高二数学第七章练习题一及答案

第七章综合测试一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．以2i +22i +的实部为虚部的新复数是（ ）A ．22i -B ．C ．2i +D2．z 是z 的共扼复数，若2z z +=，()2z z i -=（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1i +B ．1i --C ．1i -+D ．1i -3．设z 是复数，则下列命题中的假命题是（ ） A ．若20z ≥，则z 是实数 B ．若20z ＜，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则20z ≥D ．若z 是纯虚数，则20z ＜4．若()2x i i y i -=+，x ，y ∈R ，则复数x yi +等于（ ） A ．2i -+B ．2+iC ．12i -D ．1+2i5．已知互异的复数a ，b 满足0ab ≠，集合{}{}22,,a b a b =，则a b +=（ ） A ．2B ．1C ．0D ．1-6．若复数z 满足()34|43|i z i -=+，则z 的虚部为（ ） A ．4-B ．45-C ．4D ．457．i 是虚数单位，若1+72ia bi i=+-（a ，b ∈R ），则ab 的值是（ ） A ．15-B ．3C ．3-D ．158．若()12z x yi =-+与23z x i =+（x ，y ∈R ）互为共轭复数，则1z 对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．已知集合{}21,2,A z zi =，{}2,4B =，i 为虚数单位，若{}2A B =∩，则纯虚数z 为（ ） A ．iB ．i -C ．2iD ．2i -10．已知i 是虚数单位，复数1z a i=-（a ∈R ）在复平面内对应的点位于直线20x y -=上，则复数z 的虚部为（ ） A ．2B ．3C ．15i D ．1511．复数11+i 在复平面内的对应点到原点的距离为（ ）A ．12B C ．1D12．已知复数32z i =-+（i 为虚数单位）是关于x 的方程220x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，则p q +的值为（ ）A ．22B ．36C ．38D ．42二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．复数11+z i=（i 为虚数单位），则||z =________． 14．若z ∈C ，且22||1z i +-=，则|z 22|i --的最小值为________．15．设复数11z i =+，22z xi =+（x ∈R ），若12·z z ∈R ，则x 的值为________． 16．下列说法中正确的序号是________．①若()()213x i y y i -+=--，其中x ∈R ，C C y =R ，则必有()21,13;x y y -=⎧⎪⎨=--⎪⎩②21i i ++＞；③虚轴上的点表示的数都是纯虚数； ④若一个数是实数，则其虚部不存在；⑤若1z i=，则31z +对应的点在复平面内的第一象限． 三、解答题（本题共6小题，共70分）17．（10分）设复数()()22lg 2232z m m m m i =--+++，当m 为何值时， （1）z 是实数？（2）z 是纯虚数？18．（12分）已知复数1z 满足()1115i z i +=-+，22z a i =--，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若121||||z z z -＜，求a 的取值范围．19．（12分）设复数()()2214sin 12cos z a i θθ=-++，()0,θπ∈，2z 在复平面内对应的点在第一象限，且2234z i =-+．（1）求2z 及2||z ．（2）若12z z =，求θ与a 的值．20．（12分）已知复数z满足||z ，2z 的虚部是2． （1）求复数z ；（2）设z ，2z ，2z z -在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求ABC △的面积．21．（12分）已知复数()311z i i =-． （1）求1||z ；（2）若||=1z ，求1||z z -的最大值．22．（12分）设1z 是虚数，2111z z z =+是实数，且211z -≤≤． （1）求1||z 的值以及1z 的实部的取值范围； （2）若111=1z z ω-+，求证：ω为纯虚数．第七章综合测试答案解析一、 1.【答案】A【解析】设所求新复数为z a bi =+（a ，b ∈R ），由题意知，复数2i 的虚部为2，即2a =；复数()22212i +=+⨯-=-的实部为2-，即2b =-，则所求的新复数为22z i =-。

第七章知识总结及测试一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）1．（2020·全国高一课时练习）已知复数z 对应的向量为OZ （O 为坐标原点），OZ 与实轴正方向的夹角为120︒，且复数z 的模为2，则复数z 为（ ） A ．1 B ．1-+C ．1--D ．1-±【答案】D【解析】设复数在复平面内对应的点的坐标为(),Z a b ，根据题意可画图形如图所示，2z =，且OZ 与x 轴正方向的夹角为120︒，1a ∴=-，b =即点Z 的坐标为(-或(1,-.1z ∴=-+或1z =--. 故选：D2．（2020·全国高一课时练习）已知i 是虚数单位，复数(1i +的虚部是（ ） A ．1 B C ．1D ．(1i【答案】C【解析】由复数的概念知，复数(1i 的虚部是1 C.3．（2020·全国高一课时练习）.已知()()5,1,3,2OA OB =-=，AB 对应的复数为z ，则z =（ ） A ．5i - B ．32i + C ．23i -+ D ．23i --【答案】D【解析】由题可知()2,3AB =-，故AB 对应的复数为23z i =-+，则23z i =--，故选：D.4．（2020·全国高一课时练习）已知a 为实数，若复数2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，则复数z 的虚部为（ ）A ．1B ．2iC ．±1D ．2【答案】D【解析】由已知21010a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得1a =，故2z i =，其虚部为2，故选：D.5．（2020·全国高一课时练习）设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ） A ．10101010i -- B ．10111010i -- C ．10111012i -- D ．10111010i -【答案】B【解析】设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++， 则24201923020(1)22020i S i i i i ii -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i iii i i--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-，可得：2(1)(1)(1)20202020202112i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-，可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++===---，故选：B.6．（2020·全国专题））若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ）A ．0B ．1C D ．2【答案】D【解析】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=.故选：D.7．（2020·全国高一课时练习）复数3a iz a i+=+-(其中a R ∈，i 为虚数单位)，若复数z 的共轭复数的虚部为12-，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】由题意得()()()()()331313331010a i i a i a ia z a a i i i ++++-=+=+=+--+， ∴()31311010a ia z +-=-，又复数z 的共轭复数的虚部为12-， ∴31102a +=，解得2a =. ∴5122z i =+，∴复数z 在复平面内对应的点位于第一象限. 故选A.8．（2020·全国高一课时练习）计算1+i +i 2+i 3+…+i 89的值为（ ） A ．1 B ．i C ．﹣i D ．1+i【答案】D【解析】由等比数列的求和公式可得：1+i +i 2+i 3+…+i 89()90111i i⨯-=-，而i 90＝i 88•i 2＝i 2＝﹣1，故1+i +i 2+i 3+…+i 89()()()()90112121111i i ii i i ⨯-+====---+1+i ， 故选：D.二、多选题（每题不止一个选项为正确答案，每题5分，共4题20分）9．（2020·全国高一课时练习）若复数z 满足(1i)3i z +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．|z |=B ．z 的实部是2C ．z 的虚部是1D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限【答案】ABD 【解析】(1i)3i z +=+，()()()()3134221112i i i iz i i i i +-+-∴====-++-，z ∴==A 正确，z 的实部是2，故选项B 正确， z 的虚部是1-，故选项C 错误，复数2z i =+在复平面内对应的点为()2,1，在第一象限，故选项D 正确.故选：ABD .10．（2020·全国高三专题练习）设i 为虚数单位，复数()(12)z a i i =++，则下列命题正确的是（ ） A ．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2B ．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是(,)122-C ．实数12a =-是z z =（z 为z 的共轭复数）的充要条件 D ．若||5()z z x i x R +=+∈，则实数a 的值为2 【答案】ACD【解析】()(12)2(12)z a i i a a i =++=-++∴选项A ：z 为纯虚数，有20120a a -=⎧⎨+≠⎩可得2a =，故正确选项B ：z 在复平面内对应的点在第三象限，有20120a a -<⎧⎨+<⎩解得12a <-，故错误选项C ：12a =-时，52z z ==-；z z =时，120a +=即12a =-，它们互为充要条件，故正确 选项D ：||5()z z x i x R +=+∈时，有125a +=，即2a =，故正确 故选：ACD11．（2020·山东枣庄市·滕州市第一中学新校高二开学考试）下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ）A ．若复数z R ∈，则z R ∈B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈C ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z =【答案】AC【解析】A 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则(i ,)z a b a b =-∈R ，因为z R ∈，所以0b =，因此z a R =∈，即A 正确；B 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则()22222z a bi a b abi =+=-+， 因为2z ∈R ，所0ab =，若0,0a b =≠，则z R ∉；故B 错；C 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则22222211a bi a b i z a bi a b a b a b -===-++++， 因为1R z∈，所以220ba b =+，即0b =，所以z a R =∈；故C 正确； D 选项，设复数1(,)z a bi a b R =+∈，2(,)z c di c d R =+∈， 则()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，因为12z z R ∈，所以0ad bc +=，若11a b =⎧⎨=⎩，22c d =⎧⎨=-⎩能满足0ad bc +=，但12z z ≠，故D 错误. 故选：AC.12．（2020·全国高一课时练习）下列关于复数的说法，其中正确的是（ ）A ．复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =B ．复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数的充要条件是0b ≠C ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12z z 是实数D ．若1z ，2z 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y 轴对称 【答案】AC【解析】对于A ：复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =，显然成立，故A 正确； 对于B ：若复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数则0a =且0b ≠，故B 错误；对于C ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所以()()2122222z a bi a bi a b b z i a =+-=-=+是实数，故C 正确；对于D ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所对应的坐标分别为(),a b ，(),a b -，这两点关于x 轴对称，故D 错误； 故选：AC三、填空题（每题5分，4题共20分）13．（2020·全国高一课时练习）已知复数12z i =-，那么1z=_____________. 【答案】1255i -【解析】12z i =-，12z i ∴=+，故()()11121212121212555i i i i i i z --====-++-. 故答案为：1255i -. 14．（2020·上海浦东新区）已知x 、R y ∈，i 为虚数单位，且()2i 1i x y -+=-+，则x y +=____________． 【答案】2【解析】()212i 1i 1x x y y -=-⎧-+=-+∴⎨=⎩121x x y y =⎧∴∴+=⎨=⎩ 故答案为：215．（2020·全国高一课时练习）已知i 为虚数单位，复数z 满足()11i z i +=-，则z 的共轭复数z 为_____________. 【答案】i【解析】由()11i z i +=-，得()()()211111i iz i i i i --===-++-，则z i =.故答案为：i . 16．（2020·全国高一课时练习）如果向量OZ 对应复数4i ，OZ 绕点O 按逆时针方向旋转45后再把模变倍得到向量1OZ ，那么与1OZ 对应的复数是_____________（用代数形式表示）. 【答案】44i -+ 【解析】()44cos90sin90i i ︒︒=+.所求复数为())4cos90sin90cos 45sin 45i ︒︒︒︒++)cos135sin1354422i i i ︒︒⎫=+=-+=-+⎪⎪⎭.故答案为：44i -+.四、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分）17．（2020·全国高一课时练习）已知复数()()22lg 2132z m m m m i =+++++（i 为虚数单位），试求实数m 分别取什么值时，z 分别为： （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.【答案】（1）2m =-；（2）()()(),22,11,m ∈-∞----+∞；（3）0m =. 【解析】（1）由22210320m m m m ⎧++>⎨++=⎩，得2m =-，∴当2m =-时，z 是实数；（2）由22210320m m m m ⎧++>⎨++≠⎩，得1m ≠-且2m ≠-，∴当()()(),22,11,m ∈-∞----+∞时，z 是虚数；（3）由题意得()22320lg 210m m m m ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，.即22320211m m m m ⎧++≠⎨++=⎩，解得0m =.∴当0m =时，z 是纯虚数. 18．（2020·全国高一课时练习）实数m 取什么值时,复数22(56)(215)z m m m m i =+++--(1)与复数212i -相等(2) 与复数1216i +互为共轭复数 (3)对应的点在x 轴上方. 【答案】（1）m ＝－1 （2）m ＝1 （3）m<－3或m>5.【解析】(1)根据复数相等的充要条件得22562{21512m m m m ++=--=-解得m ＝－1. (2)根据共轭复数的定义得225612{21516m m m m ++=--=-解得m ＝1. (3)根据复数z 的对应点在x 轴的上方可得m 2－2m －15>0，解得m<－3或m>5.19．（2020·全国高一课时练习）已知i 是虚数单位，O 为坐标原点，向量OA 对应的复数为32i +，将向量OA 向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，将得到的向量记为O A ''，分别写出：（1）向量O A ''对应的复数； （2）点O '对应的复数； （3）向量A O ''对应的复数.【答案】（1）32i +；（2）23i -+；（3）32i --.【解析】如图所示，O 为原点，点A 的坐标为()3,2，向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，点O '的坐标为()2,3-，点A '的坐标为()1,5，坐标平移不改变OA 的方向和模，（1）向量O A ''对应的复数为32i +； （2）点O '对应的复数为23i -+； （3）向量A O ''对应的复数为32i --.20．（2020·全国高一课时练习）已知复数()211z i i =+（i 为虚数单位）. （1）求1z 及1z ；（2）当复数z 满足34i 1z +-=时，求1z z -的最大值与最小值.【答案】（1）12z =-，12z =；（211. 【解析】复数()()221112122z i i i i i =+=+-==-. （1）12z =-，12z =.（2）设复数(),z x yi x y R =+∈，341z i +-=，1=，它表示复数z 对应的点到()3,4-的距离为1，构成的图形是圆心为()3,4P -，半径为1的圆，画出图形，如图所示，1z 所对应的点为()2,0A -，则圆心P 到点A 的距离为PA ==因为1z z -表示圆P 上的点到点A 的距离，所以1z z -的最大值为11PA +=，最小值为11PA -=.21．（2020·全国高一课时练习）已知复数1sin 2i z x λ=+，2()i z m m x =+（,,m x λ∈R ），且12z z =.（1）若0λ=且0πx <<，求x 的值； （2）设()f x λ=；①求()f x 的最小正周期和单调递减区间； ②已知当x α=时，12λ=，试求cos(4)3πα+的值. 【答案】（1）6π，23π；（2）①周期T π=，单调减区间511[,]1212k k ππππ++，k ∈Z ；②78- 【解析】由于12z z =，所以sin 22x mm x λ=⎧⎪⎨=⎪⎩，故sin 22x x λ=-.（1）当0λ=时，sin 220x x -=，则tan 2x =0πx <<所以022πx <<，所以π23x =或4π23x =，所以π6x =或2π3x =. （2）由于sin 22x x λ=-，故()πsin 222sin 23f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. ①函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.由ππ3π2π22π232k x k +≤-≤+，解得5π11πππ1212k x k +≤≤+，所以函数()f x 的单调递减区间为511[,]1212k k ππππ++，k ∈Z .②依题意π1sin 222sin 232x αα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以π1sin 234α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.所以ππcos 4cos 2236αα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22ππ2cos 212sin 2163αα⎛⎫⎛⎫=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1721168=⨯-=-.22．（2020·全国高一课时练习）在复平面内，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C ，对应复数分别为0，2i +，13i -+．（1）求OB ，CA 及||OB ，||CA ； （2）设OCB θ∠=，求cos θ．【答案】（1）14OB i →=+，||OB →=32CA i →=-，||CA →=；（2）10-. 【解析】（1）因为OB OA OC =+所以OB 所对应的复数12(13)1(4)z i i i =++-+=+所以(1,4)OB =，2||1OB == 因为CA OA OC =-所以CA 所对应的复数22(13)32()z i i i =+-+=--所以(3,2)CA =-，2||3CA ==（2）由题,CB CO θ=<>因为(2,1)CB OA ==，(1,3)CO OC =-=- 所以211(3)1CB CO ⋅=⨯+⨯-=-，2||2CB ==2||1CO ==所以cos cos ,10||||CB CO CB CO CB CO θ⋅=<>==-⋅。

高考数学章节测试题及答案（第七章）（120分钟 150分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2012·天津模拟)已知直线a、b是两条异面直线,直线c平行于直线a，则直线c与直线b( )(A)一定是异面直线(B)一定是相交直线(C)不可能是平行直线(D)不可能是相交直线2.在△ABC中，AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°,若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )(A)32π (B)52π (C)72π (D)92π3.如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且CF CG2CB CD3==，则( )(A)EF与GH互相平行(B)EF与GH异面(C)EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上(D)EF与GH的交点M一定在直线AC上4．（2012·黄冈模拟）已知α,β是两个不同平面，m,n是直线，下列命题中不正确的是( )（A）若m∥n,m⊥α,则n⊥α（B）若m∥α,α∩β=n,则m∥n（C）若m⊥α,m⊥β,则α∥β（D）若m⊥α,m⊂β,则α⊥β5.（2011·江西高考）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为 ( )6．如图，下列四个正方体图形中，A,B为正方体的两个顶点，M,N,P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )（A）①④（B）②④（C）①③④（D）①③7.如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)18.（2012·珠海模拟）如图为棱长是1的正方体的表面展开图，在原正方体中，给出下列三个命题：①点M到AB的距离为2；；②三棱锥C-DNE的体积是16.③AB与EF所成的角是2其中正确命题的个数是( )（A）0 （B）1 （C）2 （D）39．(易错题)如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是( )(A)点H是△A1BD的垂心(B)AH的延长线经过点C1(C)AH垂直平面CB1D1(D)直线AH和BB1所成角为45°10.（2012·北京模拟）如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=2，BD⊥CD. 将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD,则下列结论正确的是( )（A）A′C⊥BD（B）∠BA′C=90°（C）CA′与平面A′BD所成的角为30°（D）四面体A′BCD的体积为13二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分.请把正确答案填在题中横线上)11.已知三个球的半径R1,R2,R3满足R1+2R2=3R3，则它们的表面积S1,S2,S3满足的等量关系是_________.12.（2012·长沙模拟）一个五面体的三视图如图，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为_____．13．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2 cm,那么该棱柱的表面积为________.14.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切，已知这个球的体积是32，那么这个三棱柱的体积是_________.315.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P、Q、R、S分别是AB、BC、C1D1、C1C、A1B1、B1B的中点，则下列判断:（1）PQ与RS共面；（2）MN与RS共面；（3）PQ与MN共面.则正确结论的序号是_________.16.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是_________.17.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．三、解答题(本大题共5小题，共65分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)18.（12分）（2011·陕西高考）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°.（1）证明：平面ADB⊥平面BDC；（2）设BD=1，求三棱锥D-ABC的表面积.19.（13分）如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1,∠ACB=90°,AC=BC=2,AA1=4.E、F 分别是棱CC1、AB的中点.(1)求证：CF⊥BB1;(2)求四棱锥A-ECBB1的体积.20.（13分）(预测题)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E在CC1上，点F是C1D1的中点.(1)若AF∥平面BDE,求CE的长;(2)若平面BDE⊥平面A1BD,求三棱锥F-ABE的体积.21.（13分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=5，D，E分别为BC，BB1的中点，四边形B1BCC1是边长为6的正方形.(1)求证：A1B∥平面AC1D;(2)求证:CE⊥平面AC1D.22．（14分）(2011·新课标全国卷)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（1）证明：PA⊥BD;（2）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC的高．答案解析1.【解析】选C.若c∥b，∵c∥a，∴a∥b,与已知矛盾.2.【解题指南】△ABC绕直线BC旋转一周后所得几何体为一圆锥，但其内部缺少一部分.用大圆锥的体积减去小圆锥的体积即为所求几何体的体积.【解析】选A.旋转后得到的几何体是一个大圆锥中挖去一个小圆锥.故所求体积为V=V大圆锥-V小圆锥=13πr2(1+1.5-1)=32π.3.【解析】选D.依题意可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，所以E、F、G、H共面，因为EH＝12BD，FG2BD3=，故EH≠FG，所以四边形EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M，因为点M在EF上，故点M在平面ACB上，同理，点M在平面ACD上，即点M是平面ACB与平面ACD的交点，而AC是这两个平面的交线，所以点M一定在平面ACB与平面ACD的交线AC上，故选D.4．【解析】选B.如图m∥α,α∩β=n,但m与n不平行.5.【解题指南】在左视图中，长方体的体对角线投到了侧面，成了侧面的面对角线，易得答案．【解析】选D．根据正投影的性质，结合左视图的要求知，长方体的体对角线投到了侧面，成了侧面的面对角线，结合选项即得选项D正确．6．【解析】选D.①取前面棱的中点，证AB平行于平面MNP即可；③可证AB与MP平行.7.【解析】选B.因为AB⊥BD,面ABD⊥面BCD，且交线为BD，故有AB⊥面BCD，·则面ABC⊥面BCD，同理CD⊥面ABD，则面ACD⊥面ABD，因此共有3对互相垂直的平面.8.【解析】选D.依题意可作出正方体的直观图如图，显然M到AB的距离为12MC=22，∴①正确，而V C-DNE=111⨯⨯⨯⨯,∴②正确，111=326π，AB与EF所成的角等于AB与MC所成的角，即为2∴③正确.9．【解析】选D.因为三棱锥A-A1BD是正三棱锥，故顶点A在底面的射影是底面中心，A正确；平面A1BD∥平面CB1D1,而AH垂直平面A1BD，所以AH垂直平面CB1D1，C正确；根据对称性知B正确.故选D.10．【解析】选B.在题图(2)中取BD的中点M，连接MC、A′M.∵A′B=A′D,∴A′M⊥BD.又∵平面A′BD⊥平面BCD,∴A′M⊥平面BCD.①选项A中，若A′C⊥BD,那么BD⊥平面A′MC⇒BD⊥MC.而BD⊥CD，显然BD⊥MC不可能，∴A不正确;②选项B中,∵BD⊥CD且平面A′BD⊥平面BCD，可得CD⊥平面A′BD,可知CD⊥A′D，在△A′CD中，A′D=CD=1⇒A′..又∵A′B=1，∴∴在△A′BC中,A′B2+A′C2=BC2，∴∠BA′C=90°，故B正确;③选项C中,由②分析知,∠CA′D即为CA′与平面A′BD所成的角，在Rt△A′DC中，,cos∠CA′D=A'D∴∠CA ′D 为45°，故C 不正确;④选项D 中,由①知A ′M ⊥平面BCD,得V A ′-BCD =13S △BCD ×A ′M=1111=3226⨯⨯，故D 不正确.故选B.11.【解析】S 1=4πR 211，23，故123R R R ===，由R 1+2R 2=3R 3，12. 【解析】由三视图可知，此几何体是一个底面为直角梯形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，其体积为V ＝1132⨯×(1＋2)×2×2＝2. 答案：2【方法技巧】三视图的考查方式三视图是新课标的新增内容，主要考查学生的空间想象能力，新增内容总会重点考查，所以近年来三视图的有关问题一直是高考考查的重点和热点，其考查方式有以下特点：一是给出空间图形选择其三视图；二是给出三视图，判断其空间图形或还原直观图，有时也会和体积、面积、角度的计算或线面位置关系的判定相结合.13．【解题指南】根据正四棱柱的体对角线与球直径相同解题. 【解析】设正四棱柱的高为h,则得h=.故S表=4×(2××22=8+2).答案：(8+214.【解题指南】根据组合体的特征求得三棱柱的底面边长和高，然后求体积即可.【解析】易求得球的半径为2，球与正三棱柱各个面都相切，可知各切点为各个面的中心，棱柱的高等于球的直径，设棱柱底面三角形的边长为a，则有1a23⨯＝2⇒a＝V24⨯=答案：15.【解析】可证PQ与RS平行，从而共面，NQ与PM平行，故PQ与MN也共面，故（1）、（3）正确，MN与RS是异面直线，故（2）错.答案：(1)、（3）16.【解析】取BC的中点N，连接B1N，则AN⊥平面B1C，∴AN⊥BM，由几何知识知B1N⊥BM，∴BM⊥平面AB1N，∴BM⊥AB1，故所求角为90°.答案：90°17.【解析】设正三棱柱的底面边长为a，高为2h，则BD＝C1DBC1BC1D是面积为6 的直角三角形，得2222222(a h)a4h1(a h)62⎧⨯⎪⎨⎪⎩＋＝＋＋＝，解得2a8h2⎧⎨⎩＝＝，故此三棱柱的体积为V＝12×8×sin 60°×4＝.答案：18.【解析】（1）∵折起前AD是BC边上的高，∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，又DB∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC，∵AD⊂平面ABD．∴平面ABD⊥平面BDC.（2）由（1）知，DA⊥DB,DB⊥DC,DC⊥DA,∵DB=DA=DC=1，∴,从而S△DAB=S△DBC=S△DCA=12×1×1=12，S△ABC=12×sin60°=2,故表面积：S=1219.【解析】（1）∵三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱, ∴BB1⊥平面ABC，又∵CF⊂平面ABC，∴CF⊥BB1.(2)∵三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，∴BB1⊥平面ABC，又∵AC⊂平面ABC，∴AC⊥BB1,∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC,∵BB1∩BC=B.∴AC⊥平面ECBB1，∴1A ECBB V -=1ECBB 1S 3四边形·AC,∵E 是棱CC 1的中点，∴EC=12AA 1=2，∴1ECBB S 边四形=12(EC+BB 1)·BC=12×(2+4)×2＝6,∴1A ECBB V -=131ECBB S 边四形·AC=13×6×2=4.20.【解析】(1)连接AC 交BD 于O,连接CF 交DE 于P,连接PO∵AF ∥平面BDE,∴AF ∥PO,又O 为AC 中点, ∴P 为CF 中点.在正方形DD 1C 1C 中，延长DE 交D 1C 1的延长线 于点Q,则由平面几何知识得11C E 1=D D 3，所以CE=43. (2)如图，由平面BDE ⊥平面A 1BD 且EO ⊥BD, 所以EO ⊥平面A 1BD ，∵A 1B ⊥AB 1,A 1B ⊥B 1C 1,∴A 1B ⊥平面AB 1C 1， ∴A 1B ⊥AC 1, 同理A 1D ⊥AC 1, 又∵A 1B ∩A 1D=A 1,∴AC 1⊥平面A 1BD ，∴EO ∥AC 1,因此E 为CC 1的中点，连接BC 1，B 1C ⊥BC 1,B 1C ⊥AB, ∴B 1C ⊥平面ABC 1F ，即B 1C ⊥平面ABF ， ∴E 点到平面ABF 的距离为14B 1C ，即22，又S△ABF=12AB·BC1=12×2×22=22,所以V F-ABE=V E-ABF=13S△ABF·22=23.21.【解析】(1)连接A1C,与AC1交于O点，连接OD.因为O，D分别为AC1和BC的中点,所以OD∥A1B.又OD⊂平面AC1D，A1B 平面AC1D,所以A1B∥平面AC1D.（2）在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,又AD⊂平面ABC,所以BB1⊥AD.因为AB=AC,D为BC的中点,所以AD⊥BC.又BC∩BB1=B,所以AD⊥平面B1BCC1.又CE⊂平面B1BCC1,所以AD⊥CE.因为四边形B1BCC1为正方形，D，E分别为BC,BB1的中点, 所以Rt△CBE≌Rt△C1CD,∠CC1D=∠BCE.所以∠BCE+∠C1DC=90°.所以C1D⊥CE.又AD∩C1D=D,所以CE⊥平面AC1D.22．【解析】（1）因为∠DAB=60°，AB=2AD, 由余弦定理得BD=3AD,从而BD2+AD2= AB2，故BD⊥AD,又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD,又PD∩AD=D, 所以BD⊥平面PAD,故 PA⊥BD.（2）如图，作DE⊥PB，垂足为E.已知PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC.由（1）知BD⊥AD，又BC∥AD，所以BC⊥BD,因为BD∩PD=D,故BC⊥平面PBD，所以BC⊥DE.则DE⊥平面PBC.由题设知，PD=1，则BD=3，PB=2，，根据DE·PB=PD·BD，得DE=32即棱锥D-PBC的高为3.2。

