解三角形中的取值范围问题.docx

试析解三角形中最值与范围问题三角形是一种最基本的几何形状，它的最值与范围问题也是数学中的一个重要研究课题。

本文将从三个方面来试析三角形中最值与范围问题，分别是三角形的边长最值、角度最值和面积最值。

首先，讨论三角形的边长最值。

根据三角形的定义，三角形的边长最小值为0，最大值为无穷大。

这是因为三角形的边长可以是任意长度，只要满足三角形的定义即可。

其次，讨论三角形的角度最值。

根据三角形的定义，三角形的角度最小值为0度，最大值为180度。

这是因为三角形的角度必须小于180度，否则就不是三角形了。

最后，讨论三角形的面积最值。

根据三角形的定义，三角形的面积最小值为0，最大值为无穷大。

这是因为三角形的面积可以是任意大小，只要满足三角形的定义即可。

综上所述，三角形的边长最小值为0，最大值为无穷大；三角形的角度最小值为0度，最大值为180度；三角形的面积最小值为0，最大值为无穷大。

从这些最值和范围可以看出，三角形是一种非常灵活的几何形状，它的最值与范围问题也是数学中的一个重要研究课题。

三角形的最值与范围问题不仅仅是数学中的一个重要研究课题，它在实际应用中也有着重要的意义。

例如，在建筑设计中，三角形的最值与范围问题可以帮助建筑师更好地设计建筑物，以满足建筑物的结构要求。

此外，三角形的最值与范围问题也可以帮助工程师更好地设计机械设备，以满足机械设备的结构要求。

因此，三角形的最值与范围问题不仅仅是数学中的一个重要研究课题，它在实际应用中也有着重要的意义。

三角形的最值与范围问题的研究可以帮助我们更好地理解三角形，并且可以帮助我们更好地应用三角形，从而更好地解决实际问题。

解题篇经典题突破方法!!!X初高二使用2020年7—8月于工！丿！！J.三0123456789■安徽省宁国中学陈晓明有这样一类有规律的试题：通常是给出三角形中的一个条件（往往是表示边角关系的一个等式），求一个含有三角形三边加、减#乘、除四则运算的算式的取值范围％对于这类试题的求解有规律可循吗？下面通过实例来探究其中的奥秘，以便同学们更好备考％!!已知#"BC中，sin A（sin B+厂cos B）=厂sin C%（1）求角A的大小；⑵若BC=/!#ABC的周长的取值范围%解析：（1）由已知得sin A sin B+厂sin A cos B=厂sin C=厂sin（A+B）= /sin A cos B+///cos A sin B,艮卩sin A•sin B=///cos A sin B%又sin B.0,所以sin A=厂cos A,即tan A=///%因为0<A<!所以A=/%（2）解法1：令#ABC中角A^B.C所对的边分别为-,b,c,由正弦定理，得余弦定理得9=b2+c”一2b ccos/,整理得((_)29=(b+c)”一3bc,艮卩be=--------一3%又由基本不等式得be/=c时取等号）,所以^b±-L（其中b=c时取等号）,解得b+c/6%又由三角形三边的大小关系知b+c>3,所以3< b+c/6,以下解题过程略%点评：这里第二小题其实是在#ABC中已知一边及其对角，求周长的取值范围问题。

解法1利用正弦—理即可将另外两边分别表示为角B的函数，从而将三角形周长表示为角B的函数：2=3+6sin（#十6），从而将求#ABC的周长的取值范围问题转化为求函数2=3+6s—（b十6）的值域问题，这里要注意义域优先”的原则。

解法1体现了函数的思想。

解法2利用基本不等式解决问题，体现了整体代换的思想。

在解法”中，当b=c时!sin Bs—/(/—TT周长取得最大值，此时由A=厂知#ABC为2厂sin B,c=2厂sin B所以b+c=2/*sin B+sin(/—B)=2///(sin B+///co s B+1s i n B)TT等边三角形&在解法1中，可由#=/时周长取到最大值知此时#ABC为等边三角形（因A=/），两种解法在这一点上是等价的。

