运筹学课程设计- 题目是《某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同品牌的糖果甲、乙、丙》

糖果问题题目：某糖果厂用原料Ａ，Ｂ，Ｃ，加工成三种不同牌号的糖果甲，乙，丙。

已知各种糖果中Ａ，Ｂ，Ｃ的含量、原料成本、各种原料的每月限制用量、三种牌号的单位加工费及销售如下表所示。

甲 乙 丙 原料成本/元kg 每月限制用量/kg A 》60% 》15% 2 2000 B 1.5 2500 C《20% 《60% 《50% 1 1200 加工费/元kg 0.5 0.4 0.3 售价3.42.852.25问该厂每月生产这三种牌号的糖果各多少千克，使该厂获利最大？是建立这个问题的先行规划模型。

问题分析：由于甲、乙、丙三种糖果中A,B,C 的含量是未知的，我们若只设生产三种牌号的糖果各x, y, z 千克，要解决问题还要设出A,B,C 三种原料在他们当中所占的百分比，如此下来，在建立线性规划模型列方程时，方程中会出现二次式，很不利于我们解决问题。

为此，我们就想怎么设变量才能把各个变量都统一起来，并且使方程都是线性的。

经过思考之后，我们可以假设每个品牌的糖果当中只含A,B,C 三种原料，设甲中A,B,C 的含量分别为x1,x2,x3 ,乙中A,B,C 的含量分别为y1,y2,y3 , 丙中A,B,C 的含量分别z1,z2,z3 ，那么由假设我们知道x=x1+x2+x3 ,y=y1+y2+y3 ,z=z1+z2+z3 ，在由表中的各个约束条件我们可列出如下方程：甲： 乙： 丙：60%20%aa b c ca b cX X X X X X X X ≥++≤++ 15%60%aa b cc a b c Y Y Y Y Y Y Y Y ≥++≤++ 50%a a b c Z Z Z Z ≤++有每月限制用量：200025001200a b c a b c a b c X X X Y Y Y Z Z Z ++≤++≤++≤利润函数：()()(,,)()(3.40.5)()(2.850.4)()(2.250.3)2.00,1.50,1.00,,,,13.40.5,2.250.4,2.250.3,,11,,a b c a b c a a c a a a b b b c c c Ta a a a ab b bc c c f X Y Z X X X Y Y Y Z Z Z X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z X YX Y Z X Y Z =++-+++-+++--++⎛⎫ ⎪++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()1,,1 2.00,1.50,1.001,,,,,,3.40.511,1,1,, 2.250.4,,1 2.00,1.50,1.002.250.31,,,,a b b b c c c a a a a a a b b b b b b c c c c c c Z X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭程序源代码：clear; x=[];A=[-0.4,0.6,0.6,0,0,0,0,0,0 -0.2,-0.2,0.8,0,0,0,0,0,0 0,0,0,-0.85,0.15,0.15,0,0,0 0,0,0,-0.6,-0.6,0.4,0,0,0 0,0,0,0,0,0,-0.5,-0.5,0.5 1,0,0,1,0,0,1,0,00,1,0,0,1,0,0,1,00,0,1,0,0,1,0,0,1];B=[0;0;0;0;0;2000;2500;1200];C=[0.9,1.4,1.9,0.45,0.95,1.45,-0.05,0.45,0.95];xl=[0;0;0;0;0;0;0;0;0];xu=[2000;2500;1200;2000;2500;1200;2000;2500;1200];x=linprog(-C,A,B,A,B,xl,xu);x运行结果：x =1.0e+003 *2.00050.66680.66680.00020.00010.00000.00010.53400.5336问题结果有上述分析，通过matlab命令，我们求得最优解为甲乙丙使用总量A 2000.5 0.2 0.1 2000.8B 666.8 0.1 534 1200.9C 666.8 0 533.6 1200.4此时的利润为4748.5元。

糖果产品的生产安排问题摘要节省原材料，提高材料的利用率，减少废料，降低成本，提高经济效益，对各工业等领域来说都是一项有意义的事情。

本文提出了建立糖果产品的生产安排方案的一种使用数学模型，来研究糖果生产最合理的安排方法。

关键字：最优化线性规划 LINGO软件一、问题重述某糖果厂用三种原料A、B、C加工成三种糖果产品甲、乙和丙。

已知各种糖果产品中 A、B、C的含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种糖果产品的单位加工费及单位售价如下表所示，问该厂每月应生产这三种糖果产品各多少千克，才能使该厂获利最大？糖果产品原料成本每月限制甲乙丙（元/千克）用量(千克)原料A ≥60% ≥15% 2.00 2000B 1.50 2500C ≤20% ≤60% ≤50% 1.00 1200加工费0.50 0.40 0.30（元/千克）售价3.40 2.85 2.25（元/千克）二、问题分析引入决策变量：设该厂每月生产的甲种糖果中用掉原料A、B、C的数量依次为x1，x2，x3千克；每月生产的乙种糖果中用掉原料A、B、C的数量依次为x4、x5、x6千克；每月生产的丙种糖果中用掉原料A、B、C的数量依次为x7、x8、x9千克。

