人教版八年级上册数学解答题专题训练50题含答案

人教版八年级上册数学解答题专题训练50题含答案
（2）
51．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ADC的顶点都在方格纸格点上，将△ABC向左平移1格．再向上平移1格，
（1）在图中画出平移后的△A′B′C′；
（2）画出AB边上的高CE；
（3）过点A画BC的平行线；
（4）在图中，若△BCQ的面积等于△BCA的面积．则图中满足条件且异于点A的个点Q 共有_____个．（注：格点指网格线的交点）
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析；（4）4.
【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点A′、B′、C′即可；（2）利用网格特点找出A′C′的中点D′，然后连接B′D′即可；
（3）根据平行线的性质求解；
（4）过点A作BC的平行线，然后找出此平行线上的格点即可．
【详解】解：（1）如图，△A′B′C′为所作；
（2）如图，高线CE为所作；
（3）AQ△BC；
（4）图中满足条件且异于点A的个点Q共有4个．
故答案为4．
【点睛】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
52．已知21(1)(2)12
y A B y y y y +=+-+-+，求A 、B 的值．
53．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，BE AC ∥，AE BD ∥．
(1)求证：四边形AOBE 是菱形；
(2)若60AOB ∠=︒，8AC =，求菱形AOBE 的面积．
，根据菱形的性质易得出AOB 为等边三角形，再根据等的值，最后根据菱形的面积等于对角线
证明：BE AC ∥AE BD
四边形AOBE 为平行四边形
四边形ABCD 为矩形BD =，12OA AC ，OB OB =
∠∴AOB 为等边三角形8AC =
OA AB ==
12
AM AB =OM OA =54．设x ，y ，z 为互不相等的非零实数，且x y z y z x +
=+=+．求证：2221x y z =．
55．如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为a b c ++（）
的正方形.
（1）若用不同的方法计算这个边长为a b c ++（）
的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 .
（2）请利用（1）中的等式解答下列问题：
△若三个实数,,a b c 满足l1a b c ++=，+38ab bc ac +=，求222a b c ++的值.
△若三个实数,,x y z 满足12484
x y z ⨯÷=，2224944x y z ++=，求236xy xz yz --的值. 【答案】（1）2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（2）△45；△－20
【分析】（1）根据大正方形的面积等于所有小正方形与矩形的面积和即可得解； （2）△利用（1）中等式可将（a+b+c ）直接平方，然后代入式子的值求解即可；
（3）△利用幂的乘方与同底数幂的乘除整理得到232x y z +-=-，然后将23x y z +-平
△(a b c ++11,c +=22(b c a +=238⨯
△24x y ⨯÷222x y ∴⨯÷232x y z +-∴=23x y ∴+-(23x y +-2(2)∴-=23xy xz ∴-【点睛】本题主要考查整式混合运算，幂的混合运算，解此题的关键在于根据题图得到新等式，再利用新等式进行整理计算即可56．如图，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，AB △BE ，垂足为B ，DE △BE ，垂足为E ，AC 、DF 相交于点G ，且AC=DF ，BF CE =．求证：FG CG =．
【答案】见详解
【分析】首先证明借助HL 证明Rt ABC Rt DEF ≌，由全等三角形的性质可知ACB DFE ∠=∠，然后由“等角对等边”即可证明FG CG =．
【详解】证明：△AB △BE ，DE △BE ，
△90B E ∠=∠=︒，
△BF CE =，
△BF FC CE FC +=+，
△=BC EF ，
又△AC=DF ，
△()Rt ABC Rt DEF HL ≌，
△ACB DFE ∠=∠，
△FG CG =．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相关性质和判定是解题关键．
57．计算：
(1)2(4)(31)x x -+
(2)23331111
x x x x x ----+-
58．利用因式分解简便计算（要求写出完整计算过程）
(1)22201199- （2）21.99 1.990.01+⨯
【答案】(1)800;(2)3.98.
