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第一章静力学【竞赛知识要点】重心共点力作用下物体的平衡物体平衡的种类力矩刚体的平衡流体静力学（静止流体中的压强）【内容讲解】一.物体的重心1.常见物体的重心：质量均匀分布的三角板的重心在其三条中线的交点；质量均匀分布的半径R的半球体的重心在其对称轴上距球心3R/8处；质量均匀分布的高为h的圆锥体的重心在其对称轴上距顶点为3h/4处。
2.重心：在xyz 三维坐标系中，将质量为m的物体划分为质点m1、m2、m3……m n.设重心坐标为（x0,y0，z0）,各质点坐标为（x1,y1,z1）,(x2,y2,z2)……(x n,y n,z n).那么：mx0=∑m i x i my0=∑m i y i mz0=∑m i z i【例题】1、（1）有一质量均匀分布、厚度均匀的直角三角板ABC，∠A=30°∠B=90°，该三角板水平放置，被A、B、C三点下方的三个支点支撑着，三角板静止时，A、B、C三点受的支持力各是N A、N B、N C，则三力的大小关系是.（2）半径为R的均匀球体，球心为O点，今在此球内挖去一半径为0.5R的小球，且小球恰与大球面内切，则挖去小球后的剩余部分的重心距O点距离为.2、如图所示，质量分布均匀、厚度均匀的梯形板ABCD，CD=2AB，求该梯形的重心位置。
3、在质量分布均匀、厚度均匀的等腰直角三角形ABC（角C为直角）上，切去一等腰三角形APB，如图所示。
如果剩余部分的重心恰在P点，试证明：△APB的腰长与底边长的比为5：4.4、（1）质量分别为m,2m,3m……nm的一系列小球（可视为质点），用长均为L的细绳相连，并用长也是L的细绳悬于天花板上，如图所示。
求总重心的位置5、如图所示，质量均匀分布的三根细杆围成三角形ABC，试用作图法作出其重心的位置。
6、如图所示，半径为R圆心角为θ的一段质量均匀分布的圆弧，求其重心位置。
7、论证质量均匀分布的三角形板的重心在三条中线的交点上8、求半径为R的厚薄均匀的半圆形薄板的重心9、均匀半球体的重心问题10、均匀圆锥体的重心11、如图所示，有一固定的半径为R 的光滑半球体，将一长度恰好等于R 21、质量为m 的均匀链条搭在球体上，其一端恰在球体的顶点上，并用水平拉力拉住链条使之静止，求拉力的大小。
湖南交通工程学院课程授课教案1.1.2 力的性质力的三要素表明：力是矢量，要用一条带有箭头的线段来表示（图1-1）。
课后小结本次课我们主要了解了工程力学的研究对象、研究任务和研究内容，并重点讲解了力的概念及性质，希望同学们课后多加复习和理解，为后面的学习打好基础。
湖南交通工程学院课程授课教案授课内容第一章力的概念及性质1.2 静力学基本公理教学目的及要求掌握静力学基本公理重点难点静力学基本公理参考资料中国石油大学出版社教学方法讲述教学手段板书教学过程教学手段方法设计新课讲授第一章静力学基础1.2 静力学基本公理1.2.1 二力平衡公理二力作用在同一刚体上，使刚体处于平衡状态的充要条件是：这两个力的大小相等、方向相反，且作用线沿同一直线。
二力平衡是一切平衡力系的基础。
建筑结构中受二力平衡的杆件很多，钢筋受拉平衡，柱子受轴向压力平衡都属于这一类。
1.2.2 力的平行四边形公理作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。
合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。
该法则指出，两个力合成不能简单地求算术和，而要用平行四边形法则求几何和，即矢量和，它是力系简化的基础（图1-3）。
F R=F1+F2，“+”表示矢量相加。
湖南交通工程学院课程授课教案教学方法讲述教学手段板书教学过程教学手段方法设计新课讲授1、力的可传性图1-4（b）比1-4（a）增加了一对平衡力，且有F1=-F2=F（即三力的大小相同），作用线沿同一直线，根据加减平衡力系公理，显然图1-4（a）及图1-4（b）二力系为等效力系。
