高二数学 求通项公式方法大汇总

高二数学数列与数列的通项公式数列在高二数学中占据着重要的地位，其中一个重要的概念就是数列的通项公式。

本文将介绍数列的基本概念，并详细探讨数列的通项公式的计算方法。

一、数列的基本概念数列是由一系列有规律的数按照一定次序排列而成的。

数列的每一项可以用数学表达式表示，常用的表示形式有递推式和通项公式。

递推式是通过前一项或前几项得到下一项的表达式，它可以描述数列的增长规律。

例如，斐波那契数列的递推式为an = an-1 + an-2，其中an表示第n项。

通项公式是用一个公式来直接计算数列中的任意一项。

它可以根据数列前几项的规律推导出来，从而能够更方便地计算数列中任意位置的数值。

二、数列的通项公式的计算方法1.等差数列的通项公式等差数列是指数列中相邻两项之间的差值固定的数列。

设该数列的首项为a1，公差为d，则该数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。

2.等比数列的通项公式等比数列是指数列中相邻两项之间的比值固定的数列。

设该数列的首项为a1，公比为r，则该数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)。

3.斐波那契数列的通项公式斐波那契数列是指数列中前两项之和等于后一项的数列。

斐波那契数列的通项公式比较特殊，可以通过递推式推导出来：an = an-1 + an-2。

三、数列通项公式的应用数列的通项公式在解决实际问题时起到了重要的作用。

通过数列的通项公式，我们可以方便地计算数列中任意一项的值，从而可以解决一些与数列相关的实际问题。

例如，在金融领域中，我们经常会遇到复利的计算问题。

如果投资某项理财产品，每年的收益率是固定的，那么我们可以将其抽象为一个等比数列，并利用等比数列的通项公式计算出未来某一年的收益。

另外，数列的通项公式也可以应用于数值运算。

通过计算数列的通项公式，我们可以得到数列中各项数值的规律，从而更好地理解和运用数列的性质。

总之，数列与数列的通项公式是高二数学中的重要内容。

数列的通项公式可以帮助我们更方便地计算数列中任意一项的数值，并且在解决实际问题时有着广泛的应用。

高二数学数列求通项方法汇总1、观察法：2、定义法：3、公式法：若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式1 (1) (2)n n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩例1、已知数列{a n }的前n 项和S n 满足120n n n a S S -+=（2n ≥），a 1=21，求n a ． 解 ∵当2n ≥时，1n n n a S S -=-，∴1120n n n n S S S S --+=-，即nS 1－11-n S =2， ∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是公差为2的等差数列，又S 1=a 1=21，∴11S =2，∴n S 1=2+（n －1）×2=2n ， ∴S n =n21，∴当n ≥2时，12n n n a S S -=-=－)1(21-n n ，∴a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--=)2()1(21)1(21n n n n ． 例2、数列{}n a 的各项都为正数，且满足()()2*14nna S n N +=∈，求数列的通项公式．解由()()2*14nna S n N +=∈得()()()221114411n n n n n a S S a a +++=-=---化简得()()1120n n n n a a a a +++--=，因为10,2n n n a a a +>∴-=，又()2111441S a a ==-得11a =，故{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以21n a n =-．通项公式，只要)()2()1(n f f f +++Λ能进行求和，则宜采用此方法求解．解题思路：利用累差迭加法，将1(1)n n a a f n --=-，--1n a 2-n a =(2)f n -，…，-2a 1a =(1)f ,各式相加，正负抵消，即得n a ．例1、在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .解：原式可化为：1111+-+=+n n a a n n ，则,211112-+=a a 312123-+=a a ， 413134-+=a a ，……，nn a a n n 1111--+=-，逐项相加得：n a a n 111-+=，故na n 14-=. 例2、已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式． 解：由132a a n n 1n +⋅+=+，得132a a n n 1n +⋅=-+，则112232n 1n 1n n n a )a a ()a a ()a a ()a a (a +-+-++-+-=---Λ1221(231)(231)(231)(231)3n n --=⋅++⋅+++⋅++⋅++L12212(3333)(1)3n n n --=+++++-+L ，所以1n 32n 31332a n nn -+=++--⋅=．例3、已知数列{}n a 满足112231n n n n a a ++=++-（*n N ∈），352a =，求通项n a . 