【详解】试题分析：（1）利用平方差公式得到原式=（201+199）×（201-199），然后进行有理数运算；
（2）利用提公因式得到原式=1.99×（1.99+0.01），然后进行有理数运算．
试题解析：（1）原式=（201+199）×（201-199）
=400×2
=800；
（2）原式=1.99×（1.99+0.01）
=1.99×2
=3.98．
59．(1)计算：232
-÷
x x x
(912)9
(2)分解因式：22
-+
363
x xy y
60．如图1，网格中的每一个正方形的边长为1，△ABC为格点三角形（点A、B、C在小正方形的顶点上），直线m为格点直线（直线m经过小正方形的格点）．
(1)如图1，作出△ABC关于直线m的轴对称图形△A′B′C′；
(2)如图2，在直线m上找到一点P，使P A+PB的值最小；
(3)如图3，仅用直尺将网格中的格点三角形ABC的面积三等分，并将其中的一份用铅笔涂成阴影．
(4)如图4，仅用直尺作出三角形ABC的边AB上的高，简单说明你的理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
（2）作点B关于直线m的对称点B'，连接AB'，交直线m于点P，则点P即为所求作的点；
（3）如图，取格点O，计算可知S△AOC=S△BOC=S△AOB=2（平方单位）．
（4）如图，选择格点D、E，证明△ACD△△BCE．于是，AC=BC．选择格点Q，证明△ACQ△△BCQ，于是，AQ=BQ．推出CQ为线段AB的垂直平分线，设CQ与AB相交于点F，则CF为所要求的△ABC的边AB上的高．
（1）
如图所示，△A′B′C′即为所求作，
（2）
如图，点P即为所求作，
（3）
如图，即为所作，
（4）
如图，选择格点D、E，证明△ACD△△BCE．于是，AC=BC．
选择格点Q，证明△ACQ△△BCQ，于是，AQ=BQ．
△CQ为线段AB的垂直平分线，设CQ与AB相交于点F，则CF为所要求的△ABC的边AB上的高．
【点睛】本题考查作图，轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
61．如图，已知点A、C分别在△GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD△BE，△GBE 的平分线与AD交于点D，连接CD．
（1）求证：CD平分△ECA．
（2）猜想△BDC与△BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．
62．甲、乙两市之间有两条铁路线，普通快车线长600千米；高速铁路线长450千米．已知高速列车的速度是普通快车速度的3倍，普通快车先出发3小时，而比高速列车晚到2小时，求普通快车与高速列车的速度分别是多少？
63．下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l 和直线l 外一点P ．
求作：直线PQ ，使直线PQ l ∥．
作法：如图2，
△在直线l 上取一点A ，连接PA ；
△作PA 的垂直平分线MN ，分别交直线l ，线段PA 于点B ，O ；
△以O 为圆心，OB 长为半径作弧，交直线MN 于另一点Q ； △作直线PQ ，所以直线PQ 为所求作的直线．
根据上述作图过程，回答问题：
(1)用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明：
证明：△直线MN 是PA 的垂直平分线，
△PO =___________，90POQ AOB ∠=∠=︒．
△OQ =___________，
△POQ AOB △≌△．
△___________=___________．
△PQ l ∥（___________）（填推理的依据）
【答案】(1)见解析
(2)AO ；OB ；QPO ∠；BAO ∠；内错角相等，两直线平行．
【分析】（1）根据题中描述即可作图；
（2）根据垂直平分线的性质证明POQ AOB △≌△，得到QPO BAO ∠=∠，即可根据平行线的判定定理证明．
【详解】（1）用直尺和圆规，补全图形如下；
（2）证明：△直线MN 是PA 的垂直平分线，
△PO AO =，90POQ AOB ∠=∠=︒．
△OQ OB =，
△POQ AOB △≌△．
△QPO BAO ∠=∠．
△PQ l ∥（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：AO ；OB ；QPO ∠；BAO ∠；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了作图—复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定定理．
64．如图， ABC C ∠∠=，点E 在线段AC 上，D 在AB 的延长线上，且有BD CE =，
连接DE 交BC 于F ，过E 作EG BC ⊥于G ．试说明线段BF 、
FG 、CG 之间的数量关系．
【答案】BF CG FG +=，证明见解析．
