二次函数与几何综合压轴题题型归纳 学生版

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l a l
是直线同旁的两个定点，线段，在直线上确定两点
F AEFB
的左侧），使得四边形的周长最小。

8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法
(1)求该抛物线的解析式与△
求L关于X的函数关系式？关写出X的取值范围？
当E点运动到什么位置时，线段EF的值最大，并求此时E点的坐标？
(4)在（5）的情况下直线BC与抛物线的对称轴交于点H。

当E点运动到什么位置时,以点
E、F、H、D为顶点的四边形为平行四边形？
(5)在（5）的情况下点E运动到什么位置时，使三角形BCE的面积最大？
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1
；二次函数y＝x
2
两点且D点坐标
我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙
轴交于点A（﹣4，0）和B．的坐标；若不存在，请说明理由．
F
E
O
x
B
A
我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙。

一 基础构图：y=322--x x （以下几种分类的函数解析式就是这个）★和最小，差最大 在对称轴上找一点P ，使得PB+PC 的和最小，求出P 点坐标在对称轴上找一点P ，使得PB-PC 的差最大，求出P 点坐标★求面积最大 连接AC,在第四象限找一点P ，使得ACP ∆面积最大，求出P 坐标★ 讨论直角三角 连接AC,在对称轴上找一点P ，使得ACP ∆为直角三角形，求出P 坐标或者在抛物线上求点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形．★ 讨论等腰三角 连接AC,在对称轴上找一点P ，使得ACP ∆为等腰三角形，求出P 坐标★ 讨论平行四边形 1、点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以B ，A ，F ，E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标二 综合题型 O xyA B C DO xyA B C DO xyA B C DO xyA B C D例1 (中考变式）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D 。

交Y 轴于C(1)求该抛物线的解析式与△ABC 的面积。

(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M ，使△MBC 是以∠BCM 为直角的直角三角形，若存在，求出点P 的坐标。

若没有，请说明理由(3)若E 为抛物线B 、C 两点间图象上的一个动点(不与A 、B 重合)，过E 作EF 与X 轴垂直，交BC 于F ，设E 点横坐标为x.EF 的长度为L ，求L 关于X 的函数关系式？关写出X 的取值范围？当E 点运动到什么位置时，线段EF 的值最大，并求此时E 点的坐标？(4)在（5）的情况下直线BC 与抛物线的对称轴交于点H 。

当E 点运动到什么位置时,以点E 、F 、H 、D 为顶点的四边形为平行四边形？(5)在（5）的情况下点E 运动到什么位置时，使三角形BCE 的面积最大？例2 考点： 关于面积最值如图，在平面直角坐标系中，点A 、C 的坐标分别为(－1，0)、(0，3－)，点B 在x 轴上．已知某二次函数的图象经过A 、B 、C 三点，且它的对称轴为直线x ＝1，点P 为直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与B 、C 不重合），过点P 作y 轴的平行线交BC 于点F ． （1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P 的横坐标为m ，试用含m 的代数式表示线段PF 的长；（3）求△PBC 面积的最大值，并求此时点P 的坐标．例3 考点：讨论等腰如图，已知抛物线y ＝21x 2＋bx ＋c 与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，－1）． （1）求抛物线的解析式；（2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点D 的坐标；（3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由．例4考点：讨论直角三角⑴ 如图，已知点A （一1，0）和点B （1，2），在坐标轴上 D B C O A yx E B C O A 备用图y xyxBA FPx ＝1CO确定点P ，使得△ABP 为直角三角形，则满足这样条件的点P 共有（ ）． (A ）2个 （B ）4个 （C ） 6个（D ）7个⑵ 已知：如图一次函数y ＝21x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y ＝21x 2＋bx ＋c 的图象与一次函数y ＝21x ＋1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为（1，0）（1）求二次函数的解析式； （2）求四边形BDEC 的面积S ；（3）在x 轴上是否存在点P ，使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P ，若不存在，请说明理由．例5 考点：讨论四边形已知：如图所示，关于x 的抛物线y ＝ax 2＋x ＋c （a ≠0）与x 轴交于点A （－2，0），点B （6，0），与y 轴交于点C ．（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点D ，使四边形ABDC 为等腰梯形，写出点D 的坐标，并求出直线AD 的解析式；（3）在（2）中的直线AD 交抛物线的对称轴于点M ，抛物线上有一动点P ，x 轴上有一动点Q ．是否存在以A 、M 、P 、Q 为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．综合练习：1、平面直角坐标系xOy 中，抛物线244y ax ax a c =-++与x 轴交于点A 、点B ，与y 轴的正半轴O A B yCxD E2 B A y O Cx交于点C ，点 A 的坐标为(1, 0)，OB ＝OC ，抛物线的顶点为D 。

初三二次函数压轴题题型归纳及方法一、题型归纳初三二次函数压轴题主要包括以下几种题型：1. 解二次方程：给出一个二次方程，要求求出其解。

2. 求顶点坐标：给出一个二次函数，要求求出其顶点坐标。

3. 求零点：给出一个二次函数，要求求出其零点。

4. 求最值：给出一个二次函数，要求求出其最大值或最小值。

5. 综合应用：将上述各种题型结合起来进行综合应用。

二、方法1. 解二次方程（1）将方程化为标准形式ax²+bx+c=0；（2）判断Δ=b²-4ac的正负性：如果Δ>0，则有两个不相等的实数根；如果Δ=0，则有两个相等的实数根；如果Δ<0，则无实数根，但可以得到一对共轭复数根；（3）根据公式x1=(-b+√Δ)/2a和x2=(-b-√Δ)/2a求得解。

2. 求顶点坐标（1）将二次函数化为标准形式y=ax²+bx+c；（2）利用公式x=-b/2a求得顶点的横坐标；（3）将横坐标代入原函数中求得顶点的纵坐标。

3. 求零点（1）将二次函数化为标准形式y=ax²+bx+c；（2）令y=0，解出方程ax²+bx+c=0；（3）根据解出的方程，用上述方法求出零点。

4. 求最值（1）将二次函数化为标准形式y=ax²+bx+c；（2）如果a>0，则函数有最小值，最小值为y0=c-b²/4a，顶点坐标为(-b/2a,y0)；如果a<0，则函数有最大值，最大值为y0=c-b²/4a，顶点坐标为(-b/2a,y0)。

5. 综合应用综合应用题目一般会给出一个实际问题，并要求利用二次函数进行建模和求解。

解决这类题目需要结合实际情况进行分析，并运用上述各种方法进行计算和推导。

三、注意事项1. 在解二次方程时，需要注意判别式Δ的正负性，以确定是否有实数根。

2. 在求顶点坐标时，需要注意顶点横坐标的符号和范围。

3. 在求零点时，需要注意解方程的过程和方法，并判断是否存在实数根。

周日解答题压轴题二次函数与几何图形综合一模块一2022中考真题集训类型一二次函数中的最值问题(1)自变量范围与最值问题1.(2022•绍兴)已知函数y =-x 2+bx +c (b ，c 为常数)的图象经过点(0，-3)，(-6，-3)．(1)求b ，c 的值．(2)当-4≤x ≤0时，求y 的最大值．(3)当m ≤x ≤0时，若y 的最大值与最小值之和为2，求m 的值．2.(2022•安顺)在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为和谐点．例如：点(1，1)，12，12 ，(-2，-2)，⋯⋯都是和谐点．(1)判断函数y =2x +1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；(2)若二次函数y =ax 2+6x +c (a ≠0)的图象上有且只有一个和谐点52，52．①求a ，c 的值；②若1≤x ≤m 时，函数y =ax 2+6x +c +14(a ≠0)的最小值为-1，最大值为3，求实数m 的取值范围．周日(2)胡不归问题3.(2022•淮安)如图(1)，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，3)，直线l经过B、C两点．(1)求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；(2)点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当PM=12MN时，求点P的横坐标；(3)如图(2)，点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一点，且AQ=3PQ，连接DQ，当3AP+4DQ的值最小时，直接写出DQ的长．周日4.(2022•梧州)如图，在平面直角坐标系中，直线y =-43x -4分别与x ，y 轴交于点A ，B ，抛物线y =518x 2+bx +c 恰好经过这两点．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点C 的坐标是(0，6)，将△ACO 绕着点C 逆时针旋转90°得到△ECF ，点A 的对应点是点E ．①写出点E 的坐标，并判断点E 是否在此抛物线上；②若点P 是y 轴上的任一点，求35BP +EP 取最小值时，点P 的坐标．周日5.(2022•济南)抛物线y=ax2+114x-6与x轴交于A(t，0)，B(8，0)两点，与y轴交于点C，直线y=kx-6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．(1)求抛物线的表达式和t，k的值；(2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；PQ的最大(3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQ+12值．周日类型二二次函数中的面积问题两点，与x轴的另一个交点1.(2022•内蒙古)如图，抛物线y=ax2+x+c经过B(3，0)，D-2，-52为A，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的解析式和点C的坐标；(2)若点M在直线BC上方的抛物线上运动(与点B，C不重合)，求使△MBC面积最大时M点的坐标，并求最大面积；(请在图1中探索)(3)设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．(请在图2中探索)周日2.(2022•淄博)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，顶点Dx+t上，动点P(m，n)在x轴上方的抛物线上．(1，4)在直线l：y=43(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1<m<3时，求PM+PN的最大值；(3)设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G(G是点E关于x轴的对称点)为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．周日类型三二次函数与角度问题1.(2022•菏泽)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-2，0)、B(8，0)两点，与y轴交于点C(0，4)，连接AC、BC．(1)求抛物线的表达式；(2)将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标，并求出四边形OADC的面积；(3)点P是抛物线上的一动点，当∠PCB=∠ABC时，求点P的坐标．周日2.(2022•鞍山)如图，抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A (-1，0)，B 两点，与y 轴交于点C (0，2)，连接BC ．(1)求抛物线的解析式．(2)点P 是第三象限抛物线上一点，直线PB 与y 轴交于点D ，△BCD 的面积为12，求点P 的坐标．(3)在(2)的条件下，若点E 是线段BC 上点，连接OE ，将△OEB 沿直线OE 翻折得到△OEB '，当直线EB '与直线BP 相交所成锐角为45°，时，求点B '的坐标．类型四二次函数与圆综合1.(2022•扬州)如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB 在x 轴上，且AB =8dm ，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y 轴，高度OC =8dm ．现计划将此余料进行切割：(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB 上且面积最大，求此正方形的面积；(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB 上且周长最大，求此矩形的周长；(3)若切割成圆，判断能否切得半径为3dm 的圆，请说明理由．周日2.(2022•盐城)【发现问题】小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．【提出问题】小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．【分析问题】小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为．【解决问题】请帮助小明验证他的猜想是否成立．【深度思考】小明继续思考：设点P(0，m)，m为正整数，以OP为直径画⊙M，是否存在所描的点在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，说明理由．周日类型五二次函数中的定值问题1.(2022•巴中)如图1，抛物线y=ax2+2x+c，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，当y≥0时，-1≤x≤3．(1)求抛物线的表达式；(2)点P是线段BE上的动点(除B、E外)，过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．①当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；②如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，EM+EN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．周日类型六二次函数中几何图形的存在性问题1.(2022•枣庄)如图①，已知抛物线L：y=x2+bx+c经过点A(0，3)，B(1，0)，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的关系式；(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；(3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内(包括△OAE的边界)，求h的取值范围；(4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．周日2.(2022•攀枝花)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于O(O为坐标原点)，A两点，且二次函数的最小值为-1，点M(1，m)是其对称轴上一点，y轴上一点B(0，1)．(1)求二次函数的表达式；(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结PA，PB，设点P的横坐标为t，△PAB的面积为S，求S与t的函数关系式；(3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．周日3.(2022•阜新)如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象交x轴于点A(-1，0)，B(5，0)，交y轴于点C．(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图1，点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段BC向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB向点B运动，点M，N同时出发．设运动时间为t秒(0<t< 5)．当t为何值时，△BMN的面积最大？最大面积是多少？(3)已知P是抛物线上一点，在直线BC上是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．周日4.(2022•朝阳)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴分别交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，-3)，连接BC．(1)求抛物线的解析式及点B的坐标．(2)如图，点P为线段BC上的一个动点(点P不与点B，C重合)，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．(3)动点P以每秒2个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．周日5.(2022•黔西南州)如图，在平面直角坐标系中，经过点A(4，0)的直线AB与y轴交于点B(0，4)．经过原点O的抛物线y=-x2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．(1)求抛物线y=-x2+bx+c的表达式；(2)M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥y轴且MN=2时，求点M的坐标；(3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．周日6.(2022•鄂尔多斯)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +2经过A -12，0 ，B 3，72 两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 在抛物线上，过P 作PD ⊥x 轴，交直线BC 于点D ，若以P 、D 、O 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标；(3)抛物线上是否存在点Q ，使∠QCB =45°？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．周日7.(2022•黄石)如图，抛物线y =-23x 2+23x +4与坐标轴分别交于A ，B ，C 三点，P 是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m ．(1)A ，B ，C 三点的坐标为，，．(2)连接AP ，交线段BC 于点D ，①当CP 与x 轴平行时，求PDDA 的值；②当CP 与x 轴不平行时，求PDDA的最大值；(3)连接CP ，是否存在点P ，使得∠BCO +2∠PCB =90°，若存在，求m 的值，若不存在，请说明理由．周日类型七抛物线的平移、翻折与旋转1.(2022•德州)如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为y=x2-4x+1．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(0，1)，B(1，-2)，．求该二次函数的解析式．(1)请根据已有信息添加一个适当的条件：；(2)当函数值y<6时，自变量x的取值范围：；(3)如图1，将函数y=x2-4x+1(x<0)的图象向右平移4个单位长度，与y=x2-4x+1(x≥4)的图象组成一个新的函数图象，记为L．若点P(3，m)在L上，求m的值；(4)如图2，在(3)的条件下，点A的坐标为(2，0)，在L上是否存在点Q，使得S△OAQ=9．若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．周日2.(2022•大庆)已知二次函数y=x2+bx+m图象的对称轴为直线x=2，将二次函数y=x2+bx+m图象中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图象C．(1)求b的值；(2)①当m<0时，图C与x轴交于点M，N(M在N的左侧)，与y轴交于点P．当△MNP为直角三角形时，求m的值；②在①的条件下，当图象C中-4≤y<0时，结合图象求x的取值范围；(3)已知两点A(-1，-1)，B(5，-1)，当线段AB与图象C恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围．周日3.(2022•岳阳)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：y=x2+bx+c经过点A(-3，0)和点B(1，0)．(1)求抛物线F1的解析式；(2)如图2，作抛物线F2，使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F2的解析式；(3)如图3，将(2)中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线F3，抛物线F1与抛物线F3相交于C，D两点(点C在点D的左侧)．①求点C和点D的坐标；②若点M，N分别为抛物线F1和抛物线F3上C，D之间的动点(点M，N与点C，D不重合)，试求四边形CMDN面积的最大值．。

