丁玉美《数字信号处理》(第3版)笔记
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数字信号处理 第三版 (高西全 丁玉美)信号处理5章
在通带和阻带内均为等
波纹幅频特性
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
典型滤波器的幅度平方函数都有自己的表达式，可以直接 引用，而设计的最终目的是确定系统函数Ha(s) 。 5.3.1 幅度平方函数确定系统函数
模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数|Ha(jΩ)|2表示
* | Ha ( j) |2 Ha ( j)Ha ( j)
以右图低通为例, 频率响应包括
通带、过渡带与阻带
1(2) 为通 ( 阻 ) 带的容限 ,
p(s)
为通(阻)带截止频率
p
s
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
通带允许的最大衰减（波纹）Ap和阻带应达到的最小衰减As
| H (e j 0 ) | j p Ap 20 lg 20 lg | H ( e ) | 20 lg(1 1 ) j p | H (e ) | 式中 |H(ej0)|=1 | H (e j 0 ) | (归一化) j s As 20 lg 20 lg | H ( e ) | 20 lg 2 | H (e js ) |
•
根据阶数N，查表得到归一化系统函数HaN(s)
•
根据Ωc将HaN(s)去归一化，得到实际要求的系统函数Ha(s)
Ha (s) HaN s c
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
•
低通巴特沃思滤波器设计步骤总结 step1: 已知Ωp, Ap，Ωs和As，计算滤波器阶数N和截止频率Ωc
k b z k
H ( z)
1 ak z k
k 1
k 0 N
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
数字信号处理课后答案+第3章(高西全丁美玉第三版)PPT课件
所以
DFT［X(n)］=Nx(N－k) k=0, 1, …, N－1 5． 如果X(k)=DFT［x(n)］， 证明DFT的初值定理
x(0)
1
N 1
X (k)
证: 由IDFT定义式
N k0
x(n)
1 N
N 1
X (k )WNkn
k 0
n 0, 1, , N 1
可知
x(0)
1
N 1
X (k)
教材第3章习题与上机题解答
1． 计算以下序列的N点DFT， 在变换区间0≤n≤N－1内，
(1) x(n)=1
(2) x(n)=δ(n) (3) x(n)=δ(n－n0) (4) x(n)=Rm(n)
0<n0<N 0<m<N
j2π mn
(5) x(n) e N , 0 m N
(6) x(n) cos 2π mn, 0 m N N
sin
(0
2π N
k
)
/
2
k 0, 1, , N 1
或
1 e j0N
X
7
(k
)
1
e
j(0
2 N
k)
（8） 解法一 直接计算：
k 0, 1, , N 1
x8 (n)
sin(0n)
RN
(n)
1 [e j0n 2j
e j0n ]RN
(n)
X8(n)
N 1
x8 (n)WNkn
n0
1
N 1
[e j0n
1 WNk
j π (m1)k
e N
sin
π N
mk
sin
π N
数字信号处理(第三版)课后答案及学习指导(高西全-丁玉美)第八章
x1n=［1 1 1 1 1 1 1 1 zeros(1， 50)］； %产生信号x1n=R8n
第8章 上机实验
x2n=ones(1， 128)； %产生信号x2n=un hn=impz(B， A， 58)； %求系统单位脉冲响应h(n) subplot(2， 2， 1)； y=′h(n)′； tstem(hn， y)；
%谐振器对正弦信号的响应y32n figure(3) subplot(2， 1， 1)； y=′y31(n)′； tstem(y31n， y) title(′(h) 谐振器对u(n)的响应y31(n)′) subplot(2， 1， 2)； y=′y32(n)′； tstem(y32n， y)； title(′(i) 谐振器对正弦信号的响应y32(n)′)
%调用函数tstem title(′(d) 系统单位脉冲响应h1(n)′) subplot(2， 2， 2)； y=′y21(n)′； tstem(y21n， y)；
第8章 上机实验
title(′(e) h1(n)与R8(n)的卷积y21(n)′)
subplot(2， 2， 3)； y=′h2(n)′； tstem(h2n， y)；
