10-静电场中的导体和电解质1

10-1静电场中的导体Electrostatic field in conductor一、导体的静电平衡1、金属导体的电结构特征：具有大量的自由电子。

2.静电感应：导体在外电场中，其上的电荷重新分布，局部呈带电状态的现象。

3. 静电平衡：自由电子无定向运动，感应电荷稳定 E = E+F F = qE t = -eE导体的静电平衡条件 、严E 1、 导体内部的场强处处为零V （内部电子无运动）。

r2、 导体表面附近紧贴导体外侧处的场强方向垂直 表面（沿表面电子无运动）。

— *■0—Y— *-© Y分布。

导体表面附近的电场 强度的大小与该表面电 荷面密度成正比2）有空腔导体 ＜空腔内无电荷血 ©dd()电荷分布在表面上 问内表面上有电荷吗？ 结论电荷分布在外表面上（内表面无电荷） •导体空腔内包围有电荷 萨肪=（）q 沪_q 当空腔内有电荷时， 内表面因静电感应出现等 值异号的电荷T ，外表面 有感应电荷+?（电荷守恒）2、导体表面电场强度与电荷面密度的关系 帖辰 EdS +II(/、/$+( K ds =—・・•crl, £*1; CT T E T3、孤立导体表面电荷按曲率分布1）导体表面凸出而尖锐的地方（曲率较大）电荷面密度较大2）导体表面平坦的地方（曲率较小）带电导体尖端附近的电场特别大，可使尖端附近的空气发生电离而成为导体产生放电现象，即尖端放电＜电风实验＞f "K1+ + 4尖端放电会损耗电能，还会干扰精密测量和对通讯产生危害；然而尖端放电也有很广泛的应用。

V避雷针〉三、静电屏蔽 1、屏蔽外电场2.屏蔽腔内电场接地空腔导体 将使外部空间不 受空腔内的电场 影响高压带电作业电场影响。

这时,整个空腔导体和腔内的电势也必处 处相等。

例题：点电荷+?处在导体球壳的中心，壳的内外半径分别为乩和心，求电场强度和电势的分布。

解：球壳内表面感应・g ,外表面+? ”二s*0r < : E、・4“ =—£=_^_E4grE,=0/?)< r < R2: E、・4TC r2 =0r>R,i £\・4龙尸=土%例题证明：两平行放置的无限大带电的平行平面金 属板A 和〃相向的两面上电荷面密度大小相等，符号相 反，相背的两面上电荷面密度大小相等，符号相同。

