GCT线性代数辅导讲义

GCT 线性代数辅导 第一讲 行列式一. 行列式的定义● 一阶行列式定义为1111a a = ● 二阶行列式定义为2112221122211211a a a a a a a a -=● 在n 阶行列式中，划去元素ij a 所在的第i 行第j 列，剩余元素构成1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记作ij M ． ● 令ij ji ij M A +-=)1(，称ij A 为ij a 的代数余子式．●n 阶行列式定义为n n nnn n nnA a A a A a a a a a a a a a a 1112121111212222111211+++=．二. 行列式的性质1.行列式中行列互换，其值不变．=333231232221131211a a a a a a a a a 332313322212312111a a a a a a a a a 2.行列式中两行对换，其值变号．=333231232221131211a a a a a a a a a –333231131211232221a a a a a a a a a 3.行列式中如果某行元素有公因子，可以将公因子提到行列式外．=333231232221131211a a a ka ka ka a a a 333231232221131211a a a a a a a a a k 4.行列式中如果有一行每个元素都由两个数之和组成，行列式可以拆成两个行列式的和．=+++333231232322222121131211a a a b a b a b a a a a +333231232221131211a a a a a a a a a 333231232221131211a a a b b b a a a 由以上四条性质，还能推出下面几条性质5.行列式中如果有两行元素对应相等，则行列式的值为０．6.行列式中如果有两行元素对应成比例，则行列式的值为０．7.行列式中如果有一行元素全为０，则行列式的值为０．8.行列式中某行元素的k 倍加到另一行，其值不变．=333231232221131211a a a a a a a a a 133312321131232221131211ka a ka a ka a a a a a a a +++三.n 阶行列式展开性质nnn n nna a a a a a a a a D 212222111211=等于它的任意一行的各元素与其对应代数余子式的乘积的和，即in in i i i i A a A a A a D +++= 2211 n i ,,2,1 =● 按列展开定理nj nj j j j j A a A a A a D +++= 2211 n j ,,2,1 =●n 阶行列式D 的某一行的各元素与另一行对应元素的代数余子式的乘积的和等于零．即02211=+++jn in j i j i A a A a A a j i ≠● 按列展开的性质02211=+++nj ni j i j i A a A a A a j i ≠四.特殊行列式●nn nna a a a a a22112211=;()11212)1(11211n n n n n n n na a a a a a ----=● 上（下）三角行列式和上面的对角行列式的结果相同.五.计算行列式● 消零降阶法.● 消为特殊行列式（上（下）三角行列式或和对角行列式）..典型习题1. =3D xx x 121332=（ ）。

178第二章 矩阵矩阵本质上就是一个数表，它是线性代数中一个非常重要而且应用十分广泛的概念，贯穿了线性代数的始终，复习时要高度重视，概念要清晰，符号要习惯，运算要准确、迅速、简捷。

1. 理解矩阵的概念，熟练几种特殊的矩阵；2. 了解单位矩阵, 对角矩阵, 三角矩阵, 对称矩阵以及它们的基本性质；3. 掌握矩阵的线性运算, 乘法, 转置及其运算规则；4. 理解逆矩阵的概念; 掌握可逆矩阵的性质; 会用伴随矩阵求矩阵的逆；5. 了解分块矩阵的概念, 了解分块矩阵的运算法则。

一、 考试内容 2.1 矩阵的定义由n m ⨯个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==排成如下m 行n 列的形式⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n mna a a a a a a a a A (2)12222111211称为一个n m ⨯矩阵，当n m =时，矩阵A 称为n 阶矩阵或者叫n 阶方阵。

只有一行的矩阵)(21n a a a A =称为行矩阵，又称为行向量；反之，只有一列的矩阵称为列矩阵，又称为列向量。

两个矩阵的行数和列数都相等时，就称它们为同型矩阵。

如果是同型矩阵，而且对应元素都相等，则称两矩阵为相等矩阵。

元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O 。

注意不同型的零矩阵是不同的。

2.2 矩阵的加法设有两个n m ⨯阶矩阵)(ij a A =和)(ij b B =，那么矩阵A 与B 的和记作B A +，规定为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=+mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a ba b a b a b a B A (2)21122222221211112121111 运算法则：（1）A B B A +=+ （2）)()(C B A C B A ++=++ （3）A O A =+ （4）)(B A B A -+=- 注意：只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运算。

第一部分 算术⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧模拟练习典型例题内容综述基本内容样题考试要求算术[考试要求]数的概念和性质，数的四则运算及其应用。

[样题]1．设直线方程 0,≠+=ab b ax y ，且x 的截距是y 的截距的)2(-倍，则a 与21谁大？(C)(A) a (B) 21 (C) 一样大 (D) 无法确定2．方程 01212112=--++-x x x 的根的个数为(A) (A)0 (B)1 (C)2 (D)33．某人左右两手分别握了若干颗石子，左手中石子数乘3加上右手中石子数乘4之和为29，则左手中石子数为奇数，还是偶数？(A)(A)奇数 (B)偶数 (C)无法确定 (D)无石子4．小明今年一家四口人，全家年龄之和为69岁，父亲比母亲大一岁，姐姐比小明大两岁，四年前全家年龄之和为54岁，则父亲今年多少岁？(D)(A)28 (B)29 (C)30 (D)315．一顾客去甲商店买价格为48元的鞋子，给了甲店主一张50元钞票，因甲没有零钱，所以到乙商店换钱，然后将鞋子和2元钱一起给了该顾客，顾客走后，乙店主发现那张50元钞票为假币，索要甲店主一张50元真币。