注意在以下实验中均假设系统的初始状态为零
第8章 上机实验
3． （1） 编制程序， 包括产生输入信号、 单位脉冲响应 序列的子程序， 用filter函数或conv函数求解系统输出响应 的主程序。 程序中要有绘制信号波形的功能。 （2） 给定一个低通滤波器的差分方程为
y(n)=0.05x(n)+0.05x(n－1)+0.9y(n－1) 输入信号
第8章 上机实验
8.1.3
实验结果与波形如图8.1.1所示。
第8章 上机实验
第8章 上机实验
x2n=ones(1， 128)； %产生信号x2n=un hn=impz(B， A， 58)； %求系统单位脉冲响应h(n) subplot(2， 2， 1)； y=′h(n)′； tstem(hn， y)；
%谐振器对正弦信号的响应y32n figure(3) subplot(2， 1， 1)； y=′y31(n)′； tstem(y31n， y) title(′(h) 谐振器对u(n)的响应y31(n)′) subplot(2， 1， 2)； y=′y32(n)′； tstem(y32n， y)； title(′(i) 谐振器对正弦信号的响应y32(n)′)
%调用函数tstem title(′(d) 系统单位脉冲响应h1(n)′) subplot(2， 2， 2)； y=′y21(n)′； tstem(y21n， y)；
第8章 上机实验
title(′(e) h1(n)与R8(n)的卷积y21(n)′)
subplot(2， 2， 3)； y=′h2(n)′； tstem(h2n， y)；
注意在以下实验中均假设系统的初始状态为零
第8章 上机实验
3． （1） 编制程序， 包括产生输入信号、 单位脉冲响应 序列的子程序， 用filter函数或conv函数求解系统输出响应 的主程序。 程序中要有绘制信号波形的功能。 （2） 给定一个低通滤波器的差分方程为
y(n)=0.05x(n)+0.05x(n－1)+0.9y(n－1) 输入信号
第8章 上机实验
8.1.3
实验结果与波形如图8.1.1所示。
第8章 上机实验
数字信号处理第三版西安科大出版高西全丁玉美课后答案第3与4章
求
x 6 ( n ) ID [X ( k F ),]n T 0 ,1 ,2 , ,5
第３章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法
(FFT)
解：直接根据频域采样概念得到
x6(n ) x(n 6 l)R 6(n )R 6(n )R 2(n ) l
［例3.4.3］ 令X(k)表示x(n)的N点DFT， 分别证明： （1） 如果x(n)满足关系式
yc(1)
x(1)
x(0)
x(L1)
x(2)
h(1)
yc(2)
x(2)
x(1)
x(0) x(3) h(2)
yc(L1) x(L1) x(L2) x(L3) x(0)h(L1)
第３章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法
(FFT)
循环卷积定理： 若
yc(n)=h(n) L x(n) 则
~xN(n) x(niN) n
会发生时域混叠， xN(n)≠x(n)。
通过频率域采样得到频域离散序列xN(k)， 再对xN(k)进行 IDFT得到的序列xN(n)应是原序列x(n)以采样点数N为周期进行 周期化后的主值区序列， 这一概念非常重要。
第３章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法
(FFT)
(FFT)
3.1.2 重要公式
1） 定义
N1
X(k)DF [x(T n)N ] x(n)W N k n k=0, 1, …, N－1 n0
x(n)ID[X F(kT )N ]N 1N k 0 1X(k)W N kn
2） 隐含周期性
k=0, 1, …, N－1
N 1
N 1
X (k m ) N x (n ) W N (k m )n N x (n ) W N k nX (k )
x 6 ( n ) ID [X ( k F ),]n T 0 ,1 ,2 , ,5
第３章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法
(FFT)
解：直接根据频域采样概念得到
x6(n ) x(n 6 l)R 6(n )R 6(n )R 2(n ) l
［例3.4.3］ 令X(k)表示x(n)的N点DFT， 分别证明： （1） 如果x(n)满足关系式
yc(1)
x(1)
x(0)
x(L1)
x(2)
h(1)
yc(2)
x(2)
x(1)
x(0) x(3) h(2)
yc(L1) x(L1) x(L2) x(L3) x(0)h(L1)