三、模型假设（1）不计生产中原材料的额外损耗；四、符号说明Z表示利润的最大值。

五、模型的建立目标函数：工厂每月所获地利润最大，故有Max Z=（3.4-0.50）（x1+x2+x3）+（2.85-0.40）（x4+x5+x6）+（2.25-0.30）（x7+x8+x9）-2（x1+x4+x7）-1.5（x2+x5+x8）-（x3+x6+x9）约束条件：每种糖果产品中所含原料成分要求,故有x1/（x1+x2+x3）≥60% 即-0.4x1+0.6x2+0.6x3≤0x3/（x1+x2+x3）≤20% 即=-0.2x1-0.2x2+0.8x3≤0x4/（x4+x5+x6）≥15% 即-0.85x4+0.15x5+0.15x6≤0x6/（x4+x5+x6）≤60% 即-0.6x4-0.6x5+0.4x6≤0x9/（x7+x8+x9）≤50% 即-0.5x7-0.5x8+0.5x9≤0各种原料的每月限制用量：x1+x4+x7≤2000x2+x5+x8≤2500x3+x6+x9≤1200非负约束：x1，x2，…x9≥0六、模型的求解利用LINGO软件求解得X1=1526.667,x2=1017.778,x3=0,x4=473.3333,x5=1482.222,x6=1200,x7=0, x8=0,x9=0.七、模型的推广应用调节各种方式得到最合理的产品生产安排方案，使问题的线性规划问题得以解决，初步实践证明是切实可行的。

习题一1.1 用图解法求解下列线性规划问题，并指出各问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解。

(1) min z ＝6x1＋4x2(2) max z ＝4x1＋8x2st. 2x1＋x2≥1 st. 2x1＋2x2≤103x1＋4x2≥1.5 －x1＋x2≥8x1, x2≥0 x1, x2≥0(3) max z ＝x1＋x2(4) max z ＝3x1－2x2st. 8x1＋6x2≥24 st. x1＋x2≤14x1＋6x2≥－12 2x1＋2x2≥42x2≥4 x1, x2≥0x1, x2≥0(5) max z ＝3x1＋9x2(6) max z ＝3x1＋4x2st. x1＋3x2≤22 st. －x1＋2x2≤8－x1＋x2≤4 x1＋2x2≤12x2≤6 2x1＋x2≤162x1－5x2≤0 x1, x2≥0x1, x2≥01.2. 在下列线性规划问题中，找出所有基本解，指出哪些是基本可行解并分别代入目标函数，比较找出最优解。

(1) max z ＝3x1＋5x2(2) min z ＝4x1＋12x2＋18x3st. x1＋x3＝4 st. x1＋3x3－x4＝32x2＋x4＝12 2x2＋2x3－x5＝53x1＋2x2＋x5＝18 x j≥0 （j＝1, (5)x j≥0 （j＝1, (5)1.3. 分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题，并对照指出单纯形法迭代的每一步相当于图解法可行域中的哪一个顶点。

(1) max z ＝10x1＋5x2st. 3x1＋4x2≤95x1＋2x2≤8x1, x2≥0(2) max z ＝100x1＋200x2st. x1＋x2≤500x1≤2002x1＋6x2≤1200x1, x2≥01.4. 分别用大M法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出问题的解属于哪一类：(1) max z ＝4x1＋5x2＋x3(2) max z ＝2x1＋x2＋x3st. 3x1＋2x2＋x3≥18 st. 4x1＋2x2＋2x3≥42x1＋x2≤4 2x1＋4x2≤20x1＋x2－x3＝5 4x1＋8x2＋2x3≤16x j≥0 （j＝1,2,3）x j≥0 （j＝1,2,3）(3) max z ＝ x 1＋ x 2 (4) max z ＝x 1＋2x 2＋3x 3－x 4 st. 8x 1＋6x 2≥24 st. x 1＋2x 2＋3x 3＝154x 1＋6x 2≥－12 2x 1＋ x 2＋5x 3＝202x 2≥4 x 1＋2x 2＋ x 3＋ x 4＝10x 1, x 2≥0 x j ≥0 （j ＝1, (4)(5) max z ＝4x 1＋6x 2 (6) max z ＝5x 1＋3x 2＋6x 3 st. 2x 1＋4x 2 ≤180 st. x 1＋2x 2＋ x 3≤183x 1＋2x 2 ≤150 2x 1＋ x 2＋3x 3≤16 x 1＋ x 2＝57 x 1＋ x 2＋ x 3＝10x 2≥22 x 1, x 2≥0，x 3无约束 x 1, x 2≥01.5 线性规划问题max z ＝CX ，AX ＝b ，X ≥0，如X*是该问题的最优解，又λ＞0为某一常数，分别讨论下列情况时最优解的变化：（1） 目标函数变为max z ＝λCX ；（2） 目标函数变为max z ＝（C ＋λ）X ；（3） 目标函数变为max z ＝C X ，约束条件变为AX ＝λb 。

运筹学基础及应用P43例13 、混合配料问题:某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。

已知各种牌号糖果中A、B、C含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如表1-19所示。

问该厂每月生产这三种牌号糖果各多少千克，使该厂获利最大。

试建立这个问题的线性规划的数学模型。

表1-19甲乙丙原料成本(元/kg) 每月限制用量(kg) A 2.00 2000 ?60% ?30%B 1.50 2500C 1.00 1200 ?20% ?50% ?60%0.50 0.40 0.30 加工费(元/kg)3.40 2.85 2.25 售价(元/kg)P44例14、投资项目的组合问题:兴安公司有一笔30万元的资金，考虑今后三年内用于下列项目的投资:(1) 三年内的每年年初均可投资，每年获利为投资额的20%，其本利可一起用于下一年投资;(2) 只允许第一年初投入，于第二年末收回，本利合计为投资额的150%，但此类投资限额不超过15万元;(3) 允许于第二年初投入，于第三年末收回，本利合计为投资额的160%，但限额投资20万元;(4) 允许于第三年初投入，年末收回，可获利40%，但限额为10万元。