高中数学第七章复数经典大题例题单选题1、已知z =2+i ，则z−i 1+i =（ ）A ．1−2iB ．2+2iC ．2iD ．−2i答案：D分析：根据共轭复数的定义及复数的除法法则即可求解.由z =2+i ，得z =2−i ，所以z−i 1+i =2−i−i 1+i =2(1−i )×(1−i )(1+i )×(1−i )=2×(1−2i+i 2)2=−2i .故选：D.2、设(−1+2i)x =y −1−6i ，x,y ∈R ，则|x −yi|=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3答案：B分析：根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得{x =−3y =4，进而求模长即可. 因为(−1+2i )x =y −1−6i ，所以{2x =−6−x =y −1，解得{x =−3y =4， 所以|x −yi |=|−3−4i|=√(−3)2+(−4)2=5.故选：B.3、已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z =z .则其中正确命题的个数为A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案：C解析：运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.对于①中复数z 1和z 2的模相等,例如z 1=1+i ,z 2=√2i ,则z 1和z 2是共轭复数是错误的;对于②z 1和z 2都是复数,若z 1+z 2是虚数,则其实部互为相反数,则z 1不是z 2的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z =a ,则z =a 所以z =z ,反之当z =z 时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z =z 是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C小提示：本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.4、在复平面内，复数z =1+i 1−i +1−i 2对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A解析：由复数的运算求出z ，则可得其对应的点的坐标，从而得出结论．z =(1+i)2(1−i)(1+i)+1−i 2=2i 2+1−i 2=12+12i ， 则z 在复平面内对应的点为(12，12)，在第一象限，故选：A .5、z 1、z 2是复数，则下列结论中正确的是（ ）A ．若z 12+z 22>0，则z 12>−z 22B ．|z 1−z 2|=√(z 1+z 2)2−4z 1⋅z 2C ．z 12+z 22=0⇔z 1=z 2=0D ．|z 12|=|z 1|2答案：D解析：举反例z 1=2+i ，z 2=2−i 可判断选项A 、B ，举反例，z 2=i 可判断选项C ，设z 1=a +bi ，(a,b ∈R )，分别计算|z 12|、|z 1|2即可判断选项D ，进而可得正确选项.对于选项A ：取z 1=2+i ，z 2=2−i ，z 12=(2+i )2=3+2i ，z 22=(2−i )2=3−2i ，满足z 12+z 22=6>0，但z 12与z 22是两个复数，不能比较大小，故选项A 不正确；对于选项B ：取z 1=2+i ，z 2=2−i ，|z 1−z 2|=|2i |=2，而√(z 1+z 2)2−4z 1⋅z 2=√42−4(2+i )(2−i )=√16−20无意义，故选项B 不正确；对于选项C ：取，z 2=i ，则z 12+z 22=0，但是z 1≠0，z 2≠0，故选项C 不正确；对于选项D ：设z 1=a +bi ，(a,b ∈R )，则z 12=(a +bi )2=a 2−b 2+2abi11z =11z =|z 12|=√(a 2−b 2)2+4a 2b 2=√(a 2+b 2)2=a 2+b 2，z 1=a −bi ，|z 1|=√a 2+b 2，所以|z 1|2=a 2+b 2，所以|z 12|=|z 1|2，故选项D 正确.故选：D.6、已知i 为虚数单位，则i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=（ ）A ．iB ．−iC ．1D ．-1答案：A分析：根据虚数的运算性质，得到i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=0，得到i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=i 2021，即可求解.根据虚数的性质知i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=1+i −1−i =0，所以i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=505×0+i 2021=i .故选：A.7、已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．−2D ．−1答案：D分析：选基底，用基向量表示出所求，由二次函数知识可得.记|BP⃗⃗⃗⃗⃗ |=x ，x ∈[0,4] 因为AP⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x 2−2x =(x −1)2−1≥−1. 故选：D8、已知关于x 的方程（x 2＋mx ）＋2x i ＝－2－2i （m ∈R ）有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于（ ）A ．3＋iB ．3－iC．－3－iD．－3＋i答案：B分析：根据复数相等得出m,n的值，进而得出复数z. 由题意知（n2＋mn）＋2n i＝－2－2i，即{n 2+mn+2=02n+2=0，解得{m=3,n=−1，∴z=3−i故选：B多选题9、已知复数z=21+i，则正确的是（）A．z的实部为﹣1B．z在复平面内对应的点位于第四象限C．z的虚部为﹣iD．z的共轭复数为1+i答案：BD分析：根据复数代数形式的乘除运算化简，结合复数的实部和虚部的概念、共轭复数的概念求解即可.因为z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，所以z的实部为1，虚部为-1，在复平面内对应的点为(1，-1)，在第四象限，共轭复数为z=1+i，故AC错误，BD正确.故选：BD10、复数z=1−i，则（）A．z在复平面内对应的点的坐标为(1,−1)B．z在复平面内对应的点的坐标为(1,1)C．|z|=2D．|z|=√2答案：AD分析：利用复数的几何意义，求出复数对应的点坐标为(1,−1)，即可得答案；z=1−i在复平面内对应的点的坐标为(1,−1)，|z|=√2．故选：AD.11、已知复数z满足(1+i3)z=2，则下列说法中正确的有（）A．z的虚部是iB．|z|=√2C．z⋅z=2D．z2=2答案：BC分析：根据复数的除法运算求出z，结合相关概念以及复数乘法运算即可得结果.z=21+i3=21−i=1+i，其虚部为1，|z|=√2，z⋅z=(1+i)(1−i)=2，z2=(1+i)2=2i≠2．故选：BC.12、已知复数z1=−2+i（i为虚数单位），复数z2满足|z2−1+2i|=2，z2在复平面内对应的点为，则（）A．复数z1在复平面内对应的点位于第二象限B．1z1=−25−15iC．(x+1)2+(y−2)2=4D．|z2−z1|的最大值为3√2+2答案：ABD分析：利用复数的几何意义可判断A选项；利用复数的除法运算可判断B选项；利用复数的模长公式可判断C选项；利用复数模长的三角不等式可判断D选项.对于A选项，复数z1在复平面内对应的点的坐标为(−2,1)，该点位于第二象限，A对；对于B选项，1z1=1−2+i=−2−i(−2+i)(−2−i)=−25−15i，B对；对于C选项，由题意可得z2−1+2i=(x−1)+(y+2)i，因为|z2−1+2i|=2，则(x−1)2+(y+2)2=4，C错；对于D选项，z1−1+2i=−3+3i，则|z1−1+2i|=√(−3)2+32=3√2，所以，|z2−z1|=|(z2−1+2i)−(z1−1+2i)|≤|z2−1+2i|+|z1−1+2i|=2+3√2，D对.(), M x y故选：ABD.13、若复数z 满足：z (z +2i )=8+6i ，则（ ）A ．z 的实部为3B ．z 的虚部为1C ．zz =√10D ．z 在复平面上对应的点位于第一象限答案：ABD分析：根据待定系数法，将z =a +bi (a,b ∈R )代入条件即可求解a =3，b =1，进而即可根据选项逐一求解. 设z =a +bi (a,b ∈R )，因为z (z +2i )=8+6i ，所以zz +2iz =8+6i ，所以(a 2+b 2−2b )+2ai =8+6i ，所以a 2+b 2−2b =8，2a =6，所以a =3，b =1，所以z =3+i ，所以z 的实部为3，虚部为1，故A ，B 正确；zz =|z |2=10，故C 不正确；z 在复平面上对应的点(3,1)位于第一象限，故D 正确．故选:ABD ．填空题14、i 2 021＝________.答案：i分析：利用周期性求得所求表达式的值.i 2021=i 505×4+1=i 1=i所以答案是：i15、设复数z ，满足|z 1|=1，|z 2|=2，z 1+z 2=√3−i ，则|z 1−z 2|=____________．答案：√6解析：根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出|z 1−z 2|的值.设z 1,z 2在复平面中对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，z 1+z 2对应的向量为OZ 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，如下图所示：因为z 1+z 2=√3−i ，所以|z 1+z 2|=√3+1=2，所以cos∠OZ 1Z 3=12+22−221×2×2=14， 又因为∠OZ 1Z 3+∠Z 1OZ 2=180°，所以cos∠Z 1OZ 2=−cos∠OZ 1Z 3=−14，所以|Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=OZ 12+OZ 22−2OZ 1⋅OZ 2⋅cos∠Z 1OZ 2=1+4+1=6， 所以|Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6，又|z 1−z 2|=|Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6，所以答案是：√6.小提示：名师点评复数的几何意义：（1）复数z =a +bi (a,b ∈R )一一对应↔复平面内的点Z (a,b )(a,b ∈R )； （2）复数z =a +bi (a,b ∈R ) 一一对应↔平面向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ . 16、在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,−5).则(1−i)z =___________.答案：−2−8i ##−8i −2分析：根据给定条件求出复数，再利用复数的乘法运算计算作答.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,−5)，则z =3−5i ，所以(1−i)z =(1−i)(3−5i)=−2−8i .所以答案是：−2−8i解答题17、已知复数z 1＝4－m 2＋（m －2）i ，z 2＝λ＋2sin θ＋（cos θ－2）i （其中i 是虚数单位，m ，λ，θ∈R ）.(1)若z 1为纯虚数，求实数m 的值；(2)若z 1＝z 2，求实数λ的取值范围.答案：(1)-2；(2)[2，6]分析：（1）z 1为纯虚数，则其实部为0，虚部不为0，解得参数值；（2）由z 1＝z 2，实部、虚部分别相等，求得λ关于θ的函数表达式，根据sinθ的范围求得参数取值范围.(1)由z 1为纯虚数，则{4−m 2=0,m −2≠0,解得m ＝－2. (2)由z 1＝z 2，得{4−m 2=λ+2sinθ,m −2=cosθ−2,∴λ＝4－cos 2θ－2sin θ＝sin 2θ－2sin θ＋3=(sinθ−1)2+2. ∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝1时，λmin ＝2，当sin θ＝－1时，λmax ＝6，∴实数λ的取值范围是[2，6].18、已知m ∈R ，α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根．（1）若|α−β|=2√2，求m 的值；（2）用m 表示|α|+|β|．答案：（1）−1或3；（2）|α|+|β|={2√m,m >12,0≤m ≤12√1−m,m <0.分析：（1）由α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根．可得α+β=−2，αβ=m ，对α，β分为实数，与一对共轭虚根即可得出．（2）不妨设α⩽β，对m 及其判别式分类讨论，利用根与系数的关系即可得出．解：（1）∵α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根．∴α+β=−2，αβ=m ，若α，β为实数，即Δ=4−4m ≥0，解得m ≤1时；则2√2=|α−β|=√(α+β)2−4αβ=√4−4m ，解得m =−1．若α，β为一对共轭复数，即Δ=4−4m <0，解得m >1时；则2√2=|α−β|=√(α+β)2−4αβ=|√4m −4i|，解得m =3．综上可得：m =−1或3．（2）因为x2+2x+m=0，不妨设α⩽β．Δ=4−4m⩾0，即m⩽1时，方程有两个实数根．α+β=−2，αβ=m，0⩽m⩽1时，|α|+|β|=|α+β|=2．m<0时，α与β必然一正一负，则|α|+|β|=−α+β=√(α+β)2−4αβ=2√1−m．Δ=4−4m<0，即m>1时，方程有一对共轭虚根．|α|+|β|=2|α|=2√α2=2√m综上可得：|α|+|β|={2√m,m>1 2,0⩽m⩽12√1−m,m<0．。

第七章 练习题一、填空： 第一节1、微分方程()1y x 2='+'y 的阶 一 __.2、0)()67(=++-dy y x dx y x 是 一 阶常微分方程. 3、01"=+xy 是 二 阶常微分方程. 4、微分方程2'=y x 的通解为 c x y +=2 。

5、 153'+=+x y xy 是 1 阶常微分方程 6、与积分方程()dx y x f y x x ⎰=0,等价的微分方程初值问题是0|),,(0'===x x y y x f y7、223421xy x y x y x ''''++=+是 3 阶微分方程。

8、方程222(1)1xxd ye e dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为 29、微分方程()1/22///=+y x y 的通解中含有任意常数的个数是 310、方程()01///=+--y xy y x 的通解中含有 2 个任意常数 11、 微分方程03322=+dx x dy y 的阶是 1 第二节 1、微分方程x dye dx=满足初始条件(0)2y =的解为1x y e =+． 2、微分方程y x e y -=2/的通解是 C e e xy +=221 3、微分方程2dyxy dx=的通解是 2x y Ce = 4、一阶线性微分方程23=+y dx dy的通解为 323x Ce -+5、微分方程0=+'y y 的通解为 x ce y -=6、 微分方程323y y ='的一个特解是 ()32+=x y第三节1、tan dy y ydx x x=+通解为arcsin()y x Cx =．第五节1、微分方程x x y cos "+=的通解为213cos 6C x C x x y ++-= 2、微分方程01=+''y 的通解是（ 21221C x C x y ++-= ）3、 微分方程044=+'+''y y y 的通解是（ x e C x C y 221)(-+= )4、微分方程032=-'+''y y y 的通解是（ x x e C e C y 231+=- )5、 方程x x y sin +=''的通解是=y 213sin 61C x C x x ++-第六节1、 一阶线性微分方程x e y dxdy-=+的通解为 ()C x e y x +=- 2、已知1=y 、x y =、2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为)1(21221c c x c x c y --++=或1)1()1(221+-+-=x c x c y第七节1、 微分方程230y y y '''--=的通解为x x e C e C y 321+=-.2、 分方程2220d xx dtω+=的通解是 12cos sin C t C t ωω+3、微分方程02=+'-''y y y 的通解为 12()x y c c x e =+第八节1、设二阶常系数线性微分方程'''x y y y e αβγ++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++，则,,αβγ的值是3,2,1αβγ=-==-2、微分方程2563x y y y xe -'''++=的特解可设为=*y *201()x y x b x b e -=+二、选择 第一节1、方程222(1)1xxd ye e dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ A ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 02、方程422421x xd y d ye e dx dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ B ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 03、微分方程()1/22///=+y x y 的通解中含有任意常数的个数是（ C ）A 、1B 、2C 、3D 、54、微分方程1243/2///+=++x y x y x xy 的通解中含有任意常数的个数是（ C ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、55、微分方程34()0'''-=x y yy 的阶数为（B ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 46、下列说法中错误的是（ B ）(A) 方程022=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程； (B) 方程220()x y yy x ''-+=是二阶微分方程；(C) 方程0)3()2(22232=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程； (D) 方程()()dyf xg y dx=是可分离变量的微分方程． 7、方程()01///=+--y xy y x 的通解中含有（ B ）个任意常数A 、1B 、2C 、3D 、4 8、 微分方程3447()5()0y y y x '''+-+=的阶数为（ B ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．49、微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是（ A ）.A. 2B. 4C. 5D. 310、 微分方程03322=+dx x dy y 的阶是（ A ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 11、 微分方程323y y ='的一个特解是（ B ）A. 13+=x yB. ()32+=x y C. ()3C x y += D. ()31+=x C y12、 方程322321x xd y d ye e dx dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ C ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 0第二节1、微分方程20y y '-=的通解为（B ）A ．sin 2y c x =B ．2x y ce =C ．24x y e =D ．x y e =2、微分方程0ydx xdy -=不是 （ B ）A. 线性方程B. 非齐次线性方程C. 可分离变量方程D. 齐次方程 3、微分方程0=+'y y 的通解为（ D ）A ．x y e =B ． x ce y -=C ． x e y -=D ． x ce y -=4、一阶常微分方程e yx dxdy -=2满足初始条件00==x y 的特解为（ D ） A x ce y = B x ce y 2= C 1212+=x y e e D ()1212+=x y e e5、微分方程02=+'y y 的通解为（ D ）A ．x e y 2-=B ．x y 2sin =C ．x ce y 2=D ．x ce y 2-= 6、 微分方程 ydy x xdx y ln ln =满足11==x y 的特解是（ C ）A. 0ln ln 22=+y xB. 1ln ln 22=+y xC. y x 22ln ln =D. 1ln ln 22+=y x第五节1、 微分方程2(1)0y dx x dy --=是（ C ）微分方程．A ．一阶线性齐次B ．一阶线性非齐次C ．可分离变量D ．二阶线性齐次第六节1、已知x y cos =，xe y =，x y sin =是方程()()()xf y x Q dx dyx P dxy d =++22的三个解，则通解为 （ C ）A x c e c x c y x sin cos 321++=B ()()x x e x c e x c y -+-=sin cos 21C ()x c x c e c c y x sin cos 12121--++=D ()x c x c e c c y x sin cos 12121++++=第七节1、微分方程02=+'-''y y y 的通解为（ D ）A ．12x x y c e c e -=+；B ．12()x y c c x e -=+；C ．12cos sin y c x c x =+；D ．12()x y c c x e =+ 2、下面哪个不是微分方程''5'60y y y +-=的解（ D ） （A ）65x x e e -+ （B ）x e （C ）6x e - （D ）6x x e e -+3、 已知2,sin ,1x y x y y ===是某二阶非齐次常微分方程的三个解，则该方程的通解为（ D ） A ．221sin 1x C x C y ++=B ．2321sin xC x C C y ++=C ．21221sin C C x C x C y --+=D ．212211sin C C x C x C y --++= 4、已知x y x y y cos ,sin ,1===是某二阶非齐次常微分方程的三个解，则该方程的通解为（ D ）A ．x C x C C y cos sin 321++=B ．xC x C C y cos sin 321++= C ．2121sin cos C C x C C y --+=D ．21211cos sin C C x C x C y --++= 5、微分方程0y y ''+=的通解为（ C ）(A) 12x x y c e c e -=+； (B) 12()x y c c x e -=+； (C) 12cos sin y c x c x =+； (D) 12()x y c c x e =+6、已知1=y ，x y =，2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则方程的通解为（ C ） A 2321x C x C C ++ B 21221C C x C x C --+ C )1(21221C C x C x C --++ D ()()2122111C C x C x C ++-+-7、已知x y y x 4='+''的一个特解为2x ，对应齐次方程0='+''y y x 有一个特解为x ln ，则原方程的通解为 （ A ）A 、221ln x c x c ++ B 、221ln x x c x c ++ C 、221ln x e c x c x ++ D 、221ln x e c x c x ++- 8、微分方程04=+''y y 的通解为（ A ）A ．x c x c y 2sin 2cos 21-= ；B ．x e x c c y 221)(-+=C x x e c e c y 2221-+=；D ．x e x c c y 221)(+=9、 分方程2220d xx dtω+=的通解是( A );A .12cos sin C t C t ωω+B .cos t ωC .sin t ωD .cos sin t t ωω+第八节1、微分方程x e y dxyd =-22的一个特解应具有的形式为 DA ()x e b ax +B ()x e bx ax +2C x aeD x axe2、设二阶常系数线性微分方程'''x y y y e αβγ++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++，则,,αβγ的值是（ C ）（A ）3,2,1αβγ===- （B ）3,2,1αβγ==-=- （C ）3,2,1αβγ=-==- （D ）3,2,1αβγ=-=-= 三、计算第二节1、求微分方程0ln '=-y y xy 的通解 解：分离变量xdxy y dy =ln ...........2分 两边积分可得 1ln ln ln C x y += ..........4分 整理可得Cx e y = .........6分 5、计算一阶微分方程ln 0x x y y '⋅-=的通解。

