y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

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课时作业（十八)第18讲函数y=A sin(ωx+φ）的图像及三角函数模型的简单应用时间/ 45分钟分值/ 100分基础热身1.函数f（x）=sin x cos x+cos 2x的最小正周期和振幅分别是（)A. 2π,1B。

2π，2C。

π，1 D. π,22.已知函数f(x）=cos x—sin(2x+φ)（0≤φ≤π）有一个零点为π，则φ的值是（)A. B.C。

D。

3.［2017·孝义模拟]将函数y=sin x的图像向左平移φ(0≤φ≤2π)个单位长度后，得到函数y=sin的图像,则φ等于(）A. B.C。

D。

图K18—14.若函数y=sin（ωx+φ)（ω〉0）的部分图像如图K18-1所示，则ω等于.5。

将函数f（x)=sin(ωx+φ)ω>0，—〈φ<的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变,再将所得图像向右平移个单位长度后得到y=sin x的图像，则f= 。

能力提升图K18-26.[2018·玉溪一中月考］已知函数f（x)=A sin(ωx+φ)x∈R,A〉0,ω>0，｜φ|〈的部分图像如图K18-2所示,则f（x）的解析式是()A. f(x)=2sinB。

f(x）=2sinC. f（x）=2sinD. f（x)=2sin7。

正弦型函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象及应用考点一、作函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3．当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ∈[0，＋∞))表示一个振动时，A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．一个区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 两个注意作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．- 2 -【例题】1. 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，x ∈R .(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？考点二、求函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的解析式A 由最值确定；ω由周期确定；ϕ由图象上的特殊点确定，【例题】1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．2．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示．(1)求f (x )的表达式；(2)试写出f (x )的对称轴方程．考点三、函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用研究函数sin()y A x ωϕ=+性质的方法：类比于研究sin y x =的性质，只需将sin()y A x ωϕ=+中的x ωϕ+看成sin y x =中的x ，但在求sin()y A x ωϕ=+的单调区间时，要特别注意A 和ω的符号，通过诱导公式先将ω化正. 【例题】1.设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<π2，给出以下四个论断： ①它的图象关于直线x ＝π12对称；②它的图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称；③它的周期为π；④在区间⎣⎡⎦⎤－π6，0上是增函数． 以其中两个论断作为条件，余下论断作为结论，写出你认为正确的两个命题： (1)________________；(2)________________．2.(1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝⎛⎭⎫π12＝0，则ω的最小值为________．(2)设ω>0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合， 则ω的最小值是________．(3)已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3有最小值，无最大值， 则ω＝________.(4)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减．则ω的取值范围是________． 3.(1)要得到函数cos()24x y π=-的图象，只需把函数sin 2xy =的图象向__平移____个单位. (2)将函数72sin(2)13y x π=-+图像，按向量a 平移后得到的函数图像关于原点对称，求出模最小的向量a .4.已知函数f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos 2⎝⎛⎭⎫x －π3＋sin x cos x ，x ∈R . (1)求f (x )的最大值及取得最大值时的x 的值；(2)求f (x )在[0，π]上的单调增区间．5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2cos 2x . (1)求f ⎝⎛⎭⎫π12的值；(2)求f (x )的最大值及相应x 的值．考点四、三角函数模型的应用三角函数应用题与解三角形中的问题不一样，主要是构造三角函数，并利用三角函数的性质解决相关问题，多与能建立形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B )等形式的函数问题有关．【例题】1．如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h.(1)求h与θ间的函数关系式；(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的时间．2．如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝A sinωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.(1)求A，ω的值和M，P两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？- 4 -。

