第十七章定积分及其应用
积分学的另一个基本概念是定积分．本章我们将阐明定积分的定义，它的基本性质以及它的应用．此外，我们要重点讲述沟通微分法与积分法之间关系的微积分学基本定理，它把过去一直分开研究的微分和积分彼此互逆地联系起来，成为一个有机的整体．最后，我们把定积分的概念加以推广，简要讨论两类广义积分．
定积分是高数中的另一个重要概念，它的思想方法适用于非均匀变化同时又具有可加性的量求总和的所有实际问题，以历史上看定积分是为了计算平面上封闭曲线围成的图形的面积而产生，而平面上封闭曲线所围成的平面图形的面积计算，又依赖于曲边梯形的面积的计算。
§1 定积分的概念
一、两个实例
1、曲边梯形的面积
①什么是曲边梯形
设)
x
(≥
f．由曲线)
y=，直
f
(x
)
f
a上的连续函数，且0
y=为闭区间]
(x
,
[b
线b
,
a上的曲边梯
f在]
[b
=,及x轴所围成的平面图形(图6—1)称为)
x
a
x=
(x
形，试求这曲边梯形的面积．
图6—1
我们先来分析计算会遇到的困难．由于曲边梯形的高)
(x
f是随x而变化的，
所以不能直接按矩形或直角梯形的面积公式去计算它的面积．但我们可以用平行于y 轴的直线将曲边梯形细分为许多小曲边梯形如图6—1所示．在每个小曲边梯形以其底边一点的函数值为高，得到相应的小矩形，把所有这些小矩形的面积加起来，就得到原曲边梯形面积的近似值．容易想象，把曲边梯形分得越细，所得到的近似值就愈接近原曲边梯形的面积，从而运用极限的思想就为曲边梯形面积的计算提供了一种方法．下面我们分三步进行具体讨论：
(1) 分割 在],[b a 中任意插入1-n 个分点
b
x x x x x a n n =<<<<<=-1210
把],[b a 分成n 个子区间],[10x x ，],[21x x ，…，],[1n n x x -，每个子区间的长度为
1--=?i i i x x x ),,2,1( n i =．
(2) 近似求和 在每个子区间],[1i i x x -),,2,1( n i =上任取一点i ξ，作和式
i n
i i x f ?∑
=1
)(ξ (1.1)
(3) 取极限 当上述分割越来越细(即分点越来越多，同时各个子区间的长度越来越小)时，和式(1.1)的值就越来越接近曲边梯形的面积(记作A )．因此当最长的子区间的长度趋于零时，就有
A x f i n
i i →?∑=1
)(ξ．即i n
i i x f lin
A ?=∑
=→1
)(ξλ
例2 求变速直线运动的路程
设某物体作直线运动，其速度v 是时间t 的连续函数)(t v v =．试求该物体从时刻a t =到时刻b t =一段时间内所经过的路程s ．
因为)(t v v =是变量，我们不能直接用时间乘速度来计算路程．但我们仍可以用类似于计算曲边梯形面积的方法与步骤来解决所述问题．
(1) 用分点b t t t t t a n n =<<<<<=-1210
把时间区间],[b a 任意分成n 个子区间(图6—2)：],[10t t ，],[21t t ，…，],[1n n t t -． 每个子区间的长度为1--=?i i i t t t (n i ,2,1=)．
(2) 在每个子区间],[1i i t t - (n i ,2,1=)上任取一点i τ，作和式 i n
i i t v ?∑=1)(τ．
(3) 当分点的个数无限地增加，最长的子区间的长度趋于零时就有 s t v i n
i i →?∑=1)(τ．即()()∑=→?=n
i ti i V Lim
t S 1
ξλ
以上两个问题分别来自于几何与物理中，两者的性质截然不同，但是确定它们的量所使用的数学方法是一样的，即归结为对某个量进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都转化为具有特定结构的和式(1.1)的极限问题，在自然科学和工程技术中有很多问题，如变力沿直线作功，物质曲线的质量、平均值、弧长等，都需要用类似的方法去解决，从而促使人们对这种和式的极限问题加以抽象的研究，由此产生了定积分的概念． 二、定积分的定义
设函数()x f y =在区间[a 、b]内任意插入1-n 个分点：
0x a =<
1x
将[a 、b]分成几个α区间[]i i x x ,1-其长度记为 1--=?i i i x x x （n i 1=），在每一个α区间[]i i x x ,1-上任取点i ξ，作和式()∑=?n
i i i x f 1ξ，记{}i x ?=max λ，如果
当0→λ，和式的极限存，且极限值不依赖于i ξ的选取和对区间的分法，则此极限值叫做()x f 在[a 、b]上的定积分，记为：
()()i
n
i i b a
x f Lim
dx x f ?=∑
?
=→1
ξλ
其中?叫积分号，()x f 叫被积函数，()dx x f 叫做被积表达式，x 叫积分变量，a 、b 叫积分下限和上限[a 、b]叫积分区间，()dx x f b
a ?存在积()x f 在[a 、
b]上可积。
关于定积分的定义，再强调说明几点：
(1) 区间],[b a 划分的细密程度不能仅由分点个数的多少或n 的大小来确定．因为尽管n 很大，但每一个子区间的长度却不一定都很小．所以在求和式的极限时，必须要求最长的子区间的长度0→λ，这时必然有∞→n ．
(2) 定义中的两个“任取”意味着这是一种具有特定结构的极限，它不同于第二章讲述的函数极限．尽管和式(1.1)随着区间的不同划分及介点的不同选取而不断变化着，但当0→λ时却都以唯一确定的值为极限．只有这时，我们才说定积分存在．
(3) 从定义可以推出定积分(1.2)存在的必要条件是被积函数)(x f 在],[b a 上有界．因为如果不然，当把],[b a 任意划分成n 个子区间后，)(x f 至少在其中某一个子区间上无界．于是适当选取介点i ξ，能使)(i f ξ的绝对值任意地大，也就是能使和式(1.1)的绝对值任意大，从而不可能趋于某个确定的值．
(4) 由定义可知，当)(x f 在区间],[b a 上的定积分存在时，它的值只与被积函数)(x f 以及积分区间],[b a 有关，而与积分变量x 无关，所以定积分的值不会因积分变量的改变而改变，即有
?
