2021-2022学年江西省宜春市奉新县第一中学高一下学期第二次月考数学试题一、单选题 1．函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为（ ） A ．π- B ．πC ．2πD ．4π【答案】B【解析】根据最小正周期公式计算出正确结果.【详解】依题意，函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为222T πππω===-. 故选：B2．在ABC 中，D 是BC 的中点，如果AD AB AC λμ=+，那么（ ） A ．1λ=，1μ=B ．12λ=，12μ=C ．1λ=-，1μ=-D ．12λ=-，12μ=-【答案】B【解析】根据向量的三角形法则可知AD AB BD =+，再将BD 用,AB AC 的形式表示出来，则,λμ的值可求. 【详解】如图所示：因为()111111222222AD AB BD AB BC AB BA AC AB AB AC AB AC =+=+=++=-+=+，所以11,22λμ==，故选：B.【点睛】本题考查平面图形中向量的线性运算，涉及向量三角形法则的运用，难度较易. 3．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C【分析】根据扇形的面积，利用扇形的面积公式求其半径，再根据扇形弧长公式及周长的求法求周长即可.【详解】若扇形的半径为r ，而圆心角的弧度数4α=，则222r αππ⋅=，故1r =， ∴扇形的周长26l r r α=+=. 故选：C4．若角α是第二象限角，则是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角【答案】C【分析】由角α是第二象限角，得到＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ，，由此能求出-2α是第一或第三象限角．【详解】∵α是第二象限角， ∴＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴＋k π＜＜＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，是第一象限角； 当k 为奇数时，是第三象限角【点睛】本题考查角所在象限的求法，考查象限角等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．化简向量OA BC BA OD +--等于（ ） A ．AB B ．OD C ．CD D ．DC【答案】D【分析】利用向量的加减法法则求解即可 【详解】OA BC BA OD +-- ()()OA OD BC BA =-+-DA AC DC =+=， 故选：D6．已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限，则在[]0,2π内的α的取值范围是（ ）A ．35(,)(,)244ππππB ．5(,)(,)424ππππC ．353(,)(,)2442ππππD ．33(,)(,)244ππππ【答案】B【解析】由第一象限点的坐标的符号列出三角函数的不等式，根据三角函数的性质求解，结合[0,2]απ∈，求出角α的取值范围．【详解】由已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限得：sin cos 0αα->，tan 0α>，即sin cos αα>，tan 0α>，当sin cos αα>，可得52244k k πππαπ+<<+，k Z ∈． 当tan 0α>，可得222k k ππαπ<<+或3222k k πππαπ+<<+，k Z ∈． ∴2242k k πππαπ+<<+或5224k k πππαπ+<<+，k Z ∈． 当0k =时，42ππα<<或54ππα<<． 02απ≤≤，∴42ππα<<或54ππα<<． 故选：B ．【点睛】本题的考点是利用三角函数性质求三角函数的不等式，需要根据题意列出三角函数的不等式，再由三角函数的性质求出解集，结合已知的范围再求出交集，属于中档题．7．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是（ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D【详解】把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y=cos2（x+π12）=cos （2x+π6）=sin （2x+2π3）的图象，即曲线C 2， 故选D ．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.8．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>，()()63f f ππ=，且()f x 在区间(,)63ππ上有最小值，无最大值，则ω的值为（ ） A ．23B ．113C ．143 D ．73【答案】C【详解】【分析】分析：首先根据()()63f f ππ=，且()f x 在区间(,)63ππ内只有最小值，没有最大值，确定函数取最小值时自变量x 所满足的条件，之后确定ω的表达式，进而求出ω的值，得到结果. 详解：如图所示，因为()sin()3f x x πω=+，且()()63f f ππ=，又()f x 在区间(,)63ππ内只有最小值，没有最大值，所以()f x 在6324πππ+=处取得最小值， 所以2432k πππωπ+=-，所以108()3k k Z ω=-∈， 当2k =时，10281633ω=-=，此时函数()f x 在区间(,)63ππ内存在最大值，故143ω=，故选C. 点睛：该题考查的是有关三角函数型的函数解析式中的参数求解问题，在解题的过程中，需要把握题中的条件，两个自变量对应函数值相等的等价条件是什么，从而找出对应的等量关系式，再结合题中的条件在相应区间上没有最大值，对ω的值进一步确定，求得结果. 二、多选题9．给出下列四个命题，其中正确命题的是（ ） A ．