圆重难点题型

题型五--圆的相关证明与计算（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．（6）弦心距：圆心到弦的距离．考点02垂径定理及其推论1．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．考点03圆心角、弧、弦的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．考点04圆周角定理及其推论1．定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．（2）直径所对的圆周角是直角．考点05与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r ⇔点在⊙O 外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>r d=r d<r考点06切线的性质与判定1．切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．考点07三角形与圆1.三角形外接圆外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．1.如图，点,,,,A B C D E 在O 上，,42AB CD AOB =∠=︒，则CED ∠=（）A．48︒B．24︒C．22︒D．21︒2.如图，A，B，C 是半径为1的⊙O 上的三个点，若，∠CAB＝30°，则∠ABC 的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°3.如图，AB 是⊙O 的直径，AC，BC 是⊙O 的弦，若20A ∠=︒，则B Ð的度数为（）A．70°B．90°C．40°D．60°4.如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =3BC =．点P 为ABC ∆内一点，且满足22PA PC +2AC =．当PB 的长度最小时，ACP ∆的面积是（）A．3B．C．4D．25.如图，已知在⊙O 中， AB BCCD ＝＝，OC 与AD 相交于点E．求证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE 为菱形．6.如图，A，B 是O 上两点，且AB OA =，连接OB 并延长到点C，使BC OB =，连接AC．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）点D，E 分别是AC，OA 的中点，DE 所在直线交O 于点F，G，4OA =，求GF 的长．7.如图，Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，以点C 为圆心，CB 为半径作C ，D 为C 上一点，连接AD 、CD ，AB AD =，AC 平分BAD ∠．（1）求证：AD 是C 的切线；（2）延长AD 、BC 相交于点E，若2EDC ABC S S = ，求tan BAC ∠的值．8.如图，在O 中，AB 是直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，E 为 BC上一点，F 为弦DC 延长线上一点，连接FE 并延长交直径AB 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点P ，若FE FP =．（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若O 的半径为8，3sin 5F =，求BG 的长．9.如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点D 是 BC的中点，//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线DE 与O 相切；（2）若O 的直径是10，45A ∠=︒，求CE 的长．10.如图，已知点C 是以AB 为直径的圆上一点，D 是AB 延长线上一点，过点D 作BD 的垂线交AC 的延长线于点E ，连结CD ，且CD ED =．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若tan 2DCE ∠=，1BD =，求O 的半径．11.如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接AC，CE⊥AB 于点E，D 是直径AB 延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD＝8，BE CE=12，求CD的长．12.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．13.如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O 交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．（1）求证：DC∥AP；（2）求AC的长．=CD =DB ，连接AD，过点D作14.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，ACDE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若直径AB＝6，求AD的长．15.如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．16.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC 平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线．（2）若AD＝3，DC=3，求⊙O的半径．17.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．。

重难点05 圆的综合压轴题中考数学中《圆的综合压轴题》部分主要考向分为六类：一、圆中弧长和面积的综合题二、圆与全等三角形的综合题三、圆的综合证明问题四、圆与等腰三角形的综合题五、圆的阅读理解与新定义问题六、圆与特殊四边形的综合题圆的综合问题是中考数学中的压轴题中的一类，也是难度较大的一类，所以，对应的训练很有必要。

考向一：圆中弧长与面积的综合题1．（2023•河北）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH．计算：在图1中，已知MN＝48cm，作OC⊥MN于点C.（1）求OC的长．操作：将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM＝30°时停止滚动．如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D．探究：在图2中．（2）操作后水面高度下降了多少？（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与的长度，并比较大小．2．（2023•乐山）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动．【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图1，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达的位置△AB′C′的位置，那么可以得到：AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′．（_____）刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学．【问题解决】（1）上述问题情境中“（_____）”处应填理由：；（2）如图2，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A′B′C′的位置．①请在图中作出点O；②如果BB′＝6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为；【问题拓展】小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题．考向二：圆与全等三角形综合题1．（2023•济宁）如图，已知AB是⊙O的直径，CD＝CB，BE切⊙O于点B，过点C作CF⊥OE交BE于点F，EF＝2BF．（1）如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；（2）如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN＝60°，连接MN．请问：三条线段MN，BM，DN有怎样的数量关系？并证明你的结论．2．（2023•哈尔滨）已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，N为的中点，连接ON交AC于点H．（1）如图①，求证：BC＝2OH；（2）如图②，点D在⊙O上，连接DB，DO，DC，DC交OH于点E，若DB＝DC，求证OD∥AC；（3）如图③，在（2）的条件下，点F在BD上，过点F作FG⊥DO，交DO于点G，DG＝CH，过点F 作FR⊥DE，垂足为R，连接EF，EA，EF：DF＝3：2，点T在BC的延长线上，连接AT，过点T作TM ⊥DC，交DC的延长线于点M，若FR＝CM，AT＝4，求AB的长．3．（2023•长春）【感知】如图①，点A、B、P均在⊙O上，∠AOB＝90°，则锐角∠APB的大小为45度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在弧AC上（点P不与点A、C重合），连接PA、PB、PC．求证：PB＝PA+PC．小明发现，延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE，通过证明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE．∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，∵∠BAP+∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE，∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC，∴△PBC≌△EBA（SAS）．请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在⊙O上，且点P与点B在AC的两侧，连接PA、PB、PC，若，则的值为．考向三：圆的综合证明问题1．（2023•黄石）如图，AB为⊙O的直径，DA和⊙O相交于点F，AC平分∠DAB，点C在⊙O上，且CD ⊥DA，AC交BF于点P．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：AC•PC＝BC2；（3）已知BC2＝3FP•DC，求的值．2．如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF．（1）若BE＝1，求GE的长．（2）求证：BC2＝BG•BO．（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．3．（2023•永州）如图，以AB为直径的⊙O是△ABC的外接圆，延长BC到点D．使得∠BAC＝∠BDA，点E在DA的延长线上，点M在线段AC上，CE交BM于N，CE交AB于G．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若，BD＝5，AC＞CD，求BC的长；（3）若DE•AM＝AC•AD，求证：BM⊥CE．4．（2023•广东）综合探究如图1，在矩形ABCD中（AB＞AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′．连接AA′交BD于点E，连接CA′．（1）求证：AA'⊥CA'；（2）以点O为圆心，OE为半径作圆．①如图2，⊙O与CD相切，求证：；②如图3，⊙O与CA′相切，AD＝1，求⊙O的面积．考向四：圆与等腰三角形的综合1．（2023•宁波）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC相切于点D，连结AD，BE＝3，BD＝3．P是AB边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP的长为．2．（2023•上海）如图（1）所示，已知在△ABC中，AB＝AC，O在边AB上，点F是边OB中点，以O 为圆心，BO为半径的圆分别交CB，AC于点D，E，连接EF交OD于点G．（1）如果OG＝DG，求证：四边形CEGD为平行四边形；（2）如图（2）所示，连接OE，如果∠BAC＝90°，∠OFE＝∠DOE，AO＝4，求边OB的长；（3）连接BG，如果△OBG是以OB为腰的等腰三角形，且AO＝OF，求的值．3．（2023•泰州）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，∠C为所对的圆周角．知识回顾（1）如图①，⊙O中，B、C位于直线AO异侧，∠AOB+∠C＝135°．①求∠C的度数；②若⊙O的半径为5，AC＝8，求BC的长；逆向思考（2）如图②，若P为圆内一点，且∠APB＜120°，PA＝PB，∠APB＝2∠C．求证：P为该圆的圆心；拓展应用（3）如图③，在（2）的条件下，若∠APB＝90°，点C在⊙P位于直线AP上方部分的圆弧上运动．点D在⊙P上，满足CD＝CB﹣CA的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．考向五：圆的阅读理解与新定义问题1．（2023•青海）综合与实践车轮设计成圆形的数学道理小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的．为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶．（1）探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，BA＝CA＝DA＝2，圆心角∠BAD＝120°．此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），请在图2中计算C 到BD的距离d1．（2）探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，BA＝CA＝DA＝2，圆心角∠BAD＝90°．此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），请在图4中计算C到BD的距离d2（结果保留根号）．（3）探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，圆心角∠BAD＝．此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），在图6中计算C 到BD的距离d3＝（结果保留根号）．（4）归纳推理：比较d1，d2，d3大小：，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离（填“越大”或“越小”）．（5）得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离d＝.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感．所以，将车轮设计成圆形．2．（2023•陕西）（1）如图①，∠AOB＝120°，点P在∠AOB的平分线上，OP＝4．点E，F分别在边OA，OB上，且∠EPF＝60°，连接EF．求线段EF的最小值；（2）如图②，是一个圆弧型拱桥的截面示意图．点P是拱桥的中点，桥下水面的宽度AB＝24m，点P到水面AB的距离PH＝8m．点P1，P2均在上，＝，且P1P2＝10m，在点P1，P2处各装有一个照明灯，图中△P1CD和△P2EF分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点P1，P2左右转动，且光束始终照在水面AB上．即∠CP1D，∠EP2F可分别绕点P1，P2按顺（逆）时针方向旋转（照明灯的大小忽略不计），线段CD，EF在AB上，此时，线段ED是这两灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度．已知∠CP1D＝∠EP2F＝90°，在这两个灯的照射下，当整个水面AB都被灯光照到时，求这两个灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度．（可利用备用图解答）3．（2023•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C给出如下定义：若直线CA，CB中一条经过点O，另一条是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”．（1）如图，点A（﹣1，0），B1（，），B2（，）．①在点C1（﹣1，1），C2（，0），C3（0，）中，弦AB1的“关联点”是；②若点C是弦AB2的“关联点”，直接写出OC的长；（2）已知点M（0，3），N（，0），对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”．记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围．4．在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论，解决以下问题：如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（60°＜α＜180°）．点D是BC边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE，连接BE．（1）求证：A，E，B，D四点共圆；（2）如图2，当AD＝CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；（3）已知α＝120°，BC＝6，点M是边BC的中点，此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．考向六：圆与特殊四边形综合1．（2023•威海）已知：射线OP平分∠MON，A为OP上一点，⊙A交射线OM于点B，C，交射线ON 于点D，E，连接AB，AC，AD．（1）如图1，若AD∥OM，试判断四边形OBAD的形状，并说明理由；（2）如图2，过点C作CF⊥OM，交OP于点F；过点D作DG⊥ON，交OP于点G．求证：AG＝AF．2．（2023•益阳）如图，线段AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点M，其延长线交⊙O于点C，连接BC，∠ABC＝120°，D为⊙O上一点且的中点为M，连接AD，CD．（1）求∠ACB的度数；（2）四边形ABCD是否是菱形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若AC＝6，求的长．（建议用时：80分钟）1．（2023•宜昌）如图1，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，AB＝4，PB＝3．（1）填空：∠PBA的度数是，PA的长为；（2）求△ABC的面积；（3）如图2，CD⊥AB，垂足为D．E是上一点，AE＝5EC．延长AE，与DC，BP的延长线分别交于点F，G，求的值．2．（2023•台州）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置．如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q是圆上两点（不与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D．（1）如图1，当AB＝6，弧BP长为π时，求BC的长；（2）如图2，当，时，求的值；（3）如图3，当，BC＝CD时，连接BP，PQ，直接写出的值．3．（2023•遂宁）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AD＝CD，过点D的直线l交BA的延长线于点M．交BC的延长线于点N且∠ADM＝∠DAC．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）求证：AD2＝AB•CN；（3）当AB＝6，sin∠DCA＝时，求AM的长．4．（2023•丽水）如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，过点C的切线交BA的延长线于点H．（1）求证：AD∥HC；（2）若＝2，求tan∠FAG的值；（3）连结BC交AD于点N，若⊙O的半径为5．下面三个问题，依次按照易、中、难排列．请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答．①若OF＝，求BC的长；②若AH＝，求△ANB的周长；③若HF•AB＝88，求△BHC的面积．5．（2023•长沙）如图，点A，B，C在⊙O上运动，满足AB2＝BC2+AC2，延长AC至点D，使得∠DBC ＝∠CAB，点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F，交BC 的延长线于点N，交⊙O于点M（点M在劣弧上）．（1）BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明；（2）记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S1，S2，S，若S1•S＝（S2）2，求（tan D）2的值；（3）若⊙O的半径为1，设FM＝x，FE•FN•＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．6．（2023•宁波）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连结AD并延长交⊙O于点E，连结BE，CE，过C作AC的垂线交AE于点F，点G在AD上，连结BG，CG，若BC平分∠EBG且∠BCG ＝∠AFC．（1）求∠BGC的度数．（2）①求证：AF＝BC．②若AG＝DF，求tan∠GBC的值．（3）如图2，当点O恰好在BG上且OG＝1时，求AC的长．（建议用时：80分钟）1．（2023•东营区校级一模）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，BC是⊙O的直径，PO交⊙O于E点，连接AB交PO于F，连接CE交AB于D点．下列结论：①PA＝PB；②OP⊥AB；③CE 平分∠ACB；④；⑤E是△PAB的内心；⑥△CDA≌△EDF．其中一定成立的有（）个．A．5B．4C．3D．22．（2023•鹿城区校级三模）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC＝2，过BC上一点D作DE ⊥BC，交AB于点E，以点D为圆心，DE的长为半径作半圆，交AC，AB于点F，G，交直线BC于点H，I（点I在H左侧）．当点D与点C重合时（如图2），GH＝；当EF＝GH时，CD＝．3．（2023•湖北模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE，BE＝7，下列四个结论：①AC平分∠DAB；②PF2＝PB•PA；③若BC＝OP，则阴影部分的面积为；④若PC＝24，则tan∠PCB＝；其中，所有正确结论的序号是．4．（2024•鄞州区校级一模）如图1，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的弦，垂足为E，连结BC，BD，OC．（1）求证：∠BCO＝∠ABD．（2）如图2，过点A作AF⊥BD，交CD于G，求证：CE＝EG．（3）如图3，在（2）的条件上，连结BG，若BG恰好经过圆心O，若⊙O的半径为5，，求AB的长．5．（2024•常州模拟）对于⊙C和⊙C上的一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q（点Q 可以与点P重合，且，则点P称为点A关于⊙C的“阳光点”．已知点O为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A（﹣1，0）．（1）若点P是点A关于⊙O的“阳光点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标；（2）若点B是点A关于⊙O的“阳光点”，且，求点B的横坐标t的取值范围；（3）直线与x轴交于点M，且与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于⊙O的“阳光点”，请直接写出b的取值范围是或．6．（2024•广东一模）如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点D在劣弧BC上，CE ⊥CD交AD于E，连接BD．（1）求证：△ACE～△BCD；（2）若cos∠ABC＝m，求；（用含m的代数式表示）（3）如图2，DE的中点为G，连接GO，若BD＝a，cos∠ABC＝，求OG的长．7．（2024•镇海区校级模拟）在矩形ABCD中，M、N分别在边BC、CD上，且AM⊥MN，以MN为直径作⊙O，连结AN交⊙O于点H，连结CH交MN于点P，AB＝8，AD＝12．（1）求证：∠MAD＝∠MHC；（2）若AM平分∠BAN，求MP的长；（3）若△CMH为等腰三角形，直接写出BM的长．8．（2024•浙江一模）如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结BD交CF于点G，连结AC，DC，过点C的切线交AB的延长线于点H．（1）求证：FG＝CG．（2）求证：四边形BDCH是平行四边形．（3）若⊙O的半径为5，OF＝3，求△ACH的周长．9．（2024•五华区校级模拟）如图，AB，CD是⊙O的两条直径，且AB⊥CD，点E是上一动点（不与点B，D重合），连接DE并延长交AB的延长线于点F，点P在AF上，且∠PEF＝∠DCE，连接AE，CE分别交OD，OB于点M，N，连接AC，设⊙O的半径为r．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）当∠DCE＝15°时，求证：AM＝2ME；（3）在点E的移动过程中，判断AN•CM是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．10．（2024•福建模拟）已知：如图，⊙O内两条弦AB、CD，且AB⊥CD于E，OA为⊙O半径，连接AC、BD．（1）求证：∠OAC＝∠BCD；（2）作EN⊥BD于N，延长NE交AC于点H．求证：AH＝CH；（3）在（2）的条件下，作∠EHF＝60°交AB于点F，点P在FE上，连接PC交HN于点L，当EL＝HF＝，CL＝8，BE＝2PF时，求⊙O的半径．11．（2024•鹿城区校级一模）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，点E是AB的中点，连结EO并延长交BC 于D，点F在AC上，连结AD，DF，∠BAD＝∠CDF．（1）求证：DF∥AB．（2）当AB＝9，AF＝FD＝4时，①求tan∠CDF的值；②求BC的长．（3）如图2，延长AD交⊙O于点G，若，求的值．12．（2024•正阳县一模）【材料】自从《义务教育数学课程标准（2022年版）》实施以来，九年级的晏老师通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”，在学习完《切线的性质与判定》后，她布置一题：“已知：如图所示，⊙O及⊙O外一点P．求作：直线PQ，使PQ与⊙O相切于点Q．李蕾同学经过探索，给出了如下的一种作图方法：（1）连接OP，分别以O、P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于A、B两点（A、B 分别位于直线OP的上下两侧）；（2）作直线AB，AB交OP于点C；（3）以点C为圆心，CO为半径作⊙C，⊙C交⊙O于点Q（点Q位于直线OP的上侧）；（4）连接PQ，PQ交AB于点D，则直线PQ即为所求．【问题】（1）请按照步骤完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）；（2）结合图形，说明PQ是⊙O切线的理由；（3）若⊙O半径为2，OP＝6．依据作图痕迹求QD的长．13．（2024•泌阳县一模）小贺同学在数学探究课上，用几何画板进行了如下操作：首先画一个正方形ABCD，一条线段OP（OP＜AB），再以点A为圆心，OP的长为半径，画⊙A分别交AB于点E．交AD于点G．过点E，G分别作AB，AD的垂线交于点F，易得四边形AEFG也是正方形，连接CF．（1）【探究发现】如图1，BE与DG的大小和位置关系：．（2）【尝试证明】如图2，将正方形AEFG绕圆心A转动，在旋转过程中，上述（1）的关系还存在吗？请说明理由．（3）【思维拓展】如图3，若AB＝2OP＝4，则：①在旋转过程中，点B，A，G三点共线时，CF的值为；②在旋转过程中，CF的最大值是．14．（2024•秦都区校级一模）问题提出：（1）如图①，⊙O的半径为4，弦AB＝4，则点O到AB的距离是．问题探究：（2）如图②，⊙O的半径为5，点A、B、C都在⊙O上，AB＝6，求△ABC面积的最大值．问题解决：（3）如图③，是一圆形景观区示意图，⊙O的直径为60m，等边△ABP的边AB是⊙O的弦，顶点P在⊙O内，延长AP交⊙O于点C，延长BP交⊙O于点D，连接CD．现准备在△PAB和△PCD 区域内种植花卉，圆内其余区域为草坪．按照预算，草坪的面积尽可能大，求草坪的最大面积．（提示：花卉种植面积尽可能小，即花卉种植面积S△PAB +S△PCD的最小值）15．（2024•碑林区校级一模）问题探究（1）寒假期间，乐乐同学参观爸爸的工厂，看到半径分别为2和3的两个圆形零件⊙A、⊙B按如图1所示的方式放置，点A到直线m的距离AC＝4，点B到直线m的距离BD＝6，CD＝5，M是⊙A上一点，N是⊙B上一点，在直线m上找一点P，使得PM+PN最小．请你在直线m上画出点P的位置，并直接写出PM+PN的最小值．问题解决（2）如图2，乐乐爸爸的工厂欲规划一块花园，如图所示的矩形ABCD，其中米，BC＝30米，点E、F为花园的两个入口，米，DF＝10米．若在△BCD区域内设计一个亭子G（亭子大小忽略不计），满足∠BDG＝∠GBC，从入口到亭子铺设两条景观路．已知铺设小路EG所用的景观石材每米的造价是400元，铺设小路FG所用的景观石材每米的造价是200元，你能否帮乐乐同学分析一下，是否存在点G，使铺设小路EG和FG的总造价最低？若存在，求出最低总造价，并求出此时亭子G到边AB的距离；若不存在，请说明理由．16．（2024•雁塔区校级一模）问题发现（1）在△ABC中，AB＝2，∠C＝60°，则△ABC面积的最大值为；（2）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC＝8，求BC+CD的值．问题解决（3）有一个直径为60cm的圆形配件⊙O，如图2所示．现需在该配件上切割出一个四边形孔洞OABC，要求∠O＝∠B＝60°，OA＝OC，并使切割出的四边形孔洞OABC的面积尽可能小．试问，是否存在符合要求的面积最小的四边形OABC？若存在，请求出四边形OABC面积的最小值及此时OA的长；若不存在，请说明理由．17．（2024•东莞市校级一模）如图①，点C，D在线段AB上，点C在点D的左侧，若线段AC，CD，DB 满足AC2+BD2＝CD2，称C，D是线段AB的勾股点．（1）如图②，C，D是线段AB的勾股点，分别以线段AC，CD，DB为边向AB的同侧作正△ACE，正△CDF，正△DBG，已知正△ACE、正△CDF的面积分别是3，5，则正△DBG的面积是；（2）如图①，AB＝12，C，D是线段AB的勾股点，当AC＝AB时，求CD的长；（3）如图③，C，D是线段AB的勾股点，以CD为直径画⊙O，P在⊙O上，AC＝CP，连接PA，PB，若∠A＝2∠B，求∠B的度数．18．（2023•西湖区模拟）如图，已知CE是圆O的直径，点B在圆O上，且BD＝BC，过点B作弦CD的平行线与CE的延长线交于点A．（1）若圆O的半径为2，且点D为弧EC的中点时，求线段CD的长度；（2）在（1）的条件下，当DF＝a时，求线段BD的长度；（答案用含a的代数式表示）（3）若AB＝3AE，且CD＝12，求△BCD的面积．19．古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．小明决定研究一下圆，如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，延长AB至点D，连接AC、BC、CD，且∠CAB＝∠BCD，过点C 作CE⊥AD于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若OB＝BD，求证：点E是OB的中点；（3）在（2）的条件下，若点F是⊙O上一点（不与A、B、C重合），求的值．。

