第十五章 分式 15.1 分式
15.1.1 从分数到分式
一 、学教目标：1、了解分式的概念以及分式与整式概念的区别与联系。
2、掌握分式有意义的条件，进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感。
3、以描述实际问题中的数量关系为背景，体会分式是刻画现实生活中数量关系的一类代数式。 二、学教重点： 分式的概念和分式有意义的条件。 三．学教难点： 分式的特点和分式有意义的条件。 四．温故知新：
1、 什么是整式？ ，整式中如有分母，分母中 （含、不含）字母
2、 下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？两者有什么区别？
a 21；2x+y ；
2y x - ；a 1 ；x
y
x 2- ；3a ；5 . 3、 阅读“引言”， “引言”中出现的式子是整式吗？ 4、 自主探究：完成p 2的“思考”，通过探究发现，a s
、s V 、
v +20100、v
-2060
与分数一样，都是 的
形式，分数的分子A 与分母B 都是 ，并且B 中都含有 。 5、 归纳：分式的意义： 。 代数式
a 1 、x y x 2-、a s 、s
V 、v +20100、v -2060都是 。分数有意义的条件是 。那么分式有意义的条件是 。
五、学教互动：
例1、在下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）5x-7 （2）3x 2-1 （3）
123+-a b （4）7
)
(p n m + （5）—5 （6）1222-+-x y xy x （7）72 （8）c
b +54
例2、填空：
（1）当x 时，分式
x
32
有意义（2）当x 时，分式1-x x 有意义
（3）当b 时，分式
b
351
-有意义（4）当x 、y 满足关系 时，分式y x y x -+有意义
例3、x 为何值时，下列分式有意义？
（1）1-x x
（2）1
562
2++-x x x （3）242+-a a 六、拓展延伸：
例4、x 为何值时，下列分式的值为0？
（1）1
1
+-x x （2）392+-x x （3）11--x x
七、自我检测：
1、下列各式中，（1）y x y x -+（2）1
32+x （3）x x 13-（4）π22y xy x ++（5）5b a -（6）0.（7）
43
（x+y ）
整式是 ，分式是 。（只填序号） 2、当x= 时，分式
2
+x x
没有意义。 3、当x= 时，分式1
1
2+-x x 的值为0 。https://www.doczj.com/doc/f218579896.html,
4、当x= 时，分式22x x +的值为正，当x= 时，分式1
1
32+-a a 的值为非负数。 5、甲,乙两人分别从两地同时出发,若相向而行,则a 小时相遇;若同而行则b 小时甲追上乙,那么甲的速
度是乙的速度的（ ）倍. Ａ.
b b a + Ｂ.b a b + Ｃ.a b a b -+ Ｄ.a b a
b +-
6、“循环赛”是指参赛选手间都要互相比赛一次的比赛方式．如果一次乒乓球比赛有x 名选手报名参加，比赛方式采用“循环赛”，那么这次乒乓球比赛共有 场
7、使分式
6
3
||2
---x x x 没有意义的x 的取值是（ ） A.―3 B.―2 C. 3或―2 D. ±3 五、小结与反思：
15.1.2分式的基本性质（1）
学教目标：1、能类比分数的基本性质，推出分式的基本性质。
2、理解并掌握分式的基本性质，能进行分式的等值变形。 学教重点：分式的基本性质及其应用。
学教难点：利用分式的基本性质，判断分式是否有意义。 学教过程：
一、温故知新：1.若A 、B 均为_____式, 且B 中含有_________. 则式子
叫做分式B A
。
值为负的条件是值为正的条件是值为零的条件是无意义的条件是有意义的条件是、式子
____________,_______________________
______,_______,2B
A
3、小学里学过的分数的基本性质的内容是什么？
由分数的基本性质可知，如数c ≠0,那么
c c 3232=，5
4
54=c c
4、你能通过分数的基本性质猜想分式的基本性质吗？试一试归纳：分式的基本性质： _____________________________
用式子表示为 5、 分解因式
（1）x 2-2x = （2）3x 2+3xy=
（3）a 2-4= (4) a 2-4ab+b 2= 二、学教互动：
1、把书中 p 5的“例2”整理在下面。(包括解析)
2、填空：（1）
aby a xy
=、 （2）z y z y z y x +=++2
)
(3)(6。 3、下列分式的变形是否正确？为什么？
（1）2x
xy
x y = 、 （2）222)(b a b a b a b a --=+-。
4、不改变分式的值，使分式b a b
a +-3
2
232的分子与分母各项的系数化为整数
5、将分式
y
x x
+2中的X,Y 都扩大为原来的3倍,分式的值怎么变化?