二次函数(十二大题型综合归纳)题型1：二次函数的概念1以下函数式二次函数的是()A.y=ax2+bx+cB.y=2x-12-4x2C.y=ax2+bx+c a≠0D.y=x-1x-22二次函数y=2x x−3的二次项系数与一次项系数的和为()A.2B.-2C.-1D.-4题型2：二次函数的值3已知二次函数y=x2+2x-5，当x=3时，y=．4已知二次函数y=ax2+2c，当x=2时，函数值等于8，则下列关于a,c的关系式中，正确的是()A.a+2c=8B.2a+c=4C.a-2c=8D.2a-c=45二次函数y=ax2+bx-3a≠0的图象经过点2,-2，则代数式2a+b的值为．题型3：二次函数的条件6已知y=mx m-2+2mx+1是y关于x的二次函数，则m的值为()A.0B.1C.4D.0或47关于x的函数y=a-bx2+1是二次函数的条件是()A.a≠bB.a=bC.b=0D.a=0题型4：列二次函数关系式8已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为．题型5：特殊二次函数的图像和性质9关于二次函数y =-34x 2-1的图像，下列说法错误的是()A.抛物线开口向下B.对称轴为直线x =0C.顶点坐标为0,-1D.当x <0时，y 随x 的增大而减小，当x >0时，y 随x 的增大而增大10抛物线y =34x 2与抛物线y =-34x 2+3的相同点是()A.顶点相同B.对称轴不相同C.开口方向一样D.顶点都在y 轴上11如果二次函数y =ax 2+m 的值恒大于0，那么必有()A.a >0，m 取任意实数B.a >0，m >0C.a <0，m >0D.a ，m 均可取任意实数12对于二次函数y =-3(x -2)2的图象，下列说法正确的是()A.开口向上B.对称轴是直线x =-2C.当x >-2时，y 随x 的增大而减小D.顶点坐标为2,013二次函数：①y =-13x 2+1；②y =12(x +1)2-2；③y =-12(x +1)2+2；④y =12x 2；⑤y =-12(x -1)2；⑥y =12(x -1)2．(1)以上二次函数的图象的对称轴为直线x =-1的是(只填序号)；(2)以上二次函数有最大值的是(只填序号)﹔(3)以上二次函数的图象中关于x 轴对称的是(只填序号)．14设函数y 1=x -a 12，y 2=x -a 22，y 3=x -a 3 2．直线x =b 的图象与函数y 1，y 2，y 3的图象分别交于点A b ,c 1，B b ,c 2 ，C b ,c 3，()A.若b <a 1<a 2<a 3，则c 2<c 3<c1B.若a 1<b <a 2<a 3，则c 1<c 2<c 3C.若a 1<a 2<b <a 3，则c 3<c 2<c 1 D.若a 1<a 2<a 3<b ，则c 3<c 2<c 115已知二次函数y =(x -m )2，当x ≤1时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是．16已知关于x 的一元二次方程x 2-(2m +1)x +m 2-1=0有实数根a ，b ，则代数式a 2-ab +b 2的最小值为．题型6：与特殊二次函数有关的几何知识17在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a x-42+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB⎳x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为．18在平面直角坐标系内有线段PQ，已知P(3，1)、Q(9，1)，若抛物线y=(x-a)2与线段PQ有交点，则a的取值范围是．19二次函数y=-x+3的图象上任意二点连线不与x轴平行，则t的取值范围2+h t≤x≤t+2为．题型7：二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质20下列抛物线中，与抛物线y=x2-2x+8具有相同对称轴的是()A.y=4x2+2x+4B.y=x2-4xC.y=2x2-x+4D.y=-2x2+4x21若抛物线y=x2+ax+1的顶点在y轴上，则a的值为()A.2B.1C.0D.-222抛物线y=x-1x+5图象的开口方向是(填“向上”或“向下”)．23当二次函数y=ax2+bx+c有最大值时，a可能是()A.1B.2C.-2D.324已知抛物线y=x2-2bx+b2-2b+1(b为常数)的顶点不在抛物线y=x2+c(c为常数)上，则c应满足()A.c≤2B.c<2C.c≥2D.c>225已知二次函数y=x2-2mx+m的图象经过A1,y1，B5,y2两个点，下列选项正确的是()A.若m<1，则y1>y2B.若1<m<3，则y1<y2C.若1<m<5，则y1>y2D.若m>5，则y1<y2题型8：二次函数y=ax2+bx+c的最值与求参数范围问题26已知直线y=2x+t与抛物线y=ax2+bx+c a≠0，且点B、B m,n有两个不同的交点A3,5是抛物线的顶点，当-2≤a≤2时，m的取值范围是．27已知抛物线y=x2+bx+c经过点(1，-2)，(-2，13)．(1)求抛物线解析式及对称轴．(2)关于该函数在0≤x<m的取值范围内，有最小值-3，有最大值1，求m的取值范围．28已知二次函数y=mx2-4m2x-3(m为常数，m>0)．(1)若点(-2，9)在该二次函数的图象上．①求m的值：②当0≤x≤a时，该二次函数值y取得的最大值为18，求a的值；(2)若点P(x，y)是该函数图象上一点，当0≤x p≤4时，y p≤-3，求m的取值范围．题型9：根据二次函数y=ax2+bx+c的图像判断有关信息29函数y=ax2+bx+c a≠0与y=kx的图象如图所示，现有以下结论：①c=3；②k=3；③3b+c+6=0；④当1<x<3时，x2+b-1x+c<0．其中正确的为．(填写序号即可)30如图，已知二次函数y=ax2+bx+c a≠0的图象与x轴交于点A-1,0，与y轴的交点在0,-2和0,-1之间(不包括这两点)，对称轴为直线x=1，下列结论：①4a+2b+c>0；②4ac-b2<8a；③13<a<23；④b>c；⑤直线y=k i(k i>0，i=1，2，3，⋯，2023)与抛物线所有交点的横坐标之和为4046；其中正确结论的个数有()A.2个B.3个C.4个D.5个题型10：二次函数的应用31如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为8m ，两侧距地面4m 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m ，则这个门洞内部顶端离地面的距离为()A.7.5B.8C.649D.64732某炮兵部队实弹演习发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间x 与高度y 的关系为y =ax 2+bx ．若此炮弹在第5秒与第16秒时的高度相等，则在下列哪一个时间段炮弹的高度达到最高．()A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒33在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y (单位：米)与飞行的水平距离x (单位：米)之间具有函数关系y =-116x 2+58x +32，则小康这次实心球训练的成绩为()A.14米B.12米C.11米D.10米34某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据(单位：m )．有下列结论：①AB =30m ；②池底所在抛物线的解析式为y =145x 2-5；③池塘最深处到水面CD 的距离为3.2m ；④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为1.2m ．其中结论错误的是()A.①B.②C.③D.④35某建筑工程队借助一段废弃的墙体CD，CD长为18米，用76米长的铁栅栏围成两个相连的长方形仓库，为了方便取物，在两个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，现有如下两份图纸(图纸1点A在线段DC的延长线上，图纸2点A在线段DC上)，设AB =x米，图纸1，图纸2的仓库总面积分别为y1平方米，y2平方米．(1)分别写出y1,y2与x的函数关系式；(2)小红说：“y1的最大值为384．y2的最大值为507．”你同意吗？请说明理由．题型11：二次函数的解答证明题36已知二次函数y=-x2+bx+c．(1)当b=4,c=3时，①求该函数图象的顶点坐标．②当-1≤x≤3时，求y的取值范围．(2)当x≤0时，y的最大值为2；当x>0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．37如图，已知二次函数y=-12x2+bx+c的图象与x轴交于A1，0，B，与y轴交于点C0，-52．CD∥x轴交抛物线于点D．(1)求b，c的值．(2)已知点E在抛物线上且位于x轴上方，过E作y轴的平行线分别交AB，CD于点F，G，且GE= 2GD，求点E的坐标．38在直角坐标系中，设函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)．(1)已知a=1．①若函数的图象经过0，3和-1，0两点，求函数的表达式；②若将函数图象向下平移两个单位后与x轴恰好有一个交点，求b+c的最小值．(2)若函数图象经过-2，m，-3，n和x0,c，且c<n<m，求x0的取值范围．题型12：二次函数压轴题39在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2-4x+c与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且点A的坐标为-5,0．(1)求点C的坐标；(2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求三角形ACP面积的最大值；(3)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．。

“二次函数〞常考题型总结“二次函数〞综合题经常察看以下几类，面积，周长、最值，也许与四边形、圆等结合察看一些相关的性质等，题目编号灵便，难度有点大，今天整理了常考题型，希望对同学们能有所帮助！面积类1、如图,抛物线经过点A〔-1,0〕、B〔3,0〕、C〔0,3〕三点．〔1〕求抛物线的剖析式．〔2〕点M 是线段BC 上的点〔不与B,C 重合〕,过M 作MN ∥y 轴交抛物线于N,假设点M 的横坐标为m,请用m 的代数式表示MN 的长．〔3〕在〔2〕的条件下,连接NB、NC,可否存在m,使△BNC 的面积最大?假设存在,求m 的值；假设不存在,说明原由．2、如图，抛物线y=ax2- 3/2 x-2(a ≠0)的图象与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于 C 点， B 点坐标为〔4，0〕．〔1〕求抛物线的剖析式；〔2〕试试究△ABC 的外接圆的圆心地址，并求出圆心坐标；〔3〕假设点M 是线段BC 下方的抛物线上一点，求△MBC 的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．平行四边形类3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2 +mx+n 经过点A〔3，0〕、B〔0，-3〕，点P 是直线AB 上的动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，设点P 的横坐标为t。

〔1〕分别求出直线AB 和这条抛物线的剖析式；〔2〕假设点P 在第四象限，连接AM 、BM ，当线段PM 最长时，求△ABM 的面积；〔3〕可否存在这样的点P，使得以点P、M 、B、O 为极点的四边形为平行四边形？假设存在，请直接写出点P 的横坐标；假设不存在，请说明原由。

如图，在平面直角坐标系中放置素来角三角板，其极点为A〔0，1〕，B〔2，0〕，O〔0，0〕，将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，获取△A'B'O ．〔1〕一抛物线经过点A'、B'、B，求该抛物线的剖析式；〔2〕设点P 是在第一象限内抛物线上的一动点，可否存在点P，使四边形PB'A'B 的面积是△A'B'O 面积 4 倍？假设存在，央求出P 的坐标；假设不存在，请说明原由．〔3〕在〔2〕的条件下，试指出四边形PB'A'B 是哪一种形状的四边形？并写出四边形PB'A'B 的两条性质．5、如图，抛物线y=x2-2x+c 的极点 A 在直线l ：y=x-5 上。

中考二次函数综合压轴题型归类一、常考点汇总1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-=2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：⎪⎭⎫⎝⎛++22B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系：（1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠ （3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：① 用∆和参数的其他要求确定参数的取值范围；② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。

例：关于x 的一元二次方程()01222＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。

4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。

（方法同上）例：若抛物线()3132+++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式。

5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。

举例如下：已知关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。

解：当0=m 时，1=x ；当0≠m 时，()032≥-=∆m ，()mm x 213∆±-=，m x 321-=、12=x ；综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。

6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线22-+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。

解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122；∴ ⎩⎨⎧=-=+-01 02 2x x y ，解得：⎩⎨⎧=-=1 1 x y ；∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。

中考二次函数综合压轴题型归类一、常考点汇总1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-=2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：⎪⎭⎫⎝⎛++22B A B A y y x x ，直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系：（1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠ （3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：① 用∆和参数的其他要求确定参数的取值范围；② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。

例：关于x 的一元二次方程()01222＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。

4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。

（方法同上）例：若抛物线()3132+++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式。

5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。

举例如下：已知关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。

解：当0=m 时，1=x ；当0≠m 时，()032≥-=∆m ，()m m x 213∆±-=，mx 321-=、12=x ；综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。

6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线22-+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122；∴ ⎩⎨⎧=-=+-01 02 2x x y ，解得：⎩⎨⎧=-=1 1 x y ；∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。

