2018年云南师范大学720量子力学考研真题复习试题

目录第二章波函数和薛定谔方程 (2)一、简答题 (2)二、证明题 (6)三、计算题 (7)第二章 波函数和薛定谔方程一、简答题1.何谓微观粒子的波粒二象性？2.粒子的德布罗意波长是否可以比其本身限度长或短？二者之间是否有必然联系？3.粒子按轨道运动这个概念的实质是什么？试直接从德布罗意假设出发，论证对微观粒子不存在轨道的概念。

4.波动性与粒子性是如何统一于统一客体之中的？物质在运动过程中是如何表现波粒二象性的？5.“电子是粒子，又是波”，“电子不是粒子，又不是波”，“电子是粒子，不是波”，“电子是波，不是粒子”，以上哪一种说法是正确的？6.试述牛顿力学与量子力学中的自由粒子运动状态。

7.在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描述粒子的量子状态？8.判别一个物理体系是经典体系还是量子体系的基本标准是什么？ 9.是比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。

10.微观粒子体系的状态完全由波函数),(t r描述，波函数应满足什么样的标准条件？ 波函数的物理意义是什么？11.叙述波函数的统计解释（物理意义），并写出薛定谔方程的一般数学形式。

12.什么是波函数的统计解释？量子力学的波函数与声波和光波的主要区别是什么？13.写出波函数的物理意义和标准条件，并说明如何理解波函数可以完全表述微 观粒子的状态及波函数的标准条件。

14.简述玻恩关于波函数的统计解释，按这种解释，描写粒子的波是什么波？ 15.根据量子力学中波函数的几率解释，说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别。

16.简要说明波函数和它所描写的粒子之间的关系。

17. 波函数的物理意义-微观粒子的状态完全由其波函数描述，这里“完全”的含义是什么？18.波函数归一化的含义是什么？什么样的波函数可以归一化？归一化随时间变化吗？19. Bron 对波函数的统计解释什么？()()2,,,t r t r ψψ和()dxdydz t r 2, ψ分别表示什么含义？20.将描写体系量子状态的波函数乘上一个常数后，所描写体系的量子状态是否改变？21．若)(1x ψ是归一化的波函数，问： )(1x ψ， 1)()(12≠=c x c x ψψ ，)()(13x e x i ψψδ= δ为任意实数是否描述同一态？分别写出它们的位置几率密度公式。

量子力学复习题导致量子论产生的物理现象主要有哪些？p2量子的概念是如何引进的？p5为什么说爱因斯坦是量子论的主要创始人之一？p6写出德布罗意公式并说明其中各量的含义和该公式的意义。

P12什么是波函数的几率解释？p18态的迭加原理。

P22动量算符的定义。

P27写出单粒子薛定谔方程。

P27写出多粒子薛定谔方程。

P28写出单粒子哈密顿算符及其本征值方程。

P33什么条件下可以得到定态薛定谔方程？p32什么是束缚态？p37什么情况下量子系统具有分立能级？p37什么是基态？p37写出线性谐振子的定态薛定谔方程。

P39写出线性谐振子的能级表达式。

P40写出波函数应满足的三个基本条件。

P51写出算符的本征值方程并说明其中各量的含义。

P54量子力学中的力学量算符如何由经典力学中相应的力学量得出？p55写出厄米算符的定义，并解释为什么量子力学中的力学量要用厄米算符来表示。

P56写出轨道角动量算符的各分量表达式。

P60什么是角量子数、磁量子数？写出相应的本征值表达式及其数值关系。

P63解：),()1(),(ˆ22ϕθϕθlm lm Y l l Y L += ),(),(ˆϕθϕθlmlm z Y m Y L = 其中l 表征角动量的大小，称为角量子数，m 称为磁量子数。

对应于一个l 的值，m 可以取（2l +1）个值，从-l 到+l 。

写出波尔半径的值和氢原子的电离能，可见光能否导致氢原子电离？00.52A a =( 3分) 113.6e V E =( 3分)可见光的能量不超过3.26eV , 这个值小于氢原子的电离能，所以不能引起氢原子电离。