问甲店主赔了多少钱？(A)(A)50元 (B)48元 (C)100元 (D)98元6．从生产的一批灯泡中任意抽取5个，测的寿命（小时）分别为95,100,107,110,113，若用它们来估计这批灯泡的平均寿命应为(C)(A)103 (B)104 (C)105 (D)1067．设m b a ,,均为大于零的实数，且 a b >，则mb m a ++与b a 谁大？(A) (A)前者 (B)后者 (C)一样大 (D)无法确定8．张某以51.10元/股的价格买进股票20手，又以8.9元/股买进30手，又以47.11元/股买进50手，他要不赔钱，至少要卖到什么价钱（元/股）？（1手=100股）(D)(A)02.11 (B)32.10 (C)98.9 (D)78.109．相同表面积的立方体和球，谁的体积大？(A)前者 (B)后者 (C)一样大 (D)无法确定10．兔狗赛跑，规定各跑完50尺后，再跑回原地。

GCT 辅导,数学基础复习资料第一部分 代数 [内容综述]一、数和代数式 1．实数的运算（1）乘方与开方（乘积与分式的方根，根式的乘方与化简）xy y x x x x y x y xyx yxa ab a ab a aa aa a ====-+)(,)(,, （2a a ab a b a a a a a a ≤≤-+≤+⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=,,0,0,00,2．复数的运算及其几何意义 （虚数单位、实部、虚部、共轭复数、模、幅角），bi a z += (共轭复数 bi a z -=)22b a +=，ab =αtani b b a a z z i b a z i b a z )()(,,212121222111+++=++=+=；bi a z +=，bi a z λλλ+=；()1111sin cos ααi z z +=，()2222sin cos ααi z z += ())sin()cos(21212121αααα+++=i z z z z ；())sin()cos(21212121αααα-+-=i z z z z 10=-z z3．几个常用公式（和与差的平方、和与差的立方、平方差、立方和、立方差等）2222)(b ab a b a +±=±；3223333)(b ab b a a b a +++=+；3223333)(b ab b a a b a -+-=-； ))((22b a b a b a -+=-； ))((2233b ab a b a b a +-+=+；))((2233b ab a b a b a ++-=-．12-=i4. 幂函数、指数函数、对数函数（含义、性质、常用公式）x y x y x y a y x y a x a ln ,lg ,log ,,=====ax x x y x y x y xy x xy b b a y log log log ,ln ln ,ln ln ln,ln ln ln ==-=+= 二、代数方程：1．二元一次方程组解的存在性 2．一元二次方程（1）求根公式（判别式）；（2）根与系数的关系02=++c bx ax ，ac b 42-=∆；acx x a b x x a ac b b x =-=+-±-=±21212,,24 三、不等式1．不等式的基本性质及基本不等式（算术平均数与几何平均数、绝对值不等式） 性质：;0,;0,kb ka k b a kb ka k b a <⇒<>>⇒>>c bd a d b c a d c b a ->-+>+⇒>>,,基本不等式：ab b a ≥+)(21(a 和b 均大于0)，b a b a +≤+四、数列1．数列的概念（数列、通项、前n 项的和、各项的和、数列与数集的区别）,,,,21n a a a ，∑==+++=nk k n n a a a a S 1212．等差数列（1）概念（定义、通项、前n 项的和）；（2）简单性质：中项公式、平均值)(21,2,)1(21,)1(,},{121111n n n kn k n n n n n n a a n a a a a a a d n n na S d n a a d a a a +=+++=+-+=-+==-+-+3．等比数列（1）概念（定义、通项、前n 项的和）；（2）简单性质：中项公式21111,11,,,0},{n k n k n n n n n n n n n a a a qq a S q a a q a a a a =--===≠+--+六、排列、组合、二项式定理1．分类求和原理与分步求积原理 2．排列与排列数（1）定义；（2）公式)1()2)(1(+---=m n n n n P m n 注 阶乘（全排列）!m P mm =3．组合与组合数（1）定义；（2）公式；m mmn mnmm m n mnP P C P C P ==,（3）基本性质：n nk k n m nm n m n m n n m n C C C C C C 2,,011=+==∑=-+-4．二项式定理：∑=-=+nk kn k k nnb a C b a 0)( 七、古典概率问题1．基本概念：必然事件、不可能事件、和事件、积事件、互不相容事件、对立事件 2．概率的概念与性质（1）定义（非负性、规范性、可加性）； （2）性质：1)(0≤≤A P ，0)(=ΦP ，)()()()(B A P B P A P B A P -+= 3．几种特殊事件发生的概率 （1）等可能事件（古典概型）nmA P =)( （2）互不相容事件 )()()(B P A P B A P += ；对立事件 1)()(=+B P A P （3）相互独立事件 )()()(B P A P B A P = （4）独立重复试验如果在一次试验中某事件发生的概率为p ，那么在n 此独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为 kn kkn n p p C k P --=)1()(．第二部分 几何（与三角） [内容综述]一、平面几何图形 1．三角形（1）三角形的各元素（边、角、高、中线、周长、面积）c b a p c p b p a p p C ab ah s ++=---===2,))()((sin 2121（2）几种特殊三角形（直角、等腰、等边）222b ac += 2．四边形（1）矩形（正方形）；（2）平行四边形（菱形）；（3）梯形h b a s )(21+=3．圆圆(周长、面积)22R s Rl ππ==二、三角函数1．定义（符号，特殊角的三角函数值）ααααααααααααsin 1csc ,cos 1sec ,sin cos cot ,cos sin tan ,cos ,sin ======x y2．三角函数的图像和性质（微积分）3．常用的三角函数恒等式同角恒等式：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+αααααα222222csc cot 1sec tan 11cos sin两角和公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-==-=++=+1cos 2sin 21sin cos 2cos cos sin 22sin sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(2222βββββββββαβαβαβαβαβα诱导公式：ββπββπββπsin )sin(,sin )2cos(,cos )2sin(-=+-=+=+注：解斜三角形（正弦定理、余弦定理）． 4.反三角函数),0(,cot arc );2,2(,arctan ],0[,arccos ];2,2[,arcsin ππππππx y x y x y x y =-==-=。