解：由112231n n n n a a ++=++-，两边同除以12n +，得()111131112222n n n n n n n a a n ++++-=-+≥，∴有12121223112222a a -=-+，23232333112222a a -=-+，…，1113112222n n n n n n n a a ----=-+，将这1n -式子相加，得121212121332323212212121-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=---n a a n n n nΛΛ，又由已知求得16a =，∴()*231n n n n N a n ∈=•++．)()2()1(n f f f ⋅⋅Λ的值可以求积时，宜采用此方法．解题思路：由()11n n a f n a -=-，()122n n a f n a --=-，…，()211af a =，将各式左右两边分别相乘，得()()()12112211f n f n f a a a a a a n n n n ΛΛ-⋅-=⋅⋅⋅---，即得n a ． 例1、在数列{a n }中，112a =，11(1n n n a a a n --=⋅+≥2），求n a ． 解：由条件得2113a a =⋅，3224a a =⋅，4335a a =⋅，5446a a =⋅，…，111n n n a a n --=⋅+， 将这n －1个式子相乘化简得：）1(1+=n n a n ．例2、已知数列{}n a 满足112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式．解：因为112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则12(1)5n n na n a +=+，故13211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅L 121[2(11)5][2(21)5][2(11)5]3n n n n --=-+-++⨯⨯L (1)1(1)(2)21122[(1)32]53325!n n n n n n n n n ---+-+++-=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯L L ，所以数列{}n a 的通项公式为(1)12325!n n n n a n --=⨯⨯⨯．6、递推法（迭代法）：例1、已知数列{}n a 中，111,n n a a a n +=-=，求通项公式n a .（也满足叠加法） 解：由已知，得()()()12112n n n a a n a n n --=+-=+-+-()()()21n n-1n n+2121122a n n -==+-+-++=+=L L ．例2、设数列{}n a 是首项为1的正项数列，且()()22*11n+10n n n na na a a n N ++-+=∈，求数列的通项公式.（也满足叠乘法）解：由题意知11,0n a a =>，将条件变形，得()()1110n n n n a a n a na ++++-=⎡⎤⎣⎦， 又0n a >，得10n n a a ++≠，所以11n n na a n +=+，即11n n a n a n +=+，到此可采用:法一：121112121112n n n n n n n n a a a a n n n n n -------==⋅==⋅⋅⋅--L L ，从而1n a n =.法二：12121121,12n n n n a a a n n a a a n n -----⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-L L 所以1n a n= . 法三：由11n n a n a n +=+，故{}n na 是常数列，1111,n n na a a n =⨯=∴=. 点拨：解法一是迭代法，这是通法；解法二是叠乘法，适合由条件()1nn a f n a -=求通项的题型；解法三是构造法（简单+经典），根据条件特点构造特殊数列求通项，技巧性较强，体现了转化思想.例4、已知数列}a {n 满足3a 132a 3a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式． 解：由已知，得（两边除以1n 3+），得1n nn 1n 1n 31323a 3a +++++=，即1n n n 1n 1n 31323a 3a ++++=-， 故11221122111()()()333333n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ------=-+-++-+L 122121213()()()3333333n n -=+++++++L 1)3131313131(3)1n (222n 1n n n +++++++-=--Λ，∴n 1n n n n 321213n 2131)31(313)1n (23a ⋅-+=+--⋅+-=-，即213213n 32a n n n-⋅+⋅⋅=或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式．(1)f(n)= q (q 为常数)例1、已知数列}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a ，求通项n a ．解：∵121+=+n n a a ，∴)1(211+=++n n a a ，令1+=n n a b ，则数列}{n b 是公比为2的等比数列，∴11-=n n q b b ，即n n n qa a 2)1(111=+=+-，∴12-=n n a ． 例2、已知数列{}n a 满足112a =，132n n a a --=（2n ≥），求通项n a ． 解：由132n n a a --=，得111(1)2n n a a --=--，又11210a -=≠，所以数列{1}n a -是首项为12，公比为12-的等比数列，∴11111(1)()1()22n nn a a -=---=+-．