空间几何体的结构及其三视图和直观图教案

1.2 空间几何体的三视图和直观图教案 A第1课时教学内容：1.2.1 中心投影与平行投影1.2.2 空间几何体的三视图教学目标一、知识与技能1.掌握画三视图的基本技能;2.提高学生的空间想象力.二、过程与方法主要通过亲身实践，动手作图，体会三视图的作用.三、情感、态度与价值观感受空间物体的平面作图原理，体会三视图的奥妙.教学重点、难点教学重点：画出简单组合体的三视图.教学难点：识别三视图所表示的空间几何体.教学关键：认识棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球及其组合体的结构特征.教学突破方法：使学生理解三视图的概念的基础上，亲自动手画几何体的三视图，体会三视图的画法．在作图前，要先观察几何体的结构特征，再动手作图.教法与学法导航教学方法：问题教学法，讨论法，练习法.通过提出问题，学生思考并体会几何体三视图的画法.学习方法：自主学习，自主探究，互动学习，合作交流，动手实践，观察探究，归纳总结.在学生理解三视图概念的基础上，通过老师的启发诱导，归纳总结出得到三视图的画法.教学准备教师准备：多媒体课件（用于展示问题，引导讨论，出示答案），空间几何体的模型或图片.学生准备：练习本及铅笔橡皮.教学过程详见下页表格.精品文档教学环节教学内容师生互动设计意图创设情境导入新课1.如何将空间几何体画在纸上，用平面图形来表示.2.我们常用三视图和直观图表示空间几何体.三视图：观察者从三个不同位置观察同一空间几何体而画出的图形.直观图：观察者站在某一点观察一个空间几何体面画出的图形.师：要解决这个问题，我们需要将我们看到的画下来，这就取决于我们怎样去看.生1：我们可从前后角度，左右角度，上下角度看.生2：我们也可站在某一点观察.师：总结空间几何体表示方法，点出主题.让学生发现知识源于实践，又可应用于实践，培养学生应用意识，激发学生学习的激情.探索新知教学中心投影与平行投影.中心投影：光由一点向外散射形成的投影．平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影.分正投影、斜投影.讨论：三角形在平行投影和中心投影后的结果．师：要学习三视图，首先我们要学习两个知识.中心投影与平行投影生1：联想到棱柱的结构特征，无论是正投影还是斜投影，三角形在平行投影后为结果是与原三角形全等的三角形．生2：三角形在中心投影后得到了一个相似的放大了的三角形.以旧带新，提高知识的系统性和思维的严谨性．探索新知教学柱、锥、台、球的三视图：1.定义三视图：正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图.侧视图：光线从几何体的左面向后面正投影得到的投影图.俯视图：光线从几何体的左面向后面正投影得到的投影图.2.观察长方体的三视图.讨论三视图有何基本特征.师：把一空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形，但是只有一个平面图形难以把握几何体的全貌．通常，总是选择三种正投影……生：长方体的正视图和侧视图高度一样（等于长方体的高）．俯视图与正视图长度一样（等于长方体的和）．俯视图和侧视图宽度一样（等于长方体的宽）．这个结论可推广到一般简单几何体.我们用“长对正高平齐、宽相等”来概括三视图的基本特征．通过讨论掌握三视图的基本特征，同时通过精炼的语言概括提高学生的记忆效果．精品文档续上表课堂作业1.画出下列空间几何体的三视图．如图1是截去一角的长方体，画出它的三视图.【解析】物体三个视图的构成都是矩形，长方体截角后，截面是一个三角形，在每个视图中反映为不同的三角形，三视图为图2.精品文档2.由5个小立方块搭成的几何体，其三视图分别如下，请画出这个的几何体（正视图）（俯视图）（右视图）【解析】先画出几何体的正面，再侧面，然后结合俯视图完成几何体的轮廓，如图.3.某建筑由相同的若干个房间组成，该楼的三视图如图所示，问：（1）该楼有几层？从前往后最多要走过几个房间？（2）最高一层的房间在什么位置？画出此楼的大致形状.【解析】（1）由主视图与左视图可知，该楼有3层.由俯视图可知，从前往后最多要经过3个房间.（2）由主视图与左视图可知，最高一层的房间在左侧的最后一排的房间.楼房大致形状如右图所示.板书展示1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.1 中心投影与平行投影1.2.2 空间几何体的三视图1．情景导入4．三视图2．提出问题5．例题3．平行投影与中心投影的概念俯视图左视图主视图精品文档第2课时教学内容：1.2.3 空间几何体的直观图教学目标一、知识与技能1.掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图；2.采用对比的方法了解在平行投影下面空间图形与在中心投影下面空间图形两种方法的各自特点．二、过程与方法通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图.三、情感、态度与价值观1.提高空间想象力与直观感受；2.体会对比在学习中的作用；3.感受几何作图在生产活动中的应用.教学重点、难点教学重点：用斜二测画法画空间几何体的直观图.教学难点：用斜二测画法画空间几何体的直观图.教学关键：掌握斜二测画法及步骤.教学突破方法：本节主要使用启发式和探究式教学．使学生掌握斜二测画法及步骤的基础上，在教师的示例引导下，亲自动手画几何体的直观图，体会斜二测画法.教法与学法导航教学方法：问题教学法，练习法.通过提出问题，学生思考并体会应用斜二测画法画几何体的直观图．在以水平放置的正六边形或正六棱柱为例画直观图，通过多媒体课件具体准确的逐步演示，使学生熟练掌握并归纳斜二测画法去画直棱柱的基本步骤.学习方法：自主探究，自主学习，互动学习，合作交流，动手实践，归纳总结．在学生掌握斜二测画法的基础上，通过实践，熟练掌握应用斜二测画法画几何体的直观图.教学准备教师准备：多媒体课件（用于展示问题，引导讨论，出示答案）.学生准备：练习本及铅笔橡皮.教学过程精品文档新课师：这些平面图形既富有立体感又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系，故称为立体图形的直观图.主题探索新知1．水平放置的平面图形的直观图的画法.（1）例1 用斜二测法画水平放置的正六边形的画法：①如图（1），在正方边开ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′ =45°.②在图（2）中，以O′为中点，在x′ 轴上取A′D′=AD，在y′ 轴上取M′ N ′ =12MN.以点N ′为中点，画B′C′ 平行于x′ 轴，并且等于BC；再以M ′为中点，画E′F′平行于x′ 轴，并且等于EF.③连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，并擦去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观A′B′C′D′E′F′（图（3））教师用多媒体课件边演示边讲解.学生观察、思考、归纳师：从以上演示我们可以发现画一个水平放置的平面多边形直观图的关键是什么？生：确定多边形顶点的位置.师：请大家尝试归纳平面多边形直观图的基本步骤.生：①选取恰当的坐标系.②画平行线段，截取长度③依次连结各顶点成图（老师板书）师：有哪些注意事项生1：平行于x轴，y轴的线段在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴.多媒体演示提高上课效率.师生互动，突破重点.探索新知（2）斜二测画法基本步骤.①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′=45°（或生2：原图中平行于x轴的线段在直观图中保持原长精品文档135°），它们确定的平面表示水平面.②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.度不变平行于y 轴的线段长度，为原来的一半.师：在连虚实线的使用等方面予以补充.探索新知2．简单几何体的直观图画法例2 用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm，3cm，2cm的长方体ABCD–A′B′C′D′的直观图.画法：（1）画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴交于点O，使∠xOy = 45°，∠xOz = 90°.（2）画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN= 4cm；在y轴上取线段PQ，使PQ =32cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.（3）画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段A′A，B′B，C′C，D′D.（4）成图.顺次连接A，B，C，D，并加以整理（去掉辅助线，将被挡的部分改为虚线），就得长方体的直观图.师：下面我们体会一下，用斜二测画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方体ABCD、A′B′C′D′的直观图的画法.教师边演示边讲解，学生边观察边思考总结.师：请大家归纳一下直棱柱直观图的画法.生：①画轴②画底画③画侧棱④成图师：有什么注意事项吗？生1：竖直方面保持平行关系和长度关系不变.生2：被遮的部分用虚线.多媒体演示提高上课效率.师生互动，突破重点.探索新知3．简单组合体画法例 3 已知几何体的三视图说出它的结构特征，并用斜二测画法画它的直观图.画法：（1）画轴.如图（1），画x轴、z轴，学生讨论然后简答.生1：这个几何体是一个前后联系加强知识精品文档精品文档使∠xOz =90°.（2）画圆柱的下底面. 在x 轴上取A ，B 两点，使AB 的长度等于俯视图中圆的直径，且OA = OB . 选择椭圆模板中适当的椭圆过A ，B 两点，使它为圆柱下底面的作法作出圆柱的下底面.（3）在Oz 上截取点O ′，使OO ′ 等于正视图中OO ′ 的长度，过点O ′作平行于轴Ox 的轴O ′x ′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面.（4）画圆锥的顶点. 在Oz 上截取点P ，使PO ′ 等于正视图中相应的高度.（5）成图. 连接P A ′、PB ′，AA ′，BB ′，整理得到三视图表示的几何体的直观图.（如图（2））简单的组合体，它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆柱上底面与圆锥底面相重合. 生2：我们可以先画出上部的圆锥.师：给予肯定然后点拨注意事项.的系统性. 小结1．平面图形斜二测画法. 2．简单几何体斜二测画法. 3．简单组合斜二测画法. 4．注意事项.学生归纳，然后老师补充、完善 小结形成整体思维课堂作业1．用斜二测画法画出水平放置的正五边形的直观图.【分析】先画出正五边形的图形，然后按照斜二测画法的作图步骤进行画图. 【解析】（1）如图1所示，在已知正五边形ABCDE 中，取中心O 为原点，对称轴F A 为y 轴，对点O 与y 轴垂直的是x 轴，分别过B 、E 作GB ∥y 轴，HE ∥y 轴，与x 轴分别交于点G 、H ．画对应的轴O′x′、O′y′，使∠x′O′y′ = 45°.（2）如图2所示：以点O ′为中点，在x ′轴上取G′H′ = GH ，分别过G′、H′，在x ′轴的上方，作G′B′∥y ′轴，使G′B′ =12GB ；作H′E′∥y′轴，使H′E′ =12HE ；在y′轴的点正视图O ′ O O O′′ O ′ 侧视图俯视图O′上方取O′A′=1 2OA，在点O′下方取O′F′ =12OF，并且以点F′为中点，画C′D′∥x′轴，且使C′D′ = CD.（3）连接A′B′，B′C′，D′E′，E′A′，所得正五边形A′B′C′D′E′就是正五边形ABCDE的直观图，如图3所示.2．已知一个正四棱台的上底面边长为2cm，下底面边长为6cm，高为4cm.用斜二测画法画出此正四棱台的直观图.【分析】先画出上、下底面正方形的直观图，再画出整个正四棱台的直观图.【解析】（1）画轴.以底面正方形ABCD的中心为坐标原点，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于O，使∠xOy = 45°，∠xOz = 90°.（2）画下底面.以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF = AB = 6cm，在y轴上取线段GH，使得GH=12AB，再过G、H分别作AB∥EF，CD∥EF，且使得CD的中点为H，AB的中点为G，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图.（3）画上底面.在z轴上截取线段OO1 = 4cm，过O1点作O1x′∥Ox、O1y′∥Oy，使∠x′O1y′ = 45°，建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中重复（2）的步骤画出上底面的直观图A1B1C1D1.