提公因式法(2)[下学期] 北师大版

北师大版数学八年级下册4.2《提公因式法》说课稿2一. 教材分析《提公因式法》是北师大版数学八年级下册第4.2节的内容。

这一节主要介绍提公因式法的方法和应用。

在此之前，学生已经学习了因式分解的基本概念和常用的提公因式法，本节内容是对这些知识的进一步拓展和深化。

本节内容的学习，不仅有助于提高学生解决复杂代数问题的能力，而且对于培养学生的逻辑思维和运算能力也有重要作用。

二. 学情分析根据我对学生的了解，他们在学习了因式分解的基本概念和常用的提公因式法之后，对于提公因式法的方法和应用已经有了一定的了解。

但是，他们在实际应用中，往往会因为对公因式的确定不够准确，导致提公因式法的应用出现错误。

因此，在教学过程中，我需要引导学生准确确定公因式，提高他们的应用能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握提公因式法的方法和应用。

2.过程与方法目标：通过自主学习和合作交流，提高学生解决复杂代数问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的逻辑思维和运算能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：提公因式法的方法和应用。

2.教学难点：准确确定公因式，以及在实际应用中灵活运用提公因式法。

五.说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，引导学生自主学习和合作交流。

2.教学手段：利用多媒体课件，帮助学生直观理解提公因式法的过程。

六.说教学过程1.导入新课：通过一个具体的代数问题，引发学生对提公因式法的思考，激发学生的学习兴趣。

2.自主学习：学生自主探究提公因式法的方法和步骤，理解其应用。

3.合作交流：学生分组讨论，分享各自的解题方法和心得，互相学习和借鉴。

4.教师讲解：针对学生自主学习和合作交流中出现的问题，教师进行讲解和指导。

5.巩固练习：学生进行有关的练习题，巩固所学知识。

6.课堂小结：学生总结本节课的学习内容，教师进行点评和补充。

七.说板书设计板书设计要简洁明了，突出提公因式法的方法和应用。

4.2提公因式法教学目标【知识与技能】1.了解公因式的意义,能够确定多项式中各项的公因式;2.了解因式分解的提公因式法,能够用提公因式法对多项式进行因式分解.【过程与方法】经历对多项式各项的公因式的意义和因式分解的提公因式法的探究过程.对公因式是多项式的情况,能够用整体思想因式分解.【情感、态度与价值观】养成独立思考的习惯,培养合作交流的意识,在因式分解过程中感受因式分解在简化计算中所起到的作用.教学重难点【教学重点】用提公因式法因式分解.【教学难点】能观察出公因式是多项式的情况,并能合理地进行分解因式.教学过程一、情境导入问题:一块场地由三个矩形组成,这些矩形的长分别为43,32,74,宽都是12,求这块场地的面积.解法一:S=12×43+12×32+12×74=23+34+78=5524;解法二:S=12×43+12×32+12×74=12×(43+32+74)=12×5512=5524.观察上面的解题过程,你发现哪种方法更简便?二、合作探究探究点1公因式典例1多项式6ab2c-3a2bc+12a2b2中各项的公因式是()A.abcB.3a2b2C.3a2b2cD.3ab[解析]系数的最大公约数是3,相同字母的最低指数次幂是ab,所以公因式为3ab.[答案]D多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式.确定多项式中各项的公因式,可概括为三“定”:(1)定系数,即确定各项系数的最大公约数;(2)定字母,即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式);(3)定指数,即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂.探究点2用提公因式法进行因式分解典例2因式分解:(1)4a2+6ab+2a;(2)-5x 3+10x 2-15x ;(3)14a 3b 2-2a 2b 3. [解析] (1)原式=2a ·2a +2a ·3b +2a ·1=2a (2a +3b +1).(2)原式=-5x ·x 2+(-5x )·(-2x )+(-5x )·3=-5x (x 2-2x +3).(3)原式=14(a 3b 2-8a 2b 3)=14a 2b 2(a -8b ).提公因式法的基本步骤:(1)找出公因式;(2)把多项式各项写成公因式与另一项乘积的形式;(3)提公因式并确定另一因式.探究点3 提取多项式公因式进行因式分解典例3 下列因式分解正确的是 ( )A.mn (m -n )-m (n -m )=-m (n -m )(n +1)B.6(p +q )2-2(p +q )=2(p +q )(3p +q -1)C.3(y -x )2+2(x -y )=(y -x )(3y -3x +2)D.3x (x +y )-(x +y )2=(x +y )(2x +y )[解析] mn (m -n )-m (n -m )=-m (n -m )(n +1),A 项正确;6(p +q )2-2(p +q )=2(p +q )(3p +3q -1),B 项错误;3(y -x )2+2(x -y )=(y -x )(3y -3x -2),C 项错误;3x (x +y )-(x +y )2=(x +y )(2x -y ),D 项错误.[答案] A【误区警示】当公因式是形如(a -b )n 或(b -a )n 时,要注意幂指数n 的奇偶性:当n 为偶数时,(a -b )n =(b -a )n ;当n 为奇数时,(a -b )n =-(b -a )n .因此,在确定公因式的时候,“互为相反数的因式”是可以变为“相同的因式”的,这样就可以作为公因式,利用提公因式法因式分解.三、板书设计提公因式法{ 公因式{系数的最大公约数相同字母的最低次幂提公因式法的步骤{①确定公因式②提取公因式③确定另一个因式提取多项式公因式进行因式分解教学反思本节运用类比的数学方法,使学生易于理解和掌握.如学生在接受提取公因式法时,由提公因数到找公因式,由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念,都是利用了类比的数学思想,从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然,容易理解.。

