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以数列为载体的不等式证明的放缩技巧
《放缩技巧证明不等式的应用》
放缩技巧证明不等式是一种非常有效的技巧，它通过对特定类型序列的外拓来证明不等式。
本文介绍了这种技巧的基本概念、原理和应用。
放缩技巧证明不等式的基本思想是：假定可以证明某一类数列中的不等式，若该数列中所
有项都乘以一个正数，则证明的不等式仍然仍然成立。
比如，当a_1、a_2、......、a_n都是正数时，可以证明a_1+ a_2+......+a_n<=a_1a_2a_3......a_n，由于对于所有非零正数c，ca_1、ca_2、......、ca_n也是正数，因此ca_1+ ca_2+......+ca_n<=ca_1ca_2ca_3......ca_n也一样成立。
放缩技巧证明不等式的基本步骤如下：首先，用等式来构造一个等式；其次，将等式乘以
一个正数；最后，将放大后的等式转换为不等式，证明它。
放缩技巧证明不等式有诸多功能，其中最重要的一个就是简化证明的步骤，并可以节省大
量时间。
同时，它还可以有效地避免所有复杂的证明过程，使我们更容易把握证明的思路。
最后，放缩技巧证明不等式还有助于解决复杂的数学问题。
从上述内容可以看出，放缩技巧证明不等式对于简化数学证明具有重要意义。
它不仅可以
帮助我们把握细节，同时还可以有效地节省时间。
随着我们在应用放缩技巧证明不等式方
面的技能不断提升，它会帮助我们解决更多复杂的数学问题，并带来更多知识和智慧。
证明数列不等式问题一般较为复杂.解答这类问题的常用方法是放缩法，通常要灵活运用数列的定义、性质、通项公式、前n 项公式对不等式进行变形、化简，再运用不等式的性质对数列不等式进行适当的放缩.而证明数列不等式的关键是对不等式进合理的放缩，下面重点谈一谈运用放缩法证明数列不等式的几个技巧.一、通过裂项进行放缩有些数列不等式中的各项为分式，通过变形可裂为两项之差的形式，此时可利用裂项求和法来求得数列的和，再对其进行放缩，从而证明不等式.有时数列的通项公式不能直接裂项，可先将其进行适当的放缩，再进行求和.例1.求证：∑k =1n1k2≤53.证明：因为1k 2=44k 2<44k 2-1=2æèöø12k -1-12k +1，所以∑k =1n 1k 2=1+∑k =2n 1k 2<1+∑k =2n2æèöø12k -1-12k +1=1+2æèöø13-15+15-17+⋯+12n -1-12n +1=1+2æèöø13-12n +1<1+23=53.该数列的通项公式为分式，可根据不等式的可加性和传递性，将其放缩44k 2-1，再将其裂项为2æèöø12k -1-12k +1，这样便可运用裂项相加法求得数列的和，运用放缩法快速证明不等式.二、利用基本不等式进行放缩若a 、b >0，则a +b ≥2ab ，该式称为基本不等式.运用基本不等式可快速将两式的和或积放大或缩小.在运用基本不等式进行放缩时，要注意三个条件“一正”“二定”“三相等”.需根据已知的关系式或目标式，合理配凑出两式的和或积，并使其一为定值.在证明数列不等式时，有时要用到基本不等式的变形式，如a +b +c ≥3abc 3、a 21+a 22+⋯+a 2nn≥a 1a 2⋯a n n 等，对所要证明的不等式进行放缩.例2.设S n =1×2+2×3+⋯+n ()n +1，求证：n ()n +12<S n <()n +122.证明：设a k =k ()k +1(k =1,2,⋯,n )，因为k <k ()k +1<k +k +12=k +12，所以∑k =1n k <∑k =1n k ()k +1<∑k =1n(k +12)，即n ()n +12<S n <n ()n +12+n 2<()n +122.该数列中含有根式,很难快速求得数列的和，于是将其通项看作两式的积，构造出两式的和式，便可利用基本不等式将数列中的每一项进行放缩，再根据等差数列的前n 项和公式进行求解，即可证明不等式.三、根据数列的单调性进行放缩数列具有单调性，所以在证明数列不等式时，可根据不等式的特点找出其中的通项公式，通过作差或作商来判断数列的单调性.