（3）再连结AA1、BB1、CC1、DD1，得到的图形即所求的正四棱台的直观图（图2）.3．如右图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O1y，A1B1∥C1D1，A1B1 =23C1D1 = 2，A1D1精品文档= O′D1 = 1.请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的面积.【解析】如图，建立直角坐标系xoy，在x轴上截取OD=O′D1=1，OC=O′C1=2.在过点D的y轴的平行线上截取DA=2D1A1=2.在过点A的x轴的平行线上截取AB=A1B1 = 2.连接BC，即得到了原图形.由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB = 2，CD = 3，直角腰长度为AD = 2.所以面积2322S+=⨯= 5.板书展示1.2.3 空间几何体的直观图1.情景导入2.斜二测画法的概念3.例题教案B第1课时教学内容：1.2.1 中心投影与平行投影1.2.2 空间几何体的三视图教学目标1.了解中心投影与平行投影的区别；2.能画出简单空间图形的三视图；3.能识别三视图所表示的空间几何体.教学重点、难点教学重点：画出简单组合体的三视图，给出三视图还原或想象出原实际图的结构特征.教学难点：识别三视图所表示的几何体.教学过程：一、课前准备（预习教材，找出疑惑之处）复习1：圆柱、圆锥、圆台、球分别是_______绕着________、_______绕着___________、_______绕着__________、_______绕着_______旋转得到的.复习2：简单组合体构成的方式：________________和__________________.二、新课教学探索新知探究1：中心投影和平行投影的有关概念问题：中午在太阳的直射下，地上会有我们的影子；晚上我们走在路灯旁身后也会留下长长的影子，你知道这是什么现象吗？为什么影子有长有短？新知1：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中光线叫投影线，留下物体影子的屏幕叫投影面．光由一点向外散精品文档精品文档射形成的投影叫做中心投影，中心投影的投影线交于一点．在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影，平行投影的投影线是平行的．在平行投影中，投影线正对着投影面时叫正投影，否则叫斜投影．思考：中午太阳的直射是什么投影？路灯、蜡烛的照射是什么投影？试试：在下图中，分别作出圆在中心投影和平行投影中正投影的影子.结论：中心投影其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化；平行投影其投影的大小与这个平面图形的形状和大小是完全相同的.探究2：柱、锥、台、球的三视图问题：我们学过的几何体（柱、锥、台、球），为了研究的需要，常常要在纸上把它们表示出来，该怎么画呢？能否用平行投影的方法呢？新知2：为了能较好把握几何体的形状和大小，通常对几何体作三个角度的正投影.一种是光线从几何体的前面向后面正投影得到投影图，这种投影图叫几何体的正视图；一种是光线从几何体的左面向右面正投影得到投影图，这种投影图叫几何体的侧视图；第三种是光线从几何体的上面向下面正投影得到投影图，这种投影图叫几何体的俯视图.几何体的正视图、侧视图和俯视图称为几何体的三视图.一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边．三视图中，能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示.1. 长方体的三视图.2. 球的三视图（见下页）3.圆柱的三视图4.圆锥的三视图5.组合体的三视图思考：仔细观察上图的三视图，你能得出同一几何体的三视图在形状、大小方面的关系吗？能归纳三视图的画法吗?小结：1．正视图反映物体的长度和高度，俯视图反映长度和宽度，侧视图反映宽度和高精品文档度；2. 正视图和俯视图高度相同，俯视图和正视图长度相同，侧视图和俯视图宽度相同；3. 三视图的画法规则：①正视图、侧视图齐高，正视图、俯视图长对正，俯视图、侧视图宽相等，即“长对正”、“高平齐”、“宽相等”；②正、侧、俯三个视图之间必须互相对齐，不能错位.探究3：简单组合体的三视图问题：下图是个组合体，你能画出它的三视图吗?小结：画简单组合体的三视图，要先观察它的结构，是由哪几个基本几何体生成的，然后画出对应几何体的三视图，最后组合在一起．注意线的虚实.典型例题例1画出下列几何体的三视图．【分析】画三视图之前，应把几何体的结构弄清楚，选择一个合适的主视方向．一般先画主视图，其次画俯视图，最后画左视图．画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成虚线．物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投影规律.【解析】这两个几何体的三视图如下练习：画出下列几何体的三视图．精品文档回顾与反思：通过师生共同画图，学生独立画图，让学生充分掌握画三视图的画法规则和一般步骤，认识到空间图形与其三视图间的对应关系，进而提高学生的空间想象能力.例2 如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图（单位：cm）．【分析】该几何体结构较复杂，可先出示其实物模型，引导学生从三个不同角度观察，找出其轮廓线，进而画出其三视图．在画三视图时，可按相应比例来画.练习：如图，E、F分别为正方形的面ADD1A1、BCC1B1的中心，则四边形BFD1E 在该正方体的面上的正投影不可能为回顾与反思：在完成例2较复杂图形的三视图后，给出的上述练习，实质上是三视图的一个应用．只要从主视图、俯视图和左视图三个方面来着手，就不难解决问题了.例3 某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状．【分析】三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图．主视图反映物体精品文档的主要形状特征，主要体现物体的长和高，不反映物体的宽．而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等．左视图和俯视图共同反映物体的宽要相等．据此就不难得出该几何体的形状.【解析】该几何体为一个正四棱锥.练习：根据物体的三视图（右图）试判断该物体的形状.回顾与反思：在已基本掌握空间几何体的三视图画法后，由三视图来想象其对应空间几何体，旨在进一步提高学生空间想象能力.思考：某建筑由相同的若干个房间组成，该楼三视图如右下图所示，试问：（1）该楼有几层；（2）最高一层的房间在什么位置；（3）该楼可以有多少个房间？三、课堂小结1. 平行投影和中心投影的有关概念；2. 三视图的概念以及空间物体的三视图的画法规则；3. 如何由物体的三视图判断物体的形状.四、课后作业P20.习题1.2 A组1，2，3.第2课时教学内容：1.2.3 空间几何体的直观图教学目标1.掌握斜二测画法及其步骤；2.能用斜二测画法画空间几何体的直观图．教学重点、难点教学重点：用斜二测画法画空间几何体的直观图.教学难点：直观图和三视图的互化.精品文档精品文档教学过程：一、课前准备（预习教材，找出疑惑之处） 复习1：中心投影的投影线_________；平行投影的投影线_______.平行投影又分___投影和____投影.复习2：物体在正投影下的三视图是_____、______、_____；画三视图的要点是_____ 、_____ 、______.引入：空间几何体除了用三视图表示外，更多的是用直观图来表示．用来表示空间图形的平面图叫空间图形的直观图．要画空间几何体的直观图，先要学会水平放置的平面图形的画法．我们将学习用斜二测画法来画出它们．你知道怎么画吗?二、新课导学 探索新知探究1：水平放置的平面图形的直观图画法问题：一个水平放置的正六边形，你看过去视觉效果是什么样子的？每条边还相等吗？该怎样把这种效果表示出来呢?上面的直观图就是用斜二测画法画出来的. 典型例题例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图. （师生共练，注意取点、变与不变→小结：画法步骤）画法：① 如图（1），在正六边形ABCDEF 中，取AD 所在直线为x 轴，对称轴MN 所在直线为y 轴，两轴相交于点O ．在图（2）中，画相应的x′ 轴与y′ 轴，两轴相交于点O′，使∠X′O′Y′=45°.② 在图（2）中，以O ′为中点，在x′轴上取A′D′=AD ，在y′轴上取M′N′=21MN ．以点N′为中点，画B′C′平行于x′轴，并且等于BC ；再以M′为中点，画E′F′平行于x′轴，并且等于EF .③ 连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，并擦去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF 水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′（图（3））.新知1：斜二测画法的基本步骤：①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系；②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的O′X′，O’Y′，使'''=45°（或135°），它们确定的平面表示水平平面；X OY③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X′ 轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y′ 轴，且长度变为原来的一半；④擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）.练习：用斜二测画法画水平放置的正五边形.讨论：把一个圆水平放置，看起来像个什么图形?它的直观图如何画？结论：水平放置的圆的直观图是个椭圆，通常用椭圆模板来画.探究2：空间几何体的直观图画法问题：斜二测画法也能画空间几何体的直观图，和平面图形比较，空间几何体多了一个“高”，你知道画图时该怎么处理吗？例2用斜二测画法画长4cm、宽3cm、高2cm的长方体ABCD-A’B’C’D’的直观图.画法：①画轴．如上图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°．精品文档②画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN=4cm;在y轴上取线段PQ，使PQ=23cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.③画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别取2cm 长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.④成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图.（2）思考：如何根据三视图，用斜二测画法画它的直观图？新知2：用斜二测画法画空间几何体的直观图时，通常要建立三条轴：x轴，y轴，z轴；它们相交于点O，且45xOy∠=°，90xOz∠=°；空间几何体的底面作图与水平放置的平面图形作法一样，即图形中平行于x轴的线段保持长度不变，平行于y轴的线段长度为原来的一半，但空间几何体的“高”，即平行于z轴的线段，保持长度不变.例3如下图，已知几何体的三视图（见下页左图），用斜二测画法画出它的直观图.【分析】由几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单组合体．它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合．我们可以先画出下部的圆柱，再画出上部的圆锥.画法：①画轴．如上图（1），画x轴、z轴，使∠xOz=90°.②画圆柱的下底面．在x轴上取A，B两点，使AB的长度等于俯视图中圆的直径，且OA=OB．选择椭圆模板中适当的椭圆过A，B两点，使它为圆柱的下底面.③在Oz上截取点O′，使OO′等于正视图中OO′的长度，过点O′作平行于轴Ox的轴O′x′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面.④画圆锥的顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于正视图中相应的高度.⑤成图．连接P A′，PB′，AA′，BB′，整理得到三视图表示的几何体的直观图（图⑵）．强调：用斜二测画法画图，注意正确把握图形尺寸大小的关系.精品文档。