2 提公因式法》教案第 1 课时教学目标1、经历探索多项式因式分解方法的过程，并在具体问题中，能确定多项式各项的公因式.2、会用提公因式法把多项式分解因式(多项式中的字母指数仅限于正整数的情况) .教学重难点教学重点：用提公因式法把多项式分解因式. 教学难点：探索多项式因式分解方法的过程.教学过程一、创设情景，导出问题张老师准备给航天建模竞赛中获奖的同学颁发奖品，他来到文具商店，经过选择决定买单价16元的钢笔10支，5元一本的笔记本10 本，4元一瓶的墨水10 瓶，由于购买物品较多，商品售货员决定以9 折出售，问共需多少钱？(让学生独立完成，然后选取两种比较多用的方法展示) 关于这一问题两位同学给出了各自的做法：方法一：16X10X90%+5< 10X90%+4< 10刈0%=144+45+36=225 (元)方法二：16X10X90%+< 10X90%+4< 10<90%=1< 90% (16+5+4) =225 (元) 请问：两位同学计算的方法哪一位更好？为什么？答案：第二位同学(第二种方法)更好，因为第二种方法将因数10 <90%放在括号外，只进行过一次计算，很明显减小计算量.二、探索交流，概括概念1 、议一议：( 1 )多项式ab+bc 各项都含有相同的因式吗？多项式3x2+ x 呢？多项式mb2+nb-b 呢？( 2)将上面的多项式分别写成几个因式的乘积，说明你的理由，并与同位交流. 2、讨论概括：(1)多项式ab+bc各项都含有相同的因式b，我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式，如b就是多项式ab+bc的公因式.同样，多项式3X2+X各项都含有相同的公因式x,多项mb2+ nb-b各项都含有相同的公因式b.(2)如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.三、巩固应用,拓展研究例：将下列各式分解因式：2 3 2 3 3 2(1) 3x+6；(2)7x -21x ；(3)8a b -12ab c+abc ；(4) -24x -12x +28x.2 答案：(1) 3x+6=3x+3 X2=3 (x+2 ); (2) 7x-21x=7xx-7x 3=7x (x -3);3 2 3 2 2 2 2(3) 8a b - 12ab c+abc=ab -8a b -ab -12b c+ab c=ab (8a b - 12b c+c );3 23 2 2 2(4) -24x 3-12x 2+28= -( 24x 3+12x 2-28) =-(4x?6x 2+4x?3x -4x?7) =-4x (6x 2+3x -7)想一想：提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？(进一步体会分解因式与整式乘法的互逆关系)四、练习巩固，促进迁移 1 、写出下列多项式的公因式：( 1 ) ma+mb ( 2) 4kx-8ky ( 3) 5y 3+20y 2 ( 4) a 2b-2ab 2+ab2、把下列各式分解因式：( 1 ) 3x 2-6xy+x ( 2) -4m 3 + 1 6m 2-26m3、利用分解因式计算：(1) 33X0.48+85X 0. 48-18 >0.48(2) 7. 18X2. 25+28. 5X). 225-2. 03X2. 