2021届四川省成都市2018级高三高中毕业班摸底考试数学(理)试卷参考答案

成都市2016级高中毕业班摸底测试数学试题(理科)本试卷分为A 卷和B 卷两部分,A 卷1至4页,满分100分；B 卷5至6页，满分60分。

全卷满分160分,考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}2,1,0,1,2P =--,{}2|20Q x x x =+-> ,则P Q =I （ ） A ． {}1,0- B ．{}0,1 C ．{1,0,1}- D ．{0,1,2} 2. 复数31iz i+=+ (i 为虚数单位)在复平面内表示的点的坐标为（ ） A ．(2,1)- B ．(1,1)- C ．(1,2) D ．()2,23. 若实数,x y 满足约束条件40400x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ． -4B ．0C ． 4D ． 8 4. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且452a =，1015S =，则7a =（ ） A ．12 B ．1 C. 32D ．2 5. 已知曲线1cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数).33x y +=C 相交于不同的两点,A B ，则AB 的值为（ ）A ．12B ．32 C.1 D 36. 平面内的一条直线将平面分成2部分，两条相交直线将平面分成4部分，三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分，….则平面内五条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为（ ）A ． 15B ． 16 C. 17 D ．18 7. “4πϕ=-”是“函数()()cos 3f x x ϕ=-的图象关于直线4x π=对称”的（ ）A ． 充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件8. 某汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程x (万公里)与维修保养费用y (万元)的五组数据，并根据这五组数据求得y 与x 的线性回归方程为ˆ0.460.16yx =+.由于工作人员疏忽，行驶8万公里的数据被污损了，如下表所示. 行驶里程x (单位:万公里) 1 245 8 维修保养费用y (单位:万元) 0.500.90 2.32.7则被污损的数据为（ ）A ． 3.20B ． 3.6 C. 3.76 D ．3.849. 若函数()()23x f x x ax e =++在(0,)+∞内有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是 A ． (,22]-∞- B ．(),22-∞- C. (,3]-∞- D ．(),3-∞- 10. 某三棱锥的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为直角三角形.则该三棱锥四个面的面积中，最大值为（ ）A ． 2B ． 5 C. 3 D ．711. 某同学采用计算机随机模拟的方法来估计图(1)所示的阴影部分的面积，并设计了程序框图如图（2）所示，在该程序框图中，RAND 表示[]0,1内产生的随机数，则图(2)中①和②处依次填写的内容是（ ）A ．x a =，1000i s =B ． x a =，500i s = C. 2x a =，1000is = D ．2x a =，500i s =12. 设函数()2ln ,0165,1x x f x x x x -<≤⎧=⎨-+->⎩.若曲线20kx y --=与函数()f x 的图象有4个不同的公共点,则实数k 的取值范围是（ ）A ．(67,)e -B ．(67,)e - C. 2(,2)3D ．2(,)3e第Ⅱ卷（第Ⅱ卷(非选择题,共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上. 13. 已知顶点在坐标原点的抛物线的焦点坐标为()0,2-，则此抛物线的标准方程为 ． 14. 若()21sin 1-1ax x dx +=⎰，则实数a 的值为 ．15. 已知0a >，0b >，若直线()1210a x y -+-=与直线0x by +=互相垂直，则ab 的最大值是 ．16. 如图，在ABC ∆中，已知120BAC ∠=︒，其内切圆与AC 边相切于点D ，延长BA 到E ，使BE BC =，连接CE 设以E ，C 为焦点且经过点A 的椭圆的离心率为1e ，以,E C 为焦点且经过点A的双曲线的离心率为2e，则当1221e e+取最大值时，ADDC的值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数()32122f x ax x x=+-，其导函数为()f x'，且(1)0f'-=.(Ⅰ)求曲线()y f x=在点()()1,1f处的切线方程(Ⅱ)求函数()f x在[1,1]-上的最大值和最小值.18. 2018年央视大型文化节目《经典咏流传》的热播，在全民中掀起了诵读诗词的热潮.某大学社团调查了该校文学院300名学生每天诵读诗词的时间(所有学生诵读时间都在两小时内)，并按时间(单位：分钟)将学生分成六个组：[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[)80,100，[]100,120，经统计得到了如图所示的频率分布直方图(Ⅰ)求频率分布直方图中a的值，并估计该校文学院的学生每天诵读诗词的时间的平均数；(Ⅱ)若两个同学诵读诗词的时间,x y满足60x y->，则这两个同学组成一个“Team”，已知从每天诵读时间小于20分钟和大于或等于80分钟的所有学生中用分层抽样的方法抽取了5人，现从这5人中随机选取2人，求选取的两人能组成一个“Team”的概率.19. 如图，在多面体ABCDE中，已知四边形BCDE为平行四边形，平面ABC⊥平面ACD，M为AD的中点，AC BM⊥，1AC BC==，4AD=，3CM=.(Ⅰ)求证：BC ⊥平面ACD ； (Ⅱ)求二面角D BM E --的余弦值20. 已知椭圆()2222:a b 0x y a bΓ+>>的右顶点为A ，上顶点为()0,1B ，右焦点为F .连接BF 并延长与椭圆Γ相交于点C ，且17CF BF =(Ⅰ)求椭圆Γ的方程；(Ⅱ)设经过点()1,0的直线l 与椭圆Γ相交于不同的两点,M N ，直线,AM AN 分别与直线3x =相交于点P ，点Q .若APQ ∆的面积是AMN ∆的面积的2倍，求直线l 的方程.21. 设函数()1ln 2f x ax x x =-+，0a ≠. (Ⅰ)讨论函数()f x 的单调性；(Ⅱ)当0a >时，函数()f x 恰有两个零点()1212,x x x x <，证明：121277x x ax x +> 22. 选修4-4；坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为112312x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为()2212cos 3ρθ+=(Ⅰ)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设点()1,1M .若直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B ，求AM BM +的值成都市2016级高中毕业班摸底测试 数学(理科)参考答案及评分意见一、选择题1-5: BADAC 6-10: BABCC 11、12：DA 二、填空题13.28x y =- 14.32 15. 18 16.16三、解答题17. 解：(Ⅰ)()232f x ax x '=+-∵(1)0f '-=，∴3120a --=.解得1a = ∴321()22f x x x x =+-，2()32f x x x '=+- ∴1f (1)2=-，(1)2f '=. ∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为4250x y --= (Ⅱ)出(Ⅰ)，当()0f x '=时，解得1x =-或23x = 当x 变化时，()f x ，()f x '的变化情况如下表：∴()f x 的极小值为()327f =- 又3(1)2f -=，1(1)2f =-∴()max 3(1)2f x f =-=，min 222()()327f x f ==- 18. 解：(Ⅰ)∵各组数据的频率之和为1，即所有小矩形面积和为1, ∵()683201a a a a a a +++++⨯=.解得0.0025a = ∴诵读诗词的时间的平均数为100.05300.05500.3700.4900.151100.0564⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= (分钟)(Ⅱ)由频率分布直方图，知[)0,20，[)80,100，[]100,120内学生人数的频率之比为1:3:1 故5人中[)0,20，[80,100)，[]100,120内学生人数分别为1，3，1.设[)0,20，[)80,100，[]100,120内的5人依次为,,,,.A B C D E 则抽取2人的所有基本事件有,,,,,,,,,AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE 共10种情况.符合两同学能组成一个“ Team ”的情况有,,,AB AC AD AE 共4种, 故选取的两人能组成一个“Team ”的概率为42105P ==.19. 解：(Ⅰ)在MAC ∆中，∵1AC =，CM =，2AM =，∴22AC CM AM +=∴由勾股定理的逆定理，得MC AC ⊥又AC BM ⊥，BM CM M =I ，∴AC ⊥平面BCM ∵BC ⊂平面BCM ，∴BC AC ⊥∵平面ABC ⊥平面ACD ，且平面ABC I 平面ACD AC =，BC ⊂平面ABC ∴BC ⊥平面ACD(Ⅱ)∵BC ⊥平面ACD ，∴BC CM ⊥. 又BC AC ⊥，MC AC ⊥，故以点C 为坐标原点，,,CA CB CM 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz∴()1,0,0A ，()0,1,0B ，M ，(1,0,D -，(1,1,E -∴(0,BM =-u u u u r ，(MD =-u u u u r ，(1,0,BE =-u u u r设平面DBM 的法向量为()111,,m x y z =.由m BMm MD⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u u r，得11113030y zx z⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩.取11z=，∴(3,3,1)m=.设平面EBM的法向量为222(,,)n x y z=.由n BMn BE⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u r，得222230230y zx z⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩.取21z=，∴(23,3,1)n=∴32333157cos,1474m nm nm n⋅⨯+⨯+<>===⨯∵二面角D BM E--为锐二面角，故其余弦值为571420. 解：(Ⅰ)∵椭圆Γ的上顶点为()0,1B，∴1b=设(),0F c.∵17CF BF==，∴17CF BF=-u u u r u u u r.∴点81(,)77cC-.将点C的坐标代入222211x ya+=中，得2264114949ca+=.∴2234ca=又由222a b c=+，得24a=.∴椭圆Γ的方程为2214xy+=（Ⅱ）由题意，知直线MN的斜率不为0.故设直线MN的方程为1x my=+.联立22114x mxxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x，得()224230m y my++-=216480m∆=+>设11(,)M x y，22(,)N x y.由根与系数的关系，得12224m y y m -+=+，12234y y m -=+. ∴121211122AMN S y y y y ∆=⨯⨯-=-. 直线AM 的方程为11(2)2y y x x =--，直线AN 的方程为22(2)2y y x x =-- 令3x =，得112p y y x =-.同理222Q y y x =-. ∴1212121211112222211APQ P Q y y y y S y y x x my my ∆=⨯⨯-=-=----- 1221121212(1)(1)112(1)(1)2(1)(1)y my y my y y my my my my ----==----. 故2121212(1)(1)()1AMNAPQS my my m y y m y y S ∆∆=--=-++ 22222222323244114442m m m m m m m m -+-+++=+===+++ ∴24m =，2m =±.∴直线l 的方程为210x y +-=或210x y --= 21．解：(Ⅰ)()ln 1f x a x a '=+-.∵0a ≠，∴由()0f x '=，得1ln ax a-=，即1aa x e -=.① 若0a >，当x 变化时，()f x ，()f x '的变化情况如下表② 若0a <，当x 变化时，()f x ，()f x '的变化情况如下表：综上，当0a >时，()f x 在1(0,)a ae -上单调递减，在1[,)a ae-+∞上单调递增；当0a <时，()f x 在1(0,)a ae-上单调递增，在1[,)a ae -+∞上单调递减.(Ⅱ)∵当0a >时，函数()f x 恰有两个零点1x ，2x 12(0)x x <<，则1112221ln 021ln 02ax x x ax x x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，即11122212ln 12ln x a x x x a x x ⎧-⎪=⎪⎪⎨⎪-⎪=⎪⎩.两式相减，得12112212121122ln2x x x x x a x x x x x ---=-= ∵120x x <<，∴1201x x <<，∴12ln 0x x <，∴1212122ln x x ax x x x -=.∴要证121277x x ax x +>，即证1212127()72ln x x x x x x -+>，即证1122127()2ln 7x x x x x x -<+ 即证1121227(1)2ln 71x x x x x x -<⨯+令12x t x =()01t <<，则即证7(1)2ln 71t t t -<+. 设()7(1)2ln -71t g t t t -=+，即证()0g t <在(0,1)t ∈恒成立.22222256982822(71)()(71)(71)(71)t t t g t t t t t t t -+-'=-==+++. ∵()0g t '≥在()0,1t ∈恒成立.∴()g t 在()0,1t ∈单调递增.∵()g x 在(]0,1t ∈是连续函数，∴当(0,1)t ∈时，()(1)0g t g <=∴当0a >时，有121277x x ax x +>.22.解：(Ⅰ)由直线l 的参数方程消去参数t ，得1(1)3x y -=-化简，得直线l 10y -+= 又将曲线C 的极坐标方程化为2222cos 3ρρθ+=， ∴()22223x y x ++=， ∴曲线C 的直角坐标方程为2213y x +=.（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入2213y x +=中，得221111123t ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简，得222(1033t t +++=.此时803∆=+>. 此方程的两根为直线l 与曲线C 的交点,A B 对应的参数1t ，2t .由根与系数的关系，得12(2t t +=-，1223t t = ∴由直线参数的几何意义，知12122AM BM t t t t +=+=--=+。

