第十一章 无穷级数
§11.1 常数项级数的概念和性质
内容概要
例题分析
★1. 已给级数
∑∞
=+-1
)12)(12(1
n n n ，
1)写出此级数的前二项1u ,2u ; 2) 计算部分和1s ,2s ; 3) 计算第n 项部分和1s ;
4) 用级数收敛性定义验证这个级数是收敛的，并求其和.
知识点：前n 项部分和n s ,常数项级数的收敛性. 解： 1) 311)12)(12(11?=+-=
u ,5
31
)14)(14(12?=+-=u
2)
3
111=
=u s ; )5
11(21)5131(21)311(2153131212-=-+-=?+=
+=u u s 3))1
21
121(21)12)(12(1+--=+-=
n n n n u n
)1
211(21)121121(21)5131(21)311(2121+-=+--++-+-=
++=∴n n n u u u s n n 4) 21)1211(21lim lim =+-=∞→∞→n s n n n ,∴∑∞
=+-1)
12)(12(1
n n n 收敛,其和为21=s .
★★★2. 求常数项级数
1 1
0>+∑
∞
=a a
n n n
之和. 知识点：前n 项部分和n s .
思路: 1)1( 110∑∑∞=∞
=+=+n n n n a n a n ∴利用=
∑∞
=0
n n
ar r a -1
1 解： 令 12321-++++ =n n a n a a s 1 >a 则23132--+-++++=n n n a n a n a a as 以上两式相减得 1221111)1(---++++=-n n n a n a a a a s a 即)1111(111122---+++-+-=n n n a n a a a a a a s )111 1(11111 ------+-=n n a n a a a a a n n s ∞→lim )111(111a a a a - -+-=22 )1(-=a a ,∴ ∑∞ =+01n n a n 2 2 )1(-=a a ，1 >a . 注：利用等比级数= ∑∞ =0 n n ar r a -1 1 =1 n n u 和是常用的方法. ★★3．设 ∑∞ =1 n n u 收敛,讨论下列级数的敛散性: 1) ;)0001.0(1 ∑∞ =+n n u 2) ∑∞ =+1 1000 n n u ; 3) ∑∞ =11n n u . 知识点：常数项级数的收敛性. 思路: 利用常数项级数的性质. 解：1) 00001.00001.0lim )0001.0(lim ≠=+=+∞ →∞ →n n n n u u ∑∞ =+∴1 )0001.0(n n u 发散. 注： 0lim ≠∞ →n n u ，则 ∑∞ =1n n u 发散是判别级数发散常用的方法. 2) 常数项级数的性质: ∑∞ =1 n n u 加入有限项或去掉有限项,不改变级数的敛散性. ∴去掉∑∞ =1 n n u 前1000项得的级数 ∑∞ =+1 1000 n n u 仍收敛 3) 01 lim ≠∞=∞→n n u ,∴∑∞ =11n n u 发散. 课后习题全解 习题11-1 1.写出下列级数的前五项： ★(1)∑∞ =++12 11n n n ★(2) ∑∞ =????-????1 242) 12(31n n n ★(3)∑ ∞ =--1 1 3)1(n n n ★(4) ∑∞ =1 ! n n n n 解：(1) +++++++++++++++2 22225 1514141313121211111 +++++=133********. (2) +????????+++ +1086429 753138410548158321. (3) -+-+-54323 1 31313131. (4) +++++ 5 4325!54!43!32!21 2.写出下列级数的一般项： ★(1) +-+-+-675645342312 ★(2) ++-+-+-368277166954413 ★(3) +???+??+?+86426424222x x x x x ★(4) +-+-9 7535 432a a a a ★★(5) ++++++6 1 5413211 ★★(6) ++++ 4433221721025222x x x x 解：(1) )3,2,1( 1 )1(1) 1(11 =+-=+-=+-n n n n n u n n n . (2))3,2,1( ! 2 )1( =+-=n n n u n n . (3) )3,2,1( ! )!2()2(6422 2 ==????= n n x n x u n n n . (4) )3,2,1( 1 2)1(12) 1(1 111 =+-=+-=+++-n n a n a u n n n n n . (5) )3,2,1( 21 12 =+ -=n n n u n . (6) )3,2,1( 1 22 =+=n x n u n n n . 3.根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性: ★★(1) )122(1 ∑∞ =++-+n n n n ; ★(2) ++-++?+?) 15)(45(11161611n n ; ★★★(3) ++++6 sin 63sin 62sin 6 sin π πππ n . 解：(1) n n n n n n n u n ++- +++= ++-+= 111 21122 . 1 21 121 ) 11 121 ( )2 313 41( )1 212 31( +- +++= ++- ++++++- +++- +=∴n n n n n n s n 所以1 21lim +- =∞ →n n s ,原级数收敛. (2) )1 51 451(51)15)(45(1+--=+-= n n n n u n . )1 511(51 )151451(51 )11161(51)611(51+-=+--++-+-=∴n n n s n 所以5 1 lim =∞→n n s ,原级数收敛. (3) 6 sin 62sin 6sin π ππn s n +++= , ] 12)12cos(12)12[cos(12sin 216sin ππππ+--=k k k +-+-=∴)125cos 123(cos )123cos 12[(cos 12 sin 21π ππππn s )]12 ) 12cos(12 ) 12(cos( π π +--+n n ]12)12cos(12[cos 12 sin 21π ππ+-= n 所以不存在n n s ∞ →lim ,原级数发散. 