一类状态脉冲不育控制的单种群模型

收稿日期:2006206209基金项目:中北大学自然科学基金(54)作者简介:董志远(1981-),女,硕士研究生,研究方向为生物数学。

第27卷　第6期太原科技大学学报Vol .27　No .62006年12月JOURNAL OF T A I Y UAN UN I V ERSI TY OF SC I E NCE AND TECHNOLOGYDec .2006文章编号:1673-2057(2006)06-0469-04对一些脉冲出生的动物传染病的控制董志远,李有文(中北大学数学系,太原030051) 摘　要:文章针对具有脉冲出生的动物传染病SI R 模型施加控制。

分别采取两种方法:当阈值大于1时,分别以比例C 剔除和以比例P 对易感者接种(0<C,P <1),使阈值小于1,疾病不再流行。

关键词:脉冲出生;阈值;剔除;接种中图分类号:O175 文献标识码:A对某些动物,例如家禽和一些野生动物,它们的出生是随季节的变化而不同的,或者说其出生是集中在某个季节进行。

这样,研究其种群动力学因素的传染病模型往往需要把其出生认为是脉冲出生,所建立的传染病模型就是具有脉冲出生的传染病模型[1]。

下面给出具有脉冲出生的SI R 传染病模型:S ′=A -βS I -dSI ′=βS I -(d +γ+α)I R ′=γI -dR　t ≠nT S (nT +)=S (nT -)+b 1S (nT -)+b 1α1R (nT -)+b 2α2I (nT -)I (nT+)=I (nT -)+b 2(1-α2)I (nT -)R (nT +)=R (nT -)+b 1(1-α1)R (nT -)　t =nT(1) 此模型中,S 代表易感者的数量,它们以比率βI 染病后成为染病者I,其中β为接触率。

然后染病者以移出率γ成为恢复者R,并且恢复后获得终生免疫。

这样,在任一时刻t 动物总数为:N (t )=S (t )+I (t )+R (t )(2)A 表示常数移民,d 为自然死亡率,α为因病死亡率,在脉冲时刻,易感者和恢复者的出生率为b 1,但是恢复者的新生儿有可能是病毒携带者,所以一部分为易感者(比例为α1),其余部分为恢复者;而染病者的出生率为b 2,同样新生儿以比率α2进入易感者,其余的仍为染病者。

具脉冲效应的生物学模型的定性研究
生物动力学中,有很多自然现象会受到人为因素的作用,这种干预可以用脉冲系统来描述,如传染病防治过程中采用的脉冲疫苗,生态系统中的定期捕杀,定期喷洒杀虫剂和定期培育幼苗等人为干预行为,都可通过建立脉冲动力模型来研究其动态变化规律。

目前,对脉冲动力模型的研究中,周期解的存在性和稳定性方面的研究较多,而对持续性的研究较少。

在生态学中,对种群的持续性的研究有着重要的现实意义;在传染病学中,虽然大多数是研究它的无病周期解的稳定性,但是,传染病持续性的研究,对我们进一步了解疾病,控制疾病也具有重要的指导意义。

本文建立了几类具有脉冲效应的生物学模型,并且研究了其一致持续生存等性质。

在第一章,对该方向的研究做了一些介绍,阐述了本文研究的意义、方法及主要结论;在第二章,给出了本文的论证过程中要用到的一些重要理论及概念;在第三、四章,分别建立理两类具脉冲效应的SIR与SEIR传染病模型,应用脉冲微分方程周期解的全局稳定性、比较原理和分析方法,得到模型一致持续生存的充分条件,通过结果可以帮助我们了解,注射疫苗的周期T与注射比例p与疾病控制的联系;在第五章,考虑到三个生长阶段的对人类有利的种群,人类固然会对成年和老年种群进行捕杀,对幼年种群进行保护,基于此,本文建立了一个具分布时滞和三生长阶段的单种群脉冲动力模型,并将它等价转换成无脉冲的模型,运用脉冲比较原理以及分析等方法,得到模型的永久持续生存与全局稳定性的充分条件。

