2017年江苏省无锡市宜兴市丁蜀学区九年级上学期数学期中试卷与解析

2016-2017学年江苏省无锡市宜兴市丁蜀学区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．x2﹣6x+2 B．2x2﹣y+1=0 C．5x2=0 D．+x=22．（3分）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5=0，此方程可变形为（）A．（x+2）2=9 B．（x﹣2）2=9 C．（x+2）2=1 D．（x﹣2）2=13．（3分）下列一元二次方程中，两实根之和为1的是（）A．x2﹣x+1=0 B．x2+x﹣3=0 C．2x2﹣x﹣1=0 D．x2﹣x﹣5=04．（3分）方程3x2+4x﹣2=0的根的情况是（）A．两个不相等的实数根B．两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定5．（3分）有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各边的距离相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6．（3分）已知圆柱的底面半径为3cm，母线长为6cm，则圆柱的侧面积是（）A．36cm2B．36π cm2C．18cm2D．18π cm27．（3分）在平面直角坐标系中，以O为圆心的圆过点A（0，﹣4），则点B（﹣2，3）与⊙O的位置关系是（）A．在圆内B．在圆外C．在圆上D．无法确定8．（3分）如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．π9．（3分）如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（）A．10 B．9 C．8 D．710．（3分）在平面直角坐标系中，以A（2，4）为圆心，1为半径作⊙A，以B （3，5）为圆心，3为半径作⊙B，M、N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．6﹣2D．﹣3二、填空题（每空2分，共22分）11．（2分）关于x的一元二次方程（m+2）x2+x+m2﹣2m﹣8=0的一个根是0，则m的值为．12．（2分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．若两次降价的百分率均是x，则x满足方程．13．（2分）已知α，β为方程x2+4x+2=0的两实根，则α2+3α﹣β=．14．（2分）一个圆锥的底面半径为3cm，高为4cm，则这个圆锥的表面积为．15．（2分）边长分别为3、4、5的三角形的内切圆半径与外接圆半径之比为．16．（4分）在△ABC中，∠A=70°，若O为内心，则∠BOC=；若O为外心，则∠BOC=．17．（2分）已知⊙O的半径为r，弦AB=r，则AB所对圆周角的度数为．18．（2分）如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC．若∠A=26°，则∠ACB的度数为．19．（2分）如图，弦CD⊥AB于P，AB=8，CD=8，⊙O半径为5，则OP长为．20．（2分）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF 长度的最小值为．三、解答题（共78分）21．（16分）解方程（1）x2=3x﹣2（2）x2+4x﹣21=0（3）（2x+1）（x﹣3）=﹣6（4）（2x﹣1）2﹣2（2x+1）=0．22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．（1）先作∠ABC的平分线交AC边于点O，再以点O为圆心，OC为半径作⊙O （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）请你判断（1）中AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论．23．（8分）已知一元二次方程（k﹣2）x2﹣4x+2=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根，求此时m的值．24．（8分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，O为AB上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆，交BC边于点D，与AC边相切于点E．（1）求证：BE平分∠ABC；（2）若CD：BD=1：2，AC=4，求CD的长．25．（8分）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．（1）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？（2）求当这种商品售价为多少时，该商品的总利润最大？并求总利润的最大值？26．（11分）如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形，并探究和解答下列问题：（1）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与n（表示第n个图形）的关系式；（2）上述铺设方案，铺一块这样的长方形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；（3）黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（2）中，共需要花多少钱购买瓷砖？（4）否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算加以说明．27．（9分）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=（x＞0）图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B．（1）求证：线段AB为⊙P的直径；（2）求△AOB的面积；（3）如图2，Q是反比例函数y=（x＞0）图象上异于点P的另一点，以Q为圆心，QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D．求证：DO•OC=BO•OA．28．（10分）如图，点A（﹣10，0），B（﹣6，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB，∠CDA=90°．点P从点Q（8，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，运动时间为t秒．（1）求点C的坐标．（2）当∠BCP=15°时，求t的值．（3）以PC为直径作圆，当该圆与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．2016-2017学年江苏省无锡市宜兴市丁蜀学区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．x2﹣6x+2 B．2x2﹣y+1=0 C．5x2=0 D．+x=2【解答】解：A、x2﹣6x+2不是等式，不是一元二次方程，故此选项错误；B、2x2﹣y+1=0，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项错误；C、5x2=0，符合一元二次方程的定义，故此选项正确；D、+x=2，不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项错误．故选：C．2．（3分）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5=0，此方程可变形为（）A．（x+2）2=9 B．（x﹣2）2=9 C．（x+2）2=1 D．（x﹣2）2=1【解答】解：x2+4x﹣5=0，x2+4x=5，x2+4x+22=5+22，（x+2）2=9，故选：A．3．（3分）下列一元二次方程中，两实根之和为1的是（）A．x2﹣x+1=0 B．x2+x﹣3=0 C．2x2﹣x﹣1=0 D．x2﹣x﹣5=0【解答】解：A、方程x2﹣x+1=0没有实数根，所以A选项错误；B、方程x2+x﹣3=0的两实根之和为﹣1，所以B选项错误；C、方程2x2﹣x﹣1=0的两实根之和为，所以C选项错误；D、方程x2﹣x﹣5=0的两实根之和为1，所以D选项正确．故选：D．4．（3分）方程3x2+4x﹣2=0的根的情况是（）A．两个不相等的实数根B．两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【解答】解：∵方程3x2+4x﹣2=0中，△=42﹣4×3×（﹣2）=40＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．5．（3分）有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各边的距离相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：①直径是弦，故本选项正确；②经过不在同一直线的三个点可以确定一个圆，故本选项错误；③三角形的内心到三角形各边的距离相等，故本选项错误；④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项错误．其中正确的有1个；故选：D．6．（3分）已知圆柱的底面半径为3cm，母线长为6cm，则圆柱的侧面积是（）A．36cm2B．36π cm2C．18cm2D．18π cm2【解答】解：根据侧面积公式可得π×2×3×6=36πcm2，故选：B．7．（3分）在平面直角坐标系中，以O为圆心的圆过点A（0，﹣4），则点B（﹣2，3）与⊙O的位置关系是（）A．在圆内B．在圆外C．在圆上D．无法确定【解答】解：∵以O为圆心的圆过点A（0，﹣4），∴圆的半径r=4，∵点B（﹣2，3），∴OB==＜4，∴点B（﹣2，3）与⊙O的位置关系是在圆内，故选：A．8．（3分）如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．π【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=1，∴BC=ACtan60°=1×=，AB=2∴S△ABC=AC•BC=．根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则S△ABC=S△AB′C′，AB=AB′．∴S阴影=S扇形ABB′+S△AB′C′﹣S△ABC==．故选：A．9．（3分）如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（）A．10 B．9 C．8 D．7【解答】解：∵五边形的内角和为（5﹣2）•180°=540°，∴正五边形的每一个内角为540°÷5=108°，如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1=360°﹣108°×3=360°﹣324°=36°，360°÷36°=10，∵已经有3个五边形，∴10﹣3=7，即完成这一圆环还需7个五边形．故选：D．10．（3分）在平面直角坐标系中，以A（2，4）为圆心，1为半径作⊙A，以B （3，5）为圆心，3为半径作⊙B，M、N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．6﹣2D．﹣3【解答】解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，则此时PM+PN最小，∵点A坐标（2，4），∴点A′坐标（2，﹣4），∵点B（3，5），∴A′B==，∴MN=A′B﹣BN﹣A′M=5 ﹣3﹣1=﹣4，∴PM+PN的最小值为﹣4．故选：A．二、填空题（每空2分，共22分）11．（2分）关于x的一元二次方程（m+2）x2+x+m2﹣2m﹣8=0的一个根是0，则m的值为4．【解答】解：将x=0代入方程（m+2）x2+x+m2﹣2m﹣8=0，得：m2﹣2m﹣8=0，即（m+2）（m﹣4）=0，解得：m=﹣2或m=4，又∵m+2≠0，即m≠﹣2，∴m=4，故答案为：4．12．（2分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．若两次降价的百分率均是x，则x满足方程100（1﹣x）2=81．【解答】解：设两次降价的百分率均是x，由题意得：x满足方程为100（1﹣x）2=81．13．（2分）已知α，β为方程x2+4x+2=0的两实根，则α2+3α﹣β=2．【解答】解：∵α为方程x2+4x+2=0的实数根，∴α2+4α+2=0，即α2=﹣4α﹣2，∴α2+3α﹣β=﹣4α﹣2+3α﹣β=α+β﹣2，∵α，β为方程x2+4x+2=0的两实根，∴α+β=4，∴α2+3α﹣β=α+β﹣2=4﹣2=2．故答案为2．14．（2分）一个圆锥的底面半径为3cm，高为4cm，则这个圆锥的表面积为24πcm2．【解答】解：底面周长是2×3π=6πcm，底面积是：32π=9πcm2．母线长是：=5，则圆锥的侧面积是：×6π×5=15πcm2，则圆锥的表面积为9π+15π=24πcm2．故答案是：24πcm2．15．（2分）边长分别为3、4、5的三角形的内切圆半径与外接圆半径之比为1：2.5．【解答】解：不妨设三角形为△ABC，∵32+42=52，∴△ABC为直角三角形，∴外接圆的直径为5，∴外接圆的半径为2.5，设内切圆的半径为r，=（AB+BC+CA）•r，∵S△ABC∴×3×4=×（3+4+5）r，解得r=1，∴该三角形内切圆半径与外接圆半径之比为1：2.5，故答案为：1：2.5．16．（4分）在△ABC中，∠A=70°，若O为内心，则∠BOC=125°；若O为外心，则∠BOC=140°．【解答】解：当O为内心时，连接OB、OC，如图1，∵O为内心，∴OB、OC分别平分∠ABC和∠OCB，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣×（180°﹣70°）=125°；当O为外心时，连接OB、OC，如图2，则∠BOC=2∠A=140°，故答案为：125°，140°．17．（2分）已知⊙O的半径为r，弦AB=r，则AB所对圆周角的度数为45°或135°．【解答】解：根据题意画出相应的图形，过O作OC⊥AB，D、E为圆周上的点，连接AD，BD，AE，BE，可得C为AB的中点，即AC=BC=AB=r，∵OA=OB=r，AC=BC=r，∴△AOC与△BOC都为等腰直角三角形，∴∠AOC=∠BOC=45°，∴∠AOB=90°，∴∠AEB=45°，∠ADB=135°，则AB所对的圆周角的度数为45°或135°．故答案为：45°或135°18．（2分）如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC．若∠A=26°，则∠ACB的度数为32°．【解答】解：如图：连接OB，∵AB切⊙O于点B，∴∠OBA=90°，∵∠A=26°，∴∠AOB=90°﹣26°=64°，∵OB=OC，∴∠C=∠OBC，∵∠AOB=∠C+∠OBC=2∠C，∴∠C=32°．故答案是：32°．19．（2分）如图，弦CD⊥AB于P，AB=8，CD=8，⊙O半径为5，则OP长为3．【解答】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，∵AB=CD=8，∴BM=DN=4，∴OM=ON==3，∵AB⊥CD，∴∠DPB=90°，∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP=∠ONP=90°∴四边形MONP是矩形，∵OM=ON，∴四边形MONP是正方形，∴OP=3．故答案为：3．20．（2分）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．【解答】解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD 最短，如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2，∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2，由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=1×=，由垂径定理可知EF=2EH=．故答案为：．三、解答题（共78分）21．（16分）解方程（1）x2=3x﹣2（2）x2+4x﹣21=0（3）（2x+1）（x﹣3）=﹣6（4）（2x﹣1）2﹣2（2x+1）=0．【解答】解：（1）x2=3x﹣2，x2﹣3x+2=0，（x﹣2）（x﹣1）=0，x﹣2=0，x﹣1=0，x1=，2，x2=21；（2）x2+4x﹣21=0，（x+7）（x﹣3）=0，x+7=0，x﹣3=0，x1=﹣7，x2=3；（3）（2x+1）（x﹣3）=﹣6，整理得：2x2﹣5x+3=0，（x﹣1）（2x﹣3）=0，x﹣1=0，2x﹣3=0，x1=1，x2=1.5；（4）（2x﹣1）2﹣2（2x+1）=0，整理得：4x2﹣8x﹣1=0，b2﹣4ac=（﹣8）2﹣4×4×（﹣1）=80，x=，x1=，x2=．22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．（1）先作∠ABC的平分线交AC边于点O，再以点O为圆心，OC为半径作⊙O （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）请你判断（1）中AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论．【解答】解：（1）如图：（2）AB与⊙O相切．证明：作OD⊥AB于D，如图．∵BO平分∠ABC，∠ACB=90°，OD⊥AB，∴OD=OC，∴AB与⊙O相切．23．（8分）已知一元二次方程（k﹣2）x2﹣4x+2=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根，求此时m的值．【解答】解：（1）∵一元二次方程（k﹣2）x2﹣4x+2=0有两个不相等的实数根，∴，解得：k＜4且k≠2．（2）结合（1）可知k=3，∴方程x2﹣4x+k=x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3）=0，解得：x1=1，x2=3．当x=1时，有1+m﹣1=0，解得：m=0；当x=3时，有9+3m﹣1=0，解得：m=﹣．故m的值为0或﹣．24．（8分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，O为AB上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆，交BC边于点D，与AC边相切于点E．（1）求证：BE平分∠ABC；（2）若CD：BD=1：2，AC=4，求CD的长．【解答】（1）证明：连接OE．∵OE=OB，∴∠OEB=∠OBE．∵AC与⊙O相切，∴OE⊥AC，即∠OEA=90°．∴∠C=∠OEA=90°，∴OE∥BC．∴∠OEB=∠EBC．∴∠OBE=∠EBC．∴BE平分∠ABC．（2）如图2所示：过O作OF⊥BC于点F，连接OD，OE．∵OD=OB，OF⊥BD，∴DF=BF．∵CD：BD=1：2，∴CD=DF=FB．∵∠OEC=∠C=∠OFC=90°，∴四边形OECF为矩形．∴CF=EO．∴OE=BD=OD=OB．∴△ODB为等边三角形．∴∠ABC=60°．∵AC=4，∴BC=．∴CD=×BC=．25．（8分）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．（1）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？（2）求当这种商品售价为多少时，该商品的总利润最大？并求总利润的最大值？【解答】解：（1）设每件应降价x元，根据题意得（360﹣x﹣280）（5x+60）=7200，解得x1=8，x2=60，∵有利于减少库存，∴x=60，答：每件商品应降60元；（2）设总利润为W元，则W=（360﹣x﹣280）（5x+60）=﹣5（x﹣34）2+10580，360﹣34=326，则当降价34元，即售价326元时，总利润最大为10580元．26．（11分）如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形，并探究和解答下列问题：（1）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与n（表示第n个图形）的关系式；（2）上述铺设方案，铺一块这样的长方形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；（3）黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（2）中，共需要花多少钱购买瓷砖？（4）否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算加以说明．【解答】解：（1）n=1时，y=4×3=12，n=2时，y=5×4=20，n=3时，y=6×5=30，∴y=（n+3）（n+2）．（2）（n+3）（n+2）=506∴n2+5n﹣500=0，解得n=20或n=﹣25（舍去）．（3）20×（20+1）=420（块）4×（506﹣420）+3×420=4×86+1260=344+1260=1604（元）答：共需要花1604元购买瓷砖．（4）当黑瓷砖与白瓷砖块数相等时，铺设地面所用瓷砖的总块数等于白瓷砖的数量的2倍，∴（n+3）（n+2）=2n（n+1），∴n2+5n+6=2n2+2n，整理，可得n2﹣3n﹣6=0，解得n=，∵n是整数，∴不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形．答：不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形．27．（9分）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=（x＞0）图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B．（1）求证：线段AB为⊙P的直径；（2）求△AOB的面积；（3）如图2，Q是反比例函数y=（x＞0）图象上异于点P的另一点，以Q为圆心，QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D．求证：DO•OC=BO•OA．【解答】（1）证明：∵∠AOB=90°，且∠AOB是⊙P中弦AB所对的圆周角，∴AB是⊙P的直径．（2）解：设点P坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），∵点P是反比例函数y=（x＞0）图象上一点，∴mn=12．如答图，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，则OM=m，ON=n．由垂径定理可知，点M为OA中点，点N为OB中点，∴OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，=BO•OA=×2n×2m=2mn=2×12=24．∴S△AOB（3）证明：∵以Q为圆心，QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D，∠COD=90°，∴DC是⊙Q的直径．若点Q为反比例函数y=（x＞0）图象上异于点P的另一点，=DO•CO=24，参照（2），同理可得：S△COD则有：S=S△AOB=24，即BO•OA=DO•CO，△COD∴DO•OC=BO•OA．28．（10分）如图，点A（﹣10，0），B（﹣6，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB，∠CDA=90°．点P从点Q（8，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，运动时间为t秒．（1）求点C的坐标．（2）当∠BCP=15°时，求t的值．（3）以PC为直径作圆，当该圆与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．【解答】解：（1）∵∠BOC=90°，∠CBO=45°，∴∠BCO=∠CBO=45°，∵B（﹣6，0），∴OC=OB=6，∴C（0，6）；（2）如图1中，①当点P在点B右侧时，∵∠BCO=45°，∠BCP=15°，∴∠POC=30°，∴OP=2∴t1=8+2．②当点P′在点B左侧时，∵∠BCO=45°，∠BCP′=15°，∴∠P′CO=60°，∴OP′=6，∴t2=8+6．综上所述：t的值为8+2或8+6．（3）如图2中，由题意知，若该圆与四边形ABCD的边相切，有以下三种情况：①当该圆与BC相切于点C时，有∠BCP=90°，从而∠OCP=45°，得到OP1=6，此时P1Q=2，∴t=2；②当该圆与CD相切于点C时，有P2C⊥CD，即点P2与点O重合，此时P2Q=8，∴t=8；③当该圆与AD相切时，设P3（8﹣t，0），设圆心为M，则M（，3），半径r2=（）2+32，作MH⊥AD于点H，则MH=﹣（﹣10）=14﹣，当MH2=r2时，得（14﹣）2=（）2+32，解得t=17.1，∴t的值为2或8或17.1．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

某某省宜兴市丁蜀学区八校联考2016届九年级数学上学期期中试题一、选择题（10小题，每题3分，共30分）1．方程x2－5x＝0的解是 ( )A．x1＝0，x2＝－5 B．x＝5C．x1＝0，x2＝5 D．x＝02．用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为 ( )A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝93．已知(a2＋b2)2－(a2＋b2)－12＝0，则a2＋b2的值为 ( )A．－3 B．4 C．－3或4 D．3或－44．已知关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值X围是 ( )A．k<－2 B．k<2C．k>2 D．k<2且k≠15．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是 ( )A．5个B．6个C．7个D．8个6．若m是方程x2－2014x－1＝0的根，则(m2－2014m＋3) (m2－2014m＋4)的值为 ( )A．16 B．12 C．20 D．307．如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB＝4，OC＝1，则OB的长是（）A．3 B．5 C．15D．178．如图，在⊙O中，已知∠°，则∠C的度数为 ( )A．135° B．12°°°9.如图，点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心，∠O=140°，则∠I为（）A．135°B．130°C．125°D．120°10. 我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题（10小题，每题2分，共20分）11．方程x2＝0的解是 _______．12．一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a2＝1的一个根为0，则a＝ _______． .13．若一元二次方程mx2＝n（mn＞0）的两个根分别是k＋1与2k－4，则nm＝ _______． .14．如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A＝35º，则∠B的度数是 _______． . 2－x－3＝0的两个实数根分别为α，β，则 (α＋3)（β＋3）＝_______．16．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D 为切点，如果AB＝5，AC＝3，则BD的长为_______． .17．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为_______．．18．如图，在半径分别为5 cm和3 cm的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，则弦AB的长为_______cm.19．如图，PA、PB分别切⊙O于点A 、B，若∠P＝70°，则∠C的大小为_______．（第18题图）（第19题图）（第20题图）20. 如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是__________．三、解答题（10小题，共80分）21．解方程（16分）（1）(x－3)(x＋7)＝0 (2)x2－3x－10＝0(3) 6x2－x－2＝0． (4)(x＋3)（x－2）＝5．22.（6分）已知四边形ABCD顶点都在4×4的正方形网格格点上，如图所示，（1）请画出四2边形ABCD的外接圆，并标明圆心M的位置；（2）这个圆中弦BC所对的圆周角的度数是 __________．23．（8分）已知|a ﹣b+1|与是互为相反数，且关于x 的方程kx 2+ax+b=0有两个不相等的实数根，求k 的取值X 围．24．（8分）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于点D ，且∠D ＝2∠A ．（1）求∠D 的度数； （2）若CD ＝2，求BD 的长．25．（8分）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？26．（10分）已知m 2+2mn+2n 2﹣6n+9=0，求的值．解：∵m 2+2mn+2n 2﹣6n+9=0 ∴（m+n ）2+（n ﹣3）2=0 ∴（m+n ）2=0，（n ﹣3）2=0 ∴n=3，m=﹣3∴OABCDP根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+4x+4+y2﹣8y+16=0，求的值；（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2﹣8b﹣10a+41=0，求△ABC中最大边c的取值X围；（3）试说明不论x，y取什么有理数时，多项式x2+y2﹣2x+2y+3的值总是正数．27．（12分）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O 于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．（1）求证：∠DAC=∠DBA；（2）求证：P是线段AF的中点；（3）连接CD，若CD﹦3，BD﹦4，求⊙O的半径和DE的长．28．（12分）如图，把一块含45°的直角三角板AOB放置在以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，2），直线x=2交x轴于点B．P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交直线x=2于点C．过P 点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=2于点N．（1）填空：∠NPB=度；（2）当点C在第一象限时，①试判断PO与PC的大小关系，并加以证明；②设AP 长为m ，四边形POBC 的面积为S ，请求出S 与m 间的函数关系式，并写出自变量m 的取值X 围；（3）设点P 的横坐标为t ，当点P 在线段AB 上移动时，点C 也随之在直线x=2上移动，以点B 为圆心，BC 长为半径作⊙B，求线段PN 与⊙B 有一个交点时，t 的X 围．数学答案一、选择题（每小题3分,共30分） 1. [C] 6. [C] 2. [D] 7. [B] 3. [B] 8. [D] 4. [D] 9. [C] 5. [C] 10. [A] 二、填空题（每小题2分,共20分） 11．12．_____1____ 13．______4___ 14． 55°15． 1 16． 2 17． 20％ 18． 8 19． 55°20．4三、解答题（共80分） 21.（每小题4分，共16分）12121212(1)3,7(2)5,212(3),23135135(4)22x x x x x x x x ==-==-=-=-+--==22. （共6分）（1）略………………………………………………（3分）（2） 45°或135°…………（3分，答对1个扣1分）23. （共8分）∵|a﹣b+1|+=0，∴a﹣b+1=0，a﹣2b+4=0，∴a=﹣2，b=﹣1，………………………………………………（3分）原方程变形为kx2+﹣2x﹣1=0，根据题意得k≠0且（﹣2）2﹣4k×（﹣1）＞0，……………（6分）解得k＞﹣1且k≠0．…………………………………………（8分）24. （共8分）（1）连OC∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，∴∠COD=∠A+∠ACO=2∠A，∵∠D=2∠A，∴∠D=∠COD，………………（2分）∵PD切⊙O于C，∴∠OCD=90°，∴∠D=∠COD=45°；……………………………（4分）（2）∵∠D=∠COD，CD=2，∴OC=OB=CD=2，在Rt△OCD中，由勾股定理得：22+22=（2+BD）2，解得：BD=2﹣2．…………………………（8分）25. （共8分）因每批次进货个数不得超过180个，故原销售定价应增加设在原销售定价基础上增加x元，则销售量减少10x个…（1分）根据题意，(52＋x－40)(180－10x)＝2000，………………（4分）化简整理，得x2－6x－16＝0，解得x＝8或－2…………（6分）而x≥0，∴x＝8………………………………………………（7分）答：应定销售价每个60元，进货100个……………………（8分）26. （共10分）（1）∵x2+4x+4+y2﹣8y+16=0∴（x+2）2+（y﹣4）2=0，∴（x+2）2=0，（y﹣4）2=0，……………………（2分）∴x=﹣2，y=4∴=﹣2；…………………………………………………（3分）（2）∵a2+b2﹣8b﹣10a+41=0，∴（a﹣5）2+（b﹣4）2=0，∴（a﹣5）2=0，（b﹣4）2=0，∴a=5，b=4………………………………（5分）△ABC中最大边5＜c＜9；………………………………（6分）（3）∵x2+y2﹣2x+2y+3=（x﹣1）2+（y+1）2+1，……………（8分）且（x﹣1）2≥0，（y+1）2≥0，∴（x﹣1）2+（y+1）2+1＞0，………………………………（10分）∴多项式x2+y2﹣2x+2y+3的值总是正数．27（共12分）（1）证明：∵BD平分∠CBA，∴∠CBD=∠DBA，∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC=∠CBD，∴∠DAC=∠DBA，∵AB是⊙O的直径，DE⊥AB，∴∠ADB=∠AED=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DBA+∠DAE=90°，∴∠ADE=∠DBA，∴∠DAC=∠ADE，∴∠DAC=∠DBA；………………………………（4分）（2）证明：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵DE⊥AB于E，∴∠DEB=90°，∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°，∴∠ADE=∠ABD=∠DAP，∴PD=PA，∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°，∴∠PDF=∠PFD，∴PD=PF，∴PA=PF，即P是线段AF的中点；………………………………（8分）（3）解：连接CD，∵∠CBD=∠DBA，∴CD=AD，∵CD﹦3，∴AD=3，∵∠ADB=90°，∴AB=5，故⊙O的半径为2.5，…………………………（10分）∵DE×AB=AD×BD，∴5DE=3×4，∴DE=2.4．即DE的长为2.4．………………………………（12分）28（共12分）（1）45．………………………………………………（2分）（2）①PO=PC；………………………………………………（3分）证明：∵OM∥BN，MN∥OB，∴四边形OBNM是矩形，∵∠AOB=90°，OA=OB，∴△AOB、△AMP、△PNB是等腰直角三角形，∴PN=BN=OM，∵∠MPO+∠NPC=90°，∠MPO+∠MOP=90°，∴∠NPC=∠MOP，又∠OMP=∠PNC=90°，∴△OPM≌△P，∴PO=PC．………………………………………………（5分）②依题意可得：，∴．∴=………………………………（7分）（3）①当点P与点A重合时，点P、M、A三点重合，点C、N重合，由PC⊥BC，则线段PN与⊙B相切，即PN与⊙B有交点，此时PC=2，P（0，2）；………………………………………………（8分）②当点P恰好在⊙B上时，点C在第四象限，此时BP=BC，∴，即∴m=2，∴，∴………………………………………………（9分）当MN与⊙B相切时，此时BC=BN=PN，同理可证得：△OPM≌△P，则PC=OP，PN=OM，NC=MP，则MP+PN=+PN=3PN=MN，故，，∴………………………………………………（10分）word∴当t=0或时，线段PN与⊙B有一个交点…………………………………………（12分）11 / 11。