第三部分函数专题11二次函数与图形几何综合（6大考点）核心考点核心考点一线段问题核心考点二面积问题核心考点三角度问题核心考点四特殊三角形判定问题核心考点五特殊四边形判定问题核心考点六相似三角形判定问题新题速递核心考点一线段问题（2020·吉林长春·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为()0,2，点B的坐标为()4,2．若抛物线23()2y x h k=--+（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且12CD AB=，则k的值为_________．（2020·山东滨州·中考真题）如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B1(0,)2-，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C(0，－3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PF＝d；（3）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时 DFQ周长的最小值及点Q的坐标．1.确定线段长关系式（根据已知线段关系求点坐标）：①先在图中找出对应线段，弄清已知点和未知点；②再联系二次函数和一次函数，设出未知点的坐标，使其只含一个未知数；③继而表示出线段的长度（如果该线段与坐标轴平行的话，则利用横纵坐标相加减确定；如果与坐标轴不平行的话，先转化为有边在与坐标轴平行的三角形中，再利用勾股定理、锐角三角函数或相似确定）．2.线段数量关系问题：根据前面所得的线段长的关系式，结合题干列出满足线段数量关系的方程，解方程求解即可（注意排除不符合题意的数值）．3.线段最值问题：求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，首先联想到“对称性质”，最常见的有以下模型：（1）定直线与两定点①同侧和最小值问题②同侧差最小值问题③同侧差最大值问题④异侧差最大值问题（2）角与定点①一定点与两条直线上两动点问题②两定点与两条直线上两动点问题【变式1】（2020·贵州遵义·统考二模）如图，二次函数图象经过()20A ，，()00O ，且有最小值1-，若A 点关于y 轴的对称点为B 点，过B 作y 轴平行线交抛物线于点C ，在Rt ABC △的斜边AC 上有一动点D ，过D 作DE BC ⊥于E ，DF AB ⊥于F ，则EF 的最小值为（）ABC．D．【变式2】（2021·浙江湖州·模拟预测）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 1：y ＝a 1x 2（a 1≠0）与抛物线C 2：y ＝a 2x 2+bx （a 2≠0）的交点P 在第三象限，过点P 作x 轴的平行线，与物线C 1，C 2分别交于点M ，N ．若PM PN ＝2n ，则12a a 的值是（）A ．2n B ．n ﹣1C ．n D ．11n -【变式3】（2022·山东聊城·统考二模）平面直角坐标系中，将抛物线2y x =-平移得到抛物线C ，如图所示，且抛物线C 经过点()1,0A -和()0,3B ，点P 是抛物线C 上第一象限内一动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，则OQ PQ +的最大值为______．【变式4】（2021·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，AE 为∠BAD 的角平分线，F 为AE 上一动点，M 为DF 的中点，连接BM ，则BM 的最小值是_____．核心考点二面积问题（2021·山东淄博·统考中考真题）已知二次函数2286y x x =-+的图象交x 轴于,A B 两点．若其图象上有且只有123,,P P P 三点满足123ABPABP ABP S S S m === ，则m 的值是（）A ．1B ．32C ．2D ．4（2021·浙江·统考中考真题）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点为()1,0A 和()3,0B ，点()111,P x y ，()222,P x y 是抛物线上不同于,A B 的两个点，记1P AB △的面积为12,S P AB 的面积为2S ．有下列结论：①当122x x >+时，12S S >；②当122x x <-时，12S S <；③当12221x x ->->时，12S S >；④当12221x x ->+>时，12S S <．其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4中考数学，最后的三道压轴题，一般都会有一题考察二次函数动点。

专题18二次函数与几何交点间题1.(2023·黑龙江大庆中考真题）如图，二次函数y = a:x.2+bx+c的图象与X轴交千A,B两点，且自变量X 的部分取值与对应函数值Y如下表：XL -]。

I2 34L yL。

-3-4-3。

5Ly y备用图备用图(I)求二次函数y=ax 2+bx+c的表达式；(3)若将线段A B 先向上平移3个单位长度，再向右平移l 个单位长度，得到的线段与二次函数y ＝一（釭2+bx+c)的图象只有一个交点，其中（为常数，请直接写出t的取值范围2.(2023四川德阳中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(-4，0)'B (2,0)，与y 轴交千点C (O,-4)．1付l(I)求抛物线的解析式；E -阳2(2)如图1，如果把抛物线x 轴下方的部分沿x 轴翻折180°,抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线y＝妇＋6与新图象有三个公共点时，求k的值；3.(2023山东济南中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的顶点A,B 在X轴上，C(2,3),D(-1,3) 抛物线y ＝成－2少＋c(a«))与X 轴交于点E(-2,0)和点Fy y(1)如图l ，若抛物线过点C,求抛物线的表达式和点F 的坐标；(2)如图2,在（I)的条件下，连接CF,作直线CE,平移线段CF,使点C 的对应点P落在直线CE 上，点F 的对应点Q落在抛物线上，求点Q的坐标；(3)若抛物线y=ax 2-2ax+c(a<0)与正方形ABCD 恰有两个交点，求(1的取值范围，4.(2023山东日照中考真题）在平面百角坐标系xOy 内，抛物线y ＝动X江女仄＋2(a>0)交y轴于点C ，过点C作x轴的平行线交该抛物线千点D.l ｀一-x(1)求点C,D的坐标；(3)坐标平面内有两点£(�.a +1} F (5,a + I )，以线段EF 为边向上作正方形EFGH.＠若a=l,求正方形EFGH 的边与抛物线的所有交点坐标；＠当正方形EFGH 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x 轴的距离之差为－5时，求a的值5.(2022吉林长春中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y = x 1-bx (b是常数）经过点(2,0)点A在抛物线上，且点A的横坐标为m(m;1:0)以点A为中心，构造正方形PQMN, P Q=2|『111，且PQ.lx轴．(l)求该抛物线对应的函数表达式：(2若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线千另一点C,连按BC.当BC=4时，求点B的坐标：(3若m>O,当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围：3(4)当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为一时，且接写出m4的值6.(2022湖南永州中考真题）已知关于X的函数y= ax2 +bx+c(1)若a.=l,函数的图象经过点(1,-4)和点(2,I)，求该函数的表达式和最小值；(2)若a=l,b=-2, c=m十l时，函数的图象与X轴有交点，求m的取值范围．(3)阅读下面材料：设a>0,函数图象与X轴有两个不同的交点A,B,若A,8两点均在原点左侧，探究系数a, b, c应满足的条件，根据函数图像，思考以下三个方面：＠因为函数的图象与X轴有两个不同的交点，所以6.=b2 -4ac> 0:＠因为A,8两点在原点左侧，所以x=O对应图象上的点在X轴上方，即c>O:＠上述两个条件还不能确保A,8两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来b进一步限制抛物线的位置：即需－一又0.2a综上所述，系数a,b, c应满足的条件可归纳为：请根据上面阅谅材料，类比解决下而问题：a>O tJ.=li-4ac>0c>Ob -—<02a若函数y= ax2 -2x+3的图象在直线x=1的右侧与人轴有且只有一个交点，求U的取值范围．7.(2022湖南衡阳中考真题）如图，已知抛物线y=x'-x-2交X轴千A、B两点，将该抛物线位千X轴下方的部分沿X轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W"，图象W交Y轴千点c.｀ ｀ ＼ ｀x， I I、一，，(］)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式：(2)若直线y=-x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直按写出b的值：(3)p为X轴正半轴上一动点，过点P作PM ff y轴交直线BC千点M,交图象W于点N,是否存在这样的点P,使..CMN与60BC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．专题18二次函数与几何交点间题1.(2023·黑龙江大庆中考真题）如图，二次函数y = a:x .2+bx+c的图象与X轴交千A,B两点，且自变量X 的部分取值与对应函数值Y如下表：X L -]。

一基本构图：y=322--x x （以下几种分类的函数解析式就是这个）★和最小,差最大 在对称轴上找一点P,使得PB+PC 的和最小,求出P 点坐标在对称轴上找一点P,使得PB-PC 的差最大,求出P 点坐标★求面积最大 衔接AC,在第四象限找一点P,使得ACP ∆面积最大,求出P 坐标★ 评论辩论直角三角 衔接AC,在对称轴上找一点P,使得ACP ∆为直角三角形,求出P 坐标或者在抛物线上求点P ,使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形．★ 评论辩论等腰三角 衔接AC,在对称轴上找一点P,使得ACP ∆为等腰三角形,求出P 坐标二 分解题型例1 (中考变式）如图,抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(-3,0)两点,极点为D.交Y 轴于C(1)求该抛物线的解析式与△ABC 的面积.(2)在抛物线第二象限图象上是否消失一点M,使△MBC 是以∠BCM 为直角的直角三角形,若消失,求出点P 的坐标.若没有,请解释来由(3)若E 为抛物线B .C 两点间图象上的一个动点(不与A.B 重合),过E 作EF 与X 轴垂直,交BC 于F ,设E 点横坐标为x.EF 的长度为L,求L 关于X 的函数关系式？关写出X 的取值规模？当E 点活动到什么地位时,线段EF 的值最大,并求此时E 点的坐标？(4)在（5）的情形下直线BC 与抛物线的对称轴交于点H.当E 点活动到什么地位时,以点E.F.H.D 为极点的四边形为平行四边形？(5)在（5）的情形下点E 活动到什么地位时,使三角形BCE 的面积最大？例2 考点： 关于面积最值如图,在平面直角坐标系中,点A .C 的坐标分离为(－1,0).(0,3－),点B 在x 轴上．已知某二次函数的图象经由A .B .C 三点,且它的对称轴为直线x ＝1,点P 为直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与B .C 不重合）,过点P 作y 轴的平行线交BC 于点F ． （1）求该二次函数的解析式;（2）若设点P 的横坐标为m ,试用含m 的代数式表示线段PF 的长; （3）求△PBC 面积的最大值,并求此时点P 的坐标．例3 考点：评论辩论等腰 如图,已知抛物线y ＝21x 2＋bx ＋c 与y 轴订交于C ,与x 轴订交于A .B ,点A 的坐标为（2,0）,点C 的坐标为（0,－1）． （1）求抛物线的解析式;（2）点E 是线段AC 上一动点,过点E 作DE ⊥x 轴于点D ,贯穿连接DC ,当△DCE 的面积最大时,求点D 的坐标;yxBA FPx ＝1CO例4考点：评论辩论直角三角⑴ 如图,已知点A （一1,0）和点B （1,2）,在坐标轴上肯定点P,使得△ABP 为直角三角形,则知足如许前提的点P 共有（ ）． (A ）2个 （B ）4个 （C ） 6个（D ）7个⑵已知：如图一次函数y ＝21x ＋1的图象与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ;二次函数y ＝21x 2＋bx ＋c 的图象与一次函数y ＝21x ＋1的图象交于B .C 两点,与x 轴交于D .E 两点且D 点坐标为（1,0） （1）求二次函数的解析式; （2）求四边形BDEC 的面积S ;（3）在x 轴上是否消失点P ,使得△PBC 是以P 为直角极点的直角三角形？若消失,求出所有的点P ,若不消失,请解释来由．例5 考点：评论辩论四边形已知：如图所示,关于x 的抛物线y ＝ax 2＋x ＋c （a ≠0）与x 轴交于点A （－2,0）,点B （6,0）,与y 轴交于点C ．OAByCxDE2（1）求出此抛物线的解析式,并写出极点坐标;（2）在抛物线上有一点D ,使四边形ABDC 为等腰梯形,写出点D 的坐标,并求出直线AD 的解析式;（3）在（2）中的直线AD 交抛物线的对称轴于点M ,抛物线上有一动点P ,x 轴上有一动点Q ．是否消失以A .M .P .Q 为极点的平行四边形？假如消失,请直接写出点Q 的坐标;假如不消失,请解释来由．分解演习：xOy 中,抛物线244y ax ax a c =-++与x 轴交于点A .点B ,与y 轴的正半轴交于点C ,点A 的坐标为(1, 0),OB ＝OC ,抛物线的极点为D . (1) 求此抛物线的解析式;(2) 若此抛物线的对称轴上的点P 知足∠APB ＝∠ACB ,求点P 的坐标;(3)Q 为线段BD 上一点,点A 关于∠AQB 的等分线的对称点为A ',若2=-QB QA ,求点Q 的坐标和此时△QAA '的面积.xOy 中,已知二次函数2+2y ax ax c =+的图像与y 轴交于点()3 0，C ,与x 轴交于A .B 两点,点B 的坐标为()0 3，-. （1） 求二次函数的解析式及极点D 的坐标;（2） 点M 是第二象限内抛物线上的一动点,若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1 ：2的两部分,求出此时点M 的坐标;（3） 点P 是第二象限内抛物线上的一动点,问：点P 在何处时△CPB 的面积最大？最大面积是若干？并求出此时点P 的坐标.3.如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线x x my 222-=与x 轴负半轴交于点A ,极点为B ,且对称轴与x 轴交于点C .（1）求点B 的坐标（用含m 的代数式表示）;（2）D 为OB 中点,直线AD 交y 轴于E ,若E （0,2）,求抛物线的解析式;（3）在（2）的前提下,点M 在直线OB 上,且使得AMC ∆的周长最小,P 在抛物线上,Q 在直线BC 上,若认为Q P M A 、、、极点的四边形是平行四边形,求点P 的坐标.4.已知关于x 的方程2(1)(4)30m x m x -+-+=. （1） 若方程有两个不相等的实数根,求m 的取值规模;（2） 若正整数m 知足822m ->,设二次函数2(1)(4)3y m x m x =-+-+的图象与x 轴交于A B 、两点,将此图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象;请你联合这个新的图象答复：当直线3y kx =+与此图象正好有三个公共点时,求出k 的值（只须请求出两个知足题意的k 值即可）.5如图,抛物线y=ax 2+2ax+c （a≠0）与y 轴交于点C （0,4）,与x 轴交于点A （﹣4,0）和B ． （1）求该抛物线的解析式;（2）点Q 是线段AB 上的动点,过点Q 作QE ∥AC,交BC 于点E,衔接CQ ．当△CEQ 的面积最大时,求点Q 的坐标;（3）平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P,与直线AC 交于点F,点D 的坐标为（﹣2,0）．问是否有直线l,使△ODF 是等腰三角形？若消失,请求出点F 的坐标;若不消失,请解释来由．三.中考二次函数代数型分解题题型一.抛物线与x 轴的两个交点分离位于某定点的两侧例1．已知二次函数y ＝x 2＋(m －1)x ＋m －2的图象与x 轴订交于A （x 1,0）,B （x 2,0）两点,且x 1＜x 2．（1）若x 1x 2＜0,且m 为正整数,求该二次函数的表达式; （2）若x 1＜1,x 2＞1,求m 的取值规模;（3）是否消失实数m ,使得过A .B 两点的圆与y 轴相切于点C （0,2）,若消失,求出m 的值;若不消失,请解释来由;（4）若过点D （0,12）的直线与（1）中的二次函数图象订交于M .N 两点,且MD DN ＝13,求该直线的表达式．题型二.抛物线与x 轴两交点之间的距离问题 例2 已知二次函数y= x 2+mx+m-5,（1）求证：不论m 取何值时,抛物线总与x 轴有两个交点; （2）求当m 取何值时,抛物线与x 轴两交点之间的距离最短．题型三.抛物线方程的整数解问题例1． 已知抛物线222(1)0y x m x m =-++=与x 轴的两个交点的横坐标均为整数,且m ＜5,则整数m 的值为_____________例2．已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋4m －8．（1）当x ≤2时,函数值y 随x 的增大而减小,求m 的取值规模;（2）以抛物线y ＝x 2－2mx ＋4m －8的极点A 为一个极点作该抛物线的内接正AMN ∆（M ,N 两点在拋物线上）,请问：△AMN 的面积是与m 无关的定值吗？若是,（3）若抛物线y ＝x 2－2mx ＋4m －8与x 轴交点的横坐标均为整数, 求整数．．m 的值．题型四.抛物线与对称,包括：点与点关于原点对称.抛物线的对称性.数形联合例1．已知抛物线2y x bx c =++（个中b >0,c ≠0）与y 轴的交点为A ,点A 关于抛物线对称轴的对称点为B (m ,n ),且AB =2. (1)求m ,b 的值(2)假如抛物线的极点位于x 轴的下方,且BO 求抛物线所对应的函数关系式（友谊提示：请绘图思虑）题型五.抛物线中韦达定理的普遍运用（线段长.定点两侧.点点关于原点对称.等等）例1．已知：二次函数2y 4x x m =-+的图象与x 轴交于不同的两点A （1x ,0）.B （2x ,0）（1x ＜2x ）,其极点是点C,对称轴与x 轴的交于点D ． （1）求实数m 的取值规模;（2）假如（1x +1）（2x +1）=8,求二次函数的解析式;（3）把（2）中所得的二次函数的图象沿y 轴高低平移,假如平移后的函数图象与x 轴交于点1A .1B ,极点为点C1,且△111A B C 是等边三角形,求平移后所得图象的函数解析式．分解晋升1．已知二次函数的图象与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C （0,4）,且|AB |＝23,图象的对称轴为x ＝1．（1）求二次函数的表达式;（2）若二次函数的图象都在直线y＝x＋m的下方,求m的取值规模．2．已知二次函数y＝－x2＋mx－m＋2．（1）若该二次函数图象与x轴的两个交点A.B分离在原点的两侧,并且AB＝5,求m的值;（2）设该二次函数图象与y轴的交点为C,二次函数图象上消失关于原点对称的两点M.N,且S△MNC ＝27,求m的值．3. 已知关于x的一元二次方程x2－2(k＋1)x＋k2＝0有两个整数根,k＜5且k为整数．（1）求k的值;（2）当此方程有两个非零的整数根时,将关于x的二次函数y＝x2－2(k＋1)x＋k2的图象沿x轴向左平移4个单位,求平移后的二次函数图象的解析式;（3）依据直线y＝x＋b与（2）中的两个函数图象交点的总个数,求b的取值规模．4．已知二次函数的图象经由点A（1,0）和点B（2,1）,且与y轴交点的纵坐标为m．（1）若m为定值,求此二次函数的解析式;（2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点,求m的取值规模;（3）若二次函数的图象截直线y＝－x＋1所得线段的长为22,求m的值．四.中考二次函数定值问题1. （2012江西南昌8分）如图,已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B 左边）,与y轴交于点C．（1）写出二次函数L 1的启齿偏向.对称轴和极点坐标; （2）研讨二次函数L 2：y=kx 2﹣4kx+3k （k≠0）．①写出二次函数L 2与二次函数L 1有关图象的两条雷同的性质;②若直线y=8k 与抛物线L 2交于E.F 两点,问线段EF 的长度是否产生变化？假如不会,请求出EF 的长度;假如会,请解释来由．2. （2012山东潍坊11分）如图,已知抛物线与坐标轴分离交于A(－2,O).B(2,0).C(0,－l)三点,过坐标原点O 的直线y=kx 与抛物线交于M.N 两点．分离过点 C.D(0,－2)作平行于x 轴的直线1l .2l ．(1)求抛物线对应二次函数的解析式; (2)求证以ON 为直径的圆与直线1l 相切;(3)求线段MN 的长(用k 表示),并证实M.N 两点到直线2l 的距离之和等于线段MN 的长．3. （2012浙江义乌12分）如图1,已知直线y=kx 与抛物线2422y=x +x 273交于点A （3,6）． （1）求直线y=kx 的解析式和线段OA 的长度;（2）点P 为抛物线第一象限内的动点,过点P 作直线PM,交x 轴于点M （点M.O 不重合）,交直线OA 于点Q,再过点Q 作直线PM 的垂线,交y 轴于点N ．试探讨：线段QM 与线段QN 的长度之比是否为定值？假如是,求出这个定值;假如不是,解释来由;（3）如图2,若点B 为抛物线上对称轴右侧的点,点E 在线段OA 上（与点O.A 不重合）,点D （m,0）是x 轴正半轴上的动点,且知足∠BAE=∠BED=∠AOD．持续探讨：m 在什么规模时,相符前提的E 点的个数分离是1个.2个？4．（2011•株洲）孔明是一个爱好探讨研究的同窗,他在和同窗们一路研讨某条抛物线y=ax2(a＜0)的性质时,将一把直角三角板的直角极点置于平面直角坐标系的原点O,两直角边与该抛物线交于A.B 两点,请解答以下问题：（1）若测得OA=OB=22（如图1）,求a的值;（2）对统一条抛物线,孔明将三角板绕点O扭转到如图2所示地位时,过B作BF⊥x轴于点F,测得OF=1,写出此时点B的坐标,并求点A的横坐标．．．;（3）对该抛物线,孔明将三角板绕点O扭转随意率性角度时惊异地发明,交点A.B的连线段总经由一个固定的点,试解释来由并求出该点的坐标．yFEOxBA第11页，－共11页。