摘要摘要本文利用常微分方程和泛函微分方程的相关理论，讨论了几类种群生态学模型的动力学性质.本文共由五章组成：第一章,介绍了本文的研究目的、意义以及本文的主要工作.第二章，研究了一类具有阶段结构的非自治捕食者—食饵系统和一类具Holling IV类功能反应的非自治捕食者—食饵系统，通过利用微分方程定性理论证明该系统在适当条件下是一致持久的；并且当系统是周期系统时，利用泛函分析的Brouwer 不动点定理和构造Lyapunov函数的方法，得到该系统周期正解唯一存在且全局渐近稳定的充分条件；对更具普遍意义的概周期现象，也得到了概周期正解存在且全局渐近稳定的充分条件.第三章，基于综合害虫管理策略，提出并研究了一类具有脉冲效应和Holling IV 类功能反应的捕食者—食饵系统，利用脉冲比较定理、Floquent乘子理论及微小扰动法，得到害虫灭绝周期解的局部渐近稳定性与系统持续生存的充分条件，所得结论为现实的害虫治理提供了可靠的策略依据.第四章，运用时滞微分方程的基本理论和脉冲微分方程的比较定理、周期解存在定理，研究了两类具有功能反应和一个固定脉冲时刻的时滞捕食者—食饵系统，得到了食饵灭绝周期解的全局吸引和系统持久的充分条件，也证明了系统所有解的一致完全有界，所得结论为现实的生物资源管理提供了可靠的策略依据，也丰富了脉冲时滞微分方程的理论.第五章，就全文进行了总结，指出了研究中还没有解决的问题，并对以后要研究的工作进行了展望.关键词:捕食者—食饵系统；一致持续生存；脉冲效应；灭绝性；全局吸引AbstractAbstractIn this thesis, dynamical behaviors of serveral types of population models in ecology are studied by using the theory of ordinary differential equation and functional differential equation. It is composed of five chapters.In Chapter 1, the goal, significance and the main works of this thesis are introduced.In Chapter 2, a predator-prey system with nonautonomous stage-structure and a nonautonomous predator-prey system with Holling IV functional response are studied. It is proved by differential equation qualitative theory that the system is persistent under proper conditions. Also, when the system is periodic, by using Brouwer fixed point theory and the way of constructing Lyapunov function, the sufficient conditions are obtained for the unique existence and global asymptotic stability of the periodic positive solution of the system. With respect to the general almost periodic system, we also obtain the sufficient conditions for the existence of general periodic positive solution as well as globally asymptotic stability．In Chapter 3，based on the strategy of integrated pest management, a predator-prey system with impulsive effect and Holling IV functional response is proposed and studied. By using impulsive comparison theorem, Floquent theory and small amplitude perturbation skill, the sufficient conditions for local asymptotic stability of pest-eradication periodic solution and permanence of the system are obtained.The results provide reliable tactical basis for the practical pest management.In Chapter 4，by using delay differential equation basic theory , comparison theorem and periodic solution existing theorem of impulsive differential equation, sufficient conditions which guarantee the global attractivity of prey-extinction periodic solution and permanence of the system are obtained. It is also proved that all solutions of the system are uniformly ultimately bounded.The obtained results provide reliable tactical basis for the practical biological resource management and enrich the theory of impulsive differential equation.In Chapter 5，we summarize the whole paper and point out the problems that are still unsolved in the research .Moreover, the future study is prospected.Key words: predator-prey system；uniform persistence；impulsive effect；extinction;global attractivity目录摘 要 (I)Abstract (II)目 录 (III)第一章 绪 论 (1)§1. 1引言 (1)§1. 2研究目的及意义 (2)§1. 3本文的主要工作 (3)第二章 非自治捕食者-食饵系统 (4)§2. 1 引言 (4)§2. 2一类具有阶段结构的非自治捕食者-食饵系统的研究 (4)2. 2. 1预备知识 (5)2. 2. 2一致持久生存性 (5)2. 2. 3周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性 (6)2. 2. 4概周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性 (7)2. 2. 5小结 (9)§2. 3具Holling IV类功能反应的捕食者-食饵系统的研究 (9)2. 3. 1预备知识 (10)2. 3. 2一致持久性 (11)2. 3. 3周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性 (12)2. 