苏教版高中数学必修4《两角和与差的余弦》参考教案1

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.1.1 两角和与差的余弦教案 苏教版必修43．1两角和与差的三角函数3．1.1 两角和与差的余弦(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能掌握用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用． 2．过程与方法通过公式的推导，领会其中的数学基本思想，掌握研究数学的基本方法，从而提高数学素质．3．情感、态度与价值观 通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识的发展过程，体会一般与特殊的关系与转化，培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力．●重点难点重点：灵活运用两角和与差的余弦公式． 难点：用向量推导两角差的余弦公式．(教师用书独具)●教学建议1．关于探求公式C (α－β)的结果的教学教学时，建议教师先让学生自己动手验证，从而明确cos(α－β)＝cos α－cos β为什么错误，引导学生体会从特殊到一般的思考问题的方法，并应用这种方法通过特殊情境0＜α＜β＜π2探求出cos(α－β)的结果．2．关于公式C(α－β)证明的教学教学时，建议教师：(1)在回顾求角的余弦有哪些方法时，联系向量知识，体会向量方法的作用．(2)结合有关图形，完成运用向量方法推导公式的必要准备．(3)探索过程不应追求一步到位，应先不去理会其中的细节，抓住主要问题及其讨论线索进行探寻，然后再作反思，予以完善(这也是处理一般探索性问题应遵循的原则)，其中完善的过程既要运用分类讨论的思想，又要运用诱导公式．●教学流程创设问题情境，引出问题：cosα－β＝cos α－cos β为什么错误？⇒引导学生结合有关图形，运用向量方法推导出两角差的余弦公式，进而得到两角和的余弦公式.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握利用两角和与差的余弦公式解决求值问题的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握利用两角和与差的余弦公式解决给值求值问题的方法.⇒通过例3及其互动探究，使学生掌握利用两角和与差的余弦公式求解给值求角问题的解题步骤及注意事项.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用．(难点)2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式．3.能用两角和与差的余弦公式化简、求值．(重点)两角和与差的余弦公式1．单位圆中(如图)，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐标是什么？OA→与OB→的夹角是多少？【提示】A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)．OA→与OB→的夹角是α－β.2．你能用哪几种方法计算OA→·OB→的数量积？【提示】①OA→·OB→＝|OA→||OB→|cos(α－β)＝cos(α－β)，②OA→·OB→＝cos αcos β＋sin αsin β.3．根据上面的计算可以得出什么结论？【提示】 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.4．把公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的β用－β代替，结果如何？【提示】 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. cos(α＋β)＝cos__αcos_β－sin_αsin_β； cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β. 这两个公式分别记作C (α＋β)，C (α－β)．运用公式求值求下列各式的值：(1)cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)； (2)cos 7°－sin 15°sin 8°cos 8°.【思路探究】 (1)将α－35°，25°＋α分别视为一个角，逆用公式可得解． (2)由7°＝15°－8°，可用两角差的余弦公式解决．【自主解答】 (1)原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12. (2)原式＝cos 15°－8°－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°＋sin 15°sin 8°－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°cos 8°＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24.1．两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．2．在两角和与差的余弦公式求值应用中，一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．求下列各式的值：(1)cos 75°；(2)cos 75°cos 15°－sin 255°sin 15°.【解】 (1)cos 75°＝cos(45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝22×32－22×12＝6－24. (2)cos 75°cos 15°－sin 255°sin 15° ＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝12.设cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，且π2＜α＜π，0＜β＜π2，求cosα＋β2的值． 【思路探究】 由已知可求得α－β2，α2－β的正弦、余弦．只须将α＋β2用已知条件中的角α－β2，α2－β表示出来，注意α－β2和α2－β的范围．用两角和与差的三角函数公式展开即得结论．【自主解答】 ∵π2＜α＜π，0＜β＜π2，∴π4＜α－β2＜π，－π4＜α2－β＜π2. 又cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23.∴sin(α－β2)＝1－cos2α－β2＝459，cos(α2－β)＝1－sin 2α2－β＝53.∴cos α＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)]＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β) ＝－19×53＋459×23＝7527.1．利用和(差)角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的和(差)，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解．2．在将所求角分解成某两角的和(差)时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝[(α＋β)＋(α－β)]，2α＝[(β＋α)－(β－α)]等．α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，求cos α的值．【解】 ∵α，β为锐角，∴0＜α＋β＜π.又∵cos(α＋β)＝1213，∴0＜α＋β＜π2，∴0＜2α＋β＜π.又∵cos(2α＋β)＝35，∴0＜2α＋β＜π2，∴sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45，∴cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665.已知α，β均为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，求角β的值．【思路探究】 解决本题的关键是根据已知条件，分别求出α的正弦值与α＋β的余弦值．再由β＝(α＋β)－α求出cos α，从而可以根据β的范围求出β的值．【自主解答】 ∵0＜α＜π2，cos α＝17.∴sin α＝1－cos 2α＝437.又∵0＜β＜π2，∴0＜α＋β＜π.∵sin(α＋β)＝5314＜sin α，∴π2＜α＋β＜π，∴cos(α＋β)＝－1－sin 2α＋β＝－1114.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝(－1114)×17＋5314×437＝12.又∵0＜β＜π2，∴β＝π3.解答给值求角问题的步骤： (1)求角的某一个三角函数值； (2)确定角所在的范围；(3)根据角的范围写出所求的角．特别注意：根据题意选择求角的正弦值、余弦值还是正切值，同时要注意缩小所求角的范围，最好把角的范围缩小在某一三角函数的单调区间内．将本题条件改为cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，如何求β的值？【解】 由cos α＝17，0＜α＜π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－172＝437.由0＜β＜α＜π2，得0＜α－β＜π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2α－β＝1－13142＝3314. 由β＝α－(α－β)得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. ∵0＜β＜π2，∴β＝π3.忽略角的范围限制的隐含条件致误已知α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，求α－β的值．【错解】 ∵cos β＝1010，sin α＝55，α，β为锐角， ∴sin β＝31010，cos α＝255.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝255×1010＋55×31010＝22，又∵α，β∈(0，π2)，∴－π2＜α－β＜π2，∴α－β＝π4或α－β＝－π4.【错因分析】 错解的原因在于忽视了利用三角函数值的大小判断α与β的大小关系． 【防范措施】 已知三角函数值求角的大小时，一定要注意判断角的范围，有时需利用三角函数值对角的范围进行精确化，以免产生增解．【正解】 ∵cos β＝1010，sin α＝55，α，β为锐角，∴sin β＝31010，cos α＝255.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22.又∵sin α＜sin β，∴α＜β.∴－π2＜α－β＜0.∴α－β＝－π4.对公式C (α－β)的理解：(1)公式中的α，β为任意角公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，比如cos(α＋β2－α－β2)中的“α＋β2”相当于角α，“α－β2”相当于角β，可用两角差的余弦公式展开．因此对公式的理解要注重结构形式，而不要局限于具体的角．(2)公式C (α－β)的结构特点①同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦． ②把所得的积相加．1．下列等式中，正确的个数为________．①cos(α－β)＝cos α－cos β；②cos(π2＋α)＝－sin α；③cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β；④cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.【解析】 由两角和与差的余弦公式可知②④正确． 【答案】 22．cos 105°＝________.【解析】 cos 105°＝cos(45°＋60°)＝cos 45°cos 60°－sin 45°sin 60°＝2－64. 【答案】2－643．计算：cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°＝________.【解析】 原式＝cos 75°cos 15°－sin 75°sin(180°＋15°)＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝12.【答案】 124．已知cos α＝－45，α∈(π，32π)，tan β＝－13，β∈(π2，π)，求cos(α＋β)．【解】 ∵α∈(π，32π)，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∵tan β＝－13，β∈(π2，π)，∴cos β＝－31010，sin β＝1010.cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝(－45)×(－31010)－(－35)×1010＝31010.一、填空题1．cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°的值为________．【解析】 cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝32. 【答案】322．若α∈(0，π)，且cos(α＋π3)＝45，则cos α等于________．【解析】 ∵α∈(0，π)且cos(α＋π3)＝45，∴sin(α＋π3)＝35.cos α＝cos[(α＋π3)－π3]＝45×12＋35×32＝4＋3310. 【答案】4＋33103．已知：cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45，且180°＜α＜270°，则tan α等于________【解析】 由已知得cos[(α＋β)－β]＝－45，即cos α＝－45.又180°＜α＜270°，所以sin α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝34.【答案】 344．已知sin α＝12，α是锐角，则cos(α－π4)＝________.【解析】 cos(α－π4)＝cos α·22＋sin α·22＝32·22＋12·22＝6＋24.【答案】6＋245．若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)的值为________． 【解析】 ∵(sin α－sin β)2＋(cos α－cos β)2＝2－2cos(α－β)＝(1－32)2＋(12)2，∴cos(α－β)＝32. 【答案】 326．化简：2cos 10°－sin 20°cos 20°＝________.【解析】 2cos 10°－sin 20°cos 20°＝2cos 30°－20°－sin 20°cos 20°＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°cos 20°＝ 3.【答案】37．(2013·成都高一检测)若cos θ＝－1213，θ∈(π，3π2)，则cos(θ＋π4)＝________.【解析】 ∵cos θ＝－1213，θ∈(π，3π2)，∴sin θ＝－513，∴cos(θ＋π4)＝cos θcos π4－sin θsin π4＝－1213×22－(－513)×22＝－7226.【答案】 －72268．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，α，β∈(0，π)且a ⊥b ，则α－β的值为________．【解析】 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，即cos αcos β＋sin αsin β＝0，从而cos(α－β)＝0.∵α，β∈(0，π)，∴－π＜α－β＜π，∴α－β＝π2或－π2.【答案】 ±π2二、解答题9．设α∈(π2，π)，若sin α＝35，求2cos(α＋34π)的值．【解】 ∵α∈(π2，π)，sin α＝35，∴cos α＝－45，∴2cos(α＋34π)＝2(cos αcos 34π－sin αsin 34π)＝2(－cos αcos π4－sinαsin π4)＝－cos α－sin α＝45－35＝15.10．已知α，β为锐角，且cos α＝110，cos β＝15，求α＋β的值．【解】 ∵α，β为锐角，∴sin α＝310，sin β＝25，∴cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝110·15－310·25＝－550＝－22.又0＜α＋β＜π，∴α＋β＝3π4.11．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝255.(1)求cos(α－β)；(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－513，求sin α.【解】(1)∵a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，∴a－b＝(cos α－cos β，sin α－sin β)．∵|a－b|＝255，∴cos α－cos β2＋sin α－sin β2＝255，即2－2cos(α－β)＝45，∴cos(α－β)＝35.(2)∵0<α<π2，－π2<β<0，∴0<α－β<π.∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.∵sin β＝－513，∴cos β＝1213.∴cos α＝cos[(α－β)＋β]＝cos(α－β)cos β－sin(α－β)sin β＝35×1213－45×(－513)＝5665.又0<α<π2，∴sin α＝1－cos2α＝3365.(教师用书独具)在△ABC中，若tan A(sin C－sin B)＝cos B－cos C，试判断△ABC的形状．【思路探究】将切化成弦，变形后应用差角公式就可得到角A，B，C之间的关系．【自主解答】∵tan A(sin C－sin B)＝cos B－cos C，∴sin Acos A＝cos B－cos Csin C－sin B，∴sin A sin C－sin A sin B＝cos A cos B－cos A cos C，即cos A cos C＋sin A sin C＝cos A cos B＋sin A sin B，∴cos(A－C)＝cos(A－B)．∵0°＜A，B，C＜180°，∴－180°＜A－C＜180°，－180°＜A－B＜180°，∴A－C＝A－B或A－C＝－(A－B)，即B＝C或2A＝B＋C.若B＝C，则△ABC为等腰三角形；若2A＝B＋C，则2A＝180°－A，A＝60°.11 综上所述，△ABC 为等腰三角形或A ＝60°的三角形．1．利用和、差角公式判断三角形的形状时，应考虑借助同名三角函数之间的关系判断三角形内角和的关系或者求出内角大小，进而判断三角形形状，注意三角形内角和A ＋B ＋C ＝180°这一隐含条件的运用．2．记住常用结论：sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2，tan(A ＋B )＝－tan C .在△ABC 中，已知tan A tan B ＜1，判断△ABC 的形状．【解】 ∵tan A tan B ＜1，∴sin A sin Bcos A cos B ＜1，sin A sin B cos A cos B －1＜0，sin A sin B －cos A cos B cos A cos B ＜0，－cos A ＋Bcos A cos B ＜0，cos Ccos A cos B ＜0，∴cos A ＜0或cos B ＜0或cos C ＜0，∴A 、B 、C 中有一个钝角，∴△ABC 为钝角三角形．。