点拨：一般地，递推关系式a n+1=pa n +q (p 、q 为常数，且p ≠0，p ≠1)可等价地改写成{p q a n --1}为等比数列，从而可求n a ．(2) f(n)为等比数列，如f(n)= q n (q 为常数) ，两边同除以q n ，得111+=++nnn n qa p q a q， 令nnn a b q=，则可转化为b n+1=pb n +q 的形式求解． 例3、已知数列{a n }中，a 1=65，1111()32n n n a a ++=+，求通项n a ． 解：由条件，得2 n+1a n+1=32(2 n a n)+1，令b n =2 n a n ，则b n+1=32b n +1 易得 b n =3)32(341+--n ，即2 n a n =3)32(341+--n ， ∴ a n =n n 2332+-． 例4、已知数列{}n a 满足1232nn n a a +=+⨯，12a =，求通项n a ．解：由条件，得113222n n n n a a ++=+，即113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列， ∴31(1)22n na n =+-， 故31()222n n a n =-．(3) f(n)为非等差数列，非等比数列 法一、构造等差数列法例7、在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>，求数列{}n a 的通项公式．解：由条件可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴数列2n n n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是首项为0，公差为1的等差数列，故21nnn a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴(1)2n n n a n λ=-+．例8、在数列{a n }中，a na n a n n n n n 1132212==+++++，()()()，求通项a n ． 解：由条件可得：12(1)(2)(1)n n a a n n n n +=++++，∴数列{}(1)n a n n +是首项为13(11)12a =+×、公差为2的等差数列，∴a n n n n =+-12141()()． 法二、构造等比数列法例9、已知数列{}n a 满足11a =，13524nn n a a +=+⨯+，求数列{}n a 的通项公式．解：设1123(2)n n n n a x y a x y +++⨯+=+⨯+，将已知条件代入此式，整理后得(52)24323nnx y x y +⨯++=⨯+，令52343x xy y +=⎧⎨+=⎩，解得52x y =⎧⎨=⎩，∴有115223(522)n n n n a a +++⨯+=+⨯+，又11522112130a +⨯+=+=≠，且5220n n a +⨯+≠，故数列{522}n n a +⨯+是以1152211213a +⨯+=+=为首项，以3为公比的等比数列，∴1522133n n n a -+⨯+=⨯，故1133522n nn a -=⨯-⨯-．例10、设在数列{a n }中，a a a a n n n112222==++，，求{a n }的通项公式．（构造完全平方）解：将原式变形为a a a n n n ++=+12222()……①，a a a n n n+-=-12222()……②，①÷②得：a a a a n n n n +++-=+-1122222[]，即lglg[]a a a a n n n n +++-=+-1122222……③，令b a a n n n =+-lg[]22………④，则③式可化为12n nb b +=，则数列{b n }是以 b 1＝lg[]lglg()a a 11222222221+-=+-=+为首项、公比为2的等比数列，于是b n n n =+=+-22122211lg()lg()×，代入④式得：a a n n +-22＝21)n，解得a n nn=+++-221121122[()]()． 例11、已知数列{}a n ，其中a 11=，且a a a n nnn +=-123·，求通项a n ． 解：由条件得1321a a n n n +=-+，设b n ＝1a n，则b b n n n +=-+132，（之前方法） 令1123(2)n n n n b b λλ+++=-+··，解得15λ=-，于是有111123(2)55n n n n b b ++-=--··，∴数列1{2}5n n b -·是一个以1113255b -=·为首项，公比是－3的等比数列，∴1132(3)55n n n b --=-·，即112(3)55n n n b =--·，代入b n ＝1n a ，得a n n n=--523()． 例12、⑴在数列}{n a 中，12a =，23a =，2132n n n a a a ++=⋅-⋅，求n a ； ⑵在数列{}n a 中，11a =，22a =，212133n n n a a a ++=+，求n a ．解：⑴由条件,2312n n n a a a ⋅-⋅=++ ∴),(2112n n n n a a a a -=-+++故1212n n n a a -++-=，再叠加法可得：2222(12)2112n n n a a --=+=--；⑵由条件可得2111()3n n n n a a a a +++-=--，∴ 数列1{}n n a a +-是以112=-a a 为首项，以13-为公比的等比数列，∴11)31(-+-=-n n n a a ， 故n a =112211)()()(a a a a a a a n n n n +-+⋅⋅⋅+-+----=+--2)31(n +--3)31(n …11)31(++-=311)31(11+---n =1])31(1[431+---n = 1)31(4347---n ．。