若a n ≥a n +1，则该数列单调递增，若a n ≤a n +1，则该数列单调递减，即可利用数列的单调性来放缩不等式.例3.求证：12≤1n +1+1n +2+⋯+1n +n <710(n ∈N *).证明：令S n =1n +1+1n +2+⋯+1n +n ，则S n +1-S n =æèöø1n +2+1n +3+⋯+1n +n +1n +n +1-æèöø1n +1+1n +2+⋯+1n +n =14æèöøn +12()n +1>0.可知数列{}S n 单调递增，因此S n ≥S 1=12.又因为S n +1-S n =14æèöøn +12()n +1<14æèöøn +14æèöøn +54=14×æèççççöø÷÷÷÷1n +14-1n +54=14n +1-14n +5,即S n +14n +1>S n +1+14n +5，可知数列{}S n +14n +1单调递减，所以S n +14n +1≤S 1+14+1=710.综上可得12≤S n <710，即12≤1n +1+1n +2+⋯+1n +n <710.总之，运用放缩法证明数列不等式，关键是对数列的通项公式、和式进行合理的放缩.同学们可根据目标不等式的结构特点，对通项公式进行裂项，也可利用基本不等式，还可以根据数列的单调性来进行放缩.（作者单位：江西省临川第二中学）解题宝典41。
[标签:标题]篇一：《放缩法在不等式的应用》论文放缩法在不等式的应用所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一. “添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。
例1. 设a，b为不相等的两正数，且a－b＝a－b，求证1＜a＋b＜3322222224。
证明：由题设得a＋ab＋b＝a＋b，于是（a＋b）＞a＋ab＋b＝a＋b，又a＋b＞0，得a ＋b＞1，又ab＜1（a＋b），而（a＋b）＝a＋b＋ab＜a＋b＋1（a＋b），即3（a＋b）＜a＋b，所以a＋b＜42 222，故有1＜a＋b＜。
例2. 已知a、b、c不全为零，求证：a?ab?b?b2?bc?c2?c2?ac?a2＞3（a?b?c）222a?ab?b?（a?b）?b2＞（a?b）?a?≥a?，同理22证明：因为b?bc?c2＞b?c，c?ac?a2＞c?。
2a?ab?b?b?bc?c?c2?ac?a＞3（a?b?c）2所以二. 分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。
例3. 已知a、b、c为三角形的三边，求证：1＜a＋b＋c＜2。
a?ca?b证明：由于a、b、c为正数，所以b＞＞＞，所以a＋b＋c＞abc＋＋＝1，又a，b，c为三角形的边，a＜2aa为真分数，则b?ca?b?c，同理故b+c＞a，则b＜2bc＜2c，a?ca?b?ca?ba?b?c故a＋b＋c＜＋＋?2.a＋b＋c＜2。
浅析用放缩法证明数列不等式的策略
放缩法是一种常见的证明数列不等式的策略，在数学竞赛和数学研究中被广泛应用。
放缩法的基本思想是通过对数列的放缩，得到一个和原数列有关的数列，然后通过比较这两个数列的性质来证明原数列的不等式性质。
放缩法可以分为两种情况：上界放缩和下界放缩。
上界放缩即找到一个比原数列大的数列，而下界放缩则是找到一个比原数列小的数列。
根据具体的问题和数列的性质，可以选择合适的放缩方法。
对于上界放缩，一种常见的方法是通过迭代构造一个比原数列大的数列。
假设原数列为a_n，我们希望找到一个数列b_n满足b_n > a_n。
可以通过递推的方式定义数列b_n，即b_1, b_2, b_3, \ldots。
首先选择b_1 > a_1作为初始条件，然后通过递推关系b_{n+1} = f(b_n)构造数列b_n。
递推关系f(b_n)的具体选择需要根据问题的要求和数列的性质来确定。
一般来说，递推关系应该满足b_{n+1} > a_{n+1}，即b_n比a_n要大。
放缩法的关键是构造合适的递推关系，具体的方法可以根据问题的要求来选择。