《两角和与差的余弦》教学设计学生讨论回答求值问题讲解, 黑板板书课堂小结结束<___________________ 丄教学过程设计详案［提问］点C在x轴方向上是怎样运动的，是周期运动吗？可以用什么函数来刻画？题、讨论交流、总结并回答：点C在x轴方向的运动可以用想，培养学生的观察能力及探究问题的能力三角函数来刻画,［板书］点C 的坐标cosx-sin x,cosx sinx或Q2 cos x［提问］上述结果说明了什么？应该如何解读它?［提问］两个结果的形式不同，说明了什么？L H 1［板书］cosx—sinx可以恒等变形为42 cos x + — i l 4丿I—J［即cosx —sin x =』2 cos x +—也可以把后者看成< 4丿是cosx与sin x相加的结果［陈述］对三角函数进行恒等变换是一种有用的变换，它是对三角函数研究的继续和深入，也是本章学习的内容［追问］cos；』［也可以变换成I 4丿2—cos x -2丘i—sin x，2帮助学生将总结的［追问］上式中两角差的余弦可以用两角的正余弦值表达，一般的，cos〔二-［'；］能否用:-的三角函数来表示？引出课题［板书］引出课题引导学生分析运动背后的数学知识结论顺利转化为数学语倾听、思考、领悟、体会设计这样的引入承接了上一章对周期性变化进行研究的主题，突出三角函数刻画周期性变化的数学模型这一本质，它可以使学生体会到三角变换不仅仅是形式上的变换，而且是对三角函数研究的继续和深化，是在对周期性变化的研究中不可或缺的工具/、学习知识点编号练习题目内容目标两角和与差的余弦教学设计江阴市第一中学刘海燕2012 年12 月28 日。