高二数学 求通项公式方法大汇总1、定义法：直接求首项和公差或公比。

2、公式法：1 (1) (2)n n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩两种用途（列举），结果要验证能否写成统一的式子．例、数列{}n a 的各项都为正数，且满足()()2*14nna S n N +=∈，求数列的通项公式．解一：由()()2*14nna S n N +=∈得()()()221114411n n n n n a S S a a +++=-=---化简得()()1120n n n n a a a a +++--=，因为10,2n n n a a a +>∴-=，又()2111441S a a ==-得11a =，故{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以21n a n =-．解二：由()()2*14nn a S n N +=∈，可得()11,12n n n a S S n -=-∴=--≥化简可得)211n S -=，即1=，又11S =，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，∴n =，从而2n S n =，所以121n n n a S S n -=-=-，又11a =也适合，故21n a n =-．练习：已知数列{a n }的前n 项和S n 满足120n n n a S S -+=（2n ≥），a 1=21，求n a ． 答案：a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--=)2()1(21)1(21n n n n ．扩展一：作差法例、在数列}{n a 中，11a =，212323(1)n a a a na n n ++++=-+L ，求n a ．解：由212323(1)n a a a na n n ++++=-+L ，得2123123(1)(2)1n a a a n a n n -++++-=-+-L ，两式相减，得66n na n =-+，∴ 1 (=1)66 (2)n n a n n n⎧⎪=-⎨≥⎪⎩．练习（理）：已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥L ，，求n a ． 解：由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥L ，得1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+L ，两式相减，得1n n n a a na +-=，即11(2)n na n n a +=+≥，所以13222122![(1)43]2n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⨯=L L 又由已知，得2122a a a =+，则211a a ==，代入上式，得!13452n n a n =⋅⋅⋅⋅⋅=L ， 所以，{}n a 的通项公式为 1 (1)! (2)2n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩．扩展二、作商法例、在数列}{n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2123n a a a a n ••••=L ，求n a ． 解：∵2123n a a a a n ••••=L ，∴21232(1)n a a a a n -••••=-L ，故当2n ≥时，两式相除，得22(1)n n a n =-， ∴221 (=1) (2)(1)n n a n n n ⎧⎪=⎨≥⎪-⎩．3、 叠加法：对于型如)(1n f a a n n =-+类的通项公式．例、在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .答案：na n 14-=. 例、已知数列{}n a 满足112231n n n n a a ++=++-（*n N ∈），352a =，求通项n a .解：由112231n nn n aa ++=++-，两边同除以12n +，得()111131112222n n n n n n n a a n ++++-=-+≥，列出相加得121212121332323212212121-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=---n a a n n n n ΛΛ又由已知求得16a =，∴()*231n n n n N a n ∈=•++．练习：已知数列}a {n 满足3a 132a a 1nn 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式．答案：1n 32n 31332a n nn -+=++--⋅=．4、叠乘法：一般地，对于型如1+n a =f (n)·n a 的类型例（理）、已知数列{}n a 满足112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式．解：因为112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则12(1)5n n na n a +=+，故13211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅L 121[2(11)5][2(21)5][2(11)5]3n n n n --=-+-++⨯⨯L (1)1(1)(2)21122[(1)32]53325!n n n n n n n n n ---+-+++-=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯L L ，所以数列{}n a 的通项公式为(1)12325!n n n n a n --=⨯⨯⨯．练习：在数列{a n }中，112a =，11(1n n n a a a n --=⋅+≥2），求n a ． 答案：）1(1+=n n a n ． 5、构造法：型如a n+1=pa n +f(n) (p 为常数且p ≠0， p ≠1)的数列(1)f(n)= q (q 为常数) 一般地，递推关系式a +1=pa n +q (p 、q 为常数，且p ≠0，p ≠1)等价与)1(11pqa p p q a n n --=--+，则{p q a n --1}为等比数列，从而可求n a ．例、已知数列{}n a 满足112a =，132n n a a --=（2n ≥），求通项n a ． 解：由132n n a a --=，得111(1)2n n a a --=--，又11210a -=≠，所以数列{1}n a -是首项为12，公比为12-的等比数列，∴11111(1)()1()22n nn a a -=---=+-． 练习：已知数列}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a ，求通项n a ． 答案：12-=n na ．(2) f(n)为等比数列，如f(n)= q n (q 为常数) ，两边同除以q n ，得111+=++nn n n qa p q a q ，令nn n a b q =，则可转化为b n+1=pb n +q 的形式求解．例、已知数列{a n }中，a 1=65，1111()32n n n a a ++=+，求通项n a ． 解：由条件，得2 n+1a n+1=32(2 n a n )+1，令b n =2 n a n ，则b n+1=32b n +1，b n+1-3=32（b n -3） 易得 b n =3)32(341+--n ，即2 n a n =3)32(341+--n ， ∴ a n =n n 2332+-． 练习、已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求通项n a ．答案：31()222nn a n =-．(3) f(n)为等差数列，如1n n a Aa Bn C +=++型递推式，可构造等比数列．（选学，注重记忆方法）例、已知数列{}n a 满足11=a ，11212n n a a n -=+-（2n ≥），求．解：令n n b a An B =++，则n n a b An B =--，∴11(1)n n a b A n B --=---，代入已知条件， 得11[(1)]212n n b An B b A n B n ---=---+-，即11111(2)(1)2222n n b b A n A B -=++++-，令202A +=，1022A B +-=，解得A=－4，B=6，所以112n n b b -=，且46n n b a n =-+， ∴{}n b 是以3为首项、以12为公比的等比数列，故132n n b -=，故13462n n a n -=+-． 点拨：通过引入一些尚待确定的系数，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）求解． 练习：在数列{}a n 中，132a =，1263n n a a n --=-，求通项a n ． 答案：a n nn -+=69912·()．解：由1263n n a a n --=-，得111(63)22n n a a n -=+-，令11[(1)]2n n a An B a A n B -++=+-+，比较系数可得：A=－6，B=9，令n n b a An B =++，则有112n n b b -=，又1192b a A B ==++，∴{}n b 是首项为92，公比为12的等比数列，所以b n n =-92121()，故a n n n-+=69912·()． (4) f(n)为非等差数列，非等比数列法一、构造等差数列法例、在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>，求数列{}n a 的通项公式．解：由条件可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴数列2n n n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是首项为0，公差为1的等差数列，故21nnn a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴(1)2n n n a n λ=-+． 练习：在数列{a n }中，a na n a n n n n n 1132212==+++++，()()()，求通项a n 。