第六讲 空间解析几何 向量代数与空间解析几何1、向量的坐标表示及其线性运算k a j a i a a a a a z y x z y x ++==),,()1(模222z y x a a a a ++= ，方向余弦aa a a a a z y x ===γβαcos ,cos ,cos 已知点),,(),,,(22221111z y x M z y x M ),,(12121221z z y y x x M M ---=（2）线性运算),,(),,(),,(),,,(z y x z z y y x x z y x z y x a a a a b a b a b a b a b b b b a a a a λλλλ=±±±=±== （3）向量的数量积。

向量积 数量积 b a a b b a b a b a b a )()(),cos(+==⋅∧z z y y x x b a b a b a ++=性质 满足交换律、结合律、分配律0=⋅↔⊥b a b a2.平面及其方程已知平面π过点M 0（x 0、y 0、z 0），}{C B,A,n = 为π的法矢量。

1> 点法式：A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=02> 一般式：Ax+By+Cz+D=0，A 、B 、C 不全为零。

3> 截距式：1cz b y a x =++，a ，b ，c 分别为平面在x 轴、y 轴、 z 轴上的截距。

2121n n ππ ⊥↔⊥↔21ππ1n ψ2n点M 0(x 0、y 0、z 0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为222000C B A DCz By Ax d +++++=xoy 平面， )1,0,0(,0==n z yoz 平面 )0,0,1(,0==n xxoz 平面， )0,1,0(,0==n y例1 习题求 通过点P （2，-1，-1），Q （1，2，3）且垂直于平面2x+3y-5z+6=0的平面方程。

线性代数辅导讲义线性代数辅导讲义_________________________________线性代数是一门重要的基础学科，它是许多学科的基础，如应用数学、工程学、物理学、经济学和计算机科学等。

它既可以用于描述实际问题，又能用于解决实际问题。

线性代数是学习数学的基础，许多大学和高中都开设了这门课程。

线性代数的内容主要包括：向量空间、矩阵论、行列式、线性方程和相关应用。

其中，向量空间是研究向量的一个重要分支，它将向量的表示、线性相关性、基和子空间等方面进行了深入的探讨。

矩阵论是研究矩阵的一个分支，它主要涉及到矩阵的表示、特征分解、幂运算、正定性、特征值和特征向量等。

行列式是对一个特定的m×n矩阵A的函数，它由m×n个未知数构成，可以用来表示某些特殊的几何形体。

线性方程是一个或多个未知数的一元或多元函数的零点方程，其中未知数的个数小于方程的阶数。

它的解可以用来解决实际问题，如课题优化、信号处理、图像处理、最小二乘法和特征分析等。

随着数学与计算机技术的发展，线性代数的应用也越来越广泛，如信号处理、机器学习和深度学习。

此外，由于人工智能技术的发展，大量数据需要通过大量数学模型进行处理，因此对于这些技术来说，学习和掌握线性代数是必不可少的。

本文探讨了线性代数的相关内容，以帮助读者加深对这门学科的理解。

向量空间、矩阵论、行列式、线性方程是其中的几个重要部分，而随着信息技术的发展，它们都变得越来越重要。

因此，学习并掌握这些内容是有必要的。

在学习这门学科时，可以通过多样化的方式来加强理解，如看书、上课、上课后自学或与他人交流来加强理解。

此外，可以通过实际应用来学习，如使用Matlab、Maple、Mathematica或Excel 来分析数据；或者使用Python、C++或Java来进行机器学习或深度学习。

本文介绍了学习和掌握线性代数的一些常见方法，并介绍了它在信息技术中的应用。

希望本文能够帮助读者对这门学科有更深入的理解，从而使他们能够在信息时代中发挥关键作用。

第二部分 代数 Created by huzhiming 第 1 页 共 14 页第二部分 代数本部分内容包括：考试要求、样题、重要问题、内容综述、典型例题、模拟练习． [考试要求]代数式和不等式的变换和计算．包括：实数和复数；乘方和开方；代数表达式和因式分解；方程的解法；不等式；数学归纳法，数列；二项式定理，排列，组合等． [样题]1．#5棵大小不同的柳树，6棵大小不同的杨树，栽到5个坑内，一坑一棵，5个坑内至多栽2棵柳树，5个坑都栽了，有[ ]种栽法． (A)281(B)200(C)81(D)2752．求阶乘不超过200的最大整数[ ]。

(A)3(B)4(C)5(D)63．设函数1)(-=x xx f ，1,0≠≠x x ，则=))(1(x f f [ ] (A)x -1(B)x11-(C)1-x x(D)1-x4．设30≤≤x ，则函数2)2(2--=x y 的最大值为[ ] (A)2-(B)1-(C)2(D)35．##袋中有3个黄球，2个红球，1个兰球，每次取一个球，取出后不放回，任取两次，取得红球的概率是[ ] (A)151(B)3011 (C)31 (D)32 6．现有三张密封的奖券，其中一张有奖，共有三个人按顺序且每人只能抓走一张，问谁抓到奖的概率最大？[ ](A)第一个人 (B)第二个人(C)第三个人 (D)一样大7．比较 6.04.0与4.06.0谁大？[ ](A)前者(B)后者(C)一样大(D)无法确定8．函数)1ln()(2x x x f ++=是[ ] (A)周期函数 (B)奇函数 (C)偶函数 (D)单调减少函数9．在连乘式)5)(4)(3)(2)(1(+++++x x x x x 展开式中，4x 前面的系数为[ ] (A)13(B)14(C)15(D)16[重要问题]样题中问题类型：排列组合（1）、函数求值（3）、二次函数（4）、简单概率问题（5，6）、幂函数与指数函数（7）、函数奇偶性（8）、代数式运算（9）．已考问题类型：2003年：二次函数（单调区间）、函数图像(对称性)、乘方开方运算、简单概率问题、比赛场次；2004年：分数运算、绝对值概念、二次方程求根、幅角概念与两角和三角公式、简单概率问题；2005年：简单代数公式（两数差的平方）、复数的模、数列（等差、等比）、简单概率问题（古典概型）。