试为该公司确定一个使第三年末本利和为最大的投资组合方案。

P44例15、生产、库存与设备维修综合计划的安排:红光厂有2台车床，1台钻床，1台磨床，承担4中产品的生产任务(已知生产各种产品所需的设备台时及生产单位产品的售价如表,,20所示(对各种产品今后三个月的市场最大需求(小于最大需求量时即可全部销出)及各产品在今后三个月的生产成本分别如表1,21和表1,22所示(上述设备在1~3月内各需进行一次维修,具体安排为:2台车床于2月份、3月份各维修一台,钻床安排在2月份维修,磨床安排在3月份维修.各设备每月工作22天.每天2班,每班8h,每次维修占用半各月时间.又生产出来的产品当月销售不出去(超过最大需求量)时,可在以后各月销售,但需付每件每月储存费5元.但规定每月底各种产品储存量均不得超过100件.1月初各产品无库存,要求3月底各产品均库存50件.试安排该厂各月的生产计划,使总的利润为最大.表,,20 a值单位:h iji ? ? ? ? j车床 ,., ,., ,.,钻床 ,., ,., ,.,磨床 ,., ,., ,.,售价(元,件) ,, ,, ,, ,,表 1,21 最大需求量单位:件 K ? ? ? ? j1月 200 300 200 200 2月 300 200 0 300 3月 300 100 400 0表,,22 产品成本单位:元,件K ? ? ? ? j,月 ,, ,, ,, ,, ,月 ,, ,, ,, ,, ,月 ,, ,, ,, ,,P81例1、某食品公司经销的主要产品之一是糖果。

sets: hkyou/1..2/:y,u,t; bzyou/1..4/:b,r,s; link(hkyou,bzyou):x; endsets data: b=380000,265200,408100,130100; r=107,93,87,108; s=7.11,11.38,5.69,28.45; u=91,100; t=9.96,9.96; enddata max=y(1); @for(hkyou(i):y(i)=@sum(bzyou(j):x(i,j))); y(2)>=250000; @for(bzyou(j):@sum(hkyou(i):x(i,j))<=b(j)); @for(hkyou(i):@sum(bzyou(j):r(j)*x(i,j))>=u(i)*y(i)); @for(hkyou(i):@sum(bzyou(j):s(j)*x(i,j))<=t(i)*y(i));
2、变量设置： i=1,2,3表示A、B、C三种原料； j=1,2,3表示甲、乙、丙三种糖果； xij 表示第j种糖果消耗第i原料的数量； rj 表示第j种糖果的售价； yj 表示第j类糖果的产量； cj 表示第j种糖果的单位加工费用； ai 表示第i种原料的单位成本； bi 表示第i种原料的月限量； z 表示该厂的月利润
配方问题
规划建模问题之一
例1 配料问题(配方问题)
例1 配料问题
某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的 糖果甲、乙、丙。已知各种糖果中A、B、C的含量， 原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号的糖 果的单位加工费及售价如表1-5所示。问该厂每月生产 这三种牌号的糖果各多少kg，使该城获利最大。建立 这个问题的线性规划模型。
产量需求（L） 越多越好 不少于250000

表3-3
销地
产地
1
2
3
产量
1
5
1
8
12
2
2
4
1
14
3
3
6
7
4
销量
9
10
11
表3-4
销地
产地
1
2
3
4
5
产量
1
10
2
3
15
9
25
2
5
20
15
2
4
30
3
15
5
14
7
15
20
4
20
15
13
M
8
30
销量
20
20
30
10
25
解：
（1）在表3-3中分别计算出各行和各列的次最小运费和最小运费的差额，填入该表的最右列和最下列。得到：
+ = + +
+ =
建立数学模型：
Max z=(1.25-0.25)*( + )+(2-0.35)*( + )+(2.8-0.5) -(5 +10 )300/6000-(7 +9 +12 )321/10000-(6 +8 )250/4000-(4 +11 )783/7000-7 *200/4000
s.t
2.确定 的范围,使最优解不变;取 ,求最优解;
3.确定 的范围,使最优基不变,取 求最优解;
4.引入 求最优解;
解1.由单纯形方法得
即,原问题的最优解为
例求下面运输问题的最小值解：
1

1
9
3
4
u1=0
1
3
11
3
10
7
4
3
u2=-1
2
1
9
2
3
4
3
1
u3=-5
3
7
4
10
5
9
6
3
3
6
5
6
则： ，最小值为-6，非基变量为 ，闭回路 ，最大调整量为1，得新解：
，
重新计算位势及影响系数，得下表：
v1=8
v2=9
v3=3
v4=10
1
2
3
4
u1=0
1
3
11
3
10
7
5
2
u2=-7
2
1
9
2
3
4
3
1
u3=-5
对上表中的元素分别计算各行和各列的次最小运费和最小运费的差额，填入该标的最右列和最下行，重复步骤 ，直到求出初始解为止。
并用位势法进行检验：
销地
产地
甲
乙
丙
丁
戊
己
1
10
18
2
29
8
13
0
22
6
0
12
0
2
13
3
M
M-16
21
0
14
1
16
0
0
12
0
3
0
0
6
0
11
0
3
0
M
M-6
0
22
-10
4
9
4
11
0