解三角形的范围与最值问题解三角形的范围与最值问题三角形是我们初中数学中常见的几何图形，解决三角形的范围和最值问题是三角函数的重要内容。

本文将从范围和最值两个方面进行探讨。

一、解三角形的范围问题解三角形的范围问题主要是要找到三角函数定义域中的解集，也就是角的取值范围。

1. 正弦函数正弦函数的定义域为全集R，一个完整的正弦函数周期为360度，即sinθ=sin(θ+360°)。

因此，对于任意θ∈R，正弦函数的值总是在[-1,1]之间取值。

2. 余弦函数余弦函数的定义域为全集R，一个完整的余弦函数周期为360度，即cosθ=cos(θ+360°)。

因此，对于任意θ∈R，余弦函数的值总是在[-1,1]之间取值。

3. 正切函数正切函数的定义域由其分母不为零的限定，即tanθ存在当且仅当cosθ≠0，即θ∈R\{nπ+π/2|n∈N}。

对于任意θ∈R，正切函数没有上下界，其取值范围为全集R。

4. 余切函数余切函数的定义域由其分母不为零的限定，即cotθ存在当且仅当sinθ≠0，即θ∈R\{nπ|n∈N}。

对于任意θ∈R，余切函数没有上下界，其取值范围为全集R。

以上是几个常见三角函数的定义域和取值范围，要求掌握它们的基本特征和计算方法。

二、解三角形的最值问题解三角形的最值问题主要是要找到三角函数在定义域中的最大值和最小值，其思路一般是利用极值点或者函数的单调性来进行分析。

1. 正弦函数和余弦函数的最值正弦函数和余弦函数的最值为1和-1，当且仅当θ=nπ(n∈N)时取到。

当θ非整数倍π时，正弦函数和余弦函数的值位于-1和1之间。

2. 正切函数和余切函数的最值正切函数和余切函数都没有最值，但它们在某些点上趋近于无穷或者负无穷，这些点称为函数的特殊点。

正切函数的特殊点为θ=nπ+π/2(n∈Z)，此时tanθ趋近于正无穷或负无穷，取决于极限方向。

余切函数的特殊点为θ=nπ(n∈Z)，此时cotθ趋近于正无穷或负无穷，取决于极限方向。

三角函数ω的取值范围及解三角形中的范围与最值问题命题预测三角函数与解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度．高频考法(1)ω取值与范围问题(2)面积与周长的最值与范围问题(3)长度的范围与最值问题01ω取值与范围问题1、f (x )=A sin (ωx +φ)在f (x )=A sin (ωx +φ)区间(a ，b )内没有零点⇒b -a ≤T2k π≤aω+ϕ<π+k πk π<bω+ϕ≤π+k π⇒b -a ≤T2a ≥k π-ϕωb ≤π+k π-ϕω同理，f (x )=A sin (ωx +φ)在区间[a ，b ]内没有零点⇒b -a ≤T2k π<aω+ϕ<π+k πk π<bω+ϕ<π+k π ⇒b -a <T2a >k π-ϕωb <π+k π-ϕω2、f (x )=A sin (ωx +φ)在区间(a ，b )内有3个零点⇒T <b -a ≤2T k π≤aω+ϕ<π+k π3π+k π<bω+ϕ≤4π+k π⇒T <b -a ≤2T k π-φω≤a <(k +1)π-φω(k +3)π-φω<b ≤(k +4)π-φω同理f (x )=A sin (ωx +φ)在区间[a ，b ]内有2个零点⇒T2≤b -a <3T2k π<aω+ϕ≤π+k π2π+k π≤bω+ϕ<3π+k π ⇒T 2≤b -a <3T2k π-φω<a ≤k π+π-φω(k +2)π-φω≤b <(k +3)π-φω 3、f (x )=A sin (ωx +φ)在区间(a ，b )内有n 个零点⇒(n-1)T2≤b-a<(n+1)T2kπ-φω≤a<kπ+π-φω(k+n)π-φω<b≤(k+n+1)π-φω同理f(x)=A sin(ωx+φ)在区间[a，b]内有n个零点⇒(n-1)T2≤b-a<(n+1)T2kπ-φω<a≤kπ+π-φω(k+n)π-φω≤b<(k+n+1)π-φω4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为2n+14T，则2n+14T=(2n+1)π2ω=b-a ．5、已知单调区间(a,b)，则a-b≤T 2.1(2024·江苏南通·二模)已知函数y=3sinωx+cosωx(ω>0)在区间-π4,2π3上单调递增，则ω的最大值为()A.14B.12C.1211D.832(2024·四川泸州·三模)已知函数f x =sinωx-2π3(ω>0)在0,π 有且仅有三个零点，则ω的取值范围是()A.83,11 3B.83,113C.53,83D.53,833(2024·四川德阳·二模)已知函数f x =sinωx+φ(ω>0,φ∈R)在区间7π12,5π6上单调，且满足f7π12=-f3π4 ．给出下列结论，其中正确结论的个数是()①f2π3=0；②若f5π6-x=f x ，则函数f x 的最小正周期为π；③关于x的方程f x =1在区间0,2π上最多有3个不相等的实数解；④若函数f x 在区间2π3,13π6上恰有5个零点，则ω的取值范围为83,103．A.1B.2C.3D.44(2024·江苏泰州·模拟预测)设函数f x =2sinωx-π6-1ω>0在π,2π上至少有两个不同零点，则实数ω的取值范围是()A.32,+∞B.32,73∪52,+∞C.136,3 ∪196,+∞ D.12,+∞ 02面积与周长的最值与范围问题正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用．利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其最值．1(2024·青海·模拟预测)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a cos 2B +2b cos A cos B =c ．(1)求B ；(2)若b =4，△ABC 的面积为S ．周长为L ，求SL的最大值．2(2024·陕西汉中·二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，请从下列条件中选择一个条件作答：(注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．)①记△ABC 的面积为S ，且3AB ⋅AC =2S ；②已知a sin B =b cos A -π6 ．(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，且a =6，求△ABC 周长的取值范围．3(2024·宁夏银川·二模)已知平面四边形ABCD中，∠A+∠C=180°,BC=3.(1)若AB=6,AD=3,CD=4，求BD；(2)若∠ABC=120°,△ABC的面积为932，求四边形ABCD周长的取值范围.4(2024·四川德阳·二模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sin B=23cos2A+C 2.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.03长度的范围与最值问题对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．1(2024·贵州遵义·一模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3b-a sin C=3a cos C．(1)求A；(2)若△ABC为锐角三角形，c=2，求b的取值范围．2(2024·宁夏固原·一模)在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且2sin B sin C+cos2C= 1+cos2A-cos2B．(1)求证：B+C=2A；(2)求c-ba的取值范围．3(2024·河北衡水·一模)在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ，三角形面积为S ，若D 为AC 边上一点，满足AB ⊥BD ,BD =2，且a 2=-233S +ab cos C .(1)求角B ；(2)求2AD+1CD 的取值范围.4(2024·陕西安康·模拟预测)已知锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a =8，ac =1+sin 2A -sin 2C sin 2B ，且a ≠c ．(1)求证：B =2C ；(2)已知点M 在线段AC 上，且∠ABM =∠CBM ，求BM 的取值范围．1在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =3，A =60°，则b 的取值范围是()A.0,6B.0,23C.3,23D.3,62已知函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0)，现有如下说法：①若φ=π3，函数f (x )在π6,π3 上有最小值，无最大值，且f π6 =f π3，则ω=5；②若直线x =π4为函数f (x )图象的一条对称轴，5π3,0 为函数f (x )图象的一个对称中心，且f (x )在π4,5π6 上单调递减，则ω的最大值为1817；③若f (x )=12在x ∈π4,3π4 上至少有2个解，至多有3个解，则ω∈4,163 ；则正确的个数为()A.0B.1C.2D.33设函数f x =sin 2ωx -cos 2ωx +23sin ωx cos ωx ω>0 ，当x ∈0,π2时，方程f x =2有且只有两个不相等的实数解，则ω的取值范围是()A.73,133B.73,133C.83,143D.83,1434将函数f x =sin ωx -cos ωx (ω>0)的图象向左平移π4个单位长度后，再把横坐标缩短为原来的一半，得到函数g x 的图象．若点π2,0是g x 图象的一个对称中心，则ω的最小值是()A.45B.12C.15D.565已知函数f (x )=sin ωx +π6 (ω>0)，若将f (x )的图象向左平移π3个单位后所得的函数图象与曲线y =f (x )关于x =π3对称，则ω的最小值为() A.23B.13C.1D.126(多选题)△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为△ABC 的面积，且a =2，AB ⋅AC=23S ，下列选项正确的是()A.A =π6B.若b =2，则△ABC 只有一解C.若△ABC 为锐角三角形，则b 取值范围是23,4D.若D 为BC 边上的中点，则AD 的最大值为2+37已知函数f x =12+3sin ωx cos ωx -cos 2ωx ω>0 ，若f x 的图象在0,π 上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围是．8已知函数f x =sin ωx ω>0 ，若∃x 1,x 2∈π3,π，f x 1 =-1，f x 2 =1，则实数ω的取值范围是.9已知函数f x =sin ωx +φ ω>0 满足f x ≥f π12，且f x 在区间-π3,π3 上恰有两个最值，则实数ω的取值范围为．10已知函数f (x )=-sin ωx -π4(ω>0)在区间π3,π 上单调递减，则ω的取值范围是.11若函数f x =cos ωx -π6ω>0 在区间π3,2π3 内单调递减，则ω的最大值为．12已知函数f (x )=4sin ωx ,g (x )=4cos ωx -π3+b (ω>0)，且∀x 1,x 2∈R ,|f (x 1)-g (x 2)|≤8，将f (x )=4sin ωx 的图象向右平移π3ω个单位长度后，与函数g (x )的图象相邻的三个交点依次为A ，B ，C ，且BA ⋅BC<0，则ω的取值范围是．13在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∠ABC =2π3，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD =2，则a +4c 的最小值为．14在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且2b sin A -3a =0.(1)求角B ；(2)求sin A +sin C 的取值范围.15在锐角△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且2b sin A -3a =0．(1)求角B 的大小；(2)求cos A +cos C 的取值范围．16已知锐角△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b2+c2-(b⋅cos C+c⋅cos B)2=bc，(1)求角A的大小；(2)如果该三角形外接圆的半径为3，求bc的取值范围．17在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，cos2B-sin2B=-1 2．(1)求角B，并计算sin B+π6的值；(2)若b=3，且△ABC是锐角三角形，求a+2c的最大值．18在△ABC中，D为BC边上一点，DC=CA=1，且△ACD面积是△ABD面积的2倍．(1)若AB=2AD，求AB的长；(2)求sin∠ADBsin B的取值范围．19记锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin B sin C +cos2C =1+cos2A -cos2B .(1)证明：B +C =2A ；(2)求cb的取值范围.20记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，若a +b +c a +b -c =3，且△ABC 的面积为334.(1)求角C ；(2)若AD =2DB ，求CD 的最小值.21已知函数f x =12-sin 2ωx +32sin2ωx ω>0 的最小正周期为4π.(1)求f x 在0,π 上的单调递增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2a -c cos B =b ⋅cos C ,求f A 的取值范围.22已知在△ABC 中，1-cos A 2-sin A =0，(1)求A ；(2)若点D 是边BC 上一点，BD =2DC ，△ABC 的面积为3，求AD 的最小值.23在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且满足2sin A +C cos A -sin C cos A =sin A cos C ．(1)求角A ；(2)若点D 在线段BC 上，且满足BD =3DC ,AD =3，求△ABC 面积的最大值．24已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，向量m =a +b ,c ,n =sin A -sin C ,sin A -sin B ，且m ⎳n．(1)求B ；(2)求b 2a 2+c 2的最小值．25已知△ABC为钝角三角形，它的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin2C=sin2B+sinπ3+Bcosπ6+B，a<c，b<c．(1)求tan(A+B)的值；(2)若△ABC的面积为123，求c的最小值．。

解三角形取值范围常见题型三角形是几何学中常见的形状，它由三条边和三个角组成。

在解三角形问题中，我们经常遇到需要确定三角形角度和边长取值范围的题型。

本文将介绍一些常见的解三角形取值范围问题，并提供相应的解决方法。

1. 直角三角形取值范围直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角是直角（90度）。

在直角三角形中，两条边的长度关系遵循勾股定理，即较短的两条边的平方和等于最长边的平方。

因此，直角三角形的两个锐角的取值范围都是0到90度。

2. 锐角三角形取值范围锐角三角形是指三个角都是锐角（小于90度），没有直角和钝角。

在锐角三角形中，我们可以使用三角函数（正弦、余弦和正切）来确定角的取值范围。

假设三角形的三个角分别为A、B和C，对应的边长分别为a、b和c。

2.1. 三角形角度和为180度根据三角形的性质，三个角的和总是等于180度。

因此，锐角三角形的三个角度满足A + B + C = 180度。

2.2. 正弦函数的取值范围正弦函数（sin）表示三角形的某个角的对边与斜边的比值。

在锐角三角形中，正弦函数的取值范围为0到1之间（不包括0和1），即0 < sinA, sinB, sinC < 1。

2.3. 余弦函数的取值范围余弦函数（cos）表示三角形的某个角的邻边与斜边的比值。

在锐角三角形中，余弦函数的取值范围也是0到1之间（不包括0和1），即0 < cosA, cosB, cosC < 1。

2.4. 正切函数的取值范围正切函数（tan）表示三角形的某个角的对边与邻边的比值。

在锐角三角形中，正切函数的取值范围为0到无穷大（不包括0），即0 < tanA, tanB, tanC。

3. 钝角三角形取值范围钝角三角形是指三个角中有一个角是钝角（大于90度），没有直角和锐角。

在钝角三角形中，我们同样可以利用三角函数来确定角的取值范围。

3.1. 三角形角度和为180度与锐角三角形相同，钝角三角形的三个角度之和也等于180度。

解三角形中的最值与范围问题4大题型解三角形中的最值与范围问题是近几年高考数学的热点，这类试题主要考查学生数形结合、等价转化、数学运算和逻辑推理的能力。

一般为中等难度，但题目相对综合，涉及知识较多，可通过三角恒等变换、构造函数或构造基本不等式等方法加以解决。

一、三角形中的最值范围问题处理方法1、利用基本不等式求最值-化角为边余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。