线性代数考研讲义完整版Newly compiled on November 23, 2020考研数学线性代数讲义目录第一讲基本概念线性方程组矩阵与向量初等变换和阶梯形矩阵线性方程组的矩阵消元法第二讲行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解的情况的判别基础解系和通解第六讲特征向量与特征值相似与对角化特征向量与特征值—概念,计算与应用相似对角化—判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵附录二向量空间及其子空间附录三两个线性方程组的解集的关系附录四06,07年考题第一讲基本概念1．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为:a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2,…………am1x1+am2x2+…+amnxn=bm,其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.线性方程组的解是一个n维向量(k1,k2, …,k n)(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数x i都用k i替代时都成为等式.线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解.b 1=b2=…=bm=0的线性方程组称为齐次线性方程组.n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.2.矩阵和向量(1)基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.由mn个数排列成的一个m行n列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个mn 型矩阵.例如2 -1 0 1 11 1 1 0 22 5 4 -2 93 3 3 -1 8是一个45矩阵.对于上面的线性方程组,称矩阵a11 a12… a1na11a12… a1nb1A= a21 a22… a2n和(A|)= a21 a22… a2n b2…………………a m1 am2… amnam1am2… amnbm为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素.元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.两个矩阵A和B相等(记作A=B),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的分量.书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a1,a2, ,a n的向量可表示成a1(a1,a2, ,an)或 a2,┆an请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1n矩阵,右边是n1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)一个mn的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量; 每一列是一个m维向量, 称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A的列向量组为1,2, ,n 时(它们都是表示为列的形式!)可记A=(1,2, ,n).矩阵的许多概念也可对向量来规定,如元素全为0的向量称为零向量,通常也记作0.两个向量和相等(记作=),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.(2) 线性运算和转置线性运算是矩阵和向量所共有的,下面以矩阵为例来说明.加(减)法:两个mn的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是mn矩阵,记作A+B (A-B),法则为对应元素相加(减).数乘: 一个mn的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为mn的矩阵,记作c A,法则为A的每个元素乘c.这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律:①加法交换律:A+B=B+A.②加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C).③加乘分配律:c(A+B)=c A+c B.(c+d)A=c A+d A.④数乘结合律: c(d)A=(cd)A.⑤ c A=0 c=0 或A=0.转置:把一个mn的矩阵A行和列互换,得到的nm的矩阵称为A的转置,记作A T(或A).有以下规律:① (A T)T=A.② (A+B)T=A T+B T.③ (c A)T=c A T.转置是矩阵所特有的运算,如把转置的符号用在向量上,就意味着把这个向量看作矩阵了.当是列向量时, T表示行向量,当是行向量时, T表示列向量.向量组的线性组合:设1,2,…,s是一组n维向量, c1,c2,…,c s是一组数,则称c 11+c22+…+css为1,2,…,s的(以c1,c2,…,c s为系数的)线性组合.n维向量组的线性组合也是n维向量.(3) n阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵.把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是c E.上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵:满足A T=A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.(反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.)3. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵矩阵有以下三种初等行变换:①交换两行的位置.②用一个非0的常数乘某一行的各元素.③把某一行的倍数加到另一行上.(称这类变换为倍加变换)类似地, 矩阵还有三种初等列变换,大家可以模仿着写出它们,这里省略了. 初等行变换与初等列变换统称初等变换.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:①如果它有零行,则都出现在下面.②如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增.把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,特点为:③台角位置的元素为1.④并且其正上方的元素都为0.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算,必须十分熟练.请注意: 1.一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.2. 一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.4. 线性方程组的矩阵消元法线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法:用同解变换把方程组化为阶梯形方程组(即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组).线性方程组的同解变换有三种:①交换两个方程的上下位置.②用一个非0的常数乘某个方程.③把某个方程的倍数加到另一个方程上.