3.1.1 两角和与差的余弦一、课题：两角和与差的余弦二、教学目标：1．掌握两点间的距离公式及其推导；2．掌握两角和的余弦公式的推导；3．能初步运用公式()C αβ±来解决一些有关的简单的问题。

三、教学重点：两点间的距离公式及两角和的余弦公式的推导。

四、教学难点：两角和的余弦公式的推导。

五、教学过程： （一）复习：1．数轴两点间的距离公式：12MN x x =-．2．点(,)P x y 是α终边与单位圆的交点，则sin ,cos y x αα==． （二）新课讲解：1．两点间的距离公式及其推导设111222(,),(,)P x y P x y 是坐标平面内的任意两点，从点12,P P 分别作x 轴的垂线1122,PM P M ，与x 轴交于点1122(,0),(,0)M x M x ；再从点12,P P 分别作y 轴的垂线 1122,PN P N ，与y 轴交于点1122(0,),(0,)N y N y ．直线11PN 与22P M 相交于点Q ，那么11221PQ M M x x ==-， 21221QP N N y y ==-．由勾股定理，可得2221212PP PQ QP =+2212x x y y =-+- 222121()()x x y y =-+-∴12PP =．2．两角和的余弦公式的推导在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作角,αβ与β-，使角α的始边为Ox ，交⊙O 于点1P ，终边交⊙O 于点2P ；角β的始边为2OP ，终边交⊙O 于点3P ；角β-的始边为1OP ，终边交⊙O 于点4P ，则点1234,,,P P P P 的坐标分别是1(1,0)P ，2(cos ,sin )P αα， 3(cos(),sin())P αβαβ++，4(cos(),sin())Pββ--， 1324PP P P =，∴22[cos()1]sin ()αβαβ+-++22[cos()cos ][sin()sin ]βαβα=--+--得：22cos()αβ-+22(cos cos sin sin )αβαβ=-- ∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-．（()C αβ+）3．两角差的余弦公式在公式()C αβ+中用β-代替β，就得到cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ （C αβ-）说明：公式()C αβ±对于任意的,αβ都成立。

第一课时两角和与差的余弦教学目标：掌握两角和与差的余弦公式，能用公式进行简单的求值；培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.教学重点：余弦的差角公式及简单应用教学难点：余弦的差角公式的推导教学过程：I.课题导入在前面咱们共同学习了任意角的三角函数，在研究三角函数时，我们还常常会遇到这样的问题：已知任意角a、卩的三角函数值，如何求 a + 卩、a—卩或2a的三角函数值？即：a+卩、a —3或2 a的三角函数值与a、卩的三角函数值有什么关系？n.讲授新课接下来，我们继续考虑如何把两角差的余弦cos(a—3)用a、3 的三角函数来表示的问题.在直角坐标系x O y 中，以O x 轴为始边分别作角a、 3 ，其终边分别与单位圆交于P1 (COS a , sin a)、P2 (COS 3 , sin 3 ),则/P 1OP = a — 3 .由于余弦函数是周期为 2 n 的偶函数，所以，我们只需考虑0W a —3<n的情况•设向量a= OP= COs a，sin a)，b= OP= COs3，sin 3)，则：a • b=| a ||b I cos ( a —3)=cos ( a —3)另一方面，由向量数量积的坐标表示，有a • b= cos a cos 3 + sin a sin 3所以：cos ( a—3)= cos a cos3＋sin a sin 3 ( C(a—3))两角和的余弦公式对于任意的角a、3 都是成立的，不妨，将此公式中的 3 用— 3 代替，看可得到什么新的结果?cos [a —(— 3 )]= cos a cos (—3)—sin a sin (—3)= cos a cos 3—sin a sin 3即：cos ( a ＋3)= cos a cos 3—sin a sin 3 ( C(a ＋3))请同学们观察这一关系式与两角差的余弦公式，看这两式有什么区别和联系?(1) 这一式子表示的是任意两角 a 与3 的差a— 3 的余弦与这两角的三角函数的关系.(2) 这两式均表示的是两角之和或差与这两角的三角函数的关系. 请同学们仔细观察它们各自的特点.(1) 两角之和的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的差.(2) 两角之差的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的和.不难发现，利用这一式子也可求出一些与特殊角有关的非特殊角的余弦值.如：求cos 15°可化为求cos(45°—30°) 或cos(60°—45°)利用这一式子而求得其值.即：cos 15°= cos(45°—30°)= cos 45°cos 30°＋sin45 °sin30 °_罡申卫1 _V6+V2=亍•方 + ~2 • 2 =—4 '或：cos 15°= cos (60°—45°) =cos 60° cos 45°+ sin60 ° sin45=1•上+F. 22 =「6+ $22 2 2 2 4n请同学们将此公式中的a用刁代替，看可得到什么新的结果？n n . n . .cos ( —— a )= cos — cos a + sin — sin a = sin a即：cos (n — a )= Sin an再将此式中的a用-—a代替，看可得到什么新的结果cos a = sin ("2 —a即：sin (n — a )= cos a二cos ( a +3=(—5)x(——sin a sin 亚=疝v )=专川.课堂练习1.求下列三角函数值①cos (45°+ 30°)② cos 105 解：①cos (45°+ 30°)= cos 45 =V2.迈—迪• 1 =护-V2=T • T —~2• 2 = ~2cos 30°—sin45 sin30②cos 105°= cos (60°+ 45°亚卫迈=y2-'2—•=)= cos 60° cos 45°—sin60 sin45.右cos cos 3=—4 , cos (4 =—1，求sin a sin 3 .解：由cos得：(a + 3)= cos a cos sin a sin 3 = cos a cos 334，cos将cos a cos 3=——sin3—cos (a sin 3a + 3 )a + 3)=—1代入上式可得：sin3.求cos 23° cos 22°—sin23 sin22。

