9.7抛物线(理_作业)

§9.7 抛物线A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． 抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线y 25－x 24＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是( )A ．x 2＝4yB ．x 2＝－4yC ．y 2＝－12xD ．x 2＝－12y答案 D解析 由题意得c ＝5＋4＝3，∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)，∴该抛物线的标准方程为x 2＝12y 或x 2＝－12y .2． 已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为 ( )A ．18B ．24C ．36D ．48答案 C解析 不妨设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，由于l 垂直于对称轴且过焦点，故直线l 的方程为x ＝p2.代入y 2＝2px 得y ＝±p ，即|AB |＝2p ，又|AB |＝12，故p ＝6，所以抛物线的准线方程为x ＝－3，故S △ABP ＝12×6×12＝36.3． 设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |等于 ( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16答案 B解析 设P ⎝⎛⎭⎫y 28，y ，则A (－2，y )，由k AF ＝－3，即y －0－2－2＝－3，得y ＝43， |PF |＝|P A |＝y 28＋2＝8.4． 从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为( )A ．5B ．10C ．20D.15答案 B解析 由抛物线方程y 2＝4x 易得抛物线的准线l 的方程为x ＝－1，又由|PM |＝5可得点P 的横坐标为4，代入y 2＝4x ，可求得其纵坐标为±4，故S △MPF ＝12×5×4＝10，选B.二、填空题(每小题5分，共15分)5． 若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是_______．答案 x 2＝12y解析 由题意可知点P 到直线y ＝－3的距离等于它到点(0，3)的距离，故点P 的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y ＝－3为准线的抛物线，且p ＝6，所以其标准方程为x 2＝12y . 6． 已知抛物线y 2＝4x 上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离|MF |＝4，则点M 的横坐标x ＝________. 答案 3解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1.根据抛物线的定义，点M 到准线的距离为4，则M 的横坐标为3.7． 设P 是曲线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点B (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为______． 答案5解析 ∵抛物线的顶点为O (0,0)，p ＝2，∴准线方程为x ＝－1，焦点F 坐标为(1,0)，∴点P 到点B (－1,1)的距离与点P 到准线x ＝－1的距离之和等于|PB |＋|PF |. 如图，|PB |＋|PF |≥|BF |，当B 、P 、F 三点共线时取得最小值， 此时|BF |＝(－1－1)2＋(1－0)2＝ 5. 三、解答题(共22分)8． (10分)抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．解 如图，依题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 则直线方程为y ＝－x ＋12p .设直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则由抛物线定义得|AB |＝|AF |＋|FB |＝|AC |＋|BD |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2，即x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8.①又A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ，消去y 得x 2－3px ＋p 24＝0.∴x 1＋x 2＝3p .将其代入①得p ＝2，∴所求抛物线方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px 时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x . 综上，抛物线的方程为y 2＝±4x .9． (12分)已知定点A (1,0)和直线x ＝－1上的两个动点E ，F ，且AE →⊥AF →，动点P 满足EP →∥OA →，FO →∥OP →(其中O 为坐标原点)． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点B (0,2)的直线l 与(1)中的轨迹C 相交于两个不同的点M ，N ，若AM →·AN →<0，求直线l 的斜率的取值范围．解 (1)设P (x ，y )，E (－1，y E )，F (－1，y F )． ∵AE →·AF →＝(－2，y E )·(－2，y F )＝y E ·y F ＋4＝0， ∴y E ·y F ＝－4，①又EP →＝(x ＋1，y －y E )，FO →＝(1，－y F )，且EP →∥OA →，FO →∥OP →，∴y －y E ＝0且x (－y F )－y ＝0，∴y E ＝y ，y F ＝－yx ，代入①得y 2＝4x (x ≠0)，∴动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≠0)．(2)设l ：y －2＝kx (易知k 存在)，联立y 2＝4x 消去x ， 得ky 2－4y ＋8＝0，令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4k ，y 1·y 2＝8k，AM →·AN →＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2) ＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＝y 21·y 2216－y 21＋y 224＋1＋y 1y 2 ＝⎝⎛⎭⎫y 1y 242－(y 1＋y 2)24＋32y 1y 2＋1 ＝12k ＋1<0，∴－12<k <0， 则实数k 的取值范围为(－12,0)．B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． 已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，则弦AB 的中点坐标为 ( )A ．(1,0)B ．(2,2)C ．(3,2)D ．(2,4)答案 C解析 依题意得，抛物线C 的方程是y 2＝4x ，直线l 的方程是y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝x －1消去y 得(x －1)2＝4x ，即x 2－6x ＋1＝0，因此线段AB 的中点的横坐标是62＝3，纵坐标是y ＝3－1＝2，所以线段AB 的中点坐标是(3,2)，因此选C.2． 设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|等于( )A ．9B ．6C ．4D ．3答案 B解析 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，又F (1,0)． 由F A →＋FB →＋FC →＝0知(x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0， 即x 1＋x 2＋x 3＝3，|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋x 2＋x 3＋32p ＝6.3． 已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A 的坐标为( )A ．(2,22)B ．(2，－22)C ．(2，±2)D ．(2，±22)答案 D解析 如图所示，由题意，可得|OF |＝1，由抛物线的定义，得|AF |＝|AM |，∵△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1， ∴S △AMFS △AOF＝12×|AF |×|AM |×sin ∠MAF 12×|OF |×|AF |×sin (π－∠MAF )＝3，∴|AF |＝|AM |＝3，设A ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0， ∴y 24＋1＝3，解得y 0＝±2 2. ∴y 204＝2，∴点A 的坐标是(2，±22)． 二、填空题(每小题5分，共15分)4． 已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A ⎝⎛⎭⎫72，4，则|P A |＋|PM |的最小值是________． 答案 92解析 设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F ⎝⎛⎭⎫12，0，又点A ⎝⎛⎭⎫72，4在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x ＝－12，则|PM |＝d －12，又|P A |＋d ＝|P A |＋|PF |≥|AF |＝5，所以|P A |＋|PM |≥92.5． 设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，点A (0,2)，连接F A 交抛物线于点B ，过B作l 的垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p 的值为________． 答案2解析 由抛物线定义可知|BM |＝|BF |，又由平面几何知识得|BM |＝|BA |，所以点B 为AF 的中点，又B ⎝⎛⎭⎫p 4，1在抛物线上，所以12＝2p ×p4，即p 2＝2，又p >0，故p ＝ 2. 6． 设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，F A →与x 轴正向的夹角为60°，则|OA →|＝________. 答案212p 解析 过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，令|FD |＝m ， 则|F A |＝2m ，p ＋m ＝2m ，m ＝p . ∴|OA →|＝ ⎝⎛⎭⎫p 2＋p 2＋(3p )2＝212p .三、解答题7． (13分)已知A (8,0)，B 、C 两点分别在y 轴上和x 轴上运动，并且满足AB →·BP →＝0，BC →＝CP →，(1)求动点P 的轨迹方程；(2)是否存在过点A 的直线l 与动点P 的轨迹交于M 、N 两点，且满足QM →·QN →＝97，其中Q (－1,0)，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 解 (1)设B (0，b )，C (c,0)，P (x ，y )； 则AB →＝(－8，b )，BP →＝(x ，y －b )，BC →＝(c ，－b )，CP →＝(x －c ，y )． ∴AB →·BP →＝－8x ＋b (y －b )＝0.①由BC →＝CP →，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝x －c ，－b ＝y ，∴b ＝－y 代入①得y 2＝－4x . ∴动点P 的轨迹方程为y 2＝－4x .(2)当直线l 的斜率不存在时，x ＝8与抛物线没有交点，不合题意． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则l ：y ＝k (x －8)． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则QM →＝(x 1＋1，y 1)，QN →＝(x 2＋1，y 2)， 由QM →·QN →＝97，得(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝97.即x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋k 2(x 1－8)(x 2－8)＝97， ∴(1＋k 2)x 1x 2＋(1－8k 2)(x 1＋x 2)＋1＋64k 2＝97.② 将y ＝k (x －8)代入y 2＝－4x 得k 2x 2＋(4－16k 2)x ＋64k 2＝0.∵直线l 与y 2＝－4x 交于不同的两点， ∴Δ＝(4－16k 2)2－4×k 2×64k 2>0， 即－24<k <24， 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝16k 2－4k 2，x 1x 2＝64.代入②式得：64(1＋k 2)＋(1－8k 2)16k 2－4k2＋1＋64k 2＝97. 整理得k 2＝14，∴k ＝±12.∵k ＝±12∉⎝⎛⎭⎫－24，24，∴这样的直线l不存在．。