培训问题
某工厂举办“技工”培训班，由受过培训合格的技
师负责培训，每名技师负责培训10名学员，培训一个月
为一期，根据以往经验，每10名学员有7名能成为合格 技工。合格技工全部留用，不合格不予留用。在今后三
个月内，厂方需要技工人数为：1月份100人，2月份150
人，3月份200人，已知年初有合格技工130人。工资支 付标准如下：正受训的学员，每人每月400，合格技工 中上班的每人每月1200，部份留用但暂时还不需要上班 的每人每月800。制订一个工资总额最小的培训方案。
假定4月份至少需要250名技工。
库存问题
某公司在今后四个月内需租用仓库堆放物资。已知各月所需仓库面积如下：
仓库租借费用，与租借合同期限有关，越长则折扣越大，具体如下：
该厂根据需要，在各月初办理租借合同，可同时签订不同面积、不 同期限的合同。请制定一个费用最小的租借方案。
生产存贮问题
一个合资食品企业面临某种食品一至四月的生产计划问题。四 个月的需求分别为4500吨、3000吨、5500吨、4000吨。目前（一月 初）该企业有100个熟练工人，正常工作时每人每月可以完成40吨， 每吨成本200元。由于市场需求浮动较大，该企业可通过以下方法 调节生产：
2 某糖果厂用原料A,B,C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。已知 各种牌号糖果中A,B,C含量、原料成本，各种原料的每月限制用量， 三种牌号糖果的单位加工费及售价如下表所示。问该厂每月生产这三 种牌号糖果各多少kg，使其获利最大。试建立这个问题的线性规划的 数学模型。
3
一艘货轮分前、中、后三个舱位，它们的容积与最大允许载重 量如表1所示。现有三种货物待运，已知有关数据列于表2。 又为了航运安全，前、中、后舱的实际载重量大体保持各舱最大允 许载重量的比例关系。具体要求：前、后舱分别与中舱之间载重量 比例的偏差不超过15%，前、后舱之间不超过10%。问该货轮应装 载A、B、C各多少件运费收入才最大？试建立这个问题的线性规划 模型

糖果生产过程安排及利润最大化问题建模一、摘要与关键词“糖果生产安排及利润最大”这类问题在生活中很常见。

目的在于提高材料利用率，降低成本，提高经济效益。

本文提出了糖果生产安排方案的一种数学模型，较为简便的研究生产合理化，利润最大化问题。

利用线性规划和单纯形法建立数学模型，根据所给条件数据和约束条件和所要达到的目标建立函数，得出数学模型，以得到合理的生产安排。

关键词：线性规划单纯形法最大利润二、问题重述某糖果厂用原料A、B、C加工成三种糖果甲、乙、丙。

各种牌号糖果中A、B、C含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种糖果的单位加工费及售二、问题分析与假设这个问题的目标是要使利润最大化，要解决的问题是每月生产用原料A，B，C加工成三种不同糖果甲乙丙各多少，并受到以下约束：原料的含量及成本、原料的每月限制用量还有加工费。

将变量、目标函数和约束条件用数学符号表示出来，建立线性规划模型。

假设：①假设生产过程中原料全部用于生产糖果，不计损耗与浪费②生产设备全部正常运转③每种糖果里都只含A，B，C三种原料四、符号说明W：利润x甲A，x甲B，x甲C：甲糖果中原料A B C分别所占的重量x乙A，x乙B，x乙C：乙糖果中原料A B C分别所占的重量x丙A，x丙B，x丙C：丙糖果中原料A B C分别所占的重量五、模型建立与求解设W 为利润。

引入变量x 甲，x 乙，x 丙分别代表甲乙丙三种糖果的生产量，以x 甲A ，x 甲B ，x 甲C 分别表示产品甲中各种原料A B C 的含量，类似的，有x 乙A ，x 乙B ，x 乙C ，x 丙A ，x 丙B ，x 丙C 。

由题目条件可知， x 甲A >=0.6x 甲 x C甲<=0.2x 甲 x A 乙>=0.15x 乙 x 乙C <=0.6x 乙x 丙C <=0.5x 丙 。

①由题目已知条件还可得以下条件：x A 甲 +x B 甲 +x C 甲 =x 甲x A 乙B 乙x ++乙乙x C =x丙丙丙丙x x x x C B A =++ ......②把②逐个带入①计算可得：0x x 32C B A <=++-甲甲甲x 0*4x C B A <=+--甲甲甲x x0x x 317C B A <=++-乙乙乙x 0x 32x C B A <=+--乙乙乙x 0x C B A <=+--丙丙丙x x题干中所给表的最后一列又提供了各种原材料的每月限用量，由此有以下不等式：x 甲A +x 乙A +x 丙A <=2000,x 甲B +x 乙B +x 丙B <=2500,x 甲C +x 乙C +x 丙C <=1200 令x 1=x 甲A ， x 2=x 甲B , x 3=x 甲C ,x 4=x 乙A , x 5=x 乙B , x 6=x 乙C ,x 7=x 丙A , x 8=x 丙B , x 9=x 丙C上述各式综合为0x x 32321<=++-x0*4x 321<=+--x x0x x 317654<=++-x 0x 32x 654<=+--x 0x 987<=+--x xx 1+x 4+x 7<=2000x 2+x 5+x 8<=2500x 3+x 6+x 9<=1200x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6,x 7,x 8,x 9>=0利润应为产品售价减去加工费和原材料费用后的数值:(线性规划模型为)maxW=0.9x 1+1.4x 2+1.9x 3+0.45x 4+0.95x 5+1.45x 6-0.05x 7+0.45x 8+0.95x 9 求解：利用lingo 求解得x1=1570. 370，x2=1046.914,x3=0,x4=429.6296,x5=370.370,x6=1200.000,x7=0,x8=1082.716,x9=0.根据以上结果，可知糖果甲每月生产使用A 原料1570.370kg ，使用B 原料1046.914kg ，糖果乙每月生产使用A 原料429.6296kg ，使用B 原料370.3704kg ，使用C 原料1200.00kg ，糖果丙每月生产使用B 原料1082.716kg 。

