2021届全品高考复习方案：第57讲 二项式定理

河北省二十冶综合学校高中分校高考数学总复习 二项式定理教案教学目标：掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，能解决二项展开式有关的简单问题教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用教学过程：一、复习引入：⑴22202122222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++；⑵33223031222333333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++ ⑶4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++= 。

二、讲解新课：⑴()na b +的展开式的各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项： n a ，n a b ，…，n r r a b -，…，n b ，⑵展开式各项的系数：每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，n a 的系数是0n C ；恰有1个取b 的情况有1n C 种，n a b 的系数是1n C ，……，恰有r 个取b 的情况有r n C 种，n r r ab -的系数是r n C ，……， 有n 都取b 的情况有n n C 种，nb 的系数是n n C ，∴二项式定理： 。

这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()n a b +的 ，⑶它有 项，各项的系数(0,1,)r n C r n =叫 ，⑷ 叫二项展开式的通项，用 表示，即通项 ．⑸二项式定理中，设1,a b x ==，则 。

三、讲解范例：例1．展开41(1)x +． 例2．求12()x a +的展开式中的倒数第4项例3．（1）求9(3x+的展开式常数项；展示一，展开6展示二．课本37页4题（1）（2）展示三，课本37页4题（3）（4）展示四．（1）求7(12)x +的展开式的第4项的系数； （2）求91()x x -的展开式中3x 的系数及二项式系数 展示五，课本37页5题（1）展示六，课本37页5题（2）。

