广州市2007~2008学年第二学期高一数学期末测试试卷

2023—2024学年第一学期期末教学质量监测高一数学本试卷共6页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，再用2B 铅笔将考生号、座位号对应的信息点涂黑.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知x ∈R ，则“210x −>”是“1x >”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由一元二次不等式的解法及充分必要条件的定义可得结果. 【详解】由210x −>解得1x >或1x <−，所以当1x >时一定有210x −>成立，反之不一定成立， 所以“210x −>”是“1x >”的必要不充分条件， 故选：B.2. 已知集合{}2210A x axx =−+=只有一个元素，则实数a 的值为（ ）A. 1或0B. 0C. 1D. 1或2【答案】A 【解析】【分析】讨论a ，当0a =时，方程是一次方程，当0a ≠时，二次方程只有一个解，Δ0=，即可求.【详解】若集合{}2210A x axx =−+=只有一个元素，则方程2210ax x −+=只有一个解，当0a =时，方程可化为210x −+=，满足题意，当0a ≠时，方程2210ax x −+=只有一个解，则440a ∆=−=，解得1a =， 所以0a =或1a =. 故选：A . 3. 方程2ln 0x x−=的根所在的区间是（ ） A. (0,1) B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)【答案】C 【解析】【分析】先判断出()2ln f x x x=−在()0,∞+上单调递增，结合零点存在性定理得到结论. 【详解】由于ln y x =在()0,∞+上单调递增，12y x=−在()0,∞+上单调递增，故()2ln f x x x=−在()0,∞+上单调递增， 又()2ln 210f =−<，()223ln 31033f =−>−>， 故方程2ln 0x x−=的根所在的区间是(2,3). 故选：C4. 设ln 0.8a =，0.8e b =，e 0.8c =，则（ ） A. a b c >> B. b c a >> C. c b a >> D. b a c >>【答案】B 【解析】【分析】由指数和对数函数的性质可得a<0，1b >，01c <<.【详解】ln 0.8ln10a =<=，0.80e e 1b =>=，e 000.80.81c <=<=，所以b c a >>. 故选：B . 5. 函数()22x xxf x −=+图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】判断函数的奇偶性，结合函数值的正负情况，以及结合函数特殊值的计算，一一判断各选项，即得答案.【详解】函数()22x xxf x −=+的定义域为R ， 且()()f x f x −=−，故()f x =则函数图象关于原点对称，则B 错误；又0x >时，()022x xxf x −=>+，故C 错误； 又2282161151765(1)(2)(34848)f f f =<=>==++=， 即0x >时，()22x xxf x −=+不是单调函数，D 错误， 结合函数性质和选项可知，只有A 中图象符合题意， 故选：A6. 函数()sin()(0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<在一个周期内的图像如图所示,为了得到函数π()2sin 23g x x=+的图象,只要把函数()f x 的图象上所有的点（ ）A. 向左平移π3个单位长度 B. 向左平移π6个单位长度 C. 向右平移π3个单位长度D. 向右平移π6个单位长度【答案】D 【解析】【分析】由函数的图象的最大值求出A ,由周期求出ω,由五点作图法求出ϕ,从而可得()f x 的解析式.再结合函数sin()yA x ωϕ+的图象平移变换规律即可得出结论.【详解】由函数()sin()(0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图像可得 2.A = 125πππ=, 2.2212122T πωω =×=−−∴= 再根据五点法作图可得π2π2,.1223πϕϕ×−+=∴=()2π2sin 2.3f x x∴=+故把()2π2sin 23f x x =+的图象向右平移π6个单位长度,可得()22sin 22sin 2633y x x g x πππ=−+=+=的图象. 故选：D7. 函数()log (1)log (1)a a f x x x =++−（0a >，1a ≠，x ∈ ），若max min ()()1f x f x −=，则a 的值为（ ）.A. 4B. 4或14C. 2或12 D. 2【答案】C 【解析】【分析】将2()log (1)log (1)log (1)a a a f x x x x =++−=−，利用换元，化为()log a g t t =，分类讨论a 的取值范围，结合函数单调性以及最值的差，列式求解，即得答案.【详解】由题意得2()log (1)log (1)log (1)a a a f x x x x =++−=−，x ∈ ，令21t x =−，则1[,1]2t ∈，则函数2()log (1)a f x x =−，即为()log a g t t =， 当1a >时，()log a g t t =在1[,1]2上单调递增，由max min ()()1f x f x −=可得：1log 1log 1,22a aa −=∴=； 当01a <<时，()log a g t t =在1[,1]2上单调递减，由max min ()()1f x f x −=可得：11log log 11,22aa a −=∴=； 故a 的值为2或12， 故选：C8. 中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，有一种茶90℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感.某研究人员在室温下，每隔1min 测一次茶水温度，得到数据如下： 放置时间/min 0 1 2 3 4 茶水温度/℃90.0084.0078.6273.7569.39为了描述茶水温度y ℃与放置时间min x 的关系，现有以下两种函数模型供选择：①()30R,0<<1,0x y ka k a x =+∈≥，②(,R,0)y mx b m b x =+∈≥.选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）（ ）A. 5.5minB. 6.5minC. 7.5minD. 8.5min【答案】B 【解析】【分析】根据表中数据确定模型，求得解析式，当60y =，求得x 即可. 【详解】由表格中数据可得，茶水温度下降的速度先快后慢，所以选①()30R,0<<1,0xy ka k a x =+∈≥， 则0130903084ka ka += +=即30903084k ka +=+= ，解得60910k a = = ，所以9603010xy =×+ ， 当60y =时，可得91102x=，即9101lg 1lg 2lg 20.3012log 6.5min 92lg 912lg 31120.477lg 10x−−====≈−−−×. 故选：B .二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若a b >，c d >，则a c b d −>− B. 若a b >> C. 若22a b c c >，则a b > D. 若0a b >>，0m >，则a m ab m b+>+ 【答案】BC 【解析】【分析】利用特殊值可判断A ；根据幂函数13y x =的单调性可判断B ；根据不等式的性质可判断C ；利用作差法比较大小可判断D.【详解】对于A ，当2a =，1b =，4c =，1d =时，不满足a c b d −>−，故A 错误；对于B ， 13y x =在R 上单调递增，∴当a b >时，1133a b >>，故B 正确；对于C ，22a b c c>，20c ≠，两边同时乘以2c ，得a b >，故C 正确； 对于D ， 0a b >>，0m >，∴()()()0b a ma m a ab bm ab am b m b b b m b b m −++−−−==<+++， 即a m ab m b+<+，故D 错误. 故选：BC.10. 设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数，例如[2.3]2=.令函数()[]f xx x =−，以下结论正确的有（ ） A. ( 1.7)0.3f −=− B. ()f x 的最大值为0，最小值为1−C. (1)()f x f x −=D. ()y f x =与1y x =−+的图象没有交点 【答案】AC 【解析】【分析】对于A 选项，代入计算出()( 1.7)[ 1.7] 1.7(2) 1.70.3f −=−−−=−+=−；C 选项，根据定义得到(1)[]()f x x x f x −=−+=，C 正确；B 选项，由C 选项得到()f x 的周期为1，并得到当0x =时，(0)0f =，当01x <<时，()(0,1)f x x =−∈，当1x =时，(1)0f =，得到最值；D 选项，画出()y f x =的图象，数形结合得到交点个数.【详解】对于A ，由题意得()( 1.7)[ 1.7] 1.7(2) 1.70.3f −=−−−=−+=−，故A 正确；对于C ，(1)[1](1)([]1)1[]()f x x x x x x x f x −=−−−=−−+=−+=，故C 正确； 对于B ，由选项C 可知，()f x 是周期为1的周期函数， 则当0x =时，(0)[0]00f −，当01x <<时，()[]0(1,0)f x x x x x =−=−=−∈−， 当1x =时，(1)[1]1110f =−=−=，综上，()f x 的值域为(]10−，，即()f x 的最大值为0，无最小值，故B 错误；对于D ，由选项B ，可知()0,0,010,1x f x x x x ==−<< = ，且()f x 的周期为1，作出()y f x =与1y x =−+的图象， 如图所示，由图象可知()y f x =与1y x =−+的图象有无数个交点，故D 错误，故选：AC ．11. 已知函数()tan f x x =，下列命题正确的是（ ） A. 若1()2f x =，则sin cos 15cos sin 3x x x x +=− B.不等式()f x ≥解集是π2 C. 函数2()4()yf x f x =−+，ππ,44x∈−的最小值为5− D. 若π132f x −=，且π02x <<，则πsin 6x +【答案】ACD 【解析】【分析】利用弦化切可判断A ；根据正切函数的图象与性质可判断B ；利用换元法转化为二次函数的最小值问题可判断C ；根据π132f x −=和π02x <<得到ππ033x <−<和cos 3x −π，再利用诱导公式可判断D.【详解】对于A ， 1tan 2x =，∴11sin cos tan 11215cos sin 5tan 352x x x x x x +++===−−−，故A 正确；的对于B，tan x ≥πππ,π32k k ++ ，故B 错误；对于C ，当ππ,44x∈−时，令tan t x =，[]1,1t ∈−， ∴()22424y t t t =−+=−−+，∴当1t =−时，min 5y =−，故C 正确；对于D ，若π02x <<，则πππ633x −<−<，π1032f x −=> ，∴ππ033x <−<，ππ1tan 332f x x −=−=，且22ππsin cos 133x x −+−= ，解得πcos 3x −，∴ππππsin sin cos 6233x x x +=−−=−=. 故选：ACD12. 已知函数()()22, 2,ax x af x x x a−+≥ = − ，则下列结论正确的是（ ） A. 当0a =时，()f x 的最小值为0B. 若()f x 存在最小值，则a 的取值范围为(,0]−∞C. 若()f x 是减函数，则a 的取值范围为(0,2]D. 若()f x 存在零点，则a的取值范围为((,(2,)−∞+∞【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项画出草图即可；B 选项算出左右两侧函数的最值比大小即可；C 选项判断左右两侧函数的增减性即可，D 选项分四种情况讨论即可解答. 【详解】对于A 选项：当0a =时，()()22,02,0x f x x x ≥ = −< 的图像如下：故此时，min 2f =.故A 选项不对. 对于B 选项：当(,0]a ∈−∞时，()()22,2,ax x af x x x a−+≥ = −< 当2x a <<时，()()22f x x =−单减，此时()()2min 2f f a a ==−，当x a ≥时，()002a a f x ax ≤⇒−≥⇒=−+单调增，故()2min 2f f a a ==−+， 因为()2210a −>；所以22420a a −+>；所以22442a a a +−>−+； 即()2222a a −>−+；当(,0]a ∈−∞时，()f x 的最小值为：()22,0a a −+≤.故B 选项正确. 对于C 选项：当02a <≤时，x a <时，()()22f x x =−单减，此时()2f x ax =−+的斜率为负，故此当x a ≥时，()f x 单减， 故C 选项正确.对于D 选项：此时要对a 分类讨论；分类讨论一：当2a >时，()f x 一定有零点2x =； 分类讨论二：当0a =时，由A 选项可知此时无零点； 分类讨论三：当02a <≤时，当x a <时，()()()220,f x f a a >=−>此时左区段无零点；当x a ≥时，函数右区段表达式为()2f x ax =−+，此时直线单减， 故()2max 20f f a a ==−+≥才会有零点；解不等式22202a a a −+≥⇒≤⇒≤≤.a ≤≤与02a <≤取交集有：0a <≤；分类讨论四：当a<0时，由B 选项的讨论过程可知：此时函数图像左区段单减，左区段单增；因为2x =不在左区段的定义域内，故()()()22,f x x x a =−<区段上无零点；要使()f x 存在零点，则零点必在右区段上； 即右区段的最小值必然小于等零，即()22min 202f f a a a ==−+≤⇒≥即a ≥a ≤上式再与a<0取交集有：a ≤综上所述：若()f x 存在零点，则a 的取值范围为((,(2,)∞∞−∪∪+.故D 选项正确.故选：BCD. 三、填空题：本题共45分，共20分. 13. 2328log 32ln1++=__________. 【答案】9【解析】【分析】根据指数以及对数的运算法则，即可求得答案. 【详解】223533228log 32ln12log 2ln1×++=++4509=++=，故答案为：914. 已知幂函数()y f x =的图象过点(，则12f =__________.【解析】【分析】根据幂函数的定义分析求解.【详解】设幂函数(),αα=∈f x x R ，由题意可得：1222α=，解得12α=， 则()12f x x ==，所以12= f .15. 已知函数2()log (1)f x x =+，若1a b −<<，且()()f a f b =，则2a b ++的取值范围是__________.【答案】(2,)+∞【解析】 【分析】去绝对值，结合对数运算及对勾函数的单调性即可求解. 【详解】函数2()log (1)f x x =+，当0x ≥时，2()log (1)=+f x x ，当10x −<<时，2()log (1)f x x =−+， 则()f x 在(1,)+∞单调递增，在(1,0)−单调递减，故10a −<<，0b >，由()()f a f b =，则22log (1)log (1)a b +=+，即22log (1)log (1)a b −+=+，所以2log (1)(1)0a b ++=， 即(1)(1)1a b ++=，则111b a +=+， 所以12(1)(1)(1)(1)a b a b a a ++=+++=+++， 令1x a =+，则01x <<， 则设函数1()g x x x=+， 任取12,(0,1)x x ∈，不妨设1201x x <<<，因为()()12121211g x g x x x x x −=+−−()()1212121x x x x x x −−=，当1201x x <<<，所以120x x −<，120x x >，1210x x −<，所以()()12121210x x x x x x −−>，所以()()120g x g x −>，即()()12g x g x >，所以()g x 在区间(0,1)上单调递减．则当1x →时， (1)2f →，当x →+∞时，()f x →+∞，故2a b ++的取值范围是(2,)+∞故答案为：()2,+∞ 16. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，满足：()()2112120x f x x f x x x −>−，若(2)4f =，则不等式()20f x x −≤的解集为__________. 【答案】(](]0,2,2−∞−【解析】【分析】先得到()()f x g x x =在()0,∞+上单调递增，且()()f x g x x =为偶函数，故()()f x g x x =在(),0∞−上单调递减，分0x >与0x <两种情况，结合(2)4f =，得到不等式的解集.【详解】不妨设120x x >>，由()()2112120x f x x f x x x −>−得()()21120x f x x f x −>， 即()()()()12211212f x f x x f x x f x x x >⇒>， 故()()f xg x x=在()0,∞+上单调递增， 因为()f x 为R 上的奇函数，所以()()f x f x −=−， ()()f x g x x =的定义域为()(),00,∞−+∞ ，且()()()()f x f x g x g x x x−−−===−−， 故()()f x g x x =为偶函数，()()f x g x x=在(),0∞−上单调递减，当0x >时，()()()2022f x f x x f x x x−≤⇒≤⇒≤， 因为()24f =，所以()()2222f g ==，故()()22f x x f ≤， 即()()2g x g ≤，解得02x <≤，当0x <时，()()()2022f x f x x f x x x−≤⇒≤⇒≥， 因为()22g =，所以()22g −=，故()()2g x g ≥−， 解得2x ≤−，故不等式的解集为(](]0,2,2−∞− .故答案为：(](]0,2,2−∞−四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 若角θ的终边经过点()1,02P m m −>，且sin θ=. （1）求m ； （2）求()()πcos tan π2sin πθθθ +++−的值. 【答案】（1（2）1+【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义直接求解即可；（2）利用诱导公式化简，然后求值即可.【小问1详解】角θ的终边经过点1,(0)2P m m −>，∴sin θ=，∴m =； 【小问2详解】由（1）知角θ的终边经过点12P − ，∴sin θ==，tan θ==， ∴()()πcos tan πsin tan 21sin πsin θθθθθθ +++ −+ ==+−−18. 设全集为R ，集合{}2560A x x x =−−>，{}121B x a x a =+<<−（1）若4a =，求A B ∪，A B ∩R ；（2）若()A B =∅R ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}15A B x x x ∪=−或；{}=17A B x x x ∩<−≥R 或（2）(][),25,−∞∪+∞【解析】【分析】（1）求出集合A ，B ，再利用交并补运算求解即可；（2）讨论B =∅和B ≠∅. 【小问1详解】 {}{}256016A x x x x x x =−−>=−或， 当4a =时，{}57Bx x =<<，{}=57B x x x ≤≥R 或 ， ∴{}15A B x x x ∪=−或，{}=17A B x x x ∩<−≥R 或 ； 【小问2详解】{}=16A x x −≤≤R ，当B =∅时，121a a +≥−，即2a ≤，符合()A B =∅R ； 当B ≠∅时，121,16,a a a +<− +≥ 或121,211,a a a +<− −≤−解得5a ≥，综上2a ≤或5a ≥.∴实数a 的取值范围为(][),25,−∞∪+∞.19. 已知函数2()121x a f x =+−为奇函数. （1）求a 的值；（2）判断函数()f x 在(0,)+∞内的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论.【答案】（1）1a =（2）函数()f x 在(0,)+∞内单调递减，证明见解析【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义()()f x f x −=−，通过变形即可求解； （2）任取120x x <<，可证()()120f x f x −>，从而得出结论.【小问1详解】函数的定义域为()(),00,∞−+∞ ，由()()f x f x −=−得22112121x x a a − +=−+ −−，整理可得1a =； 【小问2详解】 函数()f x 在(0,)+∞内单调递减；证明如下：由（1）知2()121x f x =+-， 在()0,∞+上任取1x ，2x ，且12x x <，()()()()()()()()()2121121212122212212222211212121212121x x x x x x x x x x f x f x −−−−−=+−−==−−−−−−， 由120x x <<，得1210x −>，2210x −>，21220x x −>，所以()()120f x f x −>，即()()12f x f x >，所以函数2()121x f x =+-在()0,∞+内单调递减. 20. 已知函数π()2sin 23f x x=− ，x ∈R . （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()()g x f x m =−在区间π0,2上有两个零点，求m 的取值范围. （3）若函数π()()()6h x f x k x k=−−∈R 有且仅有3个零点，求所有零点之和. 【答案】（1）()π5ππ,πZ 1212k k k−+∈（2）m ∈ （3）π2【解析】【分析】（1）根据正弦函数的单调增区间即可得出答案；（2）由题可知()f x m =在区间π0,2内有两个相异的实根，即()y f x =图像与y m =的图像有两个不同的交点结合图像可得结果. （3）π6y k x=− 关于π,06 成中心对称，而π()2sin 23f x x =− 关于π,06成中心对称，设三个零点为123,,x x x ，则13ππ,266x x x +==，即可得出答案. 【小问1详解】 由()πππ2π22πZ 232k x k k −≤−≤+∈，得()π5πππZ 1212k x k k −≤≤+∈. 故函数()f x 的单调递增区间为：()π5ππ,πZ 1212k k k −+∈【小问2详解】 若函数()()g x f x m =−在区间π0,2上有两个零点， 令()0g x =，即()y f x =与y m =在区间π0,2上有两个交点， 令π23t x =−，由π0,2x ∈ ，则ππ2π2,333x −∈− ， 即sin y t =与y m =在区间π2π,33 −上有两个交点，画出sin y t =与y m =在区间π2π,33 −上的图象，如下：由图可知：m ∈. 【小问3详解】 函数π()()()6h x f x k x k=−−∈R 有且仅有3个零点， 因为π6y k x=− 关于π,06成中心对称， 而π()2sin 23f x x =−关于π,06 成中心对称， 设三个零点为123,,x x x ，则132ππ,266x x x +==， 所以所有零点之和πππ2662+×=. 21. 某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量x 吨与年促销费用t 万元之间满足函数关系式22k x t =−+（k 为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完.（1）求k 值；（2）将下一年的利润y （万元）表示为促销费t （万元）的函数；（3）该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？（注：利润=销售收入−生产成本−促销费，生产成本=固定费用+生产费用）【答案】（1）=2k（2）()321670222y t t t =−−+≥+ （3）该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为26.5万元.【解析】【分析】（1）依题意当=0t 时，=1x 代入计算可得；（2）依题意求出当年生产x 吨时，求出年生产成本和为年销售收入，从而可表示出食品的利润；（3）由（2）可得32269222t y t + =−++ + ，利用基本不等式计算可得. 小问1详解】 由题意可知，当=0t 时，=1x ，所以122k =−，解得=2k ； 小问2详解】由于=2k ，故222x t =−+， 由题意知，当年生产x 吨时，年生产成本为：232332232x t+=−+ +， 当销售x 吨时，年销售收入为：3213223222t t −++ + ， 由题意，3212322332232222y t t t t =−++−−+− ++ ， 即()321670222y t t t =−−+≥+. 【小问3详解】 由（2）知：()321670222y t t t =−−+≥+， 即3226932269222222t t y t t ++ =−−+=−++ ++6926.52≤−=， 当且仅当32222t t +=+，又22t +≥，即6t =时，等号成立. 此时，max 26.5y =该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为26.5万元.【【.22. 已知函数π()2sin()(0,||)2f x x ωϕωϕ=+><图象的对称轴与对称中心之间的最小距离为π4，且满足ππ()()1212f x f x +=−−. （1）求()f x 的解析式； （2）已知函数2()23h x tx x =++，若有且只有一个实数a ，对于1ππ[,]123x ∀∈，2[0,2]x ∃∈，使得21)()(2h x a f x =−，求实数t 的值.【答案】（1）π()2sin(2)6f x x =−；（2）12−. 【解析】【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图求出,ωϕ即可. （2）求出函数()f x 在ππ[,]123上的值域，再根据给定条件，借助集合的包含关系分类讨论求解. 【小问1详解】依题意，函数()f x 的周期π4π4T =×=，则2π2Tω==， 由ππ()()1212f x f x +=−−，得函数()f x 图象的一个对称中心为π(,0)12， 即有π2π,Z 12k k ϕ×+=∈，而π||2ϕ<，则π0,6k ϕ==−， 所以()f x 的解析式为π()2sin(2)6f x x =−. 【小问2详解】 由（1）知，π()2sin(2)6f x x =−，当ππ[,]123x ∈时，ππ2[0,]62x −∈， 因此()f x 在ππ[,]123上单调递增，函数值集合为[0,2]，2()a f x −值域为[22,2]a a −， 由有且只有一个实数a ，对于1ππ[,]123x ∀∈，2[0,2]x ∃∈，使得21)()(2h x a f x =−， 得函数()h x 在[0,2]上的值域包含[22,2]a a −，并且实数a 唯一， 当0t ≥时，函数2()23h x tx x =++在[0,2]上单调递增，()h x 的值域为[3,47]t +，由[22,2][3,47]a a t −⊆+，得223247a a t −≥ ≤+ ，解得57222a t ≤≤+，显然符合条件的实数a 不唯一；第21页/共21页当0t <时，函数()h x 的图象对称轴为1x t =−， 当12t −≥，即102t −≤<时，()h x 在[0,2]上单调递增，()h x 的值域为[3,47]t +， 于是223247a a t −≥ ≤+ ，解得52722a a t ≥ ≤+ ，显然57222t ≤+，当且仅当12t =−时，52a =且唯一，因此12t =−； 当102t <−<，即21t <−时，max 11()()3h x h t t =−=−，(0)3h =，(2)47h t =+， 当()0h 是最小值时，而1133(0,2)t t −−=−∈，不满足函数()h x 在[0,2]上的值域包含[22,2]a a −，则()0h 不是最小值， 必有13(47)2t t −−+≥，得t ≤，于是1232247a t a t ≤− −≥+ ，解得3122922a t a t ≤− ≥+，当t =时，31322t −=9232t +=−3a =且唯一，并且当t <时，9312222t t +<−，9312222t a t +≤≤−，实数a不唯一，因此t = 所以实数t的值是t =12t =−. 【点睛】结论点睛：函数()[],,y f x x a b ∈，()[],,y g x x c d ∈，若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．。

