湖北省武汉市2021届新高考三诊数学试题含解析

湖北省武汉市2021届新高考数学三模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一个四面体所有棱长都是4，四个顶点在同一个球上，则球的表面积为（ ） A ．24π B ．86πC ．433πD ．12π【答案】A 【解析】 【分析】将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可． 【详解】解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同，∵四面体所有棱长都是4， ∴正方体的棱长为22 设球的半径为r ， 则()222224r =+，解得6r =所以2424S r ππ==， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查多面体外接球问题，解决本题的关键在于，巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化，属于中档题．2．已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i - B ．iC ．1D ．1-【答案】D 【解析】 【分析】根据复数z 满足()11z i i +=-，利用复数的除法求得z ，再根据复数的概念求解.因为复数z 满足()11z i i +=-，所以()()()211111i iz i i i i --===-++-， 所以z 的虚部为1-. 故选：D. 【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且80S =，33a =-，则9S =( ) A ．9 B ．12C ．15-D ．18-【答案】A 【解析】 【分析】由80S =，33a =-可得1,a d 以及9a ，而989S S a =+，代入即可得到答案. 【详解】设公差为d ，则1123,8780,2a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得17,2,a d =-⎧⎨=⎩ 9189a a d =+=，所以9899S S a =+=.故选：A. 【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题. 4．要得到函数12y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标（ ）A ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4π个单位长度 B ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位长度 C ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移524π个单位长度 D ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移1124π个单位长度【答案】B【分析】 【详解】分析：根据三角函数的图象关系进行判断即可． 详解：将函数3sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 得到1323233y sinx sin x ππ=⨯-=-（）（）， 再将得到的图象向左平移4π个单位长度得到333412y sinx sin x （）（），πππ=-+=- 故选B ．点睛：本题主要考查三角函数的图象变换，结合ω和ϕ的关系是解决本题的关键．5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，平面α与此正方体相交.对于实数()03d d <<，如果正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中恰好有m 个点到平面α的距离等于d ，那么下列结论中，一定正确的是 A ．6m ≠ B ．5m ≠ C ．4m ≠ D ．3m ≠【答案】B 【解析】 【分析】此题画出正方体模型即可快速判断m 的取值. 【详解】如图（1）恰好有3个点到平面α的距离为d ；如图（2）恰好有4个点到平面α的距离为d ；如图（3）恰好有6个点到平面α的距离为d . 所以本题答案为B.【点睛】本题以空间几何体为载体考查点，面的位置关系，考查空间想象能力，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，属于难题.6．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）A ．56B ．60C ．140D ．120【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04) 2.50.7++⨯=，故自习时间不少于22.5小时的频率为0.7200140⨯=，故选C. 考点：频率分布直方图及其应用．7．已知正项等比数列{}n a 中，存在两项,m n a a 13m n a a a ⋅=，65423a a a =+，则14m n+的最小值是（ ） A ．32B ．2C ．73D ．94【答案】C 【解析】 【分析】由已知求出等比数列{}n a 的公比，进而求出4m n +=，尝试用基本不等式，但*,m n ∈N 取不到等号，所以考虑直接取,m n 的值代入比较即可. 【详解】65423a a a =+Q ，2230q q ∴--=，3q ∴=或1q =-（舍）.13m n a a a ⋅=Q ，2221139m n m n a a a a +-∴⋅=⋅=，4m n ∴+=.当1m =，3n =时1473m n +=； 当2m =，2n =时1452m n +=；当3m =，1n =时，14133m n +=，所以最小值为73. 故选:C. 【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算及最小值，属于基础题. 8．已知向量(1,2),(3,1)a b =-=-rr，则（ ） A ．a r∥b rB ．a r⊥b rC ．a r∥(a b -rr)D ．a r⊥( a b -rr)【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行、垂直的性质，得出结论. 【详解】∵向量a =r （1，﹣2），b =r （3，﹣1），∴a r 和b r 的坐标对应不成比例，故a r 、b r不平行，故排除A ；显然，a r •b =r3+2≠0，故a r、b r不垂直，故排除B ；∴a b -=rr（﹣2，﹣1），显然，a r和a b -rr的坐标对应不成比例，故a r和a b -rr不平行，故排除C ； ∴a r•（a b -rr）＝﹣2+2＝0，故 a r⊥（a b -rr），故D 正确， 故选：D. 【点睛】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量平行、垂直的性质，属于基础题. 9．若复数z 满足(2)(1)z i i =+-（i 是虚数单位），则||z =（ ）A B ．C D 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数乘法运算化简z ，由此求得z . 【详解】依题意2223z i i i i =+--=-，所以z ==故选：B 【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数模的计算，属于基础题.10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任意一点，若圆()()22001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）． A ．(]1,2 B ．(]1,4C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx ay 2a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离d ，根据圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，可得d 1≥，解得即可．【详解】由题意，双曲线2222x y C :1(a 0,b 0)a b-=>>的一条渐近线方程为b y x a =，即bx ay 0-=，∵()00P x ,y 是直线bx ay 4a 0-+=上任意一点， 则直线bx ay 4a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离4a d c==， ∵圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则d 1≥， ∴41a c ≥，即4ce a=≤，又1e > 故e 的取值范围为(]1,4， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线C 的右支没有公共点得出d 1≥是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11．已知集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<<则A B =I （ ）A ．{|0}x x <B ．1|2x x 禳镲镲<-睚镲镲铪C ．1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D ．{|1}x x >-【答案】C 【解析】【分析】由题意和交集的运算直接求出A B I . 【详解】∵ 集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<<∴A B =I 1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭. 故选:C. 【点睛】本题考查了集合的交集运算.集合进行交并补运算时，常借助数轴求解.注意端点处是实心圆还是空心圆. 12．已知函数2sin ()1xf x x =+．下列命题：①函数()f x 的图象关于原点对称；②函数()f x 是周期函数；③当2x π=时，函数()f x 取最大值；④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（ ） A ．①④ B ．②③C ．①③④D ．①②④【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义可判断出①正确；由周期函数特点知②错误；函数定义域为R ，最值点即为极值点，由02f π⎛⎫'≠ ⎪⎝⎭知③错误；令()()1g x f x x =-，在0x >和0x <两种情况下知()g x 均无零点，知④正确.【详解】由题意得：()f x 定义域为R ，()()()()22sin sin 11x xf x f x x x --==-=-+-+Q ，()f x ∴为奇函数，图象关于原点对称，①正确； sin y x =Q 为周期函数，21y x =+不是周期函数，()f x ∴不是周期函数，②错误；()()()2221cos 2sin 1x x x xf x x +-'=+Q ，02f π⎛⎫'∴≠⎪⎝⎭，2f π⎛⎫∴ ⎪⎝⎭不是最值，③错误； 令()()221sin 1sin 111x x x x g x f x x x x x --=-=-=++，当0x >时，sin x x <，10x>，()0g x ∴<，此时()f x 与1y x =无交点；当0x <时，sin x x >，10x<，()0g x ∴>，此时()f x 与1y x =无交点；综上所述：()f x 与1y x=无交点，④正确. 故选：A . 【点睛】本题考查函数与导数知识的综合应用，涉及到函数奇偶性和周期性的判断、函数最值的判断、两函数交点个数问题的求解；本题综合性较强，对于学生的分析和推理能力有较高要求. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

武汉市2021届高中毕业生三月质量检测数 学 试 卷武汉市教育科学研究院命制2021.3.2本试题卷共5页，22题，全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数z满足zz=i.则复平面上表示复数z的点位于(B)A.第一或第三象限B.第二或第四象限C.实轴D.虚轴2.“tanθ=3”是“sin2θ=32”的(A)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.设a=30.5,b=40.4,c=50.3,则(C)A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b4.已知正整数n≥7,若(x-1x)(1-x)n的展开式中不含x4的项,则n的值为(B)A.7B.8C.9D.105.从3双不同的鞋子中随机任取3只,则这3只鞋子中有两只可以配成一双的概率是(C)A.25B.12C.35D.236.某圆锥母线长为2,底面半径为3,则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为(A)A.2B.3C.2D.17.过抛物线E:y2=2px(p>0)焦点F的直线交抛物线于A,B两点,过A,B分别向E的准线作垂线,垂足分别为C ,D ,若△ACF 与△BDF 的面积之比为4,则直线AB 的斜率为(D )A.±1B.±3C.±2D.±228.设函数f (x )=2sin (ωx +φ)-1(ω>0),若对于任意实数φ,f (x )在区间[π4 ,3π4]上至少有2个零点,至多有3个零点,则ω的取值范围是(B )A.[83 ,163 )B.[4,163 )C.[4,203 )D.[83 ,203)二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

2021年湖北省武汉市高考数学质检试卷（4月份）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设集合A ，B 满足{1A B =，2，3，4，5，6}，{2AB =，4}，{2A =，3，4，5}，则(B = ) A ．{2，4，5，6}B ．{1，2，4，6}C ．{2，4，6}D ．{1，2，4}2．（5分）复数z 满足|1|||z i z +-=，若z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则( ) A ．10x y -+=B ．10x y --=C ．10x y ++=D ．10x y +-=3．（5分）设0.2log 0.3a =，2log 3b =，4log 6c =，则( ) A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．a c b <<4．（5分）被誉为我国“宋元数学四大家”的李治对“天元术”进行了较为全面的总结和探讨，于1248年撰写《测圆海镜》，对一元高次方程和分式方程理论研究作出了卓越贡献．我国古代用算筹记数，表示数的算筹有纵式和横式两种，如图1所示．如果要表示一个多位数字，即把各位的数字依次横列，个位数用纵式表示，且各位数的筹式要纵横相间，例如614用算筹表示出来就是“”，数字0通常用“〇”表示．按照李治的记法，多项式方程各系数均用算筹表示，在一次项旁记一“元”字，“元”向上每层增加一次幂，向下每层减少一次幂．如图2所示表示方程为327203364184883200x x x x++++=．根据以上信息，图3中表示的多项式方程的实根为( )A ．43-和52-B ．56-和4-C ．53-和2-D ．203-和12- 5．（5分）已知平面向量||3a =，||2b =，()8a a b ⋅-=，则cos a <，(b >= ) A ．13B 6C ．16D ．236．（5分）一组数据由10个数组成，将其中一个数由4改为1，另一个数由6改为9，其余数不变，得到新的10个数，则新的一组数的方差相比原先一组数的方差的增加值为( )A ．2B ．3C ．4D ．57．（5分）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限交于点A ，直线1AF 与双曲线的另一个交点为B ，若1||3BF =，2||5AF =，则该双曲线的离心率为( )A ．2B ．53C D 8．（5分）在四棱锥P ABCD -中，3DC AB =，过直线AB 的平面将四棱锥截成体积相等的两个部分，设该平面与棱PC 交于点E ，则(PEPC= )A ．12B C D ．23二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北武汉市2021届高三起点质量检测数学全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合A={x| x2-x-2 <0},B ={x|0 < x< 3},则A⋂B =A. (-1,2)B. (0,2)C. (-1 ,3)D. ( 0 ,3 )2.若a+i3-2i为纯虚数，则实数 a的值为A.23 B.-23 C.32 D. -323.已知命题p : 所有的三角函数都是周期函数，则, ⌝p 为A.所有的周期函数都不是三角函数B. 所有的三角函数都不是周期函数C. 有些周期函数不是三角函数D. 有些三角函数不是周期函数4.平面向量 a = ( 2 , 1 ) ,|b| = 2 ,a·b=4,则向量a, b夹角的余弦值为A.255 B.45 C.55 D.155.某学校组织三个年级的学生到博物馆参观，该博物馆设有青铜器，瓷器，书画三个场馆.学校将活动时间分为三个时间段，每个时间段内三个年级的学生参观的场馆互不相同，并且每个年级的学生在三个时间段内参观的场馆不重复，则不同的安排方法有A. 6 种B. 9 种C. 12 种D. 18 种6.过抛物线E : y2= 2x焦点的直线交E于 A, B两点，线段AB中点M到y轴距离为1，则 |AB |==A. 2B.52C . 3D. 47. 如图，点 A , B , C , M , N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN // 平面ABC 的是8. 我国古人认为宇宙万物是由金，木，水，火，土这五种元素构成，历史文献《尚书· 洪范》提出了五行的说法，到战国晚期，五行相生相克 的思想被正式提出这五种物质属性的相生相克关系如图所示，若从这五种物质属性中随机选取三种，则取出的三种物质属性中 ，彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关 系的概率为 A.35 B.12 C.25 D.13二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 在每小题 给出的选项中，有多项符合题目要求。

绝密★启用前2020-2021学年度武汉市部分学校高三起点质量监测数学试卷武汉市教育科学研究院命制2020.9.8＊祝考试顺利＊注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设集合A={x| x2-x-2 <0},B ={x|0 < x< 3},则A⋂B =（）A. (-1,2)B. (0,2)C. (-1 ,3)D. ( 0 ,3 )2、若a+i3-2i为纯虚数，则实数a的值为（）A.23 B.-23 C.32 D. -323、已知命题p:所有的三A.所有的周期函数都不是三角函数 B.所有的三角函数都不是周期函数C.有些周期函数不是三角函数 D.有些三角函数不是周期函数4、平面向量a = ( 2 , 1 ) ，|b| = 2 ,a·b=4，则向量a，b夹角的余弦值为（）A.255 B.45 C.55 D.155、某学校组织三个年级的学生到博物馆参观，该博物馆设有青铜器、瓷器、书画三个场馆.学校将活动时间分为三个时间段，每个时间段内三个年级的学生参观的场馆互不相同，并且每个年级的学生在三个时间段内参观的场馆不重复，则不同的安排方法有（）A.6 种B. 9 种C. 12 种D. 18 种6、过抛物线 E : y 2 =2x 焦点的直线交E 于A ，B 两点，线段 AB 中点M 到 y 轴距离为1，则 |AB |=（ ）A. 2B.52C . 3 D. 4 7、如图，点 A 、B 、C 、M 、N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中不满足直线MN //平面ABC 的是（ ）8、我国古人认为宇宙万物是由金、木、水、火、土这五种元素构成，历史文献《尚书·洪范》提出了五行的说法，到战国晚期，五行相生相克的思想被正式提出·这五种物质属性的相生相克关系如图所示，若从这五种物质属性中随机选取三种，则取出的三种物质属性中，彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率为（ ）A.35B.12C.25D.13二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9、无穷数列{a n }的前 n 项和S n =a n 2 + bn + c ，其中 a 、b 、 c 为实数，则（ ）A.{a n }可能为等差数列B.{a n }可能为等比数列C.{a n }中一定存在连续三项构成等差数列D.{a n }中一定存在连续三项构成等比数列10、今年7月，有关部门出台在疫情防控常态化条件下推进电影院恢复开放的通知，规定低风险地区在电影院各项防控措施有效落实到位的前提下可有序恢复开放营业.一批影院恢复开放后，统计某连续14天的相关数据得到如下的统计表.其中，编号 l 的日期是周一，票房指影院门票销售金额，观影人次相当于门票销售数量.由统计表可以看出，这连续14天内（ ）A.周末日均的票房和观影人次高于非周末B.影院票房，第二周相对于第一周同期趋于上升C.观影人次，在第一周的统计中逐日增长量大致相同D.每天的平均单 场门票价格都高千 20 元11、若0 < a < b < c 且 abc = l ，则（ ）A . 2a +2b >4 B. l g a + 1g b < 0 C. a + c 2 >2D. a 2 + c >2 12、已知函数f ( x ) = sin(sin x ) + cos(cos x ) ，下列关于该函数结论正确的是（ ）A . f ( x )的图象关于直线 x =π2对称 B. f ( x )的一个周期是2πC. f ( x )的最大值为2D. f ( x ) 是区间( 0 , π2）上的增函数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13、某圆锥母线长为4 ，其侧面展开图为半圆面，则该圆锥体积为_______．14、(x +1x )(1-x )6展开式中含x 4项的系数为_______．15、设函数f ( x ) = ln 1+sin x2cos x在区间［-π4，π4］上的最小值和最大值分别为m和M，则m +M =_______．16、双曲线E : x2a2-y2b2=1( a>0，b > 0 ) 的左焦点为F，过F作x轴垂线交E于点A，过F作与E的一条渐近线平行的直线交E于点B，且A，B在x轴同侧，若∠F AB= 30°，则E的离心率为_______．四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、（本小题满分10分）在①S11+S22+…+S77=21，②1a1a2+1a2a3+…+1a6a7= -23，③a22-a32+a42-a52+a62-a72= -48.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的数列存在，求数列{a n}的通项公式；若问题中的数列不存在，请说明理由.问题：是否存在等差数列{a n}，它的前n项和为S n，公差d> 0 ，a1= - 3，_______．注：如果选择多个条件分别解答，按笫一个解答计分．18、在△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，AC =AD= 1 ，AB=3.( 1 ) 求 cos∠BAD；( 2 ) 求△ABC的面积.19、如图，三棱柱A BC-A I１B１C1中，A1B1⊥平面ACC1A1，∠CAA1 = 60°，AB= AA1=1，AC=2.(1 ) 证明：AA1⊥B1C；( 2 ) 求二面角A–B1C-B的余弦值.20、有编号为1 ，2 ，3的三只小球和编号为1 ，2 ，3，4的四个盒子，将三只小球逐个随机地放入四个盒子中，每只球的放置相互独立.(1 ) 求三只小球恰在同一个盒子中的概率；( 2 ) 求三只小球在三个不同盒子且每只球编号与所在盒子编号不同的概率；( 3 ) 记录所有至少有一只球的盒子，以X表示这些盒子编号的最小值，求EX.21、椭圆 E :x2a2+y2b2=1 ( a> b > O) 的离心率12，长轴端点和短轴端点的距离为7.(1 ) 求椭圆E的标准方程；( 2 ) 点P是圆x2+y2=r2(r>0)上异于点A( r，O)和B(r，0)的任一点，直线A P与椭圆E交于点M、N，直线BP与椭圆E交于点S 、T.设O为坐标原点，直线OM、ON、OS、OT的斜率分别为k OM、k ON，k OS，k OT .问：是否存在常数r，使得k OM+k ON =k OS+k OT恒成立？若存在，求r的值；若不存在，请说明理由.22、已知函数g ( x ) =x l n x．(1 ) 求曲线y = g ( x ) 在点( e，g ( e ) ) 处的切线方程；( 2 )设f ( x ) =x2+1g(x)，证明f ( x ) 恰有两个极值点x1和x2，并求f(x1) +f(x2)的值．。

