋c≤b＋c解析：否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，故选A.答案： A2．下列命题中为真命题的是()A．命题“若x>1，则x2>1”的否命题B．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若1x>1，则x >1”的逆否命题解析： 对于A ，命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4>1，故为假命题；对于B ，命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题为“若x >|y |，则x >y ”，分析可知为真命题；对于C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故为假命题；对于D ，命题“若1x >1，则x >1”的逆否命题为“若x ≤1，则1x≤1”，易知为假命题，故选B.答案： B3．(2017·河北衡水二中模拟)命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数解析： 将原命题的条件和结论互换的同时进行否定即得逆否命题，因此“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”，所以选C.答案： C四种命题的关系及真假判断(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性．(2)判断命题真假的方法：一是联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断；二是利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断.考向二 充分必要条件的判定互动讲练型(1)(2017·天津卷)设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2017·浙江卷)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析： (1)由2－x ≥0，得x ≤2；由|x －1|≤1，得－1≤x －1≤1，即0≤x ≤2，因为[0,2]－∞，2]，所以“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件．(2)法一：S 4＋S 6>2S 5等价于(S 6－S 5)＋(S 4－S 5)>0，等价于a 6－a 5>0，等价于d >0.法二：∵S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，∴S 4＋S 6－2S 5＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d －2(5a 1＋10d )·d ，即S 4＋S 6>2S 5等价于d >0.答案： (1)B (2)C充分、必要条件的判断方法(1)定义法：直接判断“若p ，则q ”，“若q ，则p ”的真假(如本例(1))．(2)集合法：若A ⊆B ，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件或“x ∈B ”是“x ∈A ”的必要条件；若A ＝B ，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的充要条件(如本例(2))．(3)等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假(如跟踪训练3).[跟踪训练]1．(2017·兰州市高考实战模拟)设向量a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)，则“a ⊥b ”是“x ＝2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)，若a ⊥b ，则a ·b ＝0，即(x －1)(x ＋2)＋x (x －4)＝0，解得x ＝2或x ＝－12，∴x ＝2⇒a ⊥b ，反之a ⊥b ⇒x ＝2或x ＝－12，∴“a ⊥b ”是“x ＝2”的必要不充分条件．答案： B2．设p ：x 2－x －20>0，q ：log 2(x －5)<2，则p 是q 的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析： ∵x 2－x －20>0，∴x >5或x <－4，∴p ：x >5或x <－4.∵log 2(x －5)<2，∴0<x －5<4，即5<x <9，∴q ：5<x <9，∵{x |5<x x |x >5或x <－4}，∴p是q 的必要不充分条件，故选C.答案： C3．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件解析： 法一：设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝{(x ，y )|x ＝y }，B 的补集D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然C D ，所以B A .于是“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．法二：(等价转化法)x ＝y ⇒cos x ＝cos y ， 而cos x ＝cos y ⇒/ x ＝y . 答案： C考向三 充分条件与必要条件的探求分层深化型已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析： 因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}，所以由已知x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，得A B ，所以m ＋1>3，即m >2.答案： (2，＋∞)根据充要条件求解参数范围的方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍(如本例)，处理不当容易出现漏解或增解的现象.[同类练]1．已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值范围是________．解析： 由|x －m |<1得m －1<x <m ＋1， 若13<x <12是|x －m |<1成立的充分不必要条件， 则⎩⎨⎧m －1≤13m ＋1>12或⎩⎨⎧m －1<13m ＋1≥12得－12≤m ≤43.答案： ⎣⎡⎦⎤－12，43 [变式练]2．是否存在实数m ，使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件？解析： 欲使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件，则只要{x |x <－1，或x >3}⊆⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 2，这是不可能的． 故不存在实数m 使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件． [拓展练]3．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：x >a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－3]解析： 由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件．故a ≥1.答案： A解”的求解策略，对于一个难以入手的命题，可以把命题转化为易于解决的等价命题，每一个等价命题都能提供一个解题思路．设p ：|4x －3|≤1；q ：a ≤x ≤a ＋1，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，12 B ．⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞D ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析： 设A ＝{x ||4x －3|≤1}，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤1，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}． 由綈p 是綈q 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即A B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12，a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ＋1≥1， 故所求实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 答案： A本例将“綈p 是綈q 的必要而不充分条件”转化为“p 是q 的充分而不必要条件”；将p 、q 之间的条件关系转化为相应集合之间的包含关系，使抽象问题直观化、复杂问题简单化，体现了等价转化思想的应用．,[跟踪训练]证明：若a 2－b 2＋2a －4b －3≠0，则a －b ≠1.证明： 命题“若a 2－b 2＋2a －4b －3≠0，则a －b ≠1”的逆否命题是“ 若a －b ＝1，则a 2－b 2＋2a －4b －3＝0”．由a －b ＝1，得a 2－b 2＋2a －4b －3＝(a ＋b )(a －b )＋2(a －b )－2b －3＝a －b －1＝0，所以原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题．即若a 2－b 2＋2a －4b －3≠0，则a －b ≠1.(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)1．若非空集合M ，N ，则“a ∈M 或a ∈N ”是“a ∈M ∩N ”的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析： 因为“a ∈M ∩N ”可以推出“a ∈M 或a ∈N ”，但是反过来不能推出，所以“a ∈M 或a ∈N ”是“a ∈M ∩N ”的必要不充分条件．答案： C2．已知命题：若a >2，则a 2>4，其逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析： 原命题显然是真命题，其逆命题为“若a 2>4，则a >2”，显然是假命题，由互为逆否命题的等价性知，否命题是假命题，逆否命题是真命题．答案： B3．(2017·北京卷)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m·n <0”的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析： 由存在负数λ，使得m ＝λn ，可得m 、n 共线且反向，夹角为180°，则m·n ＝－|m ||n |<0，故充分性成立．由m·n <0，可得m ，n 的夹角为钝角或180°，故必要性不成立．答案： B4．使a >0，b >0成立的一个必要不充分条件是( ) A ．a ＋b >0 B ．a －b >0 C ．ab >1D ．ab>1解析： 因为a >0，b >0⇒a ＋b >0，反之不成立，而由a >0，b >0不能推出a －b >0，ab >1，a b>1. 答案： A5．下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题是“若x 2＝1，则x ≠1”B ．“x ＝－1”是“x 2－x －2＝0”的必要不充分条件C ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题是真命题D ．“tan x ＝1”是“x ＝π4”的充分不必要条件解析： 由原命题与否命题的关系知，原命题的否命题是“若x 2≠1，则x ≠1”，即A 不正确；因为x 2－x －2＝0⇔x ＝－1或x ＝2，所以由“x ＝－1”能推出“x 2－x －2＝0”，反之，由“x 2－x －2＝0”推不出“x ＝－1”，所以“x ＝－1”是“x 2－x －2＝0”的充分不必要条件，即B 不正确；因为由x ＝y 能推得sin x ＝sin y ，即原命题是真命题，所以它的逆否命题是真命题，故C 正确；由x ＝π4能推得tan x ＝1，但由tan x ＝1推不出x ＝π4，所以“x ＝π4”是“tan x＝1”的充分不必要条件，即D不正确．答案： C6．已知p(x)：x2＋2x－m>0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________．解析：因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3；又p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8.故实数m的取值范围是[3,8)．答案：[3,8)7．(2017·山东临沂模拟)有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，假命题．②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，真命题．答案：②③8．若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值为________．解析：由x2>1得x>1或x<－1.由题意知{x|x<a x|x>1或x<－1}，所以a≤－1，从而a的最大值为－1.答案：－19．写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解析：(1)逆命题：已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2<4b，为真命题．(3)逆否命题：已知a，b∈R，若a2<4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题．10．指出下列命题中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC 中，p ：∠A ＝∠B ，q ：sin A ＝sin B ； (2)非空集合A ，B 中，p ：x ∈(A ∪B )，q ：x ∈B ；(3)已知x ，y ∈R ，p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，q ：(x －1)(y －2)＝0.解析： (1)在△ABC 中，∠A ＝∠B ⇒sin A ＝sin B ，反之，若sin A ＝sin B ，因为A 与B 不可能互补(因为三角形三个内角和为180°)，所以只有A ＝B .故p 是q 的充要条件．(2)显然x ∈(A ∪B )不一定有x ∈B ，但x ∈B 一定有x ∈(A ∪B )，所以p 是q 的必要不充分条件． (3)条件p ：x ＝1且y ＝2，条件q ：x ＝1或y ＝2， 所以p ⇒q 但q ⇒/ p ，故p 是q 的充分不必要条件．1．(2017·四川南山模拟)已知条件p ：14<2x <16，条件q ：(x ＋2)(x ＋a )<0，若p 是q 的充分而不必要条件，则a 的取值范围为( )A ．[－4，＋∞)B ．(－∞，－4)C ．(－∞，－4]D ．(4，＋∞)解析： 由14<2x <16，得－2<x <4，即p ：－2<x <4.方程(x ＋2)(x ＋a )＝0的两个根分别为－a ，－2.①若－a >－2，即a <2，则条件q ：(x ＋2)(x ＋a )<0等价于－2<x <－a ，由p 是q 的充分而不必要条件可得－a >4，则a <－4；②若－a ＝－2，即a ＝2，则(x ＋2)(x ＋a )<0无解，不符合题意；③若－a <－2，即a >2，则q ：(x ＋2)(x ＋a )<0等价于－a <x <－2，不符合题意． 综上可得a <－4，故选B. 答案： B2．(2017·山西五校4月联考)已知p ：(x －m )2>3(x －m )是q ：x 2＋3x －4<0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为____________．