2022-2023学年高一下学期期中考前必刷卷数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．测试范围：必修第二册第6、7、8章。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，第1~8题只有一项符合题目要求，第9~12题有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

1．在ABC 中，点D 是线段BC (不包括端点)上的动点，若=+AB xAC y AD ，则（）A ．1x >B ．1y >C ．1x y +>D ．1xy >2．欧拉公式i s co in s i x e x x +=(i )是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，i 3e π表示的复数位于复平面中的（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量()()1,,,2a k b k →→==，若a →与b →方向相同，则k 等于（）A ．1B ．C ．D4．ABC 中，若1,2,30a c B ︒===，则ABC 的面积为（）A ．12B ．2C ．1D 5．设复数z 满足|2|1z i -=，在复平面内z 对应的点到原点距离的最大值是（）A ．1BC D ．36．已知在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π3A =，则222b c a +的取值范围是（）A ．5,34⎛⎤⎥⎝⎦B ．(]0,3C ．5,24⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．5,23⎛⎤ ⎥⎝⎦7．已知在ABC 中，2B A =，ACB ∠的平分线CD 把三角形分成面积比为4:3的两部分，则cos A =（）A ．3B ．3C ．13D ．238．设O 为ABC 所在平面内一点，满足2730OA OB OC --=，则ABC 的面积与BOC 的面积的比值为（）A ．2.5B ．3C ．3.5D ．49．已知复数122z i =-，则下列结论正确的有（）A ．1z z ⋅=B ．2z z=C ．31z =-D ．2020122z i =-+10．下列命题中正确的是：（）A ．两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+ ，则a 与b 共线且反向B ．已知0c ≠ ，且a c b c ⋅=⋅ ，则a b=C ．若()3,4OA =- ，()6,3OB =- ，()5,3OC m m =---，ABC ∠为锐角，则实数m 的取值范围是34m >-D ．若非零a ，b 满足a b a b ==- ，则a 与a b +的夹角是30︒11．如图所示设,Ox Oy 是平面内相交成2πθθ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭角的两条数轴，12,e e 分别是与x ，y 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy 为θ反射坐标系，若12OM xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量OM 的反射坐标，记为(),OM x y = ．在23πθ=的反射坐标系中，()()12,21a b ==- ，，．则下列结论中，正确的是（）A ．()1,3a b -=-B ．a =C ．a b⊥D ．a 在b 上的投影向量为714- 12．在南方不少地区，经常看到一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽关于此斗笠，下列说法正确的是（）A ．斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为120︒B ．过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为平方厘米C ．若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为1600π平方厘米二、填空题：本题共4小题，共2013．若点A (－2，0)，B (3，4)，C (2，a )共线，则a ＝________.14．在四边形ABCD 中，(1,2)AC = ，(4,2)BD =-，则该四边形的面积为________15．如图，在四面体A BCD -中，AC BD a ==，AC 与BD 所成的角为60°，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则线段MN 的长为______．16．如图，在ABC 中，已知2AB =，6AC =，60BAC ∠=︒，2BC BM =，3AC AN =，线段AM ，BN 相交于点P ，则MPN ∠的余弦值为___________.三、解答题：本题共6小题，共70分。

2007学年度第一学期高一数学期末考试试题2008年1月完卷时间为90分钟，答案请写在答题纸上一、填空题(每小题3分，共33分)1、若集合A ={x |2x –5>0}，集合B ={x | x 2–2x –3<0}，则集合A ∩B = 。

2、不等式的122+-x x <0的解集是 。

3、函数f (x )=112-+x x (x ≠1)的反函数是=-)(1x f 。

4、函数x y 3log=的定义域是 。

5、方程442log =x 的解为 。

6、已知lg2=m ，则lg25= 。

(用含m 的代数式表示)7、若x >0，y >0，且41=xy ，则yx11+的最小值是___________。

8、设集合A ={x | |x –a |<2}，B ={y | y= –x –1，–4<x <1}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围 。

9、已知集合{关于x 的方程ax 2 +2x+1=0的解}只含有一个元素，则实数a 的值为_____。

10、指数函数y=(a 2 –1)x 在R 上为单调递减函数，则实数a 的取值范围是 。

11、试构造一个函数f (x )，x ∈D ，使得对一切x ∈D 有|f (–x )| = |f (x )|恒成立，但是f (x )既不是奇函数又不是偶函数，则()x f 可以是 。