若a b =，则a b =；B ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB DC =”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；C ．若a b b c =，=，则a c =；D ．a b =的充要条件是a b =且//a b . 【答案】BC【分析】根据向量相等的定义及性质判断可得.【详解】当向量a b ＝时，,a b 的方向不一定相同，所以,a b 可能不相等，A 错， 因为A ，B ，C ，D 是不共线的四点，AB DC =，所以//AB CD ，=AB CD ，故四边形ABCD 为平行四边形，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB DC =，所以“AB DC =”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件，B 对， 根据向量相等的定义由a b b c =，=可得a c =，C 对，当a b =且a b ，方向相反时，a b ≠，所以a b =是a b =且//a b 的充分不必要条件，D 错， 故选：BC.10．下列关于函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭说法正确的是（ ）A ．周期为πB ．增区间是5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．图像关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭对称D ．图象关于直线23x π=对称 【答案】ABC 【解析】令23t x π=-，借助于sin y t =的性质一一验证ABCD.【详解】对于A ：周期222T πππω===,故A 正确; 对于B ：要求sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的增区间,只需要222232k x k πππππ-+≤-≤+解得1212k x k π5ππ-≤≤π+,故增区间是5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦,故B 正确;对于C ：因为sin y t =关于(),0k π对称，即23t x k ππ=-=，解得：26k x ππ=+， 当1k =-时，3x π=-，故点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭为一个对称中心；故C 正确; 对于D ：因为sin y t =关于2t k ππ=+对称，即232t x k πππ=-=+，解得：212k x π5π=+， 无论k 取什么值，23x π≠，所以图象不关于直线23x π=对称；故D 错误. 故选：ABC【点睛】三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，即()sin y A x B ωϕ=++借助于sin y x =或cos y x =的性质解题； 11．下列说法错误的有（ ）A ．如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a b +的方向必与a 或b 的方向相同B ．在ABC 中，必有0AB BC CA ++=C ．若0AB BC CA ++=，则A ，B ，C 一定为一个三角形的三个顶点D ．若a ，b 均为非零向量，则a b a b +=+ 【答案】ACD【分析】直接利用向量的线性运算，向量的夹角运算，三角形法则，向量的模的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．【详解】解：对于A ：非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a b +的方向必与a 或b 的方向相同或为零向量，故A 错误；对于B ：在ABC 中，必有0AB BC CA ++=，故B 正确；对于C ：若0AB BC CA ++=，则A ，B ，C 一定为一个三角形的三个顶点， 或A 、B 、C 三点共线时，也成立，故C 错误；对于:D a ，b 均为非零向量，则||||||a b a b ++，故D 错误； 故选：ACD ．12．已知a ∈R ，函数()f x 满足：存在00x >，对任意的0x >，恒有()0()f x a f x a -≤-，则()f x 可以是（ ） A ．()cos f x x = B ．()sin f x x = C ．()ln f x x = D ．()x f x e =【答案】AB【分析】设()()g x f x a =-，则由题可判断()g x 在()0,∞+有最大值，故只需依次判断每个选项是否满足此条件即可.【详解】设()()g x f x a =-，若存在00x >，对任意的0x >，恒有()0()f x a f x a -≤-，则()g x 在()0,∞+有最大值，对A ，()cos g x x a =-在()0,∞+有最大值1a +，故A 正确； 对B ，()sin g x x a =-在()0,∞+有最大值1a +，故B 正确； 对C ，()ln g x x a =-在()0,∞+无最大值，故C 错误；对D ，()xg x e a =-在()0,∞+无最大值，故D 错误.故选：AB.【点睛】关键点睛：本题考查对函数最值的理解，解题的关键是判断出()()g x f x a =-在()0,∞+有最大值. 三、填空题13．已知角α的终边经过点()()4,30P m m m -<，则2sin cos αα+的值是______. 【答案】25-0.4- 【分析】根据三角函数定义得到3sin 5α=-，4cos 5α=，进而得到答案.【详解】角α的终边经过点()()4,30P m m m -<， 330sin 5||5m m m α<∴==-，44cos 5||5m m α-==， 22sin cos 5αα+=-.故答案为：25-.14．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+与()2b a --共线，则λ＝_______ 【答案】－12【分析】根据向量共线定理列方程求解.