辅导讲义――函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及性质教学内容1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图 五个特征点的取法：设X =ωx ＋φ，由X 取0，2π，π，23π，π2来求出相应的x 的值，及对应的y 值，再描点作图.如下表所示.x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：[例1] 函数)421sin(2π+=x y 的周期，振幅，初相分别是______________.[巩固1] 函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则ω=______；ϕ=______知识模块1 y ＝A sin(ωx ＋φ)精典例题透析[巩固] 若关于x 的方程01sin sin 2=+-+m x x 有解，则实数m 的取值范围为_____________.[例5] 要得到)21sin(x y -=的图象，只需将)621sin(π--=x y 的图象_______________.[巩固1] 为得到函数)3cos(π+=x y 的图象，只需将函数x y sin =的图象_____________________.[巩固2] 为得到函数)62sin(π-=x y 的图象，只需将函数x y 2cos =的图象_____________________.[例6] 已知函数x x f πsin )(=的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对的函数解析式为_____________.[巩固1] 函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，则)(x f 的解析式为____________.[巩固2] 已知函数),0,)(sin()(πϕπωϕω<<->∈+=R x x A x f 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式 是_______________.[例7] 设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号)[例]（1）已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝_____，φ＝_______.（2）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________．[巩固] 如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段．（1）求其解析式；（2）若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．题型三：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质[例] (2014·重庆改编)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω和φ的值；（2）当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．[巩固] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω，A >0,0<φ<π2)的最大值为2，最小正周期为π，直线x ＝π6是其图象的一条对称轴．（1）求函数f (x )的解析式；（2）求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π12)的单调递增区间．1．(2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π42．(2013·浙江)函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是__________.3.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是______________.4．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是_____________.5．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是_________________.6．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°， KL ＝1，则f (16)的值为________．，7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6) (x ＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值 为________℃.夯实基础训练。

