一、初一数学一元一次方程解答题压轴题精选(难)
1.如图,动点A从原点出发向数轴负方向运动,同时,动点B也从原点出发向数轴正方向运动,运动到3秒钟时,两点相距15个单位长度.已知动点A、B的运动速度比之是3∶2(速度单位:1个单位长度/秒).
(1)求两个动点运动的速度;
(2)A、B两点运动到3秒时停止运动,请在数轴上标出此时A、B两点的位置;
(3)若A、B两点分别从(2)中标出的位置再次同时开始在数轴上运动,运动的速度不变,运动的方向不限,问:运动到几秒钟时,A、B两点之间相距4个单位长度?
【答案】(1)解:设点B的速度为2x个单位长度/秒,则点A的速度为3x个单位长度/秒,
根据题意得:3×(2x+3x)=15,
解得:x=1,
∴3x=3,2x=2,
答:动点A的运动速度为3个单位长度/秒,动点B的运动速度为2个单位长度/秒;
(2)解:3×3=9,2×3=6,
∴运动到3秒钟时,点A表示的数为﹣9,点B表示的数为6;
(3)解:设运动的时间为t秒,
当A、B两点向数轴正方向运动时,有|3t﹣2t﹣15|=4,
解得:t1=11,t2=19;
当A、B两点相向而行时,有|15﹣3t﹣2t|=4,
解得:t3= 或t4= ,
答:经过、、11或19秒,A、B两点之间相距4个单位长度.
【解析】【分析】(1)根据已知:动点A、B的运动速度比之是3∶2,因此设点B的速度为2x个单位长度/秒,则点A的速度为3x个单位长度/秒,根据两点相距15,列方程,求解即可。
(2)根据两点的运动速度,就快求出A、B两点运动到3秒时停止运动,就可得出它们的位置。
(3)设运动的时间为t秒,分两种情况:当A、B两点向数轴正方向运动时;当A、B两点相向而行时,分别根据A、B两点之间相距4个单位长度,列方程求出t的值。
2.同学们都知道,表示5与-2之差的绝对值,实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离,试探索:
(1)求=________.
(2)若,则 =________
(3)同理表示数轴上有理数x所对应的点到-1和2所对应的两点距离之和,请你找出所有符合条件的整数x,使得,这样的整数是
________(直接写答案)
【答案】(1)7
(2)7或-3
(3)-1,0,1,2.
【解析】【解答】(1)|5-(-2)|=7,
故答案为:7;
( 2 )|x-2|=5,
x-2=5或x-2=-5,
x=7或-3,
故答案为:7或-3;
( 3 )如图,
当x+1=0时x=-1,
当x-2=0时x=2,
如数轴,通过观察:-1到2之间的数有-1,0,1,2,
都满足|x+1|+|x-2|=3,这样的整数有-1,0,1,2,
故答案为: -1,0,1,2.
【分析】(1)化简符号求出式子的值;(2)根据绝对值的性质得到x-2=5或x-2=-5,求出x的值;(3)根据题意画出数轴,得到-1到2之间的整数有-1,0,1,2,得到满足方程的整数值有-1,0,1,2.
3.某手机经销商购进甲,乙两种品牌手机共 100 部.
(1)已知甲种手机每部进价1500 元,售价2000 元;乙种手机每部进价3500 元,售价4500 元;采购这两种手机恰好用了 27 万元 .把这两种手机全部售完后,经销商共获利多少元?
(2)已经购进甲,乙两种手机各一部共用了5000 元,经销商把甲种手机加价50%作为标价,乙种手机加价 40%作为标价.
从 A,B 两种中任选一题作答:
A:在实际出售时,若同时购买甲,乙手机各一部打九折销售,此时经销商可获利1570 元.求甲,乙两种手机每部的进价.
B:经销商采购甲种手机的数量是乙种手机数量的 1.5 倍.由于性能良好,因此在按标价进行销售的情况下,乙种手机很快售完,接着甲种手机的最后10 部按标价的八折全部售完.在这次销售中,经销商获得的利润率为 42.5%.求甲,乙两种手机每部的进价.