注：另解16 )36(sin ,066sin 366=+===+π πk u k u k k 1lim ,0lim 366==∴+∞ →∞ →k k k k u u 所以n n u ∞ →lim 不存在，原级数发散. 4.判定下列级数的收敛性: ★(1) +-++-+-n n n 9 8)1(9898983322 ★(2) ++++++n 31121916131 ★★(3)∑∞=+1) 1(3n n n n n ★★(4) ∑∞ =??? ??-1 21cos 1n n n ★★(5) ;3122ln 1???+ ??∑∞ =n n n n ★★(6)∑∞ =++11 )1(n n n n n n n 解：(1)此为等比级数，因公比9 8- =q ，且1 99 8 1111= += -q (2) 级数的一般项：n u n 131?=,由调和级数∑∞ =11 n n 发散和级数的性质，知题设级数发散. (3) 03 )11(3lim )1(3lim lim ≠=+=+=∞ →∞→∞→e n n n u n n n n n n n ∴原级数发散. (4) 02121lim 1cos 1lim lim 222≠==??? ? ? -=∞→∞→∞→n n n n u n n n n , ∴原级数发散. (5)∑∑∞=∞=113 1 ,22ln n n n n n 均为等比级数且公比分别为 13 1 122ln 21<=<= q ，q ∑∑∞=∞ =∴113 1 ,22ln n n n n n 均收敛， 故原级数??? + ? ?∑∞ =n n n n 3122ln 1收敛. (6)01)11(lim )1(lim lim 211 ≠=+=+=∞ →+∞ →∞ →n n n n n n n n n n n n n n u . ∴原级数发散. ★★5.求级数 ∑∞ =++1 )2)(1(1 n n n n 的和. 解：)2 1121(21)2)(1(1+++-=++= n n n n n n u n . 41 s lim )2 11121(21 )21121121221(21 )21121(21 )514231(21)413221(21 )31221(21n n ==∴+++-=+++-+++-=+++-+++-++-++-= ∴∞→s n n n n n n n n s n ★★★6.求常数项级数 ∑∞ =13 n n n 之和. 解：n n n s 33332 3132++++ = ,1 3233433 3213 -+++++=n n n s n n n n s 33131 311212-++++=∴- n n n 3 3 11311 --- = (上两式相减) 43)3 3 11311( lim 21s lim 3n n 1=-- -==∴∞→∞→∞=∑n n n n n n n . ★★7.设级数 ∑∞ =1 n n a 的前n 项和为n n n s n ++ ++= 1 11 ，求级数的一般项n a 及和s . 解：1 11 1111-+-+ ++-= -n n n s n ,n n n s s a n n n 1211211-+-=-=∴- 且2ln 1111111n 1 lim s lim 10 =+=?? ?? ?? ????? ?+++==?∞→∞→dx x n n n s n n n . ★★★★8.利用柯西审敛原理判别下列级数的收敛性： (1)∑ ∞=+-1 1 )1(n n n ； (2)∑∞ =12sin n n nx ； (3)n n n 1 cos 11∑∞ =. 解：(1)对于任意自然数p ，因为 ??? ??? ?+--+--+-+-++--+-+-+-+-+≤+-+++-+≤ +-+ ++-++-=+++-+++++++)( )111()3121(11)( 1)5141()3121(11 1 )1(2111)1(2)1(1)1(1 1 3221为奇数为偶数p p n p n n n n p p n n n n n n p n n n p n n n u u u p p n n n p n n n 11+< n （令 ,11ε<+n 解得11 ->ε n ） 故,0>?ε不妨设,0]11 [,1>-=?<ε εN 当N n >时，对于任意自然数p ，都有 ε<+< ++++++1 1 21n u u u p n n n 由柯西审敛原理，知所给级数收敛. (2) 对于任意自然数 p ，因为 n p n p n p n n n p n n n p n n n x p n x n x n x p n x n x n u u u 21)211(21)212121(21 2)sin(2)2sin(2)1sin(2)sin(2)2sin(2)1sin(2212121<-=++=++++++≤++ ++++≤ ++++++++++++ 故,0>?ε 不妨设,0]2ln ln [ ,1>-=?<ε εN 当N n >时，对于任意自然数p ，都有 ε<<++++++n p n n n u u u 2 1 2 1 由柯西审敛原理，知所给级数收敛. (3)1 1 cos 1cos ,+ n n n n n n n u u u n n n n +++++++++=++++++1 cos 121cos 2111cos 1121 n n n n n n n ( 1 cos 21 1cos 211cos 21+++≥ 项) )2( 2 1 cos 21 1cos 21>>= n n 故取, 21 cos 210=ε对于任意n p N n 2 ,=?∈，使得021ε>++++++p n n n u u u 由柯西审敛原理，知所给级数发散. 提高题 1.判定下列级数的收敛性: ★★1) ∑∞ =+1)1 5 1(n n n ; ★★2) ∑ ∞ =1 )cos(2n n n π; ★★★★3) ∑∞ =?+1 1)11(2n n n e n ; ★★★★4) ∑∞ =?+1 ) 1(! n n n e n n . 解：1) ∑∞ =151n n 收敛，∑∞=11n n 发散， ∴∑∞=+1)1 5 1(n n n 发散. 2) = n u n n n n 2)1()cos(2-=π 0lim ≠∴∞ →n n u ∑∞ =∴1 )c o s (2n n n π发散. 3) =∞→n n u lim x x x x x x x n n n e e x e n -++∞→+∞→∞→=?+=?+)1 1ln(222lim 1)11(lim 1)11(lim 1 2 12111l i m 2111 l i m )1l n (l i m 0020≠====- -+-+-+→→→e e e e x t t t t t t t t t t t ∑∞ =?+∴1 1 )11(2n n n e n 发散. 4) =+n n u u 1 e n e n n e n n e n n n n n n n n n ?