高中数学必修2《空间几何体的三视图和直观图》教案高中数学必修2《空间几何体的三视图和直观图》教案一、教材分析在上一节认识空间几何体结构特征的基础上，本节来学习空间几何体的表示形式，以进一步提高对空间几何体结构特征的认识.主要内容是：画出空间几何体的三视图.比较准确地画出几何图形，是学好立体几何的一个前提.因此，本节内容是立体几何的基础之一，教学中应当给以充分的重视.画三视图是立体几何中的基本技能，同时，通过三视图的学习，可以丰富学生的空间想象力. 视图是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图.光线自物体的前面向后投影所得的投影图称为正视图，自左向右投影所得的投影图称为侧视图，自上向下投影所得的投影图称为俯视图.用这三种视图即可刻画空间物体的几何结构，这种图称之为三视图.教科书从复习初中学过的正方体、长方体的三视图出发，要求学生自己画出球、长方体的三视图;接着，通过思考提出了由三视图想象几何体的学习任务.进行几何体与其三视图之间的相互转化是高中阶段的新任务，这是提高学生空间想象力的需要，应当作为教学的一个重点.三视图的教学，主要应当通过学生自己的亲身实践，动手作图来完成.因此，教科书主要通过提出问题，引导学生自己动手作图来展示教学内容.教学中，教师可以通过提出问题，让学生在动手实践的过程中学会三视图的作法，体会三视图的作用.对于简单几何体的组合体，在作三视图之前应当提醒学生细心观察，认识了它的基本结构特征后，再动手作图.教材中的探究可以作为作业，让学生在课外完成后，再把自己的作品带到课堂上来展示交流.值得注意的问题是三视图的教学，主要应当通过学生自己的亲身实践、动手作图来完成.另外，教学中还可以借助于信息技术向学生多展示一些图片，让学生辨析它们是平行投影下的图形还是中心投影下的图形.二、教学目标1.知识与技能(1)掌握画三视图的基本技能(2)丰富学生的空间想象力2.过程与方法主要通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。

1.2（2）空间几何体的三视图和直观图（教学设计）（1.2.3 空间几何体的直观图）一、教学目标1．知识与技能（1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。

（2）采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点。

2．过程与方法学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。

3．情感态度与价值观（1）提高空间想象力与直观感受。

（2）体会对比在学习中的作用。

（3）感受几何作图在生产活动中的应用。

二、教学重点、难点重点、难点：用斜二测画法画空间几何值的直观图。

三、学法与教学用具1．学法：学生通过作图感受图形直观感，并自然采用斜二测画法画空间几何体的过程。

2．教学用具：三角板、圆规四、教学思路（一）复习回顾：主、俯视图长对正主、左视图高平齐俯、左视图宽相等（二）创设情景，新课引入：1．我们都学过画画，这节课我们画一物体：正方体把实物正方体放在讲台上让学生画。

2．学生画完后展示自己的结果并与同学交流，比较谁画的效果更好，思考怎样才能画好物体的直观图呢？这是我们这节主要学习的内容。

（三）师生互动，新课讲解：例1（课本P16例1）用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图。

由学生阅读理解，并思考斜二测画法的关键步骤，学生发表自己的见解，教师及时给予点评。

画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。

斜二测画法-------空间几何体直观图的一种画法.（课本P16）(1) 建立平面直角坐标系: 在已知平面图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.(2) 画出斜坐标系: 在画直观图的纸上(平面上)画出对应的x'轴和y'轴, 两轴相交于点O',且使∠x'O'y' =45度(或135度), 它们确定的平面表示水平平面.(3) 画对应图形: 在已知图形平行于x轴的线段, 在直观图中画成平行于x'轴, 长度保持不变。

适用学科 适用区域 知识点 教学目标高中数学 人教版区域适用年级 课时时长（分钟）高二 2 课时三视图、画三视图的原则、直观图、斜二测画法的步骤 掌握画三视图的基本技能和方法； 提高学生空间想象力，体会三视图的作用．教学重点 教学难点画出简单组合体的三视图． 识别三视图所表示的空间几何体．【教学建议】 本节重点是认识空间几何体的结构特征．画出空间几何体的三视图、直观图、培养空间 想象能力、几何直观能力、运用图形语言进行交流的能力。

由空间图形数出其结构特征，由 结构特征想象出空间几何体， 进行空间图形与其三视图的相互转化， 是达到本节课程目标的 重要方法。

本节中的有关概念， 主要采用分析具体实例的共同特点， 再抽象其本质属性空间而得到。

教学中应充分使用直观模型，必要时要求学生自己制作模型，引导学生直观感知模型，然后 再抽象出有关空间几何体的本质属性，从而形成概念． 学生在初中学过平面几何， 掌握了大量的平面几何知识， 进行过一定量的逻辑推理训练， 为学习立体几何打下了基础。

但学习立体几何不仅需要较强的逻辑思维能力， 还需要丰富的 空间想象能力。

学生常感到立体几何难学，究其原因主要有几点： （1）消极心理的影响 “代数繁，几何难”，在学生中广为流传，使不少学生还未学习立体几何就已经产生了畏 惧心理，他们对学好立体几何信心不足，对怎样学习心中无底，这种消极心理必然会给学生 造成消极影响. （2）思维定势的影响 受初中所学平面几何时形成的思维定式的束缚，常将平面几何中的概念、定理照搬 照用. （3）缺乏空间想象力 缺乏空间想象力，常将空间问题看成平面问题，作图、识图难。

作图中不知何时该用实 线，何时该用虚线，作出的图形缺乏立体感。

识图中相交、异面分不清，大角、小角分不清， 是否平行、垂直分不清。

【知识导图】第 1 页教学过程一、导入【教学建议】 导入是一节课必备的一个环节， 是为了激发学生的学习兴趣， 帮助学生尽快进入学习状 态。

7.1空间几何体【高考目标定位】一、空间几何体的结构及其三视图和直观图1、考纲点击（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图；（3）会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；（4）会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）。

2、热点提示1、高考考查的热点是三视图和几何体的结构特征，借以考查空间想象能力；2、以选择、填空的形式考查，有时也出现在解答题中。

二、空间几何体的表面积与体积1、考纲点击了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）；2、热点提示（1）通过考查几何体的表面积和体积，借以考查空间想象能力和计算能力；（2）多与三视图、简单组合体相联系；（3）以选择、填空的形式考查，属容易题。