9.7 抛物线核心考点·精准研析考点一抛物线的定义及标准方程1.已知抛物线y2=4x的焦点为F,定点P(4,-2),在抛物线上找一点M,使得|PM|+|MF|最小,则点M的坐标为 ( )A.(2,-2)B.(1,2)C.(1,-2)D.(-1,2)2.已知直线l1:4x-3y+6=0和l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )A. B.2 C. D.33.(2020·保定模拟)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点A(0,2),则C的方程为( )A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x4.设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为焦点,若B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为________.5.已知抛物线C的顶点为坐标原点,对称轴为坐标轴,直线l过抛物线C的焦点F,且与抛物线的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,且|AB|=8,M为抛物线C准线上一点,则△ABM的面积为________.【解析】1.选 C.过P作PM垂直于抛物线的准线,交抛物线于点M,交准线于点N,则|PM|+|MF|=|PM|+|MN|=|PN|,此时|PM|+|MF|最小,点M纵坐标为-2,故横坐标为1,所以点M 的坐标为(1,-2).2.选B.由题可知l2:x=-1是抛物线y2=4x的准线,设抛物线的焦点(1,0)为F,则动点P到l2的距离等于|PF|,则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值,即焦点F到直线l1:4x-3y+6=0的距离,所以最小值是=2.3.选C.由已知得抛物线的焦点F,设点M(x0,y0),则=,=.由已知得,·=0,即-8y0+16=0,因而y0=4,M.由|MF|=5,得=5.又p>0,解得p=2或p=8.故C的方程为y2=4x或y2=16x.4.如图,过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1,则|P1Q|=|P1F|,则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即|PB|+|PF|的最小值为4.答案:45.不妨设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点F,A,B,将A代入抛物线方程,可得2p×=42,得p=4,则准线方程为x=-2,设M(-2,t),则S△ABM=|AB|×p=4×4=16.答案:161.抛物线定义的应用利用抛物线的定义解决问题时,应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化.“看到准线应该想到焦点,看到焦点应该想到准线”,这是解决有关抛物线距离问题的有效途径.2.求抛物线的标准方程的方法(1)定义法根据抛物线的定义,确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离),再结合焦点位置,求出抛物线方程.标准方程有四种形式,要注意选择.(2)待定系数法①根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上,设出相应形式的标准方程,然后根据条件确定关于p的方程,解出p,从而写出抛物线的标准方程.②当焦点位置不确定时,有两种方法解决:方法一分情况讨论,注意要对四种形式的标准方程进行讨论,对于焦点在x轴上的抛物线,为避免开口方向不确定可分为y2=2px(p>0)和y2=-2px(p>0)两种情况求解方法二设成y2=mx(m≠0),若m>0,开口向右;若m<0,开口向左;若m有两个解,则抛物线的标准方程有两个.同理,焦点在y轴上的抛物线可以设成x2=my(m ≠0).如果不确定焦点所在的坐标轴,应考虑上述两种情况设方程考点二直线与抛物线的综合问题【典例】1.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线l交抛物线于A,B两点(点A在第一象限),若直线l的倾斜角为,则= ( )A. B. C. D.2.(2020·濮阳模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l交抛物线C于A、B两点,弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5,则直线l的斜率k为( )A.±B.±1C.±D.±3.(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程.(2)若=3,求|AB|.【解题导思】序号联想解题1 一看到抛物线上的点到焦点或到准线的距离问题,即联想到利用抛物线的定义进行转化2 当条件中出现弦的中点(即中点弦问题)时,应立即考虑到设而不求(点差)法3 当条件中出现过抛物线焦点的直线时,应立即考虑到抛物线焦点弦的有关结论【解析】1.选A.过A、B分别作准线的垂线,垂足分别为M,N,作AE⊥BN,垂足为E,设|AF|=m,|BF|=n,则由抛物线的定义得|AM|=|AF|=m,|BN|=|BF|=n,|AB|=m+n,|BE|=n-m, 因为∠ABN=60°,于是=,解得n=3m,则==.2.选C.抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点M(x0,y0),则x0=,y0=,由弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5,即x0+=5,则x0=4,由两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),则==,即k==,则==,即y0=±,所以直线l的斜率k===±.3.设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+,由题设可得x1+x2=.由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0, 则x1+x2=-.从而-=,得t=-.所以l的方程为y=x-.(2)由=3可得y1=-3y2.由可得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=.故|AB|=.1.直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题,通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组.(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决.2.解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用焦点弦公式,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.提醒:涉及弦的中点、斜率时,一般用“点差法”求解.1.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,E为其准线与x轴的交点,过F的直线交抛物线C于A,B 两点,M为线段AB的中点,且|ME|=,则|AB|= ( )A.6B.3C.8D.9【解析】选A.由y2=4x得焦点F(1,0),E(-1,0),设直线AB的方程为x=ty+1并代入抛物线y2=4x得:y2-4ty-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=-4,所以x1+x2=t(y1+y2)+2=4t2+2,所以M(2t2+1,2t),|ME|2=(2t2+2)2+(2t)2=11,即4t4+12t2-7=0,解得t2=或t2=-(舍),所以|AB|=x1+x2+p=4t2+2+2=4×+2+2=6.2.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,若|AF|+|BF|=5,则线段AB的中点到y轴的距离为________.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则由抛物线定义得|AF|+|BF|=5,即x1++x2+=5,则x1+x2=,所以线段AB的中点到y轴的距离为=.答案:3.已知抛物线y2=2x与直线l:x=ty+2相交于A,B两点,点O是坐标原点.(1)求证:OA⊥OB.(2)当△OAB的面积等于2时,求t的值.【解析】(1)由整理得y2-2ty-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2t,y1y2=-4.所以·=x1x2+y1y2=y1y2+=(-4)+=0,所以⊥,即OA⊥OB.(2)设l:x=ty+2与x轴交于点E,则E(2,0),所以|OE|=2,S△OAB =·|OE|(|y1|+|y2|)=|y1-y2|==2,解得t=±.考点三抛物线的性质及应用命题精解读考什么:(1)考查抛物线的定义、顶点及直线与抛物线中的最值范围问题.(2)考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养及数形结合、转化与化归等思想方法. 怎么考:借助距离考查抛物线的定义;结合函数单调性或基本不等式考查最值问题.新趋势:抛物线离心率的求解仍是考查的重点.学霸好方法1.定义的应用当题目中出现到焦点的距离或到准线(或到与对称轴垂直直线)的距离时,应立即考虑到利用定义转化.2.交汇问题与函数、不等式结合考查范围最值,要注意定义域问题.与抛物线有关的最值问题【典例】(2020·沈阳模拟)已知抛物线C:x2=2py(p>0),其焦点到准线的距离为2,直线l与抛物线C交于A,B两点,过A,B分别作抛物线C的切线l1,l2,且l1与l2交于点M.(1)求p的值.(2)若l1⊥l2,求△MAB面积的最小值.【解析】(1)由题意知,抛物线焦点为,准线方程为y=-,焦点到准线的距离为2,即p=2.(2)抛物线的方程为x2=4y,即y=x2,所以y′=x,设A(x1,y1),B(x2,y2),l1:y-=(x-x1),l2:y-=(x-x2),由于l1⊥l2,所以·=-1,即x1x2=-4.