二、选择题(每小题3分，共12分)12、a >1且b >1是log a b >0的 ( ) (A )仅充分条件 (B )仅必要条件 (C )充要条件 (D )既非充分也非必要条13、函数y=x+a 与y=log a x 的图像可能是 ( )14、下列函数中值域为+R 的是 ( )x(A ) y = x 3 (B ) y= x –2 (C ) y=x –1(D ) y=x15、由不全相等的正数),,2,1(n i x i =形成n 个数：,1,,1,113221nn x x x x x x +++-,11x x n +关于这n 个数，下列说法正确的是 ( )(A ) 这n 个数都不大于2 (B ) 这n 个数都不小于2 (C ) 至多有1-n 个数不小于2 (D ) 至多有1-n 个数不大于2 三、解答题(本大题要求写出解题步骤，共55分)16、(本题8分)已知点A (10,1)在函数f (x )=log a x 上。

人教版高一下册期末测试精选（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设,m n 为两条不同的直线，,,αβγ为三个不重合平面，则下列结论正确的是( ) A ．若m αP ，n αP ，则m n P B ．若m α⊥，m n P ，则n α⊥ C ．若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥D ．若m α⊥，αβ⊥，则m βP【来源】广西柳州市铁一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】B2．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABC ，ABC ∆中，32BA BC AC ===，2PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为( )A ．B ．22πC ．12πD ．20π【来源】广西柳州市铁一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】B3．直线10x -+=的倾斜角为（ ） A ．3π B ．6π C ．23π D ．56π 【来源】山西省康杰中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学（文)试题 【答案】B4．鲁班锁是中国古代传统土木建筑中常用的固定结合器，也是广泛流传于中国民间的智力玩具，它起源于古代中国建筑首创的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，外观看上去是严丝合缝的十字几何体，其上下､左右､前后完全对称，十分巧妙.鲁班锁的种类各式各样，其中以最常见的六根和九根的鲁班锁最为著名.九根的鲁班锁由如图所示的九根木榫拼成，每根木榫都是由一根正四棱柱状的木条挖一些凹槽而成.若九根正四棱柱底面边长均为1，其中六根最短条的高均为3，三根长条的高均为5，现将拼好的鲁班锁放进一个球形容器内，使鲁班锁最高的三个正四棱柱形木榫的上､下底面顶点分别在球面上，则该球形容器的表面积(容器壁的厚度忽略不计)的最小值为（ ）A ．24πB ．25πC ．26πD ．27π【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】D 5．函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．【来源】湖南省邵阳市邵东县创新实验学校2019-2020学年高一上学期期中数学试题 【答案】C6．一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是( )A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱【来源】北京市西城区2018年1月高三期末考试文科数学试题 【答案】B7．已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，若OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（ ）A ．B ．2C ．D 【来源】西藏自治区拉萨中学2018届高三第七次月考数学（文)试题 【答案】D8．如果直线l 上的一点A 沿x 轴在正方向平移1个单位，再沿y 轴负方向平移3个单位后，又回到直线l 上，则l 的斜率是（ ） A ．3 B ．13C ．-3D ．−13【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】C9．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为1的正方形，则原平面四边形的面积等于（ ） A ．√2 B ．2√2 C ．8√23D ．8√2【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】B10．直线y =kx +3与圆(x −2)2+(y −3)2=4相交于M,N 两点，若|MN|≥2，则k 的取值范围是（ ）A ．[−√3,√3]B ．(−∞,−√3]∪[√3,+∞)C ．[−√33,√33] D ．[−23,0]【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】A11．已知点P(2,1)在圆C:x 2+y 2+ax −2y +b =0上，点P 关于直线x +y −1=0的对称点也在圆C 上，则实数a,b 的值为（ ）A ．a =−3,b =3B ．a =0,b =−3C ．a =−1,b =−1D ．a =−2,b =1 【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】B12．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为() A ．27πB ．36πC ．54πD ．81π【来源】山西省2019-2020学年高二上学期10月联合考试数学（理)试题 【答案】B13．在三棱锥A BCD -中，AD CD ⊥，2AB BC ==，AD =CD =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．8πB ．9πC ．10πD ．12π【来源】辽宁省辽阳市2019-2020学年高三上学期期末考试数学（文)试题 【答案】A14．直线()2140x m y +++=与直线 320mx y +-=平行，则m =（ ） A ．2B ．2或3-C ．3-D ．2-或3-【来源】江苏省南京市六校联合体2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】B15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是为1BC ，1CD 的中点，则下列判断错误的是（ ）A ．MN 与1CC 垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行 D ．MN 与11A B 平行【来源】2015届福建省三明市一中高三上学期半期考试理科数学试卷（带解析) 【答案】D16． (2017·黄冈质检)如图，在棱长均为2的正四棱锥P －ABCD 中，点E 为PC 的中点，则下列命题正确的是( )A ．BE ∥平面PAD ，且BE 到平面PADB ．BE ∥平面PAD ，且BE 到平面PAD 的距离为3C ．BE 与平面PAD 不平行，且BE 与平面PAD 所成的角大于30° D ．BE 与平面PAD 不平行，且BE 与平面PAD 所成的角小于30°【来源】2014-2015学年湖北省安陆市一中高一下学期期末复习数学试卷（带解析)【答案】D17．如图，在直角梯形ABCD 中，0190,//,12A AD BC AD AB BC ∠====，将ABD ∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD .在四面体A BCD -中，下列说法正确的是( )A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ACD ⊥平面ABC C ．平面ABC ⊥平面BCDD ．平面ACD ⊥平面BCD【来源】湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题 【答案】B18．已知直线l ：()y t k x t -=-()2t >与圆O ：224x y +=有交点，若k 的最大值和最小值分别是,M m ，则log log t t M m +的值为( ) A ．1B ．0C ．1-D ．222log 4t t t ⎛⎫⎪-⎝⎭【来源】福建省三明市2019-2020学年高二上学期期末数学试题 【答案】B19．若x 2+y 2–x +y –m =0表示一个圆的方程，则m 的取值范围是 A ．m >−12 B ．m ≥−12 C ．m <−12D ．m >–2【来源】2018年12月9日——《每日一题》高一 人教必修2-每周一测 【答案】A20．如图所示，直线PA 垂直于⊙O 所在的平面，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，点M 为线段PB 的中点．现有结论：①BC ⊥PC ；②OM ∥平面APC ；③点B 到平面PAC 的距离等于线段BC 的长．其中正确的是( )A ．①②B ．①②③C ．①D ．②③【来源】二轮复习 专题12 空间的平行与垂直 押题专练 【答案】B二、多选题21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，5AB =，4=AD ，13AA =，以直线DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则( )A ．点1B 的坐标为()4,5,3B ．点1C 关于点B 对称的点为()5,8,3- C ．点A 关于直线1BD 对称的点为()0,5,3 D ．点C 关于平面11ABB A 对称的点为()8,5,0【来源】福建省三明市2019-2020学年高二上学期期末数学试题 【答案】ACD三、填空题22．若直线:l y x m =+上存在满足以下条件的点P :过点P 作圆22:1O x y +=的两条切线(切点分别为,A B ),四边形PAOB 的面积等于3，则实数m 的取值范围是_______ 【来源】福建省厦门市2018-2019学年度第二学期高一年级期末数学试题【答案】-⎡⎣23．点E 、F 、G 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ,BC ,11B C 的中点,则下列命题中的真命题是__________（写出所有真命题的序号）.①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面中最多可以四个面都是直角三角形; ②点P 在直线FG 上运动时,总有AP DE ⊥;③点Q 在直线11B C 上运动时,三棱锥1A D QC -的体积是定值;④若M 是正方体的面1111D C B A ,（含边界）内一动点,且点M 到点D 和1C 的距离相等,则点M 的轨迹是一条线段.【来源】湖北省武汉市（第十五中学、十七中学、常青一中)2019-2020学年高二上学期期末数学试题 【答案】①②④24．如图，M ､N 分别是边长为1的正方形ABCD 的边BC ､CD 的中点，将正方形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，有以下结论:①异面直线AC 与BD 所成的角为定值. ②存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直.③存在某个位置，使得直线MN 与平面ABC 所成的角为45°.④三棱锥M -ACN 体积的最大值为48. 以上所有正确结论的序号是__________.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】①③④25．已知两点(2,0)M -，(2,0)N ，若以线段MN 为直径的圆与直线430x y a -+=有公共点，则实数a 的取值范围是___________.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】[]10,10-26．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为点M 是棱BC 的中点，点P在底面ABCD 内，点Q 在线段11A C 上，若1PM =，则PQ 长度的最小值为_____.【来源】北京市海淀区2018届高三第一学期期末理科数学试题27．某几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积为__________．【来源】黄金30题系列 高一年级数学（必修一 必修二) 小题好拿分 【答案】20328．设直线3450x y +-=与圆221:9C x y +=交于A ， B 两点，若2C 的圆心在线段AB 上，且圆2C 与圆1C 相切，切点在圆1C 的劣弧AB 上，则圆2C 半径的最大值是__________.【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】229．已知直线240x my ++=与圆22(1)(2)9x y ++-=的两个交点关于直线0nx y n +-=对称，则m n -=_______.【来源】辽宁省辽阳市2019-2020学年高二上学期期末数学试题 【答案】3- 30．给出下列命题： ①任意三点确定一个平面；②三条平行直线最多可以确定三个个平面；③不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行； ④一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行； 其中说法正确的有_____（填序号）.【来源】河南省三门峡市2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】②③31．设直线2y x a =+与圆22220x y ay +--=相交于A ，B 两点，若||AB =，则a =________【来源】吉林省吉林市吉化第一高级中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】四、解答题32．已知圆C 的一般方程为22240x y x y m +--+=. (1)求m 的取值范围;(2)若圆C 与直线240x y +-=相交于,M N 两点，且OM ON ⊥(O 为坐标原点)，求以MN 为直径的圆的方程.【来源】广西柳州市铁一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】(1)5m <;(2)224816555x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 33．如图4，¼AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为»AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FC ⊥平面BED ，FB .（1）证明：EB FD ⊥； （2）求点B 到平面FED 的距离.【来源】2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷)文科数学全解全析 【答案】（1）证明见解析（2）d =34．已知圆的方程为228x y +=，圆内有一点0(1,2)P -，AB 为过点0P 且倾斜角为α的弦．（1）当135α=︒时，求AB 的长；（2）当弦AB 被点0P 平分时，写出直线AB 的方程． 【来源】2019年12月14日《每日一题》必修2-周末培优【答案】（1（2）250x y -+=．35．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =，M 是AC 与BD 的交点.求证：(1)1//D M 平面11A C B (2)求1BC 与1D M 的所成角的正弦值.【来源】广西柳州市铁一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】(1)见解析；(2)1036．如图所示,直角梯形ABCD 中,AD BC ∥,AD AB ⊥,22AE AB BC AD ====,四边形EDCF 为矩形,CF =（1）求证:平面ECF ⊥平面ABCD ;（2）在线段DF 上是否存在点P ,使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为10,若存在,求出线段BP 的长,若不存在,请说明理由.【来源】湖北省武汉市（第十五中学、十七中学、常青一中)2019-2020学年高二上学期期末数学试题【答案】（1）见解析；（237．已知圆C 的圆心在直线390x y --=上，且圆C 与x 轴交于两点(50)A ，，0(1)B ，. （1）求圆C 的方程；（2）已知圆M :221(1)12x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，设(,)P m n 为坐标平面上一点，且满足:存在过点(,)P m n 且互相垂直的直线1l 和2l 有无数对，它们分别与圆C 和圆M 相交，且圆心C 到直线1l 的距离是圆心M 到直线2l 的距离的2倍，试求所有满足条件的点(,)P m n 的坐标【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）22(3)4x y -+=（2）79,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或31,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 38．如图，四棱锥S -ABCD 的底面是边长为2的正方形，每条侧棱的长都是底面边长P 为侧棱SD 上的点.（1）求证:AC ⊥SD ；（2）若SD ⊥平面PAC ，求二面角P -AC -D 的大小.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）证明见解析（2）30°39．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，侧棱1AA =E ，F 分别是BC ，1CC 的中点.（1）求证:1//BC 平面AEF ；（2）求异面直线AE 与1A B 所成角的大小.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）证明见解析（2）45°40．已知直线1:2l y x =-+，直线2l 经过点(40)，，且12l l ⊥.（1）求直线2l 的方程；（2）记1l 与y 轴相交于点A ，2l 与y 轴相交于点B ，1l 与2l 相交于点C ，求ABC V 的面积.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）40x y --=（2）941．已知曲线x 2+y 2+2x −6y +1=0上有两点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)关于直线x +my +4=0对称，且满足x 1x 2+y 1y 2=0．（1）求m 的值；（2）求直线PQ 的方程．【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析)【答案】（1）m =−1；（2）y =−x +1.42．如图，边长为4的正方形ABCD 与矩形ABEF 所在平面互相垂直，,M N 分别为,AE BC 的中点，3AF =．（1）求证：DA ⊥平面ABEF ；（2）求证：//MN 平面CDEF ；（3）在线段FE 上是否存在一点P ，使得AP MN ⊥？若存在，求出FP 的长；若不存在，请说明理由．【来源】2014届北京市东城区高三上学期期末统一检测文科数学试卷（带解析)【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）存在，94FP = 43．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的菱形，且60BAD ︒∠=，PD ⊥平面ABCD ，,E F 分别为棱,AB PD 的中点.（1）证明：//EF 平面PBC .（2）若四棱锥P ABCD -的体积为A 到平面PBC 的距离.【来源】湖南省娄底市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）证明见详解；（2.44．已知圆22:6200C x y y +--+=.（1）过点的直线l 被圆C 截得的弦长为4，求直线l 的方程；（2）已知圆M 的圆心在直线y x =-上，且与圆C 外切于点，求圆M 的方程.【来源】湖南省娄底市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）x =0x +-=；（2）224x y +=.45．已知ABC V 的顶点坐标分别为()1,2A ，()2,1B --，()2,3C -．（1）求BC 边上的中线所在的直线的方程；（2）若直线l 过点B ，且与直线AC 平行，求直线l 的方程．【来源】四川省凉山彝族自治州西昌市2019-2020学年高二上学期期中数学（理)试题【答案】（1）420x y --=；（2）5110x y ++=46．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，090BAP CDP ∠=∠=，E 为PC 中点,（1）求证：//AP 平面EBD ；（2）若PAD ∆是正三角形，且PA AB =.(Ⅰ)当点M 在线段PA 上什么位置时，有DM ⊥平面PAB ？(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，点N 在线段PB 上什么位置时，有平面DMN ⊥平面PBC ？【来源】湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题【答案】（1）详见解析；（2）(Ⅰ) 点M 在线段PA 中点时；(Ⅱ) 当14PN PB =时. 47．已知点P 是圆22:(3)4C x y -+=上的动点，点(3,0)A - ，M 是线段AP 的中点（1）求点M 的轨迹方程；（2）若点M 的轨迹与直线:20l x y n -+=交于,E F 两点，且OE OF ⊥，求n 的值.【来源】湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题【答案】（1）221x y +=；（2）n =. 48．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，AC BD O =I ，22AO OC ==，PA PB AB ===AC PB ⊥.(1)证明：平面PBD ⊥平面ABCD ；(2)求二面角A PD B --的余弦值.【来源】福建省三明市2019-2020学年高二上学期期末数学试题【答案】(1)证明见解析；49．若圆C 经过点3(2,)A -和(2,5)B --，且圆心C 在直线230x y --=上，求圆C 的方程.【来源】2010年南安一中高二下学期期末考试（理科)数学卷【答案】22(1)(2)10x y +++=50．如图，已知矩形ABCD 中，10AB =，6BC =，将矩形沿对角线BD 把ABD ∆折起，使A 移到1A 点，且1A 在平面BCD 上的射影O 恰在CD 上，即1A O ⊥平面DBC .（1）求证：1BC A D ⊥；（2）求证：平面1A BC ⊥平面1A BD ；（3）求点C 到平面1A BD 的距离.【来源】吉林省吉林市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）245。

