初升高数学衔接知识专题讲义6 求二次函数最值。

二次函数的最值30．（2023•绍兴）在平面直角坐标系xOy 中，一个图形上的点都在一边平行于x 轴的矩形内部（（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数y ＝（x ﹣2）2（（0≤x ≤3）的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC ．若二次函数y =14x 2+bx +c(0≤x ≤3)图象的关联矩形恰好也是矩形OABC ，则b ＝ 712或−2512 ．【答案】712或−2512．【分析】根据题意求得点A （（3，0），B （（3，4），C （（0，4），然后分两种情况，利用待定系数法求出解析式即可．【解答】解：由y ＝（x ﹣2）2（0≤x ≤3），当x ＝0时，y ＝4，∴C （0，4），∵A （3，0），四边形ABCO 是矩形，∴B （3，4），①当抛物线经过O 、B 时，将点O （0，0），B （3，4）代入y =14x 2+bx +c （0≤x ≤3）得{c =014×9+3b +c =4，解得b =712；②当抛物线经过A 、C 时，将点A （3，0），C （0，4）代入y =14x 2+bx +c （0≤x ≤3）得{c =414×9+3b +c =0，解得b =−2512，综上所述，b =712或b =−2512，故答案为：712或−2512，【点评】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，能够理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键．二次函数的最值31．（2023•杭州）设二次函数y ＝a （x ﹣m ）（x ﹣m ﹣k ）（a ＞0，m ，k 是实数），则（ ）A ．当k ＝2时，函数y 的最小值为﹣aB ．当k ＝2时，函数y 的最小值为﹣2aC ．当k ＝4时，函数y 的最小值为﹣aD ．当k ＝4时，函数y 的最小值为﹣2a【答案】A【分析】令y ＝0，求出二次函数与x 轴的交点坐标，继而求出二次函数的对称轴，再代入二次函数解析式即可求出顶点的纵坐标，最后代入k 的值进行判断即可．【解答】解：令y ＝0，则（x ﹣m ）（x ﹣m ﹣k ）＝0，∴x 1＝m ，x 2＝m +k ，∴二次函数y ＝a （x ﹣m ）（x ﹣m ﹣k ）与x 轴的交点坐标是（m ，0），（m +k ，0），∴二次函数的对称轴是：x =x 1+x 22=m+m+k 2=2m+k 2， ∵a ＞0，∴y 有最小值，当x =2m+k 2时y 最小，即y =a(2m+k 2−m)(2m+k 2−m −k)=−k 24a ， 当k ＝2时，函数y 的最小值为y =−224a =−a ； 当k ＝4时，函数y 的最小值为y =−424a =−4a ，故选：A ． 【点评】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握求二次函数的顶点坐标是解题的关键．。