由于图1-4（b）中F2及F又可视为一平衡力系，将此平衡力系减去即成为图1-4（c）所示力系。
同理，图1-4（b）及图1-4（c）力系等效。
最终，图1-4（a）及图1-4（c）力系等效。
2、三力平衡汇交定理不平行的三个力若平衡，该三力必汇交于一点且在同一平面内。
此定理证明如下：若图1-5所示刚体上不平行的三个力F1，F2及F3处于平衡状态，根据力的平行四边形公理，考虑到力的可传性，显然F2及F3可合成为一个过交点D的力FR，此时三力平衡已变成为F1及FR的二力平衡。
高中物理静力学静力学（一）一、一周内容概述这周的主要内容是复习静力学，包括三种基本力和受力分析。
我们把重点掌握三种基本力的概念，大小，方向以及存在的条件，熟练掌握对物体的受力分析的方法，这是我们高中力学里面的基础。
二、重难点知识讲解（一）力1、概念：力是物体对物体的作用。
（1）同时存在受力物体和施力物体。
（2）力学中的研究对象是受力物体。
2、作用效果：使物体发生形变或改变物体的运动状态(即使物体产物加速度)。
（1）即使很小的力作用在物体上，也会使物体发生形变，只不过有时形变很小，不能直接观察到（这一点对于理解弹力很有帮助）。
（2）力是使物体运动状态发生改变的原因，而不是维持物体运动状态的原因。
(3)物体的运动状态的改变指速度的大小、方向之一或同时发生变化。
3、矢量性：既有大小又有方向。
（1）大小：弹簧秤称量，单位是牛顿(N)。
（2）方向：力作用的方向。
（3）力的图示法表示力的三要素——大小、方向、作用点。
注意：物理量有两类，矢量和标量。
标量只有大小没有方向。
两类物理量的最主要的区别是它们的运算法则，标量的运算法则是代数加减法，而矢量的运算法则是平行四边形定则。
力的矢量性是力概念的一大难点。
4、分类（1）按性质分，可分为万有引力(重力)、弹力、摩擦力、分子力、电磁力、核力等。
（2）按效果分，可分为压力、支持力、动力、阻力、向心力、回复力等。
（3）按作用方式分，可分为场力和接触力。
万有引力(重力)、电磁力均属于场力，弹力、摩擦力均属于接触力。
（4）按研究对象分，可分为外力和内力。
5、关于力的基本特性在研究与力相关的物理现象时，应该把握住力概念的如下基本特性。
（1）物质性：由于力是物体对物体的作用，所以力概念是不能脱离物体而独立存在的，任意一个力必然与两个物体密切相关，一个是其施力物体，另一个是其受力物体。
把握住力的物质性特征，就可以通过对形象的物体的研究而达到了解抽象的力的概念之目的。
（2）矢量性：作为量化力的概念的物理量，力不仅有大小，而且有方向，在相关的运算中所遵从的是平行四边形定则，也就是说，力是矢量。
第一章静力学
直距离）。
3、力矩的计算
试计算各图中力F
对于点O 之矩。
|
[演示] 试题
[引导学生] 求力矩
[学生演示]上黑板展示计算结果 。
[讲授与评价]规范书写 [看] 看不同的效果
第二课时
—
（二）合力矩定理
1、概念 定理：合力对任一点之矩矢，等于其分力对同一点之矩矢的矢量和（平面力系内为代数和）上面第（g ）题 可先将力F 分解为
Y X F F 和,再求分力对O 点之矩，简单些。
)
()()(y O x O O F M F M F M +=
[引导学生分析]上面第（g ）题的力臂计算有点难，有没有一种更好方法来求呢？ [讲解]合力矩定理 #
[演示]求解过程
2、应用举例
[演示] 试题
[引导学生] 求力矩
[学生演示]上黑板展示计算结果 [讲授与评价]规范书写
（三）力矩平衡 ~
1、概念
若物体平衡了，也即没有转动效应，即
0)(=∑F M
O。
也即：0......)()()()(321=+++=∑F M F M F M F M O O O O [讲解]推导过程 [演示]公式
2、应用举例：如图已知称砣B 重为10N ，试求A 重。
[讲解并演示]
*
（四）力矩的性质
1、当力的作用线通过矩心或力大小为零，力矩为零
2、两平衡力对任意一点之矩恒等于零。
[讲解并演示] ；
三、课堂小结
1、力矩的概念
2、力臂的概念
3、合力矩定理
4、力矩平衡的应用
[讲解]课堂内容小结
.
