苏教版高中数学必修四《向量的加减法》每日一练(附答案)

高中向量的加减法数学（答题时间： 45 分钟）向量的加法1. 在四边形ABCD 中，CB＋AD＋BA等于 ________。

*2.在矩形 ABCD 中，若AB＝ 4，BC＝ 3，则AB AD ＝________。

*3.以下说法：（ 1）假如非零向量 a 与 b 的方向同样或相反，那么a＋ b 的方向必与 a， b 之一的方向同样；（2）在△ ABC 中，必有AB＋BC＋CA＝0；（3）AB＋BC＋CA＝ 0，则 A， B，C 为一个三角形的三个极点；（ 4）若 a， b 均为非零向量，则|a＋ b|与 |a|＋ |b|必定相等。

此中正确说法的个数为________。

4. 如图，已知△ABC 是直角三角形且∠A＝90°，则在以下结论中正确的选项是________。

5.（肇庆高一检测）如图，已知 D， E， F 分别是△ ABC 的边 AB， BC， CA 的中点，则以下等式中不正确的选项是 ________。

6.若 P 为△ ABC 的外心，且PA＋PB＝PC，求∠ ACB 的度数。

7. 轮船从 A 港沿北偏东 60°方向行驶了 40 km 抵达 B 处，再由 B 处沿正北方向行驶 40 km 抵达C 处，求此时轮船到 A 港的相对地点。

向量的减法1.以下命题中，正确的个数是 ________。

①在平行四边形 ABCD 中，BA＋AD－BD＝AB＋CD；② a＋b＝ a? b＝ 0；③ a－b＝ b－ a；④ AB－CB＋CD－ AD的模为0。

2.已知六边形 ABCDEF 是一个正六边形， O 是它的中心，此中 a＝OF，b＝OA，c＝OB，则 EF 等于________。

*3 。

已知 O 是四边形ABCD 所在平面内的一点，且知足OA＋OC＝OB＋OD，则四边形 ABCD 的形状是 ________。

4.化简（ AB ＋ CD － EB ）＋（ BC － BD ＋ EF ）－ AF ＝________。

2.2.1 向量的加法一、填空题1．化简：AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →＝________.【解析】 AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋FA →＝0.【答案】 0图2－2－72．如图2－2－7，在平行四边形ABCD 中，(1)AB →＋AD →＝________；(2)AC →＋CD →＋DO →＝________；(3)AB →＋AD →＋CD →＝________.【解析】 (1)AB →＋AD →＝AC →.(2)AC →＋CD →＋DO →＝AO →.(3)AB →＋AD →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.【答案】 (1)AC → (2)AO → (3)AD →3．已知a 表示“向北走5 km”，b 表示“向西走5 km”，则a ＋b 的方向是________，|a ＋b|＝________.【解析】 如图可知a ＋b 的方向是北偏西45°，|a ＋b|＝5 2.【答案】 北偏西45° 5 2图2－2－84．如图2－2－8，已知△ABC 是直角三角形且∠A ＝90°，则在下列结论中正确的是________．①|AB →＋AC →|＝|BC →|；②|AB →＋BC →|＝|CA →|；③|AB →＋CA →|＝|BC →|；④|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2.【解析】 ①正确．以AB ，AC 为邻边作▱ABDC ，又∠A ＝90°，∴▱ABDC 为矩形，∴AD ＝BC ，∴|AB →＋AC →|＝|AD →|＝|BC →|.②正确．|AB →＋BC →|＝|AC →|＝|CA →|.③正确．|AB →＋CA →|＝|CB →|＝|BC →|.④正确．由勾股定理知|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2.【答案】 ①②③④图2－2－95．如图2－2－9，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则OA →＋BC →＋AB →＝________.【解析】 OA →＋BC →＋AB →＝OA →＋AB →＋BC →＝OB →＋BC →＝OC →.【答案】 OC →图2－2－106．如图2－2－10，已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式中不正确的是________．①FD →＋DA →＝FA →；②FD →＋DE →＋EF →＝0；③DE →＋DA →＝EC →；④DA →＋DE →＝FD →.【解析】 根据三角形法则可知①②正确．∵D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，∴四边形ADEF 和四边形DECF 都是平行四边形，∴DA →＋DE →＝DF →，EC →＝DF →，∴DE →＋DA →＝EC →，故③正确，④不正确．【答案】 ④7．若P 为△ABC 的外心，且PA →＋PB →＝PC →，则∠ACB ＝________.【解析】 如图，∵PA →＋PB →＝PC →，∴四边形APBC 组成平行四边形，又P 为△ABC的外心，∴|PA →|＝|PB →|＝|PC →|，因此∠ACB ＝120°.【答案】 120°8．在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为________．【解析】 如图，渡船速度OB →，水流速度OA →，船实际垂直过江的速度OD →，依题意，|OA→|＝12.5，|OB →|＝25，由于四边形OADB 为平行四边形，则|BD →|＝|OA →|，又OD ⊥BD ，∴在直角三角形OBD 中，∠BOD ＝30°，∴航向为北偏西30°.【答案】 北偏西30°二、解答题图2－2－119．如图2－2－11所示，已知向量a ，b ，c ，试用三角形法则作a ＋b ＋c.【解】 如图所示，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b.作BC →＝c ，则OC →＝(a ＋b)＋c ＝a＋b ＋c ，即OC →为a ＋b ＋c.图2－2－1210．如图2－2－12，已知P ，Q 为△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC.求证：AB →＋AC→＝AP →＋AQ →.【解】 法一 (AB →＋AC →)－(AP →＋AQ →)＝(AB →－AP →)＋(AC →－AQ →)＝PB →＋QC →.因为BP ＝QC ，且PB →与QC →方向相反，故PB →＋QC →＝0，即(AB →＋AC →)－(AP →＋AQ →)＝0，因此AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.法二 如图所示，取BC 中点D ，连结AD.在△ABC 中，因为D 为BC 中点，所以AB →＋AC →＝2AD →.又BP ＝QC ，所以在△APQ 中，PD ＝QD ，所以AP →＋AQ →＝2AD →.故AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.11．轮船从A 港沿北偏东60°方向行驶了40 km 到达B 处，再由B 处沿正北方向行驶40 km 到达C 处，求此时轮船到A 港的相对位置．【解】 如图，设AB →，BC →分别是轮船两次位移，则AC →表示两次位移的合位移，即AC →＝AB →＋BC →.在Rt △ABD 中，|DB →|＝20 km ，|AD →|＝20 3 km ，则|DC →|＝|DB →|＋|BC →|＝60 km.在Rt △ACD 中，|AC →|＝|AD →|2＋|DC →|2＝403(km)，所以∠CAD ＝60°.即此时轮船位于A港北偏东30°，且距离A港40 3 km处．。