解析： p 对应的集合A ＝{x |x <m 或x >m ＋3}，q 对应的集合B ＝{x |－4<x <1}，由p 是q 的必要不充分条件可知B A ，∴m ≥1或m ＋3≤－4，即m ≥1或m ≤－7.答案： (－∞，－7]∪[1，＋∞)3．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”． (1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p 的否命题的真假，并证明你的结论．解析： (1)否命题：“若ac <0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”． (2)命题p 的否命题为真命题，证明如下：∵ac <0，∴－ac >0⇒Δ＝b 2－4ac >0⇒二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根． 4．已知p ：x 2－7x ＋12≤0，q ：(x －a )(x －a －1)≤0.(1)是否存在实数a ，使綈p 是綈q 的充分不必要条件，若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由；(2)是否存在实数a ，使p 是q 的充要条件，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解析： 因为p ：3≤x ≤4， q ：a ≤x ≤a ＋1.(1)因为綈p 是綈q 的充分不必要条件， 所以綈p ⇒綈q ，且綈q ⇒/ 綈p ， 所以q ⇒p ，且p ⇒/ q ， 即q 是p 的充分不必要条件， 故{x |a ≤x ≤a ＋x |3≤x ≤4}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a >3，a ＋1≤4或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，a ＋1<4，无解，所以不存在实数a ，使綈p 是綈q 的充分不必要条件． (2)若p 是q 的充要条件， 则{x |a ≤x ≤a ＋1}＝{x |3≤x ≤4}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a ＋1＝4，解得a ＝3.故存在实数a ＝3，使p 是q 的充要条件．第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义． 2．理解全称量词与存在量词的意义． 3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有“且”“或”“非”． (2)命题p ∧q 、 p ∨q 、綈p 的真假判断2.(1)全称量词和存在量词1．含逻辑联结词命题真假判断(1)p∧q中一假即假．(2)p∨q中一真必真．(3)綈p真，p假；綈p假，p真．2．全(特)称命题的真假判断方法1．命题“∃x0∈R，x20－x0－1>0”的否定是()A．∀x∈R，x2－x－1≤0 B．∀x∈R，x2－x－1>0C．∃x0∈R，x20－x0－1≤0 D．∃x0∈R，x20－x0－1≥0解析：依题意得，命题“∃x0∈R，x20－x0－1>0”的否定是“∀x∈R，x2－x－1≤0”，选A.答案： A2．下列命题中为真命题的是()A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈R，－1<sin x<1C．∃x0∈R,2x0<0 D．∃x0∈R，tan x0＝2解析：因为∀x∈R，x2≥0，故A错；∀x∈R，－1≤sin x≤1，故B错；∀x∈R,2x>0，故C错．答案： D3．命题p：∀x∈R，sin x＜1；命题q：∃x∈R，cos x≤－1，则下列结论是真命题的是()A．p∧q B．綈p∧qC．p∨綈q D．綈p∧綈q解析：p是假命题，q是真命题，所以B正确．答案： B4．命题“所有可以被5整除的整数，末位数字都是0”的否定为________________________．答案：“有些可以被5整除的整数，末位数字不是0”5．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“綈q”同时为假命题，则x＝________.解析： 若p 为真，则x ≥－1或x ≤－3， 因为“綈q ”为假，则q 为真，即x ∈Z ， 又因为“p ∧q ”为假，所以p 为假， 故－3<x <－1，由题意，得x ＝－2. 答案： －2考向一 全称命题与特称命题自主练透型1．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则非p 为( ) A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤0 B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x ≤1 D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x ≤1解析： 命题p 为全称命题，所以非p ：∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1. 答案： B2．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若m 满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项中的命题为真命题的是( )A ．∃x 0∈R ，f (x 0)<f (m )B ．∃x 0∈R ，f (x 0)>f (m )C ．∀x ∈R ，f (x 0)≤f (m )D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (m )解析： 由2am ＋b ＝0，得m ＝－b2a ，又a >0，∴f (m )是函数f (x )的最小值， 即∀x ∈R ，有f (x )≥f (m )，故选D. 答案： D3．若命题“∃x ∈R ，使得sin x cos x >m ”是真命题，则m 的值可以是( ) A ．－13B ．1 C.32D ．23解析： ∵sin x cos x ＝12sin 2x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12，∴m <12.故选A. 答案： A1．全称(特称)命题否定的两步曲(1)改写量词：找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再改变量词．(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．[提醒] 若命题p 是真命题，则綈p 是假命题；若命题p 是假命题，则綈p 是真命题． 2．全称命题与特称命题真假的判断方法考向二 含有逻辑联结词的命题的真假判断互动讲练型(1)(2017·贵州省适应性考试)已知命题p ：∀x ∈R ，log 2(x 2＋4)≥2，命题q ：y ＝x12是定义域上的减函数，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∨(綈q )B ．p ∧qC ．(綈p )∨qD ．(綈p )∧(綈q )(2)(2017·山东卷)已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋1≥0；命题q ：若a 2<b 2，则a <b .下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧綈qC ．綈p ∧qD ．綈p ∧綈q解析： (1)命题p ：函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，x 2＋4≥4，所以log 2(x 2＋4)≥log 24＝2，即命题p 是真命题，因此綈p 为假命题；命题q ：y ＝x 12在定义域上是增函数，故命题q是假命题，綈q 是真命题．因此选项A 是真命题，选项B 是假命题，选项C 是假命题，选项D 是假命题，故选A.(2)p ：x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0恒成立，∴∃x ∈R ，x 2－x ＋1≥0成立．故命题p 为真． q ：a 2<b 2⇒a 2－b 2<0⇒(a ＋b )(a －b )<0，。