3. 3结论 (13)第三章 一类基于IPM策略的具有脉冲效应的捕食者-食饵系统 (14)§3. 1引言 (14)§3. 2具有脉冲效应和Holling IV类功能反应的捕食者-食饵系统分析 (14)3. 2. 1预备知识 (15)3. 2. 2灭绝性与持久生存性 (17)§3. 3本章小结 (22)第四章 两类具时滞和脉冲作用的捕食者-食饵系统的动力学分析 (23)§4. 1引言 (23)§4. 2一类时滞脉冲捕食食饵-系统的全局吸引性和一致持久 (23)4. 2. 1预备知识 (24)4. 2. 2主要结果 (25)4. 2. 3小结 (29)§4. 3食饵具脉冲扰动与捕食者具连续收获的时滞捕食者-食饵系统的动力学行为 (30)4. 3. 1预备知识 (30)4. 3. 2主要结果 (31)4. 3. 3小结 (36)第五章 总结与展望 (37)§5. 1 本文研究工作的总结 (37)§5. 2 对今后研究工作的展望 (37)参考文献 (38)致 谢 (43)作者在攻读硕士期间主要研究成果 (44)第一章绪论§1. 1引言种群生态学是生物数学中的主要分支，在现实生活中发挥着越来越重要的作用. 种群生态学的研究主要通过建立符合生物发展规律的数学模型，然后利用相应的数学理论和方法对模型进行推理和求解，进而发现其演化规律.微分方程是研究种群生态学的重要理论和方法.人们利用微分方程建立生态数学模型来研究和解决生态学实际问题，并取得了巨大的成功[1-2].从单种群系统到多种群系统,从自治微分动力系统到非自治微分动力系统，从连续动力系统再到脉冲微分系统，生物动力系统经历了一个百年迅速发展的过程,所建立的数学模型越来越能真实确切地反映生命现象的本质及其发展过程.由于整个自然环境常随时间而改变，自治的生物模型无法刻画这一因素,而时变环境下非自治的生物系统能够更加准确的反映现实.因此非自治系统吸引了学者和专家的重视与兴趣并取得了大量的成果[3-7]，主要是研究系统的全局渐近稳定性、持久性、周期解的存在性等.脉冲微分方程作为20世纪末发展特别迅速的一个数学分支，是描述某些运动状态在固定或不固定时刻的快速变化或跳跃，它能更真实地反映自然界中一些瞬时突变的现象.在种群动力学中，很多自然现象或因素都需要用脉冲微分方程来描述才能更加真实的反映自然界事物变化规律，因此它比普通微分方程有更丰富的内容和性质.目前，脉冲微分方程在生物种群中的研究应用主要集中在脉冲发生在固定时刻的情况，对食饵-捕食者系统的研究结果较多.§1. 2研究目的及意义§1.2.1 非自治捕食者—食饵系统在自然界中，捕食现象是普遍存在的，所以对捕食模型的研究显得尤为重要.通过研究捕食模型的稳定性、持久性来解释和预测种群的发展趋势，这对于保持良好的生态平衡，保护生物种群的多样性，维持生态系统的可持续发展有着重要的指导意义.因此，捕食者与食饵之间的相互作用关系一直以来都是生物数学界与生态学界的一个重要的研究课题.在经典的微分系统中，总是假设系统的参数是不随时间的变化而变化的，即通常考虑的是自治系统的情形，这时我们通常研究系统平衡点的性态或极限环周围解的性质.一般来说，在环境不发生巨大的变化，不进行人为的破坏，生态系统的发展过程分布比较均匀，把系统的参数看做是常数有一定的合理性，并且有利于人们建立、分析与研究生态模型.然而，在现实世界中，很多生物种群的增长经常会受到很多自然因素的影响，如季节的影响、生存空间、食物供给的丰富性、种群的交配与生殖等，从而产生波动.也就是说，模型的有关参数往往是与时间有关的，所以研究非自治的捕食者—食饵系统具有重要的实际生物意义.但其不足之处有：(1)考虑环境及种群干扰因素过于简单；(2)对于多种群生物系统,没有较完善的数值模拟的方式从图形上来说明；(3)对于非自治生物系统考虑具有Holling IV功能、避难所和干扰常数的研究很少.对于非自治系统的研究完全可以考虑多种外界因素的干扰[8],以便使模型更贴近现实，达到更合理保护或控制生物.自然界中有很多现象呈现周期性的变化，如气候、昼夜更替、季节变化等，因此生物的生存环境是随时间而周期改变的.近些年来，很多学者对非自治周期系统进行了大量的研究，得到了周期正解和概周期解的存在唯一性和全局渐近稳定性.§1.2.2脉冲微分方程近年来，人们发现自然界中许多实际现象的发展过程并不是连续的，即系统受到一个短时间的外部作用，尽管这个短暂的干扰时间同整个发展过程相比较可以忽略不计，但是它可以改变系统的状态，导致物种的数量突变，若用连续动力系统去描述这些行为，则必定会与实际相差很大，因此不能单纯地用差分方程或微分方程来处理.而脉冲微分方程为研究这种在一个阶段是连续发展，而在一些时间点上是脉冲式的瞬间干扰行为提供了有力的工具，它能恰当的描述连续与脉冲相结合的自然现象.生物种群系统的许多自然现象和人为干预因素都需要用脉冲微分方程来描述.如：生育脉冲[9-10]，物种的迁徙，接种疫苗，生态环境的剧变对种群的影响.在渔业生产中，鱼苗的放养和成鱼的收获是周期性地发生而且是短时间完成的[11]. 在农业生产中，人们经常利用定期投放天敌和喷洒杀虫剂结合起来去控制害虫，即害虫的综合管理策略[12]. 投放天敌和喷洒杀虫剂是瞬时的、不连续的脉冲行为.在微生物培养中，培养基的脉冲输入[13-14].脉冲微分方程是在常微分方程的基础上发展起来的，其突出的特点是能充分考虑到瞬间变化对状态的影响，能够更合理、更精确地反映事物的变化规律.因此，许多学者对脉冲微分方程理论做了广泛而深入的研究.如文献[15]研究了时滞脉冲微分方程解的存在性、可微性与延拓性，文献[16]研究了脉冲微分方程系统的稳定性, 文献[17]研究了解的振动性, 等等.脉冲微分方程是非线性微分系统的一个分支.脉冲微分方程的研究始于20世纪60年代，近三十年来，脉冲微分方程的理论和方法得到了迅速发展[18-19]，已形成一个比较完整的学术体系，被广泛地应用于生物控制、传染病动力学、种群动力学、药物动力学、分子学、遗传学及生物控制论等方面.其代表成果有：癌细胞的化疗[20],脉冲收获[21], 种群生态学[22], 脉冲控制[23-24], 等等.尽管很多学者为脉冲微分方程在各领域的应用做了广泛的研究，但脉冲微分方程在种群动力学和传染病动力学的应用研究中，尚存在某些研究的空白.脉冲微分方程的定性理论尤其是状态依赖的脉冲微分方程的定性理论还处在起步阶段，脉冲自治系统的几何理论几乎是空白的.此外，脉冲从理论转入应用还有一定的困难，在应用方面，特别是在生命科学中的应用，还相对较少.而在最近十年，又不断地向时滞脉冲微分方程推进[25-26].脉冲种群系统与不含脉冲的种群动力系统相比，有着更加复杂的动力学性质.若同时考虑具有时滞和脉冲的种群系统，二者交织会影响解的性态，因此具有更加复杂的性质，其研究就更加困难，而且可供参考的文献不是很多，但这类种群模型是大量存在的，所以研究这类种群模型具有很重要的实际意义和很好的发展前景.§1.3 本文的主要工作本文运用微分方程定性理论、脉冲比较定理、Floquent乘子理论等方法，研究了非自治动力系统和脉冲微分系统的动力学性质，具体如下：第二章，分为两个部分，利用微分方程定性理论、泛函分析的Brouwer不动点定理和构造Lyapunov泛函的方法，讨论了一类食饵具有阶段结构的非自治捕食者—食饵系统和一类具Holling IV类功能反应的非自治捕食者—食饵系统，证明该系统在适当条件下是一致持久的，并且当系数分别为周期函数、概周期函数时，得到了该系统周期正解与概周期正解唯一存在且全局渐近稳定的充分条件.第三章，以农业生产中的害虫治理为背景，利用脉冲比较定理、Floquent乘子理论及分析的方法，建立并讨论了一类在固定时刻具有脉冲效应和Holling IV类功能反应的捕食者—食饵系统，得到了系统的一致最终有界性，并给出食饵灭绝周期解的局部渐近稳定性与系统持续生存的充分条件，所得结论为现实的害虫治理提供了可靠的策略依据.第四章，分为两个部分，分别对两类时滞脉冲微分系统作了讨论.运用时滞泛函微分方程的基本理论和脉冲微分方程的比较定理、周期解存在定理，得到了系统食饵、捕食者灭绝周期解的全局吸引和系统持久的充分条件，也证明了系统所有解的一致完全有界，所得的结论为现实的生物资源管理提供了可靠的策略依据，也丰富了脉冲时滞微分方程的理论.