四、作业
达标练习一张
五、教学反思。
静力学教案解析一、引言静力学是力学的一个重要分支，研究物体在力的作用下保持静止或平衡的原理和方法。
它是工程中设计和分析结构的基础，也是物理学、力学等科学领域的重要内容。
本文将对静力学教案进行解析，旨在帮助读者更好地理解和掌握静力学的知识。
二、教学目标静力学教学的主要目标是使学生掌握静力学的基本原理和方法，培养学生的分析和解决问题的能力。
具体包括以下几个方面：1. 理解并应用牛顿第一、第二定律，以及它们在静力学中的具体表达形式；2. 掌握求解力的合成与分解的方法，理解力的平衡条件和力矩的概念与计算方法；3. 理解物体平衡条件的物理意义，能够应用平衡条件解决实际问题；4. 掌握简支梁的受力分析方法，能够计算梁的支反力和跨中最大弯矩；5. 熟悉一些常见结构的受力特点和解析方法，如吊杆、倾斜面等。
三、教学内容1. 牛顿第一定律在静力学中的应用在静力学中，根据牛顿第一定律，物体保持静止或作匀速直线运动的条件是合外力为零。
在教学中，可以通过一些例子或实验来说明这个定律在静力学中的应用。
2. 牛顿第二定律在静力学中的应用牛顿第二定律描述了物体受力与加速度之间的关系，在静力学中，物体的加速度为零。
因此，根据牛顿第二定律的表达式，在静力学中可以将力的合成与分解、力的平衡条件等问题进行分析和求解。
3. 力的合成与分解力的合成与分解是静力学中的基本概念和方法。
通过将力分解成两个或多个分力，可以更好地分析和计算力的作用效果。
4. 力的平衡条件和力矩在静力学中，平衡条件是物体保持静止的重要条件之一。
通过对物体受力情况的分析，可以建立平衡条件的方程，并求解未知力或其他物理量。
同时，力矩也是静力学中重要的物理量，通过力矩的计算可以更好地理解和解释物体的平衡问题。
5. 简支梁的受力分析简支梁是一种常见的结构，研究其受力情况对于工程设计和结构分析至关重要。
在教学中，可以通过实际案例或问题，教授学生如何进行简支梁的受力分析，包括支反力的计算、跨中最大弯矩的求解等。
第一章静力学第3节受力分析与受力图教学目标一、知识目标知道受力分析的目的；知道受力图的画法与步骤二、能力目标能根据约束的类型画出简单物体的受力图三、素质目标培养学生认真学习的兴趣教学重点受力图的画法与步骤教学难点光滑面约束及有二力杆时的受力分析教学方法演示法讲授法教学准备练习卷教学课时2课时教学过程教学内容教学组织第一课时一、复习导入三类约束的概念及其约束反力的确定静力学问题大多是受一定约束的非自由刚体的平衡问题，解决此类问题的关键是找出主动力与约束反力之间的关系。
因此，必须对物体的受力情况作全面的分析〖复习提问〗[生答]以抽签的方式决定由谁来回答二、新课教学（一）受力分析1、基本概念确定构件受到多少力的作用，以及各力的作用位置的力的方向的过程称为受力分析。
[讲授]（二）受力图1、定义：把研究对象从周围物体中分离出来，用简图表示，在分离体上画出全部主动力和约束反力，这称为画受力图。
2、分离体：从周围物体中分离出来的研究对象[讲授]3、画受力图的步骤。
①选研究对象；②去约束，取分离体；③画上主动力；④根据约束类型画出约束反力。
[引导学生练习]画受力图[演示]4、例题精讲[讲授]分步骤讲授各构件的受力[听][看]并参与（边讲边复习各类约束及三力平衡汇交定理）第二课时（三）课堂练习1、基础习题参考答案[学生练习]这样的约束有哪些？[巡视]学生做练习的情况[学生展示]当大部分学生做完以后，请两位同学上黑板上板书他们的受力图[讲授并评价]2、进阶习题参考答案[学生练习]这样的约束有哪些？[巡视]学生做练习的情况[学生展示]当大部分学生做完以后，请两位同学上黑板上板书他们的受力图[讲授并评价]4、练习小结：有二力杆的要先画二力杆的受力，多杆件时，要注意作用与反作用原理。