高一数学同步测试（9）—向量的加减法、实数与向量的乘积说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分，共150分，答题时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内） 1．下列各量中不是向量的是（ ）A BC ．位移D2．下列命题正确的是（ ）A ．向量AB 与BA 是两平B ．若a 、b 都是单位向量,则a =bC ．若AB =DC ,则A 、B 、C 、DD ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于（ ）A ．OB ．MD 4C ．MF 4D ．ME 4 4．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是（ ）A ．||||||b a b a -=-B ．||||b a b a -=+C ．||||||b a b a -=+D ．||||||b a b a +=+5．在△ABC 中,AB =AC ,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则（ ）A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CBC ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等6．已知向量e 1、e 2不共线,实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2,则x -y 的值等于( ) A ．3B ．－3C ．0D ．27．已知正方形ABCD 的边长为1, AB =a , BC =b , AC =c ,则|a +b +c |等于 （ ）A ．0B ．3C ．2D ．22 8．下列各式计算正确的有（ ）(1)(－7)6a =-42a (2)7(a +b )－8b =7a +15b(3)a －2b +a +2b =2a (4)若a =m +n ,b =4m +4n ,则a ∥b A ．1个 B ．2个 C ．3 D ．4个9．化简)]24()82(21[31b a b a --+的结果是（ ）A ．b a -2B ．a b -2C ．a b -D ．b a -10．下列各式叙述不正确的是（ ） A ．若a ≠λb ,则a 、b 不共线(λ∈R ) B ．b =3a (a 为非零向量),则a 、bC ．若m =3a +4b ,n =23a +2b ,则m ∥n D ．若a +b +c =0,则a +b =-c11．若2121,,PP P P b OP a OP λ===，则OP 等于（ ）A ．b a λ+B ．b a +λC ．b a )1(λλ-+D ．b a λλλ+++111 12．对于菱形ABCD ，给出下列各式：①BC AB =②||||BC AB =③||||BC AD CD AB +=- ④||4||||22AB BD AC =+ 2其中正确的个数为 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上）13．已知|AB |=1,| AC |=2,若∠BAC =60°,则|BC |= . 14．已知点A(－1,5)和向量a ={2,3},若AB =3a ,则点B 的坐标为 . 15．在四边形ABCD 中，若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 .16．一艘船从A 点出发以23km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,而船实际行驶速度的大小为4 km/h,则河水的流速的大小为 . 三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分）17．已知菱形ABCD 的边长为2,求向量AB －CB +CD 的模的长.18．设OA 、OB 不共线,P 点在AB 上.: OP =λOA +μOB 且λ+μ=1,λ、μ∈R ．19．已知向量,,32,32212121e e e e b e e a 与其中+=-=不共线向量,9221e e c -=，问是否存在这样的实数,,μλ使向量c b a d 与μλ+=共线？20．i 、j 是两个不共线的向量,已知AB =3i +2j ，CB =i +λj , CD =-2i +j ,若A 、B 、D 三点共线,试求实数λ的值.21．如图，在△ABC 中，P 是BC 边上的任一点，求证：存在,1)1,0(,2121=+∈λλλλ且使 AC AB AP 21λλ+=.22．一架飞机从A 地按北偏西30°方向飞行3000千米到达13地，然后向C 地飞行，设C 地恰在A 地的北偏东30°，并且A 、C 两地相距3000千米，求飞机从B 地向C 地飞行 的方向和B 、C 两地的距离．高一数学同步测试（9）参考答案一、选择题1．D 2．A3．C 4．C 5．B ．A 7．D 8．C9．B 10．A 11．D 12．C 二、填空题13．3 14．(5,4) 15．菱形 16．2 km/h 三、解答题17．解析: ∵AB -CB +CD =AB +(CD -CB )=AB +BD =AD又|AD |=2 ∴|AB -CB +CD |=|AD |=218．证明: ∵P 点在AB 上,∴AP 与AB 共线.∴AP =t AB (t ∈R )∴OP =OA +AP =OA +t AB =OA +t (OB -OA )=OA (1-t )+ OB令λ=1-t ,μ=t∴λ+μ=1∴OP =λOA +μOB 且λ+μ=1,λ、μ∈R19．解析：222,2,,.2339,k R k λμλμλμλμλμ+=⎧=-∈=-⎨-+=-⎩解之故存在只要即可.20．解析: ∵BD =CD -CB =(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j∵A 、B 、D 三点共线,∴向量AB 与BD 共线,因此存在实数μ,使得AB =μBD ,即3i +2j =μ［-3i +(1-λ)j ］=-3μi +μ(1-λ)j ∵i 与j 是两不共线向量,由基本定理得:⎩⎨⎧=-=∴⎩⎨⎧=-=-312)1(33λμλμμ 故当A 、B 、D 三点共线时,λ=3.21．解析：如图，作PE ∥AB ，PD ∥AC ，则||||,||||21BC BP BC PC ==λλ，AP AE AD DP EP AC AB =+=+=+∴21λλ． 22．解析：（1）3000千米； （2）正东方向．。

向量的加减法练习题（打印版）# 向量加减法练习题## 一、向量加法练习题目1：已知向量\( \vec{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j} \) 和向量\( \vec{B} = 2\hat{i} - 5\hat{j} \)，求向量\( \vec{A} +\vec{B} \)。

解答：\[ \vec{A} + \vec{B} = (3 + 2)\hat{i} + (4 - 5)\hat{j} =5\hat{i} - \hat{j} \]题目2：若向量\( \vec{C} \) 与向量\( \vec{D} = 4\hat{i} +3\hat{j} \) 的和为\( \vec{E} = 7\hat{i} + 8\hat{j} \)，求向量\( \vec{C} \)。

解答：\[ \vec{C} = \vec{E} - \vec{D} = (7 - 4)\hat{i} + (8 -3)\hat{j} = 3\hat{i} + 5\hat{j} \]## 二、向量减法练习题目3：已知向量\( \vec{F} = 6\hat{i} - 2\hat{j} \) 和向量\( \vec{G} = 3\hat{i} + 4\hat{j} \)，求向量\( \vec{F} -\vec{G} \)。

解答：\[ \vec{F} - \vec{G} = (6 - 3)\hat{i} + (-2 - 4)\hat{j} =3\hat{i} - 6\hat{j} \]题目4：若向量\( \vec{H} \) 与向量\( \vec{I} = 5\hat{i} -3\hat{j} \) 的差为\( \vec{J} = 2\hat{i} + 7\hat{j} \)，求向量\( \vec{H} \)。

解答：\[ \vec{H} = \vec{I} + \vec{J} = (5 + 2)\hat{i} + (-3 +7)\hat{j} = 7\hat{i} + 4\hat{j} \]## 三、向量加减法综合应用题目5：在直角坐标系中，点A(2, 3)和点B(5, -1)，求点A到点B 的向量\( \vec{AB} \)。