中考数学复习考点知识与题型专题讲义15 二次函数的最值（基础）1．已知二次函数y1＝ax2+4x+b与y2＝bx2+4x+a都有最小值，记y1、y2的最小值分别为m、n．（1）若m+n＝0，求证：对任意的实数x，都有y1+y2≥0；（2）若m，n均大于0，且mn＝2，记M为m，n中的最大者，求M的最小值．【分析】（1）根据题意可以用用含a，b的代数式表示m、n，然后根据m+n＝0，可以解答本题；（2）根据题意可以用用含a，b的代数式表示m、n，然后根据mn＝2，记M为m，n中的最大者，可以求得M的最小值．【解答】解：（1）∵二次函数y1＝ax2+4x+b与y2＝bx2+4x+a都有最小值，y1、y2的最小值分别为m、n，∴y1+y2≥m+n，∵m+n＝0，∴y1+y2≥0；（2））∵y1＝ax2+4x+b＝a（x+2a）2+ab−4a，∴m=ab−4 a，∵y2＝bx2+4x+a＝b（x+2b）2+ab−4b，∴n=ab−4 b，∵mn＝2，m，n均大于0，∴ab−4a•ab−4b=2，解得，ab＝2（舍去）或ab＝8，∴{m =4a n =4b ， ∴m =4a ，n =a 2，∵M 为m ，n 中的最大者，∴当0＜a ＜2√2时，M =4a ＞√2，当a ＝2√2时，M =√2，当a ＞2√2时，M =a 2由上可得，M 的最小值是√2．【点评】本题考查二次函数的最值，解题的关键是明确题意，可以将函数的一般式化为顶点式，利用分类讨论的数学思想和数形结合的思想解答问题．2．若一次函数y ＝（a +1）x +a 的图象过第一、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2﹣ax 有最大值还是最小值，并求出其最值．【分析】先根据一次函数的性质得到a +1＞0且a ＜0，则﹣1＜a ＜0，再利用配方法得到y ＝ax 2﹣ax ＝a （x −12）2−14a ，然后利用二次函数的性质解决问题．【解答】解：∵一次函数y ＝（a +1）x +a 的图象过第一、三、四象限，∴a +1＞0且a ＜0，∴﹣1＜a ＜0，∵y ＝ax 2﹣ax ＝a （x 2﹣x ）＝a （x 2﹣x +14−14）＝a （x −12）2−14a ，而a ＜0，∴二次函数有最大值，最大值为−14a ．【点评】本题考查了二次函数的最值：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．也考查了一次函数的性质．3．若函数f(x)=−12x 2+133当a ≤x ≤b 时的最小值为2a ，最大值为2b ，求a 、b 的值． 【分析】根据二次函数的增减性以及当a ＜b ≤0时，当a ≤0＜b 时，若0＜a ＜b 时分别得出a ，b 的值即可．【解答】解：函数f(x)=−12x 2+133的顶点是（0，133），对称轴是y 轴，最大值为133，如右图， （1）当a ＜b ≤0时，x ＝a 时有最小值2a ，x ＝b 时有最大值2b ，于是−12a 2+133=2a ， −12b 2+133=2b ，可知a 、b 是方程−12x 2+133=2x 的两个根，即3x 2+12x ﹣26＝0，由于△＞0，x 1x 2=−263，此方程有一正一负两个根，这与a ＜b ≤0矛盾，故此情况舍去；（2）当a ≤0＜b 时，x ＝0时有最大值133=2b ， 解得b =136，x ＝b 时有最小值2a ，即−12×（136）2+133=14372＞0，而2a ≤0，矛盾， 所以只能是x ＝a 时取最小值，（−12）a 2+133=2a ， 3a 2+12a ﹣26＝0 a =−6−√1143＜0，符合条件，（3）若0＜a ＜b ，显然有 （−12）a 2+133=2b ①，−12b 2+133=2a ②，①﹣②得：（−12）（a ﹣b ）（a +b ）＝2（b ﹣a ），则a+b＝4，b＝4﹣a，代入①得：（−12）a2+133=2（4﹣a），3a2﹣12a+22＝0，∵△＜0，∴此方程无实数根，故此情况舍去．故有一组解符合要求：a=−6−√1143，b=136．【点评】此题主要考查了二次函数的最值求法，根据自变量的取值范围分别将a，b代入求出是解题关键．4．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，2），且当x＝﹣1时，y有最小值y＝﹣2．（1）求这个函数的关系式；（2）试判断点（3，14）是否在此函数图象上．【分析】二次函数得最小值出现于对称轴处．因此本题利用二次函数得基本性质便可解题．【解答】解：（1）由题意得，对称轴x=−b2a=−1，代入函数得y＝a﹣b+c＝﹣2将点（1，2）代入函数得a+b+c＝2，解得a＝1，b＝2，c＝﹣1 ∴解析式为y＝x2+2x﹣1（2）当x＝3时，y＝14∴（3，14）在此函数图象上【点评】本题主要考察二次函数得基本性质，熟练掌握二次函数是本题得关键5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？【分析】（1）由平行线得△ABC∽△ADE，根据相似形的性质得关系式；（2）由S=12•BD•AE；得到函数解析式，然后运用函数性质求解．【解答】解：（1）动点D运动x秒后，BD＝2x．又∵AB＝8，∴AD＝8﹣2x．∵DE∥BC，∴ADAB=AEAC，∴AE=6(8−2x)8=6−32x，∴y关于x的函数关系式为y=−32x+6（0＜x＜4）．（2）解：S△BDE=12⋅BD⋅AE=12×2x(−32x+6)=−32x2+6x（0＜x＜4）．当x=−62×(−32)=2时，S△BDE最大，最大值为6cm2．【点评】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量比是解题的关键．6．已知二次函数y＝一x2+4x+6．（1）当x 为何值时，y 有最值？是多少？（2）当一2≤x ≤1时，求函数的最值．（3）当x ≥4时．求函数的最值．【分析】（1）将函数解析式配方成顶点式后，根据二次函数的性质即可得；（2）由x ＜2时，y 随x 的增大而增大，结合x 的范围求解可得；（3）由x ＞2时，y 随x 的增大而减小，结合x 的范围求解可得．【解答】解：（1）∵y ＝﹣x 2+4x +6＝﹣（x 2﹣4x +4﹣4）+6＝﹣（x ﹣2）2+10，∴当x ＝2时，y 有最大值，最大值为10；（2）∵当x ＜2时，y 随x 的增大而增大，∴由﹣2≤x ≤1知，当x ＝﹣2时，y 取得最小值，最小值y ＝﹣4﹣8+6＝﹣6，当x ＝1时，y 取得最大值，最大值y ＝﹣1+4+6＝9；（3）∵当x ＞2时，y 随x 的增大而减小，∴在x ≥4范围内，当x ＝4时，函数取得最大值，最大值y ＝﹣16+16+6＝6，无最小值．【点评】本题主要考查二次函数的最值，解题的关键是熟练将二次函数的一般式配方成顶点式及二次函数的性质．7．对于二次函数f （x ）＝ax 2﹣bx +c ，当a ＞0时，只有最小值为4ac−b 24a ，这个结论一定正确吗？