【答案】(1)解:设购进甲种手机部,乙种手机部,
根据题意,得
解得:
元.
答:销商共获利元.
(2)解:A: 设每部甲种手机的进价为元,每部乙种手机的进价元,
根据题意,得
解得:
答:求甲,乙两种手机每部的进价分别为:3000元,2000元.
B:乙种手机:部,甲种手机部,
设每部甲种手机的进价为元,每部乙种手机的进价元,
根据题意,得
解得:
答:求甲,乙两种手机每部的进价分别为:2000元,3000元.
【解析】【分析】(1)甲的单价乘以部数加上乙的单价乘以部数等于总数,根据题意列出,然后解方程得到结果。(2)A 根据进价加利润等于甲和乙的售价,列出方程B 先求出甲乙的部数,表示出甲乙的标价,列出关系式,50部甲×甲的标价+10部甲×甲标价的八折
+40部乙×乙的标价=利润率乘以成本,即可解出结果。
4.如图1,O为直线AB上一点,过点O作射线OC,∠AOC=30°,将一直角三角板(∠M=30°)的直角顶点放在点O处,一边ON在射线OA上,另一边OM与OC都在直线AB的上方.
(1)将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周.如图2,经过t秒后,OM恰好平分∠BOC.①求t的值;②此时ON是否平分∠AOC?请说明理由;
(2)在(1)问的基础上,若三角板在转动的同时,射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周,如图3,那么经过多长时间OC平分∠MON?请说明理由;
(3)在(2)问的基础上,经过多长时间OC平分∠MOB?请画图并说明理由.
【答案】(1)解:①∵∠AON+∠BOM=90°,∠COM=∠MOB,
∵∠AOC=30°,
∴∠BOC=2∠COM=150°,
∴∠COM=75°,
∴∠CON=15°,
∴∠AON=∠AOC﹣∠CON=30°﹣15°=15°,
解得:t=15°÷3°=5秒;
②是,理由如下:
∵∠CON=15°,∠AON=15°,
∴ON平分∠AOC
(2)解:15秒时OC平分∠MON,理由如下:
∵∠AON+∠BOM=90°,∠CON=∠COM,
∵∠MON=90°,
∴∠CON=∠COM=45°,
∵三角板绕点O以每秒3°的速度,射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转,
设∠AON为3t,∠AOC为30°+6t,
∵∠AOC﹣∠AON=45°,
可得:6t﹣3t=15°,
解得:t=5秒
(3)解:OC平分∠MOB
∵∠AON+∠BOM=90°,∠BOC=∠COM,
∵三角板绕点O以每秒3°的速度,射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转,
设∠AON为3t,∠AOC为30°+6t,
∴∠COM为(90°﹣3t),
∵∠BOM+∠AON=90°,
可得:180°﹣(30°+6t)= (90°﹣3t),
解得:t=23.3秒;
如图:
【解析】【分析】(1)①根据∠AON+∠BOM=90°,∠COM=∠MOB,及平角的定义∠BOC=2∠COM=150°,故∠COM=75°,根据角的和差得出∠CON=15°从而得到AON=∠AOC ﹣∠CON=30°﹣15°=15°,根据旋转的速度,就可以算出t的值了;②根据∠CON=15°,∠AON=15°,即可得出ON平分∠AOC ;
(2)15秒时OC平分∠MON,理由如下:∠AON+∠BOM=90°,∠CON=∠COM,从而得出∠CON=∠COM=45°,又三角板绕点O以每秒3°的速度,射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转,设∠AON为3t,∠AOC为30°+6t,根据∠AOC﹣∠AON=45°得出含t的方程,求解得出t的值;
(3)根据∠AON+∠BOM=90°,∠BOC=∠COM,及三角板绕点O以每秒3°的速度,射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转,故设∠AON为3t,∠AOC为30°+6t,从而得到∠COM
为(90°﹣3t),又∠BOM+∠AON=90°,从而得出含t的方程,就能解出t的值。
5.阅读下列例题,并按要求回答问题:
例:解方程.