专题56 二项式定理基础知识要夯实1.二项式定理(1)二项式定理：(a ＋b )n ＝0n C a n ＋1n C a n －1b ＋…＋k n C a n －k b k ＋…＋nn C b n (n ∈N *)❶；(2)通项公式：T k ＋1＝kn C a n －k b k ，它表示第k ＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为0n C ，1n C ，…，n n C ❷.2.二项式系数的性质(1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指0n C ，1n C ，…，nn C ，它只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，b 的值有关.如(a ＋bx )n 的二项展开式中，第k ＋1项的二项式系数是k n C ，而该项的系数是kn C a n －k b k .当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.基本技能要落实一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)C r n an －r b r是(a ＋b )n 的展开式中的第r 项.( ) (2)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关.( ) (3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( )(4)(a ＋b )n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、选填题1.二项式(x －2)5展开式中x 的系数为( ) A.5 B.16 C.80D.－80解析：选C 由二项式定理知，其展开式中含x 的项为T 5＝45C x (－2)4，故其系数为45C (－2)4＝80.2.x⎛ ⎝6的展开式中的常数项为( ) A.－150 B.150 C.－240D.240解析：选D x⎛ ⎝6的二项展开式的通项公式为T k ＋1＝6k C x 6－k ·⎛ ⎝k ＝6k C x 6－k ·(－2)k·x －2k ＝(－2)k 6k C x 6－32k .令6－32k ＝0，解得k ＝4，故所求的常数项为T 5＝(－2)4·16C ＝240.3.二项式2x ⎫-⎪⎪⎝⎭10的系数是( ) A.152B.－152C.15D.－15解析：选B 22x ⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭10的二项展开式的通项公式为T r ＋1＝10rC 2⎛ ⎝⎭10－r ·2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭r＝(－1)r 22r－1035210rC x-，令5－32r ＝12，得r ＝3的系数是(－1)3·2－4·310C ＝－152. 4.若3x⎛ ⎝n的展开式的所有二项式系数之和为128，则n ＝________. 解析：由题意，可知2n ＝128，解得n ＝7. 答案：75.若(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝________. 解析：(1＋3x )n 的展开式中含x 5的项为5n C (3x )5＝5n C 35x 5，展开式中含x 6的项为6n C 36x 6. 由两项的系数相等得5n C ·35＝6n C ·36，解得n ＝7. 答案：7典型例题剖析考点一 二项展开式中特定项或系数问题[全析考法过关][考法全析]考法(一) 求解形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例1] (1)(2018·全国卷Ⅲ)22x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭5的展开式中x 4的系数为( ) A.10 B.20 C.40D.80(2)(2019·合肥调研)若(2x －a )5的二项展开式中x 3的系数为720，则a ＝________. (3)(2019·甘肃检测)已知x⎛ ⎝5的展开式中x 5的系数为A ，x 2的系数为B ，若A ＋B ＝11，则a ＝________.[解析] (1) 22x x ⎛⎫+⎪⎝⎭5的展开式的通项公式为T r ＋1＝25C ·(x 2)5－r ·2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭r ＝25C ·2r ·x 10－3r ，令10－3r ＝4，得r ＝2.故展开式中x 4的系数为25C ·22＝40.(2)(2x －a )5的展开式的通项公式为T r ＋1＝(－1)r ·5r C ·(2x )5－r ·a r ＝(－1)r ·5rC ·25－r ·a r ·x 5－r ，令5－r＝3，解得r ＝2，由(－1)2·25C ·25－2·a 2＝720，解得a ＝±3.(3) 22xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭5的展开式的通项公式为T r ＋1＝5r C x 5－r ·r⎛ ⎝＝5r C (－a )rx 5－32r .由5－32r ＝5，得r ＝0，由5－32r ＝2，得r ＝2，所以A ＝05C ×(－a )0＝1，B ＝25C ×(－a )2＝10a 2，则由1＋10a 2＝11，解得a ＝±1.[答案] (1)C (2)±3 (3)±1 [解题技法]求形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤 第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r ＋1＝rn C a n －r b r ，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r ；第三步，把r 代入通项公式中，即可求出T r ＋1，有时还需要先求n ，再求r ，才能求出T r ＋1或者其他量.考法(二) 求解形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量[例2] (1)(1)6(1)4的展开式中x 的系数是( ) A.－4 B.－3 C.3D.4(2)(2019·南昌模拟)已知(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，则正实数a ＝________.[解析] (1)法一：(16的展开式的通项为6m C ·(m＝6m C (－1)m2m x ，(1)4的展开式的通项为4n C )n＝4n C 2n x ，其中m ＝0,1,2，…，6，n ＝0,1,2,3,4.令2m ＋2n＝1，得m ＋n ＝2，于是(1)6(1＋)4的展开式中x 的系数等于06C ·(－1)0·24C ＋16C ·(－1)1·14C ＋26C ·(－1)2·04C ＝－3.法二：(1－)6(1)4＝[(1)(1)]4(1－)2＝(1－x )4(1－＋x ).于是(1－6(1)4的展开式中x 的系数为04C ·1＋14C ·(－1)1·1＝－3.(2)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为46C a 2，含x 项的系数为56C a ，由(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，可得－46C a 2＋56C a ＝0，因为a 为正实数，所以15a ＝6，所以a ＝25. [答案] (1)B (2) 25[解题技法]求形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步，根据二项式定理把(a ＋b )m 与(c ＋d )n 分别展开，并写出其通项公式；第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a ＋b )m 与(c ＋d )n 的展开式中的哪些项相乘得到； 第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 考法(三) 求形如(a ＋b ＋c )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例3] (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式中x 5y 2的系数为( ) A.10 B.20 C.30 D.60(2)将44x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭3展开后，常数项是________. [解析] (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式的通项为T r ＋1＝15C (x 2＋x )5－r ·y r ，令r ＝2，则T 3＝25C (x 2＋x )3y 2，又(x 2＋x )3的展开式的通项为T k ＋1＝3k C (x 2)3－k ·x k ＝3kC x 6－k ，令6－k ＝5，则k ＝1，所以(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为2153C C ＝30.(2)44xx ⎛⎫+- ⎪⎝⎭3＝6展开式的通项是66kkkC -⎛⋅ ⎝＝(－2)k·6k C x 3－k .令3－k ＝0，得k ＝3.所以常数项是36C (－2)3＝－160.[解析] (1)C (2)－160 [解题技法]求形如(a ＋b ＋c )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步，把三项的和a ＋b ＋c 看成是(a ＋b )与c 两项的和； 第二步，根据二项式定理写出[(a ＋b )＋c ]n 的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a ＋b )n －r 的展开式中的哪些项和c r 相乘得到的；第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 考点二 二项式系数的性质及各项系数和[师生共研过关][典例精析](1)若n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( )C.4D.或4 (2)若21x x ⎛⎫-⎪⎝⎭n的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________.(3)若(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.[解析] (1)令x ＝1，可得n的展开式中各项系数之和为2n ，即8＜2n＜32，解得n＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是24C 22＝.(2) 21x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭n 的展开式的通项公式为T r ＋1＝r n C (x 2)n －r ·1rx ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝rn C (－1)r x 2n －3r ，因为含x 的项为第6项，所以r ＝5,2n －3r ＝1，解得n ＝8， 在(1－3x )n 中，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝(1－3)8＝28， 又a 0＝1，所以a 1＋…＋a 8＝28－1＝255.(3)设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5， 令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5，② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x的奇数次幂项的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.[答案](1)A(2)255(3)3[解题技法]1.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立.因此，可将x，y设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.如：(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可.(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，则f(x)的展开式中(1)各项系数之和为f(1).(2)奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝(1)(1)2f f+-.(3)偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝(1)(1)2f f--. [过关训练]1.(2019·包头模拟)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝()A.1B.243C.121D.122解析：选B令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，①令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，②①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，即a4＋a2＋a0＝－121.①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，即a5＋a3＋a1＝122.所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.2.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________.解析：令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，∴m ＝－3或m ＝1. 答案：－3或1考点三 二项展开式的应用[师生共研过关][典例精析]设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 018＋a 能被13整除，则a ＝( ) A.0 B.1 C.11D.12[解析] 由于51＝52－1，512 018＝(52－1)2 018＝02018C 522 018－12018C 522 017＋…－20172018C 521＋1， 又13整除52， 所以只需13整除1＋a ， 又0≤a ＜13，a ∈Z ， 所以a ＝12. [答案] D[解题技法]利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：①余数的范围，a ＝cr ＋b ，其中余数b ∈[0，r )，r 是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；②二项式定理的逆用.[过关训练]1.使得多项式81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1能被5整除的最小自然数x 为( ) A.1 B.2 C.3D.4解析：选C ∵81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1＝(3x ＋1)4，∴上式能被5整除的最小自然数为3. 2.1－90110C ＋902210C －903310C ＋…＋(－1)k 90k 10kC ＋…＋90101010C 除以88的余数为________. 解析：∵1－90C 110C ＋902210C ＋…＋(－1)k 90k 10kC ＋…＋90101010C ＝(1－90)10＝8910， ∴8910＝(88＋1)10＝8810＋110C 889＋…＋910C 88＋1， ∵前10项均能被88整除，∴余数为1. 答案：1达标检测要扎实一、单选题1．（2020·河南省高三二模（理））已知23450123455(1)a a x a x a x a x x x a =++++++，则34a a +的值为（ ） A ．7 B ．8 C ．15 D ．16【答案】C【解析】由题得5(1)x +的展开式的通项为515r r r T C x -+=令23553,2,10r r a C -=∴=∴==；令14554,1,5r r a C -=∴=∴==所以3410515a a +=+=.故选：C.2．（2020·辽宁省辽宁实验中学高三其他（理））()1311nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为14，则正整数n 的值为（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】11n x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()()1111n rrrr r r nr nn T C C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故其常数项为()()111nnnn n T C +=-=-，包含1x -的项为()()111111111n n n n n T C x nx ------+=-=-，所以()1311nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的常数项为()()113114n n n --+-=.当n 为奇数时，有3114n -=，解得5n =； 当n 为偶数时，有3114n -+=，解得133n =-（舍） 故正整数n 的值为5.故选：B.3．（2020·山东省高三期末）二项式2()nx x-的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为（ ）A ．160-B ．80-C ．80D ．160【答案】A【解析】由题第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，即()21219,,2,9,61802n n n n C C n N n n n n *--=∈≥-=--= 解得：6n =，二项式62()x x-的展开式中，通项6162()r r rr T C x x-+=-，当r =3时，取得常数项，3333162()160T C x x+=-=-.故选：A 4．（2019·河北省辛集中学高三月考（理））将二项式6(x +展式式各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（ ） A ．27B ．37C ．835D ．724【答案】A【解析】二项式6(x +展开式通项为：36621662r r r r r rr T C x C x --+==，知当r=0，2，4，6时为有理项，则二项式6(x +展开式中有4项有理项，3项无理项，所以基本事件总数为77A ，无理项互为相邻有4345A A，所以所求概率P=43457727A A A =Ⅲ故选A ． 5．（2020·湖北省黄冈中学高三其他（理））已知622a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的中间项系数为20，则由曲线13y x=和ay x =围成的封闭图形的面积为（ ） A ．512B ．53C ．1D ．1312【答案】A【解析】622a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的中间项为第4项且第4项为()3332462a T C x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为系数为20，所以336C 202a ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，解得2a =，由213x x =的0x =或1x =，所以封闭图形的面积为1412333010314135|2x x dx x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰，故选：A .6．（2020·湖南省雅礼中学高三其他（理））如果()3*1nx n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中存在正的常数项，则n 的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．28【答案】C【解析】二项式()3*1n x n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭N 的展开式通项为()()334111kk n k k k n kk n n T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令340n k -=，则43n k =，由于展开式中存在正的常数项，则k 为偶数， 设()6k t t N*=∈，8n t ∴=，当1t =时，n 取最小值8.故选：C.7．（2020·河北省衡水中学高三其他（理））在()8311x x ⎛- ⎝的展开式中，含21x 项的系数等于（ ） A ．98 B ．42 C ．98- D ．42-【答案】D【解析】81x ⎛- ⎝二项展开式的通项公式38821881()((1)rr r r r r r T C C xx --+==-, 令3852r-=-，得2r ，则含5x -项的系数为28C ， 令3822r-=-，得4r =，则含2x -项的系数为48C ， 故含21x与项的系数等于248842C C -=-.故选：D. 8．（2020·湖南省湖南师大附中高三三模（理））()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为( ) A ．－60 B ．240C ．－80D ．180【答案】D【解析】由题意，62x⎫⎪⎭中常数项为2426260Cx⎛⎫=⎪⎝⎭，62x⎫⎪⎭中31x项为4246321240Cx x⎛⎫=⎪⎝⎭，所以()6321xx⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为：3x⨯31240160180x-⨯=.故选：D9．（2020·湖南省长郡中学高三其他（理））(101-的二项展开式中，x的系数与4x的系数之差为（）A．220-B．90-C．90D．0【答案】D【解析】∵(101的二项展开式中，通项公式为()21101rrrrT C x+=⋅-，故x的系数与4x的系数之差为281010C C-=，故选：D.10．（2020·浙江省高三其他）多项式396xx⎛⎫+-⎪⎝⎭的常数项是（）A．216B．216-C．540D．540-【答案】D【解析】因为332669xx⎡⎤==⎢⎥⎛⎫+-⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以()631663rr rr r rrT C C x--+⎛==-⎝，令30r-=，得3r=，所以常数项为：()3363540C-=-.故选：D.11．（2020·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高三三模（理））在12202011xx⎛⎫++⎪⎝⎭的展开式中, 2x项的系数为( )A．10B．25C．35D．66【答案】D【解析】12202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式考虑12个202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 每个括号内各取202011,,x x 之一进行乘积即可得到展开式的每一项，要得到2x 项，就是在12个202011x x ⎛⎫++⎪⎝⎭中，两个括号取x ，10个括号取1，所以其系数为21266C =.故选：D12．（2020·山东省高三其他）若nx⎛+ ⎝的展开式中各项系数之和为256，则展开式中x 的系数是（ ） A ．54 B ．81C ．96D ．106【答案】A【解析】因为nx⎛+ ⎝的展开式中各项系数之和为256，所以8(213)256n +==，解得4n =，因此4x⎛+ ⎝的展开式的通项是432442214433r r r r r r r r T C x x C x -----+==， 由3212r -=得2r ，所以，展开式中x 的系数为224354C ⨯=.故选：A.二、填空题13．（2020·河南省高三三模（理））（3x ﹣2x）4的展开式中的常数项为_____． 【答案】216【解析】44421442(3)()3(2)---+=⋅⋅-=⋅⋅-⋅rrr r r r r r T C x C x x令420r -=，解得2r常数项为2422343(2)=216-=⋅⋅-T C故答案为：21614．（2020·嘉祥县第一中学高三其他）已知()()7210ax a ->的展开式中第6项的系数为-189，则展开式中各项的系数和为______. 【答案】128【解析】由题意，通项为：7777177()(1)(1)k k k k k k kk T C ax a C x ----+=-=-， 由于()()7210ax a ->的展开式中第6项的系数为-189，则第六项系数为：57527(1)189a C --=-，解得：3a =， 故该二项式为27(31)x -，令1x =得展开式各项系数的和为：72128=． 故答案为：128．15．（2020·河南省高三其他（理））522a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含x 项的系数为40，则a =_________.【答案】1【解析】522a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中通项公式：()()5253515522 rrrr r r r r a T x a x x C C ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，令351r -=，解得2r．∵含x 项的系数是40，∴()2325240C a -=， 解得1a = ．故答案为：1．16．（2020·河南省高三二模（理））在2(1)nx x⎛++ ⎝的展开式中，各项系数的和为512，则2x 项的系数是___________.（用数字作答） 【答案】28【解析】因为2(1)nx x⎛++ ⎝的展开式中，各项系数的和为512，所以令1x =，得()(11)15112n++=， 即：1922n +=， 解得8n =，所以原式为：82(1)x x⎛++ ⎝，所以82x⎛+ ⎝展开式的通项为()516821882rr r r r r x xT C C -+-==，当51612r -=或51622r -=，符合题意， 解得6r =或285r =（舍去），所以2x 项的系数为：2828C =.故答案为：28 三、解答题17．（2019·山东省高三月考）设m 为正整数，2()mx y +展开式的二项式系数的最大值为a ，展开式21()m x y ++的二项式系数的最大值为b Ⅲa 与b 满足137a b =（1）求m 的值； （2）求2()()m x y x y +-+的展开式中27x y 的系数。