1 绪论1、运筹学的内涵答：本书将运筹学定义为：“通过构建、求解数学模型，规划、优化有限资源的合理利用，为科学决策提供量化依据的系统知识体系。

”2、运筹学的工作过程答：（1）提出和形成问题。

即要弄清问题的目标、可能的约束、可控变量、有关的参数以及搜索有关信息资料。

（2）建立模型。

即要把问题中的决策变量、参数和目标、约束之间的关系用一定的模型表示出来。

（3）求解模型。

根据模型的性质，选择相应的求解方法，求得最优或者满意解，解的精度要求可由决策者提出。

（4）解的检验和转译。

首先检查求解过程是否有误，然后再检查解是否反映客观实际。

如果所得之解不能较好地反映实际问题，必须返回第（1）步修改模型，重新求解；如果所得之解能较好地反映实际问题，也必须仔细将模型结论转译成现实结论。

（5）解的实施。

实施过程必须考虑解的应用范围及对各主要因素的敏感程度，向决策者讲清楚用法，以及在实施中可能产生的问题和修改的方法。

3、数学模型及其三要素答：数学模型可以简单的描述为：用字母、数字和运算符来精确地反映变量之间相互关系的式子或式子组。

数学模型由决策变量、约束条件和目标函数三个要素构成。

决策变量即问题中所求的未知的量，约束条件是决策所面临的限制条件，目标函数则是衡量决策效益的数量指标。

2 线性规划1、试述线性规划数学模型的组成部分及其特性答：线性规划数学模型由决策变量、约束条件和目标函数三个部分组成。

线性规划数学模型特征：（1） 用一组决策变量表示某一方案，这组决策变量均为非负的连续变量；（2） 存在一定数量（m ）的约束条件，这些约束条件可以用关于决策变量的一组线性等式或者不等式来加以表示；（3） 有一个可以用决策变量加以表示的目标函数，而该函数是一个线性函数。

2、一家餐厅24小时全天候营业，在各时间段中所需要的服务员数量分别为：2：00~6：00 3人 6：00~10：00 9人 10：00~14：00 12人 14：00~18：00 5人 18：00~22：00 18人 22：00~ 2：00 4人设服务员在各时间段的开始时点上上班并连续工作八小时，问该餐厅至少配备多少服务员，才能满足各个时间段对人员的需要。

要害部位 摧毁可能性 离机场距离 （公里） 每枚重型炸弹 每枚轻型炸弹
1
2 3 4
450
480 540 600
0.10
0.20 0.15 0.25
0.08
0.16 0.12 0.20
为了使摧毁敌方军事目标的可能性最大，应如何确定飞机轰 炸的方案。要求建立这个问题的线性规划模型。
15.一个大的造纸公司下设10个造纸厂，供应1000个用户。这些 造纸厂内应用三种可以互相替换的机器，四种不同的原材料 生产五种类型的纸张。公司要制定计划，确定每个工厂每台 机器上生产各种类型纸张的数量，并确定每个工厂生产的哪 一种类型纸张，供应哪些用户及供应的数量，使总的运输费 用最少。已知： Djk—j用户每月需要k种类型纸张数量； rklm—在l型设备上生产单位k中类型纸所需m类原材料数量； Rim—第i纸厂每月可用的m类原材料数； ckl—在l型设备上生产单位k型纸占用的设备台时数； cil—第i纸厂第l型设备每月可用的台时数； Pikl—第i纸厂在第l型设备上生产单位k型纸的费用； Tijk—从第i纸厂到第j用户运输单位k型纸的费用。 试建立这个问题的线性规划模型。
9.对某厂I、II、III三种产品下一年各季度的合同预定数如下 表所示：
产品 I II III 季度 1 1500 1500 1000 2 1000 1500 2000 3 2000 1200 1500 4 1200 1500 2500
该三种产品1季度无库存，要求在4季度末各库存150件。已知 该厂每季度生产工时为15000小时，生产I、II、III产品每 件分别需时2、4、3小时。因更换工艺装备，产品I在1季度 无法生产。规定当产品不能按期交货时，产品I、II每件每 迟交一个季度赔偿20元，产品III赔偿10元；又生产出的产 品不在本季度交货的，每件每季度的库存费用为5元。问 该厂应如何安排生产，使总的赔偿加库存费用为最小。

运筹学基础及应用P43例13 、混合配料问题：某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。

已知各种牌号糖果中A、B、C含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如表1-19所示。

问该厂每月生产这三种牌号糖果各多少千克，使该厂获利最大。

试建立这个问题的线性规划的数学模型。

表1-19P44例14、投资项目的组合问题：兴安公司有一笔30万元的资金，考虑今后三年内用于下列项目的投资：（1）三年内的每年年初均可投资，每年获利为投资额的20%，其本利可一起用于下一年投资；（2）只允许第一年初投入，于第二年末收回，本利合计为投资额的150%，但此类投资限额不超过15万元；（3）允许于第二年初投入，于第三年末收回，本利合计为投资额的160%，但限额投资20万元；（4）允许于第三年初投入，年末收回，可获利40%，但限额为10万元。

试为该公司确定一个使第三年末本利和为最大的投资组合方案。

P44例15、生产、库存与设备维修综合计划的安排：红光厂有2台车床，1台钻床，1台磨床，承担4中产品的生产任务．已知生产各种产品所需的设备台时及生产单位产品的售价如表１－20所示．对各种产品今后三个月的市场最大需求（小于最大需求量时即可全部销出）及各产品在今后三个月的生产成本分别如表1－21和表1－22所示．上述设备在1~3月内各需进行一次维修,具体安排为:2台车床于2月份、3月份各维修一台,钻床安排在2月份维修,磨床安排在3月份维修.各设备每月工作22天.每天2班,每班8h,每次维修占用半各月时间.又生产出来的产品当月销售不出去(超过最大需求量)时,可在以后各月销售,但需付每件每月储存费5元.但规定每月底各种产品储存量均不得超过100件.1月初各产品无库存,要求3月底各产品均库存50件.试安排该厂各月的生产计划,使总的利润为最大.表１－20a值单位：h表1－21 最大需求量单位：件P81例1、某食品公司经销的主要产品之一是糖果。