以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.线性方程组求解的基本方法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法. 对非齐次线性方程组步骤如下:(1)写出方程组的增广矩阵(A|),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(B|).(2)用(B|)判别解的情况:如果最下面的非零行为(0,0, ,0|d),则无解,否则有解.有解时看非零行数r(r不会大于未知数个数n),r=n时唯一解；r<n时无穷多解.(推论:当方程的个数m<n时,不可能唯一解.)(3)有唯一解时求解的初等变换法:去掉(B|)的零行,得到一个n×(n+1)矩阵(B0|0),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(E|),则就是解.对齐次线性方程组:(1)写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.(2)用B判别解的情况:非零行数r=n时只有零解；r<n时有非零解(求解方法在第五章讲). (推论:当方程的个数m<n时,有非零解.)讨论题1.设A是n阶矩阵,则(A) A是上三角矩阵A是阶梯形矩阵.(B) A是上三角矩阵A是阶梯形矩阵.(C) A是上三角矩阵A是阶梯形矩阵.(D) A是上三角矩阵与A是阶梯形矩阵没有直接的因果关系.2.下列命题中哪几个成立(1) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一行还是是阶梯形矩阵.(2) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一列还是是阶梯形矩阵.(3) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则A也是阶梯形矩阵.(4) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则B也是阶梯形矩阵.(5) 如果 A 是阶梯形矩阵,则A和B都是阶梯形矩阵.B第二讲行列式一.概念复习1. 形式和意义形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式:a11 a12… a1na 21 a22… a2n… … … . a n1 a n2 … a nn如果行列式的列向量组为1,2, … ,n ,则此行列式可表示为|1,2, … ,n |.意义:是一个算式,把这n 2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.)每个n 阶矩阵A 对应一个n 阶行列式,记作|A |.行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0. 2. 定义(完全展开式) 2阶和3阶行列式的计算公式:a 11 a 12a 21 a 22 = a 11a 22-a 12a 21 . a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23 = a 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32-a 13a 22a 31- a 11a 23a 32-a 12a 21a 33. a 31 a 32 a 33 一般地,一个n 阶行列式 a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n … … … a n1 a n2 … a nn的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n 个元素的乘积,其一般形式为:n nj j j a a a 2121,这里把相乘的n 个元素按照行标的大小顺序排列,它们的列标j 1j 2…j n 构成1,2, …,n 的一个全排列(称为一个n 元排列),共有n!个n 元排列,每个n 元排列对应一项,因此共有n!个项.所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j 1j 2…j n )为全排列j 1j 2…j n 的逆序数(意义见下面),则项n nj j j a a a 2121所乘的是.)1()(21n j j j τ-全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数.逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数:023********,(436512)=3+2+3+2+0+0=10. 至此我们可以写出n 阶行列式的值: a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n =.)1(21212121)(n n nnj j j j j j j j j a a a τ-∑… … … a n1 a n2 … a nn这里∑nj j j 21表示对所有n 元排列求和.称此式为n 阶行列式的完全展开式.用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.例如对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于主对角线上的元素的乘积,因为其它项都为0.2. 化零降阶法把n 阶行列式的第i 行和第j 列划去后所得到的n-1阶行列式称为(i,j)位元素a ij的余子式,记作M ij .称A ij =(-1)i+j M ij 为元素a ij 的代数余子式.定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.命题 第三类初等变换(倍加变换)不改变行列式的值.化零降阶法 用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式.化零降阶法是实际计算行列式的主要方法,因此应该熟练掌握. 3.其它性质行列式还有以下性质:① 把行列式转置值不变,即|A T |=|A | . ② 某一行(列)的公因子可提出. 于是, |c A |=c n |A |.③ 对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量换为或所得到的行列式.例如|,1+2|=|,1|+|,2|.④ 把两个行(列)向量交换, 行列式的值变号.⑤ 如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0. ⑥ 某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0. ⑦ 如果A 与B 都是方阵(不必同阶),则 A * = A O =|A ||B |. O B * B 范德蒙行列式：形如 1 1 1 … 1 a 1 a 2 a 3 … a na 12 a 22 a 32 … a 2…………a1n-i a2n-i a3n-i… ann-i的行列式(或其转置).它由a1,a2 ,a3,…,a n所决定,它的值等于因此范德蒙行列式不等于0 a1,a2 ,a3,…,a n两两不同.对于元素有规律的行列式(包括n阶行列式),常常可利用性质简化计算,例如直接化为三角行列式等.4.克莱姆法则克莱姆法则应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵为n阶矩阵)的情形.此时,如果它的系数矩阵的行列式的值不等于0,则方程组有唯一解,这个解为(D1/D, D2/D,,Dn/D),这里D是系数行列式的值, D i是把系数行列式的第i个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值.