九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）A. x2−1=0B. x2+2y+1=0C. x2−2=(x+3)2D. x2+3x−5=02.一元二次方程x2-x+10=0的根的情况是（）A. 有两个不等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 不能确定3.某厂1月份生产原料a吨，以后每个月比前一个月增产x%，3月份生产原料的吨数是（）A. a(1+x)2B. a(1+x%)2C. a+a⋅x%D. a+a⋅(x%)24.如图，在△ABC中，DE∥BC，ADDB=12，DE=4，则BC的长是（）A. 8B. 10C. 11D. 125.在相同时刻物高与影长成比例，如果高为1.5m的测竿的影长为 2.5m，那么影长为30m的旗杆的高度是（）A. 20mB. 16mC. 18mD. 15m6.下列四个命题：（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径必定垂直于这条弦；（3）相等的圆心角所对的弧相等；（4）长度相等的两条弧是等弧．其中错误的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（）A. 35∘B. 27.5∘C. 30∘D. 25∘8.如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是（）A. 1cmB. 2cmC. 8cmD. 2cm或8cm9.如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，3），C（4，3），I是△ABC的内心，将△ABC绕原点逆时针旋转90°后，I的对应点I′的坐标为（）A. (−2,3)B. (−3,2)C. (3,−2)D. (2,−3)10.如图，在平面直角坐标系中，A（0，23），动点B、C从原点O同时出发，分别以每秒1个单位和每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，以点A为圆心，OB的长为半径画圆；以BC为一边，在x轴上方作等边△BCD．设运动的时间为t秒，当⊙A与△BCD的边BD所在直线相切时，t的值为（）A. 3−32B. 3+32C. 43+6D. 43−6二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.方程x2-2x=0的根是______．12.已知a2=b5，则b−aa的值为______．13.在比例尺为1：50000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB=3cm，则A、B两地的实际距离为______km．14.相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边的边长等于______厘米．15.如图，一宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm），则该圆的半径为______cm．16.如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC=6，那么线段GE的长为______．17.如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为______．18.如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为______．三、解答题（本大题共10小题，共84.0分）19.解方程（1）（x-2）2-9=0（2）x2-2x-8=0（3）2x2+3x-1=0（4）（x-3）2+2x（x-3）=020.已知，△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（-2，2）、B（-1，0）、C（0，1）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC关于y轴的轴对称图形△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，在网格内画出所有符合条件的△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1位似，且位似比为2：1；（3）求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比．21.关于x的一元二次方程x2-（k+3）x+2k+2=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．22.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=63，AF=43，求AE的长．23.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．24.如图，灯杆AB与墙MN的距离为18米，小丽在离灯杆（底部）9米的D处测得其影长DF为3m，设小丽身高为1.6m．（1）求灯杆AB的高度；（2）小丽再向墙走7米，她的影子能否完全落在地面上？若能，求此时的影长；若不能，求落在墙上的影长．25.百货商店销售某种冰箱，每台进价2500元．市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；每台售价每降低10元时，平均每天能多售出1台．（销售利润=销售价-进价）（1）如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的销售利润为______元，平均每天可销售冰箱______台；（用含x的代数式表示）（2）商店想要使这种冰箱的销售利润平均每天达到5600元，且尽可能地清空冰箱库存，每台冰箱的定价应为多少元？26.在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y 轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”．（1）已知点A（2，0），B（0，23），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为______；（2）若点C（1，2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD表达式；（3）⊙O的半径为2，点P的坐标为（3，m）．若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围．27.如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连结BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连结AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设ADAE=n．（1）求证：AE=GE；（2）当点F落在AC上时，用含n的代数式表示ADAB的值；（3）若AD=4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值．28.如图1，直线y=-43x+8，与x轴、y轴分别交于点A、C，以AC为对角线作矩形OABC，点P、Q分别为射线OC、射线AC上的动点，且有AQ=2CP，连结PQ，设点P的坐标为P（0，t）．（1）求点B的坐标．（2）若t=1时，连接BQ，求△ABQ的面积．（3）如图2，以PQ为直径作⊙I，记⊙I与射线AC的另一个交点为E．①若PEPQ=35，求此时t的值．②若圆心I在△ABC内部（不包含边上），则此时t的取值范围为______．（直接写出答案）答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、是一元二次方程，故A正确；B、是二元二次方程，故B错误；C、是一元一次方程，故C错误；D、是分式方程，故D错误；故选：A．根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2.【答案】C【解析】解：∵a=1，b=-1，c=10，△=b2-4ac=（-1）2-4×1×10=1-40=-39＜0所以方程没有实数根．故选：C．确定a、b、c计算△，利用根的判别式直接判断．本题考查了一元二次方程根的判别式．根的判别式：△=b2-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等实数根，当△=0时，方程有两个相等实数根，当△＜0时，方程无实数根．3.【答案】B【解析】解：∵1月份产量为a吨，以后每个月比上一个月增产x%，∴2月份的产量是a（1+x%），则3月份产量是a（1+x%）2．故选：B．1月到3月发生了两次变化，其增长率相同，故由1月份的产量表示出2月份的产量，进而表示出3月份的产量．本题考查了代数式的列法，涉及的知识是一个增长率问题，关键是看清发生了两次变化．4.【答案】D【解析】解：∵，∴=，∵在△ABC中，DE∥BC，∴=，∵DE=4，∴BC=3DE=12．故选：D．由在△ABC中，DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，即可得DE：BC=AD：AB，又由，DE=4，即可求得BC的长．此题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度不大，注意掌握比例线段的对应关系．5.【答案】C【解析】解：∵，∴，解得旗杆的高度==18m．故选：C．根据同一时刻物高与影长成比例，列出比例式再代入数据计算即可．本题考查相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立数学模型来解决问题．6.【答案】D【解析】解：不共线的三点确定一个圆，所以（1）错误；平分弦（非直径）的直径必定垂直于这条弦，所以（2）错误；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以（3）错误；在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以（4）错误．故选：D．根据确定圆的条件对（1）进行判断；根据垂径定理的推论对（2）进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对（3）进行判断；根据等弧的定义对（4）进行判断．本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．7.【答案】A【解析】解：∵∠ADC=∠A+∠B，∠A=60°，∠ADC=85°，∴∠B=25°，∴∠AOC=2∠B=50°，∵∠ADC=∠AOC+∠C，∴∠C=85°-50°=35°，故选：A．由∠ADC=∠A+∠B，∠A=60°，∠ADC=85°，推出∠B=25°，两点∠AOC=2∠B=50°，再根据∠ADC=∠AOC+∠C，即可求出∠C；本题考查圆周角定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8.【答案】D【解析】解：连接OB，∵AB⊥OC，∴AH=BH，∴BH=AB=×8=4，在Rt△BOH中，OB=OC=5，∴OH==3，又∵将直线l通过平移使直线l与⊙O相切，∴直线l垂直过C点的直径，垂足为直径的两端点，∴当向下平移时，直线l平移的距离=5-3=2（cm）；当向上平移时，直线l平移的距离=5+3=8（cm）．故选：D．根据垂径定理得到BH=AB=×8=4，再利用勾股定理计算出OH，然后利用切线和平移的性质分类讨论：当向下平移时，直线l平移的距离为半径减去OH；当向上平移时，直线l平移的距离为半径加上OH．本题考查了直线与圆的位置关系，垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了平移的性质、切线的性质以及勾股定理．9.【答案】A【解析】解：过点作IF⊥AC于点F，IE⊥OA于点E，∵A（4，0），B（0，3），C（4，3），∴BC=4，AC=3，则AB=5，∵I是△ABC的内心，∴I到△ABC各边距离相等，等于其内切圆的半径，∴IF=1，故I到BC的距离也为1，则AE=1，故IE=3-1=2，OE=4-1=3，则I（3，2），∵△ABC绕原点逆时针旋转90°，∴I的对应点I'的坐标为：（-2，3）．故选：A．直接利用直角三角形的性质得出其内切圆半径，进而得出I点坐标，再利用旋转的性质得出对应点坐标．此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，得出其内切圆半径是解题关键．10.【答案】C【解析】解：作AH⊥BD于H，延长DB交y轴于E，如图，∵⊙A与△BCD的边BD所在直线相切，∴AH=OB=t，∵△BCD为等边三角形，∴∠DBC=60°，∴∠OBE=60°，∴∠OEB=30°，在Rt△OBE中，OE=OB=t，在Rt△AHE中，AE=2AH=2t，∵A（0，2），∴OA=2，∴2+t=2t，∴t=4+6．故选：C．作AH⊥BD于H，延长DB交y轴于E，如图，利用切线的性质得AH=OB=t，再利用等边三角形的性质得∠DBC=60°，则∠OBE=60°，所以OE=OB=t，AE=2AH=2t，从而得到2+t=2t，然后解关于t的方程即可．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了等边三角形的性质．11.【答案】x1=0，x2=2【解析】解：因式分解得x（x-2）=0，解得x1=0，x2=2．故答案为x1=0，x2=2．因为x2-2x可提取公因式，故用因式分解法解较简便．本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．12.【答案】32【解析】解：两边都乘以5，得b=．==，故答案为：．根据等式的性质，可用a表示b，根据分式的性质，可得答案．本题考查了比例的性质，利用等式得出b=是解题关键．13.【答案】1.5【解析】解：∵比例尺为1：5000，量得两地的距离是20厘米，∴，∴A、B两地的实际距离=150000cm=1.5km．故答案为：1.5．由在比例尺为1：50000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB=3cm，根据比例尺的定义，可求得两地的实际距离．此题考查了比例尺的性质．注意掌握比例尺的定义，注意单位要统一．14.【答案】（105-10）【解析】解：设所求边长为x，由题意，得=，解得x=（10-10）cm．故答案为（10-10）．由黄金矩形的定义，可知黄金矩形的宽与长之比为，设所求边长为x，代入已知数据即可得出答案．本题主要考查了黄金分割点的概念，需要熟记黄金比的值，难度适中．15.【答案】134【解析】解：作OE垂直AB于E，交⊙O于D，设OB=r，根据垂径定理，BE=AB=×6=3cm，根据题意列方程得：（r-2）2+9=r2，解得r=，∴该圆的半径为cm．根据垂径定理得BE的长，再根据勾股定理列方程求解即可．本题考查了垂径定理的应用及勾股定理，根据题意得出BC=3是解答此题的关键．16.【答案】2【解析】解：∵点G是△ABC重心，BC=6，∴CD=BC=3，=2，∵GE∥BC，∴△AEG∽△ACD，∴==，∴GE=2．故答案为：2．由点G是△ABC重心，BC=6，易得CD=3，AG：AD=2：3，又由GE∥BC，可证得△AEG∽△ACD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得线段GE的长．此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形重心的性质．解题时注意：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．17.【答案】9202【解析】解：过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH=AB=2∵BF=2FC，BC=AD=3，∴BF=AH=2，FC=HD=1，∴AF===2，∵OH∥AE，∴==，∴OH=AE=，∴OF=FH-OH=2-=，∵AE∥FO，∴△AME∽FMO，∴==，∴AM=AF=，∵AD∥BF，∴△AND∽△FNB，∴==，∴AN=AF=，∴MN=AN-AM=-=．故答案为：．首先过F作FH⊥AD于H，交ED于O，于是得到FH=AB=2，根据勾股定理求得AF，根据平行线分线段成比例定理求得OH，由相似三角形的性质求得AM与AF的长，根据相似三角形的性质，求得AN的长，即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，比例的性质，准确作出辅助线，求出AN与AM的长是解题的关键．18.【答案】213−2【解析】解：如图：取点D关于直线AB的对称点D′．以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆．连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG．连CG并延长交AB于点E．由以上作图可知，BG⊥EC于G．PD+PG=PD′+PG=D′G由两点之间线段最短可知，此时PD+PG最小．∵D′C′=4，OC′=6∴D′O=∴D′G=2∴PD+PG的最小值为2故答案为：2作DC关于AB的对称点D′C′，以BC中的O为圆心作半圆O，连D′O分别交AB及半圆O于P、G．将PD+PG转化为D′G找到最小值．本题考查线段和的最小值问题，通常思想是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短．19.【答案】解：（1）（x-2）2-9=0（x-2）2=9x-2=±3x=±3+2x1=5，x2=-1；（2）x2-2x-8=0（x-4）（x+2）=0，x1=4，x2=-2；（3）2x2+3x-1=0△=32-4×2×（-1）=17＞0x=−3±174x1=−3+174，x2=−3−174；（4）（x-3）2+2x（x-3）=0（x-3）（x-3+2x）=0（x-3）（3x-3）=0x1=3，x2=1．【解析】（1）利用直接开平方法解方程；（2）利用因式分解法解方程；（3）利用公式法解方程；（4）利用因式分解法解方程．本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法，因式分解法，公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．20.【答案】解（1）如图：A1（2，2），B1（1，0），C1（0，1）；（2）如图：A1（4，4），B1（2，0），C1（0，2）或A1（-4，-4），B1（-2，0），C1（0，-2）；（3）∵△A2B2C2与△A1B1C1位似，且位似比为2：1，∴△A1B1C1与△A2B2C2的面积比=（12）2=14．【解析】（1）由△ABC关于y轴的轴对称图形△A1B1C1，根据轴对称的性质，可求得△A1B1C1各点的坐标，继而画出△A1B1C1；（2）由△A2B2C2与△A1B1C1位似，且位似比为2：1；根据位似的性质，可求得△A2B2C2各点的坐标，继而画出△A2B2C2；（3）由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△A1B1C1与△A2B2C2的面积比．此题考查了位似变换以及轴对称变换．注意关于原点位似的图形有两个，注意相似三角形的面积比等于相似比的平方．21.【答案】（1）证明：∵在方程x2-（k+3）x+2k+2=0中，△=[-（k+3）]2-4×1×（2k+2）=k2-2k+1=（k-1）2≥0，∴方程总有两个实数根．（2）解：∵x2-（k+3）x+2k+2=（x-2）（x-k-1）=0，∴x1=2，x2=k+1．∵方程有一根小于1，∴k+1＜1，解得：k＜0，∴k的取值范围为k＜0．【解析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△=（k-1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1=2、x2=k+1，根据方程有一根小于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于1，找出关于k的一元一次不等式．22.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C．在△ADF与△DEC中，∠AFD=∠C∠ADF=∠DEC∴△ADF∽△DEC．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8．由（1）知△ADF∽△DEC，∴ADDE=AFCD，∴DE=AD⋅CDAF=63×843=12．在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=DE2−AD2=122−(63)2=6．【解析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC；（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度．本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和勾股定理三个知识点．题目难度不大，注意仔细分析题意，认真计算，避免出错．23.【答案】解：（1）如图，连接BD，∵∠BAD=90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°，∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°，∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）∵DE∥AC，∵∠BDE=90°，∴∠BFC=90°，∴CB=AB=8，AF=CF=12AC，∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°，∴∠CDE=∠CBD，∵∠DCE=∠BCD=90°，∴△BCD∽△DCE，∴BCCD=CDCE，∴8CD=CD2，∴CD=4，在Rt△BCD中，BD=BC2+CD2=45同理：△CFD∽△BCD，∴CFBC=CDBD，∴CF8=445，∴CF=855，∴AC=2AF=1655．【解析】（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；（2）先判断出AC⊥BD，进而求出BC=AB=8，进而判断出△BCD∽△DCE，求出CD，再用勾股定理求出BD，最后判断出△CFD∽△BCD，即可得出结论．此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出BC=8是解本题的关键．24.【答案】解：（1）∵∠AFB=∠CFD，∠ABF=∠CDF，∴△ABF∽△CDF，∴ABCD=BFDF，∴AB=BFDF•CD=9+33×1.6=6.4．∴灯杆AB的高度为6.4米．（2）将CD往墙移动7米到C′D′，作射线AC′交MN于点P，延长AP交地面BN于点Q，如图所示．∵∠AQB=∠C′QD′，∠ABQ=∠C′D′Q=90°，∴△ABQ∽△C′D′Q，∴D′QBQ=C′D′AB，即D′QD′Q+16=1.66.4，∴D′Q=163．同理，可得出△PQN∽△AQB，∴PNAB=QNBQ，即PN6.4=163−9+7163+9+7，∴PN=1．∴小丽的影子不能完全落在地面上，小丽落在墙上的影长为1米．【解析】（1）由∠AFB=∠CFD、∠ABF=∠CDF可得出△ABF∽△CDF，根据相似三角形的性质可求出AB的长度，此题得解；（2）将CD往墙移动7米到C′D′，作射线AC′交MN于点P，延长AP交地面BN于点Q，由∠AQB=∠C′QD′、∠ABQ=∠C′D′Q=90°可得出△ABQ∽△C′D′Q，根据相似三角形的性质可求出D′Q的长度，同理可得出△PQN∽△AQB，再利用相似三角形的性质可求出PN的长度，此题得解．本题考查了相似三角形的应用以及中心投影，解题的关键是：（1）由△ABF∽△CDF利用相似三角形的性质求出AB的长度；（2）由△PQN∽△AQB 利用相似三角形的性质求出PN的长度．25.【答案】（400-x）（8+x10）【解析】解：（1）解：（1）销售1台的利润：2900-2500=400；降价后销售的数量：8+，降价后销售的利润：400-x；故答案是：（400-x）；（8+）．（2）依题意，可列方程：（400-x）（8+）=5600解方程得：x1=120，x2=200因为要尽可能地清空冰箱库存，所以x=120舍去答：应定价2700元．（1）销售利润=销售价-进价；降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”；（2）根据每台的盈利×销售的件数=5600元，即可列方程求解．此题主要考查了一元二次方程的应用，本题关键是会表示一台冰箱的利润，销售量增加的部分．找到关键描述语，找到等量关系：每台的盈利×销售的件数=5600元是解决问题的关键．26.【答案】60°【解析】解：（1）∵点A（2，0），B（0，2），∴OA=2，OB=2，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB==4，∴∠ABO=30°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC=2∠ABO=60°，∵AB∥CD，∴∠DCB=180°-60°=120°，∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°，故答案为：60°；（2）如图2，∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，∴直线CD与直线y=5的夹角是45°．过点C作CE⊥DE于E．∴D（4，5）或（-2，5）．∴直线CD的表达式为：y=x+1或y=-x+3；（3）分两种情况：①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3，∵⊙O的半径为，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=OQ'=2，∴P'D=3-2=1，∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5，∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，5），∴当1≤m≤5时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；②先作直线y=-x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=-x，如图4，∵⊙O的半径为，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=OQ'=2，∴BD=3-2=1，∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，-1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5，∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，-5），∴当-5≤m≤-1时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；综上所述，m的取值范围是1≤m≤5或-5≤m≤-1．（1）根据定义建立以AB为边的“坐标菱形”，由勾股定理求边长AB=4，可得30度角，从而得最小内角为60°；（2）先确定直线CD与直线y=5的夹角是45°，得D（4，5）或（-2，5），易得直线CD的表达式为：y=x+1或y=-x+3；（3）分两种情况：①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3，根据等腰直角三角形的性质分别求P'B=BD=1，PB=5，写出对应P的坐标；②先作直线y=-x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=-x，如图4，同理可得结论．本题是一次函数和圆的综合题，考查了菱形的性质、正方形的性质、点P，Q 的“坐标菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考创新题目．27.【答案】解：设AE=a，则AD=na，（1）由对称知，AE=FE，∴∠EAF=∠EFA，∵GF⊥AF，∴∠EAF+∠FGA=∠EFA+∠EFG=90°，∴∠FGA=∠EFG，∴EG=EF，∴AE=EG；（2）如图1，当点F落在AC上时，由对称知，BE⊥AF，∴∠ABE+∠BAC=90°，∵∠DAC+∠BAC=90°，∴∠ABE=∠DAC，∵∠BAE=∠D=90°，∴△ABE∽△DAC，∴ABDA=AEDC，∵AB=DC，∴AB2=AD•AE=na2，∵AB＞0，∴AB=n a，∴ADAB=nana=n；（3）若AD=4AB，则AB=n4a，如图2，当点F落在线段BC上时，EF=AE=AB=a，此时n4a=a，∴n=4，∴当点F落在矩形内部时，n＞4，∵点F落在矩形内部，点G在AD上，∴∠FCG＜∠BCD，∴∠FCG＜90°，①当∠CFG=90°时，如图3，则点F落在AC上，由（2）得，ADAB=n，∴n=16，②当∠CGF=90°时，则∠CGD+∠AGF=90°，∵∠FAG+∠AGF=90°，∴∠CGD=∠FAG=∠ABE，∵∠BAE=∠D=90°，∴△ABE∽△DGC，∴ABDG=AEDC，∴AB•DC=DG•AE，∵DG=AD-AE-EG=na-2a=（n-2）a，∴（n4a）2=（n-2）a•a，∴n=8+42或n=8-42（由于n＞4，所以舍），∴当n=16或n=8+42时，以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形．【解析】（1）直接利用等角的余角相等得出∠FGA=∠EFG，即可得出EG=EF，代换即可；（2）先判断出△ABE∽△DAC，得出比例式用AB=DC代换化简即可得出结论；（3）先判断出只有∠CFG=90°或∠CGF=90°，分两种情况建立方程求解即可．此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出EG=EF，解（2）的关键是判断出△ABE∽△DAC，解（3）的关键是分类讨论，用方程的思想解决问题．28.【答案】8＜t＜14413【解析】解：（1）将x=0代入y=-x+8，得y=8，∴C（0，8），将y=0代入y=-x+8，得x=6，∴A（6，0），∵四边形OABC是矩形，∴B（6，8）；（2）如图1，作QH⊥AB于H，当t=1时，CP=7，AQ=14，易证AC=10，sin∠BAC=，∴QH=AQsin∠BAC=，∴S△ABQ=；（3）分类：Ⅰ、如图2，当P在线段OC上，Q在线段AC上时，即3＜＜8时，易证=sin∠EQP=sin∠ACO=，∴∠EQP=∠ACO，∴CP=PQ，∵PE⊥CQ，∴CE=EQ，∴2×（8-t）=10-（16-2t），解得t1=，Ⅱ、当Q与C重合，P在OC上时，如图3，可得16-2t=10，解得t2=3，Ⅲ、当Q与C重合，P在OC延长线上时，如图4，可得2t-16=10，解得t3=13，Ⅳ、当P在OC延长线上，Q在AC延长线上时，如图5，同Ⅰ，可得∠Q=∠PCQ，∴CP=PQ，∴（2t-16-10）=（t-8），解得t4=33，∴t=或3或13或33；②当圆心I在边AC上时，如图6，P与C重合，Q与A重合，∴OP=t=8，当圆心I在边BC上时，设⊙I与x轴交于F，连接FQ，∵PQ是直径，∴QF⊥x轴，∴FQ∥OA，CP=CF=t-8，∴△CQF∽△ACO，∴=，即=，∴t=，∴若圆心I在△ABC内部（不包含边上），则此时t的取值范围为8＜t＜，故答案为：8＜t＜．（1）将x=0代入y=-x+8，得y=8，将y=0代入y=-x+8，得x=6，于是得到结论；（2）如图1，作QH⊥AB于H，当t=1时，CP=7，AQ=14，解直角三角形得到QH=AQsin∠BAC=，根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）Ⅰ、如图2，当P在线段OC上，Q在线段AC上时，解直角三角形得到解得t1=，Ⅱ、当Q与C重合，P在OC上时，如图3，解得t2=3，Ⅲ、当Q与C 重合，P在OC延长线上时，如图4，解得t3=13，Ⅳ、当P在OC延长线上，Q 在AC延长线上时，如图5，同Ⅰ，解得t4=33；②当圆心I在边AC上时，如图6，P与C重合，Q与A重合，求得OP=t=8，当圆心I在边BC上时，设⊙I与x轴交于F，连接FQ，根据相似三角形的性质得到t=，于是得到结论．本题考查了矩形的性质，一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出图形是解题的关键．。