( 4分)写出类氢原子体系的定态薛定谔方程。

P65 写出氢原子能级的表达式及其简并度。

P68 s, p, d, f 态粒子是什么含义？p63关于力学量与算符的关系的基本假定。

P83 写出力学量平均值的积分表达式。

P84 两个算符可对易的充要条件是什么？p89 写出X 方向坐标与动量的不确定关系。

量子考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 量子力学的创始人是：A. 牛顿B. 爱因斯坦C. 普朗克D. 薛定谔答案：C2. 量子力学中，粒子的状态由什么描述？A. 位置B. 动量C. 波函数D. 能量答案：C3. 海森堡不确定性原理表明：A. 粒子的位置和动量可以同时准确测量B. 粒子的位置和动量不能同时准确测量C. 粒子的位置和能量可以同时准确测量D. 粒子的动量和能量可以同时准确测量答案：B4. 量子力学中的泡利不相容原理适用于：A. 电子B. 质子C. 中子D. 所有基本粒子答案：A5. 量子纠缠是指：A. 两个粒子之间的经典相互作用B. 两个粒子之间的量子相互作用C. 两个粒子之间的引力相互作用D. 两个粒子之间的电磁相互作用答案：B6. 量子力学中的薛定谔方程是一个：A. 线性方程B. 非线性方程C. 微分方程D. 代数方程答案：C7. 量子力学中的隧道效应是：A. 粒子通过势垒的概率不为零B. 粒子通过势垒的概率为零C. 粒子通过势垒的概率为一D. 粒子通过势垒的概率为负答案：A8. 量子力学中的叠加态是指：A. 粒子同时处于多个状态B. 粒子只处于一个状态C. 粒子处于确定的状态D. 粒子处于随机的状态答案：A9. 量子力学中的测量问题涉及：A. 粒子的测量结果B. 粒子的测量过程C. 粒子的测量设备D. 粒子的测量结果和过程答案：D10. 量子力学中的退相干是指：A. 量子态的相干性消失B. 量子态的相干性增强C. 量子态的相干性不变D. 量子态的相干性随机变化答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 量子力学中的波粒二象性表明，粒子既表现出______的性质，也表现出______的性质。

答案：波动；粒子2. 量子力学中的德布罗意波长公式为：λ = ______ / p，其中λ表示波长，p表示动量。

答案：h / p3. 量子力学中的能级是______的，这是由量子力学的______决定的。

一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）1. 微观粒子具有 波粒 二象性。

2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν, p=/h λ 。

3．根据波函数的统计解释，dx t x 2),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。

4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。

5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i = 。

6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量F 所得的数值，必定是算符Fˆ的 本征值 。

7．定态波函数的形式为： t E in n ex t x-=)(),(ϕψ。

8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。

9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。

10．每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2± 。

二、证明题：（每题10分，共20分）1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：证明：zy x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z yx p x p z p z p y L L --=2、（10分）由Schr ödinger 方程证明几率守恒：其中几率密度 几率流密度 证明：考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式：2|),(|),(),(),(t r t r t r t rψ=ψψ=*ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂0=∙∇+∂∂J tω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μi J ]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x pi y ˆ)(ˆ)( +-=]ˆˆ[x y p y px i -= zL i ˆ =在空间闭区域τ中将上式积分，则有：三、计算题：（共40分）1、（10分）设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。