【考纲知识梳理】一、空间几何体的结构及其三视图和直观图1、多面体的结构特征（1）棱柱（以三棱柱为例）如图：平面ABC与平面A1B1C1间的关系是平行，ΔABC与ΔA1B1C1的关系是全等。

各侧棱之间的关系是：A1A∥B1B∥C1C，且A1A=B1B=C1C。

（2）棱锥（以四棱锥为例）如图：一个面是四边形，四个侧面是有一个公共顶点的三角形。

（3）棱台棱台可以由棱锥截得，其方法是用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面和底面之间的部分为棱台。

2、旋转体的结构特征旋转体都可以由平面图形旋转得到，画出旋转出下列几何体的平面图形及旋转轴。

3、空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的开关和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图。

4、空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：（1）原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x’轴、y’轴的夹角为45o（或135o），z’轴与x’轴和y’轴所在平面垂直；（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行。

空间几何体的三视图和直观图教学设计1教学目标1.了解投影、中心投影和平行投影的概念;2.能画出简单几何体的三视图，能识别三视图所表示的立体模型.2学情分析1.若两相邻物体的表面相交，表面的交线是它们的原分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓都用实线画出，不可见轮廓用虚线画出.2.一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在正视图的下面，长度和正视图一样.侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度和俯视图一样，简记为“长对正，高平齐，宽相等”.3.在画物体的三视图时应注意观察角度，角度不同，往往画出的三视图不同.3重点难点1.投影(1)投影的定义由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面.(2)投影的分类①中心投影：光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影.中心投影的投影线交于一点.②平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影.平行投影的投影线是平行的.在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影.2.三视图(1)三视图的分类①正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的正视图.②侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的侧视图.③俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的俯视图.(2)三视图的画法要求①三视图的正视图、俯视图、侧视图分别是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形.②一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在正视图的下边，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右边，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样.③在绘制三视图的时候，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡部分用虚线画出.4教学过程4.1 第一学时教学活动活动1【导入】探要点究所然[情境导学]从不同角度看庐山，有古诗：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同;不识庐山真面目，只缘身在此山中.”对于我们所学几何体，从不同方向看到的形状也各有不同，我们通常用三视图和直观图来把几何体画在纸上.探究点一中心投影与平行投影导引在建筑、机械等工程图中，需要用平面图形反映空间几何体的形状和大小，在作图技术上这也是一个几何问题，要想知道这方面的基础知识，请先阅读教材第11页，然后思考下列问题.思考1什么是投影、投影线、投影面吗?答光是直线传播的，一个不透明物体在光的照射下，在物体后面的屏幕上会留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.其中的光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面.思考2不同的光源发出的光线是有差异的，其中灯泡发出的光线与手电筒发出的光线有什么不同?答灯泡发出的光线是由一点向外分散发射的;手电筒发出的光是一束平行光线.小结我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影;把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影.思考3用灯泡照射物体和用手电筒照射物体形成的投影分别是哪种投影?答灯泡照射物体形成的投影是中心投影;手电筒照射物体形成的投影是平行投影.思考4用灯泡照射一个与投影面平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系?当物体与灯泡的距离发生变化时，影子的大小会有什么不同?答在投影面上形成的影子形状与原物体相似，比原物体大.物体离灯泡越近，在投影面上的影子越大.思考5用手电筒照射一个与投影面平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系?当物体与手电筒的距离发生变化时，影子的大小会有变化吗?答形状和大小是相同的;当物体与手电筒的距离发生变化时，影子的大小不变.小结在平行投影中，投影线正对着投影面时叫做正投影，否则叫做斜投影.思考6一个与投影面平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化?一个与投影面不平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化?答与投影面平行的平面图形，在正投影和斜投影下形状、大小都不发生变化;与投影面不平行的平面图形，在正投影和斜投影下形状、大小会发生变化.例1 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图中的________.(填序号)答案①②③解析要画出四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影，只需画出四个顶点A、G、F、E在每个面上的投影，再顺次连接即得在该面上的投影，并且在两个平行平面上的投影是相同的.可得在面ABCD和面A1B1C1D1上的投影是图①;在面ADD1A1和面BCC1B1上的投影是图②;在面ABB1A1和面DCC1D1上的投影是图③.反思与感悟画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点等，画出这些关键点的投影，再依次连接即可得此图形在该平面上的投影.如果对平行投影理解不充分，做该类题目容易出现不知所措的情形，避免出现这种情况的方法是依据平行投影的含义，借助于空间想象来完成.跟踪训练1如图(1)所示，E、F分别为正方体面ADD′A′、面BCC′B′的中心，则四边形BFD′E在该正方体的各个面上的投影可能是图(2)中的________.答案②③解析四边形BFD′E在正方体ABCD-A′B′C′D′的面ADD′A′、面BCC′B′上的投影是③;在面DCC′D′上的投影是②;同理，在面ABB′A′、面ABCD、面A′B′C′D′上的投影也全是②.探究点二柱、锥、台、球的三视图导引把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形.从多个角度进行投影就能较好地把握几何体的形状和大小，通常选择三种正投影，即正面、侧面和上面.思考1如图，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么其三视图分别是什么?答如图：思考2三视图，分别反映物体的哪些关系(上下、左右、前后)?哪些数量(长、宽、高)?答正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度.小结一般地，一个几何体的正视图、侧视图和俯视图的长度、宽度和高度的关系为：正侧等高，正俯等长，侧俯等宽.思考3圆柱、圆锥、圆台的三视图分别是什么?答圆柱：圆锥：圆台：思考4球的三视图是什么?下列三视图表示一个什么几何体?答球的三视图都是半径相等的圆，上面三视图表示的几何体为如图所示：探究点三简单组合体的三视图思考1在简单组合体中，从正视、侧视、俯视等角度观察，有些轮廓线和棱能看见，有些轮廓线和棱不能看见，在画三视图时怎样处理?答能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示.思考2如图所示，将一个长方体截去一部分，这个几何体的三视图如何画出?(标出字母)答三视图如下图：例2 如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图.(单位：cm)解三视图如下：反思与感悟(1)在画三视图时，务必做到正(视图)侧(视图)高平齐，正(视图)俯(视图)长对正，俯(视图)侧(视图)宽相等.(2)习惯上将正视图与侧视图画在同一水平位置上，俯视图在正视图的正下方.跟踪训练2某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()答案D解析根据几何体的三视图知识求解.由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是D.探究点四将三视图还原成几何体思考下图是简单组合体的三视图，想象它们表示的组合体的结构特征，并画出其示意图.答简单组合体的示意图如下：例3说出下面的三视图表示的几何体的结构特征.解几何体为三棱台，结构特征如下图：反思与感悟通常要根据俯视图判断几何体是多面体还是旋转体，再结合正视图和侧视图确定具体的几何结构特征，最终确定是简单几何体还是简单组合体.跟踪训练3下图是一个物体的三视图，试说出物体的形状.解物体的形状如下图所示：1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影是()答案A解析由正投影的定义知，点M，N在平面ADD1A1上的正投影分别是AA1，DA的中点，D在平面ADD1A1上的投影还是D，因此A正确.2.某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是()A.三棱锥B.四棱锥C.四棱台D.三棱台答案B解析由三视图知该几何体为一四棱锥，其中有一侧棱垂直于底面，底面为一直角梯形.3.将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为()答案B解析还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线.D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线.4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是()答案D解析由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.5.如图，四棱锥的底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面正方形的中心，试画出其三视图.解所给四棱锥的三视图如图所示：[呈重点、现规律]1.三视图的正视图、侧视图、俯视图是分别从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，画几何体的要求是正视图、俯视图长对正，正视图、侧视图高平齐，俯视图、侧视图宽相等，前后对应，画出的三视图要检验是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征.2.几何体的三视图的画法为：先画出两条互相垂直的辅助坐标轴，在第二象限画出正视图;根据“正、俯两图长对正”的原则，在第三象限画出俯视图;根据“正、侧两图高平齐”的原则，在第一象限画出侧视图.3.看得见部分的轮廓线画实线，看不见部分的轮廓线画虚线.1.2空间几何体的三视图和直观图课时设计课堂实录1.2空间几何体的三视图和直观图1第一学时教学活动活动1【导入】探要点究所然[情境导学]从不同角度看庐山，有古诗：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同;不识庐山真面目，只缘身在此山中.”对于我们所学几何体，从不同方向看到的形状也各有不同，我们通常用三视图和直观图来把几何体画在纸上.探究点一中心投影与平行投影导引在建筑、机械等工程图中，需要用平面图形反映空间几何体的形状和大小，在作图技术上这也是一个几何问题，要想知道这方面的基础知识，请先阅读教材第11页，然后思考下列问题.思考1什么是投影、投影线、投影面吗?答光是直线传播的，一个不透明物体在光的照射下，在物体后面的屏幕上会留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.其中的光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面.思考2不同的光源发出的光线是有差异的，其中灯泡发出的光线与手电筒发出的光线有什么不同?答灯泡发出的光线是由一点向外分散发射的;手电筒发出的光是一束平行光线.小结我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影;把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影.思考3用灯泡照射物体和用手电筒照射物体形成的投影分别是哪种投影?答灯泡照射物体形成的投影是中心投影;手电筒照射物体形成的投影是平行投影.思考4用灯泡照射一个与投影面平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系?当物体与灯泡的距离发生变化时，影子的大小会有什么不同?答在投影面上形成的影子形状与原物体相似，比原物体大.物体离灯泡越近，在投影面上的影子越大.思考5用手电筒照射一个与投影面平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系?当物体与手电筒的距离发生变化时，影子的大小会有变化吗?答形状和大小是相同的;当物体与手电筒的距离发生变化时，影子的大小不变.小结在平行投影中，投影线正对着投影面时叫做正投影，否则叫做斜投影.思考6一个与投影面平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化?一个与投影面不平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化?答与投影面平行的平面图形，在正投影和斜投影下形状、大小都不发生变化;与投影面不平行的平面图形，在正投影和斜投影下形状、大小会发生变化.例1 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图中的________.(填序号)答案①②③解析要画出四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影，只需画出四个顶点A、G、F、E在每个面上的投影，再顺次连接即得在该面上的投影，并且在两个平行平面上的投影是相同的.可得在面ABCD和面A1B1C1D1上的投影是图①;在面ADD1A1和面BCC1B1上的投影是图②;在面ABB1A1和面DCC1D1上的投影是图③.反思与感悟画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点等，画出这些关键点的投影，再依次连接即可得此图形在该平面上的投影.如果对平行投影理解不充分，做该类题目容易出现不知所措的情形，避免出现这种情况的方法是依据平行投影的含义，借助于空间想象来完成.跟踪训练1如图(1)所示，E、F分别为正方体面ADD′A′、面BCC′B′的中心，则四边形BFD′E在该正方体的各个面上的投影可能是图(2)中的________.答案②③解析四边形BFD′E在正方体ABCD-A′B′C′D′的面ADD′A′、面BCC′B′上的投影是③;在面DCC′D′上的投影是②;同理，在面ABB′A′、面ABCD、面A′B′C′D′上的投影也全是②.探究点二柱、锥、台、球的三视图导引把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形.从多个角度进行投影就能较好地把握几何体的形状和大小，通常选择三种正投影，即正面、侧面和上面.思考1如图，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么其三视图分别是什么?答如图：思考2三视图，分别反映物体的哪些关系(上下、左右、前后)?哪些数量(长、宽、高)?答正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度.小结一般地，一个几何体的正视图、侧视图和俯视图的长度、宽度和高度的关系为：正侧等高，正俯等长，侧俯等宽.思考3圆柱、圆锥、圆台的三视图分别是什么?答圆柱：圆锥：圆台：思考4球的三视图是什么?下列三视图表示一个什么几何体?答球的三视图都是半径相等的圆，上面三视图表示的几何体为如图所示：探究点三简单组合体的三视图思考1在简单组合体中，从正视、侧视、俯视等角度观察，有些轮廓线和棱能看见，有些轮廓线和棱不能看见，在画三视图时怎样处理?答能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示.思考2如图所示，将一个长方体截去一部分，这个几何体的三视图如何画出?(标出字母)答三视图如下图：例2 如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图.(单位：cm)解三视图如下：反思与感悟(1)在画三视图时，务必做到正(视图)侧(视图)高平齐，正(视图)俯(视图)长对正，俯(视图)侧(视图)宽相等.(2)习惯上将正视图与侧视图画在同一水平位置上，俯视图在正视图的正下方.跟踪训练2某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()答案D解析根据几何体的三视图知识求解.由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是D.探究点四将三视图还原成几何体思考下图是简单组合体的三视图，想象它们表示的组合体的结构特征，并画出其示意图.答简单组合体的示意图如下：例3说出下面的三视图表示的几何体的结构特征.解几何体为三棱台，结构特征如下图：反思与感悟通常要根据俯视图判断几何体是多面体还是旋转体，再结合正视图和侧视图确定具体的几何结构特征，最终确定是简单几何体还是简单组合体.跟踪训练3下图是一个物体的三视图，试说出物体的形状.解物体的形状如下图所示：1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影是()答案A解析由正投影的定义知，点M，N在平面ADD1A1上的正投影分别是AA1，DA的中点，D在平面ADD1A1上的投影还是D，因此A正确.2.某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是()A.三棱锥B.四棱锥C.四棱台D.三棱台答案B解析由三视图知该几何体为一四棱锥，其中有一侧棱垂直于底面，底面为一直角梯形.3.将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为()答案B解析还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线.D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线.4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是()答案D解析由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.5.如图，四棱锥的底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面正方形的中心，试画出其三视图.解所给四棱锥的三视图如图所示：[呈重点、现规律]1.三视图的正视图、侧视图、俯视图是分别从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，画几何体的要求是正视图、俯视图长对正，正视图、侧视图高平齐，俯视图、侧视图宽相等，前后对应，画出的三视图要检验是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征.2.几何体的三视图的画法为：先画出两条互相垂直的辅助坐标轴，在第二象限画出正视图;根据“正、俯两图长对正”的原则，在第三象限画出俯视图;根据“正、侧两图高平齐”的原则，在第一象限画出侧视图.3.看得见部分的轮廓线画实线，看不见部分的轮廓线画虚线.。

