人大微积分课件3-6函数图形的描绘
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大学课程《微积分》PPT课件：微积分6章4节
2z x 2
x
2
x
z
(2 z) (x
xzx z)2
(2 z)2 x2 (2 z)3
例 3 求由方程
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
所确定的函数 z 的偏导数。
解：由
F x
2x a2
,
F y
2y b2
,
F 2z z c2
得到：
z x
2x a2
2z c2
c2x a2z
,
2、复合函数的中间变量为多元函数的情形 设 z f (u,v), u u(x, y), v v(x, y) 构成复合函数 z f [u(x, y), v(x, y)],
z z u z v , x u x v x
z z u z v , y u y v y
(5.3) (5.4)
3、复合函数的中间变量既有一元也有为多元函数的情形
z f (x, y) 的偏导数
和 z
z .
x
y
例16（讲义例9）设
x2 y2 z2 4z 0,
求 2z x2
.
例17 设 z f (x y z, xyz),
求 z , x , y . x y z
例18 设方程 x y z ez
确定了隐函数
求 z z(x, y),
2z 2z 2z , ,.
x 2 xy y 2
课堂练习 1.设 w f (x xy xyz),
求 w , w , w . x y z
2.设 u sin x F(sin y sin x), 其中F是可微函数, 证明
3.设
x z
y z
,
其中
为可微函数, 求
x z y z x y
微积分讲解ppt课件
多元函数的表示 方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义 域
使多元函数有意义的自 变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合 。
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
齐次方程法
通过变量替换，将齐次方程转化为可分离变 量的形式
一阶线性微分方程法
利用积分因子，将方程转化为可积分的形式
二阶常微分方程解法
可降阶的二阶微分方程
通过变量替换或分组，将方程降为一阶微分方 程求解
二阶线性微分方程法
利用特征根的性质，求解二阶线性常系数齐次 和非齐次微分方程
常系数线性微分方程组法
在经济学中的应用
边际分析
通过求导计算边际成本、边际收益等，为企业的决策 提供依据。
弹性分析
研究价格、需求等经济变量之间的相对变化关系，微 积分可用于计算弹性系数。
最优化问题
在资源有限的情况下，通过微积分求解最大化或最小 化某一经济指标的问题。
在工程学中的应用
结构力学
分析建筑、桥梁等结构的受力情况和稳定性，微积分可用 于求解复杂的力学方程。
通过消元法或特征根法，求解常系数线性微分方程组
05
多元函数微积分
多元函数的基本概念
多元函数的定义
设D为一个非空的n元有 序数组的集合，f为某一 确定的对应规则。若对 于每一个有序数组 (x1,x2,…,xn)∈D，通过 对应规则f，都有唯一确 定的实数y与之对应， 则称对应规则f为定义在 D上的n元函数。
3-6 函数图形的描绘(高等数学)
§3.6 函数图形的描绘教学内容：一．曲线的渐近线1.定义：如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线．2．水平渐近线如果曲线()y f x =的定义域是无限区间，且有lim ()x f x b →-∞=或lim ()x f x b →+∞=，则直线y b =为曲线()y f x =的渐近线，称为水平渐近线．3．铅直渐近线设曲线()y f x =在点x a =的一个去心邻域(或左邻域，或右邻域)中有定义，如果lim ()x a f x -→=∞或lim ()x a f x +→=∞，则直线x a =称为曲线()y f x =的铅直渐近线．4．斜渐近线如果lim[()()]0x f x kx b →∞-+=，则称直线y kx b =+是曲线()y f x =的斜渐近线，其中()lim x f x k x→∞=，lim[()]x f x kx b →∞-=.二．函数作图利用导数描绘函数图形的一般步骤如下：1．求出函数()y f x =的定义域，确定图形的范围；2．讨论函数的奇偶性和周期性，确定图形的对称性和周期性；3．计算函数的一阶导数()f x '和二阶导数()f x ''；4．求函数的间断点、驻点、不可导点和拐点，将这些点由小到大，从左到右插入定义域内，得到若干个子区间；5．列表讨论函数在各个子区间内的单调性、凹凸性、极值点和拐点；6．确定函数图形的水平、铅直渐近线，确定图形的变化趋势；7．求曲线上的一些特殊点，如与坐标轴的交点等，有时还要求出一些辅助点的函数值，然后根据(5)中的表格描点绘图．三．例题讲解例1．判定曲线arctan y x x =⋅的凹凸性．例2．讨论曲线43425y x x x =-+-的凹凸区间和拐点．例3．求曲线y =例4．问曲线4y x =是否有拐点？例5．求反正切曲线arctan y x =的水平渐近线．。
人大版微积分第四章函数图形的描绘
微积分
二、图形描绘的步骤
利用函数特性描绘函数图形.