?
?
=
==
b
a
b
a
b
a
du u f dt t f dx x f )()()( ．
(5) 我们仅对b a <的情形定义了积分?b a
dx x f )(，为了今后使用方便，对
b
a =与
b a >的情况作如下补充规定：
当b a =时，规定0)(=?b a
dx x f ； 当b a >时，规定??-=a
b
b
a
dx x f dx x f )()(．
三、定积分的几何意义
根据定积分的定义，我们说：例1中)(x f 在],[b a 上的曲边梯形的面积就是曲线的纵坐标)(x f 从a 到b 的定积分?
=
b
a
dx x f A )(．
它就是定积分的几何意义．注意到若0)(≤x f ，则由0)(≤i f ξ及0>?i x 可知?≤b
a dx x f 0)(．这时曲边梯形位于x 轴的下方，我们就认为它的面积是负的．因
此当)(x f 在区间],[b a 上的值有正有负时，定积分?b
a
dx x f )(的值就是各个曲边梯
说明：①和式极限与[a 、b]的分法，i ξ的选取无关；
②→λ0则∞→n ，但∞→n ，0→λ（不一定）； ③()dx x f b
a ? 与()x f 和a 、
b 有关；
④定义中ab
在区间[a 、b]上连续或在[a 、b]上有界，且最多只有有限个第一类间断点的函数是可积的。
例1 利用定积分几何意义判断定积分?
-=2
1
2
dx x S 的值是正还是负。
例2.用定积分的几何意义求?-1
0)1(dx x .
解: 函数y =1-x 在区间[0, 1]上的定积分是以y =1-x 为曲边,以区间[0, 1]
为底的曲边梯形的面积. 因为以y =1-x 为曲边,以区间[0, 1]为底的曲边梯形
是一直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以2
1112
1)1(1
0=??=-?dx x .
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§2定积分的性质
一、定积分的性质
1、两点规定: 0)(=?a
a
dx x f ，??-=a
b
b
a
dx x f dx x f )()( 。
2．积分的线性性质
（1）性质1、若)(x f ，)(x g 在],[b a 上可积，则)()(x g x f ±在],[b a 上也可积，且?
?
?±
=
±b
a
b
a
b
a dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([． (1.3)
（2）性质2、若)(x f 在],[b a 上可积，k 为常数，则)(x kf 在],[b a 上可积，且
??=b
a
b
a
dx x f k dx x kf )()( (1.4)
证明: 根据定义，有（1）?±b
a dx x g x f )]()([∑=→?±=n
i i i i x g f 1
)]()([lim
ξξλ
∑∑
=→=→?±?=n
i i i n
i i i x g x f 1
1
)(lim
)(lim
ξξλλ
??±=b
a b
a dx x g dx x f )()(. （2）?∑
∑
?=?=?==→=→b
a
n
i i i n
i i i b
a dx
x f k x f k x kf dx x kf )()(lim
)(lim
)(1
1
ξξλλ．
3. 性质3---积分对区间的可加性 设)(x f 是可积函数，则
?
?
?
+
=
b
c
c
a
b
a
dx x f dx x f dx x f )()()( (1.5)
对c b a , ,任何顺序都成立．
证 先考虑b c a << 的情形．由于)(x f 在],[b a 上可积，所以不论将区间
],[b a 如何划分，介点i ξ如何选取，和式的极限总是存在的．因此，我们把c
始
终作为一个分点，并将和式分成两部分：
i i i i i i x f x f x f ?+
?=
?∑
∑
∑
2
1
)()()(ξξξ，
其中∑∑21,分别为区间],[c a 与],[b c 上的和式．令最长的小区间的长度
0→λ，上式两边取极限，即得(1.5)式．
对于其它顺序，例如c b a << ，有
?
?
?
+
=
c
b
b
a
c
a
dx x f dx x f dx x f )()()(，
所以?
?
?-
=
c
b
c
a
b
a dx x f dx x f dx x f )()()(
?
?
+
=
b
c
c
a dx
x f dx x f )()( ． (1.5)式仍成立．
4.性质4 如果在区间[a b ]上f (x )≡1 则a
b dx
dx b
a b
a
-==
??1.
5.性质5――积分的不等式性质 若)(x f 在],[b a 上可积，且0)(≥x f ，则
0)(≥?
b
a
dx x f ．
推论1 若)(x f ，)(x g 在],[b a 上可积， 且)()(x g x f ≤，则 ?
?≤
b
a
b
a dx x g dx x f )()(
证 ?
??-=
-b
a
b
a b a
dx x f x g dx x f dx x g )]()([)()(
i n
i i i
x f g ?-=∑=→1
)]()([lim
ξξ
λ．
由假设知0)()(≥-i i f g ξξ，且0>?i x ),,2,1( n i =， 所以上式右边的极限值为非负，从而有?
?≥
b
a
b
a dx x f dx x g )()(．
6.性质6--积分估值 若)(x f 在],[b a 上可积，且存在常数m 和M ，使对一切
],[b a x ∈有M
x f m ≤≤)(，则
)()()(a b M dx x f a b m b
a
-≤≤-?
．
7.性质7--积分中值定理 若)(x f 在],[b a 上连续，则在],[b a 上至少存在一点ξ，
使得))(()(a b f dx x f b
a
-=?ξ． (1.7)
证 因为)(x f 在],[b a 上连续，所以)(x f 在],[b a 上可积，且有最小值m 和最大值M ．于是在],[b a 上，)()()(a b M dx x f a b m b
a
-≤≤-?
，
或
M
a
b dx x f m b
a
≤-≤
?
)(．
根据连续函数的介值定理可知，在],[b a 上至少存在一点ξ，使
)
()(ξf b dx x f b
a
=?