2、转为三角函数求最值-化边为角如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。

要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。

二、边化角与角化边的变换原则在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.【题型1与角或三角值有关的问题】【例1】（2023春·江西赣州·高三统考阶段练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知1a =，且cos cos 1b A B -=22sin B A +的取值范围是（）A．()1+B ．()1C ．(]1,3D ．(]2,3【变式1-1】（2023·四川泸州·统考二模）在ABC 中，2,2BC AB AC ==，D 为BC 的中点，则tan ADC ∠的最大值为______．【变式1-2】（2023·福建福州·统考二模）记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2222b a c -=．（1）求tan tan BA的值：（2）求C 的最大值．【变式1-3】（2023春·辽宁本溪·高三校考阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，B 为钝角．若ABC 的面积为S ，且()2224bS a b c a =+-．（1）证明：2B A π=+；（2）求sin sin A C +的最大值．【变式1-4】（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）在锐角ABC中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，满足()2c b b a =+.（1）求证：2C B =；（2）求113sin tan tan C B C-+的取值范围.【题型2求周长的最值与范围问题】【例2】（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）在ABC 中，sin cos c B C =.（1）求C ∠；（2）若6a b +=，求ABC 周长的最小值.【变式2-1】（2023·云南昆明·已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且)222sin 2a c b A bc+-=.（1）求B 的大小；（2）若△ABC 为钝角三角形，且b =，求△ABC 的周长的取值范围.【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数21()cos ())cos()2f x x x x ωωω=-，其中0ω>，且函数()f x 的两个相邻零点间的距离为π2，（1）求ω的值及函数()f x 的对称轴方程；（2）在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若()1,f A a =-=求ABC周长的取值范围．【变式2-3】（2023·湖南·模拟预测）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC 的面积为S ，且22sin sin 2sin sin C ASa b sinA B C+=+（）（）．（1）求C 的值；（2）若a ABC 周长的取值范围．【变式2-4】（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）在四边形ABCD 中，,,,A B C D 四点共圆，5AB =，3BC =，3cos 5ABC ∠=-．（1）若sin 5ACD ∠=，求AD 的长；（2）求四边形ABCD 周长的最大值．【题型3求面积的最值与范围问题】【例3】（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数()()()2πcos 2cos f x x x x x =-⋅-∈R ．（1）求函数()f x 的值域；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2f A =-，a =求△ABC 的面积S 的最大值．【变式3-1】（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin 2tan 11cos 2tan 1B C B C +=+-.（1）求角A 的大小；（2）设AD 是BC 边上的高，且2AD =，求ABC 面积的最小值.【变式3-2】（2023·山东临沂·统考一模）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos 2cos a B b A c C +=．（1）求C ；（2）若1c =，求ABC 面积的取值范围．【变式3-3】（2023·全国·模拟预测）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ()sin sin 4sin C B a C =-.（1）求A ；（2）若O 是ABC 的内心，2a =，且224b c +>，求OBC △面积的最大值.【变式3-4】（2023·江苏南通·校联考模拟预测）如图，在平面四边形ABCD 中，1AB =，AD =，2CD =，BC =（1）若BC CD ⊥，求sin ADC ∠；（2）记ABD △与BCD △的面积分别记为1S 和2S ，求2212S S +的最大值．【题型4与边有关的最值与范围问题】【例4】（2023·江西南昌·统考一模）在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若1,60a B == ，则b 的取值范围为______．【变式4-1】（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，()()cos sin cos a B C B a A -=-.（1）求角A ；（2）若ABC22b a b+的取值范围.【变式4-2】（2023·广东江门·统考一模）在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且1tan B ，1sin A ，1tan C依次组成等差数列.（1）求2a bc的值；（2）若b c >，求222b c a+的取值范围.【变式4-3】（2023·江苏南通·统考模拟预测）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b =4，且1cos 2b Cc a +=.（1）求B ；（2）若D 在AC 上，且BD ⊥AC ，求BD 的最大值.【变式4-4】（2023·新疆·统考一模）在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，22sin c ab C =.（1）若sin cos sin sin 2C B B A +=，求tan C 的值；（2）求ab的最大值.（建议用时：60分钟）1．（2023·甘肃武威·统考一模）在ABC 中，32，，AB AC BC ==>cos A 的范围是（）A ．51,6⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．111,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．5,16⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,112⎛⎫ ⎪⎝⎭2．（2023秋·浙江宁波·高三期末）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，已知sin()sin2A Cb B C a ++=，且ABC 的面积为，则ABC 周长的最小值为（）A ．B ．C ．D ．6+3．（2023·江西赣州·统考一模）已知锐角ABC 的内角A B C ､､的对应边依次记为a b c､､，且满足2cos c b b A -=，则()()2sin 2cos C B A B ++-的取值范围为__________.4．（2023·陕西西安·统考一模）已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，满足2cos 2b A a c +=，且b =，则ABC 周长的取值范围为______________．5．（2023·全国·校联考一模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22c ac b +=.（1）证明：2B C =；（2）求a b c+的取值范围.6．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin sin tan cos C B A B -=．（1）求A ；（2）若2a =，求2c b -的取值范围．7．（2023·河南·校联考模拟预测）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 是2a 与πsin6C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的等比中项．（1）求A ﹔（2）若ABC 是锐角三角形，且2c =，求sin a B 的取值范围．8．（2023·全国·高三专题练习）在①)cos sin a b C c B -=，②22cos a c b C -=，③()()()a b a b a c c -+=-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且满足_______，b =（1）若4a c +=，求ABC 的面积;（2）求ABC 周长l 的取值范围．9．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）求△ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3A π=，且△ABC 的周长为6．（1）证明：()124bc b c +=+；（2）求△ABC 面积的最大值．10．（2023·四川凉山·统考一模）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,,sin cos a b c b c A a C -=．（1）求A ；（2）若2b =，求ABC 面积的取值范围．参考答案【题型1与角或三角值有关的问题】【例1】（2023春·江西赣州·高三统考阶段练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知1a =，且cos cos 1b A B -=22sin B A +的取值范围是（）A．()1+B．()1C ．(]1,3D ．(]2,3【答案】B【解析】∵cos cos 1b A B -=，即：cos cos 1b A B =+，1a =，∴cos (cos 1)b A B a =+，∴由正弦定理得：sin cos (cos 1)sin B A B A =+，即：sin cos sin cos sin B A A B A =+，∴sin()sin B A A -=，∴B A A -=或πB A A -+=，解得：2B A =或B π=（舍），又∵△ABC 为锐角三角形，则ππ3C A B A =--=-，∴ππ0022ππ00222ππ00π322A A B A C ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪⎪⎪<<⇒<<⎨⎨⎪⎪⎪⎪<<<-<⎪⎪⎩⎩，解得：ππ64A <<，2π2sin 21cos 22sin(2)16B A A A A +=+-=-+，又∵ππ64A <<，∴πππ2663A <-<，∴1πsin(2262A <-<，∴π22sin(2)116A <-+<，22sin B A +的取值范围1).故选：B.【变式1-1】（2023·四川泸州·统考二模）在ABC 中，2,2BC AB AC ==，D 为BC 的中点，则tan ADC ∠的最大值为______．【答案】43【解析】设AC x =，则2AB x =，因为D 为BC 的中点，2BC =，所以1BD DC ==，由三角形三边关系，可知22x x +>且22x x -<，解得223x <<，在ABD △中，由余弦定理，得()2212cos 2AD x ADB AD +-∠=，在ACD 中，由余弦定理，得221cos 2AD x ADC AD+-∠=，因为πADB ADC ∠+∠=，所以()cos cos πcos ADB ADC ADC ∠=-∠=-∠,所以()222212122AD x AD x AD AD+-+-=-，解得22512AD x =-，则2242251132cos 54512122x x x ADC x x -+-∠=⨯-⨯-223x <<，令2512x t -=，则1,99t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()2215x t =+，()4242125x t t =++，则232131313cos 2221010105t t ADC t t t t t ++∠==⨯++≥⨯⋅+=，当且仅当1t t =，即1t =时，等号成立，此时25112x -=，解得25x =因为3cos 05ADC ∠≥>，所以π0,2ADC ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭．因为cos y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，tan y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以当cos ADC ∠取得最小值时，tan ADC ∠取得最大值，此时24sin 1cos 5ADC ADC ∠-∠=，则4tan 3ADC ∠=，所以tan ADC ∠的最大值为43.【变式1-2】（2023·福建福州·统考二模）记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2222b a c -=．（1）求tan tan BA的值：（2）求C 的最大值．【答案】（1）tan 3tan B A=-；（2）π6【解析】（1）由余弦定理可得2222cos b c a ac B =+-，代入2222b a c -=，得到()22222cos 2c a ac B a c +--=，化简得22cos 0c ac B +=，即2cos 0c a B +=.由正弦定理可得sin 2sin cos 0C A B +=，即()sin 2sin cos 0A B A B ++=，展开得sin cos cos sin 2sin cos 0A B A B A B ++=，即3sin cos cos sin A B A B =-，所以tan 3tan BA=-．（2）由2222b a c -=得2222b ac -=，故222cos 2a b c C ab +-=222222b a a b ab-+-=2233444a b a b ab b a +==+≥=当且仅当223b a =，即b =时等号成立．因为()0,πC ∈，所以π6C ≤，所以C 的最大值为π6.【变式1-3】（2023春·辽宁本溪·高三校考阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，B 为钝角．若ABC 的面积为S ，且()2224bS a b c a =+-．（1）证明：2B A π=+；（2）求sin sin A C +的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）98【解析】（1）由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=得2222cos bc A b c a =+-，4412cos sin 2bS b bc A ac B a a ∴==⨯，cos sin A B ∴=，cos cos 2πA B ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，B 为钝角，则,2πA B -均为锐角，2B A π∴-=，即2B A π=+；（2）2ππsin sin sin sin cos cos 22cos cos 122A C B B B B B B B ⎛⎫⎛⎫+=-++-=--=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令cos B t =，B 为钝角，则()1,0t ∈-，2219sin sin 21248A C t t t ⎛⎫∴+=--+=-++ ⎪⎝⎭，当14t =-，即1cos 4B =-时，sin sin A C +取最大值，且为98.【变式1-4】（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）在锐角ABC中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，满足()2c b b a =+.（1）求证：2C B =；（2）求113sin tan tan C B C-+的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）,46⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】（1）由22c b ab =+及余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得()2cos 1a b C =+，由正弦定理得：()sin sin 2cos 1A B C =+，又πA B C ++=，()sin sin sin cos cos sin 2sin cos sin A B C B C B C B C B ∴=+=+⋅=+，cos sin sin cos sin B C B C B ∴-=，()sin sin C B B ∴-=，,,A B C 都是锐角，C B B ∴-=，即2C B =.（2）令113sin tan tan y C B C =-+cos cos 3sin sin sin B C C B C =-+sin cos cos sin 3sin sin sin C B C BC B C -⋅=+⋅()sin 3sin sin sin C B C B C-=+⋅，由（1）2C B =得13sin sin y C C=+，在锐角三角形ABC 中，π02π02π02A B C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即()π02π022π02B C C B C π⎧<-+<⎪⎪⎪<=<⎨⎪⎪<<⎪⎩，解得ππ32<<C，sin C ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭，令sin ,12t C ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，()13,2y f t t t t ⎛⎫∴==+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，又函数()13y f t t t ==+在2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，()4y f t ⎫∴=∈⎪⎪⎝⎭，故113sin tan tan C B C -+的取值范围是46⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【题型2求周长的最值与范围问题】【例2】（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）在ABC 中，sin cos c B C =.