运筹学习题答案第一章（39页）1.1用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。

（1）max 12z x x =+ 51x +102x ≤501x +2x ≥12x ≤4 1x ，2x ≥0（2）min z=1x +1.52x1x +32x ≥3 1x +2x ≥2 1x ，2x ≥0（3）max z=21x +22x1x -2x ≥-1-0.51x +2x ≤21x ，2x ≥0（4）max z=1x +2x1x -2x ≥031x -2x ≤-31x ，2x ≥0解： （1）（图略）有唯一可行解，max z=14 （2）（图略）有唯一可行解，min z=9/4 （3）（图略）无界解 （4）（图略）无可行解1.2将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。

（1）min z=-31x +42x -23x +54x 41x -2x +23x -4x =-21x +2x +33x -4x ≤14-21x +32x -3x +24x ≥21x ，2x ，3x ≥0，4x 无约束（2）max kkz s p =11nmk ik ik i k z a x ===∑∑11(1,...,)mikk xi n =-=-=∑ik x ≥0 (i=1…n; k=1,…,m)（1）解：设z=-z ',4x =5x -6x , 5x ,6x ≥0 标准型：Max z '=31x -42x +23x -5(5x -6x )+07x +08x -M 9x -M 10x s. t .-41x +2x -23x +5x -6x +10x =21x +2x +33x -5x +6x +7x =14-21x +32x -3x +25x -26x -8x +9x =21x ,2x ,3x ,5x ,6x ,7x ,8x ,9x ,10x ≥0(2)解：加入人工变量1x ，2x ，3x ，…n x ，得： Max s=(1/k p )1ni =∑1mk =∑ik αik x -M 1x -M 2x -…..-M n xs.t.11mi ik k x x =+=∑ (i=1,2,3…,n)ik x ≥0, i x ≥0, (i=1,2,3…n; k=1,2….,m)M 是任意正整数1.3在下面的线性规划问题中找出满足约束条件的所有基解。

工业大学课程设计报告课程设计名称运筹课程设计专业班级学生姓名指导教师2013年6月28日课程设计任务书运筹学课程设计报告组别：第十二组设计人员：设计时间：2013年6月17日至2013年6月28日1.设计进度本课程设计时间分为两周：1.1 第一周（2013年6月17日----2013年6月21日）：建模阶段。

此阶段各小组根据给出的题目完成模型的建立。

主要环节包括：1.1.16月17日上午：发指导书；按组布置设计题目；说明进度安排。

1.1.2 6月18日下午至6月20日：各小组审题，查阅资料，进行建模前的必要准备(包括求解程序的编写与查找)。

1.1.3 6月21日至6月22日：各个小组进行建模，并根据题目及设计要求拟定设计提纲，指导教师审阅；同时阅读，理解求解程序，为上机求解做好准备。

1.2 第二周（2013年6月24日---6月28日）：上机求解，结果分析及答辩。

主要环节包括:1.2.1 6月24日至6月25日：上机调试程序1.2.2 6月26日：完成计算机求解与结果分析。

1.2.3 6月27日：撰写设计报告。

1.2.4 6月28日：设计答辩及成绩评定。

2.设计题目第三十题某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同品牌的糖果甲、乙、丙。

已知各种品牌糖果中A、B、C的含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如表1所示。

问该厂每月生产这三种糖果各多少公斤，使该厂获利最大。

并按要求分别完成下列分析：（1）乙产品的售价在何范围内变化时最优生产方案不变？（2）B原料的成本在何范围内变化时最优生产方案不变？（3）C原料的每月限制量在何范围内变化时最优基不变？（4）甲产品的加工费在何范围内变化时最优生产方案不变？表13.建模过程3.1分析过程用i=1,2,3分别代表原材料A、B、C，用j=1,2,3分别表示甲、乙、丙三种糖果。

设Xij为生产第j种糖果使用的第i种原料的公斤数。

甲糖果的质量为Y1乙糖果的质量为Y2丙糖果的质量为Y3生成甲糖果使用的A原料的公斤数为：X11生成甲糖果使用的B原料的公斤数为：X12生成甲糖果使用的C原料的公斤数为：X13生成乙糖果使用的A原料的公斤数为：X21生成乙糖果使用的B原料的公斤数为：X22生成乙糖果使用的C原料的公斤数为：X23生成丙糖果使用的A原料的公斤数为：X31生成丙糖果使用的B原料的公斤数为：X32生成丙糖果使用的C原料的公斤数为：X33X11+X21+X31 =Y1表示A、B、C三种原料质量之和为甲糖果的质量。

1 2((⎨最优化方法部分课后习题解答1.一直优化问题的数学模型为：习题一min f (x ) = (x − 3)2 + (x − 4)2⎧g (x ) = x − x − 5 ≥ 0 ⎪ 11 2 2 ⎪试用图解法求出：s .t . ⎨g 2 (x ) = −x 1 − x 2 + 5 ≥ 0 ⎪g (x ) = x ≥ 0 ⎪ 3 1 ⎪⎩g 4 (x ) = x 2 ≥ 0（1） 无约束最优点，并求出最优值。