第二章 非自治捕食者—食饵系统§2. 1 引言捕食者—食饵系统是生态学中一类非常重要的种群系统,许多学者对它进行广泛而深入的研究，并取得了大量的成果[27-33].在自然界中，种群在其成长发育的不同阶段，会表现各种不同的特征，而且其各项生理机能差别较大，如捕食能力，竞争能力，扩散率等等.因此，研究具有阶段结构的捕食模型具有很重要的现实意义，文[27-28]究了具有阶段结构的自治捕食系统.相比自治的微分方程而言，时变的微分系统[29-31]真实地描绘现实世界，比如：如果考虑气候改变，食物来源结构改变等环境因素的变化，自治的生物模型无法刻画这一因素，而时变微分系统能发挥着重要的作用，能够更加准确地描述现实的生命科学体系.由于季节的周期变化,生物的生存环境的周期变化,从而生物的一些习性,如体温、交配等也表现为周期性.这种周期性往往会影响种群的数量,并且可能导致一些周期性结果.因此,考虑时变环境下系统的参数,如内禀增长率、种群间的竞争系数、种群内的竞争系数等，为周期变化的是符合实际的.此外,在研究自然现象和社会现象中,我们考虑种群和环境、种群和种群之间等等的因素（如功能反应函数、种群干扰现象和阶段结构等等）是各异的.因此对时变环境下的非自治系统进行详细的研究不仅仅理论上的必要性而且还有重要的现实性.本章讨论了一类具有阶段结构的非自治捕食者—食饵系统和一类具Holling IV 类功能反应的非自治捕食者—食饵系统，通过利用微分方程定性理论、泛函分析的Brouwer 不动点定理和构造Lyapunov 函数的方法，对系统的一致持续生存性、周期正解的存在唯一性和渐近稳定性、概周期正解的存在唯一和全局渐近稳定性进行研究，得到出现各种动力学性质的充分条件.§2. 2 一类具有阶段结构的非自治捕食者—食饵系统的研究文[29]中考虑了如下的系统 ：1112222333()()()x x a b x c y yy a b x c y d z z z a b y c z =--⎧⎪=+--⎨⎪=-+-⎩ ，，，通过利用代数方程、Hurwitz 判别法则，得到了该系统平衡点的存在性、稳定性等相关的结论.本节在文[29]基础上假设环境随时间是周期或概周期变化下,针对食饵的年龄结构，把被捕食群体区分为成年群体和幼年群体，考虑到它们在系统中的不同作用， 建立一类非自治具有阶段结构的捕食-被捕食模型.具体模型如下：1112222333()()(()()()()())()()(()()()()()()())()()(()()()()()).x t x t a t b t x t c t y t yt y t a t b t x t c t y t d t z t z t z t a t b t y t c t z t =--⎧⎪=+--⎨⎪=-+-⎩ ，， (2-2-1) 其中()x t ，()y t 1()a t 12(),(c 分别为幼年食饵和成年食饵在t 时刻的密度，为捕食者种群在t 时刻的密度.，分别为食饵幼体和成体的内禀增长率，为捕食者种群的死亡率.为种内密度制约因素，()z t 3(a t ()()t y t 2()a t 3),()c t )b t t 1()c t x -，，，表示种群间的相互作用. 2()()b t x t y =1,2,3),2d ()t ()t 2-()()d t y ()z t t 3()b t y ()()t z t (),a t b (),i i i t c ()t (i 是[0上连续的严格正函数，并且满足,)+∞2min{,,,}0L L L L i i i a b c d >，2max{,,,}M M M M i i i a b c d <+∞，()1,2,3i =，对于一个连续有界函数，记()h t inf{():}L h h t t R +=∈，.sup{():}M h h t t +=∈R §2.2.1 预备知识引理2.2.1[30]设是非负可微函数，若()g t (),g t M M '<为一正常数，且0(),g t dt +∞<+∞⎰则.lim ()0t g t →+∞=引理2.2.2（Brouwer 不动点定理）设n R 是维欧几里德空间，是n A n R 的一个有界凸集，f 是A A →的一个连续映射，那么必有x A ∈，使得()f x x =.定义 2.2.1[34] 系统(2-2-1)是一致持续生存的是指：如果存在正常数和m M ，使得对于系统(2-2-1)的任何正解()((),(),())X t x t y t z t =都存在T ，当t 时有，即. 0>T ≥()m X t M ≤≤lim inf m X →∞()lim sup ()t t t X t →∞≤≤M ≤§2.2.2 一致持续生存性由于一致持久性对于生物系统而言可以解释为种群最终不会消亡，因此对生物系统一致持久性的研究具有特别重要的意义，下面我们给出系统(2-2-1)的一致持久性结果.定理2.2.1 3R +=(){}(),(),()()0,()0,()0x t y t z t x t y t z t >>>是系统(2-2-1)的正向不变集. 证明 对于任意和([0,)t ∈+∞(0),(0),(0))x y z 3R +∈，1110()(0)exp{[()()()()()]}0,t x t x a s b s x s c s y s ds =--⎰>>> 22220()(0)exp{[()()()()()()()]}0,ty t y a s b s x s c s y s d s z s ds =+--⎰ . 3330()(0)exp{[()()()()()]}0tz t z a s b s y s c s z s ds =-+-⎰故3R +是系统(2-2-1)的正向不变集..定理2.2.2 若系统(2-2-1)的系数满足条件110L M a c H ->，，22120L L M a b m d H +->3320M L a b m -+>, (2-2-2)则123{((),(),())|(),(),()}x t y t z t m x t H m y t H m z t H Ω=≤≤≤≤≤≤是系统(2-2-1)的最终有界区域，其中：第二章 非自治捕食者—食饵系统1111L M M a c H m b -=1ε-，2212222L L M M a b m d H m c ε+-=-，332333M L M a b m m c ε-+=-，(1,2,3i i )ε= 是任意小的正数.证明 考虑函数，则有123()()()()s t w x t w y t w z t =++()()st s t λ+= 1111122222(()()())()(()()())(w a t w w b t x t x t w a t w c t y t w y )t λλ+-+-+ 333331122(()()())()(()())()()w a t w w c t z t z t w c t w b t x t y t λ+-+-+-+2233(()())()()w d t w b t y t z t +-+. (2-2-3)令111()()k t w a t w 1λ=+，222()()k t w a t w 2λ=+，333()()k t w a t w 3λ=-+．选取3M a λ>，使 ()0i k t >(1,2,3i =)代入(2-2-3)有111222()()(()()())()(()()())()st s t k t w b t x t x t k t w c t y t y t λ+=-+- +3331122(()()())()(()())()()k t w c t z t z t w c t w b t x t y t -+-+2233(()())()()w d t w b t y t z t +-+，在上式中令2112()()()b t w t c t =，，21w =233()()2()d t w t b t =，选取t 使，，则有 11w ≥21w ≥111222333()()(()()())()(()()())()(()()())()st s t k t w b t x t x t k t w c t y t y t k t w c t z t z t λ+≤-+-+- =2112212()()()())()(()()())()()b t b t k t x t x t k t c t y t y t c t -+-(2333()()(()())()2()d t c t k t z t z t b t +-. 