常见的递推关系有加减法、乘除法等。
证明数列不等式的关键在于比较两个数列的性质，可以通过数学归纳法、反证法、构造法等方式进行。
放缩法的优点是可以简化复杂的数列不等式问题，通过找到合适的放缩数列，可以将问题转化为更简单的形式，更容易证明。
放缩法也有一定的局限性，仅适用于一些特定的问题和数列。
浅析用放缩法证明数列不等式的策略用放缩法证明数列不等式的策略是一种常用的证明方法，它主要通过找到合适的变量放缩原来的数列不等式，从而得到更为简单的不等式，进而完成证明。
该策略的主要步骤如下：第一步：观察被证明的数列不等式，找出其中的特点和规律。
这个步骤是理解问题的基础，只有通过深入了解数列的特性才能找到合适的放缩变量。
第二步：寻找合适的放缩变量。
放缩变量应该满足以下条件：一是能够保留原始不等式的特点和规律，二是能够得到更为简单的不等式。
第三步：通过放缩变量重新构建不等式。
根据放缩变量的特点，将原始不等式进行变形，得到新的不等式。
第四步：证明新的不等式。
根据新的不等式的特点，运用已有的数学方法和技巧进行证明，例如数学归纳法、数学推理等。
第五步：逆向放缩。
将新的不等式通过放缩变量逆向还原成原来的不等式，从而完成整个证明过程。
在实际应用中，这个策略可能需要结合具体情况进行灵活运用。
以下是一个具体的例子，用该策略来证明一个数列的递推公式。
例：证明数列{an}满足递推公式an = an-1 + 2n - 1。
第一步：观察数列的特点和规律，发现相邻项之间的差值是随着项数n增加而变化的。
第二步：找到合适的放缩变量，我们可以设定bn = an - n^2，则bn可以看作是相邻项之间的差值。
第三步：根据放缩变量重新构建不等式，我们有bn = (an - 1 - (n - 1)^2) + 2n - 1。
其中(n - 1)^2可以展开得到n^2 - 2n + 1。
第四步：证明新的不等式，我们可以证明bn = 2n，这可以通过计算得到。
第五步：逆向放缩，将新的不等式通过放缩变量逆向还原成原来的不等式，即an -n^2 = 2n，化简得到an = an - 1 + 2n - 1。
通过这样的放缩法证明，我们可以得到数列的递推公式，并成功证明了该数列的性质。
这个例子展示了放缩法证明数列不等式的策略，说明了放缩变量的重要性和放缩的过程。
浅谈数列不等式问题的放缩技巧数列不等式问题是指利用数列中的数据进行推理的问题。
在解决这类问题时，放缩技巧是一种有用的方法。
放缩技巧是指在解决数列不等式问题时，通过对数列中的数据进行放大或缩小来推导结论的方法。
这种技巧可以帮助我们更好地理解问题，并找到更简单的解法。
例如，我们可以对数列中的数据进行放大，从而使问题更加简单。
例如，如果有一个数列{a1, a2,在解决数列不等式问题时，放缩技巧还可以用来缩小数据范围，从而使问题更容易解决。
例如，我们可以选择某些特殊的数列元素进行分析，而不是对整个数列进行分析。
这样，我们就可以避免处理过多的数据，使问题变得更加简单。
此外，我们还可以通过选择合适的数列元素来缩小数据范围，例如选择数列中最小的元素或最大的元素进行分析。
这样，我们就可以避免处理所有的数列元素，使问题变得更加简单。
总的来说，放缩技巧是一种有用的方法，可以帮助我们在解决数列不等式问题时更好地理解问题，并找到更简单的解法。
放缩法在证明不等式中的应用放缩法（also known as阿贝尔不等式法）是证明不等式的一种常见方法。
它利用不等式两边的关系进行比较，然后不断地缩小这种差距，最终得到原问题的解。
该方法非常简便，灵活性也很大，适用于各种形式的不等式问题。
在本文中，我们将具体介绍如何使用放缩法来解决不等式问题。
1.南辕北辙法南辕北辙法也是一个基于放缩法的思想。
这种方法的基本思路是从等式入手，然后在等式两边加上（或减去）相同的数量，无限逼近目标值。
以证明a+b≥ 2√ab为例。
首先我们注意到这是一个“大于等于”符号。
正确的方向是将不等式转化为等式，然后再使用缩放法逼近所求答案的根。
因此，我们可以构造新的表达式：(√a−√b)²≥0。
展开这个式子得：a+b−2√ab≥0。
原不等式成立。