++=?++=?+?+++++++11 111 )111(1) 2()1()1(!) 2()! 1( 由数列???? ??+ n n )11(单调递增趋于e 知：e n n <+)1 1( 11>+n n u u 即11u u u n n >>+，0lim ≠∞→n n u ,∴∑∞ =?+12) 1(! n n e n n 发散. 2. 求下列级数的和. ★★1)∑∞ =--122391n n n ; ★★★★2)∑∞=--1 2 1482 arctan n n n 解：1) )131 231(312912 +--=-= n n n u n . )1 31 1(31 )131231(31 )7141(31)411(31+-=+--++-+-=∴n n n s n 31lim =∞→n n s , 31 2 39112 =--∴∑∞ =n n n . 2) )14)(34(1) 34()14(arctan 1 482arctan 2+-+--+=--=n n n n n n u n )34arctan()14arctan(--+=n n =∴n s ]1arctan 5[arctan -++-+ ]5arctan 9[arctan )]34arctan()14[arctan(--+n n 1arctan )14arctan(-+=n = ∞ →n n s lim 4 4 2 π π π = - , 4 1482arctan 1 2π = --∴ ∑∞ =n n n . §11.2 正项级数判别法 内容概要 例题分析 ★1. 用比较判别法或极限判别法判别下列级数的收敛性： 1) ;1 412 ∑∞ =+-n n n n 2) ;2)1(21 ∑∞ =-+n n n 3) ;2 tan 1 ∑∞ =n n π 4) 1 1 ln 11 -+∑ ∞ =n n n n . 知识点：比较判别法. 思路:比较判别法的特点：先要初步估计一下被判级数的敛散性，然后找一个已知敛散性级数与之对比。 这就要求我们初步判断正确，同时要掌握一些已知其敛散性的级数。常用的级数有两个： 等比级数 1,1 1 <∑∞ =-r ar n n 时收敛，1≥r 时发散,p 级数1,1 1 >∑ ∞ =p n n p 时收敛，1≤p 时发散. 解： 1) 分析：n n n +-214与n 1 当∞→n 时是同阶无穷小.估计∑∞ =+-12 14n n n n 是发散的。 41 11 4lim 114lim 2 =+ -=+-∞→∞→n n n n n n n n 而∑∞ =11n n 发散, ∴由比较判别法知∑∞ =+-12 1 4n n n n 发散. 2) 分析：此题无法直接用比较判别法，因n n n u 2)1(2-+= 随n 的增加而变化，当n 为奇数时等于1， 当n 为奇数时等于3，即分母不超过3，因此有 n n n 23 2)1(2≤-+。 n n n n u 23 2)1(2≤-+= ， 而∑∞ =12 3 n n 收敛, ∴由比较判别法知∑ ∞ =-+1 2)1(2n n n 收敛 3) 分析：~ 2 tan n πn 2 π （∞→n ），估计∑∞ =1 2 tan n n π 是收敛的. 122tan lim =∞→n n n ππ , 而∑∞=12n n π收敛, ∴ ∑∞=1 2tan n n π收敛. 4) 分析： 2 32~1 21~)121ln(111ln 1n n n n n n n n -?-+=-+ （∞→n ） 121 2 1lim 2 1 1ln 1 lim =-?=-+∞ →∞ →n n n n n n n n n n n ，而∑∞ =12n n n 收敛, ∴ 1 1 ln 11 -+∑ ∞ =n n n n 收敛. 小结：比较判别法判断级数的敛散性，一般可从等价无穷小量出发，找一个已知敛散性的级数与之比较. 2. 用比值判别法判别下列级数的收敛性： ★★1)∑∞=1! 2n n n n n ; ★2) ∑∞ =?-??1!3)12(531n n n n ★3)∑∞ =-12)13(1 n n n 解：1)n n n n n n n n n n n n u u ! 2)1()! 1(2lim lim 1 11 ++∞→+∞→++= n n n n n )1(2lim +=∞→ 12 )11(12 lim )1 ( 2lim <=+=+=∞→∞ →e n n n n n n n ∴由比值判别法知∑∞ =1! 2n n n n n 收敛. 2) !3)12(531)!1(3) 12(531lim lim 11n n n n u u n n n n n n ?-??+?+??=+∞→+∞→ 13 2 31112lim <=?++=∞→n n n ∴由比值判别法知∑ ∞ =?-??1 !3) 12(531n n n n 收敛. 3) n n n n n n n n u u )13(1)13()1(1 lim lim 2121-?-+=+∞→+∞→ 11311131lim 2 >-=??? ??+?-=∞→n n n ∴由比值判别法知∑ ∞ =-12 ) 13(1n n n 发散. 小结：通过上面1)- 3)题，当一般项n u 中含有!,n a n 等，或1+n u 与n u 有公因子时，常用比值判别法. 3.用根值判别法与积分判别法判别下列级数的收敛性： ★1)n n n ∑∞ =? ?? ? ? 11arcsin ; ★2) ∑∞ =++1) 1ln()1(1 n n n 解：1) n n n n n n n u ??? ? ? =∞→∞→1arcsin lim lim 101arcsin lim <==∞→n n ∴由根值判别法知，级数n n n ∑∞ =? ?? ? ? 11arcsin 收敛. 2)设 )1ln()1(1 )(++= x x x f 则显然)(x f 在1>x 时非负且连续，因 )1( 0)] 1ln()1[(1 )1ln()(2 ><++++- ='x x x x x f 故在1>x 时)(x f 单调减少. ∞=+=++=++∞ ++∞+∞ ?? 111 ))1(ln()1ln() 1ln(1)1ln()1(1x n l x d x dx x x ∴由积分判别法知∑ ∞ =++1 )1ln()1(1 n n n 发散. 小结：当一般项n u 中含有n n n a ,等时，常用根值判别法. 课后习题全解 习题11-2 1.