函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用知识梳理1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念 y ＝A sin(ωx ＋φ) 振幅 周期 频率 相位 初相 (A >0，ω>0) AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x －φω π2ω－φω π－φω 3π2ω－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A图象的两种方法一．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )(2)将y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( )答案：(1)× (2)×二．考点突破考点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与变换例1. (1)(2019·河南周口二模)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上所有的点向左平移π4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为( B )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π12 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋5π12C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π12D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋5π24解析：将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上所有的点向左平移π4个单位长度，可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12的图象，再把所得图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋5π12的图象，故选B.(2)(2015·湖北卷)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：②将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．解：①根据表中已知数据，得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6. 数据补全如表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. ②由①知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，得g (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z. 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ， 解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z.由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，令k π2＋π12－θ＝5π12，k ∈Z ，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z.由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6. 【条件探究】 若本典例(2)中的表改为123(2)将函数f (x )的图象向右平移θ(θ＞0)个单位长度，可得到函数g (x )的图象．若y ＝g (x )的图象的一条对称轴方程为x ＝5π12，求θ的最小值．解：(1)由2π3ω＋φ＝0，8π3ω＋φ＝π可得ω＝12，φ＝－π3. 由12x 1－π3＝π2，12x 2－π3＝3π2，12x 3－π3＝2π， 可得x 1＝5π3，x 2＝11π3，x 3＝14π3. 由A sin π2＝2，得A ＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.(2)由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图象向右平移θ个单位长度，得g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－θ2－π3的图象，因为y ＝g (x )的图象的一条对称轴方程为x ＝5π12， 所以12×5π12－θ2－π3＝k π＋π2，k ∈Z ， 解得θ＝－2k π－5π4，k ∈Z ，又θ＞0，所以当k ＝－1时，θ取得最小值3π4.方法与技巧 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法(1)五点法作图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象的变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． 跟踪训练一(1)(2019·昆明质检)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(0＜ω＜2)满足条件：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，为了得到函数y ＝f (x )的图象，可将函数g (x )＝cos ωx的图象向右平移m (m ＞0)个单位长度，则m 的最小值为( A )A ．1 B.12 C.π6D.π2解析：由题意，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12ω＋π6＝0，即－12ω＋π6＝k π(k ∈Z)， 则ω＝π3－2k π(k ∈Z)， 结合0＜ω＜2，得ω＝π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3(x －1)，所以只需将函数g (x )＝cos π3x 的图象向右至少平移1个单位长度，即可得到函数y ＝f (x )的图象，故选A.(2)把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移π4个单位长度，得到的函数图象的解析式是y ＝cos2x .解析：由y ＝sin x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为y ＝sin2x ，再向左平移π4个单位长度得y ＝sin2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，即y ＝cos2x .考点二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2. (1)(2019·西安八校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2≤φ≤π2)的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为22，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6. 解析：依题意得22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫πω2＝22，则πω＝2，即ω＝π2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ， 由于该函数图象过点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，因此sin(π＋φ)＝－12，即sin φ＝12， 而－π2≤φ≤π2，故φ＝π6， 所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6. (2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π－π3，k ∈Z .解析：根据所给图象，周期T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，故π＝2πω，∴ω＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，另外图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，0，代入有2×7π12＋φ＝π＋2k π(k ∈Z)，再由|φ|＜π2，得φ＝－π6，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 当2x ＋π6＝－π2＋2k π(k ∈Z)，即x ＝－π3＋k π(k ∈Z)时，y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值．方法与技巧 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的解析式的步骤(1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，B ＝M ＋m 2.(2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT . (3)求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝2π. 跟踪训练二(1)(2019·长沙模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，其部分图象如图所示，将f (x )的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移1个单位长度得到g (x )的图象，则函数g (x )的解析式为( B )A ．g (x )＝sin π2(x ＋1)B ．g (x )＝sin π8(x ＋1)C ．g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋1D ．g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋1 解析：由题图可得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4，横坐标变为原来的2倍得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4，再向右平移1个单位长度，得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8(x －1)＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8x ＋π8＝sin π8(x ＋1)．