25五、回顾联系，形成结构想一想：这节课我们学了写什么？ (通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完 善学生的认知结构，加深对所学知识的理解 . )第 2 课时教学目标1 、会用提公因式法把多项式分解因式(多项式中的字母指数仅限于正整数的情况)2、进一步了解分解因式的意义，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法教学重难点重点：用提公因式法把多项式分解因式. 难点：掌握多项式因式分解方法的过程 .教学过程一、课前热身，复习回顾 想一想：什么是公因式？怎样提取公因式？ 做一做：1 、下列用提取公因式法分解因式正确的是(3 2 2 A 、a +2a +a=a ( a +2a )C 、6( x-2)+x ( 2-x )=(x-2)( x+6)2、 ( -3)2005+ ( -3)2004等于 _________ . 通过提问和几个练习使学生回忆上节课的内容，为本节课的学习作好准备、应用拓展，深化研究 把下列各式分解因式：(1)a (x-3)+2b (x-3)；(2)5(x-y )3+10(y-x )2.) 2 2 2 B 、-x y+4x y -7xy=-xy ( x-4xy+7) 2 D 、a ( a-b ) +ab (a-b )=( a+ab )( a-b ).)答案：(1) a (x-3) +2b (x-3) = (x-3) (a+2b);3 2 3 2 3 2 2(2)5(x-y) 3+10(y-x) 2=5(x-y) 3+10[-(x-y) ]2=5(x-y) 3+10(x-y) 2=5(x-y) 2(x-y+2) (此题是上节课的延伸，公因式由前节课的单项式过渡到多项式，难度逐渐提高，符合学生的认知规律. )第(1)小题在教学时引导学生把(x-3)看作一个整体，从而解决公因式是多项式的情况；第( 2)小题是在第( 1 )小题的基础上，进一步解决符号问题，教学时要引导学生正确理解(x-y )与(y-x)，(x- y) 2与(y-x) 2的关系.三、巩固应用，拓展研究1 、把下列各式分解因式：( 1 ) 3x2-6xy+x ( 2) -4m3+16m2-26m答案：(1) 3x2-6xy+x=x (3x-6y+1 ) ( 2) -4m3+16m2-26m=-2m(2m2-8m+13)2、把下列各式分解因式：(1) 4q(1-p) 3+2(p-1) 2( 2) 3m( x-y) -n( y-x)( 3) m( 5ax+ay-1 ) -m( 3ax-ay-1 )答案：(1) 4q(1-p) 3+2(p-1) 2=2(1-p) 2(2q-2pq+1 )(2)3m( x-y) -n( y-x) =( x-y)(3m+n )(3)m(5ax+ay-1 ) -m(3ax-ay-1 ) =2am(x+y)3、计算：(1)已知a+b=13，ab=40，求a2b+ab2的值•(2)1998+1998 2-19992.答案：(1) a b+ab =ab (a+b ),当a+b=13 时，原式=40 X13=52O.(2) 1998+1998 2- 1 999 2= - 1 999 .四、回顾联系，形成结构想一想：这节课我们学了写什么？(通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解. )。