第十章静电场中的导体和电介质§10-1 静电场中的导体一、导体的静电平衡1、金属导体的电结构及静电感应（1）金属导体：由带正电的晶格和带负电的自由电子组成.带电导体：总电量不为零的导体；中性导体：总电量为零的导体；孤立导体：与其他物体距离足够远的导体.“足够远”指其他物体的电荷在该导体上激发的场强小到可以忽略.（2）静电感应过程：导体内电荷分布与电场的空间分布相互影响的过程.（3）静电平衡状态：导体中自由电荷没有定向移动的状态.2、导体静电平衡条件（1）从场强角度看：①导体内任一点，场强；②导体表面上任一点与表面垂直.证明：由于电场线与等势面垂直，所以导体表面附近的电场强度必定与该处表面垂直.说明：①静电平衡与导体的形状和类别无关.②“表面”包括内、外表面；（2）从电势角度也可以把上述结论说成：静电平衡时导体为等势体.①导体内各点电势相等；②导体表面为等势面.证明：在导体上任取两点A，B，.由于=0，所以.（插话：空间电场线的画法.由于静电平衡的导体是等势体，表面是等势面.因此，导体正端发出的电场线绝对不会回到导体的负端.应为正电荷发出的电场线终于无穷远，负电荷发出的电场线始于无穷远.）二、静电平衡时导体上的电荷分布1、导体内无空腔时电荷分布如图所示，导体电荷为Q，在其内作一高斯面S，高斯定理为：导体静电平衡时其内，， 即.S面是任意的，导体内无净电荷存在.结论：静电平衡时，净电荷都分布在导体外表面上.2、导体内有空腔时电荷分布（1）腔内无其它电荷情况如图所示，导体电量为Q，在其内作一高斯面S，高斯定理为：由于静电平衡时，导体内因此，即S内净电荷为0，空腔内无其它电荷，静电平衡时，导体内又无净电荷空腔内表面上的净电荷为0.讨论：在空腔内表面上能否出现符号相反的电荷，等量的正负电荷？我们设想，假如有在这种可能，如图所示，在A点附近出现+q，B点附近出现-q，这样在腔内就分布始于正电荷上终于负电荷的电力线，由此可知，，但静电平衡时，导体为等势体，即，因此，假设不成立.结论：静电平衡时，腔内表面无净电荷分布，净电荷都分布在外表面上，（腔内电势与导体电势相同）.（2）空腔内有点电荷情况如图所示，导体电量为Q，其内腔中有点电荷+q，在导体内作一高斯面S，高斯定理为静电平衡时 ， .又因为此时导体内部无净电荷，而腔内有电荷+q，腔内表面必有感应电荷-q.结论：静电平衡时，腔内表面有感应电荷-q，外表面有感应电荷+q. 3、导体表面附近的电场强度和电荷面密度的关系（1）导体表面上电荷分布设在导体表面上某一面积元（很小）上，电荷分布如图所示 ，过边界作一闭合柱面，S上下底、均与平行，S侧面与垂直，柱面的高很小，即与非常接近，此柱面并且是关于对称的.S作为高斯面，高斯定理为（注意与无限大带电平面的区别）.结论：导体表面附近，.（2）导体表面曲率对电荷分布影响理论证明某些规则形状的孤立导体带电后，在表面上曲率越大的地方场强越强， 必大，所以曲率大的地方电荷面密度大；导体曲率较小处，表面电荷面密度也较小；在表面凹进去的地方(曲率为负)，电荷密度更小.但不是绝对结论.（3）、尖端放电尖端附近场强较大，该处的空气可能被电离成导体而出现尖端放电现象.如图，BC相对AC更容易放电.“电晕”：离子撞击空气分子时，有时能量较小不能使分子电离，但能使分子获得高能量而跃迁到高能级，返回基态时就会发出光子，在尖端出现暗淡的光环.夜晚高压线周围笼罩的绿色光晕.“电风”：金属针接起电机，针尖紧贴蜡烛焰.假设金属针带足量正电荷，针尖附近场强足够大，电离空气分子，吸引负电荷离子，排斥正电荷离子，则正电荷离子吹向蜡烛焰，形成“电风”.4、静电屏蔽（1）空腔内无带电体.由于空腔中的场强处处为零，放在空腔中的物体，就不会受到外电场的影响，所以空心金属球体对于放在它的空腔内的物体有保护作用，使物体不受外电场影响.（2）空腔导体接地.由于空腔外表面电荷因接地而与大地中和，所以腔内物体带电不影响腔外物体.静电屏蔽现象：空腔导体可以保护腔内物体不受腔外电荷和电场的影响，或接地的空腔导体可以保护外部物体不受腔内电荷和电场的影响.应用：如电话线从高压线下经过，为了防止高压线对电话线的影响，在高压线与电话线之间装一金属网等.