（2） 约束最优点，并求出其最优值。

（3） 如果加一个等式约束 h (x ) = x 1 −x 2 = 0 ，其约束最优解是什么？ *解 ：（1）在无约束条件下， f (x ) 的可行域在整个 x 1 0x 2 平面上，不难看出，当 x =（3，4） 时， f (x ) 取最小值，即，最优点为 x * =（3，4）：且最优值为： f (x * ) =0（2）在约束条件下， f (x ) 的可行域为图中阴影部分所示，此时，求该问题的最优点就是在约束集合即可行域中找一点 (x 1 ,x 2 ) ，使其落在半径最小的同心圆上，显然，从图示中可以看出，当 x *=15 , 5) 时， f (x ) 所在的圆的半径最小。

4 4⎧g (x ) = x − x − 5 = 0⎧ 15 ⎪x 1 = 其中：点为 g 1 (x) 和 g 2 (x ) 的交点，令 ⎪ 1 1 2⎨ 2 求解得到： ⎨ 4 5即最优点为 x *= ⎪⎩g 2 (x ) = −x 1 − x 2 + 5 = 015 , 5 ) ：最优值为： f (x * ) = 65⎪x = ⎪⎩ 244 4 8（3）.若增加一个等式约束，则由图可知，可行域为空集，即此时最优解不存在。

2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为 S ，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优 化问题的数学模型，并回答这属于几维的优化问题. 解：列出这个优化问题的数学模型为：max f (x ) = x 1x 2 x 3⎧x 1x 2 + 2x 2 x 3 + 2x 1x 3 ≤ S ⎪ s .t . ⎪x 1 > 0 ⎪x 2 > 0 ⎪⎩x 3 > 0该优化问题属于三维的优化问题。