[讲授][听]三、课堂小结受力图的画法与步骤[讲解]课堂内容小结四、作业达标练习一张五、教学反思。
第一章静力学【竞赛知识要点】重心共点力作用下物体的平衡物体平衡的种类力矩刚体的平衡流体静力学（静止流体中的压强）【内容讲解】一.物体的重心1.常见物体的重心：质量均匀分布的三角板的重心在其三条中线的交点；质量均匀分布的半径R的半球体的重心在其对称轴上距球心3R/8处；质量均匀分布的高为h的圆锥体的重心在其对称轴上距顶点为3h/4处。
2.重心：在xyz 三维坐标系中，将质量为m的物体划分为质点m1、m2、m3……m n.设重心坐标为（x0,y0，z0）,各质点坐标为（x1,y1,z1）,(x2,y2,z2)……(x n,y n,z n).那么：mx0=∑m i x i my0=∑m i y i mz0=∑m i z i【例题】1、（1）有一质量均匀分布、厚度均匀的直角三角板ABC，∠A=30°∠B=90°，该三角板水平放置，被A、B、C三点下方的三个支点支撑着，三角板静止时，A、B、C三点受的支持力各是N A、N B、N C，则三力的大小关系是.（2）半径为R的均匀球体，球心为O点，今在此球内挖去一半径为0.5R的小球，且小球恰与大球面内切，则挖去小球后的剩余部分的重心距O点距离为.2、如图所示，质量分布均匀、厚度均匀的梯形板ABCD，CD=2AB，求该梯形的重心位置。
3、在质量分布均匀、厚度均匀的等腰直角三角形ABC（角C为直角）上，切去一等腰三角形APB，如图所示。
如果剩余部分的重心恰在P点，试证明：△APB的腰长与底边长的比为5：4.4、（1）质量分别为m,2m,3m……nm的一系列小球（可视为质点），用长均为L的细绳相连，并用长也是L的细绳悬于天花板上，如图所示。
求总重心的位置5、如图所示，质量均匀分布的三根细杆围成三角形ABC，试用作图法作出其重心的位置。
6、如图所示，半径为R圆心角为θ的一段质量均匀分布的圆弧，求其重心位置。
7、论证质量均匀分布的三角形板的重心在三条中线的交点上8、求半径为R的厚薄均匀的半圆形薄板的重心9、均匀半球体的重心问题10、均匀圆锥体的重心11、如图所示，有一固定的半径为R 的光滑半球体，将一长度恰好等于R 21、质量为m 的均匀链条搭在球体上，其一端恰在球体的顶点上，并用水平拉力拉住链条使之静止，求拉力的大小。
12、将半径为R 的均匀薄壁球壳切成两部分，做成高脚杯，如图所示。
已知高脚杯的脚高为h ，求高脚杯重心的高度。
二、平衡的种类平衡的种类有：稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡稳定平衡：处于平衡状态的物体受到扰动而离开平衡位置，当扰动撤销后，仍能回到原来的平衡位置。
不稳定平衡：处于平衡状态的物体受到扰动而离开平衡位置，当扰动撤销后，不能回到原来的平衡位置。
随遇平衡：处于平衡状态的物体受到扰动而离开平衡位置，当扰动撤销后虽不能回到原来的平衡位置，但仍处于平衡状态。
例1、一根质量为m 的均匀杆，长为L ，其一端可绕固定的水平轴旋转，另一端用劲度系数相同的水平轻弹簧拴住，使其处于竖直位置，如图所示。
问弹簧的劲度系数满足什么要求才能使杆处于稳定平衡？例2、如图所示，浮子由两个半径为Ｒ的球冠相结合而成，其质量为ｍ１，中心厚度为ｈ（ｈ＜２Ｒ）长为Ｌ、质量为ｍ２的均匀细杆从浮子中心垂直插入，下端恰好到达下球冠表面．细杆的铅垂位置显然是一个平衡位置，试分析平衡的稳定性．例3、一个不倒翁可以看成两部分组成，一部分是半径为r ，底面是球冠的球扇形。