（1）求C ∠；（2）若6a b +=，求ABC 周长的最小值.【答案】（1）π3C =；（2）9【解析】（1）因为sin cos c B C =，所以由正弦定理得sin sin cos C B B C =，又因为()0,πB ∈，sin 0B ≠，所以sin C C =，即有tan C =又因为()0,πC ∈，所以π3C =.（2）因为π3C =，6a b +=，所以由余弦定理可得222222cos ()236336392a b c a b ab C a b ab ab ab +⎛⎫=+-=+--=-≥-⨯= ⎪⎝⎭，当3a b ==时，等号成立，所以3c ≥，故ABC 周长的最小值9.【变式2-1】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且)222sin 2a c b A bc+-=.（1）求B 的大小；（2）若△ABC 为钝角三角形，且b =，求△ABC 的周长的取值范围.【答案】（1）π3；（2）(+【解析】（1）根据余弦定理可知，222cos 2a c b B ac+-=，所以2cos sin 2ac B A bc =，即cos sin cos sin sin sin B A BA A b B=⇔，则tan B =()0,πB ∈，所以π3B =；（2）设π2π,23A ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，根据正弦定理可知2πsin sin sin sin 3a cb A C B ====，所以2sin a A =,2π2sin 2sin 3c C A ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以周长2π2sin 2sin 3a b c A A ⎛⎫++=+-+ ⎪⎝⎭12sin 2sin 2A A A ⎫=++⎪⎪⎝⎭3sin A A =++π6A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,因为π2π,23A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,,πππ25636A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以1sin 622πA ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π36A ⎛⎫<+++ ⎪⎝⎭，所以ABC的周长为(+.【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数21()cos ())cos()2f x x x ωωω=，其中0ω>，且函数()f x 的两个相邻零点间的距离为π2，（1）求ω的值及函数()f x 的对称轴方程；（2）在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若()1,f A a =-=求ABC 周长的取值范围．【答案】（1）1ω=，对称轴方程为：()ππ26k x k =+∈Z ；；（2）2.【解析】（1）211cos(2))1()cos ())cos()2222x x f x x x x ωωωωω+=-=+-，()πsin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的两个相邻零点间的距离为π2，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2⨯=，因为0ω>，所以2ππ12ωω=⇒=，即()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()()ππππ2πZ Z 6226k x k k x k +=+∈⇒=+∈，所以对称轴为()ππ26k x k =+∈Z ；（2）由πsin 6(12)1A f A ⎛⎫+=- ⇒⎪⎝⎭=-，因为(0,π)A ∈，所以ππ13ππ3π2π2(,)2666623A A A +∈⇒+=⇒=，因为a22sin ,2sin sin sin sin a b c b B c CA B C ===⇒==，π2sin 2sin 2sin 2sin 3B C B B ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，1π2sin sin 2sin 223B B B B B B ⎛⎫⎛⎫+-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为π(0,)3B ∈，所以ππ2π(,)333B +∈，因此ππsin ,1]2sin (2323B B ⎛⎫⎛⎫+∈⇒+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ABC周长的取值范围为2.【变式2-3】（2023·湖南·模拟预测）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC 的面积为S ，且22sin sin 2sin sin C ASa b sinA B C+=+（）（）．（1）求C 的值；（2）若a ABC 周长的取值范围．【答案】（1）3π；（2）()∞+.【解析】（1）在ABC 中，由三角形面积公式得:1sin 2S bc A =，由正弦定理得：()2212sin sin 2cabc A a b A b c⎛⎫⨯+=+ ⎪⎝⎭，整理得：222a b c ab +-=，由余弦定理得：2221cos 22a b c C ab +-==，又0C π<<，故3C π=．（2）因为a 3C π=，由正弦定理得32sin c A=，23cos 3sin 2sin A A b A A π⎛⎫- ⎪⎝⎭===即ABC的周长()31cos 33cos 2sin 2sin 2sin A A l a b c A A A +=++=+=26cos 32224sincos 2tan222AA AA =++，因为203A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则023Aπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故0tan 2A<所以322tan2A +>ABC的周长的取值范围是∞）.【变式2-4】（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）在四边形ABCD 中，,,,A B C D 四点共圆，5AB =，3BC =，3cos 5ABC ∠=-．（1）若sin 5ACD ∠=，求AD 的长；（2）求四边形ABCD 周长的最大值．【答案】（1（2）8+【解析】（1）因为,,,A B C D 四点共圆，所以πABC ADC ∠+∠=，因为3cos 5ABC ∠=-，所以3cos cos 5ADC ABC ∠=-∠=，因为()0,πADC ∠∈，故sin 54ADC ∠==，在ABC 中，由余弦定理得：22232cos 25930525AC AB BC AB BC ABC ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯-= ⎪⎝⎭，故AC =在ADC △中，由正弦定理得：sin sin AD ACACD ADC=∠∠，5=，解得：AD（2）由（1）知：AC=3cos5ADC∠=，在ADC△中，由余弦定理得：22222523cos225AD CD AC AD CDADCAD CD AD CD+-+-∠===⋅⋅，整理得：226525AD CD AD CD+=⋅+，故()216525AD CD AD CD+-=⋅，其中22AD CDAD CD+⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭，故()()221645255AD CD AD CD AD CD+-=⋅≤+，解得：AD CD+≤AD CD=故四边形ABCD周长的最大值为8AB BC AD CD+++≤+【题型3求面积的最值与范围问题】【例3】（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数()()()2πcos2cosf x x x x x=-⋅-∈R．（1）求函数()f x的值域；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若()2f A=-，a=求△ABC的面积S的最大值．【答案】（1）[]3,1-；（2【解析】（1）()1cos2πcos2sin2cos212sin2126xf x x x x x x+⎛⎫=⋅-⋅--=--⎪⎝⎭，∴()f x的值域为[]3,1-．（2）()π2sin2126f A A⎛⎫=--=-⎝⎭，即π1sin262A⎛⎫-=-⎪⎝⎭，由()0,πA∈,得ππ11π2<666A-<-∴π7π2=66A-，即2π3A=，又222222π32cos33a b c bc b c bc bc==+-=++≥，即1bc≤，∴11sin 12224ABC S bc A =≤⨯ ，∴()max 4ABC S =，当且仅当1b c ==时取得．【变式3-1】（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin 2tan 11cos 2tan 1B C B C +=+-.（1）求角A 的大小；（2）设AD 是BC 边上的高，且2AD =，求ABC 面积的最小值.【答案】（1）π4；（2）4【解析】（1）法一：左边2sin 22sin cos sin 1cos 22cos cos B B B BB B B===+，右边sin 1tan 1sin cos cos sin tan 1sin cos 1cos CC C CC C C C CC+++===---，由题意得sin sin cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos sin cos B C CB C B C B C B C B C C+=⇒-=+-()()()sin cos 0tan 1B C B C B C ⇒+++=⇒+=-，即tan 1A =，又因为0πA <<，所以π4A =.法二：左边2sin 22sin cos tan 1cos 22cos B B BB B B===+，右边πtan tantan 1ππ4tan tan πtan 1441tan tan4C C C C C C ++⎛⎫⎛⎫==--+=-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-，由题意得ππππ44B C k B C k =--+⇒+=-+，又因为0πB C <+<，所以3ππ44B C A +=⇒=.（2）由11π2sin 2244ABC S a bc a bc =⨯=⇒=△，由余弦定理得222222π2cos 4a b c bc a b c =+-⇒=+，2222222211288b c b c b c b c bc ⇒=+⇒+=+≥，(82bc ⇒≥，当且仅当b c =时取“等号”，而1πsin24ABC S bc ==△，故()(min 824ABC S =-=△【变式3-2】（2023·山东临沂·统考一模）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos 2cos a B b A c C +=．（1）求C ；（2）若1c =，求ABC 面积的取值范围．【答案】（1）π3C =；（2）.【解析】（1）在ABC 中，由已知及正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即有()sin 2sin cos A B C C +=，即sin 2sin cos C C C =，而0πC <<，sin 0C >，则1cos 2C =，所以π3C =．（2）在ABC 中，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得：221a b ab =+-，因此12ab ab ≥-，即01ab <≤，当且仅当a b =时取等号，又11sin (0,22ABC S ab C ===∈△，所以ABC 面积的取值范围是4．【变式3-3】（2023·全国·模拟预测）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ()sin sin 4sin C B a C =-.（1）求A ；（2）若O 是ABC 的内心，2a =，且224b c +>，求OBC △面积的最大值.【答案】（1）π3或2π3；（2【解析】（1）()sin sin 4sin C B a C =-，4sin s sin sin in C B a B C =，)sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，sin 2sin sin sin B C A B C =，因为sin sin 0B C ≠，所以sin2A =，因为()0,πA ∈，所以π3A =或2π3A =（2）因为2a =，且224b c +>，所以由余弦定理得222224cos 022b c a b c A bc bc+-+-==>，所以A 为锐角，由（1）知π3A =.因为O 是ABC 的内心，所以()()112ππππ223BOC ABC ACB A ∠=-∠+∠=--=，在OBC △中，由余弦定理得2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅∠，所以2222242cos3OB OC OB OC OB OC OB OC π=+-⋅=++⋅23OB OC OB OC OB OC ≥⋅+⋅=⋅，当且仅当33OB OC ==时等号成立，所以43OB OC ⋅≤，所以1142π3sin sin 2233OBC S OB OC BOC =⋅∠≤⨯=△所以OBC △33【变式3-4】（2023·江苏南通·校联考模拟预测）如图，在平面四边形ABCD 中，1AB =，3AD =，2CD =，2BC =（1）若BC CD ⊥，求sin ADC ∠；（2）记ABD △与BCD △的面积分别记为1S 和2S ，求2212S S +的最大值．【答案】（163；（2）218【解析】（1）∵BC CD ⊥，∴426BD =+=22cos 326362ADB ∠=⋅⋅，1in 3s ADB ∠=，3sin 3BDC ∠=，6cos 36BDC ∠==∴sin sin()sin cos cos sin ADC BDC ADB BDC ADB BDC ADB∠∠∠=+=∠∠+∠∠13===；（2）设BAD ∠=α，BCD β∠=，∴23142BD αβ=+-=+-，∴2βα-=，∴1βα=，①22222212131sin 1sin sin 2sin 24S S αβαβ⎫⎛⎫+=⨯+⋅⨯=+⎪ ⎪⎭⎝⎭()222233sin 21cos sin 2144αβα⎡⎤⎢⎥=+-=+-⎢⎥⎣⎦2223535321cos cos cos 222228ααααα⎛⎫⎛=--+=-++=-++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，当且仅当cos 6α=-，cos 8β=时取最大值218；综上，sin 3ADC ∠=，2212S S +的最大值是218.【题型4与边有关的最值与范围问题】【例4】（2023·江西南昌·统考一模）在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若1,60a B == ，则b 的取值范围为______．【答案】2⎛ ⎝【解析】在ABC 中，由正弦定理得sin sin sin a b cA B C ==，所以1sin sin 60b A = ，即2sin b A=，因为锐角ABC ，所以090,090A C <<<< ，即090,012090A A <<<-<，解得3090A <<，所以1sin 12A <<，所以112sin A<<，<2b ⎛∈ ⎝.【变式4-1】（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，()()cos sin cos a B C B a A -=-.（1）求角A ；（2）若ABC22b a b+的取值范围.【答案】（1）3π；（2）⎡⎣【解析】（1）因为()()cos sin cos a B C B a A -=-，可得()cos cos sin cos a B C a A B A -+=，则()()cos cos sin cos a B C a B C B A --+=，所以()cos cos sin sin cos cos sin sin 2cos a B C a B C a B C B C B A +--=，即sin sin sin cos a B C B A =，由正弦定理得sin sin sin sin sin cos A B C C B A =，显然sin 0C >，sin 0B >，所以sin A A ，所以tan A =()0,πA ∈，所以π3A =.（2）因为sin sin a b A B==πsin sin 3a bB ==所以3a =，b B =，所以2223sin 2sin 4sin b a a b B B b b B B +⎫=+=++⎭，因为ABC 为锐角三角形且2π3B C +=，所以π022ππ032B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，所以ππ62B <<，即1sin ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令()34f x x x =+，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由对勾函数性质知函数()34f x x x =+在122⎛ ⎝⎭上单调递减，在,12⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，且122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，f =⎝⎭()714f =，所以())2f x ∈，即)3sin 24sin B B +∈，所以3sin 6,4sin B B ⎫⎡+∈⎪⎣⎭，即22b a b+的取值范围为⎡⎣.【变式4-2】（2023·广东江门·统考一模）在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且1tan B ，1sin A ，1tan C依次组成等差数列.（1）求2a bc的值；（2）若b c >，求222b c a+的取值范围.【答案】（1）2；（2）(【解析】（1）由条件得：211sin tan tan A B C =+cos cos sin sin B C B C =+sin cos cos sin sin sin C B C B B C +=()sin sin sin C B B C+=sin sin sin A B C =，所以2sin 2sin sin A B C =，由正弦定理得：22a bc =，所以22a bc=.