【分析】直接利用配方法求出二次函数的顶点式，即可求得出二次函数的顶点坐标，根据二次函数的性质求得出二次函数的最小值．【解答】解：对于二次函数f （x ）＝ax 2﹣bx +c ，当a ＞0时，只有最小值为4ac−b 24a ，这个结论一定正确；∵二次函数f （x ）＝ax 2﹣bx +c＝a （x −b 2a ）2+4ac−b 24a ； ∴图象的顶点坐标为：（b 2a ，4ac−b 24a ）， ∵a ＞0，∴函数的最小值为：4ac−b 24a ．【点评】此题主要考查了求二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．8．求函数y =3x 2+x+2x 2+2x+1的最小值． 【分析】将函数整理成关于x 的一元二次方程，然后利用根的判别式列出不等式求解即可．【解答】解：∵y =3x 2+x+2x 2+2x+1， ∴y （x 2+2x +1）＝3x 2+x +2，整理得，（y ﹣3）x 2+（2y ﹣1）x +（y ﹣2）＝0，∵关于x 的一元二次方程有解，∴△＝b 2﹣4ac ＝（2y ﹣1）2﹣4（y ﹣3）（y ﹣2）≥0，整理得，16y ﹣24≥0，解得y ≤32，所以，函数的最小值为32． 【点评】本题考查了二次函数的最值，题目难度较大，将函数整理成关于x 的一元二次方程并考虑利用根的判别式求解是解题的关键．9．已知：二次函数y ＝﹣x 2+2（α+1）x +1，其中a 为常数．（1）若y 的最大值为2，求a 的值；（2）求y ＝﹣x 2+2（a +1）x +1在0≤x ≤|a |时的最小值；（3）若方程|﹣x 2+2（a +1）x +1|＝2﹣x 的正实数根只有一个，求a 的取值范围．【分析】（1）把y＝﹣x2+2（α+1）x+1配方即可得到结论；（2）根据二次函数的性质即可得到结论；（3）根据题意得到即该方程的一次项的系数为0，判别式△≥0且二次项的系数与常数项的符号相反．解方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+2（α+1）x+1＝﹣[x﹣（a+1）]2+a2+2a+2，∵y的最大值为2，∴a2+2a+2＝2解得：a＝0或a＝﹣2即y的最大值为2时，a的值为0或﹣2；（2）∵二次函数y＝﹣x2+2（α+1）x+1＝﹣[x﹣（a+1）]2+（a+1）2+1的图象开口向下，对称轴x ＝a+1，当|a|≤a+1时，解得a≥−1 2当a＞−12时，0≤x≤|a|时，函数值随x的增大而增大，故：函数y＝﹣x2+2（a+1）x+1的最小值为：y min═﹣[0﹣（a+1）]2+（a+1）2+1＝1，当a＜−12时，0≤x≤|a|时，函数值随x的增大而减小，x＝|a|时，有最小值，最小值＝﹣a2﹣2a（a+1）+1＝﹣3a2﹣2a+1．（3）∵方程|﹣x2+2（a+1）x+1|＝2﹣x的正实数根只有一个，判别式△≥0且二次项的系数与常数项的符号相反．∴当方程﹣x2+2（a+1）x+1＝2﹣x时，有：x2﹣（2a+3）x+1＝0，而此时二次项的系数与常数项的符号相同，不符合题意，舍去．∴当方程为：﹣x 2+2（a +1）x +1＝x ﹣2时，化简整理得：x 2﹣（2a +1）x ﹣3＝0，∵△＝[﹣（2a +1）]2﹣4×（﹣3）＝4a 2+4a +13＝（2a +1）2+12＞0，∴a 的取值范围为任意实数．【点评】本题考查了二次函数的最值，二次方程的判别式，正确的理解题意是解题的关键．10．已知函数y =k 2x k 2﹣2是关于x 的二次函数（1）求满足条件的k 的值；（2）k 为何值时，函数有最大值？最大值为多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？【分析】（1）根据二次函数的指数是二，可得方程，根据解方程，可得答案；（2）根据函数有最大值，可得二次项系数是负数，根据顶点坐标是函数的最值，可得答案；根据a ＜0时，对称轴的右侧y 随x 的增大而减小，可得答案．【解答】解：（1）函数y =k 2x k 2﹣2是关于x 的二次函数，得{k 2−2=2k 2≠0， 解得k ＝2或k ＝﹣2；（2）当k ＝﹣2时，函数y ＝﹣x 2有最大值，最大值是0；∴此时函数y =k 2x k 2﹣2是开口向下的，对称轴为x ＝0；∴当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．【点评】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义得出k 值是解题关键，又利用了二次函数的性质．11．如图．抛物线y ＝ax 2+bx +52与直线AB 交于点A （﹣1，0），B （4，52），点D 是抛物线上位于直线AB 上方的一点（不与点A ，B 重合），连接AD ，BD ．（1）求抛物线的解析；（2）设△ADB 的面为S ，求出当S 取最大值时的点D 的坐标．【分析】（1）把A 、B 两点坐标代入抛物线解析式即可．（2）设点D 坐标为（m ，−12m 2+2m +52），直线DC ⊥x 轴，与AB 交于点C ，根据S △ABD ＝S △ACD +S △BCD 构建二次函数，利用二次函数的最值问题解决．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +52经过点A （﹣1，0），B （4，52），∴{a −b +52=016a +4b +52=52解得{a =−12b =2， ∴抛物线解析式为y =−12x 2+2x +52．（2）设点D 坐标为（m ，−12m 2+2m +52），直线DC ⊥x 轴，与AB 交于点C ， ∵直线AB 解析式为y =12x +12，∴点C 坐标（m ，12m +12）， ∵S △ABD ＝S △ACD +S △BCD =12（−12m 2+2m +52−12m −12）×（4+1）=−54（m 2﹣3m ﹣4）=−54（m −32）2+12516，∴当m =32时，△ADB 面积最大，此时点D 坐标（32，358）．【点评】本题考查二次函数的最值、一次函数等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．12．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC+BD＝12，当AC，BD的长分别是多少时，四边形ABCD的面积最大？【分析】直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出S=12AC•BD，再利用配方法求出二次函数最值．【解答】解：设AC＝x，四边形ABCD面积为S，则BD＝12﹣x，则：S=12AC•BD=12x（12﹣x）=−12（x﹣6）2+18，当x＝6时，S最大＝18；所以AC＝BD＝6时，四边形ABCD的面积最大．【点评】此题主要考查了二次函数最值以及四边形面积求法，正确掌握对角线互相垂直的四边形面积求法是解题关键．