湖北省武汉市2021届高三数学下学期3月质量检测试题 理（含解析）本试卷共5页，23题（含选考题），全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．选择题的作答：每小题选出答案后，请用黑色签字笔填写在答题卡上对应的表格中． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．4．选考题的作答：先把所选题目的题号用黑色签字笔填写在答题卡上指定的位置，答案写在答题卡上对应的答题区域内．5．请学生自行打印答题卡．不能打印的，可在A4白纸上答题，选择题请标明题号，写清答案；非选择题请标明题号，自行画定答题区域，并在相应区域内答题，需要制图的请自行制图．6．答题完毕，请将答案用手机拍照并上传给学校，原则上一张A4拍成一张照片，要注意照片的清晰，不要多拍、漏拍．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z ＝（1+2i ）（1+ai ）（a ∈R ），若z ∈R ，则实数a ＝（ ） A.12B. 12-C. 2D. ﹣2【答案】D 【解析】 【分析】化简z ＝（1+2i ）（1+ai ）=()()122a a i -++，再根据z ∈R 求解. 【详解】因为z ＝（1+2i ）（1+ai ）=()()122a a i -++， 又因为z ∈R ， 所以20a +=， 解得a ＝-2. 故选：D【点睛】本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.已知集合M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，N ＝{x |x （x +3）≤0}，则M ∩N ＝（ ） A. [﹣3，2） B. （﹣3，2）C. （﹣1，0]D. （﹣1，0）【答案】C 【解析】 【分析】先化简N ＝{x |x （x +3）≤0}={x |-3≤x ≤0}，再根据M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，求两集合的交集. 【详解】因为N ＝{x |x （x +3）≤0}={x |-3≤x ≤0}， 又因为M ＝{x |﹣1＜x ＜2}， 所以M ∩N ＝{x |﹣1＜x ≤0}. 故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3.同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为（ ） A.16B.518C.19D.512【答案】A 【解析】 【分析】直接计算概率得到答案.【详解】共有66=36⨯种情况，满足条件的有()()()()()()1,11,21,32,1,2,2,3,1，，，6种情况， 故61366p ==. 故选：A .【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力. 4.在正项等比数列{a n }中，a 5-a 1=15，a 4-a 2 =6，则a 3=（ ） A. 2 B. 4 C.12D. 8【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到4511115a a a q a -=-=，342116a a a q a q -=-=，解得答案.【详解】4511115a a a q a-=-=，342116a a a q a q-=-=，解得11 2a q =⎧⎨=⎩或11612aq=-⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）.故2314a a q==.故选：B.【点睛】本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.5.执行如图所示的程序框图，输出的s的值为（）A. 53B.85C.138D.2113【答案】C【解析】【分析】根据循环结构依次进行，直至不符合4 i≤，终止循环，输出s.【详解】第一次循环，2,1s i==，第二次循环，3,22s i==，第三次循环，5,33s i==，第四次循环，8,45s i==，第四次循环，13,58s i==，此时不满足4i ≤，输出138s =. 故选：C【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题. 6.已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，则()PA PB PC ⋅+的最大值是（ ） A. 2 B. 1C. 3D. 2【答案】D 【解析】 【分析】如图所示建立直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，则(1)cos PA PB PC θ⋅+=-，计算得到答案.【详解】如图所示建立直角坐标系，则1,0A ，13,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ，13,2C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，设()cos ,sin P θθ，则(1cos ,sin )(12cos ,2si (n ))PA PB PC θθθθ=--⋅--⋅+-222(1cos )(12cos )2sin 2cos cos 12sin 1cos 2θθθθθθθ=---+=--+=-≤.当θπ=-，即()1,0P -时等号成立. 故选：D .【点睛】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.7.已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ） A.12B.14【答案】A 【解析】 【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求最值. 【详解】已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+）， =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+⎪-⎝⎭+，=1cos 2111cos 22223x x π⎛⎛⎫-=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以f （x ）的最小值为12. 故选：A【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8.已知数列{a n }满足a 1=1，(a n +a n+1-1)2=4a n a n +1，且a n +1>a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n =（ ） A. 2n B. n 2 C. n +2 D. 3n -2【答案】B 【解析】 【分析】1=，故为首项是1，公差为1的等差数列，得到答案.【详解】()21114n n n n a a a a +++-=，故11n n a a ++-=，即21=，1=，11a =，故为首项是1，公差为1的等差数列.n =，2n a n =.故选：B .1=是解题的关键. 9.已知a =0.80.4，b =0. 40. 8，c = log 84，则（ ） A. a<b<c B. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a【答案】D 【解析】 【分析】计算得到555b c a <<，得到答案.【详解】5254582320.80.64,0.40.0256,log 4,0.13173243a b c c =======≈，故555b c a <<.即b c a <<. 故选：D .【点睛】本题考查了数值的大小比较，计算其五次方是解题的关键.10.青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为（ ） A.25B.35C.15D.215【答案】A 【解析】 【分析】计算所有情况共有150种，满足条件的共有60种，得到答案.【详解】所有情况共有2133535322150C C C A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭种. 满足条件的共有22253260C C A =种，故6021505p ==. 故选：A .【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.11.已知点P 在椭圆τ：2222x y a b+=1(a>b >0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e =（ ）A.12B.2C.2D.3【答案】C 【解析】 【分析】设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ，根据PA PB ⊥化简得到2234a c =，得到答案.【详解】设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，34PD PQ =，则11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得到：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，2121221212PBy y x x b k x x a y y -+==-⋅-+，AD AB k k =，即1121124y y y x x x +=+，()1211124PA y y y k x x x +==+， PA PB ⊥，故1PA PBk k ⋅=-，即2241b a -=-，故2234a c =，故e =故选：C .【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.12.已知关于x 的不等式3xe x-x - alnx ≥1对于任意x ∈(l，+∞)恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. （-∞，1-e]B. （-∞，-3]C. （-∞，-2]D. （-∞，2-e 2] 【答案】B 【解析】 【分析】化简得到3ln 1ln x x e x a x---≤，根据1x e x ≥+化简得到答案.【详解】根据题意：33ln 3ln 31111ln ln ln ln xx x x x x e x x e x e e x e x x a x x x x-----------≤===. 设()1xf x e x =--，则()'1xf x e =-，则函数在(),0-∞上单调递减，在[)0,+∞上单调递增，故()()min 00f x f ==，故1x e x ≥+.根据1x e x ≥+，3ln 13ln 113ln ln x xe x x x x x x----+--≥=-，故3a ≤-.故选：B .【点睛】本题考查了根据不等式恒成立求参数，利用不等式1x e x ≥+化简是解题的关键. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知以x ±2y =0为渐近线的双曲线经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为________.【答案】221123y x -=【解析】 【分析】设双曲线方程为224x y λ-=，代入点(4,1)，计算得到答案.【详解】双曲线渐近线为20x y ±=，则设双曲线方程为：224x y λ-=，代入点(4,1)，则12λ=.故双曲线方程为：221123y x -=.故答案为：221123y x -=.【点睛】本题考查了根据渐近线求双曲线，设双曲线方程为224x y λ-=是解题的关键.14.若函数f （x ）cosx a sinx +=在（0，2π）上单调递减，则实数a 的取值范围为___．【答案】a ≥﹣1． 【解析】 【分析】 将函数f （x ）cosx a sinx +=在（0，2π）上单调递减，转化()21cos 0sin a xf x x --'=≤在（0，2π）上恒成立 即1cos a x ≥-在（0，2π）上恒成立 再求1cos x -最大值即可.【详解】因为函数f （x ）cosx asinx +=在（0，2π）上单调递减，所以()21cos 0sin a xf x x --'=≤在（0，2π）上恒成立 ，即1cos a x ≥-在（0，2π）上恒成立 ，因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以()cos 0,1x ∈， 所以1(,1]cos x-∈-∞-， 所以1a ≥-. 故答案为：1a ≥-【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.15.根据气象部门预报，在距离某个码头A 南偏东45°方向的600km 处的热带风暴中心B 正以30km /h 的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，从现在起经过___小时后该码头A 将受到热带风暴的影响（精确到0.01）． 【答案】9.14h. 【解析】 【分析】先建立坐标系，设风暴中心最初在B 处，经th 后到达C 处．自B 向x 轴作垂线，垂足为D ．若在点C 处受到热带风暴的影响，则AC ＝450，则有=450，即=450；两边平方并化简、整理求解.【详解】建立如图所示直角坐标系：设风暴中心最初在B 处，经th 后到达C 处．自B 向x 轴作垂线，垂足为D ． 若在点C 处受到热带风暴的影响，则OC ＝450， 22AD DC +=450，22(60045)(6004530)cos sin t ︒+︒-=450； 两边平方并化简、整理得t 2﹣2t +175＝0 ∴t 1025=或1025，1024159.≈所以9.14时后码头将受到热带风暴的影响．【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 16.在三棱锥S- ABC 中，底面△ABC 是边长为3的等边三角形，SA 3SB 3，若此三棱锥外接球的表面积为21π，则二面角S-AB-C 的余弦值为____． 【答案】12- 【解析】 【分析】证明CD AB ⊥，2O D AB ⊥，得到2CDO ∠为二面角S AB C --的平面角，计算故13ODO π∠=，23ODO π∠=，得到1223O DO π∠=，得到答案. 【详解】球的表面积为2421R ππ=，故212R =，222SA SB AB +=，故2SAB π∠=.SAB ∆的外接圆圆心为SB 中点2O ，23r =ABC ∆的外接圆圆心为三角形中心1O ，1332r ==⨯.设球心为O ，则2OO ⊥平面SAB ，1OO ⊥平面ABC ，1CO 与AB 交于点D ， 易知D 为AB 中点，连接DO ，2DO ，易知CD AB ⊥，2O D AB ⊥， 故2CDO ∠为二面角S AB C --的平面角. 故221132OO R r =-=，222232OO R r =-=，1133DO CD ==，2132DO SA ==. 1tan 3ODO ∠=，故13ODO π∠=，2tan 3ODO ∠=，故23ODO π∠=.故1223O DO π∠=，121cos 2O DO ∠=-. 故答案为：12-.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17 - 21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =4，tan tan tan tan A B c bA B c--=+.（1）求A 的余弦值；（2）求△ABC 面积的最大值． 【答案】（1）12；（2）43 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化简得到()()sin sin sin A B A B B -=+-，故sin 2sin cos B B A =，得到答案.（2）计算16bc ≤，再利用面积公式计算得到答案. 【详解】（1）tan tan tan tan A B c bA B c --=+，则sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin A B A B C B A B A B C--=+，即()()sin sin sin A B A B B -=+-，故sin 2sin cos B B A =，sin 0B ≠，故1cos 2A =. （2）2222cos a b c bc A =+-，故22162b c bc bc bc +-=≥-，故16bc ≤. 当4b c ==时等号成立.1cos 2A =，故3sin A =，1sin 432S bc A =≤，故△ABC 面积的最大值为43.【点睛】本题考查了正弦定理，面积公式，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力. 18.如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，L 分别为棱A 1D 1，C 1D 1，BC 的中点．（1）求证：AC ⊥QL ；（2）求点A 到平面PQL 的距离． 【答案】（1）证明见解析；（23 【解析】 【分析】（1）作QM CD ⊥于M ，证明AC ⊥平面QML 得到答案.（2）取AB 中点N ，连接,PN LN ，利用等体积法P ANL A PNL V V --=计算得到答案. 【详解】（1）如图所示：作QM CD ⊥于M ，易知M 为CD 中点，L 为BC 中点，故AC ML ⊥.QM CD ⊥，故QM ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，故QM AC ⊥. QMML M =，故AC ⊥平面QML ，QL ⊂平面QML ，故AC QL ⊥.（2）取AB 中点N ，连接,PN LN ，易知//PQ LN ，AC QL ⊥，故PQLN 为矩形. 故A 到平面PQL 的距离等于A 到平面PNL 的距离.故31113322224P ANLa a a V Sh a -==⨯⋅⋅⋅=. 22211232222PNLa S NL NP a a a ∆=⋅=⋅⋅+=， P ANLA PNL V V --=，即32133424a a d ⋅⋅=，故36d a =.【点睛】本题考查了线线垂直，点面距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 19.已知抛物线Γ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，P 是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足FP =（2，3） （1）求抛物线Γ的方程；（2）已知经过点A （3，﹣2）的直线交抛物线Γ于M ，N 两点，经过定点B （3，﹣6）和M 的直线与抛物线Γ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．【答案】（1）y 2＝4x ；；（2）直线NL 恒过定点（﹣3，0），理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的方程，求得焦点F （2p，0），利用FP =（2，，表示点P 的坐标，再代入抛物线方程求解.（2）设M （x 0，y 0），N （x 1，y 1），L （x 2，y 2），表示出MN 的方程y 01014x y y y y +=+和ML 的方程y 02024x y y y y +=+，因为A （3，﹣2），B （3，﹣6）在这两条直线上，分别代入两直线的方程可得y 1y 2＝12，然后表示直线NL 的方程为：y ﹣y 1124y y =+（x 214y -），代入化简求解.【详解】（1）由抛物线的方程可得焦点F （2p ，0），满足FP =（2，）的P 的坐标为（22p +，，P 在抛物线上， 所以（2＝2p （22p+），即p 2+4p ﹣12＝0，p ＞0，解得p ＝2，所以抛物线的方程为：y 2＝4x ；（2）设M （x 0，y 0），N （x 1，y 1），L （x 2，y 2），则y 12＝4x 1，y 22＝4x 2，直线MN 的斜率k MN10102210101044y y y y y y x x y y --===--+， 则直线MN 的方程为：y ﹣y 0104y y =+（x 204y -），即y 01014x y y y y +=+①，同理可得直线ML 的方程整理可得y 02024x y y y y +=+②，将A（3，﹣2），B（3，﹣6）分别代入①，②的方程可得01010202122126y yy yy yy y+⎧-=⎪+⎪⎨+⎪-=⎪+⎩，消y0可得y1y2＝12，易知直线k NL124y y=+，则直线NL的方程为：y﹣y1124y y=+（x214y-），即y124y y=+x1212y yy y++，故y124y y=+x1212y y++，所以y124y y=+（x+3），因此直线NL恒过定点（﹣3，0）．【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系，直线过定点问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.20.有人收集了某10年中某城市居民年收入（即该城市所有居民在一年内收入的总和）与某种商品的销售额的相关数据：且已知101iix=∑= 380.0（1）求第10年的年收入x10；（2）收入x与该种商品的销售额y之间满足线性回归方程y363254x=+ˆa.（i）10年的销售额y10；（ii）居民收入达到40.0亿元，估计这种商品销售额是多少？（精确到0.01）附加：（1）回归方程ˆˆˆy bx a=+中，11221ˆniiniix y nx ybx nx==-=-∑∑，ˆˆa y bx=-.（2）1022110254.0ii xx =-=∑，9112875.0i i i x y ==∑，921340.0i i y ==∑【答案】（1）46；（2）1051y =，41.96y = 【解析】 【分析】 （1）直接根据101380ii x==∑计算得到答案.（2）利用公式计算1011022110363ˆ25410i ii i i x y x ybx x ==-⋅==-∑∑得到1051y =，得到中心点()38,39.1，代入计算得到答案. 【详解】（1）10101323133363738394345380ii xx ==+++++++++=∑，故1046x =.（2）1011022110363ˆ25410i ii ii x y x ybxx ==-⋅==-∑∑，即10103401287546103836310254254y y ++-⋅⋅=， 解得1051y =，故38x =，2530343739+41+42+44+485139.110y +++++==.将点()38,39.1代入回归方程363254y x a =+得到：15.21a ≈-. 故36315.21254y x =-，当40x =时，41.96y =. 【点睛】.本题考查了回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力. 21.（1）证明函数2sin 2cos xy e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增；（2）证明函数()2sin xe f x x x=-在(-π，0)上有且仅有一个极大值点0,x 且00() 2.f x <<【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，根据导数正负性判断单调性即可证明.（2）根据（1）已有信息，对函数进行二次求导，判断单调性及函数的零点，综合分析，再利用定义域计算函数值的取值范围，即可得证. 【详解】（1）对函数求导，得，'2cos 2cos 2sin 4cos 2sin ,x xy e x x x x e x x x =--+=-+因为任意的x ∈R ,有0x e >，且在区间(,)2ππ--上，1sin 0,1cos 0,x x -<<-<<所以(,),2sin 0,4cos 0,2x x x x ππ-->->∀∈即'4cos 2sin 0xy e x x x =-+>，即函数2sin 2cos xy e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增.（2）对函数求导，得()()2212cos 'x x e x x f x x --=， 令()()212cos xg x ex x x =--，则()()'2sin 4cos x g x x e x x x =+-当,2x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，由（1）知，4cos 2sin 0xe x x x -+>，则()'0g x < 故()g x 在,2ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递减 而()()2210,12022g e g e πππππππ--⎛⎫⎛⎫-=--<-=-++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由零点存在定理知：存在唯一的0,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00g x =，即()()02000012cos x g x ex x x =--当()0,x x π∈-时，()00g x >，即()'0f x >，()f x 为增函数；当0,2x x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()00g x <，即()'0f x <，()f x 为减函数.又当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()2212cos '0xx e x x f x x --=<所以()f x 在()0,0x 上恒为减函数， 因此()f x 有唯一的极大值点0x由()f x 在0,2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故()20212sin 202222e f x f e ππππππ-⎛⎫⎛⎫>-=--=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- 即()00f x >又()00002sin ,x e f x x x =-当0,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时， 00010,02sin 2x e x x -<<<-<故()02f x <综上，函数()2sin xe f x x x=-在(-π，0)上有且仅有一个极大值点0,x 且00() 2.f x <<【点睛】导数题是高考中的重难点，通常涉及根据导数分析函数单调性、极值点等，此类证明题多涉及二次求导步骤，根据定义域分析函数值范围等.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分．[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为54x cos y sin αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0． （1）求曲线C 1的一般方程和曲线C 2的直角坐标方程； （2）若点P 在曲线C 1上，点Q 曲线C 2上，求|PQ |的最小值． 【答案】（1）2212516x y +=，（x ﹣2）2+y 2＝1；（2）2.【分析】（1）由C 1的参数方程为5(4x cos y sin ααα=⎧⎨=⎩为参数），消去参数即可转换为直角坐标方程，根据曲线C 2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．利用cos ,sin x y ρθρθ==转换为直角坐标方程.（2）设点P （5cosθ，4sinθ），根据点Q 在圆上，先求点P 到圆心的距离，然后减去半径即为最小值.【详解】（1）曲线C 1的参数方程为5(4x cos y sin ααα=⎧⎨=⎩为参数），两式平方相加整理得2212516x y +=． 将cos ,sin x y ρθρθ==代入ρ2﹣4ρcosθ+3＝0． 得x 2+y 2﹣4x +3＝0， 整理得（x ﹣2）2+y 2＝1．（2）设点P （5cosθ，4sinθ）在曲线C 1上，圆心O （2，0），所以：PO === 当cosθ＝1时，|PO |min ＝3， 所以|PQ |的最小值3﹣1＝2．【点睛】本题主要考查了参数方程，普通方程，极坐标方程间的互化及点与圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. [选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f （x ）＝|2x ﹣a |+|x ﹣a +1|． （1）当a ＝4时，求解不等式f （x ）≥8；（2）已知关于x 的不等式f （x ）22a ≥在R 上恒成立，求参数a 的取值范围．【答案】（1）[5，+∞）∪（∞，13-]；（2）[﹣2，1]. 【解析】（1）根据a ＝4时，有f （x ）＝|2x ﹣4|+|x ﹣3|，然后利用绝对值的几何意义，去绝对值求解.（2）根据绝对值的零点有a ﹣1和12a ，分a ﹣112a =，a ﹣112a ＞和a ﹣112a ＜时三种情况分类讨论求解.【详解】（1）当a ＝4时，f （x ）＝|2x ﹣4|+|x ﹣3|， （i ）当x ≥3时，原不等式可化为3x ﹣7≥8，解可得x ≥5， 此时不等式的解集[5，+∞）；（ii ）当2＜x ＜3时，原不等式可化为2x ﹣4+3﹣x ≥8，解可得x ≥9 此时不等式的解集∅；（iii ）当x ≤2时，原不等式可化为﹣3x +7≥8，解可得x 13≤-， 此时不等式的解集（∞，13-]，综上可得，不等式的解集[5，+∞）∪（∞，13-]，（2）（i ）当a ﹣112a =即a ＝2时，f （x ）＝3|x ﹣1|22a ≥=2显然不恒成立，（ii ）当a ﹣112a ＞即a ＞2时，()1321211123211x a x a f x x a x a x a x a ⎧-+-≤⎪⎪⎪=--⎨⎪-+≥-⎪⎪⎩，，＜＜，， 结合函数的单调性可知，当x 12a =时，函数取得最小值f （12a ）112a =-， 若f （x ）22a ≥在R 上恒成立，则211122a a -≥，此时a 不存在，（iii ）当a ﹣112a ＜即a ＜2时，f （x ）3211111213212x a x a x a x a x a x a ⎧⎪-+-≤-⎪⎪=-+-⎨⎪⎪-+≥⎪⎩，，＜＜，重点中学试卷 可修改 欢迎下载- 21 - 若f （x ）22a ≥在R 上恒成立，则121122a a -≥， 解得﹣2≤a ≤1，此时a 的范围[﹣2，1]，综上可得，a 的范围围[﹣2，1]．【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法及含有绝对值的不等式恒成立问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.。

