【配套K12】九年级数学下册第27章圆27.3圆中的计算问题27.3.2圆锥及其侧面积同步练习
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《圆中的计算问题》教案
《圆中的计算问题》教案
教学目标
1.了解扇形的概念,理解n °的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用.
2.通过复习圆的周长、圆的面积公式,探索n °的圆心角所对的弧长L =2
180n R π和扇形面积S 扇=2
360
n R π的计算公式,并应用这些公式解决一些题目. 教学重难点
1.重点:n °的圆心角所对的弧长L =180n R π,扇形面积S 扇=2
360
n R π及其它们的应用. 2.难点:两个公式的应用.
教学过程
一、复习引入
(老师口问,学生口答)请同学们回答下列问题.
1.圆的周长公式是什么?
2.圆的面积公式是什么?
3.什么叫弧长?
老师点评:(1)圆的周长C =2πR
(2)圆的面积S 图=πR 2
(3)弧长就是圆的一部分.
二、探索新知
(小黑板)请同学们独立完成下题:设圆的半径为R ,则:
1.圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧.
2.1°的圆心角所对的弧长是_______.
3.2°的圆心角所对的弧长是_______.
4.4°的圆心角所对的弧长是_______.
……
5.n °的圆心角所对的弧长是_______.
(老师点评)根据同学们的解题过程,我们可得到:
n °的圆心角所对的弧长为180
n R π. 1.一滑轮装置如图,滑轮的半径R =10cm ,当重物上升15.7cm 时,问滑轮的一条半径OA。
27.3 圆中的计算问题 第1课时 弧长和扇形面积教学目标一、基本目标探索弧长公式和扇形面积公式推导过程,并会应用公式解决问题. 二、重难点目标 【教学重点】弧长及扇形面积计算公式. 【教学难点】弧长及扇形面积计算公式的推导过程.教学过程环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P58~P61的内容,完成下面练习. 【3 min 反馈】1.在半径为R 的圆中,1°的圆心角所对的弧长是πR 180,n °的圆心角所对的弧长是nπR180.2.在半径为R 的圆中,1°的圆心角所对应的扇形面积是πR 2360,n °的圆心角所对应的扇形面积是nπR 2360.3.半径为R ,弧长为l 的扇形面积S =12lR .4.已知⊙O 的半径OA =6,∠AOB =90°,则∠AOB 所对的弧长AB 的长是3π. 5.一个扇形所在圆的半径为3 cm ,扇形的圆心角为120°,则扇形的面积为3π cm 2. 6.在一个圆中,如果60°的圆心角所对的弧长是6π cm ,那么这个圆的半径r =18 cm. 环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】制作弯形管道时,需要先按中心线计算“展直长度”再下料,试计算如图所示的管道的展直长度,即AB ︵的长(结果精确到0.1 mm).【互动探索】(引发学生思考)直接运用弧长公式求解. 【解答】∵R =40 mm ,n =110, ∴AB ︵ 的长=nπR 180=110×40π180≈76.8(mm).∴管道的展直长度约为76.8 mm.【互动总结】(学生总结,老师点评)运用弧长公式解决问题时,一定要找准弧所对的圆心角与半径.【例2】扇形AOB 的半径为12 cm ,∠AOB =120°,求AB ︵的长(结果精确到0.1 cm)和扇形AOB 的面积(结果精确到0.1 cm 2).【互动探索】(引发学生思考)直接运用弧长公式求出AB ︵ 的长,再直接运用扇形公式求解. 【解答】AB ︵ 的长=120180π×12≈25.1(cm).S 扇形=120360π×122≈150.7(cm 2).【互动总结】(学生总结,老师点评)此题求扇形的面积也可利用公式S =12lR 解决.活动2 巩固练习(学生独学)1.已知半径为2的扇形,面积为43π,则它的圆心角的度数=120°.2.已知半径为2 cm 的扇形,其弧长为43π cm ,则这个扇形的面积S =43π cm 2.3.已知半径为2的扇形,面积为43π,则这个扇形的弧长=43π.4.已知扇形的半径为5 cm ,面积为20 cm 2,则扇形弧长为8 cm. 5.已知扇形的圆心角为210°,弧长是28π,则扇形的面积为336π. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图,两个同心圆被两条半径截得的AB ︵ 的长为6π cm ,CD ︵的长为10π cm ,又AC =12 cm ,求阴影部分的面积.【互动探索】图中的阴影部分是圆环的一部分,要求阴影部分的面积,需求扇形COD 的面积与扇形AOB 的面积之差.根据扇形面积S =12lR ,l 已知,则需要求两个半径OC 与OA ,因为OC =OA +AC ,AC 已知,所以只要能求出OA 即可.【解答】设OA =R cm ,OC =(R +12) cm ,∠O =n °.根据已知条件有⎩⎨⎧6π=n180πR ,①10π=n 180π(R +12),②①②得,35=R R +12,∴R =18.∴OC =18+12=30,∴S =S 扇形COD -S 扇形AOB =12×10π×30-12×6π×18=96π cm 2.∴阴影部分的面积为96π cm 2.【互动总结】(学生总结,老师点评)利用我们所学的知识,不能直接求出阴影部分的面积,需要将它转化为两个扇形的面积之差.