解:
()y
x x
y x x y x x +=
+=+?2363332 所以分式中的X Y 都扩大原来的3倍,但分式的值不变。 三 1、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“—”号： （1）
b a 2-、 （2）y x 32-、 （3）n
m
43-、
（4）—n m 54- （5）b
a
32-- （6）—a x 22-
四、反馈检测：
1、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“—”号：
（1）
n m 2-= 、（2）—2b
a
-= 。 2、填空：（1）)1(1
m ab m --=ab （2）2)2(42
2-=+-a a a 、（3）ab b ab ab =++332
3.若X,Y,Z 都扩大为原来的2倍,下列各式的值是否变化?为什么 ?
(1)
z y x + (2)z
y yz
+
4、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数。
（1）121--+x x （2）3
22
+--x x
（3）11+--x x 。
5、 下列各式的变形中，正确的是（ ）
A.
2a a
ab a a b -=- B.
c b
ac ab =--11 C. 1
313-=--b a b a
D.
y
x
y x 255.0=
6、 下面两位同学做的两种变形,请你判断正误,并说明理由.
甲生：2
2
22)
()())((y x y x y x y x y x y x y x +-=++-=+-; 乙生：
2
2
22)()
)(()(y
x y x y x y x y x y
x y x --=
-+-=
+-
15.1.2分式的基本性质（2）
——（约分）
学教目标：1、进一步理解分式的基本性质，并能用其进行分式的约分。 2、了解最简分式的意义，并能把分式化成最简分式。 3、通过思考、探讨等活动，发展学生实践能力和合作意识。 学教重点：分式的约分。
学教难点：利用分式的基本性质把分式化成最简分式。 学教过程：
一、温故知新：
1、分式的基本性质是：_____________________________________________________.
用式子表示 ________________。 2、分解因式：（1）x 2—y 2 =______（2）x 2+xy=_____（3）9a 2+6ab+b 2 =_____（4）-x 2+6x-9 =_________
3、(1)使分式42+X X
有意义的X 的取值范是
(2)已知分式1
1
+-X X 的值是0,那么X
(3)使式子
1
1
+X 有意义X 的取值范围是 (4)当X 时分式
2
4
X
X +是正数。 5、自主探究：p 6-7的“思考”。
归纳：分式的约分定义： 最大公因式：所有相同因式的最 次幂的积
最简分式：
二、学教互动：
1、例1、(p 6的“例3”整理)
通过上面的约分，你能说出分式进行约分的关键是确定分子和分母___________ 2、例2、约分：
（1）3
21015xy y x -、 （2）4
4222+--m m m m 、
想一想：分式约分的方法： 1、（1）当分子和分母的都是单项式时，先找出分子和分母的最大公因式（即系数的__________与相同字母的最___次幂的积）,然后将分子和分母的最大公因式约去。 （2）、当分式的分子和分母是多项式时，应先把多项式_______, 然后约去分子与分母的________。 2、约分后，分子和分母没有_______,称为最简分式。化简分式时，通常要使结果成为_____分式或_____得形式。
三、拓展延伸： 1.约分：
（1）25
10522+--m m m
m 、 （2）、2
2222y xy x y x ++-
2.请将下面的代数式尽可能地化简，在选择一个你喜欢的数（要合适哦！）带入求值：
1
1
)1(22--+
+-a a a a
四、反馈检测：
1．下列各式中与分式
a
a b
--的值相等的是（ ）. （A ）a a b -- (B) a a b + (C) a b a - (D)a
b a
--
2．如果分式211
x x -+的值为零，那么x 应为（ ）.