(2)已知函数y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，⎭⎪⎫|φ|＜π2的部分图象如图所示，则f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z)．解析：由图可知T 4＝π3－π12＝π4，A ＝2， 即T ＝π，A ＝2，故ω＝2πT ＝2，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2，所以2×π12＋φ＝π2，故φ＝π3， 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z)得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z)，故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z)．考点三 函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用角度1 三角函数模型的应用例3. 据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．则7月份的出厂价格为6_000元．解析：作出函数简图如图：三角函数模型为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意知：A ＝2 000，B ＝7 000，T ＝2×(9－3)＝12， ∴ω＝2πT ＝π6.将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点， 则有π6×3＋φ＝π2，∴φ＝0，故f (x )＝2 000sin π6x ＋7 000(1≤x ≤12，x ∈N *)． ∴f (7)＝2 000×sin 7π6＋7 000＝6 000. 故7月份的出厂价格为6 000元． 角度2 三角函数图象性质的综合例4. (2019·潍坊模拟)已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3(ω＞0)的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度得到函数g (x )的图象恰好经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间．解：(1)函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，得函数f (x )的最小正周期为T ＝2×π2＝2π2ω，得ω＝1，故函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (2)将f (x )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度得到函数g (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x ＋m )＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2m ＋π3的图象，根据g (x )的图象恰好经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0， 可得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2m ＋π3＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m －π3＝0， 所以2m －π3＝k π(k ∈Z)，m ＝k π2＋π6(k ∈Z)，因为m ＞0，所以当k ＝0时，m 取得最小值，且最小值为π6. 此时，g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12，所以2x ＋2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，11π6. 当2x ＋2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，－π12时，g (x )单调递增，当2x ＋2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，11π6，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，7π12时，g (x )单调递增．综上，g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，－π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，7π12. 方法与技巧 三角函数模型的应用策略(1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题．(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题． 跟踪训练三(1)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π3的两条相邻的对称轴之间的距离为π2，若其图象向右平移π3个单位后得到的函数g (x )为奇函数，则函数f (x )( C )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称C ．关于直线x ＝5π12对称 D ．关于直线x ＝π12对称解析：由题意T ＝π2×2＝π，ω＝2πT ＝2. 又因为g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－2π3 是奇函数，所以φ－2π3＝k π(k ∈Z)，即φ＝2π3＋k π， 又因为|φ|≤π3，所以φ＝－π3， 即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， 因为f ⎝⎛⎭⎪⎫π12＝－12，选项A ，D 错，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝1，选项B 错误，C 正确． (2)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6)(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为20.5℃.解析：由题意得⎩⎨⎧28＝a ＋A ，a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(12－6)＝a －A ＝18，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，A ＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6)，令x ＝10得y ＝20.5.三．真题模拟练习1．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( D )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析：易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，因此D 项正确．2．(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36单调，则ω的最大值为( B )A ．11B ．9C ．7D ．5解析：由f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，得πω≥5π36－π18，∴ω≤12，依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧ω·⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝m π，ω·π4＋φ＝n π＋π2(m ，n ∈Z)，∴⎩⎨⎧ω＝2(n －m )＋1，φ＝2(m ＋n )＋14π.又|φ|≤π2，∴m ＋n ＝0或m ＋n ＝－1. 当m ＋n ＝0时，ω＝4n ＋1，φ＝π4，取n ＝2，得ω＝9，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋π4符合题意． 当m ＋n ＝－1时，φ＝－π4，ω＝4n ＋3， 取n ＝2，得ω＝11，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4， 此时，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π18，536π时，11x －π4∈⎝⎛⎭⎪⎫1336π，2318π，f (x )不单调，不合题意，故选B.3．(2015·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( D )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：不妨令ω＞0，由函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象，可得函数的周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，由T ＝2πω得ω＝π，∴f (x )＝cos(πx ＋φ)，再根据函数的图象可得 π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， ∴φ＝π4＋2k π(k ∈Z)， ∴f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4， 由2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π(k ∈Z)， 得2k －14＜x ＜2k ＋34(k ∈Z)， ∴f (x )的单调递减区间为 ⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34(k ∈Z)，故选D.4．(2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．解：(1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3.由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z. 故ω＝6k ＋2，k ∈Z ，又0＜ω＜3，所以ω＝2. (2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.四．[课时跟踪检测]基础题1．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的振幅、频率和初相分别为( )A ．2，1π，π4B ．2，12π，π4 C ．2，1π，π8D ．2，12π，－π8解析：选A 由振幅、频率和初相的定义可知，函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的振幅为2，频率为1π，初相为π4.2．