在求不规则图形的面积时,需要将其转化为规则图形面积的和(差)形式,从而解决问题.环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)弧长和扇形面积⎩⎪⎨⎪⎧半径为R ,n °的圆心角所对的弧长l =nπR 180半径为R ,n °的圆心角所对的扇形面积S =nπR2360半径为R ,弧长为l 的扇形面积S =12lR练习设计请完成本课时对应训练!第2课时 圆锥的侧面积和全面积教学目标一、基本目标1.了解圆锥母线和高的概念,理解圆锥侧面积计算公式. 2.理解圆锥全面积的计算公式,并会应用公式解决问题. 二、重难点目标 【教学重点】圆锥侧面积和全面积的计算. 【教学难点】探索圆锥侧面积计算公式.教学过程环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P62~P63的内容,完成下面练习. 【3 min 反馈】1.圆锥是由一个底面和一个侧面围成的.把圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的线段叫做圆锥的母线,连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高.2.沿着圆锥的母线,把圆锥的侧面展开,得到一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,而扇形的半径等于圆锥的母线长.3.圆锥的母线为l ,圆锥的高为h ,底面圆的半径为r ,存在关系式:l 2=h 2+r 2,圆锥的侧面积S =πlr ;圆锥的全面积S 全=S 底+S 侧=πr 2+πlr .4.已知圆锥的底面直径为4,母线长为6,则它的侧面积为12π.5.圆锥的底面半径为3 cm ,母线长为6 cm ,则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角是180°. 6.如果圆锥的高为3 cm ,母线长为5 cm ,则圆锥的全面积是36π cm 2. 环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生对学)【例1】圣诞节将近,某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽.已知纸帽的底面周长为58 cm ,高为20 cm ,要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸?(结果精确到0.1 cm 2)【互动探索】(引发学生思考)“圆锥形纸帽”的侧面展开图是什么?要求纸帽的面积,即求圆锥的侧面积,需要哪些条件?【解答】设纸帽的底面半径为r cm ,母线长为l cm.则r =582π,l =⎝⎛⎭⎫582π2+202≈22.03(cm),S 圆锥侧=12lR ≈12×58×22.03=638.87(cm 2).638.87×20=12 777.4(cm 2).即至少需要12 777.4 cm 2的纸.【互动总结】(学生总结,老师点评)在解决实际问题时,首先要考虑求的是圆锥的侧面积还是全面积,确定好以后,找到需要的数据,代入公式计算即可.活动2 巩固练习(学生独学)1.圆锥的侧面积是底面积的2倍,这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是180°. 2.一个扇形,半径为30 cm ,圆心角为120°,用它做成一个圆锥的侧面,那么这个圆锥的底面半径为10 cm.3.如图所示,已知扇形AOB 的半径为6 cm ,圆心角为120°,现要将此扇形围成一个圆锥.(1)求围成的圆锥的侧面积; (2)求该圆锥的底面半径;解:(1)圆锥的侧面积=120π×62360=12π(cm 2).(2)该圆锥的底面半径为r .根据题意,得2πr =120π×6180,解得r =2.即圆锥的底面半径为2 cm. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如图,已知Rt △ABC 的斜边AB =13 cm ,一条直角边AC =5 cm ,以直线AB 为轴旋转一周得一个几何体.求这个几何体的表面积.【互动探索】观察图形,几何体由两个圆锥组成,且共用圆锥底面,要求其表面积,只需求出两个圆锥的侧面积之和即可.【解答】在Rt △ABC 中,AB =13 cm ,AC =5 cm , ∴BC =12 cm. ∵OC ·AB =BC ·AC ,∴r =OC =BC ·AC AB =5×1213=6013,∴S 表=πr (BC +AC )=π×6013×(12+5)=102013π(cm 2).【互动总结】(学生总结,老师点评)在计算组合体的表面积时,需要将其拆分成简单的几何体,分别计算各几何体的表面积,注意重叠的部分不需要计算.环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)圆锥的相关计算⎩⎪⎨⎪⎧圆锥的侧面展开图是一个扇形圆锥的侧面积S =πlr圆锥的全面积S 全=S 底+S 侧=πr 2+πlr练习设计请完成本课时对应训练!。
27.3圆中的计算问题
【学习目标】
1.理解弧长、扇形面积公式的由来,掌握圆锥的特征。
2.会利用公式计算弧长、扇形面积及圆锥侧面积。
3.发展空间想象能力和计算能力。
【重点】利用公式计算弧长、扇形面积及圆锥侧面积。
【难点】圆锥侧面展开图与圆锥的联系。
【使用说明与学法指导】
先预习课本P58-63,勾画重点,独立完成导学案,疑惑随时记录在课本或预习案上,准备课上讨论质疑;
预习案
一、预习导学:
1.分别写出圆的周长公式和面积公式?