2021年高考数学总复习课时作业（五十七）第57讲二项式定理理基础热身1.[2021·丽水模拟]二项式(x+2)7的展开式中含x5项的系数是 ()A.21B.35C.84D.2802.若(1+2x)n的展开式中,x2的系数是x系数的7倍,则n的值为()A.5B.6C.7D.83.[2021·吉林调研]+n的展开式中,各项系数之和为A,各项的二项式系数之和为B,若=32,则n=()A.5B.6C.7D.84.[2021·长沙长郡中学月考]2-(1-2x)4的展开式中x2的系数为.5.[2021·东北育才学校月考] (3-x)n的展开式中各项系数之和为64,则展开式中x5的系数为.能力提升6.[2021·石家庄三模]x+2x-5的展开式的常数项为()A.120B.40C.-40D.807.[2021·嘉兴五校联考]x2-x+6的展开式中,x6的系数为 ()A.240B.241C.-239D.-2408.[2021·牡丹江第一中学期中]若(x+1)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a n(x-1)n,a0+a1+…+a n=243,则(n-x)n展开式的二项式系数之和为()A.16B.32C.64D.10249.[2021·福州一中质检]“杨辉三角形”是古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年,图K57-1是三角形数阵,记a n为图中第n行各数之和,则a5+a11的值为()图K57-1A.528B.1020C.1038D.104010.已知(2+ax)(1-2x)5的展开式中,含x2项的系数为70,则实数a的值为()A.1B.-1C.2D.-211.若(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则= .12.[2021·黄陵中学模拟]若(x-1)5=a5(x+1)5+a4(x+1)4+a3(x+1)3+a2(x+1)2+a1(x+1)+a0,则a1+a2+a3+a4+a5= .13.[2021·盘锦二模]在1-x+9的展开式中,含x3项的系数为.难点突破14.(5分)已知n为满足S=a++++…+(a≥3)能被9整除的正数a的最小值,则x-n的展开式中,二项式系数最大的项为()A.第6项B.第7项C.第11项D.第6项和第7项15.(5分)[2021·西安模拟]若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为.课时作业(五十七)1.C[解析] 二项式(x+2)7的展开式中含x5项的系数为×22=84.故选C.2.D[解析] (1+2x)n的展开式的通项为T r+1=(2x)r=2r x r,∵x2的系数是x系数的7倍,即22=7×2,即22·=7×2·n,∴n=8.3.A[解析] 令x=1,得各项系数之和A=4n,又二项式系数之和B=2n,故==32,解得n=5,故选A.4.80[解析] 展开式中x2的系数为2(-2)2-(-2)3=48+32=80.5.-18[解析] (3-x)n的展开式中各项系数之和为64,令x=1,则2n=64,解得n=6,则展开式中x5的系数为×3×(-1)5=-18.6.B[解析] 展开式的常数项为22×(-1)3+23×(-1)2=-40+80=40,选B.7.C[解析] x2-x+6=x6x+-16,因此展开式中x6的系数为(-1)6+22×(-1)1=-239.故选C.8.B[解析] 在(x+1)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a n(x-1)n中,令x=2,可得a0+a1+a2+…+a n=3n=243,解得n=5,因此(n-x)n=(5-x)5,其展开式的二项式系数之和为25=32,故选B.9.D[解析] a5=++++=24=16,a11=+++…+=210=1024,∴a5+a11=1040,故选D.10.A[解析] (2+ax)(1-2x)5=2(1-2x)5+ax(1-2x)5,(1-2x)5展开式的通项为T r+1=15-r×(-2x)r=(-2)r x r.取r=2,含有x2的项为2×(-2)2x2=80x2,取r=1,含有x2的项为ax(-2)1x=-10ax2,结合题意由80-10a=70,解得a=1.11.-2[解析] a3=·(-2)3=-80,a2=·(-2)2=40,因此=-2.12.31[解析] 令x=-1,可得a0=-32;令x=0,可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=-1.因此a1+a2+a3+a4+a5=-1-a0=-1+32=31.13.-84[解析] 因为(1-x)+9=(1-x)9+(1-x)8+…+,因此x3项只能在(1-x)9=(1-x)9中显现,其展开式的通项为T r+1=(-x)r,可知x3的系数为(-1)3=-84.14.B[解析] 由于S=a++++…+=a+227-1=89+a-1=(9-1)9+a-1=×99-×98+…+×9-+a-1=9×(×98-×97+…+)+a-2,a≥3,因此n=11,从而x-11的展开式中的系数与二项式系数只有符号差异,又中间两项的二项式系数最大,中间两项为第6项和第7项,且第6项系数为负,因此第7项系数最大.15.1[解析] 由题意,令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4=(2+)4,令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4=(-2+)4,因此(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4)=(2+)4×(-2+)4=[(2+)×(-2+ )]4=1.。