2.杨桃不等式杨桃不等式本质上也是一种变形方式，它比南辕北辙法更易于使用。
在证明a²+b²+1≥ 2a+2b时，我们可以考虑如下表达式：a²+b²+1−2a−2b+2a+2b≥0。
此时，我们发现前三项中有两个可以化为1，于是得到了a²+b²+1−2a−2b+2a+2b≥(a−1)²+(b−1)²。
此时我们已经利用了放缩法，因为这个式子的右边显然大于等于0。
于是我们只需要证明左侧大于等于0即可。
而这个结论可以由a−1和b−1是正数、其平方和大于0来证明。
3.洛谷P5470 (PAM)与以上两种方法不同，这个例子更多地关注了算法实现的问题。
题目可以形式化表示为：设x[i]为正整数数组，设S1=Σx[i]，S2=∑i<j|x[i]−x[j]|，则S1≥S2。
我们可以将绝对值分成两部分来讨论，最后在放缩过程中应用这一点。
设P=∑i<x[i]，Q=∑i>x[i]，则可推导出|P−Q|=P−Q。
又因为P+Q=S1，所以我们有S1=2P(S1−P)≥2∑|xi−xj|。
浅析用放缩法证明数列不等式的策略放缩法是一种广泛应用于不等式证明的方法，也被称为根式方法。
其主要思想是通过构造合适的不等式，将原不等式左右两边的某些部分用其他式子代替，从而使原不等式更易于证明。
这篇文章将从以下几个方面详细讲解如何使用放缩法证明数列不等式。
1. 理解数列不等式的分类在利用放缩法证明数列不等式之前，我们需要了解数列不等式的分类。
数列不等式分为单调不等式和非单调不等式两种类型。
单调不等式是指对于给定的数列，其元素之间的大小关系一直保持不变的不等式，如$a_1<a_2<...<a_n$，$a_1+a_2+...+a_n\leq na_n$等。
证明单调不等式时，我们需要利用数学归纳法，或者利用插值法对元素进行逐一插值，然后利用柯西不等式或均值不等式来进行求解。
2. 理解放缩法的基本思路放缩法的基本思路是在原不等式两侧添加一些恰当的式子，使得这些式子与原不等式等价，且这些新式子在证明过程中更容易处理。
比如，如果我们想证明$\sum\limits_{i=1}^{n}a_i^2\sum\limits_{i=1}^{n}b_i^2\geq(\sum\limits_{i=1}^{n}a_ib_i)^2$，我们可以考虑构造一个辅助不等式$\sum\limits_{i=1}^{n}(a_i-b_i)^2\geq 0$，这样左右两侧都有$\sum\limits_{i=1}^{n}a_i^2+\sum\limits_{i=1}^{n}b_i^2-2\sum\limits_{i=1}^{n}a_ib_i\geq 0$，即$\sum\limits_{i=1}^{n}a_i^2\sum\limits_{i=1}^{n}b_i^2\geq(\sum\limits_{i=1}^{n}a_ib_i)^2$。
3. 运用放缩法证明单调不等式对于单调不等式，放缩法的证明比较简单，我们只需要合理运用一些基本不等式即可。
放缩法证明数列不等式一、基础知识：在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。
本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：（1）传递性：若,a b b c >>，则a c >（此性质为放缩法的基础，即若要证明a c >，但无法直接证明，则可寻找一个中间量b ，使得a b >，从而将问题转化为只需证明b c >即可 ）（2）若,a b c d >>，则a c b d +>+，此性质可推广到多项求和：若()()()121,2,,n a f a f a f n >>>L ，则:()()()1212n a a a f f f n +++>+++L L （3）若需要用到乘法，则对应性质为：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同2、放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：① 等差数列求和公式：12nn a a S n +=×，n a kn m =+（关于n 的一次函数或常值函数）② 等比数列求和公式：()()1111n n a q S q q -=¹-，n n a k q =×（关于n 的指数类函数）③ 错位相减：通项公式为“等差´等比”的形式④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。