用比较判别法或极限判别法判别下列级数的收敛性： ★(1);)0,0(11∑∞ =>>+n b a b na ★(2);1112 ∑∞ =++n n n ★(3) ;2 sin 1 ∑∞ =n n π ★(4)∑∞=++1)4)(1(1n n n ★(5);1 1 1∑ ∞=+n n n ★(6);2sin 1∑∞ =n n π ★(7) n n n 2 sin 1 1 ∑ ∞ = ★★(8))0(11 1 >+∑∞ =a a n n ★★ (9)∑∞ =+1)1ln(1n n 解： (1) na b na u n 1 ~ 1+= a b na n n b na n n 1 lim )1/1(lim =+=+∞→∞→ , 而∑∞=11n n 发散,∑∞ =+∴11n b na 发散. (2) 法一:n n n u n 1 ~112 ++= , 11) 1(lim )1/11(lim 22=++=++∞→∞→n n n n n n n n ,而∑∞=11n n 发散, ∑∞ =++∴1211n n n 发散. 法二:n n n n n n u n 1 11122=++>++= ,而∑∞=11n n 发散, ∴由比较判别法知∑∞ =++12 11n n n 发散. (3) 2 11n u n += ,与 -p 级数)2(=p 比较. 1)1 /11(lim 22=+∞→n n n ,而∑∞ =121n n 收敛, ∑∞ =+∴ 1211 n n 收敛. (4) ) 4)(1(1 ++= n n u n ,与-p 级数)2(=p 比较. 1)1 /)4)(1(1(lim 2=++∞→n n n n ,而∑∞ =12 1n n 收敛, ∑∞ =++∴ 1) 4)(1(1 n n n 收敛. (5) 2 3 1~ 1 1n n n u n += ,与 -p 级数)2 3 (=p 比较. 1)1 / 11 ( lim 2 /3=+∞ →n n n n ，∑∞ =+∴1 1 1n n n 收敛. (6) n n n u 2 ~ 2 sin π π =,与几何级数 ∑∞ =1 2 n n π 比较. 1)2 / 2(sin lim =∞ →n n n π π ，而∑∞ =12 n n π 收敛,∑∞ =1 2sin n n π 收敛. (7) n n n u n 2 ~ 2sin 1= ,与调和级数比较. 2)1 /2 sin 1( lim =∞→n n n n ，而∑∞=11n n 发散,∑∞ =∴12sin 1n n n 发散. (8) ;1 0 ;1 2 1;1 111 lim lim ?????>=<=+=∞→∞→a a a a u n n n n ∴当1≤a 时, ∑∞ =+111 n n a 发散.当1>a 时, 11 n n a a u 111<+= 由几何级数)110(11<<∑∞ =a a n n 收敛,知∑∞ =+111 n n a 收敛. (9) 法一：) 1ln(1 n u n += ,与调和级数比较. +∞=+=+=+∞→∞→∞→)1ln(lim )1ln(lim )1/)1ln(1( lim x x n n n n x n n 而∑∞ =1 1n n 发散,∑∞ =+∴1)1ln(n n n 发散. 法二: 11 )1ln(1+>+=n n u n ,而∑∞=11n n 发散, ∑∞ =+∴1 )1ln(n n n 发散. 2.用比值判别法判别下列级数的收敛性： ★(1)∑∞=?12 3n n n n ★(2) ++-+43227 252321 ★(3)∑∞ =--112)12(2 1n n n ★(4);! 45!35!2513 2 ++++ ★(5);542432322212432 +?+?+?+? ★★(6));0(1>∑∞ =a n a n k n ★★(7);3541∑∞=-n n n n ★(8)∑∞ =1 )53(n n n 解： (1) n n n n n n n n n n u u 232)1(3lim lim 1 1 1 ??+=++∞→+∞→ 1232)1(3lim >=?+=∞→n n n ∴由比值判别法知∑∞ =?12 3n n n n 发散. (2) 1212727 lim lim 11<==+∞→+∞→n n n n n n u u ，∴由比值判别法知,原级数收敛. (3) 14 1) 12(21)12(21 lim lim 12121<=-+=-+∞→+∞→n n u u n n n n n n ，∴由比值判别法知,题设级数收敛. (4) 105lim )! 1(5!5lim lim 11<==-=∞→-∞→+∞→n n n u u n n n n n n n ，∴由比值判别法知,题设级数收敛. (5) 1222lim ) 1(2 ) 2)(1(2lim lim 1 1>=+=+++=∞→+∞→+∞→n n n n n n u u n n n n n n n ∴由比值判别法知,题设级数发散. (6) a n a n a u u k n k n n n n n =+=+∞→+∞→)1(lim lim 1 1 ∴ 当1∑∞ =a n a n k n 发散; 当1>a 时，由比值判别法知)0(1>∑∞ =a n a n k n 收敛； 当1=a 时，级数为∑ ∞ =11n k n ；当1≤k 时发散，当1>k 时收敛. (7) n n n n n n n n n n u u 354354lim lim 111 1--=+++∞→+∞→ 15435354lim 11<=--?=++∞→n n n n n ∴ 由比值判别法知,题设级数收敛. (8) 15 3 5353)1(lim lim 1 1 <= ?? ? ??? ?? ??+=+∞ →+∞→n n n n n n n n u u ，∴由比值判别法知,题设级数收敛. 3.用根值判别法判别下列级数的收敛性： ★(1);)12(1∑∞ =+n n n n ★(2)[];)1ln(1 1∑∞ =+n n n ★(3)∑∞=--112)13(n n n n ★★(4);1312 ∑∞ =?? ? ??+n n n n n ★(5);13122∑∞ =??? ? ??+n n n n ★★(6);131∑∞ =+n n n e 解：(1) n n n n n n n n u )12( lim lim +=∞ →∞ → 12 1 12lim <=+=∞→n n n ∴由根值判别法知，级数∑∞ =+1 )1 2( n n n n 收敛. (2) []n n n n n n n u )1ln(1 lim lim +=∞ →∞ → 10) 1ln(1 lim <=+=∞→n n ∴ 由根值判别法知，级数 [] ∑∞=+1 )1ln(1 n n n 收敛. (3) n n n n n n n n u 12)13( lim lim -∞→∞→-= 19 1)1 3(lim 1 2<= -=-∞→n n n n n ∴ 由根值判别法知，级数 ∑∞ =--1 1 2)1 3( n n n n 收敛. (4) n n n n n n n n n u 2 13lim lim ?? ? ??