2.完成课本P59弧长公式的推导过程,理解弧长与圆周长的联系,写出弧长计算公式。
3.完成课本P60扇形面积公式的推导过程,理解扇形面积与圆面积的联系,写出扇形面积公式。
4.阅读课本P62内容,说出圆锥面展开图的形状,展开图的弧长、半径与圆锥有什么关系?
二、我的疑惑:
合作探究
探究一:求弧长
例1:如图,一块边长为10cm的正方形木块ABCD在水平桌面上绕点D按顺时针旋转到A´B´C´D´的位置,顶点B从开始到B´,所经过的路程为多少厘米?
探究二:求扇形的面积
例2:如图,扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条AB、AC夹角为120°,AB的长为30cm,贴纸部分BD的长为20cm,求贴纸部分的面积。
探究三:圆锥的侧面展开图
例3:如图,两同心圆的圆心为点O,大圆的弦AB切小圆于点P,两圆的半径分别为2和1。
(1)直接写出弦长AB的值
(2)若用阴影部分围成一个圆锥,求该圆锥的底面半径(结果保留根号)。
当堂练习
【课堂小结】1.知识方面:
2.数学思想方法:。
27.3 圆中的计算问题
第2课时圆锥及其侧面积
知|识|目|标
1.经历阅读、动手实践和思考,理解圆锥的侧面展开图是一个扇形,并知道圆锥母线、底面周长与扇形半径、弧长的关系.
2.通过阅读、思考、归纳等过程,能熟练进行圆锥的半径、高、母线等相关计算.
3.通过例题学习、变式和总结,能够正确地计算圆锥的侧面积和全面积.
目标一理解圆锥的相关概念
例1 教材补充例题将一个圆锥的侧面沿它的一条母线剪开铺平,思考圆锥中的各元素与它的侧面展开图中的各元素之间的关系.圆锥的侧面展开图是一个扇形,如图27-3-4,设圆锥的母线长为a,底面半径为r,那么这个扇形的半径为________,扇形的弧长为________,因此,圆锥的侧面积为________,圆锥的全面积为____________.
图27-3-4
目标二掌握圆锥中半径、高、母线等有关计算
例2 教材例2针对训练 (1)如图27-3-5,圆锥的侧面展开图是半径为3,圆心角为90°的扇形,则该圆锥的底面周长为( )
图27-3-5
A.34π
B.32π
C.34
D.32
(2)用圆心角为120°,半径为6 cm 的扇形纸片无重叠地卷成一个圆锥形纸帽(如图27-3-6所示),则这个纸帽的高是( )
图27-3-6
A .2 cm
B .3 2 cm
C .4 2 cm
D .4 cm
(3)若一个圆锥的底面半径为6 cm ,其侧面展开图为半圆,则圆锥的母线长为( ) A .9 cm B .12 cm C .15 cm D .18 cm
【归纳总结】圆锥及其侧面展开图之间转换的“两个对应”: (1)圆锥的母线与展开后扇形的半径对应; (2)展开后扇形的弧长与圆锥底面的周长对应.
根据这两个对应关系列方程求解是解决这两者转换问题的主要方法. 目标三 会计算圆锥的侧面积和全面积
例3 教材补充例题 (1)如图27-3-7,圆锥的底面半径r 为 6 cm ,高h 为 8 cm ,则圆锥的侧面积为( )
图27-3-7
A. 30π cm 2 B .48π cm 2
C .60π cm 2
D .80π cm 2
(2)若圆锥底面的直径为6 cm ,高为4 cm ,则它的全面积为__________.(结果保留π) 【归纳总结】求圆锥侧面积的“三个公式”: (1)已知圆锥的侧面展开扇形的圆心角n °和母线长r ,一般用S 侧=
n πr 2
360
.
(2)已知圆锥的侧面展开扇形的弧长l 和母线长r ,一般用S 侧=1
2
lr .
(3)已知圆锥的底面半径r 和母线长l ,一般用S 侧=πrl .
例4 教材补充例题 如图27-3-8所示,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =13 cm ,BC =5 cm ,求以AB 所在的直线为轴旋转一周所得到的几何体的全面积.
图27-3-8
【归纳总结】计算圆锥全面积的“四个关键点”: (1)分析清楚几何体表面的构成.
(2)弄清圆锥与其侧面展开图——扇形各元素之间的对应关系.