第一课时 两角和与差的余弦教学目标：掌握两角和与差的余弦公式，能用公式进行简单的求值；培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.教学重点：余弦的差角公式及简单应用教学难点：余弦的差角公式的推导教学过程：Ⅰ.课题导入在前面咱们共同学习了任意角的三角函数，在研究三角函数时，我们还常常会遇到这样的问题：已知任意角α、β的三角函数值，如何求α＋β、α－β或2α的三角函数值?即：α＋β、α－β或2α的三角函数值与α、β的三角函数值有什么关系?Ⅱ.讲授新课接下来，我们继续考虑如何把两角差的余弦cos （α－β）用α、β的三角函数来表示的问题.在直角坐标系x O y 中，以O x 轴为始边分别作角α、β，其终边分别与单位圆交于P 1（cos α，sin α）、P 2（cos β，sin β），则∠P 1OP 2＝α－β.由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以，我们只需考虑0≤α－β＜π的情况.设向量a ＝OP 1→＝（cos α，sin α），b ＝OP 2→＝（cos β，sin β），则：a ·b ＝︱a ︱︱b ︱cos （α－β）＝cos （α－β）另一方面，由向量数量积的坐标表示，有a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β所以：cos （α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β （C （α－β））两角和的余弦公式对于任意的角α、β都是成立的，不妨，将此公式中的β用－β代替，看可得到什么新的结果?cos ［α－（－β）］＝cos αcos （－β）－sin αsin （－β）＝cos αcos β－sin αsin β即：cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β （C （α＋β））请同学们观察这一关系式与两角差的余弦公式，看这两式有什么区别和联系?(1)这一式子表示的是任意两角α与β的差α－β的余弦与这两角的三角函数的关系.(2)这两式均表示的是两角之和或差与这两角的三角函数的关系.请同学们仔细观察它们各自的特点.(1)两角之和的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的差.(2)两角之差的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的和.不难发现，利用这一式子也可求出一些与特殊角有关的非特殊角的余弦值.如：求cos15°可化为求cos （45°－30°)或cos （60°－45°）利用这一式子而求得其值.即：cos15°＝cos （45°－30°）＝cos45°cos30°＋sin45°sin30° ＝22·32＋22·12 ＝6＋24或：cos15°＝cos （60°－45°）＝cos60°cos45°＋sin60°sin45°＝12 ·22＋32·22＝6＋24请同学们将此公式中的α用π2 代替，看可得到什么新的结果? cos （π2 －α）＝cos π2 cos α＋sin π2sin α＝sin α 即：cos （π2－α）＝sin α 再将此式中的α用π2－α代替，看可得到什么新的结果. cos ［π2 －（π2 －α）］＝cos α＝sin （π2－α）即：sin （π2 －α）＝cos α Ⅲ.课堂练习①cos（45°＋30°）②cos105°解：①cos（45°＋30°）＝cos45°cos30°－sin45°sin30°＝22·32－22·12 ＝6－22②cos105°＝cos （60°＋45°）＝cos60°cos45°－sin60°sin45°＝12 ·22－32·22＝2－62αcos β＝－34，cos （α＋β）＝－1，求sin αsin β.解：由cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β得：sin αsin β＝cos αcos β－cos （α＋β）将cos αcos β＝－34 ，cos （α＋β）＝－1代入上式可得：sin αsin β＝143.求cos23°cos22°－sin23°sin22°的值.解：cos23°cos22°－sin23°sin22°＝cos （23°＋22°）＝cos45°＝22 P (－3，4)在角α终边上，点Q （－1，－2）在角β的终边上，求cos （α＋β）的值. 解：由点P （－3，4）为角α终边上一点；点Q （－1，－2)为角β终边上一点，得：cos α＝－35 ，sin α＝45 ；cos β＝－255，sin β＝－55. ∴cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝（－35 ）×（－255）－45 ×（－55）＝2555.已知cos （α－β）＝1213 ，cos （α＋β）＝－113，求：tan α·tan β的值. 解：由已知cos （α－β）＝1213 ，cos （α＋β）＝－113可得：cos （α－β）＋cos （α＋β）＝1213 －113 ＝1113即：2cos αcos β＝1113 ①cos （α－β）－cos （α＋β）＝1即：2sin αsin β＝1 ②由②÷①得2sin αsin β2cos αcos β ＝tan α·tan β＝1311∴tan α·tan β的值为1311 .α－cos β＝12 ，sin α－sin β＝－13 ，求：cos （α－β）的值.解：由已知cos α－cos β＝12得：cos 2α－2cos αcos β＋cos 2β＝14 ①由sin α－sin β＝－13得：sin 2α－2sin αsin β＋sin 2β＝19 ②由①＋②得：2－2（cos αcos β＋sin αsin β）＝1336即：2－2cos （α－β）＝1336∴cos（α－β）＝5972Ⅳ.课时小结两公式的推导及应用.Ⅴ.课后作业课本P 96习题 1，2，3两角和与差的余弦1．下列命题中的假命题．．．是 （） α和β的值，使得cos （α＋β）＝cos αcos β＋sin αsin βα和β的值，使得cos （α＋β）＝cos αcos β＋sin αsin βα和β，都有cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin βα和β值，使得cos （α＋β）≠cos αcos β－sin αsin β2．在△ABC 中，已知cos A ·cos B ＞sin A ·sinΒ，则△AB Ｃ一定是钝角三角形吗？3．已知sin α＋sin β＝22，求cos α＋cos β的最大值和最小值.4．已知：α∈（π4 ，3π4 ），β∈（0，π4 ），且cos （π4 －α）＝35 ，sin （5π4＋β）＝－1213求：cos （α＋β）.5．已知：α、β为锐角，且cos α＝45 ，cos （α＋β）＝－1665，求cos β的值.6．在△ABC中，已知sin A＝35，cos B＝513，求cos C的值.两角和与差的余弦答案1．B2．在△ABC中，已知cos A·cos B＞sin A·sinΒ，则△ABＣ一定是钝角三角形吗？解：∵在△ABC中，∴0＜C＜π，且A＋B＋C＝π即：A＋B＝π－C由已知得cos A·cos B－sin A·sin B＞0，即：cos（A＋B）＞0∴cos（π－C）＝－cos C＞0，即cos C＜0∴C一定为钝角∴△ABC一定为钝角三角形.3．已知sinα＋sinβ＝22，求cosα＋cosβ的最大值和最小值.分析：令cosα＋cosβ＝x，然后利用函数思想.解：令cos α＋cos β＝x ，则得方程组：⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝x ①sin α＋sin β＝22② ①2＋②2得2＋2cos(α－β)＝x 2＋12∴cos(α－β)＝2x 2－34∵|cos(α－β)|≤1， ∴|2x 2－34|≤1 解之得：－142≤x ≤142∴cos α＋cos β的最大值是142，最小值是－142. 4．已知：α∈（π4 ，3π4 ），β∈（0，π4 ），且cos （π4 －α）＝35 ，sin （5π4＋β）＝－1213求：cos （α＋β）.解：由已知：α∈（π4 ，3π4） ⇒－α∈（－3π4 ，－π4 ）⇒π4 －α∈（－π2 ，0） 又∵cos（π4 －α）＝35 ， ∴sin（π4 －α）＝－45由β∈（0，π4 ）⇒π4 ＋β∈（π4 ，π2） 又∵sin（5π4 ＋β）＝sin ［π＋（π4 ＋β）］＝－sin （π4 ＋β）＝－1213即sin （π4 ＋β）＝1213 ， ∴cos（π4 ＋β）＝513又（π4 ＋β）－（π4－α）＝α＋β ∴cos（α＋β）＝cos ［（π4 ＋β）－（π4－α）］ ＝cos （π4 ＋β）cos （π4 －α）＋sin （π4 ＋β）sin （π4－α） ＝513 ×35 ＋1213 ×（－45 ）＝－33655．已知：α、β为锐角，且cos α＝45 ，cos （α＋β）＝－1665，求cos β的值. 解：∵0＜α·β＜π2 ，∴0＜α＋β＜π由cos （α＋β）＝－1665 ，得sin （α＋β）＝6365又∵cos α＝45 ，∴sin α＝35∴cos β＝cos ［（α＋β）－α］＝cos （α＋β）cos α＋sin （α＋β）sin α＝（－1665 ）×45 ＋6365 ×35 ＝513评述：在解决三角函数的求值问题时，一定要注意已知角与所求角之间的关系.6．在△ABC 中，已知sin A ＝35 ，cos B ＝513，求cos C 的值. 分析：本题中角的限制X 围就隐含在所给的数字中，轻易忽视，就会致错.解：由sin A ＝35 ＜22知0°＜A ＜45°或135°＜A ＜180°， 又cos B ＝513 ＜12 ，∴60°＜B ＜90°，∴sin B ＝1213若135°＜A ＜180°则A ＋B ＞180°不可能.∴0°＜A ＜45°，即cos A ＝45. ∴cos C ＝－cos （A ＋B ）＝1665.。