所以(1.7)式成立．积分中值定理的几何意义
如图6—4
例4 估计定积分?--2
1
2
dx e
x
的值
解：()2
2'
x
xe
x f --= 令()0'=x f 0=x
比较()100==e f ，()11-=-e f ，()4 2 -=e f
∴()[])1(2()0(12f(2)2
1
2
--≤≤--?--f dx e x
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§3 定积分学的基本公式（牛顿——莱布尼兹公式）
若已知)(x f 在] ,[b a 上的定积分存在，怎样计算这个积分值呢？如果利用定积分的定义，由于需要计算一个和式的极限，可以想象，即使是很简单的被积函数，那也是十分困难的．本节将通过揭示微分和积分的关系，引出一个简捷的定积分的计算公式． 一．变上限的定积分
前一次讲了定积分的定义与性质
?
∑
=→?=b
a
n
i i
i x f dx x f 1
)(lim
)(ξλ 其中 {}
)
,...2,1(max n i x i =?=λ
我要指出的是定积分的存在性，只要)(x f 在],[b a 上连续，定积分一定存在。但与积分变量x 无关。即
?
?
?
=
=
b
a
b
a
b
a
dt t f du u f dx x f )()()(
1．积分上限函数
定义：设)(x f 在],[b a 上连续，任取一点],[b a x ∈，定积分?x
a
dt t f )(有意义，
若积分上限x 在],[b a 上每取一个值，定积分?x
a
dt t f )(总有一个值与x 相对应，
即在],[b a 上定义了一个函数，记
],[)()(b a x dt
t f x x
a
∈=
Φ?
则，此函数称为积分上限函数。(如图一 阴影部分
2．积分上限函数的导数
定理1 (原函数存在定理)：若)(x f 在],[b a 上连续则?
=
Φx
a
dt t f x )()(可导 且 )())(()('
'x f dt t f x x
a
==Φ?也就是说)(x Φ是)
(x f 在] ,[b a 上的一个原函数．
证明：用导数定义证明
（１）给出x ?
?
?+=
?+Φx
x a
dt t f x x )()(
)()(x x x Φ-?+Φ=?Φ
?
?
-
=
?+x
a
x
x a
dt t f dt t f )()(
由定积分的区间可加性，得：
?
?+=
?Φx
x x
dt t f )(
由积分中值定理，得：
)()(x x x x
f ?+<
（２）求比值
)(ξf x
=??Φ
（３）求极限
x
x x ??Φ=Φ→?0
'lim
)(
)(lim 0
ξf x →?=
)(lim ξξf x
→= （由于)(x f 在],[b a 连续）
)(x f =
即 )())(()(''x f dt t f x x
a ==Φ?],[
b a x ∈
可见积分上限函数)(x Φ是被积函数的原函数。 推论： )()]([))(('
')
(x x f dt t f x a
φφφ=?
本定理回答了我们自第五章以来一直关心的原函数的存在问题．它明确地告诉我们：连续函数必有原函数，并以变上限积分的形式具体地给出了连续函数)(x f 的一个原函数．
回顾微分与不定积分先后作用的结果可能相差一个常数．这里若把
)
()(x f x =Φ'写成
)
( )(x f dt t f dx
d x
a
=?
，
或从 dx x f x d )()(=Φ推得
)()( )(x dt t f t d x
a
x
a
Φ==
Φ?
?，
就明显看出微分和变上限积分确为一对互逆的运算．从而使得微分和积分这两个看似互不相干的概念彼此互逆地联系起来，组成一个有机的整体．因此定理1也被称为微积分学基本定理． 例1：求上限函数的导数 1、求 ?
=
x
dt t y 02
)sin(对x 的导数
解：?=x
dt t y 0
2)')sin((')sin(2t =︳t=x =sin(x 2
)
2、设
二．牛顿——莱布尼兹公式
定理2、若 （ⅰ）设)(x f 在],[b a 上连续（ⅱ）)()('x f x F = ],[b a x ∈ 则 )()()(a F b F dx x f b
a -=?
此公式称为微积分基本公式或称牛顿—莱布尼兹公式 证明： 由条件（ⅰ）可设?
=
Φx
a
dt t f x )()(且],[)
()('
b a x x f x ∈=Φ
由条件（ⅱ）可得
],[0
)()('
'
b a x x x F ∈=Φ-
c x x F =Φ-?)()( ],[b a x ∈（拉氏定理推论）
当a x =时， c a a F =Φ-)()( )(0
)()(a F c dt t f a a
a
=∴==
Φ?
于是 )
()()(a F x x F =Φ-],[b a x ∈
或 )()()(a F x F x -=Φ 当b x =时 )()()(a F b F b -=Φ
即 )()()(a F b F dx x f b a
-=? 记：)
()()
()(a F b F x F dx x f b a
b
a
-==?
此公式就是著名的牛顿——莱布尼兹公式，简称N —L 公式．它进一步揭示了定积分与原函数之间的联系：)(x f 在] ,[b a 上的定积分等于它的任一原函数
)(x F 在] ,[b a 上的增量，即先求被积函数)
(x f 的原函数)(x F ,然后用原函数)(x F 的上限值)(b F 减去原函数)(x F 的下限值)
(a F .从此公式可知求定积分时，
可以不用分割、求和、取极限的方法。它为我们计算定积分开辟了一条新的途径．它把定积分的计算转化为求它的被积函数)(x f 的任意一个原函数，或者说转化为求)(x f 的不定积分．在这之前，我们只会从定积分的定义去求定积分的值，那是十分困难的，甚至是不可能的．因此N —L 公式也被称为微积分学基本公式．
例3 计算下列定积分 (1)；?1
02
dx
x
. (2)；?
-+3
1
2
1x
dx (3)；?--1
21dx x
（1） 解: 由于33
1x 是2
x 的一个原函数, 所以3
1
031131]31[331031
02=
?-?==?x dx x 。 （2） 解 由于arctan x 是
2
11
x +的一个原函数, 所以
?
-+3
1
2
1x
dx 31
-=arctgx
)1arctan(3arctan --=πππ12
7)4 (3 =--=
.
（3） 解: 1
212|]|[ln 1
----=?x dx x
=ln 1-ln 2=-ln 2.