例10-1：在电荷+q的电场中，放一不带电的金属球，从球心 到点电荷所在距离处的矢径为，试问（1）金属球上净感应电荷？（2）这些感应电荷在球心处产生的场强？解：（1）0（2）球心处场强（静电平衡要求），即+q在处产生的场强与感应电荷在处产生场强的矢量和=0.方向指向+q.（感应电荷在处产生电势=？球电势=？选无穷远处电势=0.）P49.课本例题例10.1；10.2§10-2 电介质的电极化和有介质时的高斯定理一、电介质的电结构1、结构电介质：通常所说的绝缘体，常温下电阻率在108-1018Ω•m范围内.主要特征：它的分子中电子被原子核束缚的很紧，介质内几乎没有自由电子，其导电性能很差.与导体的主要区别：在外电场作用下达静电平衡时，电介质内部的场强不为零.2、电介质分类（2类）（1）无极分子电介质：无外电场时，分子正负电荷中心重合（如等）.其固有电矩为零，对外不显电性.（2）有极分子电介质：即使无外电场时，分子的正负电荷中心也不重合（如：等）.由于分子热运动的无规则性，在物理小体积内的平均电偶极矩仍为零，因而也没有宏观电偶极矩分布(对外不显电性).分子正负电荷中心不重合时相当于一电偶极子.二、电介质的极化1、电极化现象实验表明，将电容器充电后，再去掉电源，然后将某种电介质（如：玻璃，硬橡胶等）插入电容器之间，会发现极板间电压减小了.由知，E减小了.那么E是如何减少的呢？从平板电容场强公式知，E的减小，意味着电介质与极板的近邻处的电荷面密度减小了.但是，极板上的电荷没变，即电荷面密度没变，这种改变只能是电介质上的两个表面出现了如图所示的正、负电荷.电介质在外电场作用下，其表面或体内出现净电荷的现象称为电介质的极化.电极化时电介质表面处出现的净电荷称为极化电荷（属于束缚电荷范畴），称为自由电荷.可见，电荷面密度（自由电荷面密度）-（极化电荷面密度），即减小了.（束缚电荷受到限制，束缚电荷量比自由电荷少的多，故比少的多.）E减小.更直观的解释是，产生的场强与产生的场强相反，所以它的场强为，即减小了，这也可以解释实验结果.2、两类电介质的极化（1）无极分子的位移极化无极分子在没有受到外电场作用时，它的正负电荷的中心是重合的，因而没有电偶极矩，如图a所示，但当外电场存在时，它的正负电荷的中心发生相对位移，形成一个电偶极子，其偶极矩方向沿外电场方向，如图b所示.对一块介质整体来说，由于电介质中每一个分子都成为电偶极子，所以，它们在电介质中排列如图，在电介质内部，相邻电偶极子正负电荷相互靠近，因而对于均匀电介质来说，其内部仍是电中性的，但在和外电场垂直的两个端面上就不同了.由于电偶极子的负端朝向电介质一面，正端朝向另一面，所以电介质的一面出现负电荷，一面出现正电荷，显然这种正负电荷是不能分离的，故为束缚电荷.结论：无极分子的电极化是由于分子的正负电荷的中心在外电场的作用下发生相对位移的结果，这种电极化称为位移电极化.（2）有极分子的取向极化有极分子本身就相当于一个电偶极子，在没有外电场时，由于分子做不规则热运动，这些分子偶极子的排列是杂乱无章的，如图d所示，所以电介质内部呈电中性.当有外电场时，每一个分子都受到一个电力矩作用，如图所示，这个力矩要使分子偶极子转到外电场方向，只是由于分子的热运动，各分子偶极子不能完全转到外电场的方向，只是部分地转到外电场的方向，即所有分子偶极子不是很整齐地沿着外电场方向排列起来，如图f所示.但随着外电场的增强，排列整齐的程度要增大.无论排列整齐的程度如何，在垂直外电场的两个端面上都产生了束缚电荷.结论：有极分子的电极化是由于分子偶极子在外电场的作用下发生转向的结果，故这种电极化称为转向电极化.说明：在静电场中，两种电介质电极化的微观机理显然不同，但是宏观结果即在电介质中出现束缚电荷的效果时确是一样的，故在宏观讨论中不必区分它们.（3）附加电场由于电介质极化后出现极化电荷,介质内空间一点的场强：.:介质外的电荷产生的电场,即外电场;:介质上的极化电荷产生的电场.对均匀电介质,外场为匀强电场时,介质内的与方向严格相反,大小||<||.作用是减小介质内电场的，..