数列通项公式的求法技巧大全一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二。

四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。

等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。

三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。

2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n nn n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

例2 已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

通项公式的十一种求法---1．形如1n a +=p n a +q （p 、q 为常数）型1(){}111n n n q q q a p a a p p p ++=++---注：利用待定系数的方法得到：从而构造出数列为等比数列也可化为1n a +-n a =p(n a -1n a -)，利用数列{1n a +-n a }求解1111()(,,0,0)n n n n n a a q q p p q p p p+++=+≠≠也可化为为常数且 例1．已知数列}{n a 中，,2121,211+==+n n a a a 求通项n a . 例2.已知数列{an }满足1a =1，1n a +=2n a +1（1）求证：数列{1n a +}是等比数列；（2）求数列{n a }的通项公式.2.形如)(1n f pa a n n +=+型(1)若b kn n f +=)((其中k,b 是常数，且0≠k ) 方法：相减法例1. 在数列}{n a 中，,23,111n a a a n n +==+求通项n a . 例2. 在数列{}n a 中，362,2311-=-=-n a a a n n ,求通项n a . (2)若n q n f =)((其中q 是常数，且n ≠0,1)①若p=1时，即：n n n q a a +=+1，累加即可.②若1≠p 时，即：n n n q a p a +⋅=+1，求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以1+n p. ii.两边同除以1+n q . 即： qq a q p q a n n n n 111+⋅=++, iii.待定系数法：设)(11n n n n p a p q a ⋅+=⋅+++λλ.通过比较系数，求出λ，转化为等比数列求通项. 例1. 设0a 为常数，且)(2311N n a a n n n ∈-=--．证明：对任意n ≥1，012)1(]2)1(3[51a a n n n n n n ⋅-+⋅-+=-；3.形如sra q pa a n n n ++=+1型 （1）0,0,,=≠q s r p 即s ra pa a n n n +=--11 取倒数或者消分母然后除以乘积式 （2）.形如),,(1为定值q p m qa p ma a n n n ++=+型 不动点法 例1. 设数列｛a n ｝满足7245,211++==+n n n a a a a ,求｛a n ｝的通项公式. 4.形如11-++=n n n qa pa a (其中p,q 为常数)型（1）当p+q=1时 用转化法例1.数列{}n a 中，若2,821==a a ,且满足03412=+-++n n n a a a ,求n a . 把03412=+-++n n n a a a 变形为)(3112n n n n a a a a -=-+++.（2）当042≥+q p 时 用待定系数法.例2. 已知数列{}n a 满足06512=+-++n n n a a a ，且5,121==a a ,且满足,求n a . 解：令)(112n n n n xa a y xa a -=-+++,即0)(12=++-++n n n xya a y x a5. 形如r n n pa a =+1(其中p,r 为常数)型 （1）p>0，0>n a 等式两边同时取对数.例1. 设正项数列{}n a 满足11=a ，212-=n n a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式.（2）p<0时 用迭代法。