解:①当时,,解得;
②当时,,解得.
所以原方程的解是或.
(1)以上解方程的方法采用的数学思想是________.
(2)请你模仿上面例题的解法,解方程:.
【答案】(1)分类讨论
(2)解:①当时,,
解得,
②当时,,
解得,
∴原方程的解是或.
【解析】【分析】(1)材料中是分①、②两种情况来解答题目,明确的体现了“分类讨论”的数学思想;(2)模仿例题,分两种情况分别求解即可.
6.小明和父母打算去某火锅店吃火锅,该店在网上出售“ 元抵元的全场通用代金券”(即面值元的代金券实付元就能获得),店家规定代金券等同现金使用,一次消费最多可用张代金券,而且使用代金券的金额不能超过应付总金额.
(1)如果小明一家应付总金额为元,那么用代金券方式买单,他们最多可以优惠多少元:
(2)小明一家来到火锅店后,发现店家现场还有一个优惠方式: 除锅底不打折外,其余菜品全部折.小明一家点了一份元的锅底和其他菜品,用餐完毕后,聪明的小明对比两种优惠,选择了现场优惠方式买单,这样比用代金券方式买单还能少付元.问小明一家实际付了多少元?
【答案】(1)解:
∴最多购买并使用两张代金券,
最多优惠元
(2)解:设小明一家应付总金额为元,
当时,由题意得, .
解得: (舍去).
当时,由题意得, .
解得: (舍去).
当时,由题意得, .
解得: .
∴ .
答:小明一家实际付了元
【解析】【分析】(1)根据,即最多购买并使用两张代金券,即可得到答案;(2)设小明一家应付总金额为元,则对应付金额进行分析,然后列式进行计算,即可得到答案.
7.如图,在数轴上点A表示数a,点C表示数c,且 .我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记.
比如,点A与点B之间的距离记作AB.
(1)求AC的值;
(2)若数轴上有一动点D满足CD+AD=36,直接写出D点表示的数;
(3)动点B从数1对应的点开始向右运动,速度为每秒1个单位长度,同时点A,C在数轴上运动,点A、C的速度分别为每秒 3个单位长度,每秒4个单位长度,运动时间为t秒.
①若点A向右运动,点C向左运动,AB=BC,求t的值.
②若点A向左运动,点C向右运动,2AB-m×BC的值不随时间t的变化而改变,请求出m的值.
【答案】(1)解:∵|a+10|+(c-20)2=0,
∴a+10=0,c-20=0,
∴a=-10,c=20
(2)解:当点D在点A的左侧,
∵CD+AD=36,
∴AD+AC+AD=36,
∴AD=3,
∴点D点表示的数为-10-3=-13;
当点D在点A,C之间时,
∵CD+AD=AC=30≠36,
∴不存在点D,使CD+AD=36;
当点D在点C的右侧时,
∵CD+AD=36,
∴AC+CD+CD=36,
∴CD=3,
∴点D点表示的数为20+3=23;
综上所述,D点表示的数为-13或23
(3)解:①∵AB=BC,
∴|(1+t)-(-10+3t)|=|(1+t)-(20-4t)|
∴t= 或;
②∵2AB-m×BC=2×(11+4t)-m(19+3t)=(8-3m)t+22-19m,且2AB-m×BC的值不随时间t的变化而改变,
∴8-3m=0,
∴m= .
【解析】【分析】(1)根据非负性可求出答案;(2)分三种情况:当点D在点A的左侧;当点D在点A,C之间时;当点D在点C的右侧时;进行讨论可求D点表示的数;(3)①用t的代数式表示AB,BC,列出等式可求解;②用t的代数式表示AB,BC,代入代数式可求解;
8.已知关于m的方程 (m-16)=-5的解也是关于x的方程2 (x-3)-n=3的解.(1)求m、n的值;
(2)已知线段AB=m,在射线AB上取一点P,恰好使=n,点Q为线段PB的中点,求AQ的长.