高中数学：放缩法在数列不等式中的应用
不等式与数列结合的证明题型，其证明思路可用归纳猜想证明，也可用放缩法来解决。
本文就放缩法在数列不等式中的应用，进行一些方法上的探究。
一、裂项相消法
形如…（c为常数）的题型，常要对数列中的通项进行裂项，达到放缩的目的。
例1、在数列中，已知，，求证：
…。
分析：由得到，利用递推数列的通项公式求法，可求出数列，故。
证明：对所证式的左边通项进行裂项：
，。
可得不等式：
左边…。
从而命题得证。
说明：当所证明的式子中出现一些分式积及无理式的形式时，常要用到裂项相消法，对于，以下结论：
，，以及
都是常用到的。
二、利用迭乘法分拆
在形如的题型中，可试着将看做数列的前n项之积，利用
来拆项。
例2、求证；。
分析：令，则利用
对其拆项可得。
证明：。
又∵
（，2，3，…，n），
∴中各项都比
对应项大。
因此。
即
说明：本例借用恒等式将进行裂项，然后再证明对应的通项的大小关系而获证，技巧性较强，但规律非常明显，通过学习是可以掌握的。
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知识导航数列不等式证明题的难度较大，侧重于考查同学们的逻辑推理能力和综合分析能力.而放缩法是证明数列不等式的重要方法之一.放缩法是指通过放大或缩小不等式的范围，从而证明不等式的方法.在解题时，我们需合理利用数列的单调性、重要不等式、不等式的性质等，将目标不等式进行合理的放缩,才能证明结论.一、根据数列的单调性进行放缩数列是一种特殊的函数，具有单调性.在解答数列不等式问题时，我们可以充分利用数列的单调性来解题.首先将数列的通项公式或前n 项和看作关于n 的函数式，判断出数列的单调性，再利用数列的单调性来求得最值，证明不等式成立.例1.数列{}a n 为非负实数列，且满足：a k -2a k +1+a k +2≥0，∑i =1ka i ≤1，k =1,2,⋯，求证：0≤a k -a k +1<2k 2(k =1,2,⋯).证明：假设a k <a k +1，则a k +1≤a k -a k +1+a k +2<a k +2，从而从a k 起，数列{}a n 单调递增，数列的和S n =a 1+a 2+⋯+a n 会随n 的增大而增大，且趋向于无穷，这与∑i =1k a i ≤1，k =1,2,⋯矛盾，所以{}a n 是单调递减的数列，即a k -a k +1≥0，令b n =a k -a k +1,k =1,2,⋯，由a k -2a k +1+a k +2≥0得a k -a k +1≥a k +1-a k +2，即b k ≥b k +1,k =1,2,⋯，由于1≥a 1+a 2+⋯+a k =b 1+2a 2+a 3+⋯+a k =b 1+2b 2+3a 3+⋯+a k =b 1+2a 2+3b 3+⋯+a k ⋯≥b 1+2b 2+3b 3+⋯+kb k ≥(1+2+3+⋯+k )b k =k (k +1)2b k ,故b k ≤2k (k +1)<2k 2,即0≤a k -a k +1<2k 2.在解答本题时,我们先用反证法证明a k -a k +1≥0,并判断出数列的单调性,然后利用数列的单调性证明a k -a k +1<2k2.有时证明数列不等式，利用数列的单调性进行放缩较为便捷.二、利用重要不等式进行放缩在运用放缩法证明数列不等式时,我们要注意先利用一些重要的不等式或者相关结论进行适当的放缩,将复杂的、没有规律的式子化为简单的、有一定规律的数列的和，然后再利用等差、等比的求和公式、错位相减法、分组求和法等求得数列的和.在放缩不等式时，常用的重要不等式有糖水不等式a +m b +m >a b、基本不等式a +b >2ab (a >0、b >0)、1a n -b n ≤1a n -1()a -b ()a >b ≥1,n ≥1,n ∈N *等.