+=∞ →∞ → 13113lim >= ?? ? ??+=∞ →e n n n ∴ 由根值判别法知，级数 ∑ ∞ =?? ? ??+1 2 13n n n n n 发散. (5) n n n n n n n n u ??? ? ??+=∞→∞→13lim lim 2 2 1313lim 22>=+=∞→n n n ∴ 由根值判别法知，级数∑∞ =? ?? ? ??+12213n n n n 发散. (6) n n n n n n n e u +=∞→∞→13lim lim () 1313 lim >= +=-∞ →e e n n n ∴ 由根值判别法知，级数 ∑ ∞ =?? ? ??+1 2 13n n n n n 发散. 4.用积分判别法判别下列级数的收敛性： ★★(1);)(ln 1 3∑∞ =n p n n ★★(2)).1(ln 3 ≥∑∞ =p n n n p 解：(1)设p x x x f )(ln 1 )(= 则显然 )(x f 在1>x 时非负且连续，因 )( 0] )(ln [)(ln )(ln )(2 1 e x x x x x x f p p p ><+-='- 故在e x >时)(x f 单调减少.由积分判别法 当 1≠p 时 ?? +∞+∞ =22 ln )(ln 1) (ln 1x d x dx x x p p +∞+-+-=2 1)(ln 11p x p ??? ??<∞>-=+- 1 1 )2(ln 11 1p p p p 当 1=p 时∞===∞ ++∞+∞ ?? 222 ln ln ln 1) (ln 1nx l x d x dx x x 综合上述知：当且仅当 1>p 时∑ ∞ =3) (ln 1 n p n n 收敛. (2)设 p x x x f ln )(= 则显然)(x f 在3>x 时非负且连续，因 )( 0) ()ln 1()(ln )(/12 1211p p p p p p e x x x p x x x px x x f ><-=-='--- 故在3>x 时)(x f 单调减少.由积分判别法 当 1>p 时 ?? +∞-+∞ -=313 ln 11ln p p xdx p dx x x ∞<-+-?=--12133ln 11)1(31p p p p 当 1=p 时题设级数发散.(例11) 故当且仅当 1>p 时∑ ∞ =3ln n p n n 收敛. 5.若 ∑∞ =1 2n n a 及 ∑∞ =1 2n n b 收敛。证明下列级数也收敛： ★★（1） ;1 ∑∞ =n n n b a ★★（2） ;)(1 2 ∑∞ =+n n n b a ★★（3）.1 ∑ ∞ =n n n a 解：(1) )(212 2n n n n b a b a +≤ ， ∑∞ =∴1 n n n b a 收敛. (2) 222 2)(n n n n n n b b a a b a ++=+ ， ∑∞ =+∴ 1 2 )(n n n b a 收敛. (3) 在(1)中取n b n 1=，得∑ ∞=1n n n a 收敛. ★★6.判别级数∑∞=??? ? ??1n n n a b 的收敛性，其中),(∞→→n a n α且α,,b a n 均为正数. 解：αb a b u n n n n n ==∞→∞ →lim lim 所以当1<αb 时，级数∑∞ =??? ? ??1n n n a b 收敛； 当1>αb 时，级数∑∞ =??? ? ??1n n n a b 发散； 当1=αb 时，不能判别级数∑∞ =??? ? ??1n n n a b 的敛散性 ★★★7.设证明：且,),,2,1(0,01 1n n n n n n v v u u n v u ++≤=>> 若∑∞ =1 n n v 收敛,则 ∑∞ =1 n n u 也收敛. 解：n n n n v v u u v v u u v v u u v v u u 11343423231212,,,++≤≤≤≤ ,11 111111,++++≤≤∴n n n n v v u u v v u u 即 故 ∑∞ =1 n n v 收敛,则 ∑∞ =1 n n u 也收敛. ★★★★8.设[])0(3ln )1ln(lim >=-+∞ →λλ n n V n n n ,试讨论正项级数∑∞ =1 n n V 的收敛性. 解：[]n n n n V n n V n n n )1 1ln(lim ln )1ln(lim +=-+∞→∞→λλ 31 lim lim 11===-∞→-∞→λλn V V n n n n n 故当2,11>>-λλ即时，级数∑∞ =1n n V 收敛；当2,11≤≤-λλ 即时，级数∑∞ =1 n n V 发散. 提高题 1.判定下列级数的收敛性: ★★★1) ;211 32∑∞=-++n n n n e n e n ne ; ★★★★2) ∑∞=+++1 2 1 )1(n n n n n ; ★★★★3) ∑∞ =-+1 33])1(2[n n n n n ; ★★★★4) )1(,11 10 2 ->+∑? ∞ =ααdx x x n n . 解：1) =++-n n n e n e n ne 3221~ 2322n e n e n n n ++--2 21 n （∞→n ）， ∞→-∞→=++n n n n n n e n e n ne lim 21 21lim 2 32 112121123=++n n ne e n 而∑∞ =12 21 n n 收敛, ∴ ∑∞ =-++13221n n n n e n e n ne 收敛. 2) 法一：3)11(lim <=+∞→e n n n ,222 1)1(31)1() 11(1)1(+>+?+=+∴ ++n n n n n n n n n n 又级数∑∞=+12)1(n n n ,31 1)1(lim 2=+∞→n n n n ∑∞ =+∴12) 1(n n n 发散. 《高等数学》单元自测题答案 第十一章 无穷级数 一．选择题： 1.B ； 2. D ； 3.A ； 4.B ； 5.B ； 6.B ； 7. C ； 8.C . 二．填空题： 1. () ∑∞=-021n n n x ，()1,1-∈x ；2. ()x +1ln ； 3. [)6,0； 4. 2 k . 三．判断题： 1. 解 因为02121lim ≠=+∞ →n n n ，故级数发散. 2. 解 因为n n n n n n n 1)3(3)3(32=++>++，而∑∞=11n n 发散，故原级数发散. 3. 解 设n n n n u )13( +=，因为13113lim lim <=+=∞→∞→n n u n n n n ，故级数收敛. 4. 