．经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，教学,讨论可能沿着下面的方向进行：1 cos sin 1,1a x x b a b a b θ==（，），（），为与 的夹角，求．4+=-（），得到如下结论：利用两点间距离公式推导5．用“四、数学运用利用两角和（差）余弦公式证明下列诱导公式：五、回顾小结利用变换角的方法推出了两角和的余弦公式，要牢记公式的结构特点，是什么？怎样推导呢？留给同学们课后探讨。

六、课外作业：精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

§3.1.1 两角和与差的余弦(1)学习目标：⒈建立两角差的余弦公式，掌握两角差的余弦公式及其推导过程．⒉初步理解公式的结构及其功能，灵活掌握两角差的余弦公式的正用与逆用．教学重点：建立两角差的余弦公式．教学难点：探索两角差的余弦公式的证明方法．教学方法：讨论式．教具准备：多媒体投影．教学过程：（Ⅰ）新课引入：问题引入：某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上．如图所示，小山高BC约为30米，在地平面上有一点A，测得A、C两点间距离约）约为45 ．求这座为67米，从A观测电视发射塔的视角（CAB电视发射塔的高度．设电视发射塔高BC x =米，CAD α∠=，则30sin 67α=． 在Rt ADB ∆中，30tan(45)tan 30x αα++=，于是 30tan(45)30tan x αα+=- ．如果能由30sin 67α=求得tan(45)α+ 的值，那么就能得出电视发射塔的高度了．能不能由30sin 67α=求得tan(45)α+ 的值呢？或者说能不能用sin α把tan(45)α+ 表示出来呢？更一般地说，对于任意角α，β，能不能用α，β的三角函数值把αβ+或αβ-的三角函数值表示出来呢？本节课开始，我们就着手解决此类问题．（Ⅱ）讲授新课：问题1.请问cos cos αβ-和cos()αβ-相等吗？请举例说明．（举例说明cos cos αβ-和cos()αβ-不相等）．由α、β的具体取值我们可以看到，一般来说，cos()cos cos αβαβ-≠-．那么，应该如何用任意角α、β的正弦、余弦值来表示cos()αβ-呢？请同学们阅读课本P93的内容得到cos()αβ-与任意角α、β的正弦、余弦值的关系的方法并不唯一．事实上，我们在上一章课本P83第15题就已经得到了一个表达式：000000cos(7515)cos75cos15sin 75sin15-=+如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角α、β，它们的终边与单位圆的交点分别为A 、B ，则(cos ,sin )OA αα=，(cos ,sin )OB ββ= ．由向量数量积的定义，有 ||||cos()cos()OA OB OA OB αβαβ⋅=-=-． 由向量数量积的坐标表示，有(cos ,sin )(cos ,sin )OA OB ααββ⋅=⋅cos cos sin sin αβαβ=+ 所以，cos()αβ-cos cos sin sin αβαβ=+．问题 2.我们这里的角α、β是任意角，因此角αβ-也是任意角．你认为上述推导过程严密吗？哪里有问题呢？依据向量数量积的概念，角αβ-必须符合条件0αβπ≤-≤，因此只有在这个条件下上面的推导才是正确的．这就要求我们研究当αβ-是任意角时，以上的推导是否正确的问题．事实上，当αβ-是任意角时，由诱导公式，总可以找到一个角[0,2)θπ∈，使cos cos()θαβ=-．若[0,)θπ∈，则cos cos()OA OB θαβ⋅==-； 若[,2)θππ∈，则2(0,]πθπ-∈，且cos(2)cos cos()OA OB πθθαβ⋅=-==-．于是，对于任意角α、β都有此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦值与其差角αβ-的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作()C αβ-．问题3.这个公式有什么用途呢？根据这个共识，我们只要知道了角α、β的正弦、余弦值，就可以求出cos()αβ-的值了．对于任意角α、β都有αβαβ+的余弦值之间的关系，称为和角的余弦公式，简记作()C αβ+．例1.(课本P94例1)解析:练习:例2.(课本P95例2)练习:例3.能!练习: (课时训练P74第5)答案:5.cos例4. (课时训练P73例3)已知锐角α、β满足10103cos ,55sin ==βα，求α＋β.分析: 本题考查两角和与差的余弦公式的应用和已知三角函数值求角的方法.在求角的过程中，要求值与判断角的范围相结合.解析:∵α、β为锐角且10103cos ,55sin ==βα 2210105510103552 sin sin cos cos )cos(10101091cos 1sin 552511sin 1cos 22=⋅-⋅=-=+∴=-=-==-=-=βαβαβαββαα 由0＜α＜2π，0＜β＜2π得 0＜α+β＜π 又cos （α＋β）＞0 ∴α＋β为锐角, ∴α＋β＝4π思考: 1.65sin 1211cos 611cos 1225sin ππππ-等于( ) A.-22 B.22 C.-sin 2π D.sin 12π 2. 若sin α·sin β＝1，则cos （α＋β）的值为( )A.0B.1 Ｃ.±1 Ｄ.－13.对任意的锐角βα,，下列不等关系中正确的是（ ）A ．βαβαsin sin )sin(+>+B ．βαβαcos cos )sin(+>+C ．βαβαsin sin )cos(+<+D ．βαβαcos cos )cos(+<+答案:BDD. (特殊值法验证即可得!)（Ⅲ）课后练习：课本P95练习P96习题3.1（Ⅳ）课时小结:⑴三角变换的基本要求是：思维有序、表述条理．⑵三角变换中角的拆分的多样性，决定了变换的多样性．⑶三角公式的应用也具有多样性，要注意正勇、逆用、变形用．（Ⅴ）课后作业：⒈课本P96习题3.1(1) 1～7⒉预习课本P96～P97，思考下列问题：⑴怎样应用差角的余弦公式推导和角的余弦公式？⑵怎样进行一个角的正弦、余弦之间的转化？你能将两角和（差）的正弦转化为余弦吗？⑶怎样推导两角和（差）的正切公式？应用两角和（差）的正切公式需要些怎样的条件呢？⑷通过例题2的解答，你有些什么体会呢？板书设计：教学后记。

1、已知向量),(=),(=221,1y x b y x a ，夹角为θ，则•b a ρρ= =2、由两向量的数量积研究两角差的余弦公式)cos(βα-= ，简记作：)(βα-C思考：如何用距离公式推导公式)(βα-C3、 在上述公式中，用β-代替β得两角和的余弦公式：)cos(βα+= ，简记作：)(βα+C 思考：你能直接用数量积推导两角和的余弦公式)(βα+C 吗？例题剖析例1、 利用两角和（差）余弦公式证明下列诱导公式：a sin )2cos()1(=-απααπcos )2sin()2(=-例2、利用两角和（差）的余弦公式，求︒︒︒︒15tan ,15sin ,15cos ,75cos 的值。