【分析】如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理得出DHB EGC ≅，再根据三角形全等的性质可得BH CG =，DH EG =，然后根据三角形全等的判定定理得出DHF EGF ≅，最后根据三角形全等的性质可得FH FG =，据此根据线段的和差、等量
代换即可得证．
【详解】BF CG FG +=，理由如下：
如图，过点D 作DH CB ⊥，交CB 延长线于点H
△ABC C ∠=∠，HBD ABC ∠=∠（对顶角相等）
△HBD C ∠=∠
在DHB △和EGC 中，90HBD C DHB EGC BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
△()DHB EGC AAS ≅
△BH CG =，DH EG =
在DHF △和EGF △中，90DFH EFG DHF EGF DH EG ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
△()DHF EGF AAS ≅
△FH FG =
△BF BH FH FG +==
△BF CG FG +=．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、对顶角相等、线段的和差等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
65．为响应政府“绿色出行”的号召，张老师上班由自驾车改为骑公共自行车．已知张老师家距上班地点10千米．他用骑公共自行车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程少45千米，他从家出发到上班地点，骑公共自行车方式所用的时间是自驾车方式所用的时间的4倍．张老师用骑公共自行车方式上班比用自驾车的方式上班多用多少小时？
66．小明在学习分式的运算时，计算221x +的解答过程如下：
请你指出小明解答过程中第△步的理论依据是 ；
过程中错误出现在第 步（写出对应的序号即可），错误的原因是 ， 请你给出这道题的正确解的答过程：
67．在数轴上，点A 表示数a ，点B 表示数b ，在学习绝对值时，我们知道了绝对值的
几何含义：数轴上A 、B 之间的距离记作AB ，定义：AB a b =-，如：点A 表示数1，
点B 表示数3，则132AB =-=；1a -表示数a 和1在数轴上对应的两点之间的距离；6a +表示数a 和6-在数轴上对应的两点之间的距离．
（1）在数轴上，若点A 表示数2-，点B 表示数6，
△AB = ；
△动点P 表示数x ，请求出满足2610x x ++-=的x 的值．
（2）小林同学对（1）中正整数x 进行如下图操作：若x 为奇数，则先把x 乘以3，再把所得数在数轴上对应的点向右平移1个单位得到另一个数若x 为偶数，则把x 乘以12，如此循环重复操作图中△处应填写___________(用含x 的代数式表示)经过操作，小林发现有循环出现的数，请画出数轴并在数轴上标出这些循环出现的数．
【答案】（1）△8；△x 的值为-3或7；（2）3x ＋1；循环出现的数为4、2、1，数轴见解析
68．计算：()()2
32223122a ab a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ )()36461142
a b a b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是关键69．先化简，再求值[x 2+y 2﹣(x+y)2+2x(x ﹣y)]÷4x ，其中x ＝﹣2，y ＝2
【分析】根据整式的运算法则把所给的整式化为最简后，再代入求值即可．
70．如图，点A ，M ，B 在同一直线上，以AB 为边，分别在直线两侧作等边三角形ABC 和等边三角形ABD ，连接CM ，DM ，过点M 作MN ＝DM ，交BC 边于点G ，交DB 的延长线于点N ．
（1）求证：△BCM ＝△BDM ；
（2）求△CMN 的度数；
（3）求证：AM ＝BN ． 【答案】（1）见解析；（2）60CMN ∠=︒；（3）见解析
【分析】（1）根据ABC 和ABD △为等边三角形，且AB 为公共边，可以得出条件
BC BD =，CBM DBM ∠=∠，即可证明()CBM DBM SAS ≌，由性质即可得出结论；
（2）根据,MN DM BCM BDM =∠=∠，得出BDM BNM ∠=∠，BCM BNM ∠=∠，又根据CGM ∠和NGB ∠为对顶角，可得CMN NBC ∠=∠，再根据ABC 和ABD △为全等三角形，DBN ∠为平角，利用等量代换即可求出60CMN ∠=︒；
（3）连接CN 由（1）可知：CBM DBM ≌，即可得CM DM =，证出CMN 为等边三角形，进而证明出()AMC BNC SAS ≌，由性质即可得出结论．
【详解】解：（1）证明：ABC 和ABD △为等边三角形，且AB 为公共边， ,60BC BD CBM DBM ∴=∠=∠=︒，
又在CBM 和DBM △中，
CB DB CBM DBM BM BM =⎧⎪∠=∠⎨
⎪=⎩
，
()CBM DBM SAS ∴≌，
BCM BDM ∴∠=∠；
（2）,MN DM BCM BDM =∠=∠，
BDM BNM ∴∠=∠，
BCM BNM ∴∠=∠，