四川省成都市2018届高中毕业班摸底测试数学（理科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P （A +B ）＝P （A ）+P （B ） 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ） 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是 334R V π=球P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k其中R 表示球的半径次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(一、选择题：本题共有12个小题，每小题5分，共60分；每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，把正确的代号填在题后的括号内.1．已知集合2{1,2,3,4,5},{|5,}U A x x x N *==<∈集合则集合C U A ＝A ．{3，5}B ．{4，5}C ．{3，4，5}D ．∅2．若θθθθθ则角且,0tan cos ,0cos sin <⋅>⋅的终边落在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知数列}{n a 是等差数列，且,13,504113==+a a a 则数列}{n a 的公差等于A ．1B ．4C ．5D ．64．若则,R a ∈“3>a ”是“方程x a y )9(22-=”表示开口向右的抛物线”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在B C A A C B ABC 则角已知中,sin sin 3sin sin sin ,222=--∆的大小为A ．150°B ．30°C ．120°D ．60°6．来成都旅游的外地游客中，若甲、乙、丙三人选择去武侯祠游览的概率均为53，且他们的选择互不影响，则这三人中至多有两人选择去武侯祠游览的概率为A ．12536 B ．12544 C ．12554 D ．12598 7．给出下列命题：①如果平面α内的一条直线m 与平面α的一条斜线l 在平面α内的射影n 垂直，那么l m ⊥；②如果平面α内的一条直线b 与平面β垂直，那么βα⊥；③经过平面α外一点有且只有一条直线与平面α平行；④对角线相交于一点且被这点平分的四棱柱是平行六面体. 其中，逆否命题为真命题的命题个数有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个8．函数()log ||101a f x x a =+<<（）的图象大致为9．若椭圆14222=+my x 的一条准线经过抛物线x y 162=的焦点，则椭圆的离心率e 的值为 A ．22 B ．23 C ．31 D ．21 10．已知曲线⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 2:y a x C （θ为参数）被直线2=-y x 所截得的弦长为22，则实数a的值为A ．0或4B ．1或3C ．－2或6D ．－1或311．从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6、8中任取2个数字组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数的个数有A ．360B ．720C ．300D ．24012．已知直线∈-=k x k y )(3(R ）与双曲线12722=-y m x ，某学生作了如下变形；由22(3)127y k x x y m =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 后得到形如20Ax Bx C ++=的方程. 当A ＝0时，该方程恒有一解；当04,02≥-=∆≠AC B A 恒成立. 假设学生演算过程是正确的，根据该学生的演算过程所提供的信息，求出实数m 的范围为 A ．),9[+∞B ．]9,0(C ．]3,0(D ．),3[+∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）把答案填在题中横线上.13．设实数y x 和满足约束条件y x z y x y x 2,122+=⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤则的最小值为 .14．若6)(a x +的展开式中2x 项的系数为60，则实数a ＝ . 15．如图，若正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则点C 到平面A 1BD 的距离为 .16．已知实数0≠a ，给出下列命题：①函数)32sin()(π+=x a x f 的图象关于点)0,6(π-和直线3π=x 对称；②函数)32sin()(π+=x a x f 的图象可由函数x a x g 2sin )(=的图象向左平移6π个单位而得到;③当]12,0[)32sin()(,0ππ在函数时+=>x a x f a 上是增函数，在]2,12[ππ上是减函数; ④若函数∈++=x x a x f )(32sin()(ϕπR ）为偶函数，则)(6Z k k ∈+=ππϕ.其中正确命题的序号有 .（把你认为正确的命题的序号都填上）三、解答题：（本大题共6小题，共74分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知空间向量).2,0(,51),1,cos 2,1(),cos ,1,(sin παααα∈=⋅=-=b a b a （1）求ααsin 2sin 及、αcos 的值；（2）设函数∈+-=x x x x f (2cos )2cos(5)(αR ），指出)(x f 的最小正周期并求)(x f 取得最大值时的x 的值.18．（本小题满分12分）将如图1的直角梯形ABEF （图中数字表示对应线段的长度）沿直线CD 折成直二面角，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图2所示.（1）求异面直线BD 与EF 所成角的大小； （2）求二面角D —BF —E 的大小；（3）求F 、A 、B 、C 、D 这五个点在同一球面上，求该球的表面积.19．（本小题满分12分）某项赛事，在“五进三”的淘汰赛中，需要加试综合素质测试，每位参赛选手需回答3个问题. 组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有6道艺术类题目，2道文学类题目，2道体育类题目. 测试时，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题，回答完该题后，再抽取下一道题目作答.（1）求某选手在3次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率； （2）求某选手抽到体育类题目数ξ的分布数列和数学期望ξE .20．（本小题满分12分）已知函数t m x f x+⋅=2)(的图象经过点A （1，1）、B （2，3）及C （n S n ,），S n 为数列{n a }的前n 项和，*∈N n .（1）求S n 及a n ；（2）若数列{}n b 满足22log 1n n b a =+，记11122334111111ni i i n n bb b b b b b b b b =++=++++∑ )(*N n ∈， 求证：∑=+<≤n i i i b b 11.2113121．（本小题满分13分）已知函数)(x f y =的图象与函数86)(2-+-=x x x h 的图象关于点（1，0）对称.（1）求函数)(x f 的表达式；（2）设函数∈-++-=a a x x x f x g (|1|2)()(R ），求)(x g 的最小值.22．（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M 为动点，且5,5||==过点M 作,.,111111N N M M OT T N x NN N M y MM +=⊥⊥满足又动点轴于点作过轴于其轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）已知点A （5，0）、B （1，0），过点A 作直线l 交曲线C 于两个不同的点P 、Q .问△BPQ 的面积S 是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1．C 2．C 3．B 4．A 5．A 6．D 7．B 8．A 9．D 10．A 11．C 12．B 二、填空题（每小题4分，共16分） 13．0； 14．2±=a ；15．33； 16．②③④ 三、解答题（本大题共6小题，共74分） 17．（1）∵51=⋅b a ，∴1sin cos 5αα-= ① …………2分∴112sin cos 25αα-⋅=，∴24sin 2.25α=∴12sin cos ,(0,)252πααα=∈ ② …………2分 联立①、②，解得53cos ,54sin ==αα. …………2分（2）x x x x x x f 2cos sin 2sin 5cos 2cos 52cos )2cos(5)(++=+-=ααα将43sin ,cos 55αα==带入，得)42sin(242cos 42sin 4)(π+=+=x x x x f . ∴()f x 的最小正周期π=T . …………1分∴当max 22,(),428x k f x x k k πππππ+=+==+∈时此时Z .…………2分18．∵平面ABC D ⊥平面DCEF ，ABCD 为正方形，DCEF 为直角梯形，∴以DA 所在直线为x 轴、DC 所在直线为y 轴、DF 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系xyz D -， 则)2,0,0(),1,1,0(),0,1,0(),0,1,1(),0,0,1(F E C B A …………2分（1）,21,cos ),1,1,0(),0,1,1(-=>=<-==EF DB EF DB ……2分∴异面直线AC 与EF 所成的角为3π. …………1分（2）,AC BD AC DF ⊥⊥，∴AC BDF ⊥平面。