说明与改进:按法则给的公式求解计算量太大，没有实用价值.因此法则的主要意义在理论上,用在对解的唯一性的判断,而在这方面法则不够. 法则的改进:系数行列式不等于0是唯一解的充分必要条件.实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵(A|)作初等行变换,使得A变为单位矩阵: (A|)(E|),就是解.用在齐次方程组上 :如果齐次方程组的系数矩阵A是方阵,则它只有零解的充分必要条件是|A|0.二. 典型例题1.利用性质计算元素有规律的行列式例1① 2 a a a a ② 1+x 1 1 1 ③ 1+a 1 1 1a 2 a a a 1 1+x 1 1 2 2+a 2 2a a 2 a a . 1 1 1+x 1 . 3 3 3+a 3 .a a a 2 a 1 1 1 1+x 4 4 4 4+aa a a a 2例2 1 2 3 4 52 3 4 5 13 4 5 1 2 .4 5 1 2 35 1 2 3 4例3 1+x1 1 111 1 .1 1+x211 1 1+x31 1 1 1+x4例4 a 0 b c0 a c b .b c a 0c b 0 a例5 1-a a 0 0 0-1 1-a a 0 00 -1 1-a a 0 . (96四)0 0 -1 1-a a0 0 0 -1 1-a2. 测试概念与性质的题例6 x3-3 1 -3 2x+2多项式f(x)= -7 5 -2x 1 ，求f(x)的次数和最高次项的系数.X+3 -1 33x2-29 x3 6 -6例7求 x-3 a -1 4f(x)= 5 x-8 0 –2 的x 4和x 3的系数.0 b x+1 1 2 2 1 x例8 设4阶矩阵A =(, 1, 2 ,3),B =(, 1, 2 ,3),|A | =2, |B |=3 ,求|A +B | . 例9 a b c d已知行列式 x -1 -y z+1 的代数余子式A 11=-9,A 12=3,A 13=-1,A 14=3,求x,y,z. 1 -z x+3 y y-2 x+1 0 z+3例10 求行列式 3 0 4 0 的第四行各元素的余子式的和.(01) 2 2 2 2 0 -7 0 0 5 3 -2 2 3.几个n 阶行列式 两类爪形行列式及其值:例11 a 1 a 2 a 3 … a n-1 a n b 1 c 2 0 … 0 0 证明 0 b 2 c 3 0 0 =11111(1)ni i i i n i b b a c c --+=-∑.… … … …0 0 0 … b n-1 c n提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直接求出). 例12 a 0 a 1 a 2 … a n-1 a nb 1c 1 0 … 0 0证明 b 2 0 c 2 … 0 0 =011111nni i i i i n i i a c c c a b c c -+==-∑∏.… … … … b n … 0 c n提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直接求出). 另一个常见的n 阶行列式: 例13 证明a+b b 0 … 0 0 a a+b b … 0 0… … … … = 11n n nn i ii a b a b a b ++-=-=-∑(当ab 时).0 0 0 … a+b b 0 0 0 a a+b提示:把第j 列(行)的(-1)j-1倍加到第1列(行)上(j=2,…,n),再对第1列(行)展开. 4.关于克莱姆法则的题 例14 设有方程组x 1+x 2+x 3=a+b+c, ax 1+bx 2+cx 3=a 2+b 2+c 2,bcx 1+acx 2+abx 3=3abc.(1)证明此方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c 两两不等. (2)在此情况求解. 参考答案例1 ①(2+4a)(2-a)4.② x 3(x+4). ③ a 3(a+10). 例2 1875.例3 x 1x 2x 3x 4+x 2x 3x 4+x 1x 3x 4+x 1x 2x 4+x 1x 2x 3. 例4 (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).例5 1-a+a2-a3+a4-a5.例6 9,-6例7 1,-10.例8 40.例9 x=0,y=3,z=-1.例10 -28.例14 x1=a,x2=b,x3=c..第三讲矩阵一．概念复习1. 矩阵乘法的定义和性质定义当矩阵A的列数和B的行数相等时,和A和B可以相乘,乘积记作AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.设 a11 a12... a1n b11 b12... b1s c11 c12 (1)A= a21 a22… a2nB= b21b22… b2sC=AB=c21c22… c2s………………………a m1 am2… amn, bn1bn2… bns, cm1cm2… cms,则c ij =ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj.矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同:①矩阵乘法有条件.②矩阵乘法无交换律.③矩阵乘法无消去律,即一般地由AB=0推不出A=0或B=0.由AB=AC和A0推不出B=C.(无左消去律)由BA=CA和A0推不出B=C. (无右消去律)请注意不要犯一种常见的错误:把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来.矩阵乘法适合以下法则:①加乘分配律 A(B+C)= AB+AC,(A+B)C=AC+BC.②数乘性质 (c A)B=c(AB).③结合律 (AB)C= A(BC).④ (AB)T=B T A T.2. n阶矩阵的方幂和多项式任何两个n阶矩阵A和B都可以相乘,乘积AB仍是n阶矩阵.并且有行列式性质: |AB|=|A||B|.如果AB=BA,则说A和B可交换.方幂设k是正整数, n阶矩阵A的k次方幂A k即k个A的连乘积.规定A 0=E.显然A的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则:①A k A h= A k+h.② (A k)h= A kh.但是一般地(AB)k和A k B k不一定相等!n阶矩阵的多项式设f(x)=a m x m+a m-1x m-1+…+a1x+a0,对n阶矩阵A规定f(A)=a m A m+a m-1A m-1+…+ a1A+a0E.称为A的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E.乘法公式 一般地,由于交换性的障碍,小代数中的数的因式分解和乘法公式对于n 阶矩阵的不再成立.但是如果公式中所出现的n 阶矩阵互相都是乘法交换的,则乘法公式成立.例如当A 和B 可交换时,有: (AB )2=A 22AB +B 2;A 2-B 2=(A +B )(A -B )=(A +B )(A -B ). 二项展开式成立: B AC B A -=∑=+1)(等等.前面两式成立还是A 和B 可交换的充分必要条件.同一个n 阶矩阵的两个多项式总是可交换的. 一个n 阶矩阵的多项式可以因式分解.3. 分块法则矩阵乘法的分块法则是简化矩阵乘法的一种方法.对两个可以相乘的矩阵A 和B ,可以先用纵横线把它们切割成小矩阵(一切A 的纵向切割和B 的横向切割一致!),再用它们来作乘法.(1)两种常见的矩阵乘法的分块法则A 11 A 12B 11 B 12 = A 11B 11+A 12B 21 A 11B 12+A 12B 22 A 21 A 22 B 21 B 22 A 21B 11+A 22B 21 A 21B 12+A 22B 22 要求A ij 的列数B jk 和的行数相等. 准对角矩阵的乘法: 形如A 1 0 ... 