湖北省武汉市2021届新高考第三次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数2,()5,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩（0a >），若函数()()4g x f x x =-有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．(0,1)[5,)+∞UB ．6(0,)[5,)5+∞U C ．(1,5] D ．6(,5]5【答案】A 【解析】 【分析】分段求解函数零点，数形结合，分类讨论即可求得结果. 【详解】作出2y x x =-和5y x =-，4y x =的图像如下所示：函数()()4g x f x x =-有三个零点， 等价于()y f x =与4y x =有三个交点， 又因为0a >，且由图可知，当0x ≤时()y f x =与4y x =有两个交点,A O ， 故只需当0x >时，()y f x =与4y x =有一个交点即可. 若当0x >时，()0,1a ∈时，显然y =y (y )与y =4|y |有一个交点y ，故满足题意； 1a =时，显然y =y (y )与y =4|y |没有交点，故不满足题意；()1,5a ∈时，显然y =y (y )与y =4|y |也没有交点，故不满足题意； [)5,a ∈+∞时，显然()y f x =与4y x =有一个交点C ，故满足题意.综上所述，要满足题意，只需a ∈(0,1)[5,)+∞U . 故选：A. 【点睛】本题考查由函数零点的个数求参数范围，属中档题.2．设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离为1d ，到直线:34120l x y ++=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ） A ．2 B ．153C ．163D ．3【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】分析：题设的直线与抛物线是相离的，12d d +可以化成1211d d ++-，其中11d +是点P 到准线的距离，也就是P 到焦点的距离，这样我们从几何意义得到121d d ++的最小值，从而得到12d d +的最小值.详解：由2434120y xx y ⎧=⎨++=⎩①得到2316480y y ++=，25612480∆=-⨯<，故①无解， 所以直线34120x y ++=与抛物线是相离的. 由121211d d d d +=++-，而11d +为P 到准线1x =-的距离，故11d +为P 到焦点()1,0F 的距离， 从而121d d ++的最小值为F 到直线34120x y ++=3=，故12d d +的最小值为2，故选A.点睛：抛物线中与线段的长度相关的最值问题，可利用抛物线的几何性质把动线段的长度转化为到准线或焦点的距离来求解.3．双曲线C ：2215x y m-=（0m >），左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．250x y ±= B．20x ±=C20y ±=D0y ±=【答案】B 【解析】【分析】0-=，再利用左焦点到渐近线的距离为2，列方程即可求出m ，进而求出渐近线的方程.【详解】设左焦点为(),0c -0-=，由左焦点到渐近线的距离为2，可得2==，所以渐近线方程为y =20x =, 故选：B 【点睛】本题考查双曲线的渐近线的方程，考查了点到直线的距离公式，属于中档题. 4．已知函数()cos ||sin f x x x =+，则下列结论中正确的是 ①函数()f x 的最小正周期为π； ②函数()f x 的图象是轴对称图形； ③函数()f x； ④函数()f x 的最小值为1-． A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．②③④【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】因为(π)cos(π)sin(π)|cos ||sin (|)f x x x x x f x +=+++=-≠，所以①不正确； 因为()cos ||sin f x x x =+，所以 cos sin ()|()|(sin |22c )|os 2x x x f x x πππ+++==++， ()2f x π-=cos sin sin |c |()|()|22os ππ++--=x x x x ，所以() ()22f x f x ππ+=-， 所以函数()f x 的图象是轴对称图形，②正确；易知函数()f x 的最小正周期为2π，因为函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，所以只需研究函数()f x 在3[,]22ππ上的极大值与最小值即可．当322x ππ≤≤时，()cos sin )4f x x x x π=-+=-，且5444x πππ≤-≤，令42x ππ-=，得34x π=，可知函数()f x 在34x π=，③正确； 因为5444x πππ≤-≤，所以1)4x π-≤-≤()f x 的最小值为1-，④正确． 故选D ．5．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C 相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A '，若34FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ） AB．C ．12D【答案】D 【解析】 【分析】求得点B 的坐标，由34FO AA ='，得出3BF FA =u u u r u u u r，利用向量的坐标运算得出点A 的坐标，代入椭圆C 的方程，可得出关于a 、b 、c 的齐次等式，进而可求得椭圆C 的离心率. 【详解】由题意可得()0,B b 、(),0F c -.由34FO AA ='，得34BF BA =，则31BF FA =，即3BF FA =u u u r u u u r. 而(),BF c b =--u u u r ，所以,33c b FA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，所以点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在椭圆2222:1x y C a b+=上，则22224331b c a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 整理可得2216899c a ⋅=，所以22212c e a ==，所以2e =. 即椭圆C的离心率为2故选：D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是要得出a 、b 、c 的齐次等式，充分利用点A 在椭圆上这一条件，围绕求点A 的坐标来求解，考查计算能力，属于中等题.6．半正多面体(semiregular solid) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．4C ．163D ．203【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图作出该二十四等边体如下图所示，求出该几何体的棱长，可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中点截去8个三棱锥所得到的，可求出其体积. 【详解】如下图所示，将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中，由三视图可知，该几何体的棱长为2，它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，∴该几何体的体积为11202228111323V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=，故选：D.【点睛】本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题.7．定义域为R 的偶函数()f x 满足任意x ∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-.若函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．2⎛ ⎝⎭B ．3⎛ ⎝⎭C ．5⎛ ⎝⎭D ．6⎛ ⎝⎭【答案】B 【解析】由题意可得()f x 的周期为2，当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-，令()log (1)a g x x =+，则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，画出图像，数形结合，根据(2)(2)g f >，求得a 的取值范围. 【详解】()f x 是定义域为R 的偶函数，满足任意x ∈R ，(2)()(1)f x f x f +=-，令1,(1)(1)(1)x f f f =-=--，又(1)(1),(1))(2)(0,f f x f x f f -=∴+==，()f x ∴为周期为2的偶函数，当[2,3]x ∈时，22()212182(3)f x x x x =-+-=--，当2[0,1],2[2,3],()(2)2(1)x x f x f x x ∈+∈=+=--， 当2[1,0],[0,1],()()2(1)x x f x f x x ∈--∈=-=-+， 作出(),()f x g x 图像，如下图所示：函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点， 则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，()0f x ≤Q ，若1a >，()f x 的图像和()g x 的图像只有1个交点，不合题意，所以01a <<，()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点， 则有(2)(2)g f >，即log (21)(2)2,log 32a a f +>=-∴>-，221133,,01,03a a a a ∴><<<∴<<Q . 故选:B.本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题.8．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为（ ）A ．74B ．5627C ．2D ．16481【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】34y x =-，1i =；34916y y x =-=-，2i =；342752y y x =-=-，3i =；3481160y y x =-=-，4i =；34243484y y x =-=-，此时不满足3i ≤，跳出循环，输出结果为243484x -，由题意2434842y x =-=，得2x =． 故选:C 【点睛】本题考查了程序框图的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力.9．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（ ）A ．1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个B ．第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了C ．8月是空气质量最好的一个月D ．6月份的空气质量最差. 【答案】D 【解析】由图表可知5月空气质量合格天气只有13天，5月份的空气质量最差．故本题答案选D ．10．已知平面向量a br r ，满足21a b a r r r ＝，＝,与b r 的夹角为2 3π，且)2(()a b a b λ⊥r r r r +－，则实数λ的值为（ ） A ．7- B ．3-C ．2D ．3【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得()()20a b a b λ+-=⋅r r r r，结合向量数量积的运算律，建立λ方程，求解即可.【详解】依题意得22113a b cos π⋅=⨯⨯=-r r 由()()20a b a b λ+-=⋅r r r r ，得()222210a b a b λλ-+-⋅=r r r r即390λ-+=，解得3λ=. 故选:D . 【点睛】本题考查向量的数量积运算，向量垂直的应用，考查计算求解能力，属于基础题.11．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为（ ） A ．19B ．29C ．13D ．49【答案】B 【解析】 【分析】根据组合知识，计算出选出的4人分成两队混合双打的总数为2211332222C C C C A ，然后计算1A 和1B 分在一组的数目为1122C C ，最后简单计算，可得结果. 【详解】 由题可知：分别从3名男生、3名女生中选2人 ：2233C C将选中2名女生平均分为两组：112122C CA将选中2名男生平均分为两组：112122C CA则选出的4人分成两队混合双打的总数为：221111112223322212133222222218C C C C C C C C C C A A A A == 1A 和1B 分在一组的数目为11224C C =所以所求的概率为42189= 故选：B 【点睛】本题考查排列组合的综合应用，对平均分组的问题要掌握公式，比如：平均分成m 组，则要除以mm A ，即!m ，审清题意，细心计算，考验分析能力，属中档题.12．已知等差数列{}n a 的前13项和为52，则68(2)a a +-=（ ）A ．256B ．-256C ．32D ．-32【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质可以求得结果. 【详解】由1371352S a ==，74a =，得()()68822256a a +-=-=.选A.【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，等差数列的等和性应用能快速求得结果. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省荆州市2021届新高考第三次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为,F O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双 曲线C的一条渐近线交于点O 及点33,22A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2213y x -=B ．22126x y -=C ．2213x y -=D ．22162x y -=【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线方程求出渐近线方程：b y x a =，再将点33,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入可得3b a =，连接FA ，根据圆的性质可得2333c -=，从而可求出c ，再由222c a b =+即可求解. 【详解】由双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，则渐近线方程：by x a=±， 33b a ∴=，连接FA ，则2333FAc b AO a -===2c =， 所以2224c a b =+=，解得223,1a b ==.故双曲线方程为2213x y -=.故选：C 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题.2．已知双曲线2221x y a -=的一条渐近线方程是y x =，则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．3C ．2D ．3【答案】D 【解析】双曲线的渐近线方程是1y x a=±，所以1a =1a b == ，2224c a b =+= ，即2c = ，c e a == D. 3．已知函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则1(())f f e =（ ）A ．32B ．1C ．-1D ．0【答案】A 【解析】 【分析】由函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，求得11()ln 1f e e ==-，进而求得1(())f f e 的值，得到答案.【详解】由题意函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则11()ln 1f e e ==-，所以1313(())(1)2(1)2f f f e -=-=--=，故选A. 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4．设α为锐角，若3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ） A ．1725B ． 725-C ． 1725-D ．725【答案】D【分析】用诱导公式和二倍角公式计算． 【详解】2237sin 2cos(2)cos 2()[2cos ()1][2()1]244525ππααααπ=-+=-+=-+-=-⨯-=．故选：D ． 【点睛】本题考查诱导公式、余弦的二倍角公式，解题关键是找出已知角和未知角之间的联系． 5．在等差数列{}n a 中，若244,8a a ==，则7a =（ ） A ．8 B ．12C ．14D ．10【答案】C 【解析】 【分析】将2a ，4a 分别用1a 和d 的形式表示，然后求解出1a 和d 的值即可表示7a . 【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 则由24a =，48a =，得114,38,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得12a =，2d =，所以71614a a d =+=．故选C ． 【点睛】本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建1a 和d 的方程组求通项公式.6．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（ ） A ．84 B ．54C ．42D ．18【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午；②语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案．根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午，要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻，将2节语文课和2节数学课分别捆绑，然后在剩余3节课中选1节到上午，由于2节英语课不加以区分，此时，排法种数为1233232218C A A A =种； ②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午.语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但2节语文课不加以区分，2节数学课不加以区分，2节英语课也不加以区分，此时，排法种数为14242224C A A =种. 综上所述，共有182442+=种不同的排法. 故选：C ． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中等题．7．双曲线C ：2215x y m-=（0m >），左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．250x y ±= B．20x ±=C20y ±=D0y ±=【答案】B 【解析】 【分析】0-=，再利用左焦点到渐近线的距离为2，列方程即可求出m ，进而求出渐近线的方程.【详解】设左焦点为(),0c -0-=，由左焦点到渐近线的距离为2，可得2==，所以渐近线方程为y =20x =, 故选：B 【点睛】本题考查双曲线的渐近线的方程，考查了点到直线的距离公式，属于中档题. 8．若()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x +=-，则 A ．()f x 的值域为RB ．()f x 为周期函数，且6为其一个周期C ．()f x 的图像关于2x =对称D ．函数()f x 的零点有无穷多个【解析】 【分析】运用函数的奇偶性定义，周期性定义，根据表达式判断即可. 【详解】()f x 是定义域为R 的奇函数，则()()f x f x -=-，(0)0f =，又(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=， 即()f x 是以4为周期的函数，(4)(0)0()f k f k Z ==∈， 所以函数()f x 的零点有无穷多个；因为(2)()f x f x +=-，[(1)1]()f x f x ++=-，令1t x =+，则(1)(1)f t f t +=-， 即(1)(1)f x f x +=-，所以()f x 的图象关于1x =对称， 由题意无法求出()f x 的值域， 所以本题答案为D. 【点睛】本题综合考查了函数的性质，主要是抽象函数的性质，运用数学式子判断得出结论是关键.9．用电脑每次可以从区间(0,3)内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于1的概率为（ ） A ．427B ．13C ．127D ．19【答案】C 【解析】 【分析】由几何概型的概率计算，知每次生成一个实数小于1的概率为13，结合独立事件发生的概率计算即可. 【详解】∵每次生成一个实数小于1的概率为13.∴这3个实数都小于1的概率为311327⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，考查学生基本的计算能力，是一道容易题. 10．已知双曲线的两条渐近线与抛物线22,(0)y px p =>的准线分别交于点、，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，三角形AOB 3p=（ ）．A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C 【解析】试题分析：抛物线22,(0)y px p =>的准线为x =-ｐ２，双曲线的离心率为2，则222221=4c b e a a==+，3b a =3y x =，求出交点3(,)22p A -，3(,)22p B --，132AOB S ∆=⨯ 2332p p ==2p =；选C 考点：1.双曲线的渐近线和离心率；2.抛物线的准线方程；11．设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6322S S -=，则2823a a 的最小值为A ．8B ．16C ．24D ．36【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】方法一：由题意得636332()2S S S S S -=--=，根据等差数列的性质，得96633,,S S S S S --成等差数列，设3(0)S x x =>，则632S S x -=+，964S S x -=+，则222288789962212333(3)()()=3a a a a a S S a a a a a S ++-==++2(4)x x+=161682816x x x x =++≥⋅=，当且仅当4x =时等号成立，从而2823a a 的最小值为16，故选B ．方法二：设正项等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式及6322S S -=，化简可得11653262(3)222a d a d ⨯⨯+-+=，即29d =，则222282222222243()33(6)16163382333a a a d a a a a a a a ++===++≥⋅816=，当且仅当221633a a =，即243a =时等号成立，从而2823a a 的最小值为16，故选B ．12．已知3log 5a =，0.50.4b =，2log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a >> B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>【答案】D 【解析】与中间值1比较，,a c 可用换底公式化为同底数对数，再比较大小． 【详解】0.50.41<，3log 51>，又550log 2log 3<<，∴5511log 2log 3>，即23log 5log 5>， ∴c a b >>． 故选：D. 【点睛】本题考查幂和对数的大小比较，解题时能化为同底的化为同底数幂比较，或化为同底数对数比较，若是不同类型的数，可借助中间值如0，1等比较．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021~2022学年湖北省武汉市高三（第三次）模拟考试试卷1. 核电池广泛应用于航空航天领域，其原理是将放射性同位素衰变释放的能量转化为电能，下列核反应方程中可能符合这种核电池原理的是A.B.C. D.2. 如图所示，一辆停在水平地面上的自动卸货卡车正在卸载货物，在车厢倾角缓慢增大的过程中，货物相对车厢底板始终静止，下列说法中正确的是( )A. 车厢底板对货物的支持力逐渐增大B. 车厢底板对货物的摩擦力逐渐减小C. 车厢底板对货物的作用力始终保持不变D. 地面对卡车的摩擦力逐渐增大3. 折返跑是中学体育课中常见的一种运动，某学生进行折返跑过程简化情景的图象如图所示，下列说法中正确的是( )A. 1s 末的加速度大于3s 末的加速度B. 的位移小于的位移C. 3s 末离出发点最远D. 速度一直减小4. 2021年12月9日，“天宫课堂”进行了首次太空授课，“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富为广大青少年带来了一场精彩纷呈的太空科普课，其中王亚平所做的浮力消失实验引人注目：在空间站中，王亚平将一个乒乓球置于水杯中，乒乓球并没有浮在水而上，而是能停留在水中的任意位置，下列说法中正确的是( )A. 乒乓球所受重力为零B. 乒乓球所受合力为零C. 乒乓球在轨运行的线速度大于第一宇宙速度D. 乒乓球在轨运行的加速度小于地球表面的重力加速度5. 如图所示，半径为R的透明球体固定在水平地面上，其上方恰好与一足够大的水平光屏接触，O为球心，其底部S点有一点光源，透明球体对光的折射率。