暨阳高级中学2007～2008学年第一学期高一年级期中考试数学试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟；命题人：缪蔚斌 校对人：倪伟华一、填空题：（共80分，每题5分）1．设集合{}{}{}2,1,0,1,2,1,2,2,1,2I A B =--==--，则I A C B = 。

2．已知函数21,0(),0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩，则[(2)]f f -的值为 。

3．若()()1122132a a +<-，则实数a 的取值范围为 。

4．设3log 17a<，则实数a 的取值范围 。

5．已知函数()y f x =在定义域()1,1-上是单调减函数且(1)(21),f a f a -<-则实数a 的取值范围为 。

6．设()lg f x x =，若0a b c <<<且()()()f a f c f b >>，则下列关系①1ac a c +>+，②1a c a c +<+，③1a c a c +=+，④1ac <中正确的是 。

7．根据表格中的数据，可以判定方程e x-x-2=0的一个根所在的区间为 。

8．设:21f x x →-为从集合A 到B 的映射，其中{1,3,5},B =-写出一个符合题意的集合A = 。

9．函数()lg(2)1f x x x =+-的图象与x 轴交点的个数 。

10．函数33x y a -=+恒过定点 。

11．函数213()log (32)f x x x =-+-的单调递增区间为 。

12．已知3log 2,a =那么33log 82log 6-用a 表示为 。

13．某产品的总成本y 与产量x 的关系为23000200.1y x x =+-（()0,240x ∈），若每件产品的销售价为25，则企业不亏本的最低产量x 应为___________。

14.幂函数253(1)m y m m x --=--在(0,)x ∈+∞时为减函数，则m 的值为 .15．已知偶函数y= f (x )有四个零点，则方程f (x )=0的所有实数根之和为 。

江苏省如皋，海安2007～2008学年度第二学期期末调研测试高一数学试题(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1．在空间直角坐标系中，线段A B 的端点坐标为A (1，0，2)，B (1，－4，4)，则线段AB的中点坐标为 ▲ ．2．与直线270x y ++=垂直的一条直线的斜率k = ▲ ．3．如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形， 俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为 ▲ ．4．直线x －y －5＝0被圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0所截得的弦的长为 ▲ ． 5． 对于相异三条直线l 、m 、n 和相异两个平面α、β，给出下列四个命题： ①若m ∥l ，n ∥l ，则m ∥n ； ②若m ⊥α ，m ∥β， 则α ⊥β； ③若m ∥α ，n ∥α ，则m ∥n ； ④若m ⊥β ，α ⊥β ，则m ∥α. 其中真命题的序号是 ▲ ．6． 在数列{a n }中，若对n ∈N*，总有a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 12＋a 22＋…＋a n 2= ▲ ． 7． 设M 为平面内以A (4，1)，B (－1，－6)，C (－2，2)三点为顶点的三角形及其内部，当ABCDA 1B 1C 1D 1点(x , y )在区域M 上运动时，4x －y 的最小值是 ▲ ．8． 设△ABC 的内角A 、B 的对边分别为a 、b ，且a ＝4，b＝，A ＝30，则B = ▲ ． 9． 设等差数列{}n a 中，a 8=2000，a 2000=8，则a 2008= ▲ ．10．设m ≠0，则圆2222220x y mx my m +-+-=与圆22286160x y mx my m +--+=的位置关系是 ▲ ．(请填写“内含”、“内切”、“相交”、“外切”、“外离”之一) 11．设0x ≥，则当x = ▲ 时，函数(2)(3)1x x y x ++=+取得最小值．12．若△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等比数列，则B 的取值范围是 ▲ ．13．在△ABC 中，如果sin :sin :sin :(1):(2)A B C n n n =++，其中n *∈N ，那么cos C 的最小值等于 ▲ ．14．一只蚂蚁从棱长为1cm 的正方体的表面上某一点P 处出发，走遍正方体的每个面的中心的最短距离d =f (P ), 那么d 的最大值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形. 求证： (1)平面B 1AC //平面DC 1A 1; (2)平面B 1AC ⊥平面B 1BDD 1.如图，在四边形ABCD 中，BC =20，DC =40,105,60,150ABC BCD ADC ︒︒︒∠=∠=∠=．求:(1)AB ;(2)四边形ABCD 的面积．17．(本小题满分15分)已知无穷等差数列{a n }的前三项依次为11，14，17． (1)该数列有多少项在区间[100, 200]上？并求这些项的和； (2)设82na nb -=，S n 为{b n }的前n 项和，试比较S n 与1的大小．18．(本小题满分15分)过点Q (2,-作圆C ：x 2＋y 2＝r 2(0r >)的切线，切点为D ，且QD ＝4．(1)求r 的值；(2)设P 是圆C 上位于第一象限内的任意一点，过点P 作圆C 的切线l ，且l 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，设OM OA OB =+，求OM 的最小值(O 为坐标原点).19．(本小题满分16分)设函数f (x )的定义域和值域均为[)0,+∞，且对任意x ∈[)0,+∞都成等差数列．又正项数列1{},3,n a a =中 其前n 项和S n 满足*1()().n n S f S n +=∈N(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)133,n na a +是的等比中项，求数列{b n }前n 项的和T n .ABCDADBC已知梯形ABCD , AB ∥CD , AB =a , CD =b , a >b ．现给出端点在两腰上、且与两底边平行的三条线段PQ 、RS 、MN ：①线段PQ 是梯形的中位线；②线段RS 将梯形的面积等分；③线段MN 将梯形分成相似的两个梯形．(1)在图中大致作出三条线段PQ 、RS 、MN ，并由此得出三条线段的大小关系是 ▲ ； (2)证明你的结论；(3)另有一条端点在两腰上、且与两底边平行的线段， 其 长度为1112a b ，请你给出该线段的特征，并证明它与(1)中的三条线段比较，长度最小.高一数学参考答案及评分标准200807一、填空题1．(1，－2，3) 2. 2 3. π4.n-7.－108.60或5. ①②6. 4131209.0 10. 外切11. 112. (π0,3⎤⎥⎦13. 1-14. 5+二、解答题15．(1)因为ABCD－A1B1C1D1是直四棱柱，所以，A1C1//AC，而A1C1⊄平面B1AC，AC⊂平面B1AC，所以A1C1//平面B1AC.…………3分同理，A1D//平面B1AC.…………5分因为A1C1、A1D ⊂平面DC1A1，A1C1A1D ＝A1，所以平面B1AC//平面DC1A1.…………7分(2) 因为ABCD－A1B1C1D1是直四棱柱，所以B1B⊥平面ABCD，…………9分而AC⊂平面ABCD，所以AC⊥B1B.因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD.因为B 1B、BD⊂平面B1BDD1，B1B BD＝B，所以AC⊥平面B1BDD1.…………12分因为AC ⊂平面B 1AC ，故有平面B 1AC ⊥平面B 1BDD 1.…………14分16．(1) 连结BD ，因为105,60,150ABC C ADC ︒︒︒∠=∠=∠=，所以3601056015045A ︒∠=---=，…………2分在BCD ∆中,2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅ 22120402204012002=+-⨯⨯⨯=，于是BD =…………5分因为222BD BC CD +=，所以90CBD ︒∠=，从而1059015,1804515120ABD BDA ∠=-=∠=--=.…………7分在ABD ∆中,sin sin AB BDADB A=∠∠所以sin sin BD ADB AB A ∠==∠…………10分(2)因为6sin15sin(4530)-=-= 所以四边形ABCD 的面积SABCD =S △DBC + S △DBA =112022⨯⨯⨯.…………14分17. 已知等差数列11，14，17，…的通项公式为()113138n a n n =+-=+. …………3分(1)由10038200n ≤+≤，得3164n ≤≤，又n ∈N *, 所以该数列在[100，200]上有34项.…………6分其和()31643417(101200)51172n a a S +==+=．…………9分(2)因为38n a n =+，所以()8312.2n a nn b -== …………11分对任意的正整数n ,112n n b b +=，且112b =， 于是{}n b 是首项和公比均为12的等比数列.…………13分所以()()1112211 1.121nnn S ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦==-<-…………15分18．(1) 圆C ：x 2＋y 2＝r 2(0r >)的圆心为O (0，0)，于是()222225,QO =-+=由题设知，QDO ∆是以D 为直角顶点的直角三角形，故有3.r OD = …………5分(2) 设P (x 0，y 0)(000,0x y >>)，则22009x y +=，且直线l 的方程为009x x y y +=. …………7分令y ＝0，得x ＝09，即09,0A x ⎛⎫⎪⎝⎭，令x ＝0，得y ＝09，即090,B y ⎛⎫⎪⎝⎭.于是OM OA OB =+00009999,00,,x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. …………10分因为000,0x y >>, 且22009x y +=，所以2200009.x y x y +≤= …………12分所以0027276,92OM x y ⎛==≥= …………14分 当且仅当00x y =时取“＝”号.故当P ⎝⎭时，OM 取得最小值6. (15)分19．(1)0)x ≥2 于是2().f x =…………2分因为*1()(),nn S f S n=∈N ＋所以21()n n S f S +==，故…………6分因为113,(S a n ==-，所以2*3().n S n n =∈N…………8分所以*13,36,(6n n n n n a n n S S n nn n n -==⎧⎧===-∈⎨⎨-≥∈-≥∈⎩⎩N N N. …………10分 (2)因为数列133,n na a +的等比中项，所以2133,n na a +=⋅ …………12分于是A ED C FBOAMDCN P Q RS()191111.(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===-+⨯--+ …………14分 故()()()121111111.2335212121n n n T b b b n n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=+++=-+-++-=-++ (16)分20．(1)如图(只要求三条线段的顺序关系正确). …………2分三条线段的大小关系是 MN <PQ <RS ；…………4分 (2)中位线PQ =a b +. …………5分由于梯形ABNM 与梯形MNCD 相似，所以DC MN MN AB=，即MN = (7)分设RS =x ，梯形ABCD 的高=h ，则梯形RSCD 的高=x b h a b --，则1()()2x b x b h a b h a b -+=+-，解之，RS…………9分 2a b +；又()2222()0a b a b a b-++-=>，所以2a b +故MN <PQ <RS ． …………12分(3)设梯形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ， 则端点在两腰上、且与两底边平行并过点O 的线段长为111a b +.如图，设EF 为上述线段，由三角形相似可得 EO DO DO b AB DB DO OB b a ===++，于是ab EO a b=+. 同理可得abOF a b=+，从而2ab EF a b==+111a b +. …………14分因为112a b +，所以EF=1112a b <=+MN ， 而MN <PQ <RS ，故该线段与(1)中的三条线段比较，长度最小. …………16分。