江苏省宜兴市屺亭中学九年级上学期期中考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1. sin30°的值是 ( ▲ )A ．1B ．22C ．32D ． 122．已知1x 、2x 是一元二次方程0142=+-x x 的两个根，则21x x ⋅等于（▲ ） A. 4- B. 1- C. 1 D. 4 3. 下列一元二次方程中，无实数根的方程是（ ▲ ）A. 022=+xB.022=--x xC. 022=-+x xD.02=+x x 4.若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ▲ ）5.下列说法正确的是( ▲ )A.经过三点可以作一个圆B.三角形的外心到这个三角形的三边距离相等C.等弧所对的圆心角相等D.相等的圆心角所对的弧相等6.已知⊙O 的半径是6cm ，点O 到同一平面内直线L 的距离为5cm ，则直线L 与⊙O 的位置关系是（ ▲ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断7. 如图，AB 是⊙0的直径，点D 在AB 的延长线上，过点D 作⊙0的切线，切点为C ，若25A =∠，则D =∠ ( ) A ． 60° B ．65° C ．50°D ．40°8. 如图，在平地MN 上用一块10m 长的木板AB 搭了一个斜坡，两根支柱AC =7.5m ，AD =6m ，其中AC ⊥AB ，AD ⊥MN ，则斜坡AB 的坡度是( ▲ )A. 3:5B. 4:5C. 3:4D. 4:39. 如图，点D 为△ABC 的边AB 上的一点，连结CD ，过点B 作BE//AC 交CD 的延长线于点E ，且∠ACD=∠DBC ，9:4:=∆∆BED ADC S S ，AB =10，则AC 的长为（▲ ）．C. 6D.1360第9题图CABD第10题图CD 第8题图第7题图A10. 已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝45°，AD ＝23－2．动点P 在折线BA －AD －DC 上移动，若存在∠BPC ＝120°，且这样的P 点恰好出现3次，则梯形ABCD 的面积是（ ▲ ） A ．23－1B ．23－2C ．2 3D ．23＋1二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分.）11. 在1：500000的无锡市地图上，新建的地铁线估计长4.5cm ，那么等地铁造好后实际长约为 ▲ 千米。

2016-2017学年江苏省无锡市宜兴XX中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共有10小题，每题3分，共计30分）1．一元二次方程x2+x﹣2=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根2．已知点P在半径为r的⊙O外，点P与点O的距离为4，则r的取值范围是（）A．r＞4 B．r≥4 C．r＜4 D．r≤43．为了了解某班同学一周的课外阅读量，任选班上15名同学进行调查，统计如表，则下列说法错误的是（）阅读量（单位：本/周）0 1 2 3 4人数（单位：人） 1 4 6 2 2A．中位数是2 B．平均数是2 C．众数是2 D．极差是24．如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的全面积是（）A．15π B．24π C．20π D．10π5．若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2=0的一个根，则a的值为（）A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或46．如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P=40°，则∠ABC的度数为（）A．20° B．25° C．40° D．50°7．若（a2+1）2﹣2（a2+1）﹣3=0，则a2等于（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．以上都不对8．有一个边长为50cm的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为（）A．50cm B．25cm C．50cm D．50cm9．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50（1+x2）=196 B．50+50（1+x2）=196C．50+50（1+x）+50（1+x）2=196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）=19610．如图，扇形OMN与正方形ABCD，半径OM与边AB重合，弧MN的长等于AB的长，已知AB=2，扇形OMN沿着正方形ABCD逆时针滚动到点O首次与正方形的某顶点重合时停止，则点O经过的路径长（）A．4πB．2+4πC．4π﹣2 D．以上都不对二、填空题（本大题共8空，每空2分，共计16分）11．方程2x2+4x﹣1=0的两根为x1，x2，则x1+x2= ．12．在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球2只，红球6只，黑球4只，将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋中取出1只球，则取出黑球的概率是．13．图中△ABC外接圆的圆心坐标是．14．如果一组数据x1，x2，…，x n的方差是5，则另一组数据x1+5，x2+5，…，x n+5的方差是．15．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=140°，则∠AOC的度数是度．16．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以C点为圆心，CA为半径的圆与AB，BC分别交于点D，E，则弦AD的长为．17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=70°，△ABC的内切圆⊙O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，则∠DEF的度数为°．18．如图，平面直角坐标系中，已知点M（2，3）、以点B（3，4）为圆心，3为半径作⊙B，N是⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为．三、解答题（本大题共10小题，共84分．）19．解方程：（1）（2x﹣5）2=9（2）x2﹣4x=96（3）3x2+5x﹣2=0（4）2（x﹣3）2=﹣x（3﹣x）20．每个小方格是边长为1个单位长度的小正方形，菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示．将菱形OABC绕原点O顺时针旋转90°菱形OA1B1C1，请画出菱形OA1B1C1，并求出线段AB旋转到点A1B1所扫过的面积．21．已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（要求先化简再求值）．22．在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m），绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）图1中a的值为；（Ⅱ）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据这组初赛成绩，由高到低确定9人进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.65m的运动员能否进入复赛．23．在校园文化艺术节中，九年级一班有1名男生和2名女生获得美术奖，另有2名男生和2名女生获得音乐奖．（1）从获得美术奖和音乐奖的7名学生中选取1名参加颁奖大会，求刚好是男生的概率；（2）分别从获得美术奖、音乐奖的学生中各选取1名参加颁奖大会，用列表或树状图求刚好是一男生一女生的概率．24．如图，在锐角△ABC中，AC是最短边，以AC中点O为圆心，AC为直径作⊙O，交BC于点E，过O作OD∥BC交⊙O于点D，连结AE，AD，DC．求证：（1）D是的中点；（2）∠DAO=∠B+∠BAD．25．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上的任意一点．（1）过A、B、D三点作⊙O，交线段AC于点E（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若=，求证：AB是⊙O的直径；（3）在（2）的条件下，若AB=13，BC=10，求AE的长．26．阅读探索：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：，消去y化简得：2x2﹣7x+6=0，∵△=49﹣48＞0，∴x1= ，x2= ，∴满足要求的矩形B存在．（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？27．小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟．（1）求返回时A、B两地间的路程；（2）若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A 地到C地共锻炼多少分钟？28．如图⊙M与菱形ABCD在平面直角坐标系中，点M的坐标是（﹣3，1），点A坐标为（2，0），点B的坐标为（1，﹣），点D在x轴上，且点D在点A的右侧．（1）求菱形ABCD的周长；（2）若⊙M沿x轴向右以每秒3个单位长度的速度平移，菱形ABCD沿x轴向左以每秒2个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t（秒），当⊙M与AD相切，且切点为AD的中点时，连接AC，求t的值及∠MAC的度数；（3）在（2）的条件下，当点M与BD所在的直线的距离为1时，求t的值．．2016-2017学年江苏省无锡市宜兴xx中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有10小题，每题3分，共计30分）1．一元二次方程x2+x﹣2=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【考点】根的判别式．【专题】压轴题．【分析】先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况．【解答】解：△=b2﹣4ac=12﹣4×1×（﹣2）=9，∵9＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．故选A．【点评】本题主要考查判断一元二次方程有没有实数根主要看根的判别式△的值．△＞0，有两个不相等的实数根；△=0，有两个相等的实数根；△＜0，没有实数根．2．已知点P在半径为r的⊙O外，点P与点O的距离为4，则r的取值范围是（）A．r＞4 B．r≥4 C．r＜4 D．r≤4【考点】点与圆的位置关系．【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法求解．【解答】解：∵点P在半径为r的⊙O外，∴OP大于r而OP=4，∴r＜4．故选C．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．3．为了了解某班同学一周的课外阅读量，任选班上15名同学进行调查，统计如表，则下列说法错误的是（）阅读量（单位：本/周）0 1 2 3 4人数（单位：人） 1 4 6 2 2A．中位数是2 B．平均数是2 C．众数是2 D．极差是2【考点】极差；加权平均数；中位数；众数．【分析】根据表格中的数据，求出中位数，平均数，众数，极差，即可做出判断．【解答】解：15名同学一周的课外阅读量为0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，4，4，中位数为2；平均数为（0×1+1×4+2×6+3×2+4×2）÷15=2；众数为2；极差为4﹣0=4；所以A、B、C正确，D错误．故选D．【点评】此题考查了极差，平均数，中位数，众数，熟练掌握各自的求法是解本题的关键．4．如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的全面积是（）A．15π B．24π C．20π D．10π【考点】圆锥的计算；由三视图判断几何体．【专题】计算题．【分析】根据三视图可得到该几何体为圆锥，并且圆锥的高为4，母线长为5，圆锥底面圆的直径为6，先计算出圆锥的底面圆的面积=9π，圆锥的底面圆的周长为6π，根据扇形的面积公式得到×5×π×6=15π，然后把两个面积相加即可得到该几何体的全面积．【解答】解：根据三视图得到该几何体为圆锥，其中圆锥的高为4，母线长为5，圆锥底面圆的直径为6，所以圆锥的底面圆的面积=π×（）2=9π，圆锥的侧面积=×5×π×6=15π，所以圆锥的全面积=9π+15π=24π．故选B．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长．也考查了三视图．5．若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2=0的一个根，则a的值为（）A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或4【考点】一元二次方程的解．【分析】把x=﹣2代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值．【解答】解：根据题意，将x=﹣2代入方程x2+ax﹣a2=0，得：4﹣3a﹣a2=0，即a2+3a﹣4=0，左边因式分解得：（a﹣1）（a+4）=0，∴a﹣1=0，或a+4=0，解得：a=1或﹣4，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．6．如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P=40°，则∠ABC的度数为（）A．20° B．25° C．40° D．50°【考点】切线的性质．【分析】利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠PAO的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数．【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，∴∠PAO=90°．又∵∠P=40°，∴∠POA=50°，∴∠ABC=∠POA=25°．故选：B．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理．圆的切线垂直于经过切点的半径．7．若（a2+1）2﹣2（a2+1）﹣3=0，则a2等于（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．以上都不对【考点】换元法解一元二次方程．【专题】计算题．【分析】设a2+1=t，则原方程可化为t2﹣2t﹣3=0，利用因式分解法克解得t1=3，t2=﹣1，当t=3时，易得a2=2，当t=﹣1，a2+1=﹣1，此方程无实数解．【解答】解：设a2+1=t，原方程可化为t2﹣2t﹣3=0，（t﹣3）（t+1）=0，所以t1=3，t2=﹣1，当t=3时，a2+1=3，a2=2，当t=﹣1，a2+1=﹣1，此方程无实数解，所以a2的值为2．故选A．【点评】本题考查了换元法解一元二次方程：是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．8．有一个边长为50cm的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为（）A．50cm B．25cm C．50cm D．50cm【考点】正多边形和圆．【分析】根据圆与其内切正方形的关系，易得圆盖的直径至少应为正方形的对角线的长，已知正方形边长为50cm，进而由勾股定理可得答案．【解答】解：根据题意，知圆盖的直径至少应为正方形的对角线的长；再根据勾股定理，得圆盖的直径至少应为： =50．故选C．【点评】本题主要考查正多边形和圆的相关知识；注意：熟记等腰直角三角形的斜边是直角边的倍，可以给解决此题带来方便．9．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50（1+x2）=196 B．50+50（1+x2）=196C．50+50（1+x）+50（1+x）2=196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）=196【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程．【解答】解：依题意得八、九月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，∴50+50（1+x）+50（1+x）2=196．故选C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．10．如图，扇形OMN与正方形ABCD，半径OM与边AB重合，弧MN的长等于AB的长，已知AB=2，扇形OMN 沿着正方形ABCD 逆时针滚动到点O 首次与正方形的某顶点重合时停止，则点O 经过的路径长（ ）A ．4πB ．2+4πC ．4π﹣2D ．以上都不对【考点】轨迹；正方形的性质；弧长的计算．【分析】首先求得扇形绕B 旋转时O 的路径长，然后求得弧MN 与BC 重合时O 经过的路径长，再求得扇形绕C 旋转时O 的路径长，然后求和即可．【解答】解：当扇形绕B 旋转时，路径长是=2π，当弧NM 在BC 上时，O 经过的路径长是2；当扇形绕C 旋转时，路径长是=2π； 则点O 经过的路径长2+2π+2π=2+4π．故选：B ．【点评】本题考查了图形的旋转和弧长的计算公式，理解O 经过的路径是本题的关键．二、填空题（本大题共8空，每空2分，共计16分）11．方程2x 2+4x ﹣1=0的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2= ﹣2 ．【考点】根与系数的关系．【分析】直接根据根与系数的关系求解．【解答】解：由原方程知，方程的二次项系数a=2，一次项系数b=4，∴x 1+x 2=﹣=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是要掌握一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=，x 1•x 2=．12．在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球2只，红球6只，黑球4只，将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋中取出1只球，则取出黑球的概率是 ．【考点】概率公式．【分析】先求出总球的个数，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：∵白球2只，红球6只，黑球4只，∴共有2+6+4=12只，∴取出黑球的概率是=；故答案为：．【点评】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13．图中△ABC 外接圆的圆心坐标是 （5，2） ．【考点】三角形的外接圆与外心；坐标与图形性质．【专题】压轴题．【分析】本题可先设圆心坐标为（x ，y ），再根据“三角形外接圆的圆心到三角形三顶点的距离相等”列出等式，化简即可得出圆心的坐标．【解答】解：设圆心坐标为（x ，y ）；依题意得：A （3，6）、B （1，4）、C （1，0），则有： ==； 即（3﹣x ）2+（6﹣y ）2=（1﹣x ）2+（4﹣y ）2=（1﹣x ）2+y 2，化简后得：x=5，y=2；因此圆心坐标为：（5，2）．【点评】本题考查了三角形外接圆的性质和坐标系中两点间的距离公式．解此类题目时要注意运用三角形的外接圆圆心到三角形三点的距离相等这一性质．14．如果一组数据x 1，x 2，…，x n 的方差是5，则另一组数据x 1+5，x 2+5，…，x n +5的方差是 5 ．【考点】方差．【分析】因为方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加了5，所以波动不会变，方差不变．【解答】解：∵数据x1，x2，…，x n的方差是5，∴x1+5，x2+5，…，x n+5的方差不变，还是5；故答案为：5．【点评】此题考查了方差，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变．15．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=140°，则∠AOC的度数是80 度．【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【分析】由ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=140°，可求得∠D，然后由圆周角定理，即可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=140°，∴∠D=180°﹣∠B=40°，∴∠AOC=2∠D=80°．故答案为：80°．【点评】此题考查了圆的内接多边形的性质与圆周角定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．16．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以C点为圆心，CA为半径的圆与AB，BC分别交于点D，E，则弦AD的长为．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】先根据勾股定理求出AB的长，过C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可知M为AD的中点，由三角形的面积可求出CM的长，在Rt△ACM中，根据勾股定理可求出AM的长，进而可得出结论．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB===5，过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，∵CM⊥AB，∴M为AD的中点，∵S△ABC=AC•BC=AB•CM，且AC=3，BC=4，AB=5，∴CM=，在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2=AM2+CM2，即9=AM2+（）2，解得：AM=，∴AD=2AM=．故答案为：．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=70°，△ABC的内切圆⊙O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，则∠DEF的度数为80 °．【考点】三角形的内切圆与内心．【分析】连接DO，FO，利用切线的性质得出∠ODA=∠OFA=90°，再利用三角形内角和以及四边形内角和定理求出∠DOF的度数，进而利用圆周角定理得出∠DEF的度数．【解答】解：连接DO，FO，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=70°∴∠A=20°，∵内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∴∠ODA=∠OFA=90°，∴∠DOF=160°，∴∠DEF的度数为80°．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及切线的性质和四边形内角和定理等知识，得出∠DOF=160°是解题关键．18．如图，平面直角坐标系中，已知点M（2，3）、以点B（3，4）为圆心，3为半径作⊙B，N是⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为5﹣3 ．【考点】轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．【分析】如图，作点M关于x轴的对称点M′，连接B M′交x轴于P′，交⊙B于N′．由圆外一点的性质可知，此时P′M+P′N′最小，最小值为M′N′=BM′﹣BN′，求出BM′即可解决问题．【解答】解：如图，作点M关于x轴的对称点M′，连接BM′交x轴于P′，交⊙B于N′．由圆外一点的性质可知，此时P′M+P′N′最小，最小值为M′N′=BM′﹣BN′，∵M′（2，﹣3），B（3，4），∴BM′==5，∴PM+PN的最小值为5﹣3．故答案为5﹣3．【点评】本题考查轴对称﹣最小值问题、圆的有关性质等知识，解题的关键是掌握求圆外一点到圆上的点的最大值距离以及最小距离，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共10小题，共84分．）19．解方程：（1）（2x﹣5）2=9（2）x2﹣4x=96（3）3x2+5x﹣2=0（4）2（x﹣3）2=﹣x（3﹣x）【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法．【分析】（1）直接开平方法求解可得；（2）十字相乘法因式分解后求解即可；（3）十字相乘法因式分解后求解即可；（4）移项后提公因式法分解因式后求解可得．【解答】解：（1）2x﹣5=3或2x﹣5=﹣3，解得：x=4或x=1；（2）x2﹣4x﹣96=0，则（x+8）（x﹣12）=0，∴x+8=0或x﹣12=0，解得：x=﹣8或x=12；（3）∵（x+2）（3x﹣1）=0，∴x+2=0或3x﹣1=0，解得：x=﹣2或x=；（4）2（x﹣3）2﹣x（x﹣3）=0，∴（x﹣3）（2x﹣6﹣x）=0，即（x﹣3）（x﹣6）=0，∴x﹣3=0或x﹣6=0，解得：x=3或x=6．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．20．每个小方格是边长为1个单位长度的小正方形，菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示．将菱形OABC绕原点O顺时针旋转90°菱形OA1B1C1，请画出菱形OA1B1C1，并求出线段AB旋转到点A1B1所扫过的面积．【考点】作图-旋转变换；菱形的性质；扇形面积的计算．【分析】根据图形旋转的性质画出图形，再根据勾股定理求出OA及OB的长，根据线段AB旋转到点A1B1所扫过的面积=S扇形BOB1﹣S扇形OAA1即可得出结论．【解答】解：如图，菱形OA1B1C1即为所求．∵OA==，OB==，∴线段AB旋转到点A1B1所扫过的面积=S扇形BOB1﹣S扇形OAA1=﹣=．【点评】本题考查的是作图﹣旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．21．已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（要求先化简再求值）．【考点】根的判别式；一元二次方程的解．【分析】（1）找出a，b及c，表示出根的判别式，变形后得到其值大于0，即可得证．（2）把x=0代入方程即可求m的值，然后化简代数式再将m的值代入所求的代数式并求值即可．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．∴△=（2m+1）2﹣4m（m+1）=1＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）∵x=0是此方程的一个根，∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0，∴m=0或m=﹣1，∵（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=4m2﹣4m+1+9﹣m2+7m﹣5=3m2+3m+5，把m=0代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=5；把m=﹣1代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=3×1﹣3+5=5．【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程的解．解题时，逆用一元二次方程解的定义易得出所求式子的值，在解题时要重视解题思路的逆向分析．22．在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m），绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）图1中a的值为25 ；（Ⅱ）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据这组初赛成绩，由高到低确定9人进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.65m的运动员能否进入复赛．【考点】众数；扇形统计图；条形统计图；加权平均数；中位数．【分析】（Ⅰ）用整体1减去其它所占的百分比，即可求出a的值；（Ⅱ）根据平均数、众数和中位数的定义分别进行解答即可；（Ⅲ）根据中位数的意义可直接判断出能否进入复赛．【解答】解：（Ⅰ）根据题意得：1﹣20%﹣10%﹣15%﹣30%=25%；则a的值是25；故答案为：25；（Ⅱ）观察条形统计图得：==1.61；∵在这组数据中，1.65出现了6次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是1.65；将这组数据从小到大排列为，其中处于中间的两个数都是1.60，则这组数据的中位数是1.60．（Ⅲ）能；∵共有20个人，中位数是第10、11个数的平均数，∴根据中位数可以判断出能否进入前9名；∵1.65m＞1.60m，∴能进入复赛．【点评】本题考查了众数、平均数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．23．在校园文化艺术节中，九年级一班有1名男生和2名女生获得美术奖，另有2名男生和2名女生获得音乐奖．（1）从获得美术奖和音乐奖的7名学生中选取1名参加颁奖大会，求刚好是男生的概率；（2）分别从获得美术奖、音乐奖的学生中各选取1名参加颁奖大会，用列表或树状图求刚好是一男生一女生的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【专题】计算题．【分析】（1）直接根据概率公式求解；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出刚好是一男生一女生的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）从获得美术奖和音乐奖的7名学生中选取1名参加颁奖大会，刚好是男生的概率==；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中刚好是一男生一女生的结果数为6，所以刚好是一男生一女生的概率==．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．24．如图，在锐角△ABC中，AC是最短边，以AC中点O为圆心，AC为直径作⊙O，交BC于点E，过O作OD∥BC交⊙O于点D，连结AE，AD，DC．求证：（1）D是的中点；（2）∠DAO=∠B+∠BAD．【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠AEC=90°，则AE⊥BC，再根据平行线的性质得OD⊥AE，然后根据垂径定理即可得到结论；（2）延长AD交BC于点F′，如图，根据圆周角定理由弧AD=弧E得∠ACD=∠F′CD，而∠ADC=90°，则CD⊥AF′，根据等腰三角形的判定得到△CAF为等腰三角形，则∠CAF′=∠AF′C，而∠AF′C=∠B+∠BAF′，于是∠CAF′=∠B+∠BAF′．【解答】解：（1）∵AC是直径，∴∠AEC=90°，∴AE⊥BC，而OD∥BC，∴OD⊥AE，∴OD平分弧AE，即点D是弧AE的中点；（2）延长AD交BC于点F′，如图，∵弧AD=弧ED，∴∠ACD=∠ECD，∵AC为直径，∴∠ADC=90°，∴CD⊥AF′，∴△CAF′为等腰三角形，∴CA=CF′，∴∠CAF′=∠AF′C，而∠AF′C=∠B+∠BAF′，∴∠CAF′=∠B+∠BAF′，即∠DAO=∠B+∠BAD．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和等腰三角形的判定与性质．25．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上的任意一点．（1）过A、B、D三点作⊙O，交线段AC于点E（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若=，求证：AB是⊙O的直径；（3）在（2）的条件下，若AB=13，BC=10，求AE的长．【考点】作图—复杂作图；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【分析】（1）作AB与BD的垂线，交于点O，点O就是△ABD的外心，⊙O交线段AC于点E；（2）连结DE，根据圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，即可得到AD是等腰三角形ABC底边上的高线，从而证明AB是⊙O的直径；（3）连结BE，根据勾股定理得到关于AE的方程，解方程即可求解．【解答】（1）解：如图，⊙O即为所求；（2）证明：∵过A、B、D三点作⊙O，交线段AC于点E，∴A、B、D、E四点共圆，∴∠DEC=∠ABC，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，∴∠DEC=∠ACB，∴DE=CD，∵=，∴DE=BD，∴CD=BD，∴AD⊥BC，∴AB是⊙O的直径；（3）解：连结BE，∵AB是⊙O的直径，∴BE⊥AC，由勾股定理可得，AB2﹣AE2=BC2﹣（AC﹣AE）2，即132﹣AE2=102﹣（13﹣AE）2，解得AE=．故AE的长是．【点评】此题考查的是作图﹣复杂作图，线段垂直平分线的作法，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，方程思想的应用．26．（10分）（2016•济宁校级模拟）阅读探索：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：，消去y化简得：2x2﹣7x+6=0，∵△=49﹣48＞0，∴x1= 2 ，x2= ，∴满足要求的矩形B存在．（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】（1）直接利用求根公式计算即可；（2）参照（1）中的解法解题即可；（3）解法同上，利用根的判别式列不等关系可求m，n满足的条件．【解答】解：（1）由上可知（x﹣2）（2x﹣3）=0∴x1=2，x2=；（2）设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得消去y化简，得2x2﹣3x+2=0∵△=9﹣16＜0∴不存在矩形B；（3）（m+n）2﹣8mn≥0．设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得消去y化简，得。

