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广西桂林市第十八中学2015届高三上学期第一次月考数学(理)试题 Word版含答案

结束

y=log 2x

输出y

y=x 2-1

否是

x >2?输入x

开始

桂林市第十八中学2015届高三上学期第一次月考数学(理)试题

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)

{}{}{}{}

{}

{}

{}

|15,1,2,3,1,2.1,2.1,3.3.1,2,3u U x Z x A C B A B A B C D ∈≤≤==

1.已知全集==,则

2.已知复数z a bi =+(,0)a b R ab ∈≠且,且(12)z i -为实数,则

a

b

= A. 3

B. 2

C.1

2

D. 13

33.1

.ln ..3.x A y x B y x x C y D y x

==+==-

下列函数中,在定义域内既是奇函数又是增函数的是

4.执行如图所示程序框图,若输出的结果为3,则可输入的实数x 的个数为

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4 24121

5.log 3,log 6,log ,,,7

....a b c a b c A a b c B b a c C c b a D c a b

===>>>>>>>>已知则的大小关系为

()()6.11....p f x q f x x p q A B C D +=已知:是偶函数,:关于直线对称,则是的充分非必要条件 必要非充分条件充要条件 既不充分又不必要条件

7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. 64 B. 72 C. 80 D.112

333338.:2,80,.2,80.2,80.2,80

.2,80

p x x p A x x B x x C x x D x x ?>->??≤-≤?>-≤?>-≤?≤-≤已知命题那么是 9.函数1

2()2

x f x x -=-的零点的个数为

A . 1

B . 2

C . 3

D . 4

()()()10.R 03,x f x x f x m f x ≥=+已知函数是定义在上的奇函数,当时,则的大致图像是

11.已知两条直线1l y a =:和218

21

l y a =

+: (其中0a >),

1l 与函数4log y x =的图像从左至右相交于点A ,B ,2l 与函数4log y x =的图像从左至右相交于点C ,D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分

别为,m n .当a 变化时,n

m

的最小值为 A. 4

B. 16

C. 112

D. 102

()()()()()

2

2

12.2,2,08

....x e e f x x f x xf x f x f x x A B C D '+==>设函数满足:则时,有极大值,无极小值有极小值,无极大值既有极大值,又有极小值

既无极大值,又无极小值

二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)

4313.,3525,351x y x y x y z x y x -≤-??

+≤=++??≥?

已知实数满足约束条件那么的最大值等于

{}3

2330

14.9,3,n a a S x dx q ===

?等比数列中,前三项和则公比

()

()()15.sin ,cos 20,1,1,,tan a b a b αααπ

α=+<<=-⊥=

已知若则

16.已知函数()f x 定义在R 上,对任意的x R ∈, (1001)f x +=已知(11)1f =,

则(2013)=f

三.解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17()10分. 在△ABC 中,已知cos cos cos cos 0C A B A B +-=. (1)求角B 的大小;

(2)若1a c +=,求b 的取值范围.

18(12分). 数列{}n b 满足()1

11

2,2,.1n n n b b b n n N b -+-==≥∈+,

(1)求数列{}n b 的通项公式;

(2)求数列12n n b +??

????

的前n 项和n T .

19.(12分)2013年第三季度,国家电网决定对城镇居民民用电计费标准做出调整,并根据用电情况将

居民分为三类: 第一类的用电区间在(0,170],第二类在(170,260],第三类在(260,)+∞(单位:千瓦时). 某小区共有1000户居民,现对他们的用电情况进行调查,得到频率分布直方图如图所示. ⑴ 求该小区居民用电量的平均数;

⑵ 利用分层抽样的方法从该小区内选出10位居民代表,若从该10户居民代表中任选两户居民,求这两户居民用电资费属于不同类型的概率;

⑶ 若该小区长期保持着这一用电消耗水平,电力部门为鼓励其节约用电,连续10个月,每个月从该小区居民中随机抽取1户,若取到的是第一类居民,则发放礼品一份,设X 为获奖户数,求X 的数学期望()E X 与方差()D X .

20(12分).如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,PA ⊥底面ABCD ,1,PA AB AD ===点F 是PB 的中点,点E 在边BC 上移动.

(1)点E 为BC 的中点时,试判断EF 与平面PAC 的位置关系,并说明由; (2)求证:无论点E 在BC 边的何处,都有PE AF ⊥;

(3)当BE 为何值时,PA 与平面PDE 所成角的大小为045.

21(12分).已知两定点(2,0),(2,0),E F -动点P 满足0PE PF ?=,由点P 向x 轴作垂线段,PQ

垂足为,Q 点M 满足PM MQ =,点M 的轨迹为C . (1)求曲线C 的方程;

(2)过点(0,2)D -作直线l 与C 交于,A B 两点,点N 满足ON OA OB =+(O 为原点),求四边形OANB 面积的最大值,并求此时的直线l 的方程.

22.(12分)已知函数11

()()ln (1)f x a x x a a x

=+

+->. (1)讨论函数()f x 在(0,1)上的单调性;

(2)当3a ≥时,曲线()y f x =上总存在相异两点,11(,())P x f x ,22(,())Q x f x ,使得()y f x = 曲线在P 、Q 处的切线互相平行,求证:126

5

x x +>

.

桂林市十八中12级高三月考一

数学(理科)答案

2213. 1

14.12

-或 15. 1- 16. 1

三.解答题(70分)

18(12分)解: (1) 12b =

∵111n n n b b b --=+,∴1111n n b b -=+,即1

11

1(2)n n n b b --=≥

∴1n b ???

???