(3)圆锥的母线l ,底面半径r 和圆锥的高h 之间的关系为l 2=r 2+h 2
. (4)圆锥的全面积等于其侧面积与底面积的和.
知识点一 圆锥的相关概念 (1)圆锥的母线:我们把圆锥底面________任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线,如图27-3-9中的a .
图27-3-9
(2)圆锥的高:连结顶点与底面________的线段叫做圆锥的高,如图27-3-9中的h .
[点拨] (1)圆锥的侧面展开图是扇形;(2)扇形的半径是圆锥的母线;(3)扇形的弧长是圆锥的底面周长.
知识点二 圆锥的侧面积和全面积 (1)圆锥的侧面展开图如图27-3-10.
沿着圆锥的母线,把一个圆锥的侧面展开,得到一个________,这个扇形的弧长等于圆锥________的周长,而扇形的半径等于圆锥母线的长. (2)圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长,半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积,而圆锥的全面积就是它的侧面积与底面积的和.
图27-3-10
计算公式:S 侧=1
2a ·2πr =πra (其中r 为圆锥底面的半径,a 为圆锥的母线长).
圆锥的全面积=侧面积+底面积,
计算公式:S 全=S 侧+S 底=πra +πr 2
=πr (a +r )(其中r 为圆锥底面的半径,a 为圆锥的母
线长).
已知圆锥的侧面展开图是圆心角为180°的扇形,底面积为15 cm 2
,求圆锥的侧面积S .
解:设圆锥底面的半径为r cm ,则πr 2
=15, ∴r 2
=15π
.
∵圆锥的侧面展开图是圆心角为180°的扇形, ∴S =180πr 2
360=12π×15π
=7.5(cm 2
).
上述解答过程正确吗?如果不正确,请写出正确的解答过程.
教师详解详析
【目标突破】
例1 [答案] a 2πr πra πra +πr 2
例2 [解析] (1)B 根据题意可知:扇形的弧长为90·π·3180=3π2,∴圆锥的底面周长是3π
2.
(2)C 设圆锥形纸帽的底面半径为r cm ,则2πr =120×π×6
180,解得r =2.设圆锥形纸帽的
高为h cm ,由h 2
+r 2
=62
,得h 2
+22
=62
,解得h =4 2.
(3)B 设圆锥的母线长为l cm ,则πl =2π×6,解得l =12.
例3 [答案] (1)C (2)24π cm 2
[解析] (1)∵r =6 cm ,h =8 cm ,
∴l =r 2
+h 2
=62
+82
=10(cm ),
∴圆锥的侧面积为πrl =π×6×10=60π(cm 2
). 故选C .
(2)如图,AO =4 cm ,BC =6 cm ,∴BO =3 cm .在Rt △AOB 中,AB =AO 2
+BO 2
=5 cm ,运用圆
锥的全面积公式得S 全=π×5×3+π×32=24π(cm 2
).
例4 [解析] 以AB 所在的直线为轴旋转一周所得到的几何体是由公共底面的两个圆锥所组成的几何体,因此求全面积就是求圆锥的侧面积之和. 解: 如图,过点C 作CD ⊥AB ,垂足为D.
∵△ABC 是直角三角形,且∠ACB =90°,AB =13 cm ,BC =5 cm , ∴由勾股定理得AC =12 cm , ∴CD =AC ·BC AB =12×513=6013
(cm ),
∴以D 为圆心,以CD 长为半径的圆的周长为2π×6013=120π
13(cm ),
∴S 全=12×120π13×5+12×120π13×12=1020π13
(cm 2
).
即以AB 所在的直线为轴旋转一周所得到的几何体的全面积为1020π13 cm 2
.
备选目标 圆锥中的最短路径问题
例 如图①,圆锥的底面半径为1,母线长为6,一只蚂蚁要从底面圆周上一点B 出发,沿圆锥侧面爬行一圈再回到点B ,它爬行的最短路程是多少?
解:如图②,设圆锥的侧面展开图为扇形ABB ′,∠BAB ′=n °,连结BB ′,BB ′即为蚂蚁爬行的最短路线. ∵圆锥底面半径为1, ∴lBB ′︵
=2π. 又∵lBB ′︵=6n π180,
∴2π=6n π
180
,解得n =60,
∴△ABB ′是等边三角形, ∴BB ′=AB =6.
即蚂蚁爬行的最短路程为6. 【总结反思】
[小结] 知识点一 (1)圆周上 (2)圆心 知识点二 (1)扇形 底面 [反思] 不正确.
正解:设圆锥底面的半径为r cm ,扇形的半径为R cm ,则πr 2
=15, ∴r =
15π
. ∵圆锥的侧面展开图是圆心角为180°的扇形, ∴2πr =πR , ∴R =2r =2
15π
, ∴S =πrR =π×
15π
×215π
=30(cm 2
).。