六年级上学期圆的重难点题型训练一、填空题。

1、大圆直径是小圆直径的3倍，大圆周长是小圆周长的（）倍，大圆的面积是小圆的面积的（）倍。

2、用铁丝把2根横截面直径都是40厘米的圆木捆在一起，如果接头处铁丝长10厘米，那么捆一周至少需要（）厘米的铁丝。

3、一个圆平均分成若干等分，拼成一个近似的长方形，如果长方形的周长比圆的周长长4厘米，那么这个圆的面积是（）平方厘米，这个长方形的面积是（）平方厘米。

4、一辆自行车轮胎的外直径是80厘米，车轮每分钟转200周，这辆自行车每小时行（）千米。

5、在一个长为21分米，宽为6分米的长方形纸板上，想剪出半径为1.5分米的圆，最多可以剪（）个。

6、大圆半径是小圆半径的2倍，大圆面积比小圆面积多12平方厘米，小圆面积是（）平方厘米，大圆的面积是（）平方厘米。

7、一种钟表的分针长5厘米，3小时分针扫过的面积是（）平方厘米。

8、一个时钟的时针长10厘米，一昼夜这时针走了（）厘米。

9、一个圆的半径6分米，如果半径减少2分米，周长减少（）分米；面积减少（）平方分米。

10、大圆的半径等于小圆的直径，大圆的面积是小圆面积的（）倍11、小圆半径6厘米，大圆半径8厘米。

大圆和小圆半径的比是（）；直径的比是（）；周长的比是（）；面积的比是（）。

12、一个半圆形花坛，周长为10.28米，面积为（）平方米。

13、一张长方形的纸，长25 cm、宽13 cm，最多可以剪（）个半径为3 cm的小圆片。

14、用三根同样长的铁丝分别围成一个长方形、一个正方形、和一个圆，其中（）面积最大。

二、选择题。

1、下面三个图中，正方形的面积都相等，则阴影部分的面积（ ）图①图②图③A 、都相等B 、①中最大，③中最小C 、②中最大，③中最小D 、无法判断2、在一个边长是4分米的正方形内画一个最大的圆，圆的面积是正方形面积的（ ）A 、43B 、21C 、21πD 、41π3、圆的周长和半径的比是（ ）A 、π：1B 、π：2C 、2π：1D 、1：π4、已知半圆形的半径为r ，则这个半圆形的周长是( )。

第二十四章圆专题17圆周角重难点题型专训（八大题型）【题型目录】题型一圆周角的概念辨析题型二圆周角定理题型三同弧或等弧所对的圆周角相等问题题型四半圆所对的圆周角是直角问题题型五90°的圆周角所对的弦是直径问题题型六已知圆内接四边形求角度题型七求四边形外接圆的直径题型八圆周角综合问题【知识梳理】知识点一、圆周角1．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径。

（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．3．一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。

圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。

【经典例题一圆周角的概念辨析】1．（2020秋·浙江宁波·九年级校考期中）下列说法：（1）三点确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直角；（3）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；（4）相等的圆心角所对的弧相等；（5）圆内接四边形的对角互补．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据确定圆的条件、直径的性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质一一判断即可．【详解】解：（1）任意三点确定一个圆；错误，应该是不在同一直线上的三点可以确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直角；正确；（3）平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，直径与直径互相平分，但不一定互相垂直；（4）相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中；（5）圆内接四边形对角互补；正确；故选：B．【点睛】本题考查确定圆的条件、直径的性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD的顶点A，B，C在圆上，且边CD与该圆交于点E，AC，BE交于点F.下列角中，弧AE所对的圆周角是()A ．∠ADEB ．∠AFEC ．∠ABED ．∠ABC【答案】C 【分析】直接运用圆周角的定义进行判断即可.【详解】解：弧AE 所对的圆周角是：∠ABE 或∠ACE故选：C【点睛】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键.3．（2023·湖南娄底·校考一模）已知点A 、B 、C 、D 在圆O 上，且FD 切圆O 于点D ，OE CD 于点E ，对于下列说法：①圆上 AbB 是优弧；②圆上 AbD 是优弧；③线段AC 是弦；④CAD 和ADF 都是圆周角；⑤COA 是圆心角，其中正确的说法是．【答案】①②③⑤【分析】根据优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义逐项分析判断即可【详解】解： AbB ， AbD 都是大于半圆的弧，故①②正确，,A C ∵在圆上，则线段AC 是弦；故③正确；∵,,C A D 都在圆上，CAD 是圆周角而F 点不在圆上，则ADF 不是圆周角故④不正确；∵O 是圆心，,C A 在圆上COA 是圆心角故⑤正确故正确的有：①②③⑤故答案为：①②③⑤【点睛】本题考查了优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义，理解定义是解题的关键．优弧是大于半圆的弧，任意圆上两点的连线是弦，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，顶点在圆心，并且两边都和圆相交的角叫做圆心角．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，直线l 经过O 的圆心O ，且与O 交于A B 、两点，点C 在O 上，且30AOC ，点P 是直线l 上的一个动点(与圆心O 不重合)，直线CP 与O 相交于另一点Q ，如果QP QO ，则OCP .【答案】40°、20°、100°【分析】点P 是直线l 上的一个动点，因而点P 与线段AO 有三种位置关系，在线段AO 上，点P 在OB 延长线上，点P 在OA 的延长线上．分这三种情况进行讨论即可．【详解】解：①根据题意，画出图1，在QOC 中，OC OQ ，∴OQC OCP =，在OPQ △中，QP QO =，∴QOP QPO =，又∵30AOC ＝，∴30QPO OCP AOC OCP =+=+，在OPQ △中，180QOP QPO OQC ++=，即 3030180OCP OCP OCP ++＋+=，整理得，3120OCP =，∴40OCP ．②当P 在线段OA 的延长线上，如图21180211802OC OQ OQP QOC OQ PM OPQ OQP∵∵，①，，②，在OQP 中，30180QOC OQP OPQ +++=③，把①②代入③得20QOC =，则80OQP=∴100OCP =；③当P 在线段OA 的反向延长线上，如图3，1180211802301502OC OQ OCP OQC COQ OQ PQ P OQP AOC COQ POQ P POQ P OCP OQC∵∵∵∵，①，，②，，③，，④，①②③④联立得10P =，1801501020OCP ==．故答案为：40°、20°、100°．【点睛】本题主要考查了圆的认识及等腰三角形等边对等角的性质，画出图形，进行分类讨论是解题的关键．5．（2023·甘肃酒泉·统考三模）把下面的语句还原成图形：作图区域：(1)M 的半径为1cm ，AB 是M 的一条弦（AB 不经过M ），AMB 、ACB 分别是劣弧 AB 所对应的圆心角和圆周角；(2) DE 是O 中的一条弧，且 AB DE．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）画非直径的弦AB ，在优弧 AB 上取点C ，连接AC ，BC ，即可解答；（2）在M 上取一点D ，以AB 为半径画弧，交M 于点E ，即可．【详解】（1）解：如图，AMB 和ACB 为所作；作图区域：（2）解：如图，在M 上取一点D ，以AB 为半径画弧，交M 于点E ，根据等弦对等弧，可得 AB DE， DE即为所作，作图区域：【点睛】本题考查了作图-复杂作图，熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解乘基本作图，逐步操作即可．6．（2023秋·河南信阳·九年级统考期末）（1）【学习心得】小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝°．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝27°，求∠BAC的数．（3）【问题拓展】如图3，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG 于点H．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是．【答案】（1）45；（2）27°；（3）25﹣2【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC=∠BAC，（3）根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE 和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=12AB=2，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．【详解】解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，∴以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点B、C、D必在⊙A上，∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，∴∠BDC＝12∠BAC＝45°，故答案是：45；（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴点A、B、C、D共圆，∴∠BDC＝∠BAC，∵∠BDC＝27°，∴∠BAC＝27°，（3）如图3，在正方形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝∠CDA ，∠ADG ＝∠CDG ，在△ABE 和△DCF 中，AB CD BAD CDA AE DF，∴△ABE ≌△DCF （SAS ），∴∠1＝∠2，在△ADG 和△CDG 中，AD CD ADG CDG DG DG，∴△ADG ≌△CDG （SAS ），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠BAH +∠3＝∠BAD ＝90°，∴∠1+∠BAH ＝90°，∴∠AHB ＝180°﹣90°＝90°，取AB 的中点O ，连接OH 、OD ，则OH ＝AO ＝12AB ＝2，在Rt △AOD 中，OD ＝22AO AD ＝2224 ＝25，根据三角形的三边关系，OH +DH ＞OD ，∴当O 、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小，最小值＝OD ﹣OH ＝25﹣2．故答案为：25﹣2．【点睛】本题主要考查了圆的综合题，需要掌握圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质及正方形的性质是解题的关键．【经典例题二圆周角定理】1．（2023春·福建福州·九年级校考期中）如图，点A ，B ，C ，D 在O 上，140AOC ，B 是弧AC 的中点，则D 的度数是（）A ．30B ．35C ．45D ．70【答案】B 【分析】连接OB ，如图，利用圆心角、弧、弦的关系，然后根据圆周角定理求解．【详解】解：连接OB ，如图所示，∵B 是弧AC 的中点，即 AB BC ，∴111407022AOB COB AOC ，∵D 和AOB 都对 AB ，∴1352D AOB ．故选：B ．【点睛】本题考查了圆周角定理：熟练掌握圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理是解决问题的关键．2．（2023春·陕西榆林·九年级校考期中）如图，O 是ABC 的外接圆，且AB 是O 的直径，点D 在O 上，连接OD 、BD ，且BD BC ，若50BOD ，则ABC 的度数为（）A ．65B ．50C ．30D ．25【答案】A 【分析】根据BD BC 得出1252BAC BOD ，根据AB 是O 的直径，得出90ACB ，最后根据直角三角形两锐角互余，即可解答．【详解】解：∵BD BC ，50BOD ，∴1252BAC BOD ，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ，∴9065ABC ACB ，故选：A ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键是在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角．3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）如图，AB 是O 的一条弦，OD AB ，垂足为点C ，交O 于点D ，点E 在O 上，30AED ，10OB ，则弦AB 的长是．【答案】103【分析】根据垂径定理得到 AD BD，结合30AED 得到60BOD ，结合三角函数直接求解即可得到答案；【详解】解：∵OD AB ，∴ AD BD，2AB BC ，∵30AED ，∴60BOD ，∴30OBC ，∵10OB ，∴152OC OB ，∴2253BC OB OC ，∴103AB ，故答案为：103．【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理及勾股定理，解题的关键是得到 AD BD．4．（2023秋·九年级课时练习）如图，已知,C D 是半圆O 上的三等分点，连接,,,,AC BC CD OD BC 和OD 相交于点E ，有下列结论：①30CBA ；②OD BC ；③12OE AC；④四边形AODC 是菱形．其中正确的有（填序号）．【答案】①②③④【分析】①首先根据点C ，D 是半圆O 上的三等分，求出AOC 的度数；然后根据圆周角定理，求出CBA 的度数即可；②根据三角形的内角和定理，求出90BEO ，即可判断出OD BC ；③根据垂径定理判断出E 是BC 的中点，然后得到OE 是ABC 的中位线，即可判断出12OE AC ，④先证明AC OD ∥，再证明AOC 是等边三角形，得到AC OA OD ，根据菱形的判定方法可判断四边形AODC 是菱形.【详解】解：连接OC ，∵已知,C D 是半圆O 上的三等分点，∴1180603AOC COD BOD ，∴11603022CBA AOC ，故①正确；∴180180603090BEO BOD CBA ，∴OD BC ，故②正确；∴BE CE ，OB OC ，∴OE 是ACB △的中位线，∴12OE AC ，故③正确；∵AB 是半圆O 的直径，∴AC BC ，又OD BC ，∴AC OD ∥，∵OC OA ，60AOC ，∴AOC 是等边三角形，∴AC OA OD ，∴四边形AODC 是平行四边形，又AC OA ，∴四边形AODC 是菱形．故④正确，故答案为：①②③④．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦三者的关系，菱形的判定和性质，等边三角形的判定，三角形的内角和定义及中位线性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图1，已知AB 为O 的直径，C 为O 上一点，CE AB 于E ，D 为弧BC 的中点，连接AD ，分别交CE CB 、于点F 和点G ．(1)求证：CF CG ；(2)如图2，若AF DG ，连接OG ，求证：OG AB ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接AC ，根据直径所对的圆周角是直角可得90ACB ，从而可得∠CAG +∠AGC ＝90°，根据垂直定义可得90CEA ，从而可得90FAE AFE ，然后根据已知可得 DCDB ，从而可得CAG FAE ，进而可得AGC AFE ，最后根据对顶角相等可得AFE CFG ，从而可得AGC CFG 进而根据等角对等边即可解答；（2）连接,AC CD ，利用（1）的结论，再根据等角的补角相等可得AFC CGD ，然后根据SAS 证明AFC DGC ≌，从而可得AC CD ，进而可得 AC DCDB ，最后根据等弧所对的圆周角相等可得ABC DAB ，从而可得GA GB ，进而利用等腰三角形的三线合一性质即可解答．【详解】（1）证明：连接AC ，∵AB 为O 的直径，∴90ACB ，∴90CAG AGC ，∵CE AB ，∴90CEA ，∴90FAE AFE ，∵D 为弧BC 的中点，∴ DCDB ，∴CAG FAE ，∴AGC AFE ，∵AFE CFG ，∴AGC CFG ，∴CF CG ；（2）解：连接,AC CD ，∵CFG CGF ，∴180180CFG CGF ，∴AFC CGD ，∵CF CG ，AF DC ，∴ SAS AFC DGC ≌，∴AC CD ，∴ AC DC，∵ DCDB ，∴ AC DB，∴ABC DAB ，∴GA GB ，∵OA OB ，∴GO AB ．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．6．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，AB 是O 的一条弦，OD AB ，垂足为点C ，交O 于点D ，点E 在O 上．(1)若50AOD Ð=°，求DEB 的度数；(2)若6OC ，10OA ，求AB 的长．【答案】(1)25(2)AB 的长为16【分析】（1）根据垂径定理的推论可得 AD DB，再根据同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可；（2）利用勾股定理列式求出AC ，根据垂径定理的推论可得AC BC ，即可求解．【详解】（1）解：∵AB 是O 的一条弦，OD AB ，∴ AD DB，又∵50AOD Ð=°，∴11502522DEB AOD ．（2）解：∵OD AB ，∴=90AOC ，在Rt AOC 中，22221068AC OA OC ，∵AB 是O 的一条弦，OD AB ，∴AC BC ，则216AB AC CB AC ．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理的推论，解题的关键是明确在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．【经典例题三同弧或等弧所对的圆周角相等问题】1．（2021春·福建南平·九年级统考阶段练习）如图，ACD 是O 的内接三角形，AC CD ，连接AO 并延长交O 于点B ，连接BC ，若32BAC ，则ACD 等于（）A ．64B ．62C ．60D ．58【答案】A 【分析】先证明90ACB ，可得903258ADC ABC ，证明58CAD ADC ，再利用三角形的内角和定理可得答案．【详解】解：∵AB 为O 的直径，∴90ACB ，∵32BAC ，∴903258ADC ABC ，∵AC CD ，∴58CAD ADC ，∴18025864ACD ；故选A ．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，熟记圆周角定理是解本题的关键．2．（2022·北京西城·校考模拟预测）如图，ADC △内接于O ，BC 是O 的直径，若66A ，则BCD 等于（）A ．66B ．34C ．24D ．14【答案】C 【分析】根据同弧所对圆周角相等得到66B A ，根据直径所对的圆周角是直角得到=90BDC ，根据直角三角形两锐角互余，得到24BCD ．【详解】∵66A ，∴66B A ，∵BC 是O 的直径，∴=90BDC ，∴906624BCD ．故选：C ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理及推论．熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，半圆（或直径）所对的圆周角是直角，直角三角形两锐角互余，是解决问题的关键．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径，点D 是O 上一点，55CDB ，则ABC °．【答案】35【分析】根据圆周角定理和三角形的内角和定理即可得到结论．【详解】解：AB ∵是O 的直径，90ACB ，55A D ∵==，18035ABC ACB A ==，故答案为：35．【点睛】本题考查了考查了圆周角定理、三角形的外接圆与外心，熟练掌握圆周角定理是解题关键．4．（2023·云南德宏·统考一模）已知：如图，AB 是O 的直径，AB 垂直弦CD 于点E ，则在不添加辅助线的情况下，图中与CDB 相等的角是（写出一个即可）．【答案】CAB 或BCD 或DAB【分析】利用垂径定理和圆周角定理即可求解．【详解】∵AB CD ，AB 是O 直径，∴ BCBD ，∴CDB CAB BCD DAB ，故答案为：CAB 或BCD 或DAB ．【点睛】此题考查了垂径定理和圆周角定理，解题的关键是熟练掌握以上定理的应用．5．（2023秋·九年级课时练习）如图所示，四边形ABCD 内接于O ，50,25,65B ACD BAD ．求证：(1)AD CD ；(2)AB 是O 的直径．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接BD ，根据圆周角定理得125ACD ，再由50ABC 可计算出225 ，则 AD CD，然后根据圆心角、弧、弦的关系即可得到AD CD ；（2）根据三角形内角和定理可计算出180190ADB BAD ，则根据圆周角的推理即可得到AB 为O 的直径．【详解】（1）证明：连接BD ，如图，125ACD ∵，而50ABC ，21502525ABC ，12 ，AD CD，AD CD ；（2）65BAD ∵，125 ，1801180652590ADB BAD ，AB 为O 的直径．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径．6．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）已知：O 的两条弦AB ，CD 相交于点M ，且AB CD ．(1)如图1，连接AD .求证：AM DM ．(2)如图2.若AB CD ．在 BD 上取一点E ，使 BE BC ，AE 交CD 于点F ，连接AD 、DE ．判断E 与DFE 是否相等，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)E 与DFE 相等．理由见解析【分析】（1）根据AB CD 得 AB CD ，即 AC BC BC BD ， AC BD，得A D ，即可得；（2）连接AC ，根据 BEBC 得CAB EAB ，根据AB CD 得AC AF ，即ACF AFC ，根据,ACF E AFC DFE ，即可得．【详解】（1）证明：AB CD ∵，C AB D即 AC BCBC BD ， AC BD ，A D ，AM DM ．（2）E 与DFE 相等．理由如下：解：连接AC ，如图，BEBC ∵，CAB EAB ，AB CD ∵，AC AF ，ACF AFC ，,ACF E AFC DFE ∵，DFE E ．【点睛】本题考查了圆的性质，解题的关键是掌握圆周角定理，垂经定理，角、弧、弦的关系．【经典例题四半圆所对的圆周角是直角问题】1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在ABC 中，AC BC ，O 是ABC 的外接圆，AB 是O 的直径，点D 在O 上，连接CD 交AB 于点E ，连接OD ，若120BOD ，则BED 的度数为（）A ．60B ．75C ．100D ．105【答案】D 【分析】连接BD ，根据等腰三角形的性质得到30OBD ODB ，根据平角的定义得到18012060AOD ，根据圆周角定理得到90ACB ，求得45A ，根据圆周角定理得到45CDB A ，根据三角形内角和定理即可得到结论．【详解】解：连接BD ，OD OB ∵，120BOD ，30OBD ODB ，18012060AOD ，AB ∵是O 的直径，45A ABC ，AC BC ∵，45A ，45CDB A ，15CDO CDB ODB ，1806015105BED ，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．2．（2022·河北衡水·校考模拟预测）如图，点A ，B ，C 在O 上，BC OA ∥，连接BO 并延长，交O 于点D ，连接AC ，.DC 若40D ，下列结论不正确的是（）A ．50BB ．直线AO 垂直平分CDC ．12A BD ．30ACB【答案】D 【分析】根据圆周角定理可得90BCD ，从而根据三角形内角和求出B ，A 选项即可判断；根据平行的性质及圆周角定理设A ACB x ，则2BOA x ，根据三角形内角和即可求出x 的值，从而求出A ，ACB ，AOB ，从而可判断C 、D 选项；延长AO 交CD 于点E ，根据对顶角相等可得到DOE ，从而求出90OED ，再结合垂径定理可判断出AO 与CD 的关系，即可判断出选项B ．【详解】解：如图，延长AO 交CD 于点E ，BD Q 是O 的直径，90BCD ，180180904050B BCD D ，故A 选项正确，不符合题意；BC OA ∥∵，设A ACB x ，则2BOA x ，250x x x∵25x ，25ACB A ，50BOA故D 选项不正确，符合题意；50B ∵，12A B ；故C 选项正确，不符合题意；根据对顶角相等可得：50DOE BOA ，180504090OED ，OE CD ，O ∵是圆心，DE CE ，直线AO 垂直平分CD ；故B 选项正确，不符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查圆周角定理及垂径定理，涉及到垂直平分线的定义、三角形内角和等，解题关键是熟练运用圆周角定理和垂径定理．3．（2023·江苏·统考中考真题）如图，AD 是O 的直径，ABC 是O 的内接三角形．若DAC ABC ，4AC ，则O 的直径AD ．【答案】42【分析】连接CD ，OC ，根据在同圆中直径所对的圆周角是90 可得=90ACD ，根据圆周角定理可得COD COA ，根据圆心角，弦，弧之间的关系可得AC CD ，根据勾股定理即可求解．【详解】解：连接CD ，OC ，如图：∵AD 是O 的直径，∴=90ACD ，∵DAC ABC ，∴COD COA ，∴AC CD ，又∵4AC ，∴4CD ，在Rt ACD △中，22224442AD AC CD，故答案为：42．【点睛】本题考查了在同圆中直径所对的圆周角是90 ，圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．4．（2022秋·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，已知O 的直径AB ，D 为O 上一点（不与A 、B 重合），连接AD 、BD ．弦DC 平分ADB ，交AB 于点E ，过点A 作AF CD 于点F ，交O 于点G ，连接DG ，若DG AE ，则G 的度数为 ．【答案】67.5【分析】DG 交AB 于H ，如图，根据圆周角定理得到90ADB ，则=45ADC ，再证明45DAF ，AF DF ，则可判断Rt Rt AEF DGF ≌，所以EAF GDF ，接着证明90DHE AFE ，则根据垂径定理得到 BDBG ，然后根据圆周角定理得到22.5BAG BAD ，最后利用互余可计算出G 的度数．【详解】解：DG 交AB 于H ，如图，O ∵ 的直径AB ，90ADB ，∵弦DC 平分ADB ，45ADC ，AF CD ∵，90AFD ，45DAF ，AF DF ，在Rt AEF 和Rt DGF △中，AE DG AF DF， Rt Rt HL AEF DGF ≌，EAF GDF ，AEF DEH ∵，90DHE AFE ，AB DG ，BDBG ，122.52BAG BAD DAG ，9067.5G GAH ．故答案为：67.5．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．5．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知：如图，点E 是边长为2的正方形ABCD 中AB 边上一点（不与A 、B 重合），以CE 为直径的O 分别交DE 和CD 于点F 、M ，DH CE 于点H ．(1)求证：BE CM(2)猜想AE 与HE 的大小关系，并说明理由．(3)当DF CH 时，求DEH △的面积．【答案】(1)见解析(2)AE HE ，理由见解析(3)65【分析】（1）连接EM ，根据正方形性质得出90B BCM ，根据直径所对圆周角为直角得出90CM E ，证明四边形BEMC 为矩形，即可求证BE CM ；（2）根据题意可得90A DHE ，AD CD ，在Rt DCH △中，DH CD ，则DH AD ，根据勾股定理得出222AE DE AD ，222HE DE DH ，得出22AE HE ，则AE HE ；（3）连接CF ，证明 Rt Rt HL CDF DCH ≌，得出DCH CDE ，则DE CE ，根据三线合一得出112CM DM CD ，即可用勾股定理求出5DE CE ，根据1122DCE S DC EM CE DH ，求出455DH ，在Rt DEH △中，用勾股定理求出355EH ，最后根据三角形面积公式即可求解．【详解】（1）解：连接EM ，∵四边形ABCD 为正方形，，∴90B BCM ，∵CE 为O 直径，∴90CM E ，∴四边形BEMC 为矩形，∴BE CM ；（2）解：AE HE ，理由如下，∵四边形ABCD 是正方形，DH CE ，∴90A DHE ，AD CD ，∵在Rt DCH △中，DH CD ，∴DH AD ，在Rt ADE △中，根据勾股定理可得：222AE DE AD ，在Rt HDE △中，根据勾股定理可得：222HE DE DH ，∴22AE HE ，即AE HE ；（3）解：连接CF ，∵CE 为O 直径，∴90CFE CFD ，在Rt CDF △和Rt DCH △中，CD DC CH DE，∴ Rt Rt HL CDF DCH ≌，∴DCH CDE ，则DE CE ，由（1）可得90CM E ，∴112CM DM CD ，∵四边形BEMC 为矩形，∴2EM BC ，在Rt CME △中，根据勾股定理可得：225CE CM EM ，则5DE CE ，∵1122DCE S DC EM CE DH ，∴DC EM CE DH ，即225DH ，解得：455DH ，在Rt DEH △中，22355EH DE DH，∴113545622555DEH S EH DH ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，并熟练运用，正确作出辅助线，构造矩形和全等三角形．6．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点B ，C 为O 上两定点，点A 为O 上一动点，过点B 作BE AC ∥，交O 于点E ，点D 为射线BC 上一动点，且AC 平分BAD ，连接CE ．(1)求证：AD EC ∥；(2)连接EA ，若BC CD ，试判断四边形EBCA 的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)四边形EBCA 是矩形，理由见解析【分析】（1）根据角平分线的定义，可得BAC DAC ，再根据圆周角定理可得E BAC ，再根据平行线的性质可得E ECA ，进而得到ECA DAC ，最后再根据内错角相等两直线平行，即可证明结论；（2）由角平分线的定义，可得BAC DAC ，再根据等腰三角形三线合一的性质，可得90ACB ACD ，即90AEB ，进而得到90EBC ACD ，再根据矩形的判定定理，即可得出答案．【详解】（1）证明：∵AC 平分BAD ，∴BAC DAC ，∵E BAC ，∴E DAC ，∵BE AC ∥，∴E ECA ，∴ECA DAC ，∴EC AD ∥．（2）解：四边形EBCA 是矩形，理由如下：∵AC 平分BAD ，∴BAC DAC ，又∵BC CD ，∴90ACB ACD ，∴AB 为O 的直径．∴90AEB ，又∵BE AC ∥，∴90EBC ACD ，∴四边形EBCA 是矩形．【点睛】本题主要考查圆周角定理、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、矩形的判定定理，灵活运用相关知识是解答本题的关键．【经典例题五90°的圆周角所对的弦是直径问题】1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，ABC 是等边三角形，2AB ，点P 是ABC 内一点，且30BAP CBP ，连接CP ，则CP 的最小值为（）A ．12B ．32C ．23D ．31【答案】D 【分析】根据等边三角形的性质得到60ABC ，AB BC AC ，继而推出90APB ，可得点P 在以AB 为直径的圆上，得知当C ，D ，P 三点共线时，CP 最小，再利用等边三角形的性质和勾股定理求解即可．【详解】解：∵ABC 是等边三角形，∴60ABC ，AB BC AC ，∵30BAP CBP ，∴ 6030BAP ABP ，整理得：90BAP ABP ，则90APB ，∴点P 在以AB 为直径的圆上，如图，设AB 的中点为D ，连接DP ，即DP 长度不变，∴CP DP CD ，∴当C ，D ，P 三点共线时，CP 最小，此时CD AB ，∵2AB BC AC ，∴112DP AB ，223CD BC BD ，∴CP 的最小值为31CD DP ，故选D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，三角形三边关系的应用，解题的关键是根据已知条件推出90APB ，得到点P 在以AB 为直径的圆上．2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正方形ABCD 中，12AB ，点P 为边DA 上一个动点，连接CP ，点E 为CD 上一点，且4DE ，在AB 上截取点Q 使EQ CP ，交CP 于点M ，连接BM ，则BM 的最小值为（）A ．8B ．12C ．4104D ．835【答案】C 【分析】如图所示，过点E 作EF AB 于F ，当点P 运动时，点M 在以CE 为直径的半圆上，即点M 在圆心为O 的半圆上运动，当点M 运动到OB 连线上时，BM 的值最小，根据题意可证Rt Rt (HL)EFQ CDP △≌△，由此可证CEM 是直角三角形，可得点M 在以CE 为直径的半圆上运动，可求出半圆的半径，在Rt BCO △中，可求出OB 的长，由此即可求解．【详解】解：如图所示，过点E 作EF AB 于F ，连接BO ，如图所示：∵四边形ABCD 是正方形，∴12AB BC CD AD ====，90A ABC BCD D EFQ ，∵EF AB ，∴四边形AFED 是矩形，则AD EF CD ，在Rt EFQ △和Rt CDP △中，EQ CP EF CD，∴Rt Rt (HL)EFQ CDP △≌△，∴FEQ DCP ，∵90FEQ CEM CEF +，∴90DCP CEM +，∴90EMC ，即CEM 是直角三角形，∴当点P 运动时，点M 在以CE 为直径的半圆上运动，设圆心为O ，当点M 运动到OB 连线上时，BM 的值最小，∵12,4CD DE ，∴1248CE CD DE ，则半圆的半径118422OE OC CE ，在Rt BCO △中，2222412410OB OC BC ，当点M 运动到OB 连线上时，BM 的值最小，∴BM 的最小值为4104 ，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查正方形与圆的结合求最值，理解动点的运动规律，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键．3．（2023·重庆·九年级统考学业考试）如图，四边形ABCD 是矩形，4,6AB AD ，点E 是平面内的一个动点，连接AE DE 、，在运动的过程中，AE 始终垂直于DE ，将AE 绕点A 顺时针旋转90 得到AF ，连接CF ，则CF 的最大值为．【答案】373【分析】先通过AE DE ，则可判断点E 在AD 为直径的圆上运动，将AD 绕点A 顺时针旋转90 至AD ，设AD 的中点为M ，则点E 在AD 为直径的圆上运动，当点C ，M ，F 三点共线时，CF 有最大值，最后利用勾股定理即可求解．【详解】如图，∵AE DE ，∴90AED ，∴点E 在AD 为直径的圆上运动，将AD 绕点A 顺时针旋转90 至AD ，设AD 的中点为M ，又∵AE AF ，∴由题意可知点E 在AD 为直径的圆上运动，当点C ，M ，F 三点共线时，CF 有最大值，∵四边形ABCD 是矩形，∴6AD BC ，4AB ，90ABC ，∵6AD AD ，M 为'AD 中点，∴3AM ，1BM ，在Rt MBC 中，由勾股定理得：22221637CM BM BC，∴CF 的最大值为：373 ．【点睛】此题考查了旋转变换和圆有关的概念，解题的关键是正确理解点E ，F 的运动路径是圆．4．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中，90,5,4,ABC BAD AB AD AD BC ，点E 在线段BC 上运动，点F 在线段AE 上，ADF BAE ∠∠，则线段BF 的最小值为．。