[学业水平训练] 1．化简：(1)AB →＋CD →＋(BC →＋DB →＋BC →)＝________；(2)AM →－BO →＋MO →＋OA →＝________．解析：(1)AB →＋CD →＋(BC →＋DB →＋BC →)＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DB →)＋BC →＝AC →＋(CB →＋BC →)＝AC →＋0＝AC →.(2)AM →－BO →＋MO →＋OA →＝AM →＋MO →＋OA →－BO →＝AO →＋OA →－BO →＝0－BO →＝OB →.答案：(1)AC → (2)OB →2．若向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝4，则|a ＋b |的取值范围是________．解析：||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |.答案：[1，7]3．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为________．(填序号)①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |＜|a |＋|b |；⑤|a ＋b |＝|a |＋|b |.解析：a ＝0，则①③⑤正确．答案：①③⑤4．正方形ABCD 的边长为1，则|AB →＋BC →＋DC →＋AD →|为________．解析：|AB →＋BC →＋DC →＋AD →|＝2|AC →|＝22.答案：225．在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是________．(填序号)①AB →＝DC →；②AD →＋AB →＝AC →；③AB →＝AD →＋BD →； ④AD →＋CB →＝0.解析：对于①，∵AB 綊DC ，∴AB →＝DC →，即①正确；对于②，由向量加法的平行四边形法则可判断②正确；对于④，∵AD →与CB →方向相反，且模相等，∴AD →＋CB →＝0，即④正确；对于③，AB →＝AD →＋DB →，即③不正确．答案：③6．已知OA →＝a ，OB →＝b ，且|OA →|＝5，|OB →|＝12，∠AOB ＝90°，则|a －b |＝________．解析：|a －b |＝|BA →|＝|OA →|2＋|OB →|2＝52＋122＝13. 答案：137．(2014·南京高一检测)如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，设AB →＝a ，DA→＝b ，OC →＝c ，求证：b ＋c －a ＝OA →.证明：法一：∵b ＋c ＝DA →＋OC →＝OC →＋CB →＝OB →，OA →＋a ＝OA →＋AB →＝OB →，∴b ＋c ＝OA →＋a ，即b ＋c －a＝OA →.法二：∵c －a ＝OC →－AB →＝OC →－DC →＝OD →，OD →＝OA →＋AD →＝OA →－b ，∴c －a ＝OA →－b ，即b ＋c －a ＝OA →.8．在水流速度为43 km/h 的河中，如果船以12 km/h 的实际航速与河岸成直角行驶，求船航行速度的大小与方向．解：如图所示，设AB →表示水流速度，AC →表示船实际航行速度，连结BC ，作AD 綊BC ，连结DC ，则四边形ABCD 为平行四边形，所以AD →为所求的船的航速．因为AD →＋AB →＝AC →，|AB →|＝43，|AC →|＝12，所以tan ∠ACB＝|AB →||AC →|＝33，所以∠ACB ＝30° ＝∠CAD .所以|AD →|＝|BC →|＝83，∠BAD ＝120°.所以船的航行速度大小为83 km/h ，方向与水流速度方向成120°的角．[高考水平训练]1．若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是________．解析：BC →＝AC →－AB →.当AB →与AC →共线且方向相同时|BC →|有最小值3.当AB →与AC →共线且方向相反时|BC →|有最大值13.答案：[3，13]2．设平面内有四边形ABCD 和点O ，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD→＝d ，若a ＋c ＝b ＋d ，则四边形的形状是__________．解析：∵a ＋c ＝b ＋d ，∴OA →＋OC →＝OB →＋OD →，∴OA →－OB →＝OD →－OC →，∴BA →＝CD →，∴四边形ABCD 为平行四边形．答案：平行四边形3．已知△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，满足|a |＝|b |＝|a －b |＝2，求|a ＋b |与△OAB 的面积．解：由已知得|OA →|＝|OB →|，以OA →、OB →为邻边作平行四边形OACB ，则可知其为菱形，且OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b ，由于|a |＝|b |＝|a －b |，即OA ＝OB ＝BA ，∴△OAB 为正三角形， |a ＋b |＝|OC →|＝2×3＝23，∴S △OAB ＝12×2×3＝3. 4．三人夺球的游戏规则是：在小球上均匀装上三条绳子，由三人在一水平面上分别拉绳，要求每两人与球连线夹角相等，得到小球者为胜．现有甲、乙、丙三人玩此游戏．若甲、乙两人的力相同，均为a 牛，试探究丙需要多大拉力，使小球静止．若甲、乙两人的力不等，则小球有可能静止吗？解：设甲、乙、丙三人作用于小球的力分别为a ，b ，c ，根据题意，可知a ，b ，c 三个向量两两夹角为120°，可先计算a ＋b .由于|a |＝|b |，易求|a ＋b |＝|c |，且a ＋b 平分a ，b 所成的角，即方向与c 相反．要使小球不动，则c ＝－(a ＋b )．若甲、乙两人的力不等，根据向量加法的平行四边形法则，a ＋b 的方向不可能与c 相反，也就是说a ＋b 与c 不可能是相反向量，所以小球不可能静止．。

2.2 向量的线性运算2.2.1 向量的加法一、填空题1．已知向量a 表示“向东航行1 km ”，向量b 表示“向南航行1 km ”，则a ＋b 表示_______． ①向东南航行 2 km ②向东南航行2 km ③向东北航行 2 km ④向东北航行2 km2．在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＋DA →＝________.3. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＝________.①AD → ②DB →③BC → ④CB →4．在四边形中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 一定是________．5. 如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|＝________.6．如图在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的有________．①AB →＝CD →，BC →＝AD → ②AD →＋CO →＝BO →③AO →＋OD →＝AC →＋CD → ④AB →＋AD →＋BC →＝DA → 7．已知|a |＝3，|b |＝5，则向量a ＋b 模长的最大值是________．8．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝________.二、解答题9. 如图：平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于O 点，P 为平面内任意一点．求证：P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →.10．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度． 11. 如图所示，在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线和反向延长线上取点F ，E ，使BE ＝DF .求证：四边形AECF 是平行四边形．三、探究与拓展12．在日本3·11大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置．答案1．① 2.0 3.①③ 4.平行四边形 5.2 6．②③ 7．88．09．证明 ∵P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝PO →＋OA →＋PO →＋OB →＋PO →＋OC →＋PO →＋OD →＝4PO →＋(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)＝4PO →＋(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝4PO →＋0＋0＝4PO →.∴P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →.10．解 如图所示，OA →表示水流速度，OB →表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，OC →表示船实际航行的速度，∠AOC ＝30°，|OB →|＝5.∵四边形OACB 为矩形，∴|OA →|＝|AC →|tan 30°＝53， |OC →|＝|OB →|sin 30°＝10， ∴水流速度大小为5 3 km/h ，船实际速度为10 km/h.11．证明 AE →＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →，因为FD ＝BE ，且FD →与BE →的方向相同，所以FD →＝BE →，所以AE →＝FC →，即AE 与FC 平行且相等，所以四边形AECF 是平行四边形．12．解 如图所示，设AB →、BC →分别是直升飞机两次位移，则AC →表示两次位移的合位移，即AC →＝AB →＋BC →，在Rt △ABD 中，|DB →|＝20 km ，|AD →|＝20 3 km ，在Rt △ACD 中，|AC →|＝|AD →|2＋|DC →|2＝40 3 km ，∠CAD ＝60°，即此时直升飞机位于A 地北偏东30°，且距离A 地40 3 km 处．。