成都七中2018届高三三诊模拟试题(理科)数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则为（ ）{}230A x x x =->{B x y ==A B A ． B ． C ． D ．[)0,3()1,3(]0,1∅2. 已知复数满足(为虚数单位)，则的虚部为（ ）z 1+1zz i=-i z A ． B ．-1 C ． 1 D ．i i-3. 把内的均匀随机数分别转化为和内的均匀随机数，，需实施的变[]0,1x []0,4[]4,11y 2y 换分别为A ．B ． 124,54y x y x =-=-1244,43y x y x =-=+C ．D ． 124,54y x y x ==-124,43y x y x ==+4. 已知命题,，命题，则下列说法中正确的是（:p x R ∃∈20x ->:q x R ∀∈x <）A ．命题是假命题B ．命题是真命题 p q ∨p q ∧C. 命题真命题 D ．命题是假命题()p q ∧⌝()p q ∨⌝5. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（ ）A ． 4B ．．26+6. 已知为内一点，且，，若,,三点共线，O ABC ∆1()2AO OB OC =+AD t AC = B O D 则的值为（ ）t A ．B ． C. D ．141312237. 已知二项式的展开式中的系数为，则的值为（ ）91()2x ax +3x 212-()1e ax dx x+⎰A ． B ． C. D ．212e +232e -232e +252e -8. 运行下列框图输出的结果为43，则判断框应填入的条件是（ ）A ． B ． C. D ．42z ≤45z ≤50z ≤52z ≤9. 已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念，且甲乙两人均在丙领导人的同侧，则不同的排法共有（ ）A ． 240种B ．360种 C.480种 D ．600种10.将函数图象上每一点的横坐标伸长为为原来()sin ()0,22f x x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-≤<⎪⎝⎭的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到的图象，则函数的单56πcos y x =()f x 调递增区间为（ ）A ．B ． 52,21212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦C. D ．5,1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦5,66k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦11. 已知双曲线，抛物线222:41(0)x C y a a -=>的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线2:2E y px =C E M 和距离之和的最小值为（ ）1:4360l x y -+=2:1l x =-A ．1 B ． 2 C. 3 D ．412.定义函数,则函数在区间348,12,2()1(222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩()()6g x xf x =-内的所有零点的和为（ ）1,2()n n N *⎡⎤∈⎣⎦A ． B ． C.D ．n 2n 3(21)4n -3(21)2n -第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若随机变量，则，2(:)Z N μσ ()0.6826P z μσμσ-<≤+=.已知随机变量，则(22)0.9544P z μσμσ-<≤+=(6,4)X N (28)P X <≤．14. 在锐角中，角、、所对的边分别为，且、、成等差数列，ABC ∆A B C ,,a b c A B C，则面积的取值范围是 ．b =ABC ∆15.已知的三个顶点，，，其外接圆为.对于线段ABC ∆(1,0)A -(1,0)B (3,2)C H 上的任意一点，BH P 若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，则的C ,M N M PN C 半径的取值范围 ．r 16. 四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是以为斜边的S ABCD -ABCD SAD SD等腰直角三角形，若四棱锥的体积取值范围为，则该四棱锥外接球表S ABCD -83⎤⎥⎦面积的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列.{}n a 37a =1a 4a 13a （1）求数列的通项公式；{}n a （2）记数列的前项和，求.{}2n n a ⋅n n S n S 18. 中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了了解人们]对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在15∽65岁的人群中随机调查100人，调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：年龄[)15,25[)25,35[)35,45[)45,55[)55,65支持“延迟退休”的人数155152817（1）由以上统计数据填列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为22⨯以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；45岁以下45岁以上总计支持不支持总计（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率.②记抽到45岁以上的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.X X 参考数据：20()P K k ≥0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.828，其中22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d=+++19. 在多面体中，底面是梯形，四边形是正方形，，ABCDEF ABCD ADEF //AB DC，，，1AB AD ==2CD =AC EC ==（1）求证：平面平面；EBC ⊥EBD （2）设为线段上一点，，求二面角的平面角的余弦值.M EC 3EM EC =M BD E --20.设、分别是椭圆的左、右焦点.若是该椭圆上的一个动点，1F 2F 222:14x y E b +=P 的最大值为1.12PF PF（1）求椭圆的方程；E （2）设直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为(与不重1x ky =-E ,A B A x A 'A 'B 合)，则直线与轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若A B 'x 不是，请说明理由.21.已知函数，其中；1()ln f x a x x=+a R ∈（Ⅰ）若函数在处取得极值，求实数的值，()f x 1x =a （Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，若关于的不等式，当x 22(2)2(1)()32x t x t f x t N x x *+++++>∈++时恒成立，求的值.1x ≥t22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数).在以坐标原点为xOy 1C ,2sin ,x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩α极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.x 22:4cos 2sin 40C ρρθρθ+-+=（Ⅰ）写出曲线，的普通方程；1C 2C （Ⅱ）过曲线的左焦点且倾斜角为的直线交曲线于两点，求.1C 4πl 2C ,A B AB 23.选修4-5：不等式选讲已知，使不等式成立.x R ∃∈12x x t ---≥（1）求满足条件的实数的集合；t T （2）若，，对，不等式恒成立，求的最小值.1m >1n >t T ∀∈33log log m n t ⋅≥22m n +成都七中2018届高三三诊模拟数学试题(理答案)一、选择题1-5: CCCCB 6-10: BBACC 11、12：BD 二、填空题13. 0.8185 14. 15.16.28,203ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题17.（1）∴（2）21n a n =+12(12)2n n +--⨯18.解:（1）由频率分布直方图知45岁以下与45岁以上各50人，故填充列联表如下：22⨯45岁以下45岁以上总计支持354580不支持15520总计5050100因为的观测值，2K 2100(3554515) 6.25 3.84150508020K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异.（2）①抽到1人是45岁以下的概率为，抽到1人是45岁以下且另一人是45岁以上63=84的概率为，故所求概率.11622837C C C =347374P ==②从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人.所以的可能取值为0,1,2.X ，，.262815(0)28C P X C ===116228123(1)287C C P X C ====22281(2)28C P X C ===故随机变量的分布列为：X X 012P152837128所以.311()127282E X =⨯+⨯=19. 解:（1）因为，，1AD =2CD =AC =222AD CD AC +=所以为直角三角形，且ADC ∆AD DC ⊥同理因为，，1,2ED CD ==EC =222ED CD EC +=所以为直角三角形，且，EDC ∆ED DC ⊥又四边形是正方形，所以ADEF AD DE ⊥又因为//AB DC 所以.DA AB ⊥在梯形中，过点作作于，ABCD B BH CD ⊥H故四边形是正方形，所以.ABHD 45ADB ∠=︒在中，，∴.BCH ∆1BH CH ==45BCH ∠=︒BC =∴，∴∴.45BDC ∠=︒90DBC ∠=︒BC BD ⊥∵，,.平面，平面.ED AD ⊥ED DC ⊥AD DC D = AD ⊂ABCD DC ⊂ABCD 所以平面,BD ⊥ABCD 又因为平面，所以BC ⊂ABCD ED BC⊥因为，平面，平面.BD ED D = BD ⊂EBD ED ⊂EBD ∴平面，平面，∴平面平面BC ⊥EBD BC ⊂EBC EBC ⊥EBD（2）以为原点，，，所在直线为轴建立空间直角坐标系(如图)则D DA DC DE ,,x y z .令，则，(0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(0,2,0)D E B C 00(0,,)M y z 00(0,,1)EM y z -(0,2,1)EC -因为，∴3EM EC =00(0,3,33)(0,2,1)y z a -=-∴.22(0,,)33M =因为平面，∴，取是平面的一个法向量.BC ⊥EBD (1,1,0)BC - (1,1,0)n -EBD设平面的法向量为.MBD (,,)m x y z =则，即即.00m DB m DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 022033x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩x y z =-=-令，得，1y =-(1,1,1)m =-∴()cos ,m n m n m n ⋅=== 20.解:（1）易知，，2a =c =24b <所以，，设，则()1F)2F (),P x y ，()12,PF PF x y ⋅=-- )222222222,44(1444b x b x y x y b x b b x b b --=++-=+-+-=-+-+因为，故当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值1，即[]2,2x ∈-2x =±P 12PF PF ⋅ ，解得221(1444b b b =-⨯+-+1b =故所求的椭圆方程为2214x y +=（2）设，，则，由得()11,A x y ()22,B x y 11(,)A x y '-22114x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，22(4)230k y ky +--=故，.12224k y y k +=+12234y y k -⋅=+经过点，的直线方和为11(,)A x y '-22(,)B x y 112121y y x x y y x x +-=+-令，则，0y =21211121211211121212()()x x x x y y y x x y x y x y x y y y y y y --+++=+==+++又因为，，∴当时，111x ky =-221x ky =-0y =，2221122112121212122262+(1)(1)2()4442244k k x y x y ky y ky y ky y y y k k x k k y y y y k k ---+--+++=====-++++这说明，直线与轴交于定点.A B 'x (4,0)-21.解:（Ⅰ）2211()a ax f x x x x-'=-+=当时，，解得1x =()0f x '=1a =经验证满足条件，1a =（Ⅱ）当时，1a =22(2)21(1)3221x t x t x t f x x x x x ++++++>=+++++整理得(2)ln(1)t x x x<++-令，()(2)ln(1)h x x x x =++-则，21()ln(1)1ln(1)011x h x x x x x +'=++-=++>++(1)x ≥所以，即min ()3ln 21h x =-3ln 21(0,2)t <-∈∴1t =（Ⅲ）[]3()(3)3ln (3)(3)g x g x a x x x x +-=----令,，构造函数(3)(0,2)t x x =-∈3()3ln F t a t t=--即方程在区间上只少有两个解3()3ln 0F t a t t=--=(0,2)又，所以方程在区间上有解(1)0F =3()3ln 0F t a t t =--=(0,1)(1,2)⋃2233()a at F t t t t-'=-=当时，，即函数在上是增函数，且，0a ≤()0F t '>()y F t =(0,2)(1)0F =所以此时方程在区间上无解(0,1)(1,2)⋃当时，，同上方程无解01a <≤()0F t '>当时，函数在上递增，在上递减，且13a <<()F t 3(0,a 3(,2)a 31a>要使方程在区间上有解，则，即()0F t =(0,1)(1,2)⋃(2)0F <33ln 202ln 4a a -<⇒>所以此时3(,3)ln 4a ∈当时，函数在上递增，在上递减，且，3a >()F t 3(0,)a 3(,2)a 31a <此时方程在内必有解，()0F t =3(0,)a当时，函数在上递增，在上递减，且3a =()F t (0,1)(1,2)(1)0F =所以方程在区间内无解()0F t =(0,1)(1,2)⋃综上，实数的范围是a 3(,3)(3,)ln 4⋃+∞22.解:（Ⅰ）2222()cos sin 122sin y x y αααα⎧=⎪⇒+=+=⎨=⎪⎩即曲线的普通方程为1C 221204x y +=∵，，222x y ρ=+cos x ρθ=sin y ρ=曲线的方程可化为2C 224240x y x y ++-+=即.222:(2)(1)1C x y ++-=（Ⅱ）曲线左焦点为直线的倾斜角为，1C (4,0)-l 4πα=sin cos αα==所以直线的参数方程为（参数）将其代入曲线整理可得l 4x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t 2C ，所以.设对应的参数分别为则所以240t-+=2(4420∆=--⨯=>,A B 12,t t ，.12t t +=124t t =所以12AB t t =-===23.解：（1）令，则，1,1()1223,121,2x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩1()1f x -≤≤由于使不等式成立，有.x R ∃∈12x x t ---≥{}1t T t t ∈=≤（2）由（1）知，，根据基本不等式33log log 1m n⋅≥，33log log 2m n +≥≥从而，当且仅当时取等号，23mn ≥3m n ==再根据基本不等式，当且仅当时取等号.6m n +≥≥3m n ==所以的最小值为18.m n。