教案学生姓名 _______ 科目______ 年级_______ 编号_____授课老师______ 授课时间___________上课日期__________ 总课时 ______ 本次课时_____ 剩余课时______教学重难点：1、多面体的结构特征2、旋转体的结构特征3、空间几何体的三视图4、空间几何体的直观图5、中心投影与平行投影教学过程(内容)：1、课前基础知识梳理，（问答式、填空式、回顾式）；2、学生自行完成基础自测环节，旨在检验基础知识应用情况；3、教师进行课堂考点讲解，使学生明确考点，有的放矢；4、考题演练，难度系数较第二环节高，可检验本次课教学情况；作业：1、本节所学课后务必再多加练习以期全部掌握；2、重在熟练解题思路、掌握解题模式、体会相关思想方法、习得突破口技能。

3、课时作业（三十七）课堂反馈：家长反馈意见：学生签字：家长签字：人的一生会经历风风雨雨，不是每一件事都由我们所控制，有些事的结果甚至会出乎我们的意料。

无论结果怎样，这对我们都不是最重要的，重要的是我们曾为它而经历过、拼搏过，只要有这个过程，我们就不会后悔。

第一节 空间几何体的结构及其三视图和直观图 知识梳理1、多面体的结构特征（1）棱柱的上下底面平行，侧棱都平行且长度相等，上底面和下底面是全等的多边形.（2）棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形.（3）棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形相似.2、旋转体的结构特征 （1）圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到.（2）圆锥可以有直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到.（3）圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可以由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到.（4）球可以由半圆或圆绕其直径旋转得到.3、空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图.3、空间几何体的直观图空间几何体画在纸上，要体现立体感，底面常用斜二侧画法，画出它的直观图.三角形ABC 的面积为S ，用斜二测画法画得它的直观图三角形A B C '''的面积为S '，则24S S '=，作图关键：倾斜45︒，横“等”纵“半”. 4、中心投影与平行投影投影——是光线（投射线）通过物体，向选定的面（投影面）投射，并在该面上得到图形的方法。