解 因为()∑∞=-+1 212n n n ∑∑∞=∞=--+=111)21()21(n n n n ,并且级数∑∑∞=∞=--111)21()21(n n n n 和均收敛,故级数()∑∞=-+1212n n n 收敛. 四．判断题： 1. 解 ()∑∑∞=-∞=--=-11111221n n n n n n n ，因为12121lim 221lim lim 11<=+=?+=∞→-∞→+∞→n n n n u u n n n n n n n 故∑∞=-112n n n 收敛，从而()∑∞=---11121n n n n 绝对收敛. 2. 解 ∑∞=-+-=++-+++-1 212221)1(14413312221n n n n ， ∑∑∞=∞=-+=+-1212111)1(n n n n n n n ，因为11lim 11lim 222=+=+∞→∞→n n n n n n n ，而级数∑∞=11n n 发散，故绝对值级数∑∞=-+-121 1 )1(n n n n 发散，因此所给级数不是绝对收敛的.由于所给级数是交错级数，且满足1 )1(11,01lim 222+++>+=+∞→n n n n n n n ，据莱布尼兹判别法知， 第十一章 无穷级数 一、常数项级数（A:§11.1,§11.2; B:§10.1,§10.2） Ⅰ、内容要求： （ⅰ）理解无穷级数敛散及和的概念。 （ⅱ）记忆无穷级数收敛的必要条件，了解无穷级数的基本性质。 （ⅲ）记忆等比级数和p 级数的敛散性。 （ⅳ）掌握正项级数的比值审敛法，学会运用正项级数的比较审敛法及其极限形式，了解正项级数收敛的充要条件。 （ⅴ）掌握交错级数的莱布尼兹定理，了解一般项级数绝对收敛与条件收敛的概念及关系。 Ⅱ、基本题型： （ⅰ）无穷级数基本性质的客观题。 1．是非题：（每题4分） （1）∑∞ =1 n n u 收敛，则0lim =∞ →n n u ，反之亦然。（ ? ） （2）∑∞=1 n n u 收敛，∑∞=1 n n v 发散，则∑∞ =+1 )(n n n v u 必发散。（√ ） （ⅱ）涉及等比级数和p 级数敛散性的客观题。 2．（4'）下列级数收敛的是--------------------------------------------------------------------（ C ） (A) ∑ ∞ =1 1n n (B) )1(1 ∑ ∞ =- n n (C) ∑ ∞ =--1 1 2 )1(n n n (D) ∑ ∞ =1 1n n 3．（4'）下列级数收敛的是--------------------------------------------------------------------（ D ） （A ）∑∞ =1 3n n （B ）∑ ∞ =+1 3 1n n （C ）∑ ∞ =+1 1 n n n （D ）∑ ∞ =+1 3 1 1n n （ⅲ）运用比较审敛法及其极限形式判定简单正项级数的敛散性。 4．判别下列级数的敛散性：（每题6分） （1）∑ ∞ =+12 1 n n n （2）∑∞ =1 2sin n n π （3）∑∞ =+ 1 )11ln(n n （4）∑∞ =+1 )1 2( n n n n 解：（1）解：11 1 lim 2 =+∞→n n n n ∑ ∞ =1 1n n 发散 ∴ ∑ ∞ =+1 2 1 n n n 发散。 第十一讲 幂级数 §11.1 幂级数 幂级数的一般概念.型如 ∑∞ =-0 0)(n n n x x a 和 ∑∞ =0 n n n x a 的幂级数.幂级数由系数数列 }{n a 唯一确定.幂级数至少有一个收敛点.以下只讨论型如∑∞ =0 n n n x a 的幂级数. 幂级数是最简单的函数项级数之一. 一、知识结构 1、幂级数的收敛域 定理1（Abel 定理）若幂级数∑n n x a 在点0≠=x x 收敛, 则对满足不等式| | ||x x <的任何x ,幂级数 ∑n n x a 收敛而且绝对收敛；若在点x x =发散,则对满足不等式 || ||x x >的任何x ，幂级数∑n n x a 发散. 证明 ∑n n x a 收敛, {n n x a }有界.设|n n x a |≤M , 有|n n n n n n Mr x x x a x a ≤?=|| |||,其中 1 || <=x x r .∑+∞ （ⅰ）+∞<<ρ0时, R ρ 1 = ; （ⅱ）ρ=0时+∞=R ;（ⅲ） ρ=∞+时 0=R . 证明 ∞ →n lim =n n n x a ||∞ →n lim ||||||x x a n n ρ=, (强调开方次数与x 的次数是一致的). ? …… 由于∞ →n lim ?=+ | || |1ρn n a a ∞→n lim ρ=n n a ||, 因此亦可用比值法求收敛半径. 幂级数∑n n x a 的收敛区间:) , (R R - . 幂级数 ∑n n x a 的收敛域: 一般来说, 收敛区间?收敛域. 幂级数 ∑n n x a 的收敛域 是区间) , (R R -、] , (R R -、) , [R R -或] , [R R -之一. 2、幂级数的一致收敛性 定理3 若幂级数∑n n x a 的收敛半径为R ，则该幂级数在区间) , (R R -内闭一致收 敛. 证明 ?] , [b a ?) , (R R -, 设} || , || max {b a x =, 则对∈?x ] , [b a , 有 || ||n n n n x a x a ≤, 级数∑n n x a 绝对收敛, 由优级数判别法? 幂级数∑n n x a 在] , [b a 上一致收敛.因此,幂级数∑n n x a 在区间) , (R R -内闭一致收敛. 定理4 设幂级数∑n n x a 的收敛半径为R ) 0 (>,且在点R x =( 或R x -= )收敛, 则幂级数 ∑n n x a 在区间] , 0 [R ( 或] 0 , [R - )上一致收敛 . 证明 n n n n n R x R a x a ??? ??=. ∑n n R a 收敛, 函数列?? ??????????? ??n R x 在区间] , 0 [R 上递减且一 致有界,由Abel 判别法,幂级数 ∑n n x a 在区间] , 0 [R 上一致收敛. 易见,当幂级数 ∑n n x a 的收敛域为] , [R R -(R ) 0>时,该幂级数即在区间 第十一章 无穷级数 §11.1 级数的概念、性质 一、单项选择题 1. 若级数 1 n n a q ∞ =∑收敛(a 为常数)，则q 满足条件是( )． (A)1q =； (B)1q =-； (C) 1q <； (D) 1q >． 答(D)． 2. 