成都市2018级高中毕业班摸底测试数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分。

第Ⅰ卷（选择题，第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，只将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．设集合{}02A x x =<<，{}1B x x =≥，则AB =（ ）A ．{}01x x <≤B ．{}01x x <<C ．{}12x x ≤<D ．{}02x x << 【命题意图】本题考查集合的运算，属于简单题. 【答案】C【解析】由题意知{}12A B x x =≤<，故选C 项.2．复数2i2iz =-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【命题意图】本题考查复数的运算和复平面的概念，属于简单题. 【答案】B【解析】由题意知()()()2i 2i 24i2i 2i 5z +-+==-+，所以在复平面内对应的点位于第二象限，故选B 项. 3．已知函数1,0()ln ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则1e f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．0B ．1C ．e 1-D ．2 【命题意图】本题考查分段函数的求值，属于简单题. 【答案】D【解析】由题意知11ln1e ef ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以()112e f f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D 项.4．为了加强全民爱眼意识，提高民族健康素质，1996年，卫生部，教育部，团中央等12个部委联合发出通知，将爱眼日活动列为国家节日之一，并确定每年的6月6日为“全国爱眼日”.某校高二（1）班有40名学生，学号为01到40，现采用随机数表法从该班抽取5名学生参加“全国爱眼日”宣传活动.已知随机数表中第6行至第7行的各数如下：16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 若从随机数表第6行第9列的数开始向右读，则抽取的第5名学生的学号是（ ）A ．17B ．23C ．35D ．37 【命题意图】本题考查简单随机抽样，属于简单题. 【答案】C【解析】根据随机数表从第6行第9列开始依次抽出号码分别是：39、49、54、43、54、共5个号码，由于49、54、43、54四个号码不在总体编号范围内，应排除在外.再补充四个号码：17、37、23、35，由此产生5个样本的学号为：39、17、37、23、35，所以第5名学生的学号为35，故选C 项.5．“k =2y kx =+与圆221x y +=相切”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【命题意图】本题考查充要条件和直线与圆的位置关系，属于简单题. 【答案】A【解析】当直线2y kx =+与圆221x y +=1=，所以k =所以“k =2y kx =+与圆221x y +=相切”的充分不必要条件，故选A 项.6．已知离心率为2的双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与椭圆22+184x y =有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．2213y x -= D ．2213x y -= 【命题意图】本题考查双曲线方程和双曲线与椭圆的性质，属于简单题.【答案】C【解析】由题意知22213b e a =-=，椭圆22+184x y =的焦点为()2,0±，所以224a b +=，所以21a =，23b =，所以双曲线的方程为2213y x -=，故选C 项.7．执行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为（ ）A ．1-B ．2 C ．0 D ．12-- 【命题意图】本题考查程序框图和数列求和，属于中档题.【答案】B【解析】由程序框图知10coscos cos cos4444S π2π3ππ=++++. 因为()()()()()81828388coscos cos cos4444k k k k k +π+π+π+π++++=∈Z ，所以10910coscos cos coscos cos cos cos 444444422S π2π3ππππππ=++++=+=+=，故选B 项. 8．设函数()f x 的导函数是()f x '.若()()2cos f x f x x '=π-，则6f π⎛⎫'=⎪⎝⎭（ ）A ．12-B ．12CD ．【命题意图】本题考查导数的计算，属于中档题.【答案】B【解析】由题意得()()2sin f x f x x ''=π+，所以()()2sin f f ''π=ππ+π，所以()0f 'π=，所以()sin f x x '=，所以162f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭，故选B 项.9．如图是某几何体的三视图.若三视图中的圆的半径均为2，则该几何体的表面积为（ ）A ．14πB ．16πC ．18πD ．20π【命题意图】本题考查简单几何体的三视图，属于中档题. 【答案】C【解析】由三视图知该几何体为球去掉后下左18球和前上右18球，所以该几何体的表面积为3316421844π⨯+π⨯⨯=π，故选C 项. 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l :()1y k x =+与曲线C ：1sin 2,sin cos x y θθθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）在第一象限恰有两个不同的交点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．()0,1B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,13⎫⎪⎪⎣⎭D ．132⎫⎪⎪⎣⎭【命题意图】本题考查参数方程和直线曲线交点问题，本题容易忽略x 或y 的取值范围，从而得错误答案B ，属于中档题.【答案】D【解析】由题意知直线l 过定点()1,0-，曲线C 的普通方程为()202y x x =≤≤，所以曲线C 在第一象限的解析式为)02y x =≤≤，所以y '=易求直线l 与曲线C 在第一象限相切时的方程为()112y x =+，切点为()1,1.当直线l 与曲线C 在第一象限恰有两个不同的交点时，由图象可得132k ≤<，故选D 项. 11．已知函数()ln xf x x=.若()ln 2a f =，()ln 3b f =-，()e c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b c a >> B ．b a c >> C ．a b c >> D ．a c b >>【命题意图】本题考查函数的性质和利用导数研究函数的单调性，此题容易忽略函数的定义域，属于中档题.【答案】A【解析】由题意知()f x 为偶函数，所以()ln 3b f =.当0x >时，()ln xf x x=，所以当01x <<时，()0f x <；当1x >时，()0f x >.易求()()2ln 1ln x f x x -'=，所以()f x 在()0,1上递减，在()1,e 上递减，在()e,+∞上递增.因为0ln 2l ln3e <<<<，所以()ln 20f <，()()ln 3e 0f f >>，所以b c a >>，故选A 项. 12．设,k b ∈R ，若关于x 的不等式()ln 1x x kx b -+≤+在()1,+∞上恒成立，则11b k --的最小值是（ ） A ．2e - B ．1e 1-+ C ．21e- D ．e 1-- 【命题意图】本题主要考查利用导数求函数的最值解决不等式恒成立问题，属于难题.【答案】D【解析】设()()()()ln 111f x x k x b x =---->，则()0f x ≤恒成立.若1k ≤时，则当x →+∞时，()f x →+∞，所以()0f x ≤不恒成立，所以1k >. 因为()()()11=111k k x f x k x x --'--=--，所以()f x 在1,1k k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上递增，在,1k k ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上递减， 所以()max 1ln 011k f x f k b k k ⎛⎫==--≤⎪--⎝⎭，所以()ln 1b k k ≥---，所以()ln 11111k k b k k -++-≥---. 设()ln 2x x g x x ++=，则()2ln 1x g x x +'=-，所以()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减，所以()max 1e 1e g x g ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.所以()ln 11e 11k k k -++≤+-，所以()ln 111e 111k k b k k -++-≥-≥----，所以11b k --的最小值为e 1--，故选D 项. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共5小题,每小题5分，共25分.请将答案填在题后横线上. 13．已知呈线性相关的变量x ，y 之间的关系如下表：由表中数据得到的回归直线方程为ˆˆ1.6yx a =+.则当8x =时，ˆy 的值为 . 【命题意图】本题考查线性回归方程，属于简单题.【答案】12.3【解析】根据表格中的数据可得 2.5x =， 3.5y =，所以回归方程过ˆˆ1.6y x a =+过点()2.5,3.5，所以ˆ0.5a=-，所以回归直线方程为ˆ 1.60.5y x =-，所以当8x =时，ˆ12.3y =. 14．函数()22e3xf x -=-+的图象在0x =处的切线方程为 .【命题意图】本题考查导数几何意义，属于简单题. 【答案】410x y -+=【解析】由题意知()01f =，()24e xf x -'=，所以()04f '=，所以()f x 在()()0,0f 处的切线方程为410x y -+=.15．已知甲，乙，丙三个人中，只有一个人会中国象棋.甲说：“我会”；乙说：“我不会”；丙说：“甲不会”.如果这三句话只有一句是真的，那么甲，乙，丙三个人中会中国象棋的是 . 【命题意图】本题考查逻辑推理问题，属于中档题. 【答案】乙【解析】若甲说的话为真的，则甲会中国象棋，则乙说的话也为真的，矛盾；若乙说的话为真的，则甲的话为假话，所以甲不会中国象棋，丙的话为假话，所以甲会会中国象棋，矛盾；故丙的话为真话，甲和乙的话为假话，所以会中国象棋是乙.16．已知点P 在椭圆2222+1(0)x y a b a b=>>上，1F 是椭圆的左焦点，线段1PF 的中点在圆2222x y a b+=-上.记直线1PF 的斜率为k ，若1k ≥，则椭圆离心率的最小值为 .【命题意图】本题考查椭圆的性质，借助平面几何与圆锥曲线的常用二级结论可以快速得处答案，属于难题.1【解析】设椭圆的右焦点为2F ，则12F F 为圆2222x y a b +=-的直径，所以线段1PF 的中垂线过2F ，所以122F F PF =.在焦三角形12PF F 中，设1212PF F F PF θ∠=∠=，由1k ≥得42θππ≤<.所以离心率()sin 11sin sin 212cos e θθθθ==≥=+π-+.三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.+ 17．（本小题满分12分）2019年12月，《生活垃圾分类标志》新标准发布并正式实施.为进一步普及生活垃圾分类知识，了解居民生活垃圾分类情况，某社区开展了一次关于垃圾分类的问卷调查活动，并对随机抽取的1000人的年齡进行了统计，得到如下的各年龄段频数分布表和各年龄段人数频率分布直方图：（Ⅰ）请补全各年龄段人数频率分布直方图，并求出各年龄段频数分布表中m ，n 的值；（Ⅱ）现从年龄在[)30,40段中采用分层抽样的方法选取5名代表参加垃圾分类知识交流活动.应社区要求，从被选中的这5名代表中任意选2名作交流发言，求选取的2名发言者中恰有1名年龄在[)35,40段中的概率.【命题意图】本题考查频率分布直方图和古典概型，属于中档题. 【答案】（Ⅰ）图略，200m =，100n =；（Ⅱ）35. 【详解】（Ⅰ）因为第三组的频率为()10.040.060.030.020.0150.2-++++⨯=， 所以第三组直方图的高为0.20.045=.补全频率分布直方图如下图：由频率分布直方图知0.21000200m =⨯=，0.025*******n =⨯⨯=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知年龄在[)30,35段中的人数与年龄在[)35,40段中的人数的比值为30032002=，所以采用分层抽样法抽取5名，年龄在[)30,35段中的有3名，年龄在[)35,40段中的有2名.不妨设年龄在[)30,35段中的3名为A 1，A 2，A 3，年龄在[)35,40段中的2名为B 1，B 2由于从5名代表中任选2名作交流发言的所有可能情况有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}共10种.其中选取的2名发言者中恰有1名年龄在[)35,40段情况有：{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}共6种. 故所求概率为63105P ==. 18．（本小题满分12分）已知函数()3221f x x ax bx a =+++-在1x =-处取得极值0，其中a ，b ∈R . （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）当[]1,1x ∈-时，求()f x 的最大值.【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的极值和求函数的最值，属于中档题. 【答案】（Ⅰ）1a =，1b =；（Ⅱ）4. 【详解】（Ⅰ）因为()234f x x ax b '=++，且函数()f x 在1x =-处有极值0，所以()()1010f f '-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，即3401210a b a b a -+=⎧⎨-+-+-=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩.又当1a =，1b =时，()()()2341131f x x x x x '=++=++.当(),1x ∈-∞-时，()0f x '>，此时()f x 单调递增；当11,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，此时()f x单调递减；当1,3x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，此时()f x 单调递增.故()f x 在1x =-处取得极大值. 综上，1a =，1b =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()322f x x x x =++，()()()131f x x x '=++，()f x 在11,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上递减，在1,13⎛⎤- ⎥⎝⎦上递增.