例4. 计算正弦曲线y =sin x 在[0, ]上与x 轴所围成的平面图形的面积. 解: 这图形是曲边梯形的一个特例. 它的面积 A=?π
sin xdx 2)0cos (cos cos 0
=--=-=ππ
x
例5．计算 ?--..31
1dx x ．
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§3 定积分的换元积分法与部分积分法
有了牛顿——莱布尼兹公式，使人感到有关定积分的计算问题已经完全解决．但是能计算与计算是否简便相比，后者则提出更高的要求．在定积分的计算中，除了应用N —L 公式，我们还可以利用它的一些特有性质，如定积分的值与积分变量无关，积分对区间的可加性等，所以与不定积分相比，使用定积分的换元积分法与分布积分法会更加方便．
1. 定积分的换元积分法
定理1 设函数)(x f 在] ,[b a 上连续，函数)(t x ?=在I (] ,[βα=I 或] ,[αβ)上有连续的导数，并且a =)(α?，b =)(β?，)( )(I t b t a ∈≤≤?，则
??'=
b
a dt
t t f dx x f β
α
??)()]([)( (3.1)
证 由于)(x f 与)()]([t t f ??'皆为连续函数，所以它们存在原函数，设)(x F 是
)(x f 在[]b a ,上的一个原函数，由复合函数导数的链式法则有
)()]([)()()()())]([(t t f t x f t x F t F ?????'='=''='，
可见)]([t F ?是)()]([t t f ??'的一个原函数．利用N —L 公式，即得
?
?=
-=-=='b
a
dx x f a F b F F F t F t t f )()()()]([)]([)]
([ )()]([α?β????β
α
β
α
．
所以(3.1)式成立．
公式(3.1)称为定积分的换元公式．若从左到右使用公式(代入换元)，换元时应注意同时换积分限．还要求换元)(t x ?=应在单调区间上进行．当找到新变量的原函数后不必代回原变量而直接用N —L 公式，这正是定积分换元法的简便之处．若从右到左使用公式(凑微分换元)，则如同不定积分第一换元法，可以不必换元，当然也就不必换积分限． 例1 计算?-a
dx x a 022(a >0). 解
???-=20
sin 0
2
2cos cos
π
tdt a t a dx x a t
a x a
令
??+=
=20
2
20
2
2
)2c o s 1(2
c o s π
π
dt t a tdt a
220
2
4
1]2s i n 21[2a t t a ππ
=+=。
提示: t a t a a x a cos sin 22222=-=-, dx =a cos t .
当x =0时t =0, 当x =a 时2
π=t .
例2 。计算下列定积分
(1) ?
--1
4
31
1x dx ； (2) dx
x
x
1210
2
2
?
-；(3) dx x x sin cos 2
5?π
；
解 (1) 令t x =-1，则21t x -=，dt t dx 2-=，且当t 从0变到2
1时，x 从1
减到
4
3．于是原式?
?-+
=--=0
21
2
1 )1
11(21
2dt
t t dt t []
2ln 21 1 ln 22
10
-=-+=t t ．
(2) 令t x sin =，则dt t dx cos =，且当t 从0变到
2
1时，x 从0增到
6
π
．于是
原式??
==
66
2
2
sin
cos cos sin
π
π
dt t dt t t
t
831242sin 260
-=??????-
=ππ
t t
(3) 原式6
16
cos
cos cos 2
2
6
5
=
-
=-=?π
π
x
x d x ．
例3 设)(x f 在],[a a -上连续，当)(x f 为偶函数时，??=-a
a
a
dx x f dx x f 0
)(2)( ．
特别当)(x f 为奇函数时，0)(=?-a
a
dx x f ；
证： 因为
?
?
?
+
=
--a
a
a
a
dx x f dx x f dx x f 0
)()()(，
在?-0)(a
dx x f 中，令t x -=，得
?
??
-=
--=-a
a
a
dx x f dt t f dx x f 0
)()()(．
所以
?
?
-+=
-a
a
a
dx x f x f dx x f 0
)]()([)(．
当)(x f 为奇函数时，)()(x f x f -=-，故0)()(=-+x f x f ，从而有 0)(=?-a
a
dx x f ．
当)(x f 为偶函数时，)()(x f x f =-，故)(2)()(x f x f x f =-+，从而有
??
=-a
a
a
dx x f dx x f 0
)(2)(．
例2的结果今后经常作为公式使用．例如我们可以直接写出 ?-=π
π
0cos 3xdx x ，
πππ
π
==??dx x dx x x 2
0sin sin ．
2. 定积分的分部积分法
定理2 若)(x u ，)(x v 在] ,[b a 上有连续的导数，则
??
'-='b
a
b
a
b a
dx x u x v x v x u dx x v x u )()()
()()()(． (3.2)
证 因为
)()()()(])()([x v x u x v x u x v x u '+'='， b x a ≤≤．
所以)()(x v x u 是)()()()(x v x u x v x u '+'在],[b a 上的一个原函数，应用N —L 公式，得
?='+'b
a b a
x v x u dx x v x u x v x u )()()]()()()([， 利用积分的线性性质并移项即得(3.2)式．
公式(3.2)称为定积分的分部积分公式，且简单地写作 ??-=b
a
b
a
b a
vdu uv udv (3.3) 例4 计算下列定积分：
(1)?2
1
0arcsin xdx ； (2) ?2
0sin π
xdx e x
； (3) ?-1
dx e x ．
解 (1) 原式dx x
x x
x ?
--
=212
102
1arcsin
12
312
12
1arcsin
2
12
10
2
-+
=
-+=
π
x
(2)?
?
?-
==
2
2
2
2
cos
sin sin sin π
ππ
πxdx e x e xde
xdx e x
x
x
x
xdx
e x e e
de
x e x
x
x
sin
cos cos 2
2
2
2
2
?
?
-
-=-
=π
π
π
π
π
xdx e e x
sin 12
2
?
-
+=π
π
．
所以 )1(2
1sin 22
+=
?π
πe xdx e x ．
(3)令t x =，则 ?