人教版高中数学必修二《第七章 复数》课后作业《7.1.1 数系的扩充和复数的概念》课后作业基础巩固1．复数2i -的虚部为（ ） A ．2B ．1C ．-1D ．-i2．适合2()x i x y i -=+的实数x ，y 的值为（ ） A ．0x =，2y = B ．0x =，2y =- C ．2x =，2y =D ．2x =，0y =3．设i 是虚数单位，如果复数()()17a a i ++-+的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．14．若2(1)z a a i =+-，a R ∈（i 为虚数单位）为实数，则a 的值为（ ） A ．0B ．1C ．1-D ．1或1-5．下列命题中，正确命题的个数是( )①若x ，y ∈C ，则x +yi =1+i 的充要条件是x =y =1； ②若a ，b ∈R 且a >b ，则a +i >b +i ； ③若x 2+y 2=0，则x =y =0． A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．以复数3i 3-的实部为虚部的复数是________. 7．若x 是实数，y 是纯虚数，且()212i x y -+=，则x ，y 的值为______. 8．（1）已知21(2)0x y y i -++-=，其中i 为虚数单位，求实数x ，y 的值； （2）已知()(1)(23)(21)x y y i x y y i ++-=+++，其中i 为虚数单位，求实数x 、y 的值.能力提升9．若复数()234sin 12cos z i θθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ=（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．3π或23π 10．若不等式()2222i 9i m m m m m---<+成立，则实数m 的值为______. 11．已知复数()()2123i z m m m m =-++-，当实数m 取什么值时，（1）复数z 是零； （2）复数z 是实数； （3）复数z 是纯虚数.素养达成12．已知复数()2227656 ()1a a z a a i a R a -+=+--∈-，实数a 取什么值时，z 是:①实数？②虚数？③纯虚数？《7.1.1 数系的扩充和复数的概念》课后作业答案解析基础巩固1．复数2i -的虚部为（ ） A ．2 B ．1C ．-1D ．-i【答案】C【解析】复数2i -的虚部为－1，故选C ．2．适合2()x i x y i -=+的实数x ，y 的值为（ ） A ．0x =，2y = B ．0x =，2y =- C ．2x =，2y = D ．2x =，0y =【答案】B【解析】由题意得：02x x y =⎧⎨+=-⎩，解得：02x y =⎧⎨=-⎩故选：B3．设i 是虚数单位，如果复数()()17a a i ++-+的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】由题意得17,3a a a +=-=，选B.4．若2(1)z a a i =+-，a R ∈（i 为虚数单位）为实数，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．1或1-【答案】D【解析】若()21z a a i =+-，a R ∈（i 为虚数单位）为实数，则210, 1.a a -=∴=±本题选择D 选项.5．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①若，，则的充要条件是；②若，且，则；③若，则．A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】对①，由于x ，y ∈C ，所以x ，y 不一定是x ＋yi 的实部和虚部，故①是假命题；对②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；③是假命题，如12＋i 2＝0，但1≠0，i≠0.6．以复数32i 32i -的实部为虚部的复数是________. 【答案】33i -. 【解析】32i -的虚部为3，32i -的实部为3- ∴所求复数为33i -故答案为：33i -7．若x 是实数，y 是纯虚数，且()212i x y -+=，则x ，y 的值为______.【答案】12x =，2i y = 【解析】由()212i x y -+=，得210,2i ,x y -=⎧⎨=⎩解得12x =，2i y =.故答案为：12x =，2i y =． 8．（1）已知21(2)0x y y i -++-=，其中i 为虚数单位，求实数x ，y 的值； （2）已知()(1)(23)(21)x y y i x y y i ++-=+++，其中i 为虚数单位，求实数x 、y 的值.【答案】（1）122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩；（2）42x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】（1）()2120x y y i -++-= 21020x y y -+=⎧∴⎨-=⎩，解得：122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（2）由()()()()12321x y y i x y y i ++-=+++得：23121x y x y y y +=+⎧⎨-=+⎩，解得：42x y =⎧⎨=-⎩能力提升9．若复数()234sin 12cos z i θθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ=（ ）A ．6πB ．3π C ．23π D ．3π或23π 【答案】B【解析】若复数()23412z sin cos i θθ=-++为纯虚数，则：234sin 012cos 0θθ⎧-=⎨+≠⎩，即：23sin 41cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩， 结合()0,θπ∈，可知：sin 21cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3πθ=.10．若不等式()2222i 9i m m m m m---<+成立，则实数m 的值为______. 【答案】2【解析】依题意可得2220209m m m m m ⎧-=⎪-⎪=⎨⎪<⎪⎩，即0? 22033m m m m =⎧⎪=≠⎨⎪-<<⎩或且，解得2m =.故答案为:2. 11．已知复数()()2123i z m m m m =-++-，当实数m 取什么值时，（1）复数z 是零； （2）复数z 是实数； （3）复数z 是纯虚数.【答案】（1）1m =（2）1m =或3m =-（3）0m = 【解析】（1）若复数z 是零，则()210230m m m m ⎧-=⎨+-=⎩，解得1m =，即当1m =时，复数z 是零.（2）若复数z 是实数，则2230m m +-=，解得1m =或3m =-， 即当1m =或3m =-时，复数z 是实数. （3）若复数z 是纯虚数，则()210230m m m m ⎧-=⎨+-≠⎩，解得0m =，即当0m =时，复数z 是纯虚数.素养达成12．已知复数()2227656 ()1a a z a a i a R a -+=+--∈-，实数a 取什么值时，z 是:①实数？②虚数？③纯虚数？【答案】①6a =；②1a ≠±且6a ≠；③无解.【解析】()2227656 ()1a a z a a i a R a -+=+--∈- ①若复数z 是实数，则22560,10,a a a ⎧--=⎨-≠⎩即16,1,a a a =-=⎧⎨≠±⎩或即6a =.②若复数z 是虚数，则22560,10,a a a ⎧--≠⎨-≠⎩即16,1,a a a ≠-≠⎧⎨≠±⎩且即1a ≠±且6a ≠.③若复数z 是纯虚数，则222560,760,10,a a a a a ⎧--≠⎪-+=⎨⎪-≠⎩即16161a a a a a ≠-≠⎧⎪==⎨⎪≠±⎩且，且，，此时无解.《7.1.2 复数的几何意义》课后作业基础巩固1．在复平面内，复数－2＋3i 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．设O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是( )A ．－5＋5iB ．－5－5iC ．5＋5iD ．5－5i3．如果z 是34i +的共轭复数，则z 对应的向量OA 的模是（ ） A ．1BCD ．54．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i5．已知0＜a ＜2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，5) C ．(1,3)D ．(1,5)6．已知复数z 1＝a ＋i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，则实数a ＝________.7．复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．8．若复数z ＝(m 2＋m －2)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R)的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．能力提升9．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( ) A ．1 B ．2 C. 5D ．310．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. 11．已知复数z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？素养达成12．设复数z ＝log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)，m ∈R 对应的向量为OZ →. (1)若OZ →的终点Z 在虚轴上，求实数m 的值及|OZ →|； (2)若OZ →的终点Z 在第二象限内，求m 的取值范围．《7.1.2 复数的几何意义》课后作业答案解析基础巩固1．在复平面内，复数－2＋3i 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【解析】复数－2＋3i 在复平面内对应的点为(－2,3)，故复数－2＋3i 对应的点位于第二象限．2．设O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是( )A ．－5＋5iB ．－5－5iC ．5＋5iD ．5－5i【答案】D【解析】 由复数的几何意义，得OA →＝(2，－3)，OB →＝(－3,2)，BA →＝OA →－OB →＝(2，－3)－(－3,2)＝(5，－5)．所以BA →对应的复数是5－5i.3．如果z 是34i +的共轭复数，则z 对应的向量OA 的模是（ ）A ．1BCD ．5【答案】D【解析】由题意，34z i =-，∴z 对应的向量OA 的坐标为()3,4-5=.故选:D .4．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i【答案】C【解析】 复数6＋5i 对应的点为A (6,5)，复数－2＋3i 对应的点为B (－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB 的中点C (2,4)，故点C 对应的复数为2＋4i.5．已知0＜a ＜2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，5) C ．(1,3) D ．(1,5)【答案】B【解析】 |z |＝a 2＋1，∵0＜a ＜2，∴1＜a 2＋1＜5，∴|z |∈(1，5)． 6．已知复数z 1＝a ＋i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，则实数a ＝________. 【答案】±2【解析】依题意，a 2＋1＝4＋1，∴a ＝±2.7．复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．【答案】5【解析】由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a )共线可知a ＝5.8．若复数z ＝(m 2＋m －2)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R)的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．【答案】m 的集合为⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<m <32.【解析】由题意得z ＝(m 2＋m －2)－(4m 2－8m ＋3)i ，z 对应的点位于第一象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0，－(4m 2－8m ＋3)>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0，4m 2－8m ＋3<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m <－2或m >1，12<m <32，即1<m <32，故所求m 的集合为⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<m <32.能力提升9．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( ) A ．1 B ．2 C. 5 D ．3【答案】D【解析】 ∵|z |＝2，∴复数z 对应的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，而|z －i|表示圆上一点到点(0,1)的距离，∴|z －i|的最大值为圆上点(0，－2)到点(0,1)的距离，易知此距离为3，故选D.10．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. 【答案】12【解析】由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0，m 2－9＝0，∴m ＝3，∴z ＝12i ，∴|z |＝12.11．已知复数z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？ 【答案】(1)|z 1|＞|z 2|. (2)见解析 【解析】(1)|z 1|＝ (3)2＋12＝2，|z 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋322＝1，∴|z 1|＞|z 2|. (2)由|z 2|≤|z |≤|z 1|及(1)知1≤|z |≤2.因为|z |的几何意义就是复数z 对应的点到原点的距离，所以|z |≥1表示|z |＝1所表示的圆外部所有点组成的集合，|z |≤2表示|z |＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示．素养达成12．设复数z ＝log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)，m ∈R 对应的向量为OZ →. (1)若OZ →的终点Z 在虚轴上，求实数m 的值及|OZ →|； (2)若OZ →的终点Z 在第二象限内，求m 的取值范围．【答案】(1)m ＝4，|OZ →|＝1. (2)m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋212，4.【解析】(1)log 2(m 2－3m －3)＝0，所以m 2－3m －3＝1. 所以m ＝4或m ＝－1；因为⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －3>0，m －2>0，所以m ＝4，此时z ＝i ，OZ →＝(0,1)，|OZ →|＝1.(2)⎩⎪⎨⎪⎧log 2(m 2－3m －3)<0，log 2(m －2)>0，m 2－3m －3>0，m －2>0，所以m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋212，4.《7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义》课后作业基础巩固1．计算(3)(2)i i +-+的结果为（ ） A ．52i +B ．i -C ．1D ．1- i2．若5634z i i +-=+，则复数z 的值为（ ） A ．210i -+B ．15i -+C ．410i -+D ．110i -+3．34i z =-，则复数()1i z z -+-在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,若向量OA ,OB 对应的复数分别是3+i,-1+3i,则CD 对应的复数是 ( )A ．2+4iB ．-2+4iC ．-4+2iD ．4-2i5．已知i 为虚数单位，实数x ，y 满足1z y xi =+，2z yi x =-，且122z z -=，则xy 的值是（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．1-6．复平面内122,3z i z i =+=-两个复数122,3z i z i =+=-对应的两点之间的距离为_______．7．复数65i +与34i -+分别表示向量OA 与OB ，则表示向量BA 的复数为_________. 8．已知i 为虚数单位，计算： （1）(12)(34)(56)i i i ++--+；（2）5[(34)(13)]i i i -+--+； （3）()(23)3(,)a bi a bi i a b R +---∈.能力提升9．设f(z)=|z|,z 1=3+4i,z 2=-2-i,则f(z 1-z 2)= ( )A B ．CD ．10．已知复数12z ai =+，()2z a i a R =+∈，且复数12z z -在复平面内对应的点位于第二象限，则a 的取值范围是________．11．如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1) ,AO BC 所表示的复数； (2)对角线CA 所表示的复数； (3)B 点对应的复数．素养达成12．已知平行四边形OABC 的三个顶点O A C ，，对应的复数为032i -24i ++，，. （1）求点B 所对应的复数0z ；（2）若01z z -=，求复数z 所对应的点的轨迹.《7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义》课后作业答案解析基础巩固1．计算(3)(2)i i +-+的结果为（ ） A ．52i + B ．i -C ．1D ．1- i【答案】C【解析】由题得()()32i i +-+=3+i-2-i=1.故选C 2．若5634z i i +-=+，则复数z 的值为（ ） A ．210i -+ B ．15i -+C ．410i -+D ．110i -+【答案】A【解析】∵5634z i i +-=+，∴()3456210z i i i =+--=-+，故选：A 3．34i z =-，则复数()1i z z -+-在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】34i z =-，5z ∴=，∴()1i 34i 51i 15i z z -+-=--+-=--，∴复数()1i z z -+-在复平面内对应的点为()1,5--，在第三象限.故选：C.4．在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,若向量OA ,OB 对应的复数分别是3+i,-1+3i,则CD 对应的复数是 ( )A ．2+4iB ．-2+4iC ．-4+2iD ．4-2i【答案】D【解析】 由题意可得，在平行四边形中CD BA OA OB ==-， 则(3)(13)42i i i +--+=-，所以CD 对应的复数为42i -，故选D ．5．已知i 为虚数单位，实数x ，y 满足1z y xi =+，2z yi x =-，且122z z -=，则xy 的值是（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．1-【答案】A【解析】12()()i 2z z y x x y -=++-=，即2,0,x y x y +=⎧⎨-=⎩1x y ∴==，1xy ∴=.故选：A6．复平面内122,3z i z i =+=-两个复数122,3z i z i =+=-对应的两点之间的距离为_______．【解析】21|12|d z z i =-=-==7．复数65i +与34i -+分别表示向量OA 与OB ，则表示向量BA 的复数为_________. 【答案】9i + 【解析】BA OA OB =-，所以，表示向量BA 的复数为()()65349i i i +--+=+.故答案为：9i +.8．已知i 为虚数单位，计算： （1）(12)(34)(56)i i i ++--+； （2）5[(34)(13)]i i i -+--+； （3）()(23)3(,)a bi a bi i a b R +---∈.【答案】（1）18i --；（2）44i -+；（3）(43)a b i -+-【解析】（1）(12)(34)(56)(42i)(56)18i i i i i ++--+=--+=--. （2）5[(34)(13)]5(4)44i i i i i i -+--+=-+=-+.（3）()(23)3(2)[(3)3](43)a bi a bi i a a b b i a b i +---=-+---=-+-能力提升9．设f(z)=|z|,z 1=3+4i,z 2=-2-i,则f(z 1-z 2)= ( )A B ．C D ．【答案】D【解析】 由题意得1255z z i -=+，所以12()(55)55f z z f i i -=+=+==故选D ．10．已知复数12z ai =+，()2z a i a R =+∈，且复数12z z -在复平面内对应的点位于第二象限，则a 的取值范围是________．【答案】(2,)+∞【解析】由题得12z z -=（2-a ）+(a-1)i ,因为复数12z z -在复平面内对应的点位于第二象限，所以20,210a a a -<⎧∴>⎨->⎩.故答案为(2,)+∞ 11．如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1) ,AO BC 所表示的复数； (2)对角线CA 所表示的复数； (3)B 点对应的复数．【答案】(1) －3－2i (2) 5－2i (3) 1＋6i【解析】(1) AO OA =-，所以AO 所表示的复数为－3－2i . 因为BC AO =，所以BC 所表示的复数为－3－2i .(2) CA OA OC =-，所以CA 所表示的复数为(3＋2i )－(－2＋4i )＝5－2i . (3) OB OA OC =+，所以OB 所表示的复数为(3＋2i )＋(－2＋4i )＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i .素养达成12．已知平行四边形OABC 的三个顶点O A C ，，对应的复数为032i -24i ++，，. （1）求点B 所对应的复数0z ；（2）若01z z -=，求复数z 所对应的点的轨迹.【答案】（1）016z i =+；（2）复数z 对应点的轨迹为以1,6B （）为圆心，1为半径的圆【解析】（1）由已知得(3,2),(2,4)OA OC ==-， ∴(1,6)OB OA OC =+=， ∴点B 对应的复数016z i =+． （2）设复数z 所对应的点Z ， ∵01z z -=，∴点Z 到点()1,6B 的距离为1，∴复数z 所对应的点Z 的轨迹为以()1,6B 为圆心，1为半径的圆， 且其方程为()()22161x y -+-=.《7.2.2 复数的乘除运算》课后作业基础巩固1．已知复数z =2+i ，则z z ⋅=（ ）AB C ．3D ．52．设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝（ ）A ．12B ．2C D ．23．若复数12az i i=+-（i 为虚数单位，a R ∈）的实部与虚部互为相反数，则a =（ ） A ．53-B ．13- C ．1- D ．5-4．在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5．若为a 实数,且2i3i 1ia +=++,则a =（ ） A ．4-B ．3-C ．3D ．46．已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是_____. 7．设复数z 满足(23)64z i i -=+（其中i 为虚数单位），则z 的模为______. 8．计算：（1）(4)(62)(7)(43)i i i i -+--+； （2）32322323i ii i+-+-+； （3）(2)(1)(1)(1)i i i i i--+-+.能力提升9．设i 是虚数单位，复数1a ii-+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．12D ．2-10．在复平面内，复数z 与52i-对应的点关于实轴对称，则z =______.11．在复数范围内解下列一元二次方程： （1）290x +=；（2）210x x -+=.素养达成12．古代以六十年为一个甲子用十天干和十二地支相配六十年轮一遍，周而复始。

第七章习题答案习题7.01．下列各种情形中，P 为E 的什么点？（1）如果存在点P 的某一邻域()U P ，使得()⊂c U P E （c E 为E 的余集）； （2）如果对点P 的任意邻域()U P ，都有, ()(),C U P E U P E φφ≠≠； （3）如果对点P 的任意邻域()U P ，都有. 解 （1）P 为E 的外点；（2）P 为E 的边界点；（3）P 为E 的聚点。

2.判定下列平面点集的特征（说明是开集、闭集、区域、还是有界集、无界集等？）并分别求出它们的导集和边界.(1) (){},0≠x y y ;(2) (){}22,620≤+≤x y x y ; (3) (){}2,≤x y y x ;(4) ()(){}()(){}2222,11,24+-≥⋂+-≤x y x y x y x y .解 (1) 是开集，是半开半闭区域，是无界集，导集为2R ,边界集为(){},0=x y y ；(2)既不是开集也不是闭集，是半开半闭区域，是有界集，导集为(){}22,620≤+≤x y x y ，边界集为(){}2222,=6=20++，x y x y x y ；(3) 是闭集，是半开半闭区域，是无界集，导集为集合本身,边界集为(){}2,=x y y x ；是闭集，是闭区域，是有界集，导集为集合本身，边界集为()()(){}2222,11,24+-=+-=x y x y x y习题7.11. 设求1. 解 令,=-=yu x y v x，解得,11==--u uv x y v v，故()22,11⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭u uv f u v v v ，即()()21+,1=-u v f u v v ，所以，()()21+y ,1=-x f x y y φ≠-}){()(P E P U 22,,y f x y x y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭(,).f x y2.已知函数()22,cot =+-x f x y x y xy y，试求(),f tx ty .2. 解 因为()22,cot =+-y f x y x y xy x，所以，()2222,cot ,=+-t y f tx ty tx ty txty t x即()()222,cot =+-y f tx ty t x y t xy x.3.求下列各函数的定义域 (1) 25)1(=-+z ln y xy ;(2) =z ;(3) =z(4) )0;=>>u R r(5) =u3. 解 (1)(){}2,510-+>x y yxy ；(2)(){},0->x y x y ；（3）(){}2,≥x y x y ；（4）(){}22222,<++≤x y r x y z R ；（5）(){}222,≤+x y z x y4. 求下列各极限:(1) ()()233,0,31lim →-+x y x yx y ;(2)()(,1,1ln lim→+x x y y e(3)()(,0,0lim→x y(4)()(,0,0lim→x y ;(5)()()(),0,2sin lim→x y xy x ;(6)()()()()222222,0,01cos lim→-++x y x y x y xy e.4. 解 （1）()()2333,0,31101lim 0327→--==++x y x y x y ；（2）()(()1,1,1ln ln 11lim2→+++===x x y y e e e （3）()()()(,0,0,0,0limlim→→=x y x y ()(,0,01lim4→==x y （4）()(()()),0,0,0,01limlim→→=x y x y xy xy()()),0,0=lim1=2→+x y（5）()()()()()(),0,2,0,2sin sin limlim 122→→=⋅=⋅=x y x y xy xy y x xy（6）()()()()()()()()()222222222222222,0,0,0,01cos 1cos limlim→→-+-++=⋅++x y x y x y x y x y x y xy xy eex y()()()()()()()2222222022,0,0,0,01cos 10limlim=02→→-++=⋅⋅=+x y x y x y x y xy e exy5.证明下列极限不存在: (1)()(),0,0lim→-+x y x yx y ;(2)()(),0,0lim→+-x y xyxy x y .5. (1) 解 令=y kx ,有()(),0,001limlim 1→→---==+++x y x x y x kx kx y x kx k ，k 取不同值，极限不同，故()(),0,0lim→-+x y x yx y 不存在.(2) 解令=x y()()22,0,00lim lim 1→→==+-x y x xy x xy x yx ；令2=x y()()()()22,0,02,0,0022lim lim lim 0221→→→===+-++x y y y y xy y y xy x y y y y ；01≠，故()(),0,0lim→+-x y xyxy x y不存在.6.函数=y z a 为常数）在何处间断？6. 解 因为=y z 是二元初等函数，且函数只在点集(){,x y y 上无定义，故函数在点集(){,x y y 上间断.7.用 εδ- 语言证明()(,0,0lim0→=x y .7. 证明 对0∀>ε，要使220-=≤=<ε2<ε，取=2δε<δ0-<ε，所以()(,0,0lim 0→=x y习题7.21. 设()(),sin 1arctan ,π==+-xy xz f x y e y x y 试求()1,1x f 及()1,1y f1. 解()221,sin arctan 1=+++xy x x yf x y ye y xx yyπ22=sin arctan+++xy x xy ye y y x y π.()()222,sin cos 11-=++-+xy xyy x y f x y xe y e y x x yπππ 222sin cos -=+++xyxyx x xe y e y x y πππ()()1,1,1,1∴=-=-x y f e f e2.设(),ln 2⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y f x y x x ，求()1,0'x f ，()1,0'y f .2. 解()()222122,22--==++x yx y x f x y y x x y x x()2112,22==++y x f x y yx y x x()()11,011,02∴==，x y f f . 3.求下列函数的偏导数(1) 332=++z x y xy ，(2) ()1=+xz xy ， (3) ()222ln =+z y x y ，(4) ln tan=y z x， (5) ()222ln =+z x x y ；(6)=z (7) ()sec =z xy ；(8) ()1=+yz xy ；(9) ()arctan =-zy x y ；(10) .⎛⎫=⎪⎝⎭zx u y 3. 解 （1）2232,32z z x y y x x y ∂∂=+=+∂∂（2）因为 ()ln 1,x xy z e+=所以()()()()ln 1ln 11ln 111x x xy z xy xy e xy xy xy x xy xy +⎛⎫⎛⎫∂=++=+++ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭()()22ln 1111x x xy z x x e xy y xy xy +⎛⎫⎛⎫∂==+ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭（3）()2322222222,2ln z xy z y y x y x x y y x y ∂∂==++∂+∂+（4）222222sec sec 111sec ,sec tan tan tantan y yy z y y z y x x y y y y x x x y x x x x x x x x∂∂⎛⎫⎛⎫=-=-== ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （5）()32222222222ln ,z x z x y x x y x x y y x y ∂∂=++=∂+∂+（6）z z x y ∂∂====∂∂（7）()()()()sec tan ,sec tan z z y xy xy x xy xy x y ∂∂==∂∂（8）()()22ln 1111y y xy z y y e xy x xy xy +⎛⎫⎛⎫∂==+ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭()()()()ln 1ln 11ln 111y y xy z xy xy e xy xy xy y xy xy +⎛⎫⎛⎫∂=++=+++ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭ （9）()()()()()()()11222ln ,,111z z zz z z z x y z x y x y x y u u u x y z x y x y x y ------∂∂∂==-=∂∂∂+-+-+-（10）因为 ln,x z yu e=所以ln ln ln 21,,ln zzx x x z z z y y y u z x z u z x x z u x e e e x x xy y x y y y y z y y y⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂=⋅==⋅-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4.设ln=z ，求证: 12∂∂+=∂∂z z xy x y . 4.证明 因为ln,z =所以z zx y∂∂====∂∂从而有12 z zx yx y∂∂+=+=+=∂∂5.求下列函数的二阶偏函数：(1)已知33sin sin=+z x y y x，求2∂∂∂zx y；(2)已知ln=xz y，求2∂∂∂zx y；(3)已知(ln=z x，求22∂∂z x和2∂∂∂z x y；(4)arctan=yzx求22222,,∂∂∂∂∂∂∂z z zx y x y和2∂∂∂zy x.5. 解（1）3323sin sin,3sin coszz x y y x x y y xx∂=+∴=+∂从而有223cos3coszx y y xx y∂=+∂∂（2）ln ln1,lnx xzz y y yx x∂⎛⎫=∴= ⎪∂⎝⎭从而有()()()ln1ln1ln11ln ln ln ln1xx xz yxy y y x yx y x y x--⎛⎫∂=+⋅=+⎪∂∂⎝⎭（3）(()1222 ln,zz x x yx-∂=∴===+∂从而有()()3322222222122zx y x x x yx--∂=-+=-+∂()()332222222122z x y y y x y x y --∂=-+=-+∂∂ （4）22221arctan,1y z y y z x xx x y y x ∂⎛⎫=∴=⋅-=- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 222111z x yx x y y x ∂⎛⎫=⋅= ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭从而有()()()()2222222222222222222,x y y z xy z y x x x y x y x y x y -++∂∂-===∂∂∂+++ ()()2222222222222222,z xy z x y xy x y y y x x y x y x y ⎛⎫∂-∂+--=== ⎪∂∂∂+⎝⎭++ 6. 设()ln =z y xy ，求2∂∂∂z x y 及22∂∂zy .6. 解 因为()ln ,z y xy =所以()(),ln ln 1z y y z x y xy y xy x xy x y xy∂∂===+=+∂∂从而有22211,.z z x y x y y∂∂==∂∂∂ 习题7.31. 求下列函数的全微分.(1) 2222+=-s t u s t ；(2) ()2222+=+x y xyz x y e；(3) ()arcsin0=>xz y y；(4) ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=y x x y z e ；1.解 （1）()()222232322222222()()22222∂--+⋅---==∂--u s s t s t s s st s t s s s t s t()()222223232222222()()22222u t s t s t t ts t ts s t s t s t ∂--+---==∂-- ()()2322222244u u st t dz ds dt ds dt s t s t s t ∂∂-∴=+=-∂∂--（2）()()()222222222222++++∂=++⋅∂x y x y xyxyx y x y yzxe x y exxy()2222222244222222+++⎛⎫--=++⋅=+ ⎪⎝⎭x y x y x y xyxyxyx y x y xe x y e x e x y x y()()()22222222222-2+++∂=++⋅∂x y x y xy xyy x x y xzye x y eyxy()()2222222222442222+++-+⎛⎫-=+⋅=+ ⎪⎝⎭x y x y x y xyxyxyy x x y y x yeey e xy xy2244442222x y xyz z x y y x dz dx dy x edx y dy x y x y xy +⎛⎫⎛⎫∂∂--∴=+=+++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3）2222211∂=⋅==∂--⎛⎫yzxyyy x y x x22⎛⎫⎛⎫∂=-=-= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭z x x yy y z zdz dx dy x y∂∂∴=+=∂∂（4）22221y x y x x y x y z y y x e e x x y x y ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂-=-= ⎪∂⎝⎭ 22221y x y x x y x y z x x y e e y x y xy ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂-=-+= ⎪∂⎝⎭222222y x y x x y x y z z z y x x y dz dx dy e dx e dy x y y x y xy⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∂∂∂--∴=+==+∂∂∂ 2. 求函数2arctan1=+xz y 在1,1==x y 处的全微分.2.解()()()()()()()22222222222222222211111111111++∂++=⋅=⋅=∂++++++++y y z y y x xy y x y y xy()()()()()()22222222222222211222111111+∂-⋅--=⋅=⋅=∂++++++++y z x y xy xyx yy y x y y xy()()21,11125111z x ∂+∴==∂++ ， ()()21,12125111∂-⋅==-∂++z y ()1,12255dz dx dy ∴=- 3. 求函数22=-xyz x y 当2,1,0.02,0.01==∆=∆=x y x y 时的全微分和全增量，并求两者之差.3.解 ()()()(),, 2.02,1.011,1z z x x y y z x y z z ∆=+∆+∆-=-()()22222.02 1.0121 2.0420.6670.667021 4.08 1.0232.02 1.01⨯⨯=-=-=-=--- ()()()2223222222222--⋅∂--===-∂---y x y xy x z x y y y x x y x y x y ()()()()22322222222--⋅-∂+==∂--x x y xy y z x xy y x y x y ()2,111413z x ∂∴=-=-∂- ，()()22,182110941z y ∂+⨯==∂- ()2,11100.020.010.070.0110.00439dz ∴=-⨯+⨯=-+=00.0040.004z dz ∴∆-=-=-.*4讨论函数()()()()(),0,0,0,,0,0⎧≠⎪=⎨⎪=⎩xy x y f x y x y 在()0,0点的连续性、可导性、可微性以及其偏导函数在()0,0的连续性.4.解()()()()()(),0,0,0,0lim,lim 00,0x y x y f x y xy f →→===(),f x y ∴在()0,0点连续 又()()()00,00,0000,0limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→∆--===∆∆ ()()()000,0,0000,0limlim 0y y y f y f f y y∆→∆→∆--===∆∆ ()()0,00,0,00x y f f ∴==.()(()(,0,0,0,0,0,00limlim limx y x y f x yf z dzρρ→∆∆→∆∆→∆∆--∆-==()()()0,0,0x y<∆∆→∆lim0z dzρρ→∆-∴=故函数(),f x y 在()0,0点可微. 由()(),0,0x y ≠时(),=-x f x yy xy()23222sinx yy xy=-+(),=-y f x y x xy ()23222xy x xy=-+()(),0,0lim 0x y y →= ，()()()()23,0,0222lim→=+x y x yy kx xy()()()33323222=lim11→==+⋅+x kx ky kx k xk ，k 不同值不同()()()23,0,0222lim→∴+x y xy xy 不存在，故()()(),0,0lim ,xx y f x y →不存在.(),x f x y ∴在()0,0点不连续，同理可证(),y f x y 在点()0,0不连续.*5.计算()2.050.99的近似值.5.解 令00,1,2,0.01,0.05yz x x y x y ===∆=∆= 则1,ln y y z z yx x x x y-∂∂==∂∂ ()()1,21,22,0z zx y ∂∂∴==∂∂ ()()()2.0521,21,20.991120.0100.0510.02 1.02∂∂∴≈+∆+∆=+⨯+⨯=+=∂∂z zx y x y*6.设有厚度为，内高为，内半径为的无盖圆柱形容器，求容器外壳体积的近似值(设容器的壁和底的厚度相同).6.解 设容器底面积半径为r ，高为h则容器体积2V r h π=22,V Vrh r r hππ∂∂==∂∂ 22∴=+dV rhdr r dh ππ002,10,0.1,0.1r cm h cm r cm h cm ==∆=∆=()()22,102,1020.10.1400.140.1 4.4∴∆≈=⋅+⋅=⨯+⨯=V dV rh r πππππ*7. 测得直角三角形两直角边的长分别为7±0.1cm 和24±0.1cm ，试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差和相对误差.0.1cm 10cm 2cm7.解 设直角三角形的直角边长分别为,x y ，则斜边z =，zz xy∂∂==∂∂由题意007,24,0.1,0.1x y x y δδ====z ∴的绝对误差为()()7,247,247240.10.10.242525∂∂=+=⨯+⨯=∂∂z x y z z x y δδδz 的相对误差()7,240.240.009625=≈zz δ 习题7.41.设，，，求. 1.解 ()3222sin 22cos 23cos 6---∂∂=⋅+⋅=⋅-⋅=-∂∂x y x y t t du z dx z dy e t e t e t t dt x dt y dt2.设，而，，求. 2.解2123∂∂=⋅+⋅=+∂∂dz z dy z dV x dx u dx V dx2341-=x3.设，，，求，. 3.解 ()()222cos 2sin ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+-∂∂∂∂∂z z u z v uv v y u uv y x u x v x()()2222222cos sin sin cos cos 2cos sin sin x y y x y y x y x y y y =-+-()23sin cos cos sin x y y y y =-()()()222sin 2cos z z u z v uv v x y u uv x y y u y v y∂∂∂∂∂=+=--+-∂∂∂∂∂ ()()()2222222cos sin sin sin cos 2cos sin cos x y y x y x y x y x y y x y =--+-()()3333cos sin 2cos sin sin cos x y y x y y y y =+-+2e x y u -=sin x t =3y t =d d u tarccos()z u v =-34u x =3v x =d d zx22z u v uv =-cos u x y =sin v x y =zx ∂∂z y∂∂4.设，而，，求，. 4.解 222ln 3∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭z z u z v u y u v x u x v x v x()()()2322632ln 326ln 3x y y y y x y x y x x x x +⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭5.设求5.解 ()()1wf x xy xyz y yz x ∂'=++++∂()()()()1wf x xy xyz x xz x z f x xy xyz y∂''=+++=+++∂ ()()wf x xy xyz xy xyf x xy xyz z ∂''=++=++∂6.求下列函数的一阶偏导数(其中具有一阶连续偏导数):(1)；(2)；(3)；(4).6.解 （1）()()222222∂''=-⋅=-∂z f x y x xf x y x()()()222222∂''=-⋅-=--∂zf x y y yf x y y（2）121110∂'''=+⋅=∂u f f f x y y12122211u x x f f f f y y z y z ⎛⎫∂⎛⎫''''=-+=-+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭122220∂⎛⎫'''=⋅+-=- ⎪∂⎝⎭u y y f f f z z z （3）1231231∂''''''=⋅+⋅+⋅=++∂uf f y f yz f yf yzf x123230∂'''''=⋅+⋅+⋅=+∂uf f x f xz xf xzf y2ln z u v =32u x y =+y v x =zx ∂∂z y∂∂(),w f x xy xyz =++,,.w w wx y z∂∂∂∂∂∂f 22()z f x y =-,x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭(,,)u f x xy xyz =22(,e ,ln )xy u f x y x =-123300∂''''=⋅+⋅+⋅=∂uf f f xy xyf z （4）1231231122∂''''''=⋅+⋅⋅+⋅=++∂xy xyu f x f e y f xf ye f f x x x()12312202∂'''''=⋅-+⋅+⋅=-+∂xy xy uf y f e x f yf xe f y7.求下列函数的二阶偏导数，，(其中具有二阶连续偏导数):(1)，(2). 7.解（1）22121222∂''''=⋅+⋅=+∂zf xy f y xyf y f x22121222∂''''=⋅+⋅=+∂zf x f xy x f xyf y()()222211112212222222∂'''''''''∴=+⋅+⋅+⋅+⋅∂zyf xy f xy f y y f xy f y x233341111221222422yf x y f xy f xy f y f '''''''''=++++ 23341111222244yf x y f xy f y f '''''''=+++()()2222111122212222222∂''''''''''=+⋅+⋅++⋅+⋅∂∂zxf xy f x f xy yf y f x f xy x y322223111122212222422xf x yf x y f yf x y f xy f ''''''''''=+++++ 32231111222222522xf x yf x y f yf xy f ''''''''=++++()2222211122212222222∂'''''''''=+++⋅+⋅∂zx f x x f xy xf xy f x f xy y43221112222424x f x yf xf x y f '''''''=+++（2）()()222222∂''=+⋅=+∂zf x y x xf x y x()()222222∂''=+⋅=+∂zf x y y yf x y y22zx∂∂2z x y ∂∂∂22z y ∂∂f 22(,)z f x y xy =22()z f x y =+()()()()2222222222222224∂''''''∴=+++⋅=+++∂zf x y xf x y x f x y x f x y x()()22222224∂'''=+⋅=+∂∂z xf x y y xyf x y x y()()()()2222222222222224∂''''''=+++⋅=+++∂zf x y yf x y y f x y y f x y y8.设其中F 是可微函数，证明8.解()()()cos sin sin cos cos cos sin sin ux F y x x x xF y x x∂''=+--=--∂ ()sin sin cos uF y x y y∂'=-∂ ()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos u uy x x xF y x y yF y x x x y∂∂''∴+=--+-⎡⎤⎣⎦∂∂ ()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos x y x yF y x x yF y x x y ''=--+-=.习题7.51.设,φ⎛⎫= ⎪⎝⎭x y z z 其中为可微函数，求∂∂+∂∂z z x y x y . 1.解 z是,x y函数由方程xx z y φ⎛⎫= ⎪⎝⎭确定。