第57讲 二项式定理一、课程标准1、能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理．2、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.基础知识回顾二、基础知识回顾1. 二项式定理公式：(a ＋b)n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n nb n (n ∈N *) 这个公式表示的定理叫做二项式定理．在上式中右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，其中的系数C k n (k ＝0，1，…，n )叫做二项式系数，式中的C k n a n －k b k 叫做二项展开式的通项，用T k ＋1表示，即T k ＋1＝C k n an－kb k ．2. 二项展开式形式上的特点 (1)项数为__n ＋1__．(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n.(3)字母a 按__降幂__排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按__升幂__排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式系数从__C 0n __，C 1n ，一直到C n －1n ，__C nn __．3. “杨辉三角”与二项式系数的性质(1)“杨辉三角”有如下规律：左右两边斜行都是1，其余各数都等于它“肩上”两个数字之和．(2)对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n ＝__C n －mn__．(3)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k ＜n ＋12时，二项式系数逐渐__增大__；当k ＞n ＋12时，二项式系数逐渐__减小__．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数最大．(4)各二项式系数的和：(a ＋b)n 的展开式的各项二项式系数之和为__2n __，即C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝__2n __. (5)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C 0n ＋C 2n ＋…＝__C 1n ＋C 3n ＋…__＝__2n －1__． 三、自主热身、归纳总结1、(1＋2x)5的展开式中，x 2的系数为( )A . 10B . 20C . 25D . 40 【答案】 D【解析】 T r ＋1＝C r 5(2x)r ＝C r 52r x r ，当r ＝2时，x 2的系数为C 25·22＝40.故选D . 2、若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )A . 6B . 12C . 20D . 32 【答案】 C【解析】二项式系数之和2n＝64，∴n ＝6，T r ＋1＝C r 6·x6－r·⎝⎛⎭⎫1x r＝C r 6x 6－2r，当6－2r ＝0，即当r ＝3时为常数项，T 4＝C 36＝20.故选C .3、(x －y)n 的二项展开式中，第m 项的系数是( )A . C m nB .C m ＋1n C . C m －1n D . (－1)m －1C m －1n【答案】 D【解析】 (x －y)n 二项展开式第m 项的通项公式为T m ＝C m －1n(－y)m －1x n－m ＋1，∴系数为C m －1n(－1)m －1.故选D .4、(多选)已知(3x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，设(3x －1)n 的展开式的二项式系数之和为S n ，T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则( )A ．a 0＝1B ．T n ＝2n －(－1)nC ．n 为奇数时，S n ＜T n ；n 为偶数时，S n ＞T nD ．S n ＝T n 【答案】 BC【解析】由题意知S n ＝2n ，令x ＝0，得a 0＝(－1)n ，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n ，所以T n ＝2n －(－1)n ，故选B 、C.5、(一题两空)若⎝⎛⎭⎪⎫3x －13x 2m 的展开式中二项式系数之和为128，则m ＝________，展开式中1x 3的系数是________． 【答案】 7 21【解析】由题意可知2m ＝128，∴m ＝7，∴展开式的通项T r ＋1＝C r 7(3x )7－r·⎝⎛⎭⎪⎫－13x 2r ＝C r 737－r (－1)r x 7－5r 3，令7－53r ＝－3，解得r ＝6，∴1x3的系数为C 6737－6(－1)6＝21. 6、(2020·合肥模拟)(x －2)3(2x ＋1)2的展开式中x 的奇次项的系数之和为________． 【答案】 9【解析】依题意得，(x －2)3(2x ＋1)2＝(x 3－6x 2＋12x －8)·(4x 2＋4x ＋1)＝4x 5－20x 4＋25x 3＋10x 2－20x －8，所以展开式中x 的奇次项的系数之和为4＋25－20＝9.11．若⎝⎛⎭⎫x ＋12x n (n ≥4，n ∈N *)的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n ＝________.【答案】 8【解析】⎝⎛⎭⎫x ＋12x n 的展开式的通项T r ＋1＝C r n x n －r ⎝⎛⎭⎫12x r ＝C r n 2－r x n －2r ，则前三项的系数分别为1，n 2，n (n －1)8，由其依次成等差数列，得n ＝1＋n (n －1)8，解得n ＝8或n ＝1(舍去)，故n ＝8.四、例题选讲考点一 二项展开式中特定项及系数问题 例1、（1）二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x 10的展开式中，x 项的系数是( )A.152 B ．－152C ．15D ．－15（2）(2019·天津高考)⎝⎛⎭⎫2x －18x 38的展开式中的常数项为________． （3）(2019·浙江高考)在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．【答案】（1）B （2）28（3）162 5【解析】：（1）选 ⎝⎛⎭⎫x 2－2x 10的二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 10⎝⎛⎭⎫x 210－r ⎝⎛⎭⎫－2x r ＝(－1)r 22r －10C r 10x 23- 5r，令5－3r 2＝12，得r ＝3，所以x 项的系数是(－1)3·2－4·C 310＝－152.故选B. （2）：⎝⎛⎭⎫2x －18x 38的通项为T r ＋1＝C r 8()2x 8－r ·⎝⎛⎭⎫－18x 3r ＝C r 828－r ⎝⎛⎭⎫－18r ·x 8－4r .令8－4r ＝0，得r ＝2，∴ 常数项为T 3＝C 2826⎝⎛⎭⎫－182＝28. （3）由二项展开式的通项公式可知T r ＋1＝C r 9·(2)9－r ·x r ，r ∈N,0≤r ≤9， 当项为常数项时，r ＝0，T 1＝C 09·(2)9·x 0＝(2)9＝16 2. 当项的系数为有理数时，9－r 为偶数，可得r ＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是5.变式1、已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．【解析】 利用通项确定n 的值，进而根据指定项的特征求解．通项公式为T r ＋1＝C r n ·x n －r 3(－3)r ·x －r 3＝(－3)r C r n x n －2r 3. (1)∵第6项为常数项，∴r ＝5时，有n －2r3＝0，解得n ＝10.(2)令10－2r 3＝2，得r ＝12×(10－6)＝2，∴x 2项的系数为C 210(－3)2＝405. (3)由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧10－2r3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈Z .令10－2r 3＝k (k ∈Z)，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k ，∵r ∈Z ，且0≤r ≤10，∴k 应为偶数，∴k ＝2，0，－2，即r ＝2，5，8，∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x 2，－61 236，295 245x －2.变式2、求二项展开式中的特定项或指定项的系数 (1)在(x －1)4的展开式中，x 的系数为________． (2)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为________． 【答案】(1)6 (2)30【解析】(1)由题意可知T r ＋1＝C r 4(x )4－r (－1)r 424C (1)rr rx -＝－，令4－r 2＝1解得r ＝2，所以展开式中 x 的系数为C 24(－1)2＝6．(2)方法一 利用二项展开式的通项公式求解．(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2．其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5．所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30．方法二 利用组合知识求解．(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为 C 25C 23＝30．方法总结：求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r ＋1，代回通项公式即可． 考点二、 二项式系数的和或各项系数的和的问题例2、在(2x －3y )10的展开式中，求： (1) 二项式系数的和； (2) 各项系数的和；(3) 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4) 奇数项系数和与偶数项系数和； (5) x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和．【解析】设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*)各项系数的和为a 0＋a 1＋…＋a 10，奇数项系数和为a 0＋a 2＋…＋a 10，偶数项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10． 由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．(1)二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210．(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1．(3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29， 偶数项的二项式系数和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29． (4)令x ＝y ＝1，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，①令x ＝1，y ＝－1(或x ＝－1，y ＝1)，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510，② ①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510，∴奇数项系数和为1＋5102； ①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510，∴偶数项系数和为1－5102． (5)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102；x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102．变式1、(1)(2020·合肥模拟)已知(ax ＋b )6的展开式中x 4项的系数与x 5项的系数分别为135与－18，则(ax ＋b )6的展开式中所有项系数之和为( )A ．－1B ．1C ．32D ．64(2)若(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 0|－|a 1|＋|a 2|－|a 3|＋|a 4|－|a 5|＝( ) A ．0 B ．1 C ．32D ．－1(3)在(1＋x )n (x ∈N *)的二项展开式中，若只有x 5的系数最大，则n ＝________. 【答案】(1)D (2)A (3)10【解析】 (1)由二项展开式的通项公式可知x 4项的系数为C 26a 4b 2，x 5项的系数为C 16a 5b ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧C 26a 4b 2＝135，C 16a 5b ＝－18，解得a ＋b ＝±2，故(ax ＋b )6的展开式中所有项的系数之和为(a ＋b )6＝64. (2)由(1－x )5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(－x )r ＝C r 5(－1)r x r，可知a 1，a 3，a 5都小于0.则|a 0|－|a 1|＋|a 2|－|a 3|＋|a 4|－|a 5|＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.在原二项展开式中令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝0.(3)二项式中仅x 5的系数最大，其最大值必为C n 2n ，即得n2＝5，解得n ＝10.变式2、对任意实数x ，有()923901239(23)1(1)(1)(1)x a a x a x a x a x -+-+-+-++-═.则下列结论成立的是（ ）A ．2144a =-B ．01a =C ．01291a a a a +++⋯+=D ．9012393a a a a a -+-+-=-【答案】ACD【解析】对任意实数x ，有()923901239(23)1(1)(1)(1)x a a x a x a x a x -+-+-+-++-=═[﹣1+2（x ﹣1）]9，∴a 229C =-⨯22＝﹣144，故A 正确；故令x ＝1，可得a 0＝﹣1，故B 不正确； 令x ＝2，可得a 0+a 1+a 2+…+a 9＝1，故C 正确；令x ＝0，可得a 0﹣a 1+a 2+…﹣a 9＝﹣39，故D 正确；故选：ACD .变式3、（2020·深喀第二高级中学高二期末）已知()512x -250125a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，则123452345a a a a a ++++=_______.【答案】10-【解析】因为()2345501234512a a x a x a x a x a x x =+++-++ 两边同时取导数得()42341234523101524a a x a x a x a x x =+-+-++ 再令1x =得()4123452345101210a a a a a ++++=--=- 故答案为：10-方法总结：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a 、b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．考点三 二项式定理的综合应用例3 (1)1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数是____．(2)设复数x ＝2i 1－i (i 是虚数单位)，则C 12019x ＋C 22019x 2＋C 32019x 3＋…＋C 20192019x 2019＝____． 【答案】（1）1 （2）－i －1【解析】 (1)1－90C 110＋902C 210－903C ＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1. (2)x ＝2i1－i ＝2i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－1＋i ，C 12019x ＋C 22019x 2＋C 32019x 3＋…C 20192019x2019＝(1＋x)2019－1＝i 2019－1＝－i －1变式1、（2020·江苏省南京师大附中高二）已知()21221012211n n n x a a x a x a x ++++=++++，n *∈N ．记()021?nn n k k T k a -==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意n *∈N 的，n T 都能被42n +整除． 【答案】（1）30；（2）()21221nn n T n C -=+，证明见解析.【解析】由二项式定理，得()210,1,2,,21ii n a C i n +==+；（1）210221055535+3530T a a a C C C =++=+=；（2）因为()()()()()()()()()12121!212!1!!!!11n kn n n n n k n k k n k n k n n C k ++++++=++⋅=+-+⋅+-⋅+()221n kn n C +=+，所以()()()1212100212121nnnn k n k n n kn n k k k T k ak Ck C -++-++====+=+=+∑∑∑ ()()()()111212121021212121nnnn kn k n kn n n k k k n k n Cn k Cn C +++++++++===⎡⎤=++-+=++-+⎣⎦∑∑∑()()()()()1221221201122121221221222nnn kn kn n n nn n k k n Cn C n C n +++++===+-+=+⋅+-+⋅⋅∑∑()221nn n C =+， ()()()()122121212121221n n n nn n n n n T n C n C C n C ----∴=+=++=+，因为21n n C N *-∈，所以n T 能被42n +整除.变式2、【陕西省黄陵中学高新部2017-2018学年高二下学期开学考试】(1)设.①求； ②求； ③求；(2)求除以9的余数．【答案】（1）16，256，15；（2）7【解析】试题分析：（1）利用赋值法，令，求；（2）令x=-1，与（2）相加求；，；③令，结合二项式系数和即可求出结果；（2）利用二项式系数和，把 分解为9的倍数形式，再求对应的余数． 试题解析：(1)①令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(3－1)4＝16. ②令x ＝－1得，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－3－1)4＝256，而由(1)知a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(3－1)4＝16，两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＝136. ③令x ＝0得a 0＝(0－1)4＝1，得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4－a 0＝16－1＝15. （2）解 S ＝C ＋C ＋…＋C ＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C ×99－C ×98＋…＋C ×9－C －1 ＝9(C ×98－C ×97＋…＋C )－2 ＝9(C ×98－C ×97＋…＋C －1)＋7， 显然上式括号内的数是正整数． 故S 被9除的余数为7.方法总结：整除问题，解决整除问题要点为：(1)观察除式与被除式间的关系；(2)将被除式拆成二项式；(3)结合二项式定理得出结论．此外二项式定理还可应用于不等式的证明．五、优化提升与真题演练1、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为（ ） A ．12B ．16C ．20D ．24()42340123431x a a x a x a x a x -=++++01234a a a a a ++++024a a a ++1234a a a a +++1227272727S C C C =+++1x ＝01234a a a a a ++++024a a a ++0x =S【解析】由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ．2、【2020年高考北京】在52)的展开式中，2x 的系数为（ ） A ．5- B ．5C ．10-D ．10【答案】C【解析】)52展开式的通项公式为：()()552155C22C r rrrr r r T x--+=-=-，令522r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()1152C 2510-=-⨯=-. 故选：C.3、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】C【解析】5()x y +展开式的通项公式为515C r r rr T x y -+=（r ∈N 且5r ≤）所以2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的各项与5()x y +展开式的通项的乘积可表示为：56155C C r rrr rrr xT x xy xy --+==和54252152C C r r r r r r r T x y y y y xx x --++==在615C r r r r xT x y -+=中，令3r =，可得：33345C xT x y =，该项中33x y 的系数为10，在42152C r r r r T x xy y -++=中，令1r =，可得：521332C y x T x y =，该项中33x y 的系数为5 所以33x y 的系数为10515+= 故选：C.4、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为（ ）A ．10B ．20C ．40D ．80【解析】由题可得522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通式为()521031552C C 2rr r rr r r T x x x --+⎛⎫⋅⋅== ⎪⎝⎭，令1034r -=，得2r =，所以展开式中4x 的系数为225C 240⨯=．故选C ．5、【2020年高考全国II 卷理数】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同则不同的安排方法共有__________种． 【答案】36 【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同∴先取2名同学看作一组，选法有：24C 6=.现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：33A 6=，根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636⨯=种， 故答案为：36.6、【2020年高考全国III 卷理数】262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240 【解析】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 其二项式展开通项：()62612C rrrr xx T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭= 1226C (2)r r r r x x --⋅⋅=1236C (2)r r r x -=⋅当1230r -=，解得4r =∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：66442C 2C 161516240⋅=⋅=⨯=. 故答案为：240.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握()na b +的展第 1 页 / 共 3 页 开通项公式1C r n r r r n T a b -+=，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.7、【2020年高考天津】在522()x x+的展开式中，2x 的系数是_________． 【答案】10 【解析】因为522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()55315522C C 20,1,2,3,4,5r r r r r r r T x x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，令532r -=，解得1r =．所以2x 的系数为15C 210⨯=．故答案为：10．【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题． 8、【2020年高考浙江】二项展开式23450123545(2)1x a a x a x a x a x a x ++++++=，则4a =_______，135a a a ++=________．【答案】80；122【解析】5(12)x +的通项为155C (2)2C r r r r r r T x x +==，令4r =，则4444552C 80T x x ==，故580a =；1133551355552C 2C 2C 122a a a ++=++=.故答案为：80；122.。