??---
-=?=
1
1
1
022t
t
x
tde
tdt e
dx e
t d e te t
t ?--+-=1
102 2
e
e e t
42221
1-
=--=--．
课后小结 课外作业
§5 定积分的几何应用
定积分是具有特定结构的和式的极限．如果从实际问题中产生的量(几何量或物理量)在某区间],[b a 上确定，当把],[b a 分成若干个子区间后，在],[b a 上的量Q 等于各个子区间上所对应的部分量Q ?之和(称量Q 对区间具有可加性)，我们就可以采用“分割、近似求和、取极限”的方法，通过定积分将量Q 求出．
现在我们来简化这个过程：在区间],[b a 上任取一点x ，当x 有增量x ?(等于它的微分dx )时，相应地量)(x Q Q =就有增量Q ?，它是Q 分布在子区间
],[dx x x +上的部分量．若Q
?的近似表达式为
dQ dx x f Q =≈?)(， 则以dx x f )(为被积表达式求从a 到b 的定积分．即得所求量 ?
=
b
a
dx x f Q )(．
这里的dx x f dQ )(=称为量Q 的微元，或元素，这种方法称为微元法．它虽然不够严密，但具有直观、简单、方便等特点，且结论正确．因此在实际问题的讨论中常常被采用．本节我们将讲述微元法在几何与物理两方面的应用．
一、平面图形的面积 1) 直角坐标的面积公式
根据定积分的几何意义，若)(x f 是区间],[b a 上的非负连续函数，则)(x f 在
],[b a 上的曲边梯形(图
6—1)的面积为?
=
b
a
dx x f A )(． (5.1)
若)(x f 在],[b a 上不都是非负的(图6—3)，则所围面积为
?
=
b
a
dx x f A )( ． (5.2)
一般地，若函数)(1x f 和)(2x f 在],[b a 上连续且总有)()(21x f x f ≤，则由两条连续曲线)(1x f y =，)(2x f y =与两条直线a x =，b x =所围的平面图形(图6—6)的面积元素为
dx x f x f dA )]()([12-=．
所以 ?
-=b
a
dx x f x f A )]()([12． (5.3)
图6—6
如果连续曲线的方程为)0( )(≥=y x ?，则由它与直线c y =，d y =(d c <)及y 轴所围成的平面图形(图6—7)的面积元素为
dy y dA )(?=． 所以 ?
=
d
c
dy y A )(?． (5.4)
图6—7
其它情形也容易写出与公式(5.2)、(5.3)相仿的公式．
例1 求由两条抛物线x y =2，2x y =所围图形(图6—8)的面积．
解 联立????
?==2
2x
y x
y
解得0=x 及1=x ．
所围的面积为
31313
2)(1
031
02
23
=??????-=-=?x x dx x x A ．例2 求由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围图形(图6—9)的面积． 解 联立
??
?-==4
22x y x
y 解得曲线与直线的交点
)2,2(-和)4,8(．
以x 为积分变量，则所求面积为
[
]
[
]dx x x dx x x A )4(2 )2(28
2
2
?
?
--+
--=
图6—9
18
423223
2228
2
2
2
2
32
3=??????+-+?
=x x x x
．
若以y 为积分变量，则
18642)24(4
2
3
24
22
=???
???-+=-+=--?y y y dy y
y A ．
从例2看出，适当选取积分变量，会给计算带来方便． 例3 求椭圆
12
22
2=+
b
y a
x 的面积 (图6—10)．
解 由于椭圆关于x 轴与y 轴都是对称的，故它的面积是位于第一象限内的面积的4倍．
?
?-==a
a
dx
x a a
b ydx A 0
2
2044
第六章 定积分的应用 第一节 定积分的元素法 教学目的:理解和掌握用定积分去解决实际问题的思想方法即定积分的元素法 教学重点：元素法的思想 教学难点：元素法的正确运用 教学内容： 一、 再论曲边梯形面积计算 设 f x ()在区间],[b a 上连续,且0)(≥x f ，求以曲线y f x =()为曲边,底为] ,[b a 的曲边梯形的面积A 。 1.化整为零 用任意一组分点 b x x x x x a n i i =<<<<<<=- 110 将区间分成 n 个小区间[,]x x i i -1,其长度为 ),,2,1(1n i x x x i i i =-=?- 并记 },,,m ax {21n x x x ???= λ 相应地，曲边梯形被划分成 n 个窄曲边梯形,第 i 个窄曲边梯形的面积记为 n i A i ,,2,1, =?。 于是 ∑=?= n i i A A 1 2.以不变高代替变高,以矩形代替曲边梯形，给出“零”的近似值
),,2,1(],[)(1n i x x x f A i i i i i i =∈??≈?-ξξ 3．积零为整，给出“整”的近似值 ∑=?≈ n i i i x f A 1 )(ξ 4．取极限，使近似值向精确值转化 ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f A )()(lim 1 ξλ 上述做法蕴含有如下两个实质性的问题: (１）若将],[b a 分成部分区间),,2,1(],[1n i x x i i =-，则 A 相应地分成部分量 ),,2,1(n i A i =?,而 ∑=?=n i i A A 1 这表明：所求量A 对于区间],[b a 具有可加性。 (2）用i i x f ?)(ξ近似i A ?，误差应是i x ?的高阶无穷小。 只有这样,和式 ∑=?n i i i x f 1 )(ξ的极限方才是精确值A 。故关键是确定 ))()(()(i i i i i i i x o x f A x f A ?=?-??≈?ξξ 通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼， 我们可以给出用定积分计算某个量的条件与步骤。 二、元素法 1.能用定积分计算的量U ，应满足下列三个条件 (1) U 与变量x 的变化区间],[b a 有关； (２) U 对于区间],[b a 具有可加性; (3) U 部分量i U ?可近似地表示成i i x f ??)(ξ。 2．写出计算U 的定积分表达式步骤
不定积分练习题一、选择题、填空题： 1、(1 sin2X )dx 2 2、若e x是f(x)的原函数，贝x2f(l nx)dx ___________ 3、sin(ln x)dx _______ 2 4、已知e x是f (x)的一个原函数，贝V f (tanx)sec2xdx ___________ : 5、在积分曲线族dx 中，过(1,1点的积分曲线是y _______________ 6、F'(x) f(x)，则f '(ax b)dx ____________ ; 、1 7、设f (x)dx 2 c,则 x 8、设xf (x)dx arcs in x c,贝V ---------- dx f(x) 9、f '(lnx) 1 x,则f (x) _______ ; 10、若f (x)在(a,b)内连续，则在(a,b)内f (x) _________ (A)必有导函数(B)必有原函数(C)必有界(D)必有极限 11、若xf (x)dx xsin x sin xdx,贝Vf (x) _____ 12、若F'(x) f(x), '(x) f(x),贝V f (x)dx ______ (A)F(x) (B) (x) (C) (x) c (D)F(x) (x) c 13 、 下列各式中正确的是：(A) d[ f (x)dx] f (x) (B)引 dx f (x)dx] f (x)dx (C) df(x) f(x) (D) df(x) f (x) c 14 、设f (x) e x,则： f(lnx) dx x 1 c x (A) 1 c x (B) lnx c (C) (D) ln x c ◎dx
第六章 定积分的应用 习题 6-2 (A) 1． 求下列函数与 x 轴所围部分的面积： ] 3,0[,86)1(2+-=x x y ] 3,0[, 2)2(2x x y -= 2． 求下列各图中阴影部分的面积： 1. 图 6-1 3．求由下列各曲线围成的图形的面积： ; 1,)1(===-x e y e y x x 与 ; )0(ln ,ln ,0ln )2(>>====a b b y a y x x y 与 ;0,2)3(2==-=y x y x x y 与 ; )1(,2)4(22--==x y x y ;0,2)1(4)5(2=-=-=y x y x y 与 ; 2,)6(2x y x y x y ===与 ; )0(2sin ,sin 2)7(π≤≤==x x y x y ; 8,2 )8(222 （两部分都要计算）=+=y x x y