第七章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设1234i,23i z z =-+=-其中i 为虚数单位，则12z z +在复平面内对应的点位于（）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.已知i 为虚数单位，复数122i,2i z a z =+=-，且21z z =，则实数a 的值为（）A .1B .1-C .1或1-D .1±或03.复数：满足31i z z +=-（i 为虚数单位），则复数z 对应的点的轨迹是（）A .直线B .正方形C .圆D .射线4.已知复数(12i)(23i)z =++（i 是虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限5.若复数z 满足(12i)5z +=，i 为虚数单位，则z 的虚部为（）A 2i-B .2C .2-D .2i 6.定义运算a b ad bc c d =-，则符合条件1142i i z z -=+（i 是虚数单位）的复数z 在复平面内对应的点位于（）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限7.已知复数2349i+i +i +i ++i 1+iz =L （i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点为（）A .11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B .(1,1)C .11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D .(1,1)-8.设z 是纯虚数，i 是虚数单位，若21i z +-是实数，则z =（）A .2i -B .1i 2-C .1i 2D .2i9.对于复数,,,a b c d ，若集合{,,,}S a b c d =具有性质“对任意,x y S ∈，必有xy S ∈”，则当,,,a b c d 同时满足①1a =：②21b =；③2c b =时，b c d ++=（）A .1B .1-C .0D .i10.已知i 是虚数单位，给出下列命题，其中正确的是（）A .满足i i z z -=+的复数z 对应的点的轨迹是圆B .若2,i 1m ∈=-Z ，则123i i i i 0m m m m ++++++=C .复数i z a b =+（其中,a b ∈R ）的虚部为iD .在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示虚数二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.已知复数z ，下列结论正确的是（）A .“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件B .“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件C .“z z =”是“z 为实数”的充要条件D .“z z ∈R g ”是“z 为实数”的充分不必要条件12.设()()2225322i,z t t t t t =+-+++∈R ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是（）A .z 对应的点在第一象限B .z 一定不为纯虚数C .z 一定不为实数D .z 对应的点在实轴的下方三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13.已知i 为虚数单位，若复数24(2)i()z a a a =-+-∈R 是纯虚数，则1z +=________；z z =g ________.（本题第一空2分，第二空3分）14.如图所示，网格中的小正方形的边长是1，复平面内的点Z 对应复数z ，则复数12z i-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部是________.15.若34i z =-（i 为虚数单位），则z z=________.16.复数12,z z 分别对应复平面内的点12M M 、，且1212z z z z +=-，线段12M M 的中点M 对应的复数为43i +（i 为虚数单位），则2212z z +=________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知复数z 满足13z i z =+-，i 是虚数单位，化简22(1i)(34i)2z++.18.（本小题满分12分）（1）已知m ∈R ，i 是虚数单位，复数()()2245215i z m m m m =--+--是纯虚数，求m 的值；（2）已知复数z 满足方程(2)i 0z z +-=，i 是虚数单位，求z 及|2i |z +的值.19.（本小题满分12分）（1）已知2i 1-（i 是虚数单位）是关于x 的方程10mx n +-=的根，,m n ∈R ，求+m n 的值；（2）已知2i 1-（i 是虚数单位）是关于x 的方程210x mx n ++-=的一个根，,m n ∈R ，求+m n 的值.20.（本小题满分12分）已知复数()21223(25)i,10i 15z a z a a a =+-=+--+，其中a 为实数，i 为虚数单位.（1）若复数1z 在复平面内对应的点在第三象限，求a 的取值范围；（2）若12z z +是实数（2z 是2z 的共轭复数），求1z 的值.21.（本小题满分12分）欧拉公式cos sin ix e x i x =+（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位，x ∈R ）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，阐述了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式：（1）判断复数2i e 在复平面内对应的点位于第几象限，并说明理由；（2）若0ix e ＜，求cos x 的值.22.（本小题满分12分）若,42i,sin icos z z z ωθθ∈+=+=-C （θ为实数），i 为虚数单位.（1）求复数z ；（2）求z ω-的取值范围.第七章综合测试答案解析一、1.【答案】B【解析】1234i,23i z z =-+=-Q ，1234i 23i 1i z z ∴+=-++-=-+，12z z ∴+在复平面内对应的点坐标为(1,1)-，位于第二象限，故选B .2.【答案】C【解析】因为复数12i z a =+，22i z =-，且12z z =，所以2441a +=+，解得1a =±，故选C .3.【答案】C【解析】设i(,)z x y x y =+∈R ，则33i 1i i x y x y ++=+-，所以2222(31)9(1)x y x y ++=+-，即224430x y x y +++=.所以复数z 对应的点的轨迹为圆.故选C .4.【答案】B【解析】(12i)(23i)47i z =++=-+Q ，z ∴在复平面内对应的点的坐标为(4,7)-，位于第二象限，故选B .5.【答案】C 【解析】依题意得，512i 12iz ==-+，所以z 的虚部为2-，故选C .6.【答案】D【解析】依题意得，i 42i z z +=+，42i 3i 1iz +∴==-+，对应的点的坐标为(3,1)-，位于第四象限，故选D .7.【答案】A【解析】2349i i i i i i 1i 1i ==1i 1iz +++++--+++=++L L i (1i)i 11i 1i (1i)(1i)22-==+++-，所以复数z 在复平面呢对应的点的坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.8.【答案】A【解析】z Q 为纯虚数，∴设i z b =（b ∈R 且0b ≠），则2i 2(i 2)(1i)21(2)i 1i 1i (1i)(1i)22z b b b b ++++-+===++---+，又21i z +-Q 为实数，1(2)02b ∴+=，即2b =-，2i z ∴=-.9.【答案】B【解析】由题意知1,i b c =-=±.当i c =时，满足性质“对任意,x y S ∈，必有xy S ∈”的d 为i -；同理，当i c =-时，i d =.综上可知，0c d +=，1b c d ∴++=-.10.【答案】B【解析】对于A ，满足i i z z -=+的复数：对应的点的轨迹是实轴，不是圆，A 错误；对于B ，若2,i 1m ∈=-Z ，则123i i i i i (1i 1i)0m m m m n ++++++=+--=，B 正确；对于C ，复数i z a b =+（其中,a b ∈R ）的虚部为b ，i 是虚数单位，C 错误；对于D ，在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点除原点外都表示虚数，D 错误.故选B .二、11.【答案】BC【解析】对于复数z ，若0z z +=，z 不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z 为纯虚数，则0z z +=，∴“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件，A 错误，B 正确；“z z =”是“z 为实数”的充要条件，C 正确；若z z ⋅∈R ，z 不一定为实数，也可以为虚数，反之，若z ∈R ，则z z ⋅∈R .∴“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的必要不充分条件，D 错误.故选BC .12.【答案】CD【解析】对于A ，22549492532488t t t ⎛⎫+-=+-- ⎪⎝⎭＞，2222(1)10t t t ++=++＞，所以复数z 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误；对于B ，当222530,220,t t t t ⎧+-=⎪⎨++≠⎪⎩即3t =-或12t =时，z 为纯虚数，故B 错误；对于C ，因为2220t t ++＞恒成立，所以z 一定不为实数，故C 正确；对于D ，由选项A 的分析知，z 对应的点在实轴的上方，所以z 对应的点在实轴的下方，故D 正确.故选CD .三、1316【解析】Q 复数24(2)i()z a a a =-+-∈R 是纯虚数，240,20,a a ⎧-=⎪∴⎨-≠⎪⎩解得2a =-，4i z ∴=-，4i z =，114i z ∴+=-=，=16z z ⋅.14.【答案】1-【解析】由题图可知，点Z 的坐标为(2,1)，2i z ∴=+，2i (2i)(12i)i 12i 12i (12i)(12i)z +++∴===---+，其共轭复数为i -，∴其共轭复数的虚数是1-.15.【答案】34i 55+【解析】依题意得，34i 55z z ==+.16.【答案】100【解析】设O 为坐标原点，由1212z z z z +=-知，以线段12,OM OM 为邻边的平行四边形是矩形，即12M OM ∠为直角，又M 是斜边12M M 的中点，5OM =uuu r ，所以1210M M =uuuuu u r ，所以22222121212100z z OM OM M M +=+==uuur uuur uuuuu u r .四、17.【答案】解：设i(,)z a b a b =+∈R ，则由13i z z =+-13i i 0a b -++=，10,30,a b -=∴-=⎪⎩解得4,3,a b =-⎧⎨=⎩43iz ∴=-+22(1i)(34i)2i(724i)247i (247i)(43i)34i 22(43i)43i (43i)(43i)z ++-++++∴====+-+--+.18.【答案】（1）解：由复数z 是纯虚数，可得22450,2150,m m m m ⎧--=⎪⎨--≠⎪⎩即251,53,m k m m m ⎧==-⎪⎨≠≠-⎪⎩或且解得1m =-.（2）解：由题意可得，2i 2i(1i)1+i 1i (1i)(1i)z -===++-，从而1i z =-，所以2i (1i)2i 1i z +=-+=+.19.【答案】（1）解：由已知得(2i 1)10m n -+-=，(1)2i 0n m m ∴--+=，10,20,n m m --=⎧∴⎨=⎩解得1,0,n m =⎧⎨=⎩1m n ∴+=.（2）解：解法一：由已知得2(2i 1)(2i 1)10m n -+-+-=，(4)(24)i 0n m m ∴--+-=，40,240,n m m --=⎧∴⎨-=⎩解得6,2,n m =⎧⎨=⎩8m n ∴+=.解法二：2i 1-Q 是实系数方程21=0x mx n ++-的根，∴12i --也是此方程的根，因此，(12)(12),(12)(12)1,i i m i i n -++--=-⎧⎨-+--=-⎩解得6,2,n m =⎧⎨=⎩8m n ∴+=.20.【答案】（1）复数1z 在复平面内对应的点在第三象限，则20,1250.a a ⎧⎪-⎨⎪-⎩＜＜解得1,5,2a a ⎧⎪⎨⎪⎩＞＜即52a 1＜＜，故实数a 的取值范围是51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）解：()22310i 5z a a =+-+Q ()22310i 5z a a ∴=--+()()22122332(25)i 10i (25)10i 1551z z a a a a a a a a ⎡⎤∴+=+-+--=++---⎣⎦-++-.12z z +Q 是实数，()225100(15)a a a a ∴---=≠≠且.由()225100a a ---=得22150a a +-=，解得3a =或5a =-（舍）.12(25)i 1i 1z a a ∴=+-=-+-，1z ∴=21.【答案】（1）解：位于第二象限.理由如下：2i cos2isin 2e =+在复平面内对应的点的坐标为(cos 2,sin 2)，由于22ππ＜，因此cos2＜0，sin 20＞，∴点(cos 2,sin 2)在第二象限，故复数2i e 在复平面内对应的点位于第二象限。