(2019·七台河联考)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则以下判断中正确的是( )A ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π8个单位长度得到B ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度得到C ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2sin 2x 的图象向右平移3π8个单位长度得到D ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移3π4个单位长度得到解析：选A 因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以函数f (x )的图象可由函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π8个单位长度得到，故选A.3．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值是( )A ．－3B .33C ．1 D. 3解析：选D 由题意可知该函数的周期为π2， ∴πω＝π2，ω＝2，f (x )＝tan 2x .∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝tan π3＝ 3. 4.(2019·贵阳检测)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( ω>0，－π2<φ<π2 )的部分图象如图所示，则φ的值为( )A ．－π3 B.π3 C ．－π6D.π6解析：选B 由题意，得T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，所以T ＝π，由T ＝2πω，得ω＝2，由图可知A ＝1，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，－π2<φ<π2，所以φ＝π3. 5.(2019·武汉一中模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的部分图象如图所示，则f (2 019)＝( )A ．1B.32C.12D.34解析：选C 由函数图象可知最小正周期T ＝4，所以f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)，观察图象可知f (3)＝12，所以f (2 019)＝12.故选C.6．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ( A >0，ω>0，|φ|<π2 )的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．则7月份的出厂价格为________元．解析：作出函数简图如图：三角函数模型为：y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意知：A ＝2 000，B ＝7 000，T ＝2×(9－3)＝12，∴ω＝2πT ＝π6.将(3，9 000)看成函数图象的第二个特殊点，则有π6×3＋φ＝π2，∴φ＝0，故f (x )＝2 000sin π6x ＋7 000(1≤x ≤12，x ∈N *)．∴f (7)＝2 000×sin 7π6＋7 000＝6 000.故7月份的出厂价格为6 000元．答案：6 000进阶题1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 令x ＝0，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B 、D.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C ，故选A.2．(2018·天津高考)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4上单调递增B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递减C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，3π2上单调递增D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上单调递减解析：选A 将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度后的解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10＋π5＝sin 2x ，则函数y ＝sin 2x 的一个单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4，一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，7π4.由此可判断选项A 正确．3．(2019·大同一中质检)将函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(0<ω<10)的图象向右平移π6个单位长度之后与函数f (x )的图象重合，则ω＝( )A ．9B ．6C ．4D ．8解析：选B 函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π6个单位长度后所得图象对应的函数解析式为f (x )＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ6＋π3，∵平移后的图象与函数f (x )的图象重合，∴－ωπ6＋π3＝π3＋k π，k ∈Z ，解得ω＝－6k ，k ∈Z.又0<ω<10，∴ω＝6.故选B.4.(2019·日照一模)函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，为了得到g (x )＝A sin ωx 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π6个单位长度 B ．向左平移π12个单位长度 C ．向右平移π6个单位长度 D ．向右平移π12个单位长度解析：选B 由题图知A ＝2，T 2＝π3－⎝⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，∴T ＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝2cos(2x ＋φ)，将⎝⎛⎭⎪⎫π3，2代入得cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝1，∵－π<φ<0，∴－π3<2π3＋φ<2π3，∴2π3＋φ＝0，∴φ＝－2π3，∴f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π12，故将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位长度可得到g (x )的图象．5．(2019·郑州一中入学测试)定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 sin ωx 1 cos ωx (ω>0)的图象向左平移2π3个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是( )A.14B.54C.74D.34解析：选B 依题意得f (x )＝3cos ωx －sin ωx ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，且函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＝ 2cos [ ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6 ]＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋2ωπ3＋π6是偶函数，于是有2ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，即ω＝ 32⎝⎛⎭⎪⎫k －16，k ∈Z.又ω>0，所以ω的最小值是32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16＝54，选B.6．(2019·绵阳一诊)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)图象的最高点与相邻最低点的距离是17，若将y ＝f (x )的图象向右平移16个单位长度得到y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝56 B ．x ＝13 C ．x ＝12D ．x ＝0解析：选B 函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的最大值为2，由(17)2－42＝1可得函数f (x )的周期T ＝2×1＝2，所以ω＝π，因此f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3.将y ＝f (x )的图象向右平移16个单位长度得到的图象对应的函数解析式为g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x －16＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，当x ＝13时，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝2，为函数的最大值，故直线x ＝13为函数y ＝g (x )图象的一条对称轴．故选B.7.(2019·涞水波峰中学期中)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)( ω>0，φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π )的部分图象如图所示，其中f (0)＝1，|MN |＝52，将f (x )的图象向右平移1个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )的解析式是( )A ．g (x )＝2cos π3xB ．g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋2π3C ．g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3x ＋π3D ．g (x )＝－2cos π3x解析：选A 设函数f (x )的最小正周期为T .由题图及|MN |＝52，得T 4＝32，则T ＝6，ω＝π3.又由f (0)＝1，φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π得sin φ＝12，φ＝5π6.所以f (x )＝2sin ( π3x ＋5π6 ).则g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3(x －1)＋5π6＝2cos π3x .故选A.8.(2019·北京东城期中)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，其中A ，B 两点间距离为5，则ω＋φ＝________.