4．的图形的面积。 所围成与直线求由曲线e x e x y x y ====-,,0ln 1 5．的面积。处的切线所围成的图形和及其在点求抛物线)0,3()3,0(342--+-=x x y 6．的面积。处的法线所围成的图形及其在点求抛物线),2 (22p p px y = 7．形的面积。与两坐标轴所围成的图求曲线a y x =+ 8．所围图形的面积。求椭圆 12 2 2 2 =+ b y a x 9．。与横轴所围图形的面积（的一拱求由摆线)20)cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x 10．轴之间的图形的面积。的切线的左方及下方与由该曲线过原点求位于曲线x e y x = 11．求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积： ;)0(sin 2)1(>=a a θρ ; )0()cos 2(2)2(>+=a a θρ ; 2cos 2)3(2（双纽线）θρ= 抛物体的体积。 轴旋转，计算所得旋转 所围成的图形绕及直线把抛物线x x x x ax y )0(4.12002>== 体的体积。 旋转轴旋转，计算所得两个轴及所围成的图形，分别绕由y x y x x y 0,2,.133=== 14．求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： ;,0,,0)1(轴绕与x y a x x a x ch a y ==== ;,2sin )2(轴绕与x x y x y π = = ; ,)2 0(cos sin )3(轴绕与x x x y x y π ≤≤== ; 0,2,ln )4(轴绕与y y x x y === ;0,2)5(2轴绕与y y x y x x y ==-= ; , 16)5()6(22轴绕y y x =+- 。产生的旋转体的体积旋转 轴绕轴所围的图形处的切线和及其在求由抛物线x x x y )2,0()1(4.152-= 积。轴旋转所得旋转体的体所围图形绕求x y x y x 2223,4.16≥ ≤+ 求其体积。 ， 图面都是等边三角形为底，垂直于长轴的截一立体以椭圆)26(125 100.1722 -≤+y x
成人高考（专升本）高等数学二 第一章极限和连续 第一节极限 [复习考试要求] 1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。 4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 第二节函数的连续性 [复习考试要求] 1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。 2.会求函数的间断点。 3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。 4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。 第二章一元函数微分学 第一节导数与微分 [复习考试要求] 1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。 2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。 3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。 4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。 5.了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。 6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。 第二节导数的应用 [复习考试要求] 1.熟练掌握用洛必达法则求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。 2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用函数的单调性证明简单的不等式。
第六章定积分的应用 教学目的 1、理解元素法的基本思想； 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体 积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。 3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。教学重点： 1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知 的立体体积。 2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点： 1、截面面积为已知的立体体积。 2、引力。 §6. 1 定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积: 设y=f (x)≥0 (x∈[a,b]).如果说积分, ?=b a dx x f A) (是以[a,b]为底的曲边梯形的面积,则积分上限函数 ?=x a dt t f x A)( ) ( 就是以[a,x]为底的曲边梯形的面积.而微分dA(x)=f (x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值?A≈f (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素. 以[a,b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式,以 [a,b]为积分区间的定积分: ?=b a dx x f A) (. 一般情况下,为求某一量U,先将此量分布在某一区间[a,b]上,分布在[a,x]上的量用函数U(x)表示,再求这一量的元素dU(x),设dU(x)=u(x)dx,然后以u(x)dx为被积表达式,以[a,b]为积分区间求定积分即得 ?=b a dx x f U) (.用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法).
§6. 2 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1．直角坐标情形 设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为 dx x f x f S b a ?-=)]()([下上. 类似地, 由左右两条曲线x =?左(y )与x =?右(y )及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图形的面积为 ?-=d c dy y y S )]()([左右??. 例1 计算抛物线y 2=x 、y =x 2所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在x 轴上的投影区间: [0, 1]. (3)确定上下曲线: 2)( ,)(x x f x x f ==下上. (4)计算积分 31]3132[)(10323102=-=-=?x x dx x x S . 例2 计算抛物线y 2=2x 与直线y =x -4所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在y 轴上的投影区间: [-2, 4]. (3)确定左右曲线: 4)( ,2 1)(2+==y y y y 右左??. (4)计算积分 ?--+=422)2 14(dy y y S 18]61421[4232=-+=-y y y . 例3 求椭圆12222=+b y a x 所围成的图形的面积. 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍, 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0, a ]. 因为面积元素为ydx , 所以 ?=a ydx S 04. 椭圆的参数方程为: x =a cos t , y =b sin t , 于是 ?=a ydx S 04?=0 )cos (sin 4πt a td b
不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题：、（ 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数，则： 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族 中，过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是： (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则：
第4章不定积分
习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 5 3 2 2 23x dx x C - - ==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?