教学过程一、复习预习教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容二、知识讲解考点/易错点1 多面体的结构特征考点/易错点2 旋转体的形成考点/易错点3 简单组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．考点/易错点4 平行投影与直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．考点/易错点5 三视图几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．三、例题精析【例题1】【题干】如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是()A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上【答案】B【解析】如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即A正确；底面四边形必有一个外接圆，即C正确；在高线上可以找到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)．故仅命题B为假命题．【例题2】【题干】(1)如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图，那么该四棱锥的直观图是下列各图中的()(2)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，其正视图如图所示，则此三棱柱侧视图的面积为()A．22B．4C. 3 D．2 3【答案】D.D【解析】(1)由俯视图排除B、C；由正视图、侧视图可排除A(2)依题意，得此三棱柱的左视图是边长分别为2，3的矩形，故其面积是2 3【例题3】【题干】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()A．2＋2 B.1＋22C.2＋22D．1＋ 2【答案】A【解析】恢复后的原图形为一直角梯形S＝12(1＋2＋1)×2＝2＋2【例题4】【题干】已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC 的面积．【解析】建立如图所示的坐标系xOy′，△A′B′C′的顶点C′在y′轴上，A′B′边在x轴上，OC为△ABC的高．把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，则点C′变为点C，且OC＝2OC′，A，B点即为A′，B′点，长度不变．已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，由正弦定理得OC′sin∠OA′C′＝A′C′sin 45°，所以OC′＝sin 120°sin 45°a＝62a，所以原三角形ABC的高OC＝6a.所以S△ABC ＝12×a×6a＝62a2.四、课堂运用【基础】1．如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是()A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④解析：选A①的三个视图都是边长为1的正方形；②的俯视图是圆，正视图、侧视图都是边长为1的正方形；③的俯视图是一个圆及其圆心，正视图、侧视图是相同的等腰三角形；④的俯视图是边长为1的正方形，正视图、侧视图是相同的矩形．2．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()解析：选C C选项不符合三视图中“宽相等”的要求，故选C.5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形解析：选B由斜二测画法知B正确．3．一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号)①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆．解析：如图1所示，直三棱柱ABE－A1B1E1符合题设要求，此时俯视图△ABE是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC－A1B1C1符合题设要求，此时俯视图△ABC是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD－A1B1C1D1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD)是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.答案：①②③4．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF，其中E、F分别是AD、BC的中点，连接AO，易得AO＝2，而P A＝3，于是解得PO＝1，所以PE＝2，故其正视图的周长为2＋2 2.答案：2＋2 2【巩固】1．底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为()A．2 3 B．3C. 3 D．4解析：选A 当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为2 3.2．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．解：图1几何体的三视图为：图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体． 3．已知正三棱锥V －ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图； (2)求出侧视图的面积．解：(1)三棱锥的直观图如图所示． (2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中 VA ＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232＝12＝23，∴S△VBC ＝12×23×23＝6.【拔高】1．有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影，其投影面积的最大值是()A．1 B.32 2C. 2D. 3解析：选D如图所示是棱长为1的正方体．当投影线与平面A1BC1垂直时，∵面ACD1∥面A1BC1，∴此时正方体的正投影为一个正六边形．设其边长为a，则3a＝2，∴a＝6 3.∴投影面的面积为6×34×⎝⎛⎭⎪⎫632＝ 3.此时投影面积最大，故D正确．2．已知正三棱柱ABC－A′B′C′的正视图和侧视图如图所示，设△ABC，△A′B′C′的中心分别是O，O′，现将此三棱柱绕直线OO′旋转，射线OA旋转所成的角为x弧度(x可以取到任意一个实数)，对应的俯视图的面积为S(x)，则函数S(x)的最大值为________；最小正周期为________．(说明：“三棱柱绕直线OO′旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA旋转所成的角为负角．)解析：由题意可知，当三棱柱的一个侧面在水平面内时，该三棱柱的俯视图的面积最大．此时俯视图为一个矩形，其宽为3×tan 30°×2＝2，长为4，故S(x)的最大值为8.当三棱柱绕OO′旋转时，当A点旋转到B点，B点旋转到C点，C点旋转到A点时，所得三角形与原三角形重合，故S(x)的最小正周期为2π3.答案：82π3课程小结1.正棱柱与正棱锥(1)底面是正多边形的直棱柱，叫正棱柱，注意正棱柱中“正”字包含两层含义：①侧棱垂直于底面；②底面是正多边形．(2)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫正棱锥，注意正棱锥中“正”字包含两层含义：①顶点在底面上的射影必需是底面正多边形的中心，②底面是正多边形，特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．2．对三视图的认识及三视图画法(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．(3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的轮廓线．3．对斜二测画法的认识及直观图的画法(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段，“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．”(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S直观图＝24S原图形，S原图形＝22S直观图．课后作业【基础】1．有下列四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选A命题①不是真命题，因为底面是矩形，但侧棱不垂直于底面的平行六面体不是长方体；命题②不是真命题，因为底面是菱形(非正方形)，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体；命题③也不是真命题，因为有两条侧棱都垂直于底面一边不能推出侧棱与底面垂直；命题④是真命题，由对角线相等，可知平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，故平行六面体是直平行六面体．2．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是()解析：选B由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面P AD，且EC投影在面P AD上，故B正确．3．一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为()A ．2＋ 3B ．1＋ 3C ．2＋2 3D ．4＋ 3 解析：选D 依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋12×2×3＝4＋3.4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为12×2×2sin 60°×2－13×12×2×2sin60°×1＝533. 答案：533【巩固】1．如图所示的几何体中，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，已知AB ＝2，AE ＝BE ＝3，且当规定正视方向垂直平面ABCD 时，该几何体的侧视图的面积为22.若M ，N 分别是线段DE ，CE 上的动点，则AM ＋MN ＋NB的最小值为________．解析：依题意得，点E 到直线AB 的距离等于(3)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2，因为该几何体的左侧视图的面积为12·BC ×2＝22，所以BC ＝1，DE ＝EC ＝DC ＝2.所以△DEC 是正三角形，∠DEC ＝60°，tan ∠DEA ＝AD AE ＝33，∠DEA ＝∠CEB ＝30°.把△DAE ，△DEC 与△CEB 展在同一平面上，此时连接AB ，AE ＝BE ＝3，∠AEB ＝∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝120°，AB 2＝AE 2＋BE 2－2AE ·BE cos 120°＝9，即AB ＝3，即AM ＋MN ＋NB 的最小值为3.答案：32．正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求棱锥的斜高(棱锥侧面三角形的高)． 解：如图所示，正四棱锥S －ABCD 中，高OS ＝3，侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝7，在Rt △SOA 中，OA ＝SA 2－OS 2＝2，∴AC ＝4.∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2.作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点．连接SE ，则SE 即为斜高，在Rt △SOE 中，∵OE ＝12BC ＝2，SO ＝3，∴SE ＝5，即棱锥的斜高为 5.【拔高】1．如图，△ABC 与△ACD 都是等腰直角三角形，且AD ＝DC ＝2，AC ＝BC .平面ACD ⊥平面ABC ，如果以平面ABC 为水平平面，正视图的观察方向与AB 垂直，则三棱锥D －ABC 的三视图的面积和为________．解析：由题意得AC ＝BC ＝22，AB ＝4，△ACD 边AC 上的高为2，正视图的面积是12×4×2＝22，侧视图的面积是12×2×2＝2，俯视图的面积是12×22×22＝4，所以三视图的面积和为4＋3 2.答案：4＋3 22．一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a 的正方形．(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；(2)若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；(3)求该多面体的表面积．解：(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下：(2)证明：如图，连接AC，BD，交于O点，连接OE.∵E为AA1的中点，O为AC的中点，∴在△AA1C中，OE为△AA1C的中位线．∴OE∥A1C.∵OE⊄平面A1C1C，A1C⊂平面A1C1C，∴OE∥平面A1C1C.(3)多面体表面共包括10个面，S ABCD ＝a 2，SA 1B 1C 1D 1＝a 22，S △ABA 1＝S △B 1BC ＝S △C 1DC ＝S △ADD 1＝a 22， S △AA 1D 1＝S △B 1A 1B ＝S △C 1B 1C ＝S △DC 1D 1 ＝12×2a 2×32a 4＝3a 28，∴该多面体的表面积S ＝a 2＋a 22＋4×a 22＋4×3a 28＝5a 2.。

1.2空间几何体的三视图和直观图（第一课时）教学设计一、教学内容分析（一）教材地位和作用三视图是立体几何的基础之一，画出空间几何体的三视图并能将三视图还原为直观图，是建立空间观念的基础和训练学生几何直观能力的有效手段。

在近几年的高考考查中，利用三视图求直观图体积或表面积的题型屡见不鲜，这种题型的本质即为由三视图还原直观图，所以要求学生掌握由三视图还原直观图这部分内容显得尤其重要。

三视图对部分对学生的逻辑思维能力和空间想象能力提出了较高的要求，使学生谈“图”色变。

本节课是普通高中新课程人教版《必修2》第一章第二节第一课时的内容，是在学习空间几何体的结构特征之后，直观图之前，尚未学习点、直线、平面位置关系的情况下教学的。

学生在义务教育阶段，已经初步接触了正方体、长方体的几何特征以及简单几何体的表面积、体积的计算，会从不同的方向看物体得到不同的视图的方法。

与初中教学内容相比较，本节增加学习了台体的有关内容，简单组合体涉及柱体、锥体、台体以及球体，比义务教育阶段数学课程“空间与图形”部分呈现的组合体多。

通过本节知识的学习，为下一章点、直线、平面之间的位置关系学习打下基础，同时有利于培养学生空间想象能力，几何直观能力的，有利于培养学生学习立体几何的兴趣，体会数学的实用价值。

（二）教学内容及结构本章的主要内容是认识空间图形，通过对空间几何体的整体把握，培养和发展空间想象能力。

从学生熟悉的物体入手，使学生对物体形状的认识由感性上升到理性；通过三视图和直观图的学习，进一步认识空间几何体的结构。

本节课教材从了解中心投影和平行投影出发介绍三视图是利用三个正投影来表示空间几何体的的方法，并给出三视图的概念及作图规则。

要求学生能画出简单空间图形的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型。

在此基础上，学习画出简单组合体（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，并识别三视图所表示的简单组合体。

（三）教学重难点1、重点：（1）画出空间几何体及简单组合体的三视图，（2）给出三视图，还原或想象出原实际图的结构特征，体会三视图的作用。

1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.1 中心投影与平行投影1.2.2 空间几何体的三视图一、学情分析空间几何体的三视图在初中时候遇到过，高中的学习深度和概括程度比初中时候要求提高，投影是三视图的基础，讲解中心投影和平行投影的时候应结合具体实例。

三视图的学习主要通过学生自己动手实践来完成，这样可以提高学生的空间想象能力和几何直观能力。

学生在学习过程中可能出现以下问题：1、学生在画三视图时对轮廊和棱的实线和虚线分不清楚可能导致作图出现错误。

2、学生在识别三视图时由于空间想象力不足，可能在识别特殊三棱锥和一些简单组合体的三视图时出现障碍3、由于空间想象力的不足，学生在学习三视图中的边长关系时可能难以理解。

二、学习内容分析本节课是普通高中新课程人教版《必修2》第一章第二节第一课时。

三视图利用物体的三个投影来表现空间几何体,是用平面图形表示空间几何体的一种方式。

它能够帮助我们从不同侧面、不同角度认识几何体的结构特征,使我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构。