广东省广州市天河区2023-2024学年学年高一下学期期末考试数学试卷一、单选题1．设x ∈R ,向量(),1a x =r ，()4,2b =-r ，若//a b r r ，则x =（ ）A ．2-B ．12-C ．12 D ．22．已知一个矩形较长边长为2用斜二测画法画出矩形的直观图是菱形，则直观图的面积为（ ）A B C ．D ．3．将函数()()sin f x x ωϕ=+的图象向左平移π4个单位后，与函数()()cos g x x ωϕ=+的图象重合，则ω的值可以是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知两条不同的直线m ，n 及三个不同的平面α，β，γ则下列推理正确的是（ ） A ．,n αβαβ⊥⋂=，m n m β⊥⇒⊥B ．,αγβγαβ⊥⊥⇒⊥C ．m αβ=I ，//n α，////n m n β⇒D ．m n ⊥，//n m αα⊥⇒5．抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件A =“第一枚硬币正面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，事件C =“两枚硬币都正面朝上”，事件D =“至少一枚硬币反面朝上”则（ ） A ．C 与D 独立 B ．A 与B 互斥 C ．()12P D =D ．()34P A B ⋃= 6．已知样本数据12345,,,,x x x x x 都为正数，其方差12251(80)5i i s x ==-∑，则样本数据的平均数为（ ）A ．2B ．C ．4D ．7．ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a =，30A =︒，若三角形有唯一解，则整数b 构成的集合为（ ）A ．{}3B ．{}1,2C ．{}1,2,4D ．{}1,2,3,4 8．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t 秒时相对于平衡位置的高度h 厘米由关系式()()sin h t A t ωϕ=+确定，其中0A >，0ω>，π<ϕ.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（ ）A ．()πsin π2h t A t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．9t =秒与53t =秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C ．当00t t <<时，若小球有且只有三次到达最高点，则[]05,7t ∈D ．当1220t t <<<时，若12,t t 时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则12πsin 1t t ⎛⎫= ⎪+⎝⎭二、多选题9．已知一组数据6，13，14，15，18，13，则特征量为13的是（ ）A ．极差B ．众数C ．中位数D ．第40百分位数 10．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）A ．234i i i z =++的虚部为1-B ．若z 是复数，满足()1i 1i z -=+，则z 在复平面内对应的点位于第一象限C ．若1z 、2z 是非零复数，且12=z z ，则2212z z =D ．若1z 、2z 是非零复数，且2112z z z =，则12z z =11．如图,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为11B C 的中点，则下列说法中正确的是（ ）A ．若点O 为11C D 的中点，则//MO 平面1A DBB ．连接BM ，则直线BM 与平面11BDD BC ．若点N 为线段BC 上的动点（包含端点），则MN DN +D ．若点Q 在侧面正方形11ADD A 内（包含边界），且1MQ AC ⊥，则点Q三、填空题12．在复数范围内方程2450x x -+=的一个根为0x ，则0x =.13．在ABC V 中，已知2AB AC AB AC AB +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则向量CA u u u r 在向量CB u u u r 上的投影向量为.14．已知一个圆台的上、下底面直径分别为2、8，母线长为6，则在圆台内部放置半径最大的球的表面积为.四、解答题15．某企业进入中学参与学校举办的模拟招聘会，设置了笔试、面试两个环节，先笔试后面试，笔试通过了才可以进入面试，面试通过后即可录用，李明参加该企业的模拟招聘.笔试关：有4道题，应聘者随机从中选择2道，两道题均答对即可通过笔试，否则淘汰不予录用.已知李明能答对其中的3道题；面试关：有2道题，面试者答对第一道题，则面试通过被企业录用，否则就继续答第二道题，答对第二道题则面试通过被企业录用，否则淘汰不予录用.已知李明答对每道面试题的概率都是14，两道题能否答对相互独立. (1)李明笔试关中能答对的3道题记为1a ，2a ，3a ，不能答对的题记为b ，请写出李明参加笔试关所有可能结果构成的样本空间，并求出李明通过笔试关的概率；(2)求李明被录用的概率.16．已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22cos 0a c b C +-=.(1)求B ∠；(2)若2c =，D 为线段AC 的中点，且1BD =，求ABC V 的面积.17．为推动习近平新时代中国特色社会主义思想深入人心，促进全社会形成爱读书、读好书、善读书的新风尚，培育有坚定理想信念、爱党爱国、堪当民族复兴大任的有为青年，某学校举办了读书节活动.现从该校的2000名学生中发放调查问卷，随机调查了100名学生一周的课外阅读时间，将统计数据按照[)0,20，[)20,40，…[)100,120，[]120,140组后绘制成如图所示的频率分布直方图（单位：分钟，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.(1)求a 的值，若每周课外阅读时间60分钟以上（含60分钟）视为达标，试估计该校达标的人数；(2)估计该校学生每周课外阅读的平均时间；(3)若样本数据在[)0,20与[)20,40内的方差分别为213s =，2253s =，计样本数据在[)0,40内的方差2s .18．如图，已知三棱台111ABC A B C -，底面ABC V 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，体11ABB A ⊥平面ABC ，且111112AA A B BB AB ===.(1)证明：BC ⊥平面11ABB A ；(2)求点B 到面11ACC A 的距离；(3)在线段1CC 上是否存在点F ，使得二面角F AB C --的大小为π6，若存在，求出CF 的长，若不存在，请说明理由.19．如图，已知ABC V ，21AB AC BC ===，且点P 是ABC V 的重心.过点P 的直线l 与线段AB 、AC 分别交于点E 、F .设AE AB λ=u u u r u u u r ，AF AC μ=u u u r u u u r （0λ≠，0μ≠）.(1)求AB AC ⋅uu u r uu u r 的值，并判断11λμ+是否为定值，若是则求出定值，若不是请说明理由； (2)若AEF △的周长为1C ，ABC V 的周长为2C .设x λμ=，记()12C f x x C =-，求()f x 的取值范围.。

高一地理第二学期期末测试高一地理第Ⅰ卷（本卷共计75分）一.选择题：（共50小题，每小题只有一个选项，每小题1.5分，共计75分）1.目前，农民调整农作物的品种和规模时主要考虑( )①气温和降水的变化②水源条件的变化③市场需求的变化④国家农业政策的变化A．①② B．②③ C．③④ D．②④2.我国北方冬季从南方的四川、广东等省大量调进蔬菜，取决于：①自然条件的改造利用；A.①B.②C.③D.④6.四个地区中经济发展水平最高的是………………………………（）A.①B.②C.③D.④7.由左下图可知，当前多数发展中国家和发达国家城市化进程所处的阶段分别是……………A.①、②B.①、③C.②、③D. ③、①8.右上图表示四个国家的人口出生率和人口死亡率，其中人口自然增长率最高的国家是………（）A.①B.②C.③D.④9.到本世纪中叶，我国人口峰值将控制在15亿人左右，之后人口总量缓慢下降。

当人口达到峰值时，我国的人口状况可能是A．人口出生率等于死亡率B．人口再生产特点是出生率低、死亡率高、自然增长率低C．劳动力不足，需要鼓励其他国家向中国移民D．老龄人口比重达到最大值10.过去“湖广收，天下足”。

近年来，该地区作为全国“粮仓”的地位在逐渐下降，主要原因有A．人口增多，粮食商品率下降B．水旱灾害频繁C．全球气候变暖，粮食减产D．大量劳动力外出打工11.下列地区的农业生产，最符合下图的是A．美国的商品谷物农业B．亚马孙平原的迁移农业C．中亚地区的游牧业D．中国的玉米种植业12．经过20多年的发展，珠江三角洲已经形成了初具现代化特征的农业生产。

促使其发展的主要原因是A．以水稻种植为主的生产结构不断完善B．农业技术水平明显提高C．珠江三角洲土地资源不断增加D．地方特色的农产品需求量大幅增长下图中①、②、③、④、⑤分别表示五个国家。

图示表示2003年这五个国家的就业构成。

回答13～14题。

13.国家⑤的三次产业按就业构成自高至低排列，依次是A. 第一产业、第二产业、第三产业B. 第二产业、第三产业、第一产业C. 第三产业、第二产业、第一产业D. 第三产业、第一产业、第二产业14.图中①、②、③、④是四个人口超过1亿的国家，其中经济发展水平最高的是A. ①B. ②C. ③D. ④《人民日报》2006年7月12日报道：由湖北大学和湖北省种子集团公司联合选育的“两优287”，已被农业部专家评为超级杂交稻。

2020—2021学年度高一数学第一学期期末模拟试卷（二）(解析版)(时间120分钟 满分150分)一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1. 设集合A ={1,2，4}，B ={x|x 2−4x +m =0}，若A ∩B ={1}，则B =( )A. {1,−3}B. {1,0}C. {1,3}D. {1,5}【解答】C ． 2.已知，则x 的值为( )A. 12B. 2C. 3D. 4【答案】B3.已知命题p ：∃x 0∈R ，x 02−x 0+14≤0，则¬p 为( ) A. ∃x 0∈R ，x 02−x 0+14>0 B. ∃x 0∈R ，x 02−x 0+14<0 C. ∀x ∈R ，x 2−x +14≤0D. ∀x ∈R ，x 2−x +14>0【答案】D4.不等式2−3xx−1>0的解集为( )A. (−∞,34)B. (−∞,23)C. (−∞,23)∪(1,+∞)D. (23,1)【答案】D5.已知函数f(3x +1)=x 2+3x +2，则f(10)=( )A. 30B. 6C. 20D. 9【答案】C6.设函数f(x)=cos(x +π3)，则下列结论错误的是( )A. f(x)的一个周期为−2πB. y =f(x)的图象关于直线x =8π3对称C. f(x +π)的一个零点为x =π6D. f(x)在(π2,π)单调递减【答案】D7.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)=K1+e −0.23(t−53)，其中K 为最大确诊病例数．当I(t ∗)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t ∗约为( )(ln19≈3)A. 60B. 63C. 66D. 69【答案】C【解析】 【分析】本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，属于中档题． 根据所给材料的公式列出方程K1+e −0.23(t−53)=0.95K ，解出t 即可． 【解答】解：由已知可得K1+e −0.23(t−53)=0.95K ，解得e −0.23(t−53)=119， 两边取对数有−0.23(t −53)=−ln19≈−3， 解得t ≈66， 故选：C ．8.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，()5sin ,014211,14xx x f x x π⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 方程()()()()255660f x a f x a a R -++=∈⎡⎤⎣⎦有且仅有6个不同实数根，则a 的取值范围是（） A ．01a <≤或54a =B ．01a ≤≤或54a =C ．01a <<或54a =D ．514a <≤或0a =【答案】A二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有 选错的得0分.）9.已知x ≥1，则下列函数的最小值为2的有( )A. y =2x +x 2B. y =4x +1xC. y =3x −1xD. y =x −1+4x+1【答案】ACD10.下列命题正确的是( )A. 三角形全等是三角形面积相等的充分不必要条件B.，x 2−x +1≠0C. 有些平行四边形是菱形是全称量词命题D. 至少有一个整数，使得n 2+n 为奇数是真命题【答案】AB11.下列各组函数是同一函数的是( )A. f(x)=√−2x 3与g(x)=x √−2x ；B. f(x)=x 与g(x)=√x 2；C. f(x)=x 0与g(x)=1x 0；D. f(x)=x 2−2x −1与g(t)=t 2−2t −1【答案】CD12.图象，则sin (ωx +φ)=( )A. sin (x +π3)B. sin (π3−2x)C.cos (2x +π6)D. cos (5π6−2x)【答案】BC三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知集合A ={1,2}，B ={a,a 2+3}.若A ∩B ={1}，则实数a 的值为______．为1．14化简求值：(8116)−14+log 2(43×24)=______ ．【答案】32315.关于x 的方程(12)|x|=|log 12x|的实数根的个数是________．【答案】216.已知a >0，设函数f(x)=2009x+1+20072009x +1+sinx(x ∈[−a,a])的最大值为M ，最小值为N ，那么M +N = ______ ．【答案】4016 【解析】解：∵f(x)=2009x+1+20072009x +1+sinx(x ∈[−a,a])∴设g(x)=2009x+1+20072009x +1，则g(x)=2009x+1+2009−22009x +1=2009−22009x +1，∵2009x 是R 上的增函数，∴g(x)也是R 上的增函数． ∴函数g(x)在[−a,a]上的最大值是g(a)，最小值是g(−a)．∵函数y =sinx 是奇函数，它在[−a,a]上的最大值与最小值互为相反数，最大值与最小值的和为0．∴函数f(x)的最大值M 与最小值N 之和M +N =g(a)+g(−a) =2009−22009a +1+2009−22009−a +1…第四项分子分母同乘以2009a=4018−[22009a+1+2×2009a2009a+1]=4018−2=4016．四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知集合A={x|x≤−3或x≥2}，B={x|1<x<5}，C={x|m−1≤x≤2m} (Ⅰ)求A∩B，(∁R A)∪B；(Ⅱ)若B∩C=C，求实数m的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)A∩B={x|2≤x<5}，∁R A={x|−3<x<2}，∴(∁R A)∪B={x|−3<x<5}．(Ⅱ)∵B∩C=C，∴C⊆B，当C=∅时，m−1>2m，∴m<−1；当C≠∅⌀时，{m−1≤2mm−1>12m<5,解得2<m<52，综上，m的取值范围是m<−1或2<m<52．【解析】本题考查了集合的交集，并集，补集运算，考查了集合包含关系的应用，属于基础题．(Ⅰ)根据定义，进行集合的交、并、补集运算，可得答案；(Ⅱ)分集合C=∅⌀和C≠⌀∅两种情况讨论m满足的条件，综合即可得m的取值范围．18.已知命题p：“方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根”，命题p是真命题。

2008-2009学年第二学期高一期末试卷数 学本试卷分选择题和非选择题两部分, 共4页. 满分150分. 考试用时120分钟.注意事项:1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4．本次考试不允许使用计算器.5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第一部分 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 满分50分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1.c o s 240是（ * ）A.12B. 2C.12-D.2-2. 四个数1,2,,8x x -顺次成等比数列，则x 的值是（ * ）A.2-B.24-或 C.24或- D.43. 不等式组36020x y x y -+≥⎧⎨-+<⎩表示的平面区域是（ * ）4. 若2,a>则122a a -+-的最小值是（ * ）A. 2B. aC. 3D.2a -ABCD5. 要得到xy2sin =图像，只需要把)42sin(π+=x y图像 （ * ）A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移8π个单位 D ．向右平移8π个单位6. 在△ABC 中，若a =2 ,b =30A=, 则B 等于 ( * )A ．60B ．60 或 120C ．30D ．30 或1507. 设1e ，2e 是互相垂直的单位向量，且a＝21e ＋32e ，b ＝k 1e －42e ，若a ⊥b ，则实数k 的值为（ * ）A ．6B ．－6C ．3D ．－3 8. 已知2c o s s in3αα-=，则sin 2α的值是（ * ）A.29B. 29-C.59D. 59-9.已知c o s 3,(0)52απα=<<，且2s in ()16 (0)65παβαβ-=--<-<，则sin β值为（ * ）A ．513-B ．1213-C ．513D ．121310. 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 满足约束条件51122239211x y x y x -≥-+≥≤⎧⎪⎨⎪⎩则1010z x y =+的最大值是（ * ）A ．90B ．85C ．80D ． 95第二部分 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 11. 已知4sin , ()522ππαα=-<<，则ta n ()4πα+的值为 *12．已知函数()s in ()(0,0,)4f x A x A πωω=+>>在一个周期上的图像如下图所示，则函数()f x 的解析式是()f x = *13. 在A B C ∆中，若s in c o s A B ab=，则角B 的大小为 *14. 某体育场一角的看台的座位是这样排列的：从第二排起每一排都比前一排多出相同的座位数. 现在数的该看台的第6排有26个座位，则该看台前11排的座位的总数是 *三、 解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出说明、证明过程和演算步骤．15.（本小题满分12分）在△ABC 中, 角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知4,5,a b c ===（1）求角C 的大小； （2）求△ABC 的面积.16.（本小题满分12分）已知2||=a，3||=b ，a与b的夹角为︒120。