江苏无锡宜兴市官林教学联盟九年级上期中数学考试卷（解析版）（初三）期中考试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）【题文】下列方程是一元二次方程的是（）A．x+2y=1 B．x2+5=0C．x2+=8 D．x（x+3）=x2﹣1【答案】B【解析】试题分析：根据一元二次方程的定义:A、方程x+2y=1是二元一次方程，故本选项错误；B、方程x2+5=0是一元二次方程，故本选项正确；C、方程x2+=8是分式方程，故本选项错误；D、方程x（x+3）=x2是一元一次方程，故本选项错误．故选B．考点：一元二次方程的定义【题文】⊙O的半径为4，线段OP=4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内C．点P在⊙O上 D．不能确定【答案】C【解析】试题分析：根据点与圆的位置关系的判定方法由OP=4，得到OP等于⊙O的半径，因此可知点P与⊙O上．故选C．考点：点与圆的位置关系【题文】如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB=60°，PO=2，则⊙O的半径等于（）评卷人得分A． B．2 C．1 D．【答案】C【解析】试题分析：由PA、PB是⊙O的两条切线，得到PO为角APB的平分线，则由∠APB=60°，求出∠APO=∠APB=30°，且OA垂直于PA，即三角形OAP为直角三角形，根据30°所对的直角边等于斜边的一半，由PO=2即可求出OA=PO=1，即为⊙O的半径为1．故选C．考点：切线的性质【题文】下列说法中，正确的是（）A．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等B．三点确定一个圆C．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线D．任何三角形有且只有一个内切圆【答案】D【解析】试题分析：根据内心的性质、确定圆的条件、切线的判定方法、三角形内切圆的性质可知:A、三角形的内心到三角形的三边距离相等，故错误．B、不在同一直线的三点确定一个圆，故错误．C、经过半径的外端垂直于半径的直线一定是这个圆的切线，故错误．D、正确．故选D．考点：1、三角形的内切圆与内心；2、确定圆的条件；3、切线的判定【题文】如图，在长为100m，宽为80m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644m2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x m，则可列方程为（）A．100×80﹣100x﹣80x=7644B．（100﹣x）（80﹣x）+x2=7644C．（100﹣x）（80﹣x）=7644D．100x+80x﹣x2=7644【答案】C【解析】试题分析：把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式，设道路的宽为x m，则可列方程为（100﹣x）（80﹣x）=7644，故选：C．考点：由实际问题抽象出一元二次方程【题文】为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行了调查，下表是这10户居民2014年4月份用电量的调查结果：那么关于这10户居民用电量（单位：度），下列说法错误的是（）居民1324月用电量（度/户）40505560A．中位数是55 B．众数是60 C．平均数是54 D．方差是29【答案】D【解析】试题分析：这组数据按照从小到大的顺序排列为：40，50，50，50，55，55，60，60，60，60，则众数为：60，中位数为：55，平均数为：=54，方差为：=39．故选D．考点：1、众数；2、加权平均数；3、中位数；4、方差【题文】如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）A．点（0，3） B．点（2，3） C．点（5，1） D．点（6，1）【答案】C【解析】试题分析：连接AC，作AC，AB的垂直平分线，交格点于点O′，则点O′就是所在圆的圆心，∴三点组成的圆的圆心为：O′（2，0），∵只有∠O′BD+∠EBF=90°时，BF与圆相切，∴当△BO′D≌△FBE时，∴EF=BD=2，F点的坐标为：（5，1），∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）．故选：C．考点：1、切线的性质；2、坐标与图形性质；3、勾股定理；4、垂径定理【题文】定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“至和”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a﹣b+c=0那么我们称这个方程为“至美”方程，如果一个一元二次方程既是“至和”方程又是“至美”方程我们称之为“和美方程”．对于“和美方程”，下列结论正确的是（）A．方程两根之和等于0B．方程有一根等于0C．方程有两个相等的实数根D．方程两根之积等于0【答案】A【解析】试题分析：把x=1代入方程ax2+bx+c=0得出：a+b+c=0，把x=﹣1代入方程ax2+bx+c=0得出a﹣b+c=0，∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1，∴1+（﹣1）=0，即只有选项A正确；选项C、B、D都错误．故选A．考点：1、根与系数的关系；2、一元二次方程的解；3、根的判别式【题文】已知一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2，则c=，另一根为．【答案】8，4【解析】试题分析：直接根据根与系数的关系即可设方程的另一根为α，则α+2=6，2α=c，解得α=4，c=8．考点：根与系数的关系【题文】已知关于x的一元二次方程x2+kx+1=0有两个相等的实数根，则k=．【答案】±2【解析】试题分析：由一元二次方程x2+kx+1=0有两个相等的实数根，且△=b2﹣4ac=k2﹣4×1×1=k2﹣4=0，即k=±2．考点：根的判别式【题文】一个三角形的两边长分别为4cm和7cm，第三边长是一元二次方程x2﹣10x+21=0的实数根，则三角形的周长是 cm．【答案】18【解析】试题分析：由方程x2﹣10x+21=0，利用分解因式得：（x﹣3）（x﹣7）=0，解得：x=3或x=7，当x=3时，三角形三边分别为3cm，4cm，7cm，3+4=7，不合题意，舍去；当x=7时，三角形三边为4cm，7cm，7cm，此时周长为4+7+7=18cm，考点：1、解一元二次方程-因式分解法；2、三角形三边关系【题文】已知一个样本﹣1，0，2，x，3，它们的平均数是2，则x= ，方差S2= ．【答案】6，6【解析】试题分析：∵平均数=（﹣1+2+3+x+0）÷5=2∴﹣1+2+3+x+0=10，x=6∴方差S2=[（﹣1﹣2）2+（0﹣2）2+（2﹣2）2+（6﹣2）2+（3﹣2）2]÷5=6．考点：1、方差；2、算术平均数【题文】四边形ABCD为圆O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD=．【答案】130°或50°【解析】试题分析：如图，先根据圆心角的度数等于它所对弧的度数得到∠BOD=100°，再根据圆周角定理得∠BCD=∠BOD=50°，然后根据圆内接四边形的性质求∠BAD=180°﹣∠ACD=130°．同理，当点A是优弧上时，∠BAD=50°考点：1、圆内接四边形的性质；2、圆周角定理【题文】如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD 的度数为．【答案】61°【解析】试题分析：首先连接OD，由直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，可得点A，B，C，D共圆，又由点D对应的刻度是58°，利用圆周角定理求解即可求得∠BCD=∠BOD=29°，继而求得∠ACD=90°﹣∠BCD=61°．考点：圆周角定理【题文】如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（填度数）．【答案】130°【解析】试题分析：运用三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB=180°﹣80°=100°，再根据点O是△ABC的内切圆的圆心，得出∠OBC+∠OCB=50°，从而得出∠BOC=130°．考点：l【解析】试题分析：作CD⊥AB于D，由勾股定理求出AB=5，由三角形的面积求出CD=，由AC＜BC，可得以C为圆心，r=4为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点；若⊙C与斜边AB有两个公共点，即可得出r的取值范围＜r≤3．考点：1、直线与圆的位置关系，2、勾股定理，3、直角三角形的性质【题文】如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则BC+AB的值．【答案】4+【解析】试题分析：如图所示：设圆0与BC的切点为M，连接OM．由切线的性质可知OM⊥BC，然后证明△OMG≌△GCD，得到OM=GC=1，CD=GM=BC﹣BM﹣GC=BC﹣2．设AB=a，BC=a+2，AC=2a，从而可求得∠ACB=30°，从而得到，故此可求得AB=，则BC=+3．求得AB+BC=4+．考点：1、三角形的内切圆与内心；2、矩形的性质；3、翻折变换（折叠问题）【题文】解方程（1）（2x﹣1）2﹣9=0（2）x2﹣2x﹣4=0（3）x2﹣4x+1=0（用配方法）（4）（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0．【答案】（1）x1=2，x2=﹣1；（2）x1=1+，x2=1﹣；（3）x1=2+，x2=2﹣；（4）x1=3，x2=1 【解析】试题分析：（1）移项后开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可；（3）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（4）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．试题解析：（1）（2x﹣1）2﹣9=0，（2x﹣1）2=9，2x﹣1=±3，x1=2，x2=﹣1；（2）x2﹣2x﹣4=0b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）=20，x=，x1=1+，x2=1﹣；（3）x2﹣4x+1=0，x2﹣4x=﹣1，x2﹣4x+4=﹣1+4，（x﹣2）2=3，x﹣2=，x1=2+，x2=2﹣；（4）（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0，（x﹣3）（x﹣3+2x）=0，x﹣3=0，x﹣3+2x=0，x1=3，x2=1．考点：1、解一元二次方程-因式分解法；2、解一元二次方程-直接开平方法；3、解一元二次方程-配方法【题文】关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1、x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1•x2，求k的值．【答案】（1）k＞（2）2【解析】试题分析：（1）根据根与系数的关系得出△＞0，代入求出即可；（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=﹣（2k+1），x1•x2=k2+1，根据x1+x2=﹣x1•x2得出﹣（2k+1）=﹣（k2+1），求出方程的解，再根据（1）的范围确定即可．试题解析：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，解得：k＞，即实数k的取值范围是k＞；（2）∵根据根与系数的关系得：x1+x2=﹣（2k+1），x1•x2=k2+1，又∵方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1•x2，∴﹣（2k+1）=﹣（k2+1），解得：k1=0，k2=2，∵k＞，∴k只能是2．考点：1、根的判别式；2、根与系数的关系【题文】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（）．（1）用直尺和圆规作出所在圆的圆心O；（要求保留作图痕迹，不写作法）（2）若的中点C到弦AB的距离为20m，AB=80m，求所在圆的半径．【答案】（1）作图见解析（2）50【解析】试题分析：（1）连结AC、BC，分别作AC和BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O，如图1；（2）连接OA，OC，OC交AB于D，如图2，根据垂径定理的推论，由C为的中点得到OC⊥AB，AD=BD={{44}l 即所在圆的半径是50m．考点：1、作图—复杂作图；2、勾股定理；3、垂径定理的应用【题文】2013年，无锡市蠡湖新城某楼盘以每平方米12000元的均价对外销售．由于楼盘滞销，房地产商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年该楼盘的均价为每平方米9720元．（1）求平均每年下调的百分率；（2）假设2016年该楼盘的均价仍然下调相同的百分率，李强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金30万元，可在银行贷款50万元，李强的愿望能否实现？（房价按照均价计算，不考虑其它因素．）【答案】（1）10%（2）不能实现【解析】试题分析：（1）设平均每年下调的百分率为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；（2）如果下调的百分率相同，求出2016年的房价，进而确定出100平方米的总房款，即可做出判断．试题解析：（1）设平均每年下调的百分率x，由题意得：12000（1﹣x）2=9720，（1﹣x）2=0.81．∴1﹣x=0.9或1﹣x=﹣0.9，∴x1=0.1，x2=1.9（舍去），答：平均每年下调的百分率10%．（2）由（1）得：9720×（1﹣10%）=8748（元），8748×100=874800（元），500000+300000=800000（元），∵874800＞800000，∴李强的愿望不能实现．考点：一元二次方程的应用【题文】如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2l考点：1、切线的性质、2、等腰三角形的性质【题文】人民商场销售某种商品，统计发现：每件盈利45元时，平均每天可销售30件．经调查发现，该商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．（1）假如现在库存量太大，部门经理想尽快减少库存，又想销售该商品日盈利达到1750元，请你帮忙思考，该降价多少？（2）假如部门经理想销售该商品的日盈利达到最大，请你帮忙思考，又该如何降价？【答案】（1）20（2）15,1800【解析】试题分析：（1）设每件应降价x元，则每件盈利（45﹣x）元，每天可以售出30+2x，所以此时商场平均每天要盈利（45﹣x）（30+2x）元，根据商场平均每天要盈利1750元，为等量关系列出方程求解即可．（2）设商场平均每天盈利y元，由（1）可知商场平均每天盈利y元与每件应降价x元之间的函数关系为：y=（45﹣x）（30+2x），用“配方法”求出该函数的最大值，并求出降价多少．试题解析：（1）设每件降价x元，则每天可以售出（30+2x）件．根据题意得：（45﹣x）（30+2x）=1750，解得x1=10，x2=20．因为要减少库存，所以x=20．答：降价20元可使销售利润达到1750元．（2）设商场平均每天盈利y元，则商场平均每天盈利y元与每件应降价x元之间的函数关系为：y=（45﹣x）（30+2x）=﹣2（x﹣15）2+1800．∴当x=15时日盈利达到最大，为1800元．考点：1、一元二次方程的应用；2、配方法的应用【题文】在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，设两点移动的时间为t秒，回答下列问题：（1）如图1，当t为几秒时，△PBQ的面积等于5cm2？（2）如图2，当t=秒时，试判断△DPQ的形状，并说明理由；（3）如图3，以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．①在运动过程中，是否存在这样的t值，使⊙Q正好与四边形DPQC的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；②若⊙Q与四边形DPQC有三个公共点，请直接写出t的取值范围．【答案】（1）1秒或5秒（2）直角三角形（3）①t=0或t=﹣18+12②0＜t＜6﹣18【解析】试题分析：（1）由题意可知PA=t，BQ=2t，从而得到PB=6﹣t，BQ=2t，然后根据△PQB的面积=5cm2列方程求解即可；（2）由t=，可求得AP=，QB=3，PB=，CQ=9，由勾股定理可证明DQ2+PQ2=PD2，由勾股定理的逆定理可知△DPQ为直角三角形；（3）①当t=0时，点P与点A重合时，点B与点Q重合，此时圆Q与PD相切；当⊙Q正好与四边形DPQC 的DC边相切时，由圆的性质可知QC=QP，然后依据勾股定理列方程求解即可；②先求得⊙Q与四边形DPQC有两个公共点时t的值，然后可确定出t的取值范围．试题解析：（1）∵当运动时间为t秒时，PA=t，BQ=2t，∴PB=6﹣t，BQ=2t．∵△PBQ的面积等于5cm2，∴PB•BQ=（6﹣t）•2t．∴．解得：t1=1，t2=5．答：当t为1秒或5秒时，△PBQ的面积等于5cm2．（2）△DPQ的形状是直角三角形．理由：∵当t=秒时，AP=，QB=3，∴PB=6﹣=，CQ=12﹣3=9．在Rt△PDA中，由勾股定理可知：PD2=DA2+PA2=122+（）2=．同理：在Rt△PBQ和Rt△DCQ中由勾股定理可得：DQ2=117，PQ2=．∵117+=，∴DQ2+PQ2=PD2．所以△DPQ的形状是直角三角形．（3）①（Ⅰ）由题意可知圆Q与AB、BC不相切．（Ⅱ）如图1所示：当t=0时，点P与点A重合时，点B与点Q重合．∵∠DAB=90°，∴∠DPQ=90°．∴DP⊥PQ．∴DP为圆Q的切线．（Ⅲ）当⊙Q正好与四边形DPQC的DC边相切时，如图2所示．由题意可知：PB=6﹣t，BQ=2t，PQ=CQ=12﹣2t．在Rt△PQB中，由勾股定理可知：PQ2=PB2+QB2，即（6﹣t）2+（2t）2=（12﹣2t）2．解得：t1=﹣18+12，t2=﹣18﹣12（舍去）．综上所述可知当t=0或t=﹣18+12时，⊙Q与四边形DPQC的一边相切．②（Ⅰ）当t=0时，如图1所示：⊙Q与四边形DPQC有两个公共点；（Ⅱ）如图3所示：当圆Q经过点D时，⊙Q与四边形DPQC有两个公共点．由题意可知：PB=6﹣t，BQ=2t，CQ=12﹣2t，DC=6．由勾股定理可知：DQ2=DC2+CQ2=62+（12﹣2t）2，PQ2=PB2+QB2=（6﹣t）2+（2t）2．∵DQ=PQ，∴DQ2=PQ2，即62+（12﹣2t）2=（6﹣t）2+（2t）2．整理得：t2+36t﹣144=0．解得：t1=6﹣18，t2=﹣6﹣18（舍去）．∴当0＜t＜6﹣18时，⊙Q与四边形DPQC有三个公共点．考点：1、三角形的面积公式，2、勾股定理,3、勾股定理的逆定理。

第一学期半期检测试题九年级数学（满分160分，120分钟完卷）A 卷（共100分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.下列方程是一元二次方程的是（）A.12y xB.052xC.832xxD.)3)(1(12x x x2.下列二次根式中与2是同类二次根式的是（）A ．12B ．23C ．32D ．183.下列计算正确的是（）A.532B.632 C.3218 D.23324.方程0962x x 的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根 D.没有实数根5.已知32ba ，则baa 的值为（）A ．23B ．53C ．52D ．326.已知一元二次方程01232x x的两根分别为1x ，2x ，则21x x （）A ．2B ．32C ．32D ．317.如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是（）A ．DADF CBCE B ．BCCE DFAD C ．AFAD EFCD D ．ADAF BECE 8.在函数xxy 2中，自变量x 的取值范围是（）A.2x B.2x C.2x 且0xD.2x 且0x9.当30x时，化简22)3()1(x x 的正确结果是（）A ．4 B ．4C ．x 22D ．22x 10.已知6))(1(2222n mn m，则22n m的值是（）A.3B.3或2C.2或3D.211.关于x 的方程02c bxax 的两根分别为3和1，则方程02a cx bx 的两根为（）A.31和1B.21和1 C.31和1 D.21和112.元旦节时，九年级一班有若干同学聚会共庆新年的来临，他们每两人均互送贺卡一张，已知他们共送出贺卡90张，则参加此次同学聚会的人数是（）A.9B.10C.12D.18二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．）13.计算818．14.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD =6，DB=3，AE=4，则EC 的长为．15.若a ，b ，c 为三角形的三边，则化简222)()()(a c b a c b c b a =．16.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870xx 的两个根，则这个直角三角形的斜边长是．三、解答题(本大题共5小题，共44分)17.（10分）（1）计算：543)8312(（2）计算：323183112（3）解方程：5)6)(5(xxx18.（8分）如图，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，且DE =BF ，EF =BD ，求证：FCBF DBAD .19.（8分）国家为了解决老百姓看病贵的问题，决定下调药品的价格.某药品原价每盒25元，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，如果两次降价的百分率相同，求该药品每次降价的百分率.20.（8分）（1）已知223a，223b ，求22ab b a 的值；（2）已知1x 、2x 是一元二次方程0532x x的两根，求21x x 的值.21.（10分）已知关于x 的一元二次方程01)1(222m xm x ．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足2122116)(x x x x ，求实数m 的值．B 卷（共60分）四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分. 请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上.）22.在实数范围内分解因式：44x________________________.23.若120162015m，则34520152mmm __________.24.若0x ，0y，且)56()2(y x y y x x ，则yxyx y xy x 32的值是_________.25.已知252a a ，b b 522，且b a，则化简ba a ab b_______．五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答时必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）26. 阅读下列运算过程：3333331，552555252，121212)12)(12()12(1121，232323)23)(23()23(1231，数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”. 通过分母有理化，可把不是最简的二次根式化成最简二次根式.请参考上述方法，解决下列问题：（1）化简：62_______，352_________，nn 11________；（2）计算：16916511391951511；（3）计算：8179798117557153351331.27.某商场销售一批名牌衬衫，每天可销售20件，每件赢利40元.为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施.经市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场每天可多售出2件.（1）如果每件衬衫降价5元，商场每天赢利多少元？（2）如果商场每天要赢利1200元，且尽可能让顾客得到实惠，每件衬衫应降价多少元？（3）用配方法说明，每件衬衫降价多少元时，商场每天赢利最多，最多是多少元？28.阅读材料: 小聪在学习二次根式后，发现含根号的式子223可以写成另一个式子12的平方，即2)12(223．于是，爱动脑筋的小聪又提出了一个问题：347是否也能写成另一个式子的平方呢？经过探索，他联想到老师讲的方程思想，找到了一种把347化成平方式的方法：设2)(347n m （0n m），则mn n m 2347，∴3427mnnm.整理得127mn n m .∴m 、n 可看作一元二次方程01272x x 的两根. 解方程，得41x ，32x .于是有34nm .∴.)32()34(34722参考上述方法，解决下列问题：（1）化简下列根式并把答案直接填在答题卡上相应横线上：348________，407________，526549_______；（2）化简：①154，②80217；（3）化简5210452104.参考答案1.B2.D3.B C4.B5.C6.C7.A8.D9.D 10.A 11.B 12.B13.2；14.2；15.a+b-c-b+c+a+b+c-a=a+b+c ；16.3；17.（1）6+66-36=6+36；（2）322；（3）x 1=5,x 2=7；18.证明：因为DE=BF,EF=BD ，所以四边形BFED 为平行四边形，所以DE//BF ，所以FCBF DBAD 19.设该药品平均每次降价的百分率为x ，由题意，得25（1-x ）2=16，解得：x 1=0.2，x 2=1.8（舍去）．答：该药品平均每次降价的百分率20%。