本节课的内容包括三视图的形成和三视图的画法。

通过本节的学习,不仅为后续学习直观图奠定基础,同时有利于培养学生空间想象能力、几何直观能力。

尤其是空间想象能力,它是高中阶段数学必修课的一个基本要求。

三视图正是培养和考察学生空间想象能力的一个契机。

新课程改革以来,三视图再次进入高中教材,短短几年已成为高考考查的重点内容之一。

此外,目前在机械制造和工程建设等许多领域,零件图纸、建筑图纸都是三视图,三视图有着广泛的应用。

三、设计思路：教育部《基础教育改革纲要》明确指出：改革过于注重知识传授倾向的过程，强调形成积极主动的学习态度，使获得基础知识基本技能的过程同时成为学会学习和形成正确价值观的过程。

倡导学生主动参与，乐于探究，勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力。

我校以“诱思探究理论”为指导思想，以“积极学习101种有效教学策略”为方针，坚持以学生的发展为本，把学习的主动权交给学生，把课堂还给学生，让学生的思维插上飞翔的翅膀，充分实现学生的主体性。

空间几何体的结构、三视图和直观图讲义一、知识讲义1．多面体的结构特征2．旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形任一直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线(1)三视图的名称几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．(2)三视图的画法①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图．4．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半．注意：1．常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆．(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形．(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形．(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形．2．斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”⎩⎪⎨⎪⎧ 坐标轴的夹角改变与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半图形改变“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧ 平行性不改变与x ，z 轴平行的线段的长度不改变相对位置不改变二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( )(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．( )(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( )(5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．( )(6)菱形的直观图仍是菱形．( )题组二：教材改编2．下列说法正确的是( )A ．相等的角在直观图中仍然相等B ．相等的线段在直观图中仍然相等C ．正方形的直观图是正方形D ．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行3．[P8T1]在如图所示的几何体中，是棱柱的为________．(填写所有正确的序号)题组三：易错自纠4．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )A ．圆柱B ．圆锥C ．四面体D ．三棱柱5．将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )6.正三角形AOB 的边长为a ，建立如图所示的直角坐标系xOy ，则它的直观图的面积是________．三、典型例题题型一：空间几何体的结构特征1．给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．32．以下命题：①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3思维升华：(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一反例即可．(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．(3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．题型二：简单几何体的三视图命题点1：已知几何体，识别三视图典例(2017·贵州七校联考)如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)()A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥D．③④⑤命题点2：已知三视图，判断几何体的形状典例某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A．10 B．12C．14 D．16命题点3已知三视图中的两个视图，判断第三个视图典例一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下列选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()思维升华：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形状，然后再找其剩下部分三视图的可能形状．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．跟踪训练(1)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A．90π B．63π C．42π D．36π(2)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图，则该锥体的正视图可能是()题型三空间几何体的直观图典例已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．思维升华：斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出．跟踪训练有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC ＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．四、反馈练习1．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱2．如图为几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为()A．圆锥B．三棱锥C．三棱柱D．三棱台3．“牟合方盖”(如图1)是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图2所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是()A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，则三棱锥P－A1B1A的侧视图是()5．一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()6．一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图如图所示，则其侧视图为()7．如图所示，在三棱锥D—ABC中，已知AC＝BC＝CD＝2，CD⊥平面ABC，∠ACB＝90°.若其正视图、俯视图如图所示，则其侧视图的面积为()A. 6 B．2C. 3D.28.如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1，O2，这两个球外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是()9.一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC的面积为________．10.如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P—BCD的正视图与侧视图的面积之比为________．11．如图，点O为正方体ABCD—A′B′C′D′的中心，点E为平面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的射影可能是________．(填出所有可能的序号)12．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的六条棱的长度中，最大的是________．13．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是()A．8 B．7C．6 D．5。

复习课《空间几何体的结构及其三视图和直观图》间图形的不同表示形式．2、了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．三、基础回扣（5～10分钟）（复习本节课的知识、方法，学生自主完成。

）知识点1 多面体的结构特征知识点2 旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形所在的直线圆锥直角三角形所在的直线圆台直角梯形所在的直线球半圆所在的直线知识点3 空间几何体的三视图1．三视图的名称几何体的三视图包括：、、．2．三视图的画法(1)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．(2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的方、方、及方观察到的几何体的正投影图．知识点4 空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为，z′轴与x′轴和y′轴所在平面．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度；平行于y轴的线段在直观图中．四、学情自测1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( )(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A ＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( ) 确学习目标教师布置课前预习，学生口答，教师对学生出现的问题及时纠正。

2．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )A．圆柱 B．圆锥 C．四面体 D．三棱柱3．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )4．一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是( )五、精典探究（把新课根据教学内容分成几个部分，采取“各个击破”的策略，分段完成）考向1、空间几何体的结构特征例1．下列说法正确的是()A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点2．以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3小结：1、空间几何体的结构特征：_________________________________.2、注意的问题：________________________. 本部分属于基础题，学生动手做，抽取小组学生展示、质疑、释疑、归纳总结。

§8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图基础自测.①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥④有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥答案①②③2.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是 . 答案60°3.如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是 cm2.答案(20+42)4.（2008·宁夏文，14）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，那么这个球的体积为 .4答案3ABC的边长为a,那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为 .6a2答案16例题精讲例1下列结论不正确的是（填序号）.①各个面都是三角形的几何体是三棱锥②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线答案①②③解析①错误.如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不一定是棱锥.②错误.如下图，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥.③错误.若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长. ④正确.例2 已知△ABC 的直观图A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，求原三角形ABC 的面积.解 建立如图所示的xOy 坐标系，△ABC 的顶点C 在y 轴上，AB 边在x 轴上，OC 为△ABC 的高，把y 轴绕原点顺时针旋转45°得y ′轴，则点C 变为点C ′，且OC =2OC ′，A 、B 点即为A ′、 B ′点，AB =A ′B ，已知A ′B ′=A ′C ′=a ，在△OA ′C ′中， 由正弦定理得''sin C OA OC ∠= 45sin ''C A ，所以OC ′=a45sin 120sin =a 26,所以原三角形ABC 的高OC =6a ，所以S △ABC =21×a ×6a =a 262.例3 一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积. 解 由三视图易知，该正三棱柱的形状如图所示： 且AA ′=BB ′=CC ′=4cm,正三角形ABC 和正三角形 A ′B ′C ′的高为23cm. ∴正三角形ABC 的边长为 |AB |=60sin 32=4.∴该三棱柱的表面积为 S =3×4×4+2×21×42sin60°=48+83(cm 2). 体积为V =S 底·|AA ′|=21×42sin60°×4=163(cm 3). 故这个三棱柱的表面积为（48+83）cm 2,体积为163cm 3.例4 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示， 求图中三角形（正四面体的截面）的面积. 解 如图所示，△ABE 为题中的三角形， 由已知得AB =2，BE =2×23=3, BF =32BE =332,AF =22BF AB -=344-=38,∴△ABE 的面积为S =21×BE ×AF =21×3×38=2.∴所求的三角形的面积为2. 巩固练习1.如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中为真命题的是 （填序号）.①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 ③等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 ④等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 答案 ①③④a 的正方形,则原平面四边形的面积等于 . 答案 22a 23.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等 腰三角形，左视图（或称侧视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形. （1）求该几何体的体积V ； （2）求该几何体的侧面积S .解 （1）由该几何体的俯视图、正视图、左视图可知，该几何体是四棱锥， 且四棱锥的底面ABCD 是边长为6和8的矩形，高VO =4，O 点是AC 与BD 的交点. ∴该几何体的体积V =31×8×6×4=64. （2）如图所示，侧面VAB 中，VE ⊥AB ，则 VE =22OE VO +=2234+=5∴S △VAB =21×AB ×VE =21×8×5=20 侧面VBC 中，VF ⊥BC ，则VF =22OF VO +=2244+=42. ∴S △VBC =21×BC ×VF =21×6×42=122∴该几何体的侧面积 S =2（S △VAB +S △VBC ）=40+242.4.（2007·全国Ⅱ文，15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm1 cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2.答案 2+42回顾总结知识 方法 思想课后作业一、填空题1.利用斜二测画法可以得到：①三角形的直观图是三角形，②平行四边形的直观图是平行四边形，③正方形的直观图是正方形，④菱形的直观图是菱形，以上正确结论的序号是 . 答案 ①②2.如图所示，甲、乙、丙是三个几何体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号是 .①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱. 答案 ④③②3.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 .答案 ②④4.用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如下：根据三视图回答此立体模型的体积为 . 答案 51的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O 的表面上，E 、F 分别是棱AA 1、DD 1的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为 . 答案 26.（2008·湖北理）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为 . 答案328π7.用小立方块搭一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，这样的几何体至少要 个小立方块.答案 9 148.如图所示，E 、F 分别是正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的正投影可能是 .（把可能的图的序号都填上）答案 ②③ 二、解答题AC 1的高是17 cm ，两底面的边长分别是4 cm 和16 cm ，求这个棱台的侧棱长和斜高.解 如图所示，设棱台的两底面的中心分别是O 1、O ，B 1C 1和BC 的中点分别是E 1和E ，连接O 1O 、E 1E 、O 1B 1、OB 、O 1E 1、OE ，则四边形OBB 1O 1和OEE 1O 1都是直角梯形. ∵A 1B 1=4 cm ，AB =16 cm ， ∴O 1E 1=2 cm ，OE =8 cm ，O 1B 1=22 cm ，OB =82 cm ，∴B 1B 2=O 1O 2+（OB -O 1B 1)2=361 cm 2，E 1E 2=O 1O 2+（OE -O 1E 1)2=325 cm 2，∴B 1B =19 cm ，E 1E =513cm.答 这个棱台的侧棱长为19 cm ，斜高为513cm.10.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm 2,母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径.解 圆台的轴截面如图所示，设圆台上下底面半径分别为x cm,3x AA 1交OO 1的延长线于S ， 在Rt △SOA 中，∠ASO =45°, 则∠SAO =45°， ∴SO =AO =3x ，∴OO 1=2x ，又S 轴截面=21（6x +2x ）·2x =392，∴x =7. 故圆台的高OO 1=14 (cm)，母线长l =2O 1O =142 (cm)， 两底面半径分别为7 cm,21 cm.3，侧棱长为7，求侧面上斜高（棱锥侧面三角形的高）为多少？解 如图所示，正棱锥S -ABCD 中高OS =3，侧棱SA =SB =SC =SD =7， 在Rt △SOA 中， OA =22OS SA =2，∴AC =4.∴AB =BC =CD =DA =22.作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点. 连接SE ，则SE 即为斜高，则SO ⊥OE .在Rt △SOE 中， ∵OE =21BC =2，SO =3，∴SE =5，即侧面上的斜高为5.12. 如图所示的几何体中，四边形AA 1B 1B 是边长为3的正方形， CC 1=2，CC 1∥AA 1，这个几何体是棱柱吗？若是，指出是几棱柱. 若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个 棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征，在立体图中画出截面.解这个几何体不是棱柱；在四边形ABB1A1中，在AA1上取点E，使AE=2；在BB1上取F使BF=2；连接C1E，EF，C1F，则过C1EF的截面将几何体分成两部分，其中一部分是棱柱ABC—EFC1，其棱长为2；截去的部分是一个四棱锥C1—EA1B1F.龙文教育学科导学案教师：朱士兵学生：时间:___ 月日段课题空间几何初步学习目标与考点分析认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，能画出简单空间图形的三视图。