2.2 提公因式法（2）课型：新授 学生姓名：_________[目标导航]1.学习目标（1）经历探索多项式各项公因式的过程，并在具体问题中，能确定多项式各项的公因式。

（2）会用提公因式法把多项式分解因式。

（3）进一步了解分解因式的意义，加强直觉思维并渗透化归的思想方法。

2.学习重点：会用提公因式法把多项式因式分解。

3.学习难点：在具体问题中能确定多项式各项的公因式。

[课前导学]1.课前预习：阅读课本P50—P51并完成课前检测。

2.课前检测(1) 多项式ma+mb+mc 中，它的各项含有相同的因式 ，可以把公因式 提到括号外面，将多项式ma+mb+mc 写成因式 与 乘积形式，这种分解因式的方法叫 .(2) 22912y x xyz -的公因式是 ；=-+xy xy y x 22______________________；(3) ①-2x+y=_____(2x-y)； ②-x-y+z=____(x+y-z)； ③(4a-3b)2=____(3b-4a)2；④(m-n)3= _____(n-m)3； ⑤(a-b)(c-a)= (a-b)(a-c)；⑥(3-x)(4-y)= (x-3)(y-4)；3.课前学记（课前学习疑难点、教学要求建议）[课堂研讨]1.新知探究(1)新课引入：把下列各式因式分解：① am+an ② a 2b –5ab③ m 2n+mn 2–mn ④ –2x 2y+4xy 2–2xy(2)新课讲解①例2 把)3(2)3(-+-x b x a分解因式②做一做：请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”号，使得等式成立：)2_________(2-=-a a ； )_________(y x x y -=-)_________(b a a b +=+； 22)_________()(b a a b -=-)_________(n m n m +=--； )_________(2222t s t s -=+-③归纳：注意事项： _______________________________________________________________；__________________________________________________________________________；__________________________________________________________________________；（1） 首先注意分清前后两个多项式的底数部分是相等关系还是互为相反数的关系（2）当前后两个多项式的底数相等时，则只要在第二个式子前添上“+”；（3）当前后两个多项式的底数部分是互为相反数时，如果指数是奇数，则在第二个式子前添上“–”；如果指数是偶数，则在第二个式子前添上“+”．④例题讲解：例3把下列各式分解因式：)()(x y b y x a -+- 23)(12)(6m n n m ---2.学习过关（1）填一填：① 3+a = （a+3） ② 1–x = （x –1）③ （m –n ）2= （n –m ）2 ④ –m 2+2n 2= （m 2–2n 2）（2）、把下列各式因式分解：① x （a+b ）+y （a+b ） ② 3a （x –y ）–（x –y ）③ 6（p+q ）2–12（q+p ） ④ a （m –2）+b （2–m ）⑤ 2（y –x ）2+3（x –y ） ⑥ mn （m –n ）–m （n –m ）2（3）分解因式：①(a ＋b －c )(a －b ＋c )＋(b －a ＋c )·(b －a －c )② a a b a b a ab b a ()()()-+---32222（4） 设x 为整数，试判断1052+++x x x ()是质数还是合数，请说明理由．[课外拓展]1.课后记（收获、体会、困惑）2.分层作业（班级：_____________，学生姓名：____________）A 必做题（限时10分钟，实际完成时间：_______分钟）（1）把下列各式分解因式①)1()1(7---a x a ②)(6)(32a b b a -+- ③)()(22n m n m ---④22)()(x y y y x x --- ⑤)()(2222b a n b a m +++ ⑥23)(12)(18a b b b a ---⑦)2(3)32)(2(b a a b a b a +--+ ⑧2)())((y x x y x y x x +--+（2） 先分解因式，在计算求值：①)2(3)2(4---m x m x ，其中6,5.1==m x②)2(6)2(2a a ---,其中2-=aB 选做题（1）某大学有三块草坪，第一块草坪的面积为2)(b a +2m ，第二块草坪的面积为)(b a a +2m ，第三块草坪的面积为)(b a b +2m ，求这三块草坪的总面积．（2）不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值．C 思考题（1）计算：200020012001200120002000⨯-⨯．（2）已知：x bx c 2++（b 、c 为整数）是x x 42625++及3428542x x x +++的公因式，求b 、c 的值。

第二章分解因式2、提公因式法（二）主备：黄薇薇副备：袁常军周玉贤审核：王远哲【学习目标】1、把多项式经过变形后，能确定多项式各项的公因式；2、会用提取公因式法进行因式分解．【学习重点】会用提公因式法把多项式分解因式【学习难点】把多项式经过变形后准确找出多项式的公因式并分解因式【课前热身】1、如果一个多项式的含有，那么就可以把这个提出来，从而将多项式化成的形式．这种分解因式的方法叫做提公因式法。