13．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上两点，且CE＝CF，AB＝4．（1）设CE＝x，△AEF的面积为y，求y关于x的函数关系式；（2）当x取何值时，△AEF面积最大？求出此时△AEF的面积．【分析】（1）由已知可得，AB＝BC＝CD＝AD＝4，CE＝x，由图形得出y＝S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S △ADF﹣S△CEF，便可求出x与y的关系式．（2）化成顶点式即可求得结论．【解答】解：（1）∵BC＝DC，CE＝CF，∴BE＝DF＝x，∴y＝S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF﹣S△CEF，∴y＝42−12×4×（4﹣x）−12×4×（4﹣x）−12⋅x2∴y=−12x2+4x（0≤x≤4）．（2）∵y=−12x2+4x=−12（x﹣4）2+8，∴当x＝4时，△AEF的面积最大，此时△AEF的面积是8．【点评】本题考查了二次函数的最值，正方形的性质，三角形的面积，正确求得函数的解析式是解题的关键．14．如图（1）放置两个全等的含有30°角的直角三角板ABC与DEF（∠B＝∠E＝30°），若将三角板ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C与点E重合时移动终止），移动过程中始终保持点B、F、C、E在同一条直线上，如图（2），AB与DF、DE分别交于点P、M，AC与DE交于点Q，其中AC＝DF=√3，设三角板ABC移动时间为x秒．（1）在移动过程中，试用含x的代数式表示△AMQ的面积；（2）计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？【分析】（1）解直角三角形ABC求得EF＝BC＝3，由题意可知CF＝x，可求AQ=√33x，MN=12x，根据三角形面积公式即可求出结论；（2）根据“S重叠＝S△ABC﹣S△AMQ﹣S△BPF”列出函数关系式，通过配方求解即可．【解答】解：（1）解：因为Rt△ABC中∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵∠E＝30°，∴∠EQC＝∠AQM＝60°，∴△AMQ为等边三角形，过点M作MN⊥AQ，垂足为点N．在Rt△ABC中，AC=√3，BC=AC⋅tanA=3，∴EF＝BC＝3，根据题意可知CF＝x，∴CE＝EF﹣CF＝3﹣x，CQ=CE⋅tanE=√33(3−x)，∴AQ=AC−CQ=√3−√33(3−x)=√33x，∴AM =AQ =√33x ，而MN =AM ⋅sinA =12x ，∴S △MAQ =12AQ ⋅MN =12×√33x ⋅12x =√312x 2，（2）由（1）知BF ＝CE ＝3﹣x ，PF =BF ⋅tanB =√33(3−x)，∴S 重叠=S △ABC −S △AMQ −S △BPF =12AC ⋅BC −12AQ ⋅MN −12BF ⋅PF=12×3×√3−√312x 2−12（3﹣x ）×√33（3﹣x ） =−√34x 2+√3x =−√34(x −2)2+√3，所以当x ＝2时，重叠部分面积最大，最大面积是√3．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，等边三角形的性质和判定，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．15．如图，函数y ＝﹣x 2+12x +c （﹣2020≤x ≤1）的图象记为L 1，最大值为M 1；函数y ＝﹣x 2+2cx +1（1≤x ≤2020）的图象记为L 2，最大值为M 2．L 1的右端点为A ，L 2的左端点为B ，L 1，L 2合起来的图形记为L ．（1）当c ＝1时，求M 1，M 2的值；（2）若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当点A ，B 重合时，求L 上“美点”的个数；（3）若M 1，M 2的差为4716，直接写出c 的值．【分析】（1）当c ＝1时，把函数的解析式化成顶点式即可求得M 1，M 2的值；（2）由已知可得点A，B重合时，c−12=2c，c=−12，L1上有1011个“美点”，L2上有2020个“美点”．则L上“美点”的个数是1011+2020﹣1＝3030；（3）当x=14时，M1=116+c，由于L2的对称轴为x＝c，分两种情况求解：当c≥1时，M2＝c2+1；当c＜1时，M2＝2c；再由已知列出等式即可求c的值．【解答】解：（1）当c＝1时，函数y＝﹣x2+12x+c＝﹣x2+12x+1＝﹣（x−14）2+1716．又∵﹣2020≤x≤1，∴M1=17 16，y＝﹣x2+2cx+1＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2．又∵1≤x≤2020，∴M2＝2；（2）当x＝1时，y＝﹣x2+12x+c＝c−12；y＝﹣x2+2cx+1＝2c．若点A，B重合，则c−12=2c，c=−12，∴L1：y＝﹣x2+12x−12（﹣2020≤x≤1）；L2：y＝﹣x2﹣x+1（1≤x≤2020）．在L1上，x为奇数的点是“美点”，则L1上有1011个“美点”；在L2上，x为整数的点是“美点”，则L2上有2020个“美点”．又点A，B重合，则L上“美点”的个数是1011+2020﹣1＝3030．（3）y＝﹣x2+12x+c（﹣2020≤x≤1）上时，当x=14时，M1=116+c，y＝﹣x2+2cx+1（1≤x≤2020），对称轴为x＝c，当c≥1时，M2＝c2+1，∴|116+c ﹣c 2﹣1|=4716， ∴c ＝﹣1（舍去）或c ＝2；当c ＜1时，M 2＝2c ，∴|2c −116−c |=4716， ∴c ＝3（舍去）或c =−238；∴c =−238或2． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质；能够根据函数所给的取值范围，通过适当的分类讨论，正确的求函数的最大值是解题的关键．16．在矩形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在边AB 、BC 、CD 、DA 上，且AE ＝AH ＝CF ＝CG ，已知AB ＝a ，BC ＝b ．（1）若b 3≤a ≤3b 时，求四边形EFGH 的面积的最大值； （2）若a ＝4，b ＝16，求四边形EFGH 的面积的最大值．【分析】（1）由已知可证明△AEH ≌△CGF （SAS ），△BEF ≌△DGH （SAS ），则S 四EFGH ＝S 矩ABCD ﹣2S △AEH ﹣2S △BEF ＝﹣2x 2+（a +b ）x ，由二次函数的性质即可求面积最大值；（2）将a ＝4，b ＝16代入（1）所得的式子即可．