又()10f -=，()14f =，所以当[]1,1x ∈-时，()f x 取得最大值4. 19．（本小题满分12分）如图①，在菱形ABCD 中，60A ∠=且2AB =，E 为AD 的中点.将ABE △沿BE 折起使AD =得到如图②所示的四棱锥A BCDE -.（Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面ABC ；（Ⅱ）若P 为AC 的中点，求二面角P BD C --的余弦值.【命题意图】本题主要考查垂直关系的证明和求二面角，属于中档题.【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）7. 【详解】（Ⅰ）证明：在图①中，连接BD .∵ 四边形ABCD 为菱形，60A ∠=，∴ ABD △是等边三角形. ∵ E 为AD 的中点，∴ BE ⊥AE ，BE ⊥DE . 又2AD AB ==，∴1AE DE ==.在图②中，AD =222AE ED AD +=.∴ AE ⊥ED .∴ BC ∥DE ，∴ BC ⊥BE ，BC ⊥AE .又BE AE E =，AE ，BE ⊂平面ABE ，∴ BC ⊥平面ABE . ∵ BC ⊂平面ABC ，∴ 平面ABE ⊥平面ABC . （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AE ⊥DE ，AE ⊥BE . ∵ BE DE E =，BE ，DE ⊂平面BCDE . ∴ AE ⊥平面BCDE .以E 为坐标原点，EB ，ED ，EA 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz .则()0,0,0E ，()0,0,1A，)B，)C，()0,1,0D .∵ P 为AC 的中点，∴1,1,22P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.∴ 311,22PB⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭，1,0,22PD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面PBD 的一个法向量为(),,x y z =m .由00PB PD⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，得10,2210.2x y z x z--=⎪⎨⎪-=⎪⎩令z =，得(=-m .又平面BCD 的一个法向量为()0,0,1EA =.设二面角P BD C --的大小为θ，由题意知该二面角为锐角，则cos 7EA EA θ⋅===m m. ∴ 二面角P BD C --的余弦值为7. 20．（本小题满分12分）在同平面直角坐标系xOy 中，圆224x y +=经过伸缩变换ϕ：12x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩后，得到曲线C .（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，连接BO 并延长与曲线C 相交于点D ，且2AD =.求ABD △面积的最大值.【命题意图】本题主要考查伸缩变换和直线与椭圆的位置关系，属于中档题.【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）2. 【详解】（Ⅰ）设圆224x y +=上任意一点(),M x y 经过伸缩ϕ：12x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩得到对应点(),M x y '''.将x x '=,2y y '=代入224x y +=，得()2224x y ''+=，化简得2214x y ''+=. 所以曲线C 的方程为2214x y +=. （Ⅱ）解法一：由题知当直线AD 的斜率不存在时，由2AD =，则A ，B 两点重合，不满足题意. 当直线AD 的斜率存在时，不妨设直线AD ：y kx m =+，()11,A x y ，()22,D x y . 因为点B ，D 关于原点对称，所以2ABD AOD S S =△△.由22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，化简得()222148440k x kmx m +++-=. 所以()2216410k m ∆=-+>，即22410k m -+>.……（*）所以122814kmx x k +=-+，21224414m x x k -=+.由2AD =，得122AD x =-==，22231441k m k +=⋅+. 设点O 到直线AD 的距高为d，则d =又 12||222ABD AOD S D d S A d =⨯⋅==△△，所以ABDS ==△(1)t t =≥，则 ()22114k t =-.所以2ABD t S t==≤+△，当且仅t =. 此时212k =，232m =且满足（*）式. 所以ABD △面积的最大值为2.解法二：由题知直线l 的斜率不为零，设l ：x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,D x y --.由22,14x n y x my ⎧⎪⎨+==+⎪⎩消去x ，化简得()2224240m y mny n +++-=. 所以()221640m n ∆=+->，即2214n m <+. 所以12224mny y m +=-+，212244n y y m -=+.所以()12122824nx x m y y n m +=++=+.由2AD =，得()()2212124x x y y +++=，所以()()2222222644444nm nmm+=++，化简得()2222416m n m +=+，所以22222412141616n m m m m +==-+++. 又20m ≥，所以221144n m ≤<+. 因为点B ，D 关于原点对称，所以2ABD AOB S S =△△. 又1212||||22ABD AOB S S y y n n ⨯==-=△△2===≤. 故当22142n m =+时，ABD △的面积最大，最大值为2. 21．（本小题满分12分）已知函数()e xf x x ax =+，a ∈R .（Ⅰ）设()f x 的导函数为()f x '，试讨论()f x '的零点个数；（Ⅱ）设()ln ln (1)ag x ax x a x a x =++-.当()1,x ∈+∞时，若()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围.【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的零点和处理含参不等式恒成立问题，属于难题. 【答案】（Ⅰ）见详解；（Ⅱ）(],e -∞. 【详解】（Ⅰ）解法一：因为()()1e xf x x a '=++，所以()f x '的零点个数等价于方程()1e xa x -=+的根的个数.设()(1)e xF x x =+，则考虑直线y a =-与曲线()y F x =的公共点个数. 因为()(2)e xF x x '=+，令()(2)e 0xF x x '=+=，解得2x =-.所以当(),2x ∈-∞-时，()0F x '<，此时()F x 在(),2-∞-上单调递减；当()2,x ∈-+∞时，()0F x '>，此时()F x 在()2,-+∞上单调递增. 所以()F x 的最小值为21(2)eF -=-. 又(1)0F -=，当1x <-时，()0F x <；当1x >-时，()0F x >. 当x →-∞时，()0F x →；当x →+∞时，()F x →+∞. 由其函数图象性质，可得：①当0a -≥或21e a -=-，即 0a ≤或21ea =时，直线y a =-与曲线()y F x =有 1 个公共点； ②当210e a -<-<，即210ea <<时，直线y a =-与曲线()y F x =有 2 个公共点；③当21e a -<-，即21ea >时，直线y a =-与曲线()y F x =无公共点.综上所述，当 0a ≤或21e a =时，()f x '有且只有 1 个零点；当210e a <<时，()f x '有2零点；当21ea >时，()f x '无零点. 解法二：因为()()1e xf x x a '=++，所以()()2e xf x x ''=+，所以当2x <-时，()0f x ''<；当2x >-时，()0f x ''>.所以()f x '在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单递递增，所以()()2min 12e f x f a ''=-=-. （1）当21e a >时，则()2min10e f x a '=->，所以()f x '无零点. （2）当21e a =时，则()2min 10e f x a '=-=，所以()f x '有且只有 1 个零点.（3）当21e a <时，则()2min 10ef x a '=-=.又当x →-∞时，()f x a '→；当x →+∞时，()f x '→+∞，所以若201ea <<时，则()f x '有2零点；若0a ≤时，则()f x '有且只有 1 个零点. 综上所述，当 0a ≤或21e a =时，()f x '有且只有 1 个零点；当210e a <<时，()f x '有2零点；当21e a >时，()f x '无零点. （Ⅱ）解法一：当()1,x ∈+∞时，若()()f x g x ≥成立，即e ln ln (1)x ax ax ax x a x a x +≥++-对()1,x ∈+∞恒成立，亦即()ln e ln eln xa xx x a x a x +≥+对()1,x ∈+∞恒成立.设函数()e xh x x x =+，所以()()ln h x h a x ≥对()1,x ∈+∞恒成立.又()()1e 1xh x x '=++，设()()()1e 1xx h x x ϕ'==++，则()(2)e xx x ϕ'=+.所以当(),2x ∈-∞-时，()0x ϕ'<，此时()h x '在(),2-∞-上单调递减；当()2,x ∈-+∞时，()0x ϕ'>，此时()h x '在()2,-+∞上单调递增. 所以()()21210eh x h ''≥-=->，()h x 在R 上单调递增. 又()()ln h x h a x ≥，所以ln x a x ≥在()1,+∞上恒成立. 方法一：因为1x >，所以ln xa x≤在()1,+∞上恒成立. 设()()1ln xt x x x=>，则()min a t x ≤ 因为()()2ln 1ln x t x x -'=，所以当1e x <<时，()0t x '<；当e x >时，()0t x '>.所以()t x 在()1,e 上单调递减，在()e,+∞上单调递增. 所以()()min e e t x t ==，所以e a ≤. 故a 的取值范围是(],e -∞.方法二：令()ln m x x a x =-，则()1a x a m x x x-'=-=. ①当1a ≤时，()0m x '>在()1,+∞上恒成立，所以()(1)10m x m >=>，此时满足已知条件. ②当1a >时，由()0m x '=，解得x a =.当()1,x a ∈时，()0m x '<，此吋()m x 在()1,a 上单调递减；当(),x a ∈+∞时，()0m x '>，此吋()m x 在(),a +∞上单调递增.所以()m x 的最小值()ln 0m a a a a =-≥，解得1e a <≤.综上，a 的取值范围是(],e -∞. 解法二：由题意知()()()()e 11ln 0x af xg x x a x x ≥⇔+-+≥. 设()()()()e 11ln 1x a x a x h x x x =+-+>，则()0h x ≥恒成立.（1）当0a ≤时，则当1x >时，()e 10x x +>，ln 0x >，10ax +>，所以()0h x >，此时满足已知条件.（2）当0a >时，因为()0h x ≥恒成立，所以()()()e e e e 1e 10a h a =+-+≥.设()()()()e e e 1e 10a a a a ϕ=+-+>，则()()e e 10a a a a ϕ'=-++<，所以()a ϕ在()0,+∞上单调递减. 又()e 0ϕ=，()()()e e e e 1e 10a h a =+-+≥，所以0e a <≤.将函数()h x 看成关于a 的函数()a ω，则()()ln 11ln 0a a a x x x ω'⎡⎤=-++<⎣⎦，所以()a ω在()0,+∞上单调递减.所以当0e a <≤时，()()()()e e 1e 1e ln x x x x a ωω+-+≥=，所以()()()e e 1e 1ln x h x x x x +-+≥. 设()ln e x s x x =-，则()11ee e x s x x x-'=-=，所以当0e x <<时，()0s x '<；当e x >时，()0s x '>. 所以()s x 在()0,e 上单调递减，在()e,+∞上单调递增，所以()()min e 0s x s ==. 所以ln exx ≥，当e x =时等号成立. 所以()()()()()e ee e 1e 1ln e 1e 1e ex x x x x x x x xx x +-+≥+=⋅--+，当e x =时等号成立. 设()()e 1e x x r x x =>，则()()e 1e 1e e e e e x xx xx x r x ----'==，所以当1e x <<时，()0r x '>；当e x >时，()0r x '<.所以()r x 在()1,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，所以()()max e 1r x r ==.所以ee x x ≥，当e x =时等号成立.所以()()()e e e 1e 1ln e 0x x x x x x x -++≥≥-，当e x =时等号成立.所以()()()e e 1e 1ln 0x h x x x x -+≥+≥，所以当0e a <≤时，()0h x ≥恒成立. 综上，a 的取值范围是(],e -∞.22．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1,22x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=.（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）已知点()1,0P .若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求2211PAPB+的值.【命题意图】本题主要考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程互化和直线标准参数方程t 的几何意义，属于中档题.【答案】（Ⅰ）10x y --=，()2239x y -+=；（Ⅱ）1825. 【详解】（Ⅰ）由直线l 的参数方程，消去参数t ，得直线l 的普通方程为10x y --=. 由22x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=得曲线C 的直角坐标方程为()2239x y -+=.（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，并整理得250t --=.……（*）设点A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ，则1t ，2t 是方程（*）的两个实数根，则有12t t +=125t t =-.所以()()(()()2212122222221212252111118255t t t t t t t t PA PB -⨯-+-+=+===-.。