二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质压轴题八种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】1【考点一把y=ax2+bx+c化成顶点式】1【考点二画二次函数y=ax2+bx+c的图象】2【考点三二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质】8【考点四求二次函数与x轴的交点坐标】11【考点五求二次函数与y轴的交点坐标】13【考点六已知二次函数上对称的两点求对称轴】14【考点七二次函数的平移】15【考点四根据二次函数的增减性求最值】17【过关检测】21【典型例题】【考点一把y=ax2+bx+c化成顶点式】1(2023·宁夏吴忠·校考二模)将抛物线y=x2+2x-3化为y=a(x-h)2+k的形式是__________ __．【变式训练】1(2023·四川成都·统考一模)将二次函数y=2x2-8x+13化成y=a(x+h)2+k的形式为．2(2023·广东惠州·校考一模)把二次函数y=14x2+x-1化为y=a x+m2+n的形式是．3(2023秋·湖南常德·九年级统考期末)将二次函数y=-x2-2x化为y=a(x-h)2+k的形式为．【考点二画二次函数y=ax2+bx+c的图象】1(2023秋·辽宁大连·九年级统考期末)已知：二次函数y=-x2+2x+3．(1)将函数关系式化为y=a x-h2+k的形式，并指出函数图像的对称轴和顶点坐标；(2)利用描点法画出所给函数的图像．x ···-10123···y ······(3)当-1<x<2时，观察图像，直接写出函数值y的取值范围．【变式训练】1(2023·全国·九年级假期作业)已知抛物线y=-x2-4x-1．(1)该抛物线的对称轴是，顶点坐标；(2)选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；x⋯⋯y⋯⋯(3)若该抛物线上两点A(x1,y1)，B(x2,y2)的横坐标满足x1<x2<-2，试比较y1与y2的大小．2(2023·上海松江·统考一模)已知二次函数y=2x2-4x-1．(1)用配方法求这个二次函数的顶点坐标；(2)在所给的平面直角坐标系xOy中(如图)，画出这个二次函数的图像；(3)请描述这个二次函数图像的变化趋势．3(2023秋·九年级统考期末)小明用描点法画抛物线y=-x2+4x-3．(1)请帮小明完成下面的表格，并根据表中数据在所给的平面直角坐标系中描点，连线从而画出此抛物线；x⋯-1012345⋯y=-x2+4x -3⋯-8-3-8⋯(2)直接写出抛物线的对称轴，顶点坐标．【考点三二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质】1(2023·全国·九年级假期作业)对于二次函数y=x2-2x+3的图象，下列说法正确的是( )A.开口向下B.顶点坐标是(1,2)C.对称轴是直线x=-1D.当x=-1时，y有最大值是2【变式训练】1(2023春·广东惠州·九年级校考开学考试)表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：x⋯-2013⋯y⋯6-4-6-4⋯下列各选项中，正确的是()A.这个函数的最小值为-6B.这个函数的图象开口向下C.这个函数的图象与x轴无交点D.当x>2时，y的值随x值的增大而增大2(2023·江苏扬州·统考中考真题)已知二次函数y=ax2-2x+12(a为常数，且a>0)，下列结论：①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当x<0时，y随x的增大而减小；④当x>0时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是()A.①②B.②③C.②D.③④3(2023·浙江宁波·统考中考真题)已知二次函数y=ax2-(3a+1)x+3(a≠0)，下列说法正确的是()A.点(1,2)在该函数的图象上B.当a=1且-1≤x≤3时，0≤y≤8C.该函数的图象与x轴一定有交点D.当a>0时，该函数图象的对称轴一定在直线x=32的左侧【考点四求二次函数与x轴的交点坐标】1(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考一模)抛物线y=2(x-3)2-4与x轴交点坐标为______ ____．【变式训练】1(2023秋·浙江杭州·九年级统考期末)二次函数y=x2-1图象与x轴的交点坐标为．2(2023·山东枣庄·校考模拟预测)二次函数y=-13x2+2x+163的图象交x轴于点A，B．则点AB的距离为．3(2023·全国·九年级假期作业)抛物线y=x2-3x+2与y轴的交点坐标是，与x轴的交点坐标是．【考点五求二次函数与y轴的交点坐标】1(2023·上海·一模)抛物线y=-x2-3x+3与y轴交点的坐标为____．【变式训练】1(2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末)抛物线y=-13x2-2x-5与y轴的交点坐标为．2(2023春·湖南永州·九年级统考期中)二次函数y=-x-12+2的图象与y轴交点坐标是．【考点六已知二次函数上对称的两点求对称轴】1(2023春·江苏盐城·八年级校考期中)已知抛物线y=x2+bx+c经过点A0,6、B4,6，那么此抛物线的对称轴是______．【变式训练】1(2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试)若M0,5，N2,5在抛物线y= 2x-m2+3上，则m的值为．2(2023秋·贵州黔东南·九年级统考期末)已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表所示：x⋯-2-1012⋯y⋯04664⋯则该二次函数图象的对称轴为直线．【考点七二次函数的平移】1(2023·广东江门·统考模拟预测)把函数y=x2的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度平移后图象的函数解析式为___________．【变式训练】1(2023·广东佛山·校考三模)将抛物线y=-2x2先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是．2(2023·黑龙江牡丹江·统考二模)将二次函数y=x2+2x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的新图象与y轴交点的纵坐标为．3(2023·黑龙江哈尔滨·统考三模)把抛物线y=-2(x-3)2+7先向左移动2个单位，在向下移动4个单位，所得到的新的抛物线的顶点坐标为．【考点八根据二次函数的增减性求最值】1(2023春·浙江杭州·九年级杭州市杭州中学校考阶段练习)二次函数y=x2+4x+5(-3≤x≤0)的最大值是___________，最小值是___________．【变式训练】1(2023春·江苏苏州·九年级专题练习)二次函数y=2x2-8x+10≤x≤3的最小值是，最大值是．2(2023·安徽合肥·合肥市第四十二中学校考一模)已知二次函数y=x2-a+1x+3.(1)当a=2时，二次函数的最小值为；(2)当-1≤x≤2时，二次函数y=x2-a+1x+3的最小值为1，则a=.3(2023·安徽合肥·校考一模)已知二次函数y=-x2+mx+2-m，(1)当m=2时，二次函数y=-x2+mx+2-m的最大值为．(2)当-1≤x≤2时，二次函数y=-x2+mx+2-m的最大值为6，则m的值为．【过关检测】一、选择题1(2023秋·广东肇庆·九年级统考期末)二次函数y=x2-1的图象与y轴的交点坐标是()A.(-1，0)B.(0，-1)C.l，0D.0,12(2023·广东惠州·统考二模)已知抛物线y=x2+bx+c经过点1,0和点-3,0，则该抛物线的对称轴为()A.y轴B.直线x=-1C.直线x=-2D.直线x=23(2023·黑龙江哈尔滨·统考三模)将抛物线y=-12x2向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度，所得到的抛物线为()A.y=-12x+32+4 B.y=-12x-32+4 C.y=-12x-32-4 D.y=-12x+32-44(2023·甘肃兰州·统考一模)对于二次函数y=x2+4x-3．下列说法错误的是()A.图象开口向上B.顶点坐标为(-2,-7)C.当x>-2时，y随x的增大而减小D.图象与x轴有两个交点5(2023·四川成都·统考二模)已知二次函数y=-2x2+8x-7，下列结论正确的是()A.对称轴为直线x=-2B.顶点坐标为2,-1C.当x<0时，y随x的增大而增大D.与x轴只有一个交点二、填空题6(2023秋·广东湛江·九年级校考期末)将二次函数y=x2-2x+3化为y=x-h2+k的形式是．7(2023秋·北京通州·九年级统考期末)二次函数y=x2-6x+5的图象与x轴交点坐标是．8(2023春·广东广州·九年级统考期末)若函数y=x2+bx+c经过点(-1,0)和(3,0)，则该函数的对轴称是直线．9(2023·辽宁鞍山·统考一模)将抛物线y=x2+4x-4向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线的表达式为．10(2023·湖北武汉·统考一模)已知函数y=kx2-k+2x+2(k为实数)，下列四个结论：①当k=0时，图象与坐标轴所夹的锐角为45°；②若k<0，则当x>1时，y随着x的增大而减小；③不论k为何值，若将函数图象向左平移1个单位长度，则图象经过原点；④当k<-2时，抛物线顶点在第一象限．其中正确的结论是(填写序号)三、解答题11(2023秋·四川自贡·九年级统考期末)已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：x⋯-10123⋯y⋯03430⋯(1)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；(2)当-1<x<3时，直接写出函数值y的取值范围；(3)求该二次函数的函数值不大于-5时，自变量x的取值范围．12(2023秋·广东云浮·九年级统考期末)已知二次函数y=x2-4x+3．(1)直接写出它的顶点坐标，与x轴、y轴的交点坐标，并在坐标系中画出函数大致图像；(2)自变量x在什么范围内，y随x的增大而增大？(3)若关于x的方程x2-4x+3=m有两个不等实数根，求出常数m的取值范围．13(2023·浙江温州·校联考三模)已知抛物线y=ax2-6ax-5经过点A1，0．(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．(2)抛物线与x轴的另一交点为B，将线段AB向上平移n个单位，平移后的线段与抛物线分别交于点C，D(点C在点D左侧)，若AB=2CD，求n的值．14(2023·云南楚雄·统考二模)已知二次函数y=-x2+6x-5(1)当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？(2)当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m-n=3，求t的值．15(2023·浙江绍兴·统考中考真题)已知二次函数y=-x2+bx+c．(1)当b=4,c=3时，①求该函数图象的顶点坐标．②当-1≤x≤3时，求y的取值范围．(2)当x≤0时，y的最大值为2；当x>0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．16(2023·江西吉安·统考一模)已知二次函数y=x2-(m+1)x+2m+3．(1)当m=1时，二次函数的图像与y轴交点坐标为，对称轴为；(2)当该二次函数图像的对称轴为x=2时，求m的值和抛物线的顶点坐标；(3)当m取不同的值时，抛物线y=x2-(m+1)x+2m+3的顶点也发生变化，当求抛物线的顶点达到最高点时，求此时m的值和该抛物线的顶点坐标．。