【解答】解：（1）设AE ＝x ，∵AE ＝AH ＝CF ＝CG ，∴△AEH ≌△CGF （SAS ），∵AB ＝CD ，AD ＝BC ，∴BE＝DG，HD＝BF，∴△BEF≌△DGH（SAS），∴S四EFGH＝S矩ABCD﹣2S△AEH﹣2S△BEF＝ab﹣2×12x2﹣2×12（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣x2﹣（ab﹣ax﹣bx+x2）＝﹣2x2+（a+b）x，当x=a+b4时，S四EFGH有最大值，最大值为(a+b)28；（2）当a＝4，b＝16时，四边形EFGH的面积＝﹣2x2+20x，∴当x＝4时，四边形EFGH的面积的最大值为48．【点评】本题考查矩形的性质；熟练掌握矩形的性质，通过三角形全等求面积，再由二次函数求面积的最大值是解题的关键．17．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一个点随之停止移动．（1）P，Q两点出发几秒后，可使△PBQ的面积为8cm2．（2）设P，Q两点同时出发移动的时间为t秒，△PBQ的面积为Scm2，请写出S与t的函数关系式，并求出△PBQ面积的最大值．【分析】（1）由题意，可设P、Q经过t秒，使△PBQ的面积为8cm2，则PB＝6﹣t，BQ＝2t，根据三角形面积的计算公式，S△PBQ=12BP×BQ，列出表达式，解答出即可；（2）利用三角形面积公式表示S=12×（6﹣t）×2t＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，利用二次函数的性质解题．【解答】解：（1）设经过t秒后，△PBQ的面积等于8cm2．12×（6﹣t）×2t＝8，解得：t1＝2，t2＝4，答：经过2或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2．（2）依题意，得S=12×PB×BQ=12×（6﹣t）×2t＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，∴在移动过程中，△PBQ的最大面积是9cm2．【点评】本题考查了二次函数的运用．关键是根据题意，列出相应的函数关系式，运用二次函数的性质解题．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，点P从点C开始沿CB向点B以1cm/s 的速度移动，点Q从A开始沿AC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q同时从点C，A出发，试问：（1）出发多少时间时，点P，Q之间的距离等于2√17cm？（2）出发多少时间时，△PQC的面积为6cm2？（3）△PQC面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？【分析】（1）可设出发xs时间时，点P，Q之间的距离等于2√17cm，根据勾股定理列出方程求解即可；（2）可设出发ys时间时，△PQC的面积为6cm2，根据三角形的面积公式列出方程求解即可；（3）根据题意得到△PQC面积和时间t的关系式，根据关系式即可得到结论．【解答】解：（1）设出发xs时间时，点P，Q之间的距离等于2√17cm，依题意有x2+（12﹣2x）2＝（2√17）2，解得x1＝2，x2＝7.6（不合题意舍去）．答：出发2s时间时，点P，Q之间的距离等于2√17cm；（2）设出发ys时间时，△PQC的面积为6cm2，依题意有12y（12﹣2y）＝6，解得y1＝3−√3，y2＝3+√3．答：出发（3−√3）s或（3+√3）s时间时，△PQC的面积为6cm2；（3）依题意有S△PQC=12t（12﹣2t）＝﹣（t﹣3）2+9，∵﹣1＜0，∴△PQC面积的有最大值9，此时时间是3．【点评】此题主要考查了二次函数的最值，一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．19．如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）设点P的纵坐标为y p，求y p的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）把x＝﹣2代入解析式得到P点的纵坐标y P＝4+4m+m2﹣2＝（m+2）2﹣2，即可得到当m＝﹣2时，y P的最小值＝﹣2，然后根据二次函数的性质即可判断y1与y2的大小．【解答】解：（1）∵抛物线F经过点C（﹣1，﹣2），∴﹣2＝1+2m+m2﹣2，∴m＝﹣1，∴抛物线F的表达式是y＝x2+2x﹣1．（2）当x＝﹣2时，y P＝4+4m+m2﹣2＝（m+2）2﹣2，∴当m＝﹣2时，y P的最小值＝﹣2．此时抛物线F的表达式是y＝（x+2）2﹣2，∴当x≤﹣2时，y随x的增大而减小．∵x1＜x2≤﹣2，∴y1＞y2．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．20．如图，在平面直角坐标系中，点A，B是一次函数y＝x图象上两点，它们的横坐标分别为a，a+3，其中a＞0，过点A，B分别作y轴的平行线，交抛物线y＝x2﹣4x+8于点C，D．（1）若AD＝BC，求a的值；（2）点E是抛物线上的一点，求△ABE面积的最小值．【分析】（1）将已知点的坐标代入相应的函数解析式，再结合AD＝BC，可得关于a的方程，解得a的值即可；（2）设点E（m，m2﹣4m+8），过E作EM垂直于x轴交AB于点M，作BF⊥EM，AG⊥EM，垂足分别为F，G，由题意可得M（m，m），从而可用含m的式子表示出EM的长，根据二次函数的性质及三角形的面积公式可得答案．【解答】解：（1）∵点A，B是一次函数y＝x图象上两点，它们的横坐标分别为a，a+3，∴A（a，a），B（a+3，a+3）．y＝x2﹣4x+8＝（x﹣2）2+4，将x＝a，代入得：y＝（a﹣2）2+4；将x＝a+3，代入得：y＝（a+1）2+4．∴D（a，（a﹣2）2+4），C（a+3，（a+1）2+4），∴AD＝（a﹣2）2+4﹣a，CB＝（a+1）2+4﹣（a+3）．由AD＝BC得：（a﹣2）2+4﹣a＝（a+1）2+4﹣（a+3），∴a＝1．（2）设点E（m，m2﹣4m+8），过E作EM垂直于x轴交AB于点M，作BF⊥EM，AG⊥EM，垂足分别为F，G，由题意得：M（m，m），∴EM＝m2﹣4m+8﹣m＝m2﹣5m+8=(m−52)2+74，∴S△ABE＝S△AEM+S△EMB=12EM⋅AG+12EM⋅BF=12EM(AG+BF)=32(m−52)2+218，由32＞0，得S△ABE有最小值．∴当m=52时，S△ABE的最小值为218．【点评】本题考查了二次函数的最值、一次函数与二次函数图象上的点与坐标的关系及三角形的面积计算等知识点，熟练掌握相关性质及定理并数形结合是解题的关键．。