高考数学总复习考点知识专题讲解专题9 二项式定理知识点一 二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)．(1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，展开式中一共有n ＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C kn (k ∈{0,1,2，…，n })叫做二项式系数． 知识点二 二项展开式的通项(a ＋b )n 展开式的第k ＋1项叫做二项展开式的通项，记作T k ＋1＝C k n an －k b k . 【例1】（2023•上海）设423401234(12)x a a x a x a x a x -=++++，则04a a +=．【例2】（2022•上海）二项式(3)n x +的展开式中，2x 项的系数是常数项的5倍，则n =．【例3】（2021•浙江）已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =；234a a a ++=．知识点三二项展开式的通项 求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)．(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解．(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．【例4】（2022•新高考Ⅰ）8(1)()y x y x-+的展开式中26x y 的系数为（用数字作答）．【例5】（2022•天津）523)x 的展开式中的常数项为．【例6】（2023•驻马店期末）若7102910012910(2)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x +-=+-+-+⋯⋯+-+-，则5a =．【例7】（2023•海淀区模拟）已知5()x a +的展开式为5432543210p x p x p x p x p x p +++++，若3415p p -=，则a =．知识点四余数和整除的问题利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．【例8】（2022秋•杨浦区校级期末）504除以17的余数为．【例9】（2023•沈阳模拟）若20232023012023(1)x a a x a x +=++⋯+，则0242022a a a a +++⋯+被5除的余数是．【例10】（2022•多选•庆阳期末）下列命题为真命题的是() A ．61()x x -展开式的常数项为20B ．1008被7除余1 C ．61()x x-展开式的第二项为46x -D ．1008被63除余1知识点五 二项式系数的性质1.对称性：在(a ＋b )n 的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n ＝C n －mn2.增减性与最大值 增减性：当k <n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的；当k >n ＋12时，二项式系数是逐渐减小的． 最大值：（1）当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2C n n最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数12C n n-，12C n n+相等，且同时取得最大值（2）求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n 中的n 进行讨论． ①当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大； ②当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (3)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第k ＋1项最大，应用⎩⎨⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，解出k ，即得出系数的最大项． 3.各二项式系数的和(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ；(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －14.二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可，对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.【例11】（2022•北京）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024(a a a ++=) A ．40B ．41C ．40-D ．41-【例12】（2023•新乡开学）若二项式*(2()n x n N∈的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中2x 项的系数为() A ．1120-B ．1792-C ．1792D ．1120【例13】（2023•慈溪市期末）若二项式*(12)()n x n N +∈的展开式中第6项与第7项的系数相等，则此展开式中二项式系数最大的项是() A ．3448x B ．41120x C ．51792x D ．61792x【例14】（2022秋•葫芦岛期末）设n ∈N +，化简=+++-12321666n n n n n n C C C C （ ）A ．7nB ．C ．7n ﹣1D ．6n ﹣1【例15】已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.求下列各式的值：(1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5；(2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|；(3)a 1＋a 3＋a 5.(4)a 0＋a 2＋a 4；(5)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5； (6)5a 0＋4a 1＋3a 2＋2a 3＋a 4.【例16】（2023•泰州期末）若6652360136()x y a y a xy a x y a x +=++⋯++⋯+，则220246135()()a a a a a a a +++-++的值为()A ．0B ．32C ．64D ．128【例17】（2023•静安区期末）在23(3)nx x -+的二项展开式中，533r n r n rnC x--称为二项展开式的第1r +项，其中0r =，1，2，3，⋯，n ．下列关于23(3)nx x -+的命题中，不正确的一项是()A ．若8n =，则二项展开式中系数最大的项是1426383C xB ．已知0x >，若9n =，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数x 的取值范围是3540()3x <…C ．若10n =，则二项展开式中的常数项是44103C D ．若27n =，则二项展开式中x 的幂指数是负数的项一共有12项 【例18】（2023秋•泰兴市月考）设*n N ∈，0101(1)(1)(2)(2)n n n n n x a a x a x b b x b x =+-++-=+-++-，则()A ．001132n n n n b a b a b a -+-++-=-B ．0101012()nn nb b b a a a a a a +++=+++ C ．0101111()211n n a a a a a a n n +++=+++++D ．21201(1)4()4n n n n b b n b a a a ++++=+++【例19】（2023•江宁区期末）二项式定理是产生组合恒等式的一个重要源泉，由二项式定理可得：0122*1111(1)(,),1n nn m mn n n n n n C C x C x C x x n N x R C C m n -+++++=+∈∈=+等，则012111231nn n n n C C C C n ++++=+．【例20】（2022•玄武区期末）在231(1)(1)(1)n x x x +++++⋯++的展开式中，含2x 的系数是n a ，8a =；若对任意的*n N ∈，*n N ∈，20n n a λ⋅-…恒成立，则实数λ的最小值是．【例21】（2019•江苏）设2012(1)n n n x a a x a x a x +=+++⋯+，4n …，*n N ∈．已知23242a a a =．（1）求n 的值；（2）设(1n a =+a ，*b N ∈，求223a b -的值．同步训练1.（2021•上海）已知二项式5()x a +展开式中，2x 的系数为80，则a =．2.（2021•上海）已知(1)n x +的展开式中，唯有3x 的系数最大，则(1)n x +的系数和为．3．（2020•浙江）二项展开式52345012345(12)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则4a =，135a a a ++=．4．（2020•新课标Ⅲ）262()x x+的展开式中常数项是（用数字作答）．5．（2020•天津）在522()x x+的展开式中，2x 的系数是．6.（2023•郫都区模拟）已知921001210(1)(1)x x a a x a x a x --=+++⋯+，则8a =45-．7.（2020•新课标Ⅰ）25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为()A ．5B ．10C ．15D ．208.（2023•湖北模拟）51(1)(12)x x+-的展开式中，常数项是() A ．9-B ．10-C ．9D ．109.（2023•曲靖模拟）已知4520222023(1)(12)(12023)(12022)x x x x -++++-展开式中x 的系数为q ，空间有q 个点，其中任何四点不共面，这q 个点可以确定的直线条数为m ，以这q 个点中的某些点为顶点可以确定的三角形个数为n ，以这q 个点中的某些点为顶点可以确定的四面体个数为p ，则(m n p ++=) A ．2022B ．2023C ．40D ．5010.（2023•徐汇区期末）1002被9除所得的余数为() A ．1B ．3C ．5D ．711.已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．12（2023•河源期末）5(21)x y --的展开式中含22x y 的项的系数为() A ．120-B ．60C ．60-D ．3013.（2023•怀化期末）已知10111012n n C C =，设2012(23)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x -=+-+-+⋯+-，下列说法：①2023n =，②20233n a =-，③0121n a a a a +++⋯+=，④展开式中所有项的二项式系数和为1．其中正确的个数有() A ．0B ．1C ．2D ．314（2023•青原区期末）若28(1)(1)ax x x -+-的展开式中含2x 的项的系数为21，则(a =) A ．3-B ．2-C ．1-D ．115.（2023•常熟市月考）今天是星期五，经过7天后还是星期五，那么经过1008天后是()A ．星期三B ．星期四C ．星期五D ．星期六16.（2023•南海区月考）已知012233222281n n n nn n n C C C C C +++++=，则123nn n n n C C C C ++++等于()A ．15B ．16C ．7D ．817.（2022•浙江）已知多项式42345012345(2)(1)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则2a =，12345a a a a a ++++=．。