确定函数 y f ( x ) 的定义域,对函数进行奇 偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论 , ' " 求出函数的一阶导数 f ( x ) 和二阶导数 f ( x ) ;
第一步
' " f ( x ) 0 f 求出方程 和 ( x ) 0 在函数定义 域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数 不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.
2( x 2)( x 3) lim[ 2 x] x x( x 1)
2( x 2)( x 3) 2 x ( x 1) 4, lim x x 1
y 2 x 4 是曲线的一条斜渐近线 .
微积分
2( x 2)( x 3) f ( x) 的两条渐近线如图 x 1
4( x 2) 8( x 3) f ( x ) , f ( x ) . 3 4 x x 令 f ( x ) 0, 得驻点 x 2,
令 f ( x ) 0,
得特殊点 x 3.
4( x 1) lim f ( x ) lim[ 2] 2, 得水平渐近线 y 2; 2 x x x0来自不存在( 0, )
0
拐点
0
间 断 点
26 ( 3, ) 9
极值点
3
微积分
补充点 : (1 3,0), (1 3,0);
A ( 1,2), B (1,6), y C ( 2,1).
作图
6 B
1
C
1 2
3 2 1
o
x
微积分讲解ppt课件
3.2.1 原函数和不定积分的概念
一、案例 二、概念和公式的引出
一、案例[路程函数]
已知物体的运动方程为 s(t) t2 ，则其速度为 v(t) s(t) (t 2 ) 2t
这里速度2t是路程t2的导数，反过来，路程t2又称为速 度2t的什么函数呢？若已知物体运动的速度v(t)，又如 何求物体的运动方程s(t)呢？
f xdx f x C 或 df x f x C
3.2.2 基本积分表
一、案例 二、概念和公式的引出
一、案例[幂函数的不定积分]
因为
x 1
1
x
x 1
1 是 x 的一个原函数
于是
x dx x 1 C
32微积分基本公式321原函数和不定积分的概念322基本积分表323微积分基本公式321原函数和不定积分的概念一案例二概念和公式的引出一案例路程函数已知物体的运动方程为又称为速度2t的什么函数呢
3.2 微积分基本公式
3.2.1 原函数和不定积分的概念 3.2.2 基本积分表 3.2.3 微积分基本公式
1
1
类似地, 由基本初等函数的求导公式，可以写出与之对应的不定积分公式．
二、概念和公式的引出
1.基本积分表
(1)
kdx kx C ( k 为常数）
(2) x dx x 1 C
1
1
(3)
1 x
dx
ln
x
C
(4) a xdx a x C
即两个函数和(差)的定积分等于它们定积分的和(差)． 性质１可推广到有限个函数的情形．
(2) 性质2 kf xdx k f xdx k为常数
大学微积分课件
分离变量法
当原方程可以化为dy/dx = f(x)g(y)的形式时，可以采用分离变量法 求解。
22
06
微积分在实际问题中应用 举例
2024/1/26
23
在几何问题中应用
2024/1/26
计算平面图形的面积
通过定积分可以计算由曲线和直线所围成的平面图形的面积。
计算空间图形的体积
利用二重积分或三重积分可以计算由曲面和平面所围成的空间图形 的体积。
行计算。
12
定积分概念及性质
定积分的定义
定积分是函数在某个区间上的积分，表示函数图像与x轴围成的面 积。
定积分的性质
包括可加性、保号性、估值定理等，这些性质在解决定积分问题时 非常有用。
微积分基本定理
建立了不定积分与定积分之间的联系，使得定积分的计算变得相对简 单。
2024/1/26
13
定积分应用举例
引入导数的概念，包括导数的定义、几何意义及物理意义，探讨导数的性质，如可导与连续的关系、导数的四则运算 法则等。
微分概念与性质
阐述微分的概念，包括微分的定义、几何意义及物理意义，探讨微分的性质，如微分与导数的关系、微分的运算法则 等。
微分中值定理及其应用
介绍微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，并探讨它们在证明不等式、求 极限等方面的应用。
全微分定义