向量的加法与减法综合训练卷（120分钟，满分150分） 一、选择题（每题5分，共60分） 1．下列命题中，正确的是（ ） A ． B ． C ．D ．若且，则2．化简以下各式：（1）；（2）；（3）（4）。

结果为零向量的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 3．若，且，则的值是（ ）A ．必小于5B ．必大于10C ．有可能为0D ．不可能为0 4．若，，则的取值范围是（ ）A ．[3，8]B ．（3，8）C ．[3，13]D ．（3，13）5．在平行四边形ABCD 中，若，则必有（ ）A ．ABCD 是菱形B ．ABCD 是梯形C ．ABCD 是正方形 D ．ABCD 是矩形6．把所有单位向量的起点平移到同一点P ，各向量终点的集合构成什么图形（ ） A ．点P B ．过点P 的一条直线C ．过点P 的一条射线D ．以点P 为圆心，1为半径的圆 7．下列有关零向量的说法正确的是（ ） A ．零向量是无长度，无方向的向量 B ．零向量是无长度，有方向的向量 C ．零向量是有长度，无方向的向量 D ．零向量是有长度，有方向的向量 8．已知，，则的取值范围是（ ）A ．[2，12]B ．（2，12）C ．[2，7]D ．（2，7）9．“”是“A ，B ，C 是三角形三个顶点的”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件10．已知两个向量，，则下列说法正确的是（ ） A ．向量可以比较大小B ．向量不可以比较大小，但是模可以比较大小C ．当，是共线向量时，可以比较大小D ．当，两个向量中，有一个是零向量时，可以比较大小11．一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h 。

则船实际航行速度大小和方向（用与流速间的夹角表示）A ．大小为4km/h ，方向与流速夹角为60°B ．大小为h km /32，方向与流速夹角为60°C ．大小为4km/4，方向垂直于对岸D ．大小为h km /32，方向垂直于对岸 12．已知向量，，则下列有关与的说法正确的是（ ）A ．两者必不相等B ．>C ．两者可能相等D ．无法比较大小二、填空题（每题4分，共16分） 13．如图5—5，在ABCD 中，已知=，，则=_______，=_______。

向量加减法简单练习题（打印版）# 向量加减法简单练习题## 一、向量加法### 练习题1：向量求和给定两个向量 \( \vec{A} = (2, 3) \) 和 \( \vec{B} = (4, -1) \)，求它们的和 \( \vec{A} + \vec{B} \)。

### 练习题2：向量加法的几何意义考虑向量 \( \vec{C} = (1, 2) \) 和 \( \vec{D} = (-3, 1) \)，画出这两个向量，并在坐标系中表示它们相加的结果。

### 练习题3：向量加法的分量表示已知向量 \( \vec{E} = (x, y) \) 和 \( \vec{F} = (a, b) \)，求\( \vec{E} + \vec{F} \) 的分量。

## 二、向量减法### 练习题4：向量差给定向量 \( \vec{G} = (5, 6) \) 和 \( \vec{H} = (1, 4) \)，求它们的差 \( \vec{G} - \vec{H} \)。

### 练习题5：向量减法的几何意义考虑向量 \( \vec{I} = (-2, 3) \) 和 \( \vec{J} = (3, -1) \)，画出这两个向量，并在坐标系中表示它们相减的结果。

### 练习题6：向量减法的分量表示已知向量 \( \vec{K} = (m, n) \) 和 \( \vec{L} = (p, q) \)，求\( \vec{K} - \vec{L} \) 的分量。

## 三、向量加法和减法的综合应用### 练习题7：向量加法和减法的组合给定向量 \( \vec{M} = (7, -2) \)，\( \vec{N} = (-1, 5) \) 和\( \vec{O} = (3, -4) \)，求 \( \vec{M} + \vec{N} - \vec{O} \)。

### 练习题8：向量加减法的几何应用在平面直角坐标系中，点 \( A(1, 2) \)，\( B(4, 6) \) 和 \( C(-1, 3) \)，求从点 \( A \) 到点 \( C \) 的向量，然后求从点 \( C \) 到点 \( B \) 的向量，并计算这两个向量的和。

向量、向量的加减法1．下列关于零向量的说法中，错误的是 （ ）A.零向量长度为0B.零向量是没有方向的C.零向量的方向是任意的D.零向量与任一向量平行2．下列命题中，正确的是 （ ）A.若|a |＝|b |，则a ＝bB.若|a |＞|b |，则a ＞bC.若a ＝b ，则a ∥bD.若|a |＝1，则a ＝±13．当|a |＝|b |，且a 与b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系为 （ ）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.相等4．如右图，已知O 为正六边形ABC DEF 的中心，则与向量DO → 相等的向量有 .5．已知|AB →|＝10，|AC →|＝7，|则|BC →|的取值范围为 .6．已知OA →＝a ，OB →＝b ，且|a |＝|b |＝4，∠AOB ＝60°.则|a ＋b |＝ ，|a －b |＝ .7．化简AB →＋DA →＋BD →－BC →－CA →＝ .8．判断以下说法是否正确.（1）向量a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线. （ ）（2）任意两个非零的相等向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点. （ ）（3）向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上. （ ）（4）向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同. （ ）（5）长度相等且起点相同的两个向量，其终点必相同. （ ）9．已知两个力F 1、F 2的方向互相垂直，且它们的合力F 大小为10 N ，与力F 1的夹角为60°，求力F 1与F 2的大小.10．一架飞机从A 地按北偏西30°方向飞行300 km ，到达B 地，然后向C 地飞行，设C 地恰在A 北偏东60°，且距A 100 3 km 处，求飞机从B 地向C 地飞行的方向和B 、C 两地的距离.向量、向量的加减法答案1．B 2．C 3．B 4．OA →，CB →，EF → 5．［3，17］ 6．4 3 4 7．AB →8．（1）错误 （2）错误 （3）错误 （4）错误 （5）错误9．F 1，F 2分别为5 N 和5 3 N10．解：∵BC ＝AB 2＋AC 2 ＝200 3 ，sin B ＝100 3 200 3 ＝12∴B ＝30°，∴飞机从B 以南偏东60°的方向向C 地飞行.。