（2）b c >及22a bc =，则B C >，角C 一定为锐角，又ABC 为锐角三角形，所以cos 0cos 0A B >⎧⎨>⎩由余弦定理得：2222222222222220020222020022b c a b c bcb c bc bc bc bc c b a c b bc c b ac ac ⎧⎧+-+->>⎪⎪⎧+->⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨+->+-+-⎩⎪⎪>>⎪⎪⎩⎩，所以2220bc c b +->，即212b b c c ⎛⎫⎛⎫<+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得：11b c <<又1bc >，所以(1,1b c∈+.又22222122b c b c b c a bc c b ++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，令(1,1b x c =∈+，则()222112b c f x x a x +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()()()2211111022x x f x xx +-⎛⎫'=-=> ⎪⎝⎭，所以()f x在(1,1上递增，又()11f =，(1f =所以222b c a+的取值范围是(.【变式4-3】（2023·江苏南通·统考模拟预测）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b =4，且1cos 2b Cc a +=.（1）求B ；（2）若D 在AC 上，且BD ⊥AC ，求BD 的最大值.【答案】（1）π3；（2）【解析】（1）方法一：()11cos ,sin cos sin sin sin 22b Cc a B C C A B C +=∴+==+ ，所以1sin cos sin sin cos cos sin 2B C C B C B C +=+，所以()11sin sin cos ,0,π,sin 0,cos ,22C C B C C B =∈∴>∴= ()π0,π,3B B ∈∴=.方法二：在ABC 中，由正弦定理得：()1sin cos sin sin 2B C C A B C +==+，所以1sin cos sin sin cos cos sin 2B C C B C B C +=+，所以1sin cos sin 2C B C =.因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2B =，因为()π0,π,3B B ∈=.（2）方法一:222222cos 2b a c ac B a c ac ac ac ac =+-=+-≥-=，16ac ∴≤当且仅当4a c ==时取“”=，1sin 112sin ,22228ac Bac B BD b BD ac =⋅=≤max BD ∴=方法二:在ABC 中，由余弦定理得：222222cos 162(b a c ac B a c ac ac ac =+-⇒=+-≥-当且仅当a c =取“=”）所以16ac ≤,所以ABC 的面积1sin24ABC S ac B ac ==≤ 122ABC S b BD BD BD =⨯=≤⇒≤ 【变式4-4】（2023·新疆·统考一模）在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，22sin c ab C =.（1）若sin cos sin sin 2C B B A +=，求tan C 的值；（2）求ab的最大值.【答案】（1）1；（21【解析】（1）由sin cos sin2C B B A +=cos sin C B A B =-,cos )sin C B B C B =+-，)cos sin cos cos sin sin C B B C B C B =+-cos sin B C B =,因为sin 0B ≠,1C =,即cos2C =,由()0,πC ∈得π4C =，故tan 1C =.（2）由22sin ab C c =结合余弦定理得2222cos 2sin a ab C ab b C c =+-=,则()22π2sin cos sin 4a b ab C C C ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭,于是221sin 4a a a C b b b π⎛⎫+=⨯+≤ ⎪⎝⎭,即2210a ab b -+≤.11ab≤≤,故当π4C =时，ab1.（建议用时：60分钟）1．（2023·甘肃武威·统考一模）在ABC 中，32，，AB AC BC ==>，则cos A 的范围是（）A ．51,6⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．111,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．5,16⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,112⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】222213cos212AB AC BC BC A AB AC +--==⋅，因为BC >11cos 12A <.又()0,πA ∈，所以cos A 的范围是111,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：B 2．（2023秋·浙江宁波·高三期末）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，已知sin()sin2A Cb B C a ++=，且ABC 的面积为，则ABC 周长的最小值为（）A ．B ．C ．D ．6+【答案】C【解析】因为πsin sin2Bb A a -=，根据正弦定理及诱导公式得sin sin sin cos2B B A A ⋅=⋅，()0,πA ∈ ，sin 0A ∴≠，sin cos2B B ∴=，即2sin cos cos 222BB B=，()0,πB ∈ ，则π0,22B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 02B ≠解得1sin22B =,所以ππ263B B =⇒=，所以1sin 24S ac B ===，所以8,ac a c =+≥，当且仅当a c ==时等号成立，根据余弦定理得b =，即b =，设ABC 的周长为C ，所以()ABC C a c a c =++=+ ，设,a c t t +=≥，则()f t t =根据复合函数单调性及增函数加增函数为增函数的结论得：()f t 在)⎡+∞⎣上为单调增函数，故()(minf t f ==，故()min ABC C = ，当且仅当a b c ===时取等.故选：C.3．（2023·江西赣州·统考一模）已知锐角ABC 的内角A B C ､､的对应边依次记为a b c､､，且满足2cos c b b A -=，则()()2sin 2cos C B A B ++-的取值范围为__________.【答案】32,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】因为2cos c b b A -=，所以sin sin 2sin cos C B B A -=，即()sin sin 2sin cos A B B B A +-=，展开整理得()sin sin A B B -=，因为锐角ABC 中，ππππ,0,,,,2222A B A B A B ⎛⎫⎛⎫∈+>-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A B B -=，即2A B =，由π02π022π0π32B A B C B ⎧<<⎪⎪⎪<=<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，得π6π4B <<，()()22πsin cos sin 2cos sin2cos21214C B A B A B B B B ⎛⎫++-=+=++=++ ⎪⎝⎭，因为π6π4B <<，所以7ππ3π21244B <+<，π<sin 224B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()()2sin 2cos C B A B ++-的范围为32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.4．（2023·陕西西安·统考一模）已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，满足2cos 2b A a c +=，且b =，则ABC 周长的取值范围为______________．【答案】【解析】在ABC 中，由2cos 2b A a c +=及正弦定理得：2sin cos sin 2sin B A A C +=，而π()C A B =-+，于是2sin cos sin 2sin()2sin cos 2cos sin B A A A B A B A B +=+=+，有sin 2sin cos A A B =，而0πA <<，sin 0A >，因此1cos 2B =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即有222222112()3()3()()24a c a c ac a c ac a c a c +=+-=+-≥+-=+，当且仅当a c =时取等号，从而a c +≤，而a c b +>=，则a b c <++≤所以ABC周长的取值范围为.5．（2023·全国·校联考一模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22c ac b +=.（1）证明：2B C =；（2）求a bc+的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）(1,5).【解析】（1）∵22c ac b +=，∴22c b ac -=-，∴由余弦定理得：2222cos 222a c b a ac a cB ac ac c+---===，即：2cos c B a c ⋅=-，由正弦定理得：2sin cos sin sin C B A C ⋅=-，∴2sin cos sin()sin sin cos sin cos sin C B B C C B C C B C ⋅=+-=+-，整理得：sin cos sin cos sin 0B C C B C --=，即：sin()sin B C C -=，又∵(0,π)B C ∈、，∴B C C -=，即：2B C =.（2）∵2B C =，∴π3A C =-，又∵sin22sin cos C C C =⋅，2sin 3sin(2)sin cos 2cos sin 2sin cos 22sin cos C C C C C C C C C C C=+=⋅+⋅=⋅+⋅，sin 0C ≠，∴由正弦定理得：sin sin sin(π3)sin2sin3sin2sin sin sin a b A B C C C Cc C C C++-++===22sin cos22sin cos 2sin cos cos22cos 2cos sin C C C C C CC C CC⋅+⋅+⋅==++2222cos 12cos 2cos 4cos 2cos 1C C C C C =-++=+-，又∵0π0π3ππ0π02π 030π0π A C B C C C C <<<-<⎧⎧⎪⎪<<⇒<<⇒<<⎨⎨⎪⎪<<<<⎩⎩，∴1cos 12C <<，令cos t C =，则2421a bt t c+=+-，112t <<，∵2421y t t =+-对称轴为14t =-，∴2421y t t =+-在1(,1)2上单调递增，当12t =时，11421142y =⨯+⨯-=；当1t =时，4215y =+-=，∴15a bc+<<，即：a b c +的范围为(1,5).6．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin sin tan cos C B A B -=．（1）求A ；（2）若2a =，求2c b -的取值范围．【答案】（1）π3A =；（2）()2,4-【解析】（1）由题意知，sin 2sin sin cos cos AC B B A-=⨯，所以2cos sin cos sin sin cos A C A B A B -=，则()2cos sin sin cos cos sin sin sin A C A B A B A B C =+=+=，又()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2A =，又()0,πA ∈，所以π3A =．（2）由（1）得sin 2sin sin cos cos AC B B A-=⨯，由正弦定理得cos 2cos a B c b A -=，又2a =，π3A =，所以24cos c b B -=．因为2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1cos ,12B ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以()4cos 2,4B ∈-，故()22,4c b -∈-，即2c b -的取值范围为()2,4-．7．（2023·河南·校联考模拟预测）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 是2a 与πsin6C ⎛⎫+⎪⎝⎭的等比中项．（1）求A ﹔（2）若ABC 是锐角三角形，且2c =，求sin a B 的取值范围．【答案】（1）π3；（2）⎝【解析】（1是2a 与πsin 6C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的等比中项，所以2π2sin 6a C b c ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭，由正弦定理及两角和的正弦公式，得12sin cos sin sin 2A C C B C ⎫⋅+=+⎪⎪⎝⎭．因为πA B C ++=，所以()sin sin cos sin sin sin cos cos sin sin A C A C A C C A C A C C +=++=++，()sin cos 1sin A C A C =+．因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，cos 1A A -=，即π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．又()0,πA ∈，所以ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ66A -=，即π3A =．（2）由正弦定理，得2πsin sin sin 3ab B C ==，所以2π3sin sin C a B b C⎛⎫- ⎪⎝⎭==132tan C⎛=+ ⎝．因为ABC 是锐角三角形，所以2ππ0,32π0,2C C ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩所以ππ62C <<，所以tan 3C >，所以sin a B的取值范围是⎝．8．（2023·全国·高三专题练习）在①)cos sin a b C c B -=，②22cos a c b C -=，③()()()a b a b a c c -+=-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且满足_______，b =（1）若4a c +=，求ABC 的面积;（2）求ABC 周长l 的取值范围．【答案】（1（2）(【解析】（1）若选条件①)cos sin a b C c B -=及正弦定理，)sin sin cos sin sin A B C C B-=()sin sin cos sin sin B C B C C B +-=⎤⎦，化简得sin sin sin B C C B =，因为0πC <<，所以sin 0C ≠，所以tan B =，因为0πB <<，所以π3B =．若选条件②，由22cos a c b C -=及正弦定理，得2sin sin 2sin cos A C B C -=，即()2sin sin 2sin cos B C C B C +-=，化简得2cos sin sin B C C =,因为0πC <<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2B =，因为0πB <<，所以π3B =．若选条件③，由)()()a b a b a c c +-=-化简得，222a c b ac +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，即1cos 2B =，因为0πB <<，所以π3B =，所以三个条件，都能得到π3B =.由余弦定理得()22222cos 22cos b a c ac B a c ac ac B =+-=+--，即21124222ac ac =--⨯，解得43ac =，所以ABC的面积114πsin sin 22333S ac B ==⨯⨯=.（2）因为π3b B ==，由正弦定理得4sin sin sin a c b A C B ===，因为2ππ3A C B +=-=，所以()2π1π4sin sin 4sin sin cos 3226a c A C A A A A A ⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎭，因为2π03A <<，所以ππ5ππ1sin 166662A A ⎛⎫⎛⎤<+<+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，，，所以(a c +∈，即(a b c ++∈，所以ABC 周长l 的取值范围为(.9．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）求△ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3A π=，且△ABC 的周长为6．（1）证明：()124bc b c +=+；（2）求△ABC 面积的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）在△ABC 中，由余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，即2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，又因为6a b c ++=，所以22[6()]()3b c b c bc -+=+-，整理可得：124()b c bc -+=-，所以()124bc b c +=+得证.（2）由（1）可知：()124bc b c +=+，所以124bc +≥⨯，当且仅当b c =时取等号，6≥2≤，因为6b c +<2≤，则4bc ≤，所以1sin 424ABC S bc A =≤= ，故△ABC.10．（2023·四川凉山·统考一模）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,,sin cos a b c b c A a C -=．（1）求A ；（2）若2b =，求ABC 面积的取值范围．【答案】（1）π4A =；（2）()1,2【解析】（1）因为sin cos b c A a C -=，由正弦定理得sin sin sin sin cos B C A A C -=，。