量子力学近年考研真题答案量子力学是物理学中的一门重要学科，近年来在考研中也是一个热门的考点。

考生们在备考过程中，对于量子力学的理解和掌握程度直接影响着他们在考试中的得分。

因此，了解量子力学近年来的考研真题答案是非常有必要的。

首先，我们来探讨一下近年来的考研真题中关于量子力学的选择题。

这些选择题主要涉及到量子力学的基本概念和原理，考察考生对于量子力学的基础知识的掌握程度。

例如，有一道题目是关于波粒二象性的，要求考生选择正确的描述。

答案是“物质既具有波动性又具有粒子性”。

这道题目考察了考生对于波粒二象性的理解，以及对于量子力学基本原理的掌握。

接下来，我们来看一下近年来的考研真题中关于量子力学的填空题。

这些填空题主要考察考生对于量子力学的数学表达和计算的掌握程度。

例如，有一道题目是关于波函数的归一化的，要求考生填写正确的表达式。

答案是“∫|Ψ(x)|^2dx=1”。

这道题目考察了考生对于波函数归一化条件的理解和应用能力。

除了选择题和填空题，近年来的考研真题中还出现了一些关于量子力学的解答题。

这些解答题主要考察考生对于量子力学的深入理解和应用能力。

例如，有一道题目是关于薛定谔方程的，要求考生推导出薛定谔方程的一维定态解。

这道题目考察了考生对于薛定谔方程的理解和推导能力。

通过分析近年来的考研真题答案，我们可以发现，量子力学在考研中的考察重点主要集中在基本概念和原理、数学表达和计算、深入理解和应用能力等方面。

因此，考生在备考过程中，应该注重对于这些方面的学习和掌握。

同时，我们也可以发现，近年来的考研真题中对于量子力学的考察难度逐年增加。

这也说明了量子力学在物理学中的重要性和复杂性。

因此，考生在备考过程中，除了掌握基础知识外，还需要注重对于量子力学的深入理解和应用能力的培养。

总结起来，量子力学在考研中的考察是一个重要的环节。

通过了解近年来的考研真题答案，考生可以更好地了解考察重点和难度，有针对性地进行备考。

同时，也可以通过分析真题答案，加深对于量子力学的理解和掌握。

中国科学院量子力学真题一、回答下列各问题（共30分）1．计算对易关系ˆ,L μν⎡⎤⎣⎦，其中,,,x y z μν=。

（4分） 2．分别说明什么样的状态是束缚态、简并态和负宇称态（3分）3．粒子自旋处于/2z s =的本征态10α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，试求x s 和y s 的不确定关系：?=。

（5分） 4．粒子在宽为a 的无限深方势阱中运动，估算其基态能量。

（3分）5．写出电子自旋z s 的二本征值和对应的本征态。

（2分）6．设粒子处于(,)lm Y θϕ状态下，求2()x L ∆和2()y L ∆（6分）7．计算下列对易式2(1),?(2),?d d x x dx dx ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

（4分） 8．何谓光的吸收？何谓光的受激辐射？何谓光的自发辐射？给出光学定理的表达式并说明它的意义。

（3分）二、（共10分）两个自旋1/2、质量为m 的无相互作用的全同费米子同处线性谐振子场中，写出基态和第一激发态的能量本征值和本征函数，并指出简并度。

三、（共20分）已知氢原子在0t =时处于状态21311112(,0)()()()000333r r r r ψψψ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ψ=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中，()n r ψ为氢原子的第n 个能量本征态。

求能量及自旋z 分量的取值概率与平均值，写出0t >的波函数。

四、（共20分）一个一维无限深方势阱如图所示，在x =0和x =L 处有两个无限高壁，两个宽为a ，高为0V 的小微扰势垒中心位于/4x L =和3/4x L =处，a 是小量（例如/100a L ）。

试用一级微扰论计算修正后的基态能量值及2n =和4n =的能级差。

五、（共20分）在0t =时，处于势2212V x m x ω=（）中的粒子，由波函数,0()n n x x ψψ∑n （）=A描述，n ψ是能量本征态，()n n nn ψψδ''=，求（1） 归一化常数A ；（2） 给出0t >时，,x t ψ（）的表达式；（3） 证明2,x t ψ（）是一个周期函数，求出其最长的周期；（4） 求出0t =时，体系能量的平均值。

《量子力学》考研真题详解1、1924年，德布罗意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子，质子，也具有波性，对于具有一定动量p的自由粒子，满足德布罗意关系：______；假设电子由静止被150伏电压加速，加速后电子的物质波波长为：______。

[北京大学2005研]【答案】，；8.9×10－41m2对宏观物体而言，其对应的物质波长极短，所以宏观物体波动性很难被我们观察到，但最近发现介观系统（纳米尺度下的大分子）在低温下会显示出波动性。