2、把下列各式因式分解：（1）am+an = （2）a2b–5ab =（3）m2n+mn2–mn = （4）–2x2y+4xy2–2xy=4、在下列各式等号右边的括号前插入“+”或“–”号，使等式成立：（1）2–a= （a–2）（2）y–x= （x–y）（3）b+a= （a+b）（4）（b–a）2= （a–b）2（5）–m–n= （m+n）（6）–s2+t2= （s2–t2）【自学提示】将下列各式因式分解：（1）a(x-3)+2b(x-3) （提示应该把x-3当成一个整体）（2）a（x–y）+b（y–x）（提示应该先把y–x变为x–y）（3）3（m–n）3–6（n–m）2（公因式不要漏系数）注意事项：（1）首先注意分清多项式的底数部分是相等关系还是互为相反数的关系, 如果是互为相反数，应化成相同的；互化的时候注意符号。

（2）公因式有可能是单项式，也有可能是多项式（3）注意找公因式的顺序，公因式一定要找全【必做题】教材51页第一题【课堂小结】提公因式的步骤：（1）（2）注意：【自我检测】1、填一填：（1）3+a= （a+3）（2）1–x= （x–1）（3）（m–n）2= （n–m）2（4）–m2+2n2= （m2–2n2）（5）(x-y) 3=_____(y-x) 32、把下列各式因式分解：（1）x（a+b）+y（a+b）（2）3a（x–y）–6（x–y）（3）6（p+q）2–12（q+p）（4）4a（m–2）+6b（2–m）（5）x（y–x）2+3xy（x–y）【选作提高】分解因式：(1)2x(x-y)3-4xy(y-x)2（2）（-2）2011+（-2）2012（2）若x2+x+1=0,求1+x+ x2+ x3+……+ x2005+ x2006的值【布置作业】52页知识技能1、2。

第四章因式分解2.提公因式法（二）总体说明本节是因式分解的第2小节，占两个课时，这是第二课时，它主要让学生经历提取公因式从简单到复杂的过程，进一步培养学生的观察能力，体会数学的类比推理能力，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系.一、学生知识状况分析学生的技能基础：上一节课，学生学习了提取单项式公因式的基本方法，在这个基础上，学生基本上了解了提公因式法的基本步骤和方法，这为今天的深入学习提供了必要的基础.学生活动经验基础：学生有了上一节课的活动基础，由于本节课采用的活动方法与上节课很相似，依然是观察、对比等，学生对于这些活动方法较熟悉，有较好的活动经验.二、教学任务分析学生在初步感知提取公因式的魅力之后，并对数学的逆向思维能力和类比思想有了简单的认识，本课时让学生体会如何将这些简单的知识和能力进一步升华，使学生逐步从提取的单项式公因式过渡到提取的多项式公因式，三、教学目标1. 经历探索多项式因式分解方法的过程，并在具体问题中，能确定多项式各项的公因式。

2. 会用提公因式法把多项式分解因式（多项式中的字母指数仅限于正整数的情况）。

3. 进一步了解分解因式的意义，加强学生的直觉思维并渗透类比、化归的思想方法。

四、教学重难点教学重点：用提公因式法把多项式分解因式教学难点：探索多项式因式分解方法的过程五、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：回顾与思考一一例题讲解一一练一练，做一做一一例题讲解一一反馈练习一一问题解决一一小结思考.第一环节回顾与思考：复习提公因式法注意事项及提公因式法步骤活动内容：把下列各式因式分解：把下列各式分解因式：⑴ 8mn2 2mn ⑵ a2b-5ab+9b3 2 3 2⑶ - 3ma 6ma - 12ma ⑷ - 2x 4x - 8x活动目的：回顾上一节课提取公因式的基本方法与步骤，为学生能从容地把提取的公因式从单项式过渡到多项式提供必要的基础.以演板的形式让学生回忆起提取公因式的方法与步骤，使学生真正理解基本方法和步骤。