如果函数z=f(x, y)在点(x, y)处的 全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y) 可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ) ，其中A、B不依赖于Δx, Δy而仅 与x, y有关， ρ=(Δx^2+Δy^2)^0.5，此时称 函数z=f(x, y)在点(x, y)处可微，
当原方程可以化为dy/dx = f(x)g(y)的形式时，可以采用分离变量法 求解。
22
06
微积分在实际问题中应用 举例
2024/1/26
23
在几何问题中应用
2024/1/26
计算平面图形的面积
通过定积分可以计算由曲线和直线所围成的平面图形的面积。
计算空间图形的体积
利用二重积分或三重积分可以计算由曲面和平面所围成的空间图形 的体积。
行计算。
12
定积分概念及性质
定积分的定义
定积分是函数在某个区间上的积分，表示函数图像与x轴围成的面 积。
定积分的性质
包括可加性、保号性、估值定理等，这些性质在解决定积分问题时 非常有用。
微积分基本定理
建立了不定积分与定积分之间的联系，使得定积分的计算变得相对简 单。
2024/1/26
13
定积分应用举例
引入导数的概念，包括导数的定义、几何意义及物理意义，探讨导数的性质，如可导与连续的关系、导数的四则运算 法则等。
微分概念与性质
阐述微分的概念，包括微分的定义、几何意义及物理意义，探讨微分的性质，如微分与导数的关系、微分的运算法则 等。
微分中值定理及其应用
介绍微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，并探讨它们在证明不等式、求 极限等方面的应用。
全微分定义
如果函数z=f(x, y)在点(x, y)处的 全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y) 可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ) ，其中A、B不依赖于Δx, Δy而仅 与x, y有关， ρ=(Δx^2+Δy^2)^0.5，此时称 函数z=f(x, y)在点(x, y)处可微，
高等数学 上、下册3_6 函数图形的描绘
2πe
2πe
（4）因为lim
1
x2
e2
0，所以y 0为曲线的渐近线.
x 2π
（5）将在区间[0,)上的讨论列表如下：
x
0
(0,1)
1
(1,+)
y
0
y
0
y
1 极大
1 拐点
2π
2πe
（6）在[0, ) 上作图，并利用对称性得函数在 (, )上的图形.这条曲线称为概率曲线（图 3-11）.
3
3
33
在 ( , 1 ) 内 ， y 0 ， 曲 线 为 凸 的 ， 在 ( 1 , ) 内 ， y 0 ，
3
3
曲 线 为 凹 的 .当 x 1 时 ， y 16 .故 (1 , 16 ) 为 拐 点 .
3
27 3 27
（ 4） limf(x).曲 线 没 有 渐 近 线 . x
33
3
y 0 曲 线 上 升 .在 ( 1 ,1) 内 ， y 0 曲 线 下 降 .当 x 1 时 ， y
3
3
取极大值，当x 1时，y 取极小值.
(3) y 6 x 2 ，当 x 1 时 ，y 0.x 1 将 ( , 1 ), ( 1 , ) .
（ 5） yx3x2x1(x1)2(x1).当 x1时 ， y0.当 x0时 ， y1.曲 线 与 x轴 交 于 点 (1,0)及 (1,0)， 与 y轴 交 于 点 (0,1).极 大 值 yx10.
（6）将以下结果列表如下：
x (, 1) 1 ( 1 , 1) 1 (1 ,1) 1 (1,+) 3 3 33 3 3
《多元函数微分学》PPT课件
0 V .
14
定义1 设D是xOy平面上的点集, 若变量z与D
多 元
函
中的变量x, y之间有一个依赖关系, 使得在D内
数 的
基
每取定一个点P(x, y)时,按着这个关系有确定的
本 概
z值与之对应, 则称z是x, y的二元(点)函数.记为 念
z f ( x, y) (或z f (P) )
称x, y为自变量,称z为因变量,点集D称为该函数
P0 称为 E 的内点：如果存在一个正数 使得U (P0 ) E P0 称为 E 的外点：如果存在一个正数 使得
U (P0 ) E
P0 称为 E 的边界点：如果对任意一个正数 使得
U (P0 ) 中即有E中点又有非E中点
P0 即不是E的内点也不是E的外点
闭区域： G G G
12
（3）Rn 中的集合到 Rm的映射
的 基 本
和方法上都会出现一些实质性的差别, 而多元
概 念
函数之间差异不大. 因此研究多元函数时, 将以
二元函数为主.