一、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1、下列方程为一元二次方程的是( )A ．052322=--y xy xB ．5)3(2+=-x x xC ．82=-xx D ．x 2)3（-=x 2、如果12x x ，是一元二次方程2620x x --=的两个实数根，那么12x x +的值是（ ） A ．-6B.2C.6D.-23、一元二次方程0182=--x x 配方后可变形为（ ）A. 17)4(2=+xB. 15)4(2=+xC. 17)4(2=-xD. 15)4(2=-x4、已知实数a 、b 满足(a 2+b 2)2－2(a 2+b 2)＝8，则a 2+b 2的值为---------（ ） A ．－2 B ．4 C ．4或－2 D ．－4或25、关于x 的一元二次方程0122=-+x kx 有两个不相等实数根，则k 的取值范围是（ ）A.1->kB.1-≥kC.0≠kD.1->k 且0≠k 6、已知直角三角形的两边长是方程x 2-7x+12=0的两根，则第三边长为（ ）A ．5B ．7 C.7 D.5或77、如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若40A ∠=， 则B ∠的度数为（ ）A ．80º B．60º C．50º D．40º8、菱形ABCD 一条对角线长为6，边AB 长为方程y 2﹣7y +10=0的一个根，则菱形ABCD 周长为（ ）A ． 8B ． 20C ． 8或20D ． 109、把一块长80㎜、宽60㎜的铁皮的4个角分别剪去一个边长相等的小正方形，做成一个底面积是1500㎜2的无盖铁盒。

若设小正方形的边长为x ㎜，下面所列的方程中，正确的是（ ）A.（80－x ）（60－x ）=1500B.（80－2x ）（60－2x ）=1500C.（80－2x ）（60－x ）=1500D.（80－x ）（60－2x ）=1500AD10、如图，圆心在y 轴负半轴上，半径为5的⊙B 与y 轴的 正半轴交于点A （0，1），过点P （0，﹣7）的直线l 与⊙B 相交于C ，D 两点．则弦CD 长的所有可能的整数值有（ ）A ． 1个B ．2个C ． 3个D ．4个二、仔细填一填 (本大题共8小题，每空2分，共16分)： 11、直接写出下列方程的解：（1）x 2＝2x ；（2）x 2－6x +9＝0 ．12、点P 到⊙O 上各点的最大距离为5，最小距离为1，则⊙O 的半径为 13、关于x 的一元二次方程04)222=-+++a x x a （的一个根是0，则a 的值为 . 14.某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是________．15.若a x =是方程012=-+x x 的一个实数根，则代数式5332-+a a 的值是__ 16．如图，⊙O 中，弦AB 长等于半径，则劣弧AB 所对圆心角度数是 ．17．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为18．如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，AB ＝2cm ，CD ＝4cm ．以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点，且∠AOD ＝90°，则圆心O 到弦AD 的距离是 ．三、精心做一做。

2017-2018学年江苏省无锡市宜兴市丁蜀学区九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（每题3分，共30分）1．（3分）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．3（x+1）2=2（x+1） B．+﹣2=0 C．ax2+bx+c=0 D．x2﹣2x=x2+12．（3分）已知一元二次方程x2+x﹣1=0，下列判断正确的是（）A．该方程有两个相等的实数根B．该方程有两个不相等的实数根C．该方程无实数根D．该方程根的情况不确定3．（3分）一元二次方程（x﹣2）2=9的两个根分别是（）A．x1=1，x2=﹣5 B．x1=﹣1，x2=﹣5 C．x1=1，x2=5 D．x1=﹣1，x2=5 4．（3分）如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：25．（3分）如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16．（3分）如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：97．（3分）如果两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D．以上说法都不对8．（3分）绍兴是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（）A．4m B．5m C．6m D．8m9．（3分）某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是（）A．100（1+x）B．100（1+x）2 C．100（1+x2） D．100（1+2x）10．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（）A．B． C．D．二、填空题：（每空2分，共16分）11．（2分）方程x2﹣3=0的根是．12．（2分）关于x的一元二次方程mx2+x+m2+3m=0有一个根为零，那m的值等于．13．（2分）△ABC中，∠C为直角，AB=2，则这个三角形的外接圆半径为．14．（2分）如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为（4，2），点A的坐标为（2，0），则点B的坐标为．15．（2分）如果两个相似三角形的一组对应边分别为3cm和5cm，且较小三角形的周长为15cm，则较大三角形周长为cm．16．（2分）如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B．如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为．17．（2分）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为．18．（2分）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为．三．解答题19．（16分）解方程（1）x2﹣5x+1=0（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）（3）2（x+2）2﹣8=0；（4）（x+3）2+3（x+3）﹣4=0．20．（8分）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1、x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1•x2，求k的值．21．（6分）如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻，AB在阳光下的投影BC=4m．（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影，并简述画图步骤．（2）在测量AB的投影长时，同时测得DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．22．（6分）如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，求线段CD的长．23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AB=10，弦CD与AB相交于点N，∠ANC=30°，ON：AN=2：3，OM⊥CD，垂足为M．（1）求OM的长；（2）求弦CD的长．24．（6分）某超市经销一种成本为40元/kg的水产品，市场调查发现，按50元/kg销售，一个月能售出500kg，销售单位每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品的销售情况，超市在月成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？25．（6分）小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如图，小明边移动边观察，发现站在点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同，此时，小明测得自己落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.8m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上），已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB．（结果精确到0.1m）．26．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动ts（0＜t＜5）后，△CQP的面积为S cm2．在P、Q两点移动的过程中，△CQP的面积能否等于3.6cm2？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．27．（10分）【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证：=；【结论应用】（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD 上，若=，则的值为；【联系拓展】（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．28．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．2017-2018学年江苏省无锡市宜兴市丁蜀学区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每题3分，共30分）1．（3分）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．3（x+1）2=2（x+1） B．+﹣2=0 C．ax2+bx+c=0 D．x2﹣2x=x2+1【解答】解：A、是一元二次方程，故A正确；B、是分式方程，故B错误；C、a=0是一元一次方程，故C错误；D、是一元一次方程，故D错误；故选：A．2．（3分）已知一元二次方程x2+x﹣1=0，下列判断正确的是（）A．该方程有两个相等的实数根B．该方程有两个不相等的实数根C．该方程无实数根D．该方程根的情况不确定【解答】解：∵a=1，b=1，c=﹣1，∴△=b2﹣4ac=12﹣4×1×（﹣1）=5＞0，∴方程有两个不相等实数根．故选：B．3．（3分）一元二次方程（x﹣2）2=9的两个根分别是（）A．x1=1，x2=﹣5 B．x1=﹣1，x2=﹣5 C．x1=1，x2=5 D．x1=﹣1，x2=5【解答】解：（x﹣2）2=9，两边直接开平方得：x﹣2=±3，则x﹣2=3，x﹣2=﹣3，解得：x1=﹣1，x2=5．故选：D．4．（3分）如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：2【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是1：4，∴两个相似三角形的相似比是1：2，∴两个相似三角形的周长比是1：2，故选：D．5．（3分）如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：1【解答】解：∵点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=，∴△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为1：3．故选：B．6．（3分）如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：9【解答】解：∵OB=3OB′，∴，∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，∴△A′B′C′∽△ABC，∴=．∴=，故选：D．7．（3分）如果两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D．以上说法都不对【解答】解：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对的弦的弦心距相等．故选：D．8．（3分）绍兴是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（）A．4m B．5m C．6m D．8m【解答】解：连接OA，∵桥拱半径OC为5m，∴OA=5m，∵CD=8m，∴OD=8﹣5=3m，∴AD===4m，∴AB=2AD=2×4=8（m）；故选：D．9．（3分）某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是（）A．100（1+x）B．100（1+x）2 C．100（1+x2） D．100（1+2x）【解答】解：若月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是：100（1+x）2，故选：B．10．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（）A．B． C．D．【解答】解：∵x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4（kb+1）＞0，解得kb＜0，A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；D．k＜0，b=0，即kb=0，故D不正确；故选：B．二、填空题：（每空2分，共16分）11．（2分）方程x2﹣3=0的根是x=±．【解答】解：方程整理得：x2=3，开方得：x=±，故答案为：x=±12．（2分）关于x的一元二次方程mx2+x+m2+3m=0有一个根为零，那m的值等于﹣3．【解答】解：把x=0代入方程mx2+x+m2+3m=0得：m2+3m=0，解得：m=0，m=﹣3，∵方程为一元二次方程，∴m≠0，∴m=﹣3，故答案为：﹣3．13．（2分）△ABC中，∠C为直角，AB=2，则这个三角形的外接圆半径为1．【解答】解：∵△ABC中，∠C为直角，AB=2，∴这个三角形的外接圆半径为2÷2=1．故答案为：1．14．（2分）如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为（4，2），点A的坐标为（2，0），则点B的坐标为（6，0）．【解答】解：过点P作PM⊥AB于M，则M的坐标是（4，0）．又∵A的坐标为（2，0），∴OA=2，AM=OM﹣OA=2，∵A，B两点一定关于PM对称．∴MB=AM=2，∴OB=OM+MB=4+2=6，则点B的坐标是（6，0）．15．（2分）如果两个相似三角形的一组对应边分别为3cm和5cm，且较小三角形的周长为15cm，则较大三角形周长为25cm．【解答】解：设较大的三角形的周长是xcm．根据题意得：15：x=3：5．解得x=25cm．16．（2分）如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B．如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为5．【解答】解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA，∵AB=4，AD=2，∴===（）2=，∴△ACD的面积=5，故答案是：5．17．（2分）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为．【解答】解：如图所示：∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∵AM⊥EH，AD⊥BC，∴，设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD﹣EF=2﹣2x，∴，解得：x=，则EH=．故答案为：．18．（2分）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为2．【解答】解：∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，∴OC==5，∴PC=OC﹣OP=5﹣3=2．∴PC最小值为2．故答案为2．三．解答题19．（16分）解方程（1）x2﹣5x+1=0（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）（3）2（x+2）2﹣8=0；（4）（x+3）2+3（x+3）﹣4=0．【解答】解：（1）△=（﹣5）2﹣4×1=21，x=，所以x1=，x2=；（2）3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，（x﹣2）（3x﹣6﹣x）=0，x﹣2=0或3x﹣6﹣x=0，所以x1=2，x2=3；（3）（x+2）2=4，x+2=±2，所以x1=0，x2=﹣4；（4）（x+3）2+3（x+3）﹣4=0，（x+3+4）（x+3﹣1）=0，x+3+4=0或x+3﹣1=0，所以x1=﹣7，x2=﹣2．20．（8分）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1、x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1•x2，求k的值．【解答】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，解得：k＞，即实数k的取值范围是k＞；（2）∵根据根与系数的关系得：x1+x2=﹣（2k+1），x1•x2=k2+1，又∵方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1•x2，∴﹣（2k+1）=﹣（k2+1），解得：k1=0，k2=2，∵k＞，∴k只能是2．21．（6分）如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻，AB在阳光下的投影BC=4m．（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影，并简述画图步骤．（2）在测量AB的投影长时，同时测得DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．【解答】解：（1）如图所示：DE在阳光下的投影为EF，过点D作AC的平行线DF，即可得出DE在阳光下的投影；（2）由题意可得：∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，则△ABC∽△DEF，故=，则=，解得：DE=7.5，答：DE的长为7.5m．22．（6分）如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，求线段CD的长．【解答】解：在△ABD和△ACB中，∠ABD=∠C，∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB，∴=，∵AB=6，AD=4，∴AC===9，∴CD=AC﹣AD=9﹣4=5．23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AB=10，弦CD与AB相交于点N，∠ANC=30°，ON：AN=2：3，OM⊥CD，垂足为M．（1）求OM的长；（2）求弦CD的长．【解答】解：∵AB=10，∴OA=5，∵ON：AN=2：3，∴ON=2，∵∠ANC=30°，∴∠ONM=30°，∴OM=ON=1；（2）如图，连接OC，由勾股定理得：CM2=CO2﹣OM2=25﹣1=24，∴CM=2，∴CD=2CM=4．24．（6分）某超市经销一种成本为40元/kg的水产品，市场调查发现，按50元/kg销售，一个月能售出500kg，销售单位每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品的销售情况，超市在月成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？【解答】解：设销售单价定为x元，根据题意得：（x﹣40）[500﹣（x﹣50）÷0.1]=8000．解得：x1=60，x2=80当售价为60时，月成本[500﹣（60﹣50）÷0.1]×40=16000＞10000，所以舍去．当售价为80时，月成本[500﹣（80﹣50）÷0.1]×40=8000＜10000．答：销售单价定为80元．25．（6分）小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如图，小明边移动边观察，发现站在点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同，此时，小明测得自己落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.8m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上），已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB．（结果精确到0.1m）．【解答】解：过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，∵AB∥CD，DG⊥AB，AB⊥AC，∴四边形ACDG是矩形，∴EH=AG=CD=1.2m，DH=CE=0.8m，DG=CA=30m，∵EF∥AB，∴=，由题意，知FH=EF﹣EH=1.7﹣1.2=0.5（m），∴=，解得，BG=18.75，∴AB=BG+AG=18.75+1.2=19.95≈20.0（m）．答：楼高AB约为20.0米．26．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动ts（0＜t＜5）后，△CQP的面积为S cm2．在P、Q两点移动的过程中，△CQP的面积能否等于3.6cm2？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．【解答】解：在矩形ABCD中，∵AB=6cm，BC=8cm，∴AC=10cm，AP=2tcm，PC=（10﹣2t）cm，CQ=tcm，过点P作PH⊥BC于点H，易知：=，∴=∴PH=（10﹣2t）cm，根据题意，得t•（10﹣2t）=3.6，解得：t1=2，t2=3．答：△CQP的面积等于3.6cm2时，t的值为2或3．27．（10分）【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证：=；【结论应用】（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若=，则的值为；【联系拓展】（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．【解答】解：（1）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，∴AP=EF，GH=BQ．又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT+∠AQT=90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠D=90°，∴∠DAP+∠DPA=90°，∴∠AQT=∠DPA．∴△PDA∽△QAB，∴=，∴=；（2）如图2，∵EF⊥GH，AM⊥BN，∴由（1）中的结论可得=，=，∴==．故答案为；（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，则四边形ABSR是平行四边形．∵∠ABC=90°，∴▱ABSR是矩形，∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．∵AM⊥DN，∴由（1）中的结论可得=．设SC=x，DS=y，则AR=BS=5+x，RD=10﹣y，∴在Rt△CSD中，x2+y2=25①，在Rt△ARD中，（5+x）2+（10﹣y）2=100②，由②﹣①得x=2y﹣5③，解方程组，得（舍去），或，∴AR=5+x=8，∴===．28．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：当t=2时，DH=AH=4，则H为AD的中点，如答图1所示．又∵EF⊥AD，∴EF为AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF．∵AB=AC，AD⊥BC于点D，∴AD⊥BC，∠B=∠C．∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形．（2）解：如答图2所示，由（1）知EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，即，解得：EF=10﹣t．S△PEF=EF•DH=（10﹣t）•2t=﹣t2+10t=﹣（t﹣2）2+10（0＜t＜），∴当t=2秒时，S存在最大值，最大值为10cm2，此时BP=3t=6cm．△PEF（3）解：存在．理由如下：①若点E为直角顶点，如答图3①所示，此时PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．∵PE∥AD，∴，即，此比例式不成立，故此种情形不存在；②若点F为直角顶点，如答图3②所示，此时PF∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10﹣3t．∵PF∥AD，∴，即，解得t=；③若点P为直角顶点，如答图3③所示．过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．∵EM∥AD，∴，即，解得BM=t，∴PM=BP﹣BM=3t﹣t=t．在Rt△EMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=t2．∵FN∥AD，∴，即，解得CN=t，∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣t=10﹣t．在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10﹣t）2=t2﹣85t+100．在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，即：（10﹣t）2=（t2）+（t2﹣85t+100）化简得：t2﹣35t=0，解得：t=或t=0（舍去）∴t=．综上所述，当t=秒或t=秒时，△PEF为直角三角形．。

2017-2018学年江苏省无锡市宜兴市丁蜀学区九年级（上）第一次段测数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）：1．（3分）下列方程为一元二次方程的是（）A．x2﹣2xy+y2=0 B．x（x+3）=x2﹣1 C．D．x2﹣2x=32．（3分）解方程2（5x﹣1）2﹣3（5x﹣1）=0最适当的方法是（）A．直接开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法3．（3分）关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）A．a≥1且a≠5 B．a＞1且a≠5 C．a≥1 D．a≠54．（3分）若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（）A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定5．（3分）把一块长80mm、宽60mm的铁皮的4个角分别剪去一个边长相等的小正方形，做成一个底面积是1500mm2的无盖铁盒．若设小正方形的边长为x mm，下面所列的方程中，正确的是（）A．（80﹣x）（60﹣x）=1500 B．（80﹣2x）（60﹣2x）=1500C．（80﹣2x）（60﹣x）=1500 D．（80﹣x）（60﹣2x）=15006．（3分）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A． B．C．D．7．（3分）如图，△ABC中，DE∥BC，且DE：BC=2：3，则下列结论一定正确的是（）A．AD：DE=2：3 B．AD：BD=2：3 C．AD：AE=2：3 D．AD：AB=2：38．（3分）在直角坐标系中，已知O（0，0），A（2，0），B（0，4），C（0，3），D为x轴上一点，若以D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，这样的D点有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个9．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+1的大致图象可能是（）A．B．C．D．10．（3分）Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F．图中共有8个三角形，如果把一定相似的三角形归为一类，那么图中的三角形可分为（）A．2类 B．3类 C．4类 D．5类二、填空（本大题共8小题，每空2分，共16分）11．（2分）方程x2﹣x=0的解是．12．（2分）已知=，则=．13．（2分）若△三边比为3：5：7，与它相似的△的最长边为21cm，则其余两边长的和为．14．（2分）若一元二次方程（1﹣3k）x2+4x﹣2=0有实数根，则k的取值范围是．15．（2分）某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是．16．（2分）若a，b是方程x2+x﹣2015=0的两实数根，则a2+2a+b=．17．（2分）如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，若AB=2cm，则AC=cm．18．（2分）如图，直线l1∥l2，AF：FB=2：3，BC：CD=2：1，则AE：EC是．三、精心做一做．（本大题共54分）19．（12分）用适当的方法解下列方程：（1）（x+1）2﹣9=0（2）x2﹣2x﹣3=0（3）2（x﹣1）2=3x﹣3（4）3x2+4x﹣1=0．20．（8分）如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，（1）证明△ABD∽△ACB；（2）求线段CD的长．21．（8分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．22．（8分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？23．（8分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．24．（10分）阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB 上的强相似点．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD 的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．2017-2018学年江苏省无锡市宜兴市丁蜀学区九年级（上）第一次段测数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）：1．（3分）下列方程为一元二次方程的是（）A．x2﹣2xy+y2=0 B．x（x+3）=x2﹣1 C．D．x2﹣2x=3【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可．【解答】解：A、是二元二次方程，故不是一元二次方程，故此选项错误；B、是一元一次方程，故此选项错误；C、是分式方程，不是一元二次方程，故此选项错误；D、是一元二次方程，故此选项正确；故选：D．【点评】此题主要考查了一元二次方程，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．2．（3分）解方程2（5x﹣1）2﹣3（5x﹣1）=0最适当的方法是（）A．直接开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】解：2（5x﹣1）2﹣3（5x﹣1）=0（5x﹣1）[2（5x﹣1）﹣3]=0（5x﹣1）（10x﹣5）=0故选（D）【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．3．（3分）关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）A．a≥1且a≠5 B．a＞1且a≠5 C．a≥1 D．a≠5【分析】分类讨论：当a=5时，原方程变形一元一次方程，有一个实数解；当a≠5时，根据判别式的意义得到a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，然后综合两种情况即可得到满足条件的a的范围．【解答】解：当a=5时，原方程变形为﹣4x﹣1=0，解得x=﹣；当a≠5时，△=（﹣4）2﹣4（a﹣5）×（﹣1）≥0，解得a≥1，即a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，所以a的取值范围为a≥1．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．4．（3分）若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（）A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解，代入方程的左右两边，看左右两边是否相等．【解答】解：在这个式子中，如果把x=1代入方程，左边就变成a+b+c，又由已知a+b+c=0可知：当x=1时，方程的左右两边相等，即方程必有一根是1，同理可以判断方程必有一根是﹣1．则方程的根是1，﹣1．故选C．【点评】本题就是考查了方程的解的定义，判断一个数是否是方程的解的方法，就是代入方程的左右两边，看左右两边是否相等．5．（3分）把一块长80mm、宽60mm的铁皮的4个角分别剪去一个边长相等的小正方形，做成一个底面积是1500mm2的无盖铁盒．若设小正方形的边长为x mm，下面所列的方程中，正确的是（）A．（80﹣x）（60﹣x）=1500 B．（80﹣2x）（60﹣2x）=1500C．（80﹣2x）（60﹣x）=1500 D．（80﹣x）（60﹣2x）=1500【分析】设小正方形边长为xcm，则长方体盒子底面的长宽均可用含x的代数式表示，从而这个长方体盒子的底面的长是（80﹣2x）cm，宽是（60﹣2x）cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，方程可列出．【解答】解：由题意得：（80﹣2x）（60﹣2x）=1500故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，关键是掌握长方形与正方形的面积计算公式．6．（3分）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A． B．C．D．【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；D、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．故选D．【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．7．（3分）如图，△ABC中，DE∥BC，且DE：BC=2：3，则下列结论一定正确的是（）A．AD：DE=2：3 B．AD：BD=2：3 C．AD：AE=2：3 D．AD：AB=2：3【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．【解答】解：∵DE∥BC，∴=，∴AD：AB=2：3，故选：D．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，由平行线得出比例式是解题的关键．8．（3分）在直角坐标系中，已知O（0，0），A（2，0），B（0，4），C（0，3），D为x轴上一点，若以D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，这样的D点有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】由相似三角形对应边成比例且夹角相等的三角形相似，分别从若△OCD∽△OBA与若△OCD∽△OAB去分析即可求得答案．【解答】解：如图：若△OCD∽△OBA，则需=，∴=，∴OD=，∴D与D′的坐标分别为（，0），（﹣，0），若△OCD∽△OAB，则需=，即=，∴OD=6，∴D″与D′″的坐标分别为（6，0），（﹣6，0）．∴若以D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，这样的D点有4个．故选C．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，根据对应顶点的情况讨论是解题关键．9．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+1的大致图象可能是（）A．B．C．D．【分析】先利用判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4×1×（k+1）＞0，解得k＜0，然后根据一次函数的性质进行判断．【解答】解：根据题意得△=（﹣2）2﹣4×1×（k+1）＞0，解得k＜0，所以一次函数y=kx+1经过第一、二、四象限．故选D．．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．10．（3分）Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F．图中共有8个三角形，如果把一定相似的三角形归为一类，那么图中的三角形可分为（）A．2类 B．3类 C．4类 D．5类【分析】根据直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似进行分析即可．【解答】解：根据已知及相似三角形的判定得：△ABC∽△ACD∽△CBD；∠CAE=∠DAF，∠ACE=ADF⇒△ACE∽△ADF；∠CAE=∠DAF，∠ACF=∠B⇒△ACF∽△ABE；所以是三类，故选B．【点评】本题考查了角的平分线定义和相似三角形的判定．二、填空（本大题共8小题，每空2分，共16分）11．（2分）方程x2﹣x=0的解是0或1．【分析】本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．【解答】解：原方程变形为：x（x﹣1）=0，∴x=0或x=1．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．12．（2分）已知=，则=﹣．【分析】根据比例的性质，可得9a=﹣8b，根据等式的性质，可得答案．【解答】解：由比例的性质，得9a+15b=7b，即9a=﹣8b．两边都除以9b，得==﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查了比例的性质，利用了比例的性质，等式的性质．13．（2分）若△三边比为3：5：7，与它相似的△的最长边为21cm，则其余两边长的和为24cm．【分析】先设其余两边的长分别是x，y，再根据相似三角形的对应边的比相等解答即可．【解答】解：相似三角形的对应边的比相等，设其余两边的长分别是x，y，则x：y：21=3：5：7，解得x=9，y=15，所以其余两边长的和为9+15=24cm．故答案为：24cm．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应边的比相等是解题的关键．14．（2分）若一元二次方程（1﹣3k）x2+4x﹣2=0有实数根，则k的取值范围是k≤1且k≠．【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的定义以及根的判别式得到1﹣3k≠0且△＞0，即42﹣4×（1﹣3k）×（﹣2）≥0，然后解两个不等式即可得到k的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程（1﹣3k）x2+4x﹣2=0有实数根，∴1﹣3k≠0即k≠，且△≥0，即42﹣4×（1﹣3k）×（﹣2）≥0，解得k≤1，∴k的取值范围是k≤1且k≠．故答案为k≤1且k≠．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的定义．15．（2分）某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是20%．【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是25（1﹣x），第二次后的价格是25（1﹣x）2，据此即可列方程求解．【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元，故25（1﹣x）2=16，解得x=0.2或1.8（不合题意，舍去），故该药品平均每次降价的百分率为20%．【点评】本题考查数量平均变化率问题．原来的数量（价格）为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a（1±x），再经过第二次调整就是a（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”．16．（2分）若a，b是方程x2+x﹣2015=0的两实数根，则a2+2a+b=2014．【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，则a2+2a+b可化为a2+a+a+b=2015+a+b，然后利用根与系数的关系得到a+b=﹣1，再利用整体代入的方法计算即可．【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2015=0的根，∴a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，∴a2+2a+b=a2+a+a+b=2015+a+b，∵a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根，∴a+b=﹣1，∴a2+2a+b=2015+（﹣1）=2014．故答案为：2014．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．17．（2分）如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，若AB=2cm，则AC=﹣1cm．【分析】根据黄金比值计算即可．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，∴AC=×AB=（﹣1）cm，故答案为：﹣1．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．18．（2分）如图，直线l1∥l2，AF：FB=2：3，BC：CD=2：1，则AE：EC是2：1．【分析】由直线l1∥l2，根据平行线分线段成比例定理，即可得=，，又由BC：CD=2：1，根据比例的性质，即可求得答案．【解答】解：∵直线l1∥l2，∴=，，∵BC：CD=2：1，∴=2，∴AE：EC=2：1．故答案为：2：1．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，解题的关键是注意比例线段的对应关系与比例的性质．三、精心做一做．（本大题共54分）19．（12分）用适当的方法解下列方程：（1）（x+1）2﹣9=0（2）x2﹣2x﹣3=0（3）2（x﹣1）2=3x﹣3（4）3x2+4x﹣1=0．【分析】（1）用直接开平方法解一元二次方程即可；（2）用因式分解法解一元二次方程即可；（3）用因式分解法解一元二次方程即可；（4）用公式法解一元二次方程即可．【解答】解：（1）（x+1）2﹣9=0（x+1）2=9x+1=±3，x1=2，x2=﹣4；（2）x2﹣2x﹣3=0，（x﹣3）（x+1）=0，x﹣3=0或x+1=0，x1=3，x2=﹣1；（3）2（x﹣1）2=3x﹣3，2（x﹣1）2﹣3（x﹣1）=0，（x﹣1）（2x﹣2﹣3）=0x﹣1=0或2x﹣5=0；x1=1，x2=；（4）3x2+4x﹣1=0，a=3，b=4，c=﹣1，△=b2﹣4ac=16+12=28＞0，∴方程有两个不等的实数根，x===，x1=，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法：直接开平方法、配方法、公式法以及因式分解法是解题的关键．20．（8分）如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，（1）证明△ABD∽△ACB；（2）求线段CD的长．【分析】（1）根据已知角相等，再由公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得证；（2）由相似得比例，求出所求即可．【解答】（1）证明：∵∠A=∠A，∠ABD=∠C，∴△ABD∽△ACB；（2）∵△ABD∽△ACB，∴=，即=，解得：CD=5．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．21．（8分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．【分析】（1）求出一元二次方程根的判别式，根据偶次方的非负性证明；（2）利用求根公式求出方差的根，根据题意求出正整数m的值．【解答】（1）证明：△=（m+2）2﹣4×m×2=m2﹣4m+4=（m﹣2）2≥0，则方程总有两个实数根；（2）x=，x1=m，x2=，方程的两个实数根都是整数，则正整数m的值为1或2．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．22．（8分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【分析】（1）设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可；（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．【解答】（1）解：设每千克核桃应降价x元．…1分根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）=2240．…4分化简，得x2﹣10x+24=0 解得x1=4，x2=6．…6分答：每千克核桃应降价4元或6元．…7分（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．此时，售价为：60﹣6=54（元），设按原售价的m折出售，则有：60×=54，解得m=9答：该店应按原售价的九折出售．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．23．（8分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB•AD；（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=AB=AE，继而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE=×6=3，∵AD=4，∴，∴．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．24．（10分）阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB 上的强相似点．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD 的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．【分析】（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解．（2）根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可．（3）因为点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解．【解答】解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．理由：∵∠A=55°，∴∠ADE+∠DEA=125°．∵∠DEC=55°，∴∠BEC+∠DEA=125°．∴∠ADE=∠BEC．（2分）∵∠A=∠B，∴△ADE∽△BEC．∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．（2）作图如下：（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．由折叠可知：△ECM≌△DCM，∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，∴∠BCE=∠BCD=30°，∴BE=CE=AB．在Rt△BCE中，tan∠BCE==tan30°，∴，∴．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，梯形的性质以及理解相似点和强相似点的概念等，从而可得到结论．。