思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式， 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。 解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?
第六章 定积分的应用 （A ） 1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1）2 2 1x y =与822=+y x （两部分都要计算） 2）x y 1 =与直线x y =及2=x 3）x e y =，x e y -=与直线1=x 4）θρcos 2a = 5）t a x 3 cos =，t a y 3 sin = １、求由摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的 面积 ２、求对数螺线θ ρae =()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积
３、求由曲线x y sin =和它在2 π= x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 ４、由3 x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体 的体积 ５、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的 立体体积 ６、计算曲线()x y -=33 3 上对应于31≤≤x 的一段弧的长度 ７、计算星形线t a x 3 cos =，t a y 3 sin =的全长 ８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力→ F （单位：N ）与伸长量S （单位：cm ）成
正比，即：kS =→ F （k 是比例常数），如果把弹簧内原长拉伸6cm ， 计算所作的功 ９、一物体按规律3 ct x =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0 =x 移到a x =时，克服介质阻力所作的功 １０、 设一锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？ １１、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20cm ，较长的底边与水 面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力 １２、 设有一长度为λ，线密度为u 的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处 有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力 (B) 1、设由抛物线()022 >=p px y 与直线p y x 2 3 = + 所围成的平面图形为D 1） 求D 的面积S ;2）将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积
第一章极限和连续 第一节极限 [复习考试要求] 1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。 4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 第二节函数的连续性 [复习考试要求] 1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。 2.会求函数的间断点。 3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。 4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。 第二章一元函数微分学 第一节导数与微分 [复习考试要求] 1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。 2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。 3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。 4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。 5.了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。 6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。 第二节导数的应用 [复习考试要求] 1.熟练掌握用洛必达法则求“0〃∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。 2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用函数的单调性证明简单的不等式。 3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。 4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。 5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线 第三章一元函数积分学 第一节不定积分 [复习考试要求] 1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。 2.熟练掌握不定积分的基本公式。 3.熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换）。 4.熟练掌握不定积分的分部积分法。 5. 掌握简单有理函数不定积分的计算。 第二节定积分及其应用 [复习考试要求] 1.理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件 2.掌握定积分的基本性质 3.理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法。 4.熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。 5.掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 6.理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。 7.掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。 第四章多元函数微分学 [复习考试要求] 1.了解多元函数的概念，会求二元函数的定义域。了解二元函数的几何意义。 2.了解二元函数的极限与连续的概念。 3.理解二元函数一阶偏导数和全微分的概念，掌握二元函数的一阶偏导数的求法。掌握二元函数的二阶偏导数的求法，掌握二元函数的全微分的求法。 4.掌握复合函数与隐函数的一阶偏导数的求法。 5.会求二元函数的无条件极值和条件极值。 6.会用二元函数的无条件极值及条件极值解简单的实际问题。 第五章概率论初步 [复习考试要求] 1.了解随机现象、随机试验的基本特点；理解基本事件、样本空间、随机事件的概念。 2.掌握事件之间的关系：包含关系、相等关系、互不相容关系及对立关系。 3.理解事件之间并（和）、交（积）、差运算的意义，掌握其运算规律。 4.理解概率的古典型意义，掌握事件概率的基本性质及事件概率的计算。 5.会求事件的条件概率；掌握概率的乘法公式及事件的独立性。 6.了解随机变量的概念及其分布函数。 7.理解离散性随机变量的意义及其概率分布掌握概率分布的计算方法。 8.会求离散性随机变量的数学期望、方差和标准差。 第一章极限和连续 第一节极限 [复习考试要求] 1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。 4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 [主要知识内容] （一）数列的极限 1.数列 定义按一定顺序排列的无穷多个数 称为无穷数列，简称数列，记作{x n }，数列中每一个数称为数列的项，第n 项x n 为数列的一般项或通项，例如 （1）1，3，5，…，（2n -1），…（等差数列） （2）（等比数列） （3） （递增数列） （4）1，0，1，0，…，…（震荡数列） 都是数列。它们的一般项分别为 （2n-1）,。 对于每一个正整数n ，都有一个x n 与之对应，所以说数列{x n }可看作自变量n 的函数x n =f （n ），它的定义域是全体正整数，当自变量n 依次取1,2,3…一切正整数时，对应的函数值就排列成数列。 在几何上，数列{x n }可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点x 1,x 2,x 3,...x n,…。 2.数列的极限 定义对于数列{x n }，如果当n →∞时，x n 无限地趋于一个确定的常数A ，则称当n 趋于无穷大时，数列{x n }以常数A 为极限，或称数列收敛于A ，记作 比如： 无限的趋向0 ，无限的趋向1 否则，对于数列{x n }，如果当n →∞时，x n 不是无限地趋于一个确定的常数，称数列{x n }没有极限，如果数列没有极限，就称数列是发散的。 比如：1，3，5，…，（2n-1），… 1，0，1，0，… 数列极限的几何意义：将常数A 及数列的项依次用数轴上的点表示，若数列{x n }以 A 为极限，就表示当n 趋于无穷大时，点x n 可以无限靠近点A ，即点x n 与点A 之间的距离|x n -A| 趋于0。 比如： 无限的趋向0 无限的趋向1 （二）数列极限的性质与运算法则 1.数列极限的性质 定理1.1（惟一性）若数列{x n }收敛，则其极限值必定惟一。 定理1.2（有界性）若数列{x n }收敛，则它必定有界。 注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界数列不一定收敛。比如： 1，0，1，0，…有界：0，1 2.数列极限的存在准则 定理1.3（两面夹准则）若数列{x n },{y n },{z n }满足以下条件： （1） ， （2）， 则 定理1.4若数列{x n }单调有界，则它必有极限。 3.数列极限的四则运算定理。 定理1.5 （1） （2） （3）当时， （三）函数极限的概念 1.当x →x 0时函数f （x ）的极限 （1）当x →x 0时f （x ）的极限 定义对于函数y=f （x ），如果当x 无限地趋于x 0时，函数f （x ）无限地趋于一个常数A ，则称当x →x 0时，函数f （x ）的极限是A ，记作 或f （x ）→A （当x →x 0时） 例y=f （x ）=2x+1 x →1,f （x ）→? x<1x →1 x>1x →1 （2）左极限 当x →x 0时f （x ）的左极限 定义对于函数y=f （x ），如果当x 从x 0的左边无限地趋于x 0时，函数f （x ）无限地趋于一个常数A ，则称当x →x 0时，函数f （x ）的左极限是A ，记作 或f （x 0-0）=A （3）右极限 当x →x 0时，f （x ）的右极限 定义对于函数y=f （x ），如果当x 从x 0的右边无限地趋于x 0时，函数f （x ）无限地趋于一个常数A ，则称当x →x 0时，函数f （x ）的右极限是A ，记作 或f （x 0+0）=A 例子：分段函数
第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！
★(1) ? 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+? ??? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