（插话：1、对电介质的要求对于均匀电介质，极化电荷只出现在电介质表面；对于不均匀电介质，极化电荷出现在表面和内部.一般考虑均匀电介质.均匀电介质：电介质的物理和化学性质各处一致.比如，密度均匀，力学、热学、光学、电磁效应各处一致.2、极化电荷与自由电荷极化电荷：电介质因极化而出现在电介质表面（或体内）的宏观电荷；自由电荷：在外场作用下可以自由运动的宏观电荷.（1）极化电荷是束缚电荷的宏观表现，是束缚在晶格上的分子中的电子作的微小位移，或者整个分子作微小旋转所引起的.因此，极化电荷的运动范围不能超出分子线度；而自由电荷是由于原子或分子的电离或者金属中自由电子的重新分布引起的，它的活动范围可以是整个物体或物体之间；（2）极化电荷不能转移，自由电荷可以转移；可略（3）极化电荷可以吸附导体中自由电荷，但不能被中和掉，而自由电荷可以被中和.3、静电场中的电介质与静电场中的导体（1）它们都会因受电场的作用而出现宏观电荷；这些电荷反过来又会影响电场，这种影响都削弱了原电场；（比较微观本质的不同）（2）都会达到稳定状态——电介质的稳定极化状态和导体的静电平衡状态.（比较微观本质的不同）导体处于静电平衡状态时，表面的感应电荷在导体内产生的感应电场能把外电场完全抵消，导体内场强处处为零；而电介质被极化后，表面出现的极化电荷在介质内产生的电场不能完全抵消外电场，介质内存在电场.）3、电偶极子在外场受到的力和力矩均匀外场下，电偶极子所受总静电力：；总力矩： （10.3）虽然=0，但不为0. 的效果将使电偶极矩旋转到与外电场方向一致，使趋于0，形成稳定状态.三、电极化强度、极化电荷与极化强度的关系1、定义.电极化强度矢量定义为（10.4）即电极化强度矢量是单位体积内分子电矩的矢量和.当外电场越强时，极化现象越显著，单位体积内的分子电矩矢量和就越大，极化强度就越大.反之，外电场越弱，极化现象不显著，单位体积内的分子电矩矢量和就越小.可见，电极化强度矢量可以用来描述电介质的极化程度.上式给出的极化强度是点的函数，一般来说，介质中不同点的电极化强度矢量不同.但对于均匀的无极分子电介质处在均匀的外电场中，，其中n是分子数密度（单位体积的分子数），p是极化后电介质每个分子的电矩矢量.在国际单位制中，电极化强度矢量的单位为库仑/米2(C/m2).2、电极化强度与束缚电荷的关系由于束缚电荷是电介质极化的结果，所以束缚电荷与电极化强度之间一定存在某种定量关系.为方便讨论，现以无极分子电介质为例来讨论，考虑电介质内某一小面元dS，设其电场E的方向(因而P的方向)与dS的法线方向成θ角(如图6.7所示)，由于E的作用，分子的正负电荷中心将沿电场方向拉开距离l.为简化分析，假定负电荷不动，而正电荷沿E 的方向发生位移l.在面元dS后侧取一斜高为l，底面积为dS的体元dV.由于电场E的作用，此体元内所有分子的正电荷中心将穿过dS面到前侧去.以q表示每个分子的正电荷量，则由于电极化而越过dS面元的总电荷为（1）介质表面处dS是电介质的表面，由于电介质极化(10.5)是其外法向单位矢.讨论：（2）封闭曲面处由于极化穿过有限面积S的电荷为，若dS是封闭曲面，则穿过整个封闭曲面的电荷为.因为电介质是电中性的，据电荷守恒定律，则得由电介质极化而在封闭面内净余的束缚电荷为(10.6)（10.6）可称为“极化强度的高斯定理”.从闭合面内向外的极化强度的通量，等于从闭合面内移出去的极化电荷的量.结论：式(10.5)和式(10.6)就是由于介质极化而产生的束缚电荷与电极化强度的关系.从(10.6)可以看出，在均匀外电场中，均匀电介质内部的任何体元内都不会有净余束缚电荷，束缚电荷只能出现在均匀电介质的表面，即：.对非均匀电介质，电介质内部也有束缚电荷分布.四、电极化强度与场强的关系电介质的极化状态通过极化强度来描述，由于电介质的极化是电场对电介质作用的结果，因此，电介质内任意一点的极化强度应由该点总电场（）决定.与的关系与电介质的性质有关，对各向同性电介质：. （10.7）：各向同性均匀电介质的电极化率.电场不太强时，由电介质性质决定，是无量纲量.该式是一个经验定律.课程中讨论的都是各向同性的均匀电介质.