计算1K时，C60团簇（由60个C原子构成足球状分子）热运动对应的物质波波长为：______。

[北京大学2005研]【答案】2.9×10－10m二、判断题1量子力学中可观察力学量相应的算符为厄米算符。

[北京大学2006研]【答案】对查看答案【解析】在量子力学中，表示力学量的算符都是纳米算符。

2设体系处于定态，则不含时力学量的测量值的概率分布不随时间改变。

[北京大学2006研]【答案】错查看答案【解析】力学量F∧的平均值随时间的变化满足：若（即力学量F∧的平均值不随时间变化），则称F∧为守恒量。

力学量F∧为守恒量的条件为：∂F/∂t＝0且[F，H]＝0。

不含时力学量F∧的测量值随时间改变可以表示为：因此，力学量F∧的平均值是否变化不能确定，对于定态而言，任何一个波函数都可以用力学量F∧的本征函数表示，在各个本征函数中，力学量F∧所取值的大小是确定的。

因此可以推断，力学量F∧的测量值的概率分布也不能确定。

3一维粒子的本征态是不简并的。

[北京大学2006研]【答案】错查看答案【解析】对于一维粒子的本征态是否简并不能确定，可以举例说明。

比如，一维无限深方势阱，若势能满足：在阱内（），体系所满足的定态薛定谔方程为：在阱外（），定态薛定谔方程为：体系的能量本征值为：本征函数为：所以，显而易见，一维无限深方势阱的本征态是简并的。

复习笔记在十九世纪末、二十世纪初，经典物理取得了巨大的成功，牛顿定律、麦克斯韦方程、热力学和统计力学相继建立并成功应用于物理学研究和工程，但在物理大厦落成的同时，物理学家中的有识之士也意识到了天空中漂浮的乌云。

2024年考研高等数学二量子力学中的数学理论历年真题在2024年的考研高等数学二科目中，量子力学中的数学理论是必考内容之一。

本文将围绕该主题，以历年真题的形式展开，对相关的数学理论进行探讨。

希望通过对历年真题的分析和解答，能够帮助考生更好地理解和应对这一考点。

一、波函数和可观测量1. 2010年真题题目描述：一个粒子，其波函数为Ψ(x) = Ae^(-|x|/a)，其中A和a为实常数，x为位置坐标。

求该粒子在区间[-∞, ∞]上的归一化常数A。

解答：根据波函数的归一化条件，可得到以下结果：∫(Ψ(x))^2 dx = 1∫(Ae^(-|x|/a))^2 dx = 1∫(A^2)e^(-2|x|/a) dx = 1根据波函数的性质，可知|X| = x，当x > 0；|X| = -x，当x < 0。

因此，上式可化简为：∫(A^2)e^(-2x/a) dx + ∫(A^2)e^(2x/a) dx = 12∫(A^2)e^(-2x/a) dx = 1∫(A^2)e^(-2x/a) dx = 1/2对上式进行积分运算，得出：∫(A^2)e^(-2x/a) dx = (-aA^2/2)e^(-2x/a) + C其中C为常数。

将上式代入原式，得到：(-aA^2/2)e^(-2x/a) + C = 1/2(-aA^2/2)e^(-∞/a) + C - (-aA^2/2)e^(∞/a) + C = 1/2 (-aA^2/2) + 2C = 1/2根据边界条件，可得到：C = 1/(4aA^2)将C带入上式，可得：(-aA^2/2) + 2(1/(4aA^2)) = 1/2-aA^2 + 1/(2A^2) = 1/2进一步整理，可得：aA^4 - A^2 + 1/2 = 0解该方程，即可求得A的值。

二、矩阵表达和算符1. 2012年真题题目描述：已知一个算符A，其矩阵表示为A = [3 1 2; 1 2 -3; 2 -3 2]，求其特征值和特征向量。

量子力学试题(共21页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--量子力学试题（一）及答案一. （20分）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中()⎩⎨⎧><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0,0中运动，若0=t 时，粒子处于 ()()()()x x x x 3212131210,ϕϕϕψ+-=状态上，其中，()x n ϕ为粒子能量的第n 个本征态。

（1） 求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率；（2） 求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为()xan a x n n m a E n n πϕπsin 2,3,2,1 ,22222===（1） 首先，将()0,x ψ归一化。

由12131212222=⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c 可知，归一化常数为 1312=c 于是，归一化后的波函数为 ()()()()x x x x 3211331341360,ϕϕϕψ++-=能量的取值几率为 ()()()133;134;136321===E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。