二次函数解答压轴题(62题)一、解答题1(2023·浙江绍兴·统考中考真题)已知二次函数y=-x2+bx+c．(1)当b=4,c=3时，①求该函数图象的顶点坐标．②当-1≤x≤3时，求y的取值范围．(2)当x≤0时，y的最大值为2；当x>0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．2(2023·浙江·统考中考真题)已知点-m,0和3m,0在二次函数y=ax2+bx+3(a,b是常数，a≠0)的图像上．(1)当m=-1时，求a和b的值；(2)若二次函数的图像经过点A n,3且点A不在坐标轴上，当-2<m<-1时，求n的取值范围；(3)求证：b2+4a=0．3(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)在二次函数y=x2-2tx+3(t>0)中，(1)若它的图象过点(2,1)，则t的值为多少？(2)当0≤x≤3时，y的最小值为-2，求出t的值：(3)如果A(m-2,a),B(4,b),C(m,a)都在这个二次函数的图象上，且a<b<3，求m的取值范围．4(2023·浙江杭州·统考中考真题)设二次函数y=ax2+bx+1，(a≠0，b是实数)．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：x⋯-10123⋯y⋯m1n1p⋯(1)若m=4，求二次函数的表达式；(2)写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．(3)若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．5(2023·湖南常德·统考中考真题)如图，二次函数的图象与x轴交于A-1,0，B5,0两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，tan∠ACO=1 5．(1)求二次函数的表达式；(2)求四边形ACDB的面积；(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO=∠PBC，求P点的坐标．6(2023·山东烟台·统考中考真题)如图，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,AB=4．抛物线的对称轴x=3与经过点A的直线y=kx-1交于点D，与x轴交于点E．(1)求直线AD及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+1PA的最小值．27(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，二次函数y=x2-6x+8的图像与x轴分别交于点A,B(点A 在点B的左侧)，直线l是对称轴．点P在函数图像上，其横坐标大于4，连接PA,PB，过点P作PM⊥l，垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与⊙M相切，切点为T．(1)求点A,B的坐标；(2)若以⊙M的切线长PT为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，且⊙M不经过点3,2，求PM长的取值范围．8(2023·山东东营·统考中考真题)如图，抛物线过点O0,0，矩形ABCD的边AB在线段，E10,0OE上(点B在点A的左侧)，点C，D在抛物线上，设B t,0，当t=2时，BC=4．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．9(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+83x+c a≠0与x轴交于点A1,0和点B，与y轴交于点C0,-4．(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)P是抛物线上一动点(不与点A，B，C重合)，作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．①如图，若点P在第三象限，且tan∠CPD=2，求点P的坐标；②直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E 落在y轴上时，请直接写出四边形PECE 的周长．10(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，抛物线y=-43x2+bx+4与x轴交于A(-3,0)，B两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线解析式及B，C两点坐标；(2)以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；(3)该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE=45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．11(2023·四川达州·统考中考真题)如图，抛物线y =ax 2+bx +c 过点A -1,0 ,B 3,0 ,C 0,3 ．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是直线BC 上方抛物线上一点，求出△PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；(3)若点M 是抛物线对称轴上一动点，点N 为坐标平面内一点，是否存在以BC 为边，点B 、C 、M 、N 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．12(2023·四川泸州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+2x+c与坐标轴分别相交于点A，B，C0,6三点，其对称轴为x=2．(1)求该抛物线的解析式；(2)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴，直线BC交于点D，E．①当CD=CE时，求CD的长；②若△CAD，△CDE，△CEF的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1+S3=2S2，求点F的坐标．13(2023·全国·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+c经过点A(0,1)．点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m,2m(m>0)，连接AP，AQ．(1)求此抛物线的解析式．(2)当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．(3)当∠PAQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．(4)设此抛物线在点A与点P之间部分(包括点A和点P)的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分(包括点A和点Q)的最高点与最低点的纵坐标的差为h2．当h2-h1=m时，直接写出m的值．14(2023·重庆·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B3,0，C0,-3．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标；(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．15(2023·四川凉山·统考中考真题)如图，已知抛物线与x轴交于A1,0两点，与y轴交于和B-5,0点C．直线y=-3x+3过抛物线的顶点P．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线x=m-5<m<0与抛物线交于点E，与直线BC交于点F．①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最大值；②当△EFC是等腰三角形时，求点E的坐标．16(2023·四川成都·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+c经过点P (4,-3)，与y轴交于点A(0,1)，直线y=kx(k≠0)与抛物线交于B，C两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标；(3)过点M(0,m)作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得OD⊥OE始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．17(2023·安徽·统考中考真题)在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y=ax2+bx a≠0经过点A3,3，对称轴为直线x=2．(1)求a,b的值；(2)已知点B,C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t+1．过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E．(ⅰ)当0<t<2时，求△OBD与△ACE的面积之和；(ⅱ)在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B,C,D,E为顶点的四边形的面积为32若存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在，请说明理由．18(2023·浙江金华·统考中考真题)如图，直线y =52x +5与x 轴，y 轴分别交于点A ,B ，抛物线的顶点P 在直线AB 上，与x 轴的交点为C ,D ，其中点C 的坐标为2,0 ．直线BC 与直线PD 相交于点E ．(1)如图2，若抛物线经过原点O ．①求该抛物线的函数表达式；②求BEEC的值．(2)连接PC ,∠CPE 与∠BAO 能否相等？若能，求符合条件的点P 的横坐标；若不能，试说明理由．19(2023·湖南·统考中考真题)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中B1,0．，C0,3(1)求这个二次函数的表达式；(2)在二次函数图象上是否存在点P，使得S△PAC=S△ABC若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点Q是对称轴l上一点，且点Q的纵坐标为a，当△QAC是锐角三角形时，求a的取值范围．20(2023·四川遂宁·统考中考真题)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y =14x 2+bx +c 经过点O (0，0)，对称轴过点B (2，0)，直线l 过点C 2,-2 ，且垂直于y 轴．过点B 的直线l 1交抛物线于点M 、N ，交直线l 于点Q ，其中点M 、Q 在抛物线对称轴的左侧．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当BM :MQ =3:5时，求点N 的坐标；(3)如图2，当点Q 恰好在y 轴上时，P 为直线l 1下方的抛物线上一动点，连接PQ 、PO ，其中PO 交l 1于点E ，设△OQE 的面积为S 1，△PQE 的面积为S 2．求S2S 1的最大值．21(2023·四川眉山·统考中考真题)在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点A -3,0 ,B 1,0 两点，与y 轴交于点C 0,3 ，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P 在直线AC 上方的抛物线上时，连接BP 交AC 于点D ．如图1．当PDDB的值最大时，求点P 的坐标及PDDB的最大值；(3)过点P 作x 轴的垂线交直线AC 于点M ，连接PC ，将△PCM 沿直线PC 翻折，当点M 的对应点M '恰好落在y 轴上时，请直接写出此时点M 的坐标．22(2023·江西·统考中考真题)综合与实践问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，CD=2，动点P 以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF设点P的运动时间为ts，正方形DPEF的而积为S，探究S与t的关系(1)初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，①当t=1时，S=．②S关于t的函数解析式为．(2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长．(3)延伸探究：若存在3个时刻t1,t2,t3(t1<t2<t3)对应的正方形DPEF的面积均相等．①t1+t2=；②当t3=4t1时，求正方形DPEF的面积．23(2023·新疆·统考中考真题)【建立模型】(1)如图1，点B 是线段CD 上的一点，AC ⊥BC ，AB ⊥BE ，ED ⊥BD ，垂足分别为C ，B ，D ，AB =BE ．求证：△ACB ≌△BDE ；【类比迁移】(2)如图2，一次函数y =3x +3的图象与y 轴交于点A 、与x 轴交于点B ，将线段AB 绕点B 逆时针旋转90°得到BC 、直线AC 交x 轴于点D ．①求点C 的坐标；②求直线AC 的解析式；【拓展延伸】(3)如图3，抛物线y =x 2-3x -4与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于C点，已知点Q (0，-1)，连接BQ ．抛物线上是否存在点M ，使得tan ∠MBQ =13，若存在，求出点M 的横坐标．24(2023·甘肃武威·统考中考真题)如图1，抛物线y=-x2+bx与x轴交于点A，与直线y=-x交于点B4,-4在y轴上．点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止．，点C0,-4(1)求抛物线y=-x2+bx的表达式；(2)当BP=22时，请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D，连接PC，OD，判断四边形OCPD 的形状，并说明理由．(3)如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接BQ，PC，求CP+BQ的最小值．25(2023·四川乐山·统考中考真题)已知x 1,y 1 ,x 2,y 2 是抛物C 1:y =-14x 2+bx (b 为常数)上的两点，当x 1+x 2=0时，总有y 1=y 2(1)求b 的值；(2)将抛物线C 1平移后得到抛物线C 2:y =-14(x -m )2+1(m >0)．探究下列问题：①若抛物线C 1与抛物线C 2有一个交点，求m 的取值范围；②设抛物线C 2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线C 2的顶点为点E ，△ABC 外接圆的圆心为点F ，如果对抛物线C 1上的任意一点P ，在抛物线C 2上总存在一点Q ，使得点P 、Q 的纵坐标相等．求EF 长的取值范围．26(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+3x +1交y 轴于点A ，直线y =-13x +2交抛物线于B ,C 两点(点B 在点C 的左侧)，交y 轴于点D ，交x 轴于点E ．(1)求点D ,E ,C 的坐标；(2)F 是线段OE 上一点OF <EF ，连接AF ,DF ,CF ，且AF 2+EF 2=21．①求证：△DFC 是直角三角形；②∠DFC 的平分线FK 交线段DC 于点K ,P 是直线BC 上方抛物线上一动点，当3tan ∠PFK =1时，求点P 的坐标．27(2023·上海·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=34x+6与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段AB上，以点C为顶点的抛物线M：y=ax2+bx+c经过点B．(1)求点A，B的坐标；(2)求b，c的值；(3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结CD，且CD∥x轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．28(2023·江苏扬州·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴正半轴上．(1)如果四个点0,0中恰有三个点在二次函数y=ax2(a为常数，且a≠0)的图象、-1,1、1,1、0,2上．①a=；②如图1，已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n-m是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．(2)已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y=ax2(a为常数，且a>0)的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．29(2023·湖南岳阳·统考中考真题)已知抛物线Q1:y=-x2+bx+c与x轴交于A-3,0,B两点，交y 轴于点C0,3．(1)请求出抛物线Q1的表达式．(2)如图1，在y轴上有一点D0,-1，点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E,F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E,F的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2，抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，抛物线Q1上是否存在点P，使得∠CPK=∠CHK？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．30(2023·湖南永州·统考中考真题)如图1，抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 为常数)经过点F 0,5 ，顶点坐标为2,9 ，点P x 1,y 1 为抛物线上的动点，PH ⊥x 轴于H ，且x 1≥52．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线OP :y =y 1x 1x 交BF 于点G ，求S △BPG S △BOG的最大值；(3)如图2，四边形OBMF 为正方形，PA 交y 轴于点E ，BC 交FM 的延长线于C ，且BC ⊥BE ,PH =FC ，求点P 的横坐标．31(2023·山东枣庄·统考中考真题)如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),C(0,3)两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．32(2023·湖北随州·统考中考真题)如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0)，B(2,0)和C(0,2)，连接BC，点P(m,n)(m>0)为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC 于点M，交x轴于点N．(1)直接写出抛物线和直线BC的解析式；(2)如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；(3)当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似(其中点P与点C相对应)，若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．33(2023·四川内江·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于B 4,0 ，C -2,0 两点．与y 轴交于点A 0,-2 ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点K ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求与12PK +PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得△MAB 是以AB 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．34(2023·湖南·统考中考真题)已知二次函数y =ax 2+bx +c a >0 ．(1)若a =1，c =-1，且该二次函数的图像过点2,0 ，求b 的值；(2)如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，该二次函数的图像与x 轴交于点A x 1,0 ，B x 2,0 ，且x 1<0<x 2，点D 在⊙O 上且在第二象限内，点E 在x 轴正半轴上，连接DE ，且线段DE 交y 轴正半轴于点F ，∠DOF =∠DEO ，OF =32DF ．①求证：DO EO=23．②当点E 在线段OB 上，且BE =1．⊙O 的半径长为线段OA 的长度的2倍，若4ac =-a 2-b 2，求2a +b 的值．35(2023·山西·统考中考真题)如图，二次函数y =-x 2+4x 的图象与x 轴的正半轴交于点A ，经过点A 的直线与该函数图象交于点B 1,3 ，与y 轴交于点C ．(1)求直线AB 的函数表达式及点C 的坐标；(2)点P 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P 作直线PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，设点P 的横坐标为m ．①当PD =12OC 时，求m 的值；②当点P 在直线AB 上方时，连接OP ，过点B 作BQ ⊥x 轴于点Q ，BQ 与OP 交于点F ，连接DF ．设四边形FQED 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式，并求出S 的最大值．36(2023·湖北武汉·统考中考真题)抛物线C1:y=x2-2x-8交x轴于A,B两点(A在B的左边)，交y 轴于点C．(1)直接写出A,B,C三点的坐标；(2)如图(1)，作直线x=t0<t<4，分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D,E,F三点，连接CF．若△BDE 与△CEF相似，求t的值；(3)如图(2)，将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y=2x与抛物线C2交于O,G两点，过OG的中点H作直线MN(异于直线OG)交抛物线C2于M,N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．37(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图，已知A(0,2),B(2,0)．点E位于第二象限且在直线y=-2x 上，∠EOD=90°，OD=OE，连接AB，DE，AE，DB．(1)直接判断△AOB的形状：△AOB是三角形；(2)求证：△AOE≌△BOD；(3)直线EA交x轴于点C(t,0),t>2．将经过B，C两点的抛物线y1=ax2+bx-4向左平移2个单位，得到抛物线y2．①若直线EA与抛物线y1有唯一交点，求t的值；②若抛物线y2的顶点P在直线EA上，求t的值；③将抛物线y2再向下平移，2(t-1)2个单位，得到抛物线y3．若点D在抛物线y3上，求点D的坐标．38(2023·湖南郴州·统考中考真题)已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于点A1,0，与y，B4,0轴相交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求PAPC的值；(3)如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB=12若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．39(2023·湖北黄冈·统考中考真题)已知抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A ,B (4,0)两点，与y 轴交于点C (0,2)，点P 为第一象限抛物线上的点，连接CA ,CB ,PB ,PC ．(1)直接写出结果；b =，c =，点A 的坐标为，tan ∠ABC =；(2)如图1，当∠PCB =2∠OCA 时，求点P 的坐标；(3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD =OB ，点Q 为抛物线上一点，∠QBD =90°，点E ，F 分别为△BDQ 的边DQ ,DB 上的动点，QE =DF ，记BE +QF 的最小值为m ．①求m 的值；②设△PCB 的面积为S ，若S =14m 2-k ，请直接写出k 的取值范围．40(2023·湖南·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c经过点A-2,0和点B4,0，且与直线l:y=-x-1交于D、E两点(点D在点E的右侧)，点M为直线l上的一动点，设点M 的横坐标为t．(1)求抛物线的解析式．(2)过点M作x轴的垂线，与拋物线交于点N．若0<t<4，求△NED面积的最大值．(3)抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．41(2023·四川·统考中考真题)如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x 轴交于点A-2,0，B4,0，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)已知E为抛物线上一点，F为抛物线对称轴l上一点，以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE=90°，求出点F的坐标；(3)如图2，P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点M，连接BP并延长交y轴于点N，在点P运动过程中，OM+12ON是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．42(2023·山东聊城·统考中考真题)如图①，抛物线y=ax2+bx-9与x轴交于点A-3,0，，B6,0与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点．(1)求抛物线的表达式；(2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；(3)如图②，当点P m,0从点A出发沿x轴向点B运动时(点P与点A，B不重合)，自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．43(2023·湖北荆州·统考中考真题)已知：y关于x的函数y=a-2x+b．x2+a+1(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a=4b，则a的值是；(2)如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A-2,0，B4,0，并与动直线l:x=m(0<m<4)交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为S1，△CDE 的面积为S2．①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；②探究直线l在运动过程中，S1-S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．44(2023·福建·统考中考真题)已知抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A1,0,B3,0两点，M为抛物线的顶点，C,D为抛物线上不与A,B重合的相异两点，记AB中点为E，直线AD,BC的交点为P．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若C4,3,D m,-3 4，且m<2，求证：C,D,E三点共线；(3)小明研究发现：无论C,D在抛物线上如何运动，只要C,D,E三点共线，△AMP,△MEP,△ABP中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．45(2023·山东·统考中考真题)如图，直线y=-x+4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为x=32的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A．P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D．(1)求抛物线的解析式；(2)若0<m<32，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？(3)若m<32，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN=2ME？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．46(2023·山东·统考中考真题)已知抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C 0,4 ，其对称轴为x =-32．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点D 是线段OC 上的一动点，连接AD ，BD ，将△ABD 沿直线AD 翻折，得到△AB D ，当点B 恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D 的坐标；(3)如图2，动点P 在直线AC 上方的抛物线上，过点P 作直线AC 的垂线，分别交直线AC ，线段BC 于点E ，F ，过点F 作FG ⊥x 轴，垂足为G ，求FG +2FP 的最大值．47(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线C 1:y =x 2上有两点A 、B ，其中点A 的横坐标为-2，点B 的横坐标为1，抛物线C 2:y =-x 2+bx +c 过点A 、B ．过A 作AC ∥x 轴交抛物线C 1另一点为点C ．以AC 、12AC 长为边向上构造矩形ACDE ．(1)求抛物线C 2的解析式；(2)将矩形ACDE 向左平移m 个单位，向下平移n 个单位得到矩形A C D E ，点C 的对应点C 落在抛物线C 1上．①求n 关于m 的函数关系式，并直接写出自变量m 的取值范围；②直线A E 交抛物线C 1于点P ，交抛物线C 2于点Q ．当点E 为线段PQ 的中点时，求m 的值；③抛物线C 2与边E D 、A C 分别相交于点M 、N ，点M 、N 在抛物线C 2的对称轴同侧，当MN =2103时，求点C 的坐标．48(2023·湖南张家界·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A-2,0．点D为线段BC上的一动点． 和点B6,0两点，与y轴交于点C0,6(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，求△AOD周长的最小值；(3)如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA,PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．49(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)如图，抛物线y1=ax2+bx+c的图象经过A(-6,0)，B(-2,0)，C (0,6)三点，且一次函数y=kx+6的图象经过点B．(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧．这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线y1=ax2+bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线y2，此抛物线的图象与x轴交于M，N两点(M点在N点左侧)．点P是抛物线y2上的一个动点且在直线NC下方．已知点P的横坐标为PD有最大值，最大值是多少？m．过点P作PD⊥NC于点D．求m为何值时，CD+1250(2023·四川南充·统考中考真题)如图1，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A-1,0，B3,0两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点K1,3的直线(直线KD除外)与抛物线交于G，H两点，直线DG，DH分别交x轴于点M，N．试探究EM⋅EN是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．51(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A-4,0，且经、B2,0过点C-2,6．(1)求抛物线的表达式；(2)在x轴上方的抛物线上任取一点N，射线AN、BN分别与抛物线的对称轴交于点P、Q，点Q关于x轴的对称点为Q ，求△APQ 的面积；(3)点M是y轴上一动点，当∠AMC最大时，求M的坐标．52(2023·四川广安·统考中考真题)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，点B的坐标为1,0，对称轴是直线x=-1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P在线段AO上运动(点P与点A、点O不重合)，求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．(3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。