五、有介质时的高斯定理1、有介质时的高斯定理（1）定理推导根据真空中的高斯定理，通过闭合曲面S的电场强度通量为所给面包围的电荷除以，即此处， 应理解为闭合面内一切正、负电荷的代数和，在无电介质存在时，；在有介质存在时，S内既有自由电荷，又有极化电荷，应是S内一切自由电荷与极化电荷的代数和，即、分别表示自由电荷和极化电荷.由于难以测量和计算，应消除.根据.上式变换为令.得（2）定理形式（10.8）其中，称为电位移矢量.利用经验规律（10.9）其中，称为相对介电常数,称为绝对介电常数(也叫电容率).（10.9）式称为各向同性经验电介质的性能方程.（10.8）式称为“高斯定理的普遍形式”——“有介质时的高斯定理”.表明通过任意曲面的电位移通量，等于该封闭曲面内包围的自由电荷的代数和.说明：（1）上式为电介质中的高斯定理，是高斯定理的普遍形式.（2）是辅助量，无真正的物理意义，是为了回避难以量化的极化电荷而引入的辅助量.算出后，可求.（3）如同引进电力线一样，为描述方便，可引进电位移线，并规定电位移线的切线方向即为的方向，电位移线的密度（通过与电位移线垂直的单位面积上的电位移线条数）等于该处的大小.所以，通过任一曲面上电位移线条数为，称此为通过S的电位移通量；对闭合曲面，此通量为.（4）根据，以平行板电容器产生的线、线和线说明其区别.①电位移线总是始于正的自由电荷，止于负的自由电荷，与极化电荷无关.因而线在电介质和真空中一致；②电力线是可始于一切正电荷和止于一切负电荷（包括自由电荷与极化电荷）.真空中，线与线一致，而在极化电荷内部，由于与反向，减弱了，如图.③电极化强度线起于极化负电荷，终于极化正电荷，只存在于极化电介质内，真空中=0，电介质内，.2、定理的应用例10-2：平行板电容器，板间有二种各向同性的均匀介质，分界面平行板面，介电常数分别为、，厚度为、，自由电荷面密度为.求（1）、=？（2）电容C=？解：（1） 设二种介质中电位移矢量分别为、，在左极板处做高斯面S，一对面平行板面，面积均为A，侧面垂直板面，由高斯定理有其中，左底面=0，侧面上.又，，即 ，方向垂直板面向右.同样在右极板处做高斯面，一对面平行极板面，面积均为，侧面与板面垂直，由高斯定理有：，即，方向向右.可见，，即两种介质中法向不变.方向向右.（2）例10-3：在半径为R的金属球外，有一外半径为的同心均匀电介质层，其相对介电常数为，金属球电量为Q，试求：（1）场强空间分布；（2）电势空间分布.解：（1）由题意知，均是球对称的，取球形高斯面S，由有Q>0：沿半径向外；Q<0：沿半径向内.（2）介质外任一点P电势介质内任一点Q电势球为等势体，电势为例10-4：有一个带电为+q半径为的导体球，与内外半径分别为、 带电量为-q的导体球壳同心，二者之间有两层均匀电介质，内层和外层电介质的介电常数分别为、，且二电介质分界面也是与导体球同心的半径为的球面.试求：（1）电位移矢量分布；（2）场强分布；（3）导体球与导体空间电势差；（4）导体球壳构成电容器的电容.解：（1）由题意知，场是球对称的，选球形高斯面S， 由有得 ，沿半径向外.（2）与同向，即沿半径向外.（3）（4）根据自由电荷分布利用高斯定理求解，和前面一样，必须满足对称性：第一，自由电荷的分布和电介质的分布同时满足三种对称性之一，即平面对称、轴对称、球对称，概括为“电介质的表面为等势面”；第二，电介质充满整个电场.在满足上述对称性后，可以利用高斯定理唯一地求解电场问题，此时电位移矢量与极化电荷无关.§10-3 电容 电容器一、孤立导体的电容在真空中设有一半径为R的孤立的球形导体，它的电量为q，那么它的电势为（取无限远处电势=0）对于给定的导体球，即R一定，当变大时，V也变大；变小时，V也变小，但是却不变.此结论虽然是对球形孤立导体而言的，但对一定形状的其它导体也是如此，仅与导体大小和形状等有关，因而有下面定义.定义：孤立导体的电量q与其电势V之比称为孤立导体电容，用C表示，记作：（10.11）对于孤立导体球，其电容为.C的单位为：F（法），1F=1C/1V.在实用中F太大，常用或，他们之间换算关系：.（电容与电量的存在与否无关）二、电容器及其电容实际上，孤立的导体是不存在的，周围总会有别的导体.