3 二次函数 基础知识1．二次函数的三种表示方式： （1）一般式：y=ax 2 +bx+c ；（2）顶点式：y=a(x-m)2 +n （常用，便于求最值、画图）； （3）交点式： y=a(x-x 1 )(x-x 2 ) (△≥0时) ．2．若函数y=f(x)的对称轴是x=h,则对f(x)定义域内的任意x,都有f(h+x)=f(h-x);反之也成立。

3．二次方程根的分布问题，限制条件较多时可用相应抛物线位置，限制条件较少时可用韦达定理解决。

4．二次函数的最值问题（1）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最值．二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况：当0a >时，函数在2bx a=-处取得最小值244ac b a -，没有最大值；当0a <时，函数在2b x a=-处取得最大值244ac b a -，没有最小值．求二次函数最大值或最小值的步骤：第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值； 第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． （2）求二次函数在某一范围内的最值．二次函数在某区间上的最值须用配方法，含字母的函数最值可借助图象分析。

如：求2y ax bx c =++在m x n ≤≤（其中m n <）的最值的步骤： 第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：0x x =；第二步：讨论：（请同学们画出图像理解）（1）若0a >时求最小值或0a <时求最大值，需分三种情况讨论： ①0x m <，即对称轴在m x n ≤≤的左侧； ②0m x n ≤≤，即对称轴在m x n ≤≤的内部； ③0x n >，即对称轴在m x n ≤≤的右侧。

（2） 若0a >时求最大值或0a <时求最小值，需分两种情况讨论： ①02m nx +≤，即对称轴在m x n ≤≤的中点的左侧；②02m nx +>，即对称轴在m x n ≤≤的中点的右侧。

1 / 1 二次函数的最值
1．二次函数的最值
（1）当0a >时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当2b x a
=- 时,2
44ac b y a -= . （2）当0a <时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随x 的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当2b x a
=- 时，2
44ac b y a -= ． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．。

二次函数最值问题
二次函数2
(0)y ax bx c
a =++≠ 是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2
b x a =-处取得最小值244a
c b a -，无最大值；当时0a <，函数在2b x a
=-处取得最大值2
44ac b a
-，无最小值． 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．在高中阶段，求二次函数的最值问题只需要记住“三点一轴”，即题目给出的x 的取值范围区间的两个端点，二次函数的顶点，以及二次函数的对称轴，注意结合图像学会用数形结合解题。

高中阶段的二次函数最值问题可以分为一下三个方面：1.定轴定区间。

2.动轴定区间。

3.定轴动区间。

下面我们来看例题。

初升高衔接-专题：二次函数的值域与最值(★★★)教学目标1．理解复合函数的概念2.会用换元法求复合函数的值域3.会求含参数区间上的二次函数的最值与值域知识梳理3min.一、二次函数的定义与图像特征 形如2()(0)f x ax bx c a =++≠的函数我们称之为二次函数，定义域是一切实数，图像是一条抛物线； 开口方向由a 决定，0a >时，开口向上，有最低点；0a <时，开口向下，有最高点；对称轴为直线2b x a=-，在对称轴的两侧函数的变化趋势是相反的； 根据这些特点可以把二次函数的大致图像做出来，根据图像的特点解决问题。