第３章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法
(FFT)
循环卷积定理： 若
yc(n)=h(n) L x(n) 则
~xN(n) x(niN) n
会发生时域混叠， xN(n)≠x(n)。
通过频率域采样得到频域离散序列xN(k)， 再对xN(k)进行 IDFT得到的序列xN(n)应是原序列x(n)以采样点数N为周期进行 周期化后的主值区序列， 这一概念非常重要。
第３章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法
(FFT)
(FFT)
3.1.2 重要公式
1） 定义
N1
X(k)DF [x(T n)N ] x(n)W N k n k=0, 1, …, N－1 n0
x(n)ID[X F(kT )N ]N 1N k 0 1X(k)W N kn
2） 隐含周期性
k=0, 1, …, N－1
N 1
N 1
X (k m ) N x (n ) W N (k m )n N x (n ) W N k nX (k )
数字信号处理第三版课后答案
数字信号处理第三版课后答案西安电⼦(⾼西全丁美⽟第三版)数字信号处理课后答案1.2教材第⼀章习题解答1.⽤单位脉冲序列及其加权和表⽰题1图所⽰的序列。
解：2.给定信号：（1）画出序列的波形，标上各序列的值；（2）试⽤延迟单位脉冲序列及其加权和表⽰序列；（3）令，试画出波形；（4）令，试画出波形；（5）令，试画出波形。
解：（1）x(n)的波形如题2解图（⼀）所⽰。
（2）（3）的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（⼆）所⽰。
（4）的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所⽰。
（5）画时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，波形如题2解图（四）所⽰。
3.判断下⾯的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。
（1），A是常数；（2）。
解：（1），这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14；（2），这是⽆理数，因此是⾮周期序列。
5.设系统分别⽤下⾯的差分⽅程描述，与分别表⽰系统输⼊和输出，判断系统是否是线性⾮时变的。
（1）；（3），为整常数；（5）；（7）。
解：故该系统是时不变系统。
故该系统是线性系统。
（3）这是⼀个延时器，延时器是⼀个线性时不变系统，下⾯予以证明。
令输⼊为，输出为，因为故延时器是⼀个时不变系统。
⼜因为故延时器是线性系统。
（5）令：输⼊为，输出为，因为故系统是时不变系统。
⼜因为因此系统是⾮线性系统。
（7）令：输⼊为，输出为，因为故该系统是时变系统。
⼜因为故系统是线性系统。
6.给定下述系统的差分⽅程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。
（1）；（3）；（5）。
（1）只要，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输⼊有关。
如果，则，因此系统是稳定系统。
（3）如果，，因此系统是稳定的。
系统是⾮因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关.（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。
如果，则，因此系统是稳定的。
7.设线性时不变系统的单位脉冲响应和输⼊序列如题7图所⽰，要求画出输出输出的波形。
数字信号处理课后答案+第3章(高西全丁美玉第三版)
N −1 n =0 N −1 − j 2 π kn e N n =0 −j −j 2π kN N 2π kN N
X (k ) =
∑
kn 1 ⋅ WN
=
∑
=
1− e 1− e
N k = 0 = 0 k = 1, 2, ⋯, N − 1
（2） X (k ) = ∑ δ(n)W
n =0
N −1
kn N
（10） 解法一
X (k ) =
∑
n =0
N −1 kn nW N
k = 0, 1, ⋯ , N − 1
上式直接计算较难， 可根据循环移位性质来求解X(k)。 因 为x(n)=nRN(n)， 所以 x(n)－x((n－1))NRN(n)+Nδ(n)=RN(n) 等式两边进行DFT， 得到 X(k)－X(k)WkN+N=Nδ(k)
j
2π mn N ,
0<m< N
2π x(n) = cos mn , 0 < m < N N
(7) (8) (9)