二项式定理的高考常见题型及解题对策二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式----二项式的乘方的展开式。

二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。

掌握好二项式定理既可对初中学习的多项式的变形起到很好的复习，深化作用，又能够为进一步学习概率统计作好必要的知识储备。

所以有必要掌握好二项式定理的相关内容。

二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，近年来在大题中没有出现过。

为了便于知识体系的理解，现总结如下： 1．“n b a )(+”型的展开式 例1．求4)13(xx +的展开式；解：原式=4)13(xx +=24)13(x x + =])3()3()3()3([144342243144042C C C C C x x x x x ++++ =)112548481(12342++++x x x x x=54112848122++++x x x x 小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。

2． “n b a )(-”型的展开式 例2．求4)13(xx -的展开式；分析：解决此题，只需要把4)13(xx -改写成4)]1(3[xx -+的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。

本题主要考察了学生的“问题转化”水平。

3．二项式展开式的“逆用” 例3．计算c C C C nn nn nn n 3)1( (2793)1321-++-+-；解：原式=nn n nn n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(33322110-=-=-++-+-+-+ 小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。

题型二：求二项展开式的特定项1.求指定幂的系数或二项式系数 （1）求单一二项式指定幂的系数 例4．（03全国）92)21(xx -展开式中9x 的系数是_________ 解：r rrr x x T C )21()(9291-=-+=r r r r x x C )1()21(2189--=x r rx C 3189)21(-- 令,9318=-x 则3=r ，从而能够得到9x 的系数为：221)21(339-=-C ，∴填221- (2)求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例5．（02全国）72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是___________ 解：在展开式中，3x 的来源有： ①第一个因式中取出2x ，则第二个因式必出x ，其系数为667)2(-C； ② 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3x ，其系数为447)2(-C3x ∴的系数应为：∴=-+-,1008)2()2(447667C C 填1008。