【详解】∵a b λ+与()2b a --共线，则有：()()22b a k a b ka kb a b λλ--=++=-，21k k λ=⎧⎨=-⎩可得：λ=－12故答案为：－12． 15．已知tan 2θ=，则5sin cos sin cos θθθθ+=-__________【答案】11【分析】分子分母同时除以cos θ，再代入tan =2θ即可得出答案. 【详解】对原式5sin cos sin cos θθθθ+-分子分母同时除以cos θ，则5sin cos 5tan 152111sin cos tan 121θθθθθθ++⨯+===---.故答案为：1116．如图所示，在ABC 中，13AN AC =，P 是BN 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为_______【答案】511【分析】先证明三点共线的结论：已知A 为直线BN 外一点，P 、B 、N 三点共线⇔存在x 、R y ∈，使得AP xAB y AN =+且1x y +=，然后题中条件变形为611AP mAB AN =+，利用三点共线的结论可求得实数m 的值. 【详解】先证明结论：已知A 为直线BN 外一点，P 、B 、N 三点共线⇔存在x 、R y ∈，使得AP xAB y AN =+且1x y +=.因为A 为直线BN 外一点，P 、B 、N 三点共线，则存在R λ∈使得BP BN λ=， 所以，()AP AB AN AB λ-=-，则()1AP AB AN λλ=-+， 取1x λ=-，y λ=，则1x y +=且AP xAB y AN =+，所以，P 、B 、N 三点共线⇒存在x 、R y ∈，使得AP xAB y AN =+且1x y +=； 因为A 为直线BN 外一点，若存在x 、R y ∈，使得AP xAB y AN =+且1x y +=， 则()1AP xAB x AN =+-，所以，()AP AN x AB AN -=-，即NP xNB =，所以，P 、B 、N 三点共线，所以，P 、B 、N 三点共线⇐存在x 、R y ∈，使得AP xAB y AN =+且1x y +=. 所以，P 、B 、N 三点共线⇔存在x 、R y ∈，使得AP xAB y AN =+且1x y +=. 本题中，因为P 、B 、N 三点共线，且261111AP mAB AC mAB AN =+=+， 所以，6111m +=，解得511m =. 故答案为：511. 四、解答题17．若角α的终边上有一点(),8P m -，且3cos 5α=-.（1）求m 的值；（2）求()()()sin cos 2tan cos ππαααπα⎛⎫++ ⎪⎝⎭---的值.【答案】（1）6-；（2）45.【分析】（1）根据三角函数的概念，由题中条件，列出方程组求解，即可得出结果； （2）先将原式化简，再由三角函数的定义求出sin α，进而可得出结果. 【详解】（1）点P 到原点的距离为r ==根据三角函数的概念可得3cos 5α==-，解得6m =-，6m =（舍去）.（2）原式()()()sin cos (sin )(sin )2sin tan cos (tan )cos ππααααααπααα⎛⎫++ ⎪--⎝⎭==-----，由（1）可得10r ，84sin 5r α-==-， 所以原式4sin 5α=-=. 【点睛】本题主要考查由三角函数的定义求参数，以及根据诱导公式化简求值，属于常考题型.18．如果一个扇形的周长为60cm ，那么当它的半径和圆心角分别为多少时，扇形的面积最大？【答案】当扇形的半径为15cm ，圆心角为2rad 时，扇形的面积最大【分析】设该扇形的半径为cm r ，圆心角为θ，弧长为cm l ，面积为2cm S ，可得出()215225S r =--+，利用二次函数的基本性质求出S 的最大值及其对应的r 值，即可求得θ值，即可得出结论.【详解】解：设该扇形的半径为cm r ，圆心角为θ，弧长为cm l ，面积为2cm S ， 则260l r +=，所以602l r =-，其中030r <<，所以，()()2211602301522522S lr r r r r r ==-=-+=--+，所以当15cm r =时，S 最大，最大值为2225cm ， 此时()602152rad 15l r θ-⨯===. 19．设1e ，2e 是两个不共线的向量，已知1228AB e e =-，123CB e e =+，122CD e e =-. （1）求证：A ，B ，D 三点共线；（2）若123BF e ke =-，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）12.【分析】（1）通过证明2AB BD =可得结果；（2）由共线定理得BF BD λ=，列出关于k 的方程解出即可.【详解】（1）证明：由已知得()()121212234BD CD CB e e e e e e =-=--+=-， ∵1228AB e e =-，∴2AB BD =. 又AB 与BD 有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．（2）由（1）可知124BD e e =-， ∵123BF e ke =-，且B ，D ，F 三点共线， ∴()BF BD R λλ=∈，即121234e ke e e λλ-=-，∴34k λλ=⎧⎨-=-⎩，解得12k =.20．已知函数()ππ5π2sin ,,41212f x x x ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦时，2()()()1h x f x af x =-+的最小值为12，求实数a 的值【答案】32a =【分析】首先利用整体代换法求出()f x 的值域，然后再利用换元法将()h x 变换为含参的二次函数，进行分类讨论求最值，进而得到a 值. 