不考虑光在透明球体中的反射，则光屏上被光照亮区域的面积为( )A. B. C. D.6. 如图所示，在真空中某点电荷电场中有一条虚线，该虚线上电场强度的最大值为E，P点的电场强度方向与虚线夹角为，则P点的场强大小为( )A. EB.C.D.7. 如图所示为一电磁驱动模型，在水平面上固定有两根足够长的平行轨道，轨道左端接有阻值为R的电阻，轨道电阻不计、间距为L，虚线区域内有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直轨道平面向下，磁场以速度v水平向右匀速移动。

2021年高三3月综合测试数学试题 Word版含解析一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.设复数为虚数单位,若为实数,则的值为▲ ．【答案】2【解析】试题分析：为实数,所以考点：复数概念，复数运算2.已知集合，，且，则实数的值是▲ ．【答案】1【解析】试题分析：由题意得：2,21,32,23,1或，解得++=≠==a a a a考点：集合包含关系3.某林场有树苗3000棵，其中松树苗400棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的棵数为▲ ．【答案】20【解析】试题分析：松树苗的棵数为考点：分层抽样4.在的边上随机取一点, 记和的面积分别为和，则的概率是▲ ．【答案】【解析】试题分析：当时，点为边三等分点M（靠近B点），所以的概率是考点：几何概型概率5.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为▲【答案】【解析】试题分析：双曲线的渐近线方程为，所以考点：双曲线的离心率，双曲线渐近线6.右图是一个算法流程图，则输出的值是▲ ．【答案】25【解析】试题分析：第一次循环：，第二次循环：，第三次循环：，第四次循环：，第五次循环：，结束循环，输出考点：循环结构流程图7.函数的定义域为▲ ．【答案】【解析】试题分析：由题意得，所以定义域为考点：函数定义域8.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为▲ ．【答案】【解析】试题分析：三棱锥的高为，体积为考点：三棱锥的体积9.在△中，已知，，且的面积为，则边长为▲ ．【解析】1sin 153,52bc A bc c b =⨯⨯⇒=⇒==，由余弦定理得22212cos 25930()49,7.2a b c bc A a =+-=+-⨯-== 考点：余弦定理，三角形面积10.已知函数，则不等式的解集为 ▲ ．【答案】【解析】 试题分析：由题意得：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，所以)(1)11f x f x x ⇔+⇔≥-≤，即解集为考点：利用函数性质解不等式11.已知函数的最大值与最小正周期相同，则函数在上的单调增区间为 ▲ ．【答案】【解析】试题分析：由题意得：,所以，即，又，所以，即单调增区间为考点：三角函数性质12.设等比数列的前项和为，若成等差数列，且，其中，则的值为 ▲ ．【答案】129【解析】试题分析：由题意得：23452=+21(),2a a a q q q q ⇒=+⇒==-舍，由得，所以考点：等比数列性质13.在平面四边形中，已知，，点分别在边上，且，．若向量与的夹角为，则的值为 ▲ ．【答案】7【解析】 试题分析：因为，所以，从而1293222733AB DC AB EF AB ⨯+⨯⨯+⋅=⋅==考点：向量数量积14.在平面直角坐标系中，若动点到两直线：和：的距离之和为，则的最大值为 ▲ ．【解析】试题分析：由题意得：，所以，其图像为一个正方形，四个顶点分别为, 而表示到原点距离的平方，所以的最大值为考点：线性规划求最值二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.(本小题满分14分)已知向量，．(1)若，求的值；(2)若，，求的值．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：(1)先由向量垂直得到等量关系：，再代入式子化简即可： (2)先由得，化简得，再根据平方关系解得，所以223472 sin()(sin cos)()455θθθπ+=+=+=试题解析：（2）由可得，，即，①………………………………………10分又，且②，由①②可解得，，……12分所以223472sin()(sin cos)()455θθθπ+=+=+=．……………………14分考点：向量垂直，同角三角函数关系16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥中，点分别是棱的中点．(1)求证：//平面；(2)若平面平面，，求证：．【答案】(1) 详见解析(2)详见解析【解析】试题分析：(1)证明线面平行，一般利用其判定定理，即从线线平行出发，利用中位线性质得到，再结合线面平行判定定理条件进行论证，(2)先将面面垂直条件转化为线面垂直，过点作，则平面,从而，又，从而平面,因此试题解析：（1）在中，、分别是、的中点，所以，又平面，平面，所以平面．……………………………………6分（2）在平面内过点作，垂足为．因为平面平面，平面平面，平面，所以平面,………………8分又平面，所以，…………………………10分考点：线面平行判定定理，面面垂直性质定理17.(本小题满分14分)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度）．（1）求关于的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的函数关系式，并求出为何值时，取得最大值？【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）将扇环面的两段弧长和直线段长分别用与表示后，利用其和为30列式，再解出即可；（2）将花坛的面积和装饰总费用分别用与表示，再利用第（1）问的结果消去，从而可得到关于函数，然后可利用导数或基本等式求其最小值，并确定取最小值时的值.试题解析：(1)设扇环的圆心角为θ，则，所以，…………………………………4分(2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<．…………7分 装饰总费用为， ……………………9分所以花坛的面积与装饰总费用的比， …11分令，则，当且仅当t=18时取等号，此时．答：当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．…………………14分(注：对也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分)考点：函数在实际问题中的应用，基本不等式的应用.18.(本小题满分16分)已知的三个顶点，，，其外接圆为．(1)若直线过点，且被截得的弦长为2，求直线的方程；(2)对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求的半径的取值范围．【答案】(1) 或． (2)【解析】试题分析：（1）求的外接圆方程可用待定系数法或利用两边垂直平分线的交点先求出圆心，再利用两点之间距离公式求出半径，求出圆的方程后再利用待定系数法求出直线的方程，此时要注意分直线斜率存在和不存在两种情况讨论；（2）可设出点的坐标，再把点的坐标用其表示，把点的坐标代入圆的方程，利用方程组恒有解去考察半径的取值范围，但要注意三点不能重合，即圆和线段无公共点.试题解析：(1)线段的垂直平分线方程为，线段的垂直平分线方程为，所以外接圆圆心，半径，的方程为．………………4分设圆心到直线的距离为，因为直线被截得的弦长为2，所以．当直线垂直于轴时，显然符合题意，即为所求；…………………………6分当直线不垂直于轴时，设直线方程为，则，解得，综上，直线的方程为或．……………………………………8分(2) 直线的方程为，设，因为点是点，的中点，所以，又都在半径为的上，所以即……………10分因为该关于的方程组有解，即以为圆心为半径的圆与以为圆心为半径的圆有公共点，所以2222-≤-++-+≤+，…12分r r m n r r(2)(36)(24)(2)又，所以对]成立．而在上的值域为[，10]，故且． 15分又线段与圆无公共点，所以对成立，即.故的半径的取值范围为．……………………………16分考点：圆的方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系.19.(本小题满分16分)已知函数（为常数），其图象是曲线．（1）当时，求函数的单调减区间；（2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；（3）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为．问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）当时，存在常数，使；当时，不存在常数，使.【解析】(3) 设，则点处切线方程为，与曲线：联立方程组，得，即，所以点的横坐标．……………………12分由题意知，，，若存在常数，使得，则，即常数，使得，所以常数，使得解得常数，使得，．………15分故当时，存在常数，使；当时，不存在常数，使．16分考点：函数与方程、导数的综合应用.20.（本小题满分16分）已知数列满足，，，是数列的前项和．(1)若数列为等差数列．（ⅰ）求数列的通项；（ⅱ）若数列满足，数列满足，试比较数列前项和与前项和的大小；(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）详见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）（ⅰ）由可得，在递推关系式中，由可求，进而求出，于是可利用是等差数列求出的值，最后可求出的通项公式，（ⅱ）易知，所以要比较和的大小，只需确定的符号和和1的大小关系问题，前者易知为正，后者作差后判断符号即可；（2）本题可由递推关系式通过变形得出，于是可以看出任意，恒成立，须且只需，从而可以求出的取值范围．试题解析：(1)（ⅰ）因为，所以，即，又，所以， ……………………2分又因为数列成等差数列，所以，即，解得，所以()()()1111221*n a a n d n n n =+-=+-⨯=-∈N ； ……………………4分（ⅱ）因为，所以，其前项和，又因为， …………………………………5分所以其前项和，所以， ……7分当或时，；当或时，；当时，．…………………………………………………………9分（2）由知，两式作差，得， ……………………10分所以,再作差得，………………………………………………11分所以，当时，；当时，().31216366234n k a a a k x k n x -==+-⨯=+-=+-；当时，().331614966298n k a a a k x k n x ==+-⨯=-+-=-+；当时，().314161666267n k a a a k x k n x +==+-⨯=++-=+-；……14分因为对任意，恒成立，所以且，所以，解得，，故实数的取值范围为．…………………………………………………16分考点：等差数列、等比数列与函数、不等式的综合运用.附加题21.B (选修4—2：矩阵与变换)（本小题满分10分）设矩阵（其中），若曲线在矩阵所对应的变换作用下得到曲线，求的值．【答案】3．【解析】试题分析：本题可先求出曲线在矩阵所对应的变换作用下得到曲线的方程再与方程加以比较得出的值，也可在曲线上取两特殊点经阵所对应的变换作用下得到点在曲线上，代入方程，求出的值.试题解析：设曲线上任意一点，在矩阵所对应的变换作用下得到点，则，即．…………………………………………………………5分又点在曲线上，所以，则为曲线的方程．又曲线的方程为，故，，因为，所以．…………………………………………………………10分考点：矩阵与变换.21.C(选修4—4：坐标系与参数方程)（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是（为参数）；以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为．由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值．【答案】．【解析】试题分析：先将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再把直线上的点的坐标（含参数）代入，化为求函数的最值问题，也可将直线的参数方程化为普通方程，根据勾股定理转化为求圆心到直线上最小值的问题试题解析：因为圆的极坐标方程为，所以，所以圆的直角坐标方程为，圆心为,半径为1,…4分因为直线的参数方程为（为参数），所以直线上的点向圆C引切线长是=所以直线上的点向圆C引的切线长的最小值是．……………………………………10分考点：直线的参数方程和圆的极坐标方程，圆的切线长.22.（本小题满分10分）某品牌汽车4店经销三种排量的汽车，其中三种排量的汽车依次有５，4，3款不同车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能．(1)求该单位购买的3辆汽车均为种排量汽车的概率；(2)记该单位购买的3辆汽车的排量种数为，求的分布列及数学期望．【答案】（1）；（2）详见解析．【解析】试题分析：(1)这是一个古典概型问题，先求出从15款车型中任买3辆共有多少种可能，再求出购买3辆车都为B 种车有多少种可能，即可求出结果；（2）的所有可能取值为1，2，3，对每种情况要准确分类，求出各种情况下有多少种可能，就可求出各种取值的概率，然后再求数学期望.试题解析：(1)设该单位购买的3辆汽车均为种排量汽车为事件，则所以该单位购买的3辆汽车均为种排量汽车的概率为． ………………………………4分(2)随机变量的所有可能取值为1，2，3.则，．所以的分布列为……………………………8分数学期望．………………………………………………10分考点：随机变量的概率分布.23.（本小题满分10分）已知点，，动点满足．(1)求动点的轨迹的方程；(2)在直线：上取一点，过点作轨迹的两条切线，切点分别为．问：是否存在点，使得直线//？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）．考点：曲线与方程.28315 6E9B 溛20194 4EE2 仢23850 5D2A 崪O#39840 9BA0 鮠r28231 6E47 湇S440117 9CB5 鲵40202 9D0A 鴊N21980 55DC 嗜24574 5FFE 忾。