成都市2018届高中毕业班摸底测试数学试题2018年9月2日第I 卷（选择题共70分）一．选择题1．两条异面直线a 、b ，如果a ∥平面α，那么必有（A ）b ∥α（B ）b 与α相交（C ）α⊂b （D ）（A ）（B ）（C ）均有可能2．2)1(-x 按x 的降幂排列的展开式中，系数最大的项是（A ）第4项和第5项（B ）第5项（C ）第5项和第6项（D ）第6项3．已知集合{}{}R y y y R x x x M ∈≠∈≠=,2|,1| ，集合1|{<=x x P 或21<<x 或},2R x x ∈>，则M 和P 之间的关系是（A ）P M ≠⊂（B ）P M ≠⊃（C ）P M =（D ）∅=P M4．函数)42sin(π+=x y 图象的一条对称轴是直线 （A ）43π=x （B ）43π-=x （C ）83π=x （D ）83π-=x 5．a 、b 是两个非零向量，下列命题正确的是（A ）||||b a b a ⋅-=⋅（B ）||||b a b a ⋅=⋅（C ）b c a c b a ⋅⋅=⋅⋅)()(（D ）0=⋅⇔⊥b a b a6．如果p 是q 的充分不必要条件，r 是q 的必要不充分条件，那么（A ）r P ⌝⇒⌝（B ）r P ⌝⇐⌝（C ）r P ⌝⇔⌝（D ）r p ⇔7．5个男生2个女生排成一排。

若女生不能排在两端，且又必须相邻，则不同的排法种数有（A ）480（B ）960（C ）720（D ）14408．动圆01442)24(222=+++-+-+m m my x m y x 的圆心的轨迹方程是（A ）012=+-y x （B ）012=+-y x （C ）012=--y x （D ）012=-+y x9．已知函数11)(-+=x x x f ，)()(1x f x g -=-，那么)(x g （A ）在),(+∞-∞上是增函数（B ）在),(+∞-∞上是减函数（C ）在)1,(--∞上是减函数（D ）在)1,(--∞上是增函数函数10．已知数列{}252+-n ，当它的前n 项和最大时，n 的值为（A ）10（B ）11（C ）12（D ）1311．过点)2,1(P 引一条直线，使它与)3,2(A 和)5,4(-B 的距离相等，那么这条直线的方程是（A ）064=-+y x （B ）064=-+y x（C ）0723=-+y x 或064=-+y x （D ）0732=-+y x 或064=-+y x12．打靶时，甲每打10次可以中靶8次，乙每打10次可以中靶7次，若两人同时射击一次个目标，则它们都中靶的概率是（A ）2514（B ）2512（C ）43（D ）53 13．已知函数)(x f y =满足)4()(x f x f -=（R x ∈），且)(x f 在2>x 时为增函数，记)53(f a =，)56(f b =，)4(f c =，则a ，b ，c 之间的大小关系是 （A ）b a c >>（B ）a b c >>（C ）c a b >>（D ）b c a >>14．函数x x x x f cos sin cos )(2+=的最大值是（A ）2（B ）23（C ）212+（D ）2221+ 第II 卷（非选择题，共80分）二．填空题15．如图，正方形1111D C B A ABCD -中，直线1BC 与对角面D D BB 11所的角为 。

成都市2018届高中毕业班摸底测试数学（理工农医类）一、选择题（1）设集合M ＝｛x|x ＜2｝，集合N ＝｛x|0＜x ＜1｝，则下列关系中正确的是（ ）()(){|01}()()A M N R B M N x x C N M D M N φ==<<∈=（2）在等比数列{}n a 中，若254,32a a ==，则公比应为（ ）A 、2B 、2±C 、－2D 、12±（3）若函数f(x)的定义域是［0,4］，则函数(2)()f x g x x=的定义域是（ ）A 、［0,2］B 、（0,2）C 、（0,2］D 、[0,2）（4）如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，若E 是AD 的中点，则异面直线11E A B C 与所成角的大小是（ ）()4B ππ(A)6（5）已知函数sin y =示，要得到函数y =的图象（ ）A 、向右平移12πB 、向左平移12πC 、向右平移6πD 、向左平移6π(6)已知条件甲：函数()(0,1)xf x a a a =>≠在其定义域内是减函数，条件乙：1log 02a>，则条件甲是条件乙的（ ）A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充要条件D 、既不充分又不必要条件（7）已知圆的方程为22680,x y x y +--=设圆中过点（2,5）的最长弦与最短弦分别为AB 、CD ，则直线AB 与CD 的斜率之和为（ ）A 、－1B 、0C 、1D 、－2（8）已知两条不同的直线m 、n ，两个不同的平面,αβ，则下列命题中的真命题是（ ） A 、,,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥⊥若则 B 、,//,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥若则 C 、//,//,//,//m n m n αβαβ若则 D 、//,,,//m n m n αβαβ⊥⊥若则（9）设x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝1） A 、1 BCD（10）9名志愿者中，A 1，A 2，A 3为教师，B 1，B 2，B 3，B 4为医生，C 1，C 2为学生，为组建一个服务小组，需从这9名志愿者中 选出教师1名，医生2名，学生1名，则A 1被选中且B 1，B 2最多有1名被选中的概率为（ ） A 、518 B 、13 C 、718 D 、29（11）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是F 1，F 2，过点F 2的直线交双曲线右支于不同的两点M 、N 。