习 题 一1．已知优化问题的数学模型为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥=≥=≥+--=≥--=-+-=．，，，，0)(0)(05)(025)(..)4()3()(min 24132122112221x X g x X g x x X g x x X g t s x x X f试用图解法求出：（1）无约束最优点，并求出其最优值； （2）约束最优点，并求出其最优值；（3）如加上一个等式约束0)(21=-=x x X h ，其约束最优解是什么？2．当一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为S ，怎样设计可使油箱的容量最大？ 试列出这个优化问题的数学模型，并回答： （1）属于几维的优化问题？（2）是线性规划还是非线规划问题？ 3．用图解法求例1.3的最优解．习 题 二1．用矩阵符号表示下列二次型：（1）3223312221213214244)(x x x x x x x x x x x x f +++++=，，； （2）3231212322213214427)(x x x x x x x x x x x x f ----+=，，． 2．判别下列二次型是否正定：；，，，41434231212423222143212126421993)()1(x x x x x x x x x x x x x x x x x x f +--+-+++= （2）32312123222132148455)(x x x x x x x x x x x x f --+++=，，． 3．计算一般二次函数cX b AX X X f T T ++=21)(的梯度．4．计算二元函数65)(122121-+-=x x x x X f 在点T X ]11[0，=处沿方向Tl ]2,1[-=的方向导数)(X X lX f =∂∂和沿梯度方向)(00X f g ∇=的方向导数)(X X g X f =∂∂．5．求下列函数的梯度和Hesse 矩阵：（1）31232221432)(x x x x x X f -++=； （2）212213)(x x e x x X f +=．6．判断下列函数是凸函数、凹函数，还是既不凸也不凹：（1）2122212132)(x x x x x x f ++-=，； （2）65342)(122212121--+-=x x x x x x x f ，； （3）21232221321432)(x x x x x x x x f --+=，，． 7．设约束优化问题的数学模型为⎩⎨⎧≥+---=≥+-=+-++=．，，022)(02)(..1044)(min 2122212211222121x x x x X g x x X g t s x x x x X f 试用T K -条件判别点TX ]11[，-=是否为最优点． 8．设约束优化问题⎪⎩⎪⎨⎧≤++-=≤-=≤-=+-=．，，，01)(0)(0)(..)2()(min 221312112221x x X g x X g x X g t s x x X f 它的当前迭代点为Tk X ]01[，=，试用T K -条件判定它是不是约束最优解．习 题 三1．对下列线性规划问题找出所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解．1231234123516(1)max ()3212363984210..300(126)j f X x x x x x x x x x x x s t x x x j =+++++=⎧⎪+-+=⎪⎨-=⎪⎪≥=⎩，，，，，，，；123412341234(2)min ()52322347..22230(1234)jf X x x x x x x x x s t x x x x x j =-++⎧+++=⎪+++=⎨⎪≥=⎩，，，，，，． 2．用单纯形法求解下列线性规划问题：12121212(1)max ()105349..5280f X x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，，，； 12121212(2)max ()254212..32180f X x x x x s t x x x x =+≤⎧⎪≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩，，，，，．3．分别用单纯形法中的大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题：1234123412341234(1)min ()52362347..2230f X x x x x x x x x s t x x x x x x x x =-+-+++=⎧⎪+++=⎨⎪≥⎩，，，，，，；12121231241234(2)min ()433436..240f X x x x x x x x s t x x x x x x x =++=⎧⎪+-=⎪⎨++=⎪⎪≥⎩，，，，，，，；123123123123123(3)max ()101512539561515..250f X x x x x x x x x x s t x x x x x x =++++≤⎧⎪-++≤⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩，，，，，，．4．某糖果厂用原料A 、B 、C 加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙，已知各种牌号糖果中A 、B 、C 含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如下表所示．问该厂每月应生产这三种牌号糖果各多少千克，使该厂获利最大？试建5．写出下列线性规划问题的对偶问题：123123123123123(1)min ()2242352373..4650f X x x x x x x x x x s t x x x x x x =++++≥⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪≥⎩，，，，，，；123123123123123(2)max ()56322553..473800f X x x x x x x x x x s t x x x x x x =++++=⎧⎪-+-≥⎪⎨++≤⎪⎪≥≤⎩，，，，无约束，，．6．用对偶单纯形法求解下列线性规划问题：1231323123(1)min ()4121833..2250f X x x x x x s t x x x x x =+++≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，，，，，；12341234123412341234(2)min ()32424503722..526150f X x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x =++++++≥⎧⎪-+-≥⎪⎨+++≥⎪⎪≥⎩，，，，，，，．7．已知线性规划问题12312312123max ()26..240f X x x x x x x s t x x x x x =-+++≤⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，，，，，，先用单纯形法求出最优解，再分别就下列情况进行分析：（1）目标函数中变量321x x x ，，的系数分别在什么范围内变化，问题的最优解不变；（2）两个约束条件的右端项分别在什么范围内变化，问题的最优解不变．习 题 四1．用加步探索法确定一维最优化问题12)(min 30+-=≥t t t t ϕ的搜索区间，要求选取21000===α，，h t ． 2．用对分法求解)3()(min -=t t t ϕ，已知初始单谷区间]53[][，，-=b a ，按精度1.0=ε计算． 3．用Newton 法求解12)(m in 3+-=t t t ϕ，用第１题求得的区间，按精度01.0=ε计算．４．用黄金分割法求解)2()(min +=t t t ϕ，已知初始单谷区间]53[][，，-=b a ，按精度001.0=ε计算． ５．用抛物线插值法求解3728)(m in 23+--=x x x x f ，已知初始单谷区间001.0]20[][==ε，，，b a ．习 题 五1．用最速下降法求解22120min ()25[22]0.01T f X x x X ε=+==，，，． 2．用Newton 法求解22121212min ()60104f X x x x x x x =--++-，初始点0[00]0.01T X ε==，，．3．用修正Newton 法求解221212min ()4(1)2(1)10f X x x x x =++-+++，初始点0[00]0.01T X ε==，，．4．用共轭梯度法求解得)4min(2221x x +，取初始点TX ]11[0，=，01.0=ε．5．用共轭梯度法求解221212min ()2f X x x x x =+-，自定初始点 ，01.0=ε． 6．用DFP 法求解2212min ()4(5)(6)f X x x =-+-，初始点，，T X ]98[0=01.0=ε． 7．用坐标轮换法求解60410)(m in 21212221+---+=x x x x x x X f ，取初始点0[00]0.1T X ε==，，．8．用单纯形法求解5842)(min 212221+--+=x x x x X f ，给定初始单纯形顶点为123[00][0.9650.259][0.2590.965]T T T X X X ===，，，，，．1.0=ε， 1.1α=，1=β，5.0=γ．习 题 六1．用外点罚函数法求解⎩⎨⎧≥=≥+-=+=．，，0)(0)(..)(min 12221121x X g x x X g t s x x X f2．用外点罚函数法求解．，01)(..)(min 12221≤-=+=x X g t s x x X f3．用外点罚函数法编程计算⎩⎨⎧=-+=≥=+-=，，，01)(0ln )(..)(min 2112121x x X h x X g t s x x X f取终止限510-=ε．4．用内点罚函数法求解⎩⎨⎧≥=≥-=++=．，，0)(01)(..)1(31)(min 2211231x X g x X g t s x x X f 5．用内点罚函数法求解⎩⎨⎧≥≥-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++．，，001..)1(31min 21231x x t s x x6．用内点罚函数法编程计算⎩⎨⎧≥≥-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++．，，001..)1(31min 21231x x t s x x 取初始点TX ]43[0，=，初始障碍因子10=u ，缩小系数取1.0=c ，终止限510-=ε．7．分别用内点罚函数法和混合罚函数法编程计算⎩⎨⎧=-+=≥=+-=，，，01)(0ln )(..)(min 2112121x x X h x X g t s x x X f取终止限510-=ε．8．用约束坐标轮换法编程计算⎪⎩⎪⎨⎧≥=≥=≥--=+--+=，，，，0)(0)(09)(..15842)(min 231222211212221x X g x X g x x X g t s x x x x X f取终止限1.0=ε．a9．用复合形法编程计算⎩⎨⎧≤≤≤≤+--+=，，，35.031..15842)(min 21212221x x t s x x x x X f取终止限2.0=ε．习 题 七1．用动态规划求解⎩⎨⎧=≥≤++=．，，，，，)321(04..max 3212321i x x x x t s x x x z i2．设有5个城市，编号从1到5，记第i 个城市与第j 个城市的距离为d ij ，记⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⨯03572301525105.05755.00622560)(55ij d D ， 试分别用函数迭代法和策略迭代法求出各城市到第5个城市的最短距离．习 题 八1．试求无约束多目标规划T x x x x V ])1(3)2(3m in[22212221-+++-，的有效解集． 2．用理想点法求解多目标规划⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++--．，，，，，0103212..]34min[2121212121x x x x x x t s x x x x V T3．用线性加权和法求解第2题的多目标规划． 4．用分层求解法求解⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+-，，，，，，，，012..)]()(min[21221212211x x x x x t s x x f x x f V T假定目标11212()2f x x x x +，＝－比212122)(x x x x f +＝，重要．5．某农场有甲、乙、丙三块地，分别为200公顷、400公顷和600公顷，计划种植三种农作物A 、B 、C ．已知生产A 、B 、C 的费用为3000、2250和1500(单位：元/公顷，种请制定种植计划，使得总收成最大，而总成本最小．。