[学业水平训练]1．化简：(1)AB →＋CD →＋(BC →＋DB →＋BC →)＝________；(2)AM →－BO →＋MO →＋OA →＝________．解析：(1)AB →＋CD →＋(BC →＋DB →＋BC →)＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DB →)＋BC →＝AC →＋(CB →＋BC →)＝AC→＋0＝AC →.(2)AM →－BO →＋MO →＋OA →＝AM →＋MO →＋OA →－BO →＝AO →＋OA →－BO →＝0－BO →＝OB →.★答案★：(1)AC → (2)OB →2．若向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝4，则|a ＋b |的取值范围是________．解析：||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |.★答案★：[1，7]3．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为________．(填序号)①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |＜|a |＋|b |；⑤|a ＋b |＝|a |＋|b |.解析：a ＝0，则①③⑤正确．★答案★：①③⑤4．正方形ABCD 的边长为1，则|AB →＋BC →＋DC →＋AD →|为________．解析：|AB →＋BC →＋DC →＋AD →|＝2|AC →|＝2 2.★答案★：2 25．在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是________．(填序号)①AB →＝DC →；②AD →＋AB →＝AC →；③AB →＝AD →＋BD →； ④AD →＋CB →＝0.解析：对于①，∵AB 綊DC ，∴AB →＝DC →，即①正确；对于②，由向量加法的平行四边形法则可判断②正确；对于④，∵AD →与CB →方向相反，且模相等，∴AD →＋CB →＝0，即④正确；对于③，AB →＝AD →＋DB →，即③不正确．★答案★：③6．已知OA →＝a ，OB →＝b ，且|OA →|＝5，|OB →|＝12，∠AOB ＝90°，则|a －b |＝________．解析：|a －b |＝|BA →|＝|OA →|2＋|OB →|2＝52＋122＝13. ★答案★：137．(2014·南京高一检测)如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，设AB →＝a ，DA →＝b ，OC →＝c ，求证：b ＋c －a ＝OA →.证明：法一：∵b ＋c ＝DA →＋OC →＝OC →＋CB →＝OB →，OA →＋a ＝OA →＋AB →＝OB →，∴b ＋c ＝OA→＋a ，即b ＋c －a ＝OA →.法二：∵c －a ＝OC →－AB →＝OC →－DC →＝OD →，OD →＝OA →＋AD →＝OA →－b ，∴c －a ＝OA →－b ，即b ＋c －a ＝OA →.8．在水流速度为4 3 km/h 的河中，如果船以12 km/h 的实际航速与河岸成直角行驶，求船航行速度的大小与方向．解：如图所示，设AB →表示水流速度，AC →表示船实际航行速度，连结BC ，作AD 綊BC ，连结DC ，则四边形ABCD 为平行四边形，所以AD →为所求的船的航速．因为AD →＋AB →＝AC →，|AB→|＝43，|AC →|＝12，所以tan ∠ACB ＝|AB →||AC →|＝33，所以∠ACB ＝30° ＝∠CAD .所以|AD →|＝|BC →|＝83，∠BAD ＝120°.所以船的航行速度大小为8 3 km/h ，方向与水流速度方向成120°的角．[高考水平训练]1．若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是________．解析：BC →＝AC →－AB →.当AB →与AC →共线且方向相同时|BC →|有最小值3.当AB →与AC →共线且方向相反时|BC →|有最大值13.★答案★：[3，13]2．设平面内有四边形ABCD 和点O ，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，若a ＋c ＝b ＋d ，则四边形的形状是__________．解析：∵a ＋c ＝b ＋d ，∴OA →＋OC →＝OB →＋OD →，∴OA →－OB →＝OD →－OC →，∴BA →＝CD →，∴四边形ABCD 为平行四边形．★答案★：平行四边形3．已知△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，满足|a |＝|b |＝|a －b |＝2，求|a ＋b |与△OAB 的面积．解：由已知得|OA →|＝|OB →|，以OA →、OB →为邻边作平行四边形OACB ，则可知其为菱形，且OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b ，由于|a |＝|b |＝|a －b |，即OA ＝OB ＝BA ，∴△OAB 为正三角形，|a ＋b |＝|OC →|＝2×3＝23，∴S △OAB ＝12×2×3＝ 3. 4．三人夺球的游戏规则是：在小球上均匀装上三条绳子，由三人在一水平面上分别拉绳，要求每两人与球连线夹角相等，得到小球者为胜．现有甲、乙、丙三人玩此游戏．若甲、乙两人的力相同，均为a 牛，试探究丙需要多大拉力，使小球静止．若甲、乙两人的力不等，则小球有可能静止吗？解：设甲、乙、丙三人作用于小球的力分别为a ，b ，c ，根据题意，可知a ，b ，c 三个向量两两夹角为120°，可先计算a ＋b .由于|a |＝|b |，易求|a ＋b |＝|c |，且a ＋b 平分a ，b 所成的角，即方向与c 相反．要使小球不动，则c ＝－(a ＋b )．若甲、乙两人的力不等，根据向量加法的平行四边形法则，a＋b的方向不可能与c相反，也就是说a＋b与c不可能是相反向量，所以小球不可能静止．。

向量、向量的加减法 1．下列关于零向量的说法中，错误的是 （ ）A.零向量长度为0B.零向量是没有方向的C.零向量的方向是任意的D.零向量与任一向量平行2．下列命题中，正确的是 （ ）A.若|a |＝|b |，则a ＝bB.若|a |＞|b |，则a ＞bC.若a ＝b ，则a ∥bD.若|a |＝1，则a ＝±13．当|a |＝|b |，且a 与b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系为 （ ）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.相等4．如右图，已知O 为正六边形ABC DEF 的中心，则与向量DO →相等的向量有 .5．已知|AB →|＝10，|AC →|＝7，|则|BC →|的取值范围为 .6．已知OA →＝a ，OB →＝b ，且|a |＝|b |＝4，∠AOB ＝60°.则|a ＋b |＝ ，|a －b |＝ .7．化简AB →＋DA →＋BD →－BC →－CA →＝ .8．判断以下说法是否正确.（1）向量a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线. （ ）（2）任意两个非零的相等向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点. （ ）（3）向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上. （ ）（4）向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同. （ ）（5）长度相等且起点相同的两个向量，其终点必相同. （ ）9．已知两个力F 1、F 2的方向互相垂直，且它们的合力F 大小为10 N ，与力F 1的夹角为60°，求力F 1与F 2的大小.10．一架飞机从A 地按北偏西30°方向飞行300 km ，到达B 地，然后向C 地飞行，设C 地恰在A 北偏东60°，且距A 100 3 km 处，求飞机从B 地向C 地飞行的方向和B 、C 两地的距离.向量、向量的加减法答案1．B 2．C 3．B 4．OA →，CB →，EF → 5．［3，17］ 6．4 3 4 7．AB →8．（1）错误 （2）错误 （3）错误 （4）错误 （5）错误9．F 1，F 2分别为5 N 和5 3 N10．解：∵BC ＝AB 2＋AC 2 ＝200 3 ，sin B ＝100 3 200 3 ＝12∴B ＝30°，∴飞机从B 以南偏东60°的方向向C 地飞行.。