解三角形求取值范围的题目带答案
以下是一些关于三角形求取值范围的题目以及它们的答案。

题目1：已知三角形ABC，角A的度数为60°，角B的度数为45°。

求角C的度数的取值范围。

答案1：角C的度数的取值范围为(0°, 75°)，因为角A + 角B + 角C = 180°，所以角C = 180°- 角A - 角B = 75°。

题目2：已知三角形DEF，角D的度数为120°，角E的度数为40°。

求角F的度数的取值范围。

答案2：角F的度数的取值范围为(0°, 100°)，因为角D + 角E + 角F = 180°，所以角F = 180°- 角D - 角E = 180°- 120°- 40°= 20°。

题目3：已知三角形GHI，角G的度数为75°，角H的度数为85°。

求角I的度数的取值范围。

答案3：角I的度数的取值范围为(0°, 120°)，因为角G + 角H + 角I = 180°，所以角I = 180°- 角G - 角H = 180°- 75°- 85°= 20°。

这些题目和答案可以帮助您理解三角形角度之间的关系和计算角度的取值范围。

专题24 解三角形中的最值、范围问题解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角” “角转边”，另外要注意a c,ac,a2 c 2三者的关系 . 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式” ，其中的核心是“变角” ，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式 .a b c1、正弦定理：2R，其中R为ABC 外接圆的半径sin A sinB sinC正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化 . 其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征 . 如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行学/科-+ 网2 2 2 2 2 2例如：（1） sin A sin B sin AsinB sin C a b ab c（2）bcosC ccosB a sin B cosC sinC cosB sin A （恒等式）bc sin B sinC（3）a 2sin2Aa sin A2、余弦定理：a2 b2 c2 2bc cos A22变式：a2b c 2bc 1 cosA 此公式在已知a, A的情况下，配合均值不等式可得到 b c和bc 的最值4、三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可 . 由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：a b A B sinA sinB cosA cosB其中由A B cosA cosB 利用的是余弦函数单调性，而A B sinA sinB 仅在一个三角形内有效.5 、解三角形中处理不等关系的几种方法（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值）（2）利用均值不等式求得最值经典例题】例 4. 【衡水金卷信息卷三】已知 的三边分别为 ， ， ，所对的角分别为 ， ， ，且满足例 1. 【2018 届百校联盟 TOP20高三四月联考全国一卷】已知四边形 中， 设 与 面积分别为 ，则 的最大值为 _______________ . 【答案】【解析】 分析：利用余弦定理推 ，求出 的表达式， 利用二次函数以及余弦函数的值 的范围，求 的最大值即可．点睛：求解三角函数的最值 （或值域 ）时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、 余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得．例 2. 【2018 届普通高等学校招生全国统一考试高三下学期第二次调研】得 ，所以 ，则由余弦定理得 ，解得 ，又 ， 所以 的范围是 .例 3. 【2018届浙江省杭州市高三第二次检测】在 △ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ．若对任为 ，则实数 a 的取值范围是【解析】 由 ，. 【答案】 .在 中，角 A,B,C 所对的边分别意 λ∈ R ，不等式恒成立，则 的最大值为 __．【答案】 2(2)因为由此可求当 取最大值时，求 边的长 .．【答案】解析】由 的三边分别为 ， ， 可得：可知：，，例 5. 【2018届湖南省株洲市高三检测(二) 】已知 中，角 所对的边分别是 , 且 (1) 求角 的大小； (2) 设向量 ，边长 ，当 取最大值时，求 边的长 . 【答案】 (1) (2) .【解析】分析： ( 1)由题意，根据正弦定理可得 ，再由余弦定理可得 ，由此可求角 的大小；，且 的外接圆的面积为 ，则 的最大值的取值范围为（2）因为所以当 时， 取最大值，此时， 由正弦定理得，例 6. 【2018 届四川省攀枝花市高三第三次（ 4 月）统考】已知 的内角 的对边分别为 其 面积为 , 且. 学/ 科 /* 网（Ⅰ）求角 ；（II ）若 ,当 有且只有一解时 , 求实数 的范围及 的最大值 .【答案】 （Ⅰ ） .（ Ⅱ） .【解析】分析： （Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简 得到 , 再解这个三角方程即得 A 的值 . （II ）先根据 有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到 m 的取值范围 ，再写出 S 的函数表达式求其最大值 . 详解： （ Ⅰ ）由己知（Ⅱ） 由己知，当 有且只有一解时， 或 ,所以 ；当 时， 为直角三角形，，所以，当 时， 综上所述， 例 7. 【2018 届四川省资阳市高三 4 月（三诊）】在 ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且当 时，由正弦定理a b sinA sinB c sinC sinB ．1）求 A ．（2）若 a 4，求 b 2 c 2的取值范围．【答案】（1） A ；（ 2） 16,32 .b 2c 2 16 bc 16 ，进而可得结果 .试题解析：（ 1）根据正弦定理得 a b a b c c b ，即b2 c 2 a 21 1 则b 2c bc a 21，即 cosA 21，由于 0 A π，方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题中同时出现 ab 及 b 2 、 a 2时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答1）求函数 f x 的单调增区间；2）设 ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 a ， b ， c 成等比数列，求 fB的取值范围．a2 b 2 c 2bc ，. 在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据 . 除了直接利用两定理求边和角以外， 恒等变形过程中，一般来说 , 当条件例 8．【2018 届甘肃省张掖市高三三诊】已知n sin x 4,cos 4x ，设函数 答案】 （1） 4k,4k33， k Z ． (2) 1, 3 12 解析】试题分析： xx sin ,cos44 sin x2 6 2 1 1 ，根x,cos x ， 441)由题 f x m nxx ,co s 4x当且仅当 a c 时取等号），例 9. 【2018届吉林省吉林市高三第三次调研】锐角 A BC 中， A,B,C 对边为 a,b,c ，b 2 a 2c 2sin B C 3accos A C（1）求 A 的大小； （2）求代数式 b c的取值范围 . 【答案】（ 1） （2） 3 b c2a 3 a【解析】试题分析： （ 1）由 b 2a 2c 2sin B C 3accos A C 及余弦定理的变形可得2cosBsinA 3cosB ， 因为 cosB 0，故得 sinA 3，从而可得锐角 ABC 中 A ．（2）利用正23 2sinB sin B 弦定理将所求变形为 b c 32sin B ，然后根据 B 的取值范围求出代数 a sinA 6 6bc 式 b c的取值范围即可．试题解析：a（1）∵b 2 a 2 c 2 2accosB ， b 2 a 2 c 2sin B C 3accos A C ， ∴ 2accosBsin B C 3accos A C ， ∴ 2cosBsin A 3cos B ,∴ 2cosBsinA 3cosB ，正弦函数的性质 2k 2k 可求其单调增区间；2 2 6 22）由题 b 22 2 2 2 2a cb ac ac 2ac ac 1 ac 可知cosB2ac 2ac 2ac 2f B 的取值范围．所以 0 B ，3B ，6263f B 的取值范围为 1, 3212当且仅当 a c 时取等号），所以 0 B ， B，由此可求3 6 2 6 31 f B ，综上，b c sinB sinCsinA2sinB sin B3sinA3sinB 3cosB 2 22sinsin3B6,∵ ABC 为锐角三角形，且0B20C2即｛0B2 2 B32, 解得6 B 2 ，2∴B3 6 3sin B1．∴3 6bc a2 ．故代数式 b c的取值范围 3, 2 ． a 点睛：bc（1）求 b c的取值范围时，可根据正弦定理将问题转化为形如a题解决，这是在解三角形问题中常用的一种方法，但在解题中y Asin x 的函数的取值范围的问 x 的范围． 2）解答本题时要注意 “ 锐角三角形 ”这一条件的运用，根据此条件可的求得 B 的范围，然后结合函数的图象可得 sin B 的范围，以达到求解的目的．例 10. 【 2018届衡水金卷信息卷（一） 】已知 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, c ，若m b 2c,cosB ,n a,cosA ，且 m//n .231）求角 A 的值；（2）已知 ABC 的外接圆半径为 2 3，求 ABC 周长的取值范答案】 (1) A (2) 4,63解析】 试题分析：（1）由 m/ /n ，得（6 2 c ） cosA acosB 0 ，利用正弦定理统一到角上易得22）根据题意，得 a 2RsinA 2 ，由余弦定理， 得 a 2 b c 23bc ，结合均值不等式1 cosA ； 22所以 b c 的最大值为 4，又 b c a 2 ，从而得到 ABC 周长的取值范围 .所以 ABC 的周长的取值范围为 4,6 .精选精练】2．【2018 届湖南省衡阳市高三二模】 在 中，已知 为 的面积 )，若 , 则的取值范围是 ( )A. B. C. D. 【答案】 C解析】，又1得cosA . 又 A 0, ，所以 A232)根据题意，得a 2RsinA 4 3 32.由余弦定理， 得 a 32b 2c 2 2bccosA b c 2 3bc ， 即 3bc b c 4 3bc2，整理得2b c 216 ，当且仅b c 2时，取等号，所以 b c 的最大值为 4. 又b c a 2， 所以 2 b c 4 ，所以 4 a b c 6.1. 【2018 届东莞市高三第二次考试】在 中，若 ，则 的取值范围为 ( ) B. C.【解析】因为 ，，A.D. 答案】 D所以，即3．【 2018届四川省绵阳市高三三诊】四边形 ABCD 中， AB 2， BC CD DA 1，设 ABD 、22BCD 的面积分别为 S 1、 S 2，则当 S 12 S 22取最大值时，, 考查同角三角函数关系 , 考查利用余弦定理解三角形 , 考 查二次函数最值的求法 . 首先根据题目所求 , 利用三角形面积公式 , 写出面积的表达式 , 利用同角三角函数关 系转化为余弦值 ,利用余弦定理化简 ,再利用配方法求得面积的最值 ,并求得取得最值时 BD 的值.4．【2018 届广东省肇庆市高三第三次模拟】 已知 的角 对边分别为 ，若5．【 2018 届辽宁省辽南协作校高三下学期一模】设 的内角 所对的边分别为 且．【答案】点睛：在解三角形问题中，一般需要利用余弦定理结合均值不等式，来求两边和的取值范围或者是三角形 的面积的最值，只需运用余弦定理，并变形为两边和与两边积的等式，在利用均值不等式转化为关于两边 和或两边积的不等式，解不等式即可求出范围 .， ，故选 C.BD．【答案】 102点睛】本小题主要考查三角形的面积公式的应用 ，且的面积为 ，则 的最小值为. 【答案】+, 则 的范围是【解析】由 + 得 , 所以 ，即，再由余弦定理得 ，又 ，所以 的范围是，即 ，解得6．【 2018届四川省攀枝花市高三第三次（ 4月）统考】已知锐角ABC的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c , 且2acosC c 2b,a 2, 则ABC的最大值为_____ ．【答案】3即bc 4，所以ABC的最大值为S max1 bcsinA 1 4 3 3 ．2 2 2 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值 . 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题 .7．【 2018届宁夏石嘴山市高三 4 月适应性测试（一模）】已知a,b,c分别为ABC内角A,B,C 的对边，且bsinA 3acosB .（1）求角B ；（ 2）若b 2 3，求ABC面积的最大值 . 【答案】（ 1）B ；（2）3 3.3【解析】试题分析：（1）由正弦定理边化角得到tanB 3 ，从而得解；（2）由余弦定理得b2 a2 c2 2accosB ，12 a2 c2 ac 结合a2 c2 2ac 即可得最值 . 试题解析：（1）∵bsinA 3acosB ，∴由正弦定理可得sinBsinA 3sin AcosB ，8．【 2018届四川省攀枝花市高三第三次（ 4 月）统考】已知 的内角 的对边分别为 其面 积为 , 且 .即 ABC 面积的最大值为 3 3 .Ⅰ ）求角 ；（II ） 若 , 当 有且只有一解时 , 求实数 的范围及 的最大值 . 答案】 (Ⅰ ) .( Ⅱ)解析】分析： （ Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简 得到,再解这个三角方程即得 A 的值 . （II ）先根据 有且只有一解利用正弦定理和三角函数 的图像得到 m 的取值范围 ，再写出 S 的函数表达式求其最大值 .由余弦定理得 ， 所以 ，即 ,，所以 .由正弦定理】在 ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，已知 asinC3ccosA .1）求角 A 的大小；（2）若 b 2，且 B ，求边 c 的取值范围 .43答案】 (1) A ；(2) 2, 3 1 .∵ B ，∴1 tanB3 ，∴2 c 3 1 ， 4310．【 2018 届辽宁省沈阳市东北育才学校高三三模】已知ABC 三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，1）求角 C 的值；（ 2）求 cos2A cos A B 的取值范围． 【答案】（ 1） 2；（2） 0, 3 3在 ABC 中，由正弦定理， bc sinB sinC ∴c22sin B2sinC 3 3cosBsin B sinB sinB tan BABC 的面积 S 满足b 22c ．点睛：本题在转化 析，不能死记硬背时， 综上所述， .有且只有一解时 , 容易漏掉 m=2这一种情况 . 此时要通过正弦定理和正弦函数的图像分 ，所以，当9．【衡水金卷信息卷（二）即 c 的取值范围为442tanC 3 ，又 0 C ， C 30 A 3, 3 2A 3 3sin 2A 3 0，, 311．【2018 届江苏省姜堰、溧阳、前黄中学高三 4月联考】在 ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 a 2c 22b ，且 sinAcosC 3cosAsinC .1）求 b 的值；（2）若 B ， S 为 ABC 的面积，求 S 8 2cosAcosC 的取值范围 .4答案】 (1) b 4 (2) 8,8 2b 2解析】试题分析：（1）利用正余弦定理， sinAcosC 3cosAsinC 可转化为a 2 c 2b ，又 a 2c 22b ，2从而得到 b 的值； S 1 bcsinA 8 2sinAsinC ，故 S 8 2cosAcosC 8 2cos 2A 324S 8 2cosAcosC 8 2cos A C 8 2cos 2A 32) cos2A cos A B =cos2A cos 2A323cos2A 3sin2A = 3sin 2A232）由正弦定理限制角 A 的范围， 求出S 8 2cosAcosC 的取值范围 . （2）由正弦定理 bsinB sinC c 1 1 4得 S bcsinA 4 sinAsinC 8 2sinAsinC 22sin2 30A4在 ABC 中，由｛ 0 A 2 得A 38 ,22A 34 0,4 ，ACS 8 2cosAcosC 8,8 2 .2sin 2Asin 22∴b c 2r sinB sinC 2 sinB sin 23 B 2 3sin B 612．【衡水金卷信息卷 五）】在锐角 ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A 422,11）求角 A ；（ 2）若 3，求 ABC 周长的取值范围 . 答案】 (1) A (2)33 3,3 33 3,3 3 .2B C试题解析：( 1)∵sin 2A sin 225 ，∴cos2A 1 cos B C 542∴2cos A 11 cosA 5， 4 整理，得 21 18cos 2A 2cosA 1 0 ，∴cosA 或 cosA ，421∵0 A ， ∴cosA22，即2）设 ABC 的外接圆半径为 r ，则 2ra 32 ，∴r 1.sinA 3∴ ABC 周长的取值范围是3 3,3 3 .单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。