数列通项公式—常见9种求法一、公式法例1 已知数列满足，，求数列的通项公式。

解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。

二、累加法例2 已知数列满足，求数列的通项公式。

解：由得则所以数列的通项公式为。

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。

例3 已知数列满足，求数列的通项公式解：由得所以评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。

例4已知数列满足，求数列的通项公式。

解：两边除以，得，则，故因此，则评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。

三、累乘法例5 已知数列满足，求数列的通项公式。

解：因为，所以，则，故所以数列的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。

例6 已知数列满足，求的通项公式。

解：因为①所以②用②式－①式得则故所以③由，，则，又知，则，代入③得。

所以，的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。

四、待定系数法例7已知数列满足，求数列的通项公式。

解：设④将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得⑤由及⑤式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。

例8 已知数列满足，求数列的通项公式。

解：设⑥将代入⑥式，得整理得。

令，则，代入⑥式得⑦由及⑦式，得，则，故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。

高中数学必须掌握的十种数列通项公式的解题方法和典型例题
在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的考查，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键和解决数列难题的瓶颈。

求通项公式也是学习数列时的一个难点。

由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强。

通项公式普通的求法：
（1）构造等比数列：凡是出现关于后项和前项的一次递推式都可以构造等比数列求通项公式；
（2）构造等差数列：递推式不能构造等比数列时，构造等差数列；
（3）递推：即按照后项和前项的对应规律，再往前项推写对应式。

已知递推公式求通项常见方法：
①已知a1=a,a n+1=qa n+b,求a n时，利用待定系数法求解，其关键是确定待定系数λ，使a n+1+λ=q(a n+λ)进而得到λ。

②已知a1=a,a n=a n-1+f(n)(n≥2),求a n时，利用累加法求解，即
a n=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a n-a n-1)的方法。

③已知a1=a,a n=f(n)a n-1(n≥2)，求a n时，利用累乘法求解。

非常实用的十大解题方法及典型例题
方法一数学归纳法
方法二 Sn 法
方法三累加法
方法四累乘法
方法五构造法一
方法六构造法二
方法七构造法三
方法八构造法四
方法九构造五
方法十构造六。

求数列通项公式的十一种方法总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法二。

四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。

等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。

三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。

2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n nn n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

例2 已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

求数列通项公式九法数列通项公式直接表述了数列的本质，是给出数列的一种重要方法。

求数列通项公式是高中数学中最为常见的题型之一，它既考察等价转换与化归的数学思想，又能反映学生对数列的理解深度，具有一定的技巧性，下面分别介绍几种常见的数列通项的求法。

一、观察法例1：求下列数列的通项公式（1）22—12 ，32—13 ，42—14 ，52—15，… （2）－11×2 ，12×3 ，－13×4 ，14×5，… （3）23 ，1，107 ，179 ，2611，… 解：（1）a n =n 2—1n （2）a n = （－1）n n （n+1） （3） a n =n 2＋12n ＋1评注：认真观察所给数据的结构特征，找出a n 与n 的对应关系，正确写出对应的表达式。

二、基本数列法直接利用等差、等比数列的通项公式a n =a 1+（n －1）d 和a n =a 1q n －1写通项，但先要根据条件寻求首项、公差和公比。

也可以通过等差、等比数列求和来求通项例2：求下列数列的通项公式（1）0.7，0.77，0.777，… （2）1，1+2，1+2+3，…解：（1）a n =7×（110 +1102 +1103 +…+110n ）=7×110 [1－（110 ）n ]1－110 =79 （1－110n ） （2）a n =1+2+3+…n=n （n+1）2评注：关键是根据数据的变化规律搞清楚第n 项的数据特点。