下列结论正确的是( )． (A)若lim 0n n u →∞=，则1 n n u ∞ =∑收敛；(B)若1lim()0n n n u u +→∞-=，则1 n n u ∞ =∑收敛； (C)若1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =；(D)若1 n n u ∞ =∑发散，则lim 0n n u →∞ ≠. 答(C)． 3. 若级数1 n n u ∞=∑与1 n n v ∞ =∑分别收敛于12,S S ，则下述结论中不成立的是( )． (A)121 ()n n n u v S S ∞ =±=±∑； (B) 11n n ku kS ∞ ==∑； (C) 21 n n kv kS ∞==∑； (D) 1 12 n n n u S v S ∞ ==∑． 答(D). 4. 若级数1 n n u ∞=∑收敛，其和0S ≠，则下述结论成立的是( )． (A)1()n n u S ∞ =-∑收敛； (B) 11 n n u ∞ =∑收敛； (C) 1 1 n n u ∞ +=∑收敛； (D) n ∞ =收敛. 答(C). 5. 若级数1 n n a ∞ =∑收敛，其和0S ≠，则级数121 ()n n n n a a a ∞ ++=+-∑收敛于( )． (A)1S a +； (B)2S a +； (C)12S a a +-； (D)21S a a +-．答(B). 6. 若级数 ∑∞ =1n n a 发散， ∑∞ =1 n n b 收敛则 ( )． (A) ∑∞ =+1)(n n n b a 发散； (B) ∑∞ =+1)(n n n b a 可能发散，也可能收敛； (C) ∑∞ =1 n n n b a 发散； (D) ∑∞ =+1 22)(n n n b a 发散. 答(A). 第十二章无穷级数A 同步测试卷 第十二章 无穷级数同步测试A 卷 一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1．下列级数中，收敛的是（ ） 2100111111 () 22223++++++++L L L A n 2111111()23100222 ++++++++L L L n B 211111 ()(1)()()2222+++++++L L n C n 2111111 ()(1)()23222++++++++++L L L L n D n 2．设1 ∞ =∑n n u 为数项级数，下列结论中正确的是（ ） 1 ()lim ,1+→∞= 4. 设常数0>k ，则级数1 21 (1)∞ -=+-∑n n k n n （ ）. ()A 发散. ()B 条件收敛. ()C 绝对收敛. ()D 收敛性与k 有关. 5. 周期为2π的函数()f x ，在一个周期上的表达式为 (0) ()2(2)πππππ≤≤?=? -≤≤?x f x x x ，设它的傅里叶级数的和函数是()S x ，则(2)π=S （ ）. () ()()2()02 π ππA B C D 二、填空题(每小题4分，共20分) 6. 级数111 ( )23∞ =+∑n n n 的和为 . 7. 幂级数21 12(3) ∞ -=+-∑ n n n n n x 的收敛半径为 . 8. 已知级数1 211 1 (1)2,5∞ ∞ --==-==∑∑n n n n n u u ，则级数1 ∞ ==∑n n u . 9．将1 ()2= -f x x 展开为x 的幂级数时，其收敛域为 . 10．将()1(0)π=+≤≤f x x x 展开为余弦级数时，0=a . 三、解答题(共65分) 11. （8分）判断下列运算过程是否正确，若不正确，指出错误所在. 因为1 1ln(1)(1) ∞ -=+=-∑n n n x x n ，因此取2=x 得11 2ln 3(1)∞ -==-∑n n n n . 12. （8 分）讨论级数2∞ =n . 13. （8分）求级数2012!∞ =+∑g n n n n x n 的和函数. 高数第七章无穷级数知识 点 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第七章 无穷级数 一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）： 1、形如∑∞ =-11 n n aq 的几何级数（等比级数）：当1 6、比较判别法：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散。（通过不等式的放缩） 推论：若∑∞ =1n n U 与∑∞ =1 n n V 均为正项级数，且 l V U n n n =∞→lim （n V 是已知敛散 性的级数) 若+∞< 第十一章 无穷级数 教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函 数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学重点 ： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。 教学难点： 1、比较判别法的极限形式； 2、莱布尼茨判别法； 3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、函数项级数的收敛域及和函数； 第十二章 级数 一、本章提要 1．基本概念 正项级数，交错级数，幂级数，泰勒级数，麦克劳林级数，傅里叶级数，收敛，发散，绝对收敛，条件收敛，部分和，级数和，和函数，收敛半径，收敛区间，收敛域． 2．基本公式 )1()(x f 在0x x =处的泰勒级数系数：)(00x f a =，! ) (0)(k x f a k k = ； (2)傅里叶系数： ππ ππ11()cos d (0,1,2,),()sin d (1,2,)ππ n n a f x nx x n b f x nx x n --= ===?? ． 3．基本方法 比较判别法，比值判别法，交错级数判别定理，直接展开法，间接展开法． 4．定理 比较判别定理，比值判别定理，交错级数判别定理，求收敛半径定理，幂级数展开定理，傅里叶级数展开定理． 二、要点解析 问题1 有限个数相加与无穷个数相加有什么区别和联系？何谓无穷级数的和？ 解析 有限个数相加与无穷个数相加是有本质区别的．为了叙述方便，称前者为有限加法，后者为无限累加．我们知道有限个数相加之和是一个确定的数值，而无穷个数相加只是一种写法，即沿用了有限加法的符号来表示无限累加．我们不可能用有限加法的方法来完成无限累加，尤其是无限累加未必是一个确定的数值．另外，有限加法中的结合律和交换律在无限累加中也不一定成立． 但是，无限累加与有限加法又是紧密联系的．我们在研究无限累加时，是以有限加法(部分和)为基础的，即从部分和出发，讨论其极限是否存在．