向量加减法的运算练习题（打印版）一、向量加法1. 设向量 $\vec{a} = (3, 2)$ 和向量 $\vec{b} = (1, -1)$，求向量 $\vec{a} + \vec{b}$。

2. 已知向量 $\vec{c} = (-2, 4)$ 和向量 $\vec{d} = (4, -2)$，计算向量 $\vec{c} + \vec{d}$。

3. 若向量 $\vec{e} = (x, y)$ 和向量 $\vec{f} = (2x, 3y)$，求向量 $\vec{e} + \vec{f}$。

二、向量减法4. 已知向量 $\vec{g} = (5, -3)$ 和向量 $\vec{h} = (2, 1)$，求向量 $\vec{g} - \vec{h}$。

5. 设向量 $\vec{i} = (-1, 2)$ 和向量 $\vec{j} = (3, -4)$，计算向量 $\vec{i} - \vec{j}$。

6. 若向量 $\vec{k} = (a, b)$ 和向量 $\vec{l} = (-a, -b)$，求向量 $\vec{k} - \vec{l}$。

三、向量加减法的应用7. 已知点A的坐标为 $(2, 3)$，点B的坐标为 $(5, 7)$，求向量$\vec{AB}$。

8. 若点C的坐标为 $(-3, 1)$，点D的坐标为 $(1, -2)$，计算向量$\vec{CD}$。

9. 假设向量 $\vec{m} = (1, 0)$ 和向量 $\vec{n} = (0, 1)$，求向量 $\vec{m} + \vec{n}$ 与向量 $\vec{m} - \vec{n}$。

四、向量加减法的混合运算10. 已知向量 $\vec{p} = (4, -1)$，向量 $\vec{q} = (-2, 3)$，求向量 $\vec{p} + \vec{q}$ 和向量 $\vec{p} - \vec{q}$。

11. 设向量 $\vec{r} = (x, 2x)$ 和向量 $\vec{s} = (3x, -x)$，计算向量 $\vec{r} + \vec{s}$ 和向量 $\vec{r} - \vec{s}$。

向量的加减练习题精编版====================================题目一：已知向量 a = (3, -2) 和向量 b = (-1, 4)，求向量 a - b 的结果。

解答：首先，向量 a - b 等于向量 a 加上向量 b 的相反数。

因此，我们可以计算出向量 a - b 的结果为：a -b = (3, -2) - (-1, 4) = (3, -2) + (1, -4) = (3 + 1, -2 - 4) = (4, -6)。

题目二：已知向量 c = (5, 7) 和向量 d = (-2, 3)，求向量 c - d 的结果。

解答：向量 c - d 等于向量 c 加上向量 d 的相反数。

我们可以计算出向量 c - d 的结果为：c -d = (5, 7) - (-2, 3) = (5, 7) + (2, -3) = (5 + 2, 7 - 3) = (7, 4)。

题目三：已知向量 e = (2, 1) 和向量 f = (-3, -5)，求向量 e - f 的结果。

解答：向量 e - f 等于向量 e 加上向量 f 的相反数。

计算向量 e - f 的结果为：e -f = (2, 1) - (-3, -5) = (2, 1) + (3, 5) = (2 + 3, 1 + 5) = (5, 6)。

题目四：已知向量 g = (0, -4) 和向量 h = (7, -2)，求向量 g - h 的结果。

解答：向量 g - h 等于向量 g 加上向量 h 的相反数。

我们可以计算出向量 g - h 的结果为：g - h = (0, -4) - (7, -2) = (0, -4) + (-7, 2) = (0 - 7, -4 + 2) = (-7, -2)。

题目五：已知向量 i = (9, 3) 和向量 j = (4, 6)，求向量 i - j 的结果。

解答：向量 i - j 等于向量 i 加上向量 j 的相反数。

高中向量的加减法数学向量的加法一、考点打破知识点课标要求题型说明1.认识向量加法在物理学中的背景知识；高考必考向量的 2.掌握向量加法的运算（三角形法例选择向量的加法要注加法和平行四边形法例），理解向量加法的填空意愿量的“形”的几何意义；应用3.会推导向量加法的互换律与联合律二、重难点提示重点：向量加法的三角形法例和平行四边形法例；难点：向量加法的互换律与联合律的推导。

向量的减法一、考点打破知识点课标要求题型说明1.认识相反向量的观点；2.认识差向量的观点和向量加选择高考必考向量的向量的减法要注意愿法与减法间的关系；（重点）填空减法掌握向量减法运算，并理解其量的“形”的应用3.几何意义（难点）二、重难点提示重点：相反向量的观点及向量的加法与减法之间的关系。

难点：掌握向量减法运算，并理解其几何意义。

向量的加法一、向量加法的定义及运算法例1.求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

此中 0 a a, a ( a) ( a) a0 。

2.向量加法的运算法例（1）三角形法例：如图 1，已知向量 a， b，在平面内任取一点 O，作OA＝ a，AB＝b，则向量OB叫做 a 与 b 的和，记做a＋b，即 a＋b＝OA＋AB＝OB。

图 1（ 2）平行四边形法例：把向量 a， b 平移到同一点O，如图 2，作出平行四边形，则a＋ b＝OB。

图 2【中心概括】正确理解向量加法的三角形法例和平行四边形法例（ 1）两个法例的使用条件不一样三角形法例合用于随意两个非零向量乞降，平行四边形法例只合用于两个不共线的向量乞降，可是在办理某些问题时，平行四边形法例有它必定的优胜性，所以向量加法的三角形法例和它的平行四边形法例都应当娴熟掌握。

（2）当两个向量不共线时，两个法例是一致的。

（3）在使用三角形法例时，应注意“首尾连结”；在使用平行四边形法例时应注意范围的限制及和向量与两向量起点同样。

二、向量加法的运算律（1）互换律： a＋ b＝ b＋a；（2）联合律：（a＋ b）＋ c＝ a＋（ b＋ c）。

高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）高一向量同步练习2（向量加、减法）一、选择题1、命题“若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ” （ ）A.总成立B.当a ≠0时成立C.当b ≠0时成立D.当c ≠0时成立2、下列四式不能化简为AD 的是 （ ）A.（AB +CD ）+BCB.（AD +MB ）+（BC +CM ）C. MB +-AD BMD. OC OA -+CD3、p ：a 与b 方向相反； q ：a 与b 互为相反向量； r ：|a |=|b |. 则 （ ）A.p 是q 的必要条件，q 是r 的必要条件B.p 是q 的充分条件，q 是r 的充分条件C.p 是q 的必要条件，q 是r 的充分条件D.p 是q 的充分条件，q 是r 的必要条件4、M 是△ABC 的重心，则下列各向量中与AB 共线的是 （ ） A.AM +MB +BC B.3AM +AC C. AB +BC +AC D.AM + BM +CM5、在平行四边形ABCD 中，BC +DC +BA 等于 （ ） A.BC B.DA C.AB D.AC6、在△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，则AF —DB = （ ） A.FD B.FE C.FC D.BE二、填空题1、已知OA =a ，OB =b ，且|a |=|b |=4，∠AOB=600，则|a +b |= ，|a b -|= ； a +b 与a 的夹角是 ；a b -与a 的夹角是 ；△AOB 的面积是 。