二次函数压轴题题型一、题型简介二次函数压轴题是高中数学中比较常见的一种题型，通常考察学生对于二次函数的基本概念、性质和应用的掌握情况。

该题型主要涉及到二次函数的图像、参数、零点、顶点等方面内容，需要学生具备较强的代数计算能力和几何直观感受能力。

二、基本知识点1. 二次函数的标准式：$y=ax^2+bx+c$2. 二次函数图像的基本形态：开口向上或向下的抛物线3. 二次函数顶点坐标公式：$x_0=-\frac{b}{2a}$，$y_0=c-\frac{b^2}{4a}$4. 二次函数零点公式：$\Delta=b^2-4ac$，$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$三、解题步骤1. 确定二次函数参数$a,b,c$2. 计算顶点坐标$(x_0,y_0)$3. 判断抛物线开口方向，并绘制图像4. 求解零点并给出答案四、例题分析已知二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$处有极值，且$f(2)=0$，$f(3)=-1$，求该函数的解析式。

解：根据题意可得：$$\begin{cases}f(2)=0\\f(3)=-1\end{cases}$$代入二次函数的标准式可得：$$\begin{cases}4a+2b+c=0\\9a+3b+c=-1\end{cases}$$解得：$$\begin{cases}a=-\frac{1}{2}\\b=\frac{5}{2}\\c=-3\end{cases}$$因此，该二次函数的解析式为$f(x)=-\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{2}x-3$。

五、完整代码实现```pythondef quadratic_function(a, b, c):"""计算二次函数的顶点坐标和零点，并绘制图像。

:param a: 二次项系数:param b: 一次项系数:param c: 常数项系数:return: None"""# 计算顶点坐标和判别式值x0 = -b / (2 * a)y0 = c - (b ** 2) / (4 * a)delta = b ** 2 - 4 * a * c# 判断抛物线开口方向并绘制图像if a > 0:x = np.linspace(x0 - 5, x0 + 5, 1000)y = a * (x - x0) ** 2 + y0plt.plot(x, y)plt.axvline(x=x0, color='r', linestyle='--')plt.text(x0 + 0.1, y0 + 1, '(%s, %s)' % (round(x0, 2),round(y0, 2)), fontsize=12)plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.title('$y=%sx^2+%sx+%s$' % (a, b, c))else:x = np.linspace(x0 - 5, x0 + 5, 1000)y = a * (x - x0) ** 2 + y0plt.plot(x, y)plt.axvline(x=x0, color='r', linestyle='--')plt.text(x0 + 0.1, y0 - 1, '(%s, %s)' % (round(x0, 2), round(y0, 2)), fontsize=12)plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.title('$y=%sx^2+%sx+%s$' % (a, b, c))# 求解零点并给出答案if delta > 0:x1 = (-b + math.sqrt(delta)) / (2 * a)x2 = (-b - math.sqrt(delta)) / (2 * a)print('该二次函数有两个零点：x1=%s，x2=%s' % (round(x1, 2), round(x2)))elif delta == 0:print('该二次函数有一个零点：x=%s' % round(x0, 2))else:print('该二次函数无实数解。

选填压轴题题型归类1.目录一、热点题型归纳【题型一】二次函数中的多结论问题【题型二】几何问题中的多结论问题【题型三】几何动点与函数图像问题【题型四】几何中的折叠问题【题型五】几何中的阴影面积问题【题型六】几中的旋转问题【题型七】动态几何的最值问题二、最新模考题组练1热点题型归纳一、子集与真子集的定义与表示题型一:二次函数中的多结论问题【典例分析】1二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分如图所示，已知图象经过点(-1，0)，其对称轴为直线x=1．下列结论，其中正确的有()①abc<0；②b2-4ac<0；③8a+c<0；④9a+3b+2c<0；⑤点C(x1，y1)、D(x2，y2)是抛物线上的两点，若x1<x2，则y1<y2；⑥若抛物线经过点(-3，n)，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c-n=0(a≠0)的两根分别为-3，5．A.2个B.3个C.4个D.5个【提分秘籍】一般解题思路：①特殊值法：当x分别等于1、2、3、-1、-2、-3时，函数值分别为a+b+c、4a+2b+c、9a+3b+c......②对称轴：灵活应用对称轴-b2a和判别式b2-4ac；③通过①和②中的特殊值进行相加减构造新的结论。

【变式演练】1二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=-12，且与x轴的一个交点坐标为(-2，0)．下列结论：①abc>0；②a=b；③2a+c=0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c-1=0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是()A.①③B.②④C.③④D.②③2如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点坐标为(-1，0)，抛物线的对称轴为直线x=1，下列结论：①abc<0；②3a+c=0；③当y>0时，x的取值范围是-1≤x<3；④点(-2，y1)，(2，y2)都在抛物线上，则有y1 <0<y2.其中结论正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个3已知抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，0<a<c)经过点(1，0)，有下列结论：①2a+b<0；②当x>1时，y随x的增大而增大；③关于x的方程ax2+bx+(b+c)=0有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.34已知二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc>0，②b-2a<0，③a-b+c>0，④a+b>n(an+b)，(n≠1)，⑤2c<3b．正确的是()A.①③B.②⑤C.③④D.④⑤题型二:几何问题中的多结论问题【典例分析】1如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：(1)AE= BF；(2)AE⊥BF；(3)AO=OE；(4)S△AOB=S中正确的有()四边形DEOFA.4个B.3个C.2个D.1个【提分秘籍】建议多熟悉数学模型，能更快速的知道结论的正确性，例如：四边形中的十字架模型、中点四边形模型、对角互补模型等；【变式演练】1如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD，使∠ADB=120°，再以点C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则下列结论：①D、A、E三点共线；②DC平分∠BDA；③∠E=∠BAC；④DC=DB+DA．其中正确的有()A.4个B.3个C.2个D.1个2如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD．下列结论：①EH=FG，②EH=HG，③四边形EFGH是菱形，④EG⊥FH．其中正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个3如图，正方形ABCD的边长为1，点E是边BC上一动点(不与点B，C重合)，过点E作EF⊥AE交正方形外角的平分线CF于点F，交CD于点G，连接AF，有下列结论：①AE=EF；②CF=2BE；③∠DAF=∠CEF；④△CEF面积的最大值为16．其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个4如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC于点M，交CD于点F，过点D作DE∥BF 交AC于点N．交AB于点E，连接FN，EM．有下列结论：①图中共有三个平行四边形；②当BD=2BC时，四边形DEBF是菱形；③BD⊥ME；④AD2=BD•CM．其中，正确结论的序号是()A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④题型三:几何动点与函数图像问题【典例分析】1如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A-B-C匀速运动，同时点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向点D匀速运动．当点Q运动到点D时，P，Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒，△APQ的面积为S，则S随t变化的函数关系图象大致是()A. B.C. D.【变式演练】1如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB=8cm，点O为斜边AB的中点，连接OC，点E，F分别从A，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿A→C，C→B运动，到点C，B时停止运动．设运动时间为t(s)，△OEF 的面积为s(cm2)，则s(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为()A. B.C. D.2如图(1)，在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图(2)所示，则边BC的长是()A.20B.23C.24D.63如图，四边形ABCD是正方形，AB=2，点P为射线BC上一点，连接DP，将DP绕点P顺时针旋转90°得到线段EP，过B作EP平行线交DC延长线于F．设BP长为x，四边形BFEP的面积为y，下列图象能正确反映出y 与x函数关系的是()A. B.C. D.4如图，在矩形ABCD中，AB=2cm，BC=43cm，E是AD的中点，连接BE，CE．点P从点B出发，以3cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BE-EC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y(cm2)，运动时间为x(s)，则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是()A. B.C. D.题型四:几何中的折叠问题【典例分析】1如图，将一张长方形纸片沿EF 折叠后，点D 、C 分别落在点D ′、C ′位置，ED ′的延长线与BC 相交于点G ，若∠1=140°，∠GFC ′=．2正方形ABCD 中，AB =2，E 为AB 的中点，将△ADE 沿DE 折叠得到△FDE ，FH ⊥BC ，垂足为H ，则FH =．【提分秘籍】一般解题思路：求角度：需要利用三角形内角和、外角的性质、平行线的性质等进行运算，必要时列方程(组)解答；求边长：首选构造直角三角形，通过勾股定理求值；其次利用全等相似或三角函数进行求解。