解析：∵AB ＝5＝T 24＋16，∴T ＝6＝2πω，∴ω＝π3.∵f (2)＝－2，∴23π＋φ＝2k π＋32π，k ∈Z.又∵0<φ<π，∴φ＝56π，∴φ＋ω＝76π.答案：76π9．(2019·临沂重点中学质量调研)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最低点的距离为22，且图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数f (x )＝____________.解析：依题意得22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫πω2＝22，ω>0，所以ω＝π2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ.因为该函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，所以sin(π＋φ)＝－12，即sin φ＝12.因为－π2≤φ≤π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6. 答案：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6 10．已知函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1( A >0，ω>0，0<φ<π2 )的最大值为3，f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＋f (2 018)＝________.解析：∵函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1＝A ·1＋cos (2ωx ＋2φ)2＋1＝A2cos(2ωx ＋2φ)＋1＋A 2( A >0，ω>0，0<φ<π2 )的最大值为3，∴A 2＋1＋A 2＝3，∴A ＝2.根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即2π2ω＝4，∴ω＝π4.再根据f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，可得cos 2φ＋1＋1＝2，∴cos 2φ＝0，又0<φ<π2，∴2φ＝π2，φ＝π4.故函数f (x )的解析式为f (x )＝cos ( π2x ＋π2 )＋2＝－sin π2x ＋2，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＋f (2 018)＝－( sin π2＋sin 2π2＋sin 3π2＋…＋sin 2 017π2＋sin 2 018π2 )＋2×2 018＝－504×0－sin π2－ sin π＋4 036＝－1＋4 036＝4 035.答案：4 03511.(2019·天津新四区示范校期末联考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若α为第二象限角且sin α＝35，求f (α)的值．解：(1)由题图可知，函数f (x )的最小正周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2πT ＝2.又∵函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，且点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0处于函数图象下降部分，∴2×5π12＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝π6＋2k π，k ∈Z. ∵0<φ<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∵函数图象过点(0,1)，∴A sin π6＝1，∴A ＝2， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)∵α为第二象限角且sin α＝35，∴cos α＝－45， ∴sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝725，∴f (α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝2( sin 2αcos π6＋cos 2αsin π6 )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425×32＋725×12＝7－24325.12．(2019·西安长安区质检)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 3－π6－2cos 2π6x .(1)试说明y ＝f (x )的图象由函数y ＝3sin π3x 的图象经过怎样的变化得到；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，当x ∈[0,1]时，求函数y ＝g (x )的最值．解：(1)∵函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6＝sin π3x cos π6－cos π3x sinπ6－cos π3x －1＝32sin π3x －32cos π3x －1＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π3－1，∴把函数y ＝3sin πx3的图象向先右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y ＝f (x )的图象．(2)∵函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称， ∴g (x )＝f (4－x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3(4－x )－π3－1＝3sin π3x －1.当x ∈[0,1]时，π3x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，故当x ＝0时，函数y ＝g (x )取得最小值－1；当x ＝1时，函数y ＝g (x )取得最大值12.难度题1．(2019·惠州调研)将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到g (x )的图象，若g (x 1)·g (x 2)＝9，且x 1，x 2∈[－2π，2π]，则2x 1－x 2的最大值为( )A.25π6B.49π12C.35π6D.17π4解析：选B 由题意可得，g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1，所以g (x )max ＝3，又g (x 1)·g (x 2)＝9，所以g (x 1)＝g (x 2)＝3，由g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1＝3，得2x ＋π3＝π2＋2k π(k ∈Z)，即x ＝π12＋k π(k ∈Z)，因为x 1，x 2∈[－2π，2π]，所以(2x 1－x 2)max ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－2π＝49π12，故选B. 2．设定义在R 上的函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)( ω>0，－π12<φ<π2 )，给出以下四个论断：①f (x )的最小正周期为π；②f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0上是增函数；③f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π3，0对称；④f (x )的图象关于直线x＝π12对称．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题(写成“p ⇒q ”的形式)__________．(用到的论断都用序号表示)解析：若f (x )的最小正周期为π，则ω＝2，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)．同时若f (x )的图象关于直线x ＝π12对称，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝±1，又－π12<φ<π2，∴2×π12＋φ＝π2，∴φ＝π3，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，②③成立，故①④⇒②③.若f (x )的最小正周期为π，则ω＝2，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，同时若f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，则2×π3＋φ＝k π，k ∈Z ，又－π12<φ<π2，∴φ＝π3，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，②④成立，故①③⇒②④.答案：①④⇒②③或①③⇒②④3.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点A (33，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设P 的坐标为(x ，y )，其纵坐标满足y ＝f (t )＝R sin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫t ≥0，ω>0，|φ|<π2. 则下列叙述正确的是________． ①R ＝6，ω＝π30，φ＝－π6；②当t ∈[35,55]时，点P 到x 轴的距离的最大值为6； ③当t ∈[10,25]时，函数y ＝f (t )单调递减； ④当t ＝20时，|P A |＝6 3.解析：①由点A (33，－3)，可得R ＝6，由旋转一周用时60秒，可得T ＝2πω＝60，则ω＝π30， 由点A (33，－3)，可得∠AOx ＝π6， 则φ＝－π6，故①正确； ②由①知，f (t )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π6，当t ∈[35,55]时，π30t －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，5π3，即当π30t －π6＝3π2时，点P (0，－6)，点P 到x 轴的距离的最大值为6，故②正确；③当t ∈[10,25]时，π30t －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，由正弦函数的单调性可知，函数y ＝f (t )在[10,25]上有增有减，故③错误；④f (t )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π6，当t ＝20时，水车旋转了三分之一周期， 则∠AOP ＝2π3，所以|P A |＝63，故④正确． 答案：①②④。