2、不共线向量a ，b 满足 时，使得a +b 平分a ，b 间的夹角。

3、已知向量|a |=2,|b |=8,则|a +b |的最大值是 ，|a b -|的最小值是 。

4、如图5—5，在ABCD 中，已知a AB =，b DB =，则=AD _______，=AC _______。

5、已知为与的和向量，且=，则=______，=________。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高一向量同步练习2（向量加、减法）一、选择题1、命题“若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ” （ ）A.总成立B.当a ≠0时成立C.当b ≠0时成立D.当c ≠0时成立2、下列四式不能化简为AD 的是 （ ）A.（AB +CD ）+BCB.（AD +MB ）+（BC +CM ）C. MB +-AD BMD. OC OA -+CD3、p ：a 与b 方向相反； q ：a 与b 互为相反向量； r ：|a |=|b |. 则 （ ）A.p 是q 的必要条件，q 是r 的必要条件B.p 是q 的充分条件，q 是r 的充分条件C.p 是q 的必要条件，q 是r 的充分条件D.p 是q 的充分条件，q 是r 的必要条件4、M 是△ABC 的重心，则下列各向量中与AB 共线的是 （ ） A.AM +MB +BC B.3AM +AC C. AB +BC +AC D.AM + BM +CM5、在平行四边形ABCD 中，BC +DC +BA 等于 （ ） A.BC B.DA C.AB D.AC6、在△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，则AF —DB = （ ） A.FD B.FE C.FC D.BE二、填空题1、已知OA =a ，OB =b ，且|a |=|b |=4，∠AOB=600，则|a +b |= ，|a b -|= ； a +b 与a 的夹角是 ；a b -与a 的夹角是 ；△AOB 的面积是 。

2、不共线向量a ，b 满足 时，使得a +b 平分a ，b 间的夹角。

3、已知向量|a |=2,|b |=8,则|a +b |的最大值是 ，|a b -|的最小值是 。

4、如图5—5，在ABCD 中，已知a AB =，b DB =，则=AD _______，=AC _______。

5、已知为与的和向量，且=，则=______，=________。

2．2.2 向量的减法上节课我们学习了向量加法的概念，并给出了求作和向量的方法．如果河水的流速为 2 km/n ，要想船以6 km/n 的速度垂直驶向对岸，如何求船本身的速度和方向呢？基础巩固1．在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，则AB →等于________．答案：－a －b2．已知六边形ABCDEF 是一个正六边形，O 是它的中心，其中OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则EF→等于________．答案：b －c3．已知向量a ，b 满足||a ＝1，||b ＝2, a 与b 的夹角为60°，则||a －b ＝________.答案： 34．已知下列各式：(1)AB →＋BC →＋CA →，(2)(AB →＋MB →)＋BO →＋OM →，(3)OA →＋OC →＋BO →＋CO →，(4)AB →－AC →＋BD →－CD →，其中结果为0的序号为________．答案：(1)，(4)5．化简下列各式：(1)AB →－AC →－DB →；(2)－OA →＋OB →－CO →－OC →.解析：(1)原式＝CB →－DB →＝CB →＋BD →＝CD →.(2)原式＝(OB →－OA →)＋OC →－OC →＝AB →＋0＝AB →.能力升级6．已知向量a 的终点与向量b 的起点重合，向量c 的起点与向量b 的终点重合，则下列结论正确的为________(填序号)．①以a 的起点为终点，c 的起点为起点的向量为－(a ＋b)②以a 的起点为终点，c 的终点为起点的向量为－a －b －c.③以b 的起点为终点，c 的终点为起点的向量为－b －c.答案：①②③7．若a ≠0，且b ≠0，且|a|＝|b|＝|a －b|，求a 与a ＋b 所在直线的夹角．解析：如右图，由|a|＝|b|＝|a －b|，∴∠BOA ＝60°.又∵OC →＝a ＋b ，且在菱形OACB 中，对角线OC 平分∠BOA.∴a 与a ＋b 所在直线的夹角为30°.8．已知|a|＝6，|b|＝8，且|a ＋b|＝|a －b|，求|a －b|.解析：设AB →＝a ，AD →＝b ，以AB 、AD 为邻边作平行四边形ABCD.则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ，∴|AC →|＝|DB →|.又四边形ABCD 为平行四边形，∴四边形ABCD 为矩形，故AD ⊥AB.在Rt △DAB 中，|AB →|＝6，|AD →|＝8，由勾股定理得|DB →|＝＝62＋82＝10.∴|a －b|＝10.9．如下图，ABCD 是一个梯形，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，已知AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示BC →和MN →.解析：连接CN ，∵N 是AB 的中点，∵AN 綊DC ，∴四边形ANCD 是平行四边形，CN →＝－AD →＝－b.又CN →＋NB →＋BC →＝0，∴BC →＝－NB →－CN →＝－12a ＋b.MN →＝CN →－CM →＝CN →＋12AN →＝14a －b.10．O 是△ABC 内一点，且OA →＋OB →＋OC →＝0.判断O 是△ABC 的什么心．解析：O 是△ABC 的重心，如图，延长CO 至D ，使|OD →|＝|OC →|，交AB 于点M.下面证明点M 为线段AB 的中点．事实上，由OA →＋OB →＋OC →＝0，得OA →＋OB →＝－OC →＝OD →.根据向量加法的平行四边形法则，可知：点M 为线段AB 的中点．也就是说，CM 为△ABC 的中线．同理可证：AO 、BO 所在直线分别过△ABC 相应边的中点．从而O 是△ABC 的重心．11．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且O A →＋O B →＋O C →＝0，试求△ABC 的内角A 的度数．解析：由O A →＋O B →＋O C →＝0，知点O 为△ABC 重心，又O 为△ABC 外接圆的圆心，即△ABC 三边垂直平分线的交点，∴△ABC 为等边三角形．∴A ＝60°.12．已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，M 是斜边AB 的中点，CM →＝a ，CA →＝b ，求证；(1)|a －b|＝|a|；(2)|a ＋(a －b)|＝|b|.解析：因为△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，所以CA ＝CB.又因为M 是斜边AB 的中点，所以CM ＝AM ＝BM.(1)因为a －b ＝CM →－CA →＝AM →，又|AM →|＝|CM →|，所以|a －b|＝|a|.(2)因为M 是斜边AB 的中点，所以AM →＝MB →，所以a ＋(a －b)＝CM →＋(CM →－CA →)＝CM →＋AM →＝CM →＋MB →＝CB →，因为CA ＝CB ，所以|CB →|＝|CA →|，所以|a ＋(a －b)|＝|b|.。