24
3、多元函数的极限
多
讨论二元函数 z f ( x, y),当x x0 , y y0 ,
元 函
即P( x, y) P0 ( x0 , y0 )时的极限.
数 的 基
怎样描述呢? 回忆: 一元函数的极限
多 元 函 数
的
基
解 定义域是 ( x 1)2 y2 1且x2 y2 1
本 概
念
y
•
O
1
x
有界半开半闭区域
18
3 求 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2的) 定义域． x y2
解
3 x2 y2 1
《微积分人大3版》PPT课件
பைடு நூலகம்
显 然 有 ls i n s m 及 ls i 2 n s m 。 于 是 li ( s 2 n m s n ) 0 。
n n
n
但另一方面，
1 1 1 1 s 2 n s n n 1 n 2 n 3 2 n
1 1 1 1 1 ， 2 n 2 n 2 n 2 n 2
n 1n 1
定理7.3 在一个级数的前面加上(去掉)有限项，级数的敛 散性不变。
定理7.4 若一个级数收敛，则对这个级数的项任意 加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。
推论：若加括号后所成的级数发散，则原来级数也 发散。
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结束
铃
二、级数收敛的必要条件
定 理 7 . 5 如 果 级 数 u n 收 敛 ， 则 l u n i 0 。 m
定 理 7 . 2 若 级 数 u n 收 敛 ， 且 其 和 为 s ， 则 级 数
n 1
k n 也 收 敛 ， 且 其 和 为 u k s 。
n 1 这 是 因 为 ， 设 u n 与 k n 的 部 分 u 和 分 别 为 s n 与 n ， n 1n 1
则 ln i l m ( k i u 1 k u m 2 k u n ) n n
n 1
n 0
证 ： 设 级 数 u n 的 部 分 和 为 s n ， 且 ls i n s ， 则 m
n 1
n
lu i n m l( i s n s m n 1 ) ls i n l m i s n 1 m s s 0 。
n 0 n n n
应注意的问题：级数的一般项趋于零并不是级数收
n 1n 1
显 然 有 ls i n s m 及 ls i 2 n s m 。 于 是 li ( s 2 n m s n ) 0 。
n n
n
但另一方面，
1 1 1 1 s 2 n s n n 1 n 2 n 3 2 n
1 1 1 1 1 ， 2 n 2 n 2 n 2 n 2
n 1n 1
定理7.3 在一个级数的前面加上(去掉)有限项，级数的敛 散性不变。
定理7.4 若一个级数收敛，则对这个级数的项任意 加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。
推论：若加括号后所成的级数发散，则原来级数也 发散。
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二、级数收敛的必要条件
定 理 7 . 5 如 果 级 数 u n 收 敛 ， 则 l u n i 0 。 m
定 理 7 . 2 若 级 数 u n 收 敛 ， 且 其 和 为 s ， 则 级 数
n 1
k n 也 收 敛 ， 且 其 和 为 u k s 。
n 1 这 是 因 为 ， 设 u n 与 k n 的 部 分 u 和 分 别 为 s n 与 n ， n 1n 1
则 ln i l m ( k i u 1 k u m 2 k u n ) n n
n 1
n 0
证 ： 设 级 数 u n 的 部 分 和 为 s n ， 且 ls i n s ， 则 m
n 1
n
lu i n m l( i s n s m n 1 ) ls i n l m i s n 1 m s s 0 。
n 0 n n n
应注意的问题：级数的一般项趋于零并不是级数收
n 1n 1
大学课程《微积分》PPT课件：微积分3章6节
由
R P Q P f (P),
R
f
(P) Pf (P)
f (P)1
f (P)
f
P (P)
f (P)(1),
知：
(1) 若 | |1 , 需求变动的幅度小于价格变动的幅度. R 0,
R递增. 即价格上涨, 总收益增加; 价格下跌, 总收益减少.
(2) 若 | |1, 需求变动的幅度大于价格变动的幅度.R 0 , R递减. 即价格上涨, 总收益减少; 价格下跌, 总收益增加.