设直线l方程为y=kx+m,与抛物线方程联立,得所以x2-4kx-4m=0,Δ=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m=-4,所以m=1,即l:y=kx+1.联立方程得:即M(2k,-1).M点到直线l的距离d==,|AB|==4(1+k2),所以S=×4(1+k2)×=4(1+k2≥4,当k=0时,△MAB的面积取得最小值4.抛物线与向量的综合问题【典例】已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程.(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值.【解析】(1)直线AB的方程是y=2x-,与y2=2px联立,得4x2-5px+p2=0,由已知,方程必有两个不等实根,所以x1+x2=,由抛物线定义知|AB|=x1+x2+p=+p=9,解得p=4,所以抛物线方程为y2=8x.(2)由(1)知,x2-5x+4=0,所以x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4,所以A(1,-2),B(4,4).设C(x3,y3),则=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ-2),又=8x3,即[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),整理得(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.1.(2019·九江模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,第九章“勾股”,讲述了“勾股定理”及一些应用,还提出了一元二次方程的解法问题直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”.设点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,l是该抛物线的准线,过抛物线上一点A作准线的垂线AB,垂足为B,射线AF交准线l于点C,若Rt△ABC的“勾”=3、“股”=3,则抛物线方程为( )A.y2=2xB.y2=3xC.y2=4xD.y2=6x【解析】选B.由题意可知,抛物线的图像如图:|AB|=3,|BC|=3,可得|AC|==6,所以∠CAB=60°,△ABF是正三角形,并且F是AC的中点,又|AB|=3,则p=,所以抛物线方程为y2=3x.2.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是________.【解析】直线l斜率必存在,由题可得Q(-2,0),当直线l的斜率不存在时,不满足题意,故直线l斜率必存在,设直线l的方程为y=k(x+2),代入抛物线方程,消去y整理得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,由Δ=(4k2-8)2-4k2·4k2=64(1-k2)≥0,解得-1≤k≤1.故k的取值范围为[-1,1].答案:[-1,1]1.已知点P(x,y)是抛物线y2=4x上任意一点,Q是圆C:(x+2)2+(y-4)2=1上任意一点,则|PQ|+x 的最小值为( )A.5B.4C.3D.2【解析】选C.由题意,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线l:x=-1,圆C:(x+2)2+(y-4)2=1的圆心C(-2,4),半径r=1,P到直线l:x=-1的距离d=|PF|,根据抛物线的定义,可得点P到y轴的距离为x=d-1,结合图象(如图所示)可得当C,P,F三点共线时,|PQ|+d取最小值,所以(|PQ|+x)min=|FC|-r-1=5-1-1=3.2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线l:x=-,点M在抛物线C上,点A在准线l上,若MA⊥l,直线AF的倾斜角为,则|MF|=________.【解析】如图,设准线与x轴交点为B,由于AF的倾斜角为,所以∠FAM=,又|MA|=|MF|,所以|MA|=|MF|=|FA|=2|FB|,又由已知p=×2=,即|FB|=,所以|MF|=5.答案:5。

第九章 平面解析几何第七节 抛物线考点3 直线和抛物线的综合题（2018·浙江卷）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．（1）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（2）若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1（x ＜0）上的动点，求△P AB 面积的取值范围． 【解析】（1）设P （x 0，y 0），A (14y 12,y 1)，B (14y 22,y 2). 因为P A ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程(y+y 02)2＝4·14y 2+x 02， 即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 02＝0的两个不同的实根．所以y 1＋y 2＝2y 0，所以PM 垂直于y 轴．（2）由（1）可知{y 1+y 2=2y 0,y 1y 2=8x 0−y 02,所以|PM |＝18（y 12＋y 22）－x 0＝34y 02－3x 0， |y 1－y 2|＝2√2(y 02−4x 0). 所以△P AB 的面积S △P AB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝3√24(y 02－4x 0)32. 因为x 02＋y 024＝1（－1≤x 0＜0），所以y 02－4x 0＝－4x 02－4x 0＋4∈[4,5]， 所以△P AB 面积的取值范围是[6√2,15√104]. 【答案】见解析（2018·全国Ⅱ卷（文））设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k （k ＞0）的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【解析】（1）由题意得F （1,0），l 的方程为y ＝k （x －1）（k ＞0）．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{y =k (x −1),y 2=4x得k 2x 2－（2k 2＋4）x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16＞0，故x 1＋x 2＝2k 2+4k .所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝（x 1＋1）＋（x 2＋1）＝4k 2+4k 2. 由题意知4k 2+4k 2＝8，解得k ＝－1（舍去）或k ＝1.因此l 的方程为x －y －1＝0.（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3,2），所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－（x －3），即y ＝－x ＋5. 设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则{y 0=−x 0+5,(x 0+1)2=(x 0−y 0−1)22+16, 解得{x 0=3,y 0=2或{x 0=11,y 0=−6.因此所求圆的方程为（x －3）2＋（y －2）2＝16或（x －11）2＋（y ＋6）2＝144.【答案】见解析（2018·全国Ⅰ卷（文））设抛物线C ：y 2＝2x ，点A （2,0），B （－2,0），过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明：∠ABM ＝∠ABN .【解析】（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，可得点M 的坐标为（2,2）或（2，－2）．所以直线BM 的方程为y ＝12x ＋1或y ＝－12x －1. 即x －2y ＋2＝0或x ＋2y ＋2＝0.（2）证明 当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM ＝∠ABN .当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k （x －2）（k ≠0），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1＞0，x 2＞0.由{y =k (x −2),y 2=2x,得ky 2－2y －4k ＝0，显然方程有两个不等实根． 所以y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝－4. 直线BM ，BN 的斜率之和k BM ＋k BN ＝y 1x 1+2＋y 2x 2+2＝x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)(x 1+2)(x 2+2).① 将x 1＝y 1k ＋2，x 2＝y 2k ＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得x 2y 1＋x 1y 2＋2（y 1＋y 2）＝2y 1y 2+4k(y 1+y 2)k ＝−8+8k ＝0.所以k BM ＋k BN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM ＝∠ABN .综上，∠ABM ＝∠ABN .【答案】见解析（2018·北京卷（文））已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．【解析】由题意知，直线l 的方程为x ＝1，则直线与抛物线的交点为（1，±2√a ）（a ＞0）．又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4√a ＝4，即a ＝1.所以抛物线的焦点坐标为（1,0）．【答案】（1,0）。