球扇形圆锥部分顶角为900，另一部分是一半径为r 21的球挖去恰当的一部分套在球扇形上，两球心重合，如图所示。
不倒翁各部分的质量均匀分布。
（1）如果把不倒翁按倒在水平面上，放手后，不倒翁仍能立起，则重心位置要满足什么要求？ （2）如果把不倒翁放在一个固定的、半径为R 的大球面上，只要不倒翁与大球面的接触面为扇形球面，不倒翁就能处于稳定平衡，则重心位置要满足什么要求？例4、在固定的半径为R 的半球体上面放“不倒翁”玩具，玩具的下面是半径为r 的球面，已知4R r =，玩具重心在对成轴上距离最低点为2r 处，要使“不倒翁”在固定的球面上稳定平衡，求玩具“不倒翁”的极限倾斜角?θ=例5、杆AB 的重心为C ，它的A 、B 两端分别支在相互垂直的两光滑斜面上而静止，如图所示。
试论证该杆的平衡类型。
例6、质量为m 、长为b 的均匀细棒AB 一端用不可伸长的细绳拴住，细绳绕过光滑的定滑轮P 与劲度系数为k 的轻弹簧相连，如图所示。
细棒AB 的A 端是一在定滑轮P 正下方的光滑转轴，AP=a ，已知b< a ，图中c=0时弹簧处于原长。
试确定细棒AB 平衡时的θ值，并讨论平衡的稳定性。
例7、罗马教皇卡尔诺为信徒布拉基罗用薄白铁皮制作了一顶高帽子。
高帽子是顶角为060θ=、高为20h cm =的圆锥形。
设人头为直径15d cm =的光滑球，问这顶帽子能保持在布拉基罗的头上吗？例8、截面为正方形的均匀木块浮在水面上，如图所示。
为使木块关于水平轴的扰动是稳定平衡，木块的密度应为多大？三、一般物体的平衡【内容】如图所示，一物体在xoy 平面内的F 1、F 2……F n 各力作用下处于静止状态，根据一般物体的平衡条件可列下列方程：∑=0xF------------------------------------------------------① ∑=0yF------------------------------------------------------②以过坐标原点垂直于xoy 平面的直线为转动轴列力矩平衡方程：∑∑=-0i iy i ixx F y F-------------------------------------③对于垂直于xoy 平面的任意转动轴A ，坐标为),(00y x ，合力矩为∑∑---=)()(00x x F y y F M i iy i ix A∑∑∑∑+--=y x i iy i ix F x F y x F y F 00由①②③式可得：0=AM这说明由①②③式可以导出对于垂直于xoy 平面的任意转动轴的力矩平衡，所以，对于平面力系统的物体平衡，有且只有三个独立的平衡方程，即：∑=0xF、∑=0y F 和对于任意垂直于力所在平面的轴合力矩为零，0=M。
也可以列∑=0x F 、01=M 、02=M 或其他列法，但只能列出三个独立的平衡方程。
若对于三维空间的力平衡，可以列出六个独立的平衡方程。
关于平衡状态方程组可总结如下：1. 一条直线上力作用下物体的平衡，有且只有一个平衡方程2. 平面力作用下物体的平衡，有且只有三个独立的平衡方程。
这里指的是最多可列出三个独立的平衡方程，这三个平衡方程分别是：∑=0xF ，∑=0y F M=0.3. 三维空间的力作用下物体的平衡，有且只有六个平衡方程。