2023－2024学年第二学期高一年级期末测试数学试卷命题：高一数学备课组审核：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，复数z 满足|z |＝1，则|z －i |的最大值为()A ．1B ．2C ．3D ．42．已知数据3，7，a ，6的平均数是4，则这组数据的标准差为()A ．152B ．294C ．302D ．2923．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A 表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3”，B 表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4”，C 表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7”，则()A ．A 与B 互斥B ．B 与C 互为对立C ．A 与B 相互独立D ．A 与C 相互独立4．已知两个不重合的平面α，β和三条不重合的直线a ，b ，c ，则下列四个命题中正确的是()A ．若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥αB ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥cC ．a ∥β，b ∥β，a ⊂α，b ⊂α，则α∥βD ．a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ，则a ∥b5．已知sin(θ＋π6)＝2cos θ，则tan2θ＝()A ．33B ．3C ．－3D ．236．已知非零向量a ，b 满足(a －b )⊥(a ＋2b )，且2|a |＝3|b |，则向量a ，b 的夹角的余弦值为()A ．－16B ．－38C ．16D ．387．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为3，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝2，则三棱锥A －BEF 的体积是()A ．32B ．322C ．22D ．128．如图是古希腊数学家波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形ABC 的斜边AB ，直角边BC ，AC ，N 为AC 的中点，点D 在以AC 为直径的半圆上，已知cos ∠DNC ＝725，cos ∠DAB ＝3365，ABCDN则以直角边AC ，BC 为直径的两个半圆的面积之比为()A ．16：9B ．144：25C ．225：64D ．160：81二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知复数z 1，z 2，下列说法正确的是()A ．若z 1＝z 2－，则z 1－＝z 2B ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22C ．若z 2≠0，则(z1z 2)－＝z 1－z 2－D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1－＝z 2·z 2－10．已知向量a ＝(3，sin θ)，b ＝(cos θ，1)，0≤θ≤π，下列说法正确的是()A ．若a ⊥b ，则tan θ＝－3B ．a 与b 一定不是平行向量C ．|a ＋b |的最大值为22D ．若|a |＝6|b |，且b 在a 上的投影向量为－24a ，则a 与b 的夹角为5π611．如图，四边形ABCD 是边长为2a 的正方形，点E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，将△ABE ，△ECF ，△FDA 分别沿AE ，EF ，FA 折起，使B ，C ，D 三点重合于点P ，则()A ．AP ⊥EFB ．点P 在平面AEF 内的射影为△AEF 的外心C ．二面角A －EF －P 的正弦值为13D ．四面体P －AEF 的外接球的体积为6πa 3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，A 1B 1＝1，AA 1＝2，则该棱台的体积为__________．13．甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为23，34，25，那么三人中恰有两人合格的概率是_________．14．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在AB 边上，BE ＝2EA ，AD 与CE 交于点O ，若→AB ·→AC ＝6→AO ·→EC ，则AB AC的值是_________．A BCDEOAEFP ABC DEF四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(13分)已知复数z＝1－i．；(1)若z1＝z3－4i，求z1(2)若|z2|＝2，且z·z2是纯虚数，求z2．16．(15分)某学校承办了2024年某次大型体育比赛的志愿志选拔面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组[45，55)，第二组[5565)，第三组[65，75)，第四组[75，85)，第五组[85，95]，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．(1)求a、b的值，并估计这100名候选者面试成绩的中位数；(2)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率．(要求列出样本空间进行计算)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，M为棱AC的中点，AB＝BC，AC＝2AA1．(1)求证：B1C//平面A1BM；(2)求证：AC1⊥平面A1BM．A BCA1B1C1 M如图，已知△ABC中，AC＝4，∠BCA＝90°，∠BAC＝60°，M，N为线段AB上两点，且∠MCN＝30°．(1)若CM⊥AB，求→CB的值；CM·→(2)设∠ACM＝θ，试将△MCN的面积S表示为θ的函数，并求其最大值．(3)若BN＝6AM，求cos∠ACM的值．8已知如图一，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝为θ的二面角A'－BD －C ．(1)(2)当θ＝π2时，求B 到平面A'CD 的距离；(3)①当cos θ＝13，求cos ∠A'BC 的值．②如图二，在三棱锥O －EFG 中，已知∠OEF ＝α，∠FEG ＝β，∠OEG ＝γ，二面角O －EF －G 的大小为θ．试直接写出利用α，β，γ的三角函数表示cos θ的结论，不需要证明．FA'BCDH2023－2024学年第二学期高一年级期末测试数学试卷命题：高一数学备课组审核：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i为虚数单位，复数z满足|z|＝1，则|z－i|的最大值为() A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】设复数z在复平面内所对的点为Z，由|z|＝1知，Z在以(0，0)为圆心，半径为1的圆上，|z－i|表示点Z与(0，1)的距离，∴|z－i|max＝1＋1＝2．故选B．2．已知数据3，7，a，6的平均数是4，则这组数据的标准差为()A．152B．294C．302D．292【答案】C【解析】由3＋7＋a＋64＝4，得a＝0，方差＝(3－4)2＋(7－4)2＋(0－4)2＋(6－4)24＝304，故标准差＝302．故选C．3．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3”，B表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4”，C表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7”，则() A．A与B互斥B．B与C互为对立C．A与B相互独立D．A与C相互独立【答案】D【解析】显然选项A，选项B错误．对于选项C与D，先后抛掷两枚骰子出现点数的所有可能情况为36种，P(A)＝636＝16，P(B)＝336＝112，P(C)＝636＝16，P(AB)＝136，P(AC)＝136．由于P(AB)≠P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，所以A与B不独立，A与C相互独立，故选D．4．已知两个不重合的平面α，β和三条不重合的直线a，b，c，则下列四个命题中正确的是() A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a⊥b，b⊥c，则a∥cC．a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，则α∥βD．a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b【答案】D【解析】a∥b，b⊂α时存在a⊂α的情形，所以选项A错误；当a∩c＝A，且b垂直于a，c 确定的平面时也满足a⊥b，b⊥c，所以选项B错误；对于C选项，当α∩β＝l时，存在a⊂α，b⊂α，且a∥l，b∥l的情形，此时符合a∥β，b∥β，故选项C错误；根据线面平行的性质定理，知选项D正确，故选D．5．已知sin(θ＋π6)＝2cosθ，则tan2θ＝()A ．33B ．3C ．－3D ．23【答案】C【解析】由sin(θ＋π6)＝2cos θ，得32sin θ＋12cos θ＝2cos θ，化简得32sin θ－32cos θ＝0，解得tan θ＝3，由二倍角公式得tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×31－(3)2＝－3，故选C ．6．已知非零向量a ，b 满足(a －b )⊥(a ＋2b )，且2|a |＝3|b |，则向量a ，b 的夹角的余弦值为()A ．－16B ．－38C ．16D ．38【答案】A【解析】∵向量a ，b 满足(a －b )⊥(a ＋2b )，∴(a －b )·(a ＋2b )＝0，即a 2＋a ·b －2b 2＝0，∴a ·b ＝2b 2－a 2＝2b 2－94b 2＝－14b 2，∴cos ＜a ，b ＞＝a ·b |a ||b |＝－14b 232b 2＝－16，故选A ．7．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1E ，F ，且EF ＝2，则三棱锥A －BEF 的体积是()A ．32B ．322D ．12【答案】A【解析】由于△BEF 的高＝BB 1＝3，所以△BEF 的面积S ＝12×2×3＝322，又A 到平面BEF 的距离即A 到平面BB 1D 1D 的距离，所以三棱锥A －BEF 的高＝12AC ＝322，所以三棱锥A －BEF 的体积＝13×322×322＝32，故选A ．8．如图是古希腊数学家波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形ABC 的斜边AB ，直角边BC ，AC ，N 为AC 的中点，点D 在以AC 为直径的半圆上，已知cos ∠DNC ＝725，cos ∠DAB ＝3365，则以直角边AC ，BC 为直径的两个半圆的面积之比为()A ．16：9B ．144：25C ．225：64D ．160：81ABCDN【答案】B【解析】由题意可知∠DNC ＝2∠DAN ，所以cos ∠DAN ＝1＋cos ∠DNC 2＝45，sin ∠DAN ＝1－cos ∠DNC 2＝35，因为cos ∠DAB ＝3365，所以sin ∠DAB ＝1－(3365)2＝5665，cos ∠CAB ＝cos(∠DAB －∠DAN )＝3365×45＋5665×35＝1213，tan ∠CAB ＝512，所以Rt △BCA中，AC BC ＝125，所以以直角边AC ，BC 为直径的两个半圆的面积之比为144：25，故选B ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知复数z 1，z 2，下列说法正确的是()A ．若z 1＝z 2－，则z 1－＝z 2B ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22C ．若z 2≠0，则(z 1z 2)－＝z 1－z 2－D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1－＝z 2·z 2－【答案】ACD【解析】若z 1＝z 2－，则z 1与z 2互为共轭复数，所以z 1－＝z 2，故选项A 正确；不妨取z 1＝1，z 2＝i ，则|z 1|＝|z 2|，而z 12＝1，z 22＝－1，所以z 12≠z 22，故选项B 错误；根据共轭复数的性质知，选项C 正确；若|z 1|＝|z 2|，又|z 1|2＝z 1·z 1－，|z 2|2＝z 2·z 2－，则z 1·z 1－＝z 2·z 2－，故选项D 正确．故选ACD ．10．已知向量a ＝(3，sin θ)，b ＝(cos θ，1)，0≤θ≤π，下列说法正确的是()A ．若a ⊥b ，则tan θ＝－3B ．a 与b 一定不是平行向量C ．|a ＋b |的最大值为22D ．若|a |＝6|b |，且b 在a 上的投影向量为－24a ，则a 与b 的夹角为5π6【答案】ABD【解析】对于选项A ，若a ⊥b ，则a ·b ＝3cos θ＋sin θ＝0，所以tan θ＝－3，故选项A 正确；对于选项B ，由于sin θcos θ＜3，所以sin θcos θ≠3，a 与b 一定不是平行向量，故选项B 正确；对于选项C ，因为a ＋b ＝(3＋cos θ，sin θ＋1)，所以|a ＋b |＝(3＋cos θ)2＋(sin θ＋1)2＝5＋4sin(θ＋π3)，所以当θ＝π6时|a ＋b |取得最大值，最大值为3，故选项C 错误；对于选项D ，b 在a 上的投影向量为a ·b |a |·a|a |＝a ·b |a |2·a ＝－24a ，所以a ·b |a |2＝－24，所以cos ＜a ，b ＞＝a ·b |a ||b |＝6×a ·b |a |2＝6×(－24)＝－32，又0≤＜a ，b ＞≤π，所以＜a ，b ＞＝5π6，故选项D 正确．故选ABD ．11．如图，四边形ABCD 是边长为2a 的正方形，点E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，将△ABE ，△ECF ，△FDA 分别沿AE ，EF ，FA 折起，使B ，C ，D 三点重合于点P ，则()A ．AP ⊥EFB ．点P 在平面AEF 内的射影为△AEF 的外心C ．二面角A －EF －P 的正弦值为13D ．四面体P －AEF 的外接球的体积为6πa 3【答案】AD【解析】对于选项A ，∵AP ⊥PF ，AP ⊥PE ，∵PE ∩PF ＝P ，∴AP ⊥平面PEF ，∵EF ⊂平面PEF ，∴AP ⊥EF ，故选项A 正确；对于选项B ，设P 在底面AEF 上的射影为O ，又因为AP ⊥EF ，则AO ⊥EF ，同理可证EO ⊥AF ，FO ⊥AE ，即点P 在平面AEF 内的射影为ΔAEF 的垂心，又由△AEF 的形状得其垂心与外心不重合，所以选项B 错误；对于选项C ，设AO 与EF 交于点G ，易得∠PGA 为二面角A －EF －P 的平面角．在Rt △APG中，有cos ∠PGA ＝PG AG ＝13，故选项C 错误；对于选项D ，由于三棱锥P －AEF 的三条侧棱PA 、PE 、PF 两两互相垂直，且PA ＝2a ，PE ＝PF ＝a ．把该三棱锥补形为长方体，则其对角线长为22＋12＋12a ＝6a ，则其外接球的半径为62a ，则其外接球的体积V ＝43π×(62a )3＝6πa 3，故选项D 正确．故选AD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，A 1B 1＝1，AA 1＝2，则该棱台的体积为__________．【答案】766【解析】如图，将正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1补成正四棱锥，则AO＝2，SA ＝22，OO 1＝62，故V ＝13(S 1＋S 2＋S 1S 2)h ，V ＝13×(22＋12＋22×12)×62＝766．13．甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为23，34，25，那么三人中恰有两人合格的概率是_________．【答案】715【解析】由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，三个人中恰有2个合格，包括三种情况，这三种情况是互斥的，∴三人中恰有两人合格的概率13×34×25＋23×14×25＋23×34×35＝715．14．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在AB 边上，BE ＝2EA ，AD 与CE 交于点O ，若→AB ·→AC ＝6→AO ·→EC ，则AB AC的值是_________．【答案】3【解析】设→AO ＝λ→AD ，则→AO ＝λ2→AB ＋λ2→AC ＝3λ2→AE ＋λ2→AC ，由于C ，O ，E 三点共线，所以A B CDEO A EF PA B C D E ⇒F3λ2＋λ2＝1，解得λ＝12．所以→AO ＝14→AB ＋14→AC ，又→EC ＝→AC －→AE ＝→AC －13→AB ．由→AB ·→AC ＝6→AO ·→EC ，得→AB ·→AC ＝6(14→AB ＋14→AC )·(→AC －13→AB )，化简得3→AC 2＝→AB 2，所以AB AC＝3．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(13分)已知复数z ＝1－i ．(1)若z 1＝z3－4i，求z 1；(2)若|z 2|＝2，且z ·z 2是纯虚数，求z 2．解(1)∵复数z ＝1－i ，∴z 1＝z 3－4i ＝1－i 3－4i ＝(1－i)(3＋4i)(3－4i)(3＋4i)＝3＋4i －3i －4i 232－(4i)2＝7＋i 25＝725＋125i ．··············6分(2)设z 2＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，∵|z 2|＝a 2＋b 2＝2，∴a 2＋b 2＝4①．······················································8分又∵z ·z 2＝(1－i)(a ＋b i)＝(a ＋b )＋(b －a )i ，∴a ＋b ＝0，b －a ≠0②，······································································10分由①②联立，解得a ＝2b ＝－2或a ＝－2b ＝2，∴z 2＝2－2i 或z 2＝－2＋2i ．····························································13分16．(15分)某学校承办了2024年某次大型体育比赛的志愿志选拔面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组[45，55)，第二组[5565)，第三组[65，75)，第四组[75，85)，第五组[85，95]，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．(1)求a 、b 的值，并估计这100名候选者面试成绩的中位数；(2)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率．(要求列出样本空间进行计算)解(1)因为第三、四、五组的频率之和为0.7，所以(0.045＋0.020＋a )×10＝0.7，解得a ＝0.005，·····················································································2分所以前两组的频率之和为1－0.7＝0.3，即(a ＋b )×10＝0.3，所以b ＝0.025；··························································4分面试成绩的中位数为65＋0.20.45×10≈69.4．··················································7分(2)第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为a ，b ，c ，d ，第五组志愿者人数为1，设为e ，····················································································9分则样本空间Ω＝{(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )．(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )}，样本空间共包含10个样本点．··············································11分设“从这5人中选出2人来自同一组”的事件记为A ，则A ＝{(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )},A 包含6个样本点，·········································································································13分故选出的两人来自同一组的概率为610＝35．·················································15分17．(15分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 为棱AC 的中点，AB ＝BC ，AC ＝2AA 1．(1)求证：B 1C //平面A 1BM ；(2)求证：AC 1⊥平面A 1BM ．解(1)连接AB 1，与A 1B 两线交于点O ，连接OM ，在△B 1AC 中M ，O 分别为AC ，AB 1的中点，所以OM //B 1C ，······················································································又OM ⊂平面A 1BM ，B 1C ⊄平面A 1BM ，所以B 1C //平面A 1BM ．·················································(2)因为在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，BM ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BM ．又M 为棱AC 的中点，AB ＝BC ，所以BM ⊥AC ．因为AA 1∩AC ＝A ，AA 1，AC ⊂平面ACC 1A 1，所以BM ⊥平面ACC 1A 1，·············································又AC 1⊂平面ACC 1A 1，所以BM ⊥AC 1．··························因为AC ＝2AA 1．不妨设AC ＝2，所以AA 1＝2，AM ＝1．在Rt △ACC 1和Rt △A 1AM 中，tan ∠AC 1C ＝tan ∠A 1MA ＝2，所以∠AC 1C ＝∠A 1MA ，即∠AC 1C ＋∠C 1AC ＝∠A 1MA ＋∠C 1AC ＝90°，所以A 1M ⊥AC 1，···················································································13分又BM ∩A 1M ＝M ，BM ，A 1M ⊂平面A 1BM ，A BC A 1B 1C 1MABCA 1B 1C 1MO所以AC 1⊥平面A 1BM ．··········································································15分18．(17分)如图，已知△ABC 中，AC ＝4，∠BCA ＝90°，∠BAC ＝60°，M ，N 为线段AB 上两点，且∠MCN ＝30°．(1)若CM ⊥AB ，求→CM ·→CB 的值；(2)设∠ACM ＝θ，试将△MCN 的面积S 表示为θ的函数，并求其最大值．(3)若BN ＝68AM ，求cos ∠ACM 的值．解(1)△CAM 中，AC ＝4，CM ⊥AB ，∠MAC ＝∠BAC ＝60°，所以CM ＝AC ·sin60°＝23．所以→CM ·→CB ＝|→CM |·|→CB |·cos ∠BCM ＝|→CM |·→CM |＝12．······························4分(2)在△ACM 中，∠ACM ＝θ(0°≤θ≤60°)，AC ＝4，∠MAC ＝60°，所以CM sin60°＝AC sin (60°＋θ)，所以CM ＝23sin (θ＋60°)，·······································6分在△ACN 中，∠ACN ＝θ＋30°，AC ＝4，∠NAC ＝60°，所以CNsin60°＝AC sin (90°＋θ)，所以CN ＝23sin (θ＋90°)＝23cos θ，······························8分所以S ΔCMN ＝12CM ·CN ·sin30°＝3sin (θ＋60°)cos θ＝312sin θcos θ＋32cos 2θ＝6sin2θ2＋3cos2θ2＋32＝122sin (2θ＋60°)＋3，······························11分因为0°≤θ≤60°，所以60°≤2θ＋60°≤180°，所以当且仅当2θ＋60°＝180°，即θ＝60°时，△CMN 的面积取最大值为43．························································12分(3)当BN ＝68AM 时，S △CBN ＝68S △CAM ，即12·BC ·CN ·sin ∠BCN ＝68·12·AC ·CM ·sin ∠ACM ，即8CN ·sin ∠BCN ＝2CM ·sin ∠ACM ．设∠ACM ＝θ，由(2)得CM ＝23sin (θ＋60°)，CN ＝23cos θ，且∠BCN ＝60°－θ，所以42sin(60°－θ)sin(60°＋θ)＝sin θcos θ，·················································14分42[(32cos θ)2－(12sin θ)2]＝sin θcos θ，所以2sin 2θ＋sin θcos θ－32cos 2θ＝0，两边同除以cos2θ，得2tan2θ＋tanθ－32＝0，解得tanθ＝2，或tanθ＝－322(舍去)．·····················································16分此时cos∠ACM＝3 3．············································································17分19．(17分)已知如图一，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝为θ的二面角A'－BD－C．(1)(2)当θ＝π2时，求B到平面A'CD的距离；(3)①当cosθ＝13，求cos∠A'BC的值．②如图二，在三棱锥O－EFG中，已知∠OEF＝α，∠FEG＝β，∠OEG＝γ，二面角O－EF－G的大小为θ．试直接写出利用α，β，γ的三角函数表示cosθ的结论，不需要证明．解(1)过A'作A'H⊥BD于H，连接AH，CH．因为二面角A'－BD－C的大小为π2，所以平面A'BD⊥平面BCD，因为A'H⊥BD，平面A'BD∩平面BCD＝BD，A'H⊂平面A'BD，所以A'H⊥平面BCD，所以∠A'CH为A'C与平面BCD的所成角．·················································2分在Rt△BA'D中，A'B＝5，AD＝25，所以A'H＝5·25(5)2＋(25)2＝2．Rt△A'HB中，BH＝A'B2－A'H2＝52－22＝1．因为在Rt△DBC中，BC＝25，cos∠CBD＝25 5，所以在△HBC中，HC2＝BC2＋BH2－2BC·BH·cos∠CBD＝(25)2＋12－2·25·1·255＝13，FA'B C DHA'BCDH G所以HC ＝13．在Rt △A'CH 中，tan ∠A'CH ＝A'H HC ＝213＝21313．即A'C 与平面BCD 所成角的正切是21313．··················································5分(2)在(1)图中，A'C 2＝A'H 2＋HC 2＝4＋13＝17，在△A'DC 中，cos ∠A'DC ＝A'D 2＋DC 2－A'C 22·A'D ·DC ＝(25)2＋(5)2－172·25·5＝25．所以sin ∠A'DC ＝1－(25)2＝215，△A'DC 的面积S ＝12·A'D ·DC ·sin ∠A'DC ＝12·25·5·215＝21．因为A'H ⊥平面BCD ，所以三棱锥A'－BCD 的体积V ＝13·S △BCD ·A'H ＝13·12·25·5·2＝103．···················8分所以B 到平面A'CD 的距离的距离d ＝V 13S ＝10313·21＝102121．···························10分(3)①矩形ABCD 中找到A'H 的对应线段AH ，并设AH 的延长线交BC 于G ．在Rt △BHG 中，BH ＝1，tan ∠DBC ＝12，所以HG ＝12，BG ＝52．在三棱锥A'－BCD 中，由A'H ⊥BD ，GH ⊥BD ，所以∠A'HG 为二面角A'－BD －C 的平面角，·············································12分即cos ∠A'HG ＝13．在△A'HG 中，A'G 2＝AH 2＋HG 2－2·AH ·HG ·cos ∠A'HG＝22＋(12)2－2·2·12·13＝4312．在△A'BG 中，cos ∠A'BG ＝A'B 2＋BG 2－A'G 22·A'B ·BG ＝(5)2＋(52)2－43122·5·52＝815．·············15分②cos θ＝cos γ－cos α·cos βsin α·sin β．···································································17分ABCDH G。