湖北省武汉市2021届新高考数学第三次押题试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知R 为实数集，{}2|10A x x =-≤，1|1B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则()A B =R I ð（ ） A ．{|10}x x -<≤ B ．{|01}x x <≤ C ．{|10}x x -≤≤ D ．{|101}x x x -≤≤=或【答案】C 【解析】 【分析】求出集合A ，B ，B R ð，由此能求出()R A B I ð． 【详解】R Q 为实数集，2{|10}{|11}A x x x x =-=-剟?，1{|1}{|01}B x x x x==<厔， {|0R B x x ∴=…ð或1}x >， (){|10}R A B x x ∴=-I 剟ð．故选：C ． 【点睛】本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．已知集合{}|0A x x =<，{}2|120B x x mx =+-=，若{}2A B =-I ，则m =（ ）A ．4B ．－4C ．8D ．－8【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义，{}2A B =-I ，可知2B -∈，代入计算即可求出m . 【详解】由{}2A B =-I ，可知2B -∈， 又因为{}2|120B x x mx =+-=， 所以2x =-时，2(2)2120m ---=， 解得4m =-. 故选：B. 【点睛】本题考查交集的概念，属于基础题.3．已知函数()cos ||sin f x x x =+，则下列结论中正确的是 ①函数()f x 的最小正周期为π； ②函数()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x ； ④函数()f x 的最小值为1-． A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．②③④【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】因为(π)cos(π)sin(π)|cos ||sin (|)f x x x x x f x +=+++=-≠，所以①不正确； 因为()cos ||sin f x x x =+，所以 cos sin ()|()|(sin |22c )|os 2x x x f x x πππ+++==++， ()2f x π-=cos sin sin |c |()|()|22os ππ++--=x x x x ，所以() ()22f x f x ππ+=-， 所以函数()f x 的图象是轴对称图形，②正确；易知函数()f x 的最小正周期为2π，因为函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，所以只需研究函数()f x 在3[,]22ππ上的极大值与最小值即可．当322x ππ≤≤时，()cos sin )4f x x x x π=-+=-，且5444x πππ≤-≤，令42x ππ-=，得34x π=，可知函数()f x 在34x π=，③正确；因为5444x πππ≤-≤，所以1)4x π-≤-≤()f x 的最小值为1-，④正确． 故选D ．4．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭个单位长度，得到的函数为偶函数，则ϕ的值为（ ） A ．12π B ．6π C ．3π D ．4π 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的图象变换求得函数的解析式，再根据三角函数的性质，即可求解，得到答案． 【详解】将将函数()sin 2f x x =的图象向左平移ϕ个单位长度， 可得函数()sin[2()]sin(22)g x x x ϕϕ=+=+ 又由函数()g x 为偶函数，所以2,2k k Z πϕπ=+∈，解得,42k k Z ππϕ=+∈， 因为02πϕ≤≤，当0k =时，4πϕ=，故选D ．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 5．若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ=（ ） A ．35B ．45-C ．45D ．35-【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简()f x 的解析式，再根据正弦函数的最值，求得()f x 在x θ=函数取得最小值时cos θ的值． 【详解】解：34()3cos 4sin 5cos sin 5sin()55f x x x x x x α⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭，其中，3sin 5α=，4cos 5α=， 故当22k πθαπ+=-()k ∈Z ，即2()2k k Z πθπα=--∈时，函数取最小值()5fθ=-，所以3cos cos(2)cos()sin 225k ππθπααα=--=--=-=-， 故选：D 【点睛】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值的应用，属于基础题．6．一辆邮车从A 地往B 地运送邮件，沿途共有n 地，依次记为1A ，2A ，…n A （1A 为A 地，n A 为B 地）．从1A 地出发时，装上发往后面1n -地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达1A ，2A ，…n A 各地装卸完毕后剩余的邮件数记为(1,2,,)k a k n =…．则k a 的表达式为（ ）．A ．(1)k n k -+B ．(1)k n k --C ．()n n k -D ．()k n k -【答案】D 【解析】【分析】根据题意，分析该邮车到第k 站时，一共装上的邮件和卸下的邮件数目，进而计算可得答案． 【详解】解：根据题意，该邮车到第k 站时，一共装上了(21)(1)(2)()2n k kn n n k --⨯-+-+⋯⋯-=件邮件，需要卸下(1)123(1)2k k k ⨯-+++⋯⋯-=件邮件， 则(21)(1)()22k n k k k k a k n k --⨯⨯-=-=-，故选：D ． 【点睛】本题主要考查数列递推公式的应用，属于中档题．7．已知斜率为2-的直线与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>交于,A B 两点，若()00,M x y 为线段AB 中点且4OM k =-（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ） AB ．3 CD．4【答案】B 【解析】 【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，代入双曲线方程相减可得到直线AB 的斜率与中点坐标之间的关系，从而得到,a b 的等式，求出离心率． 【详解】4OM y k x ==-， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式相减得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b+-+--=， ∴2121221212()()ABy y b x x k x x a y y -+==-+220220124b x b a y a ⎛⎫==⋅-=- ⎪⎝⎭，228,3b e a ∴=∴==．故选：B ． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题方法是点差法，即出现双曲线的弦中点坐标时，可设弦两端点坐标代入双曲线方程相减后得出弦所在直线斜率与中点坐标之间的关系．8．若双曲线222:14x y C m-=的焦距为C 的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）A ．2B ．4C D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据焦距即可求得参数m ，再根据点到直线的距离公式即可求得结果. 【详解】因为双曲线222:14x y C m-=的焦距为故可得(224m +=，解得216m=，不妨取4m =；又焦点()F ，其中一条渐近线为2y x =-，由点到直线的距离公式即可求的4d ==.故选：B. 【点睛】本题考查由双曲线的焦距求方程，以及双曲线的几何性质，属综合基础题.9．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若1F 、M 是线段AB 的三等分点，则椭圆的离心率为( )A ．12B ．2C D 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得,,A M B 的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果. 【详解】由已知可知，M 点为1AF 中点，1F 为BM 中点， 故可得120F A M x x x +==，故可得A x c =；代入椭圆方程可得22221c y a b +=，解得2b y a =±，不妨取2A b y a=，故可得A 点的坐标为2,b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，则202b M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，易知B 点坐标22,2b c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，将B 点坐标代入椭圆方程得225a c =，所以离心率为5， 故选：D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得,,A B M 点的坐标，属中档题. 10．复数()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则z =( )A ．iB ．﹣2iC ．2iD ．﹣i【答案】B 【解析】 【分析】复数()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，求出a ，即得z .【详解】∵()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，∴21010a a ⎧-=⎨-≠⎩，解得1a =-.2z i ∴=-. 故选：B . 【点睛】本题考查复数的分类，属于基础题.11．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．40322017B ．20152016C ．20162017D ．20151008【答案】D 【解析】循环依次为1111,1,2;3,1,3;6,1,4;336s t i s t i s t i =====+===++=L直至1111,2016;12123122015t i =++++=++++++L L 结束循环，输出1111111112(1)1212312201522320152016t =++++=-+-++-++++++L L L120152(1)20161008=-=，选D.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.12．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[]1,2上是减函数，令12121ln 2,,log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f b f a f c <<D ．()()()f c f a f b <<【答案】C 【解析】 【分析】可设[]0,1x ∈，根据()f x 在R 上为偶函数及(2)()f x f x +=-便可得到：()()(2)f x f x f x =-=-+，可设1x ，[]20,1x ∈，且12x x <，根据()f x 在[]1,2上是减函数便可得出12()()f x f x <，从而得出()f x 在[]0,1上单调递增，再根据对数的运算得到a 、b 、c 的大小关系，从而得到()()(),,f a f b f c 的大小关系. 【详解】解：因为ln1ln 2ln e <<，即01a <<，又12124b -⎛⎫== ⎪⎝⎭，12log 21c ==-设[]0,1x ∈，根据条件，()()(2)f x f x f x =-=-+，[]21,2x -+∈； 若1x ，[]20,1x ∈，且12x x <，则：1222x x -+>-+；()f x Q 在[]1,2上是减函数；12(2)(2)f x f x ∴-+<-+；12()()f x f x ∴<；()f x ∴在[]0,1上是增函数；所以()()()20f b f f ==，()()()11f c f f =-=∴()()()f b f a f c <<故选：C 【点睛】考查偶函数的定义，减函数及增函数的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程：设12x x <，通过条件比较1()f x 与2()f x ，函数的单调性的应用，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省武汉市2021届新高考数学三模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知m 为一条直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若,m ααβ∥∥，则m β∥ B ．若,m αβα⊥⊥，则m β⊥ C ．若,m ααβ⊥∥，则m β⊥ D ．若,m ααβ⊥∥，则m β⊥【答案】D 【解析】A. 若//,//m ααβ，则//m β或m β⊂，故A 错误；B. 若,m αβα⊥⊥，则//m β或m β⊂故B 错误；C. 若//,m ααβ⊥，则//m β或m β⊂，或m 与β相交；D. 若,//m ααβ⊥，则m β⊥，正确. 故选D.2．已知双曲线22221x y C a b-=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )A B ．3C D ．【答案】B 【解析】由于直线的斜率k 3=,所以一条渐近线的斜率为13k '=-，即13b a =，所以e ==，选B.3．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ） A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=【答案】D 【解析】 【分析】由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，可得最小正周期T π=，从而求得ω，得到函数的解析式，又因为当3x π=时，226x ππ-=，由此即可得到本题答案. 【详解】由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭， 因为()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π， 所以函数()y f x =的最小正周期T π=，则22Tπω==， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 当3x π=时，226x ππ-=， 所以3x π=是函数()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一条对称轴， 故选：D 【点睛】本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性.4．已知集合{}1,2,3,,M n =L （*n N ∈），若集合{}12,A a a M =⊆，且对任意的b M ∈，存在{},1,0,1λμ∈-使得i j b a a λμ=+，其中,i j a a A ∈，12i j ≤≤≤，则称集合A 为集合M 的基底.下列集合中能作为集合{}1,2,3,4,5,6M =的基底的是（ ） A ．{}1,5 B ．{}3,5C ．{}2,3D ．{}2,4【答案】C 【解析】 【分析】根据题目中的基底定义求解. 【详解】因为11213=-⨯+⨯，21203=⨯+⨯， 30213=⨯+⨯， 41212=⨯+⨯，51213=⨯+⨯， 61313=⨯+⨯，所以{}2,3能作为集合{}1,2,3,4,5,6M =的基底， 故选：C本题主要考查集合的新定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.5．从抛物线24y x =上一点P (P 点在x 轴上方)引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且||5PM =，设抛物线的焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ） A ．2- B ．2C ．43-D ．43【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的性质求出点P 坐标和焦点F 坐标，进而求出点M 的坐标，代入斜率公式即可求解. 【详解】设点P 的坐标为()000,,0x y y >，由题意知，焦点()1,0F ,准线方程:1l x =-， 所以015PM x =+=，解得04x =， 把点P ()04,y 代入抛物线方程可得，04y =±，因为00y >，所以04y =，所以点M 坐标为()1,4-， 代入斜率公式可得，40211MF k -==---. 故选：A 【点睛】本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力；属于基础题.6．记递增数列{}n a 的前n 项和为n S .若11a =，99a =，且对{}n a 中的任意两项i a 与j a （19i j ≤<≤），其和i j a a +，或其积i j a a ，或其商j ia a 仍是该数列中的项，则（ ）A ．593,36a S ><B ．593,36a S >>C ．693,36a S >>D ．693,36a S ><【答案】D 【解析】 【分析】 由题意可得955a a a =，从而得到53a =，再由53a =就可以得出其它各项的值，进而判断出9S 的范围．解：i j a a +Q ，或其积i j a a ，或其商j ia a 仍是该数列中的项，29a a ∴+或者29a a或者92a a 是该数列中的项， 又Q 数列{}n a 是递增数列， 1239a a a a ∴<<<⋯<， 299a a a ∴+>，299a a a >，只有92a a 是该数列中的项， 同理可以得到93a a ，94a a ，..，98a a 也是该数列中的项，且有99919872a a a a a a a a <<<⋯<<，∴955a a a =，53a ∴=或53a =-（舍)，63a ∴>， 根据11a =，53a =，99a =，同理易得1423a =，1233a =，3443a =，5463a =，3273a =，7483a =，94912914133613S a a a -∴=++⋯+=<-，故选：D ． 【点睛】本题考查数列的新定义的理解和运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题．7．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（ ）A ．4383π+B ．2383π+C ．4343π+D ．8343π+【答案】A 【解析】由题意得到该几何体是一个组合体，前半部分是一个高为234的等边三角形的三棱锥，后半部分是一个底面半径为2的半个圆锥，体积为211144834233Vπ=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+故答案为A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.8．下列不等式成立的是（）A．11sin cos22>B．11231122⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C．112311log log32<D．11331123⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误.【详解】对于A，124π<<Q，11sin cos22∴<，A错误；对于B，12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭Q在R上单调递减，11231122⎛⎫⎛⎫∴<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B错误；对于C，1221log log313=>Q，1331log log212=<，112311log log32∴>，C错误；对于D，13y x=Q在R上单调递增，11331123⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎭∴⎝，D正确.故选：D.【点睛】本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题；关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幂函数的单调性.9．设()11i a bi+=+，其中a，b是实数，则2a bi+=（）A．1 B．2 CD【答案】D【解析】【分析】根据复数相等，可得,a b ，然后根据复数模的计算，可得结果. 【详解】由题可知：()11i a bi +=+， 即1a ai bi +=+，所以1,1a b == 则22212125a bi i +=+=+= 故选：D 【点睛】本题考查复数模的计算，考验计算，属基础题.10．若2332a b a b +=+，则下列关系式正确的个数是（ ） ①0b a << ②a b = ③01a b <<< ④1b a << A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D 【解析】 【分析】a ，b 可看成是y t =与()23=+x f x x 和()32x g x x =+交点的横坐标，画出图象，数形结合处理. 【详解】令()23=+xf x x ，()32xg x x =+， 作出图象如图，由()23=+x f x x ，()32xg x x =+的图象可知，()()001f g ==，()()115f g ==，②正确；(,0)x ∈-∞，()()f x g x <，有0b a <<，①正确；(0,1)x ∈，())(f x g x >，有01a b <<<，③正确； (1,)x ∈+∞，()()f x g x <，有1b a <<，④正确.故选：D. 【点睛】本题考查利用函数图象比较大小，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.11．已知函数1,0()ln ,0x xf x x x x⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．1(0,)eB ．1(0,)2eC ．1(,)2e-∞ D ．11(,)2e e【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数，分当0x <，0x >，将问题转化为()f x k x=的零点问题，用数形结合的方法研究. 【详解】 当0x <时，()21f x k xx==，令()()2312g ,'0x g x x x ==->，()g x 在()0x ∈-∞，是增函数，0k >时，()f x k x=有一个零点， 当0x >时，()2ln f x xk xx==，令()()23ln 12ln h ,x x x h x x x -'==当x ∈时，'()0h x ＞，∴()h x在上单调递增，当)x ∈+∞时，'()0h x ＜，∴()h x在)+∞上单调递减，所以当x =()h x 取得最大值12e， 因为()()F x f x kx =-在R 上有3个零点， 所以当0x >时，()f x k x=有2个零点， 如图所示：所以实数k 的取值范围为1(0,)2e综上可得实数k 的取值范围为1(0,)2e， 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题. 12．已知全集U =R ，集合{}1A x x =<，{}12B x x =-≤≤，则()U A B =I ð（ ） A ．{}12x x <≤ B ．{}12x x ≤≤C ．{}11x x -≤≤D ．{}1x x ≥-【答案】B 【解析】 【分析】直接利用集合的基本运算求解即可． 【详解】解：全集U =R ，集合{}1A x x =<，{}12B x x =-≤≤，{}U |1A x x ∴=≥ð则(){}{}{}|1|12|12U A B x x x x x x =-=I I 厔剟?ð， 故选：B ． 【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021-2022学年湖北省武汉市部分学校高三（上）起点质检数学试卷（9月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 若复数z 的共轭复数z −满足(1+i)z −=i ，则z =( )A.−1+i 2B.−1−i 2C.1+i 2D.1−i 22. 若tanα=2，则cos2α1−sin2α=( )A. −13B. 13C. −3D. 33. 在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x +2y +1=0和x +2y +3=0，另一组对边所在的直线方程分别为3x −4y +c 1=0和3x −4y +c 2=0，则|c 1−c 2|=( )A. 2√3B. 2√5C. 2D. 44. 某圆柱体的底面直径和高均与某球体的直径相等，则该圆柱体表面积与球体表面积的比值为( )A. 2B. 43C. 32D. 545. 在一次试验中，随机事件A ，B 满足P(A)=P(B)=23，则( )A. 事件A ，B 一定互斥B. 事件A ，B 一定不互斥C. 事件A ，B 一定互相独立D. 事件A ，B 一定不互相独立6. 要得到函数y =sin(2x +π6)的图象，可以将函数y =cos(2x −π6)的图象( )A. 向右平移π12个单位长度 B. 向左平移π12个单位长度 C. 向右平移π6个单位长度D. 向左平移π6个单位长度7. 在用计算机处理灰度图像(即俗称的黑白照片)时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图像上的每个像素赋予一个“灰度值”.在处理有些较黑的图像时，为了增强较黑部分的对比度，可对图像上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如图所示的效果：则下列可以实现该功能的一种函数图象是()A. B.C. D.8.设双曲线E：x2−y23=1的左、右焦点为F1，F2，左顶点为A，点M是双曲线E在第一象限内的一点，直线MF1交双曲线E的左支于点N，若NA//MF2，则|MF2|=()A. 74B. 52C. 83D. 114二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列关于空集的说法中，正确的有()A. ⌀∈⌀B. ⌀⊆⌀C. ⌀∈{⌀}D. ⌀⊆{⌀}10.某公司经营四种产业，为应对市场变化，在三年前进行产业结构调整，优化后的产业结构使公司总利润不断增长，今年总利润比三年前增加一倍．调整前后的各产业利润与总利润的占比如图所示：则下列结论中正确的有( )A. 调整后房地产业的利润有所下降B. 调整后医疗器械的利润增长量最大C. 调整后生物制药的利润增长率最高D. 调整后金融产业的利润占比最低11. 数列{a n }依次为：1，13，13，13，15，15，15，15，15，17，17，17，17，17，17，17，19，19，…，其中第一项为11，接下来三项均为13，再接下来五项均为15，依此类推．记{a n }的前n 项和为S n ，则( )A. a 100=119B. 存在正整数k ，使得a k >2√k−1C. S n ≤√nD. 数列{Snn}是递减数列 12. 已知函数f(x)=e x +1e 2x +k，则( )A. 当k =0时，f(x)是R 上的减函数B. 当k =1时，f(x)的最大值为1+√22C. f(x)可能有两个极值点D. 若存在实数a ，b ，使得g(x)=f(x +a)+b 为奇函数，则k =−1三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 抛物线y 2=2x 上两点A ，B 与坐标原点O 构成等边三角形，则该三角形的边长为______．14. (x +2y)(x −y)5的展开式中x 2y 4的系数为______．15. 平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5，点P 满足PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =8，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 16. 空间四面体ABCD 中，AB =CD =2，AD =BC =2√3，AC =4，直线BD 与AC 所成的角为45°，则该四面体的体积为______． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n =1−na n (n ∈N ∗)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{(−1)n a n}的前n 项和为T n ，求T 2n 的表达式．18.在如图所示的六面体ABCDEF中，矩形ADEF⊥平面ABCD，AB=AD=AF=1，CD=2，CD⊥AD，AB//CD．(1)设H为CF中点，证明：BH//平面ADEF；(2)求二面角B−CF−E大小的正弦值．19.在平面凸四边形ABCD中，∠BAD=30°，∠ABC=135°，AD=6，BD=5，BC=3√2．