这里指的是最多可列出六个独立的平衡方程，这六个平衡方程分别是：∑=0xF，∑=0y F ，∑=0x F ， M x =0, M y =0, M z =0【例题讲解】第一部分：平面力系统问题例1.内表面光滑的半球形碗，半径为R ，一根重为G 、长为R l34的均匀直棒AB ，B 端搁在碗里，A 端露出碗外，如图所示，求B 、C 两点对棒的作用力各是多大？例2. 如图所示，长为L 的杆竖立在水平面上，杆与地面间的动摩擦因数为μ，杆的上端被固定在地面上钢索拉住，它与杆间的夹角为θ，今用水平力作用在杆上，问水平力的作用点距地面高度h 满足什么条件，杆始终不会被拉倒？例3、人对均匀细杆的一端施力，力的方向始终垂直于杆，要将杆从地板上慢慢的无滑动的抬到竖直位置．试求杆与地板间的最小静摩擦因数．例4、如图所示。
写字台抽屉长a ，宽b ，抽屉两侧与侧壁之间的摩擦因数均为μ，抽屉底面是光滑的，抽屉前方有对称地安装着的两个把手A 与B ，相距h ，要想拉动一个把手将抽屉拉出，问μ应小于什么值？例5、质量为m 、长为l 的均匀光滑细绳，对称地搭在半径为R 的滑轮上，求绳中的最大张力。
例6、质量为m 、长为l 的均匀杆AB 的下端A 靠在竖直墙上，借助一条轻绳保持倾斜静止状态。
绳的一端连在杆上D 点，另一端连在墙上C 点，如图所示。
3lAD=，绳和杆与墙壁成的夹角分别为α、β，求杆与墙壁之间的静摩擦因数满足什么条件?例7、均匀小木棒放在粗糙球面内，木棒长等于球面半径，木棒与球面间静摩擦因数为μ，求木棒平衡时与水平方向成的最大角。
例8（十一届复赛）、有一木板可绕其下端的水平轴转动，转轴位于一竖直墙面内，如图所示。
开始时，木板与墙面的夹角为150，在夹角中放一正圆柱形木棍，截面半径为r，在木板外侧加一力F使其保持平衡。
在木棍端面上画一竖直向上的箭头。
已知木棍与墙面之间和木棍与木板之间的静摩擦因数分别为11.00μ=、230.577 3μ==。
若极缓慢地减小所加的力F，使夹角慢慢张开，木棍下落。
问夹角张到060时，木棍端面上的箭头指向什么方向？附三角函数表：θ07.5015030060sinθ0.131 0.259 0.500 0.866cosθ0.991 0.966 0.866 0.500第二部分：联接体问题连接体是指两个相互关联的物体构成的系统。
解决连接体问题应注意下列问题：研究对象的选择：个体和整体；有n个物体构成的连接体，研究对象的选择次数最多为n次例1、三个完全相同的圆柱体垛在一起，如图所示。
每个圆柱体的质量均为m，问上面的圆柱体受到下面圆柱体的支持为多少？已知各圆柱体之间及圆柱体和地面之间的静摩擦因数均相同，则它们之间的静摩擦因数μ最小为多少它们才不会滚散？例2、如图AB、BC、CD和DE为质量相等长度均为2a的四根均匀细杆.四杆通过位于B、C、D 的光滑铰链相连，并以端点A和E置于粗糙水平面上，形成对称弓形，而且在竖直面内保持平衡.若平面与杆件间静摩擦因数 =0.25，求AE的最大距离及此时C距水平面的高度.例3、有一半径为R的圆柱体A，静止在水平面上，并与竖直墙面接触。
现有另一质量与A相同、半径为r的较细的圆柱体B，用手扶着圆柱体A将B放在A的上面，并使之与墙面接触，如图所示，然后放手。
已知圆柱体A与地面间的静摩擦因数为0.20，两圆柱体之间的静摩擦因数为0.30。
若放手后两圆柱体能保持图示的平衡，问圆柱体B与竖直墙面间的静摩擦因数和圆柱体B的半径r的值各应满足什么条件？例4、有六个完全相同的刚性长条薄片A i B i(i=1，2，……6)其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的重力均可不计，现将六个薄片架在一只水平的碗口上，另一端小突起A i位于其下方薄片的正中，由上方俯视如图所示，若将一质量为m的质点放在薄片A6B6上的一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起A6的距离，求薄片中点所受A1的压力。