x(n)=ejω0nRN(n) x(n)=sin(ω0n)RN(n) x(n)=cos(ω0n)RN(N)
(10) x(n)=nRN(n) 解： (1)
H (k ) = ∑ ∑ x((n′ + lN )) N e
l =0 n′=0
m −1 N −1
−j
2π( n′+lN ) k rN
2π 2π −j n′k − j lk N −1 k r −1 − j 2π lk ′)e mN e m = X ∑ e m = ∑ ∑ x(n l =0 n′=0 r l =0 m −1
X (k ) =
∑
kn 1 ⋅ WN
=
∑
=
1− e 1− e
N k = 0 = 0 k = 1, 2, ⋯, N − 1
（2） X (k ) = ∑ δ(n)W
n =0
N −1
kn N
（10） 解法一
X (k ) =
∑
n =0
N −1 kn nW N
k = 0, 1, ⋯ , N − 1
上式直接计算较难， 可根据循环移位性质来求解X(k)。 因 为x(n)=nRN(n)， 所以 x(n)－x((n－1))NRN(n)+Nδ(n)=RN(n) 等式两边进行DFT， 得到 X(k)－X(k)WkN+N=Nδ(k)
j
2π mn N ,
0<m< N
2π x(n) = cos mn , 0 < m < N N
(7) (8) (9)
x(n)=ejω0nRN(n) x(n)=sin(ω0n)RN(n) x(n)=cos(ω0n)RN(N)
(10) x(n)=nRN(n) 解： (1)
H (k ) = ∑ ∑ x((n′ + lN )) N e
l =0 n′=0
m −1 N −1
−j
2π( n′+lN ) k rN
2π 2π −j n′k − j lk N −1 k r −1 − j 2π lk ′)e mN e m = X ∑ e m = ∑ ∑ x(n l =0 n′=0 r l =0 m −1
(完整版)数字信号处理(第三版)高西全丁玉美课后答案
西安电子(咼西全丁美玉第二版)数字信号处理课后答案1.2 教材第一章习题解答解:x(n)(n 4)2 (n 2)0.5 (n 4) 2 (n(n 1) 2 (n) (n 1) 2 (n 2) 4 (n 3) 6)2n 5, 4 n 12.给定信号 :x(n)6,0 n 4 0,其它(1) 画出x(n)序列的波形，标上各序列的值； (2)试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示 x(n)序列;(3) 令X 1(n) 2x(n 2)，试画出捲(n)波形； (4) 令 X 2(n) 2x(n 2)，试画出 X 2(n)波形； (5) 令 x 3(n) 2x(2 n)，试画出 X 3(n)波形。
解：(1) x(n)的波形如 题2解图(一)所示。
(2)x(n) 3 (n 4) (n 3) (n 2) 3 (n 1) 6 (n)6 (n 1) 6 (n 2) 6 (n 3) 6 (n 4)(5)画X 3(n)时，先画x(-n)的波形，然后再右移 2位，X 3(n)波形如题2解图(四)所示。
3.判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。
3(1) x(n) Acos( n -)，A 是常数；1j (7n)(2) x(n) e 8。
1.用单位脉冲序列(n)及其加权和表示 题1图所示的序列。
(3) x, n)的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图(二)所示。
(4) X 2 (n)的波形是x(n)的波形左移 2位，在乘以2，画出图形如 题2解图(三)所示。
解：3 2 14(1)W , ，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14 ;7 w 31 2(2)w , 16 ，这是无理数，因此是非周期序列。
8 w5.设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。
(1)y(n) x(n) 2x(n 1) 3x(n 2)；(3)y(n) x(n n°)，n o为整常数；(5)y(n) x2(n)；(7)y(n) nx(m)。
数字信号处理第三版(高西全丁玉美)信号处理章
方框图能够形象地表明实现系统所要求的硬件数量、算法步骤以及 运算过程的复杂程度
第4章 数字滤波器的基本结构 2. 离散时间系统结构的信号流图表示法
第4章 数字滤波器的基本结构 2. 离散时间系统结构的信号流图表示法 例 二阶数字滤波器系统的信号流图可表示为
信号流图与方框图完全等效，但是画起来要更简单些
1 直接型 (Ⅰ型)
N阶的IIR滤波器的差分方程表示如下