高考冲刺：热点分析三：守恒【高考展望】最近几年高考热点为：动量守恒定律及其应用、机械能守恒定律及其应用、能量守恒定律及其应用、电荷守恒定律及其应用、质量数守恒及其应用。

主要内容包括动量、冲量、功、功率、机械能等基本概念；动量定理和动能定理两大定理；动量守恒定律、机械能守恒定律和能量转化和守恒定律三大定律．功能的关系和能量守恒定律是自然界中适用范围非常广泛的物理规律，是高中物理的主干和重点知识，从能量角度分析处理物理问题是高中物理中处理物理问题的重要方法，也是历年高考热点。

用动量的观点分析物理问题是力学三大思路之一，也是历年高考考查的重点、热点，在试题中往往表现为灵活性强、综合性大、能力要求高，如对动量定理的考查绝大多数问题设置的情景是短暂且是变力作用的过程，直接用冲量的概念无法解决，只能依据动量定理，通过动量的变化求解某一变力的冲量或合力的冲量．机械能守恒定律、能量守恒定律与动量守恒定律结合，大大增加了试题的难度，是高中物理的重点，也是高考考查的重点之一，每年的高考中必有这方面的试题，而且常常是动量与能量，或者动量、能量与平抛运动、圆周运动、热学、电磁学、原子物理等知识的综合题，试题的情景常常是物理过程较复杂的，或者是作用时间很短的，如变加速运动、碰撞、爆炸、打击、弹簧形变等．【方法点拨】对定律的考查，主要是运用守恒定律确定相互作用的各物体作用完成以后的运动状态，即作用完成以后各个物体速度的大小和方向，或者是动量的大小和方向，因此在复习中应予以足够的重视，既要加强对定理定律的理解，把握其实质内涵，又要在实战中理顺思路，仔细琢磨，达到熟能生巧的目的．复习时不仅要搞清楚定理、定律的来龙去脉，适用的条件，更要具备能够将复杂的过程分解成一个个子过程的能力，所以在专题复习中要在过程分析上下功夫，来提高自己的分析问题和解决综合题的能力．【典型例题】类型一、机械能守恒定律的应用问题应用机械能守恒定律解题的一般思路： (1)选择适当的研究对象(物体或系统)，明确哪些物体参与了动能和势能的相互转化，选择合适的初、末状态；(2)对物体进行受力分析和运动分析，明确各个力做功的情况及初末状态的速度，判断机械能是否守恒，只有符合守恒条件才能应用机械能守恒定律解题；(3)选择适当的机械能守恒定律表述形式列守恒方程，对多过程问题可分阶段列式，也可对全过程列式．(必要时应选取重力势能为零的参考平面)例1．如图所示，将一质量为0.1 kg m =的小球自水平平台右端O 点以初速度0v 水平抛出，小球飞离平台后由A 点沿切线落入竖直光滑圆轨道ABC ，并沿轨道恰好通过最高点C ，圆轨道ABC 的形状为半径 2.5 m R =的圆截去了左上角127︒的圆弧，CB 为其竖直直径，(sin530.8︒=，cos530.6︒=，重力加速度210 m/s g =)求：(1)小球经过C 点的速度大小；(2)小球运动到轨道最低点B 时轨道对小球的支持力大小； (3)平台末端O 点到A 点的竖直高度H .【思路点拨】本题是一个多过程的机械能守恒问题，涉及运动的分解、平抛运动、圆周运动、牛顿运动定律等知识，是一个综合性习题．【答案】(1)5 m/s (2)6.0 N (3)3.36 m【解析】 (1)小球恰运动到C 点，重力提供向心力，即2Cv mg m R=解得：5 m/s C v(2)从B 点到C 点机械能守恒，由机械能守恒定律有2211222B Cmv mg R mv ⋅=＋ 解得：B v在B 点小球受重力、支持力B N ，它们的合力提供向心力，即2BB v N mg m R=-解得：2() 6.0 N BB v N m g R+=＝(3)从A 点到B 点机械能守恒，则2211(1cos 53)22A B mv mgR mv -︒=+ 代入数据得：m/s A vA 点的竖直分速度为sin53y A v v ︒=平台末端O 点到A 点的竖直高度222(sin53)22yA v v H g g︒==代入数据得3.36 m H ＝.【总结升华】本题是一个多过程的机械能守恒问题，涉及运动的分解、平抛运动、圆周运动、牛顿运动定律等知识，是一个综合性习题．以下变式题是有关连接体的机械能守恒问题，注意与单个物体机械能守恒相区别．举一反三:【高考热点分析之三 守恒 例1】 【变式1】一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m 和2m 的小球A 和B 。

