结束
y=log 2x
输出y
y=x 2-1
否是
x >2?输入x
开始
桂林市第十八中学2015届高三上学期第一次月考数学(理)试题
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
{}{}{}{}
{}
{}
{}
|15,1,2,3,1,2.1,2.1,3.3.1,2,3u U x Z x A C B A B A B C D ∈≤≤==
1.已知全集==,则
2.已知复数z a bi =+(,0)a b R ab ∈≠且,且(12)z i -为实数,则
a
b
= A. 3
B. 2
C.1
2
D. 13
33.1
.ln ..3.x A y x B y x x C y D y x
==+==-
下列函数中,在定义域内既是奇函数又是增函数的是
4.执行如图所示程序框图,若输出的结果为3,则可输入的实数x 的个数为
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 24121
5.log 3,log 6,log ,,,7
....a b c a b c A a b c B b a c C c b a D c a b
===>>>>>>>>已知则的大小关系为
()()6.11....p f x q f x x p q A B C D +=已知:是偶函数,:关于直线对称,则是的充分非必要条件 必要非充分条件充要条件 既不充分又不必要条件
7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. 64 B. 72 C. 80 D.112
333338.:2,80,.2,80.2,80.2,80
.2,80
p x x p A x x B x x C x x D x x ?>->??≤-≤?>-≤?>-≤?≤-≤已知命题那么是 9.函数1
2()2
x f x x -=-的零点的个数为
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
()()()10.R 03,x f x x f x m f x ≥=+已知函数是定义在上的奇函数,当时,则的大致图像是
11.已知两条直线1l y a =:和218
21
l y a =
+: (其中0a >),
1l 与函数4log y x =的图像从左至右相交于点A ,B ,2l 与函数4log y x =的图像从左至右相交于点C ,D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分
别为,m n .当a 变化时,n
m
的最小值为 A. 4
B. 16
C. 112
D. 102
()()()()()
2
2
12.2,2,08
....x e e f x x f x xf x f x f x x A B C D '+==>设函数满足:则时,有极大值,无极小值有极小值,无极大值既有极大值,又有极小值
既无极大值,又无极小值
二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)
4313.,3525,351x y x y x y z x y x -≤-??
+≤=++??≥?
已知实数满足约束条件那么的最大值等于
{}3
2330
14.9,3,n a a S x dx q ===
?等比数列中,前三项和则公比
()
()()15.sin ,cos 20,1,1,,tan a b a b αααπ
α=+<<=-⊥=
已知若则
16.已知函数()f x 定义在R 上,对任意的x R ∈, (1001)f x +=已知(11)1f =,
则(2013)=f
三.解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17()10分. 在△ABC 中,已知cos cos cos cos 0C A B A B +-=. (1)求角B 的大小;
(2)若1a c +=,求b 的取值范围.
18(12分). 数列{}n b 满足()1
11
2,2,.1n n n b b b n n N b -+-==≥∈+,
(1)求数列{}n b 的通项公式;
(2)求数列12n n b +??
????
的前n 项和n T .
19.(12分)2013年第三季度,国家电网决定对城镇居民民用电计费标准做出调整,并根据用电情况将
居民分为三类: 第一类的用电区间在(0,170],第二类在(170,260],第三类在(260,)+∞(单位:千瓦时). 某小区共有1000户居民,现对他们的用电情况进行调查,得到频率分布直方图如图所示. ⑴ 求该小区居民用电量的平均数;
⑵ 利用分层抽样的方法从该小区内选出10位居民代表,若从该10户居民代表中任选两户居民,求这两户居民用电资费属于不同类型的概率;
⑶ 若该小区长期保持着这一用电消耗水平,电力部门为鼓励其节约用电,连续10个月,每个月从该小区居民中随机抽取1户,若取到的是第一类居民,则发放礼品一份,设X 为获奖户数,求X 的数学期望()E X 与方差()D X .
20(12分).如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,PA ⊥底面ABCD ,1,PA AB AD ===点F 是PB 的中点,点E 在边BC 上移动.
(1)点E 为BC 的中点时,试判断EF 与平面PAC 的位置关系,并说明由; (2)求证:无论点E 在BC 边的何处,都有PE AF ⊥;
(3)当BE 为何值时,PA 与平面PDE 所成角的大小为045.
21(12分).已知两定点(2,0),(2,0),E F -动点P 满足0PE PF ?=,由点P 向x 轴作垂线段,PQ
垂足为,Q 点M 满足PM MQ =,点M 的轨迹为C . (1)求曲线C 的方程;
(2)过点(0,2)D -作直线l 与C 交于,A B 两点,点N 满足ON OA OB =+(O 为原点),求四边形OANB 面积的最大值,并求此时的直线l 的方程.
22.(12分)已知函数11
()()ln (1)f x a x x a a x
=+
+->. (1)讨论函数()f x 在(0,1)上的单调性;
(2)当3a ≥时,曲线()y f x =上总存在相异两点,11(,())P x f x ,22(,())Q x f x ,使得()y f x = 曲线在P 、Q 处的切线互相平行,求证:126
5
x x +>
.
桂林市十八中12级高三月考一
数学(理科)答案
2213. 1
14.12
-或 15. 1- 16. 1
三.解答题(70分)
18(12分)解: (1) 12b =
∵111n n n b b b --=+,∴1111n n b b -=+,即1
11
1(2)n n n b b --=≥
∴1n b ???
???
是首项为12,公差为1的等差数列 ∴1121
(1)122
n n n b -=+-?=
,即2()21n b n N n *=∈-
6分
()()()()()()()()()
()()1
232341
23123111
1222,2122112325221221232522122222221222222212412222121223266n n n n n n n n n n n n n n n n n b n n b T n T n T n T n n n ++++-++=
=-?-∴=?+?+?++-?=?+?+?++-?=++++--?∴=--++
++-?-=--?