于是总利润为：L R C0 (Q)
a ( b t)Q ( c)Q2
对其求导得，L b t 2( c)Q，
令L
0得驻点：Q0
bt， 2( c)
又L 2( c) 0
可见，驻点为最大值点。因此，企业为使税后利润最大，所生产的商品量为
bt Q0 2( c)
。于是所得总税收为：
边际成本函数为： C( x) x
50
所以在产量为100个水平上的边际成本
C(100) 100 2（元/个） 50
上述计算结果说明：生产前100个产品时，均摊在每个产品上的成本为10元，
在此水平上生产第101个产品，所需要增添的成本大约为2元
例 2 设某企业的产品的成本函数与收益函数分别为：
C(x) 1000 400x 1 x2 （元） 2
例8（讲义例8）一玩具经售商以下列成本及收益函数销售某种产品: C(x) 2.4x 0.0002x2, 0 x 6000 R(x) 7.2x 0.001x2, 0 x 6000
试问何时利润随产量增加(即增加产量可使利润增加)?
例9 某企业的成本函数为
，其中 C 0.5x 5000
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f ( x ) 2 ( 3 x 1 ).
f ( x ) ( 3 x 1 )( x 1 ),
令 f ( x ) 0 , 令 f ( x ) 0 ,
得驻点 x 得特殊点
1 3
, 1 3
x 1. .
x
补充点 :
A ( 1 , 0 ),
B ( 0 ,1 ),
1 2
x
2
e
2
的图形 .
解
D : ( , ), 偶函数, 图形关于y轴对称.
( x ) x 2
x
2
e
2
, ( x )
x 0,
( x 1 )( x 1 ) 2
x
2
e
2
.
令 ( x ) 0 ,
得驻点
令 ( x ) 0 , 得特殊点
( x 1)
的渐近线 .
D : ( ,1 ) ( 1 , ).
lim f ( x )
x1
x 1 是曲线的铅直渐近线
x
3 2
.
又 lim
f (x) x
x
lim
x
x ( x 1)
lim
3 2
x
2 2
x
( x 1)
1
再由 lim [ f ( x ) kx ] lim [
x
.
lim
( x 1)
3 2
x
x ( x 1)
1 k
lim [ f ( x ) kx ] lim
x
( x 1) x ( x 1)
3
2
x
( x 1)
2
5 b
得斜渐近线
y x 5.
列表得到函数增减区间和凹凸区间及拐点和极值点:（如下）
x 1, x 1 .
x
2
lim ( x ) lim
x
1 2
x
e
2
0,
得水平渐近线
y 0.
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:
x
( x ) ( x )
( x)
( , 1 ) 1
( 1 ,0 )
0 0
( 0 ,1 )
第六节 函数图形的描绘
一 曲线的渐近线
二 图形描绘的步骤
一、曲线的渐近线
Y
y b a x y b a x
2 2 2 2
x a
y b
1
0
X
双曲线
y b a
x a
x
2 2
y b
2 2
1 向无限远处延伸时，与直线
无限逼近.
1. 铅直渐近线
如果
x x0
lim f ( x ) 或 lim f ( x )
（1） 确 定 函 数 y f ( x ) 的 定 义 域 ,对 函 数 进 行 奇
偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论, 求出函数的一阶导数 f (x)和二阶导数 f (x);
' "
（2） 求
出 方 程
f ( x ) 0 和
'
f
"
( x ) 0
在 函 数 定 义
域 内 的 全 部 实 根 ，用 这 些 根 同 函 数 的 间 断 点 或 导 数 不 存 在 的 点 把 函 数 的 定 义 域 划 分 成 几 个 部 分 区 间 .
f (x)
32 27
y
B (0,1)
3 5 C( , ) 2 8
A (1,0)
1
1 3
o
1 3
1
x
（3） 确 定 在 这 些 部 分 区 间 内 f ( x ) 和 f ( x ) 的 符
号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹 凸与拐点（可列表进行讨论） ；
'
"
确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐 近线以及其他变化趋势;
（5）
描 出 与 方 程 f (x) 0 和 f (x) 0 的 根 对
1
( 1 , )
0
拐点
( 1, 1 2e )
0
拐点
(1, 1 2e )
极大值
1 2
y
1 2
1
o
1
x
( x )
1 2
x
2
e
2
概率曲线
例4 解
作函数
f ( x ) x x x 1 的图形 .