(1)求cos∠DBA．(2)求CD长．20.在某班学生举办的庆祝建党一百周年活动中，指定4名同学依次在分别写有“建”，“党”，“百”，“年”四字的四张卡牌中有放回地随机抽取一张并记录结果．(1)求最后的结果中同时有“建”“党”两字的概率；(2)用X表示结果中这四个字各出现次数中的最大值，求EX．21.已知函数f(x)=2(x−2)lnx+ax2−1．(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．22.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，点A(0,−1)是椭圆E短轴的一个四等分点．(1)求椭圆E的标准方程；(2)设过点A且斜率为k1的动直线与椭圆E交于M，N两点，且点B(0,2)，直线BM，BN分别交⊙C：x2+(y−1)2=1于异于点B的点P，Q，设直线PQ的斜率为k2，求实数λ，使得k2=λk1恒成立．答案和解析1.【答案】D【解析】解：复数z的共轭复数z−满足(1+i)z−=i，∴z−=i1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=i−i21−i2=12+12i，则z=1−i2．故选：D．利用复数的运算法则直接求解．本题考查复数的运算，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵tanα=2，∴cos2α1−sin2α=cos2α−sin2αsin2α+cos2α−2sinαcosα=1−tan2α1+tan2α−2tanα=1−41+4−4=−3．故选：C．利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．3.【答案】B【解析】解：由题意，根据菱形的两组对边间的距离相等，所以√12+22=12√32+42，解得|c1−c2|=2√5．故选：B．利用菱形的性质结合两条平行直线间的距离公式，列式求解即可．本题考查了菱形性质的应用，两条平行直线间的距离公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：设球半径为R，则由题可知圆柱底面半径也为R，高为2R，所以圆柱体表面积S=2×πR²+2πR×2R=6πR²，球的表面积S′=4πR²，故该圆柱体表面积与球体表面积的比值为6πR24πR2=32，故选：C．根据条件分别表示出圆柱和球的表面积，即可求得答案．本题考查球的表面积公式，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：由题意，若事件A与事件B为互斥事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)=43>1，与0≤P(A+B)≤1矛盾，∴P(A+B)≠P(A)+P(B)，∴事件A与B一定不互斥，故B正确，A错误；没有条件判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立，故不能判断AB是否互相独立，故CD错误．故选：B．根据互斥事件和独立事件的概率的定义即可判断．本题考查了互斥事件和独立事件的概率，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：∵y=cos(2x−π6)=sin[(2x−π6)+π2]=sin(2x+π3)=sin[2(x+π12)+π6]，∴要得到函数y=sin(2x+π6)的图象，可以将函数y=cos(2x−π6)的图象向右平移π12个单位长度，故选：A．利用诱导公式可得：y=cos(2x−π6)=sin(2x+π3)，再由函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换可得答案．本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查转化思想与运算能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：根据处理前后的图片变化可知，相对于原图的灰度值，处理后图像上每个像素的灰度值值增加，所以图象在y=x上方．故选：A．相对于原图的灰度值，处理后图像上每个像素的灰度值值增加，所以图象在y=x上方．本题以灰度值为背景考查函数的图象特征，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由题意知，a=1，b=√3，c=2，∴A(−1,0)，F1(−2,0)，F2(2,0)，设|NA|=x，∵NA//MF2，∴|NA||MF2|=|NF1||MF1|=|F1A||F1F2|=14，∴|MF2|=4|NA|=4x，由双曲线的定义知，|MF1|−|MF2|=2a=2，|NF2|−|NF1|=2a=2，∴|MF1|=4x+2，|NF1|=14|MF1|=x+12，|NF2|=x+52，在△ANF1中，由余弦定理知，cos∠AF1N=|AF1|2+|NF1|2−|NA|22|AF1|⋅|NF1|=1+(x+12)2−x22×1×(x+12)，在△NF1F2中，由余弦定理知，cos∠AF1N=|NF1|2+|F1F2|2−|NF2|22|NF1|⋅|F1F2|=(x+12)2+16−(x+52)22(x+12)⋅4，∴1+(x+12)2−x22×1×(x+12)=(x+12)2+16−(x+52)22(x+12)⋅4，解得x=58，∴|MF2|=4x=4×58=52．设|NA|=x，结合平行线的性质和双曲线的定义，求得|MF1|=4x+2，|NF2|=x+5，2再在△ANF1和△NF1F2中，均利用余弦定理表示出cos∠AF1N，从而建立关于x的方程，解之即可．本题主要考查双曲线的定义与几何性质，还运用了余弦定理，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9.【答案】BCD【解析】解：⌀⊆⌀或⌀=⌀，故选项A错误，选项B正确；⌀是集合{⌀}的元素，⌀也是任何集合的子集，即⌀∈{⌀}，⌀⊆{⌀}，故选项C、D正确；故选：BCD．根据集合与空集的定义依次对四个选项判断即可．本题考查了元素与集合、集合与集合的关系的判断与应用，属于基础题．10.【答案】BCD【解析】解：假设调整前总利润为100，那么调整后总利润为200，对于A，调整前房地产业利润占45%，利润为45，调整后利润占比25%，利润为50，应该是有所上升的，故选项A错误；对于B，调整前医疗器械利润为20，调整后利润为80，房地产业调整前利润为45，调整后利润为50，金融调整前利润为25，调整后利润为20，生物制药调整前利润为10，调整后利润为50，故选项B正确；对于C，医疗器械利润增长率为300%，生物制药利润增长率为400%，故选项C正确；对于D，由扇形图可知，金融产业利润占比为10%，所以调整后金融产业的利润占比最低，故选项D正确．利用题中折线图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了扇形图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．11.【答案】ACD【解析】解：由题意知， 当0<n ≤1时，a n =1， 当1<n ≤4时，a n =13， 当4<n ≤9时，a n =15，……，当k 2<n ≤(k +1)2时，a n =12 k+1，(k ∈N) ∵100=102，∴a 100=12×9+1=119，故A 正确；对任意正整数k ，不妨设m 2<k ≤(m +1)2，则a k =12m+1， ∵a k 为定值，2√ k−1随着k 变大而变小， ∴(2√ k−1)min=2√(m+1)2−1=12m+1，故a k ≤2√ k−1恒成立，故B 错误； C ：若k 2≤n <(k +1)2，k ，n ∈N ∗， 则S n =S k 2+m =k +m2k+1,0≤m <2k +1， 而k +m2k+1−√n ， 若n =k 2，则m =0，故k +m 2k+1−√n =k −√n =0， 若k 2<n <(k +1)2，k ，n ∈N ∗， 则0<m <2k +1，故(k +m2k+1)2−(√k 2+m)2=k 2+(m2k+1)2+2km2k+1−k 2−m =m[m−(2k+1)](2k+1)2<0，即(k +m 2k+1)2<(√k 2+m)2， 因为k +m 2k+1>0,√k 2+m >0， 故k +m 2k+1<√k 2+m ，即S n −√n <0， 即S n <√n ，综上，S n ≤√n ，故C 正确；D ：因为k 2≤n <(k +1)2，k ，n ∈N ∗， 则S n =S k 2+m =k +m2k+1,0≤m <2k +1， 所以S n n=S k 2+m k 2+m=k+m 2k+1k 2+m=2k 2+k+m(2k+1)(k 2+m)，则S n n−Sn+1n+1=2k 2+k+m (2k+1)(k 2+m)−2k 2+k+m+1(2k+1)(k 2+m+1)=(2k 2+k+m)[(k 2+m)+1]−[(2k 2+k+m)+1](k 2+m)(2k+1)(k 2+m)(k 2+m+1)=(2k 2+k+m)(k 2+m)+(2k 2+k+m)−(2k 2+k+m)(k 2+m)−(k 2+m)(2k+1)(k 2+m)(k 2+m+1)=k 2+k(2k+1)(k 2+m)(k 2+m+1)>0，所以Snn>S n+1n+1，故数列{Snn}是递减数列，故D 正确； 故选：ACD ．根据数列的规律即可求出a 100，即可判断A 选项； 求出数列的通项公式，做差法推出矛盾即可说明B 选项； 求出数列的前n 项和公式，做差法即可说明C 选项；根据数列单调性的概念，比较S nn,Sn+1n+1，即可判断D 选项． 本题考查了归纳推理，数列的函数特性，属于难题．12.【答案】ABD【解析】解；A.当k =0时，f(x)=e x +1e 2x，f′(x)=−e x −2e 2x<0，∴f(x)在R 上单调递减，因此正确． B .当k =1时，f(x)=e x +1e 2x +1，f′(x)=−e x (e x +1+√2)(e x +1−√2)(e 2x +1)2，可得：e x =√2−1时，函数f(x)取得极大值为：√2−1+1(√2−1)2+1=1+√22，因此正确．C .f(x)=e x +1e 2x +k，f′(x)=−e x (e 2x +2e x −k)(e 2x +k)2，k =0，1时，由AB 可知，函数f(x)不可能有两个极值点．k <0时，函数f(x)在(−∞,12ln(−k))上单调递减，在(12ln(−k),+∞)上单调递减； k >0时，f′(x)=−e x (e x +1+√1+k)(e x +1−√1+k)(e 2x +k)2，此时函数f(x)也只有一个极值点，综上可得函数f(x)最多只有一个极值点，因此不正确．D .k =−1时，f(x)=e x +1e 2x −1=1e x −1，取a =0，b =12，则g(x)=1e x −1+12为奇函数；k ≠−1时，结合C 中的f(x)的图象及其单调性即可判断出： 不存在实数a ，b ，使得g(x)=f(x +a)+b 为奇函数．因此正确．可以理解成函数g(x)有对称中心就可以平移变成奇函数，因此只要g(x)+g(m −x)=c 恒成立就行， 得到k =−1． 故选：ABD ． A .当k =0时，f(x)=e x +1e 2x，求导即可判断出单调性． B .当k =1时，f(x)=e x +1e 2x +1，求导即可判断出单调性与极值．C .f(x)=e x +1e 2x +k，f′(x)=−e x (e 2x +2e x −k)(e 2x +k)2，利用导数研究函数的单调性即可判断出结论．D .k =−1时，f(x)=e x +1e 2x −1=1e x −1，取a =0，b =12，可得g(x)=1e x −1+12为奇函数；k ≠−1时，结合C 中的f(x)的图象及其单调性即可判断出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.【答案】4√3【解析】解：由抛物线的对称性可得A ，B 关于x 轴对称， 设A(n 22,n)，则B(n 22,−n)，可得|AB|=2n ，因为两点A ，B 与坐标原点O 构成等边三角形 所以可得O 到直线AB 的距离为√32⋅2n ，则√32⋅2n =n 22，解得：n =2√3，所以三角形的边长为2n =4√3， 故答案为：4√3．由题意设A 的坐标，由题意可得B 的坐标，求出|AB|的值，即三角形的边长，再求O 到直线AB 的距离，由等边三角形可得它们的关系，求出A 的坐标，进而可得等边三角形的边长．本题考查抛物线的对称性，及等边三角形的性质，属于基础题．14.【答案】−15【解析】解：根据二项展开式的应用：T r+1=C 5r x 5−r(−y)r ， 所以当r =4时，x 2y 4的系数为C 54=5． 当r =3时，x 2y 4的系数为−2C 53=−20，所以展开式中x 2y 4的系数为5−20=−15． 故答案为：−15．直接利用二项式的展开式的应用和配对问题的应用求出结果．本题考查的知识要点：二项式展开式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.【答案】3【解析】解：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴PA⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =8，∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=8+AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=8+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=8+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =8+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =8−5=3． 故答案为：3．先利用平面向量的线性运算得到PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再利用数量积运算即可求解．本题考查了平面向量的线性运算和数量积运算，属于中档题．16.【答案】4√23【解析】解：如图，在△ABC中，由AB=2，BC=2√3，AC=4，可得AB2+BC2=AC2，则△ABC是以AC为斜边的直角三角形，同理△ADC是以AC为斜边的直角三角形．过B作BE⊥AC，垂足为E，求得BE=√3，AE=1，过D作DF⊥AC，垂足为F，可得DF=√3，CF=1，在平面ABC中，过B作BG//EF且BG=EF，连接DG、FG，则四边形BEFG为平行四边形，得FG⊥AC，即BG⊥FG，又DF⊥AC，AC//BG，∴BG⊥DF，而DF∩FG=F，∴BG⊥平面DFG．∴BG⊥DG，在Rt△DGB中，BG=EF=2，∠DBG为直线BD与AC所成的角为45°，可得DG=2，∵BG⊥平面DFG，BG⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面DFG，在平面DFG中，过D作DH⊥FG，垂足为H，则DH⊥平面ABC．∵DF=FG=√3，DG=2，∴cos∠DFG=2×√3×√3=13，则sin∠DFG=2√23，∴DH=DF⋅sin∠DFG=√3×2√23=2√63．∴四面体ABCD的体积为V=13×12×2×2√3×2√63=4√23．故答案为：4√23．由题意画出图形，由已知求D到平面ABC的距离，再由棱锥体积公式求解．本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查推理论证及运算求解能力，属难题．17.【答案】解：(1)∵S n=1−na n(n∈N∗)，∴n≥2时，S n−1=1−(n−1)a n−1，相减可得：a n=(n−1)a n−1−na n，∴a na n−1=n−1n+1，n=1时，a1=1−a1，解得a1=12．∴a n=a na n−1⋅a n−1a n−2⋅…⋅a3a2⋅a2a1⋅a1=n−1n+1⋅n−2n⋅n−3n−1⋅ (2)4⋅13×12=1n(n+1)．(2)∵(−1)2n−1a2n−1+(−1)2na2n=−(2n−1)⋅2n+2n(2n+1)=4n，∴数列{(−1)na n}的前2n项和T2n=−1×2+2×3−3×4+4×5+⋯−(2n−1)⋅2n+2n(2n+1)=4×(1+2+⋯+n)=4×n(n+1)2=2n2+2n．【解析】(1)由S n=1−na n(n∈N∗)，n≥2时，S n−1=1−(n−1)a n−1，相减可得a na n−1=n−1n+1，利用累乘求积即得出．(2)利用(−1)2n−1a2n−1+(−1)2na2n=−(2n−1)⋅2n+2n(2n+1)=4n，即可得出数列{(−1)na n}的前2n项和T2n．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、分组求和方法、累乘求积方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】(1)证明：如图所示，连接DF，取线段DF的中点G，分别连接AG，GH，因为G，H分别为线段DF，CF的中点，则GH是△CDF的中位线，所以GH//DC，GH=12DC，由已知可得，AB//CD且AB=12CD，所以GH//AB且GH=AB，故四边形ABHG为平行四边形，所以AG//BH，又AG⊂平面ADEF，BH⊄平面ADEF，所以BH//平面ADEF；(2)解：因为四边形ADEF是矩形，则ED⊥AD，又平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ∩平面ABCD =AD ，ED ⊂平面ADEF ， 则ED ⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD ， 所以ED ⊥CD ，又CD ⊥AD ， 所以ED ，CD ，AD 两两垂直，则以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，所以D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，F(1,0,1)，C(0,2,0)，E(0,0,1)， 设平面BCF 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 因为BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)， 所以{BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−y +z =0BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−x +y =0，令x =1，则y =1，z =1， 故n⃗ =(1,1,1)， 设平面CFE 的法向量为m⃗⃗⃗ =(a,b,c)， 因为EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0),EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−1)， 所以{m ⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =a =0m ⃗⃗⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2b −c =0，令b =1，则a =0，c =2， 故m⃗⃗⃗ =(0,1,2)， 则|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√1+1+1×√1+4=√155， 故二面角B −CF −E 大小的正弦值为√1−(√155)2=√105．【解析】(1)连接DF ，取线段DF 的中点G ，分别连接AG ，GH ，利用中位线定理证明四边形ABHG 为平行四边形，得到AG//BH ，根据线面平行的判定定理证明即可； (2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面BCF 和平面CEF 的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系式求解即可．本题考查了线面平行的判定定理的应用，二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．19.【答案】解：(1)在平面凸四边形ABCD 中，∠BAD =30°，∠ABC =135°，AD =6，BD =5，BC =3√2． 如图所示：在△ABD 中，利用正弦定理：BD sin∠A =ADsin∠ABD ， 故：512=6sin∠DBA ，整理得：sin∠DBA =35，所以：cos∠DBA =±√1−sin 2∠DBA =±45． 当cos∠DBA =45时，AD >BD ，满足条件，当cos∠DBA =−45时，∠ABD 接近135°，故根据，∠ABC =135°，AD =6，BD =5，与三角形内角和定理矛盾，故舍去； 故：cos∠DBA =45(2)根据(1)的结论，cos∠DBA =45，故：cos∠DBC =cos(135°−∠DBA)=(−√22)×45+√22×35=−√210．利用余弦定理：CD 2=BC 2+BD 2−2⋅BC ⋅BD ⋅cos∠DBC =18+25+2×3√2×5×√210=49，解得：CD =7．【解析】(1)直接利用正弦定理和同角三角函数关系式的变换求出结果； (2)利用(1)的结论和余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理，余弦定理的应用，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)因为是有放回的抽取，所以每位同学都有四种选择，故共有4×4×4×4=256种，其中最后的结果中没有“建”“党”两字，共有2×2×2×2=16种，只有“建”或者只有“党”字，共有2×(C 41×2×2×2+C 42×2×2+C 43×2+1)=130种，所以最后的结果中同时有“建”“党”两字的概率为256−16−130256=55128；(2)由题意，X的可能取值为4，3，2，1，所以P(X=4)=4256=164，P(X=3)=C43C41C31256=316，P(X=2)=C42C42+C41C42A32256=4564，P(X=1)=A44256=332，所以E(X)=4×164+3×316+2×4564+1×332=178．【解析】(1)利用两个计数原理以及古典概型的概率公式分析求解，即可得到答案；(2)先求出随机变量X的可能取值，然后求出其对应的概率，由数学期望的计算公式求解即可．本题考查了两个计数原理以及古典概型的概率公式的应用，排列组合知识的应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)函数f(x)=2(x−2)lnx−1的导数为f′(x)=2(lnx+x−2x)，可得曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为−2，由f(1)=−1，可得切线的方程为y+1=−2(x−1)，即为y=1−2x；(2)由2(x−2)lnx+ax2−1≥0可得a≥1−2(x−2)lnxx2，设g(x)=1−2(x−2)lnxx2，可得g′(x)=2(xlnx−x+1−4lnx)x3，设ℎ(x)=xlnx−x+1−4lnx，ℎ′(x)=lnx−4x，ℎ′(x)在(0,+∞)递增，当0<x<1时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(0,1)递减，即有ℎ(x)>ℎ(1)=0，此时g(x)递增；当x>1时，ℎ′(x)>ln1−4=−4，由lnx−4x<0，可设1<x<x0，若−4<ℎ′(x)<0，可得ℎ(x)在(1,x0)递减，可得ℎ(x)<ℎ(1)=0，所以g(x)在(1,x0)递减，即g(x)<g(1)=1，当x>x0，且3<x0<4，1−2(x−2)lnx<0，g(x)<0，所以g(x)的最大值为1，所以a ≥1，即a 的取值范围是[1,+∞)．【解析】(1)求得f(x)的导数，可得切线的斜率、切点，由直线的点斜式方程可得切线的方程；(2)由参数分离和构造函数，求得导数和单调性、极值和最值，可得所求范围． 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、极值和最值，以及不等式恒成立问题解法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于难题．22.【答案】解：(1)由题意可得e =c a =√22，−b2=−1，又a 2=b 2+c 2，解得：a 2=8，b 2=4， 所以椭圆E 的标准方程为：x 28+y 24=1；(2)方法一：设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，Q(x Q ,y Q )，直线MN 方程为y =k 1x −1， 则直线BM 方程为y =y 1−2x 1x +2，与x 2+(y −1)2=1联立，得(x 12+(y 1−2)2)x 2+2x 1(y 1−2)x =0，由x P ≠0，解得x P =−2x 1(y 1−2)x 12+(y 1−2)2，又x 128+y 124=1，即x 12=8−2y 12，代入上式，得x P =−2x 1(y 1−2)2(4−y 12)+(y 1−2)2=2x1y 1+6， 所以y P =y 1−2x 1x P +2=4−16y 1+6，即P(2x 1y1+6,4−16y 1+6)，同理Q(2x 2y 2+6,4−16y 2+6)，所以k 2=y P −y QxP −x Q=(4−16y 1+16)−(4−16y 2+16)2x 1y 1+6−2x2y 2+6=8(y 1−y 2)x1y 2−x 2y 1+6(x 1−x 2)，将y 1=k 1x 1−1，y 2=k 1x 2−1，代入上式， 则k 2=8k(x 1−x 2)x1(k 1x 2−1)−x 2(kx 1−1)+6(x 1−x 2)=8k 1(x 1−x 2)5(x 1−x 2)=85k 1，所以k 2=85k 1，即λ=85，所以，实数λ=85，使得k 2=85k 1恒成立．方法二：设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，Q(x Q ,y Q )，直线MN 方程为y =k 1x −1， 将直线y =k 1x −1与x 28+y 24=1联立得，(2k 12+1)x 2−4k 1x −6=0， 则x 1+x 2=4k12k 12+1，x 1x 2=−62k 12+1，所以k BM +k BN =y 1−2x 1+y 2−2x 2=k 1x 1−3x 1+k 1x 2−3x 2=2k 1−3(x 1+x 2)x 1x 2=4k 1， 所以k BM ⋅k BN =y 1−2x 1⋅y 2−2x 2=(k 1x 1−3)(k 1x 2−3)x 1x 2=k 12x 1x 2−3k 1(x 1+x 2)+9x 1x 2=−6k 12−12k 12+9(2k 12+1)−6=−32所以直线PQ 方程y =k 2x +t ，与x 2+(y −1)2=1联立得(k 22+1)x 2+2k 2(t −1)x +t(t −2)=0， 则x P +x Q =−2k 2(t−1)k 22+1，x P ⋅x Q =t(t−2)k 22+1， 所以k BP +k BQ =y P −2x P+y Q −2x Q=k 2x P +t−2x P+k 2x Q +t−2x Q=2k 2+(t−2)(x P +x Q )x P ⋅x Q=2k 2−2k 2(t−2)(t−1)t(t−2)=2k 2t则k BP ⋅k BQ =y P −2x P⋅y Q −2x Q=k 22x P x Q +k 2(t−2)(x P +x Q)+(t−2)2x P ⋅x Q=k 22t(t−2)−2k 22(t−2)(t−1)+(k 22+1)(t−2)2t(t−2)=k 22t−2k 22(t−1)+(k 22+1)(t−2)t=t−2t，由k BM +k BN =k BP +k BQ 及k BM ⋅k BN =k BP ⋅k BQ ， 即{4k 1=2k2t−32=t−2t，解得{t =45k 2=85k 1，所以λ=85， 所以，实数λ=85，使得k 2=85k 1恒成立．方法三：BM 与BN 两直线地位对等，P ，Q 两点地位对等， 设直线BM 的方程为：y =k 3x +2，BN 的方程为y =k 4x +2， 联立{y =k 3x +2x 2+(y −1)2=1，{x =−2k31+k 32y =21+k 32，同理Q(−2k 41+k 42,21+k 42)， 所以k 2=y Q −y PxQ −x P=21+k 42−21+k 42−2k 41+k 42−−2k 31+k 32=k 3+k 41−k3k 4，将B 点向下平移两个单位，椭圆方程变为x 28+(y+2)24=1，即x 2+2y 2+8y =0，①平移后，MN 方程：y =k 1x −3，即13(k 1x −y)=1，② 将①式中8y 是一次式通过乘以②式中的13(k 1x −y)，可将①式化为全是二次x 2+2y 2+83y(k 1x −y)=0，即2y 2−8k 1xy −3x 2=0同除以x 2，所以2(y x )2−8k 1yx −3=0，由于平移，即BM ，BN 的斜率(平移不改变斜率)，2k 2−8k 1k −3=0， 由韦达定理可知，k 3+k 4=4k 1，k 3⋅k 4=−32，所以k 2=k 3+k 41−k 3k 4=4k 11−(−32)=85k 1，所以λ=85，所以，实数λ=85，使得k2=85k1恒成立．【解析】(1)根据椭圆的离心率公式及−b2=−1，即可求得a和b值，求得椭圆E的方程；(2)方法一：联立直线方程与圆的方程和椭圆的方程，即可求得P和Q点坐标，因此可以求得k2，化简即可求得λ的值；方法二：分别联立直线与椭圆方程和圆的方程，分别表示出k BM+k BN，k BM⋅k BN及k BP+ k BQ，k BP⋅k BQ，根据其关系，即可求得λ的值；方法三：由题意，设直线BM和BN的方程，联立分别求得P和Q的方程，即可表示出k2，平移坐标系，然后齐次式化简，利用韦达定理，联立即可求得λ的值；本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆及圆的位置关系，考查韦达定理，平移与齐次式化简，考查计算能力，尤其是方法三，虽然不常用，但是可以简化计算，也是应该要掌握的，属于难题．。