重难点 圆中的计算及其综合考点一：圆中的角度计算圆中角度的相关考点主要是圆周角定理和圆心角定理，这两个定理都有对应推论，考察难度不大，题型基本以选择、填空题为主，所以重点是要把这两个定理及其推论熟练掌握即可！题型01 圆中常见的角度计算易错点：圆中角度定理都有一个大前提——在同圆或等圆中，特别是一些概念性选择题，没有这个前提的话，对应结论是不正确的。

解题大招01：圆中角度计算口诀——圆中求角度，同弧或等弧＋直径所对圆周角是90度圆心角定理、圆周角定理以及其推论为圆中角的计算提供了等量关系，圆中的等角也是解决角度问题中常见的转化关系，所以特别要注意同弧或等弧所对的圆周角相等，以及直径所对圆周角=90°的固定关系解题大招01：圆中求角度常用的其他规律：圆内接四边形的一个外角=其内对角折叠弧过圆心→必有30°角以等腰三角形的腰长为直径的圆→必过底边中点圆中出现互相垂直的弦，常作两弦心距→必有矩形（当弦相等，则得正方形）【中考真题练】1．（2023•河南）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（ ）A．95°B．100°C．105°D．110°2．（2023•吉林）如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP．若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（ ）A．70°B．105°C．125°D．155°3．（2023•枣庄）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（ ）A．32°B．42°C．48°D．52°4．（2023•眉山）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（ ）A．25°B．35°C．40°D．45°5．（2023•湖北）如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD＝ ．【中考模拟练】1．（2024•连云区一模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（点P不与点C重合），则∠CPD＝（ ）A．45°B．36°C．35°D．30°2．（2024•岱岳区一模）如图，AB是⊙O的直径，点D是的中点，∠BAC＝40°，则∠ACD的度数是（ ）A．40°B．25°C．40°．D．30°3．（2024•甘井子区校级一模）如图，在⊙O中，OA、OB、OC为半径，连接AB、BC、AC．若∠ACB＝53°，∠CAB ＝17°，则∠OAC 的度数为（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°4．（2024•连云区一模）如图，一块直角三角板的30°角的顶点P 落在⊙O 上，两边分别交⊙O 于A ，B 两点，连结AO ，BO ，则∠AOB 的度数 °．5．（2024•新城区模拟）如图，在△ABC 中，∠B ＝70°，⊙O 是△ABC 的内切圆，M ，N ，K 是切点，连接OA ，OC ．交⊙O 于E ，D 两点．点F 是上的一点，连接DF ，EF ，则∠EFD 的度数是 ．题型02 “知1得4”模型的常见题型解题大招：圆中模型“知1得4”由图可得以下5点：①AB=CD；②⋂⋂=CD AB ；③OM=ON；④F E ∠=∠；⑤COD AOB ∠=∠；以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用。

专题07 圆心角、圆周角重难点题型分类-高分必刷题（解析版）专题简介：本份资料包含《圆心角、圆周角》这一模块在各次期中、期末考试中常考的填空、选则题和主流中档大题，具体包含的题型有同弧所对的圆周角相等、同弧或等弧所对的圆心角是圆周角两倍（含三小类题型）、圆心角和圆周角的综合大题这三类题型。

圆中角度问题常见模型圆周角=圆周角的8字模型 圆心角=2倍圆周角的8字模型圆中的燕尾模型 圆中的“山”字模型BOAC∠B=∠C∠O=2∠C∠O=2∠A∠E OG=2∠C题型一：同弧所对的圆周角相等（技巧:找8字形）1．（雅礼）如图，⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点P ，∠A ＝42°，∠APD ＝77°，则∠B 的大小是 ．【解答】解：∵∠A ＝42°，∴∠D ＝42°，∵∠APD ＝77°，∴∠B ＝77°﹣42°＝35°，故答案为：35°．2．（青竹湖）如图，⊙O 是正三角形ABC 的外接圆，点P 在劣弧AB 上，∠ABP ＝22°，则∠BCP 的度数为 度．【解答】解：∵⊙O 是正三角形ABC 的外接圆，∴∠BAC ＝60°，∠ABP ＝22°，∴∠BCP ＝∠ACB ﹣∠ABP ＝38°．3．（雅礼）如图，AB 为⊙O 直径，CD 为⊙O 的弦，∠ACD ＝25°，∠BAD 的度数为 ．【解答】解：∵AB为⊙O直径∴∠ADB＝90°，∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD＝25°∴∠B＝25°，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝65°．故答案为：65°．4．（广益）如图，⊙A过点O（0，0），C（2，0），D（0，2），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【解答】解：连接DC，在Rt△DOC中，tan∠OCD＝＝＝，则∠OCD＝30°，由圆周角定理得，∠OBD＝∠OCD＝30°，故选：B．5．（长培）如图，AD为⊙O的直径，AD＝6cm，∠DAC＝∠ABC，则AC的长度为（）A．B．2C．3D．3【解答】解：连接CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∵∠DAC＝∠ABC，∠ABC＝∠ADC，∴∠DAC ＝∠ADC ，∴＝，∴AC ＝CD ，又∵AC 2+CD 2＝AD 2，∴2AC 2＝AD 2，∵AD ＝6，∴AC ＝3故选：C ．6．（南雅）如图，△ABC 内接于⊙O ，BA ＝BC ，∠ACB ＝25°，AD 为⊙O 的直径，则∠DAC 的度数是（ ）A ．25°B ．30°C ．40°D ．50°【解答】解：∵BA ＝BC ，∴∠BAC ＝∠ACB ＝25°，∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ABD ＝90°，而∠D ＝∠ACB ＝25°，∴∠BAD ＝90°﹣∠D ＝65°，∴∠DAC ＝∠BAD ﹣∠BAC ＝65°﹣25°＝40°． 故选：C ．7．（青竹湖）已知，如图，AB 是⊙O 的直径，点D ，C 在⊙O 上，连接AD 、BD 、DC 、AC ，如果∠BAD ＝25°，那么∠C 的度数是（ ）A ．75°B ．65°C ．60°D ．50°【解答】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°．又∠BAD ＝25°，∴∠B ＝65°．∴∠C ＝65°． 故选：B ．题型二：同弧或等弧所对的圆心角是圆周角两倍①圆中的八字模型8. （师大）如图，点A 、B 、C 是O 上的点，若︒=∠35ACB ，则AOB ∠的度数为（ ）A. ︒35B. ︒70C. ︒105D. ︒150BOA【解答】解：由圆周角定理可得：∠AOB ＝2∠ACB ＝70°．故选：B ．9．（青竹湖）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，连接OA ，OB ，∠OBA ＝50°，则∠C 的度数为（ ）A．30°B．40°C．50°D．80°【解答】解：∵OA＝OB，∠OBA＝50°，∴∠OAB＝∠OBA＝50°，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA ＝80°，∴∠C＝∠AOB＝40°．故选：B．10．（南雅）如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么OD 的长是（）A．B．C．1D．2【解答】解：∵OD⊥弦BC，∴∠BDO＝90°，∵∠BOD＝∠BAC＝60°，∴OD＝OB＝1，故选：C．11．（麓山国际）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，若∠ABC＝30°，则的长为（）A．5B．πC．D．π【解答】解：连接OC、OA，∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°，∴的长＝＝π，故选：D．12．（明德）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝140°，点B是的中点，则∠D的度数是（）A．70°B．55°C．35.5°D．35°【解答】解：连接OB，如图所示，∵点B是的中点，∴∠AOB＝∠AOC＝70°，由圆周角定理得，∠D＝∠AOB＝35°，故选：D．13．（青竹湖）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝．【解答】解：∵∠AOC＝126°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝54°，∵∠CDB＝∠BOC＝27°．故答案为：27°．②圆中的燕尾模型14．如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（）A．27°B．108°C．116°D．128°【解答】解：∵∠A＝54°，∴∠BOC＝2∠A＝108°，故选：B．15．如图，在⊙O中，∠BOD＝120°，则∠BCD的度数是（）A．60°B．80°C．120°D．150°【解答】解：∵对的圆周角是∠A，对的圆心角是∠DOB，又∵∠BOD＝120°，∴∠A＝∠DOB＝60°，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣60°＝120°，故选：C ．16．如图，已知圆心角∠AOB ＝110°，则圆周角∠ACB ＝（ ）A ．55°B ．110°C ．120°D ．125°【解答】解：根据圆周角定理，得∠ACB ＝（360°﹣∠AOB ）＝×250°＝125°． 故选：D ．17．如图，AB 是⊙O 的弦（AB 不是直径），以点A 为圆心，以AB 长为半径画弧交⊙O 于点C ，连接AC 、BC 、OB 、OC ．若∠ABC ＝65°，则∠BOC 的度数是（ ）A ．50°B ．65°C ．100°D ．130°【解答】解：由题意可得：AB ＝AC ，∵∠ABC ＝65°，∴∠ACB ＝65°，∴∠A ＝50°，∴∠BOC ＝100°， 故选：C ．18. （师大）如图，AB 是O 的直径，4=AB ，点C 在O 上，︒=∠30CAB ，D 为弧BC 的中点，P 是直径AB 上一动点，则PD PC +的最小值为（ ）A. 24B. 22C. 4D. 2DBCAO P【解答】解：作出D 关于AB 的对称点D ′，连接OC ，OD ′，CD ′．又∵点C在⊙O 上，∠CAB ＝30°，D 为的中点，∴∠BAD ′＝∠CAB ＝15°．∴∠CAD ′＝45°．∴∠COD ′＝90°．则△COD ′是等腰直角三角形．∵OC ＝OD ′＝AB ＝2，∴CD ′＝2，故选：B ．③圆中的“山”字模型19．如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF＝20°，则∠EOD等于（）A．10°B．20°C．40°D．80°【解答】解：∵⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF＝20°，∴弧DF＝弧DE，且弧的度数是40°，∴∠DOE＝40°，故选：C．20．如图，线段AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，如果∠BOC＝70°，那么∠BAD等于（）A．20°B．30°C．35°D．70°【解答】解：∵弦CD⊥直径AB，∴＝，∴∠BAD＝∠BOC＝×70°＝35°．故选：C．题型三：圆心角、圆周角的大题21．（长培）如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝8，ON＝1，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB∴∠CEB＝90°∴∠C+∠B＝90°，同理∠C+∠CNM ＝90°∴∠CNM＝∠B∵∠CNM＝∠AND∴∠AND＝∠B，∵，∴∠D＝∠B，∴∠AND＝∠D，∴AN＝AD；（2）解：设OE的长为x，连接OA∵AN＝AD，CD⊥AB∴DE＝NE＝x+1，∴OD＝OE+ED＝x+x+1＝2x+1，∴OA＝OD＝2x+1，∴在Rt△OAE中OE2+AE2＝OA2，∴x2+42＝（2x+1）2．解得x＝或x＝﹣3（不合题意，舍去），∴OA＝2x+1＝2×+1＝，即⊙O的半径为．22．（长郡）如图，BC是圆O的直径，AD垂直BC于D，＝，BF与AD交于E，求证：（1）AE＝BE，（2）若A，F把半圆三等分，BC＝12，求AD的长．【解答】（1）证明：连AC，如图，∵BC为直径，则∠BAC＝90°，∴∠C+∠ABC ＝90°，又∵AD⊥BC，∴∠BAE+∠ABC＝90°，∴∠C＝∠BAE，由＝，可得∠C＝∠ABF，∴∠ABE＝∠BAE，∴AE＝BE；（2）解：∵A，F把半圆三等分，∴∠ACB＝30°，在直角三角形ABC中，BC＝12，则AB＝BC＝6，AC＝AB＝6．在直角三角形ADC中，AD＝AC＝3．所以AD＝．23．（北雅）如图，⊙O的直径AB为10，弦AC为6，∠ACB的平分线交⊙O 于点D．（1）求BC，AD，BD的长；（2）求CD的长度．【解答】解：（1）∵AB为直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，在Rt△ACB中，BC＝＝＝8，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠DBA＝∠DAB＝∠ACD ＝∠BCD＝45°，∴△ABD 为等腰直角三角形，∴AD ＝BD ＝AB ＝×10＝5，即BC ，AD ，BD 的长分别为8，5，5；（2）过A 点作AH ⊥CD 于H ，如图，∵∠ACH ＝45°，∴△ACH 为等腰直角三角形， ∴CH ＝AH ＝AC ＝×6＝3，在Rt △AHD 中，DH ＝＝＝4，∴CD ＝CH +DH ＝3+4＝7．24.（麓山国际）如图，AB 是O 的直径，点C 、D 是O 上的点，且BC OD //，AC 分别与BD 、OD相交于点E 、F .（1）求证：点D 为AC 的中点；（2）若6=CB ，10=AB ，求DF 的长；（3）若O 的半径为2，︒=∠80DOA ，点P 是线段AB 上任意一点，试求出PD PC +的最小值.FE DOBAC【解析】(1)∵90ACB ∠=︒，OD//BC ∴90OFA ∠=︒∴AD DC =∴D 为AC 的中点(2) ∵OF ⊥AC ，∴AF ＝CF ，而 OA ＝OB ，∴OF 为△ACB 的中位线， ∴OF ＝12BC ＝3，∴DF ＝OD ﹣OF ＝5﹣3＝2；(3) 作C 点关于AB 的对称点 C ′，C ′D 交AB 于P ，连接OC ，如图， ∵PC ＝PC ′，∴PD +PC ＝PD +PC ′＝DC ′， ∴此时 PC +PD 的值最小， ∵ AD CD =∴∠COD ＝∠AOD ＝80°， ∴∠BOC ＝20°， ∵点C 和点 C ’关于AB 对称，∴∠C ’OB ＝20°， ∴∠DOC ′＝120°， 作 OH ⊥DC ′于 H ，如图，则∠ODH ＝30°，则 C ′H ＝DH ， 在 Rt △OHD 中，OH ＝12OD ＝1， ∴DH 33OH = ∴DC ′＝2DH ＝23 ∴PC +PD 的最小值为 23。