清泉州阳光实验学校§10.3二项式定理2021高考会这样考1.利用二项式定理求二项展开式的特定项或者者系数、二项式系数、系数和等；2.考察二项式定理的应用．复习备考要这样做1.纯熟掌握二项展开式的通项公式；2.注意二项式定理在解决有关组合数问题中的应用；3.理解二项式系数的性质．1．二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋C bn(n∈N*)．这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(k＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．式中的Can－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即展开式的第k＋1项；Tk＋1＝Can－kbk.2．二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等间隔〞的两个二项式系数相等，即C＝C.(2)增减性与最大值：二项式系数C，当k<时，二项式系数是递增的；当k>时，二项式系数是递减的．当n是偶数时，中间的一项Cn获得最大值．当n是奇数时，中间两项Cn和Cn相等，且同时获得最大值．(3)各二项式系数的和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.[难点正本疑点清源]1．二项式的项数与项(1)二项式的展开式一一共有n＋1项，Can－kbk是第k＋1项．即k＋1是项数，Can－kbk是项．(2)通项是Tk＋1＝Can－kbk(k＝0,1,2，…，n)．其中含有Tk＋1，a，b，n，k五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．2．二项式系数与展开式项的系数的异同在Tk＋1＝Can－kbk中，C就是该项的二项式系数，它与a，b的值无关；而Tk＋1项的系数是指化简后字母外的数．3．二项式定理的应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或者者指定项的系数等．(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等．1．(2021·)x7的展开式中，x4的系数是______．(用数字答题)答案84解析x7的展开式的通项是Tr＋1＝xCx7－r·r＝C(－2)rx8－2r.令8－2r＝4，得r＝2，故x4的系数是C·4＝84.2．(2021·)(a＋x)5展开式中x2的系数为10，那么实数a的值是________．答案1解析(a＋x)5的展开式的通项公式为Tr＋1＝Ca5－rxr.当r＝2时，由题意知Ca3＝10，∴a3＝1，∴a＝1.3．(2021·)(x2＋2)5的展开式的常数项是()A．－3 B．－2 C．2 D．3答案D解析二项式5展开式的通项为：Tr＋1＝C5－r·(－1)r＝C·x2r－10·(－1)r.当2r－10＝－2，即r＝4时，有x2·C x－2·(－1)4＝C×(－1)4＝5；当2r－10＝0，即r＝5时，有2·Cx0·(－1)5＝－2.∴展开式中的常数项为5－2＝3，应选D.4．假设n展开式中各项系数之和为32，那么该展开式中含x3的项的系数为()A．－5 B．5 C．－405 D．405答案C解析根据，令x＝1，得2n＝32，即n＝5.二项展开式的通项公式是Tr＋1＝C(3x)5－r·r＝(－1)r35－rCx5－2r，令5－2r＝3，r＝1，此时的系数是－34×5＝－405.5．假设n的展开式中第3项的二项式系数是15，那么展开式中所有项系数之和为()A. B.C．－ D.答案B解析由题意知C＝＝15，所以n＝6，故n＝6，令x＝1得所有项系数之和为6＝.题型一求二项展开式的指定项或者者指定项系数例1在n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．思维启迪：先根据第6项为常数项利用通项公式求出n，然后再求指定项．解(1)通项公式为Tk＋1＝Cxkx－＝Ckx.因为第6项为常数项，所以k＝5时，＝0，即n＝10.(2)令＝2，得k＝2，故含x2的项的系数是C2＝.(3)根据通项公式，由题意，令＝r(r∈Z)，那么10－2k＝3r，k＝5－r，∵k∈N，∴r应为偶数．∴r可取2,0，－2，即k可取2,5,8，∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C2x2，C5，C8x－2.探究进步求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进展，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．(1)(2021·)8的展开式中常数项为()A. B. C. D．105(2)(2021·)在6的二项展开式中，常数项等于________．答案(1)B(2)－160解析(1)Tr＋1＝C()8－rr＝Cx4－－＝Cx4－r.令4－r＝0，那么r＝4，∴常数项为T5＝C＝×70＝.(2)方法一利用计数原理及排列、组合知识求解．常数项为Cx33＝20x3＝－160.方法二利用二项展开式的通项求解．Tr＋1＝Cx6－rr＝(－2)rCx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3.所以常数项为T4＝(－2)3C＝－160.题型二求最大系数或者者系数最大的项例2(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求该展开式中的二项式系数最大的项；(2)求该展开式中的系数最大的项．思维启迪：可先根据条件列方程求n，然后根据二项式系数的性质及系数的大小关系求二项式系数最大的项、系数最大的项．解令x＝1，得各项的系数之和为(1＋3)n＝4n，而二项式系数之和为C＋C＋C＋…＋C＝2n.根据题意，4n＝2n＋992，得2n＝32或者者2n＝－31(舍去)，所以n＝5.(1)二项式系数最大的项为第3项和第4项，T3＝C()3(3x2)2＝90x6，T4＝C()2(3x2)3＝270x.(2)设第r＋1项系数最大，那么即解得≤r≤.又r∈N，得r＝4，所以系数最大的项为T5＝405x.探究进步展开式的系数和与展开式的二项式系数和是不同的概念，二项式系数最大的项与系数最大的项也是不同的概念，解题时要注意区分．第(2)小题解不等式时可将组合数展开为阶乘形式．f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N*)的展开式中x的系数为11.(1)求x2的系数取最小值时n的值；(2)当x2的系数获得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和．解(1)由C＋2C＝11，∴m＋2n＝11，x2的系数为C＋22C＝＋2n(n－1)＝＋(11－m)＝2＋.∵m∈N*，∴m＝5时，x2的系数获得最小值22，此时n＝3.(2)由(1)知，当x2的系数获得最小值时，m＝5，n＝3，∴f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3.设这时f(x)的展开式为f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33，令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.题型三二项式定理的应用例3(1)2n＋2·3n＋5n－a能被25整除，求正整数a的最小值；(2)求1.028的近似值．(准确到小数点后三位)思维启迪：(1)将式子按二项式定理展开，注意转化时和25的联络；(2)近似值计算只要看展开式中的项的大小即可．解(1)原式＝4·6n＋5n－a＝4(5＋1)n＋5n－a＝4(C5n＋C5n－1＋…＋C52＋C5＋C)＋5n－a＝4(C5n＋C5n－1＋…＋C52)＋25n＋4－a，显然正整数a的最小值为4.(2)1.028＝(1＋0.02)8≈C＋C·0.02＋C·0.022＋C·0.023≈72.探究进步(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值那么应关注展开式的前几项．(2)二项式定理的应用根本思路是正用或者者逆用二项式定理，注意选择适宜的形式．求证：(1)32n＋2－8n－9能被64整除(n∈N*)；(2)3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，n>2)．证明(1)∵32n＋2－8n－9＝32·32n－8n－9＝9·9n－8n－9＝9(8＋1)n－8n－9＝9(C8n＋C8n－1＋…＋C·8＋C·1)－8n－9＝9(8n＋C8n－1＋…＋C82)＋9·8n＋9－8n－9＝9×82(8n－2＋C·8n－3＋…＋C)＋64n＝64[9(8n－2＋C8n－3＋…＋C)＋n]，显然括号内是正整数，∴原式能被64整除．(2)因为n∈N*，且n>2，所以3n＝(2＋1)n展开后至少有4项．(2＋1)n＝2n＋C·2n－1＋…＋C·2＋1≥2n＋n·2n－1＋2n＋1>2n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n－1，故3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，n>2)．混淆二项展开式的系数与二项式系数致误典例：(12分)(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992.求在2n的展开式中，(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．易错分析此题易将二项式系数和系数混淆，利用赋值来求二项式系数的和导致错误；另外，也要注意项与项的系数，系数的绝对值与系数的区别．标准解答解由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，∴2n＝32，解得n＝5.[2分](1)由二项式系数的性质知，10的展开式中第6项的二项式系数最大，即C＝252.∴二项式系数最大的项为T6＝C(2x)55＝－8064.[6分](2)设第r＋1项的系数的绝对值最大，∴Tr＋1＝C·(2x)10－r·r＝(－1)rC·210－r·x10－2r，∴，得，即，解得≤r≤，[10分]∵r∈Z，∴r＝3.故系数的绝对值最大的项是第4项，T4＝－C·27·x4＝－15360x4.[12分]温馨提醒(1)此题重点考察了二项式的通项公式，二项式系数、项的系数以及项数和项的有关概念．(2)解题时要注意区别二项式系数和项的系数的不同；项数和项的不同．(3)此题的易错点是混淆项与项数，二项式系数和项的系数的区别.方法与技巧1．二项展开式的通项Tk＋1＝Can－kbk是展开式的第k＋1项，这是解决二项式定理有关问题的根底．2．求指定项或者者指定项的系数要根据通项公式讨论对k的限制．3．性质1是组合数公式C＝C的再现，性质2是从函数的角度研究二项式系数的单调性，性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和．4．因为二项式定理中的字母可取任意数或者者式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．5．二项式定理的应用主要是对二项展开式正用、逆用，要充分利用二项展开式的特点和式子间的联络．失误与防范1．要把“二项式系数的和〞与“各项系数和〞，“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和〞严格地区别开来．2．求通项公式时常用到根式与幂指数的互化，易出错．A组专项根底训练(时间是是：35分钟，满分是是：57分)一、选择题(每一小题5分，一一共20分)1．(2021·)在5的二项展开式中，x的系数为()A．10 B．－10 C．40 D．－40答案D解析因为Tr＋1＝C(2x2)5－rr＝C25－rx10－2r(－1)rx－r＝C25－r(－1)rx10－3r，所以10－3r＝1，所以r＝3，所以x的系数为C25－3(－1)3＝－40.2．(2021·)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，那么n等于() A．6 B．7 C．8 D．9答案B解析(1＋3x)n的展开式中含x5的项为C(3x)5＝C35x5，展开式中含x6的项为C36x6，由两项的系数相等得C·35＝C·36，解得n＝7.3．在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，那么展开式中常数项是()A．－7 B．7 C．－28 D．28答案B解析只有第5项的二项式系数最大，那么展开式一一共9项，即n＝8，Tk＋1＝C8－kk＝C(－1)k·8－k·x8－k，当k＝6时为常数项，T7＝7.4．(2021·)(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是() A．－20 B．－15C．15 D．20答案C解析设展开式的常数项是第r＋1项，那么Tr＋1＝C·(4x)6－r·(－2－x)r＝C·(－1)r·212x－2rx·2－rx＝C·(－1)r·212x－3rx，∴12x－3rx＝0恒成立．∴r＝4，∴T5＝C·(－1)4＝15.二、填空题(每一小题5分，一一共15分)5．(2021·)假设将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，那么a3＝________.答案10解析将f(x)＝x5进展转化，利用二项式定理求解．f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，它的通项为Tr＋1＝C(1＋x)5－r·(－1)r，T3＝C(1＋x)3(－1)2＝10(1＋x)3，∴a3＝10.6．(2021·大纲全国)(1－)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为________．答案0解析∵Tr＋1＝C(－x)r＝(－1)r·C·x，∴x与x9的系数分别为C与C.又∵C＝C，∴C－C＝0.7．(2021·大纲全国)假设n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，那么该展开式中的系数为________．答案56解析利用二项展开式的通项公式求解．由题意知，C＝C，∴n＝8.∴Tr＋1＝C·x8－r·r＝C·x8－2r，当8－2r＝－2时，r＝5，∴的系数为C＝C＝56.三、解答题(一一共22分)8．(10分)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.解令x＝1，那么a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①令x＝－1，那么a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②(1)∵a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1094.(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1093.(4)方法一∵(1－2x)7展开式中，a0、a2、a4、a6大于零，而a1、a3、a5、a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1093－(－1094)＝2187.方法二|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|，即(1＋2x)7展开式中各项的系数和，令x＝1，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2187.9．(12分)n，(1)假设展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)假设展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解(1)∵C＋C＝2C，∴n2－21n＋98＝0.∴n＝7或者者n＝14，当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.∴T4的系数为C423＝，T5的系数为C324＝70，当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.∴T8的系数为C727＝3432.(2)∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0.∴n＝12或者者n＝－13(舍去)．设Tk＋1项的系数最大，∵12＝12(1＋4x)12，∴∴≤k≤10.4，∴k＝10.∴展开式中系数最大的项为T11，T11＝C·2·210·x10＝16896x10.B组专项才能提升(时间是是：25分钟，满分是是：43分)一、选择题(每一小题5分，一一共15分)1．(2021·)在6的二项展开式中，x2的系数为()A．－ B. C．－ D.答案C解析该二项展开式的通项为Tr＋1＝C6－r·r＝(－1)rC··x3－r.令3－r＝2，得r＝1.∴T2＝－6×x2＝－x2，∴应选C.2．(2021·)设a∈Z，且0≤a<13，假设512012＋a能被13整除，那么a的值是() A．0 B．1 C．11 D．12答案D解析化51为52－1，用二项式定理展开．512012＋a＝(52－1)2012＋a＝C522012－C522011＋…＋C×52×(－1)2011＋C×(－1)2012＋a.因为52能被13整除，所以只需C×(－1)2012＋a能被13整除，即a＋1能被13整除，因为0≤a<13，所以a＝12.3．(2021·课标全国)(x＋)(2x－)5的展开式中各项系数的和为2，那么该展开式中常数项为() A．－40 B．－20 C．20 D．40答案D解析令x＝1得(1＋a)(2－1)5＝1＋a＝2，所以a＝1.因此(x＋)(2x－)5展开式中的常数项即为(2x－)5展开式中的系数与x的系数的和．(2x－)5展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)5－r·(－1)r·x－r＝C25－rx5－2r·(－1)r.令5－2r＝1，得2r＝4，即r＝2，因此(2x－)5展开式中x的系数为C25－2(－1)2＝80.令5－2r＝－1，得2r＝6，即r＝3，因此(2x－)5展开式中的系数为C25－3·(－1)3＝－40.所以(x＋)(2x－)5展开式中的常数项为80－40＝40.二、填空题(每一小题5分，一一共15分)4．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是________．答案－121解析展开式中含x3项的系数为C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＝－121.5．(1＋x＋x2)n的展开式中没有常数项，n∈N*，且2≤n≤8，那么n＝________.答案5解析n展开式中的通项为Tr＋1＝Cxn－rr＝Cxn－4r(r＝0,1,2，…，n)，将n＝2,3,4,5,6,7,8逐个检验可知n＝5.6．1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C除以88的余数是________．答案1解析原式＝(1－90)10＝(88＋1)10＝8810＋C889＋…＋C88＋1，因为前10项均能被88整除，故余数为1.三、解答题7．(13分)等式(x2＋2x＋2)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，其中ai(i＝0,1,2，…，10)为实常数．求：(1)an的值；(2)nan的值．解(1)∵(x2＋2x＋2)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，∴令x＝0，那么a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝25＝32；令x＝－1，那么a0＝1，即an＝31.(2)∵(x2＋2x＋2)5＝[1＋(x＋1)2]5＝C×15＋C(x＋1)2＋C(x＋1)4＋C(x＋1)6＋C(x＋1)8＋C(x＋1)10＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a10(x＋1)10，∴a0＝C，a1＝a3＝a5＝a7＝a9＝0，a2＝C，a4＝C，a6＝C，a8＝C，a10＝C.∴nan＝a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝2C＋4C＋6C＋8C＋10C＝10C＋10C＋10C＝50＋100＋10＝160.。