物理高考冲刺：能量方法及其应用【高考展望】本专题主要讨论利用能量方法分析解决物理问题的方法。

能量问题是高中物理的主干和重点知识，也是难点知识，能量方法是高中物理中处理物理问题的常用方法和重要方法，也是历年高考热点。

历年高考试卷中的综合问题往往与能量知识有关，并且往往把能量知识与力学、热学、电场、磁场、电磁感应等知识点综合起来，这类问题过程多样复杂，综合程度高，难度大。

【知识升华】“能量方法”简介：从“能量守恒和功能关系”角度来研究运动过程的学习研究方法。

主要包含：能量守恒思想，即能量守恒定律功能关系功是能量转化的量度。

在某一运动过程中，每一种能量的改变和转移都会对应着某一种力的做功。

能量守恒思想，一般从以下三个方面思考：（1）分析某一过程涉及那些能量，（2）分析各能量如何变化，（3）减少的能量一定等于增加的能量，即初态能量=末态能量。

【方法点拨】从能量守恒和功能关系出发研究：（1）动能增量---合力功或外力功之和（2）势能增量---相应力做功的相反数 （引力势能、电势能）（3）机械能增量---除了重力、弹力外其它力做功。

（弹力主要指的是弹簧弹力）如果重力、弹力之外的力不做功，机械能保持不变，即机械能守恒。

（4）摩擦生热---滑动摩擦力与物体间相对滑行距离的乘积。

【典型例题】类型一、解决力学问题【 能量方法及应用 例1 】例1、一物体静止在升降机的地板上，在升降机加速上升的过程中，地板对物体的支持力所做的功等于（ ）A.物体势能的增加量B.物体动能的增加量C.物体动能的增加量加上物体势能的增加量D.物体动能的增加量加上克服重力所做的功【思路点拨】支持力是恒力，支持力做的功等于力乘以上升的高度，支持力对物体做功，物体的机械能增加。

【答案】CD【解析】设升降机加速上升高度为h 时，速度为v ，地板对物体的支持力为N根据动能定理 2201122N h mgh mv mv ⋅-=- 地板对物体做的功 2201122N p k W Nh mgh mv mv E E ==+-=∆+∆ 【总结升华】或：除重力外其它力做功等于机械能增量，只有支持力做功，支持力做的功等于机械能的增量。

高三高考物理一轮复习资料目录高三一轮复习资料1物体的平衡高三一轮复习资料2直线运动高三一轮复习资料3 牛顿运动定律高三一轮复习资料4A曲线运动A高三一轮复习资料4B曲线运动高三一轮复习资料5A机械能高三一轮复习资料5B机械能高三一轮复习资料6动量高三一轮复习资料7电场高三一轮复习资料8磁场高三一轮复习资料9电磁感应G AGfBGCFFGfD专题1：力和物体的平衡考点1：力的认识1．概念：力是物体间．．．的相互．．作用。

2．力的基本性质：①物质性②力的相互性③力的矢量性④力的独立性注意：矢量相等的条件：大小相等，方向相同3．力的分类：①力的性质命名：如重力、弹力、摩擦力、分子力、电磁力（含有：电场力、安培力、洛仑兹力）等。