函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用一、知识梳理1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈R振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R )一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示：x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种途径注意：1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．2．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k ∈Z 确定其横坐标．二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin )4(π-x 的图象是由y ＝sin )4(π+x 的图象向右平移π2个单位长度得到的．( ) (2)将函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图象．( ) (3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )(4)由图象求函数解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．( ) 题组二：教材改编2．为了得到函数y ＝2sin )32(π-x 的图象，可以将函数y ＝2sin 2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度3．]函数y ＝2sin )321(π-x 的振幅、频率和初相分别为( )A ．2,4π，π3B ．2，14π，π3C ．2，14π，－π3D ．2,4π，－π34．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式为__________________________．题组三：易错自纠 5．要得到函数y ＝sin )34(π-x 的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度6．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________．三、典型例题题型一：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换 典例 已知函数y ＝2sin )32(π+x .(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； (3)说明y ＝2sin )32(π+x 的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．思维升华：(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标． (2)由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．跟踪训练：(1)若把函数y ＝sin )6(πω-x 的图象向左平移π3个单位长度，所得到的图象与函数y ＝cos ωx 的图象重合，则ω的一个可能取值是( )A ．2 B.32 C.23 D.12(2)把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移π4个单位长度，得到的函数图象的解析式是________．题型二：由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式典例 (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则y ＝________________.(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ))2,0(πϕω<>的部分图象如图所示，则y ＝f )6(π+x 取得最小值时x 的集合为________．思维升华：y ＝A sin(ωx ＋φ)中φ的确定方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口． 跟踪训练 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B )2,0,0(πϕω<>>A 的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，得到函数g (x )的图象关于点)23,3(π对称，则m 的值可能为( )A.π6B.π2C.7π6D.7π12 题型三：三角函数图象性质的应用 命题点1：三角函数模型典例 如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin )6(ϕπ+x ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10 命题点2：函数零点(方程根)问题典例 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在),2(ππ上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是____________．引申探究：本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是__________． 命题点3：三角函数图象性质的综合 典例 已知函数f (x )＝3sin )32(πω+x (ω>0)的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到函数g (x )的图象恰好经过点)0,3(π-，求当m 取得最小值时，g (x )在]127,6[ππ-上的单调递增区间．思维升华：(1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．跟踪训练 (1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ))2,0(πϕω≤>的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点)21,2(-，则函数f (x )的解析式为__________．四、反馈练习1．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin )322(π+x ，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 22．若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( ) A.π8 B.π4 C.3π8D.5π43．若函数y ＝sin(ωx －φ))2,0(πϕω<>在区间],2[ππ-上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝－2π3C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝－2π34．函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移的单位长度是( ) A.π2 B.2π3 C.π3D.π45．将函数f (x )＝3sin x －cos x 的图象沿着x 轴向右平移a (a >0)个单位长度，所得函数图象关于y 轴对称，则a 的最小值是( )A.π6B.π3C.π2D.2π3 6．函数f (x )＝sin(2x ＋φ))2(πϕ<的图象向左平移π6个单位长度后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在]2,0[π上的最小值为( )A ．－32B ．－12C.12D.327．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是______________． 8．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ))20,0(πϕω<<>的部分图象如图所示，已知图象经过点A (0，1)，B )1,3(-π，则f (x )＝________.9．已知函数f (x )＝cos )33(π+x ，其中x ∈],6[m π，若f (x )的值域是]23,1[--，则m 的取值范围是________． 10．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________． 11．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ))2,0,0(πϕω<>>A 的图象过点P )0,12(π，图象上与点P 最近的一个最高点是Q )5,3(π.(1)求函数的解析式；(2)求函数f (x )的单调递增区间． 12．将函数f (x )＝sin(2x ＋θ))2(πϕ<的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后，得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P )23,0(，则φ的值为________． 13．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为________．14.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f )61(的值为________．.15．设函数f (x )＝sin )6(πω-x ＋sin )2(πω-x ，其中0＜ω＜3.已知f )6(π＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在]43,4[ππ-上的最小值．。