二次函数与几何图形的综合问题目录一、热点题型归纳【题型一】 二次函数与图像面积的数量关系及最值问题【题型二】 二次函数与角度数量关系问题【题型三】 二次函数与线段长度数量关系及线段长度最值问题【题型四】 二次函数与特殊三角形问题【题型五】 二次函数与相似三角形存在性问题【题型六】 二次函数与特殊四边形存在性问题【题型七】 二次函数与代数或几何综合问题二、最新模考题组练1.热点题型归纳题型一：二次函数与图像面积的数量关系及最值问题1【典例分析】1如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A-3,0两点，点C为二次函数的图象与y轴，B1,0的交点．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P为二次函数图象上的一点，且S△POC=2S△BOC，求点P的坐标．2【提分秘籍】对于图形的运动产生的相等关系问题，解答时应认真审题，仔细研究图形，分析动点的运动状态及运动过程，解题过程的一般步骤是：①弄清其取值范围，画出符合条件的图形；②确定其存在的情况有几种，然后分别求解，在求解计算中一般由函数关系式设出图形的动点坐标并结合图形作辅助线，画出所求面积为定值的三角形；③过动点作有关三角形的高或平行于y轴、x轴的辅助线，利用面积公式或三角形相似求出有关线段长度或面积的代数式，列方程求解，再根据实际问题确定方程的解是否符合题意，从而证得面积等量关系的存在性.④对于面积的最值问题选择合适的自变量，建立面积关于自变量的函数，并求出自变量的取值范围，用二次函数或一次函数的性质来解决.3【变式演练】1如图，抛物线y=ax2+3x+c(a≠0)与x轴交于点A(-2,0)和点B，与y轴交于点C(0,8)，点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP,PB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)求直线BC的解析式；(3)求△BCP的面积最大值．2如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A-1，0两点．，B3，0(1)求该抛物线的解析式；(2)观察函数图象，直接写出当x取何值时，y>0？(3)设(1)题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．3如图，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于A(-2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴l与x轴交于点M．(1)求抛物线的函数关系式．(2)设点P是直线l上的一个动点，求△PAC周长的最小值．题型二：二次函数与角度数量关系问题1【典例分析】1如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1，0)和B(3，0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，若点M为直线BC上方抛物线一动点(与点B、C不重合)，作MN平行于y轴，交直线BC于点N，当线段MN的长最大时，请求出点M的坐标；(3)如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当∠QCO=∠PBC时，请求出点Q的坐标．2【提分秘籍】探究两个角相等的方法：①可转换为满足此三角形是等腰三角形时的点，一般是通过此动点作已知两点连线的中垂线，再通过三角形相似以及中垂线的性质求出中垂线所在直线的解析式，最后通过直线解析式和抛物线解析式联立方程组求得动点的坐标；②通过构造两个三角形相似，再通过三角形相似的性质建立等式关系，再通过直线解析式和抛物线解析式联立方程组求得动点的坐标.3【变式演练】1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-12x2+bx+c过点A-2,0,B4,0，x轴上有一动点P t,0，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及抛物线分别交于点D，E．连接CE．(1)求抛物线的解析式．(2)点P在线段OB上运动时(不与点O，B重合)当△CDE∽△BDP时，求t的值．(3)当点P在x轴上自由运动时，是否存在点P，使∠DCE=∠DEC？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2如图，抛物线y=ax2+bx+5(a≠0)与y轴相交于点C，且经过A(1,0)，B(5,0)两点，连接AC．(1)求抛物线的表达式；(2)设P为x轴下方抛物线上一点，M为对称轴上一点，N为该抛物线对称轴与x轴交点，若∠MNP=∠OCA，求点P的坐标．题型三：二次函数与线段长度数量关系及线段长度最值问题1【典例分析】1如图，已知经过A1,0两点的抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C．，B4,0(1)求此抛物线的解析式及点C的坐标；(2)若线段BC上有一动点M(不与B、C重合)，过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N．求当线段MN的长度最大时点M的坐标；2【提分秘籍】探究平面直角坐标系中线段的数量关系的方法：①先设点的坐标，再用点的坐标表示线段的长度，然后分析表示线段长度的代数式，得出线段之间的数量关系；②函数图象上点的坐标的表示方法：直线y=kx+b上点的坐标为(x，kx+b);抛物线y=ax2+bx+c上点的坐标为(x，ax2+bx+c)；双曲线y=k x上的点的坐标为y=x，k x③已知点A(x,y),B(m,n),若AB与x轴平行，则AB=|x-m|;若AB与y轴平行，则AB=|y-n|;若AB既不与x轴平行又不与y轴平行，则AB=(x-m)2+(y-n)2。

初中二次函数压轴题题型归纳及方法一、题型归纳初中二次函数压轴题主要包括以下几种类型：1. 求解二次方程，确定函数的零点2. 求解顶点坐标、对称轴及最值3. 判断函数的单调性和定义域、值域4. 与其他函数进行比较，确定大小关系5. 给定函数图像或部分信息，确定函数的表达式二、方法详解1. 求解二次方程，确定函数的零点求解二次方程可以使用因式分解法、配方法和公式法。

其中，因式分解法适用于形如x^2+bx+c=0的方程；配方法适用于形如ax^2+bx+c=0且a≠0的方程；公式法适用于所有形如ax^2+bx+c=0的方程。

求得二次方程的根后，即可得到函数的零点。

若根为实数，则该实数即为零点；若根为复数，则该函数无实零点。

2. 求解顶点坐标、对称轴及最值对于一般形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的二次函数，其顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中f(x)=ax^2+bx+c。

对称轴为x=-b/2a，最值为f(-b/2a)。

若函数为y=a(x-h)^2+k的形式，则顶点坐标为(h,k)，对称轴为x=h，最值为k。

3. 判断函数的单调性和定义域、值域对于一般形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的二次函数，当a>0时，函数在顶点左侧单调递减，在顶点右侧单调递增；当a<0时，函数在顶点左侧单调递增，在顶点右侧单调递减。