三、用累加法求a n =a n －1+f （n ）型通项例3：（1）数列{a n }满足a 1=1且a n =a n －1+3n －2（n ≥2），求a n 。

（2）数列{a n }满足a 1=1且a n =a n －1+12n （n ≥2），求a n 。

解：（1）由a n =a n －1+3n －2知a n －a n －1=3n －2，记f （n ）=3n －2= a n －a n －1则a n = （a n －a n －1）+（a n －1－a n －2）+（a n －2－a n －3）+…（a 2－a 1）+a 1=f （n ）+ f （n －1）+ f （n －2）+…f （2）+ a 1=（3n －2）+[3（n －1）－2]+ [3（n －2）－2]+ …+（3×2－2）+1 =3[n+（n －1）+（n －2）+…+2]－2（n －1）+1=3×（n+2）（n －1）2 －2n+3=3n 2－n 2（2）由a n =a n －1+12n 知a n －a n －1=12n ，记f （n ）=12n = a n －a n －1 则a n =（a n －a n －1）+（a n －1－a n －2）+（a n －2－a n －3）+…（a 2－a 1）+a 1=f （n ）+ f （n －1）+ f （n －2）+…f （2）+ a 1=12n +12n －1 +12n －2 +…+122 +1=12 －12n评注：当f （n ）=d （d 为常数）时，数列{a n }就是等差数列，教材对等差数列通项公式的推导其实就是用累加法求出来的。

常见数列通项公式的求法公式：1、 定义法：若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式()d n a a n 11-+=或11-=n n q a a 中即可.例1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{}n b 的345,,b b b ,求数列{}n b 的的通项公式.练习：数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,数列{}n c 中对于任何*n N ∈都有1234127,0,,,,6954n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式.2、 累加法：形如()n f a a n n =-+1()1a 已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式. （1） 当()f n d =为常数时，{}n a 为等差数列，则()11n a a n d =+-； （2） 当()f n 为n 的函数时，用累加法.（3）已知1a ，()n f a a n n =-+1，()f n 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. ①若()f n 可以是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若()f n 可以是关于n 的二次函数，累加后可分组求和；③若()f n 可以是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ④若()f n 可以是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和求和.例2、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式. 练习1：已知数列{}n a 满足11322,.n n n a a n a a +=++=且求练习2：已知数列{}n a 中，111,32n n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式. 练习3：已知数列{}n a 满足11211,,2n n a a a n n+==++求求{}n a 的通项公式. 3、 累乘法：形如()1n n a f n a +=()1a 已知型的的递推公式均可用累乘法求通项公式.给递推公()()1,n naf n n N a ++=∈式中的n 依次取1,2,3，……，1n -,可得到下面1n -个式子：()()()()23412311,2,3,,1.n n aa a af f f f n a a a a -====- 利用公式()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈可得：()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯- 例3、已知数列{}n a 满足11,2,31n n n n a a a a n +==+求. 练习1：数列{}n a 中已知1121,n n a n a a n++==, 求{}n a 的通项公式. 练习2:设{}n a 是首项为1的正项数列，且2211(1)0n n n n n a na a a +++-+=，求{}n a 的通项公式.4、 奇偶分析法(1) 对于形如()1n n a a f n ++=型的递推公式求通项公式①当()1n n a a d d ++=为常数时，则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论.②当()f n 为n 的函数时，由()1n n a a f n ++=，()11n n a a f n -+=-两式相减，得到()()+111n n a a f n f n --=--，分奇偶项来求通项.例4、数列{}n a 满足111,4n n a a a +=+=，求{}n a 的通项公式. 练习：数列{}n a 满足116,6n n a a a +=+=-，求{}n a 的通项公式. 例5、数列{}n a 满足110,2n n a a a n +=+=，求{}n a 的通项公式. 练习1: 数列{}n a 满足111,1n n a a a n +=-+=-，求{}n a 的通项公式.练习2：数列{}n a 满足112,31n n a a a n +=+=-，求{}n a 的通项公式. (2) 对于形如()1n n a a f n +⋅=型的递推公式求通项公式①当()1n n a a d d +⋅=为常数时，则数列为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论.②当()f n 为n 的函数时，由()1n n a a f n +⋅=，()11n n a a f n -⋅=-两式相除，得到()()+111n n f n a a f n -=-，分奇偶项来求通项.例6、已知数列{}n a 满足112,4n n a a a +=⋅=，求{}n a 的通项公式. 练习：已知数列{}n a 满足112,23n n a a a +=⋅=-，求{}n a 的通项公式. 例7、已知数列{}n a 满足1113,2nn n a a a +⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，求{}n a 的通项公式.练习1: 数列{}n a 满足112,3nn n a a a +=⋅=，求{}n a 的通项公式. 练习2：数列{}n a 满足111,2nn n a a a +=⋅=，求{}n a 的通项公式.5、 待定系数法（构造法）：若给出条件直接求n a 较难,可通过整理变形等从中构造出一个等差或等比数列,从 而根据等差或者等比数列的定义求出通项.常见的有:(1)()1,n n a pa q p q +=+为常数(){}1,n n n a t p a t a t +⇒+=++构造为等比数列.(2)()11111,n pn n nn n n na a a pa tp t p tp p +++++=+−−−−−−→=+两边同时除以为常数 (3)()()11111,,,1n pn n nn n n na a p a pa tq t p q t q q q +++++=+−−−−−−→=+两边同时除以为常数再参考类型(4)()1,,n n a pa qn r p q r +=++是常数⇒ ()()11n n a n p a n λμλμ++++=++ (5)21+n n n a pa qa ++=(){}2111t ,t n n n n n n a ta p a a a a ++++⇒-=--构造等比数列 例8、已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 练习：已数列{}n a 中，11a =且111,____.2n n n a a a +=+=则 例9、已知数列{}n a 中，1113,33n n n a a a ++==+, 求{}n a 的通项公式.练习1：已知数列{}n a 中，113,22nn n a a a -=-=+，则=n a ________．练习2：已知数列{}n a 中，112,3433n n n a a a +==+⋅, 求{}n a 的通项公式. 例10、已知数列{}n a 满足11162,1,n n n a a a ++=+=求.n a练习1：设数列{n a }满足n n n a a a 23,111+==+，则=n a ________．练习2：已知数列{}n a 中，111511,632n n n a a a ++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，求n a .练习3：已知数列{}n a ()n N *∈的满足：111113,432,,7n n n a k a a n k k R --⎛⎫=-=-≥≠∈ ⎪⎝⎭（1）判断数列47n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是否成等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式.例11、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +==+, 求{}n a 的通项公式. 练习1：数列{}n a 中已知112,32n n a a a n +==-+, 求{}n a 的通项公式.练习2：数列{}n a 中已知2112,322n n a a a n n +==+-+, 求{}n a 的通项公式.例12、已知数列{}n a 中，()12125,2,2+33n n n a a a a a n --===≥，求求{}n a 的通项公式. 练习1：已知数列{}n a 中，12+2+1211,2,+33n n n a a a a a ===，求求{}n a 的通项公式. 练习2：在数列{}n a 中，11a =，253a =，2n a +=153n a +-23n a ，令1n n n b a a +=- 。