当有其它导体存在时，则必然因静电感应而改变原来的电场分布，进而影响导体电容.下面我们具体讨论电容器的电容.1、电容器：两个带有等值而异号电荷的导体所组成的带电系统称为电容器.电容器可以储存电荷，也可以储存能量.2、电容器电容：如图所示，两个导体A、B放在真空中，它们所带的电量分别为+q，-q，如果A、B电势分别为、，那么A、B电势差为，电容器的电容定义为：（10.12）由上可知，如将B移至无限远处，=0.所以，上式就是孤立导体的电容.所以，孤立导体的电势相当于孤立导体与无限远处导体之间的电势差.所以，孤立导体电容是B放在无限远处时的特例.导体A、B常称电容器的两个电极.3、电容器电容的计算①极间分别带有+Q,-Q电量，利用高斯定理，计算极间电场强度分布；②根据电场去分布，求出极间电势差；③将极板电量和极间电势差代入电容器电容定义式，计算出电容.（1）、平行板电容器的电容设A、B二极板平行，面积均为S，相距为d，电量为+q，-q，极板线度比d大得多，且不计边缘效应.所以A、B间为均匀电场.板间充满电介质，介电常数为ε.由高斯定理知，A、B间场强大小为.则 （10.13）为该电容器极板间真空时的电容值.（2）、球形电容器设二均匀带电同心球面A、B，半径、，电荷为+q，-q. 板间充满电介质，介电常数为ε.A、B间任一点场强大小为：，.为该电容器极板间真空时的电容值.讨论：①当时，有，令，为平行板电容器电容.②当为孤立球形电容器电容.A为导体球或A、B均为导体球壳结果如何？（3）、圆柱形电容器圆柱形电容器是两个同轴柱面极板构成的，如图所示，设A、B半径为、，电荷为+q，-q，板间充满电介质，介电常数为ε.除边缘外，电荷均匀分布在内外两圆柱面上，单位长柱面带电量，是柱高.由高斯定理知，A、B内任一点P处的大小为则 （10.15）（可知：在计算电容器时主要是计算两极间的电势差）.（插话：4、电介质对电容器电容的影响以上所得电容是极间为真空情况，若极间充满电介质（不导电的物质），实际表明，此时电容C要比真空情况电容大，可表示，或.与介质有关，称为相对介电系数 .以上各情况若充满电介质（极间），有：球形： ；平板：；柱形：.称为介质的介电常数.（））下面以平行板电容器为例求：（1）电介质中场强 E由电容器定义，有（无介质） 为电压，为电量.（有介质） 为电压，为电量.（2）极化电荷面密度介质内电场：.即： （极化电荷面密度）三、电容器的串联与并联在实际应用中，现成的电容器不一定能适合实际的要求，如电容大小不合适，或者电容器的耐压程度不合要求有可能被击穿等原因.因此有必要根据需要把若干电容器适当地连接起来.若干个电容器连接成电容器的组合，各种组合所容的电量和两端电压之比，称为该电容器组合的等值电容.1、 串联：几个电容器的极板首尾相接（特点：各电容的电量相同）.设A、B间的电压为，两端极板电荷分别为+q，-q，由于静电感应，其它极板电量情况如图，.由电容定义有（10.16a）2、并联：每个电容器的一端接在一起，另一端也接在一起.（特点：每个电容器两端的电压相同，均为，但每个电容器上电量不一定相等）等效电量为：，由电容定义有：(10.16b）例10-5：平行板电容器，极板宽、长分别为a和b，间距为d，今将厚度t，宽为a的金属板平行电容器极板插入电容器中，不计边缘效应，求电容与金属板插入深度x的关系（板宽方向垂直底面）.解：由题意知，等效电容如左下图所示，电容为：说明：C大小与金属板插入位置（距极板距离）无关；注意：（1）掌握串并联公式；（2）掌握平行板电容器电容公式.例8-3：半径为a的二平行长直导线相距为d（d>>a），二者电荷线密度为，，试求（1）二导线间电势差；（2）此导线组单位长度的电容.解：（1）如图所取坐标，P点场强大小为：（2）注意：（1）公式.（2）此题的积分限，即明确导体静电平衡的条件.§10.4 电场的能量一、电容器储存的静电能一个电中性的物体，周围没有电场，当把电中性物体的正、负电荷分开时，外力作了功，这时该物体周围建立了电场.所以，通过外力做功可以把其它形式能量转变为电能，贮藏在电场中.。