M
N
y(n) bi x(n i) ai y(n i)
i0
i 1
令M=N时，方程对应的信号流图可表示成
第4章 数字滤波器的基本结构
M
N
y(n) bi x(n i) ai y(n i)
i0
i 1
直接I型结构
M
H (z)
Y (z) X (z)
第4章 数字滤波器的基本结构 直接型(II型 )---结构特点
➢ 两个网络级联，第一个有反馈的N节延时网络实现极点，第二 个横向结构M节延时网络实现零点。
➢ 实现N阶滤波器（N>=M），只需N级延时单元。所需延时单元 最少，故称典范型。
➢ 具有直接型实现的一般缺点。
第4章 数字滤波器的基本结构
系统函数为
bk z k
k 0
N
ak zk
k 0
第4章 数字滤波器的基本结构 直接型(I型 )---结构特点
➢ 两个网络级联，第一个横向结构M节延时网络实现零点，第二 个有反馈的N节延时网络实现极点。
➢ 共需（N+M）级延时单元。 ➢ 系数ai,bi不是直接决定单个零极点，因而不能很好地进行滤波
器性能控制。 ➢ 极点对系数的变化过于灵敏，从而使系统频率响应对系数变化
M
第4章 数字滤波器的基本结构 2. 离散时间系统结构的信号流图表示法
第4章 数字滤波器的基本结构 2. 离散时间系统结构的信号流图表示法 例 二阶数字滤波器系统的信号流图可表示为
信号流图与方框图完全等效，但是画起来要更简单些
1 直接型 (Ⅰ型)
N阶的IIR滤波器的差分方程表示如下
M
N
y(n) bi x(n i) ai y(n i)
i0
i 1
令M=N时，方程对应的信号流图可表示成
第4章 数字滤波器的基本结构
M
N
y(n) bi x(n i) ai y(n i)
i0
i 1
直接I型结构
M
H (z)
Y (z) X (z)
第4章 数字滤波器的基本结构 直接型(II型 )---结构特点
➢ 两个网络级联，第一个有反馈的N节延时网络实现极点，第二 个横向结构M节延时网络实现零点。
➢ 实现N阶滤波器（N>=M），只需N级延时单元。所需延时单元 最少，故称典范型。
➢ 具有直接型实现的一般缺点。
第4章 数字滤波器的基本结构
系统函数为
bk z k
k 0
N
ak zk
k 0
第4章 数字滤波器的基本结构 直接型(I型 )---结构特点
➢ 两个网络级联，第一个横向结构M节延时网络实现零点，第二 个有反馈的N节延时网络实现极点。
➢ 共需（N+M）级延时单元。 ➢ 系数ai,bi不是直接决定单个零极点，因而不能很好地进行滤波
器性能控制。 ➢ 极点对系数的变化过于灵敏，从而使系统频率响应对系数变化
M
丁玉美《数字信号处理》笔记和课后习题(时域离散系统的网络结构)
图 5-10 FIR 滤波器频域采样结构
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三、FIR 系统的基本网络结构 FIR 网络结构特点是没有反馈支路，其单位脉冲响应是有限长的。设单位脉冲响应 h（n） 长度为 N，其系统函数 H（z）和差分方程分别为：
1．直接型 按照 H（z）或者卷积公式直接画出的结构图，称为直接型网络结构或者称为卷积型结 构。
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图 5-2 信号流图 3．网络结构分类 一般将网络结构分成两类，一类称为有限长单位脉冲响应网络，简称 FIR 网络，另一类 称为无限长单位脉冲响应网络，简称 IIR 网络。 （1）FIR 网络中一般丌存在输出对输入的反馈支路，因此，差分方程用下式描述： 单位脉冲响应 h（n）是有限长的，表示为： （2）IIR 网络结构存在输出对输入的反馈支路，信号流图中存在反馈环路。这类网络 的单位脉冲响应是无限长的。
3．并联型 （1）系统函数和流图形式 ①将级联形式的 H（z）展成部分分式形式，则得到：
对应的网络结构为这 k 个子系统并联。Hi（z）通常为一阶网络或二阶网络，网络系数 均为实数。二阶网络的系统函数一般为：
式中，β0j、β1j、α1i 和 α2i 都是实数。如果 β1j＝α2i＝0，则构成一阶网络。
图 5-3 IIR 网络直接型结构 2．级联型 （1）系统函数和流图形式 ①将直接型表达式中分子、分母多项式分别迚行因式分解得到：
上式中，A 是常数，cr 和 dr 分别表示 H（z）的零点和极点。cr 和 dr 是实数或者是共轭
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三、FIR 系统的基本网络结构 FIR 网络结构特点是没有反馈支路，其单位脉冲响应是有限长的。设单位脉冲响应 h（n） 长度为 N，其系统函数 H（z）和差分方程分别为：
1．直接型 按照 H（z）或者卷积公式直接画出的结构图，称为直接型网络结构或者称为卷积型结 构。