②力的效果命名：如拉力、压力、动力、阻力等。

思考：①如何辨别某力是效果命名还是性质命名呢？②根据效果命名时，不同名称的力，性质可能相同吗？试举例说明？③同一性质的力，效果可能不同吗？试举例说明？注意：在受力分析是均是按性质去分析练习：1．下列关于力的说法中，正确的是（）A．“以卵击石”鸡蛋破裂，而石头无损的事实说明石头对鸡蛋的作用力比鸡蛋对石头的作用力大B．力是不能离开物体而独立存在的，一个力既有施力物体，又有受力物体C．一个物体先对别的物体施加力后才能受到反作用力D．物体的施力和受力是同时的E．力能使物体发生形变F．力是维持物体运动的原因G．力是物体产生加速度的原因H．放在斜面上的物体会沿斜面下滑，是因为受了一个下滑力作用J．放在水中的木块浮于水面，是因为受浮力作用K．如果作用力变化则反作用力也将变化2.足球运动员已将足球踢向空中，下列描述足球在向斜上方飞行过程中某时刻的受力如图中，正确的是（G为重力，F为脚对球的作用力，f为空气阻力）：3.07海南卷16世纪末，伽利略用实验和推理，推翻了已在欧洲流行了近两千年的亚里士多德关于力和运动的理论，开启了物理学发展的新纪元。

在以下说法中，与亚里士多德观点相反的是Ａ.四匹马拉的车比两匹马拉的车跑得快；这说明，物体受的力越大，速度就越大Ｂ.一个运动的物体，如果不再受力了，它总会逐渐停下来；这说明，静止状态才是物体长不受力时的“自然状态”Ｃ.两物体从同一高度自由下落，较重的物体下落较快Ｄ.一个物体维持匀速直线运动，不需要力4．一根绳子受150N的拉力时就会被拉断，若两人沿相反方向用大小相同的力拉绳，要把绳子拉断，每人用的力至少为A．75N B．300N C．150N D．小于150N 考点2：重力1．重力的产生：2．重力的大小：（1）由G=mg计算,g为重力加速度，通常在地球表面附近，g取9.8m/s2。

第一部分：高中思想政治会考知识点详细分解经济学常识考试内容：第一课考试目标：1、商品的含义基本属性2、社会必要劳动时间决定价值量3、货币的基本职能4、价值规律的内容和形式5、价值规律的作用基本知识点内容：1、商品的使用价值和价值的关系⑴联系：使用价值和价值是商品的两个基本属性（也叫两个因素）。

它们共存在于商品统一体中。

使用价值是价值的物质承担者，没有使用价值则没有价值，有价值必有使用价值。

有使用价值不一定有价值，也不是商品。

⑵区别：使用价值是指商品能满足人们某种需要，可供人们使用的属性。

价值是指凝结在商品中的无差别的（一般的）人类劳动。

商品生产者和消费者不能同时兼得使用价值和价值。

２．商品价值量与社会劳动生产率的关系。

商品价值量是指商品价值的大小，是由生产这种商品的社会必要劳动时间决定的，与社会必要劳动时间成正比。

与社会劳动生产率成反比。

（劳动生产率分为社会劳动生产率和个别劳动生产率），与个别劳动生产率无关（即与个别劳动时间无关）３．货币的职能⑴价值尺度，是用来衡量商品价值大小的尺度，货币在执行价值尺度的职能时，只需要观念中的货币。