+-?-=-?+则得
分
①②
①-②-
19(12分).解:(1) 平均数为1200.005201400.075201600.020201800.00520??+??+??+??
2000.003202200.00220156.8+??+??=
4分 (2) 由频率分布直方图可知,采用分层抽样抽取10户居民,其中8户为第一类用户,2户为第二类用户,
则从该10户居民中抽取2户居民且这两户居民用电资费不属于同一类型的概率为118221016
45
C C C =
4分
(3) 由题可知,该小区内第一类用电户占80%,则每月从该小区内随机抽取1户居民,是第一类居民的概率为0.8,则连续10个月抽取,获奖人数X 的数学期望100.88EX np ==?=,方差(1)100.80.2 1.6DX np p =-=??=4分
20.解:(1)当点E 为BC 的中点时,EF 与平面P AC 平行.
∵在△PBC 中,E 、F 分别为BC 、PB 的中点,∴EF ∥PC . 又EF ?平面P AC ,而PC ?平面P AC , ∴EF ∥平面P AC . 2分
(2)证明:建立如图所示空间直角坐标系,则 P (0,0,1),B (0,1,0),
F (0,
12,1
2
),D
,0,0), 设BE =x (0≤x
),则E (x,1,0),
PE AF ?=(x,1,-1)·
(0,12,1
2
)=0,∴PE ⊥AF . 4分
(3)设平面PDE 的法向量为m =(p ,q,1),
由0,0.
m PD m PE ??=???=??,得m =
1-,1).
而AP →
=(0,0,1),依题意P A 与平面PDE 所成角为45°,
所以sin45°=22=|m ·AP →||m ||AP →|,∴113+(1-x 3)2+1=1
2
,
得BE =x =3-2或BE =x =3+2>3(舍).
故BE =3-2时,P A 与平面PDE 所成角为45°6分.
21(12分)解(1)
动点P 满足0PE PF ?=,∴点P 的轨迹是以E F 为直径的圆,
∴动点P 的轨迹方程为224x y += …………2分
设M(x,y)是曲线C 上任一点,因为PM ⊥x 轴,PM MQ =,∴点P 的坐标为(x ,2y )
点P 在圆224x y +=上,∴ 22
(2)4x y += ,
∴曲线C 的方程是2
214
x
y += …………2分
(2)因为OB OA ON +=,所以四边形OANB 为平行四边形, 当直线l 的斜率不存在时显然不符合题意;
当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为2y kx =-,l 与椭圆交于1122(,),(,)A x y B x y 两点,由
22
214
y kx x y =-???+=??得22
1+4k )16120x kx -+=( …………2分 由222
1648(14)0k k ?=-+>,得234
k >
1212
221612
,1414k x x x x k k ∴
+==++
………………2分 12121
||||||,
2OAB S OD x x x x ?=-=-
1222||OANB
OAB S
S x x ?∴==-==
==2分 令243k t -=,则243k t =+(由上可知0t >),
2OANB S
==≤=当且仅当4,t =即2
74k =时取等号; ∴
当k =平行四边形OANB 面积的最大值为2 此时直线l
的方程为2y x =-…………2分
22(12分)解:(1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞.
求导数,得2222111
()1()()
1()1a x a x x a x a a a f x x x x x
+
-++--'=--=-=-, 令()0f x '=,解得x a =或1
x a
=.
∵1a >,∴1
01a <<,
∴当10x a <<时,()0f x '<;当1
1x a <<时,()0f x '>.
故()f x 在1(0,)a 上单调递减,在1
(,1)a
上单调递增.………………6分
(2)由题意得,当3a ≥时,1212()()(,0f x f x x x ''=>且12x x ≠,
即221122
11
1111a a a a x x x x +
+
--=-- ∴12
1212
111x x a a x x x x ++
=+=
. 12121212,0(
2
x x x x x x x x +>≠∴<2
且,)恒成立
1212212121212
1414+0()x x x x a x x x x a x x x x +>>∴+=>++又整理得12
4
+1x x a a >+
令22224
441-()'()011(1a a g a g a a a a a
===<+++()
则) 所以()g a 在[)3,+∞上单调递减,所以()g a 在[)3,+∞上的最大值为6(3)5g =
126
+5
x x ∴> …………6分 11.设(,),(,),(,),(,)A A B B C C D D A x y B x y C x y D x y ,
则4a A x -=,4a
B x =,1821
4
a C x -
+=,1821
4
a D x +=,
则1821
18
2144
44a
a a
a n m
+--+-=-,分子与分母同乘以18
214a a ++ 可得183********a a a a n
m
++++==,
又363622*********a a a a +
=++-≥-=++, 当且仅当216a +=,即5
2
a =时,“=”成立, 所以n m
的最小值为112.
()()()()()()()()()()()()()()
()()()()(
)()()
()2
2
20003
03201222,20,20010
00,222,02=22x t t x x t x x
x t x x
x
x t x x
x e x f x x
e e x
f x dt f x dt
t t
x e e dt
t
f x x x e e
g x e dt g x t x
x e
x g x g x g x
g x f x f x x
x e x g x g x g x
e g x e dt e x t
'??=??∴=?=-'∴=
-'=-=
-'∈=<=>''∴=-'∈+∞=>?>-=-?????12.解:由已知得设则当时,在上递减
当时,又()()()()()()()()()()()()()23
3
2820
02,202==0
20,f x g x g e f g x f x f x x
g x f x f f x ∴>=-=''∴=
>?+∞''∴>≥∴+∞在上递增
当时,在上递增故选D