例2.已知数列{}a n 满足a 1=1,a n +1=3a n +1.证明：1a 1+1a 2+1a 3+∙∙∙+1a n <32.解析:我们由已知条件容易求得数列{}a n 的通项公式并化简目标式，再利用糖水不等式a +m b +m >a b将数列的通项公式进行放缩，把目标式转化为等比数列的和，再利用等比数列的前n 项和公式就可以证明结论.证明：因为a 1=1，a n +1=3a n +1，所以a n =3n-12.由糖水不等式a +m b +m >a b 得23n -1<2+13n -1+1=33n =13n -1，所以231-1+232-1+233-1+∙∙∙+23n -1<13+132+∙∙∙+13n -1=12æèçöø÷1-13n -1<12，在不等式的两边同时加上1a 1=231-1=1得231-1+232-1+233-1+∙∙∙+23n -1<32.解答本题，还可以利用重要不等式1a n -b n ≤1a n -1()a -b ()a >b ≥1,n ≥1,n ∈N *对数列的通项公式进行放缩，构造出等比数列，从而证明数列不等式成立.可见，运用放缩法证明不等式，关键是对不等式或者数列的通项公式进行合理的放缩.放缩的技巧有很多，除了上述两种外，还有添项、减项、扩大分子、缩小分母、借助中间值等.而放缩的关键在于，将已知条件和目标式关联起来，灵活运用数列的单调性、重要不等式等，“凑”出所需要的条件，将问题转化为常规的不等式或者数列问题来求解.（作者单位：江苏省南通市海门第一中学）施伟38Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
谈谈如何运用放缩法证明不等式（许兴华数学/选编）放缩法是指在证明不等式时，根据需要证明不等式的值适当的放大或缩小，使它化繁为简，化难为易，从而达到证明的重要方法。
它是利用不等式的传递性，对照所证目标进行合情合理的放大或缩小的过程。
放缩法的合理运用，往往能收到事半功倍的效果，有时能令人拍案叫绝；但其缺点也是显而易见，如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的“度”，容易造成不能同向传递了，即放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，所以要熟练地驾驭它是件不容易的事。
笔者通过多年的教学实践证明，若能坚持以下“四个有利于的原则”进行合理的放缩，则容易直达解题目标。
1坚持放缩后有利于求出其和的原则当所证明不等式的其中一边是某一数列的前n项和，但其和不易求出时，则可以对其通项作合理的分析，通过适当的放大或缩小得到一个易于求出其和的新数列，再注意放大或缩小后的数列的前n项和与不等式的另一边相衔接，从而使问题得到解决。
问题反思这两题是关于自然数的不等式，较常规的解法是选择数学归纳法证明；若用数学归纳法证明本题，其过程会是个“马拉松”式的工程。
而上述证法的基本思路是通过放缩后能有利于用“拆项消去法”、“同分母相加”来求出其和。
就把无限和复杂的问题转化为有限和简单的问题了，自然比常规常规方法便捷了许多。
比如说例1，本来运算复杂的问题,通过把每一项作恰当的放大，把一项拆成了两项之差，再求解。
2坚持放缩后有利于求出其积的原则如证明不等式的其中一边是某一数列的前n项乘积，但其积不易求出，则可对各项作适当的放大或缩小，使其积易于求出，并注意和不等式的另一边的对话，往往能使问题得到解决。
问题反思在上述证明中，通过引进Ａ的“对偶式”Ｂ,使其过程更加简捷，把复杂的问题简单化。
当然本题也可用数学归纳法加以证明，若用归纳法证明，其复杂的程度可想而知。
3坚持放缩后有利于减少变量的原则若不等式的一边为常数，另一边是含有多个字母的代数式，则可把这个代数式看成是关于这些字母的多元函数，通过对多元函数的合理放缩，逐步减少变量，最终得到那个常数即可。
浅析用放缩法证明数列不等式的策略引言在证明数列不等式时，我们经常会运用放缩法，即通过将式子中的某些项进行放大或缩小，使得不等式成立更为明显。