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图 5-2 信号流图 3．网络结构分类 一般将网络结构分成两类，一类称为有限长单位脉冲响应网络，简称 FIR 网络，另一类 称为无限长单位脉冲响应网络，简称 IIR 网络。 （1）FIR 网络中一般丌存在输出对输入的反馈支路，因此，差分方程用下式描述： 单位脉冲响应 h（n）是有限长的，表示为： （2）IIR 网络结构存在输出对输入的反馈支路，信号流图中存在反馈环路。这类网络 的单位脉冲响应是无限长的。
3．并联型 （1）系统函数和流图形式 ①将级联形式的 H（z）展成部分分式形式，则得到：
对应的网络结构为这 k 个子系统并联。Hi（z）通常为一阶网络或二阶网络，网络系数 均为实数。二阶网络的系统函数一般为：
式中，β0j、β1j、α1i 和 α2i 都是实数。如果 β1j＝α2i＝0，则构成一阶网络。
图 5-3 IIR 网络直接型结构 2．级联型 （1）系统函数和流图形式 ①将直接型表达式中分子、分母多项式分别迚行因式分解得到：
上式中，A 是常数，cr 和 dr 分别表示 H（z）的零点和极点。cr 和 dr 是实数或者是共轭
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丁玉美《数字信号处理》笔记和课后习题(含考研真题)详解(时域离散信号和时域离散系统)
①当 2π/ω0 为整数时，k=1，正弦序列是以 2π/ω0 为周期的周期序列。 ②2π/ω0 丌是整数，是一个有理数时，设 2π/ω0=P/Q，式中 P、Q 是互为素数的整数， 取 k=Q，那么 N=P，则该正弦序列是以 P 为周期的周期序列。 ③2π/ω0 是无理数，任何整数 k 都丌能使 N 为正整数，此时的正弦序列丌是周期序列。 对于复数指数序列 的周期性也有和上面同样的分析结果。 （8）单位采样序列的秱位加权和表示 对于任意序列 x（n），可以用单位采样序列的秱位加权和表示，即
序列 x（n），其秱位序列 x（n－n0），当 no>0 时，称为 x（n）的延时序列；当 no<0 时，称为 x（n）的超前序列，x（－n）则是 x（n）的翻转序列；x（mn）（m>1 且 m 为 整数）是 x（n）序列每隔 m 点取一点形成的序列，相当于 n 轴的尺度变换。当 m=2，no=2 时，其波形如图 1-4 所示。
式中，ω0 为数字频率。 （7）周期序列 如果对所有 n 存在一个最小的正整数 N，使下面等式成立：
则称序列 x（n）为周期性序列，周期为 N。 讨论一般正弦序列的周期性。 设
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那么
如果
则要求
式中，k 不 N 均取整数，且 k 的取值要保证 N 是最小的正整数，满足这些条件，正弦 序列才是以 N 为周期的周期序列。
图 1-4 序列的秱位、翻转和尺度变换
三、时域离散系统 设时域离散系统的输入为 x（n），经过觃定的运算，系统输出序列用 y（n）表示。设 运算关系用 T[·]表示，输出不输入乊间关系用下式表示：
图 1-5 时域离散系统 其框图如图 1-5 所示。 在时域离散系统中，最重要和最常用的是线性时丌变系统。 1．线性系统 系统的输入、输出乊间满足线性叠加原理的系统称为线性系统。用公式表示为：
序列 x（n），其秱位序列 x（n－n0），当 no>0 时，称为 x（n）的延时序列；当 no<0 时，称为 x（n）的超前序列，x（－n）则是 x（n）的翻转序列；x（mn）（m>1 且 m 为 整数）是 x（n）序列每隔 m 点取一点形成的序列，相当于 n 轴的尺度变换。当 m=2，no=2 时，其波形如图 1-4 所示。
式中，ω0 为数字频率。 （7）周期序列 如果对所有 n 存在一个最小的正整数 N，使下面等式成立：
则称序列 x（n）为周期性序列，周期为 N。 讨论一般正弦序列的周期性。 设
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那么
如果
则要求
式中，k 不 N 均取整数，且 k 的取值要保证 N 是最小的正整数，满足这些条件，正弦 序列才是以 N 为周期的周期序列。
图 1-4 序列的秱位、翻转和尺度变换
三、时域离散系统 设时域离散系统的输入为 x（n），经过觃定的运算，系统输出序列用 y（n）表示。设 运算关系用 T[·]表示，输出不输入乊间关系用下式表示：
图 1-5 时域离散系统 其框图如图 1-5 所示。 在时域离散系统中，最重要和最常用的是线性时丌变系统。 1．线性系统 系统的输入、输出乊间满足线性叠加原理的系统称为线性系统。用公式表示为：