空间几何体的结构特征及三视图和直观图一、多面体的结构特征二、旋转体的形成三、简单组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．四、平行投影与直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．五、三视图几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．[基础自测]1．以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是()A．球的三视图总是三个全等的圆B．正方体的三视图总是三个全等的正方形C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆解析：选A B中正方体的放置方向不明，不正确．C中三视图不全是正三角形．D中俯视图是两个同心圆．2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是() A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体解析：选C当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．3．下列三种叙述，其中正确的有()①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选A①中的平面不一定平行于底面，故①错．②③可用下图反例检验，故②③不正确．4．利用斜二测画法得到的：①正方形的直观图一定是菱形；②菱形的直观图一定是菱形；③三角形的直观图一定是三角形．以上结论正确的是________．解析：①中其直观图是一般的平行四边形，②菱形的直观图不一定是菱形，③正确．答案：③5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为________．解析：由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为③.答案：③[例1]下列结论正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线[自主解答]A错误，如图1是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，它的各个面都是三角形，但它不是三棱锥；B错误，如图2，若△ABC不是直角三角形，或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥；图1图2C错误，若该棱锥是六棱锥，由题设知，它是正六棱锥．易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长，这与题设矛盾．[答案] D变式练习1．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是()A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上解析：选B如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即A正确；底面四边形必有一个外接圆，即C正确；在高线上可以找到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)．故仅命题B为假命题．[例2]某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()[自主解答]根据几何体的三视图知识求解．由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是C.[答案] C变式练习2．(1)如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图，那么该四棱锥的直观图是下列各图中的()解析：选D由俯视图排除B、C；由正视图、侧视图可排除A.(2)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，其正视图如图所示，则此三棱柱侧视图的面积为()A．22B．4C. 3 D．2 3解析：选D依题意，得此三棱柱的左视图是边长分别为2，3的矩形，故其面积是2 3.[例3]已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．[自主解答]建立如图所示的坐标系xOy′，△A′B′C′的顶点C′在y′轴上，A′B′边在x轴上，OC为△ABC的高．把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，则点C′变为点C，且OC＝2OC′，A，B点即为A′，B′点，长度不变．已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，由正弦定理得OC ′sin ∠OA ′C ′＝A ′C ′sin 45°，所以OC ′＝sin 120°sin 45° a ＝62 a ，所以原三角形ABC 的高OC ＝6a . 所以S △ABC ＝12×a ×6a ＝62a 2.变式练习3．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．2＋2 B.1＋22C.2＋22D ．1＋ 2解析：选A 恢复后的原图形为一直角梯形 S ＝12(1＋2＋1)×2＝2＋ 2. 课后练习A 组1．如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )A ．②③④B ．①②③C ．①③④D ．①②④解析：选A ①的三个视图都是边长为1的正方形；②的俯视图是圆，正视图、侧视图都是边长为1的正方形；③的俯视图是一个圆及其圆心，正视图、侧视图是相同的等腰三角形；④的俯视图是边长为1的正方形，正视图、侧视图是相同的矩形．2．有下列四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选A命题①不是真命题，因为底面是矩形，但侧棱不垂直于底面的平行六面体不是长方体；命题②不是真命题，因为底面是菱形(非正方形)，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体；命题③也不是真命题，因为有两条侧棱都垂直于底面一边不能推出侧棱与底面垂直；命题④是真命题，由对角线相等，可知平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，故平行六面体是直平行六面体．3．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()解析：选C C选项不符合三视图中“宽相等”的要求，故选C.4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是()解析：选B由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面P AD，且EC 投影在面P AD上，故B正确．5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形解析：选B 由斜二测画法知B 正确．6．一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )A ．2＋ 3B ．1＋ 3C ．2＋2 3D ．4＋ 3解析：选D 依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋12×2×3＝4＋ 3.7．一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号)①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆．解析：如图1所示，直三棱柱ABE －A 1B 1E 1符合题设要求，此时俯视图△ABE 是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1符合题设要求，此时俯视图△ABC 是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD )是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.答案：①②③8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为12×2×2sin 60°×2－13×12×2×2sin 60°×1＝533.答案：5339．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF ，其中E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接AO ，易得AO ＝2，而P A ＝3，于是解得PO ＝1，所以PE ＝2，故其正视图的周长为2＋2 2.答案：2＋2 210．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．解：图1几何体的三视图为：图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体． 11．正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求棱锥的斜高(棱锥侧面三角形的高)． 解：如图所示，正四棱锥S －ABCD 中，高OS ＝3，侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝7， 在Rt △SOA 中，OA ＝SA 2－OS 2＝2，∴AC ＝4. ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2. 作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点． 连接SE ，则SE 即为斜高，在Rt △SOE 中，∵OE ＝12BC ＝2，SO ＝3，∴SE ＝5，即棱锥的斜高为 5.12．已知正三棱锥V －ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图； (2)求出侧视图的面积．解：(1)三棱锥的直观图如图所示． (2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中 VA ＝42－⎝⎛⎭⎫23×32×232＝12＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.B 组1．底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为( )A ．2 3B ．3 C. 3D ．4解析：选A 当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为2 3.2．如图所示的几何体中，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，已知AB ＝2，AE ＝BE ＝3，且当规定正视方向垂直平面ABCD 时，该几何体的侧视图的面积为22.若M ，N 分别是线段DE ，CE 上的动点，则AM ＋MN ＋NB 的最小值为________．解析：依题意得，点E 到直线AB 的距离等于(3)2－⎝⎛⎭⎫222＝2，因为该几何体的左侧视图的面积为12·BC ×2＝22，所以BC ＝1，DE ＝EC ＝DC ＝2.所以△DEC 是正三角形，∠DEC ＝60°，tan ∠DEA ＝AD AE ＝33，∠DEA ＝∠CEB ＝30°.把△DAE ，△DEC 与△CEB 展在同一平面上，此时连接AB ，AE ＝BE ＝3，∠AEB ＝∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝120°，AB 2＝AE 2＋BE 2－2AE ·BE cos 120°＝9，即AB ＝3，即AM ＋MN ＋NB 的最小值为3. 答案：33．一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a 的正方形．(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；(2)若多面体底面对角线AC ，BD 交于点O ，E 为线段AA 1的中点，求证：OE ∥平面A 1C 1C ；(3)求该多面体的表面积．解：(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下：(2)证明：如图，连接AC ，BD ，交于O 点，连接OE .∵E 为AA 1的中点，O 为AC 的中点，∴在△AA 1C 中，OE 为△AA 1C 的中位线． ∴OE ∥A 1C .∵OE ⊄平面A 1C 1C ，A 1C ⊂平面A 1C 1C ，∴OE ∥平面A 1C 1C .(3)多面体表面共包括10个面，S ABCD ＝a 2， SA 1B 1C 1D 1＝a 22，S △ABA 1＝S △B 1BC ＝S △C 1DC ＝S △ADD 1＝a 22， S △AA 1D 1＝S △B 1A 1B ＝S △C 1B 1C ＝S △DC 1D 1 ＝12×2a 2×32a 4＝3a 28，∴该多面体的表面积S ＝a 2＋a 22＋4×a 22＋4×3a 28＝5a 2.。