2016-2017学年江苏省无锡市宜兴市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．）1．以下方程是一元二次方程的是（ ）A ．x+2y=1B ．x 2+5=0C ．2x+=8D ．x 2+1=（x+1）（x ﹣3）2．以下二次根式中与是同类二次根式的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．以下计算正确的选项是（ ）A ． +=B ． =6C ．÷=3D ．2﹣=24．方程x 2﹣6x+9=0的根的情形是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根5．已知，那么（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知一元二次方程3x 2﹣2x ﹣1=0的两根别离为x 1，x 2，那么x 1+x 2=（） A ．2 B ．﹣ C ． D ．﹣7．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么以下结论正确的选项是（ ）A ． =B ． =C ． =D ． =8．在函数y=中，自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ≤2B ．x ≥2C ．x ＜2 且x ≠0D ．x ≤2且x ≠09．当0＜x ＜3时，化简﹣的正确结果是（ ）A．4 B．﹣4 C．2﹣2x D．2x﹣210．已知（1﹣m2﹣n2）（m2+n2）=﹣6，那么m2+n2的值是（）A．3 B．3或﹣2 C．2或﹣3 D．211．已知关于x的方程ax2+bx+c=0的两根别离为﹣3和1，那么方程bx2+cx+a=0的两根为（）A．﹣和1 B．和1 C．和﹣1 D．﹣和﹣112．元旦节时，九年级一班有假设干同窗聚会共庆新年的来临，他们每两人均互送贺卡一张，已知他们共送出贺卡90张，那么参加这次同窗聚会的人数是（）A．9 B．10 C．12 D．18二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．）13．化简：=．14．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，那么EC的长为．15．已知a，b，c为三角形的三边，那么=．16．已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2﹣8x+7=0的两个根，那么那个直角三角形的斜边长是．三、解答题（本大题共5小题，共44分）17．（1）计算：（+3）×﹣（2）计算：﹣﹣8+|2﹣|（3）解方程：（x﹣5）（x﹣6）=x﹣5．18．如图，已知在△ABC中，点D、E、F别离是边AB、AC、BC上的点，且DE=BF，EF=BD，求证：=．19．国家为了解决老百姓看病贵的问题，决定下调药品的价钱．某药品原价每盒25元，通过持续两次降价，此刻售价每盒16元，若是两次降价的百分率相同，求该药品每次降价的百分率．20．（1）已知a=3+2，b=3﹣2，求a2b﹣ab2的值；（2）已知x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5=0的两根，求|x1﹣x2|的值．21．已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1=0．（1）假设方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）假设方程两实数根别离为x1，x2，且知足（x1﹣x2）2=16﹣x1x2，求实数m的值．四、填空题（本大题共4小题，每题6分，共24分.请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上.）22．在实数范围内因式分解：x4﹣4=．23．假设m=，那么m5﹣2m3﹣2021m3=．24．假设x＞0，y＞0，且（+2）=（6+5），那么的值是．25．已知a2+5a=﹣2，b2+2=﹣5b，且a≠b，那么化简b+a=．五、解答题（本大题共3小题，每题12分，共36分．解答时必需写出必要的文字说明、证明进程或推演步骤）26．阅读以下运算进程：==，==，===﹣1，===，数学上将这种把分母的根号去掉的进程称作“分母有理化”．通过度母有理化，可把不是最简的二次根式化成最简二次根式．请参考上述方式，解决以下问题：（1）化简：=，=，=；（2）计算： +++…+；（3）计算： +++…+．27．某商场销售一批名牌衬衫，天天可销售20件，每件获利40元．为了扩大销售，增加获利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价方法．经市场调查发觉，若是每件衬衫每降价1元，商场天天可多售出2件．（1）若是每件衬衫降价5元，商场天天获利多少元？（2）若是商场天天要获利1200元，且尽可能让顾客取得实惠，每件衬衫应降价多少元？（3）用配方式说明，每件衬衫降价多少元时，商场天天获利最多，最多是多少元？28．阅读材料：小聪在学习二次根式后，发觉含根号的式子3+2能够写成另一个式子+1的平方，即3+2=（+1）2．于是，爱动脑筋的小聪又提出了一个问题：7+4是不是也能写成另一个式子的平方呢？通过探讨，他联想到教师讲的方程思想，找到了一种把7+4化成平方式的方式：设7+4=（+）2（m≥n＞0），那么7+4=m+n+2，∴．整理得．∴m、n可看做一元二次方程x2﹣7x+12=0的两根．解方程，得x1=4，x2=3．于是有．∴7+4=（+）2=（2+）2参考上述方式，解决以下问题：（1）化简以下根式并把答案直接填在答题卡上相应横线上：=，=，﹣=；（2）化简：①，②；（3）化简+．2016-2017学年江苏省无锡市宜兴市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．）1．以下方程是一元二次方程的是（）A．x+2y=1 B．x2+5=0 C．2x+=8 D．x2+1=（x+1）（x﹣3）【考点】一元二次方程的概念．【分析】依照一元二次方程的概念解答．一元二次方程必需知足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．【解答】解：A、是二元一次方程，故A错误；B、是一元二次方程，故B正确；C、是分式方程，故C错误；D、是一元一次方程，故D错误；应选：B．2．以下二次根式中与是同类二次根式的是（）A． B．C．D．【考点】同类二次根式．【分析】依照同类二次根式的概念，先化简，再判定．【解答】解：A、=2，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故A选项错误；B、=，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故B选项错误；C、=，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故C选项错误；D、=3，与的被开方数相同，是同类二次根式，故D选项正确．应选：D．3．以下计算正确的选项是（）A． +=B．=6 C．÷=3 D．2﹣=2【考点】二次根式的混合运算．【分析】结合二次根式的混合运算法的运算法那么进行求解即可．【解答】解：A、+≠，本选项错误；B、×=≠6，本选项错误；C、÷==3，本选项正确；D、2﹣=≠2，本选项错误．应选C．4．方程x2﹣6x+9=0的根的情形是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【考点】根的判别式．【分析】依照方程的系数结合根的判别式即可得出△=0，由此即可得出结论．【解答】解：∵在方程x2﹣6x+9=0中，△=（﹣6）2﹣4×1×9=0，∴该方程有两个相等的实数根．应选B．5．已知，那么（）A．B．C．D．【考点】比例的性质．【分析】依照反比性质，可得，依照和比性质，可得，再依照反比性质，可得答案．【解答】解：由反比性质，得=，由和比性质，得=，由反比性质，得=，应选：C．6．已知一元二次方程3x2﹣2x﹣1=0的两根别离为x1，x2，那么x1+x2=（）A．2 B．﹣C．D．﹣【考点】根与系数的关系．【分析】依照一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=﹣解答并作出选择．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣6x+3=0的两根别离为x1、x2，∴由韦达定理，得x1+x2=．应选C．7．如图，已知AB∥CD∥EF，那么以下结论正确的选项是（）A．= B．= C．= D．=【考点】平行线分线段成比例．【分析】已知AB∥CD∥EF，依照平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴=．应选A．8．在函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x≤2 B．x≥2 C．x＜2 且x≠0 D．x≤2且x≠0【考点】函数自变量的取值范围．【分析】依照分母不为0且被开方数大于等于0进行计算即可．【解答】解：由题意得：，∴x≤2且x≠0，应选D．9．当0＜x＜3时，化简﹣的正确结果是（）A．4 B．﹣4 C．2﹣2x D．2x﹣2【考点】二次根式的性质与化简．【分析】依照题意全等x+1和x﹣3的符号，依照二次根式的性质化简即可．【解答】解：∵0＜x＜3，∴x+1＞0，x﹣3＜0，则﹣=x+1﹣3+x=2x﹣2，应选：D．10．已知（1﹣m2﹣n2）（m2+n2）=﹣6，那么m2+n2的值是（）A．3 B．3或﹣2 C．2或﹣3 D．2【考点】换元法解一元二次方程．【分析】设m2+n2=x，那么（1﹣x）x=﹣6，求得x的值，依照m2+n2≥0，即可得出答案．【解答】解：设m2+n2=x，原方程变形为（1﹣x）x=﹣6，解得x=﹣2或3，∵m2+n2≥0，∴x=3，∴m2+n2=3．应选A．11．已知关于x的方程ax2+bx+c=0的两根别离为﹣3和1，那么方程bx2+cx+a=0的两根为（）A．﹣和1 B．和1 C．和﹣1 D．﹣和﹣1【考点】根与系数的关系．【分析】依照已知条件取得b=2a，c=﹣3a，于是取得bx2+cx+a=0即为2x2﹣3x+1=0，即可取得结论．【解答】解：∵﹣=﹣2，=﹣3，∴b=2a，c=﹣3a，∴bx2+cx+a=0即为2x2﹣3x+1=0，∴bx2+cx+a=0两根为1或，应选B．12．元旦节时，九年级一班有假设干同窗聚会共庆新年的来临，他们每两人均互送贺卡一张，已知他们共送出贺卡90张，那么参加这次同窗聚会的人数是（）A．9 B．10 C．12 D．18【考点】一元二次方程的应用．【分析】每一个人都要送给他自己之外的其余人，等量关系为：人数×（人数﹣1）=90，把相关数值代入计算即可．【解答】解：设参加这次同窗聚会的人数有x人，由题意得：x（x﹣1）=90，解得：x1=10，x2=﹣9（不合题意，舍去）．即参加这次同窗聚会的人数是10人．应选：B．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．）13．化简：=．【考点】二次根式的加减法．【分析】先将二次根式化为最简，然后归并同类二次根式即可．【解答】解：原式=3﹣2=．故答案为：．14．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，那么EC的长为2．【考点】平行线分线段成比例．【分析】依照平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴=，∴=，∴CE=2．故答案为：2．15．已知a，b，c为三角形的三边，那么=a+b+c．【考点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系．【分析】由a，b，c为三角形的三边，依照三角形三边关系，即可得a+b＞c，c+a＞b，b+c ＞a，又由=|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|b+c﹣a|，即可求得答案．【解答】解：∵a，b，c为三角形的三边，∴a+b＞c，c+a＞b，b+c＞a，∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，b+c﹣a＞0，∴=|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|b+c﹣a|=a+b﹣c+a+c﹣b+b+c﹣a=a+b+c．故答案为：a+b+c．16．已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2﹣8x+7=0的两个根，那么那个直角三角形的斜边长是3．【考点】根与系数的关系；勾股定理．【分析】依照根与系数的关系，求出两根之积与两根之和的值，再依照勾股定理列出直角三角形三边之间的关系式，然后将此式化简为两根之积与两根之和的形式，最后代入两根之积与两根之和的值进行计算．【解答】解：设直角三角形的斜边为c，两直角边别离为a与b．∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2﹣8x+7=0的两个根，∴a+b=4，ab=；依照勾股定理可得：c2=a2+b2=（a+b）2﹣2ab=16﹣7=9，∴c=3三、解答题（本大题共5小题，共44分）17．（1）计算：（+3）×﹣（2）计算：﹣﹣8+|2﹣|（3）解方程：（x﹣5）（x﹣6）=x﹣5．【考点】解一元二次方程-因式分解法；二次根式的混合运算．【分析】（1）先算乘法，再算加减即可；（2）先去掉绝对值符号，再化成最简根式，最后归并即可；（3）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）原式=6+6﹣3=6+3；（2）原式=2﹣﹣+2﹣=﹣+2；（3）移项得：（x﹣5）（x﹣6）﹣（x﹣5）=0（x﹣5）（x﹣6﹣1）=0，x﹣5=0，x﹣6﹣1=0，x1=5，x2=7．18．如图，已知在△ABC中，点D、E、F别离是边AB、AC、BC上的点，且DE=BF，EF=BD，求证：=．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】依据DE=BF，EF=BD可证明四边形DEFB是平行四边形，然后依据平行线分线段成比例定理求解即可．【解答】解：∵DE=BF，EF=BD，∴四边形DEFB是平行四边形，∴DE∥BA，EF∥AB．∴=，=．∴．19．国家为了解决老百姓看病贵的问题，决定下调药品的价钱．某药品原价每盒25元，通过持续两次降价，此刻售价每盒16元，若是两次降价的百分率相同，求该药品每次降价的百分率．【考点】一元二次方程的应用．【分析】设该药品每次降价的百分率为x，依照“原价每盒25元，通过持续两次降价，此刻售价每盒16元．”即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：设该药品每次降价的百分率为x，依照题意得：25×（1﹣x）2=16，解得：x=20%或x=﹣180%（舍去）．答：该药品每次降价的百分率为20%．20．（1）已知a=3+2，b=3﹣2，求a2b﹣ab2的值；（2）已知x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5=0的两根，求|x1﹣x2|的值．【考点】根与系数的关系；二次根式的化简求值．【分析】（1）先计算出a﹣b和ab的值，再分解因式取得∴a2b﹣ab2=ab（a﹣b），然后利用整体代入的方式计算；（2）利用根与系数的关系取得x1+x2=3，x1x2=﹣5，那么利用完全平方公式取得|x1﹣x2|==，然后利用整体代入的方式计算．【解答】解：（1）∵a=3+2，b=3﹣2，∴a﹣b=4，ab=9﹣8=1，∴a2b﹣ab2=ab（a﹣b）=1×4=4；（2）依照题意得x1+x2=3，x1x2=﹣5，∴|x1﹣x2|====．21．已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1=0．（1）假设方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）假设方程两实数根别离为x1，x2，且知足（x1﹣x2）2=16﹣x1x2，求实数m的值．【考点】根的判别式；根与系数的关系．【分析】（1）假设一元二次方程有两实数根，那么根的判别式△=b2﹣4ac≥0，成立关于m 的不等式，求出m的取值范围；（2）由x1+x2=﹣2（m+1），x1x2=m2﹣1；代入（x1﹣x2）2=16﹣x1x2，成立关于m的方程，据此即可求得m的值．【解答】解：（1）由题意有△=[2（m+1）]2﹣4（m2﹣1）≥0，整理得8m+8≥0，解得m≥﹣1，∴实数m的取值范围是m≥﹣1；（2）由两根关系，得x1+x2=﹣2（m+1），x1•x2=m2﹣1，（x1﹣x2）2=16﹣x1x2（x1+x2）2﹣3x1x2﹣16=0，∴[﹣2（m+1）]2﹣3（m2﹣1）﹣16=0，∴m2+8m﹣9=0，解得m=﹣9或m=1∵m≥﹣1∴m=1．四、填空题（本大题共4小题，每题6分，共24分.请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上.）22．在实数范围内因式分解：x4﹣4=（x2+2）（x+）（x﹣）．【考点】实数范围内分解因式．【分析】先运用平方差公式，分解成（x2+2）（x2﹣2），再把x2﹣2写成x2﹣，符合平方差公式的特点，能够继续分解．【解答】解：x4﹣4=（x2+2）（x2﹣2）=（x2+2）[x2﹣]=（x2+2）（x+）（x﹣）．故答案为：（x2+2）（x+）（x﹣）．23．假设m=，那么m5﹣2m3﹣2021m3=0．【考点】二次根式的化简求值．【分析】将m化简可得m=+1，代入到原式=m3[（m﹣1）2﹣2016]即可得．【解答】解：∵m====+1，∴原式=m3（m2﹣2m﹣2021）=m3[（m﹣1）2﹣2016]=m3[（+1﹣1）2﹣2016]=0，故答案为：0．24．假设x＞0，y＞0，且（+2）=（6+5），那么的值是．【考点】二次根式的化简求值．【分析】由（+2）=（6+5）可得x﹣4﹣5y=0，即（+）（﹣5）=0，依照x＞0，y＞0知﹣5=0，即x=25y，代入到待求代数式中可得．【解答】解：∵（+2）=（6+5），∴x﹣4﹣5y=0，即（+）（﹣5）=0，∵x＞0，y＞0，∴﹣5=0，即=5，∴x=25y，那么原式===，故答案为：．25．已知a2+5a=﹣2，b2+2=﹣5b，且a≠b，那么化简b+a=﹣．【考点】二次根式的化简求值．【分析】由a2+5a=﹣2，b2+2=﹣5b，即a2+5a+2=0，b2+5b+2=0，且a≠b可知a、b可看做方程x2+5x+2=0的两不相等的实数根，继而知a+b=﹣5，ab=2，且a＜0，b＜0，将其代入到原式=﹣﹣=﹣=﹣可得答案．【解答】解：∵a2+5a=﹣2，b2+2=﹣5b，即a2+5a+2=0，b2+5b+2=0，且a≠b，∴a、b可看做方程x2+5x+2=0的两不相等的实数根，那么a+b=﹣5，ab=2，∴a＜0，b＜0，那么原式=﹣﹣=﹣=﹣=﹣=﹣，故答案为：﹣．五、解答题（本大题共3小题，每题12分，共36分．解答时必需写出必要的文字说明、证明进程或推演步骤）26．阅读以下运算进程：==，==，===﹣1，===，数学上将这种把分母的根号去掉的进程称作“分母有理化”．通过度母有理化，可把不是最简的二次根式化成最简二次根式．请参考上述方式，解决以下问题：（1）化简：=，=+，=﹣；（2）计算： +++…+；（3）计算： +++…+．【考点】分母有理化；最简二次根式．【分析】（1）将各项分母有理化即可；（2）原式各项分母有理化，计算即可取得结果；（3）原式各项分母有理化，计算即可取得结果．【解答】解：（1）==；==+；==﹣；故答案为：；﹣；﹣；（2）原式=++…+==3；（3）原式=++…+=++…+=（1﹣+﹣+﹣）=×（1﹣）=．27．某商场销售一批名牌衬衫，天天可销售20件，每件获利40元．为了扩大销售，增加获利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价方法．经市场调查发觉，若是每件衬衫每降价1元，商场天天可多售出2件．（1）若是每件衬衫降价5元，商场天天获利多少元？（2）若是商场天天要获利1200元，且尽可能让顾客取得实惠，每件衬衫应降价多少元？（3）用配方式说明，每件衬衫降价多少元时，商场天天获利最多，最多是多少元？【考点】配方式的应用；一元二次方程的应用．【分析】总利润=每件利润×销售量．设天天利润为w元，每件衬衫应降价x元，据题意可得利润表达式，（1）把x=5代入求得相应的w的值即可；（2）再求当w=1200时x的值；（3）依照函数关系式，运用函数的性质求最值．【解答】解：设天天利润为w元，每件衬衫降价x元，依照题意得w=（40﹣x）（20+2x）=﹣2x2+60x+800=﹣2（x﹣15）2+1250（1）当x=5时，w=﹣2（5﹣15）2+1250=1050（元）答：若是每件衬衫降价5元，商场天天获利050元；（2）当w=1200时，﹣2x2+60x+800=1200，解之得x1=10，x2=20．依照题意要尽快减少库存，因此应降价20元．答：每件衬衫应降价20元．（3）商场天天盈利（40﹣x）（20+2x）=﹣2（x﹣15）2+1250．因此当每件衬衫应降价15元时，商场盈利最多，共1250元．答：每件衬衫降价15元时，商场平均天天盈利最多．28．阅读材料：小聪在学习二次根式后，发觉含根号的式子3+2能够写成另一个式子+1的平方，即3+2=（+1）2．于是，爱动脑筋的小聪又提出了一个问题：7+4是不是也能写成另一个式子的平方呢？通过探讨，他联想到教师讲的方程思想，找到了一种把7+4化成平方式的方式：设7+4=（+）2（m≥n＞0），那么7+4=m+n+2，∴．整理得．∴m、n可看做一元二次方程x2﹣7x+12=0的两根．解方程，得x1=4，x2=3．于是有．∴7+4=（+）2=（2+）2参考上述方式，解决以下问题：（1）化简以下根式并把答案直接填在答题卡上相应横线上：=+，=﹣，﹣=﹣3；（2）化简：①，②；（3）化简+．【考点】二次根式的混合运算．【分析】（1）类比题中方式列方程组、构建一元二次方程别离求解可得；（2）借助完全平方公式进而开平方求出即可；（3）把要求的代数式设为x，然后利用完全平方公式进行计算，用直接开平方式能够求出x 的值，依照二次根式的性质取得x≥0，确信x的值．也就求出了代数式的值．【解答】解：（1）设8+4=（+）2（m≥n＞0），那么8+4=m+n+2，∴整理得，∴m、n可看做一元二次方程x2﹣8x+12=0的两根．解方程，得x1=2，x2=6．于是有∴8+4=（+）2，即=+；设7﹣=（﹣）2（m≥n＞0），那么7﹣=m+n﹣2，∴，整理得，∴m、n可看做一元二次方程x2﹣7x+10=0的两根．解方程，得x1=2，x2=5，于是有，∴7﹣=（﹣）2，即=﹣，﹣=|2﹣|﹣||+1|=﹣2﹣﹣1=﹣3；故答案为：，﹣，﹣3；（2）①===；②==|﹣1|=﹣1；（3）设原式=x，那么x2=（4﹣）+（4+）+2，=8+2，=8+2，=8+2（﹣1），=6+2，=（+1）2．依照二次根式的性质x≥0，∴x=+1．∴原式=+1．2016年12月20日。