专题24 解三角形中的最值、范围问题解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式. 1、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 学/科-+网 例如：（1）222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=⇔+-= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=（恒等式） （3）22sin sin sin bc B Ca A= 2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+-变式：()()2221cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的最值4、三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：sin sin cos cos a b A B A B A B >⇔>⇔>⇒<其中由cos cos A B A B >⇔<利用的是余弦函数单调性，而sin sin A B A B >⇔>仅在一个三角形内有效.5、解三角形中处理不等关系的几种方法（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值） （2）利用均值不等式求得最值【经典例题】例1.【2018届百校联盟TOP20高三四月联考全国一卷】已知四边形中，，设与面积分别为，则的最大值为_____.【答案】【解析】分析：利用余弦定理推，求出的表达式，利用二次函数以及余弦函数的值的范围，求的最大值即可．点睛：求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得．例2.【2018届普通高等学校招生全国统一考试高三下学期第二次调研】在中，角A,B,C所对的边分别为，则实数a的取值范围是____________.【答案】.【解析】由，得，所以，则由余弦定理，得，解得，又，所以的范围是.例3.【2018届浙江省杭州市高三第二次检测】在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若对任意λ∈R，不等式恒成立，则的最大值为_____．【答案】2例4.【衡水金卷信息卷三】已知的三边分别为，，，所对的角分别为，，，且满足，且的外接圆的面积为，则的最大值的取值范围为__________．【答案】【解析】由的三边分别为，，可得：，可知：，，，例5.【2018届湖南省株洲市高三检测（二）】已知中，角所对的边分别是,且.(1)求角的大小； (2)设向量，边长，当取最大值时，求边的长. 【答案】(1)(2).【解析】分析：（1）由题意，根据正弦定理可得，再由余弦定理可得，由此可求角的大小； （2）因为由此可求当取最大值时，求边的长.（2）因为所以当时，取最大值，此时，由正弦定理得，例6.【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知的内角的对边分别为其面积为,且.学/科/*网（Ⅰ）求角；（II ）若,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到,再解这个三角方程即得A 的值. （II ）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m 的取值范围，再写出S 的函数表达式求其最大值.详解：(Ⅰ)由己知(Ⅱ)由己知，当有且只有一解时，或,所以；当时，为直角三角形，当 时，由正弦定理 ，，所以，当时，综上所述，.例7.【2018届四川省资阳市高三4月（三诊）】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin a b A B +- ()sin sin c C B =-．（1）求A ．（2）若4a =，求22b c +的取值范围．【答案】（1）3A π=；（2）(]16,32.221616b c bc +=+>，进而可得结果.试题解析：（1）根据正弦定理得()()a b a b +- ()c c b =-，即222a b c bc -=-，则222122b c a bc +-=，即1cos 2A =，由于0πA <<，【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 例8．【2018届甘肃省张掖市高三三诊】已知3cos,cos 44x x m ⎛⎫= ⎪⎭， sin ,cos 44x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设函数()f x m n =⋅．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）设ABC ∆的内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，且a ， b ， c 成等比数列，求()f B 的取值范围．【答案】(1) 424,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦， k Z ∈．(2) ⎛ ⎝⎦. 【解析】试题分析：（1）由题()13cos ,cos sin ,cos sin 4444262x x x x x f x m n π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=++ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭，根据正弦函数的性质222262x k k πππππ-≤+≤+可求其单调增区间；（2）由题2b ac =可知2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=， （当且仅当a c =时取等号），所以03B π<≤，6263B πππ<+≤，由此可求 ()f B 的取值范围．（当且仅当a c =时取等号），所以03B π<≤， 6263B πππ<+≤， ()1f B <≤，综上， ()f B的取值范围为⎛ ⎝⎦． 例9.【2018届吉林省吉林市高三第三次调研】锐角ABC ∆中， ,,A B C 对边为,,a b c ，()()()222sin cos ba c B C A C --+=+（1）求A 的大小； （2）求代数式b c a +的取值范围.【答案】（1）3π（22b ca+<≤ 【解析】试题分析：（1）由()()()222sin cos b a c B C A C --+=+及余弦定理的变形可得2cos sin B A B -，因为cos 0B ≠，故得sin A =ABC ∆中3A π=．（2）利用正弦定理将所求变形为2sin sin 32sin sin 6B B b c B a A ππ⎛⎫++ ⎪+⎛⎫⎝⎭==+ ⎪⎝⎭，然后根据6B π+的取值范围求出代数式b ca+的取值范围即可．试题解析： （1）∵2222cos b a c ac B --=-， ()()()222sin cos b a c B C A C --+=+，∴()()2cos sin cos ac B B C A C -+=+ ， ∴()()2cos sin ,B A B ππ--=-∴2cos sin B A B -=，∴23sin sin sin sin sin 3222sin sin sin 6sin 3B B B Bb c B C B a A A πππ⎛⎫+++ ⎪++⎛⎫⎝⎭====+ ⎪⎝⎭,∵ABC ∆为锐角三角形，且3A π=∴02{02B C ππ<<<<，即02{ 2032B B πππ<<<-<, 解得62B ππ<<，∴2,363B πππ<+<sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭．2b c a +<≤．故代数式b c a +的取值范围2⎤⎦．点睛：（1）求b ca+的取值范围时，可根据正弦定理将问题转化为形如()sin y A x ωϕ=+的函数的取值范围的问题解决，这是在解三角形问题中常用的一种方法，但在解题中要注意确定角x ωϕ+的范围．（2）解答本题时要注意“锐角三角形”这一条件的运用，根据此条件可的求得6B π+的范围，然后结合函数的图象可得sin 6B π⎛⎫+⎪⎝⎭的范围，以达到求解的目的． 例10.【2018届衡水金卷信息卷（一）】已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若向量()()2,cos ,,cos m b c B n a A =-=-，且//m n .（1）求角A 的值；（2）已知ABC ∆的外接圆半径为2ABC ∆周长的取值范围. 【答案】(1) 3A π=(2) (]4,6 【解析】试题分析：（1）由//m n ，得62)0c c o s A a c o s B-+=（，利用正弦定理统一到角上易得1cos 2A =；（2）根据题意，得2sin 2a R A ==，由余弦定理，得()223a b c bc =+-，结合均值不等式可得()216b c +≤，所以b c +的最大值为4，又2b c a +>=，从而得到ABC ∆周长的取值范围.得1cos 2A =.又()0,A π∈，所以3A π=.（2）根据题意，得2sin 2a R A ===.由余弦定理，得()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，即()223432b c bc b c +⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭，整理得()216b c +≤，当且仅当2b c ==时，取等号， 所以b c +的最大值为4.又2b c a +>=，所以24b c <+≤，所以46a b c <++≤. 所以ABC ∆的周长的取值范围为(]4,6.【精选精练】1.【2018届东莞市高三第二次考试】在中，若，则的取值范围为( )A.B.C.D. 【答案】D【解析】因为，所以，即，即，2．【2018届湖南省衡阳市高三二模】在中，已知为的面积)，若,则的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】 ，，，，又，，，，故选C.3．【2018届四川省绵阳市高三三诊】四边形ABCD 中， AB =， 1BC CD DA ===，设ABD ∆、BCD ∆的面积分别为1S 、2S ，则当2212S S +取最大值时， BD =__________．【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式的应用,考查同角三角函数关系,考查利用余弦定理解三角形,考查二次函数最值的求法.首先根据题目所求,利用三角形面积公式,写出面积的表达式,利用同角三角函数关系转化为余弦值,利用余弦定理化简,再利用配方法求得面积的最值,并求得取得最值时BD 的值. 4．【2018届广东省肇庆市高三第三次模拟】已知的角对边分别为，若，且的面积为，则的最小值为________.【答案】5．【2018届辽宁省辽南协作校高三下学期一模】设的内角所对的边分别为且+,则的范围是__________．【答案】 【解析】由+得,所以，即，再由余弦定理得 ，即，解得，又，所以的范围是.点睛：在解三角形问题中，一般需要利用余弦定理结合均值不等式，来求两边和的取值范围或者是三角形的面积的最值，只需运用余弦定理，并变形为两边和与两边积的等式，在利用均值不等式转化为关于两边和或两边积的不等式，解不等式即可求出范围.6．【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知锐角ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、,且2cos 2,2a C c b a +==,则ABC ∆的最大值为__________．即4bc ≤，所以ABC ∆的最大值为max 11sin 422S bc A ==⨯= 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.7．【2018届宁夏石嘴山市高三4月适应性测试（一模）】已知,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边，且sin cos b A B =.（1）求角B ；（2）若b =ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）3B π=；（2）.【解析】试题分析：（1）由正弦定理边化角得到tan B =（2）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 2212a c ac =+-结合222a c ac +≥即可得最值.试题解析：（1）∵sin cos b A B =，∴由正弦定理可得sin sin cos B A A B =，即ABC ∆面积的最大值为.8．【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知的内角的对边分别为其面积为,且.（Ⅰ）求角；（II ）若,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到,再解这个三角方程即得A 的值. （II ）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m 的取值范围，再写出S 的函数表达式求其最大值.详解：(Ⅰ)由己知由余弦定理得，所以，即,，所以.由正弦定理 ，，所以，当时，综上所述，.点睛：本题在转化有且只有一解时,容易漏掉m=2这一种情况.此时要通过正弦定理和正弦函数的图像分析，不能死记硬背.先由正弦定理得再画正弦函数的图像得到或.9．【衡水金卷信息卷（二）】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos a C A =. （1）求角A 的大小；（2）若2b =，且43B ππ≤≤，求边c 的取值范围.【答案】(1) 3A π=；(2) 1⎡⎤⎣⎦.在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin b c B C=，∴22sin 2sin 311sin sin sin tan B C B c B B B B π⎛⎫- ⎪⎝⎭===+=+，∵43B ππ≤≤，∴1tan B ≤≤21c ≤≤，即c的取值范围为1⎡⎤⎣⎦.10．【2018届辽宁省沈阳市东北育才学校高三三模】已知ABC ∆三个内角 ,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积S满足222a b c =+-． （1）求角C 的值；（2）求()cos2cos A A B +-的取值范围． 【答案】（1）23π；（2）(tan C =0C π<<， 23C π∴=.（2）()3cos2cos =cos2cos 2cos232A A B A A A A π⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭23A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭0,2333A A ππππ<<∴<+<(203A π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 11．【2018届江苏省姜堰、溧阳、前黄中学高三4月联考】在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C =.（1）求b 的值；（2）若4B π=， S 为ABC ∆的面积，求cos S A C +的取值范围.【答案】(1) 4b =(2) (【解析】试题分析：（1）利用正余弦定理， sin cos 3cos sin A C A C =可转化为2222b ac -=，又222a c b -=，从而得到b 的值； （2）由正弦定理1sin sin 2S bc A A C ==，故324S AcosC A π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭限制角A的范围，求出cos S A C +的取值范围.（2）由正弦定理sin sin b c B C =得114sin 4sin sin sin 22sin4S bc A A C A C π==⋅⋅=()324S AcosC A C A π⎛⎫∴+=-=-⎪⎝⎭， 在ABC ∆中，由3040{ 202A A C A C πππ<<<<<<> 得3,82A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 320,44A ππ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，3cos 24A π⎫⎛⎫∴-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(S AcosC ∴+∈.12．【衡水金卷信息卷 （五）】在锐角ABC ∆中，内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，且25sin 2sin 224B C A π+⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭.（1）求角A ；（2）若a =ABC ∆周长的取值范围. 【答案】(1) 3A π=(2) (3+(3.试题解析：（1）∵252224B C sin A sin π+⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，∴()15224cos B C cos A -+-=-， ∴2152124cosA cos A +--=-，整理，得28210cos A cosA --=，∴14cosA =-或12cosA =， ∵02A π<<，∴12cosA =，即3A π=.（2）设ABC ∆的外接圆半径为r，则22a r sinA===，∴1r =. ∴()2b c r sinB sinC +=+ 223sinB sin B π⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴ABC ∆周长的取值范围是(3+.。