⾼三数学-2018【数学】四川省成都市2018届⾼三班摸底成都市2018届⾼中毕业班摸底测试数学（理⼯农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两个部分，满分150分，完成时间为120分钟第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、准考证号、考试科⽬涂写在答题卡上. 2．每⼩题选出答案后，⽤铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊．如需改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其他答案标号．不能答在试卷上．3.本试卷共1 2⼩题，每⼩题5分，共60分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表⾯积公式 P (A ＋B ) ＝P (A )＋P (B ) 24S R π= 如果事件A 、B 相互独⽴，那么其中R 表⽰球的半径 P (A ·B )＝P (A )·P (B ) 球的体积公式如果事件A 在⼀次试验中发⽣的概率是p ，那么 243V R π=在n 次独⽴重复试验中事件A 恰好发⽣k 次的概率其中R 表⽰球的半径n ()(1)(0,1,2,...)k kn k n P k C p p k n -=-=⼀、选择题：1．某学校共有教师200名，其中⽼年教师25名，中年教师75名，青年教师100名，若采⽤分层是抽样的⽅法从这200名教师中抽取40名教师进⾏座谈，则在青年教师中英抽取的⼈数为 (A )15⼈ (B )20⼈ (C )25⼈ (D )30⼈2. 不等式211x x --<0的解集是 (A ){x |x ＞12} (B ){x |x ＜12}(C ) {x |12＜x ＜1} (D ){x |x ＞1或x ＜12} 3．已知直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝4相切，则实数m 的值为(A )42 (B )±42 (C ) 22(D )±224.函数y ＝ln |x |＋1的图象⼤致为(A ) (B ) (C ) (D )5. 若sin α＋cos α＝25，则sin 2α＝ (A )425(B )－425(C )2125(D )－21256.已知命题p ：若x ＝y ，则x y =，那么下列叙述正确的是(A )命题p 正确，其逆命题也正确 (B )命题p 正确，其逆命题不正确 (C )命题p 不正确，其逆命题正确 (D )命题p 不正确，其逆命题也不正确7. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，若2(S n ＋1)＝3a n ，则2514a a a a ++＝(A )9 (B )3 (C )32(D )238.安排6名演员的演出顺序时，要求演员甲不第⼀个出场，也不最后⼀个出场，则不同的安排⽅法种数是 (A )120 (B )240 (C )480 (D )7209.△ABC 中内⾓A 、B 、C 满⾜2cosAcosC ＋cosB ＝0，则此三⾓形的形状是 (A )等腰三⾓形 (B )钝⾓三⾓形 (C )直⾓三⾓形(D )锐⾓三⾓形 10.如图，正⽅体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为4，点P 、Q 在棱CC 1上，PQ ＝1，则三棱锥P －QBD 的体积是 (A )83(B )43(C )8 (D )与P 点位置有关11. 定义在R 上的偶函数f (x －2)，当x ＞－2时，f (x )＝e x ＋1－2(e 为⾃然对数的底数)，若存在k ∈Z ，使⽅程f (x )＝0的实数根x 0∈(k －1，k )，则k 的取值集合是(A ){0} (B ){－3}x y 0 1xy 0 11 xy0 1(C ){－4，0} (D ){－3，0}12.已知F 1、F 2分别为椭圆2222x y a b+＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点，经过椭圆上第⼆象限内任意⼀点P 的切线为l ，过原点O 作OM ∥l 交F 2P 于点M ，则|MP |与a 、b 的关系是(A )|MP |＝a (B )|MP |＞a (C )|MP |＝b (D )|MP |＜b第Ⅱ卷注意事项：1．⽤钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中. 2．答卷前将密封线内的项⽬填写清楚. 3．本卷共10⼩题，满分90分.⼆、填空题.本⼤题共4⼩题，每⼩题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13、(2＋x )3的展开式的第三项的系数是________________.14、在半径为2，球⼼为O 的球⾯上有两点A 、B ，若∠AOB ＝34π，则A 、B 两点间的球⾯距离为________.15、已知实数x 、y 满⾜4353151x y x y x -≤??+≤??≥?，则2x ＋y 的最⼤值为__________________.16、已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋Ey ＋F ＝0(E 、F ∈R )，有以下命题：①E ＝－4，F ＝4是曲线C 表⽰圆的充分⾮必要条件；②若曲线C 与x 轴交于两个不同点A (x 1，0)，B (x 2，0)，且x 1、x 2∈[－2，1)，则0≤F ≤1；③若曲线C 与x 轴交于两个不同点A (x 1，0)，B (x 2，0)，且x 1、x 2∈[－2，1)，O 为坐标原点，则|OA OB -|的最⼤值为2；④若E ＝2F ，则曲线C 表⽰圆，且该圆⾯积的最⼤值为32π. 其中所有正确命题的序号是_______________________.三、解答题：本⼤题共6个⼩题，共74分，解答应写出⽂字说明、证明过程或推演步骤.(本⼩题满分12分)17、某公司购买了⼀博览会门票10张，其中甲类票4张，⼄类票6张，现从这10张票中任取3张奖励⼀名员⼯.(1)求该员⼯得到甲类票2张，⼄类票1张的概率； (2)求该员⼯得到甲类票张数多于⼄类票张数的概率， 18、(本⼩题满分12分)已知向量m ＝(sin 2x ，cos 2x )，n ＝(cos 4π，sin 4π)，函数f (x )＝2m n ＋2a (其中a 为实常数)(1)求函数f (x )的最⼩正周期； (2)若x ∈[0，]时，函数f (x )的最⼩值为－2，求a 的值.19、(本⼩题满分12分)如图，在四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，垂⾜为O ，PO ⊥平⾯ABCD ，AO ＝BO ＝DO ＝1，CO ＝PO ＝2，E 是线段P A 上的点，AE ∶AP ＝1∶3. (1)求证：OE ∥平⾯PBC ； (2)求⼆⾯⾓D －PB －C 的⼤⼩. 20、(本⼩题满分12分)已知等差数列{a n 2}中，⾸项a 12＝1，公差d ＝1，a n ＞0，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝11n na a ++，数列{b n }的前n 项和为T n ；①求T 120；②求证：当n ＞3时，2222n n T >+21、(本⼩题满分12分)设直线l (斜率存在)交抛物线y 2＝2px (p ＞0，且p 是常数)于两个不同点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，O 为坐标原点，且满⾜OA OB ＝x 1x 2＋2(y 1＋y 2). (1)求证：直线l 过定点；(2)设(1)中的定点为P ，若点M 在射线P A 上，满⾜111||||||PM PA PB =+，求点M 的轨迹⽅程.22、(本⼩题满分14分)对函数Φ(x )，定义f k (x )＝Φ(x －mk )＋nk (其中x ∈(mk ，m ＋mk ]，k ∈Z ，m ＞0，n ＞0，且m 、n 为常数)为Φ(x )的第k 阶阶梯函数，m 叫做阶宽，n 叫做阶⾼，已知阶宽为2，阶⾼为3.(1)当Φ(x )＝2x 时①求f 0(x )和f k (x )的解析式；②求证：Φ(x )的各阶阶梯函数图象的最⾼点共线； (2)若Φ(x )＝x 2，则是否存在正整数k ，使得不等式f k (x )＜(1－3k )x ＋4k 2＋3k －1有解？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.。