9.7 抛物线 必备知识预案自诊知识梳理1.抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的 的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的 ,直线l 叫做抛物线的 .F 在定直线l 上,则动点的轨迹为过点F 且垂直于l 的一条直线. 2.Fp 2,0 F -p 2,0 F 0,p 2F 0,-p 21.设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则(1)x1x2=p2,y1y2=-p2;4(α为弦AB所在直线的倾斜角);(2)弦长|AB|=x1+x2+p=2psin2α(3)以弦AB为直径的圆与准线相切;(α为弦AB所在直线的倾斜角);(4)S△AOB=p22sinα(5)∠CFD=90°.2.抛物线y2=2px(p>0)的通径长为2p.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.()(3)若一抛物线过点P(-2,3),则其标准方程可写为y2=2px(p>0).()(4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.(),0.()(5)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是a42.(2020天津河北区线上测试,5)已知抛物线y2=4x与x2=2py(p>0)的焦点间的距离为2,则p的值为()A.2√3B.4C.6D.123.(2020北京,7)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l.P是抛物线上异于O的一点,过P 作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线()A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP4.(2020全国1,理4)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=()A.2B.3C.6D.95.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),过点P(1,1)的直线l与抛物线C交于A,B两点,若P恰好为线段AB的中点,则|AB|=.关键能力学案突破考点抛物线的定义及其应用,0)为圆【例1】(1)(2020辽宁大连模拟,文12)已知抛物线y2=2x的焦点为F,以点P(92心,|PF|为半径作一圆与抛物线在x轴上方交于M,N两点,则|MF|+|NF|等于()A.8B.18C.2√2D.4(2)(2020新高考全国1,13)斜率为√3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|=.?解题心得1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时,一般运用定义转化为到准线距离处理. 2.若P (x 0,y 0)为抛物线y 2=2px (p>0)上一点,由定义易得|PF|=x 0+p2;若过焦点的弦AB 的端点坐标为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则弦长为|AB|=x 1+x 2+p ,x 1+x 2可由根与系数的关系整体求出;若遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.对点训练1(1)如图,过抛物线y 2=8x的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,与抛物线的准线交于点C ,若B 是AC 的中点,则|AB|=( )A.8B.9C.10D.12(2)已知抛物线C :y 2=8x 的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点,若FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =4FQ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|QF|=( ) A.72B.52C.3D.2考点抛物线的方程及几何性质【例2】(1)(2020重庆调研)已知抛物线y 2=2px (p>0),点C (-4,0),过抛物线的焦点F 作垂直于x 轴的直线,与抛物线交于A ,B 两点,若△CAB 的面积为24,则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为( )A.y 2=4xB.y 2=-4xC.y 2=8xD.y 2=-8x(2)(2020全国3,文7)设O 为坐标原点,直线x=2与抛物线C :y 2=2px (p>0)交于D ,E 两点,若OD ⊥OE ,则C 的焦点坐标为( )A.14,0B.12,0 C.(1,0) D.(2,0)?解题心得1.求抛物线的标准方程主要利用待定系数法,因为抛物线方程有四种形式,所以在求抛物线方程时,需先定位,再定量,必要时要进行分类讨论.标准方程有时可设为y 2=mx 或x 2=my (m ≠0).2.由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离,从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程.对点训练2(1)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,点M (x 0,2√2)(x 0>p2)是抛物线C 上的一点,以点M 为圆心的圆与直线x=p 2交于E ,G 两点,若sin ∠MFG=13,则抛物线C 的方程为( )A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8x(2)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2),若线段AF的中点B在抛物线上,则|BF|=()A.54B.52C.√22D.3√24考点与抛物线相关的最值问题【例3】(1)(2020山东泰安一模,8)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=2π3,设线段AB的中点M在l上的投影为N,则|MN||AB|的最大值是()A.√34B.√33C.√32D.√3(2)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A,B两点,直线l2与抛物线C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()B.14C.12D.10?解题心得与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一:将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得以解决.转化策略二:将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.对点训练3(1)(2020河南郑州二模)已知抛物线C:y2=2x,过原点作两条互相垂直的直线分别交抛物线C于A,B两点(A,B均不与坐标原点重合),则抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为()A.2B.3C.32D.4(2)(2020山东日照一模,15)直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C交于M,N两点,则p=,|MF|9−1|NF|的最小值是.考点抛物线与其他圆锥曲线的综合【例4】(1)已知过抛物线C:y2=4x焦点F的直线交抛物线C于P,Q两点,交圆x2+y2-2x=0于M,N两点,其中P,M位于第一象限,则1|PM|+4|QN|的值不可能为()A.3B.4C.5D.6(2)已知P是抛物线y2=4x上任意一点,Q是圆(x-4)2+y2=1上任意一点,则|PQ|的最小值为()A.52B.3C.√3+1D.2√3-1?解题心得求解抛物线与其他圆锥曲线的综合问题,要注意距离的转换,将抛物线上的点到焦点的距离转换成抛物线上的点到准线的距离,这样可以简化运算过程.对点训练4(1)(2020河南洛阳模拟)已知F 为抛物线C 1:y 2=2px (p>0)的焦点,曲线C 2是以F 为圆心,p2为半径的圆,直线4x-3y-2p=0与曲线C 1,C 2从上到下依次相交于点A ,B ,C ,D ,则|AB ||CD |=( )A.16B.4C.83D.53(2)(2020山东滨州二模,16)动圆E 与圆M (x-1)2+y 2=14外切,并与直线x=-12相切,则动圆圆心E 的轨迹方程为 ;过点P (1,2)作倾斜角互补的两条直线,分别与圆心E 的轨迹相交于A ,B 两点,则直线AB 的斜率为 .考点直线与抛物线的关系【例5】(1)设抛物线y 2=8x 的焦点为F ,其准线与x 轴的交点为Q ,过点Q 作斜率为k (k<0)的直线交抛物线于A ,B 两点,若|AF|=2|BF|,则k 的值为( )A.-2√23B.-√73C.-√63D.-√53(2)已知F 是抛物线y 2=2px (p>0)的焦点,过点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,AB 的中点为C ,过点C 作抛物线准线的垂线交准线于点C 1,若CC 1的中点为M (1,4),则p=( ) A.4 B.8 C.4√2 D.8√2 解题心得求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似,一般是用方程法,但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用.(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x 1+x 2+p (焦点在x 轴正半轴),若不过焦点,则必须用弦长公式.对点训练5(1)(2020山西太原二模,理9)过抛物线y 2=4x 的焦点的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,设点M (3,0).若△MAB 的面积为4√2,则|AB|=( )A.2B.4C.2√3D.8(2)已知直线kx-y-k=0(k>0)与抛物线y 2=4x 交于A ,B 两点,过B 作x 轴的平行线交抛物线的准线于点M ,O 为坐标原点,若S △OBM ∶S △OBA =1∶2,则k= .1.认真区分四种形式的标准方程:(1)区分y=ax 2与y 2=2px (p>0),前者不是抛物线的标准方程.(2)求抛物线标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为y 2=mx 或x 2=my (m ≠0). 2.解决有关抛物线的焦点弦问题,熟记有关的常用结论是突破解题思路、提高解题速度的有效途径.1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p 值,但首先要判断抛物线是不是标准方程,以及是哪一种标准方程.2.求过焦点的弦或与焦点有关的距离问题,要多从抛物线的定义入手,这样可以简化问题.9.7 抛物线必备知识·预案自诊知识梳理1.距离相等 焦点 准线2.(0,0) y 轴 1考点自诊1.(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×2.A由题意,两抛物线的焦点坐标分别为(1,0),(0,p 2),两焦点的距离为√1+p 24=2,解得p=2√3.故选A.3.B 因为线段FQ 的垂直平分线上的点到F ,Q 的距离相等,又点P 在抛物线上,根据抛物线定义可知,|PQ|=|PF|,所以线段FQ 的垂直平分线经过点P.故选B.4.C 设点A 的坐标为(x ,y ).由点A 到y 轴的距离为9可得x=9,由点A 到抛物线C 的焦点的距离为12,可得x+p2=12,解得p=6.5.√15 由于焦点F (1,0),故p2=1,p=2,抛物线方程为y 2=4x.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由题意知直线l 的斜率存在且不为零,设l :y-1=k (x-1),由{y -1=k (x -1),y 2=4x消去x ,得ky 2-4y+4-4k=0,由P 为线段AB 的中点可知y 1+y 2=4k =2,所以k=2,所以直线l 的方程为y=2x-1,y 1y 2=-2,所以|AB|=√1+(1k )2·√(y 1+y 2)2-4y 1y 2=√15.关键能力·学案突破例1(1)A (2)163 (1)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),抛物线的焦点坐标为(12,0),则|PF|=92−12=4,则圆的方程为(x -92)2+y 2=16,与抛物线方程联立,消去y ,得x 2-7x+174=0,则x 1+x 2=7.根据抛物线性质可知|MF|+|NF|=x 1+12+x 2+12=8.故选A. (2)如图所示,直线与抛物线交于A ,B 两点,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),F (1,0),准线方程为x=-1,作AA',BB'垂直于准线,交准线于点A',B',由抛物线的定义知|AA'|=|AF|,|BB'|=|BF|.|AB|=|AF|+|BF|=|AA'|+|BB'|=x 1+p 2+x 2+p 2=x 1+x 2+p. 由{y =√3(x -1),y 2=4x ,得3x 2-10x+3=0, 所以x 1+x 2=103, 则|AB|=103+2=163. 对点训练1(1)B (2)C(1)如图,分别过点A ,B 作准线的垂线,垂足分别为D ,E ,设|AB|=|BC|=m ,直线l 的倾斜角为α.