数学正弦型函数y=Asin(ωxφ)的图象及应用第三章第4讲第1页不同寻常的一本书，不可不读哟！第三章第4讲第2页1.了解函数y=Ain(ω某+φ)的物理意义，能画出函数y=Ain(ω某+φ)的图象，了解参数A、ω、φ对函数图象变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题.第三章第4讲第3页1个必记提醒在用“代点法”求φ时，若条件中既有最值点，也有零点，应代入最值点，这样可得到一个确定的φ值.2点必知变换1.平移变换：①沿某轴平移，按“左加右减”法则；②沿y轴平移，按“上加下减”法则.2.伸缩变换：①沿某轴伸缩时，横坐标某伸长(0<ω<1)或缩短1(ω>1)为原来的ω倍(纵坐标y不变);②沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原来的A倍(横坐标某不变).第三章第4讲第4页3项必须注意1.要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象.2.要注意平移前后两个函数的名称一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数.3.由y=Ainω某的图象得到y=Ain(ω某+φ)的图象时，需平φ移的单位数应为||,而不是|φ|.ω第三章第4讲第5页课前自主导学第三章第4讲第6页1.y=Ain(ω某+φ)的有关概念y=Ain(ω某+振相位ω某+φ初相φφ)(A>0,ω>0),某幅∈[0,+∞)表示一个振动量时A周期频率1f=T=____T=____第三章第4讲第7页函数y=Ain(ω某+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)在一个周期内的图象如图，试写出函数的解析式________,它的振幅为________,周期为________,初相为________.第三章第4讲第8页2.用五点法画y=Ain(ω某+φ)一个周期内的简图用五点法画y=Ain(ω某+φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示某ω某+φy=Ain(ω某+φ)______________________________00π2Aπ03π2-A2π0第三章第4讲第9页π用五点法作函数y=in(某+)在一个周期内的图象时，6主要确定的五个点是________,________,________,________,________.第三章第4讲第10页π(2)如图是y=Ain(ω某+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的一段图2象，则函数f(某)的解析式为__________.第三章第4讲第11页3.由函数y=in某的图象变换得到y=Ain(ω某+φ)的图象的步骤第三章第4讲第12页(1)y=in(某-π3)是由y=in某的图象向________平移________个单位得到的.(2)y=in(2某+π3)是由y=in2某的图象向____平移________个单位得到的.(3)y=co某图象上点的横坐标伸长为原来的2倍，得到yπ=________,然后再向右平移个单位得到y=________.6第三章第4讲第13页2πω1.ω2π22填一填：y=2in(2某+3π)2π3ππ-φ2φ2.-ωωπ-φω3π-φ2ω2π-φω第三章第4讲第14页ππ54填一填：(1)(-,0)(,1)(π,0)(π,-1)6363113π(6π,0)(2)y=in(3某-4)ππ11π3.填一填：(1)右(2)左(3)co某co(某-)362212第三章第4讲第15页核心要点研究第三章第4讲第16页例1[2022·无锡模拟]f(某)=in(2某+φ)(-π<φ<0),y=πf(某)图象的一条对称轴是直线某=8.(1)求φ;(2)画出函数y=f(某)在区间上[0,π]的图象.第三章第4讲第17页[审题视点](1)根据题目给出的图象特征对称轴，确定参数φ的值；(2)采用“五点法”作图，应注意定义域为[0,π].同时注意列表时要列端点值.[解]π(1)∵某=是函数y=f(某)的图象的对称轴，8π∴in(2某8+φ)=±1,ππ∴+φ=kπ+,k∈Z.42第三章第4讲第18页3π∵-π<φ<0,∴φ=-4.3π(2)由y=in(2某-4)知某π83π805π817π80π2-22-1y-2第三章第4讲第19页。