习题7-11.判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并指出集合的边界.（1）{}(,)0,0x y x y ≠≠；（2）{}22(,)14x y x y <+≤；（3）{}2(,)x y y x >；（4）{}2222(,)(1)1(2)4x y x y x y +-≥+-≤且.解 （1）集合是开集，无界集；边界为{(,)0x y x =或0}y =. （2）集合既非开集，又非闭集，是有界集；边界为2222{(,)1}{(,)4}x y x y x y x y +=+= .（3）集合是开集，区域，无界集；边界为2{(,)}x y y x =. （4）集合是闭集，有界集；边界为2222{(,)(1)1}{(,)(2)4}x y x y x y x y +-=+-=2.已知函数(,)v f u v u =，试求(,)f xy x y +. 解 ()()(,)x y f xy x y xy ++=.3.设(,)2f x y xy =，证明：2(,)(,)f tx ty t f x y =.解)222(,)222f tx ty t xy t t xy t xy ===2(,)t f x y =.4.设y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭(0)x >，求()f x . 解由于y f x ⎛⎫==⎪⎝⎭，则()f x =5.求下列各函数的定义域：（1）2222x y z x y+=-； （2）ln()arcsin y z y x x =-+；（3）ln()z xy =； （4）z =；（5）z =（6）u =.解 （1）定义域为{}(,)x y y x ≠±； （2）定义域为{}(,)x y x y x <≤-；（3）定义域为{}(,)0x y xy >，即第一、三象限（不含坐标轴）；（4）定义域为2222(,)1x y x y a b ⎧⎫+≤⎨⎬⎩⎭； （5）定义域为{}2(,)0,0,x y x y x y ≥≥≥；（6）定义域为{}22222(,,)0,0x y z x y z x y +-≥+≠.6.求下列各极限：（1）22(,)(2,0)lim x y x xy y x y →+++； （2）(,)(0,0)lim x y →； （3）22(,)(0,0)1lim ()sinx y x y xy →+； （4）(,)(2,0)sin()lim x y xy y→；（5）1(,)(0,1)lim (1)xx y xy →+； （6）22(,)(,)lim()x y x y x y e --→+∞+∞+.解：（1）22(,)(2,0)4lim (2,0)22x y x xy y f x y →++===+；（2）(,)(0,0)00112lim lim 2x y u u u u →→→===；（3）因为22(,)(0,0)lim ()0x y x y →+=，且1s i n1xy≤有界，故22(,)(0,0)1lim ()sin 0x y x y xy →+=； （4）(,)(2,0)(,)(2,0)sin()sin()limlim 212x y x y xy xy x y xy →→==⋅=；（5）111(,)(0,1)(,)(0,1)lim (1)lim (1)y xyxx y x y xy xy e e ⋅→→+=+==；（6）当0x N >>，0y N >>时，有222()()0x y x yx y x y e e ++++<<，而()22(,)(,)22limlim lim lim 0x yu u u x y u u u x y u u e e e e+→+∞+∞→+∞→+∞→+∞+==== 按夹逼定理得22(,)(,)lim()0.x y x y x y e --→+∞+∞+=7.证明下列极限不存在： （1）(,)(0,0)limx y x yx y →+-；（2）设2224222,0,(,)0,0,x yx y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩(,)(0,0)lim (,)x y f x y →.证明 （1）当(,)x y 沿直线y kx =趋于(0,0)时极限(,)(0,0)01limlim 1x y x y kxx y x kx kx y x kx k →→=+++==--- 与k 有关，上述极限不存在.（2）当(,)x y 沿直线y x =和曲线2y x =趋于(0,0)有2242422(,)(0,0)00lim lim lim 01x y x x y x y xx y x x x x y x x x →→→=====+++， 2222442444(,)(0,0)001lim lim lim 22x y x x y xy xx y x x x x y x x x →→→=====++， 故函数(,)f x y 在点(0,0)处二重极限不存在.8.指出下列函数在何处间断：（1）22ln()z x y =+； （2）212z y x=-. 解（1）函数在(0,0)处无定义，故该点为函数22ln()z x y =+的间断点； （2）函数在抛物线22y x =上无定义，故22y x =上的点均为函数212z y x=-的间断点.9.用二重极限定义证明：(,)lim0x y →=.证22102ρ=≤=(,)P x y ，其中||OP ρ==，于是，0ε∀>，20δε∃=>；当0ρδ<<时，0ε-<成立，由二重极限定义知(,)lim0x y →=.10.设(,)sin f x y x =，证明(,)f x y 是2R 上的连续函数.证 设2000(,)P x y ∈R .0ε∀>，由于sin x 在0x 处连续，故0δ∃>，当0||x x δ-<时，有0|sin sin |x x ε-<.以上述δ作0P 的δ邻域0(,)U P δ，则当0(,)(,)P x y U P δ∈时，显然 00||(,)x x P P ρδ-<<，从而000|(,)(,)||sin sin |f x y f x y x x ε-=-<，即(,)sin f x y x =在点000(,)P x y 连续.由0P 的任意性知，sin x 作为x 、y 的二元函数在2R 上连续.习题7－21.设(,)z f x y =在00(,)x y 处的偏导数分别为00(,)x f x y A =，00(,)y f x y B =，问下列极限是什么？（1）00000(,)(,)limh f x h y f x y h →+-； （2）00000(,)(,)lim h f x y f x y h h→--；（3）00000(,2)(,)lim h f x y h f x y h →+-； （4）00000(,)(,)lim h f x h y f x h y h→+--.解 （1）0000000(,)(,)lim(,)x h f x h y f x y z x y A h→+-==； （2）000000000000(,)(,)(,)(,)limlim (,)y h h f x y f x y h f x y h f x y z x y B h h→→----===-； （3）0000000000(,2)(,)(,2)(,)limlim 222h h f x y h f x y f x y h f x y B h h→→+-+-=⋅=；（4）00000(,)(,)limh f x h y f x h y h→+--[][]0000000000000000000000000000(,)(,)(,)(,)lim(,)(,)(,)(,)lim (,)(,)(,)(,)lim lim 2.h h h h f x h y f x y f x y f x h y hf x h y f x y f x h y f x y h f x h y f x y f x h y f x y h h A A A →→→→+-+--=+----=+---=+-=+= 2.求下列函数的一阶偏导数： （1）x z xy y=+； （2）ln tan x z y =；（3）e xyz =； （4）22x y z xy+=；（5）222ln()z x x y =+； （6）z = （7）sec()z xy =； （8）(1)y z xy =+；（9）arctan()z u x y =- （10）zx u y ⎛⎫= ⎪⎝⎭.解（1）1z y x y ∂=+∂，2z x x y y∂=-∂； （2）12211tan sec cot sec z x x x x x y y y y y y -⎛⎫⎛⎫∂=⋅⋅= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭， 12222tan sec cot sec z x x x x x x y y y y y y y-⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂=⋅⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （3）xy xy z e y ye x ∂=⋅=∂，xy xy ze x xe y∂=⋅=∂； （4）()2222222222()2()1z x xy x y y x y x y y y x x y y x xy ∂⋅-+⋅-+⋅===-∂， ()2222222222()2()1z y xy x y x xy x y x x y x y x y xy ∂⋅-+⋅-+⋅===-∂；（5）232222222222ln()22ln()z x x x x y x x x y x x y x y ∂=++⋅=++∂++， 22222222z x x yy y x y x y∂=⋅=∂++； （6）1z y x xy ∂=⋅=∂1z x y xy ∂=⋅=∂ （7）tan()sec()tan()sec()zxy xy y y xy xy x∂=⋅=∂， tan()sec()tan()sec()zxy xy x x xy xy y∂=⋅=∂； （8）121(1)(1)y y zy xy y y xy x--∂=+⋅=+∂， ln(1)(1)ln(1)1y xy z xy e y xy xy y y xy +⎡⎤∂∂⎡⎤==+⋅++⎢⎥⎣⎦∂∂+⎣⎦； （9）11221()()1()1()z z z zu z x y z x y x x y x y --∂-=⋅-=∂+-+-， 11221()()(1)1()1()z z z zu z x y z x y y x y x y --∂-=⋅-⋅-=-∂+-+-， 221()ln()()ln()1()1()z zz zu x y x y x y x y z x y x y ∂--=⋅-⋅-=∂+-+-； （10）111z z ux z x z x y y y y --⎛⎫⎛⎫∂=⋅= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭，12z zux x z x z y y y y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ln z u x x y y y⎛⎫∂=⋅ ⎪∂⎝⎭. 3.设(,)ln 2y f x y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求(1,0)x f ，(1,0)y f . 解法一 由于(,0)ln f x x =，所以1(,0)x f x x=，(1,0)1x f =； 由于(1,)ln 12y f y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以11(1,)212yf y y =⋅+，1(1,0)2y f =.解法二 21(,)122x y f x y y x x x ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭+，11(,)22y f x y y x x x=⋅+， 10(1,0)110212x f ⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭+，111(1,0)02212y f =⋅=+. 4.设(,)(f x y x y =+-(,1)x f x . 解法一由于(,1)(11)arcsinf x x x =+-，(,1)()1x f x x '==. 解法二1(,)1x f x y y =，(,1)1x f x =. 5.设2(,)xt yf x y e dt -=⎰，求(,)x f x y ，(,)y f x y .解 2(,)x x f x y e -=，2(,)y f x y e -=-. 6.设yxz xy xe =+，证明z zxy xy z x y∂∂+=+∂∂. 解 由于21y y yx x x z y y y e xe y e x x x ⎛⎫∂⎛⎫=+-⋅=+-⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭， 1y y x x z x xe x e y x∂=+⋅=+∂， 所以1()yy y yx x x xz z y x y x y e y x e xy e x y xy ye x y x ⎡⎤⎛⎫∂∂⎛⎫+=+-++=+-++ ⎪⎢⎥ ⎪∂∂⎝⎭⎣⎦⎝⎭yxxy xe xy xy z =++=+.7.（1）22,44x y z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在点(2,4,5)处的切线与x 轴正向所成的倾角是多少？ （2）1z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩在点(1,1处的切线与y 轴正向所成的倾角是多少？解 （1）按偏导数的几何意义，(2,4)x z 就是曲线在点(2,4,5)处的切线对于x 轴正向所成倾角的斜率，而21(2,4)12x x z x ===，即tan 1k α==，于是倾角4πα=. （2）按偏导数的几何意义，(1,1)y z就是曲线在点(1,1处的切线对于y 轴正向所成倾角的斜率，而11(1,1)3y z ===，即1tan 3k α==，于是倾角6πα=.8.求下列函数的二阶偏函数：（1）已知33sin sin z x y y x =+，求2z x y ∂∂∂； （2）已知ln xz y =，求2z x y∂∂∂；（3）已知ln(z x =+，求22z x ∂∂和2zx y∂∂∂；（4）arctan y z x =求22z x ∂∂、22z y ∂∂、2z x y ∂∂∂和2zy x∂∂∂.解（1）233sin cos z x y y x x ∂=+∂，2223cos 3cos z x y y x x y∂=+∂∂； （2）ln ln 1ln ln x x z y y y y x x x∂=⋅=∂， 2ln ln 1ln 1111ln ln (1ln ln )xx x z y y x y y x y x y x y x--⎛⎫∂=+⋅⋅=+ ⎪∂∂⎝⎭； （3）1z x ⎛⎫∂==∂==，()232222zxx xy∂-==∂+，()23222z yx y xy∂-==∂∂+；（4）222211z y y xx x y y x ∂⎛⎫=⋅-=- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，222111z x y x x y y x ∂=⋅=∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ()222222z xy x x y ∂=∂+，()222222z xyy x y ∂-=∂+，()()2222222222222z x y y y x x y x y x y ∂+--=-=∂∂++，()()2222222222222z x y x y x y x x y x y ∂+--==∂∂++. 9.设222(,,)f x y z xy yz zx =++，求(0,0,1xx f ，(1,0,2)xz f ，(0,1,0)yz f -及(2,0,1)zzx f .解 因为22x f y xz =+，2xx f z =，2xz f x =， 22y f xy z =+，2yz f z =，22z f yz x =+，2zz f y =，0zzx f =，所以(0,0,1)2xx f =，(1,0,2)2xz f =，(0,1,0)0yz f -=，(2,0,1)0zzx f =.10.验证： （1）2esin kn ty nx -=满足22y yk t x∂∂=∂∂；（2）r =2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂.证 （1）因为22e sin kn t y kn nx t -∂=-∂，2e cos kn t y n nx x -∂=∂，2222e sin kn ty n nx x-∂=-∂ 所以()2222e sin kn ty y k n nx k t x-∂∂=-=∂∂； （2）因为r x x r ∂==∂，2222231r x x x r x x x r r r r r ∂∂-⎛⎫==-⋅= ⎪∂∂⎝⎭， 由函数关于自变量的对称性，得22223r r y y r ∂-=∂，22223r r z z r ∂-=∂， 所以 2222222222223332r r r r x r y r z x y z r r r r∂∂∂---++=++=∂∂∂. 习题7－31.求下列函数的全微分：（1）2222s tu s t+=-； （2）2222()e x y xyz x y +=+；（3）arcsin(0)xz y y=>； （4）ey x x y z ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=；（5）222ln()u x y z =++； （6）yzu x =.解 （1）()()222222222222()2()4u s s t s s t st s s t s t ∂--+==-∂--， ()()222222222222()2()4u t s t t s t s tt s t s t ∂-++==∂--， ()()()22222222222444d d d (d d )st s tstu s t t s s t ststst=-+=-----；（2）22222222244222222()2()2x y x y x y xyxyxyzx y x y yx y xe x y eex xx y x y +++⎛⎫∂-+-=++=+ ⎪∂⎝⎭，由函数关于自变量的对称性可得224422x y xyzy x e y yxy +⎛⎫∂-=+ ⎪∂⎝⎭， 22444422d 2d 2d x y xyx y y x z ex x y y x y xy +⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦； （3）21d d arcsind d x x x z x y y yy y ⎛⎫⎫===- ⎪⎪⎝⎭⎭)d d y x x y =-；（4）d d d y x y x x y x y y x z e e x y ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥==-⋅+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2211d d y x x y y x ex y y x x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（5）()2222222221d d ln()d u x y z x y zx y z ⎡⎤=++=++⎣⎦++2222222d 2d 2d 2(d d d )x x y y z z x x y y z z x y z x y z++==++++++； （6）()1d d d ln d ln d yz yz yz yzu x yzx x x z x y x y x z -==++()1d ln d ln d yz x yz x xz x y xy x z -=++.2.求下列函数的全微分：（1）22ln(1)z x y =++在1x =，2y =处的全微分； （2）2arctan 1xz y=+在1x =，1y =处的全微分. 解 （1）因为2222222211d d ln(1)d(1)(2d 2d )11z x y x y x x y y x y x y ⎡⎤=++=++=+⎣⎦++++ 所以12112d (2d 4d )d d 633x y z x y x y ===+=+； （2）因为22221d d arctand 1111x x z y y x y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪++⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪+⎝⎭()22222222211212d d d d 11111y xy xy x y x y y x y y x y y ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥=-=- ⎪⎢⎥++++++⎝⎭+⎣⎦ 所以()1222111121d d d d d 113x y x y xy z x y x y y x y ====⎛⎫=-=- ⎪+++⎝⎭. 3. 求函数23z x y =当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时的全微分.解 因为()23322322d d 2d 3d 23z x y xy x x y y xy x x y y ==+=∆+∆所以当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时全微分为d 4120.080.120.2z x y =-∆+∆=--=-.4.求函数22xyz x y=-当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时的全微分和全增量，并求两者之差.解 因为()()222222222d()d()d d x y xy xy x y xy z x y x y ---⎛⎫== ⎪-⎝⎭- ()()()()()222332222222(d d )(2d 2d )d d x y y x+x y xy x x y y x y y x+x +xy y xyx y -----==-- 所以当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时全微分的值为()()()2332222(,)(2,1)0.01,0.030.25d 0.0277779x y x y x y y x+x +xy yz x y =∆=∆=--∆∆==≈-， 而当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时的全增量为()()()()2222(,)(2,1)0.010.030.028252x y x y x x y y xy z x y x x y y =∆=∆=⎡⎤+∆+∆∆=-≈⎢⎥-+∆-+∆⎢⎥⎣⎦， 全增量与全微分之差为d 0.0282520.0277770.000475z z ∆-≈-=.习题7－41.设2e x yu -=，sin x t =，3y t =，求d d u t. 解3222sin 22d d d cos 23(cos 6)d d d x y x y t t u u x u ye t e t e t t t x t y t---∂∂=+=-⋅=-∂∂. 2.设arccos()z u v =-，而34u x =，3v x =，求d d z x. 解2d d d 123d d d z z u z v x x u x v x ∂∂=+=+∂∂2314x -=3.设22z u v uv =-，cos u x y =，sin v x y =，求z x ∂∂，z y∂∂. 解()()222cos 2sin z z u z v uv v y u uv y x u x v x∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅+-⋅∂∂∂∂∂ 23sin cos (cos sin )x y y y y =-，()()()222sin 2cos z z u z v uv v x y u uv x y y u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅-+-⋅∂∂∂∂∂ 33232(sin 2sin cos cos 2cos sin )x y y y y y y =-+-.4.设2ln z u v =，而32u x y =+，y v x =，求z x ∂∂，z y∂∂. 解 222ln 3z z u z v u y u v x u x v x v x ∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+⋅- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭216(32)ln(32)y x y x y x x=+-+， 22112ln 24(32)ln (32)z z u z v u y u v x y x y y u y v y v x x y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅=+++∂∂∂∂∂. 5. 设2(,,)ln(sin )z f u x y u y x ==+，ex yu +=，求z x ∂∂，zy∂∂. 解22112cos sin sin x y z z u f u e y x x u x x u y x u y x+∂∂∂∂=⋅+=⋅⋅+⋅∂∂∂∂++ ()()222cos sin x y x y e y xe y x+++=+， 22112sin sin sin x y z z u f u e x y u y y u y x u y x+∂∂∂∂=⋅+=⋅⋅+⋅∂∂∂∂++ ()()222sin sin x y x y e xe y x+++=+. 6.设222sin()u x y z =++，x r s t =++，y rs st tr =++，z rst =，求u r ∂∂，us∂∂，ut∂∂. 解[]22222()2cos()u u x u y u z x y s t zst x y z r x r y r z r∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr s t rs t r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦，[]22222()2cos()u u x u y u zx y r t zrt x y z s x s y s z s∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr r t r st r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦，[]22222()2cos()u u x u y u z x y s r zrs x y z t x t y t z t∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr r s r s t r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦.7.设arctanxz y=，x u v =+，y u v =-，求z u ∂∂，z v ∂∂，并验证：22z z u vu v u v∂∂-+=∂∂+.解222221111111z z x z y x y xu x u y uy y x y x x y y ⎛⎫∂∂∂∂∂-=⋅+⋅=⋅⋅+⋅-⋅= ⎪∂∂∂∂∂+⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()222221111111z z x z yx y xv x v y vy y x y x x y y ⎛⎫∂∂∂∂∂+=⋅+⋅=⋅⋅+⋅-⋅-= ⎪∂∂∂∂∂+⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则222222222()()()z z y x y x u v u vu v x y x y u v u v u v ∂∂-+--+=+==∂∂++++-+. 8.设22(,,)z f x y t x y t ==-+，sin x t =，cos y t =，求d d z t. 解d d d 2cos 2(sin )12sin 21d d d z z x z y f x t y t t t x t y t t∂∂∂=⋅+⋅+=--+=+∂∂∂. 9.求下列函数的一阶偏导数（其中f 具有一阶连续偏导数）： （1）22()z f x y =-； （2）,x y u f y z ⎛⎫=⎪⎝⎭； （3）(,,)u f x xy xyz =； （4）22(,,ln )xy u f x y e x =-. 解（1）222()z xf x y x ∂'=-∂，222()zyf x y y∂'=--∂； （2）111f u f x y y '∂'=⋅=∂，12122211u x x f f f f y y z y z ⎛⎫∂''''=⋅-+⋅=-+ ⎪∂⎝⎭， 2222u y y f f z z z ∂⎛⎫''=⋅-=- ⎪∂⎝⎭； （3）123u f yf yzf x ∂'''=++∂，23uxf xzf y ∂''=+∂，3u xyf z ∂'=∂； （4）12312xy u xf ye f f x x ∂'''=++∂，122xy u yf xe f y∂''=-+∂. 10.设()z xy xF u =+，而yu x=，()F u 为可导函数，证明： z zxy z xy x y∂∂+=+∂∂.证 ()()()z z u u xy x y F u xF u y x xF u x y x y ⎡⎤∂∂∂∂⎡⎤''+=++++⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦ []()()()yx y F u F u y x F u x ⎡⎤''=+-++⎢⎥⎣⎦()xy xF u xy z xy =++=+. 11.设[cos()]z y x y ϕ=-，试证：z z zx y y∂∂+=∂∂. 证sin()[cos()]sin()z z y x y x y y x y x yϕϕϕ∂∂''+=--+-+-∂∂ [cos()]z x y yϕ=-=. 12.设,kz y u x F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，且函数,z y F x x ⎛⎫⎪⎝⎭具有一阶连续偏导数，试证： u u uxy z ku x y z∂∂∂++=∂∂∂. 证11222k k u z y kx F x F F x x x -∂⎡⎤⎛⎫⎛⎫''=+-+- ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1221k k ux F x F y x -∂''=⋅=∂， 1111k k u x F x F z x-∂''=⋅=∂， 11111111k k k k k u u u xy z kx F x zF x yF x yF x zF ku x y z----∂∂∂''''++=--++=∂∂∂. 13.设sin (sin sin )z y f x y =+-，试证：sec sec 1z zxy x y∂∂+=∂∂. 证cos z f x x ∂'=∂，cos (cos )zy y f y∂'=+-∂， sec sec sec cos sec cos sec (cos )1z zxy x xf y y y y f x y∂∂''+=++-=∂∂. 14.求下列函数的二阶偏导数22z x ∂∂，2z x y ∂∂∂，22zy ∂∂（其中f 具有二阶连续偏导数）：（1）(,)z f xy y =； （2）22()z f x y =+；（3）22(,)z f x y xy =； （4）(sin ,cos ,)x y z f x y e +=. 解 （1）令s xy =，t y =，则(,)z f xy y =，s 和t 是中间变量.11z s f yf x x ∂∂''=⋅=∂∂，1212d d z s tf f xf f y y y∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂. 因为(,)f s t 是s 和t 的函数，所以1f '和2f '也是s 和t 的函数，从而1f '和2f '是以s 和t 为中间变量的x 和y 的函数.故()22111112z z s yf yf y f x x x x x∂∂∂∂∂⎛⎫'''''===⋅= ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭， ()211111211112d d z z s t yf f y f f f xyf yf x y y x y y y ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫'''''''''''===+⋅+⋅=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭，()212111221222d d d d z z s t s t xf f x f f f f y y y y yy y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂''''''''''==+=+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 21112222x f xf f ''''''=++. （2）令22s x y =+，则22()z f x y =+是以s 为中间变量的x 和y 的函数.2z s f xf x x ∂∂''=⋅=∂∂，2z sf yf y y∂∂''=⋅=∂∂. 因为()f s 是s 的函数，所以f '也是s 的函数，从而f '是以s 中间变量的x 和y 的函数.故()()222222224z z xf f xf x f x f x x x x∂∂∂∂⎛⎫'''''''===+⋅=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭， ()()22224z z xf xf y xyf x y y x y∂∂∂∂⎛⎫'''''===⋅= ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭， ()()222222224z z yf f yf y f y f y y y y⎛⎫∂∂∂∂'''''''===+⋅=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭. （3）令2s xy =2t x y =，则212122z s t f f y f xyf x x x ∂∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂∂，212122z s tf f xyf x f y y y∂∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂∂. ()221222z z y f xyf x x x x∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭211122212222s t s t y f f yf xy f f x x x x ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫'''''''''=⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭()()2221112221222222y y f xyf yf xy y f xyf '''''''''=++++ 43222111222244yf y f xy f x y f '''''''=+++， ()22122z z y f xyf x y y x y∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭ 21111222122222s t s t yf y f f xf xy f f y y y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂''''''''''=+⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()222111122212222222yf y xyf x f xf xy xyf x f ''''''''''=+++++ 32231211122222252yf xf xy f x y f x yf ''''''''=++++， ()221222z z xyf x f y y y y⎛⎫∂∂∂∂''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 211112212222s t s t xf xy f f x f f y y y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂'''''''''=+⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()2221111221222222xf xy xyf x f x xyf x f '''''''''=++++ 22341111222244xf x y f x yf x f '''''''=+++. （4）令sin u x =，cos v y =，x yw e +=，则1313d cos d x y z u w f f xf e f x x x +∂∂''''=+=+∂∂，2323d sin d x y z v w f f yf e f y y y+∂∂''''=+=-+∂∂. ()2132cos x y z z xf e f x x x x+∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 1111333133d d sin cos d d x y x y u w u w xf x f f e f e f f x x xx ++∂∂⎛⎫⎛⎫''''''''''=-+++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭()()1111333133sin cos cos cos x yx y x y x y xf x xf e f e f e xf e f ++++''''''''''=-+++++ ()2231111333sin cos 2cos x y x yx y ef xf xf e xf e f +++''''''''=-+++， ()213cos x y z z xf e f x y y x y+∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭121333233d d cos d d x y x y v w v w x f f e f e f f y y yy ++⎛⎫⎛⎫∂∂'''''''''=++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭()()121333233cos sin sin x yx y x y x y x yf e f e f e yf e f ++++'''''''''=-+++-+ ()2312133233cos sin cos sin x y x yx y x y ef x yf e xf e yf e f ++++'''''''''=-+-+， ()2232sin x y z z yf e f y y y y+⎛⎫∂∂∂∂''==-+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 2222333233d d cos sin d d x y x y v w v w yf y f f e f e f f y y yy ++⎛⎫⎛⎫∂∂''''''''''=--++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()2222333233cos sin sin sin x yx y x y x y yf y yf e f e f e yf e f ++++''''''''''=---+++-+ ()2232222333cos sin 2sin x y x yx y e f yf yf e yf e f +++''''''''=-+-+.习题7－51.设2cos e 0x y x y +-=，求d d yx. 解 设2(,)cos e x F x y y x y =+-，则22d e 2e 2d sin sin x x x y F y xy xyx F y x y x --=-=-=--+. 2.设ln ln 1xy y x ++=，求1d d x yx =. 解 设(,)ln ln 1F x y xy y x =++-，则221d 1d x y y F y xy y x x F x y x x y++=-=-=-++. 当1x =时，由ln ln 1xy y x ++=知1y =，所以1d 1d x yx ==-. 3.设arctany x =，求d d y x. 解设(,)ln arctan y F x y x=，则2222222222211d11d1xyyx x yyFy x yx y x yxy xx F x yx x y x yyx⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭=-=-=-=--⋅-++⎛⎫+ ⎪⎝⎭.4.设222cos cos cos1x y z++=，求zx∂∂，zy∂∂.解设222(,,)cos cos cos1F x y z x y z=++-，则2cos sin sin22cos sin sin2xzFz x x xx F z z z∂-=-=-=-∂-，2cos sin sin22cos sin sin2yzFz y y yy F z z z∂-=-=-=-∂-.5.设方程(,)0F x y z xy yz zx++++=确定了函数(,)z z x y=，其中F存在偏导函数，求zx∂∂，zy∂∂.解1212()()xzF F y z Fzx F F y x F''++∂=-=-∂''++，1212()()yzF F x z Fzy F F y x F''++∂=-=-∂''++.6.设由方程(,,)0F x y z=分别可确定具有连续偏导数的函数(,)x x y z=，(,)y y x z=，(,)z z x y=，证明：1x y zy z x∂∂∂⋅⋅=-∂∂∂.证因为yxFxy F∂=-∂，zyFyz F∂=-∂，xzFzx F∂=-∂，所以1y xzx y zF FFx y zy z x F F F⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⋅⋅=-⋅-⋅-=-⎪⎪ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭.7.设(,)u vϕ具有连续偏导数，证明由方程(,)0cx az cy bzϕ--=所确定的函数(,)z f x y=满足z za b cx y∂∂+=∂∂.证令u cx az=-，v cy bz=-，则x u u u c x ϕϕϕ∂=⋅=∂，y v v vc yϕϕϕ∂=⋅=∂，z u v u v u v a b z z ϕϕϕϕϕ∂∂=⋅+⋅=--∂∂. x u z u v c z x a b ϕϕϕϕϕ∂=-=∂+，y v z u vc zy a b ϕϕϕϕϕ∂=-=∂+. 于是 u v u v u vc c z zab a bc x y a b a b ϕϕϕϕϕϕ∂∂+=⋅+⋅=∂∂++. 8.设0ze xyz -=，求22zx∂∂.解 设(,,)zF x y z e xyz =-，则x F yz =-，z z F e xy =-. 于是x zz F z yzx F e xy ∂=-=∂-， ()222()z z zz z ye xy yz e y z z x x x x x e xy ∂∂⎛⎫--- ⎪∂∂∂∂∂⎛⎫⎝⎭== ⎪∂∂∂⎝⎭-()22z z zyzy z yz e y e xy e xy ⎛⎫-⋅- ⎪-⎝⎭=-()2322322z zzy ze xy z y z e exy --=-.9.设(,)z z x y =是由方程2e 0zxz y --=所确定的隐函数，求2(0,1)zx y∂∂∂.解 设2(,,)e z F x y z xz y =--，则x F z =-，e z z F x =-，2y F y =-. 于是x z z F z z x F e x ∂=-=∂-，2y zz F z yy F e x∂=-=∂-， ()()22z z zz z e x z e z z y yx y y x ex ∂∂--⋅⋅∂∂∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂∂⎝⎭-()()222z zz zz y y e x ze e x e x e x ----=-()()322z zzy e x yze ex --=-.由20ze xz y --=，知(0,1)0z =，得2(0,1)2zx y∂=∂∂.10.求由方程xyz +=(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分d z .解设(,,)F x y z xyz =x z F zx F xy ∂=-==∂+，y z F zy F xy ∂=-==∂+，d d d z zz x y x y x y ∂∂=+=∂∂，(1,0,1)d d z x y -=.11.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：（1）设22222,2320,z x y x y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩求d d y x ，d d z x； （2）设0,1,xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩求u x ∂∂，u y ∂∂，v x ∂∂，vy ∂∂； （3）设sin ,cos ,uux e u v y e u v ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩求u x ∂∂，u y ∂∂，v x ∂∂，vy∂∂. 解 （1）分别在两个方程两端对x 求导，得d d 22,d d d d 2460.d d zy x y x xy z x y z x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩称项，得d d 22,d d d d 23.d d y z y x x xy z y z x xx ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩ 在 2162023y D yz y y z-==+≠的条件下，解方程组得213d 6(61)d 622(31)x x z yxz x x z x D yz y y z ------+===++. 222d 2d 6231y xy x z xy xx D yz y z --===++. （2）此方程组确定两个二元隐函数(,)u u x y =，(,)v v x y =，将所给方程的两边对x 求导并移项，得,.uv x y u x xu v y x v xx ∂∂⎧-=-⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪+=-⎪∂∂⎩ 在220x yJ x y y x-==+≠的条件下，22u y v x u xu yvx y x x y y x ---∂+==--∂+， 22x uy v v yu xvx y x x yy x--∂-==-∂+. 将所给方程的两边对y 求导，用同样方法在220J x y =+≠的条件下可得22u xv yu y x y∂-=∂+，22v xu yv y x y ∂+=-∂+. （3）此方程组确定两个二元隐函数(,)u u x y =，(,)v v x y =是已知函数的反函数，令(,,,)sin u F x y u v x e u v =--，(,,,)cos u G x y u v y e u v =-+.则 1x F =，0y F =，sin u u F e v =--，cos v F u v =-， 0x G =，1y G =，cos u u G e v =-+，sin v G u v =-.在sin cos (,)(sin cos )0(,)cos sin u u u e v u v F G J ue v v u u v e v u v---∂===-+≠∂-+-的条件下，解方程组得1cos 1(,)1sin 0sin (,)(sin cos )1uu v u F G vu v x J x v J e v v -∂∂=-=-=-∂∂-+， 0cos 1(,)1cos 1sin (,)(sin cos )1uu v u F G vu v y J y v J e v v -∂∂-=-=-=-∂∂-+， sin 11(,)1cos (,)[(sin cos )1]cos 0u uu ue v v F G v e x J u x J u e v v e v --∂∂-=-=-=∂∂-+-+， sin 01(,)1sin (,)[(sin cos )1]cos 1u uu u e v v F G v e x J u x J u e v v e v --∂∂+=-=-=∂∂-+-+.习题7－61.求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程： （1）2x t =，1y t =-，3z t =在(1,0,1)处； （2）1t x t =+，1t y t+=，2z t =在1t =的对应点处；（3）sin x t t =-，1cos y t =-，4sin2t z =在点2π⎛- ⎝处； （4）2222100,100,x y y z ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩在点(1,1,3)处. 解 （1）因为2t x t '=，1t y '=-，23t z t '=，而点(1,0,1)所对应的参数1t =，所以(2,1,3)=-T .于是，切线方程为11213x y z --==-. 法平面方程为2(1)3(1)0x y z --+-=，即 2350x y z -+-=.（2）因为2211(1)(1)t t t x t t +-'==++，22(1)1t t t y t t -+'==-，2t z t '=，1t =对应着点1,2,12⎛⎫⎪⎝⎭，所以 1,1,24⎛⎫=- ⎪⎝⎭T .于是，切线方程为 1212148x y z ---==-. 法平面方程为 281610x y z -+-=.（3）因为1cos t x t '=-，sin t y t '=，2cos 2t t z '=，点1,12π⎛- ⎝对应在的参数为2t π=，所以(=T .于是，切线方程为112x y π-+=-=. 法平面方程为402x y π++--=. （4）将2222100,100,x y y z ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩的两边对x 求导并移项，得 d 22,d d d 220,d d yy x xy z y z xx ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 由此得 2002d 420d 422x z y xz x y x yz y y z --===-，2220d 420d 422y x y z xy xy x yz z y z-===.(1,1,3)d 1d y x =-，(1,1,3)d 1d 3z x =.从而 1,1,3=- ⎪⎝⎭T . 故所求切线方程为113331x y z ---==-. 法平面方程为 3330x y z -+-=.2.在曲线x t =，2y t =，3z t =上求一点，使此点的切线平行于平面24x y z ++=.解 因为1t x '=，2t y t '=，23t z t '=，设所求点对应的参数为0t ，于是曲线在该点处的切向量可取为200(1,2,3)t t =T .已知平面的法向量为(1,2,1)=n ，由切线与平面平行，得0⋅=T n ，即2001430t t ++=，解得01t =-和13-.于是所求点为(1,1,1)--或111,,3927⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 3.求下列曲面在指定点处的切平面和法线方程： （1）222327x y z +-=在点(3,1,1)处； （2）22ln(12)z x y =++在点(1,1,ln 4)处； （3）arctany z x =在点1,1,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭处. 解（1）222(,,)327F x y z x y z =+--，(,,)(6,2,2)x y z F F F x y z ==-n ，(3,1,1)(18,2,2)=-n .所以在点(3,1,1)处的切平面方程为9(3)(1)(1)0x y z -+---=，即 9270x y z +--=. 法线方程为311911x y z ---==-. （2）22(,,)ln(12)F x y z x y z =++-，222224(,,),,11212x y z x yF F F x y x y ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭n ，(1,1,ln 4),1,12=- ⎪⎝⎭n .所以在点(1,1,ln 4)处的切平面方程为2234ln 20x y z +--+=.法线方程为 12ln 2122y z x ---==-. （3）(,,)arctanyF x y z z x=-， 2222(,,),,1x y z y xF F F x y x y ⎛⎫-==- ⎪++⎝⎭n ， 1,1,411,,122π⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫=-- ⎪⎝⎭n . 所以在点1,1,4π⎛⎫⎪⎝⎭处的切平面方程为 202x y z π-+-=. 法线方程为 114112z x y π---==-. 4.求曲面2222321x y z ++=上平行于平面460x y z ++=的切平面方程.解 设222(,,)2321F x y z x y z =++-，则曲面在点(,,)x y z 处的一个法向量(,,)(2,4,6)x y z n F F F x y z ==.已知平面的法向量为(1,4,6)，由已知平面与所求切平面平行，得246146x y z ==，即12x z =，y z =. 代入曲面方程得 22223214z z z ++=. 解得 1z =±，则12x =±，1y =±. 所以切点为 1,1,12⎛⎫±±± ⎪⎝⎭. 所求切平面方程为 21462x y z ++=±5.证明：曲面(,)0F x az y bz --=上任意点处的切平面与直线x yz a b==平行（a ，b 为常数，函数(,)F u v 可微）.证 曲面(,)0F x az y bz --=的法向量为1212(,,)F F aF bF ''''=--n ，而直线的方向向量(,,1)a b =s ，由0⋅=n s 知⊥n s ，即曲面0F =上任意点的切平面与已知直线x yz a b==平行. 6.求旋转椭球面222316x y z ++=上点(1,2,3)--处的切平面与xOy 面的夹角的余弦.解 令222(,,)316F x y z x y z =++-，曲面的法向量为(,,)(6,2,2)x y z F F F x y z ==n ，曲面在点(1,2,3)--处的法向量为1(1,2,3)(6,4,6)--==--n n ，xOy 面的法向量2(0,0,1)=n ，记1n 与2n 的夹角为θ，则所求的余弦值为1212cos θ⋅===n n n n . 7.证明曲面3xyz a =（0a >，为常数）的任一切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为常数.证 设3(,,)F x y z xyz a =-，曲面上任一点(,,)x y z 的法向量为(,,)n yz xz xy =，该点的切平面方程为()()()0yz X x xz Y y xy Z z -+-+-=，即 33yzX xzY xyZ a ++=.这样，切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为33331333962a a a V a yz xz xy =⋅⋅⋅=.习题7－71.求函数22z x y =+在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,2的方向的方向导数.。