【详解】π5π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，ππ2π,463x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦π1sin ,142x ⎛⎫⎡⎤∴+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()[]12f x ,∴∈ 令()[]1,2t f x =∈ 则()2()1h x g t t at ==-+，其图象是开口向上，对称轴2a t =的二次函数， 当12a ≤，即2a ≤时，()()min 112g t g ==解得32a =； 当122a <<，即24a <<时，()2min 11242a a g t g ⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭，解得2a =±（舍）； 当22a ≥，即4a ≥时，()()min 122g t g ==解得94a =（舍）. 综上可得，32a =. 21．一个半径为2米的水轮如图所示，其圆心O 距离水面1米，已知水轮按逆时针匀速转动，每4秒转一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间．（1）以过点O 且与水面垂直的直线为y 轴，过点O 且平行于水轮所在平面与水面的交线的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P 距离水面的高度h （单位：米）表示为时间t （单位：秒）的函数；（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P 距水面的高度超过2米？【答案】（1）2sin 1(0)26h t t ππ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭；（2）43秒． 【分析】（1）设()()sin 0h A t k t ωϕ=++≥，根据题意求得A 、k 的值，以及函数()()sin 0h A t k t ωϕ=++≥的最小正周期，可求得ω的值，根据0MP O ∠的大小可得出ϕ的值，由此可得出h 关于t 的函数解析式；（2）由2h >得出1sin 262t ππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，令[]0,3t ∈，求得62t ππ-的取值范围，进而可解不等式1sin 262t ππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，可得出t 的取值范围，进而得解. 【详解】解：（1）如图所示，标出点M 与点N ，设sin 0()()h A t k t ωϕ=++≥， 根据题意可知，01,2OM ON OP ===，所以006OP M NOP π∠=∠=，根据函数sin 0()()h A t k t ωϕ=++≥的物理意义可知：02,1,6A OP k πϕ====-， 又因为函数2sin 1(0)6h t t πω⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭的最小正周期为4T =， 所以242ππω==， 所以可得：2sin 1(0)26h t t ππ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭．（2）根据题意可知，2sin 1226h t ππ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，即1sin 262t ππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭， 当水轮转动一圈时，[]0,4t ∈，可得：11,2666t ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以此时56266t ππππ<-<， 解得：223t <<， 又因为24233-=（秒），即水轮转动任意一圈内，有43秒的时间点P 距水面的高度超过2米． 22．如图为函数()sin()f x A x b ωϕ=++（0,A >0,ω>02ϕπ<<）图象的一部分.(1)求函数f （x ）的解析式，并写出f （x ）的振幅、周期、初相.(2)求使得5()2f x >的x 的集合. 【答案】(1)33sin 1164y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，振幅3，周期323T =，初相4πϕ=(2)4322832,()9393k k k Z ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭ 【分析】(1)根据图中的数据由最值、周期及点可求函数的解析式，由解析式可求振幅、周期、初相；(2)由（1）中的解析式直接解不等式即可.【详解】(1)由函数图象可知函数的最大值为4A b +=，最小值为2A b -+=-. 所以1b =，3A =，因为312484T =-=，所以函数的周期323T =. 由2323πω=得，316πω=，所以33sin 116y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 因为(12,4)在函数图象上，所以343sin 12116πϕ⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭， 即9sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以9242k ππϕπ+=+，k Z ∈， 得724k πϕπ=-+，k Z ∈， 因为02ϕπ<<，所以4πϕ=，所以函数解析式为33sin 1164y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，振幅3，周期323T =，初相4πϕ=. (2)因为5()2f x >，所以353sin 11642x ππ⎛⎫++> ⎪⎝⎭. 则31sin 1642x ππ⎛⎫+> ⎪⎝⎭ 3522,61646k x k k Z ππππππ+<+<+∈ 解得：43228329393k k x -+<<+，k Z ∈ 所以5()2f x >的x 的集合为4322832,()9393k k k Z ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭.。