由于上面不等式的右端所有的二次项系数均为负的，所以存在常数，使得0k > ()()st s t k λ+≤ ， 即 ()(())k s t s t λλ≤- ，从而有lim sup ()t k s t λ→∞≤　. 因此，对任给小的0ε>，存在T ，当时，有1t T >()k s t ελ≤+. 令,kH ελ=+当时，有 1t T >()x t H ≤，()y t H ≤，()z t H ≤.另外，由系统(2-2-1)中第一个方程，有111111()()(()()()()())()(())L M M xt x t a t b t x t c t y t x t a b x t c H =--≥-- ， 所以 111lim inf ()L M M t a c H x t b α→∞-≥=. 因此，对任给10εα<<，存在，当时，有2T T >12t T >1()x t αε≥-.令11m αε=-，当时，有 2t T >1()x t m ≥. (2-2-4)同理可证：存在和，当，有 20m >3T T >23t T >2()y t m ≥ . (2-2-5)存在和，当，有 . (2-2-6)30m >4T T >34t T >3()z t m ≥综合式(2-2-4)、(2-2-5)和(2-2-6)可得，当时，有4t T ≥()(),(),()x t y t z t ∈Ω.因此，Ω是系统(2-2-1)的最终有界区域.定理2.2.3 若条件(2-2-2)成立，则系统(2-2-1)是一致持续生存.证明 由定理2.2.2易得结论.§2.2.3 周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性设是[02(),(),(),()(1,2,3)i i i a t b t c t d t i =,)+∞上连续和严格正的ω周期函数，且有上下界，则系统(2-2-1)是一个ω周期系统.定理2.2.4 若条件(2-2-2)成立，且系统(2-2-1)还满足111122233332()2()()()0,()0,()()2()()0a t m b t c t m b t c t a t b t H c t m d t -++->>-++>，(2-2-7) 则系统(2-2-1)有唯一的全局渐近稳定的ω周期正解.证明 {}123((),(),())|(),(),()x t y t z t m x t H m y t H m z t H Ω=≤≤≤≤≤≤为有界闭凸集，且为系统(2-2-1)的正不变集，定义Poincare 映射3:A R R 3++→， 使得 00()(,)A x x x ω=， 03x R +∈，则A 映射到自身，即. 由解对初值的连续依赖性可得Ω()A Ω⊂ΩA 连续.由Brouwer 不动点定理，在Ω中映射A 至少存在一个不动点，相应地系统(2-2-1)至少存在一个严格正的ω周期解.设1111()((),(),())p t x t y t z t =是系统(2-2-1)的ω周期正解，()((),(),())p t x t y t z t =是系统(2-2-1)任意一具有正初值的解，构造Lyapunov 函数：111()()()ln ()ln ()()()v t x t x t y t y t z t z t =-+-+-，则 11()(()()ln ()ln ()()())D v t D x t x t y t y t z t z t ++=-+-+-111(()())(ln ()ln ())(()())D x t x t D y t y t D z t z t +++≤-+-+-1=11(()())sgn(()())x t x t x t x t -- +111()()(()())()()yt y t y t y t y t y t -- +. 11(()())sgn(()())zt z t z t z t -- 由11(()())sgn(()())xt x t x t x t -- 1sgn(()())x t x t =-11[()(()())a t x t x t -2211()(()())b t x t x t --11()(()()()())]c t x t y t x t y t --111= 11()(()())sgn(()())a t x t x t x t x t --12211()(()())sgn(()())b t x t x t x t x t ---111()(()()()())sgn(()())c t x t y t x t y t x t x t ---11111()()()()(()())(()())sgn(()())a t x t x t b t x t x t x t x t x t x t ≤---+-11111()(()()()())sgn(()())c t x t y t x t y t x t x t ---1111112()()()2()()()()()()a t x t x t m b t x t x t c t m x t x t ≤-----1，同理可证: 111()()(()())()()y t y t y t y t y t y t -- 21212()()()()()()()()()b t x t x t c t y t y t d t z t z t ≤---+-1， 11(()())sgn(()())zt z t z t z t -- 313133()()()()()()2()()()a t z t z t b t H z t z t c t m z t z t ≤--+---1 所以 1111221()(()2()()())()()D v t a t m b t c t m b t x t x t +≤--+-+2133332(())()()(()()2()())()()c t y t y t a t b t H c t m d t z t z t --+-+-+-1t .令， 111122233332min{()2()()(),(),()()2()()}a a t m b t c t m b t c t a t b t H c t m d =-++--+-由11()(()()()()()())D v t a x t x t y t y t z t z t +≤--+-+-1，得111()()(()()()()()()s 0tT v t v T a x s x s y s y s z s z s d -+-+-+-≤⎰），111()(()()()()()())tTv T x s x s y s y s z s z s ds a-+-+-≤<⎰∞. 则有1lim ()()0t x t x t →∞-=，1lim (t)()0t y y t →∞-=，1lim ()()0t z t z t →∞-=.这说明系统(2-2-1)的ω周期正解是全局渐近稳定的，从而也说明了周期解的唯一性.