求数列通项公式的十一种方法(方法全，例子全，归纳细)总述：一．利用递推关系式求数列通项的11 种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法(逐差法) 、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法(目的是去递推关系式中出现的根号) 、数学归纳法、不动点法(递推式是一个数列通项的分式表达式) 、特征根法二。

四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。

等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。

三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

、累加法1．适用于：a n 1 a n f (n) ------------------ 这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。

2．若a n 1 a n f (n) (n 2) ，a2 a1 f (1)a3 a2 f (2) LLa n 1 a n f ( n)n两边分别相加得a n 1 a1 f (n )k1例1已知数列｛a n ｝满足a n 1a n 2n 1, a i 1，求数列｛a n ｝的通项公式。

解：由 a n 1 a n 2n 1 得 a n 1 a n 2n 1 则a n (a n a n 1) (a n 1 a n 2) L @3a 2) (a 2 aja 1 [2( n 1) 1] [2( n 2) 1]L (2 21) (2 11) 12[(n 1) (n 2) L 2 1] (n 1) 1 (n 1)n 2 (n 1) 12(n 1)( n 1) 1 2n2所以数列｛a n ｝的通项公式为a n n 。

例2已知数列｛a n ｝满足a n 1 a n 2 3n 1，印3，求数列 佝｝的通项公式。

解法一：由a n 1 a n n 2 31 得 a n 1a n n2 31则a n (a * an 1)(a n 1 a n 2) L(a 3 a 2) (a 2 a 1) a 1n (2 3 1 1) (2 3n 21)L (2 32 31 1) (2 31) 312(33n2L 32 ；31)(n 1)3「(1 3n1)2(n 1) 31 3n3 3 n 133 n1所以a n 3n n 1.解法二：时3an 2 3 1两边除以3n1，得鄴J 3 3a n 2 n3 32132)3 32 3a3na n 3a n 1)a n 1(an 1a n 1a n 2) (a n 2(尹z a2 q 色(3231)33n )1)12门22(n 1)313n 3n13n2Lan 13n22答案：n数、分式函数，求通项 an .① 若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和 ② 若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和 ； ③ 若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和 ④ 若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。