【答案】(1)解:,
,
,
关于m的方程的解也是关于x的方程的解.,
将,代入方程得:
,
解得:,
故
(2)解:由知:,
当点P在线段AB上时,如图所示:
,
,
点Q为PB的中点,
,
;
当点P在线段AB的延长线上时,如图所示:
,
,
点Q为PB的中点,
,
.
故或
【解析】【分析】(1)解方程 (m-16)=-5 求出m的值,根据关于m的方程 (m-16)=-5的解也是关于x的方程2 (x-3)-n=3的解得出x=m=6,从而将x=6代入方程
即可算出n的值;
(2)由知:,当点P在线段AB上时,如图所示:即可求出
AP,BP的长,根据线段中点的定义得出,最后根据即可算出答案;当点P在线段AB的延长线上时,如图所示:首先算出PB的长,根据线段
中点的定义得出,根据即可算出答案,综上所述即可得出答案。
9.已知数轴上点A、B、C所表示的数分别是-3,+5,x.
(1)请在数轴上标出A、B两点;
(2)若AC=2,求x的值;
(3)求线段AB的中点D所表示的数;
(4)若x<0,用含x的代数式表示线段AC与线段BC的长度和. 【答案】(1)解:如图所示:
(2)解:∵AC=2,A点表示的数为-3,C点表示的数为x,
∴|x+3|=2,
解得:x=-1或x=-5,
∴x的值为-1或-5.
(3)解:设点D表示的数为y(-3<y<5),
∵A点表示的数为-3,B点表示的数为5,C点表示的数为x,
∴AB=8,
又∵D为AB的中点,
∴AD=AB=4,
即|y+3|=4,
解得:y=1或y=-7(舍去),
∴y=1,
∴点D表示的数为1.
(4)解:① 当点C在点A左侧时,
∵A点表示的数为-3,B点表示的数为5,C点表示的数为x,
∴AC=-3-x,BC=5-x,
∴AC+BC=-3-x+5-x=2-2x;
② 当点C在点A右侧时,
∵A点表示的数为-3,B点表示的数为5,C点表示的数为x,
∴AC=x+3,BC=5-x,
∴AC+BC=x+3+5-x=8.
【解析】【分析】(1)根据题意分别在数轴上表示点A、B即可.(2)根据题意可得AC=|x+3|=2,解之即可得出答案.
(3)设点D表示的数为y(-3<y<5),根据中点定义可得AD=|y+3|=4,解之即可得出答案.
(4)结合题意分情况讨论:① 当点C在点A左侧时,② 当点C在点A右侧时,根据题意分别表示出AC、BC的式子,再相加即可得出答案.
10.某城市开展省运会,关心中小学生观众,门票价格优惠规定见表.某中学七年级甲、乙两个班共86人去省运会现场观看某一比赛项目,其中乙班人数多于甲班人数,甲班人数不少于35人.如果两班都以班级为单位分别团体购买门票,则一共应付8120元.
买门票能节省多少钱?
(2)问甲、乙两个班各有多少名学生?
(3)如果乙班有m(0<m<20,且m为整数)名学生因事不能参加,试就m的不同取值,直接写出最省钱的购买门票的方案?