广州市育才中学2007--08学年第一学期高一期中考试 数 学（必修一） 命题：邓军民（ ）说明：1，务必使用黑色签字笔或钢笔答题，答题卡则用铅笔填涂；2，严禁使用计算器。

一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.每小题恰有一项．．．．是符合题目要求的. 1．全集{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,4,2,4,5U M N ===,则()U C M N = A ．Φ B ．{4} C ．{1,3} D ．{2,5} 2．下列函数，在其定义域内为减函数的是A ．3xy = B ．log y x π= C ．ln y x = D ．54y x -=3．在(2)log (5)a y a -=-中，实数a 的取值范围是A 、52a a ><或B 、2335a a <<<<或C 、25a <<D 、34a << 4. 函数2()2(03)f x x x x =-≤≤的值域是A ．RB ．(,1]-∞C ．[3,1]-D ．[3,0]-5．设函数()21f x x =+的定义域为[1,5]，则函数(23)f x -的定义域为 A .[1,5] B .[3,11] C . [3,7] D .[2,4]6．函数321y x x x =---有零点的区间是A .(0,1)B . (1,2)C . (2,3)D . (3,4)7．已知()f x 是奇函数，且当0x >时，2()1f x x x =--，则当0x <时，()f x =A ．21x x --+B ．21x x +-C ．21x x ---D ．21x x ++8．已知函数(1),0()2,03,0x f x x f x x x ⎧->⎪=-⎨⎪<⎩＝，则(2)f =A .9B .3C .0D .－2 9．计算2341023log 3log 4log 5log 1024⋅⋅⋅⋅ 的结果为A ．8B ．9C ．10D ．1110．已知711abA ==，且113a b+=，则A = A .18 B .77 C .77 D .377二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2020-2021学年人教版数学六年级上册第二单元《位置与方向（二）》单元测试卷2020-2021学年人教版数学六年级上册第二单元《位置与方向（二）》单元测试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．观察下图的位置关系，其中说法错误的是（）。

A．学校在公园北偏西40°方向400m处B．公园在少年宫东偏北70°方向300m处C．公园在学校东偏南50°方向400m处D．少年宫在公园北偏东20°方向300m处2．如图，A、B、C三个小岛的位置正好构成了一个直角三角形．那么A岛的位置在B岛的（）A．东偏北30°的方向，距离4千米B．北偏东60°的方向，距离4千米C．西偏南30°的方向，距离4千米D．西偏南60°的方向，距离4千米3．甲从A点出发向北偏东60°方向走了30米到达B点，乙从A点出发向西偏南30°的方向走了40米到达C点，那么，BC之间的距离是（）。

A．35 米B．30米C．10米D．70米4．李明的座位用数对表示是（4，5），张玲的座位在李明南偏东45°方向上，她的座位用数对表示可能是（）。

A．（3，4）B．（5，4）C．（5，6）D．（3，6）5．小丽先向东偏北45°的方向走了50m，又向南偏东45°的方向走了50m，她现在的位置在起点的（）方向．A．正东B．正北C．东北D．东南6．如下图：小明和几个小朋友星期天从小明家出发骑车去博物馆参观，下面是他们所走的路线图．描述他们所走的正确的路线是（）．A．小明家——向西偏北30°方向走600 米到火车站——从火车站向西偏南50°方向走200米．B．小明家——向北偏西30°方向走600米到火车站——从火车站向西偏南50°方向走200米．C．小明家——向西偏北30°方向走600米到火车站——从火车站向南偏西50°方向走200米．D．小明家——向北偏西30°方向走600米到火车站——从火车站向南偏西50°方向走200米．7．如果电影院在学校的东偏南30°方向上，那么学校在电影院南偏东30°方向上。