2020年苏教新版五年级下册重难点题型训练第六章《圆》章节常考题集锦参考答案与试题解析一．选择题1．（2019秋•广州期末）在边长是10cm 的正方形内画一个最大的圆，圆的面积占正方形面积的() A ．12 B ．2πC ．14 D ．4π【解答】解：2(102)π⨯÷25π=⨯25π=（平方厘米）正方形的面积是：1010100⨯=（平方厘米）所以251004ππ÷=答：圆的面积占正方形的4π．故选：D ．2．（2018秋•高碑店市期末）大圆内有两个小圆，大圆的周长与两个小圆的周长之和相比( )A ．大圆周长长B ．同样长C ．两个小圆周长之和长D ．无法确定【解答】解：大圆的周长：d π，两个小圆周长和：1212()d d d d πππ+=⨯+，因为12d d d +=，所以12()d d d ππ⨯+=，也就是两个小圆的周长之和与大圆的周长相等．答：两个小圆的周长之和与大圆的周长相等．故选：B ．3．（2017秋•涟源市校级期末）在边长2a 的正方形里面画一个最大的圆，则正方形的面积与圆的面积之比是( )A ．2:1B ．4:1C ．4:πD ．:4π 【解答】解：222(2):[()]2a a π⨯ 224:a a π=4:π=， 答：正方形的面积与圆的面积的比是4:π．故选：C ．4．（2017秋•涟源市期末）把圆沿半径剪开，平均分成若干份，拼成一个近似的长方形（如图），圆的面积是( 2)cm ．A ．9.42B ．15.7C ．18.84D ．28.26【解答】解：9.42 3.143÷=（厘米），23.143⨯3.149=⨯28.26=（平方厘米），答：圆的面积是28.26平方厘米．故选：D ．5．大圆半径是小圆半径的3倍，小圆面积是6.28平方厘米，则大圆面积是( )平方厘米．A ．18.84B ．6.28C ．56.52D ．37.68【解答】解：根据题干分析可得：大圆半径是小圆半径的3倍，则大圆的面积是小圆的面积的239=倍，所以6.28956.52⨯=（平方厘米）答：大圆的面积是56.52平方厘米．故选：C ．二．填空题6．（2019秋•鼓楼区期末）剪一个面积2cm的正方形纸片．15.7cm的圆形纸片，至少需要面积是202【解答】解：如图：每个小正方形的面积（半径的平方）15.7 3.145÷=（平方厘米）⨯=（平方厘米）5420答：至少需要面积是20平方厘米的正方形纸片．故答案为：20．7．（2019秋•宜昌期末）一个圆的半径扩大5倍，它的面积扩大25倍．【解答】解：假设原来圆的半径为2，扩大5倍后是10，原来圆的面积是：23.142⨯=⨯3.144=12.56后来圆的面积是：23.1410⨯=⨯3.14100314=面积扩大：÷=31412.5625答：面积扩大25倍．故答案为：25．8．（2019秋•迎江区期末）把一个圆分成若干个相等的扇形，然后把它剪拼成一个近似的长方形．已知长方形的周长是16.56厘米，这个圆的面积是12.56平方厘米．【解答】解：设半径为r，2 3.14216.56⨯⨯+=，r rr=，8.2816.568.288.2816.568.28r ÷=÷，2r =．圆面积：3.142212.56⨯⨯=（平方厘米）；答：这个圆的面积是12.56平方厘米．故答案为：12.56平方厘米．9．（2018秋•浦东新区期末）如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．那么半径为2的“等边扇形”的面积为 2 ． 【解答】解：2222⨯=答：半径为2的“等边扇形”的面积为2．故答案为：2．10．（2018秋•虹口区期末）将一个半径为5厘米的圆沿半径剪成2个半径相同的扇形，已知大扇形面积为小扇形的4倍，则两个扇形的周长差为 18.84 厘米．【解答】解：415+=412 3.145()55⨯⨯⨯-331.45=⨯18.84=（厘米）答：两个扇形的周长差为18.84厘米．故答案为：18.84．11．（2018秋•浦东新区期末）如果一个半径为2cm 的圆的面积恰好与一个半径为4cm 的扇形面积相等，那么这个扇形的圆心角度数为 90度 ．【解答】解：23.142⨯3.144=⨯12.56=（平方厘米） 设这个扇形的圆心角度数为x 度，23.14412.56360x ⨯⨯= 3.141612.56360x ⨯⨯=12.5612.5690x ⨯=190x =90x =答：这个扇形的圆心角度数为90度．故答案为：90度．三．判断题12．（2019•宿迁模拟）圆的周长总是它直径的3倍多一些． √ （判断对错）【解答】解：根据分析可知，不管圆的大小，它的周长总是直径的3倍多一些；所以上面的说法正确．故答案为：√．13．（2019•郑州模拟）如果大圆的半径等于小圆的直径，那么小圆的面积是大圆的一半． ⨯ （判断对错）【解答】解：设小圆半径为1，则大圆半径为2小圆面积11ππ=⨯⨯=大圆面积224ππ=⨯⨯= 小圆面积是大圆面积的：144ππ÷=所以原题说法错误．故答案为：⨯． 14．（2018秋•舒城县校级期末）圆的半径和直径都相等的． ⨯ （判断对错）【解答】解：在同圆或等圆中，所有的半径相等，所有的直径也相等；原题没有说是在同圆或等圆，所以说法错误．故答案为：⨯．15．（2018秋•白云区期末）一个圆的周长是1256m ，半径增加了1m 后，面积增加了23.14m ． ⨯ （判断对错）【解答】解答：原来周长半径为：1256 3.142200()m ÷÷=原来面积为：23.14200200125600()m ⨯⨯= 增加后的半径是2001201+=（米)增加的面积为：3.14201201 3.14200200⨯⨯-⨯⨯=⨯⨯-⨯3.14(201201200200)=⨯3.144012=1259.14()m1259.14m．所以原题说法错误．答：面积增加了2故答案为：⨯．16．车轮的轴安装在圆心部位，是因为点到车轮上的距离处处相等．√．（判断对错）【解答】解：圆上任意一点到圆心的距离都是半径，在同圆中，所有的半径都相等；故答案为：√．四．计算题17．（2018秋•营山县期末）求图中形阴影部分的面积．（可以直接用π表示，也可以π取3.14)【解答】解：1025()÷=cm23.14510522⨯-⨯÷⨯=-78.550228.5()=cm答：阴影部分的面积是228.5cm．18．（2015•淮安）如图，长方形的面积和圆的面积相等，已知圆的半径是4厘米，求阴影部分的周长和面积．【解答】解：圆的面积：2⨯3.1443.1416=⨯=（平方厘米），50.24长方形的长：50.24412.56÷=（厘米），长方形的周长：(12.564)2+⨯16.562=⨯33.12=（厘米），则阴影部分的周长：133.1242 3.14424-⨯+⨯⨯⨯133.12825.124=-+⨯25.12 6.28=+31.4=（厘米）；阴影部分的面积：213.144(1)4⨯⨯-33.14164=⨯⨯350.244=⨯37.68=（平方厘米）；答：阴影部分的周长和面积分别是31.4厘米和37.68平方厘部分的面积：19．（2015秋•芦溪县期末）求阴影部分的面积和周长【解答】解：阴影部分的周长：113.144 3.14(242)2222⨯⨯+⨯⨯++++3.142 3.1444=⨯+⨯+3.1464=⨯+18.844=+22.84=（厘米）阴影部分的面积：(242)24++÷=（厘米）22⨯÷-⨯÷÷3.1442 3.14(42)2=⨯-⨯3.148 3.142=⨯3.146=（平方厘米）18.84答：阴影部分的周长是22.84厘米，面积是18.84平方厘米．五．应用题20．如图是一种可折叠的圆桌，直径是1m，折叠后变成了正方形．折叠后的桌面面积是多少平方米？折叠部分是多少平方米？【解答】解：如图所示：（1）圆内最大正方形的面积：1(12)220.5⨯÷÷⨯=（平方米）答：折叠后的桌面面积是0.5平方米．（2）半径：120.5÷=米圆的面积：3.140.50.50.785⨯⨯=（平方米）折叠部分是：0.7850.50.285-=（平方米）答：折叠部分是0.285平方米．21．一张等腰梯形纸片的上底是5厘米，下底是13厘米，高是6厘米．从这张纸中剪下一个最大的圆，这个圆的周长和面积各是多少？⨯=（厘米），【解答】解：3.14515.723.14(52)⨯÷=⨯3.14 6.2519.625=（平方厘米），答：这个圆的周长是15.7厘米，面积是19.625平方厘米．22．王帅响应“绿色出行”的号召，选择骑自行车上学．自行车轮胎的外直径是80cm，王帅从家到学校用了10分钟．如果车轮每分钟转100圈，王帅家距离学校多少米？（车身长度忽略不计）【解答】解：80厘米0.8=米车轮的速度：3.140.8100⨯⨯3.1480=⨯251.2=（米)行驶的路程：251.2102512⨯=（米)答：王帅家距离学校2512米．23．用一块长30厘米，宽20厘米的塑料片剪一个最大的圆后，剩下多少平方厘米的边角料？【解答】解：2 3.14(202)⨯÷3.14100=⨯314=（平方厘米）3020314⨯-600314=-286=（平方厘米）答：还剩下286平方厘米的边角料．24．一个半圆形花坛，花坛的周长是25.7 米，这个花坛的直径是多少？【解答】解：设圆形花坛的直径是d米，3.14225.7d d⨯÷+=2.5725.7d=10d=答：这个花坛的直径是10米．六．操作题25．（2019•邵阳模拟）画一个直径4cm的半圆，并计算它的周长和面积．【解答】解：画一个直径是4cm的半圆（下图）:周长：3.14424⨯÷+6.284=+10.28()cm =面积：23.14(42)2⨯÷÷3.1442=⨯÷26.28()cm =．26．（2016春•泸县期中）根据要求，画出图形，回答下面问题．（1）画一个半径是2cm 的半圆．（2）求出半圆的周长和面积．（3）半圆的两端为A 点和B 点，在半圆上任取一点C ，连接AC 和BC ，量出ACB ∠= 90 ︒，再取一点D ，连接AD 和BD ，量出ADB ∠= ︒，你得到的结论是 ．【解答】解：（1）画一个半径是2cm 的半圆（下图）:（2）求出半圆的周长和面积：圆周长：2 3.14212.56()cm ⨯⨯=圆面积：223.14212.56()cm ⨯=． （3）半圆的两端为A 点和B 点，在半圆上任取一点C ，连接AC 和BC ，再取一点D ，连接AD 和BD （下图）:量出90ADB ∠=︒，90ADB ∠=︒我的结论是：直径所对的圆周角是90︒．故答案为：90，90，直径所对的圆周角是90︒．七．解答题27．（2019秋•邛崃市期末）刘大爷用15.7米长的篱笆靠墙围了一个半圆形的养鸡场，鸡场的面积是多少平方米？【解答】解：15.7 3.145÷=（米)，23.145239.25⨯÷=（平方米）． 答：鸡场的面积是39.25平方米．28．（2018秋•高碑店市期末）以点O 为圆心，先画一个半径为2cm 的圆，再以点O 为圆心，画一个直径是6cm 的圆，计算出形成的圆环的面积．【解答】解：如下图所示，因为小圆的半径是2cm ，大圆的直径是6cm ，则半径为3cm ，所以圆环的面积是：2232ππ⨯-⨯94ππ=-5π=5 3.14=⨯215.7()cm =答：圆环的面积是215.7cm ．29．（2019秋•交城县期中）一根铁丝正好能围成直径是6厘米的圆，如果把它围成一个正方形，则这个正方形的边长是多少？【解答】解：3.1464⨯÷18.844=÷4.71=（厘米）答：正方形的边长是4.71厘米．30．（2018秋•阳信县校级期末）淘气和笑笑练习竞走，淘气沿长9米、宽4米的长方形花坛走，笑笑沿直径为8米的圆形花坛走．他们的速度相同，谁先走完？【解答】解：(94)2+⨯132=⨯26=（米)3.14825.12⨯=（米)2625.12>所以笑笑先走完．答：笑笑先走完．31．（2019秋•孝昌县期末）公园里有一个圆形花坛，花坛半径是10米，现在要进行扩建，要求扩建后花坛的半径是原来的32．扩建后花坛的面积比原来面积大多少平方米？【解答】解：2233.14[(10)10]2⨯⨯-3.14[225100]=⨯-3.14125=⨯706.5=（平方米）；答：扩建后花坛的面积比原来面积大706.5平方米．32．（2019•亳州模拟）一个周长是50.24米的圆形花坛，要在其周围铺设2米宽的石子路，这条石子路的面积是多少平方米？【解答】解：花坛的半径为：50.24 3.1428÷÷=（米)，223.14[(82)8]⨯+-3.14[10064]=⨯-3.1436=⨯113.04=（平方米），答：这条石子路的面积是113.04平方米．33．（2018秋•洛阳期末）学校草地上有一个自动旋转洒水器，射程是20米，这个洒水器最多可以淋到多少平方米的草地？【解答】解：23.1420⨯，3.14400=⨯，1256=（平方米）； 答：这个洒水器最多可以淋到1256平方米的草地．。

专题24.5 圆周角定理-重难点题型【沪科版】【知识点1 圆周角定理及其推论】圆周角定理定理：圆周角的度数等于它所对的弧的圆心角度数的一半AOB ∠是AB 所对的圆心角，C ∠是AB 所对的圆周角，∴12C AOB ∠=∠推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等C ∠和D ∠都是AB 所对的圆周角∴C D ∠=∠推论2：直径所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径AB 是O 的直径C ∠是AB 所对的圆周角 ∴90C ∠=︒C ∠是AB 所对的圆周角 90C ∠=︒∴AB 是O 的直径CBA ODCBAO CBA O【题型1 圆周角定理】【例1】（2022•碑林区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，OD⊥AC，连接DC，若∠COB＝20°，则∠ACD的度数为（）A．10°B．30°C．40°D．45°【变式1-1】（2022•朝阳区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且在AB异侧，连接OC、CD、DA．若∠BOC＝130°，则∠D的大小是（）A．15°B．25°C．35°D．50°【变式1-2】（2022•泰兴市二模）如图，A、B、C为⊙O上三点（O在∠ABC内部），延长AO交BC于D，OD＝BD，∠BAO＝x，∠AOC＝y．则y关于x的函数关系式为．【变式1-3】（2022•和平区一模）已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD．（Ⅰ）如图①，连接OC，AD．若∠ADC＝56°，求∠CDB及∠COB的大小；（Ⅱ）如图②，过点C作DB的垂线，交DB的延长线于点E，连接OD．若∠ABD＝2∠CDB，∠ODC ＝20°，求∠DCE的大小．【题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等】【例2】（2022•泗水县一模）如图，AB为⊙O的直径，点C、点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝35°，则∠ADC的度数是（）A．40°B．45°C．55°D．100°【变式2-1】（2022•碑林区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，OD⊥AC，连接DC，若∠COB＝20°，则∠ACD的度数为（）A．10°B．30°C．40°D．45°【变式2-2】（2022•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、̂的中点，则∠ABE＝．AC分别交⊙O于D、E两点，点B是CD̂=BĈ=CD̂，OC与AD相交于点E．【变式2-3】（2022•临沂）如图，已知在⊙O中，AB求证：（1）AD∥BC；（2）四边形BCDE为菱形．【题型3 直径所对的圆周角是90°】【例3】（2022•庆阳二模）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且AC ＝BC ＝2，∠BCD ＝30°，则BD 的长为（ ）A ．√22B ．√32C ．√2D ．√3【变式3-1】（2022•安徽模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且D 为AB ̂中点，若∠D ＝30°，BC ＝2，则BD 的值为（ ）A ．2√2B ．2√3C ．√6D ．3【变式3-2】（2022•下城区校级二模）如图，AB 是⊙O 的一条直径，点C 是⊙O 上的一点（不与点A ，点B 重合），分别连接AC ，BC ，半径OE ⊥AC 于点D ，若BC ＝DE ＝2，则AC ＝ ．【变式3-3】（2022春•亭湖区校级期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的半圆O 分别交AC 、BC 于点D 、E ．（1）求证：点E 是BC 的中点．（2）若∠BOD ＝75°，求∠CED 的度数．【题型4 圆周角定理（多结论问题）】【例4】（2022•海淀区校级开学）如图，AB 是⊙O 的直径，点P 是⊙O 上一个动点（点P 不与点A ，B 重合），在点P 运动的过程中，有如下四个结论： ①至少存在一点P ，使得P A ＞AB ； ②若PB̂=2PA ̂，则PB ＝2P A ； ③∠P AB 不是直角； ④∠POB ＝2∠OP A ．上述结论中，所有正确结论的序号是 ．【变式4-1】（2022•平江县模拟）如图所示，MN 是⊙O 的直径，作AB ⊥MN ，垂足为点D ，连接AM ，AN ，点C 为AN̂上一点，且AC ̂=AM ̂，连接CM ，交AB 于点E ，交AN 于点F ，现给出以下结论：①∠MAN ＝90°；②AM ̂=BM ̂；③∠ACM +∠ANM ＝∠MOB ；④AE =12MF ，其中正确结论的序号是 ．【变式4-2】（2022秋•淮南期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点E，∠BAC＝45°，̂=2DÊ，其中正确结论有（只给出下列四个结论：①∠EBC＝22.5°②BD＝DC③AE＝DC④AE填序号）【变式4-3】（2022•惠安县模拟）如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，若∠BOC是锐角，且∠AOB＝2∠BOC，则下列结论正确的是．（填序号即可）①AB＝2BĈ=2BĈ②AB③∠ACB＝2∠CAB④∠ACB＝∠BOC【题型5 圆周角定理（最值问题）】【例5】（2022•广饶县二模）如图，AB是半圆O的直径，AC＝AD，OC＝2，∠CAB＝30°，E为线段CD上一个动点，连接OE，则OE的最小值为．【变式5-1】（2022•东莞市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B是第一象限内的一个动点并且使∠OBA＝90°，点C（0，3），则BC的最小值为．【变式5-2】（2022•建湖县一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB＝90°，D为直线y＝x上的动点，则线段CD长的最小值为．【变式5-3】（2022秋•金牛区校级月考）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，D是边BC上（不与端点重合）的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，若线段AD长度的最小值为√3，则线段EF长度的最小值为．【题型6 圆周角定理（综合证明）】【例6】（2022•九江模拟）如图，在⊙O中，弦AD与弦BC垂直，垂足为点G，E为AB中点，延长EG 交CD于点F，求证：EF⊥CD．【变式6-1】（2022•安徽）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD．【变式6-2】（2022•无为市三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，弦DE∥BC，交AC于点F，弧AD＝弧DE，连接AE．（1）求证：△ADE是等边三角形；（2）连接OB，若BD＝2，求OB的长．【变式6-3】（2022•杭州模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD相交于点E．（1）如图1，若AC＝BD，求证：AE＝DE；（2）如图2，若AC⊥BD，连接OC，求证：∠OCD＝∠ACB．11。