二、二次函数与其他函数复合的值域。

一般高中阶段，二次函数与其他函数复合都可以化成[][]2()()()f g x a g x bg x c =++(0a ≠)的形式。

对于这一类函数，我们要求其值域，首先令()t g x =,（也就是初中经常说的换元法）求出()g x 在定义域的值域，(不妨假设其值域为[],m n ,进而再求函数2()y h t at bt c ==++在区间[],m n 的值域，则()y h t =的值域即为所求函数的值域。

典例精讲20min.例1、求函数245x x y -+=的值域。

例2、求函数的()22215y x x =+-+最大值或最小值例3、求函数()223,2f x x x a x a =++-≤≤，a R ∈的最大值与最小值。

课堂检测1、求函数)1(11x x y --=的值域2、求函数x x y 41332---=的最大值.3、设2()44f x x x =--的自变量的取值范围为[,3](3)t t <，求()f x 的最小值()t ϕ的表达式。

4、当1+≤≤t x t 时，求函数25212--=x x y 的最小值（其中t 为常数）典例精讲例1、当[1,1]x ∈-时，求2()3f x x ax =++的最小值。

二次函数求最值方法总结二次函数是高中数学中一个非常重要的内容，它的研究主要是通过函数的图像和性质来分析。

求二次函数的最值是我们在解决实际问题时经常需要用到的一个重要问题，下面我将对二次函数求最值的几种常用方法进行总结。

一、求二次函数的最值的基本思路：求解二次函数的最大值或最小值，就是要找出二次函数图像上的顶点。

根据二次函数的解析式f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)，顶点的横坐标为 x = -b/2a，纵坐标为 f(-b/2a)。

二、二次函数的变形：通过对二次函数的变形，将其转化为标准的完全平方形式，可以更方便地求解最值。

1.完全平方形式：f(x)=a(x-h)^2+k2.平移变形：f(x)=a(x-h)^2+k+c三、利用函数图像特征求解最值：1.如果a>0，则二次函数的图像开口向上，顶点为最小值；如果a<0，则二次函数的图像开口向下，顶点为最大值。

2.如果函数的常数项c>0，则函数的最小值为c；如果函数的常数项c<0，则函数的最大值为c。

四、利用导数的方法求解最值：1. 求二次函数的一阶导数 f'(x) = 2ax + b，并令其为零，求出顶点的横坐标 x = -b/2a。

2.将顶点的横坐标代入二次函数的解析式，求出纵坐标f(-b/2a)即可得到顶点的坐标。

五、利用求根公式求解最值：求根公式是指二次函数求根的公式，即二次函数的解为 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。

1. 如果二次函数的判别式Δ = b^2 - 4ac < 0，则二次函数没有实数解，从而也没有最值。

2. 如果二次函数的判别式Δ = b^2 - 4ac > 0，则二次函数有两个实数解 x1 和 x2，取其中更接近顶点的一侧的解作为最值。

3. 如果二次函数的判别式Δ = b^2 - 4ac = 0，则二次函数有且只有一个实数解 x = -b/2a，此时该解即为最值。

二次函数最值公式二次函数最大值和最小值的公式可以用以下两种方法进行推导：1. 完成平方形式二次函数可以写成以下形式：f(x) = ax^2 + bx + c我们要求它的最大值（或最小值），可以将它化为完全平方形式：f(x) = a(x - h)^2 + k其中，h和k是待求的顶点坐标，具体求解方法如下：首先，将x的系数a提取出来：f(x) = a(x^2 + (b/a)x) + c然后，将括号内的两项平方相加减去平方项的一半，再加上这个差的平方，就得到完全平方：f(x) = a(x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 - (b/2a)^2) + cf(x) = a(x + b/2a)^2 - ab^2/4a^2 + cf(x) = a(x + b/2a)^2 + (4ac - b^2)/4a其中，顶点坐标为（-b/2a, (4ac - b^2)/4a），最大值为k = (4ac -b^2)/4a （当a > 0时），最小值为k = (4ac - b^2)/4a （当a < 0时）。

2. 利用导数另一种方法是利用导数求解。

因为最大值和最小值都在函数的极值点处取得，所以我们可以通过求函数的导数来找到它的极值点。

首先，求出f'(x)：f'(x) = 2ax + b然后，令f'(x) = 0，解出x的值：2ax + b = 0x = -b/2a这个x就是函数的极值点，同时也是顶点的横坐标。

将x代入原函数，就得到顶点的纵坐标：k = f(-b/2a) = a(-b/2a)^2 + b(-b/2a) + ck = (4ac - b^2)/4a按照前面的规律，当a > 0时，最大值为k，当a < 0时，最小值为k。