2020-2021学年高一数学下学期期末考试全真模拟卷（二）测试时间：120分钟 测试范围：人教A2019必修第一册+第二册满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、若集合{}21A x x =-≤≤，{}2log 1B x x =≤，则A B =（ ）A ．12x xB ．{}01x x <≤C ．{}22x x -≤≤D ．{2x x <-或}2x >【答案】C 【详解】由{}2log 1B x x =≤，得{}02B x x =<≤． 又{}21A x x =-≤≤， 所以{}22AB x x =-≤≤．故选：C ． 2、复数113i-的虚部是（ ）A ．310-B ．110-C ．110D ．310【答案】D 【详解】 因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D.3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（ ） A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A 【详解】设新农村建设前的收入为M ，而新农村建设后的收入为2M ，则新农村建设前种植收入为0.6M ，而新农村建设后的种植收入为0.74M ，所以种植收入增加了，所以A 项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M ，新农村建设后其他收入为0.1M ，故增加了一倍以上，所以B 项正确； 新农村建设前，养殖收入为0.3M ，新农村建设后为0.6M ，所以增加了一倍，所以C 项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的30%28%58%50%+=>，所以超过了经济收入的一半，所以D 正确；4、已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=a a b +（ ）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D 【详解】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()2222257a b a ba ab b +=+=+⋅+=-=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D.5、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A ．514- B ．512- C ．514+ D ．512+ 【答案】C 【详解】如图，设,CD a PE b ==，则22224a PO PE OEb =-=-，由题意212PO ab =，即22142a b ab -=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得154b a +=（负值舍去）. 故选：C.6、已知π2tan tan()74θθ-+=，则tan θ=（ ）A ．–2B ．–1C ．1D ．2【答案】D 【详解】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=. 故选：D.7、如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成，其中3sin 5BAC ∠=，现将每个直角三角形的较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图的数学风车，若在该数学风车内随机取一点，则该点恰好取自“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的概率为（ ）A ．2543B ．1843C ．2549D ．2449【答案】D 【详解】在Rt ABC ∆中，3sin 5BAC ∠=不妨设3BC =，则5AB =，4AC =则阴影部分的面积为1434242⨯⨯⨯=；数学风车的面积为224549+=∴所求概率2449P =本题正确选项：D 8、已知ABC ∆是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 平面ABC 的距离为（ ）A ．3B ．32C ．1D ．32【答案】C 【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得：2R =. 设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC212a ∴=，解得：3a =，2233r ∴===，∴球心O 到平面ABC 的距离1d ==.故选：C.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共16分，在每小题给出的四个选项中，不止有一项是符合题目要求的）9、下列说法正确的是（ ） A ．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率B ．连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地不均匀C ．某种福利彩票的中奖概率为11000，那么买1000张这种彩票一定能中奖D ．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水 【答案】AB 【详解】对于A ，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故A 正确对于B ，如果骰子均匀，则各点数应该均匀出现，所以根据结果都是出现1点可以认定这枚骰子质地不均匀，故B 正确． 对于C ，中奖概率为11000是指买一次彩票，可能中奖的概率为11000，不是指1000张这种彩票一定能中奖，故C 错误．对于D ，“明天本市降水概率为70%”指下雨的可能性为0.7，故D 错． 故选：AB ．10、有以下四种说法，其中正确的有（ ） A ．“2x >且3y >”是“5x y +>”的充要条件B ．直线l ，m ，平面α，若m α⊂，则“l α⊥”是“l m ⊥”的充分不必要条件C ．“3x =”是“2230x x --=”的必要不充分条件D ．设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab =”的既不充分也不必要条件【答案】BD 【详解】对于A ，由“2x >且3y >”，根据不等式的性质可得5x y +>，充分性满足；反之，5x y +>推不出“2x >且3y >”，必要性不满足，故A 不正确； 对于B ，根据线面垂直的定义：“l α⊥”可推出“l m ⊥”，反之，由线面垂直的判定定理可知：仅“l m ⊥”，不一定得出“l α⊥”，故B 正确； 对于C ，“3x =”可得“2230x x --=”，充分性满足；反之，“2230x x --=”可得“3x =”或“1x =-”，必要性不满足， 所以“3x =”是“2230x x --=”的充分不必要条件，故C 不正确； 对于D ，若“0a ≠且0b =”可推出“0ab =”； 反之，若“0ab =”，可得“0a =”或“0b =”，所以“0a ≠”是“0ab =”的既不充分也不必要条件，故D 正确； 故选：BD11、已知函数()sin()f x x ωϕ=-(0,||2πωϕ><)的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为3πB ．5(,0)4π为函数()f x 的一个对称中心 C ．1(0)2f =-D ．函数()f x 向右平移2π个单位后所得函数为偶函数【答案】ACD 【分析】根据图象，先由144T ππ=-得，求ω，判断A 正确，再利用五点法定位确定ϕ得到解析式，结合利用正弦函数性质逐一判断BCD 的正误即可. 【详解】根据函数()sin(),0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=-><⎪⎝⎭的部分图象，由144T ππ=-，所以3T π=，故A 正确； 由23ππω=，可得23ω=， 由点,04π⎛⎫⎪⎝⎭在函数图像上，可得2sin 034πϕ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，可得2,34k k πϕπ⨯-=∈Z ，解得,6k k πϕπ=-∈Z ， 因为||2ϕπ<，可得6π=ϕ，可得2()sin 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为52523sin sin 0434632f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误； 由于1(0)sin 62f π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故C 正确； 将函数()f x 向右平移2π个单位后所得函数为2f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭22sin cos 3263x x ππ⎡⎤⎛⎫=--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为偶函数，故D正确. 故选：ACD.12、如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为11A B 的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．DE 与1CC 为异面直线B ．DE 与平面11BCC B 所成角的正切值为24C ．过,,D CE 三点的平面截正方体所得两部分的体积相等D ．线段DE 在底面ABCD 的射影长为2【答案】ABC 【详解】由图可知：DE 与CC1为异面直线，∴A 正确；因为平面11//BCC B 平面11ADD A ，所以DE 与平面11BCC B 所成角即DE 与平面11ADD A 所成角，连接A1D ，显然，1A DE ∠是DE 与平面11ADD A 所成角.在直角三角形EA1D 中：111122tan 42A E A DE A D ∠===，∴B 正确；过D ､C ､E 三点的平面截正方体所得两部分的体积关系即为平面A1B1CD 截正方体所得两部分的体积关系，由正方体的对称性可知截得两部分几何体的体积相等，∴C 正确； 取AB 中点F ，连接EF ､DF ，∵EF //B1B 且B1B ⊥底面ABCD ，∴EF ⊥底面ABCD ，∴DF 的长为线段DE 在底面ABCD 的射影长，在直角三角形DFE 中：EF=1，DE=32，∴DF=2235122⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴D 错. 故选：ABC.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13、已知不等式220ax bx ++>的解集为{|12}x x -<<，则不等式220x bx a ++<的解集为__________________. 【答案】1{|1}?2x x -<< 【分析】 【详解】不等式220ax bx ++>的解集为{|12}x x -<<，220ax bx ∴++=的两根为1-，2，且0a <，即12b a-+=-，()212a -⨯=，解得1a =-，1b =，则不等式可化为2210x x +-<，解得112x -<<，则不等式220x bx a ++<的解集为1{|1}2x x -<<．14、在ABC ∆中，2cos ,4,33C AC BC ===，则tan B =____________.【答案】45【详解】设,,AB c BC a CA b ===22222cos 916234933c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯=∴= 22221145cos sin 1()tan 452999a cb B B B ac +-==∴=-=∴=15、在四边形ABCD 中，AD BC ∥，23AB =，5AD =，30A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=__________.【答案】1-. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，则(23,0)B ，535(,)22D ． 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以150CBA ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ABE ∠=∠=︒， 所以直线BE 的斜率为33，其方程为3(23)3y x =-，直线AE 的斜率为33-，其方程为33y x =-． 由3(23),333y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得3x =，1y =-， 所以(3,1)E -．所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-． 16、设函数()()21ln 11f x x x =+-+,则使()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是____________. 【答案】1(,1)3【详解】试题分析：()()21ln 11f x x x =+-+，定义域为，∵，∴函数为偶函数，当时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得()()21f x f x >-成立，∴，∴，∴的范围为1,13⎛⎫⎪⎝⎭故答案为A.四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，考生根据要求作答）17、成年人收缩压的正常范围是（90，140）（单位：mmHg ），未在此范围的献血志愿者不适合献血，某血站对志愿者的收缩压进行统计，随机抽取男志愿者100名、女志愿者100名，根据统计数据分别得到如下直方图：（1）根据直方图计算这200名志愿者中不适合献血的总人数； （2）估计男志愿者收缩压的中位数；（3）估计女志愿者收缩压的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． 【答案】（1）20人；（2）115mmHg ；（3）125mmHg ． 【详解】解：（1）由(0.0100.01520.0200.030)101m +++⨯+⨯=得0.005m =， 故这些男志愿者中有5人不适合献血；由(0.0050.01020.0200.035)101n ++++⨯=得0.015n =， 故这些女志愿者中有15人不适合献血． 综上所述，这些志愿者中共有20人不适合献血．（2）设男志愿者收缩压的中位数为(mmHg)x ，则110120x <<．由0.015100.02010(110)0.0300.5x ⨯+⨯+-⨯=得115x =， 因此，可以估计男志愿者收缩压的中位数为115(mmHg)．（3）950.051050.101150.151250.351350.201450.15125⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 因此，可以估计女志愿者收缩压的平均值为125(mmHg)．18、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c．已知5,a b c === （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅰ）求sin A 的值； （Ⅰ）求πsin(2)4A +的值． 【答案】（Ⅰ）4C π；（Ⅰ）sin A =（Ⅰ）sin 2426A π⎛⎫+=⎪⎝⎭. 【详解】（Ⅰ）在ABC中，由5,a b c ===222cos 22a b c C ab +-===， 又因为(0,)C π∈，所以4Cπ；（Ⅰ）在ABC 中，由4Cπ，a c ==可得sin sin a CA c===13； （Ⅰ）由a c <知角A为锐角，由sin A =，可得cos A ==进而2125sin 22sin cos ,cos22cos 11313A A A A A ===-=，所以125sin(2)sin 2coscos2sin444132132A A A πππ+=+=⨯+⨯=26.19、如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．证明：（1）当AB BC =时，EF AC ⊥； （2）点1C 在平面AEF 内．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【详解】（1）因为长方体1111ABCD A B C D -,所以1BB ⊥平面ABCD ∴1AC BB ⊥,因为长方体1111,ABCD A B C D AB BC -=,所以四边形ABCD 为正方形AC BD ∴⊥ 因为11,BB BD B BB BD =⊂、平面11BB D D ,因此AC ⊥平面11BB D D ,因为EF ⊂平面11BB D D ,所以AC EF ⊥；（2）在1CC 上取点M 使得12CM MC =,连,DM MF ,因为111112,//,=D E ED DD CC DD CC =,所以11,//,ED MC ED MC = 所以四边形1DMC E 为平行四边形，1//DM EC ∴因为//,=,MF DA MF DA 所以M F A D 、、、四点共面，所以四边形MFAD 为平行四边形，1//,//DM AF EC AF ∴∴，所以1E C A F 、、、四点共面，因此1C 在平面AEF 内20、已知()22sin ,cos ,(3cos ,2),()a x x b x f x a b ===⋅. (1)求()f x 的最小正周期及单调递减区间; (2)求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值.【答案】(1)T π=,单调递减区间为2,,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ;(2)见解析【详解】（1）2()23sin cos 2cos f x a b x x x =⋅=+2cos 212sin 216x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期22T ππ==. 由3222,262k x k k Z πππππ+++∈，得2,63k x k k Z ππππ++∈， ∴()f x 的单调递减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 当7266x ππ+=，即2x π=时，函数()f x 取得最小值，为72sin106π+=； 当262x ππ+=，即6x π=时，函数()f x 取得最大值，为2sin 132π+=.故函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，最小值为0.21、在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin 0b A =． （I ）求角B 的大小；（II ）求cos cos cos A B C ++的取值范围． 【答案】（I ）3B π=；（II）3]2【详解】（I）由2sin b A =结合正弦定理可得：2sin sin ,sin B A A B =∴= △ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）结合(1)的结论有：12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos 22A A A =-+11cos 22A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则sin 32A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，113sin ,2232A π⎛⎤⎛⎫++∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.22、有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的1.00ppm （即百万分之一）时，人食用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出30条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单位：ppm ），数据统计如下：0.07 0.24 0.39 0.54 0.61 0.66 0.73 0.82 0.82 0.820.87 0.91 0.95 0.98 0.98 1.02 1.02 1.08 1.14 1.201.20 1.26 1.29 1.31 1.37 1.40 1.44 1.58 1.62 1.68（1）求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的80%分位数；（2）有A ，B 两个水池，两水池之间有10个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过2条鱼.（Ⅰ）将其中汞的含量最低的2条鱼分别放入A 水池和B 水池中，若这2条鱼的游动相互独立，均有13的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率；（Ⅰ）将其中汞的含量最低的2条鱼都先放入A 水池中，若这2条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由A 水池进入B 水池且不再游回A 水池，求这两条鱼由不同小孔进入B 水池的概率.【答案】（1）中位数为1；众数为0.82；极差为1.61；估计这批鱼该项数据的80百分位数约为1.34；（2）（Ⅰ）49；（Ⅰ）910. 【详解】解：（1）由题意知，数据的中位数为0.98 1.0212+=数据的众数为0.82数据的极差为1.680.07 1.61-=估计这批鱼该项数据的80百分位数约为1.31 1.371.342+= （2）（Ⅰ）记“两鱼最终均在A 水池”为事件A ，则212()339P A =⨯=记“两鱼最终均在B 水池”为事件B ，则212()339P B =⨯=∵事件A 与事件B 互斥，∴两条鱼最终在同一水池的概率为224()()()999P AB P A P B =+=+= （Ⅰ）记“两鱼同时从第一个小孔通过”为事件1C ，“两鱼同时从第二个小孔通过”为 事件2C ，依次类推；而两鱼的游动独立∴12111()()1010100P C P C ===⨯=记“两条鱼由不同小孔进入B 水池”为事件C ，则C 与1210...C C C 对立，又由事件1C ，事件2C ，10C 互斥∴121011()(...)1010010P C P C C C ==⨯=即12109()1(...)10P C P C C C =-=。

2007-2008学年度山东实验中学第一学期期末考试高一数学试题（必修2 结业）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

其中第Ⅰ卷1—2页，第Ⅱ卷3—6页，试卷满分120分：考试时间120分钟。

注意事项：本场考试禁止使用计算器。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共有12个小题，每小题4分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项涂在答题卡上。

1．下面没有对角线的一种几何体是（ ）A ．三棱柱B ．四棱柱C ．五棱柱D ．六棱柱2．如图所示的直观图的平面图形是（ ）A ．任意梯形B ．直角梯形C ．任意四边形D ．平行四边形3．以A （5，5），B （1，4），C （4，1）为顶点的三角形是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形4．下列说法正确的是（ ）A ．直角三角形绕一边旋转得到的几何体是圆锥B ．圆柱夹在两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C ．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D ．通过圆台侧面上一点，有无数条母线5．圆096222=++++y x y x 与圆012622=++-+y x y x 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相外切C ．相离D ．相内切 6．P （－2，－2）、Q （0，－1）取一点R （2，m ）使RQ PR +最小，则=m （ ）A ．21B ．0C ．－lD ．34- 7．已知圆4)3(22=+-y x 和直线mx y =的交点分别为P 、Q 两点，O 为坐标原点，则=⋅OQ OP （ ）A ．21m +B ．215m +C ．5D ．108．直线l 与两直线1=y 和07=--y x 分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为)1 ,1(-M ，则直线l 的斜率为（ ）A ．23B ．32C ．23-D ．32- 9．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A ．π3B ．π4C ．π33D ．π610．不同直线m ，n 和不同平面α，β，给出下列命题①βαβα////m m ⇒⎭⎬⎫⊂ ②ββ//////n m n m ⇒⎭⎬⎫ ③不共面n m m n ,⇒⎭⎬⎫⊂⊂αβ ④βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥m m // 其中错误．．的有：（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个 11、直线b x y +=与曲线21y x -=有且只有一个交点，则b 的取值范围是（ ）A ．11≤<-b 且2-=bB ．2=bC ．11≤≤-bD ．非A 、B 、C 的结论12．若由相同的小正方体构成的立体图形的三视图如图所示那么，这个立体图形最多有多少个小正方体构成（ ）A ．8个B ．9个C ．10个D ．11个 第Ⅱ卷（非选择题共72分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。