若极限存在，则无限累加有和，也就是无穷级数有和(收敛)，其和等于这个极限值；否则，无限累加无和，当然，无穷级数也无和(发散)．由此看出，级数的收敛与发散，反映了无穷多个数累加的趋势．级数收敛就是无穷多个数累加可以得到一个确定的数值．一般情况下，这个和的数值不易求得，教科书上只就和是否存在，即级数是否收敛给出一些判别法则． 例1 我们考察著名的波尔查诺（Bolzano ，B ．）级数的求和问题． 设 +-+-=1111x ，则有： 解一 0)11()11(=+-+-= x ； 解二 1)11()11(1=-----= x ； 解三 x x -=+-+--=1)1111(1 ，于是12 x = ． 这些矛盾的结果，在历史上曾使人怀疑过数学的精确性不可靠．柯西指出：以上解法犯了墨守成规的错误，即把有限的结合律、交换律以及有限项总存在代数和的观念照搬到无限项的运算之中．柯西的研究，澄清了那个时代对无限运算的糊涂观念，引起了思想解放，其实级数 ∑∞ =--1 1 ) 1(n n 是发散的． 第十二章无穷级数 1下列无穷级数中发散的无穷级数是（ ） A.∑ ∞ =+1 n 2 2 1n 3n B. ∑ ∞ =+-1 n n 1n )1( C. ∑ ∞ =--3 n 1 n n ln )1( D. ∑ ∞ =+1 n 1n n 32 2.设幂级数∑∞ --1 )3(n n n x a 在x =1处收敛,则在x =4处该幂级数( ) A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不定 3．下列无穷级数中，收敛的无穷级数是（ ） A ．∑ ∞ =++15312n n n B ．∑ ∞ =--+11)1(1n n n C ．∑ ∞ =-15 1 n n D ．∑ ∞ =--1 1 )1(n n n 4．设正项级数∑∞ =1 n n u 收敛，则下列无穷级数中一定发散的是（ ） A ．∑∞=+1 100n n u B ．∑∞=++1 1)(n n n u u C ．∑∞ =1 )3(n n u D ．∑∞ =+1 )1(n n u 5.下列无穷级数中，发散的无穷级数为（ ） A.()∑ ∞ =+11 1 n n n B. ∑ ∞ =??? ??+13101n n C. ∑ ∞ =?? ? ??+12 110 1 n n n D. ∑ ∞ =+11 3 2n n n 6.无穷级数∑∞ =023n n n 的前三项和S 3=( ) A.-2 B. 419 C.8 27 D. 8 65 7.幂级数1! n n x n ∞ =∑的和函数为（ ） A.1x e - B.x e C.1x e + D.2x e + 8.已知幂级数()n 1 1n n a x ∞ =+∑在x =-3处收敛，则该级数在x =0处是 A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不确定 9.无穷级数1 1 !n n ∞ =∑ 的和为______. 10.设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上表达式为1()1 f x -?=?? , , 0x x ππ -≤≤≤＜ 第七章 无穷级数 一、本章的教学目标及基本要求： （1） 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性 质和收敛的必要条件。 （2） 掌握几何级数与p —级数的收敛性。 （3） 会用正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。 （4） 会用交错级数的莱布尼茨定理。 （5） 了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 （6） 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 （7） 掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 （8） 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。 （9） 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 （10） 掌握函数α )1(),1ln(,cos ,sin ,x x x x e x +-的麦克劳林展开式，会用它们 将一些简单函数间接展开成幂级数。 （11） 了解傅氏级数的概念以及函数展开成傅氏级数的狄利克雷定理，会将定义 在],[l l -上的函数展开成傅氏级数，会将定义在],0[l 上的函数展开成正弦级数与余弦级数，会写出傅氏级数的和的表达式。 二、本章教学内容的重点和难点： 重点：无穷级数的收敛与发散，正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径与收敛区间的求 法． 难点：正项级数的审敛法，幂级数展开，傅立叶级数展开． §7.1 常数项级数的概念及性质 一、内容要点 1、常数项级数概念： 常数项级数、部分和、级数的收敛与发散、余项； 2、收敛级数的基本性质及收敛的必要条件： 性质1：若级数∑∞= 1 n n u 收敛于和s ，则级数∑∞ =1 n n ku 也收敛，且其和为ks ．(证明) 性质2：若级数 ∑∞=1 n n u 、∑∞= 1 n n v 分别收敛于和s 、σ，则级数()∑∞ =+1 n n n v u 也收敛，且其和为s ±σ．(证明) 性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．(证明) 性质4：若级数∑∞ = 1 n n u 收敛，则对这级数的项任意家括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．(证明)； 性质5(级数收敛的必要条件)：若级数 ∑∞ = 1 n n u 收敛，则它的一般项u n 趋于零，即高等数学：第11章无穷级数自测题答案
第十一章 无穷级数(已改)
高等数学第十一讲幂级数
第十一章-无穷级数(习题及解答)
第十二章 无穷级数A同步测试卷教学文案
高数第七章无穷级数知识点
p 时收敛，当1≤p 时发散。 3、? ≠∞ →0lim n n U 级数发散； 级数收敛 lim =?∞ →n n U 4、比值判别法（适用于多个因式相乘除）：若正项级数 ∑∞ =1 n n U ，满 足条件l U U n n n =+∞→1 lim ： 当1
同济第六版《高等数学》教案WORD版-第11章 无穷级数
高等数学 第十二章 级数
第十二章无穷级数
微积分第七章-无穷级数
第十二章无穷级数(解题方法归纳)