则|BE|=m|cos α|,所以|AD|=|AF|=|AB|-|BF|=|AB|-|BE|=m (1-|cos α|),所以|cos α|=|AD ||AC |=m (1-|cosα|)2m, 解得|cos α|=13.由抛物线焦点弦长公式|AB|=2psin 2α,可得|AB|=81-19=9.故选B.(2)∵FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =4FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4|FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |.∴|PQ ||PF |=34.过Q 作QQ'⊥l ,垂足为Q',设l 与x 轴的交点为A (图略),则|AF|=4,∴|PQ ||PF |=|QQ '||AF |=34,∴|QQ'|=3,根据抛物线定义可知|QF|=|QQ'|=3,故选C .例2(1)D (2)B (1)因为AB ⊥x 轴,且AB 过焦点F ,所以|AB|=2p ,所以S △CAB =12×2p ×(p 2+4)=24,解得p=4或p=-12(舍去).所以抛物线方程为y 2=8x ,所以直线AB 的方程为x=2,所以以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为y 2=-8x.故选D .(2)∵抛物线C 关于x 轴对称,直线x=2垂直于x 轴,又OD ⊥OE , ∴△ODE 是等腰直角三角形.不妨设点D 在第一象限,则点D 的坐标为(2,2),将其代入y 2=2px ,得p=1,所以抛物线C 的焦点坐标为12,0.对点训练2(1)C (2)D(1)如图所示,作MD ⊥EG ,垂足为D.因为点M (x 0,2√2)(x 0>p2)在抛物线上,所以8=2px 0,即px 0=4.①由题意,可知|DM|=x 0-p2,|MF|=x 0+p2,因为sin ∠MFG=13,所以|DM|=13|MF|,即x 0-p2=13(x 0+p2),解得x 0=p.②由①②,解得x 0=p=-2(舍去)或x 0=p=2.故抛物线C 的方程为y 2=4x.故选C. (2)由已知得点F 的坐标为p 2,0,因为点A (0,2),所以AF 的中点B 的坐标为p 4,1.因为点B 在抛物线上,所以1=p 22,解得p=√2或p=-√2(舍去).所以点F 的坐标为√22,0,点B的坐标为√24,1,所以|BF|=√(√22-√24)2+(0-1)2=3√24.故选D .例3(1)B (2)A (1)设A ,B 在直线l 上的投影分别是A 1,B 1,则|AF|=|AA 1|,|BF|=|BB 1|.又因为M 是AB 中点,所以|MN|=12(|AA 1|+|BB 1|), 则|MN ||AB |=12·|AA 1|+|BB 1||AB |=|AF |+|BF |2|AB |. 在△ABF中,|AB|2=|AF|2+|BF|2-2|AF||BF|cos 2π3=|AF|2+|BF|2+|AF||BF|=(|AF|+|BF|)2-|AF||BF|≥(|A F|+|BF|)2-(|AF |+|BF |2)2=34(|AF|+|BF|)2,当且仅当|AF|=|BF|时,等号成立.所以(|AF |+|BF |)2|AB |2≤43,即|AF |+|BF ||AB |≤2√33, 所以|MN ||AB |≤√33.故选B .(2)由题意,可知直线l 1,l 2的斜率都存在且不为0,点F (1,0).设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),D (x 3,y 3),E (x 4,y 4),直线l 1的方程为y=k (x-1)(k ≠0).由{y =k (x -1),y 2=4x ,得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0,则x 1+x 2=2k 2+4k2.因为l 1⊥l 2,所以直线l 2的方程为y=-1k (x-1).同理,x 3+x 4=2+4k 2.由抛物线的定义可知|AB|+|DE|=x 1+x 2+2+x 3+x 4+2=2k 2+4k 2+2+4k 2+4=4k 2+4k2+8≥2√4k 2·4k2+8=16,当且仅当4k 2=4k2,即k=±1时,等号成立.故|AB|+|DE|的最小值为16.对点训练3(1)C (2)2 -13 (1)设直线AB 的方程为x=my+t ,点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由{x =my +t ,y 2=2x ,得y 2-2my-2t=0,所以y 1y 2=-2t. 由题意可知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x 1x 2+y 1y 2=(y 1y 2)24+y 1y 2=0,即t 2-2t=0.由题意可知t ≠0,所以t=2,所以直线AB 过定点(2,0).所以抛物线的焦点F 到直线AB 的距离的最大值为2-12=32.故选C .(2)因为抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F (1,0),所以p=2.设点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线l :x=my+1,联立{x =my +1,y 2=4x ,得y 2-4my-4=0,所以y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4,所以x 1x 2=1. (方法1)|MF |9−1|NF |=x 1+19−1x 2+1=x 1+19−11x 1+1=x 1+19+1x 1+1-1≥-13,当且仅当x 1+1=3,即x 1=2时,等号成立.(方法2)1|MF |+1|NF |=1x 1+1+1x 2+1=1my1+2+1my2+2=m (y 1+y 2)+4(my1+2)(my 2+2)=m (y 1+y 2)+4m 2y 1y 2+2m (y 1+y 2)+4=4m 2+4-4m 2+8m 2+4=1,所以|MF |9−1|NF |=|MF |9−(1-1|MF |)=|MF |9+1|MF |-1≥-13,当且仅当|MF|=3时,等号成立.例4(1)A (2)D (1)作图如下.由题意可知,F 为圆x 2+y 2-2x=0的圆心,设|PF|=m ,|QF|=n ,则|PM|=m-1,|QN |=n-1. 根据抛物线的常用结论,可知1m+1n=2p=1,则m+nmn=1,即m+n=mn ,所以1|PM |+4|QN |=1m -1+4n -1=4m+n -5mn -(m+n )+1=4m+n-5. 又4m+n=(4m+n )·(1m +1n )=4+4m n +n m +1≥5+2√4m n ·nm=9,当且仅当m=32,n=3时,等号成立,所以4m+n-5≥4,即1|PM |+4|QN |≥4.故1|PM |+4|QN |的值不可能为3.故选A .(2)设点P 的坐标为14m 2,m ,由圆的方程(x-4)2+y 2=1,可得圆心坐标为A (4,0),半径r=1,所以|PA|2=(14m 2-4)2+m 2=116(m 2-8)2+12≥12,所以|PA|≥2√3.因为Q 是圆(x-4)2+y 2=1上任意一点,所以|PQ|的最小值为2√3-1.故选D .对点训练4(1)A (2)y 2=4x -1 (1)由题意可知直线4x-3y-2p=0过抛物线C 1的焦点F ,所以|BF|=|CF|=p 2,所以|AB ||CD |=|AF |-p2|DF |-p 2.设点A (x A ,y A ),D (x D ,y D ),由抛物线的定义得|AF|-p2=x A ,|DF|-p2=x D .由{4x -3y -2p =0,y 2=2px ,整理得8x 2-17px+2p 2=0,解得x A =2p ,x D=p 8.故|AB ||CD |=x A x D=2pp 8=16.故选A .(2)如图,由题意可知,|NE|=|ME|-12,则|NE|+12=|ME|,所以点E 到直线x=-1的距离等于到点M (1,0)的距离,所以动圆圆心E 的轨迹是以M 为焦点,以x=-1为准线的抛物线, 则其轨迹方程为y 2=4x.点P 坐标为(1,2),则点P 在圆心E 的轨迹上. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由已知设直线PA :m (y-2)=x-1,即x=my-2m+1,代入抛物线的方程得y 2=4my-8m+4,即y 2-4my+8m-4=0, 则y 1+2=4m ,故y 1=4m-2.设直线PB :-m (y-2)=x-1,即x=-my+2m+1,代入抛物线的方程得y 2=-4my+8m+4,即y 2+4my-8m-4=0, 则y 2+2=-4m ,故y 2=-4m-2.x 1-x 2=my 1-2m+1-(-my 2+2m+1)=m (y 1+y 2)-4m=-8m.直线AB 的斜率k AB =y 2-y1x 2-x 1=-8m8m=-1. 例5(1)A (2)B (1)(方法1)韦达定理消去x抛物线的焦点为F (2,0),准线x=-2,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AF|=x 1+2,|BF|=x 2+2,由|AF|=2|BF|得x 1+2=2(x 2+2),即有x 1=2x 2+2,①联立y 2=8x 与直线y=k (x+2)的方程得k 2x 2+(4k 2-8)x+4k 2=0,则有x 1+x 2=-4k 2+8k 2(k<0),② x 1x 2=4.③由①③得x 1=4,x 2=1,代入②中得5=-4k 2+8k2(k<0),解得k=-2√23.故选A.(方法2)韦达定理消去y设抛物线的准线m :x=-2,分别过点A ,B 作AA'⊥m 于A',BB'⊥m 于B',由|AF|=2|BF|,得|AA'|=2|BB'|,则有|QA'|=2|QB'|.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),从而有y 1=2y 2.联立y 2=8x 与直线y=k (x+2)的方程得ky 2-8y+16k=0,则有y 1+y 2=8k ,① y 1y 2=16,② 由y 1=2y 2则有y 1+y 2=3y 2=8k ,③ y 1y 2=2y 22=16, ④ 消去y 2得(8k )216=92(k<0),解得k=-2√23,故选A.(方法3)几何法设抛物线的准线m :x=-2,分别过点A ,B 作AA'⊥m 于A',BB'⊥m 于B',由|AF|=2|BF|,得|AA'|=2|BB'|,则有|QA'|=2|QB'|,则B'是QA'的中点,设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),从而有y A =2y B .则B 是QA 的中点,则有|OB|=12|AF|(O 是原点),而|BF|=12|AF|,则|OB|=|FB|,故点B 在线段OF 的垂直平分线上,则x B =1,从而y B =-2√2,则y A =-4√2,x A =4,故k=-2√23, 故选A.(2)设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),C (x C ,y C ).由题意CC 1的中点坐标为(1,4),所以可得y A +y B =8,x C -p 2=2×1,所以x C =2+p 2,x A +x B =4+p.设直线AB 的方程为x=my+p 2,代入抛物线的方程可得y 2-2pmy-p 2=0,所以y A +y B =2pm ,x A +x B=m (y A +y B )+p=8m+p.则{8=2pm ,8m +p =4+p ,解得p=8,m=12.对点训练5(1)D (2)2√2 (1)抛物线y 2=4x 的焦点为F (1,0),可设直线l 的方程为x=ty+1,代入抛物线方程,可得y 2-4ty-4=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),可得y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4,则|AB|=√1+t 2·|y 1-y 2|=√1+t 2·√(y 1+y 2)2-4y 1y 2=√1+t 2·√16t 2+16,△MAB 的面积为12|MF|·|y 1-y 2|=12×2|y 1-y 2|=4√2,即√16t 2+16=4√2,解得t=±1.则|AB|=√1+1×√16+16=8.故选D .(2)联立{kx -y -k =0,y 2=4x消去x ,得y 2-4k y-4=0,设A (x 1,y 1)(y 1>0),B (x 2,y 2),则M (-1,y 2),则y 1+y 2=4k ,y 1y 2=-4,∵k OM=y2-1=-y2=4y1,k OA=y1x1=4y1,∴A,O,M三点共线,∴S△OBM∶S△OAB=|OM|∶|OA|=1∶2,∴|OA|2=4|OM|2,x12+y12=4(1+y22),x12+4x1=4(1+16y12),x12+4x1=4(1+164x1),则(x12-4)(1+4x1)=0,∵x1>0,∴x1=2,∴A(2,2√2).又直线kx-y-k=0恒过定点(1,0),∴k=2√2-02-1=2√2,故答案为2√2.。