又CGM ∠和NGB ∠为对顶角，
CMN NBC ∴∠=∠，
又ABC 和ABD △为全等三角形，DBN ∠为平角，
60CBM DBM ∴∠=∠=︒，180DBN ∠=︒，
180606060CMN NBC DBN DBM CBM ∴∠=∠=∠-∠-∠=︒-︒-︒=︒，
（3）证明：连接CN ，如图所示：
由（1）可知：
CBM DBM ≌，
CM DM ∴=，
又,60MN DN CMN =∠=︒，
CM MN ∴=，
CMN ∴为等边三角形，
,60CM CN MCN ∴=∠=︒，
又ABC 为等边三角形，
MCB ∠是ACB ∠和MCN ∠重叠的部分，
,AC BC ACM BCN ∴=∠=∠，
又在AMC 和
BNC 中，
AC BC ACM BCN CM CN =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩
，
()AMC BNC SAS ∴≌，
AM BN =．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定及性质、解题的关键是掌握全等三角形的判定定理及性质，再利用等量代换的思想进行解答．
712+2n+1＝0．
（1）求﹣2m 2+6m ﹣4n 的值；
（2）求m 2+21m
﹣n 2013的值．
72．某商店欲购进A 、B 两种化妆品，用160元购进的A 种化妆品与用240元购进的B 种化妆品的数量相同，每件B 种化妆品的进价比A 种化妆品的进价贵10元． （1）求A 、B 两种化妆品每件的进价分别为多少元？
（2）若该商店A 种化妆品每件售价32元，B 种化妆品每件件价45元，准备购进A 、B 两种化妆品共100件，且这两种化妆品全部售出后总获利高于1300元，则最多购进A 种化妆品多少件？
【答案】（1）A 、B 两种化妆品分别为20元、30元；（2）66件．
20x ， 20x 是原方程的解，且符合题意，则两种化妆品每件的进价分别为20元、）设购进A 种化妆品件，则购进B 种化妆品由题意得：(3220)30)(100)1300m m -->2663
， 73．已知m 2=169，n 3=-27，求代数式m -n 的值．
【点睛】本题考查了平方根的定义，立方根的定义，求代数式的值，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义，正确得到m 、n 的值．
74．对于任意一个三位数p ，若个位上数字等于百位上的数字与十位上的数字之和，则
称这个三位数p 为“桃园数”．例如：112p =，因为112+=，所以112是“桃园数”；
253p =，因为253+≠，所以253不是“桃园数”；
(1)判断459，615是否是“桃园数”？说明理由；
(2)对于“桃园数”p ，去掉个位上的数字得到的两位数记为m ，去掉百位上的数字后将十位与个位的数字交换得到的两位数记为n ，若m n +能被24整除，求所有的p ．
75．如图，在直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为A (1，4)，B (4，2)，C (3，5)，请回答下列问题：
（1）写出ABC 关于x 轴的对称图形111A B C △的顶点坐标．
（2）求ABC 的面积．
1,4(),A B 1(1,4),A ∴-（2）1,4(),A B 5BD BF ∴==-则ABC BDEF ABD BCF ACE S S S S S =---
2111222
BD AD BD BF CF AE CE -⋅-⋅-⋅ 111233112222
-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯
【点睛】本题考查了坐标与图形变化等知识点，掌握点坐标关于x 轴对称的变换规律是解题关键．
76．边长为a 的正方形剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是_________（请选择正确的一个）；
A ．2222()a ab b a b -+=-
B ．22(()a b a b a b -=+-
C ．2()a ab a a b +=+ （2）若22912,34x y x y -=+=，求3x y -的值；
（3）计算：22222
11111(1)(1)(1)(1)(1)23499100----- ）边长为）229x y -3124y =÷
77．如图，已知△ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 上的两点，且EF△BC,D 为EF 上一点，且ED=DF ，BD=CD ，请说明：BE=CF.
【答案】见解析.
【分析】利用SAS 证明△BDE△△CDF ，根据全等三角形的对应边相等即可得结论.
【详解】△BD=CD ，
△△DBC=△DCB ，
又△EF△BC ，
△△EDB ＝△DBC ，△FDC ＝△DCB ，
△△EDB ＝△FDC ，
又△ED ＝FD ，BD ＝CD ，
△△BDE△△CDF(SAS)，
△BE ＝CF.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，正确把握相关知识是解题的关键.