⑵流通手段，即用来充当商品交换的媒介，货币产生后，商品的交换从时空上可以分离，有利于扩大商品的交换。

货币在执行流通手段时，必须是现实中的货币。

⑶贮藏手段：把货币作为社会财富的代表贮藏起来。

作为贮藏手段的货币，必须是实实在在的货币，又是足值的货币。

因此，只有金银铸币或金银条、块才能执行贮藏手段的职能。

⑷支付手段：被用来清偿债务或支付赋税、租金、工资等。

支付手段是随着赊帐买卖的产生而出现的。

⑸世界货币：货币具有在世界市场充当一般等价物。

货币产生后，商品的价值就由货币来表现，就是价格。

价格是价值的货币表现４．纸币与通货膨胀⑴纸币是由国家发行的强制使用的货币符号。

它在商品交换中起媒介作用。

⑵尽管国家有权发行纸币，有权规定纸币的面值。

但国家却无权规定纸币的实际购买力⑶通货膨胀，纸币的发行量超过流通中实际需要的货币量，从而引起纸币的贬值。

总复习:图文转换考点透视考点明确“图文转换”类题是一种综合性、技巧性强，具有创新特色的新题型。

它要求考生根据图或表中的有关内容，分析有关材料，辨别或挖掘某些隐含的信息，对材料进行综合性评价或推断，然后，用恰当的语言表述出来。

“图文转换”题，表面看来是“看图说话”，实际上，它综合了“句式变换”“仿写”“续写”“压缩语段”等多种题型，说到底这类题是在考查考生综合的语言表达运用能力。

正因为它很好地体现了语文新课标的精神，所以，成为近年来模拟题中的新宠。

新课标《考试说明》在“语言文字运用”中对这一考点作出要求，能力层级为E级。

命题趋势①考查的省市多，如大纲卷、课标Ⅰ卷、课标Ⅱ卷、江苏卷、辽宁卷、四川卷、广东卷、湖北卷、山东卷。

②考查题型多样：选择题、填空题、完整表述题。

③图文选材丰富：统计图、统计表、漫画、照片、绘画、书法、活动策划图。

④分值：一般为 4—6 分。

图文转换题是一个富有创新性的题型，它总会给人眼前一亮的新鲜感，所以受到命题人的青睐，并得到广大一线老师的肯定，因此考查的省市数量会保持上升势头；题型会以笔答的形式为主，个别省市会以选择题的形式考查；考查的图标取材会更加丰富；分值相对稳定，一般为 4—6 分。

鉴于以上情况，该题要引起足够重视。

知识讲解表格与文字的转换表格的种类很多，有传统的列举表、统计表、流程表，还有由一般表格变形出来的柱形图、曲线图、扇面图以及圆面图等。

由图到文的转换题大致分为客观表述题和主观结论题。

前者要求用客观性文字再现图表内容，要简洁，有层次，可用一定数据表达；后者要求通过分析数据得出直接结论或造成这种直接结论的本质结论，一般可不用数据。

【解题思路】1. 认真审题，读懂题意审题时，不仅要审题干，还要审（图表的）标题、图例（符号）、数据和注释。

通过审题，要弄清楚题目的要求、图表说明的对象和比较的角度等。

2. 分析图表，捕捉信息读图表时，要横读与纵读相结合，找出图表中所含的信息：比较对象、比较角度及项目、各种数据及变化特点等。

数学必修3总复习试题（一）王斌一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项。

）1．下列关于赋值语句的叙述正确的是（）A．3.6＝x是赋值语句B．利用赋值语句可以进行代数式的化简C．赋值语句的等号与数学中的等号意义相同D．赋值语句的作用是先计算出赋值号右边表达式的值，然后把该值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值等于表达式的值2．有下列事件：①连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上；②异性电荷，相互吸引；③在标准大气压下，水在1℃结冰；④检验某件产品，合格；⑤买一张福利彩票，中奖；其中是随机事件的是（）A．②④B．①③C．①④⑤D．①③⑤3．某商场想通过检查发票及销售记录的2﹪来快速估计每月的销售总额，采取如下方法：从某本50张的发票存根中随机抽一张，如号码为15号，然后按序往后取65号，115号，165号，……，将发票上的销售额组成一个调查样本，这种抽取样本的方法是（）A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．其他抽样4．一个容量为20的数据样本，分组与频数为：（10，20 ]2个，（20，30]3个，（30，40 ]4个，（40，50 ]5个，（50，60 ]4个，（60，70 ]2个，则样本数据落在区间（10，50 ]上的可能性为（）A．5﹪B．25﹪C．50﹪D．70﹪5．某城市有两种报纸（晚报和日报）供居民订阅，记事件A为“只订晚报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订晚报”，事件E为“一种报纸也不订”，则下列每对事件中既是互斥事件又是对立事件的是（）A．B与C B．A与C C．B与D D．B与C6．观察新生儿的体重，其频率分布直方图如图1所示，则新生儿体重在（2700，3000）g内的频率为（）0.001体重x/g24002700 3000 3300 3600 3900A ．0.001B ．0.1C ．0.2D ．0.3 7．下列问题的算法，适宜用条件分支结构表示的是（ ）A ．求P （－1，3）到直线l ：3x －2y ＋1＝0的距离B ．由直角三角形的两条直角边求斜边C ．解不等式ax ＋b>0（a ≠0）D ．计算100个数的平均数8．两根相距6m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m 的概率为（ ）A ．1/2B ．1/3C ．1/4D ．1/5 9．已知某高中高一800名学生的某次考试成绩，现在想知道90分以上，80～90分，70～80分，60～70分，60分以下的学生分别占多少，需要做的工作是（ ）A ．抽取样本，据样本估计总体B ．求平均成绩C ．进行频率分布D ．计算方差10．下列说法中正确的个数是（ ）①在利用n 组观测值x i ，y i （i=1,2,3,…,n ）求回归直线方程y^＝bx+a 中的参数a,b 时，采用n 个偏差的平方和∑=--ni i ia bx y12)(来表示n 个点与相应直线在整体上的接近程度；②先进行相关性检验，确定有线性相关关系后再求其回归直线方程；③直接求出回归直线方程，无需事先进行线性相关关系检验。

认识归纳推理(一)什么是归纳推理归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的命题，而结论则是关于该类事物或现象的普遍性命题。