总结以上就是二次函数最大值和最小值的两种求解方法。

其中，通过平方完成形式的方法比较简单，但有时比较费时间。

而利用导数的方法更直观，但需要学习导数知识。

二次函数及其性质二次函数的含义：一般地，把形如)0(2≠++=a c bx ax y 的函数叫做二次函数，其中x 是自变量，y 是因变量，自变量的最高次数为2，c b a ,,是常数.二次函数的性质：（1）对二次函数表达式配方，得到二次函数的顶点式：ab ac a b x a a c x a b x a c bx ax y 44)2()(2222-++=++=++=二次函数的顶点坐标为)44,2(2ab ac a b --； （2）二次函数的图象是一条抛物线；○1当0>a 时，二次函数图象开口朝上；当abx 2-<时，y 随着x 的增大而减小，当abx 2->时，y 随着x 的增大而增大，二次函数图象在对称轴a b x 2-=左侧单调递减，在对称轴abx 2-=右侧单调递增；该二次函数在对称轴abx 2-=处取得最小值a b ac 44-，无最大值；○2当0<a 时，二次函数图象开口朝下；当abx 2-<时，y 随着x 的增大而增大，当abx 2->时，y 随着x 的增大而减小，二次函数图象在对称轴a b x 2-=左侧单调递增，在对称轴abx 2-=右侧单调递减；该二次函数在对称轴abx 2-=处取得最大值a b ac 44-，无最小值；（3）在二次函数中，若令函数值0=y ，则得到一个一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax .在此，我们研究二次函数与一元二次方程的关系.为讨论方便，在此，我们只讨论0>a 的情况. 方程的 判别式ac b 42-=∆0>∆方程有两个不相等的实数根0=∆方程有两个相等的实数根0<∆方程无实数根方程的根aacb b x aac b b x 24,242221-+-=---=ab x x 221-== 无解函数的图象（示意图）函数与x 轴交点个数及横坐标 两个aac b b a acb b x 242422-+----=和一个ab x 2-= 无交点（4）由上述一元二次方程与二次函数的对应关系，可知，当函数图象与x 轴有交点时，原函数可以表示为)0)()((21≠--=a x x x x a y ，其中21,x x 是二次函数图象与x 轴交点的横坐标. （5）二次函数的三种表达方式总结： ① 一般式：)0(2≠++=a c bx ax y ；② 顶点式：)0()(2≠+-=a n m x a y ，其中顶点坐标为),(n m③ 交点式（两根式）：)0)()((21≠--=a x x x x a y ，其中21,x x 是二次函数图象与x 轴交点的横坐标.例题讲解例1：已知二次函数)(x f 满足1)1(,1)2(-=--=f f ，且)(x f 的最大值是8，求)(x f 的表达式.解：212121)1(,1)2(=-=∴-=--=x f f 对称轴为直线又因为)(x f 的最大值是8所以)(x f 可设为顶点式)0(8)21()(2<+-=a x a x f ， 将点)1,2(-代入，得4,1849-=-=+a a ， 即：)(x f 的表达式为)0(8)21(4)(2<+--=a x x f .例2：已知二次函数)(x f 满足条件1)0(=f 和x x f x f 2)()1(=-+. （1）求)(x f ； （2）)(x f 在区间]1,1[-上的最大值和最小值. 解：（1）设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，因为)(x f 满足条件1)0(=f 和x x f x f 2)()1(=-+， 代入，得⎩⎨⎧=++-++++=xc bx ax c x b x a c 2)(])1()1([122， 化简，得⎩⎨⎧=++=x b a ax c 221，即⎪⎩⎪⎨⎧=+==0221b a a c ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-==111c b a ，即：1)(2+-=x x x f . （2）由二次函数解析式可知：该二次函数开口朝上，对称轴为直线2121=--=x ， 在给定区间]1,1[-上的单调性为从)21,1(-单调递减，)1,21(单调递增，1111)1(,311)1()1(,43121)21()21(222=+-==++-=-=+-=f f f 比较两端点值大小，得1)1()1(3=>-=f f ，综上所述，)(x f 在区间]1,1[-上的最大值为3，最小值为43.自我检测1. 若二次函数)(x f 的图象过点)0,1(),0,1(),4,3(-，求)(x f 的表达式.2. 若二次函数)(x f 的图象过点)1,1(，并且()()73-=≥f x f ，求)(x f 的表达式.3. 已知函数],1[,86)(2a x x x x f ∈+-=，并且函数)(x f 的最小值为)(a f ，则实数a 的取值范围.4. 已知二次函数]1,0[,12)(2∈+-=x ax x x f ，求)(x f 的最小值.参考答案1. 由题干可知，该二次函数过给定的三个点，既可以设一般式，也可以设两根式，而两根式较为容易. 因为二次函数)(x f 的图象过点)0,1(),0,1(),4,3(-，故设)0)(1)(1()(≠-+=a x x a x f ，把点)4,3(代入，得：21,48==a a ， 即：)(x f 的表达式为)1)(1(21)(-+=x x x f . 2. 由题干可知，二次函数在3=x 处取到最小值7-， 因此该二次函数开口朝上，顶点为)7,3(-，故可以设)(x f 的表达式为)0(7)3()(2≠--=a x a x f .因为)(x f 的图象过点)1,1(，把点)1,1(代入，得2,174==-a a ， 即：)(x f 的表达式为7)3(2)(2--=x x f . 3. 二次函数开口朝上，对称轴为直线3126=⨯--=x ， 对称轴左侧单调递减，对称轴右侧单调递增，题干所给函数在区间右端点处取到最小值，故所给区间完全在对称轴左侧，则31≤<a .即：实数a 的取值范围为]3,1(. 4.二次函数开口朝上，对称轴为直线a ax =⨯--=122， 对称轴左侧单调递减，对称轴右侧单调递增，因此，只需讨论所给区间]1,0[与对称轴的位置关系即可. ○1当0≤a 时，所给区间]1,0[完全在对称轴的右侧，)(x f 在]1,0[上单调递增，最小值1)0(min ==f f ；○2当1≥a 时，所给区间]1,0[完全在对称轴的左侧，)(x f 在]1,0[上单调递减，最小值a f f 22)1(min -==；○3当10<<a 时，所给区间]1,0[分布在对称轴的两侧，)(x f 在),0(a 上单调递减，在)1,(a 上单调递增，最小值2min 1)(a a f f -==.。