第五章 不定积分 习题 5－1 1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221 sin , cos 2, cos 2x x x -- 都是同一函 数的原函数. 解 221 (sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x =-=-=因为 221 sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数. 2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x e e e e e e ---+-+都是 的原函数. 解 2222[()]'[()]'=2()x x x x x x e e e e e e ---+=-+因为 2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数 3.已知一个函数的导数是2 11 x -，并且当x = 1时, 该函数值是32π ，求这个函数. 解 设所求函数为f (x ), 则由题意知 2 '()1f x x = - '2(arcsin )1x x = -因为 '2()()d arcsin 1f x f x x x C x ===+-?所以 又当x = 1时， 3 (1)2f π =，代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+. 3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍，求此曲线的方程. 解 设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知''()2y f x x == 因为 2 ()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C = ==+? ? 又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲线方程为 2 1y x =+. 5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程. 解 设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x = 因为 ' (sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C ==+? 又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
第五章 定积分 (A 层次) 1．?20 3 cos sin π xdx x ； 2．?-a dx x a x 2 2 2 ； 3．?+3 1 2 2 1x x dx ； 4．?--11 45x xdx ； 5．? +4 1 1 x dx ； 6．?--1 4 3 1 1x dx ； 7．? +2 1 ln 1e x x dx ； 8．? -++0 222 2x x dx ； 9．dx x ?+π02cos 1； 10．dx x x ?-π πsin 4 ； 11．dx x ?- 22 4 cos 4π π； 12．?-++5 5242 312sin dx x x x x ； 13．?3 4 2sin π πdx x x ； 14．?41ln dx x x ； 15．?10xarctgxdx ； 16．?20 2cos π xdx e x ； 17．()dx x x ? π 2 sin ； 18．()dx x e ?1 ln sin ； 19．?- -24 3 cos cos π πdx x x ； 20．?+4 sin 1sin πdx x x ； 21．dx x x x ?+π02cos 1sin ； 22．?-+21 11ln dx x x x ； 23．?∞+∞-++dx x x 42 11； 24．?20sin ln π xdx ； 25．( )() ?∞+++0 211dx x x dx α ()0≥α。 (B 层次) 1．求由0cos 0 =+??x y t tdt dt e 所决定的隐函数y 对x 的导数 dx dy 。 2．当x 为何值时，函数()?-=x t dt te x I 0 2 有极值？ 3． () ?x x dt t dx d cos sin 2 cos π。 4．设()??? ??>≤+=1,2 11,12x x x x x f ，求()?20dx x f 。
笔记目录 第一章极限和连续 第一节极限 [复习考试要求] 1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。 4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 第二节函数的连续性 [复习考试要求] 1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。 2.会求函数的间断点。 3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。 4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。 第二章一元函数微分学 第一节导数与微分 [复习考试要求]
点处的导数。 2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。 3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。 4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。 5.了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。 6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。第二节导数的应用 [复习考试要求] 1.熟练掌握用洛必达法则求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。 2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用函数的单调性证明简单的不等式。 3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。 4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。 5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线 第三章一元函数积分学 第一节不定积分 [复习考试要求] 1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。 2.熟练掌握不定积分的基本公式。 3.熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换）。 4.熟练掌握不定积分的分部积分法。
第五章 不定积分 习题 5－1 1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221 sin , cos 2, cos 2x x x -- 都是同一函 数的原函数. 解 221 (sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x =-=-=因为 221 sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数. 2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x e e e e e e ---+-+都是 的原函数. 解 2 2 22[()]' [()]'=2() x x x x x x e e e e e e - --+=-+因为 2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数 3.已知一个函数的导数是2 11 x -，并且当x = 1时, 该函数值是3 2π，求这个函数. 解 设所求函数为f (x ), 则由题意知 '()f x = '(arcsin )x 因为 '()()d arcsin f x f x x x C ===+?所以 又当x = 1时， 3 (1)2f π =，代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+. 3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍，求此曲线的方程. 解 设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知'' ()2y f x x == 因为 2()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C = ==+? ? 又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲线方程为 2 1y x =+. 5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程. 解 设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x = 因为 ' (sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C ==+? 又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为
定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a 严格依据大纲编写： 笔记目录 第一章极限和连续 第一节极限 [复习考试要求] 1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。 4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 第二节函数的连续性 [复习考试要求] 1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。 2.会求函数的间断点。 3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。 4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。 第二章一元函数微分学 第一节导数与微分 [复习考试要求] 1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。 2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。 3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。 4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。 5.了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。 6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。第二节导数的应用 [复习考试要求] 1.熟练掌握用洛必达法则求“0〃∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。 2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用函数的单调性证明简单的不等式。 3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。 4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。 5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线 第三章一元函数积分学 第一节不定积分专升本高数复习资料(超新超全)
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