§2.2.4 概周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性概周期现象以周期现象作为它的特例，在生态学中更具有实际意义，设，是(),(),()i i i a t b t c t (123i =，，)2()d t [)0+∞，上连续的严格正概周期函数，于是得到如下的概周期系统：1112222333()()(()()()()())()()(()()()()()()())()()(()()()()())(0)0,(0)0,(0)0.x t x t a t b t x t c t y t yt y t a t b t x t c t y t d t z t z t z t a t b t y t c t z t x y z =--⎧⎪=+--⎪⎨=+-⎪⎪>>>⎩ ,,-, (2-2-8) 考虑系统 (,)xf t x = ，(,)(,)n f t x C R D R ∈⨯， (2-2-9) 其中是D n R 的一个开集，(,)f t x 是关于t 对n x R ∈上是一致概周期的，对式(2-2-9)的伴随系统(,),(,)x f t x y f t y == . (2-2-10) 引理 设存在定义在[上的Lyapunov 函数，满足[35]2.2.3)0,D D +∞⨯⨯(,,)V t x y ()()(,,)(),i a x y V t x y b x y -≤≤-其中和是连续、递增的正定函数； ()a r ()b r 11221212()(,,)(,,){},0ii V t x y V t x y k x x y y k -≤-+->是一个常数；()(,,)iii D V cV t x y +≤-00t t ≥≥S ⊂，这里是一个常数，并且设系统(2-2-9)有一个解，对一切落在紧集内，则系统(2-2-9)在中有唯一概周期解，且此解在上一致渐近稳定.0c >D S D 定理2.2.5 若系统(2-2-8)满足条件(2-2-2)和(2-2-7)，则概周期系统(2-2-8)存在唯一且全局渐近稳定的概周期正解.证明 由定理2.2.2和定理2.2.3知，系统(2-2-8)是一致持续生存的，为这个一致持续生存域，显然Ω是紧集，考虑系统(2-2-8)的伴随系统： Ω11111111122121211133131111()()(()()()()()),()()(()()()()()()()),()()(()()()()()),(0)0,(0)0,(0)0.x t x t a t b t x t c t y t yt y t a t b t x t c t y t d t z t z t z t a t b t y t c t z t x y z =--⎧⎪=+--⎪⎨=-+-⎪⎪>>>⎩ ，1111()((),(),())P t x t y t z t =11111111122121211133131111()()(()()()()()),()()(()()()()()()()),()()(()()()()()),(0)0,(0)0,(0)0.ut u t a t b t u t c t v t vt v t a t b t u t c t v t d t w t w t w t a t b t v t c t w t u v w =--⎧⎪=+--⎪⎨=-+-⎪⎪>>>⎩ .1111()((),(),())Q t u t v t w t =在上定义Lyapunov 函数：[0,)+∞⨯Ω⨯Ω 11111111(,,)()()()()()()V P Q x t u t y t v t z t w t τ=-+-+-.取111111()()()()()()()()a r b r x t u t y t v t z t w t ==-+-+-，则为连续递增的正定函数，所以满足引理的条件.(),()a r b r ()V t 2.2.3()i 设是系统(2-2-8)在[0上任意两个解，则有 22222222((),(),()),((),(),())P x t y t z t Q u t v t w t ,)+∞⨯Ω⨯Ω1122(,,)(,,)V t P Q V t P Q -=111111222222()()()()()()()()()()()()x t u t y t v t z t w t x t u t y t v t z t w t -+-+------- 121212121212()()()()()()()()()()()()x t x t y t y t z t z t u t u t v t v t w t w t ≤-+-+-+-+-+-1212P P Q Q =-+-.所以满足引理的条件.()V t 2.2.3()ii 与定理2.2.4的证明相类似，有下式成立：111111111()()()()()()()()()()D V t A t x t u t B t y t v t C t z t w t +≤------，其中111112212313332()()2()()(),()()(),()()2()()A t a t m b t c t m b t B t c t b t H C t a t c t m d t =-++-=-=++111min{(),(),()}0,r A t B t C t =>()()D v t rv t +≤-()V t ()iii .取则，所以满足引理2.2.3的条件，从而由引理2.2.3可知系统(2-2-8)在Ω中有唯一正概周期解，它在中是一致渐近稳定的.当满足条件(2-2-2)和(2-2-7)时，可知其具有唯一全局渐近稳定的概周期正解.Ω§2.2.5 小结本节研究了一类食饵具有阶段结构而捕食者不分阶段的捕食者-食饵系统，由定理 2.2.2与定理 2.2.3可知,当系统参数满足110L M a c H ->，，时,系统是一致持久生存的,也就是这时各物种能够长期共存下去,这对于保护物种的多样性有重要意义.而通过定理2.2.4与定理2.2.5的证明，我们得出了该系统周期正解与概周期正解的唯一存在性和全局渐近稳定性的充分条件.22120LL M a b m d H +->3320ML a b m -+>§2. 3 具Holling IV 类功能反应的非自治捕食者—食饵系统的研究研究捕食系统，特别是具有功能反应的捕食系统有着十分重要的现实生态意义，已被许多学者广泛研究[36-42].而对于形式较为复杂的Holling IV 类功能性的捕食系统的研究较少.文[43]中研究了一类具有Holling IV 类功能反应的自治系统：22012()1()1xy x x a bx cx wx x rxy y y h h y wx x ββ⎧=---⎪++⎪⎨⎪=--+⎪++⎩ ,. 讨论了该系统平衡点的全局稳定性、极限环的唯一存在性.但是由于自然界中各种因素如：食物、环境等会随时间发生改变，因此考虑模型的有关参数与时间有关更符合客观实际，本节在文[43]的基础上分析了一类具有Holling IV 类功能性的非自治系统，讨论了其动力学性质.本文具体模型如下：22012()()()()(()()()()()),1()()()()()()()()()(()()()).1()()()()x t y t x t x t a t b t x t c t x t w t x t t x t r t x t y t y t y t h t h t y t w t x t t x t ββ⎧=---⎪++⎪⎨⎪=--+⎪++⎩ (2-3-11) 其中()x t 表示食饵种群在时刻的密度，表示捕食者种群在t 时刻的密度，是食t ()y t ()a t 饵的内禀增长率，2()/(1()()()())x t w t x t t x β++()t t 为Holling IV 类功能反应函数，表示捕食率.为食饵种群转化为捕食者的转化率.表示食饵的密度制约项，h t 表示捕食者种群的死亡率.()r t ()2()()()()b t x t c t x t --(),(),(),(),a t b t c t r t 01()h t y +0(),(),(),w t t h t β1()h t 是[0上连续和严格正的有界函数，并且满足；,)+∞{}01min ,,,,,,,0,L L L L L L L L a b c r w h h β>{}01max ,,,,,,,M M M M M M M M a b c r w h h β<+∞对于一个连续有界函数()f t ，记{}sup ():M f f t t R +=∈，{}inf ():L f f t t R +=∈.