当然，在使用该方法时，我们还需结合数列的性质，进行适当的变形和分析，才能达到较好的证明效果。
下面，我们具体介绍几种常见的放缩法策略：策略一：拉格朗日中值定理对于一个函数f(x)，如果它在[a,b]上满足连续，在(a,b)上满足可导，那么必有f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)，其中c∈(a,b)我们利用此定理，可以将数列的两个相邻项联系起来，以达到证明的目的。
具体步骤如下：考虑一个数列{an}，我们可以将其中的某两项相减，得到：an - an-1接下来，我们可以将这个式子转化成函数的形式，即 a(n) = an - an-1，f(x) = x，则在[a(n-1), a(n)]上，我们可以应用拉格朗日中值定理得到：这样我们就将{an}中的两项连了起来，从而达到证明需要的形式。
举例来说，考虑等比数列{a1, a2, a3, ...}，其中a1=1,an=2n，我们要证明a1/a2 + a2/a3 + ... + an-1/an >= (n-1)/n + 1/2n我们可以将左边每一项都化为一个通项公式，即根据拉格朗日中值定理，我们将a(n-1)/a1拉到[1,2^(n-2)]上，将a1/an拉到[2^(n-2),2^(n-1)]上，由于等比数列的性质，可以得到：展开后化简就能得到所需的不等式。
策略二：柯西不等式对于一个数列{an}和{bn}，我们可以运用柯西不等式将它们联系起来，得到一个新的不等式关系。
对于两个n维向量a=(a1,a2,...an)和b=(b1,b2,...,bn)，有：|a·b| <= ||a|| ||b|| （其中a·b表示向量的内积，||a||表示向量的模长）|a1*b1 + a2*b2 + ... + an*bn| <= sqrt(a1^2 + a2^2 + ... + an^2) * sqrt(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)化简一下，就有：举例来说，考虑证明数列{an}的下列不等式：根据柯西不等式，我们可以将{an}和{bn}构造为：将其代入柯西不等式，展开后可以得到所需的不等式。
浅析用放缩法证明数列不等式的策略放缩法是数学分析中常用的重要证明方法之一，它可以通过对不等式中的某些项进行放缩操作，将原不等式转化为更为简单的形式，从而便于进行进一步的推导和证明。
在数列不等式证明中，放缩法同样具有重要作用，通过巧妙地运用放缩法，可以有效地解决数列不等式问题。
下面就来简要地介绍一些关于用放缩法证明数列不等式的策略。
一、确定放缩目标在运用放缩法证明数列不等式时，首先需要明确的是放缩目标，即要将原不等式中的哪些项进行放缩操作，将其转化为更为简单的式子。
一般来说，放缩目标应当具有以下特点：一是需要能够通过放缩将不等式中的某些项化简为“好看”的形式，便于进行后续的推导；二是放缩过程中要注意不应当改变原不等式的基本属性，比如不等式的符号方向、不等式的等号成立条件等。
二、选择合适的放缩方式在确定放缩目标后，接下来就是选择合适的放缩方式。
放缩方法有很多种，可以根据具体的情况选择不同的放缩方式。
常见的放缩方式包括以下几种：1. 引理放缩：根据已知的一些数学结论，将原不等式中的某些项进行代换或简化操作，使得原不等式变得容易推导证明。
比如，常见的幂平均不等式、均值不等式等就是通过引理放缩来证明的。
2. 手工放缩：通过手工的方式，对不等式中的某些项进行展开、化简、移项、分组等基本操作，将原不等式化简为更为简单的形式。
这种方法需要具有较强的数学功底和逻辑思维能力。
3. 对称放缩：对于一些对称的不等式，可以通过对称放缩的方式来进行证明。
具体来说，就是将原不等式中的某些项根据对称性进行调整，使其符合对称性条件，从而便于证明。
4. 引入辅助不等式：有时候，对于一些复杂的不等式，可以引入一些辅助的不等式，从而辅助进行证明。
这种方法需要选择合适的辅助不等式，使其能够起到化简、重组原不等式的作用，从而推导出结论。
三、注意放缩过程中的细节问题在运用放缩法证明数列不等式时，还需要注意一些细节问题，以确保证明的正确性和完整性。