（A ）1 （B ）-1 （C ）±1 （D ）0 3．下列各式的变形：①
x y x y x x -+-=；②x y x y
x x
-++=-
；③
x y x y
y x x y
-++=--；④
y x x y
x y x y
--=-++．其
中正确的是（ ）.（A ）①②③④ （B ）①②③ （C ）②③ （D ）④
4、约分：
（1）d b a bc a 10235621-、 （2）、
2
323510c b a bc a -
（3）1681622++-a a a 、 （4）m
m m m 24
422++- 、
（5）m
m m m -+-2
21
2 。 （6）224202525y xy x y x +--
15.1.2分式的基本性质（3）——（通分）
学教目标：1、了解分式通分的步骤和依据。 2、掌握分式通分的方法。
3、通过思考、探讨等活动，发展学生实践能力和合作意识。 学教重点：分式的通分。
学教难点：准确找出不同分母的分式的最简公分母。 学教过程
一、温故知新：
1、分式的基本性质的内容是 ________________ 用式子表示 _______________________
2、计算：
3
1
21+ ，运算中应用了什么方法？________. 这个方法的依据是什么？__________________.
4、猜想：利用分式的基本性质能对不同分母的分式进行通分吗？ ____________________________. 自主探究：p 7的“思考”。
归纳：分式的通分： 二、学教互动：
例1、(整理p 7的“例4”。)
最简公分母： 通分的关键是准确找出各分式的 例2、分式
22(1)x x --，323(1)x x --，5
1x -的最简公分母（ ） A ．（x-1）2 B ．（x-1）3 C ．（x-1）
D ．（x-1）2
（1-x ）3
例3、求分式
b a -1、22b a a
-、b
a b +的最简公分母 ，并通分。
三、拓展延伸：
p 8的“练习”的2.
五.反馈检测： 1、通分：（1）
bc
a y a
b x 229,6、
（2）
1
6
,1212
2-++-a a a a 、 （3）
x
x x x 32,1,1+
2、通分：（1）
a a a --11,1 （2）2
,422
+-x x
x
（3）bc
a b
ab a 2
15,32- 1
6
12122
-++-a a a a 与 3、 分式
1
21
,11,1212
22++-+-a a a a a 的最简公分母是（ ） Ａ.2
2
)1(-a Ｂ.)1)(1(2
2
+-a a Ｃ.)1(2
+a Ｄ.4
)1(-a 3.先约分再计算：
44424222
2++-+++x x x x x x x 9
69
392222++-+++x x x x x x x
4.通分并计算：
1122++-+x x x 11
2
---a a a
15.2 分式的运算 15.2.1分式的乘除（一）
学教目标 1.理解并掌握分式的乘除法则，运用法则进行简单的分式乘除运算；
2.经历探索分式的乘除法运算法则的过程，并能结合具体情境说明其合理性。 3培养学生的观察、类比、归纳能力和与同伴合作交流的情感 学教重点：掌握分式的乘除运算
学教难点：正确运用分式的基本性质约分 学教过程： 一、温故知新： 阅读课本P 10—11 与同伴交流，猜一猜 a b ×c d ＝ a b ÷c
d
= a 、c 不为 观察上面运算，可知：
分数的乘法法则：_____________________________________
分数的除法法则：_______________________________________ 你能用类比的方法的出分式的乘除法法则吗？
分式的乘法法则：_________________________________ 分式的除法法则：________________________________
___________________________________________________. 用式子表示为：即
a b ×c d
＝ a b ÷c d ＝a b ×d
c ＝ 这里字母a ，b ，c ，
d 都是整数，但a ，c ，d 不为
二、 学教互动 ：
例1、计算：{分式乘法运算,进行约分化简,其结果通常要化成最简分式或整式}
（1）y x 34·32x y （2）22-+a a ·a a 21
2+ （3）2226934x x x x x +-+?