2.2.1课时作业1．已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，AD →＝b ，则|a ＋b |为( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2答案 B2．下列各式不正确的是( )①a ＋(b ＋c )＝(a ＋c )＋b ；②AB →＋BA →≠0；③AC →＝DC →＋AB →＋BD →. A ．②③ B ．② C ．①D ．③ 答案 B3．在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( )A.AB →＝CD →，BC →＝AD →B.AD →＋OD →＝DA →C.AO →＋OD →＝AC →＋CD →D.AB →＋BC →＋CD →＝DA →答案 C4．a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( ) A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同 B ．a ，b 是共线向量且方向相反 C ．a ＝bD ．a ，b 无论什么关系均可 答案 A5.如图，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 3 答案 B6．在Rt △ABC 中，若∠A ＝90°，|AC →|＝2，|AB →|＝3，则AC →＋AB →的模等于( ) A.13 B ．2 2 C ．3D ．5 答案 A解析 由题意知|AB →＋AC →|＝|AB →|2＋|AC →|2＝22＋32＝13，应选A. 7．向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简后等于( )A.BC →B.AB →C.AC →D.AM →答案 C8．已知O 是△ABC 内的一点，且OA →＋OB →＋OC →＝0，则O 是△ABC 的( ) A ．垂心 B ．重心 C ．内心D ．外心答案 B9．如图，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，则OA →＋AB →＋CD →＋BC →＝______．答案 OD →10．已知正方形ABCD 的边长为1，则|AB →＋BC →＋AD →＋DC →|等于________． 答案 2 2解析 |AB →＋BC →＋AD →＋DC →|＝|2AC →|＝2 2.11．若a 表示向东走8 km ，b 表示向北走8 km ，则|a ＋b |＝________km ，a ＋b 的方向是________．答案 82 北偏东45°解析 如图，a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB →. ∵|a |＝8，|b |＝8，∴△OAB 为等腰直角三角形，∴|a ＋b |＝|OB →|＝8 2.方向是北偏东45°.12．如图(1)，已知向量a 、b 、c ，求作向量a ＋b ＋c .解析 如图(2)，在平面内任取一点D ，作DA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，作DB →、DC →，则DB →＝a＋b ，DC →＝(a ＋b )＋c ＝a ＋b ＋c .∴向量DC →即为所作向量．13．如图所示，在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，试判断四边形的形状．解析 由向量加法的三角形法则，得AC →＝AB →＋BC →. ∵AC →＝AB →＋AD →，∴AD →＝BC →，即AD ∥BC 且|AD →|＝|BC →|，∴四边形ABCD 是平行四边形． 14.如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC. 求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →. 证明 AB →＝AP →＋PB →，AC →＝AQ →＋QC →，∴AB →＋AC →＝AP →＋PB →＋AQ →＋QC →. 因为PB →和QC →大小相等、方向相反， 所以PB →＋QC →＝0.故AB →＋AC →＝AP →＋AQ →＋0＝AP →＋AQ →.2.2.2课时作业1．给出下列3个向量等式：①AB →＋CA →＋BC →＝0；②AB →－AC →－BC →＝0；③AC →－BC →－AB →＝0.其中正确的等式的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C 解析 ①③对．2．如右图，▱ABCD 中，下列等式中错误的是( ) A.AD →＝AB →＋BD → B.AD →＝AC →＋CD → C.AD →＝AB →＋BC →＋CD →D.AD →＝DC →＋CA → 答案 D解析 DC →＋CA →＝DA →.3．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE → D.EF →＝－OF →－OE →答案 B4．下列命题中，正确的是( )A ．差向量的方向是由被减向量的终点指向减向量的终点B ．若a 、b 是任意两个向量，则|a |－|b |＝|a －b |C ．与a 方向相反的向量叫做a 的相反向量D ．从一个向量减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量 答案 D5．在下列各等式中，正确的个数为( )①a －b ＝b －a; ②a ＋b －c ＝a －c ＋b ；③b －(－a )＝b ＋a; ④0－a ＝－a ；⑤|a －b |＝|b ＋a |; ⑥|a ＋b |＝|a |＋|b |. A ．5 B ．4 C ．3 D ．1答案 C6．边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D. 3 答案 D7．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →等于( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c答案 A8．若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是( ) A ．[3，8]B ．(3，8)C ．[3，13]D ．(3，13)答案 C解析 BC →＝AC →－AB →(1)当AB →、AC →同向时，|BC →|＝8－5＝3； (2)当AB →、AC →反向时，|BC →|＝8＋5＝13； (3)当AB →、AC →不共线时，3<|BC →|<13. 综上，可知3≤|BC →|≤13.9．已知△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形，则在下列各等式中不成立的为( ) A ．|AC →－AB →|＝|AC →＋AB →| B ．|AC →－AB →|＝|CB →| C ．|AB →－AC →|2＝|AB →|2＋|BC →|2 D ．|BC →＋CA →|2＋|AC →|2＝|BC →|2答案 C10.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝________． 答案 CA →11．判断正误．(1)设非零向量a 、b ，则|a ＋b |＝|a －b |⇔a ⊥b .(2)AB →＋BC →＋CA →＝0⇔A 、B 、C 是某个三角形三个顶点． 答案 (1)正确 (2)不正确12．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，求|a －b ＋c |.答案 |a －b ＋c |＝213．如图四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点分别为E 、F ， 求证：EF →＝12(AB →＋DC →)．证明 EF →＝12(EB →＋EC →)＝12(EA →＋AB →＋ED →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)(∵EA →＋ED →＝0) 14．设平面内有四边形ABCD 和O ，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，若a ＋c ＝b ＋d ，试判断四边形ABCD 的形状．解析 ∵a ＋c ＝b ＋d ，即OA →＋OC →＝OB →＋OD →. ∴OA →－OB →＝OD →－OC →.即BA →＝CD →.∴BA 綊CD. 故四边形ABCD 是平行四边形． ►重点班·选做题15．任给向量a ，b ，则下列各项中正确的是( ) A ．|a ＋b |＝|a |＋|b | B ．|a －b |＝|a |－|b | C ．|a －b |≤|a |－|b | D ．|a －b |≤|a |＋|b |答案 D16．已知|a |＝|b |＝1，|a ＋b |＝1，则|a －b |＝( ) A ．1 B. 3 C.32D ．2答案 B分析 根据向量的平行四边形法则，以a 和b 为邻边表示向量a ＋b 和a －b ，再根据向量模的关系判断平行四边形的形状求解．解析 如右图所示，根据向量加法的平行四边形法则可知，当|a |＝|b |＝1，|a ＋b |＝1时，平行四边形ABDC 为菱形．又|a ＋b|＝1， ∴△ABD 为正三角形．∴∠ABD ＝60°.容易得出|a －b|＝|CB →|＝2|OB →|＝2|AB|2－|AO|2＝2·12－（12）2＝ 3.。