第七章综合测试答案解析一、1.【答案】B2.【答案】A3.【答案】C4.【答案】A5.【答案】A6.【答案】D7.【答案】A8.【答案】A9.【答案】B10.【答案】C【解析】由已知有4i e cos4isin 4=+，因为3ππ<4<2，所以cos40<，sin40<，故4i e 表示的点在复平面中位于第三象限.二、11.【答案】112.【答案】513.【答案】32-14.【答案】1【解析】由题意可知1z 与2z 为共轭复数，设1i z a b =+，则()2i z a b a b b 0=-∈≠R ，且. 212z z =，222i i a b ab a b ∴-+=-，221,,22,a a b a ab b b ⎧=-⎪⎧-=⎪∴∴⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩121211112222z z z z ⎛⎫∴=-+=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，或，.由根与系数的关系，得()121p z z =-+=，121q z z ==，1pq ∴=.三、15.【答案】解：（1）()()()()()44244522+2i21i22i1 121+==-+ --.（2()20121100610061006i i i i2i i11i2i--⎛⎫=-⎪⎪--⎝⎭.16.【答案】解：（1）()()21i25i10i3i3i3ia b-+++===-++，31a b∴==-，.（2）1iz y=-+，()()()()()i3i1i331ia b z y y y∴+=--+=-+++.由题意，得331y y-+=+，2y∴=-.12iz∴=--.17.【答案】解：（1）因为12iz=+，所以()()()()2112i+i22i1i22i2i12i1i1iz+++====-+-+-+-+.（2）因为在复平面上12z z，对应的点分别为A B，，所以点A B，的坐标分别为()()210，,，-1.所以AB==18.【答案】解：()()()()()()()()()2221i1i i1i1i i2i2i i22i1i1i1i2a b a b a bz a b+++++++====----+. 由4z=，得()()222216a b-+-=，化简得224a b+=.①复数0z z,，对应的点构成正三角形，z z z∴-=.把22iz a b=--代入化简得1b=.②又z对应的点在第一象限，20,20,0,0a b a b∴->->∴<<.③由①②③得1.ab⎧=⎪⎨=-⎪⎩。

2022年高二下数学选择性必修第三册《第七章 随机变量及其分布》测试卷一、选择题1．下列随机变量X 中，不服从超几何分布的是（ ）A ．在含有4件次品的15件产品中，任取3件，其中正品数和次品数的差为XB ．在6个黑球和3个白球中，任取4个球，其中黑球的个数为XC ．在20个乒乓球中，有12个正品和8个次品，从中任取4个，其中次品的个数为XD ．从24名男生和16名女生中，任选10名学生，其中女生的人数为X 2．设ξ～B （n ，p ），E ξ＝12，D ξ＝4，则n 的值是（ ） A ．17B ．18C ．19D ．203．某班从6名学生干部中（其中男生4人，女生2人），选3人参加学校的义务劳动．事件A ＝”男生甲被选中”，事件B ＝”女生乙被选中”，则P （B |A ）＝（ ） A ．15B ．14C ．25D ．124．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是（ ） A ．ξ＝4B ．ξ＝5C ．ξ＝6D ．ξ≤55．已知三个正态分布密度函数φi （x ）=√2πσi−(xμ1)22σi 2（x ∈R ，i ＝1，2，3）的图象如图所示，则（ ）A ．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3B ．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3C ．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3D ．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ36．已知事件A ，B ，且P （A ）=13，P （B |A ）=15，P （B |A ）=25，则P （B ）等于（ ） A ．35B ．13C ．15D ．1157．某学校对高二年级学生进行体能测试，若每名学生测试达标的概率都是23（相互独立），且5名学生中恰有k 名学生同时达标的概率是80243，则k 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．3或48．现有8名学生，其中男生5名，女生3名，从中选出4名代表，设选出的代表中男生人数为X ，则其均值E （X ）等于（ ） A ．2B ．2.5C ．3D ．3.59．随机变量ξ的分布列是ξ 2 34 pa14b若E(ξ)=114，则随机变量2ξ的方差D （2ξ）的值为（ ） A ．1116B ．118C ．114D ．11210．现有4个人通过掷一枚质地均匀的骰子去参加篮球和乒乓球的体育活动，掷出点数为1或2的人去打篮球，掷出点数大于2的人去打乒乓球．用X ，Y 分别表示这4个人中去打篮球和乒乓球的人数，记ξ＝|X ﹣Y |，求随机变量ξ的数学期望E ξ为（ ） A ．12881B ．13581C ．14081D ．14881（多选）11．下列说法正确的是（ ）A ．设随机变量X 等可能取1，2，3，…，n ，若P （X ＜4）＝0.3，则n ＝10B ．若随机变量ξ的分布列为P(ξ=n)=an(n+1)（n ＝1，2，3，4），其中a 是常数，则a =34C ．若离散型随机变量η服从两点分布，且P （η＝1）＝2P （η＝0），则P(η=0)=13D ．已知随机变量ξ服从正态分布N （2，σ2），P （ξ≤4）＝0.84，则P （2＜ξ＜4）＝0.16 （多选）12．设0＜p ＜1，随机变量ξ的分布列是ξ 012p12p 21−p 2则当P 在（0，1）内增大时（ ）A．E（ξ）减小B．E（ξ）增大C．D（ξ）减小D．D（ξ）增大二、填空题13．若随机变量X服从两点分布，且P（X＝0）＝0.8，令Y＝3X﹣2，则P（Y＝﹣2）＝．14．邮局邮寄普通信件的收费标准是：20克以内收费1.2元，达到20克不足40克收费2.4元，达到40克不足60克收费3.6元．假设该邮局每天收到的这三类普通信件的数量比例为8：1：1，那么一天内该邮局邮寄普通信件的均价是元．15．若随机变量X～N（4，1），则P（X≤2）＝.[参考数据：P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544]16．某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件产品中恰好有一件次品的概率为；取出的3件产品中次品的件数X的期望是．三、解答题17．某小组共有10人，他们利用假期参加义工活动，已知参加1次义工活动的有2人、2次的有4人、3次的有4人．现从这10人中随机选出2人作为该小组代表参加座谈会．（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率．（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和均值．18．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．（1）求X的分布列；（2）求X的数学期望E（X）．19．甲、乙两队进行排球比赛，直到某队赢3局为止，假设每局比赛独立，且每局甲胜的概率为0.7．（每局比赛均要分出胜负）（1）求比赛在第4局结束的概率；（2）若比赛在第4局结束，求甲获胜的概率．20．在气象预报中，过往的统计数据至关重要，如图所示是根据甲地过去50年的气象记录所绘制的每年的高温天数（若某天气温达到35℃及以上，则称之为高温天）的频率分布直方图．若某年的高温天数达到15天及以上，则称该年为高温年．假设每年是否为高温年相互独立，以这50年中每年高温天数的频率作为今后每年是否为高温年的概率．（1）求今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率，（2）某同学在位于甲地的大学里勤工俭学，成为了校内奶茶店（消费区在户外）的店长，为了减少高温年带来的损失，该同学现在有两种方案选择．方案一：不购买遮阳伞，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会减少6000元；方案二：购买一些遮阳伞，费用为5000元，可使用4年，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会增加1000元．以4年为期，试分析该同学是否应该购买遮阳伞．2022年高二下数学选择性必修第三册《第七章 随机变量及其分布》测试卷参考答案与试题解析一、选择题1．下列随机变量X 中，不服从超几何分布的是（ ）A ．在含有4件次品的15件产品中，任取3件，其中正品数和次品数的差为XB ．在6个黑球和3个白球中，任取4个球，其中黑球的个数为XC ．在20个乒乓球中，有12个正品和8个次品，从中任取4个，其中次品的个数为XD ．从24名男生和16名女生中，任选10名学生，其中女生的人数为X【解答】解：A ：总体分为明确的两类，但A 中的随机变量X 不是抽取样本中一类元素的个数，∴A 不服从超几何分布，BCD ：总体分为明确的两类，且随机变量X 都是抽取样本中一类元素的个数，∴BCD 都服从超几何分布， 故选：A ．2．设ξ～B （n ，p ），E ξ＝12，D ξ＝4，则n 的值是（ ） A ．17B ．18C ．19D ．20【解答】解：ξ～B （n ，p ），E ξ＝12，D ξ＝4， 可得：{np =12np(1−p)=4，解得p =23，n ＝18．故选：B ．3．某班从6名学生干部中（其中男生4人，女生2人），选3人参加学校的义务劳动．事件A ＝”男生甲被选中”，事件B ＝”女生乙被选中”，则P （B |A ）＝（ ） A ．15B ．14C ．25D ．12【解答】解：总的选法有C 63=20种，男生甲被选中的概率为P （A ）=C 5220=12，男生甲、女生乙都被选中的概率为P （AB ）=C 4120=15；则在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率为P （B |A ）=P(AB)P(A)=25． 故选：C ．4．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是（ ） A ．ξ＝4B ．ξ＝5C ．ξ＝6D ．ξ≤5【解答】解：由题意知，袋中装有10个红球、5个黑球，取得黑球则另换1个红球放回袋中，所以“放回5个红球”表示前五次抽取黑球，第六次抽取红球， 即ξ＝6， 故选：C ．5．已知三个正态分布密度函数φi （x ）=√2πσi−(xμ1)22σi 2（x ∈R ，i ＝1，2，3）的图象如图所示，则（ ）A ．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3B ．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3C ．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3D ．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3【解答】解：∵正态曲线关于x ＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等， 只能从A ，D 两个答案中选一个， ∵σ越小图象越瘦长，得到第二个图象的σ比第三个的σ要小， 故选：D ．6．已知事件A ，B ，且P （A ）=13，P （B |A ）=15，P （B |A ）=25，则P （B ）等于（ ） A ．35B ．13C ．15D ．115【解答】解：∵P （B |A ）=15，P （A ）=13， ∴P （AB ）＝P （A ）P （B |A ）=13×15=115， ∵P （B |A ）=25，∴P(AB)=P(A)P(B|A)，∴P （B ）﹣P （AB ）＝[（1﹣P （A ）]P （B |A ）， ∴P （B ）−115=（1−13）×25， ∴P （B ）=13． 故选：B ．7．某学校对高二年级学生进行体能测试，若每名学生测试达标的概率都是23（相互独立），且5名学生中恰有k 名学生同时达标的概率是80243，则k 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．3或4【解答】解：根据题意得C 5k（23）k （13）5﹣k =80243，解得k ＝3． 故选：B ．8．现有8名学生，其中男生5名，女生3名，从中选出4名代表，设选出的代表中男生人数为X ，则其均值E （X ）等于（ ） A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5【解答】解：随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4．P(X =k)=C 5k C 34−K C 84(k =1，2，3，4)．所以，随机变量X 的分布列为：X 123 4 P1143737114随机变量X 的数学期望E (X)=1×114+2×37+3×37+4×114=52． 故选：B ．9．随机变量ξ的分布列是ξ 2 34 pa14b若E(ξ)=114，则随机变量2ξ的方差D （2ξ）的值为（ ）A ．1116B ．118C ．114D ．112【解答】解：由分布列可知：a +b +14=1，E （ξ）＝2×a +3×14+4×b =114，解得a =12，b =14，2ξ 468p121414E （2ξ）＝2E （ξ）＝2×114=112，故D （2ξ）=12（4−112）2+14（6−112）2+14（8−112）2=114． 故选：C ．10．现有4个人通过掷一枚质地均匀的骰子去参加篮球和乒乓球的体育活动，掷出点数为1或2的人去打篮球，掷出点数大于2的人去打乒乓球．用X ，Y 分别表示这4个人中去打篮球和乒乓球的人数，记ξ＝|X ﹣Y |，求随机变量ξ的数学期望E ξ为（ ） A ．12881B ．13581C ．14081D ．14881【解答】解：依题意，这4个人中，每个人去打篮球的概率为13，去打乒乓球的概率为23，设“这4个人中恰有i 人去打篮球”为事件A i （i ＝0，1，2，3，4），则P P(A i )=C 4i(13)i (23)4−i ， ξ的所有可能取值为0，2，4．由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥， 故P(ξ=0)=P(A 2)=827， P(ξ=2)=P(A 1)+P(A 3)=4081， P(ξ=4)=P(A 0)+P(A 4)=1781． 所以ξ的分布列是ξ 224P82740811781随机变量ξ的数学期望Eξ=0×827+2×4081+4×1781=14881． 故选：D ．（多选）11．下列说法正确的是（ ）A ．设随机变量X 等可能取1，2，3，…，n ，若P （X ＜4）＝0.3，则n ＝10B ．若随机变量ξ的分布列为P(ξ=n)=an(n+1)（n ＝1，2，3，4），其中a 是常数，则a =34C ．若离散型随机变量η服从两点分布，且P （η＝1）＝2P （η＝0），则P(η=0)=13D ．已知随机变量ξ服从正态分布N （2，σ2），P （ξ≤4）＝0.84，则P （2＜ξ＜4）＝0.16 【解答】解：对于A ，设随机变量X 等可能取1，2，3，…，n ， 若P （X ＜4）＝0.3，则1n +1n+1n=0.3，解得n ＝10，故A 正确；对于B ，若随机变量ξ的分布列为P(ξ=n)=an(n+1)（n ＝1，2，3，4），其中a 是常数， 则a2+a 6+a 12+a 20=1，解得a =54，故B 错误；对于C ，离散型随机变量η服从两点分布，且P （η＝1）＝2P （η＝0）， ∴P （η＝1）+P （η＝0）＝3P （η＝0）＝1，∴P(η=0)=13，故C 正确； 对于D ，∵随机变量ξ服从正态分布N （2，σ2）， ∴正态曲线的对称轴是x ＝2，∵P （ξ≤4）＝0.84，∴P （ξ＞4）＝1﹣P （ξ≤4）＝0.16，∴P （0＜ξ＜4）＝0.68，∴P （2＜ξ＜4）＝P （0＜ξ＜2）＝0.34，故D 错误． 故选：AC ．（多选）12．设0＜p ＜1，随机变量ξ的分布列是ξ 012p12p 21−p 2则当P 在（0，1）内增大时（ ） A ．E （ξ）减小B ．E （ξ）增大C ．D （ξ）减小D ．D （ξ）增大【解答】解：由题意可得，E （ξ）=0×12+1×p2+2×1−p2=1−p2， 所以E （ξ）在（0，1）上单调递减， 则当p 在（0，1）内增大时，E （ξ）减少，故选A正确，选项B错误；D（ξ）=[0−(1−p2)]2×12+[1−(1−p2)]2×p2+[2−(1−p2)]2×1−p2=−3p2−2p+44，则D（ξ）在（0，1）上单调递减，所以当p在（0，1）内增大时，D（ξ）减少，故选项C正确，选项D错误．故选：AC．二、填空题13．若随机变量X服从两点分布，且P（X＝0）＝0.8，令Y＝3X﹣2，则P（Y＝﹣2）＝0.8．【解答】解：∵Y＝﹣2且Y＝3X﹣2，∴X＝0，∴P（Y＝﹣2）＝P（X＝0）＝0.8．故答案为：0.8．14．邮局邮寄普通信件的收费标准是：20克以内收费1.2元，达到20克不足40克收费2.4元，达到40克不足60克收费3.6元．假设该邮局每天收到的这三类普通信件的数量比例为8：1：1，那么一天内该邮局邮寄普通信件的均价是 1.56元．【解答】解：设收寄信件的价格为X，则X所有可能取值为1.2，2.4，3.6，∵该邮局每天收到的这三类普通信件的数量比例为8：1：1，∴P（X＝1.2）＝0.8，P（X＝2.4）＝0.1，P（X＝3.6）＝0.1，故X的分布列为：X 1.2 2.4 3.6P0.80.10.1故E（X）＝1.2×0.8+2.4×0.1+3.6×0.1＝1.56，故一天内该邮局邮寄普通信件的均价是1.56元．15．若随机变量X～N（4，1），则P（X≤2）＝0.0228.[参考数据：P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544]【解答】解：∵随机变量X～N（4，1），∴P（X≤2）=12[1−P(2＜X≤6)]=12[1−P(4−2＜X≤4+2)]=12×（1﹣0.9544）＝0.0228．故答案为：0.0228．16．某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件产品中恰好有一件次品的概率为715；取出的3件产品中次品的件数X 的期望是35．【解答】解：（1）设取出的3件产品中次品的件数为X ，3件产品中恰好有一件次品的概率为P （X ＝1）=C 21C 82C 103=715；（2）∵X 可能为0，1，2 ∴P （X ＝0）=C 83C 103=715， P （X ＝1）=715， P （X ＝2）=C 22C 81C 103=115，∴X 的分布为：X 012P715715115则 E （X ）＝0×715+1×715+2×115=35； 故答案为：715，35．三、解答题17．某小组共有10人，他们利用假期参加义工活动，已知参加1次义工活动的有2人、2次的有4人、3次的有4人．现从这10人中随机选出2人作为该小组代表参加座谈会． （1）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率． （2）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和均值． 【解答】解：（1）由已知得P(A)=C 21C 41+C 42C 102=1445， 所以事件A 发生的概率为1445．（2）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2； 则P(X =0)=C 22+C 42+C 42C 102=1345，P(X =1)=C 21C 41+C 41C 41C 102=815P(X =2)=C 21C 41C 102=845所以，随机变量X 的分布列为：X 012P1345815845随机变量 X 的数学期望为：E(X)=0×1345+1×815+2×845=89．18．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和． （1）求X 的分布列； （2）求X 的数学期望E （X ）．【解答】解：（1）X 的可能取值有：3，4，5，6．P （X ＝3）=C 53C 93=542；P （X ＝4）=C 41C 52C 93=1021； P （X ＝5）=C 42C 51C 93=514；P （X ＝6）=C 43C 93=121．故所求X 的分布列为X 3456P5421021514121（2）所求X 的数学期望E （X ）＝3×542+4×1021+5×514+6×121=13319．甲、乙两队进行排球比赛，直到某队赢3局为止，假设每局比赛独立，且每局甲胜的概率为0.7．（每局比赛均要分出胜负） （1）求比赛在第4局结束的概率；（2）若比赛在第4局结束，求甲获胜的概率．【解答】解：（1）甲、乙两队进行排球比赛，直到某队赢3局为止， 假设每局比赛独立，且每局甲胜的概率为0.7，每局比赛均要分出胜负， 比赛在第4局结束包含两种可能：①前3局甲两胜一负，第4局甲胜，概率为：P 1=C 32×0．72×0.3×0.7=0.3087， ②前3局甲一胜两负，第4局甲负，概率为：P 2=C 32×0．32×0.7×0.3=0.0567，∴比赛在第4局结束的概率为： P ＝P 1+P 2＝0.3087+0.0567＝0.3654．（2）若比赛在第4局结束，甲获胜，则前3局甲两胜一负，第4局甲胜，故比赛在第4局结束甲获胜的概率为：P1=C32×0．72×0.3×0.7=0.3087．20．在气象预报中，过往的统计数据至关重要，如图所示是根据甲地过去50年的气象记录所绘制的每年的高温天数（若某天气温达到35℃及以上，则称之为高温天）的频率分布直方图．若某年的高温天数达到15天及以上，则称该年为高温年．假设每年是否为高温年相互独立，以这50年中每年高温天数的频率作为今后每年是否为高温年的概率．（1）求今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率，（2）某同学在位于甲地的大学里勤工俭学，成为了校内奶茶店（消费区在户外）的店长，为了减少高温年带来的损失，该同学现在有两种方案选择．方案一：不购买遮阳伞，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会减少6000元；方案二：购买一些遮阳伞，费用为5000元，可使用4年，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会增加1000元．以4年为期，试分析该同学是否应该购买遮阳伞．【解答】解：（1）由题意知某年为高温年的概率为（0.03+0.01）×5＝0.2，设今后4年中高温年出现X年，则X～B（4，0.2），∴今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率为：P＝P（X＝3）+P（X＝4）=C43×0．23×0.8+C44×0．24=0.0272．（2）若选择方案一，不购买遮阳伞，设今后4年共损失Y1元，由E（Y1）＝4×6000×0.2＝4800元；若选择方案二，购买遮阳伞，设后4年共损失Y2元，则E（Y2）＝5000﹣4×1000×0.2＝4200元，则E（Y1）＞E（Y2），∴该同学应用购买遮阳伞．。