例3、已知)23,(,53cos ),,2(,32sin ππββππα∈-=∈=a ，求)cos(βα+的值。

思考：在例3中，你能求出)sin(βα+的值吗？例4、若），（，且ππβαππβαβαβα223),2(,53)cos(,54)cos(∈+∈--=-=+， 求β2cos注意：角的变换要灵活，如)()(2,)()(,)(βαβαααβαβααβββαα-++=-+=--=-+=等巩固练习1、化简：（1）︒︒+︒︒37sin 58sin 37cos 58cos =（2）)60cos()60cos(θθ-︒-+︒=（3）)60cos()60cos(θθ-︒++︒=2、利用两角和（差）余弦公式证明：（1）ααπsin )23cos(-=- （2）ααπcos )23sin(-=-3、已知),,2(,53cos ππθθ∈-=求)3cos(θπ-的值课堂小结两角和与差的余弦公式的推导；和（差）角余弦公式的运用于求值、化简、求角等课后训练班级：高一（ ）班 姓名__________一、基础题1、︒105cos =2、在ABC ∆中，已知B A B A sin sin cos cos ⋅>⋅，则ABC ∆的形状为3、计算（1）=︒︒-︒︒54cos 66cos 36cos 24cos（2）︒︒+︒︒21sin 114sin 69sin 66cos =4、化简：（1）)3cos()3cos(θπθπ-++=（2）=+-++-)sin()sin()cos()cos(βαβαβαβα5、已知βα,都是锐角，135cos ,53sin ==βα，则)cos(βα+= 6、已知)cos(,,43cos ,32sin βαβαβα--==都是第二象限角，则且= 二、提高题 7、（1）已知的值求)3cos(),,2(,1715sin απππαα-∈=； （2）已知的值求)cos(),23,(,135cos βαππθθ+∈-=。

、45°、60°等特殊角的三角函数值，不查表如何求cosl5°的值呢?(1)cos75° =cos(2)cosl5° =cos+ 30° )cos （45°究这个问题。

（板书(45° +30° )与cos45° +cos30° 是否相等?(45° -30° )与cos45° —cos30° 是否相等?+ cos30° ,那么cos (45° +30° ) =?,今天我们就(45°+30° )（问题一）我们已经知道30° cos75° 、设问第三章三角恒等变换第1节两角和与差的余弦一、教学目的：1、知识与技能：（1）、理解两角和与差的余弦公式的推导过程；（2）、掌握两角和与差的余弦公式初步应用（公式的正用和逆用）；（3）、着重培养学生的代换、演绎、数形结合及逆向思维等数学思想方法。

2、过程与方法：启发、讲练结合，合作交流，突破难点。

3、情感、态度与价值观：培养学生的探索与创新意识，激发学生学习兴趣，提高学生解题的灵活性。

二、教学过程：（一）问题情境（问题二）一般地，cos（a _ 0） Hcosa-cos0,那么cos（a - 0）能否用a与0的三角函数来表示呢？（问题三）设a = （cos a, sin a）, b = （cos0,sin0）, a 与》的夹角为&，那么 & = a - 0 吗？cos&= cos(a —0)吗？我们可以把cos（a - 0）看成是两个向量夹角的余弦，考虑用向量的数量积来研究。

（见书本93页）两角差的余弦公式：cos（庄_Q = cos mcosQ+sin处垃/因为G-0中Q Q可以是任意角，所以在2"中用_ ”代妙可以得公式：cos（m+Q =cos MOS严sin min 0 j ,这就是两角和的余弦公式。

第 1 课时：§3.1.1 两角和与差的余弦【三维目标】：一、知识与技能1.掌握用向量方法推导两角差的余弦公式，进一步体会向量方法的作用；2.用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用；3.能用余弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明二、过程与方法1.经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数的联系；2.通过向量的手段证明两角差的余弦公式，让学生进一步体会向量法作为一种有效手段的同时掌握两角差的余弦函数；讲解例题，总结方法，巩固练习.三、情感、态度与价值观1.创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2.通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力.【教学重点与难点】：重点: 两角和与差的余弦公式的推导及其应用.难点: 两角差的余弦公式的推导.【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.(2)探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.(3)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.2. 教法：启发式教学3.教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1．数轴两点间的距离公式：12MN x x=-．2．点(,)P x y是α终边与单位圆的交点，则sin,cosy xαα==．二、研探新知两角和的余弦公式的推导（向量法）：把)cos(βα-看成两个向量夹角的余弦，考虑用向量的数量积来研究。

在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边分别作角βα,，其终边分别与单位圆交于)sin,(cos1ααP,)sin,(cos2ββP，则βα-=∠21OPP由于余弦函数是周期为π2的偶函数，所以，我们只需考虑πβα≤-≤0的情况。

两角差的余弦公式教学设计(第一课时)【三维目标】1.知识与能力：理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式，运用两角和与差的余弦公式，解决相关数学问题。

2.过程与方法：培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和发散思维能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。

3.情感态度与价值观：通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。

【教学重点】两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用。

【教学难点】两角和与差的余弦公式的推导。

【教学过程】一创设情境，引入课题（1）问题1思考cos (60°-30°) =cos60°-cos30°吗？cos（60°+30 ）=cos60°+cos30°吗？那么cos（α- β）=cos α - cos β吗？（2）我们已经学习了向量的数量积，请用数量积的知识完成下列练习：θo s =⋅ ),,11y x （=),22y x （= 则 2121y y x x +=⋅二 层层深入，得出结论。

问题2：（一）两角差的余弦公式 设),sin ,cos αα（=),sin ,cos ββ（= 则，βαβαsin sin cos cos b a +=⋅θ=⋅βαβαθsin sin cos cos cos +=∴如果],0[πβα∈-，那么βαθ-=。

故，βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-思考：当βα-任意角时，βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-吗？ 由诱导公式总可以找到一个角都可转化)2,0[πθ∈，使)cos(cos βαθ-=。

综上所述，βαβαβαsin sin cos cos )-cos(+= ，对于任意的角βα,都成立。

三 自主探索，小试牛刀。

两角和与差的正、余弦（1） 教学目标
1.进一步熟悉两角和与差的正（余）弦公式，能正确运用公式进行简单的 三角函数的化简、求值；
2.掌握一些角的变换技巧，能选择恰当的公式解决有关问题；
3.了解由三角函数值求角的方法。

教学重、难点
公式的运用。

教学过程
（一）复习：
1．()C αβ±及()S αβ±公式；
2．练习 38P 3（1）（2）（3）．
（二）新课讲解：
例1：已知sin (0,)52παα=
∈，cos (0,)102
πββ=∈， （1）求cos(),sin()αβαβ--的值.； （2）求αβ-． 例2：已知62ππα<<，且15cos()617πα-=，求cos ,sin αα的值。