湖北省武汉市2021届新高考适应性测试卷数学试题（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为（）A．3B．36C．3D．23【答案】C【解析】【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出底面面积，代入锥体体积公式，可得答案．【详解】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其底面面积11(11)12S=⨯⨯+=，高3h=故体积133V Sh==故选：C．【点睛】本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．2．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，535S =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．-2 B ．2 C ．4 D ．7【答案】B 【解析】 【分析】在等差数列中由等差数列公式与下标和的性质求得3a ，再由等差数列通项公式求得公差. 【详解】在等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则()155********a a S a a +===⇒=则3123272a a d d d =+=+=⇒= 故选：B 【点睛】本题考查等差数列中求由已知关系求公差，属于基础题.3．函数()32f x x x x =-+的图象在点()()1,1f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】A 【解析】 【分析】求出函数在1x =处的导数后可得曲线在()()1,1f 处的切线方程，从而可求切线的纵截距. 【详解】()2321f x x x '=-+，故()12f '=，所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为：()()21121y x f x =-+=-. 令0x =，则1y =-，故切线的纵截距为1-. 故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义以及直线的截距，注意直线的纵截距指直线与y 轴交点的纵坐标，因此截距有正有负，本题属于基础题.4．体育教师指导4个学生训练转身动作，预备时，4个学生全部面朝正南方向站成一排.训练时，每次都让3个学生“向后转”，若4个学生全部转到面朝正北方向，则至少需要“向后转”的次数是（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】 【分析】通过列举法，列举出同学的朝向，然后即可求出需要向后转的次数. 【详解】“正面朝南”“正面朝北”分别用“∧”“∨”表示， 利用列举法，可得下表，可知需要的次数为4次. 故选：B. 【点睛】本题考查的是求最小推理次数，一般这类题型构造较为巧妙，可通过列举的方法直观感受，属于基础题. 5．设()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足条件()1y f x =+是偶函数，且当1x ≥时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()3log 2a f =，b f ⎛=- ⎝，()3c f =的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c b a >>【答案】C 【解析】∵y=f （x+1）是偶函数，∴f （-x+1）=f （x+1），即函数f （x ）关于x=1对称．∵当x≥1时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为减函数，∵f （log 32）=f （2-log 32）= f （923log ）且12-=34，log 34＜923log ＜3，∴b ＞a ＞c ，故选C6．若复数12biz i-=+（b R,i ∈为虚数单位）的实部与虚部相等，则b 的值为( )A ．3B ．3±C ．3-D ．【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法，以及复数的基本概念求解即可. 【详解】()221125b b ibi z i --+-==+，又z 的实部与虚部相等， 221b b ∴-=+，解得3b =-.故选:C 【点睛】本题主要考查复数的除法运算，复数的概念运用. 7．抛物线22y x =的焦点为F ，则经过点F 与点()2,2M 且与抛物线的准线相切的圆的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．0个D ．无数个【答案】B 【解析】 【分析】圆心在FM 的中垂线上，经过点F ，M 且与l 相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点F 的距离相等，圆心在抛物线上，直线与抛物线交于2个点，得到2个圆． 【详解】因为点(2,2)M 在抛物线22y x =上， 又焦点1(2F ，0)，由抛物线的定义知，过点F 、M 且与l 相切的圆的圆心即为线段FM 的垂直平分线与抛物线的交点， 这样的交点共有2个，故过点F 、M 且与l 相切的圆的不同情况种数是2种． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，本题解题的关键是求出圆心的位置，看出圆心必须在抛物线上，且在垂直平分线上．8．下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞的是（ ） A ．()lg 1y x =+ B ．12y x =C ．2x y =D ．ln y x =【答案】B 【解析】 【分析】分别作出各个选项中的函数的图象，根据图象观察可得结果. 【详解】对于A ，()lg 1y x =+图象如下图所示：则函数()lg 1y x =+在定义域上不单调，A 错误； 对于B ，12y x x ==的图象如下图所示：则y x =在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞，B 正确；对于C ，2xy =的图象如下图所示：则函数2xy =单调递增，但值域为()0,∞+，C 错误；对于D ，ln y x =的图象如下图所示：则函数ln y x =在定义域上不单调，D 错误. 故选：B . 【点睛】本题考查函数单调性和值域的判断问题，属于基础题.9．在平面直角坐标系xOy 中，锐角θ顶点在坐标原点，始边为x 轴正半轴，终边与单位圆交于点5P m ⎫⎪⎪⎝⎭，则sin 24πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．210B ．1010C ．7210D ．310【答案】A 【解析】 【分析】根据单位圆以及角度范围，可得m ，然后根据三角函数定义，可得sin ,cos θθ，最后根据两角和的正弦公式，二倍角公式，简单计算，可得结果. 【详解】由题可知：22515m ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，又θ为锐角 所以0m >，25m =根据三角函数的定义：255sin ,cos 55θθ==所以4sin 22sin cos 5θθθ==223cos 2cos sin 5θθθ=-=-由sin 2sin 2cos cos 2sin 444πππθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 所以42322sin 24525210πθ⎛⎫+=⨯-⨯= ⎪⎝⎭ 故选：A 【点睛】本题考查三角函数的定义以及两角和正弦公式，还考查二倍角的正弦、余弦公式，难点在于公式的计算，识记公式，简单计算，属基础题.10．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）A ．53π B ．2πC ．52π D ．3π【答案】A 【解析】 【分析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1．再由球与圆柱体积公式求解． 【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱， 半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1． 则几何体的体积为32145111233V πππ=⨯⨯+⨯⨯=．故选：A ． 【点睛】本题主要考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．11．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为2317,,927n S S S ==，则12n a a a L 的最小值为（ ） A ．24()27B ．34()27C ．44()27D ．54()27【答案】D 【解析】 【分析】由2317,927S S ==，可求出等比数列{}n a 的通项公式1227n n a -=，进而可知当15n ≤≤时，1n a <；当6n ≥时，1n a >，从而可知12n a a a L 的最小值为12345a a a a a ，求解即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由题意得，332427a S S =-=，得2111427190a q a a q q ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎪⎩，解得11272a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，得1227n n a -=. 当15n ≤≤时，1n a <；当6n ≥时，1n a >，则12n a a a L 的最小值为551234534()()27a a a a a a ==. 故选：D. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 12．若[]x 表示不超过x 的最大整数(如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-)，已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（ ）A ．2B ．5C ．7D ．8【答案】B 【解析】 【分析】求出1b ，2b ，3b ，4b ，5b ，6b ，判断出{}n b 是一个以周期为6的周期数列，求出即可． 【详解】解：2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦.*111(102)n n n b a b a a n n --∈≥N ＝，＝，，∴112027[]a b ＝＝＝，2200[287]a ＝＝， 2281028b -⨯＝＝，同理可得：332855a b ＝，＝；4428577a b ＝，＝；55285711a b ＝，＝.662857144a b ＝，＝；72857142a ＝，72b ＝，…….∴6n n b b +＝.故{}n b 是一个以周期为6的周期数列， 则20196336335b b b ⨯+＝＝＝. 故选：B.本题考查周期数列的判断和取整函数的应用． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省荆州市2021届新高考第三次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()x e xf x x+=B ．()21x f x x -=C ．()x e xf x x-=D ．()21x f x x +=【答案】A 【解析】 【分析】由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果. 【详解】对于选项B, ()21x f x x -=为 奇函数可判断B 错误;对于选项C,当1x <-时, ()0x e xf x x-=<,可判断C 错误;对于选项D, ()22111=+x f x x x x+=,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D 错误; 故选:A. 【点睛】本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.2．已知函数()ln 2f x x ax =-，()242ln ax g x x x=-，若方程()()f x g x =恰有三个不相等的实根，则a的取值范围为（ ） A ．(]0,eB ．10,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),e +∞D ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】由题意可将方程转化为ln 422ln x ax a x x -=-，令()ln xt x x=，()()0,11,x ∈+∞U ，进而将方程转化为()()220t x t x a +-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()2t x =-或()2t x a =，再利用()t x 的单调性与最值即可得到结论.【详解】由题意知方程()()f x g x =在()()0,11,+∞U 上恰有三个不相等的实根，即24ln 22ln ax x ax x x-=-，①.因为0x >，①式两边同除以x ，得ln 422ln x axa x x-=-. 所以方程ln 4220ln x axa x x--+=有三个不等的正实根. 记()ln x t x x=，()()0,11,x ∈+∞U ，则上述方程转化为()()4220a t x a t x --+=. 即()()220t x t x a +-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()2t x =-或()2t x a =. 因为()21ln xt x x-'=，当()()0,11,x e ∈U 时，()0t x '>，所以()t x 在()0,1，()1,e 上单调递增，且0x →时，()t x →-∞.当(),x e ∈+∞时，()0t x '<，()t x 在(),e +∞上单调递减，且x →+∞时，()0t x →.所以当x e =时，()t x 取最大值1e，当()2t x =-，有一根. 所以()2t x a =恰有两个不相等的实根，所以102a e<<. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数与方程的关系，考查函数的单调性与最值，转化的数学思想，属于中档题. 3．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离【答案】B 【解析】 化简圆到直线的距离，又两圆相交. 选B4．下列不等式成立的是（ ）A ．11sin cos 22>B ．11231122⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．112311log log 32<D ．11331123⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误. 【详解】 对于A ，1024π<<Q ，11sin cos 22∴<，A 错误； 对于B ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭Q 在R 上单调递减，11231122⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 错误；对于C ，1221log log 313=>Q ，1331log log 212=<，112311log log 32∴>，C 错误； 对于D ，13y x =Q 在R 上单调递增，11331123⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎭∴⎝，D 正确.故选：D . 【点睛】本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题；关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幂函数的单调性.5．已知△ABC 中，22BC BA BC =⋅=-u u u v u u u v u u u v ，．点P 为BC 边上的动点，则()PC PA PB PC ⋅++u u u v u u u v u u u v u u u v的最小值为（ ） A ．2 B ．34-C ．2-D ．2512-【答案】D 【解析】 【分析】以BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，，运用向量的坐标表示，求得点A 的轨迹，进而得到关于a 的二次函数，可得最小值． 【详解】以BC 的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，， 由2BA BC ⋅=-u u u r u u u r，可得()()120222x y x +⋅=+=-，，，即20x y =-≠，， 则()()()101100PC PA PB PC a x a a a y ⋅++=-⋅---+-++u u u r u u u r u u u r u u u r，， ()()()()21312332a x a a a a a =--=---=--21253612a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当16a =时，()PC PA PB PC ⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值为2512-．故选D ．【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题． 6．已知函数()sinx12sinxf x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）①绕着x 轴上一点旋转180︒; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. A ．①③ B ．③④C ．②③D ．②④【答案】D 【解析】 【分析】计算得到()()2f x k f x π+=，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案. 【详解】()sin 12sin xf x x=+，()()()()sin 2sin 212sin 212sin x k x f x k f x x k x πππ++===+++，k Z ∈， 当沿x 轴正方向平移2,k k Z π∈个单位时，重合，故②正确；co sin 2212co s s s 12in 2x f x xx x πππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪+⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎝⎭，co sin 2212co s s s 12in 2x f x x x x πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+== ⎪+⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭，故22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数关于2x π=对称，故④正确；根据图像知：①③不正确； 故选：D . 【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用. 7．设x ∈R ，则“|1|2x -< “是“2x x <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必条件【答案】B 【解析】 【分析】解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案. 【详解】由|1|2x -<，得13x -<<，又由2x x <，得01x <<， 因为集合{|01}{|13}x x x x <<⊂-<<， 所以“|1|2x -<”是“2x x <”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法. 8．设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ）A ．a b c +>B ．2ab c >C ．a b2c +> D ．112a b c+> 【答案】C 【解析】 【分析】取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案. 【详解】,a c b c >>，故2a b c +>，2a bc +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误； 故选：C . 【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.9．函数()3sin 3x f x x π=+的图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性，可排除D ；求得()f x '及()f x ''，由导函数符号可判断()f x 在R 上单调递增，即可排除AC 选项. 【详解】函数()3sin 3x f x x π=+易知()f x 为奇函数，故排除D. 又()2cos x f x x π'=+，易知当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '>；又当,2x π⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()2sin 1sin 0x f x x x π''=->-≥， 故()f x '在,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，所以()24f x f ππ⎛⎫''>= ⎪⎝⎭， 综上，[)0,x ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 单调递增. 又()f x 为奇函数，所以()f x 在R 上单调递增，故排除A ，C. 故选：B 【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，导函数性质与函数图象关系，属于中档题.10．在平面直角坐标系xOy 中，锐角θ顶点在坐标原点，始边为x 轴正半轴，终边与单位圆交于点P m ⎫⎪⎪⎝⎭，则sin 24πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．10B C ．10D 【答案】A 【解析】 【分析】根据单位圆以及角度范围，可得m ，然后根据三角函数定义，可得sin ,cos θθ，最后根据两角和的正弦公式，二倍角公式，简单计算，可得结果. 【详解】由题可知：221m +=⎝⎭，又θ为锐角所以0m >，5m =根据三角函数的定义：sin θθ==所以4sin 22sin cos 5θθθ==223cos 2cos sin 5θθθ=-=-由sin 2sin 2cos cos 2sin 444πππθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭所以43sin 24525210πθ⎛⎫+=⨯-⨯= ⎪⎝⎭ 故选：A 【点睛】本题考查三角函数的定义以及两角和正弦公式，还考查二倍角的正弦、余弦公式，难点在于公式的计算，识记公式，简单计算，属基础题.11．数列{}n a 满足()*212n n n a a a n +++=∈N ，且1239a a a ++=，48a =，则5a =（ ）A ．212B ．9C ．172D ．7【答案】A 【解析】 【分析】先由题意可得数列{}n a 为等差数列，再根据1239a a a ++=，48a =，可求出公差，即可求出5a ． 【详解】数列{}n a 满足*212()n n n a a a n N +++=∈，则数列{}n a 为等差数列， 1239a a a ++=Q ，48a =， 1339a d ∴+=，138a d +=，52d ∴=， 54521822a a d ∴=+=+=， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和通项公式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．12．若集合{}2|0,|121x A x B x x x +⎧⎫=≤=-<<⎨⎬-⎩⎭，则A B I =（ ） A ．[2,2)- B ．(]1,1-C ．()11-，D ．()12-， 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合A ，然后与集合B 取交集即可． 【详解】 由题意，{}2|0|211x A x x x x +⎧⎫=≤=-≤<⎨⎬-⎩⎭，{|12}B x x =-<<，则{|11}A B x x =-<<I ，故答案为C. 【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