解三角形中的取值范围问题题型1:求三角函数范围问题例题1：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足csinA ＝acosC ， 则sinA ＋sinB 的最大值是巩固练习1. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cosA bsinA a =，且πB 2>，则sinA+sinC 的最大值是 ______ ．2．在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且4442222a b c c a b++=+,若C 为锐角,则sin B A 的最大值为题型2:求边长和差的范围问题例题1：在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其中最大的角等于另外两个角的和，当最长边1c =时，ABC ∆周长的最大值为_______.巩固练习1. 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ,且2cos a A ccosB bcosC =+.(1)求角A 的大小;(2)若2a =,求ABC ∆周长的取值范围.2.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且222sin sin sin sin A C A C B +=.（1）求角B 的大小；（2）若2b =，求a c +的最大值.3. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos 2cos 22sin sin 33C A C C ππ⎛⎫⎛⎫-=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求A ；（2）若a =b a ≥，求12b c -的取值范围.题型3:求边长之比的范围问题例题1：若ABC ∆)222a c b +-，C ∠为钝角，则B ∠=___；c a的取值范围是____．巩固练习1．在ABC ∆中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c ，若22a b bc =+，且(60,90)A ∈︒︒，则a b 取值范围是______．2. 在ABC △中，角A ，B ，C 所对边的边长分别是a ，b ，c ，满足sin sin sin sin a c A B b A C +-=-， 则（1）角C =______________；（2）a b c+的取值范围为______________．题型4: 面积最值 例1.在中，分别为角的对边，且满足． （1）求角的值；（2）若bc 最大值．ABC ∆a b c 、、A B C 、、222b c a bc +-=A a =例2、在ABC ∆中， ,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，已知3,3c C π=∠=.（Ⅰ）若sin 2sin B A =，求,a b 的值；（Ⅱ）求22a b +的最大值.巩固练习1.在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为2.在C ∆AB 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin 2sin cos 0B A C +=，则当cos B 取最小值时，c a =（ ） C.2 3、在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，已知tan tan 2(tan tan )cos cos A B A B B A +=+ （1）证明：2a b c += ；（2）求cos C 的最小值.4、在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos 2c A a b +=.（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若2a b +=，当边c 取最小值时，求ABC ∆的面积.5、在ΔABC 中，a,b,c 分别为内角A,B,C 的对边，若a +c =4，2sinB =sinA +sinC ，则ΔABC 的面积的最大值为（ ）A ．√3B ．2C ．2√3D ．4题型5: 已知角和非对应边，求解范围问题当已知条件为三角形的一角及一非对应边时，求解三角形面积或周长时，把其中一边用正弦定理结合三角形内角和定理将其用角度表示出来，最终把问题转化为含有同一角度的三角函数问题，使用换元思想，化成函数值域问题。