§2.3.1 预备知识设{}2((),())()0,()0R x t y t x t y t +=>>，由生物学意义，只在区域2int R +内考虑系统(2-3-11)，对解((),())x t y t 只考虑其具有正初值的情况，即000()0,()0,0x t y t t >>≥. (2-3-12)引理2.3.1 2R +是系统(2-3-11)的正向不变集.证明 由系统(2-3-11)得到：202()()()exp{[()()()()()]}01()()()()tt y s x t x t a s b s x s c s x s ds w s x s s x s β=---++⎰>， 00012()()()()exp{[()()()]}01()()()()t t r s x s y t y t h s h s y s ds w s x s s x s β=--+++⎰>>>. 当时，必有.因此系统(2-3-11)满足正初值的解可以保持恒正，故00()0,()0x t y t >2()0,()0x t y t >R +是系统(2-3-11)的正向不变集. 引理2.3.2 对系统(2-3-11)满足正初值条件(2-3-12)的解((),())x t y t ，若满足条件0(M L L r h w >+ ， (2-3-13)则集合2{((),())0(),0()}T x t y t R x t N y t M +=∈<≤<≤是系统(2-3-11)的最终有界集，其中*M L a N N b >=，*M M >=N *N 与、*M 与M 充分接近.证明 设((),())x t y t 是系统(2-3-11)满足正初值条件(2-3-12)的解，从而2((),())x t y t R +∈，由系统(2-3-11)的第一个方程知()()(())M L xt x t a b x t ≤- ，于是有lim sup ()ML t a x t b→+∞≤*N N =<. (1)若0()x t N ≤，则对有0t t ≥()x t N ≤；(2)若0()x t >N ，则存在0ε>，当00[,]t t t ε∈+时有()x t N >.由已知条件知()(N N a >())0M L x t xt b N ≤- <，故存在，当时，有100T t ≥≥1t T ≥()x t N ≤. 再由系统(2-3-11)的第二个方程知 ：012()()()(()1()(M L LL L r x t y t y t h h y t w x t x t β≤--+++ )1()(()1()()ML L L L r y t h h y t x t w x t β≤--+++01()(()M L L y t h h y t ≤--+.则*lim sup ()t y t M →+∞≤=M <.与前面讨论相同，若0()y t M ≤，则对有0t t ≥()y t M ≤；否则，存在，当时，有200T t ≥≥2t T ≥()y t M ≤.令{}01max ,T T =2T ，当时，有0(0t T ≥),0()x t N y t M <≤<≤，故集合是系统(2-3-11)的最终有界集. T§2.3.2 一致持久性定理2.3.1 设条件(2-3-13)成立，若满足：0L a M ->， 0()L M M r h G w 0-+>， (2-3-14) 则212{((),())(),()}x t y t R m x t N m y t M +Ω=∈≤≤≤≤是系统(2-3-11)的正不变集和最终 有界集，则系统(2-3-11)是一致持久的. 其中*11L M Ma M m mbc N -<=+，*0221()()L M M M M r h G w m m G w h -+<=+，并且和足够接近(1. i m *i m ,2)i =证明 由引理2.3.2知，存在，对所有的，是系统(2-3-11)的最终有界集.于是，由系统(2-3-11)的第一个方程知00T >0t T ≥()[T ()()()]L M M xt x b c N x t -+ t a ≥-M ，则 *11lim inf ()0L M M t a M x t m m b c N→+∞-≥=>+>1. (1) 若0()x t m ≥，则对有0t t ≥1()x t m ≥；(2) 若0()1x t m <，则存在0ε>，当00[,]t t t ε∈+时有1()x t m <，由已知条件知 11()()[()]0L M M x t m xt m a M b c N m <≥--+> 10，故存在，当时，有 3T T ≥3t T ≥1()x t m ≥. 再根据系统(2-3-11)第二个方程知12()()()(()1()(L M M M M r x t y t y t h h y t w x t x t β≥--+++ )1()(()1()()LM M M M r y t h h y t x t w x t β≥--+++令1()()()M f t x t 1(()m x t N ≤≤x t β=+)，则1111()max ,M M f t m m N ββ⎧⎫N G ≤++⎨⎬⎩⎭=， 所以 01()()(())LMM Mr y t y t h h y t G w≥--++ ， 则 *021()lim inf ()()L M M M M t r h G w 2y t m G w h →+∞-+≥=+m >. 与前面讨论相仿，若0()2y t m ≥，则对有0t t ≥2()y t m ≥；否则，存在，当 4T T ≥34t T ≥时，有 2()y t m ≥.由上述证明可知，当满足条件(2-3-13)、(2-3-14)时，存在，当时，恒有((.因此Ω是系统(2-3-11)的正向不变集和最终有界集，故系统(2-3-11)是一致持久的.40T >4t T ≥),())x t y t ∈Ω§2.3.3周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性下面假设(),(),(),(),a t b t c t r t 01(),(),(),()w t t h t h t β是[0,)+∞上连续的严格正函数，且 有上下界，并且是周期为ω的光滑函数，则系统(2-3-11)是一个ω周期系统. 定理2.3.2 如果ω周期系统(2-3-11)满足条件(2-3-13)、(2-3-14)，则系统(2-3-11)至少有一个严格正的ω周期解.证明 {}12(),()((),())m x t N m y t M x t y t ≤≤≤≤Ω=为有界闭凸集，且为系统(2-3-11)的正向不变集，定义Pioncare 映射2:A R R 2++→，使得,00()(,)A x x x ω=02x R +∈,则映射A Ω到自身，即.由解对初值的连续依赖性可得映射是连续的.由Brouwer 不动点定理，在Ω中，A 至少存在一个不动点，相应地系统(2-3-11)至少存在一个严格正的()A Ω⊂ΩA ω周期解.定理2.3.3 若条件(2-3-13)、(2-3-14)成立，且系统(2-3-11)还满足21221122(1)M M M M M L LL L w M NM r r N b c m w m m βββ++++>++， (2-3-15) 2122111(1)M M LL L w N N h w m m ββ++>++ ， (2-3-16) 则系统(2-3-11)有唯一的、全局渐近稳定的ω周期正解. 证明 设((),)()()x t z t y t =是系统(2-3-11)的ω周期正解，()((),())z t x t y t =是系统任一正解,构造Lyapunov 函数：()ln ()ln ()ln ()x t x t y t y t =-+-ln ()v t . 直接计算沿系统(2-3-11)的解的右上导数有()v t ()ln ()ln ()ln ()ln ()D v t D x t x t D y t y t +++≤-+- =(ln ()ln ())sgn(()())(ln ()ln ())sgn(()())d dx t x t x t x t y t y t y t y t dt dt--+--。