综合与实践、圆、二次函数有关重难点题型题型一综合与实践1.综合与实践问题情境：综合与实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形”为主题开展数学活动，并提出如下问题：如题2-1图，将等腰Rt△ABC的直角边AC与等腰Rt△ADC的斜边AC 重合，∠BAC=∠ADC=90°,试判断线段BC 与CD之间的数量关系，并加以证明.(1)数学思考：请你解答老师提出的问题；(2)猜想证明：如题2-2图，点 E 是线段AD上的一个动点(不与A，D重合)，连接CE，过点 E作EF⊥CE,分别交AB,AC于F,G两点,连接FC,试判断△CEF的形状，并说明理由.2.综合与实践【阅读理解】如题1-1图，在△ABC中，AM是BC边上的高线，由勾股定理得AM²=AB²−BM²,AM²= AC²−CM²,故AB²−BM²=AC²−CM².【知识迁移】如题1-2 图,在矩形ABCD中,当点P在矩形ABCD内任意位置时,连接AP,BP,CP,DP.求证: AP²+ CP²=BP²+DP².【探索发现】如题1-3 图，若点 P在矩形ABCD 的外部时，上述结论是否仍然成立?请加以判断，并说明理由.【尝试应用】如题1-4图，在△ABC中, AB=3,AC=4,Q为平面内一点，且AQ=1,∠BQC=90°,求 BC 的最大值.3.如题1-1图,正方形ABCD的边AB上有一点E,连接DE.(1)若AD=3AE,则sin∠ADE= ;(2)如题1-2图，将边 CB绕点 C顺时针旋转，旋转角为α，使得点 B 的对应点 F 落在DE上(点F不与点D 重合),连接BF,求∠BFE的度数;(3)如题1-3图,在(2)的条件下,若E为AB的中点,DF=n,正方形ABCD的面积为S,求S关于n的函数关系式.4.小颖在学习了摩擦力的相关知识后，准备在水平面上探究滑动摩擦力与压力之间的关系，探究步骤如下：第一步：如题3-1图，在一水平放置的木板上放置一个质量为1kg的木块(压力大小=重力大小)，用弹簧测力计沿水平方向拉动木块，使木块做匀速直线运动(滑动摩擦力的大小可以由弹簧测力计读出)；第二步：在木块上增加质量不同的砝码，使木块做匀速直线运动；当在木块上增加质量不同的砝码后，设弹簧测力计所拉物体的质量为m(kg)，弹簧测力计的示数为F(N)，通过多次测量，得到如下数据：(1)把表中的图的坐标系中，描点，连线，画出弹簧测力计拉力F关于物体质量m的图象；(2)观察所画的图象，猜测F和m之间的函数关系，求出函数表达式；(3)小颖将水平拉动木块实验变成在斜面拉动木块实验，如题3-3图，用弹簧测力计拉着木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动.经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力 F(N)是高度h(m)的一次函数.当斜面水平放置在地面上时，弹簧测力计的读数为2N，高度h每增加0.1m，弹簧测力计的读数增加0.8N，若弹簧测力计的最大量程是8N，求装置高度h的取值范围.5.综合与实践某数学实验小组在学习了电阻的知识后，计划通过实验探究铂电阻在0∼100°C范围内的温度特性，具体过程如下：【知识背景】电阻温度计是根据导体电阻随温度而变化的规律来测量温度的温度计，铂电阻温度计是最精确的温度计.【实验过程】如题2-1图，将电阻温度计接入电路，开始使导体温度升温，控制温度在( 0°C−100°C范围内，每升温20°C记录一次指示仪表输出的电阻值(单位：Ω)，实验完毕后，关闭所有电源.【收集数据】记录的数据如下表：(1)如题2-2图，建立平面直角坐标系，横轴表示温度( (°C),纵轴表示电阻值(Ω)，描出以上表中的数据为坐标的各点，并进行连线；(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，若在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出解析式，若不在同一条直线上，请说明理由；(3)当温度为50°C时，求铂电阻的电阻值.题型二圆的综合题1. 如题1图, △ABC内接于⊙O,AB是⊙O 的直径,分别过点 C 作⊙O 的切线，过点 O作AB的垂线，两线相交于点 D.(1)求证: ∠D=2∠A;(2)请用无刻度的直尺和圆规过点O 作AC 的垂线交AC 于点 E(保留作图痕迹，不写作法)；(3)在(2)的条件下,若AB=8,CD=3,求OE的长.2. 如题2图, △ABC内接于⊙O,延长BA至点D,连接DC,使DB=DC,过点A作AE⊥AB交DC于点E,连接B E,BE 与AC相交于点F，且满足∠ADE=2∠EAC.(1)求证:CA=CB;(2)若AD:AB=1:4,求tan∠ABC的值；的值.(3)在(2)的条件下,求AFFC3.如题1-1图, △ABC内接于⊙O,BC是⊙O的直径,CD是∠ACB的平分线,交⊙O 于点D,连接OD,交AB于点E.(1)求证:OD∥AC;,求直线AF与⊙O的位关系.(2)如题1-2图,延长OD至点 F,连接AF,使得AF=BC,且tanB=12在△ABC中,AB=AC,点O是AB边上一动点,以点O为圆心,OB长为半径作圆,交BC于点 D.过点 D作DE⊥AC,垂足为E.(1)如题2-1图,若点O为AB的中点,求证:BD=CD;(2)如题2-2图,当点O为AB 上任意一点时,求证:DE 与⊙O 相切;(3)如题2-3图,若⊙O与AC相切于点F,且⊙O的半径为3,CE=1,求AF的长.如题4图,四边形ABCE内接于⊙O, AB=AC,CE⊥BC,，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点 D.(1)求证:AD是⊙O的切线;(2)若DE=2,AE平分∠CAD,求⊙O的半径；(3)新考法探究线段数量关系若( CE=m,DE=n,⊙O的直径为d，探究m，n与d的数量关系，并说明理由.题型三二次函数综合题1. 已知抛物线y₁=ax²−4ax+c经过点(3,−2),与x轴交于点A(x₁,0),B两点.(1)若抛物线过点(−1,2),求抛物线的解析式；(2)若−1<x₁<0,点P(5,n)(n⟩0))在该抛物线上，求a的取值范围；(3)若抛物线y₁向上平移两个单位长度后得到抛物线y₂，抛物y₁与直线y₁=kx+b(k≠0)交于点(x₁,0)(x₁<2),且函数y=y₁+y₁的图象与x轴仅有一个交点.求证：k=2a.2.如题2图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x²+bx+c交x轴于A,B(1,0)两点,交y轴于点C(0,3),连接AC,BC.(1)求抛物线的解析式；(2)N是线段AC上一点，过点N作NN′⊥x轴于点N′,若△ABC的面积被 NN'分为1∶2的两部分，求点N 的坐标；(3)将抛物线向左平移m(m⟩0))个单位长度，与原抛物线的交点为点 D,连接 AD,BD,AC 与 BD 相交于点 E,若△ADE与△BCE的面积差为1，求m的值.3.已知抛物线y=25x2+bx+c的顶点坐标为(−2,185),与x轴交于点A,B(点A在点 B左侧),与y轴交于点C.(1)求b,c的值;(2)点M(-4，2)，N是抛物线上两点，若点N到对称轴的距离等于点M到对称轴距离的2倍，求点 N的坐标；(3)若点 P是第二象限内抛物线上一点，连接PB交AC于点D,求PDBD的最大值.x−3与x轴，y轴交于A，B两点，抛物线y=x²+bx+c经过A，B两点，M是射线4.如题2图,直线y=34BA上一动点，过点 M作MN∥y轴交抛物线于点 N.(1)求抛物线的解析式；(2)当M在线段BA上时,连接AN,BN,若S∆ABN=S∆ABO,求此时点M的坐标；(3)新考法与点的运动结合点M从点 B 出发，沿射线BA方向以每秒5个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，MB=MN?请直接写出所有符合条件的t值.5.如题3图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx−2(a≠0)与x轴交于点A(−1,0),B(0)，与y 轴交于点 C，点P为直线BC下方抛物线上一动点.(1)求抛物线的解析式；(2)过点P作PE⊥x轴于点 E，连接OP，是否存在点 P 使得. ∠OPE=∠ABC?若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由；(3) 将抛物线沿着x轴翻折，点P 的对应点为P′,连接P'B,求△P′CB面积的最大值及此时点 P的坐标.。

重难点04 圆的基本性质及直线与圆的位置关系中考数学中《圆的基本性质及直线与圆的位置关系》部分主要考向分为十类：一、垂径定理及其应用（每年1道，3~12分）二、圆周角定理（每年1~2道，3~12分）三、圆内接四边形（每年1题，3~6分）四、三角形的外接圆与外心（每年1~2题，3~8分）五、直线与圆的位置关系（每年1题，3~10分）六、切线的性质与判定（每年1~2题，3~13分）七、三角形内切圆与内心（每年1题，3~4分）八、正多边形和圆（每年1题，3~10分）九、弧长与扇形面积的计算（每年1题，3~4分）十、圆锥的计算（每年1题，3~4分）中考数学中，圆的基本性质与直线与圆的位置关系一直都是必考的考点，难度从基础到综合都有，通常选择、填空题会出圆的基本性质，如垂径定理、圆周角定理、弧长与面积的求法、切线的性质等，基本都是基础应用，难度不大，个别会出选择题的压轴题，难度稍大。

简答题部分，一般会把切线的判定和相似三角形、锐角三角函数等结合考察，此时难度变大，综合性较强，需要认真应对。

考向一：垂径定理及其应用【题型1 垂径定理及其推论】满分技巧1.圆中模型“知2得3”由图可得以下5点：①AB ⊥CD ；②AE=EB ；③AD 过圆心O ；④⋂⋂=BC AC ；⑤⋂⋂=BD AD ；以上5个结论，知道其中任意2个，剩余的3个都可以作为结论使用。

2.常做辅助线：连半径、作弦心距、见直接连弦长得直径所对圆周角1．（2023•宜昌）如图，OA ，OB ，OC 都是⊙O 的半径，AC ，OB 交于点D ．若AD ＝CD ＝8，OD ＝6，则BD 的长为（ ）A．5B．4C．3D．2【分析】根据垂径定理的推论得OB⊥AC，再根据勾股定理得OA＝＝＝10，即可求出答案．【解答】解：∵AD＝CD＝8，∴OB⊥AC，在Rt△AOD中，OA＝＝＝10，∴OB＝10，∴BD＝10﹣6＝4．故选：B．2．（2023•广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（）A．20m B．28m C．35m D．40m【分析】设主桥拱半径R，根据垂径定理得到AD＝，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．【解答】解：由题意可知，AB＝37m，CD＝7m，设主桥拱半径为R m，∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m，∵OC是半径，OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝（m），在RtADO中，AD2+OD2＝OA2，∴（）2+（R﹣7）2＝R2，解得R＝≈28．故选：B．3．（2023•永州）如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10cm，水的最深处到水面AB 的距离为4cm，则水面AB的宽度为16cm．【分析】过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，由垂径定理可得AC＝BC，然后在Rt△AOC中根据勾股定理求出AC的长，即可得出AB的长．【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，∴，由题意知，OA＝10cm，CD＝4cm，∴OC＝6cm，在Rt△AOC中，（cm），∴AB＝2AC＝16（cm），故答案为：16．4．（2023•东营）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为26寸．【分析】连接OA，设⊙O的半径是r寸，由垂径定理得到AE＝AB＝5寸，由勾股定理得到r2＝（r﹣1）2+52，求出r，即可得到圆的直径长．【解答】解：连接OA，设⊙O的半径是r寸，∵直径CD⊥AB，∴AE＝AB＝×10＝5寸，∵CE＝1寸，∴OE＝（r﹣1）寸，∵OA2＝OE2+AE2，∴r2＝（r﹣1）2+52，∴r＝13，∴直径CD的长度为2r＝26寸．故答案为：26．5．（2023•贵州）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连接EA，EB．（1）写出图中一个度数为30°的角：∠1，图中与△ACD全等的三角形是△BCD；（2）求证：△AED∽△CEB；（3）连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由．【分析】（1）⊙O是等边三角形ABC的外接圆，可知点O为外心，故CD为AB的中线、垂线、∠ACB 平分线（三线合一），并利用HL定理证明△ACD≌△BCD；（2）利用两三角形两个对应角相等，可证明两三角形相似；（3）根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可证得四边形OAEB四条边相等，从而证明它为菱形．【解答】（1）解：∵已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴点O是等边三角形ABC的外心，∴CE⊥AB，∠1＝∠2＝30°．∴∠ADC＝∠BDC＝90°，又∵AC＝BC，CD＝CD，∴Rt△ACD≌Rt△BCD（HL定理）．故答案为：∠1（答案不唯一），△BCD．（2）证明：∵∠ADE＝∠CBE＝90°，∠3＝∠CAE﹣∠CAB＝90°﹣60°＝30°＝∠2，∴△AED∽△CEB．（3）四边形OAEB为菱形．证明：∵∠CAE＝90°，∠1＝30°，∴AE＝CE．同理可证，BE＝CE．∴OA ＝OB ＝AE ＝BE ，∴四边形OAEB 为菱形．考向二：圆周角定理【题型2 圆周角定理及其推论】 满分技巧圆中模型“知1得4”由图可得以下5点：①AB=CD ；②⋂⋂=CD AB ；③OM=ON ；④F E ∠=∠；⑤COD AOB ∠=∠；以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用。