归纳推理的结论所断定的知识范围超出了前提所断定的知识范围，因此，归纳推理的前提与结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的。

也就是说，其前提真而结论假是可能的，所以，归纳推理乃是一种或然性推理。

拿任何一种草药来说吧，人们为什么会发现它能治好某种疾病呢?原来，这是经过我们先人无数次经验(成功的或失败的)的积累的。

由于某一种草无意中治好了某一种病，第二次，第三次，……都治好了这一种病，于是人们就把这几次经验积累起来，做出结论说，“这种草能治好某一种病。

”这样，一次次个别经验的认识就上升到对这种草能治某一种病的一般性认识了。

这里就有着归纳推理的运用。

(二)归纳推理与演绎推理的区别和联系归纳推理与演绎推理的主要区别是：首先，从思维运动过程的方向来看，演绎推理是从一般性的知识的前提推出一个特殊性的知识的结论，即从一般过渡到特殊；而归纳推理则是从一些特殊性的知识的前提推出一个一般性的知识的结论，即从特殊过渡到一般。

其实，从前提与结论联系的性质来看，演绎推理的结论不超出前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系是必然的，即其前提真而结论假是不可能的。

一个演绎推理只要前提真实并且推理形式正确，那么，其结论就必然真实。

而归纳推理(完全归纳推理除外)的结论却超出了前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而只具有或然性，即其前提真而结论假是有可能的。

也就是说，即使其前提都真也并不能保证结论是必然真实的。

归纳推理与演绎推理虽有上述区别，但它们在人们的认识过程中是紧密的联系着的，两者互相依赖、互为补充，比如说，演绎推理的一般性知识的大前提必须借助于归纳推理从具体的经验中概括出来，从这个意义上我们可以说，没有归纳推理也就没有演绎推理。

当然，归纳推理也离不开演绎推理。

比如，归纳活动的目的、任务和方向是归纳过程本身所不能解决和提供的，这只有借助于理论思维，依靠人们先前积累的一般性理论知识的指导，而这本身就是一种演绎活动。

人教版高三备考复习重点归纳第一章：函数与导数1. 函数的概念及性质1.1 函数的定义1.2 函数的图像和性质2. 导数与函数的关系2.1 导数的定义2.2 导数的计算法则2.3 导数的几何意义3. 导数的应用3.1 函数的单调性与极值3.2 函数的凹凸性与拐点3.3 曲线的切线与法线第二章：数列与数学归纳法1. 数列的概念与性质1.1 数列的定义1.2 数列的通项公式1.3 数列的递推公式2. 数列的数学归纳法2.1 数学归纳法的基本思想2.2 数学归纳法的应用3. 等差数列与等比数列3.1 等差数列的概念与性质3.2 等差数列的通项公式3.3 等差数列的求和公式3.4 等比数列的概念与性质3.5 等比数列的通项公式3.6 等比数列的求和公式第三章：三角函数与解三角形1. 弧度与角度的转换1.1 弧度制与角度制的定义1.2 弧度制与角度制的转换公式2. 三角函数的基本概念与性质2.1 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义2.2 三角函数的图像和性质3. 三角函数的诱导公式与解三角形3.1 三角函数诱导公式的推导和应用3.2 三角函数在解三角形中的应用4. 平面向量与解平面几何问题4.1 平面向量的定义与性质4.2 平面向量的加减法与数量积4.3 平面几何问题的向量解法第四章：一元二次函数与二次方程1. 一元二次函数的概念与性质1.1 一元二次函数的定义1.2 一元二次函数的图像和性质2. 一元二次方程的解法与应用2.1 一元二次方程的定义2.2 一元二次方程的解法2.3 一元二次方程的应用3. 配方法与求根公式3.1 一元二次方程的配方法3.2 一元二次方程的求根公式4. 二次函数与二次方程的应用4.1 二次函数的最值与图像4.2 二次函数与二次方程在几何问题中的应用第五章：立体几何1. 空间中的基本概念与性质1.1 空间的基本概念1.2 空间几何中的重要性质2. 空间直线与平面2.1 空间直线的方程与性质2.2 平面的方程与性质3. 空间几何图形的计算3.1 空间几何图形的体积计算3.2 空间几何图形的表面积计算4. 空间几何问题的解法与应用4.1 空间几何问题的解法4.2 空间几何问题在实际中的应用第六章：统计与概率1. 随机事件与概率1.1 随机事件的概念与性质1.2 概率的定义与计算2. 组合与排列2.1 组合的定义与计算2.2 排列的定义与计算3. 概率与统计3.1 事件的概率与统计3.2 概率与统计在实际问题中的应用以上为人教版高三备考复习重点的归纳内容，希望对你的备考有所帮助。