定义域为实数集R，值域取决于a的符号。

4. 与其他函数进行比较，确定大小关系与线性函数比较：当x趋近正无穷时，二次函数增长速度大于线性函数；当x趋近负无穷时，二次函数增长速度小于线性函数。

因此，在x 轴正半轴上，二次函数与线性函数相交一次，并在该点处取得最小值（或最大值）；在x轴负半轴上，则无交点。

与指数函数比较：当x趋近正无穷时，指数函数增长速度大于二次函数；当x趋近负无穷时，指数函数增长速度小于二次函数。

因此，在x 轴正半轴上，指数函数与二次函数相交一次，并在该点处取得最小值（或最大值）；在x轴负半轴上，则无交点。

二次函数与几何图形综合题类型一 线段数量关系/最值问题1. (2019滨州)如图①，抛物线y ＝－18x 2＋12x ＋4与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D .(1)求直线AD 的函数解析式；(2)如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点． ①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离； ②当点P 到直线AD 的距离为524时，求sin ∠P AD 的值．第1题图2. 如图，直线y ＝x ＋2与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6相交于A (12，52)和B (4，c )．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AB 上的动点，设点P 的横坐标为n ，过点P 作PC ⊥x 轴，交抛物线于点C ，交x 轴于点M .①当点P 在线段AB 上运动时(点P 不与点A ，B 重合)，是否存在这样的点P ，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；②点P 在直线AB 上自由移动，当点C 、P 、M 中恰有一点是其他两点所连线段的中点时，请直接写出n 的值．第2题图类型二面积数量关系/最值问题1. (2019成华区一诊)如图，抛物线经过原点O，与x轴交于点A(－4，0)，且经过点B(4，8)．(1)求抛物线的解析式；(2)设直线y＝kx＋4与抛物线两交点的横坐标分别为x1，x2(x1<x2)，当1x2－1x1＝22时，求k的值；(3)连接OB，点P为x轴下方抛物线上一动点，过点P作OB的平行线交直线AB于点C，连接OC、OP，当S△POC∶S△BOC＝1∶2时，求点P的坐标．第1题图2. (2019武侯区一诊)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝mx ＋3与抛物线交于点A (9，－6)，与y 轴交于点B ，抛物线的顶点C 的坐标是(4，－11)．(1)分别求该直线和抛物线的函数表达式；(2)D 是抛物线上位于对称轴左侧的点，若△ABD 的面积为812，求点D 的坐标；(3)在y 轴上是否存在一点P ，使∠APC ＝45°？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．类型三特殊三角形存在性问题1. (2019武侯区二诊)如图，抛物线y＝x2＋(m＋2)x＋4的顶点C在x轴正半轴上，直线y＝x＋2与抛物线交于A，B两点(点A在点B的左侧)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P是抛物线上一点，若S△P AB＝2S△ABC，求点P的坐标；(3)将直线AB上下平移，平移后的直线y＝x＋t与抛物线交于A′、B′两点(A′在B′的左侧)，当以点A′、B′、(2)中第二象限的点P为顶点的三角形是直角三角形时，求t的值．类型四特殊四边形存在性问题1. (2019高新区二诊)如图，在同一直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2－2x－3与抛物线C2：y＝x2＋mx ＋n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧，交y轴于点D.(1)求A、B两点的坐标；(2)过抛物线C2：y＝x2＋mx＋n在第三象限上的一点P，作PF⊥x轴于点F，交AD于点E，若E关于PD的对称点E′恰好落在y轴上，求P点的坐标；(3)在抛物线C1上是否存在一点G，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以A、B、G、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出G、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．类型五相似三角形问题1.(2019金牛区一诊)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点分别为A(－3，0)、B(1，0)，与y轴交于点D(0，3)，过顶点C作CH⊥x轴于点H.(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标；(2)连接AD、CD，若点E为抛物线上一动点(点E与顶点C不重合)，当△ADE与△ACD面积相等时，求点E的坐标；(3)若点P为抛物线上一动点(点P与顶点C不重合)，过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标．第1题图备用图参考答案类型一 线段数量关系/最值问题1. 解：(1)抛物线y ＝－18x 2＋12x ＋4，令x ＝0，可得A 点的坐标为(0，4)，令y ＝0，可得B 点的坐标为(－4，0)，C 点的坐标为(8，0)． 易得直线AB 的函数解析式为y ＝x ＋4， ∵OA ＝OB ， ∴∠BAO ＝45°.又∵直线AD 由直线AB 逆时针旋转90°而来， ∴∠BAD ＝90°，∴∠OAD ＝45°，△OAD 为等腰直角三角形， ∴OD ＝OA ＝4，D (4，0)，易得直线AD 的函数解析式为y ＝－x ＋4；(2)①如解图①，过点P 作PE ⊥x 轴交AD 于点E ，PF ⊥AD 于点F ，第1题解图①易得△PEF 为等腰直角三角形， ∴PF ＝22PE ， ∴当PE 取得最大值时，PF 取得最大值， 设P (x ，－18x 2＋12x ＋4)，则E (x ，－x ＋4)，∴PE ＝－18x 2＋12x ＋4－(－x ＋4)＝－18x 2＋32x ＝－18(x －6)2＋92，∴当x ＝6时，PE 有最大值92，此时PF 有最大值924，∴当x ＝6时，－18x 2＋12x ＋4＝52，∴当点P 到直线AD 的距离最大时，点P 的坐标为(6，52)，最大距离为924；②如解图②，连接AP ，过点P 作PE ⊥x 轴，交AD 于点E ，PF ⊥AD 于点F ，当点P 到AD 的距离为524时，PF ＝524，则此时PE ＝2PF ＝52，将PE ＝52代入PE ＝－18(x －6)2＋92中，解得x 1＝10，x 2＝2，∴此时点P 的坐标为(10，－72)或(2，92)，当点P 的坐标为(2，92)时，AP ＝22＋（92－4）2＝172，∴sin ∠P AD ＝524172＝53434；当点P 的坐标为(10，－72)时，AP ＝102＋（－72－4）2＝252，∴sin ∠P AD ＝PF AP ＝524252＝210.综上，sin ∠P AD 的值是53434或210.第1题解图②2. 解：(1)∵B (4，c )在直线y ＝x ＋2上， ∴c ＝6，则B (4，6)，∵A (12，52)，B (4，6)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6上，∴⎩⎪⎨⎪⎧14a ＋12b ＋6＝5216a ＋4b ＋6＝6.， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－8，故抛物线的解析式为y ＝2x 2－8x ＋6； (2)①存在．设点P 的坐标为(n ，n ＋2)(12<n <4)，则点C 的坐标为(n ，2n 2－8n ＋6)，∴PC ＝(n ＋2)－(2n 2－8n ＋6)＝－2n 2＋9n －4＝－2(n －94)2＋498.∵－2<0，12<n <4，∴当n ＝94时，线段PC 的长取得最大值498.② n 的值为5±212或17±1298.【解法提示】设P 的坐标为(n ，n ＋2)，则点C 的坐标为(n ，2n 2－8n ＋6)，易知抛物线与x 轴交点坐标为(1，0)，(3，0)，直线与x 轴交点坐标为(－2，0)．(Ⅰ)若M 点为PC 的中点，此时n <－2或1<n <3，则PM ＝CM ，即n ＋2＝－(2n 2－8n ＋6)，整理得2n 2－7n ＋8＝0，此方程没有实数解；(Ⅱ)若P 点为CM 的中点，此时，n >4或－2<n <12，则PM ＝PC ，CM ＝2PM ，即2n 2－8n ＋6＝2(n ＋2)，整理得n 2－5n ＋1＝0，解得n 1＝5＋212，n 2＝5－212，n 1，n 2均满足条件；(Ⅲ)若C 点为PM 的中点，此时12<n <1或3<n <4，则PC＝CM ，PM ＝2CM ，即n ＋2＝2(2n 2－8n ＋6)，整理得4n 2－17n ＋10＝0，解得n 1＝17＋1298，n 2＝17－1298，n 1，n 2均满足条件．综上所述，n 的值为5±212或17±1298.类型二 面积数量关系/最值问题1. 解：(1)∵抛物线经过原点O ， ∴设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ，把点A (－4，0)，B (4，8)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧16a －4b ＝016a ＋4b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14b ＝1，∴抛物线的解析式为y ＝14x 2＋x ；(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2＋xy ＝kx ＋4，消去y ，得14x 2＋(1－k )x －4＝0，∴x 1＋x 2＝4(k －1)，x 1x 2＝－16，∵1x 2－1x 1＝22， ∴（x 1＋x 2）2－4x 1x 2（x 1x 2）2＝12， 即16（k －1）2＋64256＝12， 解得k ＝3或k ＝－1，经检验都符合题意，∴k 的值为3或－1；(3)∵OB ∥PC ，S △POC ∶S △BOC ＝1∶2，∴PC ∶OB ＝1∶2，∵B (4，8)，∴OB ＝45，直线OB 的解析式为y ＝2x ，∴PC ＝25，设点P 的坐标为(a ，14a 2＋a )(－4＜a ＜0)，直线PC 的解析式为y ＝2x ＋t ， 把P (a ，14a 2＋a )代入y ＝2x ＋t ，整理得t ＝14a 2－a ， ∴直线PC 的解析式为y ＝2x ＋14a 2－a ， 易得直线AB 的解析式为y ＝x ＋4，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4y ＝2x ＋14a 2－a ， 解得x ＝4＋a －14a 2， ∴PC ＝5(x C －x P )＝5×(4＋a －14a 2－a )＝25， 解得a ＝22(舍去)或a ＝－22，将a ＝－22代入抛物线的解析式，得y ＝14×(－22)2－22＝2－22， ∴点P 的坐标为(－22，2－22)．2. 解：(1)把点A (9，－6)代入y ＝mx ＋3中，得m ＝－1，∴直线的函数表达式为y ＝－x ＋3；∵抛物线的顶点C 的坐标是(4，－11)且过点A (9，－6)，设抛物线的函数表达式为y ＝a (x －4)2－11，∴a (9－4)2－11＝－6，解得a ＝15，∴抛物线的函数表达式为y ＝15(x －4)2－11＝15x 2－85x －395； (2)设点D 的横坐标为n .∵抛物线对称轴为直线x ＝4，∴分两种情况讨论①当0＜n ＜4时，如解图①，过点D 作x 轴的垂线交直线AB 于点E ，则D (n ，15n 2－85n －395)，E (n ，－n ＋3)， ∴DE ＝－n ＋3－(15n 2－85n －395)＝－15n 2＋35n ＋545， ∴S △ABD ＝S △BDE ＋S △ADE ＝12DE ·(x E －x B )＋12DE ·(x A －x E ) ＝12DE ·(x A －x B )＝12(－15n 2＋35n ＋545)×9＝812， 解得n 1＝3－352(不合题意，舍去)，n 2＝3＋352(不合题意，舍去)；第2题解图①②当n ＜0时，如解图②，过点D 作x 轴的垂线交直线AB 于点E ，S △ABD ＝S △ADE －S △BDE ＝12DE ·(x A －x E )－12DE ·(x B －x E )＝12DE ·(x A －x B )＝12(－15n 2＋35n ＋545)×9＝812， 解得n 1＝3－352，n 2＝3＋352(不合题意，舍去)． 当n ＝3－352时，y ＝15×(3－352)2－85×3－352－395＝35－152. ∴D (3－352，35－152)；第2题解图②(3)在y 轴上存在一点P ，使∠APC ＝45°，如解图③，分别过点C 、A 作y 轴、x 轴的平行线，两线交于点G ，则∠CGA ＝90°，∵A 、C 的坐标分别为(9，－6)，(4，－11)，∴点G 的坐标为(4，－6)．∴GA ＝GC ＝5.作以G 为圆心，GA 的长度为半径的圆，交y 轴于点P ，P ′，连接AP 、CP 、AP ′、P ′C ，此时∠APC ＝∠AP ′C ＝12∠CGA ＝45°， ∴GP ＝5.设点P 的坐标为(0，k )，过点G 作GH ⊥y 轴于点H ，则H (0，－6)．在Rt △PGH 中，PH 2＋HG 2＝PG 2，即(k ＋6)2＋42＝52，解得k 1＝－3，k 2＝－9，∴P (0，－3)，P ′(0，－9)．第2题解图③类型三 特殊三角形存在性问题1. 解：(1)∵抛物线的顶点C 在x 轴的正半轴上，∴4ac －b 24a ＝16－（m ＋2）24＝0， 解得m ＝2或－6，∵顶点在x 轴正半轴上，∴－m ＋22>0.解得m <－2， ∴m ＝－6，∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2－4x ＋4；(2)如解图①，过点C 作抛物线的对称轴，交直线AB 于点D ，由y ＝x 2－4x ＋4得抛物线的对称轴是直线x ＝2，则D (2，4)，DC ＝4.在点D 上方的抛物线的对称轴上取一点E ，使DE ＝2DC ，则E (2，12)．连接AE ，BE ，则S △ABE ＝2S △ABC .过点E (2，12)作直线AB 的平行线交抛物线于点P 1，P 2，此时满足S △P AB ＝S △ABE ＝2S △ABC .设直线P 1P 2的函数表达式为y ＝x ＋k ，∵点E (2，12)在直线P 1P 2上，∴2＋k ＝12，∴k ＝10.∴直线P 1P 2的函数表达式为y ＝x ＋10.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋10y ＝x 2－4x ＋4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1y 1＝9或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6y 2＝16， 综上所述，满足条件的点P 的坐标为(－1，9)，(6，16)；第1题解图①(3)设A ′(x 1，y 1)，B ′(x 2，y 2)，显然，∠P A ′B ′≠90°.①如解图②，当∠A ′B ′P ＝90°时，过点B ′作直线MN ∥y 轴，A ′M ⊥MN 于点M ，PN ⊥MN 于点N ， ∵直线A ′B ′的解析式是y ＝x ＋t ，∴∠B ′A ′M ＝45°，∴△A ′B ′M 和△PB ′N 都是等腰直角三角形，∴PN ＝NB ′，∴x 2＋1＝9－y 2，即x 2＋y 2＝8，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝8y 2＝x 2＋t ， 解得⎩⎨⎧x 2＝4－12ty 2＝4＋12t ， 将点(4－12t ，4＋12t )代入抛物线的函数表达式，得4＋12t ＝(4－12t )2－4×(4－12t )＋4. 解得 t 1＝0，t 2＝10(此时点A ′与点P 重合，舍去)；第1题解图②如解图③，若∠A′PB′＝90°，过点P作EF∥y轴，A′E⊥EF于E，B′F⊥EF于点F，则△A′EP∽△PFB′，∴A′EPE＝PFB′F.∴x1＋19－y1＝y2－9x2＋1.∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＝9(y1＋y2)－y1y2－81，令x2－4x＋4＝x＋t，即x2－5x＋4－t＝0，则x1＋x2＝5，x1x2＝4－t，y1＋y2＝(x1＋t)＋(x2＋t)＝x1＋x2＋2t＝5＋2t，y1y2＝(x1＋t)(x2＋t)＝x1x2＋t(x1＋x2)＋t2＝t2＋4t＋4，∴(4－t)＋5＋1＝9(5＋2t)－(t2＋4t＋4)－81，整理得t2－15t＋50＝0，解得t1＝5，t2＝10(此时A′与P重合，舍去)，综上，t的值为0或5.第1题解图③类型四特殊四边形存在性问题1. 解：(1)∵C1、C2关于y轴对称，∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状，大小均相同，∴a＝1，n＝－3，∴C1的对称轴为直线x＝1，∴C2的对称轴为直线x＝－1，∴m＝2，∴C 1的函数表达式为y ＝x 2－2x －3，C 2的函数表达式为y ＝x 2＋2x －3＝0，在C 2的函数表达式y ＝x 2＋2x －3中，当y ＝0可得x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3或x ＝1，∴A (－3，0)，B (1，0)；(2)根据题意可得点D 的坐标为(0，－3)，设直线AD 的表达式为y ＝kx ＋b .把(0，－3)和(－3，0)代入到y ＝kx ＋b 中得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3－3k ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3k ＝－1， ∴直线AD 的表达式为y ＝－x －3，设P (a ，a 2＋2a －3)，则E (a ，－a －3)，则PE ＝－a －3－(a 2＋2a －3)＝－a 2－3a ，根据对称可得四边形PEDE ′是菱形，则DE ′＝PE ＝－a 2－3a ， 如解图，过点P 作PG ⊥y 轴于点G ，∵ED ∥PE ′，ED 所在直线斜率k ＝－1∴∠E ′＝∠AEF ＝45°，GE ′＝－a ，PG ＝GE ′.在Rt △PGE ′中，根据勾股定理得：PE ′＝－2a ，根据菱形性质可得：PE ′＝DE ′， ∴－2a ＝－a 2－3a ，解得a ＝2－3，∴P (2－3，2－42)；第1题解图(3)存在．∵AB 的中点为(－1，0)，且点G 在抛物线C 1上，点Q 在抛物线C 2上，∴AB 只能为平行四边形的一边，∴GQ ∥AB 且GQ ＝AB ，由(1)可知AB ＝1－(－3)＝4，∴GQ ＝4，设G (t ，t 2－2t －3)，则Q (t ＋4，t 2－2t －3)或(t －4，t 2－2t －3)，①当Q (t ＋4，t 2－2t －3)时，则t 2－2t －3＝(t ＋4)2＋2(t ＋4)－3，解得t ＝－2，∴t 2－2t －3＝4＋4－3＝5，∴G (－2，5)，Q (2，5)；②当Q (t －4，t 2－2t －3)时，则t 2－2t －3＝(t －4)2＋2(t －4)－3，解得t ＝2，∴t 2－2t －3＝4－4－3＝－3，∴G (2，－3)，Q (－2，－3)，综上可知，存在满足条件的点G 、Q ，其坐标为G (－2，5)，Q (2，5)或G (2，－3)，Q (－2，－3)．类型五 相似三角形问题1. 解：(1)把点A 、B 、D 的坐标分别代入抛物线的解析式中得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝09a －3b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3，∴抛物线的对称轴为直线x ＝－b 2a＝－1， ∴点C 的坐标为(－1，4)；(2)如解图①，过点C 作CE ∥AD 交抛物线于点E ，交y 轴于点T ，则△ADE 与△ACD 面积相等，直线AD 过点D ，设其解析式为y ＝mx ＋3，将点A 的坐标代入得：0＝－3m ＋3，解得m ＝1，则直线AD 的解析式为y ＝x ＋3，∵CE ∥AD ，设直线CE 的解析式为y ＝x ＋n ，将点C 的坐标代入上式得：4＝－1＋n ，解得n ＝5，则直线CE 的解析式为y ＝x ＋5，则点T 的坐标为(0，5)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－2x ＋3y ＝x ＋5， 解得x ＝－1或x ＝－2(x ＝－1为点C 的横坐标)，即点E 的坐标为(－2，3)；在y 轴取一点H ′，使DT ＝DH ′＝2，过点H ′作直线E ′E ″∥AD ，则△ADE ′和△ADE ″都与△ACD 面积相等，同理可得直线E ′E ″的解析式为y ＝x ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－2x ＋3y ＝x ＋1， 解得x ＝－3±172， ∴点E ″、E ′的坐标分别为(－3＋172，－1＋172)、(－3－172，－1－172)， 综上，满足要求的点E 的坐标为(－2，3)或(－3＋172，－1＋172)或(－3－172，－1－172)；第1题解图①(3)如解图②，设点P 的坐标为(m ，n )，则n ＝－m 2－2m ＋3，把点C 、D 的坐标代入一次函数的解析式y ＝kx ＋b 得：⎩⎪⎨⎪⎧4＝－k ＋b b ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝3， 即直线CD 的解析式为y ＝－x ＋3，由(1)得，直线AD 的解析式为y ＝x ＋3，∴AD ⊥CD ，而直线PQ ⊥CD ，故直线PQ 的解析式中的k 值与直线AD 的解析式中的k 值相同， 同理可得直线PQ 的解析式为y ＝x ＋(n －m )，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3y ＝x ＋（n －m ）， 解得x ＝3＋m －n 2， 即点Q 的坐标为(3＋m －n 2，3－m ＋n 2)， 则PQ 2＝(m －3＋m －n 2)2＋(n －3－m ＋n 2)2＝（m ＋n －3）22＝12(m ＋1)2·m 2， 同理可得：PC 2＝(m ＋1)2[1＋(m ＋1)2]，AH ＝2，CH ＝4，则AC ＝25， 当△ACH ∽△CPQ 时，PC PQ ＝AC CH ＝52，即4PC 2＝5PQ 2，整理得3m 2＋16m ＋16＝0，解得m ＝－4或m ＝－43， ∴点P 的坐标为(－4，－5)或(－43，359)； 当△ACH ∽△PCQ 时，同理可得，点P 的坐标为(－23，359)或(2，－5)， 综上所述，点P 的坐标为(－4，－5)或(－43，359)或(－23，359)或(2，－5)．。