第七章复数练习题1、数系的扩充和复数的概念 (1)2、复数的几何意义 (6)3、复数的加、减运算及其几何意义 (14)4、复数的乘、除运算 (22)1、数系的扩充和复数的概念基础练习一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.(1+)i的实部与虚部分别是( )A.1,B.1+,0C.0,1+D.0,(1+)i【解析】选C.(1+)i可看作0+(1+)i=a+bi,所以实部a=0,虚部b=1+.2.已知复数a2-4+(a+2)i为纯虚数,则实数a=( )A.-2B.2C.±2D.4【解析】选B.由纯虚数的定义可知,解得a=2.3.已知x-2i=3+2yi(x,y∈R),则x+y=( )A.4B.2C.3D.1【解析】选B.由复数相等的充要条件可知,x=3,y=-1,所以x+y=3-1=2.4.复数4-3a-a2i与复数a2+4ai相等,则实数a的值为( )A.1B.1或-4C.-4D.0或-4【解析】选C.由复数相等的充要条件得解得:a=-4.5.以复数z=3-4i的实部为虚部,虚部为实部的复数为( )A.3-4iB.-3+4iC.-4+3iD.4-3i【解析】选C.由于复数z=3-4i=3+(-4)i的实部为3,虚部为-4,所求复数为-4+3i.6.(多选题)若i是虚数单位,则下列结论正确的是( )A.是分数B.i是无理数C.-i2不是虚数D.若a∈R,则(a2+1)i是虚数【解析】选CD.由于i是虚数单位,则,i都是虚数,A,B都不正确;-i2=1是实数,不是虚数,C正确;若a∈R,则a2+1≥1,所以(a2+1)i是虚数,D正确.二、填空题(每小题5分,共10分)7.若复数z=a2-3+2ai的实部与虚部互为相反数,则实数a的值为________.【解析】由条件知a2-3+2a=0,所以a=1或a=-3.答案:1或-38.已知复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R),若z<0,则k的值为________.【解析】因为复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R),若z<0,则k2-5k+6=0,k2-3k<0,解得k1=2,k2=3(舍去).答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知复数z=+i,(m∈R)是虚数,求实数m的取值范围.【解析】因为复数z=+i,(m∈R)是虚数,所以,解得m<0或m>1且m≠-2.所以实数m的取值范围是(-∞,-2)∪(-2,0)∪(1,+∞).10.当实数m为何值时,复数z=+(m2-2m)i分别为:(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?【解析】(1)当即m=2时,复数z为实数.(2)当即m≠0且m≠2时,复数z为虚数.(3)当即m=-3时,复数z为纯虚数.提升练习一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.复数z=2-i的实部与虚部的差为( )A.-1B.1C.2D.3【解析】选D.复数z=2-i=2+(-1)i的实部为2,虚部为-1,所以复数的实部与虚部的差为3.2.如果C,R,I分别表示复数集、实数集和纯虚数集,其中C为全集,则( )A.C=R∪IB.R∪I={0}C.R=C∩ID.R∩I=∅【解析】选D.复数包括实数和虚数,所以实数集与纯虚数集无交集.所以R∩I=⌀.故选D.3.(多选题)下列命题中为真命题的是( )A.复数一定是虚数B.实数一定是复数C.复数的平方数一定是非负实数D.实数的虚部为0,纯虚数的实部为0,虚部不为0【解析】选BD.因为实数和虚数统称为复数,所以复数不一定是虚数,A是假命题;实数一定是复数,B是真命题;由于i2=-1,复数的平方数可以是负实数,C是假命题;实数的虚部为0,纯虚数的实部为0,虚部不为0,D是真命题.4.若xi-i2=y+2i,x,y∈R,则复数x+yi=( )A.-2+iB.2+iC.1-2iD.1+2i【解析】选B.因为i2=-1得xi-i2=1+xi.由题意得1+xi=y+2i,所以x=2,y=1.故x+yi=2+i.二、填空题(每小题5分,共20分)5.方程(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0的实数解x=________.【解析】方程可化为解得x=2.答案:26.复数2i,3-i,3-i2,i-1中,不同于另外三个的一个复数是______.【解析】复数2i,3-i,3-i2,i-1中,3-i2=4是实数,不同于其他三个虚数.答案:3-i27.若a-2i=bi+1(a,b∈R),则b+ai=________.【解析】根据复数相等的充要条件,得所以b+ai=-2+i.答案:-2+i8.若复数z=(a+1)+(1-a)i(a∈R)的实部与虚部都大于0,则实数a的取值范围是________.【解析】由a+1>0,1-a>0,解得-1<a<1.答案:(-1,1)三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知x是实数,y是纯虚数,且满足(3x-10)+i=y-3i,求x与y.【解析】设y=bi(b∈R且b≠0),代入(3x-10)+i=y-3i,整理得(3x-10)+i=bi-3i, 由复数相等的充要条件得解得所以x=,y=4i.10.设复数z=(m2+2m-3)+(m-1)i,试求实数m取何值时,满足(1)z是实数;(2)z是纯虚数.【解题指南】(1)复数为实数需满足虚部为零.(2)纯虚数需满足实部为零且虚部不为零.【解析】(1)由m-1=0得m=1,即m=1时z是实数.(2)由解得m=-3,即m=-3时z是纯虚数.11.定义运算=ad-bc,如果(x+y)+(x+3)i=,求实数x,y 的值.【解析】由定义运算=ad-bc,得=3x+2y+yi,故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi.因为x,y为实数,所以有得得x=-1,y=2.2、复数的几何意义基础练习一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.已知复数z在复平面上对应的点为(1,-1),则( )A.z=-1+iB.z=1+iC.z+i是实数D.z+i是纯虚数【解析】选 C.因为复数z在复平面上对应的点为(1,-1),所以z=1-i.所以z+i=1-i+i=1,所以z+i是实数.2.已知z1=5+3i,z2=5+4i,下列选项中正确的是( )A.z1>z2B.z1<z2C.|z1|>|z2| D.|z1|<|z2|【解析】选 D.因为复数不能比较大小,所以A,B不正确,又|z1|==,|z2|==,所以|z1|<|z2|,故C不正确,D正确.3.向量对应的复数为z1=-3+2i,对应的复数为z2=1-i,则|+|为( )A. B. C.2 D.【解析】选A.因为z1=-3+2i,z2=1-i,所以=(-3,2),=(1,-1),则+=(-2,1),所以|+|==.4.若i为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复数z,则等于( )A.2+IB.2-iC.-2+iD.-2-i【解析】选B.点Z(2,1)对应复数z=2+i,与z互为共轭复数,对应的两点关于实轴对称,所以=2-i.5.在复平面内,对应的复数是2+i,对应的复数是-1-3i,则对应的复数为( )A.1-2iB.-1+2iC.3+4iD.-3-4i【解析】选D.由题意知=(2,1),=(-1,-3).=+=(-1,-3)+(-2,-1)= (-3,-4),所以对应的复数为-3-4i.6.(多选题)下列关于复数z=a+bi,a,b∈R的说法正确的是( )A.=a-biB.若=z,则b=0C.若|z|=0,则z=0D.若|z|≠0,则ab≠0【解析】选ABC.由复数z=a+bi,a,b∈R,得=a-bi,选项A正确;若=z,则a+bi =a-bi,b=-b,所以b=0,选项B正确;若|z|=0,则a2+b2=0,所以a=b=0,z=0,选项C 正确;若|z|≠0,则a2+b2≠0,所以a,b至少有一个不为0,选项D不正确.二、填空题(每小题5分,共10分)7.已知复平面内,点(2cos 300°,2sin 300°)对应的复数为z,则z=________,|z|=________.【解析】由点的坐标(2cos 300°,2sin 300°),得(1,-),对应的复数为z=1-i,|z|=2.答案:1-i 28.复平面上,实轴上的点A(3,0)与虚轴上的点B(0,-4),则向量对应的复数的实部为________,虚部为________.【解析】复平面上,实轴上的点A(3,0)与虚轴上的点B(0,-4),则=(-3,-4),对应的复数z=-3-4i的实部为-3,虚部为-4.答案:-3 -4三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知z=x+yi,x,y∈R,若2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i.(1)求实数x,y的值;(2)求.【解析】(1)因为x,y为实数,所以2x-1,y+1,x-y,-x-y都为实数,由复数相等的充要条件得解得(2)=x-yi=3+2i.10.已知复数z满足|z+1-i|=1,求|z|的最大值和最小值.=-1+i对应向量,由|z+1-i|=|z-(-1+i)| 【解析】设复数z对应向量,复数z1=1,得|-|=||=1,所以动点Z的轨迹是以C(-1,1)为圆心,半径为1的圆,所以复数z对应的点的轨迹是以-1+i对应的点C为圆心,以1为半径的圆,画出方程|z+1-i|=1表示的轨迹,如图,而|z|则表示该圆上的点到原点O的距离,由平面几何知识可知,使圆上的点到原点距离取最大(最小)值的点在直线OC与圆的交点处.所以|z|最大值为|OC|+r=+1,最小值为|OC|-r=-1.提升练习一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)设复数z=(2t2+5t-3)+(t2+2t+2)i,t∈R,则以下结论中正确的是( )A.复数z对应的点在第一象限B.复数z可能是纯虚数C.复数z对应的点在实轴上方D.复数z一定是实数【解析】选BC.因为z的虚部t2+2t+2=(t+1)2+1恒为正,所以z对应的点在实轴上方,且z一定是虚数,排除D.又z的实部2t2+5t-3=(t+3)(2t-1)可为正、为零、为负,所以选项A不正确.当t=-3或时B正确.2.欧拉公式e ix=cos x+isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,e-2i表示的复数在复平面中位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选 C.e-2i=cos(-2)+isin(-2),对应点为(cos(-2),sin(-2)),由于-π<-2<-,因此cos(-2)<0,sin(-2)<0,所以点(cos(-2),sin(-2))在第三象限.3.(多选题)复平面内,下列关于复数的叙述正确的是( )A.原点对应的复数是0B.纯虚数对应的点在虚轴上C.实轴上的点对应的复数是实数D.虚轴上的点对应的复数是虚数【解析】选ABC.复平面内,原点对应的复数是0,选项A正确.纯虚数对应的点在虚轴上,选项B正确.实轴上的点对应的复数是实数,选项C正确.虚轴上除原点以外的点对应的复数是虚数,选项D错误.4.设复数z=m(3+i)-(2+i)(m∈R,i为虚数单位).在复平面内对应的点不可能位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.复数z=(3m-2)+(m-1)i在复平面内的对应点P(3m-2,m-1).当m>1时P在第一象限;当m<时P在第三象限;当<m<1时P在第四象限;当m=时P在y轴上;当m=1时P在x轴上.【补偿训练】设A,B为锐角三角形的两个内角,则复数z=(cos B-tan A)+itan B对应的点位于复平面的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.因为A,B为锐角三角形的两个内角,所以A+B>,即A>-B,sin A>cos B.cos B-tan A=cos B-<cos B-sin A<0,又tan B>0, 所以点(cos B-tan A,tan B)在第二象限.二、填空题(每小题5分,共20分)5.复平面内,点(2,3)对应的复数的共轭复数为______.【解析】复平面内,点(2,3)对应的复数z=2+3i,共轭复数为=2-3i.答案:2-3i6.复数z1=3与z2=2-i对应的两点间的距离为______.【解析】复数z1=3与z2=2-i对应的两点Z1(3,0),Z2(2,-)间的距离为|Z1Z2|==2.答案:27.已知z-|z|=-1+i,则复数z=______.【解析】设z=x+yi(x,y∈R),由题意得x+yi-=-1+i,即(x-)+yi=-1+i,所以解得所以z=i.答案:i8.已知复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点在虚轴上,且z≠0,则a的值为________.【解析】由题意,得a2-2a=0,得a=0或a=2.当a=2时z=0,与题意不符.答案:0三、解答题(每小题10分,共30分)9.如果复数z=(m2+m-1)+(4m2-8m+3)i(m∈R)对应的点在第一象限,求实数m的取值范围.【解析】因为复数z对应的点在第一象限.所以解得m<或m>.所以实数m的取值范围为∪.10.已知两向量a,b对应的复数分别是z1=-3,z2=-+mi(m∈R),且a,b的夹角为60°,求m的值.【解析】因为a,b对应的复数分别为z1=-3,z2=-+mi(m∈R),所以a=(-3,0),b=.又a,b的夹角为60°,所以cos 60°=,即=,解得m=±.11.设复数z=(2x+a)+(2-x+a)i,x,a∈R,当x在内变化时,求|z|的最小值g(a).【解析】|z|2=(2x+a)2+(2-x+a)2=22x+2-2x+2a(2x+2-x)+2a2.令t=2x+2-x,则t≥2,且22x+2-2x=t2-2.从而|z|2=t2+2at+2a2-2=(t+a)2+a2-2,当-a≥2,即a≤-2时,g(a)=;当-a<2,即a>-2时,g(a)==|a+1|.综上可知g(a)=3、复数的加、减运算及其几何意义基础练习一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.已知z1=2+i,z2=1+2i,则复数z=z2-z1对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.z=z2-z1=(1+2i)-(2+i)=-1+i,实部小于零,虚部大于零,故位于第二象限.2.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是( )A.-2B.4C.3D.-4【解析】选B.z=1-(3-4i)=-2+4i.3.已知复数z1=1+2i,z2=3-4i,若z+z1=z2-z,则复数z=( )A.1+3iB.1-3iC.2-6iD.3+4i 【解析】选B.设z=a+bi,a,b∈R,由复数z1=1+2i,z2=3-4i,且z+z1=z2-z,得a+bi+1+2i=3-4i-(a+bi),得(a+1)+(b+2)i=(3-a)+(-4-b)i, 所以a+1=3-a,b+2=-4-b,得a=1,b=-3,所以z=1-3i.【一题多解】选B.因为复数z1=1+2i,z2=3-4i,且z+z1=z2-z,所以2z=z2-z1=3-4i-(1+2i)=2-6i,所以z=1-3i.4.在复平面内,复数1+i和1+3i分别对应向量和,其中O为坐标原点,则||=( )A. B.2 C. D.4【解析】选B.由复数减法运算的几何意义知,对应的复数为(1+3i)-(1+i)=2i,所以||=2.5.如图,设向量,,所对应的复数为z1,z2,z3,那么( )A.z1-z2-z3=0 B.z1+z2+z3=0C.z2-z1-z3=0 D.z1+z2-z3=0【解析】选D.由题图可知,+=0,所以+-=0,所以z1+z2-z3=0.6.(多选题)下列关于复数的叙述正确的是( )A.两个共轭复数的和是实数B.两个共轭复数的差是虚数C.两个共轭虚数的和是实数D.两个共轭虚数的差是虚数【解析】选ACD.设复数z=a+bi,a,b∈R,则共轭复数=a-bi,所以有z+=2a∈R,z-=2bi,当b=0时,z-是实数,当b≠0时,z-是虚数,A正确,B不正确.设虚数z=a+bi,a,b∈R,且b≠0,则共轭虚数=a-bi,所以有z+=2a∈R,z-=2bi是虚数,C正确,D正确.二、填空题(每小题5分,共10分)7.计算(1-3i)-(2-4i)+(3+5i)=________.【解析】(1-3i)-(2-4i)+(3+5i)=(1-2+3)+(-3+4+5)i=2+6i.答案:2+6i8.已知|z|=,且z-2+4i为纯虚数,则z=________.【解析】设复数z=x+yi(x,y∈R),则z-2+4i=(x-2)+(y+4)i.由题意知所以或所以z=2±i.答案:2±i【补偿训练】已知向量和向量对应的复数分别为3+4i和2-i,则向量对应的复数为__________.【解析】因为=-,所以对应复数为(2-i)-(3+4i)=-1-5i.答案:-1-5i三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i所对应的点分别为A,B,C.若=x+y,求x+y的值.【解析】由于复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i所对应的点分别为A,B,C,所以=-1+2i,=1-i,=3-2i,因为=x+y,所以3-2i=x(-1+2i)+y(1-i),所以解得故x+y=5.10.已知z1=-3+i,z2=2+6i对应的向量分别为和,以OZ1,OZ2为邻边作平行四边形OZ1CZ2.求向量,,对应的复数.【解析】由复数加减法的几何意义知,向量对应的复数为z 1+z2=(-3+i)+(2+6i)=-1+7i,向量对应的复数z2-z1=(2+6i)-(-3+i)=5+5i;向量对应的复数z1-z2=-5-5i.提升练习一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.复平面上三点A,B,C分别对应复数1,2i,5+2i,则由A,B,C所构成的三角形是 ( )A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形【解析】选A.|AB|=|2i-1|=,|AC|=|4+2i|=,|BC|=5,所以|BC|2=|AB|2+ |AC|2.故选A.2.在复平面上复数-3-2i,-4+5i,2+i所对应的点分别是A,B,C,则平行四边形ABCD的对角线BD所对应的复数是( )A.5-9iB.-5-3iC.7-11iD.-7+11i【解析】选 C.在复平面上复数-3-2i,-4+5i,2+i所对应的点分别是A,B,C,则=(-3,-2),=(-4,5),=(2,1),所以平行四边形ABCD的对角线BD满足=+=(-)+(-)=(7,-11),所对应的复数是7-11i.3.(多选题)设z1,z2∈C,则下列关系正确的是( )A.|z1+z2|>|z1|B.|z1-z2|<|z1|C.|z1+z2|≤|z1|+|z2|D.|z1-z2|≤|z1|+|z2|【解析】选CD.若z2=0时,|z1+z2|=|z1|,|z1-z2|=|z1|,故A,B不正确.设复数z1,z2对应平面向量,,当与不共线时,|+|<||+||,当与方向相同时, |+|=||+||,故|+|≤||+||,即|z1+z2|≤|z1|+|z2|,C正确.当与不共线时,|-|<||+||,当与方向相反时,|-|=||+||,故|-|≤||+||,即|z1-z2|≤|z1|+|z2|,D正确.4.复数z1=1+icos θ,z2=sin θ-i,则|z1-z2|的最大值为( )A.3-2B.-1C.3+2D.+1【解析】选D.|z1-z2|=|(1+icos θ)-(sin θ-i)|===≤=+1.二、填空题(每小题5分,共20分)5.复平面内三点A,B,C,点A对应的复数为3-4i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-2i,则点C对应的复数为________.【解析】由点A对应的复数为3-4i,向量对应的复数为1+2i,向量对应复数为3-2i,得=+=+-=(3-4i)+(3-2i)-(1+2i)=5-8i,所以点C对应的复数为5-8i.答案:5-8i6.复数z=x+yi(x,y∈R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为________. 【解析】由|z-4i|=|z+2|,得|x+(y-4)i|=|x+2+yi|,所以x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,即x+2y=3,所以2x+4y=2x+22y≥2=2=4,当且仅当x=2y=时,2x+4y取得最小值4.答案:47.已知复平面上△AOB的顶点A所对应的复数为1+2i,其重心G所对应的复数为1+i,则|+|=________.【解析】复平面上△AOB的顶点A所对应的复数为1+2i,其重心G所对应的复数为1+i,设AB的中点为D,则=,由向量加法的平行四边形法则,得+=2=3=3+3i,故|+|=3.答案:38.复平面内有A,B,C三点,点A对应的复数是3+i,向量对应的复数是-2-4i,向量对应的复数是-4-i,则B点对应的复数为________.【解析】因为表示的复数是2+4i,表示的复数是4+i,所以=-=(4+i)-(2+4i)=2-3i,故=+=(3+i)+(2-3i)=5-2i,所以B点对应的复数为zB=5-2i.答案:5-2i三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知复数z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i,(x,y∈R)设z=z1-z2=14-11i,求z1+z2.【解析】由z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R),z=z1-z2=14-11i,得(5x-3y)+(x+4y)i=14-11i, 所以解得所以z1=(3x+y)+(y-4x)i=-7i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i=-14+4i,z1+z2=-14-3i.10.已知z1,z2∈C,|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,求|z1-z2|.【解析】方法一:设z1=a+bi,z2=c+di,其中a,b,c,d∈R,则z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z1-z2=(a-c)+(b-d)i,由|z1|2=|z2|2=1,|z1+z2|2=3,得a2+b2=1, ①c2+d2=1,②(a+c)2+(b+d)2=3,③将①②代入③,得ac+bd=.所以|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+b2+c2+d2-2(ac+bd)=1,所以|z1-z2|=1.方法二:由z1,z2∈C,|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,根据复数与向量的对应关系以及平行四边形法则可知,z1,z2,z1+z2所对应的点围成菱形ABCD,如图,在△ABC中,由余弦定理,得cos∠ABC==-,所以∠ABC=120°,∠BAD=60°,所以△ABD是等边三角形,所以=1,即=1.11.已知平行四边形ABCD中,与对应的复数分别是3+2i与1+4i,两对角线AC与BD相交于P点.(1)求对应的复数;(2)求对应的复数;(3)求△APB的面积.【解析】(1)由于四边形ABCD是平行四边形,所以=+,于是=-,而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i,即对应的复数是-2+2i.(2)由于=-,而(3+2i)-(-2+2i)=5,即对应的复数是5.(3)由于==-=,==,于是·=-,而||=,||=,所以··cos∠APB=-,因此cos∠APB=-,故sin∠APB=,故=||||sin∠APB=×××=.即△APB的面积为.4、复数的乘、除运算基础练习一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.(2020·全国Ⅰ卷)若z=1+i,则|z2-2z|=( )A.0B.1C. D.2【解析】选D.由z=1+i得,z2=2i,2z=2+2i,所以|z2-2z|=|2i-(2+2i)|=2.2.(2019·全国卷Ⅱ)设z=i(2+i),则=( )A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i【解析】选D.由z=i(2+i)=-1+2i,则=-1-2i.3.在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.复数z=====+i,所以z的共轭复数=-i,对应的点为,位于第四象限.4.已知i为虚数单位,z=i2 019+i2 020的共轭复数为( )A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i【解析】选A.因为z=i2 019+i2 020=i4×504+3+i4×505=i3+1=1-i,所以z的共轭复数为1+i.5.设复数z的共轭复数是,若复数z1=3+4i,z2=t+i,且z1·是实数,则实数t等于( )A. B.C.-D.-【解析】选A.因为z2=t+i,所以=t-i.z1·=(3+4i)(t-i)=3t+4+(4t-3)i,又因为z1·∈R,所以4t-3=0,所以t=.6.(多选题)对于非零复数a,b,以下四个命题一定为真的有( )A.a+≠0B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.若|a|=|b|,则a=±bD.若a2=ab,则a=b【解析】选BD.对于A,取a=-i,则a+=0,A不正确;对于B,对于任意复数a,b,一定有(a+b)2=a2+2ab+b2, B正确;对于C,取a=1,b=i,|a|=|b|,但a≠±b,C错误;对于D,由a2=ab及a≠0,得a=b,D正确.所以正确的命题是BD.二、填空题(每小题5分,共10分)7.(1+i)2-=________.【解析】(1+i)2-=2i-=-+i.答案:-+i8.若复数z满足i·z=1+2i,其中i是虚数单位,则z的实部为________.【解析】设z=a+bi,则i·(a+bi)=ai+bi2=ai-b=1+2i,故a=2,b=-1,故z=2-i,实部为2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知复数z1=(-1+i)(1+bi),z2=,其中a,b∈R.若z1与z2互为共轭复数,求a,b的值.【解析】z1=(-1+i)(1+bi)=-1-bi+i-b=(-b-1)+(1-b)i, z2====+i.由于z1和z2互为共轭复数,所以有解得10.若f(z)=2z+-3i,f(+i)=6-3i,求f(-z).【解析】因为f(z)=2z+-3i,所以f(+i)=2(+i)+()-3i=2+2i+z-i-3i=2+z-2i.又因为f(+i)=6-3i,所以2+z-2i=6-3i.设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,所以2(a-bi)+(a+bi)=6-i,即3a-bi=6-i.由复数相等的定义,得解得所以z=2+i,故f(-z)=2(-2-i)+(-2+i)-3i=-6-4i.提升练习一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.在复平面内,复数+(1+i)2对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选 B.+(1+i)2=+i+(-2+2i)=-+i,对应点在第二象限.2.设z1,z2是复数,则下列命题中的假命题是( )A.若|z1-z2|=0,则=B.若z1=,则=z2C.若|z1|=|z2|,则z1·=z2·D.若|z1|=|z2|,则=【解析】选 D.A项,|z1-z2|=0⇒z1-z2=0⇒z1=z2⇒=,真命题;B项,z1=⇒=z2,真命题;C项,|z1|=|z2|⇒|z1|2=|z2|2⇒z1·=z2·,真命题;D项,当|z1|=|z2|时,可取z1=1,z2=i,显然=1,=-1,即≠,假命题.3.(多选题)下列叙述正确的是( )A.方程3x2-2x+1=0的两个根互为共轭虚数B.设i是虚数单位,则复数i3-=iC.a=1是复数(a+i)(1-ai)为实数的充要条件D.a=6是复数为纯虚数的充要条件【解析】选ABD.方程3x2-2x+1=0的Δ<0,两个根为共轭虚数,选项A正确.i3-=-i-=-i-=-i+2i=i,选项B正确.因为复数(a+i)(1-ai)=2a+(1-a2)i为实数的充要条件是a=±1,所以a=1是复数(a+i)(1-ai)为实数的充分不必要条件,选项C不正确.因为=,所以当a=6时,复数为纯虚数,反之成立,选项D正确.4.已知集合M=,i是虚数单位,Z为整数集,则集合Z∩M 中的元素个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.由已知得M={-1,-i,0,2},Z为整数集,所以Z∩M={-1,0,2},即集合Z∩M中有3个元素.二、填空题(每小题5分,共20分)5.已知i为虚数单位,则=________.【解析】===-1.答案:-16.已知i是虚数单位,z=,则|z|=________.【解析】因为==i,所以z==·=i1 009·=i4×252+1·=i·=-+i, |z|=1.答案:17.已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上对应的点分别为A,B,C,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值是________.【解析】由已知得=(3,-4),=(-1,2),=(1,-1),根据=λ+μ,得(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ,2λ-μ),所以解得所以λ+μ=1.答案:18.设x,y为实数,且+=,则x+y=________.【解析】+=可化为+=,即+i=+i,由复数相等的充要条件知所以所以x+y=4.答案:4三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知复数z满足|z|=5,且(3+4i)z是纯虚数,求z.【解析】设z=x+yi(x,y∈R),因为|z|=5,所以x2+y2=25,又(3+4i)z=(3+4i)(x+yi)=(3x-4y)+(4x+3y)i是纯虚数,所以解得或,所以z=4+3i或z=-4-3i.10.设z为虚数,求证:z+为实数的充要条件是|z|=1.【证明】设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),于是z+=a+bi+=a+bi+=+i,所以b≠0,(z+)∈R⇔b-=0⇔a2+b2=1⇔|z|=1.11.若虚数z同时满足下列两个条件:①z+是实数;②z+3的实部与虚部互为相反数.这样的虚数是否存在?若存在,求出z;若不存在,请说明理由.【解题指南】假设存在虚数满足题意,设虚数的代数形式,代入运算,看解方程组是否有解.【解析】假设存在虚数z满足题意,设z=a+bi(a,b∈R且b≠0),z+=a+bi+=a+bi+=+i.因为z+是实数,所以b-=0.又因为b≠0,所以a2+b2=5.①又z+3=(a+3)+bi的实部与虚部互为相反数,所以a+3+b=0.②由①②得解得或故存在虚数z,z=-1-2i或z=-2-i.。

高二数学第七章练习一1、已知A （2，-3），B （-3，-2）两点，直线l 过点P （1，1）且与线段AB 相交， 则直线l 的斜率k 的取值范围是 （ ）A ．443-≤≥k k 或 B 。

434≤≤-k C ．4430-≤≤≤k k 或 D 。

443≤≤-k2、直线)0(011111≠=++B A C y B x A 与直线)0(022222≠=++B A C y B x A垂直的充要条件是 （ ） A ．021≠C C B 。

02211=+B A B AC ．02121=+B B A AD 。

02121=-B A B A3、两直线斜率相等是两直线平行的 （ ） A ．充分不必要条件 B 。

必要不充分条件C ．充分必要条件D 。

既不充分也不必要条件4、已知A （)3,3-，Ｂ)1,3(-，则直线AB 的倾斜角是 （ ） A 1500 B 1200 C 600 D 3005、直线l 的倾斜角为a,且sin α=53,则直线l 的斜率是 ( ) A 34 B 43 C 34 或 34- D 43 或 43-6、对于直线01cos =++Y x α，其倾斜角α的取值范围是 （ ）.A 、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππB 、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ43,4C 、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,434,0D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,24,07、在△ABC 中，顶点A （2，8），B （－４，0），C （6，0）， 则∠ABC 的平分线所在直线方程是 （ ） Ａ. 2x + y －４＝０ B. x － 2y + 4 = 0 Ｃ. ｘ－２y －４＝０ Ｄ. 2x + y + 4 = 08、直线kx + ky －k 2－１= 0与直线x －y －012=-kk 的交点在 （ ） Ａ. 第一象限 B. 第二象限Ｃ. 第一或第三象限 Ｄ. 不在第二、四象限9、直线053=-+y ax 过以()()4,2,2,1--为端点线段中点，求：a 的值 10、直线ax+by+4=0过点（-1 ，1），且与直线 (a –1)x+y+b =0 垂直， 求：a , b 的值11、将直线l 沿x 轴正方向平移三个单位，再沿y 轴负方向平移一个单位后， 又回到原来位置，求直线l 斜率12、若原点在直线l 上的射影是（2 ，-1），设直线l 的倾斜角为θ， 求：θ2sin 的值。