九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A. ax2+bx+c=0B. 1x2+1x=2C. x2+2x=x2−1D. 3(x+1)2=2(x+1)2.用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（）A. (x+2)2=3B. (x−2)2=3C. (x−2)2=5D. (x+2)2=53.已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A. a<2B. a>2C. a<2且a≠1D. a<−24.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（）A. 12.36cmB. 13.6cmC. 32.36cmD. 7.64cm5.如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（）A. AEAC=DEBCB. ∠B=∠ADEC. AEAD=ACABD. ∠C=∠AED6.有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个7.已知一个点到圆上的点的最大距离是5cm，最小距离是1cm，则这个圆的半径是（）A. 3cmB. 2cmC. 3cm或2cmD. 不能确定8.在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足．设AB=x，AD=y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（）A. B. C.D.9.如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）A. 1：3B. 1：4C. 1：5D. 1：2510.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（）A. 1.5B. 1.2C. 2.4D. 以上都不对二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.已知线段a=4，b=16，线段c是a，b的比例中项，那么c等于______．12.在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则这棵树的高度为______米．13.为解决群众看病贵的问题，我市有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元．设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为______．14.设a，b是方程x2+x-2015=0的两个不相等的实数根，a2+2a+b的值为______．15.⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），则点P与⊙O的位置关系是点P在______．16.如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长为______．17.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=140°，则∠BCD=______．18.把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧BC的度数是______．三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）19.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，且PD∥CB，弦PB与CD交于点F（1）求证：FC=FB；（2）若CD=24，BE=8，求⊙O的直径．20.如图，A城气象台测得台风中心在A城的正西方300千米处，以每小时107千米的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域．（1）问A城是否会受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响的时间有多长？四、解答题（本大题共8小题，共72.0分）21.解方程①（x-2）2-25=0②2x2-4x-1=0（配方法）③3（x-2）2=x（x-2）④（3x+1）（x-2）=10．22.如图，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的角平分线，且交AB于点E，DB与CE相交于点O，（1）求证：△EBC是等腰三角形；（2）已知：AB=7，BC=5，求OBDB的值．23.已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是______；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是______；（画出图形）（3）△A2B2C2的面积是______平方单位．24.如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．（1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点；（2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高．25.如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点P以每秒2个单位的速度从B点出发沿着BC向C移动，同时动点Q以每秒1个单位的速度从点C出发沿CD向D移动．（1）几秒时，△PCQ的面积为3？（2）几秒时，由C、P、Q三点组成的三角形与△ABC相似？26.某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，问（1）应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？（2）店主想要获得每天800元的利润，小红同学认为不可能．如果你同意小红同学的说法，请用两种不同的方法进行说明．如果你不同意，简要说明理由．27.从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC 的完美分割线．（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．28.如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α=0°时，AEBD=______；②当α=180°时，AEBD=______．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，AEBD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、ax2+bx+c=0当a=0时，不是一元二次方程，故A错误；B、+=2不是整式方程，故B错误；C、x2+2x=x2-1是一元一次方程，故C错误；D、3（x+1）2=2（x+1）是一元二次方程，故D正确；故选：D．根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2.【答案】A【解析】解：方程移项得：x2+4x=-1，配方得：x2+4x+4=3，即（x+2）2=3．故选：A．方程常数项移到右边，两边加上4变形后，即可得到结果．此题考查了解一元二次方程-配方法，利用配方法解方程时，首先将方程常数项移到右边，二次项系数化为1，然后方程两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边化为非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．3.【答案】C【解析】解：∵关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，∴，解得：a＜2且a≠1．故选：C．根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出结论．本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据一元二次方程的定义结合根的判别式列出关于a的一元一次不等式组是解题的关键．4.【答案】A【解析】解：方法1：设书的宽为x，则有（20+x）：20=20：x，解得x=12.36cm．方法2：书的宽为20×0.618=12.36cm．故选：A．把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．5.【答案】A【解析】解：（B）∵∠A=∠A，∠B=∠ADE，∴△ABC∽△ADE，故B可以判断，（C）∵∠A=∠A∴△ABC∽△ADE，故C可以判断，（D）∵∠A=∠A，∠C=∠AED，∴△ABC∽△ADE，故D可以判断，故选：A．根据相似三角形的判定即可判断．本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于基础题型．6.【答案】B【解析】解：直径是弦，①正确；经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆，②错误；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，③正确；半径相等的两个半圆是等弧，④正确；同圆中等弦所对的圆周角相等或互补，⑤错误；故选：B．根据圆的概念，过三点的圆，三角形的外心的性质，等弧的概念，圆周角定理判断即可．本题考查的是命题的真假判断，掌握圆的概念，过三点的圆，三角形的外心的性质，等弧的概念，圆周角定理是解题的关键．7.【答案】C【解析】解：当这点在圆外时，则这个圆的半径是（5-1）÷2=2cm；当点在圆内时，则这个圆的半径是（5+1）÷2=3cm．故选：C．点P可能在圆内．也可能在圆外，因而分两种情况进行讨论．此题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是注意此题应分为两种情况来解决．8.【答案】D【解析】解：∵DH垂直平分AC，∴DA=DC，AH=HC=2，∴∠DAC=∠DCH，∵CD∥AB，∴∠DCA=∠BAC，∴∠DAH=∠BAC，∵∠DHA=∠B=90°，∴△DAH∽△CAB，∴=，∴=，∴y=，∵AB＜AC，∴x＜4，∴图象是D．故选：D．由△DAH∽△CAB，得=，求出y与x关系，再确定x的取值范围即可解决问题．本题科学相似三角形的判定和性质、相等垂直平分线性质、反比例函数等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，构建函数关系，注意自变量的取值范围的确定，属于中考常考题型．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【解答】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到=，==，结合图形得到=，得到答案．解：∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，∴=，∵DE∥AC，∴==，∴=，∴S△BDE与S△CDE的比是1：4.故选B．10.【答案】B【解析】解：如图所示：当PE∥AB．在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB==10，由翻折的性质可知：PF=FC=2，∠FPE=∠C=90°．∵PE∥AB，∴∠PDB=90°．由垂线段最短可知此时FD有最小值．又∵FP为定值，∴PD有最小值．又∵∠A=∠A，∠ACB=∠ADF，∴△AFD∽△ABC．∴=，即=，解得：DF=3.2．∴PD=DF-FP=3.2-2=1.2．故选：B．先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF=FC，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP⊥AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．本题考查翻折变换，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．11.【答案】8【解析】解：∵线段c是a、b的比例中项，∴c2=ab=64，解得：c=±8，又∵线段是正数，∴c=8．故答案为：8．根据线段比例中项的概念a：c=c：b，可得c2=ab=64，即可求出c的值．此题考查了比例中项，掌握比例中项的定义是解题的关键．注意线段不能是负数．12.【答案】9.6【解析】解：设树高为x米，∵，∴=，∴x=4.8×2=9.6．答：这棵树的高度为9.6米．在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．13.【答案】289（1-x）2=256【解析】解：设平均每次降价的百分率为x，则第一降价售价为289（1-x），则第二次降价为289（1-x）2，由题意得：289（1-x）2=256．故答案为：289（1-x）2=256．设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是289（1-x）2，根据关键语句“连续两次降价后为256元，”可得方程289（1-x）2=256．此题主要考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．14.【答案】2014【解析】解：∵a是方程x2+x-2015=0的根，∴a2+a-2015=0，即a2=-a+2015=0，∴a2+2a+b=-a+2015+2a+b=a+b+2015，∵a，b是方程x2+x-2015=0的两个不相等的实数根，∴a+b=-1，∴a2+2a+b=a+b+2015=-1+2015=2014．故答案为2014．先根据一元二次方程的解的定义得到a2=-a+2015=0，则a2+2a+b可化为a+b+2015，然后根据根与系数的关系得到a+b=-1，再利用整体代入的方法计算．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．15.【答案】圆内【解析】解：∵圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），∴OP=＜5，因而点P在⊙O内．故答案为：圆内．根据点到圆心的距离与圆的半径之间的关系：“点到圆心的距离为d，则当d=r 时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内”来求解．本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内．16.【答案】23【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=3，∠B=∠C=60°，∴∠BAP+∠APB=180°-60°=120°，∵∠APD=60°，∴∠APB+∠DPC=180°-60°=120°，∴∠BAP=∠DPC，即∠B=∠C，∠BAP=∠DPC，∴△BAP∽△CPD，∴=，∵AB=BC=3，CP=BC-BP=3-1=2，BP=1，即=，解得：CD=，故答案为：．根据等边三角形性质求出AB=BC=AC=3，∠B=∠C=60°，推出∠BAP=∠DPC，证△BAP∽△CPD，得出=，代入求出即可．本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△BAP∽△CPD，主要考查了学生的推理能力和计算能力．17.【答案】110°【解析】解：∵∠BOD=140°，∴∠A=∠BOD=70°，∴∠BCD=180°-∠A=110°．故答案为110°．先根据圆周角定理得到∠A=∠BOD=70°，然后根据圆内接四边形的性质求∠BCD的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质．18.【答案】150°【解析】解：如图，过O作OG⊥AB，交⊙O于G，交AB于H，连接AG、AO，由折叠得：GH=OH，∵AO=OG，∴AO=OG=AG，∴△AGO是等边三角形，∴∠AOG=60°，同理∠BOG=60°，∴∠BOC=90°+60°=150°，则弧的度数是150°；故答案为：150°．作辅助线，证明△AGO是等边三角形，则∠AOG=60°，同理∠BOG=60°，所以∠BOC=90°+60°=150°，根据圆心角的度数等于弧的度数可以得出结论．本题考查了圆心角、弧、弦的性质、垂径定理、等腰三角形的三线合一的性质、翻折变换，明确翻折前后的边相等，熟练掌握垂径定理、等腰三角形的三线合一的性质是关键．19.【答案】（1）证明：∵PD∥CB，∴PC=BD，∴∠FBC=∠FCB，∴FC=FB．（2）解：如图：连接OC，设圆的半径为r，在Rt△OCE中，OC=r，OE=r-8，CE=12，∴r2=（r-8）2+122，解方程得：r=13．所以⊙O的直径为26．【解析】（1）根据两平行弦所夹的弧相等，得到=，然后由等弧所对的圆周角相等及等角对等边，可以证明FC=FB．（2）连接OC，在Rt△OCE中用勾股定理计算出半径，然后求出直径．本题考查的是垂径定理，（1）题根据平行弦所夹的弧相等，等弧所对的圆周角相等，等角对等边，可以证明两条线段相等．（2）题根据垂径定理得到CE=12，然后在直角三角形中用勾股定理求出半径，再确定圆的直径．20.【答案】解：（1）A城市受影响．如图，过点A作AC⊥BF，则距离点C最近的距离为AC，∵AB=300，∠ABC=30°，∴AC=12AB=150＜200，所以A城会受到这次台风的影响；∵距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域，则AD=AE=200，即DE为A城遭受这次台风的距离，CD=AD2−AC2=507，∴DE=1007，则t=sv=1007107=10小时．故A城遭受这次台风影响的时间10小时．【解析】（1）作AC⊥BF，则距点A最近的点即为C点，计算AC的长，若AC＞200千米，则不受影响，反之，则受影响．（2）求出A城所受影响的距离DE，又有台风移动的速度，即可求解出其影响的时间．本题主要考查了方向角问题以及解直角三角形的简单运用，能够熟练掌握．21.【答案】解：①（x-2）2-25=0，（x-2+5）（x-2-5）=0，x-2+5=0，x-2-5=0，解得：x1=-3，x2=7；②2x2-4x-1=0，2x2-4x=1，x2-2x=12，配方得：x2-2x+1=12+1，（x-1）2=32，开方得：x-1=±32，解得：x1=2+62，x2=2−62；③3（x-2）2=x（x-2）3（x-2）2-x（x-2）=0，（x-2）[3（x-2）-x]=0，x-2=0，3（x-2）-x=0，解得：x1=2，x2=3；④（3x+1）（x-2）=10，3x2-5x-12=0∵b2-4ac=（-5）2-4×3×（-12）=169，∴x=5±1692×3，∴x1=3，x2=-43．【解析】①分解因式得出（x-2+5）（x-2-5）=0，推出x-2+5=0，x-2-5=0，求出方程的解即可；②配方得出（x-1）2=，开方得出x-1=±，求出方程的解即可；③移项后分解因式得出（x-2）[3（x-2）-x]=0，推出x-2=0，3（x-2）-x=0，求出方程的解即可；④整理后求出b2-4ac的值，代入公式x=求出即可．本题考查了解一元一次方程和解一元二次方程，关键是能把解一元二次方程转化成解一元一次方程．22.【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠1=∠2．∵CE平分∠BCD，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴BC=BE，∴△EBC是等腰三角形；解：（2）∵∠1=∠2，∠4=∠5，∴△COD∽△EOB，∴CDEB=ODOB．∵平行四边形ABCD，∴CD=AB=7．∵BE=BC=5，∴CDEB=ODOB=75，∴OBDB=512．【解析】（1）欲证明△EBC是等腰三角形，只需推知BC=BE即可，可以由∠2=∠3得到：BC=BE；（2）通过相似三角形（△COD∽△EOB）的对应边成比例得到==，然后利用分式的性质可以求得=．本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用三角形相似的性质时主要利用相似比计算相应线段的长．23.【答案】（2，-2）（1，0）10【解析】解：（1）在直角坐标系中，图形沿平行于y轴的方向平移，图形上对应点的横坐标不变，纵坐标减去平移的单位长度∴点C1的坐标为（2，-2）故答案为：（2，-2）（2）所求图形如下图所示：即：△A2B2C2为所求作的图形．点C2的坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）（3）S△A 2B2C2的面积=S-S-S△B2NC2=（2+4）×6-×2×4-×2×4=18-4-4=10（平方单位）故答案为：10平方单位（1）在直角坐标系中，图形沿平行于y轴的方向平移，图形上对应点的横坐标不变，纵坐标减去平移的单位长度．（2）画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形（3）将△A2B2C2的面积看作是梯形的面积减去两个直角三角形的面积．本题考查了作图-平移变换、作图-位似变换，关键是掌握平移变换与位似变换的特点．24.【答案】解：（1）如图所示：点P就是三个高的交点；（2）如图所示：CT就是AB上的高．【解析】（1）根据圆周角定理：直径所对的圆周角是90°画图即可；（2）与（1）类似，利用圆周角定理画图．此题主要考查了复杂作图，关键是掌握三角形的三条高交于一点，直径所对的圆周角是90°．25.【答案】解：（1）设t秒后△PCQ的面积为3，则PB=2t，则PC为8-2t，CQ=t，根据题意得：12（8-2t）t=3解得：t=1或t=3答：1秒或3秒后，△PCQ的面积为3；（2）要使两个三角形相似，由∠B=∠PCQ∴只要ABPC=BCCQ或者ABQC=BCCP∵AB=6，BC=8∴只要PCCQ=68或者QCCP=68设时间为则PC=8-2t，CQ=t∴t=3211或者t=125，∴当t=3211或者t=125时，由C、P、Q三点组成的三角形与△ABC相似；【解析】（1）设t秒后△PCQ的面积为3，首先表示出线段PC和线段CQ，然后利用其面积为3列出有关t的方程求解即可；（2）有两种情况，△ABC∽△PCQ或者△ABC∽△QCP，根据线段的比例关系求解．本题考查了一元二次方程的应用及相似三角形的性质，特别是第二问中分两种情况讨论是解题的关键．26.【答案】解：（1）设将每件商品提价x元，则每天可售出该商品（200-20x）件，根据题意得：（10-8+x）（200-20x）=640，整理得：x2-8x+12=0，解得：x1=2，x2=6，∴10+x=12或16．答：每件售价定为12元或16元．（2）同意小红同学的说法，理由如下：（i）设将每件商品提价y元，则每天可售出该商品（200-20y）件，根据题意得：（10-8+y）（200-20y）=800，整理得：y2-8y+20=0．∵△=（-8）2-4×1×20=-16＜0，∴该方程无解，∴小红同学的说法正确；（ii）设将每件商品提价a元，每天的利润为w元，则每天可售出该商品（200-20a）件，根据题意得：w=（10-8+a）（200-20a）=-20a2+160a+400=-20（a-4）2+720，∵-20＜0，∴当a=4时，w取最大值，最大值为720，∵720＜80，∴小红同学的说法正确．【解析】（1）设将每件商品提价x元，则每天可售出该商品（200-20x）件，根据每天的利润=每件商品的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）（i）设将每件商品提价y元，则每天可售出该商品（200-20y）件，根据每天的利润=每件商品的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式△=-16＜0，即可得出该方程无解，进而可得出小红同学的说法正确；（ii）设将每件商品提价a元，每天的利润为w元，则每天可售出该商品（200-20a）件，根据每天的利润=每件商品的利润×每天的销售量，即可得出w 关于a的二次函数关系式，利用二次函数的性质即可得出其最大值，由该值小于800，即可得出小红同学的说法正确．本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）（i）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（ii）利用配方法，求出二次函数的最值．27.【答案】解：（1）如图1中，∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=40°，∴∠ACD=∠A=40°，∴△ACD为等腰三角形，∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线．（2）①当AD=CD时，如图2，∠ACD=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC=180°−48°2=66°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．③当AC=CD时，如图4中，∠ADC=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃．∴∠ACB=96°或114°．（3）由已知AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴BCBA=BDBC，设BD=x，∴（2）2=x（x+2），∵x＞0，∴x=3-1，∵△BCD∽△BAC，∴CDAC=BDBC=3−12，∴CD=3−12×2=6-2．【解析】（1）根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③△BDC∽△BCA即可．（2）分三种情形讨论即可①如图2，当AD=CD时，②如图3中，当AD=AC时，③如图4中，当AC=CD时，分别求出∠ACB即可．（3）设BD=x，利用△BCD∽△BAC，得=，列出方程即可解决问题．本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论思想，属于中考常考题型．28.【答案】5252【解析】解：（1）①当α=0°时，∵Rt△ABC中，∠B=90°，∴AC=，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴，∴．②如图1，，当α=180°时，可得AB∥DE，∵，∴=．故答案为：．（2）如图2，，当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，∵∠ECD=∠ACB，∴∠ECA=∠DCB，又∵，∴△ECA∽△DCB，∴．（3）①如图3，，∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，∴AD==，∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴．②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，，∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，∴AD==，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴DE==2，∴AE=AD-DE=8-2=6，由（2），可得，∴BD==．综上所述，BD的长为4或．（1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据，求出的值是多少即可．（2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据，判断出△ECA∽△DCB，即可求出的值是多少，进而判断出的大小没有变化即可．（3）根据题意，分两种情况：①点A，D，E所在的直线和BC平行时；②点A，D，E所在的直线和BC相交时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可．（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．（2）此题还考查了相似三角形、全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．（3）此题还考查了线段长度的求法，以及矩形的判定和性质的应用，要熟练掌握．。