§2 静电场中的导体和电介质§2－1 静电场中的导体1. 导体的静电平衡条件当电荷静止不动时，电场散布不随转变，该体系就达到了静电平衡。

在导体中存在自由电荷，它们在电场的作用下可以移动，从而改变电荷的散布……导体内自由电荷无宏观运动的状态。

导体的静电平衡的必要条件是其体内图2－1导体的静电平衡场强处处为零。

从静电平衡的条件动身可以取得以下几点推论：推论1）导体是等位体，导体表面是等位面：2）导体表面周围的场强处处与它的表面垂直：因为电力线处处与等位面正交，所以导体外的场强必与它的表面垂直。

（注意：本章所用的方式与第一章不同，而是假定这种平衡以达图2－2导体对等位面的控制作用到，以平衡条件动身结合静电场的普遍规律分析问题。

）2．电荷散布1) 体内无电荷，电荷只散布在导体的表面上:当带电导体处于静电平衡时，导体内部不存在净电荷（即电荷的体密度）电荷仅散布在导体的表面。

可以用高斯定理来证明：设导体内有净电荷，则可在导体内部作一闭合的曲面，将包围起来，依静电条件知S面上处处, 即由高斯定理必有q=02） 面电荷密度与场强的关系:当导体静电平衡时，导体表面周围空间的 与该处导体表面的面电荷密度 有如下关系：论证： 在电荷面密度为 的点取面元设 点为导体表面之外周围空间的点，面元。

充分小，可以为 上的面电荷密度 是均匀的，以为横截面作扁圆柱形高斯面（S ）,上底面过P 点，把电荷q= 包围起来. 通太高斯面的电通量是：3） 表面曲率的影响、尖端放电导体电荷如何散布，定量分析研究较复杂，这不仅与这个导体的形状有关，还和它周围有何种带电体有关。

对孤立导体，电荷的散布有以下定性的规律：图2－3导体表面场强与电荷面密度曲率较大的地方（凸出而尖锐处），电荷密度e 较大；曲率较小的地方（较平坦处）电荷密度e 较小；曲率为负的地方（凹进去向）电荷密度e 更小。

1） 端放电的利和弊3 导体壳（腔内无带电体情况）大体性质：当导体壳内无带电体时，在静电平衡当导体壳内无 带电体时，在静电平衡下：导体壳内表面上处处无电荷，电荷仅散布在外 表面；空腔内无带电场，空腔内电位处处相等。