成都市２０１６级高中毕业班摸底测试 数学(理科)参考答案及评分意见第Ⅰ卷 (选择题,共６０分)一、选择题:(每小题５分,共６０分)１．B ; ２．A ; ３．D ;４．A ;５．C ;６．B ; ７．A ;８．B ;９．C ;１０．C ;１１．D ;１２．A ．第Ⅱ卷 (非选择题,共９０分)二、填空题:(每小题５分,共２０分) １３．x ２＝－８y ; １４．３; １５．１; １６．１．三．解答题:(共７０分)２ ８６１７．解:(Ⅰ)f ′(x )＝３a x ２＋x －２．１分 ∵f ′(－１)＝０,∴３a －１－２＝０．解得a ＝１． ３分 ∴f (x )＝x ３ ＋ １x ２ －２x ,f ′ (x )＝３x ２＋x －２．∴f (１)＝－ １ ２ １ ＝２．４２,f ′ () 分∴ 曲线y ＝f (x )在点(１,f (１))处的切线方程为４x －２y－５＝０． ６分(Ⅱ)由(Ⅰ),当f ′(x )＝０ 时,解得x ＝－１或x ＝ ２．当x 变化时,f (x ),f ′(x )的变化情况如下表: ３２ ２２８分 ∴f (x )的极小值为f (３)＝－２７．９分 又f (－１)＝ ３,f (１)＝－ １, １１分 ( ) ２ ３ ２ ２ ２２∴f x m a x ＝f (－１)＝ ２,f (x )m i n ＝f (３)＝－２７． １２分 １８．解:(Ⅰ)∵ 各组数据的频率之和为１,即所有小矩形面积和为１, ∴(a ＋a ＋６a ＋８a ＋３a ＋a )×２０＝１．解得a ＝０．００２５． ３分∴ 诵读诗词的时间的平均数为( ) １０×０．０５＋３０×０．０５＋５０×０．３＋７０×０．４＋９０×０．１５＋１１０×０．０５＝６４ 分钟 ． (Ⅱ), [０,２０),[８０,１００),[１００,１２０] ６分 由频率分布直方图 知 １∶３∶１．内学生人数的频率之比为又B C ⊥ A C M C A C ,⊥→ → ４由{m B M ＝０,得{－y １ ＋ ３z １ ＝０．取z １ ＝１,∴m ＝ (３,３,１)． ８分故５人中[０,２０),[８０,１００),[１００,１２０]内学生人数分别为１,３,１． ８分设[０,２０),[８０,１００),[１００,１２０]内的５人依次为A ,B ,C ,D ,E ．则抽取２人的所有基本事件有 A B ,A C ,A D ,A E ,B C ,B D ,B E ,C D ,C E ,D E 共１０种情况． １０分符合两同学能组成一个“T e a m ”的情况有A B ,A C ,A D ,A E 共４种． 故选取的两人能组成一个“T e a m ”的概率为P ＝ ４ ＝ ２． １２分１０ ５１９．解:(Ⅰ)在 △MA C 中,∵A C ＝１,C M ＝ ３,AM ＝２,∴A C ２ ＋C M ２ ＝AM ２． ∴ 由勾股定理的逆定理,得 M C ⊥ A C ． １分又A C ⊥ B M ,B M ∩ C M ＝M ,∴A C ⊥ 平面B C M ． ３分 ∵B C ⊂ 平面B C M ,∴B C ,⊥ A C ． , ,∵ 平面A B C ⊥ 平面A C D 且平面A B C ∩ 平面A C D ＝A C B C ⊂ 平面A B C ∴B C ⊥平面A C D ． ５分 (Ⅱ)∵B C ⊥,平面A C D ,∴B C ⊥ C M ．故以点C 为坐标原点,C A ,C B ,C M 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系C x yz ． ６分 ∴A (１,０,０),B (０,１,０),M (０,０,３), D (－１,０,２ ３),E (－１,,２ ３)． ∴ B M ＝ (０,－ １, ３), (－１,０, ３), B E → ＝ (－１,０,２ ３)．( , , )设平面D B →M 的法向量为m ＝ x １ y １ z １ ．m MD →＝０－x １ ＋ ３z １ ＝０ 设平面E B M 的法向量为n ＝ (x ２,y ２,z ２)． 由{n B M → ＝０,得{－y ２ ＋ ３z ２ ＝０．取z ２ ＝１,∴n ＝ (２ ３,３,１)． １０分n B E → ＝０ －x ２ ＋２ ３z ２ ＝０ ∴c o s ＜ m ,n ＞＝ m n ＝ ３ ×２ ３ ＋ ３ × ３ ＋１＝５ ７．m n７ ×４１４ ∵ 二面角D －B M －E 为锐二面角,故其余弦值为 ７．１２分 ２０．解:(Ⅰ)∵椭圆Γ 的上顶点为B (０,１),∴b ＝１．１分设F (c ,０)．∵ C F ＝ １ B F ,∴C F → ＝－ １ B F →．∴ 点C (８c ,－ １)． ２分 将点C 的坐标代入x ２ ７y ２ ＝１中,得６４c ２７ １７ ７１．∴c ２．３分 ２ ＋ ２２ ＋４９＝２＝ ３a２ ２ ２ ２４９a a４又由a ＝b ＋c ,得a ＝４． ４分 ∴ 椭圆Γ 的方程为x ２＋y ２ ＝１．５分１x m ＝ ＋y {１６ (Ⅱ)由题意,知直线 MN 的斜率不为０．故设直线 MN 的方程为x ＝m y＋１． １ 联立 x ２ ＋y ２＝１,消去x ,得(m ２ ＋４)y ２＋２m y －３＝０ ． Δ ＝４m ２ ＋４８＞０． ６分S ΔA P Q ４ ＜０ ０e e ５⎨ ⎩⎩ １－a２ ⎨ ⎪设 M (x １,y １),N (x ２,y ２)． －２m －３由根与系数的关系,得y １ ＋y ２ ＝m ２ ＋４,y １y ２ ＝m ２＋４． ７分 ∴S ΔA MN ＝ １ ×１× y １ －y ２ ＝ １y １ －y ２ ．８分２ y １ ２y ２直线AM 的方程为y ＝x １ －２(x －２),直线A N 的方程为y ＝x ２ －２(x －２)．令x ＝３ ,得y P ＝ y １ ．同理y Q ＝ y ２． ∴S ΔA P Q x ２ －２ y １ － y ２ ＝ y １ － y ２y x １ －２ x ２ －２ m y １ －１ m y ２ －１ ＝ １１ y １ －y ２ ． １０分 S ２ ２ (m y １ －１)(m y ２ －１) 故 ΔA MN ＝ (m y １ －１)(m y ２ －１)＝ m ２y １y ２ －m (y １ ＋y ２)＋１ ＝ －３m ２＋２m ２ ＋１ ＝ －３m ２ ＋２m ２ ＋m ２ ＋４ ＝ ４ ＝ １．∴m ２ m ２＋ ＝４,m ＝±２． m ２ ＋４ 或 m ２ ＋４ ２ 分 ∴ 直线l 的方程为x ＋２y －１＝０ x －２y －１＝０． １２ ２１．解:(Ⅰ)f ′(x )＝a l n x ＋a －１．１分 ′１－a １－a ∵a ≠０,∴ 由f (x )＝０,得l n x ＝a ,即x ＝e a ． ３分 ① 若a ＞０,当x 变化时,f (x ),f ′ (x )的变化情况如下表:② 若a综上,当a ＞０时,f (x )在(０,e a )上单调递减,在[e a ,＋ ∞)上单调递增; １ ４分当a 时,f (x)在( , a )上单调递增,在[ a ,＋ ∞)上单调递减． 分 (Ⅱ)∵当a ＞０时,函数f (x )恰有两个零点x １,x ２(０＜x １ ＜x ２), ⎪⎧ x １ － １⎧⎪a x １l n x １ －x １ ＋ １ ＝０ ⎪a l n x １ ＝ ２⎪ １ ,即⎪ x １ １ ． ⎪a x ２l n x ２ －x ２ ＋ ２ ＝０ ⎪ x ２ － ２⎪a l n x ２ ＝ x ２xx １ － １ x ２ － １ x －x 两式相减,得a l n １ ＝ ２ － ２ ＝１ ２ ． －a 则x２x１x２２x１x２x ２ x ２３g ′ (t )＝ ２ － ( ５６ )＝９８t ２ －２８t ＋２＝２(７t －１)２． １０分∵０＜x １ ＜x ２,∴０＜ x １ ＜１,∴l n x １＜０,∴a x １x ２ x １ －x ２ ． ７分x ２ x ２＝２l n x １∴ 要证７x １ ＋x ２ ＞７a x １x ２,即证７x １ ＋x ２ ＞７(x １ －x ２),即证２l n x １ ＜７(x １ －x ２),x７(x １－１)２l n x １x ２ ７x １ ＋x ２即证２l n １＜ x ２ ．x ２ ７ x １ ＋１×x ２令x １ ＝t (０＜t ＜１),则即证２l n t ＜ ７(t －１)． ９分x ２７(t －１) ７t ＋１ 设g (t )＝２l n t － ７t ＋１,即证g (t )＜０在t ∈ (０,１)恒成立． t ７t ＋１ ２ t (７t ＋１)２ t (７t ＋１)２ ∴g ′ (t )≥０在t ∈ (０,１)恒成立．∴g (t )在t ∈ (０,１)单调递增． ∵g (x )在t ∈ (０,１]是连续函数, ∴ 当t ∈ (０,１)时,g (t )＜g (１)＝０． ∴ 当a ＞０时,有７x １ ＋x ２ ＞７a x １x ２． １２分 ２２．解:(Ⅰ)由直线l 的参数方程消去参数t ,得x －１－１)． 化简,得直线l 的普通方程为 ３x －y ＋ －＝２分２２１ ２３ ０．又将曲线C 的极坐标方程化为ρ ∴(x ２ ＋y ２)＋２x ２＝３, ∴ 曲线C的直角坐标方程为x ２＋２ρ co s θ ＝３, y ２ ＝１． ４分＋３ (Ⅱ)将直线l的参数方程代入x ２ y ２＝１中,得(１＋ １t )２ ＋ １(１＋ ３t )２＝１．＋３化简,得t ２＋２(１＋＋ ２ ＝０．２ ３ ２３３此时Δ ＝ ８ ＋．６分 此方程的两根为直线l 与曲线C 的交点A ,B 对应的参数t １,t ２．由根与系数的关系,得t １ ＋t ２ ＝－ (２＋,t １t ２ ＝ ２．８分∴由直线参数的几何意义,知 ３３AM ＋ B M ＝ t １ ＋ t ２ ＝－t １ －t ２ ＝２＋ １０分。

成都市2018级高中毕业班第一次诊断性检测数学(理科)本试卷分选择题和非选择题两部分。

第I 卷(选择题)1至2页,第II 卷(非选择题)3至4 页,共4页,满分150分,考试时间120分钟。

注意事项:1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。

当2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时,必须使用0. 5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。

5.考试结束后,只将答题卡交回。

第I 卷 (选择题，共60分)一、 选择题:本大题共12小题, 每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={}2340,x x x --< B={}13,x x x N -<∈，，则AB=(A) {}1,2,3 (B) {}0,1,2,3 (C) {}14x x -<< (D) {}24x x -<<2.复数12(iz i i+=为虚数单位),则z 的共轭复数是 (A) 2i -- (B) 2i -+ (C) 2i - (D) 2i +3.若等比数列{}n a 满足23242,6a a a a +=-=,则6a =(A) 32- (B) 8 (C) 8 (D) 64 4.甲乙两台机床同时生产-种零件,10天中,两台机床每天出的次品数分别是:1x 、2x 分别表示甲乙两组数据的平均数，S 1、S 2分别表示甲乙两组数据的方差,则下列选项正确的是(A)1212,x x S S => (B) 1212,x x S S >> (C) 1212,x x S S <> (D) 1212,x x S S >< 5.若函数32()3f x x x a =-+有且仅有一个零点,则实数a 的取值范围为 (A) (,0)(4,)-∞+∞ (B) (,8)(0,)-∞-+∞(C) [0,4] (D) (8,0)-6.若向量,a b 满足2,(2)6a a b b =+=,则b 在a 方向上的投影为 (A) 1 (B)12 (C) 12- (D) 1-7.设120202020ln ,20212021a b c === ,则a 、b 、c 的大小关系是(A)a >b .>c (B) a >c > b (C)c >a >b (D)c >b >a 8.若α、β、γ是空间中三个不同的平面，=,,l m n αβαγγβ==,则l m 是n m的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件9.已知平行于x 轴的一条直线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>相交于P 、Q 两点，4,(3PQ a PQO O π=∠=为坐标原点) ，则该双曲线的离心率为(A)(B) (C) (D)10.已知锐角ϕcos 1ϕϕ-=.若要得到函数21()sin ()2f x x ϕ=-+的图象,则可 以将函数1sin 22y x =的图象 (A)向左平移712π个单位长度 (B)向左平移12π个单位长度，(C)向右平移712π个单位长度 (D)向右平移12π个单位长度11.已知抛物线24x y =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线相交于A ， B 两点，P(0, 7)2- 若PB ⊥AB ，则AF = (A)32 (B)2. (C) 52(D) 3 12.已知函数()ln ,()ln f x x x g x x x =+= .若12()ln ,()f x t g x t ==，则122()ln x x x t -的最小值为 (A)21e (B) 2e (C) 12e- (D) 1e - 第II 卷(非选择题,共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上.13.71)x的展开式中1x -的系数是______________（用数字做答案）14.若x 、y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,则23z x y =-的最小值为_________。