苏教版(SJ)2022-2023学年九年级数学上册期中期末重难点突破专题06 圆【热考题型】【重难点突破】考查题型一 圆的基本概念1．下列说法中，正确的是（ ）A ．弦是直径B ．半圆是弧C ．过圆心的线段是直径D ．圆心相同半径相同的两个圆是同心圆2．有下列四个①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3．下列说法错误的是（ ）A ．直径是圆中最长的弦B ．长度相等的两条弧是等弧C ．面积相等的两个圆是等圆D ．半径相等的两个半圆是等弧4．已知的半径是6cm ，则中最长的弦长是（ ）O OA．6cm B．12cm C．16cm D．20cm5．下列叙述中不正确的是（ ）A．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心B．圆是轴对称图形，直径是它的对称轴C．连接圆上两点的线段叫弦D．圆上两点间的部分叫弧考查题型二求圆中弦的条数6．如图，图中的弦共有（ ）A．1条B．2条C．3条D．4条7．如图，在⊙O中，点B,O,C和点A,O,D分别在同一条直线上，则图中有（）条弦.A．2B．3C．4D．58．点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（）A．2B．3C．4D．5考查题型三圆的周长面积问题9．如图中三个小圆周长之和与大圆周长比较,较长的是( )A．三个小圆周长之和B．大圆周长C．一样长D．不能确定10．如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（）A．27倍B．14倍C．9倍D．3倍11．如图，一枚半径为rA．4πr B．2πr C．πr D．2r12．如图，两个同心圆中有两条互相垂直的直径，其中大圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（）π2π3π4πA．B．C．D．13．如图，一块直径为a ＋b 的圆形钢板，从中挖去直径分别为a 与b 的两个圆，则剩余阴影部分面积为( )A ．B ．C ．D ．2ab()24a b π-2ab π4ab π14．一个圆的周长是，它的面积是（ ）10πA ．B ．C ．D ．25π5π100π10π15．如图，长方形ABCD 的面积为300cm 2，长和宽的比为3：2．在此长方形内沿着边的方向能否并排裁出两个面积均为147cm 2的圆（π取3），请通过计算说明理由．16．如图，AB 是⊙O 的直径，把AB 分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB ＝a ，那么⊙O 的周长l ＝πa ．计算：(1)把AB 分成两条相等的线段，每个小圆的周长；21122l a l π==(2)把AB 分成三条相等的线段，每个小圆的周长l 3＝ ；(3)把AB 分成四条相等的线段，每个小圆的周长l 4＝ ；(4)把AB 分成n 条相等的线段，每个小圆的周长ln ＝ ．结论：把大圆的直径分成n 条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周长的 ．请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系．考查题型四确定圆的条件17．过A，B，C三点能确定一个圆的条件是（）①AB=2，BC=3，AC=5；②AB=3，BC=3，AC=2；③AB=3，BC=4，AC= 5．A．①②B．①②③C．②③D．①③18．在同一平面内，过已知A，B，C三个点可以作的圆的个数为( )A．0B．1C．2D．0或119．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．①B．②C．③D．均不可能20．A ，B ，C 为平面上的三点，AB ＝2，BC ＝3，AC ＝5，则( )A ．可以画一个圆，使A ，B ，C 都在圆周上B ．可以画一个圆，使A ，B 在圆周上，C 在圆内C ．可以画一个圆，使A ，C 在圆周上，B 在圆外D ．可以画一个圆，使A ，C 在圆周上，B 在圆内21．下列各图形中，各个顶点一定在同一个圆上的是（ ）A ．正方形B ．菱形C ．平行四边形D ．梯形考查题型五 找圆心的位置22．如图，一圆弧过方格的格点A 、B 、C ，在方格中建立平面直角坐标系，使点A 的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是（ ）A ．（0，0）B ．（﹣2，1）C ．（﹣2，﹣1）D ．（0，﹣1）23．如图，外接圆的圆心坐标是（ ）ABCA．(5，2)B．(2，3)C．(1，4)D．(0，0)24．坐标网格中一段圆弧经过格点A、B、C．其中点B的坐标为(4，3)，点C坐标为(6，1)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为A．（0，0）B．（2，-1）C．（0，1）D．（2，1）专题06 圆【热考题型】【重难点突破】考查题型一圆的基本概念1．下列说法中，正确的是（）A．弦是直径B．半圆是弧C．过圆心的线段是直径D．圆心相同半径相同的两个圆是同心圆【详解】过圆心的弦是直径，不是所有的弦都是直径，故A选项错误；圆上任意两点间的部分是弧，故半圆是弧，故B正确；过圆心的弦是直径，故C选项错误；圆心相同，半径不等的两个圆是同心圆，故D错误，所以本题选B.2．有下列四个①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有A．4个B．3个C．2个D．1个【详解】解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确．故选：B ．3．下列说法错误的是（ ）A ．直径是圆中最长的弦B ．长度相等的两条弧是等弧C ．面积相等的两个圆是等圆D ．半径相等的两个半圆是等弧【详解】解：A 、直径是圆中最长的弦，所以选项的说法正确，不符合题意；B 、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以选项的说法错误，符合题意；C D 、半径相等的两个半圆是等弧，所以选项的说法正确，不符合题意．D 故选：B ．4．已知的半径是6cm ，则中最长的弦长是（ ）O O A ．6cmB ．12cmC ．16cmD ．20cm 【详解】解：∵在圆中，最长的弦是直径，且的半径是6cm ，O ∴中最长的弦长=6×2=12cm ，O 故选：B ．5．下列叙述中不正确的是（ ）A．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心B．圆是轴对称图形，直径是它的对称轴C．连接圆上两点的线段叫弦D．圆上两点间的部分叫弧【详解】解：A.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，正确；B.圆是轴对称图形，直径所在的直线为圆的对称轴，错误；C.连接圆上两点的线段叫弦，正确；D.圆上两点间的部分叫弧，正确；故选B．考查题型二求圆中弦的条数6．如图，图中的弦共有（ ）A．1条B．2条C．3条D．4条【详解】解：图形中有弦AB和弦CD，共2条，故选B．7．如图，在⊙O中，点B,O,C和点A,O,D分别在同一条直线上，则图中有（）条弦.A．2B．3C．4D．5【详解】根据弦的概念，AB、BC、EC为圆的弦，共有3条弦.故选B.8．点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（）A．2B．3C．4D．5【详解】解：由图可知，点A、B、E、C是⊙O上的点，图中的弦有AB、BC、CE，一共3条．故选B．考查题型三圆的周长面积问题9．如图中三个小圆周长之和与大圆周长比较,较长的是( )A．三个小圆周长之和B．大圆周长C．一样长D．不能确定【详解】如图,设大圆的直径为d,三个小圆的直径依次为d',d″,d‴,则大圆周长为πd;三个小圆周长之和为πd'+πd″+πd‴=π(d'+d″+d‴).因为d=d'+d″+d‴,所以三个小圆周长之和与大圆周长一样长.10．如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（）A．27倍B．14倍C．9倍D．3倍【详解】解：由圆和正方形的对称性，可知：OA=OD，OB=OC，∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，∴设OB =x ，则OA =3x ，BC =2x ，∴圆的面积=π(3x )2=9πx 2，正方形的面积==2x 2，()2122x ∴9πx 2÷2x 2=，即：圆的面积约为正方形面积的14倍，9142π≈故选B ．11．如图，一枚半径为r 的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离是（ ）A ．4πrB ．2πrC ．πrD ．2r【详解】圆心经过的距离就是圆的周长，所以是2πr .故选B.12．如图，两个同心圆中有两条互相垂直的直径，其中大圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．π2π3π4π【详解】解：根据题意，大圆、小圆都被两条互相垂直的直径平均分成4份，由圆的旋转对称性，可得阴影部分的面积刚好拼成大圆的一半，阴影部分面积：π×22＝2π，12故选：B ．13．如图，一块直径为a ＋b 的圆形钢板，从中挖去直径分别为a 与b 的两个圆，则剩余阴影部分面积为( )A ．B ．C ．D ．2ab()24a b π-2ab π4ab π【详解】阴影部分面积为=222()()()222a b a b πππ+--2ab π故选C.14．一个圆的周长是，它的面积是（ ）10πA ．B ．C ．D ．25π5π100π10π【详解】解：设圆的半径为r ，∵圆的周长为10π，∴2πr=10π，即r=5，则圆的面积S=πr 2=25π．故选：A ．15．如图，长方形ABCD 的面积为300cm 2，长和宽的比为3：2．在此长方形内沿着边的方向能否并排裁出两个面积均为147cm 2的圆（π取3），请通过计算说明理由．【详解】解：设长方形的长DC 为3xcm ，宽AD 为2xcm ．由题意，得 3x•2x=300，∵x ＞0，∴x =∴AB=，BC=cm ．∵圆的面积为147cm 2，设圆的半径为rcm ，∴πr 2=147，解得：r=7cm ．∴两个圆的直径总长为28cm ．∵，382428<=⨯=<∴不能并排裁出两个面积均为147cm 2的圆．16．如图，AB 是⊙O 的直径，把AB 分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB ＝a ，那么⊙O 的周长l ＝πa ．计算：(1)把AB 分成两条相等的线段，每个小圆的周长；21122l a l π==(2)把AB 分成三条相等的线段，每个小圆的周长l 3＝ ；(3)把AB 分成四条相等的线段，每个小圆的周长l 4＝ ；(4)把AB 分成n 条相等的线段，每个小圆的周长ln ＝ ．结论：把大圆的直径分成n 条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周长的 ．请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系．【详解】(2)l ；13(3)l ；14(4)l ；；1n 1n每个小圆面积＝π＝，而大圆的面积＝π(•a )2＝πa 22112a n ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 2214a n π1214即每个小圆的面积是大圆的面积的．21n 考查题型四 确定圆的条件17．过A ，B ，C 三点能确定一个圆的条件是（ ）①AB =2，BC =3，AC =5；②AB =3， BC =3，AC =2；③AB =3，BC =4，AC = 5．A ．①②B ．①②③C ．②③D ．①③【详解】经过不在同一直线上的三点可以确定圆，能构成三角形的三点一定可以确定一个圆,因为只有C 选项中的三点能构成三角形，故选C.18．在同一平面内，过已知A ，B ，C 三个点可以作的圆的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．0或1【详解】解答：解：当A 、B 、C 三个点共线，过A 、B 、C 三个点不能作圆；当A 、B 、C 不在同一条直线上，过A 、B 、C 三个点的圆有且只有一个，即三角形的外接圆；故选D ．19．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）A．①B．②C．③D．均不可能【详解】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选A．20．A，B，C为平面上的三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，则( )A．可以画一个圆，使A，B，C都在圆周上B．可以画一个圆，使A，B在圆周上，C在圆内C．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆外D．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆内【详解】∵A，B，C是平面内的三点，AB=2，BC=3，AC=5，∴AB+BC=AC，∴可以画一个圆，使A，C在圆上，B在圆内．故选D．21．下列各图形中，各个顶点一定在同一个圆上的是（）A．正方形B．菱形C．平行四边形D．梯形【详解】解：∵正方形对角线相等且互相平分，∴四个顶点到对角线交点距离相等，∴正方形四个顶点定可在同一个圆上.故选A.考查题型五找圆心的位置22．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是（ ）A．（0，0）B．（﹣2，1C．（﹣2，﹣1）D．（0，﹣1）【详解】如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，则点O即是该圆弧所在圆的圆心．∵点A的坐标为（﹣3，2），∴点O的坐标为（﹣2，﹣1）．故选C ．23．如图，外接圆的圆心坐标是（ ）ABCA ．(5，2)B ．(2，3)C ．(1，4)D ．(0，0)【详解】如图，作AB ，BC 的中垂线，交于点D ，点D 即为外接圆的圆心，坐标为ABC （5，2）．故选A ．24．坐标网格中一段圆弧经过格点A 、B 、C ．其中点B 的坐标为(4，3)，点C 坐标为(6，1)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为A ．（0，0）B ．（2，-1）C ．（0，1）D ．（2，1）【详解】如图，根据已知点的坐标画出平面直角坐标系，连接BC ，线段AB 的垂直平分线EF 交BC 的垂直平分线于Q ，则Q 为圆弧的圆心，∴圆心的坐标是()21-，故选B ．。

中考数学圆题型大归纳
中考数学中关于圆的题型涵盖了很多内容，主要涉及圆的性质、圆的面积与周长、相交定理等方面。

下面对中考数学中常见的圆题型进行大归纳：
一、圆的性质题型：
1. 圆的基本概念：圆的半径、直径、周长、面积等概念的理解和计算；
2. 圆心角与弧度的关系：圆心角的大小和对应弧的关系，以及圆心角的计算；
3. 圆内接四边形：正方形、矩形、菱形等图形的性质及相关计算；
4. 圆的切线与切点：切线的性质、切线与半径的关系，以及切点的判定方法。

二、圆的面积与周长题型：
1. 圆的面积计算：根据圆的半径或直径计算圆的面积；
2. 圆的周长计算：根据圆的半径或直径计算圆的周长；
3. 圆与多边形的面积比较：圆与正方形、正三角形等图形的面积比较和计算；
4. 圆的面积与周长的关系：圆的面积与周长的计算及应用。

三、圆的相交定理题型：
1. 同弧的圆周角：同弧的圆周角的性质和计算方法；
2. 圆的相交性质：相交弧的关系、相交角的计算等；
3. 圆的切线定理：圆的切线与切点的性质、切线长度的计算方法；
4. 圆的交点的计算：两个圆的交点的计算和判定方法。

以上是中考数学中关于圆的题型的大致分类和内容归纳，希望对你的学习有所帮助。

在备考中考数学的过程中，重点理解圆的基本性质和计算方法，灵活运用各种定理和公式，多做相关的练习题目，扎实掌握圆的相关知识，相信你一定能在考试中取得优异的成绩。

祝你学业有成，考试顺利！。

B前言：元月调考圆的知识占据较大比重，这里抓出一些常考的重点、难点题型做专项训练。

第1个问题 内心、外心知多少【2013元调 第10题】如图，点I 和O 分别是△ABC 的内心和外心，则∠AIB 和∠AOB 的关系为（ ）A 、AIB AOB ∠=∠ B 、AIB AOB ∠≠∠C 、121802AIB AOB ∠-∠=oD 、121802AOB AIB ∠-∠=o分析：外心：圆在三角形外，经过三角形3个顶点三角形外接圆的圆心，圆心到3个顶点的距离相等，它是三边的垂直平分线的交点。

内心：圆在三角形内，与三边都相切三角形内切圆的圆心，圆心到三边的距离相等，它是三个内角平分线的交点。

∠AIB 和∠AOB 都与 ∠C 有关系，∠AOB=2∠C ， ∠AIB=180°-（∠IAB+∠IBA ）=180°-12（∠A+∠B ）=180°-12（180°-∠C ）=90°+12∠C外心和内心的考查很频繁外心考查重点：①圆周角与圆心角的转换，如2013中考第22题 如图，△ABC 为等腰三角形，AB=AC ，则∠BEC=∠BOD②直角三角形的外心是斜边的中点，反之说明是直角三角形（2013中考第25题） 内心的考查更灵活：常考角度、面积（1）11190,90,90222BOC A BOA C AOC B ∠=+∠∠=+∠∠=+∠o o o（2）1()2S a b c r ABC =++V ，a 、b 、c 为三边长，r 是内切圆的半径当90BAC ∠=o 时，四边形ADOF 为正方形，2a b cr +-=AABE【例题1】如图，AB 是⊙O 的直径，点P 为半圆上一点（不与A 、B 重合），点I 为△ABP 的内心，连接PI 交⊙O 于点M ，IN ⊥BP 于N ，下列结论： ①∠APM=45°；②AB=2IM ；③∠BIM=∠BAP ；④PMOBIN +=22；其中正确的个数有________________A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 分析：①题目中给出直径、圆上的点这样的字眼想到：直径所对圆周角等于180度，则△ABP 是直角三角形 ②I 为内心，内心与三角形顶点的连线即为内角平分线 则PI 平分APB ∠，所以∠APM=45°。