78．计算：
(1)()()2
01433π--+--；
(2)()()4
235243a a a a ⋅++-； (3)()()213a a +-；
(4)()()2
2m n m m n ---；
(5)2202020222021⨯-． 【答案】(1)-4；
(2)11a 8；
(3)2a 2-5a -3；
(4)）n 2；
(5)-1．
【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果；
（2）原式利用同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并即可得到结果；
（3）原式利用多项式乘多项式法则计算，合并即可得到结果；
（4）原式利用完全平方公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果；
（5）原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值．
【详解】（1）原式=4+1-9
=5-9
=-4；
（2）原式=a 8+a 8+9a 8
=11a 8；
（3）原式=2a 2-6a +a -3
=2a 2-5a -3；
（4）原式=（m 2-2mn +n 2）-（m 2-2mn ）
=m 2-2mn +n 2-m 2+2mn
=n 2；
（5）原式=（2021-1）×（2021+1）-20212
=20212-1-20212
=-1．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
79．如图，ABC 中，△ABC ＝90°，AB ＝BC ，P 为AB 上一动点，连接CP ，以AB
为边作△BAD＝△BCP，AD交CP的延长线于点D，连接BD，过点B作BE△BD交CP 于点E．
（1）当△EBC＝15°时，△ABD＝°；
（2）过点P作PH△AC于点H，是否存在点P，使得BC＝HC，若存在，请求出此时△ACP 的度数，若不存在，请说明理由；
（3）若AD＝2，ED＝7，求ADC的面积．
80．先化简，再求值：(3x +2)(3x －2)－5x (x +1)－(x －1)2，其中x 2－x －10=0． 【答案】3x 2－3x －5，25
【分析】原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，最后一项利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，将已知的方程变形后代入即可求值．
【详解】原式＝()222945521x x x x x -----+
＝222945521x x x x x ----+-
＝2335x x --，
当2100x x =--，即210x x =-时，
原式＝()235310525x x -=⨯-=-
【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，涉及的知识点有：完全平方公式、平方差公式、去括号法则及合并同类项法则，熟练掌握以上公式及法则是解题的关键． 81．已知：3a b +=,1x y -=，求222a ab b x y ++-+的值.
【答案】8
【详解】试题分析：本题可先将原代数式化简得出关于a+b 和x -y 的式子，再把已知代入即可．
试题解析：△a+b=3，x−y=1，
△a 2+2ab+b 2−x+y=(a+b)2−(x−y) =9−1=8.
82．求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等． 【答案】见解析
【分析】根据题意首先写出已知和求证，进而利用全等三角形的判定与性质得出Rt △ABD △ Rt △A B D '''以及△B=△B′进而得出△ABC△A B C '''．
【详解】解：如图：
已知：如图，在△ABC 与△A B C '''中．
AB ＝A B ''，BC ＝B C ''，AD△BC 于D ，A D ''△B C '' 于D 且 AD ＝A D ''
求证：△ABC△△A B C '''
证明： 在Rt △ABD 与Rt △A B D '''中
△AB A B AD A D ''''=⎧⎨=⎩
△Rt △ABD △ Rt △A B D ''' (HL)
△△B ＝△B '(全等三角形对应角相等)
在△ABC 与△A B C '''中
△AB A B B B BC B C =⎧⎪∠=∠⎨⎪=''''⎩
' △△ABC△△'''A B C (SAS)
【点睛】本题考查了全等三角形判定的应用，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键．
83．计算：
2221244
x x x x x x +----+．
84．老师给同学们布置了一个“在平面内找一点，使该点到等腰三角形的三个顶点的距离相等”的尺规作图任务：
下面是小聪同学设计的尺规作图过程：
已知：如图，ABC ∆中，AB AC =，
求作：一点P ，使得PA PB PC ==.
作法：
△作BAC ∠的平分线AM 交BC 于点D ；
△作边AB 的垂直平分线EF ，EF 与AM 相交于点P ；
△连接,PB PC ，
所以，点P 就是所求作的点.
根据小聪同学设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：△AB AC =，AM 平分BAC ∠交BC 于点D ，
△AD 是BC 的垂直平分线；（ ）（填推理依据）
△PB PC =.
△EF 垂直平分AB ，交AM 于点P ，
△PA PB =；（ ）（填推理依据）
△PA PB PC ==.
【答案】（1）见解析；（2）等腰三角形的三线合一 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
【分析】（1）利用基本作图作角平分线AD 和AB 的垂直平分线，它们相交于P 点；
（2）根据等腰三角形的性质得到PB=PC ．再根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到PA=PC ，从而得到PA=PB=PC ．
【详解】（1）如图，AD 、点P 为所求；
（2）证明：△AB AC =，AM 平分BAC ∠交BC 于点D ，
△AD 是BC 的垂直平分线；（ 等腰三角形的三线合一 ）（填推理依据）
△PB PC =.