0 A = 0 A 2 0… … … 0 0 … A n的矩阵称为准对角矩阵,其中A1,A2,…,A k都是方阵.两个准对角矩阵A10 ... 0 B1 0 0A= 0 A2... 0 , B= 0 B2 0………………0 0 …A k 0 0 …B k 如果类型相同,即A i和B i阶数相等,则A1B10 0AB = 0 A2B2… 0 .………00 …A k B k(2)乘积矩阵的列向量组和行向量组设A是mn矩阵B是ns矩阵. A的列向量组为1,2,…,n,B的列向量组为1,2,…,s, AB 的列向量组为1,2,…,s,则根据矩阵乘法的定义容易看出(也是分块法则的特殊情形):①AB的每个列向量为:i=A i,i=1,2,…,s.即A(1,2,…,s)=(A1,A2,…,A s).② =(b1,b2,…,bn)T,则A= b11+b22+…+b nn.应用这两个性质可以得到:如果i=(b1i,b2i,…,b ni)T,则i=A I=b1i1+b2i2+…+b nin.即:乘积矩阵AB的第i个列向量i是A的列向量组1,2,…,n的线性组合,组合系数就是B的第i个列向量i的各分量.类似地, 乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合,组合系数就是A 的第i个行向量的各分量.以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们无论在理论上和计算中都是很有用的.(1) 当两个矩阵中,有一个的数字很简单时,直接利用以上规律写出乘积矩阵的各个列向量或行向量,从而提高了计算的速度.(2) 利用以上规律容易得到下面几个简单推论:用对角矩阵从左侧乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量; 用对角矩阵从右侧乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量.数量矩阵k E乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵.两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘.求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂.(3) 矩阵分解:当一个矩阵C的每个列向量都是另一个A的列向量组的线性组合时,可以构造一个矩阵B,使得C=AB.例如设A=(,,), C=(+2-,3-+,+2),令1 3 1B= 2 -1 0 ,则C=AB.-1 1 2(4) 初等矩阵及其在乘法中的作用对单位矩阵E作一次初等(行或列)变换,所得到的矩阵称为初等矩阵.有三类初等矩阵:E(i,j):交换E的i,j两行(或列)所得到的矩阵.E(i(c)):用非0数c乘E的第i行(或列)所得到的矩阵.也就是把E的对角线上的第i个元素改为c.E(i,j(c))(ij):把E的第j行的c倍加到第i行上(或把第i列的c倍加到第j列上)所得到的矩阵, 也就是把E的(i,j)位的元素改为c.命题对矩阵作一次初等行(列)变换相当于用一个相应的初等矩阵从左(右)乘它.4. 矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)(1) 矩阵方程矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程:(I) AX=B.(II) XA=B.这里假定A是行列式不为0的n阶矩阵,在此条件下,这两个方程的解都是存在并且唯一的.(否则解的情况比较复杂.)当B只有一列时,(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.如果B有s 列,设 B=(1,2,…,s),则 X也应该有s列,记X=(X1,X2,…,X s),则有AX i=i,i=1,2,…,s,这是s 个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯一解,从而AX=B有唯一解.这些方程组系数矩阵都是A,可同时求解,即得(I)的解法:将A和B并列作矩阵(A|B),对它作初等行变换,使得A变为单位矩阵,此时B变为解X.(A|B)(E|X)(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:A T X T=B T.再用解(I)的方法求出X T,转置得X..(A T|B T)(E|X T)矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往并不直接写成(I)或(II)的形式,要用恒等变形简化为以上基本形式再求解.(2) 可逆矩阵的定义与意义定义设A是n阶矩阵,如果存在n阶矩阵B,使得AB=E, BA=E,则称A为可逆矩阵.此时B是唯一的,称为A的逆矩阵,通常记作A-1.如果A可逆,则A在乘法中有消去律:AB=0B=0；AB=ACB=C.(左消去律)；BA=0B=0；BA=CAB=C. (右消去律)如果A可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边):AB=CB=A-1C. BA=CB=CA-1.由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法:(I) AX=B的解X=A-1B .(II) XA=B的解X= BA-1.这种解法想法自然，好记忆,但是计算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).(3) 矩阵可逆性的判别与性质定理 n阶矩阵A可逆|A|0.证明“”对AA-1=E两边取行列式,得|A||A-1|=1,从而|A|0. (并且|A-1|=|A|-1.)“”因为|A|0,矩阵方程AX=E和XA=E都有唯一解.设B,C分别是它们的解,即AB=E, CA=E. 事实上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是从定义得到A可逆.推论如果A和B都是n阶矩阵,则AB=EBA=E.于是只要AB=E(或BA=E)一式成立,则A和B都可逆并且互为逆矩阵.可逆矩阵有以下性质:①如果A可逆,则A-1也可逆,并且(A-1)-1=A.A T也可逆,并且(A T)-1=(A-1)T.当c0时, c A也可逆,并且(c A)-1=c-1A-1.对任何正整数k, A k也可逆,并且(A k)-1=(A-1)k.(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(A k)-1=(A-1)k.)②如果A和B都可逆,则AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1.(请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.)初等矩阵都是可逆矩阵,并且E(i,j)-1= E(i,j), E(i(c))-1=E(i(c-1)), E(i,j(c))-1= E(i,j(-c)).(4) 逆矩阵的计算和伴随矩阵①计算逆矩阵的初等变换法当A可逆时, A-1是矩阵方程AX=E的解,于是可用初等行变换求A-1:(A|E)(E|A-1)这个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多.②伴随矩阵若A是n阶矩阵,记A ij是|A|的(i,j)位元素的代数余子式,规定A的伴随矩阵为A11 A21… An1A*= A12 A22… An2=(Aij)T.………A 1n A2n… Amn请注意,规定n阶矩阵A的伴随矩阵并没有要求A可逆,但是在A可逆时, A*和A-1有密切关系.基本公式: AA*=A*A=|A|E.于是对于可逆矩阵A,有A-1=A*/|A|, 即A*=|A|A-1.