9.7 抛物线1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )距离______的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的__________，直线l 叫做抛物线的________．21．判断正误(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是4.( )(3)若一抛物线过点P (－2,3)，其标准方程可写为y 2＝2px (p >0)．( )2．已知抛物线y ＝34x 2，则它的焦点坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，316 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫316，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 3．准线方程为x ＝3的抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝－6xB ．y 2＝－12xC ．y 2＝6xD ．y 2＝12x4．抛物线x2＝4y上一点P到焦点F的距离为3，则P点的纵坐标为( )A．3 B．2 C．52D．－25．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有( )A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|考点一·抛物线的定义及应用【例1】(1)(2014·新课标卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝54x0，则x0＝( )A．1 B．2C．4 D．8(2)已知抛物线y2＝2x的焦点为F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，则|P A|＋|PF|的最小值为__________，此时P点的坐标为__________．1．(1)(2014·新课标卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A、B两点，则|AB|＝( )A．303B．6C．12 D．73(2)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )A．2 B．3 C．115D．3716考点二 抛物线的标准方程及几何性质【例2】 (1)(2017·泉州模拟)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3xC ．y 2＝92x D ．y 2＝9x(2)若双曲线C ：2x 2－y 2＝m (m >0)与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，且|AB |＝43，则m 的值是__________．(1)以双曲线x23－y 2＝1的左焦点为焦点，顶点在原点的抛物线方程是( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝－42xD ．y 2＝－8x(2)(2016·新课标全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8考点三抛物线与直线相交问题【例3】已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，求证：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值．2017全国设A，B为曲线C：y=24x上两点，A与B的横坐标之和为4.（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程.巩固提高1．．(2016·新课标全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝kx(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝()A.12B．1 C.32D．22．（2013年高考四川卷（文））抛物线28y x=的焦点到直线0x=的距离是（）A．B．2C D．13．[2014·全国卷] 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝54|PQ|.则C的方程为___________________________；4．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））O为坐标原点,F为抛物线2:C y=的焦点,P为C上一点,若||PF=,则POF∆的面积为（）A．2B．C．D．45、在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx–2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1).当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.。

§9.7 抛物线1． 抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 2． 抛物线的标准方程与几何性质1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是(a4，0)，准线方程是x ＝－a4.( × ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F (p 2，0)的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( √ )2． 设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4]答案 C解析 Q (－2,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0， 解得－1≤k ≤1.3． (2012·四川)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |等于( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5答案 B解析 由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 则M 到焦点的距离为x M ＋p 2＝2＋p2＝3，∴p ＝2，∴y 2＝4x .∴y 20＝4×2＝8， ∴|OM |＝4＋y 20＝4＋8＝2 3.4． 动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________．答案 y 2＝4x解析 设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .5． 若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．答案 4解析 因为椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y 2＝2px 的焦点为(2,0)，则p ＝4.题型一 抛物线的定义及应用例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标．思维启迪 由定义知，抛物线上点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线l 的距离d ，求|P A |＋|PF |的问题可转化为求|P A |＋d 的问题．解 将x ＝3代入抛物线方程 y 2＝2x ，得y ＝±6.∵6>2，∴A 在抛物线内部，如图．设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|P A |＋|PF |＝|P A |＋d ，当P A ⊥l 时，|P A |＋d 最小，最小值为72，即|P A |＋|PF |的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2,2)．思维升华 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172 B ．3 C. 5 D.92答案 A解析 抛物线y 2＝2x 的焦点为F (12，0)，准线是l ，由抛物线的定义知点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0,2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值，结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点F 到点(0,2)的距离．因此所求的最小值等于 (12)2＋(－2)2＝172，选A.题型二 抛物线的标准方程和几何性质例2 抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2＋y 2＝9相交，公共弦MN 的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．思维启迪 首先确定方程的形式，根据条件列方程确定方程中的系数． 解 由题意，得抛物线方程为x 2＝2ay (a ≠0)． 设公共弦MN 交y 轴于A ，N 在y 轴右侧， 则|MA |＝|AN |，而|AN |＝ 5. ∵|ON |＝3，∴|OA |＝32－(5)2＝2，∴N (5，±2)．∵N 点在抛物线上，∴5＝2a ·(±2)，即2a ＝±52，故抛物线的方程为x 2＝52y 或x 2＝－52y .抛物线x 2＝52y 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，58，准线方程为y ＝－58. 抛物线x 2＝－52y 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－58，准线方程为y ＝58. 思维升华 (1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p 的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程．(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(1)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A .若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x(2)(2013·江西)已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |等于( )A ．2∶ 5B ．