△EF 垂直平分AB ，交AM 于点P ，
△PA PB =；（ 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 ）（填推理依据） △PA PB PC ==.
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 85．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：线段c ，求作Rt △ABC ，使△C ＝90°，BC ＝c ，AB ＝2c ．
【答案】见解析
【分析】在直线l 上取点C ，作CD △l ，在CD 上截取CB ＝c ，分别以B ，C 为圆心，c 为半径画弧，交于点E ，连接BE 并延长交直线l 于点A ，则AB ＝2c ．
【详解】如图所示，Rt △ABC 即为所求．
【点睛】本题主要考查了复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形
的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 86．△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，AE 是△ABC 的高．
（1）如图1，若∠B ＝40°，∠C ＝60°，请说明∠DAE 的度数；
（2）如图2（∠B ＜∠C ），试说明∠DAE 、∠B 、∠C 的数量关系；
（3）如图3，延长AC 到点F ，∠CAE 和∠BCF 的角平分线交于点G ，请直接写出∠G 的度数 ． ）40B ∠=AE 是ABC ∆的高，
AEC ∴∠=60C ∠=CAE ∴∠=AD 是∠CAD ∴∠=DAE ∴∠=（2）BAC ∠+180BAC ∴∠=︒-AE 是ABC ∆的高，90,AEC =︒
AD 是∠CAD ∴∠=DAE ∴∠=(11802=
︒1C =∠-）CAE ∠和2CAE CAG =∠CAE FCB ∠=∠2FCG AEC ∴∠-∠AE 是ABC ∆的高，AEC ∴∠=45G ∴∠=故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．87．把下列各式分解因式：
（1）22425x y - （2） 2x y y -
（3）224()x y z -- （4）2216()()a b a b --+
（5）33327xy x y -+ (6) 2222416a x a y -
(7)(2)(80+6a a a +- (8)4481x y -
(9)224(23)(3)p q p q +-- (10)22169()196()a b a b --+
【答案】(1)(2x+5y)(2x -5y); (2)y(x+1)(x -1); (3)(2x+y -z)(2x -y+z); (4)(5a -3b)(3a -5b);
(5)-3xy(y+3x)(y -3x); (6)4a 2(x+2y)(x -2y); (7)(a+4)(a -4); (8)
()()229)33x y x y x y ++-（; (9)(7p+5q)(p+7q); (10)-(27a+b)(a+27b);.
【详解】试题分析：（1）直接利用平方差公式进行分解即可；
（2）首先提取公因式y ，再利用平方差公式进行分解即可；
（3）直接利用平方差公式进行分解即可；
（4）直接利用平方差公式进行分解即可；
（5）首先提取公因式-3xy ，再利用平方差公式进行分解即可；
（6）首先提取公因式4a 2，再利用平方差公式进行分解即可；
（7）首先进行乘法运算，再利用平方差进行分解即可；
（8）直接利用平方差公式进行二次分解即可；
（9）首先利用平方差公式进行分解，再把括号里面的同类项进行合并即可； （10）直接利用平方差公式进行分解即可．
试题解析：（1）原式=（2x+5y ）（2x -5y ）；
（2）原式=y （x 2-1）
=y （x+1）（x -1）；
（3）原式=（2x+y -z ）（2x -y+z ）；
（4）原式=（5a -3b ）（3a -5b ）；
（5）原式=-3xy （y 2-9）
=-3xy （y+3x ）（y -3x ）；
（6）原式=4a 2（x 2-4y 2 ）
=4a 2（x+2y ）（x -2y ）；
（7）原式=a 2-16+6a -6a
=（a+4）（a -4）；
（8）原式=（9x 2+y 2）（3x+y ）（3x -y ）；
（9）原式=（7p+5q ）（p+7q ）；
（10）原式=-（27a+b ）（a+27b ）．
88．在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E ，作EF AB ⊥交BD 于点F ，取FD 的中点G ，连接EG 、CG ，如图()1，易证 EG CG =且EG CG ⊥．
()1将BEF 绕点B 逆时针旋转90，如图()2，则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．
()2将BEF 绕点B 逆时针旋转180，如图()3，则线段EG 和CG 又有怎样的数量关系
和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明． 90，90EBC ∠，90BCM ∠，
BEMC 是矩形．，90EMC ∠，
90ABC =，
45，
AB ，
∵BEF 为等腰直角三角形BE EF =，45．
EF CM =90EMC ∠=，FG DG =，12
MG FD FG ==
45，
∵F GMC ∠=∠．
∵在GFE与GMC中，FG MG F GMC EF CM
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∵()
GFE GMC SAS
≅．
∵EG CG
=，FGE MGC
∠=∠．
∵90
FMC
∠=，MF MD
=，FG DG
=，
∵MG FD
⊥，
∵90
FGE EGM
∠+∠=，
∵90
MGC EGM
∠+∠=，
即90
EGC
∠=，
∵EG CG
⊥．
【点睛】此题综合考查了旋转的性质及全等三角形的判断和性质，如何构造全等的三角形是难点，因此难度较大.