（2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t E x t E x t E x t x 332211i exp 133i exp 134i exp 136, ϕϕϕψ（3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。

二. （20分）质量为m 的粒子在一维势阱()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<∞=a x a x V x x V ,00,0.0 中运动()00>V ，若已知该粒子在此势阱中有一个能量2V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a 。

云南师范大学2011-2012学年（下）学期期末考试量子力学试卷学院 _________ 专业 __________ 年级 __________ 学号 __________ 姓名 __________A1、请写出德布罗意关系中粒子的频率公式2、请给出动量表象中坐标算符的表达式 ____________________________________3、请给出不确定度关系的表达式 __________________________________________ 4、请给出力学量平均值随时间的变化公式 __________________________________ 5、在非简并微扰论中，体系的原 Hamilton 量为H?，本征函数族为｛ f ｝n 0，对 应本征值为｛E n 0）｝ n 0。

Hamilton 量在被施加微扰H?之后变为H? H?0 H?，则能 填空题（每题4分, 共 20 分）量本征函数的计算公式为 _______________________________________________ 确到一级近似）。

（准 简答题（共20 分）1•请给出关于波函数随时间发展变化的假定。

（4分）2•请叙述关于全同粒子的假定。

（4 分）3.请叙述关于算符的假定。

（6分）4.请叙述量子力学中关于自旋的假定。

（6 分）判断题，判断下列表述的正误（每小题2分,共20 分）1•在单个电子穿过双缝装置的实验中确实存在规律，但是这个规律只是在电子数量很大的时候才存在。

（）2•波函数的统计诠释其实只是一个假定3. （x）是一维Schrodinger方程的解，则*（x）也是具有相同能量本征值的解4. 一维无限深势阱中的粒子处于基态，则其概率分布的极大值点不出现在阱的 中央处。

（）5. 任何一种角动量J 都遵守形如J J i J 的关系。

（）6. 如果A 是厄米算符，则A （n 是自然数）也是厄米算符。

量子力学考研真题量子力学是物理学中的一门重要学科，它研究微观世界中的粒子和能量的行为。

在考研中，量子力学是一个重要的考点，很多考生都会遇到与之相关的真题。

本文将从不同角度来探讨量子力学在考研中的重要性和一些相关的真题。

首先，量子力学在考研中的重要性不言而喻。

量子力学是物理学的基础，它不仅对物理学专业的考生来说至关重要，对其他相关专业的考生也有一定的影响。

在考研中，量子力学往往是一个难点，需要考生对其理论和应用有深入的了解。

因此，对于考生来说，掌握量子力学的基本原理和相关的数学工具是非常重要的。

其次，我们来看一些与量子力学相关的考研真题。

以下是一道经典的考研真题：题目：在量子力学中，波函数是描述粒子的重要工具。

下面关于波函数的哪种说法是正确的？A. 波函数可以用来计算粒子的运动轨迹。

B. 波函数的模的平方表示粒子在空间中存在的概率。

C. 波函数只能用来描述电子的行为。

D. 波函数的实部表示粒子的动量。

这道题目涉及到了波函数的概念，考察了对波函数的理解。

正确答案是B。

波函数的模的平方表示粒子在空间中存在的概率，而不是用来计算粒子的运动轨迹、描述电子的行为或表示粒子的动量。

这道题目考察了考生对波函数的基本概念的掌握程度。

除了基本概念的考察，还有一些与量子力学相关的计算题。

以下是一道典型的计算题：题目：一个自旋为1/2的粒子通过一个自旋分析仪，其自旋在z方向的分量测量结果为1/2。

如果再通过另一个自旋分析仪测量其自旋在x方向的分量，那么测量结果为多少？A. 1/2B. 1/4C. 0D. 1这道题目考察了对自旋的测量和量子力学中的叠加态的理解。

正确答案是C。

根据量子力学的原理，自旋在不同方向上的分量不能同时确定，因此在z方向测量结果为1/2时，x方向的测量结果应为0。

这道题目考察了考生对量子力学原理的理解和应用能力。

除了这些例题，考研中还会涉及到更深入的量子力学内容，如量子力学的算符和本征值问题、量子力学中的测量和不确定性原理等等。