因此可通过求A*来计算A-1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.和初等变换法比较, 伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵a b * d -bc d = -c a ,因此当ad-bc0时,a b -1 d -bc d = -c a (ad-bc) .伴随矩阵的其它性质:①如果A是可逆矩阵，则A*也可逆，并且(A*)-1= A/|A|=(A-1)*.② |A*|=|A|n-1.③ (A T)*=(A*)T.④ (c A)*=c n-1A*.⑤ (AB)*=B*A*；(A k)*=(A*)k.⑥当n>2时,(A*)*=|A|n-2A； n=2时,(A*)*=A.二典型例题1.计算题例1 =(1,-2,3) T,=(1,-1/2,1/3)T, A= T,求A6.讨论:(1)一般地,如果n阶矩阵A= T,则A k=(T)k-1A=(tr A)k-1A .(2)乘法结合律的应用:遇到形如T的地方可把它当作数处理.① 1 -1 1T= -1 1 -1 ，求T.（2003一）②设=(1,0,-1)T, A=T,求|a E-A n|.③n维向量=(a,0,,0,a)T, a<0, A=E-T, A-1=E+a-1 T,求a. (03三,四)④ n维向量=(1/2,0,,0,1/2)T, A=E- T, B=E+2 T,求AB. (95四)⑤ A=E- T,其中,都是n维非零列向量,已知A2=3E-2A,求T.例2(1999三) 1 0 1设A = 0 2 0 ，求A n-2A n-1.(n>1)例3 1 0 0设A = 1 0 1 ，(1)证明当n>1时A n=A n-2+A2-E. (2) 求A n.例4设A为3阶矩阵, 1,2,3是线性无关的3维列向量组,满足A1=1+2+3, A2=22+3, A3=22+33.求作矩阵B,使得A(1,2,3)=(1,2,3)B. (2005年数学四)例5设3阶矩阵A=(1,2,3),|A|=1,B=(1+2+3,1+22+33,1+42+93),求|B|.(05)例6 3维向量1,2,3,1,2,3满足1+3+21-2=0,31-2+1-3=0,2+3-2+3=0,已知1,2,3|=a,求|1,2,3|.例7设A是3阶矩阵,是3维列向量,使得P=(,A,A2)可逆,并且A3=3A-2A2.又3阶矩阵B满足A=PBP-1.(1)求B.(2)求|A+E|.(01一)2 1 0例8 3阶矩阵A,B满足ABA*=2BA*+E,其中A= 1 2 0 ,求|B|.(04一)0 0 1例9 3 -5 1设3阶矩阵A= 1 -1 0 , A-1XA=XA+2A,求X.-1 0 2例10 1 1 -1设3阶矩阵A= -1 1 1 , A*X=A-1+2X,求X.1 -1 1例11 4阶矩阵A,B满足ABA-1=BA-1+3E,已知1 0 0 0A*= 0 1 0 0 ,求B. (00一)1 0 1 00 -3 0 8例12 3 0 0 1 0 0已知A= 2 1 0 , B= 0 0 0 , XA+2B=AB+2X,求X11.2 13 0 0 -1例13设1=(5,1,-5)T,2=(1,-3,2)T,3=(1,-2,1)T,矩阵A满足A=(4,3) T, A2=(7,-8) T, A3=(5,-5) T,1求A.2.概念和证明题例14 设A是n阶非零实矩阵,满足A*=A T.证明:(1)|A|>0.(2)如果n>2,则|A|=1.例15 设矩阵A=(a ij)33满足A*=A T,a11,a12,a13为3个相等的正数,则它们为(A) 3/3.(B) 3. (C)1/3. (D) 3. (2005年数学三)例16 设A和B都是n阶矩阵,C= A 0 ,则C*=0 B(A) |A|A* 0 . (B) |B|B * 0 .0 |B|B * 0 |A|A*(C) |A|B* 0 . (D ) |B|A* 0 .0 |B|A* 0 |A|B*例17 设A是3阶矩阵,交换A的1,2列得B,再把B的第2 列加到第3 列上,得C.求Q,使得C=AQ.例18 设A是3阶可逆矩阵,交换A的1,2行得B,则(A) 交换A*的1,2行得到B*.(B) 交换A*的1,2列得到B*.(C) 交换A*的1,2行得到-B*.(D) 交换A*的1,2列得到-B*.(2005年)例19 设A是n阶可逆矩阵, 交换A的i,j行得到B.(1) 证明B可逆.(2) 求AB-1.例20设n阶矩阵A满足A2+3A-2E=0.(1)证明A可逆,并且求A-1.(2)证明对任何整数c,A-c E可逆. 讨论: 如果f(A)=0,则(1) 当f(x)的常数项不等于0时,A可逆.(2) f(c)0时,A-c E可逆.(3) 上述两条的逆命题不成立.例21设是n维非零列向量,记A=E-T.证明(1) A2=A T =1.(2)T =1 A不可逆. (96一)讨论: (2)的逆命题也成立.例22 设A,B都是n阶矩阵,证明E-AB可逆 E-BA可逆.例23设3阶矩阵A,B满足AB=A+B.(1) 证明A-E可逆.(2) 设 1 -3 0B= 2 1 0 ,求A.0 0 2 (91)例24设A,B是3阶矩阵, A可逆,它们满足2A-1B=B-4E.(1) 证明A-2E可逆.(2) 设 1 -2 0B= 1 2 0 ,求A.0 0 2 (2002)例25设n阶矩阵A,B满足AB=a A+b B.其中ab0,证明(1) A-b E和B-a E都可逆.(2) A可逆 B可逆.(3) AB=BA.例26设A,B都是n阶对称矩阵, E+AB可逆,证明(E+AB)-1A也是对称矩阵.例27 设A,B都是n阶矩阵使得A+B可逆,证明(1) 如果AB=BA,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(2) 如果都可逆,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(3) 等式B(A+B)-1A=A(A+B)-1B总成立.例28设A,B,C都是n阶矩阵,满足B=E+AB,C=A+CA,则B-C为(A) E.(B) -E. (C) A. (D) -A. (2005年数学四)参考答案1 -1/2 1/3例135A=35 -2 1 –2/3 .3 -3/2 1① 3.② a2(a-2n). ③ -1. ④ E. ⑤ 4.例2 O.例3 (1)提示: A n=A n-2+A2-EA n-2(A2-E)=A2-E A(A2-E)=A2-E.(2)n=2k时, 1 0 0A n = k 1 0 .k 0 1n=2k+1时, 1 0 0A n = k+1 0 1 .k 1 0例 4 1 0 0B= 1 2 2 .1 1 3例5 2.例 6 –4a.例 7 0 0 0B= 1 0 3 . |E+A|=-40 1 -2例8 1/9.例 9 -6 10 4X= -2 4 2 .-4 10 0例 10 1 1 0(1/4) 0 1 1 .1 0 1例 11 6 0 0 0B= 0 6 0 0 .6 0 6 00 3 0 -1例 12 1 0 02 0 0 .6 -1 -1例 13 2 -1 1-4 -2 -5 .例15 (A).例16 (D).例 17 0 1 1Q= 1 0 0 .0 0 1例18 (D).例19E(i,j).例22提示:用克莱姆法则.例如证明,即在E-AB可逆时证明齐次方程组(E-BA)X=0只有零解.例23 1 1/2 0A= -1/3 1 0 .0 0 2例 24 0 2 0A= -1 -1 0 .0 0 -2例25 提示:计算(A-b E)(B-a E).例28 (A).第四讲向量组的线性关系与秩一.概念复习1. 线性表示关系设1,2,…,s是一个n维向量组.如果n维向量等于1,2,…,s的一个线性组合，就说可以用1,2,…,s线性表示.如果n维向量组1,2,…,t中的每一个都可以可以用1,2,…,s线性表示,就说向量1,2,…,t可以用1,2,…,s线性表示.判别“是否可以用1,2,…,s线性表示表示方式是否唯一”就是问：向量方程x11+x22+…+xss=。