89．如图，在平面直角坐标系中，已知点()
1,
A a a b
-+，(),0
B a，且
()2
20
a b
-=，C为x轴上点B右侧的动点，以AC为腰作等腰
ACD，使
AD AC
=，CAD OAB
∠=∠，直线DB交y轴于点P．
（1）求证：AO AB
=；
（2）求证：AOC ABD
△△
≌；
（3）当点C运动时，点P在y轴上的位置是否发生变化，为什么？
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不变，理由见解析
【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，作AE OB
⊥于点E，由SAS定理得出AEO AEB
∆≅∆，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）先根据CAD OAB
∠=∠，得出OAC BAD
∠=∠，再由SAS定理即可得出AEO AEB
∆≅∆；（3）设AOB ABOα
∠=∠=，由全等三角形的性质可得出ABD AOBα
∠=∠=，故
）证明：(3,9)A ，3OE ∴=在AEO ∆AE AEO =⎧⎪∠⎨⎪）证明：CAD ∠=BAC OAB =∠ABD 中，BAD ⎪∠⎨⎪，由（2OB =，OP ∴长度不变，∴点P 在
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键．
90．如图，△ABC＝90°，点D、E分别在BC、AC上，AD△DE，且AD＝DE，点F是AE的中点，FD与AB的延长线相交于点M，连接MC．
（1）MF与AC的位置关系是：______．
（2）求证：CF＝MF．
（3）猜想：AD与MC的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）MF△AC；（2）证明见解析；（3）AD△MC．
【分析】（1）只要证明△ADE是等腰直角三角形，即可解决问题；
（2）根据等腰直角三角形的性质，得出DF△AE，DF=AF=EF，再证明△DFC△△AFM，得出FC=FM；
（3）依据△DFC=90°，DF=EF，△FDE=△FMC=45°，即可得到△DEF、△CFM是等腰直角三角形，进而证明DE△MC，即可得出结论．
【详解】（1）△AD△DE，AD=DE，
△△ADE是等腰直角三角形，
△AF=EF，
△DF△AE，即MF△AC．
故答案为MF△AC．
（2）△AD△DE，且AD=DE，F是AE的中点，
△DF△AE，DF=AF=EF，
△△AFM=90°，
△△FAM+△AMF=90°，
△△ABC=90°， △△FAM+△DCF=90°，
△△DCF=△AMF ，
在△DFC 和△AFM 中，
90DFC AFM DCF AMF
DF AF ＝＝＝＝∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
， △△DFC△△AFM （AAS ），
△FC=FM ；
（3）AD△MC ．
理由：由（2）得：△DFC=90°，DF=EF ，FM=FC
，
△△DEF 、△CFM 是等腰直角三角形，
△△FDE=△FMC=45°，
△DE△MC ，
△AD△DE ，
△AD△MC ．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质的综合应用，熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键． 91．数学课上，老师在黑板上展示了如下一道探究题：
在ABC 中，AB AC m ==，BAC α∠=，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，且CE BD =，试探究线段AE 和线段AD 的数量关系．
(1)初步尝试
如图△，若90α=︒，请探究AE 和AD 的数量关系，并说明理由．
(2)类比探究
如图△，若120α=︒，小组讨论后，有小组利用120°的角作垂线构造直角三角形，通过证明两次三角形全等，得到AE 和AD 的数量关系仍然成立，请你写出推理过程；
(3)延伸拓展
如图△，将第（2）中的“点E在边AB上”改为“点E在边BA的延长线上”，其它条件不变，请探究AE和AD的数量关系（用含m的式子表示），并说明理由．
试卷第41页，共41页。