a n n 武汉 2021.3 质检经典试题分析 1【解析】法一：（建系）以圆心为原点，BC 中垂线为 y 轴建立直角坐标系。

法二：（极化恒等式）设 D 为 AB 中点，M 为 AD 中点，则2 2 29 25 9PA ⋅ (PB + PC ) = 2PA ⋅ PD = 2(PM - DM ) = 2(PM- ) ≤2( - ) = 2 ，16 16 16 【点评】极化恒等式可以视为向量数量积的第二个几何意义，把向量的运算化为了长度的计 算。

参考《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》。

【解析】先降次，再合并。

优化运算，参考《新课标新高考下数学习题精粹》（必修 4）（已经售完）【解析】法一：（研究数列的根本方法：列出来、观察、归纳、猜想）法二：由题知 a n +1 + a n - 1 = 2 ，即( - a )2=1 - = 1 。

即 { a n} 为等差数列。

【点评】归纳法是研究数列的根本方法，代数变形是基本功。

参考《高观点下全国卷高考数 学压轴题解题研究三部曲》普遍性和特殊性的论述。

【解析】化简： c = log 4 = log 22= 2，823 3观察结构，寻找共同点：b = 0.40.8= 0.160.4 < 0.80.4= a ，（化为同指数，利用幂函数单调 性）；不同类数比大小，选中间数： a = 0.80.4> 0.81> 2= c32 4 2 2 2 法一：小数统一为分数：b = 0.40.8 = ( ) 5, 5 3 ，比较( )4 , ( )5 ，因为54 > 35 ，所以c > b ，5 3a n +1a n a n +1 a n +15 3 2 21法二：直观感知和估算： b = 0.40.8 ≈0.41+ () < 2= c3【点评】全国卷常常考查，《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》给出了很多 经常变式。

C 1C 2C 2【解析】分组分配问题， 1, 2, 2 : 5 4 2C 1C 1C 3 A 3 = 90;1,1, 3 : 5 4 3 A 3 = 60 ， 满足条件： A 23 A 23 2 2 C 2C 1C 2 A 2 = 60 【点评】全国卷常常考查，参考《全国卷高考数学分析及应对》的分析。

华大新高考联盟2021届高三3月教学质量测评数学命题：华中师范大学考试研究院本试题卷共4页，22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

l．设集合A={yly—/5二丁｝，B={xi (3x—4) (x+l)>O}，则A门CCR B)=A. ［o, ： ]B. [½,t]C.[ o,t)D.[ ½,t)2．若复数z满足I z-Z-3i—5，则复数z的共扼复数不可能为A. 5-7iB. -2-6iC. 5+2iD. Z-8i3.设a—log½15,b—log-t30,c—logt 35，则A.a<b<元B.b<a<cC. c<b<aD.b<c<a4．小学数学在“认识图形”这一章节中，一般从生活实物入手，抽象出数学图形，在学生正确认识图形特征的基础上，通过习题帮助学生辨认所学图形；例如在小学数学课本中有这样一个2Xl的方格表（如图所示），它由2个单位小方格组成，其中每个小方格均为正方形；若在这2Xl方格表的6个顶点中任取2个顶点，则这2个顶点构成的线段长度不超过及的概率为1 3 1 1 2A 3B.—C—D.—. 1 5 1 5. 35．圆cl:Cx—2)2+(y—4)2=9与圆C2:(x—5)2+y2=16的公切线条数为A.1B. 2C.3D.4岛6．若入sin170° +tan 10°= ，则实数入的值为3A.［点2B C. 2忒3 D. 4岛37．已知双曲线C：气—斗＝1(a>O,b>O)的左、右焦点分别为F1，凡，过双曲线C上的一点M作两条渐近线a b的垂线，垂足分别为A,B，若I F1F2尸＝16IMAI. 1MB，则双曲线C的离心率为A．屈B．迈C．屈D ./58．已知!:::.AB C 中，AB =2B C =4,A C =2点，点M在线段AC上除A,C的位置运动，现沿BM进行翻折，使得线段AB上存在一点N，满足CN_l平面ABM；若NB >入恒成立，则实数入的最大值为A.1B．欢C .2D .2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。