2021高考理科数学必考点解题方式秘籍：二项式定理11．二项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．大体概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)n +项，是关于a 与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。

用1r n r rr n T C a b -+=表示。

3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。

()na b +与()nb a +是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。

b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。

各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r nnn n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数 是a 与b 的系数（包括二项式系数）。

4．经常使用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r rn nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈令1,,a b x ==-0122(1)(1)()n r rn n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两头“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =，·1k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,那么二项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221rnn n n n n C C C C +++++=-。

高考数学复习 二项式定理 编稿：赵雷 审稿：李霞【学习目标】1．理解并掌握二项式定理，了解用计数原理证明二项式定理的方法． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．【要点梳理】 要点一：二项式定理1.定义一般地,对于任意正整数n ,都有：nn n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110)((*N n ∈)，这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式。

式中的rn rr n C ab -做二项展开式的通项，用T r+1表示，即通项为展开式的第r+1项：1r n r rr nT C a b -+=， 其中的系数rn C （r=0，1，2，…，n ）叫做二项式系数， 2．二项式(a+b)n 的展开式的特点：(1)项数：共有n+1项，比二项式的次数大1；(2)二项式系数：第r+1项的二项式系数为rn C ，最大二项式系数项居中；(3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n ．字母a 降幂排列，次数由n 到0；字母b 升幂排列，次数从0到n ，每一项中，a ，b 次数和均为n ；3.两个常用的二项展开式：①011()(1)(1)n n n r r n r r n n nn n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-⋅++-⋅(*N n ∈)②122(1)1n r r n n n n x C x C x C x x +=++++++要点二、二项展开式的通项公式公式特点：①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是rn C ； ②字母b 的次数和组合数的上标相同； ③a 与b 的次数之和为n 。

要点诠释：（1）二项式(a+b)n 的二项展开式的第r+1项r n rr n C ab -和(b+a)n 的二项展开式的第r+1项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换位置的．（2）通项是针对在(a+b)n 这个标准形式下而言的，如(a －b)n 的二项展开式的通项是1(1)r r n r rr n T C a b -+=-（只需把－b 看成b 代入二项式定理）。