1∶2C ．1∶ 5D ．1∶3 答案 (1)B (2)C解析 (1)直线方程为y ＝2(x －a 4)，令x ＝0，得y ＝－a2，故有4＝12·|a 4|·|－a 2|＝a 216，∴a ＝±8，∴y 2＝±8x .(2)由抛物线定义知M 到F 的距离等于M 到准线l 的距离MH . 即|FM |∶|MN |＝|MH |∶|MN | ＝|FO |∶|AF |＝1∶ 5. 题型三 抛物线焦点弦的性质例3 设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明：直线AC 经过原点O .思维启迪 证直线AC 经过原点O ，即证O 、A 、C 三点共线，为此只需证k OC ＝k OA .本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决． 证明 方法一 设AB ：x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0.由根与系数的关系，得y A y B ＝－p 2，即y B ＝－p 2y A.∵BC ∥x 轴，且C 在准线x ＝－p 2上，∴C (－p2，y B )．则k OC ＝y B －p 2＝2p y A ＝y Ax A ＝k OA .∴直线AC 经过原点O .方法二 如图，记准线l 与x 轴的交点为E ，过A 作AD ⊥l ，垂足为D .则AD ∥EF ∥BC .连接AC 交EF 于点N ， 则|EN ||AD |＝|CN ||AC |＝|BF ||AB |， |NF ||BC |＝|AF ||AB |. ∵|AF |＝|AD |，|BF |＝|BC |，∴|EN |＝|AD |·|BF ||AB |＝|AF |·|BC ||AB |＝|NF |， 即N 是EF 的中点，从而点N 与点O 重合，故直线AC 经过原点O .思维升华 本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力．在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到y A y B ＝－p 2这个重要结论．还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何题目．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切． 证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0)．由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p (my ＋p2)，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*)则y 1、y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2， 所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2 ＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式，得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2(|AB |－p )＋p 24＝2p(定值)．(3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A 、B 作准线的垂线，垂足为C 、D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |. 所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切． 题型四 直线与抛物线的位置关系例4 已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标．(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值．(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．思维启迪 抛物线上的点到抛物线的焦点距离，往往转化为该点到准线的距离． 解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1m y ，∴它的焦点F (0，14m )．(2)∵|RF |＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14. (3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)>0⇒m >－12.设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2m ，x 1·x 2＝－2m，(*)∵P 是线段AB 的中点，∴P (x 1＋x 22，mx 21＋mx 222)，即P (1m ，y P )，∴Q (1m ，1m)．得QA →＝(x 1－1m ，mx 21－1m )，QB →＝(x 2－1m ，mx 22－1m)，若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形， 则QA →·QB →＝0，即(x 1－1m )·(x 2－1m )＋(mx 21－1m )(mx 22－1m )＝0， 结合(*)化简得－4m 2－6m＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，而2∈(－12，＋∞)，－12∉(－12，＋∞)．∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形．思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB →＜0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解 (1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足：(x －1)2＋y 2－x ＝1(x ＞0)． 化简得y 2＝4x (x ＞0)．(2)设过点M (m,0)(m ＞0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝4x 得y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m )＞0，于是⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m .①又F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)， F A →·FB →＜0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＜0.②又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－⎝⎛⎭⎫y 214＋y 224＋1＜0⇔(y 1y 2)216＋y 1y 2－14[](y 1＋y 2)2－2y 1y 2＋1＜0.③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1＜4t 2.④对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1＜0，即3－22＜m ＜3＋2 2.由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB →＜0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．直线与圆锥曲线问题的求解策略典例：(15分)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线C 交于M ，N 两点，已知当直线l 与x 轴垂直时，△OMN 的 面积为2(O 为坐标原点)． (1)求抛物线C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得以MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰好在y 轴上，若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 思维启迪 (1)求MN 的长，由面积得p 的值；(2)问题的几何条件是：线段MN 的中垂线与y 轴的交点和M ，N 构成等腰直角三角形，因此依次待定直线，表示中点，得中垂线与y 轴交点，利用直角边垂直关系列式求解． 规范解答解 (1)当直线l 与x 轴垂直时，则|MN |＝2p ，∴S △OMN ＝12·2p ·p 2＝p 22＝2，即p ＝2.∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .[5分](2)∵直线l 与x 轴垂直时，不满足．设正方形的第三个顶点为P . 故可设直线l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (0，y 0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，可化简得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.代入直线l 可得MN 的中点为(k 2＋2k 2，2k)，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，则线段MN 的垂直平分线为y －2k ＝－1k (x －1－2k 2)，故P (0，3k ＋2k3)．[10分]又PM →·PN →＝0，则x 1x 2＋(y 1－y 0)(y 2－y 0)＝0. 即x 1x 2＋y 1y 2－y 0(y 1＋y 2)＋y 20＝0. 1－4－y 0·4k ＋y 20＝0，化解得ky 20－4y 0－3k ＝0，由y 0＝3k ＋2k 3代入上式，化简得(3k 4－4)(k 2＋1)＝0.解得k ＝± 443.∴存在直线l ：y ＝± 443(x －1)．[15分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤：第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程； 第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范 围(或指出直线过曲线内一点)第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2的关系 式，求得结果；第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况．温馨提醒 本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力；(1)题比较基础，易于掌握；(2)题的基本点是设而不求，难点是如何把几何条件转化为代数方程，重点考查解题思想与方法，其中我们要习惯于把垂直关系转化为向量的数量积为零.方法与技巧1． 认真区分四种形式的标准方程(1)区分y ＝ax 2与y 2＝2px (p >0)，前者不是抛物线的标准方程．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)．2． 抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2p sin 2θ； (3)若F 为抛物线焦点，则有1|AF |＋1|BF |＝2p. 失误与防范1．求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p 值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程． 2．注意应用抛物线的定义解决问题．