具时滞的单种群模型和SIS模型的稳定性和分支分析
传染病动力学是对传染病进行理论性定量研究的一种重要方法。

它根据种群生长的特性、疾病发生的特性、疾病发生及在种群内传播、发展规律,以及与之有关的社会因素,建立能反映传染病动力学特性性态的定性、定量分析和数值模拟,来显示疾病的发展过程,揭示其流行规律,预测其变化发展趋势,分析疾病流行的原因和关键因素,寻求对其预防和控制的最优策略,为人们防治决策提供理论基础和数量依据。

传染病模型通常是研究其平衡状态(无病平衡状态和地方病平衡状态)的存在性及其稳定性,周期解的存在性,分支的存在性,建立疾病传染的基本再生数。

正周期解的存在说明疾病不会消失,它会周期循环变化;分支的存在说明疾病传播的敏感性,一些因素发生微小变化就可以导致疾病流行状况的最根本变化。

比如Hopf分支的出现则标志着某个影响疾病流行的因素的微小变动可能导致疾病流行情况的巨大变化,疾病最终可能由稳定到一个特殊的平衡状态变成周期性地爆发。

本文考虑了以一类成年种群增长模型为基础的具时滞的SIS模型传染病模型。

首先,我们以成熟期为分支参数,通过分析特征方程的根的分布给出了地方病平衡点的稳定性和Hopf分支的存在性的充分条件,进而应用规范型方法和中心流形理论,得到了关于确定Hopf分支的方向和分支周期解的稳定性和的计算公式。

最后我们用MATLAB软件给出几组数值模拟结果以支持我们的理论分析结果。

几类脉冲生物模型的动力学脉冲生物模型是一种描述生物体内动力学行为的数学模型，它以脉冲信号的形式来表示生物体的激活或抑制过程。

根据不同的特征和行为方式，可以将脉冲生物模型分为多类。

本文将从动力学的角度介绍几类常见的脉冲生物模型。

1. 脉冲耦合振荡器模型脉冲耦合振荡器模型是一种描述神经元网络活动的数学模型。

它通过模拟神经元之间的相互作用，研究神经网络中的振荡行为。

该模型中的每个神经元都被表示为一个振荡器，通过脉冲信号的传递和耦合，模拟神经元之间的相互作用和同步现象。

脉冲耦合振荡器模型广泛应用于神经科学领域，有助于理解神经网络的动力学机制。

2. 脉冲神经网络模型脉冲神经网络模型是一种描述神经元信息传递和处理的数学模型。

它通过模拟神经元之间的脉冲信号传递和相互作用，研究神经网络中的信息传递和处理机制。

脉冲神经网络模型可以用来解释记忆、学习和认知等神经系统的功能。

该模型对于理解神经网络中的信息编码和解码过程具有重要意义。

3. 脉冲耦合振荡器网络模型脉冲耦合振荡器网络模型是一种描述振荡器网络动力学行为的数学模型。

它通过模拟振荡器之间的脉冲信号传递和相互作用，研究振荡器网络中的同步和异步现象。

脉冲耦合振荡器网络模型广泛应用于生物钟、心脏节律等领域，有助于理解振荡系统的动力学行为。

4. 脉冲耦合神经元网络模型脉冲耦合神经元网络模型是一种描述神经元网络动力学行为的数学模型。

它通过模拟神经元之间的脉冲信号传递和相互作用，研究神经元网络中的信息传递和处理机制。

脉冲耦合神经元网络模型可以用来解释神经网络中的同步、异步和波动等现象，对于理解神经系统的功能和疾病具有重要意义。

总结起来，脉冲生物模型是一种用来描述生物体内动力学行为的数学模型。

根据不同的特征和行为方式，可以将脉冲生物模型分为脉冲耦合振荡器模型、脉冲神经网络模型、脉冲耦合振荡器网络模型和脉冲耦合神经元网络模型等几类。

这些模型在神经科学、生物钟和心脏节律等研究领域发挥着重要作用，有助于理解生物体内的动力学行为。

对具阶段结构和生育脉冲的种群模型脉冲喷洒杀虫剂的动力学性质侯娟;刘兵【期刊名称】《新疆大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2006(023)004【摘要】We investigate the dynamic behaviors of a stage-structured pest population model with birth pulse and impulsive spraying pesticide at fixed time. Using the discrete dynamical system determined by the stroboscopic map, we obtain an exact 1-periodic solution of the system which is with Ricker function and obtain the threshold conditions for its stability. We conclude that the best time of spraying pesticide is at the end of the season, that is before and near the time of birth by showing that the time of spraying pesticide has a strong impact on the number of the mature pest population.%研究了一个具有阶段结构,脉冲生育及在固定时刻对其喷洒杀虫剂的害虫种群模型的动力学性质.运用由频闪映射决定的离散动力系统,得到了具Ricker功能函数系统的精确1-周期解,并讨论了它在临界条件下的稳定性.通过证明喷洒杀虫剂的时间对成年害虫有巨大的影响,得出结论喷洒杀虫剂的最好时间在季末,即在临近生育时期.【总页数】5页(P403-407)【作者】侯娟;刘兵【作者单位】新疆大学数学与系统科学学院,新疆,乌鲁木齐,830046;新疆大学数学与系统科学学院,新疆,乌鲁木齐,830046;辽宁省鞍山师范学院数学系,辽宁,鞍山,114005【正文语种】中文【中图分类】O175.14【相关文献】1.具密度依赖和生育脉冲的单种群阶段结构模型 [J], 杜明银;柴瑜;雒志学2.对具阶段结构和生育脉冲的种群模型脉冲喷洒杀虫剂的最优策略 [J], 侯娟;滕志东3.具脉冲出生与脉冲收获阶段结构单种群动力学模型 [J], 焦建军;鲍磊;陈兰荪4.具生育脉冲的阶段结构模型的脉冲捕捞策略 [J], 范京芝;蒋贵荣;覃永昼5.具密度依赖和脉冲生育的单种群阶段结构模型 [J], 程超;杜明银;栗永安因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。