．
例3：已知324π
πβα<<<，12cos()13αβ-=，3sin()5αβ+=-，求cos 2β的值。

课堂练习 P 103习题1，2，3
课堂小结：
1．掌握求角的一般方法；
2．寻找角之间的关系，选择恰当的公式解决有关问题。

教学后记。

两角和与差的正弦教学目标：掌握S（α＋β）与S（α－β）的推导过程及公式特征，利用上述公式进行简单的求值与证明；培养学生的推理能力，提高学生的数学素质.教学重点：两角和与差的正弦公式及推导过程.教学难点：灵活应用所学公式进行求值证明.教学过程：Ⅰ.课题导入首先，同学们回顾一下咱们前面所推导的两角和与差的余弦公式.首先，我们利用单位圆及两点间的距离公式结合三角函数的定义，推导出了两角和的余弦公式，进而推导出了两角差的余弦公式及两个诱导公式，不妨，将cos（π2－θ）＝sinθ中的θ用α＋β代替，看会得到什么新的结论? Ⅱ.讲授新课一、推导公式由sinθ＝cos（π2－θ）得：sin（α＋β）＝cos［π2－（α＋β）］＝cos［（π2－α）－β］＝cos（π2－α）cosβ＋sin（π2－α）sinβ又∵cos（π2－α）＝sinα，sin（π2－α）＝cosα∴sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ这一式子对于任意的α，β值均成立.将此式称为两角和的正弦公式：S（α＋β）：sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ在前面，当我们推出两角和的余弦公式C（α＋β）时，将其中的β用－β代替，便得到了两角差的余弦公式，这里，也不妨将S（α＋β）中的β用－β代替，看会得到什么新的结论?sin［α＋（－β）］＝sinαcos（－β）＋cosαsin（－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ即：sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ这一式子对于任意的α，β的值均成立.这一式子被称为两角差的正弦公式：S（α－β）：sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ下面，看他们的应用.二、例题讲解［例1］利用和(差)角公式求75°，15°的正弦、余弦、正切值. 分析：首先应将所求角75°，15°分解为某些特殊角的和或差. 解：sin75°＝sin（45°＋30°）＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝22·32＋22·12＝6＋24cos75°＝cos（45°＋30°）＝cos45°cos30°－sin45°sin30°＝6－2 4tan75°＝sin750cos750＝6＋26－2＝2＋ 3sin15°＝sin（45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝6－2 4或sin15°＝sin（60°－45°）＝sin60°cos45°－cos60°sin45°＝6－2 4或sin15°＝sin（90°－75°）＝cos75°＝6－2 4cos15°＝cos（45°－30°）＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝6＋2 4或cos15°＝cos（60°－45°）＝6＋2 4或cos 15°＝cos （90°－75°）＝sin75°＝6＋24 tan15°＝sin150cos150 ＝6－26＋2＝2－ 3［例2］已知sin α＝23 ，α∈（π2 ，π），cos β＝－34 ，β∈（π，3π2 ），求sin （α－β），cos （α＋β），tan （α＋β）.分析：观察此题已知条件和公式C （α＋β），S （α－β），要想求sin （α－β），cos （α＋β），应先求出cos α，sin β.解：由sin α＝23 且α∈（π2 ，π) 得：cos α＝－1－sin 2α ＝－1－（23 ）2 ＝－53；又由cos β＝－34 且β∈（π，3π2 ） 得：sin β＝－1－cos 2β ＝－1－（－34 ）2 ＝－74.∴sin （α－β）＝sin αcos β－cos αsin β＝23 ×（－34 ）－（－53）（－74）＝－6－3512 cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝（－53）（－34 ）－23 ×（－74）＝35＋2712由公式S （α＋β）可得 sin （α＋β）＝－6＋3512 ∴tan （α＋β）＝sin （α＋β）cos （α＋β）＝－6＋3535＋27＝－325＋27217Ⅲ.课堂练习1.求证：tan αtan β ＝sin （α＋β）＋sin （α－β）sin （α＋β）－sin （α－β）证明：右＝（sin αcos β＋cos αsin β）＋（sin αcos β－cos αsin β）（sin αcos β＋cos αsin β）－（sin αcos β－cos αsin β）＝2sin αcos β2cos αsin β ＝tan αtan β ＝左. ∴原式得证.2.在△ABC 中，sin A ＝35 (0°＜A ＜45°)，cos B ＝513 (45°＜B ＜90°)，求sin C 与cos C 的值.解：∵在△ABC 中，∴A ＋B ＋C ＝180°即C ＝180°－（A ＋B ）又∵sin A ＝35 且0°＜A ＜45° ∴cos A ＝45 ∵cos B ＝513 且45°＜B ＜90° ∴sin B ＝1213 ∴sin C ＝sin ［180°－（A ＋B ）］ ＝sin （A ＋B ）＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝35 ×513 ＋45 ×1213 ＝6365 cos C ＝cos ［180°－（A ＋B ）］＝－cos （A ＋B ）＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665对于练习1这种类型的习题，首先要仔细观察题目的结构，回忆有关公式，认真分析，一般遵循由繁到简的原则.对于练习2这种类型的习题，要仔细观察已知角与所求角的关系.做好准备工作，然后着手求解. Ⅳ.课时小结在前面推导出的C （α＋β）与cos （π2 －α）＝sin α的基础上又推导出两公式，即：sin （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β (S （α＋β）） sin （α－β）＝sin αcos β－cos αsin β（S （α－β））同学们要注意它们之间的区别与联系，从而熟练掌握，以便灵活应用其解决一些相关的问题.Ⅴ.课后作业：课本习题 1，2，3.。

两角和与差的余弦一教学目标1．掌握公式的推导，并能用赋值法，求出公式．2．应用公式，求三角函数值．二教学过程（一）．设置情境上一单元我们学习了同一个角的三角函数的性质以及各三角函数之间的相互关系．本节开始讨论两个角的三角函数，已知任意角的三角函数值，如何求出，或的三角函数值，这一节课我们将研究、．（二）．探索研究1．公式、推导．请大家考虑，如果已知、，怎样求出？是否成立．只有通过严格的理论证明才行．下面给出证明：为了证明它，首先给出两点间的距离，图1(也可以利用多媒体课件演示)．考虑坐标平面内的任意两点，过点分别作轴的垂线，，与轴交于点，；同理，那么，，由勾股定理，由此得到平面内两点间的距离公式问题1：（可以用课件演示）如右图2，在直角坐标系内作单位圆，并作出角、与请同学们把坐标系中，，，各点的坐标用三角函数表示出来．问题2：线段与有什么关系？为什么？问题3：请同学们用两点间的距离公式把表示出来并加以整理．所以（记为）这个公式对任意的，均成立，如果我们把公式中的都换成，又会得到什么？（记为）2。

例题分析【例1】不查表，求及的值．【例2】已知，，，，求的值．【例3】不查表，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）．【例4】证明公式：（1）；（2）练习（投影、学生板演）（1）（2）已知，，求说明：请同学们很好体会一下，上述凑角的必然性和技巧性，并能主动尝试训练，以求熟练。