【答案】(1)解:一起购买门票,所需费用为:80×86=6880(元),
能节省8120﹣6880=1240(元),
答:联合起来购买门票能节省1240元钱
(2)解:设甲班有x人,
86×90=7740(元),
7740<8120,
∴35≤x≤40,40<86﹣x≤80,
根据题意得:100x+90(86﹣x)=8120,
解得:x=38,
86﹣x=48,
答:甲班有38人,乙班有48人
(3)解:若0<m<6时,此时总人数大于等于81人,则最省钱的购买门票的方案为:购买(86﹣m)张,
当m≥6时,若90(86﹣m)>81×80,解得:m<14,
即6≤m<14时,最省钱的购买门票的方案是:购买81张,
若90(86﹣m)=81×80,解得:m=14,
即m=14时,最省钱的购买门票的方案是:购买81张或72张,
若14<m<20时,最省钱的购买门票的方案为:购买(86﹣m)张,
综上可知:当0<m<6或14<m<20时,购买(86﹣m)张最省钱,
当m=14时,购买72或81张最省钱,
当6≤m<14时,购买81张最省钱
【解析】【分析】(1)依据表格中的数据计算出联合购票的钱数,与分别购买团体票的钱数之间的差为节省出来的钱;(2)依题意设甲班有x人,并且x≥35,确定x的取值范围,假设两班人数都是41人到80人之间,则方程无解;因为乙班人数多于甲班人数,所以甲班人数在35≤x≤40 乙班人数在40<86﹣x≤80,列方程解方程即可.(3)依据题意分类讨论:①总人数在81人以上时,即0<m<6时,求出(86﹣m)张;②当总人数小于81,当总价款又大于团购81张的总价款时,即6≤m<14时,按81张购买即可;③当总人数小于81,当平均票价为90元的总价款等于团购81张的总价款时,即m=14时,有两种方式购买81张或72张;④当总人数小于81,平均票价为90元是最省钱方式,即14<m<20时,得出(86﹣m)张.
11.已知|a+4|+(b﹣2)2=0,数轴上A、B两点所对应的数分别是a和b
(1)填空:a=________,b=________
(2)数轴上是否存在点C,C点在A点的右侧,且点C到A点的距离是点C到B点的距离的2倍?若存在,请求出点C表示的数;若不存在,请说明理由
(3)点P以每秒2个单位的速度从A点出发向左运动,同时点Q以3个单位每秒的速度从B点出发向右运动,点M以每秒4个单位的速度从原点O点出发向左运动.若N为PQ 的中点,当PQ=16时,求MN的长.
【答案】(1)﹣4;2
(2)解:设C点表示的数为x,根据题意得,
①当点C在A、B之间时,有
c+4=2(2﹣c),
解得,c=0;
②当点C在B的右侧时,有
c+4=2(c﹣2),
解得,c=8.
故点C表示的数为0或8
(3)解:设运动的时间为t秒,根据题意得,
2t+3t+AB=16,即2t+3t+6=16,
解得,t=2,
∴运动2秒后,各点表示的数分别为:
P:﹣4﹣2×2=﹣8,Q:2+3×2=8,M:0﹣4×2=﹣8,N:(-8+8)÷2=0,
∴MN=0﹣(﹣8)=8.
【解析】【解答】(1)解:由题意得,a+4=0,b﹣2=0,
解得,a=﹣4,b=2,
故答案为:﹣4;2
【分析】(1)根据“几个非负数和为0,则这几个数都为0”可列方程求解;
(2)由题意分两种情况:点C在A、B之间和点C在B的右侧.可列方程求解;
(3)设运动时间为t秒,根据PQ=16可列关于t的方程求得t,于是可求得运动后的
M、N点表示的数.
12.如图是一种数值的运算程序.
(1)当n=2时,a=________;当n=-2时,a=________.
(2)当n≠0时,若a=0,求n的值;
(3)当n≠0时,是否存在n的值,使a=10n?若存在,求出n的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)1;3
(2)解:由图可知:a=-n,
∵a=0,
∴-n=0,
化简得:n(n-1)=0,
∴n=0或n=1,
又∵n≠0,
∴n=1.
(3)解:由图可知:a=-n,
∵a=10n,
∴-n=10n,
化简得:n(n-21)=0,
∴n=0或n=21,
又∵n≠0,
∴n=21.
【解析】【解答】解:(1)由图可知a=-n,
∵n=2,
∴a=-2=1,
又∵n=-2,
∴a=-(-2)=3,
故答案为:1,3.
【分析】(1)根据图可知a=-n,将n=2、n=-2分别代入即可求得a值.
(2)由图可知:a=-n,将a=0代入,解方程求得n值,再由n≠0可得出答案.(3)由图可知:a=-n,将a=10n代入,解方程求得n值,再由n≠0可得出答案.