江苏省无锡市宜兴市官林教学联盟2016-2017学年九年级（上）期中数学试卷一、细心选一选（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x+2y=1 B．x2+5=0 C．x2+=8 D．x（x+3）=x2﹣12．⊙O的半径为4，线段OP=4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O内C．点P在⊙O上D．不能确定3．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB=60°，PO=2，则⊙O的半径等于（）A． B．2 C．1 D．4．下列说法中，正确的是（）A．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等B．三点确定一个圆C．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线D．任何三角形有且只有一个内切圆5．如图，在长为100m，宽为80m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644m2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x m，则可列方程为（）A．100×80﹣100x﹣80x=7644 B．（100﹣x）（80﹣x）+x2=7644C．（100﹣x）（80﹣x）=7644 D．100x+80x﹣x2=76446．为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行了调查，下表是这10户居民2014年4月份用电量的调查结果：那么关于这10户居民用电量（单位：度），下列说法错误的是（）居民 1 3 2 4月用电量（度/户）40 50 55 60A．中位数是55 B．众数是60 C．平均数是54 D．方差是297．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）A．点（0，3）B．点（2，3）C．点（5，1）D．点（6，1）8．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“至和”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a﹣b+c=0那么我们称这个方程为“至美”方程，如果一个一元二次方程既是“至和”方程又是“至美”方程我们称之为“和美方程”．对于“和美方程”，下列结论正确的是（）A．方程两根之和等于0 B．方程有一根等于0C．方程有两个相等的实数根D．方程两根之积等于0二、认真填一填（本大题共10小题，每空2分，共24分）9．已知一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2，则c= ，另一根为．10．已知关于x的一元二次方程x2+kx+1=0有两个相等的实数根，则k= ．11．一个三角形的两边长分别为4cm和7cm，第三边长是一元二次方程x2﹣10x+21=0的实数根，则三角形的周长是cm．12．已知一个样本﹣1，0，2，x，3，它们的平均数是2，则x= ，方差S2= ．13．四边形ABCD为圆O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD= ．14．如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为．15．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC= （填度数）．16．用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为cm．17．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以C为圆心，r为半径作⊙C．若⊙C与斜边AB有两个公共点，则r的取值范围是．18．如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则BC+AB的值．三、精心做一做（本大题共有7小题，共52分）19．（12分）解方程（1）（2x﹣1）2﹣9=0（2）x2﹣2x﹣4=0（3）x2﹣4x+1=0（用配方法）（4）（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0．20．（6分）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1、x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1?x2，求k的值．21．（6分）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（）．（1）用直尺和圆规作出所在圆的圆心O；（要求保留作图痕迹，不写作法）（2）若的中点C到弦AB的距离为20m，AB=80m，求所在圆的半径．22．（6分）2013年，无锡市蠡湖新城某楼盘以每平方米12000元的均价对外销售．由于楼盘滞销，房地产商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年该楼盘的均价为每平方米9720元．（1）求平均每年下调的百分率；（2）假设2016年该楼盘的均价仍然下调相同的百分率，李强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金30万元，可在银行贷款50万元，李强的愿望能否实现？（房价按照均价计算，不考虑其它因素．）23．（6分）如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．24．（8分）人民商场销售某种商品，统计发现：每件盈利45元时，平均每天可销售30件．经调查发现，该商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．（1）假如现在库存量太大，部门经理想尽快减少库存，又想销售该商品日盈利达到1750元，请你帮忙思考，该降价多少？（2）假如部门经理想销售该商品的日盈利达到最大，请你帮忙思考，又该如何降价？25．（8分）在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，设两点移动的时间为t秒，回答下列问题：（1）如图1，当t为几秒时，△PBQ的面积等于5cm2？（2）如图2，当t=秒时，试判断△DPQ的形状，并说明理由；（3）如图3，以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．①在运动过程中，是否存在这样的t值，使⊙Q正好与四边形DPQC的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；②若⊙Q与四边形DPQC有三个公共点，请直接写出t的取值范围．2016-2017学年江苏省无锡市宜兴市官林教学联盟九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、细心选一选（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x+2y=1 B．x2+5=0 C．x2+=8 D．x（x+3）=x2﹣1【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、方程x+2y=1是二元一次方程，故本选项错误；B、方程x2+5=0是一元二次方程，故本选项正确；C、方程x2+=8是分式方程，故本选项错误；D、方程x（x+3）=x2是一元一次方程，故本选项错误．故选B．【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．2．⊙O的半径为4，线段OP=4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O内C．点P在⊙O上D．不能确定【考点】点与圆的位置关系．【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【解答】解：∵OP=4，∴OP等于⊙O的半径，∴点P与⊙O上．故选C．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．3．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB=60°，PO=2，则⊙O的半径等于（）A． B．2 C．1 D．【考点】切线的性质．【分析】由PA、PB是⊙O的两条切线，得到PO为角APB的平分线，则由∠APB的度数求出∠APO的度数，且OA垂直于PA，即三角形OAP为直角三角形，根据30°所对的直角边等于斜边的一半，由PO的长即可求出OA的长即为⊙O的半径．【解答】解：∵PA、PB⊙O的两条切线，∠APB=60°，∴PO平分∠APB，即∠APO=∠APB=30°，且OA⊥AP，即△AOP为直角三角形，又PO=2，∴OA=PO=1，则⊙O的半径等于1．故选C．【点评】此题考查学生掌握切线长定理即经过圆外一点作圆的两条切线，切线长相等且这点与圆心的连线平分两切线的夹角以及直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．4．下列说法中，正确的是（）A．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等B．三点确定一个圆C．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线D．任何三角形有且只有一个内切圆【考点】三角形的内切圆与内心；确定圆的条件；切线的判定．【分析】根据内心的性质、确定圆的条件、切线的判定方法、三角形内切圆的性质即可一一判断．【解答】解：A、错误．三角形的内心到三角形的三边距离相等，故错误．B、错误．不在同一直线的三点确定一个圆，故错误．C、错误．经过半径的外端垂直于半径的直线一定是这个圆的切线，故错误．D、正确．故选D．【点评】本题考查三角形的内切圆与内心、确定圆的条件、切线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识，学会利用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．如图，在长为100m，宽为80m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644m2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x m，则可列方程为（）A．100×80﹣100x﹣80x=7644 B．（100﹣x）（80﹣x）+x2=7644C．（100﹣x）（80﹣x）=7644 D．100x+80x﹣x2=7644【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．【解答】解：设道路的宽为x m，则可列方程为（100﹣x）（80﹣x）=7644，故选：C．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．6．为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行了调查，下表是这10户居民2014年4月份用电量的调查结果：那么关于这10户居民用电量（单位：度），下列说法错误的是（）居民 1 3 2 4月用电量（度/户）40 50 55 60A．中位数是55 B．众数是60 C．平均数是54 D．方差是29【考点】众数；加权平均数；中位数；方差．【分析】根据众数、平均数、众数和方差的概念，求出该组数据的众数、平均数、众数和方差，然后选择错误选项．【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：40，50，50，50，55，55，60，60，60，60，则众数为：60，中位数为：55，平均数为： =54，方差为： =39．故选D．【点评】本题考查了众数、中位数、平均数和方差的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的概念．7．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）A．点（0，3）B．点（2，3）C．点（5，1）D．点（6，1）【考点】切线的性质；坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理．【分析】根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，∠OBD+∠EBF=90°时F点的位置即可．【解答】解：连接AC，作AC，AB的垂直平分线，交格点于点O′，则点O′就是所在圆的圆心，∴三点组成的圆的圆心为：O′（2，0），∵只有∠O′BD+∠EBF=90°时，BF与圆相切，∴当△BO′D≌△FBE时，∴EF=BD=2，F点的坐标为：（5，1），∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）．故选：C．【点评】此题主要考查了切线的性质以及垂径定理和坐标与图形的性质，得出△BOD≌△FBE时，EF=BD=2，即得出F点的坐标是解决问题的关键．8．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“至和”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a﹣b+c=0那么我们称这个方程为“至美”方程，如果一个一元二次方程既是“至和”方程又是“至美”方程我们称之为“和美方程”．对于“和美方程”，下列结论正确的是（）A．方程两根之和等于0 B．方程有一根等于0C．方程有两个相等的实数根D．方程两根之积等于0【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解；根的判别式．【分析】根据已知得出方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1，再判断即可．【解答】解：∵把x=1代入方程ax2+bx+c=0得出：a+b+c=0，把x=﹣1代入方程ax2+bx+c=0得出a﹣b+c=0，∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1，∴1+（﹣1）=0，即只有选项A正确；选项C、B、D都错误．故选A．【点评】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，根与系数的关系的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．二、认真填一填（本大题共10小题，每空2分，共24分）9．已知一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2，则c= 8 ，另一根为 4 ．【考点】根与系数的关系．【分析】直接根据根与系数的关系即可得出结论．【解答】解：设方程的另一根为α，则α+2=6，2α=c，解得α=4，c=8．故答案为：8，4．【点评】本题考查的是根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解答此题的关键．10．已知关于x的一元二次方程x2+kx+1=0有两个相等的实数根，则k= ±2 ．【考点】根的判别式．【分析】满足△=b2﹣4ac=0，求出k的值．【解答】解：∵一元二次方程x2+kx+1=0有两个相等的实数根，且△=b2﹣4ac=k2﹣4×1×1=k2﹣4∴k2﹣4=0．即k=±2．故答案为：±2．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．11．一个三角形的两边长分别为4cm和7cm，第三边长是一元二次方程x2﹣10x+21=0的实数根，则三角形的周长是18 cm．【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．【分析】利用因式分解法求出方程的解确定出第三边，求出周长即可．【解答】解：方程x2﹣10x+21=0，分解因式得：（x﹣3）（x﹣7）=0，解得：x=3或x=7，当x=3时，三角形三边分别为3cm，4cm，7cm，3+4=7，不合题意，舍去；当x=7时，三角形三边为4cm，7cm，7cm，此时周长为4+7+7=18cm，故答案为：18【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及三角形三边关系，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．已知一个样本﹣1，0，2，x，3，它们的平均数是2，则x= 6 ，方差S2= 6 ．【考点】方差；算术平均数．【分析】先由平均数公式求得x的值，再由方差公式求解．【解答】解：∵平均数=（﹣1+2+3+x+0）÷5=2∴﹣1+2+3+x+0=10，x=6∴方差S2=[（﹣1﹣2）2+（0﹣2）2+（2﹣2）2+（6﹣2）2+（3﹣2）2]÷5=6．故答案为6，6【点评】本题考查方差的定义．它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．13．四边形ABCD为圆O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD= 130°或50°．【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【分析】先根据圆心角的度数等于它所对弧的度数得到∠BOD=100°，再根据圆周角定理得∠BCD=∠BOD=50°，然后根据圆内接四边形的性质求解．【解答】解：如图∵弧BAD的度数为140°，∴∠BOD=140°，∴∠BCD=∠BOD=50°，∴∠BAD=180°﹣∠ACD=130°．同理，当点A是优弧上时，∠BAD=50°故答案为：130°或50°．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的对边和相等．14．如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为61°．【考点】圆周角定理．【分析】首先连接OD，由直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，可得点A，B，C，D共圆，又由点D对应的刻度是58°，利用圆周角定理求解即可求得∠BCD的度数，继而求得答案．【解答】解：连接OD，∵直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，∴点A，B，C，D共圆，∵点D对应的刻度是58°，∴∠BOD=58°，∴∠BCD=∠BOD=29°，∴∠ACD=90°﹣∠BCD=61°．故答案为：61°．【点评】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．15．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC= 130°（填度数）．【考点】三角形的内切圆与内心．【分析】运用三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB的度数，再根据点O是△ABC的内切圆的圆心，得出∠OBC+∠OCB=50°，从而得出答案．【解答】解：∵∠BAC=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣80°=100°，∵点O是△ABC的内切圆的圆心，∴BO，CO分别为∠ABC，∠BCA的角平分线，∴∠OBC+∠OCB=50°，∴∠BOC=130°．故答案为：130°．【点评】本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的内切圆与内心等知识点的理解和掌握，能求出∠OBC+∠OCB的度数是解此题的关键．16．用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 1 cm．【考点】圆锥的计算．【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得2πr=，解得r=1cm．故答案为：1．【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．17．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以C为圆心，r为半径作⊙C．若⊙C与斜边AB有两个公共点，则r的取值范围是＜r≤3 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】作CD⊥AB于D，由勾股定理求出AB，由三角形的面积求出CD，由AC＞BC，可得以C为圆心，r=4为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点；若⊙C与斜边AB有两个公共点，即可得出r的取值范围．【解答】解：作CD⊥AB于D，如图所示：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5，∵△ABC的面积=AB?CD=AC?BC，∴CD==，即圆心C到AB的距离d=，∵AC＜BC，∴以C为圆心，r=4为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，∴若⊙C与斜边AB有两个公共点，则r的取值范围是＜r≤3．故答案为：＜r≤3．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．18．如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则BC+AB的值2+4 ．【考点】三角形的内切圆与内心；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】设圆0与BC的切点为M，连接OM，由切线的性质可知OM⊥BC，然后证明△OMG≌△GCD，得到﹣BM﹣GC=BC﹣2．设AB=a，BC=a+2，AC=2a，从而可求得∠ACB=30°，从而得到OM=GC=1，CD=GM=BC，故此可求得AB=，则BC=+3．【解答】解：如图所示：设圆0与BC的切点为M，连接OM．∵BC是圆O的切线，M为切点，∴OM⊥BC．∴∠OMG=∠GCD=90°．由翻折的性质可知：OG=DG．∵OG⊥GD，∴∠OGM+∠DGC=90°．又∵∠MOG+∠OGM=90°，∴∠MOG=∠DGC．在△OMG和△GCD中，，∴△OMG≌△GCD．∴OM=GC=1．﹣BM﹣GC=BC﹣2．CD=GM=BC∵AB=CD，∴BC﹣AB=2．设AB=a，则BC=a+2．∵圆O是△ABC的内切圆，∴AC=AB+BC﹣2r．∴AC=2a．∴．∴∠ACB=30°．∴，即．解得：a=．∴AB=，BC=AB+2=．所有AB+BC=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查的是切线的性质、翻折的性质、全等三角形的性质和判定、特殊锐角三角函数值，求得∠ACB=30°是解题得关键．三、精心做一做（本大题共有7小题，共52分）19．（12分）（2016秋?宜兴市期中）解方程（1）（2x﹣1）2﹣9=0（2）x2﹣2x﹣4=0（3）x2﹣4x+1=0（用配方法）（4）（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法．【分析】（1）移项后开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可；（3）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（4）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）（2x﹣1）2﹣9=0，（2x﹣1）2=9，2x﹣1=±3，x1=2，x2=﹣1；（2）x2﹣2x﹣4=0b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）=20，x=，x1=1+，x2=1﹣；（3）x2﹣4x+1=0，x2﹣4x=﹣1，x2﹣4x+4=﹣1+4，（x﹣2）2=3，x﹣2=，x1=2+，x2=2﹣；（4）（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0，（x﹣3）（x﹣3+2x）=0，x﹣3=0，x﹣3+2x=0，x1=3，x2=1．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．20．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1、x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1?x2，求k的值．【考点】根的判别式；根与系数的关系．【分析】（1）根据根与系数的关系得出△＞0，代入求出即可；（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=﹣（2k+1），x1?x2=k2+1，根据x1+x2=﹣x1?x2得出﹣（2k+1）=﹣（k2+1），求出方程的解，再根据（1）的范围确定即可．【解答】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，解得：k＞，即实数k的取值范围是k＞；（2）∵根据根与系数的关系得：x1+x2=﹣（2k+1），x1?x2=k2+1，又∵方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1?x2，∴﹣（2k+1）=﹣（k2+1），解得：k1=0，k2=2，∵k＞，∴k只能是2．【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式的应用，能正确运用性质进行计算是解此题的关键，题目比较好，难度适中．21．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（）．（1）用直尺和圆规作出所在圆的圆心O；（要求保留作图痕迹，不写作法）（2）若的中点C到弦AB的距离为20m，AB=80m，求所在圆的半径．【考点】作图—复杂作图；勾股定理；垂径定理的应用．【分析】（1）连结AC、BC，分别作AC和BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O，如图1；（2）连接OA，OC，OC交AB于D，如图2，根据垂径定理的推论，由C为的中点得到OC⊥AB，AD=BD=AB=40，则CD=20，设⊙O的半径为r，在Rt△OAD中利用勾股定理得到r2=（r﹣20）2+402，然后解方程即可．【解答】解：（1）如图1，点O为所求；（2）连接OA，OC，OC交AB于D，如图2，∵C为的中点，∴OC⊥AB，∴AD=BD=AB=40，设⊙O的半径为r，则OA=r，OD=OD﹣CD=r﹣20，在Rt△OAD中，∵OA2=OD2+AD2，∴r2=（r﹣20）2+402，解得r=50，即所在圆的半径是50m．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法；解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了勾股定理和垂径定理．22．2013年，无锡市蠡湖新城某楼盘以每平方米12000元的均价对外销售．由于楼盘滞销，房地产商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年该楼盘的均价为每平方米9720元．（1）求平均每年下调的百分率；（2）假设2016年该楼盘的均价仍然下调相同的百分率，李强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金30万元，可在银行贷款50万元，李强的愿望能否实现？（房价按照均价计算，不考虑其它因素．）【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）设平均每年下调的百分率为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；（2）如果下调的百分率相同，求出2016年的房价，进而确定出100平方米的总房款，即可做出判断．【解答】解（1）设平均每年下调的百分率x，由题意得：12000（1﹣x）2=9720，（1﹣x）2=0.81．∴1﹣x=0.9或1﹣x=﹣0.9，∴x1=0.1，x2=1.9（舍去），答：平均每年下调的百分率10%．（2）由（1）得：9720×（1﹣10%）=8748（元），8748×100=874800（元），500000+300000=800000（元），∵874800＞800000，∴李强的愿望不能实现．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，基本数量关系：预订每平方米销售价格×（1﹣每次下调的百分率）2=开盘每平方米销售价格．23．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．【考点】切线的性质；扇形面积的计算．【分析】（1）由Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O切BC于D，易证得AC∥OD，继而证得AD平分∠CAB．（2）如图，连接ED，根据（1）中AC∥OD和菱形的判定与性质得到四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，则图中阴影部分的面积=扇形EOD的面积．【解答】（1）证明：∵⊙O切BC于D，∴OD⊥BC，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD=∠ADO，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠CAD，即AD平分∠CAB；（2）设EO与AD交于点M，连接ED．∵∠BAC=60°，OA=OE，∴△AEO是等边三角形，∴AE=OA，∠AOE=60°，∴AE=AO=OD，又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD=60°，∴S△AEM=S△DMO，∴S阴影=S扇形EOD==．【点评】此题考查了切线的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．24．人民商场销售某种商品，统计发现：每件盈利45元时，平均每天可销售30件．经调查发现，该商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．（1）假如现在库存量太大，部门经理想尽快减少库存，又想销售该商品日盈利达到1750元，请你帮忙思考，该降价多少？（2）假如部门经理想销售该商品的日盈利达到最大，请你帮忙思考，又该如何降价？【考点】一元二次方程的应用；配方法的应用．【分析】（1）设每件应降价x元，则每件盈利（45﹣x）元，每天可以售出30+2x，所以此时商场平均每天要盈利（45﹣x）（30+2x）元，根据商场平均每天要盈利1750元，为等量关系列出方程求解即可．（2）设商场平均每天盈利y元，由（1）可知商场平均每天盈利y元与每件应降价x元之间的函数关系为：y=（45﹣x）（30+2x），用“配方法”求出该函数的最大值，并求出降价多少．【解答】解：（1）设每件降价x元，则每天可以售出（30+2x）件．根据题意得：（45﹣x）（30+2x）=1750，解得x1=10，x2=20．因为要减少库存，所以x=20．答：降价20元可使销售利润达到1750元．（2）设商场平均每天盈利y元，则商场平均每天盈利y元与每件应降价x元之间的函数关系为：y=（45﹣x）（30+2x）=﹣2（x﹣15）2+1800．∴当x=15时日盈利达到最大，为1800元．【点评】此题主要考查了一元二次方程与二次函数的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解，另外还用到的知识点有“根的判别式”和用“配方法”求函数的最大值．25．在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，设两点移动的时间为t秒，回答下列问题：（1）如图1，当t为几秒时，△PBQ的面积等于5cm2？（2）如图2，当t=秒时，试判断△DPQ的形状，并说明理由；（3）如图3，以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．①在运动过程中，是否存在这样的t值，使⊙Q正好与四边形DPQC的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；②若⊙Q与四边形DPQC有三个公共点，请直接写出t的取值范围．【考点】圆的综合题．【分析】（1）由题意可知PA=t，BQ=2t，从而得到PB=6﹣t，BQ=2t，然后根据△PQB的面积=5cm2列方程求解即可；（2）由t=，可求得AP=，QB=3，PB=，CQ=9，由勾股定理可证明DQ2+PQ2=PD2，由勾股定理的逆定理可知△DPQ为直角三角形；（3）①当t=0时，点P与点A重合时，点B与点Q重合，此时圆Q与PD相切；当⊙Q正好与四边形DPQC 的DC边相切时，由圆的性质可知QC=QP，然后依据勾股定理列方程求解即可；②先求得⊙Q与四边形DPQC有两个公共点时t的值，然后可确定出t的取值范围．【解答】解：（1）∵当运动时间为t秒时，PA=t，BQ=2t，∴PB=6﹣t，BQ=2t．∵△PBQ的面积等于5cm2，∴PB?BQ=（6﹣t）?2t．∴=5．解得：t1=1，t2=5．答：当t为1秒或5秒时，△PBQ的面积等于5cm2．（2）△DPQ的形状是直角三角形．理由：∵当t=秒时，AP=，QB=3，∴PB=6﹣=，CQ=12﹣3=9．在Rt△PDA中，由勾股定理可知：PD2=DA2+PA2=122+（）2=．同理：在Rt△PBQ和Rt△DCQ中由勾股定理可得：DQ2=117，PQ2=．∵117+=，∴DQ2+PQ2=PD2．所以△DPQ的形状是直角三角形．（3）①（Ⅰ）由题意可知圆Q与AB、BC不相切．（Ⅱ）如图1所示：当t=0时，点P与点A重合时，点B与点Q重合．∵∠DAB=90°，∴∠DPQ=90°．∴DP⊥PQ．∴DP为圆Q的切线．（Ⅲ）当⊙Q正好与四边形DPQC的DC边相切时，如图2所示．由题意可知：PB=6﹣t，BQ=2t，PQ=CQ=12﹣2t．在Rt△PQB中，由勾股定理可知：PQ2=PB2+QB2，即（6﹣t）2+（2t）2=（12﹣2t）2．解得：t1=﹣18+12，t2=﹣18﹣12（舍去）．综上所述可知当t=0或t=﹣18+12时，⊙Q与四边形DPQC的一边相切．②（Ⅰ）当t=0时，如图1所示：⊙Q与四边形DPQC有两个公共点；（Ⅱ）如图3所示：当圆Q经过点D时，⊙Q与四边形DPQC有两个公共点．。

宜兴外国语学校2016——2017学年度第一学期初三期中考试试卷（试题卷）出卷：朱赛雀 审核：初三数学备课组 （2016.11）说明：本试卷满分130分，请将本卷所有答案写在答卷上 .一、精心选一选（本大题共10小题，每题3分，共30分，每题的四个选项中，只有一个．．．．符合题意）： 1．下列哪个方程是一元二次方程( ) A ．x+2y=1 B ．x 2﹣2x+3=0C x 2 +x1=3 D ．x 2﹣2xy=0 2．一元二次方程x 2+1=x 的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根 3．⊙O 的半径为R ，圆心到点A 的距离为d ，且R 、d 是方程x 2-6x+8=0的两根，则点A 与⊙O 的位置关系是 ( )A ．点A 在⊙O 内B ．点A 在⊙O 上C ．点A 在⊙O 外D ．点A 不在⊙O 上 4．在平面直角坐标系中，以点（2 , l ）为圆心、1为半径的圆必与（ ） A. x 轴相交轴相交 C. x 轴相切 D. y 轴相切5．为了让宜兴市的山更绿、水更清，2016年市委、市政府提出了确保到2018年实现全市绿化覆盖率达到43%的目标，已知2016年绿化覆盖率为40 %，设从2016年起绿化覆盖率的年平均增长率为x ，则可列方程 ( )A ．43)21(40=+x ％B ．43)21(40=+xC ．43)1(402=+x D ．43)1(402=+x ％6．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A =40°，则∠BOC 的度数为（ ） A ．20 B ．40° C ． 60° D ．80 7．设⊙O 的半径为3，点O 到直线l 的距离为d ，若直线l 与⊙O 至多有一个公共点，则d 应满足的条件是( ) A ．d=3 B ．d ≥3C ．d ≤3D ．d ＞38．如图，,DE BC //且4ADEDBCE S S ∆:=:5, 则:AE EC =（ ）A ．1︰9B ．1︰3C ．1︰8D ．2︰ 19．如图，己知AB ＝8，以AB 为斜边作Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，过点C 作AB 的平行线，再过点A 作AB 的垂线，使两线相交于点D ，设AC ＝x ，DC ＝y ；则(x －y)的最大值是（ ） A ．2 B ． 3 C ．2.5 D ．10．在矩形ABCD 中，已知AB =2，BC =4，现有一根长为2的木棒EF 紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒EF 的中点P 运动路径长为（ ） A ．12 B ．∏+24 C ．∏+4 D ．∏-4（第9题）（第10题）A BDCEF·P（第6题）E D CBA（第8题）二、仔细填一填 (本大题共8小题，每空2分，共计16分)： 11. 若35=y x ，则=-yx y _________． 12．若x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个实数根，则x 1•x 2=13．在一张比例尺为1：50000的地图上，如果一块多边形地的周长是320cm ，那么这块地的实际周长是cm(用科学记数法表示)．14. 若关于x 的一元二次方程()2215320m x x m m -++-+=的常数项为0，则m 的值为________15.如图，在△ABC 中，AB 为⊙O 的直径，∠B ＝60º，∠C ＝70º，则∠BOD= 度16．若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10cm 、深约为2cm 的小坑，则该铅球的直径约为__________cm17．如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与y 轴相切于原点O ，平行于x 轴的直线交⊙M 于P 、Q 两点，点P 在点Q 的右边，若点P 的坐标为(－1，2)，则点Q 的坐标是 ． 18．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，BC=22，点D 是AC 边上一动点，连接BD ，以AD 为直径的圆交BD 于点E ，则线段CE 长度的最小值为 ．三、解答题（本大题共10小题，共计84分．） 19.（本题满分16分）解一元二次方程：①2x 2﹣32=0 ② x 2-25x+1=0 ③x （x ﹣5）=2（x ﹣5） ④（x-1）2-5（x-1）+6=020． (本题6分)△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示： (1)画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；(2)以原点O 为位似中心，在y 轴左侧将△A 1B 1C 1放大为原来的 2倍，得到△A 2B 2C 2，请画出△A 2B 2C 2；(3)设P (x ，y )为△ABC 内任意一点，△A 2B 2C 2内的点P ′是点P 经过上述两次变换后的对应点，请直接写出P ′的坐标．21．（本题满分6分）在等腰△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中a=5，若关于x 的方程x 2+(b +2)x +6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长．（第15题）（第17题）（第18题）22．（本题满分8分）如图，在平行四边形ABCD 中，CE 是∠DCB 的角平分线，且交AB 于点E ，DB 与CE 相交于点O ，（1）求证: △EBC 是等腰三角形 （2）已知：AB =7，BC =5，求DBOB的值。