是首项为12,公差为1的等差数列 ∴1121

(1)122

n n n b -=+-?=

,即2()21n b n N n *=∈-

6分

()()()()()()()()()

()()1

232341

23123111

1222,2122112325221221232522122222221222222212412222121223266n n n n n n n n n n n n n n n n n b n n b T n T n T n T n n n ++++-++=

=-?-∴=?+?+?++-?=?+?+?++-?=++++--?∴=--++

++-?-=--?

+-?-=-?+则得

①②

①-②-

19(12分).解:(1) 平均数为1200.005201400.075201600.020201800.00520??+??+??+??

2000.003202200.00220156.8+??+??=

4分 (2) 由频率分布直方图可知,采用分层抽样抽取10户居民,其中8户为第一类用户,2户为第二类用户,

则从该10户居民中抽取2户居民且这两户居民用电资费不属于同一类型的概率为118221016

45

C C C =

4分

(3) 由题可知,该小区内第一类用电户占80%,则每月从该小区内随机抽取1户居民,是第一类居民的概率为0.8,则连续10个月抽取,获奖人数X 的数学期望100.88EX np ==?=,方差(1)100.80.2 1.6DX np p =-=??=4分

20.解:(1)当点E 为BC 的中点时,EF 与平面P AC 平行.

∵在△PBC 中,E 、F 分别为BC 、PB 的中点,∴EF ∥PC . 又EF ?平面P AC ,而PC ?平面P AC , ∴EF ∥平面P AC . 2分

(2)证明:建立如图所示空间直角坐标系,则 P (0,0,1),B (0,1,0),

F (0,

12,1

2

),D

,0,0), 设BE =x (0≤x

),则E (x,1,0),

PE AF ?=(x,1,-1)·

(0,12,1

2

)=0,∴PE ⊥AF . 4分

(3)设平面PDE 的法向量为m =(p ,q,1),

由0,0.

m PD m PE ??=???=??,得m =

1-,1).

而AP →

=(0,0,1),依题意P A 与平面PDE 所成角为45°,

所以sin45°=22=|m ·AP →||m ||AP →|,∴113+(1-x 3)2+1=1

2

得BE =x =3-2或BE =x =3+2>3(舍).

故BE =3-2时,P A 与平面PDE 所成角为45°6分.

21(12分)解(1)

动点P 满足0PE PF ?=,∴点P 的轨迹是以E F 为直径的圆,

∴动点P 的轨迹方程为224x y += …………2分

设M(x,y)是曲线C 上任一点,因为PM ⊥x 轴,PM MQ =,∴点P 的坐标为(x ,2y )

点P 在圆224x y +=上,∴ 22

(2)4x y += ,

∴曲线C 的方程是2

214

x

y += …………2分

(2)因为OB OA ON +=,所以四边形OANB 为平行四边形, 当直线l 的斜率不存在时显然不符合题意;

当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为2y kx =-,l 与椭圆交于1122(,),(,)A x y B x y 两点,由

22

214

y kx x y =-???+=??得22

1+4k )16120x kx -+=( …………2分 由222

1648(14)0k k ?=-+>,得234

k >

1212

221612

,1414k x x x x k k ∴

+==++

………………2分 12121

||||||,

2OAB S OD x x x x ?=-=-

1222||OANB

OAB S

S x x ?∴==-==

==2分 令243k t -=,则243k t =+(由上可知0t >),

2OANB S

==≤=当且仅当4,t =即2

74k =时取等号; ∴

当k =平行四边形OANB 面积的最大值为2 此时直线l

的方程为2y x =-…………2分

22(12分)解:(1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞.

求导数,得2222111

()1()()

1()1a x a x x a x a a a f x x x x x

+

-++--'=--=-=-, 令()0f x '=,解得x a =或1

x a

=.

∵1a >,∴1

01a <<,

∴当10x a <<时,()0f x '<;当1

1x a <<时,()0f x '>.

故()f x 在1(0,)a 上单调递减,在1

(,1)a

上单调递增.………………6分

(2)由题意得,当3a ≥时,1212()()(,0f x f x x x ''=>且12x x ≠,

即221122

11

1111a a a a x x x x +

+

--=-- ∴12

1212

111x x a a x x x x ++

=+=

. 12121212,0(

2

x x x x x x x x +>≠∴<2

且,)恒成立

1212212121212

1414+0()x x x x a x x x x a x x x x +>>∴+=>++又整理得12

4

+1x x a a >+

令22224

441-()'()011(1a a g a g a a a a a

===<+++()

则) 所以()g a 在[)3,+∞上单调递减,所以()g a 在[)3,+∞上的最大值为6(3)5g =

126

+5

x x ∴> …………6分 11.设(,),(,),(,),(,)A A B B C C D D A x y B x y C x y D x y ,

则4a A x -=,4a

B x =,1821

4

a C x -

+=,1821

4

a D x +=,

则1821

18

2144

44a

a a

a n m

+--+-=-,分子与分母同乘以18

214a a ++ 可得183********a a a a n

m

++++==,

又363622*********a a a a +

=++-≥-=++, 当且仅当216a +=,即5

2

a =时,“=”成立, 所以n m

的最小值为112.

()()()()()()()()()()()()()()

()()()()(

)()()

()2

2

20003

03201222,20,20010

00,222,02=22x t t x x t x x

x t x x

x

x t x x

x e x f x x

e e x

f x dt f x dt

t t

x e e dt

t

f x x x e e

g x e dt g x t x

x e

x g x g x g x

g x f x f x x

x e x g x g x g x

e g x e dt e x t

'??=??∴=?=-'∴=

-'=-=

-'∈=''∴=?>-=-?????12.解:由已知得设则当时,在上递减

当时,又()()()()()()()()()()()()()23

3

2820

02,202==0

20,f x g x g e f g x f x f x x

g x f x f f x ∴>=-=''∴=

>?+∞''∴>≥∴+∞在上递增

当时,在上递增故选D

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