静电场中的导体与电介质一章习题解答习题8—1 A 、B 为两个导体大平板，面积均为S ，平行放置，如图所示。

A 板带电+Q 1，B 板带电＋Q 2，如果使B 板接地，则AB 间电场强度的大小E 为：［ ］ (A)S Q 012ε (B) SQ Q 0212ε- (C) SQ 01ε (D) S Q Q 0212ε+解：B 板接地后，A 、B 两板外侧均无电荷，两板内侧带等值异号电荷，数值分别为+Q 1和-Q 1，这时AB 间的场应是两板内侧面产生场的叠加，即SQS Q S Q E 01010122εεε=+=板间 所以，应该选择答案(C)。

习题8—2 C 1和C 2两个电容器，其上分别标明200pF(电容量)，500V(耐压值)和300pF ，900V 。

把它们串联起来在两端加上1000V 的电压，则［ ］(A) C 1被击穿，C 2不被击穿 (B) C 2被击穿，C 1不被击穿 (C) 两者都被击穿 (D) 两者都不被击穿 答：两个电容器串联起来，它们各自承受的电压与它们的电容量成反比，设C 1承受的电压为V 1，C 2承受的电压为V 2，则有231221==C V V ①100021=+V V ②联立①、②可得V 6001=V ， V 4002=V可见，C 1承受的电压600V 已经超过其耐压值500V ，因此，C 1先被击穿，继而1000V 电压全部加在C 2上，也超过了其耐压值900V ，紧接着C 2也被击穿。

所以，应该选择答案(C)。

习题8—3 三个电容器联接如图。

已知电容C 1=C 2=C 3，而C 1、C 2、C 3的耐压值分别为100V 、200V 、300V 。

则此电容器组的耐压值为［ ］(A) 500V (B) 400V (C) 300V (D) 150V (E) 600V解：设此电容器组的两端所加的电压为u ，并且用C 1∥C 2表示C 1、C 2两电容器的并联组合，这时该电容器组就成为C 1∥C 2与C 3的串联。

第十一章 静电场中的导体和电介质习题参考答案三、计算题1．答案：（1）330V ，270V ； （2）270V ，270V ； （3）60V ， 0V ； （4） 0V ，180V 。

解：本题可用电势叠加法求解，即根据均匀带电球面内任一点电势等于球面上电势，均匀带电球面外任一点电势等于将电荷集中于球心的点电荷在该点产生的电势。

首先求出导体球表面和同心导体球壳内外表面的电荷分布。

然后根据电荷分布和上述结论由电势叠加原理求得两球的电势。

若两球用导线连接，则电荷将全部分布于外球壳的外表面，再求得其电势。

（1） 据题意，静电平衡时导体球带电101.010C q -=⨯，则 导体球壳内表面带电为101.010C q --=-⨯； 导体球壳外表面带电为101210C q Q -+=⨯， 所以，导体球电势U 1和导体球壳电势U 2分别为101231330V 4q q q Q U R R R πε⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭203331270V 4q q q Q U R R R πε⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭（2）两球用导线相连后，导体球表面和同心导体球壳内表面的电荷中和，电荷全部分布于球壳外表面，两球成等势体，其电势为12031270V 4q QU U U R πε+'====（3）若外球接地，则球壳外表面的电荷消失，且02=U1012160V 4q q U R R πε⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（4）若内球接地，设其表面电荷为q '，而球壳内表面将出现q '-，球壳外表面的电荷为Q q '+．这些电荷在球心处产生的电势应等于零，即10123104q q q Q U R R R πε⎛⎫'''+=-+= ⎪⎝⎭解得10310C q -'=-⨯，则 203331180V 4q q q Q U R R R πε⎛⎫'''+=-+= ⎪⎝⎭2．解：(1) dSC r 2101εε=dSC r 2202εε=, 则)(221021r r dSC C C εεε+=+=（2）2/101d SC r εε=2/202d SC r εε=, 则 )(21112121021r r r r d S C C C εεεεε+=+=3．答案：（1）2倍； （2）21rrεε+倍。