北师大版数学高二-选修4课件 1.5 不等式的应用

选修4-5 不等式选讲课 题： 不等式的基本性质 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。

《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。

要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。

而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。

本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。

人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。

还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。

生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>ab 即可。

怎么证呢? 二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

2、不等式的基本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。

课 题： 第01课时 不等式的基本性质 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。

《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。

要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。

而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。

本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。

人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。

还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。

生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>ab 即可。

怎么证呢?二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

2、不等式的基本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。

§5 不等式的应用1．理解不等式的性质、平均值不等式；掌握不等式的解法．(重点) 2．能利用不等式解决一些实际问题．(难点)教材整理 不等式应用的类型及步骤 阅读教材P 23～P 24，完成下列问题． 1．不等式的应用大致分为两类(1)利用不等式研究函数的性质，求参数的取值范围．(2)实际问题中建立不等式(或函数)模型，解决简单的实际问题． 2．解不等式应用问题的四个步骤 (1)审题，必要时画出示意图．(2)建立不等式模型，即根据题意找出常数量和变量的不等关系．(3)利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号． (4)作出问题结论．填空：(1)不等式|2x －1|>x 的解集为________．(2)长为2米的木棍，截断围成矩形，其矩形的最大面积为________． (3)若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则a 的符号为________，c 的符号为________． 【解析】 (1)|2x －1|>x 等价于2x －1>x 或2x －1<－x ， 即x >1或x <13，所以解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x>1或x<13.(2)设矩形的长为x ，宽为y ，则2x ＋2y ＝2，即x ＋y ＝1，所以面积S ＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝14，故最大面积为14.(3)由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0知3a >a ＋b ＋c ＝0，即a >0,3c <a ＋b ＋c ＝0，即c <0.【答案】 (1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x>1或x<13 (2)14 (3)正 负预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：已知0＜b ＜1＋3个，则( ) A ．－1＜a ＜0 B ．0＜a ＜1 C ．1＜a ＜3D ．3＜a ＜6【精彩点拨】 原不等式――→变形关于x 的方程――→讨论二次项系数满足的条件――→韦达定理结果【自主解答】 由(x －b )2＞(ax )2，得x 2(1－a 2)－2bx ＋b 2＞0. 若恰有3个整数解，必须满足1－a 2＜0，即a ＞1或a ＜－1(舍去)． 设不等式对应方程两根为x 1，x 2， 则|x 1－x 2|＝＋－4x1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 1－a22－4·b21－a2＝4a2b2－＝2ab a2－1. 又不等式有3个整数解， ∴2<2ab a2－1≤3，解得b ≥3a2－32a .由已知0<b ＜1＋a ，得3a2－32a ＜1＋a ，解得1＜a ＜3， ∴1＜a ＜3. 【答案】 C1．“三个二次”的关系，一元二次不等式，一元二次方程及二次函数的关系，解题要注意相互转化． 2．对二次项系数含有参数的式子要进行讨论．1．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1]∪∪ D ．(－∞，1]∪2．设甲、乙两地距离为s ，船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度为v 1(v 1>0)，已知船在静水中的速度为v 2(v 2>0)，试比较v 1和v 2的大小．【解】 设水流速度为v (v >0)，则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间t ＝s v2＋v ＋s v2－v ＝2sv2v22－v2， ∴平均速度v 1＝2s t ＝v22－v2v2.∵v 1>0，v 2>0，∴v1v2＝v22－v2v2v2＝v22－v2v22＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫v v2<1，∴v 1<v 2.)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图1­5­1所示．已知旧墙的维修费用为45 元/m ，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙的长度为x (单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元)．图1­5­1(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【精彩点拨】 (1)由题可知总费用由旧墙的维修费及新墙的造价构成，故先弄清旧墙需维修的长度及新墙需建的长度，然后易知y 与x 的关系式；(2)用均值不等式可求总费用的最小值．【自主解答】 (1)设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a＝225x ＋360a －360. 由已知ax ＝360，得a ＝360x ，∴y ＝225x ＋3602x－360(x ＞0)．(2)∵x ＞0，∴225x ＋3602x ≥2225×3602＝10 800，∴y ＝225x ＋3602x －360≥10 440，当且仅当225x ＝3602x时，等号成立．即当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．设出变量――→建立数学模型――→定义域利用平均值不等式求最值――→“＝”成立的条件结论3．如图1­5­2，把一块边长是a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线翻折做成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？图1­5­2【解】 设切去的正方形边长为x ，无盖方底盒子的容积为V ，则V ＝(a －2x )2·x ，其中0＜x ＜a 2.又V ＝14(a －2x )·(a －2x )·4x≤14⎣⎢⎡⎦⎥⎤－＋－＋4x 33＝2a327， 当且仅当a －2x ＝4x ，即当x ＝a 6时，不等式取等号，此时V 取最大值2a327.因此当切去的小正方形边长是原来正方形边长的16时，盒子的容积最大．1．函数y ＝x2＋mx ＋m2对一切x ∈R 都有意义，则实数m 的取值范围是( )【导学号：94910026】A ．m ＞2B ．m ＜2C ．m ＜0或m ＞2D ．0≤m ≤2【解析】 由题意，Δ＝m 2－4·m 2≤0，所以0≤m ≤2. 【答案】 D2．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋1y ＝1，则x ＋y 的最小值是( )A ．6B ．4 2C ．3＋2 2D ．4 3【解析】 (x ＋y )×1＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝2＋1＋2y x ＋xy ≥3＋2 2.当且仅当2y x ＝xy 时，等号成立．【答案】 C3．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x2＋1的图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n 为正整数，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．【解析】 易得a n ＝n2＋1，b n ＝n ， ∴c n ＝n2＋1－n ＝1n2＋1＋n ，c n 随n 的增大而减小，∴c n ＞c n ＋1. 【答案】 c n ＞c n ＋14．设三角形三边长为3,4,5，P 是三角形内的一点，则P 到这个三角形三边距离乘积的最大值是________． 【解析】 设P 到三角形三边距离分别为h 1，h 2，h 3， 又∵三角形为直角三角形，S ＝12·3·4＝6，∴12h 1·3＋12h 2·4＋12h 3·5＝6， ∴3h 1＋4h 2＋5h 3＝12≥3360h1h2h3， ∴h 1h 2h 3≤6460＝1615.【答案】16155．汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h 以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)与车速x (km/h)之间有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2.问：超速行驶应负主要责任的是谁？【解】 由题意，列出不等式0.1x ＋0.01x 2＞12(x >0)， 解得x ＜－40或x ＞30.由于x ＞0，从而可得x 甲＞30 km/h.由s 乙＞10，得 0．05x ＋0.005x 2＞10(x ＞0)， 解得x ＞40，即x 乙＞40 km/h. 所以超速行驶应负主要责任的是乙车．我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。