3 2
D : ( , ),
无奇偶性及周期性.
' "
（4）
应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综 合前四步讨论的结果画出函数的图形.
例2 解
作函数
f (x)
( x 1) ( x 1)
3 2
的图形 .
D : x 1 , 非奇非偶函数,且无对称性.
f ( x ) ( x 1) ( x 5 )
2
( x 1)
3 5 C ( , ). 2 8
列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点:
x
f ( x ) f ( x )
( ,
1 3
)
1 3
(
1 1 , ) 3 3
1 3
1 ( ,1 ) 3
1
( 1 , )
0
拐点
1 16 ( , ) 3 27
0
极小值
0
极大值
x
f ( x ) f ( x )
f (x)
( , 5 )
5
( 5 , 1)
1
不存在
( 1 ,1 )
1
0
(1 , )
0
极大值 -13.5
不存在
0
间 断 点
拐点
(1,0)
补充点 :
A 0 ,1
y
作图
5
1
o
A
5
1
x
例3 作函数 ( x )
x
x
lim
x x ( x 1)
3
x 2
( x 1)
x]
x
( x 1)
2
2 b
.
y x 2 是曲线的一条斜渐近线
60
40
20
-20
-10 -20
10
20
f (x)
x
3 2
( x 1)
的图形 .
二、图形描绘的步骤
利用函数特性描绘函数图形，一般遵循下列步骤.
3
,
f ( x )
24 ( x 1 ) ( x 1)
4.Βιβλιοθήκη 令 f ( x ) 0 , 令 f ( x ) 0 ,
x 1
得驻点 x 1 , x 5
得点 x 1 .
lim f ( x ) , 所以 x 1为铅直渐近线
无水平渐近线
又 lim f (x) x
x
那么 y kx b 就是 y f ( x ) 的一条斜渐近线
( 其中 x 可以是 x , 或 x )
斜渐近线求法:
lim f (x) x
x
k,
lim [ f ( x ) kx ] b .
x
例1
解
求 f (x)
x
3 2
x
( b 为常数 ) .
那么 y b 就是 y f ( x ) 的一条水平渐近线
也就是平行于
x 轴的渐近线 .
x
2
例如
y e
,
有水平渐近线: y 0 .
3.斜渐近线
如果 lim [ f ( x ) ( kx b )] 0 ( k 0 , b 为常数 ) .
x x0
那么 则称 x x 0 是 y f ( x ) 的一条铅直渐近线
,
也就是垂直于
例如
y 1 x2 ,
x 轴的渐近线 .
40
20
-3
-2
-1 -20
1
有铅直渐近线:
x 2
-40
2 .水平渐近线
如果
x
lim f ( x ) b 或 lim f ( x ) b
f ( x ) ( 3 x 1 )( x 1 ),
令 f ( x ) 0 , 令 f ( x ) 0 ,
得驻点 x 得特殊点
1 3
, 1 3
x 1. .
x
补充点 :
A ( 1 , 0 ),
B ( 0 ,1 ),
1 2
x
2
e
2
的图形 .
解
D : ( , ), 偶函数, 图形关于y轴对称.
( x ) x 2
x
2
e
2
, ( x )
x 0,
( x 1 )( x 1 ) 2
x
2
e
2
.
令 ( x ) 0 ,
得驻点
令 ( x ) 0 , 得特殊点
( x 1)
的渐近线 .
D : ( ,1 ) ( 1 , ).
lim f ( x )
x1
x 1 是曲线的铅直渐近线
x
3 2
.
又 lim
f (x) x
x
lim
x
x ( x 1)
lim
3 2
x
2 2
x
( x 1)
1
再由 lim [ f ( x ) kx ] lim [
x
.
lim
( x 1)
3 2
x
x ( x 1)
1 k
lim [ f ( x ) kx ] lim
x
( x 1) x ( x 1)
3
2
x
( x 1)
2
5 b
得斜渐近线
y x 5.
列表得到函数增减区间和凹凸区间及拐点和极值点:（如下）
x 1, x 1 .
x
2
lim ( x ) lim
x
1 2
x
e
2
0,
得水平渐近线
y 0.