3．演练反馈（1）的值是（）A．B．C．D．（2）等于（）A．0 B．C．D．2（3）已知锐角满足，，则为（）A．B．C．或D．，参考答案：（1）B；（2）B；（3）A．4．总结提炼（1）牢记公式“”结构，不符合条件的要能通过诱导公式进行变形，使之符合公式结构，即创造条件用公式．（2）在“给值求值”题型中，要能灵活处理已、未知关系，如已知角、的值，求，应视、分别为已知角，为未知角，并实现“”与“”及“”之间的沟通：．（3）利用特值代换证明，，体会的强大功能．。

课堂导学三点剖析1.两角和与差的余弦公式的应用【例1】化简下列各式.（1）sin70°cos25°-sin20°·sin25°;（2）cos(70°+α)cos(10°+α)+sin(70°+α)sin(170°-α).思路分析：从整体上观察式子的特点，区别角的异同，利用诱导公式合理转化，凑成公式形式，再利用公式解题.解：（1）原式=cos20°cos25°-sin20°sin25°=cos(20°+25°)=cos45°=22. (2)原式=cos(70°+α)cos(10°+α)+sin(70°+α)sin ［180°-（10°+α）］=cos(70°+α)cos(10°+α)+sin(70°+α)·sin(10°+α)=cos ［（70°+α）-(10°+α)］=cos60°=21. 温馨提示在逆用公式时，要通过诱导公式变形，使之符合公式的特征，有时还可以把三角式中的系数作为特殊值转化为特殊角.2.两角差的余弦公式的探索与证明【例2】已知sin=53，c osβ=1715，求cos （α-β）的值. 思路分析：本题要考查利用两角差的余弦公式求值.根据两角差的余弦公式知，还须求cosα、sinβ.由条件可知，只要对α、β所处的象限进行讨论即可.解：∵sinα=53＞0， ∴α为第一、二象限角.当α为第一象限角时，cosα=54； 当α为第二象限角时，cosα=-54. ∵cosβ=1715＞0， ∴β为第一、四象限角.当β为第一象限角时，sinβ=178； 当β为第四象限角时，sinβ=-178. ∵cos （α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，∴当α、β均为第一象限角时，cos （α-β）=54×1715+53×178=8584； 当α为第一象限角，β为第四象限角时，cos （α-β）=54×1715+53×（-178）=8536； 当α为第二象限角，β为第一象限角时， cos （α-β）=（-54）×1715+53×（-178）=-8536； 当α为第二象限角，β为第四象限角时，cos （α-β）=（-54）×1715+53×-178=-8584. 温馨提示①解题时，由结论出发分析题目作了哪些条件准备，还需再求什么，明确解题的目标.②已知条件中给出某个角的三角函数值，但并未指出角α所在的象限时，一般要进行分类讨论.3.两角和与差的余弦公式的综合应用【例3】已知cos （α-2β）=-53，sin （2α-β）=1312，且α∈（2π，π），β∈（0，2π），求cos 2βα+的值.思路分析：本题主要考查角的变换及两角差的余弦公式.本题是给值求值的问题，若不考虑条件，盲目地看cos 2βα+无法求.为此寻求已知条件中角α-2β、2α-β与欲求式中角2βα+的关系，不难发现2βα+=（α-2β）-（2α-β），这样将cosα+2β的值转化为cos[(α-2β)-（2α-β）]的值，可利用两角差的余弦公式求得. 解：∵2π＜α＜π，0＜β＜2π， ∴4π＜2α＜2π，0＜2β＜4π＜，2π＜α+β＜π23. ∴4π＜α-2β＜π，-4π＜2α-β＜2π，4π＜2βα+＜π43. 又cos （α-2β）=-53，sin （2α-β）=1312. ∴sin （α-2β）=54，cos （2α-β）=135. ∴cosα+2β=cos[（α-2β）-（2α-β）] =cos （α-2β）cos （2α-β）+sin （α-2β）sin （2α-β） =（-53）×135+54×1312=653365486515131254135=+-=⨯⨯-. 温馨提示像这类给值求值问题，关键是抓住已知条件中的角与所求式中角的联系，即想办法利用已知条件中角表示所求式中的角，这个过程我们称作“角的变换”.各个击破类题演练1求值.（1）cos24°cos36°-sin24°sin36°；（2）cos80°cos35°+cos10°cos55°；（3）sin100°sin （-160°）+cos200°（-280°）；（4）sin347°cos148°+sin77°cos58°.解：（1）原式=cos （24°+36°）=cos60°=21； （2）原式=cos80°cos35°+sin80°sin35°=cos （80°-35°）=cos45°=22； （3）原式=sin （180°-80°）sin （20°-180°）+cos （20°+180°）cos （80°-360°） =sin80°（-sin20°）+（-cos20°）cos80°=-sin80°sin20°-cos80°cos20°=-（cos80°cos20°+sin80°sin20°）=-cos （80°-20°）=-cos60°=-21； （4）原式=sin （-13°+360°）cos （180°-32°）+sin77°cos58°=sin （-13°）（-cos32°）+sin77°cos58°=-sin13°（-cos32°）+sin77°cos58°=cos77°cos32°+sin77°sin32°=cos （77°-32°）=cos45°=22. 变式提升1求值.（1）cos （-15°）；（2）cos75°.解：（1）cos （-15°）=cos15°=cos （45°-30°）=cos45°cos30°+sin45°sin30°=426+； （2）cos75°=cos （45°+30°）=cos45°cos30°-sin45°sin30°=426-. 类题演练2已知锐角α、β满足sinα=55，cosβ=10103. （1）求cos （α-β）的值；（2）求α+β的值.解：（1）∵sinα=55，α为锐角， ∴cosα=511sin 12-=-α=552.又∵cosβ=10103，β为锐角， ∴sinβ=10101091cos 12=-=-β. ∴cos （α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ =255·10103+55·10271010=； （2）由上可知，cos （α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ =552·10103-55·221010=. 又∵α∈（0，2π），β∈（0，2π）， ∴α+β∈（0，π）.∴α+β=4π. 变式提升2已知sinα=1312，cosβ=-53，α、β均为第二象限角，求cos （α-β）、cos （α+β）. 解：由sinα=1312，α为第二象限角， ∴cosα=.135)1312(1sinh 12-=--=--α 又由cosβ=-53，β为第二象限角， ∴sinβ=22)53(1cos 1--=-β=54. ∴cos （α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=（-135）×（-53）+1312×54=6563， cos （α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=（-135）×（-53）-1312×54=-6533. 类题演练3已知cosα=71,α、β∈(0,2π),cos(α+β)=1411-,求cosβ. 解：∵cosα=71,α∈(0,2π), ∴sinα=734cos 12=-α.又∵α、β∈(0,2π),∴α+β∈(0,π), 且cos(α+β)=1411-. ∴sin(α+β)=1435)1411(12=-. ∴cosβ=cos ［（α+β）-α］ =cosα·cos(α+β)+sinα·sin(α+β) =71×(1411-)+734×1435=21. 变式提升3 已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(54cos cos )1(53sin sin βαβα求cos(α-β)的值.解：①平方得sin 2α+2sinαsinβ+sin 2β=259. ②平方得cos 2α+2cosαcosβ+cos 2β=2516. 以上两式相加得，2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=1, 2cos(α-β)=-1,cos(α-β)=-21.。