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1． 抛物线y ＝－12x 2的焦点坐标是( )A ．(0，18)B ．(－18，0)C ．(0，－12)D ．(－12，0)答案 C解析 把原方程先化为标准方程x 2＝－2y ，则2p ＝2， ∴p 2＝12，即焦点坐标为(0，－12)，故选C. 2． (2013·四川)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是 ( )A.12B.32 C ．1 D.3 答案 B解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线是y ＝±3x ，即3x ±y ＝0，∴所求距离为|3±0|(3)2＋(±1)2＝32.选B. 3． 已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2答案 B解析 ∵y 2＝2px 的焦点坐标为(p2，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px ，得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22＝p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.4． 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于( )A ．－4B ．4C ．p 2D ．－p 2 答案 A解析 ①若焦点弦AB ⊥x 轴， 则x 1＝x 2＝p 2，则x 1x 2＝p 24；②若焦点弦AB 不垂直于x 轴，可设AB ：y ＝k (x －p2)，联立y 2＝2px 得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24.即x 1x 2＝p 24，则y 1y 2＝－p 2.故y 1y 2x 1x 2＝－4.5． 如图，抛物线C 1：y 2＝2px 和圆C 2：(x －p 2)2＋y 2＝p 24，其中p >0，直线l经过C 1的焦点，依次交C 1，C 2于A ，B ，C ，D 四点，则AB →·CD →的值为( )A ．p 2B.p 24C.p 22D.p 23答案 B解析 设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则|AB |＝|AF |－|BF |＝x 1＋p 2－p2＝x 1，同理|CD |＝x 2.又AB →·CD →＝|AB ||CD |＝x 1·x 2＝p 24.二、填空题6． 若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是________．答案 x 2＝12y解析 由题意可知点P 到直线y ＝－3的距离等于它到点(0，3)的距离，故点P 的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y ＝－3为准线的抛物线，且p ＝6，所以其标准方程为x 2＝12y . 7． 已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________.答案 2解析 设A (x 0，y 0)，由抛物线定义知x 0＋1＝2， ∴x 0＝1，则直线AB ⊥x 轴， ∴|BF |＝|AF |＝2.8． 已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM →＝BM →，则p ＝________. 答案 2 解析如图，由AB 的斜率为3， 知∠α＝60°，又AM →＝BM →， ∴M 为AB 的中点．过点B 作BP 垂直准线l 于点P ， 则∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°. ∴||BP ＝12||AB ＝||BM .∴M 为焦点，即p2＝1，∴p ＝2.三、解答题9. 如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程．解 设直线OA 的方程为y ＝kx ，k ≠0， 则直线OB 的方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px ，得x ＝0或x ＝2p k2.∴A 点坐标为⎝⎛⎭⎫2p k 2，2p k ，同理得B 点坐标为(2pk 2，－2pk )， 由|OA |＝1，|OB |＝8，可得⎩⎨⎧4p 2k 2＋1k 4＝1， ①4p 2k 2(k 2＋1)＝64， ②②÷①解方程组得k 6＝64，即k 2＝4. 则p 2＝16k 2(k 2＋1)＝45.又p >0，则p ＝255，故所求抛物线方程为y 2＝455x .10．(2013·福建)如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO |为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N .(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN |； (2)若|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 的半径．解 (1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)， 所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO |＝5， 所以|MN |＝2|CO |2－d 2＝25－4＝2.(2)设C (y 204，y 0)，则圆C 的方程为(x －y 204)2＋(y －y 0)2＝y 4016＋y 20，即x 2－y 202x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0，设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则⎩⎨⎧Δ＝4y 20－4(1＋y 202)＝2y 20－4>0，y 1y 2＝y202＋1.由|AF |2＝|AM |·|AN |，得|y 1y 2|＝4， 所以y 202＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0.所以圆心C 的坐标为(32，6)或(32，－6)，从而|CO |2＝334，|CO |＝332，即圆C 的半径为332.B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)1． 设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|等于( )A ．9B ．6C ．4D ．3 答案 B解析 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，又F (1,0)． 由F A →＋FB →＋FC →＝0知(x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0， 即x 1＋x 2＋x 3＝3，|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋x 2＋x 3＋32p ＝6.2． 已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A 的坐标为( ) A ．(2,22) B ．(2，－22) C ．(2，±2) D ．(2，±22)答案 D解析 如图所示，由题意， 可得|OF |＝1，由抛物线的定义， 得|AF |＝|AM |，∵△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1， ∴S △AMFS △AOF ＝12×|AF |×|AM |×sin ∠MAF 12×|OF |×|AF |×sin (π－∠MAF )＝3， ∴|AF |＝|AM |＝3，设A ⎝⎛⎭⎫y 24，y 0，∴y 24＋1＝3，解得y 0＝±2 2. ∴y 204＝2，∴点A 的坐标是(2，±22)． 3． (2012·安徽)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B. 2 C.322D ．2 2 答案 C解析 如图所示，由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)， 又|AF |＝3，由抛物线定义知：点A 到准线x ＝－1的距离为3， ∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知点A 的纵坐标y ＝22，∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．联立直线与抛物线的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2 2.由图知B ⎝⎛⎭⎫12，－2， ∴S △AOB ＝12|OF |·|y A －y B |＝12×1×|22＋2|＝322.故选C. 4． 已知直线l 1：4x －3y ＋11＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________． 答案 3解析 因为x ＝－1恰为抛物线y 2＝4x 的准线， 所以可画图观察．如图，连接PF d 2＝PF ，∴d 1＋d 2＝d 1＋PF ≥FQ ＝|4×1－3×0＋11|42＋(－3)2＝155＝3.5． 如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则此抛物线的方程为 ________． 答案 y 2＝3x解析 如图，分别过A ，B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知AF ＝AA 1，BF ＝BB 1， ∵BC ＝2BF ，∴BC ＝2BB 1，∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°.则△AA 1F 为等边三角形，过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于K ， 则KF ＝A 1F 1＝12AA 1＝12AF ，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .6． 抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)若AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值． 解 (1)依题意知F (1,0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1. 将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得 y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.① 因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.② 联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±24.所以直线AB 的斜率是±2 2.(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点， 从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等， 所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB . 因为2S △AOB ＝2×12·|OF |·|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝41＋m 2，所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4.。