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:
x
( x ) ( x )
( x)
( , 1 ) 1
( 1 ,0 )
0 0
( 0 ,1 )
第六节 函数图形的描绘
一 曲线的渐近线
二 图形描绘的步骤
一、曲线的渐近线
Y
y b a x y b a x
2 2 2 2
x a
y b
1
0
X
双曲线
y b a
x a
x
2 2
y b
2 2
1 向无限远处延伸时，与直线
无限逼近.
1. 铅直渐近线
如果
x x0
lim f ( x ) 或 lim f ( x )
（1） 确 定 函 数 y f ( x ) 的 定 义 域 ,对 函 数 进 行 奇
偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论, 求出函数的一阶导数 f (x)和二阶导数 f (x);
' "
（2） 求
出 方 程
f ( x ) 0 和
'
f
"
( x ) 0
在 函 数 定 义
域 内 的 全 部 实 根 ，用 这 些 根 同 函 数 的 间 断 点 或 导 数 不 存 在 的 点 把 函 数 的 定 义 域 划 分 成 几 个 部 分 区 间 .
f (x)
32 27
y
B (0,1)
3 5 C( , ) 2 8
A (1,0)
1
1 3
o
1 3
1
x
（3） 确 定 在 这 些 部 分 区 间 内 f ( x ) 和 f ( x ) 的 符
号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹 凸与拐点（可列表进行讨论） ；
'
"
确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐 近线以及其他变化趋势;
（5）
描 出 与 方 程 f (x) 0 和 f (x) 0 的 根 对
1
( 1 , )
0
拐点
( 1, 1 2e )
0
拐点
(1, 1 2e )
极大值
1 2
y
1 2
1
o
1
x
( x )
1 2
x
2
e
2
概率曲线
例4 解
作函数
f ( x ) x x x 1 的图形 .
3 2
D : ( , ),
无奇偶性及周期性.
' "
（4）
应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综 合前四步讨论的结果画出函数的图形.
例2 解
作函数
f (x)
( x 1) ( x 1)
3 2
的图形 .
D : x 1 , 非奇非偶函数,且无对称性.
f ( x ) ( x 1) ( x 5 )
2
( x 1)
3 5 C ( , ). 2 8
列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点:
x
f ( x ) f ( x )
( ,
1 3
)
1 3
(
1 1 , ) 3 3
1 3
1 ( ,1 ) 3
1
( 1 , )
0
拐点
1 16 ( , ) 3 27
0
极小值
0
极大值
x
f ( x ) f ( x )
f (x)
( , 5 )
5
( 5 , 1)
1
不存在
( 1 ,1 )
1
0
(1 , )
0
极大值 -13.5
不存在
0
间 断 点
拐点
(1,0)
补充点 :
A 0 ,1
y
作图
5
1
o
A
5
1
x
例3 作函数 ( x )
x
x
lim
x x ( x 1)
3
x 2
( x 1)
x]
x
( x 1)
2
2 b
.
y x 2 是曲线的一条斜渐近线
60
40
20
-20
-10 -20
10
20
f (x)
x
3 2
( x 1)
的图形 .
二、图形描绘的步骤
利用函数特性描绘函数图形，一般遵循下列步骤.
3
,
f ( x )
24 ( x 1 ) ( x 1)
4.Βιβλιοθήκη 令 f ( x ) 0 , 令 f ( x ) 0 ,
x 1
得驻点 x 1 , x 5
得点 x 1 .
lim f ( x ) , 所以 x 1为铅直渐近线
无水平渐近线
又 lim f (x) x
x
那么 y kx b 就是 y f ( x ) 的一条斜渐近线
( 其中 x 可以是 x , 或 x )
斜渐近线求法:
lim f (x) x
x
k,
lim [ f ( x ) kx ] b .
x
例1
解
求 f (x)
x
3 2
x
( b 为常数 ) .
那么 y b 就是 y f ( x ) 的一条水平渐近线
也就是平行于
x 轴的渐近线 .
x
2
例如
y e
,
有水平渐近线: y 0 .
3.斜渐近线
如果 lim [ f ( x ) ( kx b )] 0 ( k 0 , b 为常数 ) .
x x0
那么 则称 x x 0 是 y f ( x ) 的一条铅直渐近线
,
也就是垂直于
例如
y 1 x2 ,
x 轴的渐近线 .
40
20
-3
-2
-1 -20
1
有铅直渐近线:
x 2
-40
2 .水平渐近线
如果
x
lim f ( x ) b 或 lim f ( x ) b