高中二年级数学第七章第一单元测试题及答案时刻：120分钟 总分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 下列命题：（1）直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α； （2）若直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α； （3）任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率； （4）直线的倾斜为α，则sin 0α≥；（5）直线的斜率为0，则直线的倾斜角为0或π． 其中正确有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2． 直线0l ax by y ++=：平行于直线3210x y -+=，且在x 轴上的截距为1，则a b ，的值分别为（ ） A ．3和2-B ．6和4-C ．3-和2D ．6-和43．x 轴上一点(0)m ，到一、三象限平分线的距离为（ ）A ．2mB C D ．m4． 已知直线370x y +-=，20kx y --=和x 轴，y 轴围成的四边形有外接圆，则实数k 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45． 若0ac >且0bc <，直线0ax by c ++=不通过（ ）A ．第三象限B ．第一象限C ．第四象限D ．第二象限6． 已知点(01)M -，，点N 在直线10x y -+=上，若直线MN 垂直于直线230x y +-=，则N 点的坐标是（ ） A ．(23)--， B ．(21)，C ．(23)，D ．(21)--，7． 若π02α-<<，则通过两点1(0cos )P α，，2(sin 0)P α，的直线的倾斜角为（ ） A ．αB ．α-C ．π5α+ D ．π+α8． 已知直线1l 和2l 的夹角平分线为y x =，假如1l 的方程为0ax by c ++=(0)ab >，那么2l 的方程为（ ）A ．0bx ay c ++=B ．0bx ay c +-=C ．0ax by c-+=D ．0bx ay c-+=9． 已知直线130kx y k -+-=，当k 变化时，所有直线都通过的定点为（ ）A ．(00)，　B ．(01)，　C ．(31)，　D ．(21)，　10． 由5条直线：20x y +-=，220x y +-=，320x y +-=，420x y +-=，520x y +-=能够组成三角形的个数为（ ） A ．0B ．2C ．10D ．以上都不对11． 在直角坐标系xOy 中，已知AOB △的三边所在直线的方程分别是0x =，0y =，2330x y +=，则AOB △的内部和边上的整点（即横、纵坐标都为整数的点）的总数是（ ） A ．95 B ．91 C ．88 D ．7512． 已知等腰直角三角形斜边所在直线的方程320x y -+=，直角顶点坐标为(32)-，，则两条直角边所在直线的方程分别为（ ） A ．240270x y x y +-=--=， B ．350270x y x y -+=+-=， C ．240270x y x y -+=+-=， D ．3220220x y x y --=-+=，二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在题中横线上．13．a R ∈，直线sin 10x a -+=的倾斜角的变化范畴是．14． 将直线10x y -+=绕点(1沿逆时针方向转动15︒，则旋转后直线的方程是． 15． 已知直线1l 的方向向量(13)=，a ，若直线2l 通过点(05)，且12l l ⊥，则直线2l 的方程为．16． 若实数x ，y 满足3250(13)x y x --=≤≤，则yx的最大值、最小值分别为 ．三、解答题：本大题共8小题，共74分，解承诺写出必要的运算过程、推演步骤或文字说明． 17．(本小题8分) 当且仅当m 为何值时，通过两点(231)A m -，，(52)B m ，的直线的斜率为3？18．(本小题8分) 直线l 通过点(34)P ，0y -+=倾斜角的2倍，求直线l 的方程．19．(本小题8分) 已知(33)A --，，(22)B -，，(21)P -，，如图所示，若直线l 过P 点且与线段AB 有公共点，试求直线l 的斜率k 的取值范畴．20．(本小题8分) 求直线20x y --=关于直线330x y -+=对称的直线方程．21．(本小题8分) 求过点(11)--，的直线使它与直线230x y ++=的夹角为arctan 2．22．(本小题10分) 两平行线1l ，2l 分别过点1(10)P ，与2(05)P ，， ⑴若1l 与2l 距离为5，求两直线方程； ⑵设1l 与2l 之间距离是d ，求d 的取值范畴．23．(本小题12分) 已知直线l 与直线3470x y +-=的倾斜角相等，同时与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l 的方程．24．(本小题12分) 光线从(34)A -，点射出，到x 轴上的B 点后被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(16)D -，，求BC 所在直线的方程．高中二年级数学(上)第七章第一单元测试题答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． B 2． D 3． B ．4． C ．5． C ．6． C ．7． C 8． A 9． C 10． A ．9． B 11． A 12 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在题中横线上． 13． 50ππ⎡⎤⎡⎫π⎪⎢⎥⎢66⎣⎦⎣⎭，，．14． y =．15． 3150x y +-=．16． 23，1-． 三、解答题：本大题共8小题，共74分，解承诺写出必要的运算过程、推演步骤或文字说明． 17．(本小题8分) 解：312325AB m k m--==-，即33225m m -=-，解得12m =．18．(本小题8分)0y -=的倾斜角为α，则所求直线倾斜角为2α． 2tan [0)23ααααππ=∈π∴=∴=3，，，， ∴所求直线的斜率2tan2tan k απ===3∴所求直线方程为43)y x -=-40y +--=．19．(本小题8分) 解：1(3)42(3)PA k --==---，1(2)3224PB k --==---，∴要使直线l 与线段AB 有公共点，k 的取值范畴应该是k 3≤-4，或k ≥4．20．(本小题8分) 解：由20330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，．得交点为59()22--，． 设所求直线斜率为k ，由一条直线到另一条直线的角的公式得31313113k k--=+⨯+，7k =-．因此所求直线方程为7220x y ++=．21．(本小题8分) 解：已知直线的斜率为12-，设所求直线的斜率为k ．由夹角公式得1122112k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭，解得34k =．∴所求的直线为31(1)4y x +=+．又∵过点(11)--，与y 轴平行的直线10x +=也符合要求．∴直线方程为3410x y --=或10x +=．22．(本小题10分) 解：⑴设1l 的方程为(1)y k x =-， 5=，解之得0k =或512． 1l ∴的方程为0y =或51250x y --=．利用两平行直线间的距离公式可得2l 的方程为5y =或512600x y -+=．⑵明显这两条直线之间的最大距离即1P ，2P ，(0d ∈∴．23．(本小题12分) 解：直线3470x y +-=的斜率是34-， l ∵与直线3470x y +-=的倾斜角相等，l ∴的斜率为34-．设直线l 的方程为34y x b =-+，l 的横截距为43bx =． l ∵与两坐标轴围成的三角形面积为24，142423bb =∴，即6b =±． ∴直线l 的方程是364y x =-±，即34240x y +±=．24．(本小题12分) 解：A 点关于x 轴的对称点(34)A '--，及D 点关于y 轴的对称点(16)D '，均在BC 上，故BC 的方程为616413y x --=++，即5270x y -+=．。

第七章综合测试一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在复平面内，复数1+i 与1+3i 分别对应向量OA uuu r 和OB uuu r ，其中O 为坐标原点，则AB uuu r等于（ ）A B .2C D .42.若()()22114i z m m m m =++++-，m ÎR ，232i z =-，则1m =是12z z =的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件3.已知(){}221,2,3156i M m m m m =--+--，{}1,3N =-，{}3M N =I ，则实数m 的值为（ ）A .1-或6B .1-或4C .1-D .44.设复数11i z =+，()22i z x x =+ÎR ，若12z z ÎR ，则x 等于（ ）A .2-B .1-C .1D .25.已知复数z =，z 是z 的共轭复数，则z z g 等于（）A .14B .12C .1D .26.已知()()i 1i x y +-=，则实数x y ，的值分别为（ ）A .11x y =-=，B .12x y =-=，C .11x y ==，D .12x y ==，7.已知复数z 对应的点在第二象限，它的模是3，实部是，则z 为（ ）A .B .2i-C D 2i8.设=1+i z （i 是虚数单位），则22z z+等于（ ）A .1+iB .1+i-C .1i-D .1i--9.已知112i z =+，()21i z m m =+-，且两复数的乘积12z z 的实部和虚部为相等的正数，则实数m 的值为（ ）A .1B .34C .43D .34-10.欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位）将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系.当πx =时，iπe 10+=.根据欧拉公式可知，4i e 表示的点在复平面内位于（ ）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填在题中的横线上）11.若i 是虚数单位，复数z 满足()1+i 2z =，则z 的实部为________.12.已知复数112i z =-+，21i z =-，332i z =-，它们所对应的点分别为A B C ，，.若OC xOA yOB =+uuu r uuu r uuu r，则x y +的值是________.13.已知复数12i z m =+，234i z =-，若12z z 为实数，则实数m =________.14.若虚数12z z ，是实系数一元二次方程20x px q ++=的两个根，且212z z =，则pq =_______.三、解答题（本大题共4小题，共50分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.[12分]计算：（1（22012+.16.[12分]i 是虚数单位，且()()()21i 25i i 3ia b a b -+++=Î+R ，.（1）求a b ，的值；（2）设复数()1i z y y =-+ÎR ，且满足复数()i a b z +在复平面上对应的点的横、纵坐标相等，求z .17.[13分]已知复数()()11211i 22i 2i 1z z z z +=+=+-，.（1）求2z ；（2）若在复平面上12z z ，对应的点分别为A B ，，求AB .18.[13分]复数()()31i i 1ia b z ++=-且4z =，z 对应的点在第一象限，若复数0,z z ,对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a b ，的值.第七章综合测试答案解析一、1.【答案】B 2.【答案】A 3.【答案】C 4.【答案】A 5.【答案】A 6.【答案】D 7.【答案】A 8.【答案】A 9.【答案】B 10.【答案】C【解析】由已知有4i e cos 4isin 4=+，因为3ππ<4<2，所以cos 40<，sin 40<，故4i e 表示的点在复平面中位于第三象限.二、11.【答案】112.【答案】513.【答案】32-14.【答案】1【解析】由题意可知1z 与2z 为共轭复数，设1i z a b =+，则()2i z a b a b b 0=-ιR ，且.212z z =Q ，222i i a b ab a b \-+=-，22,2,a a b a ab b b ì=ïì-=ï\\íí=-îï=ïî121211112222z z z z æö\=-+=-=-=-ç÷ç÷èø，或，.由根与系数的关系，得()121p z z =-+=，121q z z ==g ，1pq \=.三、15.【答案】解：（11=-.（2i 1+=-.16.【答案】解：（1）()()21i 25i 10i 3i 3i3ia b -+++===-++Q ，31a b \==-，.（2）1i z y =-+Q ，()()()()()i 3i 1i 331i a b z y y y \+=--+=-+++.由题意，得331y y -+=+，2y \=-.12i z \=--.17.【答案】解：（1）因为12i z =+，所以()()()()2112i+i 22i 1i 22i 2i 12i 1i 1i z +++====-+-+-+-+.（2）因为在复平面上12z z ，对应的点分别为A B ，，所以点A B ，的坐标分别为()()210，,，-1.所以AB ==18.【答案】解：()()()()()()()()()2221i 1i i 1i 1i i 2i 2i i 22i1i 1i 1i 2a b a b a b z a b +++++++====----+g g g g g g .由4z =，得()()222216a b -+-=，化简得224a b +=.①Q 复数0z z ,，对应的点构成正三角形，z z z \-=.把22i z a b =--代入化简得1b =.②又z Q 对应的点在第一象限，20,20,0,0a b a b \->->\<<.③由①②③得 1.a b ì=ïí=-ïî。

高中数学第七章复数典型例题单选题1、已知复数z 1﹑z 2满足|z 1−z 2|=r (r >0)，复数ωi (1≤i ≤n,n ∈N ∗)满足|ωi −z 1|=r 或者|ωi −z 2|=r ，且|ωi −ωj |≥r 对任意1≤i <j ≤n 成立，则正整数n 的最大值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12答案：C解析：用向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示z 1⃗⃗⃗ ,z 2⃗⃗⃗ ，根据题意，可得|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ，因为|ωi −z 1|=r 或者|ωi −z 2|=r ，根据其几何意义可得ωi 的终点的轨迹，且满足条件的终点个数即为n ，数形结合，即可得答案.用向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示z 1⃗⃗⃗ ,z 2⃗⃗⃗ ，因为|z 1−z 2|=r (r >0)，所以|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ， 又ωi (1≤i ≤n,n ∈N ∗)满足|ωi −z 1|=r 或者|ωi −z 2|=r ，则ωi 可表示以O 为起点，终点在以A 为圆心，半径为r 的圆上的向量，或终点在以B 为圆心，半径为r 的圆上的向量，则终点可能的个数即为n ，因为|ωi −ωj |≥r ，所以在同一个圆上的两个点，形成的最小圆心角为60°，如图所示，则最多有10个可能的终点，即n =10.故选：C小提示：解题的关键是根据所给条件的几何意义，得到ωi 的终点轨迹，根据条件，数形结合，即可得答案，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.2、已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．−2D ．−1答案：D分析：选基底，用基向量表示出所求，由二次函数知识可得.记|BP⃗⃗⃗⃗⃗ |=x ，x ∈[0,4] 因为AP⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x 2−2x =(x −1)2−1≥−1. 故选：D3、复平面中的下列哪个向量对应的复数是纯虚数（ ）A ．OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，2)B ．OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3，0)C ．OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，23)D ．OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1，-2) 答案：C分析：结合纯虚数概念判断即可向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，23)对应的复数为23i ，是纯虚数. 故选：C4、已知a,b ∈R ，a 1+i +b 1−i =1，则a +2b =（ ）A ．3B ．√3C ．√2D ．1答案：A分析：等式两边同乘(1+i)(1−i)，整理化简后利用复数相等的条件可求得a +2b 的值因为a 1+i +b 1−i =1 ，所以a(1−i)+b(1+i)=(1+i)(1−i)=1−i 2=2即(a +b)+(b −a)i =2所以{a +b =2b −a =0 解得{a =1b =1 ，所以a +2b =3故选：A5、设π<θ<5π4，则复数cos2θ+isin2θcosθ−isinθ的辐角主值为（ ）A ．2π−3θB ．3θ−2πC ．3θD ．3θ−π答案：B分析：根据复数三角形式下的乘除运算及辐角的定义即可求解．解：cos2θ+isin2θcosθ−isinθ=cos2θ+isin2θcos(−θ)+isin(−θ)=cos3θ+isin3θ，因为π<θ<5π4，所以3π<3θ<15π4，所以π<3θ−2π<7π4，所以该复数的辐角主值为3θ−2π．故选：B.6、复数z =−2+i 2049的共轭复数z =（ ）A ．12+i 2B ．12−i 2C ．−2−iD ．−2+i答案：C分析：先由复数的运算可得z =−2+i ，然后求其共轭复数即可.解：因为z =−2+i 2049=−2+(i 4)512⋅i =−2+i ，则z =−2−i ，故选：C.7、设(1+i)x =1+yi ，其中i 为虚数单位，x,y 是实数，则|x +yi |=（）A ．1B ．√2C ．√3D ．2答案：B分析：先利用复数相等求得x ，y ，再利用复数的模公式求解.因为(1+i)x =1+yi ，所以{x =1y =x ，解得{x =1y =1，所以|x+yi|=√x2+y2=√2.故选：B.8、已知i是虚数单位，则复数z=2−i20202+i2021对应的点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D分析：先化简i2020,i2021，再利用复数的除法化简得解.z=2−i20202+i2021=12+i=2−i(2+i)(2−i)=2−i5.所以复数对应的点(25,−15)在第四象限，故选：D小提示：名师点评复数z=x+yi(x,y∈R)对应的点为(x,y)，点(x,y)在第几象限，复数对应的点就在第几象限.多选题9、下列说法中正确的有（）A．若a∈R，则(a+1)i是纯虚数B．若x2−1+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x=±1C．若a≤0，则z=a2−b2+(a+|a|)i(a,b∈R)为实数D．若a,b∈R，且a>b，则bi2>ai2答案：CD分析：根据复数的基本概念与分类，逐项判定，即可求解.对于A中，当a=−1，可得的(a+1)i=0不是纯虚数，故A错误；对于B中，当x=−1，可得x2+3x+2=0，此时x2−1+(x2+3x+2)i=0不是纯虚数，所以B错误；对于C中，当a≤0时，可得|a|+a=0，所以z=a2−b2为实数，所以C正确；对于D中，由i2=−1，且a>b，所以bi2>ai2，所以D正确．故选：CD10、设复数z=1a+2i(a∈R)，当a变化时，下列结论正确的是（）A ．|z |=|z |恒成立B ．z 可能是纯虚数C ．z +1z 可能是实数D ．|z |的最大值为12 答案：ABD分析：首先根据题意得到z =a a 2+4−2a 2+4i ，再结合复数的定义和运算性质依次判断选项即可.z =1a+2i =a−2i (a+2i )(a−2i )=a a 2+4−2a 2+4i ， 对选项A ，z =a a 2+4+2a 2+4i ，|z |=|z |=√a 2(a 2+4)2+4(a 2+4)2，故A 正确.对选项B ，z =aa 2+4−2a 2+4i ， 当a =0时，z =−12i 为纯虚数，故B 正确.对选项C ，z +1z =a a 2+4−2a 2+4i +a +2i =(a a 2+4+a)+(2−2a 2+4)i令2−2a 2+4=0，即a 2+3=0无解，故C 错误.对选项D ，|z |2=a 2(a 2+4)2+4(a 2+4)2=1a 2+4≤14，当且仅当a =0时取等号.所以|z |的最大值为12，故D 正确.故选：ABD11、下列命题中正确的有（ ）A ．若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；B ．若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ；C ．若复数z 1,z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1=z 2；D ．若复数z ∈R ，则z ∈R ．答案：AD分析：根据复数的运算性质，即可判定A 正确；取z =i ，可判定B 不正确；取z 1=1+i,z 2=2−2i ，可判断C 不正确；根据复数的运算法则，可判定D 正确.对于A 中，设复数z =a +bi,(a,b ∈R)，可得1z=a−bi (a+bi )(a−bi )=a a 2+b 2−b a 2+b 2i ， 因为1z ∈R ，可得b =0，所以z =a ∈R ，所以A 正确；对于B中，取z=i，可得z2=−1，所以B不正确；对于C中，例如：z1=1+i,z2=2−2i，则z1z2=(1+i)×2(1−i)=4∈R，此时z1≠z2，所以C不正确；对于D中，设z=a+bi,(a,b∈R)，由z∈R，可得b=0，即z=a，可得z=a∈R，所以D正确.故选：AD12、已知复数z1=6a+2+(a2−2)i,z2=1−ai(a∈R)，若z1+z2为实数，则（）A．a=1B．z1z1=√5C．z26为纯虚数D．z1z2对应的点位于第二象限答案：AC分析：先求出z1+z2，再由其为实数可求出a的值，然后逐个分析判断即可因为z1=6a+2+(a2−2)i,z2=1−ai(a∈R)，所以z1+z2=6a+2+(a2−2)i+1+ai=a+8a+2+(a2+a−2)i，因为z1+z2为实数，所以{a 2+a−2=0a+2≠0，解得a=1，所以A正确，z1=2−i,z2=1−i，所以z1z1=(2−i)(2+i)=5，所以B错误，z26=(1−i)6=[(1−i)2]3=(−2i)3=8i为纯虚数，所以C正确，z1 z2=2−i1−i=(2−i)(1+i)(1−i)(1+i)=2+2i−i−i22=32+12i，其在复平面内对应的点在第一象限，所以D错误，故选：AC13、若z−z=−14i,|z|=5√2，则z可能为（）A．1−7i B．1+7i C．−1−7i D．−1+7i答案：AC分析：待定系数法设复数，列方程组后求解设z=a+bi(a,b∈R)，则z=a−bi，由题意可得{z−z=2bi=−14i, |z|=√a2+b2=5√2,解得{b =−7,a =1或{b =−7,a =−1,所以z =1−7i 或−1−7i ． 故选：AC填空题14、已知|z −1−i |=1，则|z +i |的取值范围是_____________；答案：[√5−1,√5+1]分析：利用复数的几何意义求解，|z −1−i |=1表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，|z +i |表示复平面内到点(0,−1)的距离，结合两点间距离公式可求范围.因为在复平面内，|z −1−i |=1表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，即复数z 对应的点都在以(1,1)为圆心，半径为1的圆上；|z +i |表示复平面内的点到点(0,−1)的距离，最小值为√(0−1)2+(−1−1)2−1=√5−1，最大值为√(0−1)2+(−1−1)2+1=√5+1，所以|z +i |的取值范围是[√5−1,√5+1].所以答案是：[√5−1,√5+1].小提示：名师点评本题考查复数的模，复数的几何意义，复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若z =x +yi ，则|z −a −bi |表示复平面内点(x,y)与点(a,b)之间的距离，|z −a −bi |=r 表示以(a,b)为圆心，以r 为半径的圆上的点.15、复数z 1,z 2满足：|z 1|=3，|z 2|=4，|z 1+z 2|=5，则|z 1−z 2|=______．答案：5分析：根据给定条件，结合复数模公式计算作答.设复数z 1=a +bi,z 2=c +di,a,b,c,d ∈R ，z 1+z 2=(a +c)+(b +d)i ，z 1−z 2=(a −c)+(b −d)i ， 由|z 1|=3得a 2+b 2=9，由|z 2|=4得c 2+d 2=16，由|z 1+z 2|=5得(a +c)2+(b +d)2=25，因此ac +bd =0，所以|z 1−z 2|=√(a −c)2+(b −d)2=√a 2+b 2−2(ac +bd)+c 2+d 2=5所以答案是：516、已知a 为实数，若复数z =(a 2−3a −4)+(a −4)i 为纯虚数，则a =________．答案：−1分析：根据纯虚数的定义列出方程，解得，即可得出答案.解：若复数z =(a 2−3a −4)+(a −4)i 是纯虚数，则{a 2−3a −4=0a −4≠0，解得a =−1. 所以答案是：−1.解答题17、已知复数z 1=2−5i ，z 2=1+(2cosθ)i .(1)求z 1⋅z 1；(2)复数z 1，z 2对应的向量分别是OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中O 为坐标原点，当θ=π3时，求OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值.答案：(1)29；(2)-3.分析：（1）求出z 1，再利用复数乘法运算计算作答.（2）根据给定条件，求出OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，再利用向量数量积的坐标表示计算作答.(1)因复数z 1=2−5i ，则z 1=2+5i ，所以z 1⋅z 1=(2−5i)(2+5i)=29.(2)依题意，OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−5)，当θ=π3时，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2cosθ)=(1,1)， 所以OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1+(−5)×1=−3.18、对任意的复数z =x +yi(x 、y ∈R)，定义运算P (z )=x 2[cos (yπ)+isin (yπ)]．则直线l ：x −y −9=0上是否存在整点(x,y )（x 、y 均为整数的点），使得复数z =x +yi(x 、y ∈R)经运算P 后，P (z )对应的点也在直线l 上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由．答案：存在满足条件的整点(3,−6)、(−3,−12)．分析：写出P(z)对应点坐标为(x 2cos(yπ)，x 2sin(yπ))，根据所给的条件得到关系式，根据三角函数的值讨论出对应的复数．解：P(z)对应点坐标为(x 2cos(yπ)，x 2sin(yπ))由题意{y=x−9x2sinyπ=x2cosyπ−9x,y∈Z，得x2sin(xπ−9π)=x2cos(xπ−9π)−9∴x2sinxπ=x2cosxπ+9，∵x∈Z，∴①当x=2k，k∈Z时，得x2+9=0不成立；②当x=2k+1，k∈Z时，得x2−9=0，∴x=±3成立，此时{x=3y=−6或{x=−3y=−12，故存在满足条件的整点(3,−6)、(−3,−12)．。

高二数学第七章直线同步练习（27套）(必修2) 人教版高二数学第七章直线同步练习（27套）(必修2)人教版高二数学第七章线性同步练习（27套）1．下列命题中，正确的命题是（a）直线的倾角是α，那么直线的斜率是tanα（b）直线的斜率是tanα，那么直线的倾角是α（c）任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率（d）直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π2．直线y=xcosα+1(α∈r)的倾斜角的取值范围是（a）[0,2] （b）[0，π）（c）[c]4,6] （d）[0，?4]∪[3.4,π)3．若直线l经过原点和点(c3,c3)，则直线l的倾斜角为5.5.（a）（b）（c）或（d）c444444．已知直线l的倾斜角为α，若cosα=c（a）3445，那么直线L的斜率为43（b）43（c）c34（d）c5.已知直线L1:y=xsinα和直线L2:y=2x+C，则直线L1和L2（a）可以通过平移重合（b）不能垂直（c）可能与x轴围成等腰直角三角形（d）通过绕l1上某一点旋转可以重合6.斜率k=通过两点a（a，b）和b（3a，3b）（a）的直线的倾角≠ 0) α=.7．要使点a(2,cos2θ),b(sin2θ,c23），（C4，C4）是共线的，那么θ值为.8.点P（32）已知，点q位于x轴上。

如果直线PQ的倾角为150°，则点q的坐标为9．若经过点a(1ct,1+t)和点b(3,2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是.类名123456K=，α=；78.； 9..10.假设直线斜率的绝对值等于1，求出直线的倾角11.四边形abcd的四个顶点是a(2,3),b(1,-1),c(-1,-2),d(-2,2),求四边所在直线的斜率的倾斜角.12.（1）当且仅当M是什么值时，通过两点a（-M，6）和B（1，3m）的直线的斜率是12？（2）当且仅当M是什么值时，通过两点a（M，2）和B（-M，2m-1）的直线的倾角为60o？广水一中高二数学同步练习070211.直线L的方程是y=xtanα+2，那么（a）α一定是直线的倾斜角（b）α一定不是直线的倾斜角（c）πcα一定是直线的倾斜角（d）α不一定是直线的倾斜角2．直线yc4=c3(x+3)的倾斜角和所过的定点分别是（a）cc4)3.以下陈述中有什么不正确（a）点斜式ycy1=k(xcx1)适用于不垂直于x轴的任何直线（b）斜截式y=kx+b适用于不垂直于x轴的任何直线（c）两点式（d）截距式Yy1y2？y1xa？yb？32? 35? 62? 3，（c3，4）（b）、（c3，4）（c）、（3，c4）（d）、（3，xx1x2x1适用于不垂直于x轴和y轴的任何直线1适用于任何没有原点的线y?30?2?x?5?3?14．已知直线方程：yc2=3(x+1),斜率相同的直线共有，y=c13xc4,Y4.7.4.十、2.2.4，其中（a）0条（b）2条（c）3条（d）4条5．直线2xa2？yb2？1 x轴和y轴上的截距为12（a）a2,cb2（b）a2,±b（c）6．下列四个命题中，真命题的个数是a2，cb2（d）±a，±b①经过定点p0(x0,y0)的直线，都可以用方程ycy0=k(xcx0)来表示② 通过任意两点的直线可以用方程（ycy1）（x2cx1）=（xcx1）（y2cy1）表示。