圆的重难点题型汇编【题型01：垂径定理及应用】【题型02：点与圆的位置关系的判定】【题型03：直线与圆的位置关系的判定】【题型04：切线判定与性质综合】【题型05：圆周角定理】【题型06：圆内接四边形】【题型07：三角形的内切圆】【题型08：三角形的外接圆】【题型09：正多边形与圆的综合】【题型10：弧长和扇形的面积】【题型11：圆锥的侧面积】【题型12：不规则图形的阴影面积】【题型01：垂径定理及应用】1如图1是小明制作的一副弓箭，当弓箭不受力时，其弓臂部分可看成是如图2所示的圆弧AB(AB所在圆的圆心为O)，弓弦部分AB的长为4dm，点D是弓臂AB的中点，OD交AB于点C，D、C两点之间的距离为1dm，则弓臂AB所在圆的半径为()A.2dmB.2.5dmC.3dmD.4dm2日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成(如图1)，它可以看作如图2所示的几何图形．已知AB=CD=7 cm，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，BD=14 cm，⊙O的半径r=9 cm，则圆盘离桌面BD最近的距离是()cm D.2 cmcm C.42-23如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是13cm，其中水面高度CD是8cm．那么水面宽度AB是()A.12cmB.18cmC.24cmD.26cm4如图，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水平面上方，且圆O被水面截得的弦AB长为8米、圆O半径长为5米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是()5如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若AB=8,CD=2，则OD的长是()A.3B.4C.5D.66如图，AB为⊙O的弦，AB=8，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=1，则⊙O的半径为()A.8.5B.7.5C.7D.87如图，圆弧形桥拱的跨度AB为24米，拱桥所在圆的半径为13米，则拱高CD为()A.2米B.4米C.8米D.10米8《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？转化为数学语言：如图，OD为⊙O的半径，弦AB⊥OD，垂足为C，CD=1寸，AB=1尺(1尺=10寸)，则此圆材的直径长是寸．《周礼·考工记》记载：“⋯故兵车之轮六尺有六寸，田车之9如图1是博物馆展出的战国时期车轮实物，轮六尺有三寸⋯”据此，为验证博物馆展出车轮类型，我们可以通过计算车轮的半径推断．如图2所示，在车轮上取A、B两点，设AB所在圆的圆心为O，半径为rcm．作弦AB的垂线OC，D为垂足，经测量，AB =120cm，CD=30cm，则此车轮半径为cm．通过单位换算(在战国时期，一尺大约是23cm左右)，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．10“两龙“高速公路是某省高速公路隧道和桥梁最多的路段．如图，是一个单心圆曲隧道的截面，若路面AB宽为8米，净高CD为8米，求此隧道单心圆的半径OA．11如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽，AB为16米，拱高CN为4米．(1)求桥拱的半径；(2)若大雨过后，洪水泛滥到河面宽度DE为12米时，求水面涨高了多少？【题型02：点与圆的位置关系的判定】12已知⊙O的半径为4cm，若PO=5cm，则点P与⊙O的位置关系是()A.点P在圆外B.点P在圆上C.点P在圆内D.无法确定13在平面直角坐标系中，O是坐标原点，⊙O的半径为5，若点P的坐标为2,3，则点P与⊙O的位置关系是()A.点P在⊙O内B.点P在⊙O上C.点P在⊙O外D.不能确定14在正方形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径作⊙A，下列说法错误的是( )．A.点D在圆上B.点C在圆外C.点B在圆上D.点A在圆上【题型03：直线与圆的位置关系的判定】15平面直角坐标系中，M点坐标为(-2，3)，以2为半径画⊙M，则以下结论正确的是()A.⊙M与x轴相交，与y轴相切B.⊙M与x轴相切，与y轴相离C.⊙M与x轴相离，与y轴相交D.⊙M与x轴相离，与y轴相切16⊙O的半径是5cm，圆心O到直线a的距离为8cm，直线a与⊙O的公共点个数是()A.0B.1C.2D.1或217以点1,2为圆心画⊙P，若⊙P的半径r=1，则⊙P与x轴的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.无法确定18如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，点D为AB的中点，以2为半径作⊙D，则下列说法不正确的是()A.点A在圆外B.点C在圆上C.⊙D与直线AC相切D.⊙D与直线BC相交19如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P圆心坐标是-3,0，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为()A.1B.1或5C.3D.520已知⊙O的半径是一元二次方程x2-7x+12=0的一个根，圆心O到直线l的距离d=3，则直线l与⊙O的位置关系是()A.相交B.相切C.相离或相切D.相交或相切【题型04：切线判定与性质综合】21如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点F，延长AO交⊙O于点C，连接BC，点D为⊙O 上一点，且DF=BF，连接AD．(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)若AB=6，AC=8，求⊙O的半径的长．22如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，AD交⊙O于点E，且BC=CE，连接AC．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)F为⊙O上一点，连接AF，若AF∥CD，AC=5，AF=6，求⊙O的半径．23如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF=FE，连接EF．(1)求证：EF为⊙O的切线；(2)若OD=1且BD=BF，求⊙O的半径．24如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于F，弦AD平分∠CAB，DE⊥AC，垂足为E．(1)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．(2)若⊙O的半径为3，若∠CAB=60°，求线段EF．25如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在AB的延长线上，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，且∠A=∠CDE．(1)求证：CD是⊙O的切线．(2)若AD=18,CD=12，求⊙O的半径长．26如图，在△ABC中，AB=AC，O在AB上，以O为圆心，OB为半径的圆与AC相切于点F，交BC于点D，交AB于点G，过D作DE⊥AC，垂足为E．(1)DE与⊙O有什么位置关系，请写出你的结论并证明；(2)若⊙O的半径长为3，AF=4，求CE的长．27如图，△ABC中，AB=AC，D为AC上一点，以CD为直径的⊙O与AB相切于点E，交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G．(1)求证：FG是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径长为22，BF=3，求BE的长．28如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，以BD为直径作⊙O，交边AB于点P，连接AD，PC．(1)求证；AD是⊙O的切线；(2)若PC是⊙O的切线，BC=4，求PC的长．【题型05：圆周角定理】29如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，连接BC．若∠B=22.5°，CD=4，则⊙O的半径的长为()A.2B.22C.4D.4230如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠DAB=48°，则∠ACD=()A.48°B.42°C.72°D.58°31如图，点A，B，C在⊙O上，AC⊥OB，垂足为D，若∠A=35°，则∠C的度数是()A.20°B.25°C.30°D.35°32如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，连接AC，BC，OD，若∠B=52°，则∠AOD=()A.104°B.109°C.114°D.119°33如图，△BDC内接于圆O，AC为圆O的直径，连接AB，若∠ACB=40°，则∠D的度数为()A.20°B.25°C.50°D.40°34如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠CDB=30°，AB=4，则AC的长为()A.22B.4C.3D.23【题型06：圆内接四边形】35如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC=20°，则∠ADC的度数为()A.100°B.110°C.120°D.130°36如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点B作BE∥AD，交CD于点E．若∠BEC=50°，则∠ABC 的度数是()A.50°B.100°C.130°D.150°37如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AD延长线上一点，∠AOC=128°，则∠CDE 等于()A.64°B.60°C.54°D.52°38如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B=123°，则∠AOC=()A.114°B.123°C.57°D.130°【题型07：三角形的内切圆】39如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，BC =6，则△ABC 内切圆的半径是()A.1B.43C.2D.340如图，⊙O 为Rt △ABC 的内切圆，切点分别为M ，N ，Q ，已知∠ABC =90°，CM =2，AM =3，则⊙O 的半径为()A.12B.32C.1D.241如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，△ABC 的内切圆⊙O 与AB 、BC 、CA 分别相切于点D 、E 、F ，若⊙O 的半径为2，AD ⋅DB =24，则AB 的长()A.11B.10C.9D.842如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在BC，AC上，DE与△ABC的内切圆O相切．若△ABC的面积是30，△CDE的周长是4，则AB的长为．【题型08：三角形的外接圆】43如图，点I为等边△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，已知外接圆的半径为2，则线段DB的长为()A.2B.3C.4D.2344如图，在△ABC，AC=BC，CD⊥AB于点D．(1)求证：△ACD≌△BCD(2)作Rt△BCD的外接圆⊙O．(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母)；(3)过D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．45如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC=BC，过点A作AD∥BC交⊙O于点D，连接CD，延长DA 到点E，连接CE，∠D=∠E．(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若CE=8，AE=5，求⊙O半径的长．46如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且CF 是⊙O的切线．(1)求证：∠DCF=∠CAD；(2)若CF=42，DF=4，求⊙O的半径．【题型09：正多边形与圆的综合】47半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为120°，则这个内接正多边形的边长为()A.1B.2C.3D.2348一个正六边形的边长为6，则它的边心距是()A.3B.32C.33D.1249蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为-23,3，0,-3，则点M的坐标为．50如图，六边形ABCDEF是圆O的内接正六边形，设四边形ABCE的面积为S1，△ACE的面积为S2，则S1S2=．51如图所示，在圆内接正六边形ABCDEF中，AE=33，则阴影部分的面积为．52如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB=18°，则这个正多边形的内角和为．【题型10：弧长和扇形的面积】53中国古代的文人士大夫喜欢在折扇上题词作画，即使折扇受损失去其纳凉功能，也会被人们揭裱保存成为收藏品．如图是一把题了字画的折扇，折扇的骨柄OA长为21cm，折扇张开后的扇形圆心角∠AOB为150°，则AB的长为()A.17.5πcmB.18.5πcmC.16.5πcmD.17πcm54如图，在⊙O中，点A、B、C在圆上，∠ACB=45°，⊙O的半径的长为2，则劣弧AB的长是()A.2πB.πC.π2D.π455如图，点A,B,C在半径为3的⊙O上，∠ACB=30°，则AB的长为()A.3B.π2C.π D.3π256龚扇是自贡“小三绝”之一．为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型(如图)．扇形外侧两竹条AB，AC夹角为120°．AB长30cm，扇面的BD边长为18cm，则扇面面积为cm2(结果保留π)．【题型11：圆锥的侧面积】57将圆心角为150°的扇形围成一个圆锥，若底面圆的直径为10cm，则该圆锥的侧面积为( )cm2A.50πB.60πC.90πD.120π58某班为筹备集体生日会准备手工制作圆锥形状的生日帽．他们制作的生日帽，母线长为30cm，底面圆的半径为8cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角等于．59如图，圆锥的底面半径OB为3，高AO为4，则圆锥侧面积是．60用一个圆心角为126°，半径为10cm的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为cm．61综合与实践【主题】滤纸与漏斗【素材】如图1所示：①一张直径为10cm的圆形滤纸；②一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗．【实践操作】步骤1：取一张滤纸；步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中．【实践探索】(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)？用你所学的数学知识说明．(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．(结果保留π)62综合与实践主题：制作圆锥形生日帽．素材：一张圆形纸板、装饰彩带．步骤1：如图1，将一个底面半径为r 的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l 、圆心角为n °的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽．在制作好的生日帽中，AB =6cm ，l =6cm ，C 是PB 的中点，现要从点A 到点C 再到点A 之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值．【题型12：不规则图形的阴影面积】63工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面(图中阴影部分)宽AB 为1米，请计算出淤泥横截面的面积()A.16π-34B.16π-32C.23π-3 D.16π-1464如图，如图，AB 为半圆O 的直径，C ，D 为半圆弧的三等分点，若AB =12，则阴影部分的面积为．65在等腰直角△ABC 中，已知∠ABC =90°,BC =1．如图所示，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转水不撩不知深浅90°后得到△AB C ．则图中阴影部分面积为．。

专题2.12 圆的方程-重难点题型检测【人教A版2019选择性必修第一册】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·四川省高二阶段练习（理））圆C：x2＋y2－4x＋2y－4＝0的，圆心坐标和半径分别是（）A．（－2，1），9B．（－2，1），3C．（2，－1），9D．（2，－1），32．（3分）（2021·广东·高二阶段练习）若点A(1,2)，圆的一般方程为x2+y2+2x−4y+1=0，则点A 与圆位置关系（）A．圆外B．圆内且不是圆心C．圆上D．圆心3．（3分）（2022·吉林·高二期末）若曲线x2+y2+2x+my+2=0表示圆，则m的取值范围是（）A．(2,+∞)B．[2,+∞)C．(−∞,−2)∪(2,+∞)D．(−∞,−2]∪[2,+∞)4．（3分）（2022·全国·高二）已知圆M的圆心在直线x+y−4=0上，且点A(1,0)，B(0,1)在M上，则M的方程为（）A．(x−2)2+(y−2)2=13B．(x−1)2+(y−1)2=1C．(x−2)2+(y−2)2=5D．(x+1)2+(y+1)2=55．（3分）（2022·江西省高一阶段练习（文））圆(x−1)2+(y+2)2=2关于直线l：x+y−2=0对称的圆的方程为（）A．(x−4)2+(y−1)2=2B．(x+4)2+(y+1)2=2C．(x−4)2+(y+1)2=2D．(x+4)2+(y−1)2=26．（3分）（2021·广西·高三阶段练习（理））已知定点B(3,0)，点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程是（）A．(x+1)2+y2=1B．(x−2)2+y2=4二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·江苏省高二阶段练习）使方程x2+y2−ax+2ay+2a2+a−1=0表示圆的实数a的A．轨迹C的方程为（x＋4）2＋y2＝9B．在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得|PD||PE|＝12C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线D．在C上存在点M，使得|MO|=2|MA|三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）“在圆内”、“在圆上”、“在圆外”）14．（4分）（2022·全国·高二课时练习）经过(5,0)，(−2,1)两点，且圆心在直线x−3y−10=0上的圆的标准方程为.15．（4分）（2022·江苏·高二课时练习）已知圆x2+y2+ax+by+1=0关于直线x+y=1对称的圆的方程为x2+y2=1，则a+b＝．16．（4分）（2022·全国·高二课时练习）如图，已知圆O:x2+y2=16,A,B是圆O上两个动点，点P(2,0)，则矩形PACB的顶点C的轨迹方程是．四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·全国·高二课时练习）下列方程是圆的方程吗？若不是，请说明理由．(1)(x+1)2+(y−1)2=−5；(2)(x+1)2+(y−1)2=k．18．（6分）（2022·江苏省高二阶段练习）已知圆过点A(1,−2)，B(−1,4)．(1)求圆心在直线2x−y−4=0上的圆的标准方程；(2)若圆心的纵坐标为2，求圆的标准方程．19．（8分）（2022·全国·高二课时练习）已知圆N的标准方程为(x−5)2+(y−6)2=a2(a>0)．(1)若点M（6，9）在圆N上，求半径a；(2)若点P（3，3）与Q（5，3）有一点在圆N内，另一点在圆N外，求实数a的取值范围．20．（8分）（2021·福建省高二期中）已知圆C经过点A(1,0)，点B(3,−2)，且它的圆心在直线2x+y=0上.（1）求圆C的标准方程；（2）若圆D与圆C关于直线x−y+1=0对称，求圆D的标准方程.21．（8分）（2021·全国·高三专题练习）在平面直角坐标xOy中曲线y=x2−6x+1与坐标轴的交点都在圆C上，若点M(x,y)是圆C上的一点，求x2+2x+y2+4y的最值.22．（8分）（2022·河南·高二阶段练习）已知圆M:(x+1)2+y2=36，点A(1,0)，P为M上一动点，Q始终为PA的中点.(1)求动点Q的轨迹方程；=k，求b与k的值.(2)若存在定点B(b,0)和常数k(k≠1)，对Q轨迹上的任意一点S，恒有|SA||SB|。

中考圆的常见题型总结中考圆的常见题型总结圆是中考数学中的一个重要概念，掌握圆的性质和相关题型能有效提高数学成绩。

下面将对中考圆的常见题型进行总结。

常见题型一：圆的基本性质题1. 求圆的面积和周长：圆的面积公式为：S = πr²圆的周长公式为：C = 2πr2. 求圆心角的度数：圆心角所对的弧与圆周所对的角相等，所以可以用圆心角的度数去表示弧的度数。

常见题型二：圆的位置关系题1. 判断关系：a. 外切圆和内切圆的位置关系：两个相切的圆，内切圆的圆心在外切圆的圆心的同一直线上。

b. 相交关系：两个相交的圆在两个交点的位置关系，可以根据边长和半径等关系进行求解。

c. 同圆关系：两个同圆的圆是重合的，即它们的半径相等。

d. 不交相离：两个完全不相交的圆，它们的位置关系为不交相离。

2. 判断位置：判断一个点在圆的内部、外部还是圆上，可以通过求这个点到圆心的距离是否等于圆的半径来判断。

常见题型三：弧和扇形的性质题1. 弧段公式：已知圆的半径和弧长，可以用弧长公式计算圆心角的度数。

2. 扇形面积公式：已知扇形中心角的度数和半径，可以用扇形面积公式计算扇形的面积：S = (θ/360°)πr²常见题型四：切线和切点的性质题1. 切线的定义：切线是与圆只有一个交点的直线。

2. 切点的性质：切点与切线垂直，切点到圆心的距离等于半径。

常见题型五：菱形和正方形的圆内接问题1. 菱形的性质：菱形的四个角都是直角，因此可以通过对角线的性质判断是否为菱形。

2. 正方形的性质：正方形是一种特殊的菱形，它的四条边相等且四个角都是直角。

常见题型六：圆锥、圆台和球的性质题1. 圆锥的性质：圆锥是一个底面是圆而侧面是圆锥曲线的立体。

求圆锥的体积公式为：V = (1/3)πr²h求圆锥的侧面积公式为：S = πrl2. 圆台的性质：圆台是一个底面是圆而顶面平行于底面的立体。

求圆台的体积公式为：V = (1/3)π(R² + r² + Rr)h求圆台的侧面积公式为：S = π(R + r)l3. 球的性质：求球的体积公式为：V = (4/3)πr³求球的表面积公式为：S = 4πr²以上是中考圆的常见题型总结，通过对这些题目的分析和解答，可以有效提高对圆的理解和掌握，并且能够在中考数学中灵活运用。