--
例2 计算：（分式除法运算,先把除法变乘法）
（1）3xy 2
÷x y 26 （2）x
x y x y y x x +÷-22
2 （3）441
2+--a a a ÷4122--a a
三、课堂小测 1．计算：
（1）22442bc a a b -? （2）???
? ??-÷x y y x 34634
2
（3）y x 12-÷21y
x + （4）b a ·2a b
（5）（a 2
－a ）÷1-a a
（6）y x 12-÷21y
x +
2．代数式
32
34
x x x x ++÷
--有意义的x 的值是（ ） A ．3x ≠且2x -≠ B ．3x ≠且4x ≠
C ．3x ≠且3x -≠
D ．2x -≠且3x ≠且4x ≠
3．甲队在n 天内挖水渠a 米，乙队在m 天内挖水渠b 米，如果两队同时挖水渠，要挖x 米，需要多
少天才能完成？(用代数式表示)___________________________.
4．若将分式x
x x +22化简得1+x x
，则x 应满足的条件是（ ）
A. x 〉0
B. x<0
C.x 0≠
D. x 1-≠
5．若m 等于它的倒数，则分式22444222-+÷-++m m
m m m m 的值为
6．计算(1) 2221211
a a a
a a a --÷
+++ (2).2
224369a a a a a --÷+++
(3) 2
22210522y
x ab b a y x -?+ (4) )4(312162
2m m m m +÷--
四.能力提升
：1.先化简后求值: ，)(5)1)(5(2
2
a a a a a a +÷-+- 其中3
1-=a
2.先化简,再求值:
1
12+÷+-x x x x x 其中X=1+2
15.2.1分式的乘除（二）
学教目标：1．能应用分式的乘除法法则进行乘除混合运算。 2．能灵活应用分式的乘除法法则进行分式的乘除混合运算。
3．在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，体会学习数学的兴趣。 学教重点：掌握分式乘除法法则及其应用
学教难点：掌握分子分母是多项式的分式的乘除法混合运算 学教过程：
一、温故知新：
阅读课本P 6-7
1．分式的约分：________________________________________
最简分式：_______________________________________ 下列各分式中，最简分式是（ ）
A. ()()y x y x +-8534
B.y x x y +-22 C ．2222xy y x y x ++ D.()2
22y x y x +-
2．分解因式：2
2
3
2x y xy y -+= 3
a a -=
2312x -= 220.01a b -=
21
222
x x ++
= 2242x y x y -++= 3. 计算 （1）=÷?4156523 （2）=?÷25
122535
4．分数乘除法混合运算顺序是什么？
_________________________ 分式的乘除法混合运算与分数的乘除法混合运算类似
你能猜想出分式的乘除法混合运算顺序吗？
学教互动 ：
例1计算：（把书中13页的例4整理在下面）
对应练习．计算（先把除法变乘法，把分子、分母分解因式约分，然后从左往右依次计算）
三、随堂练习
1．计算
（1）2224369
a a a a a --÷
+++ （2）（ab －b 2
）÷b a b a +-22
2.已知2
331302a b a b ?
?-++-= ???．求2b b ab a b a b a b ??????÷? ? ???+-+??????
的值
四.反馈检测： 1．已知：31
=+x x ，求：的值221x
x +
2．计算2
x y y y
x x ???????÷-
? ? ?????
??的结果是（ ） A ．2x y B ．2
x y - C ．x y D ．x y -
3． 计算
（1）b b
a ?÷1
2
（2）
)2(216322b a a bc a b -?÷
（3）2222255343x y m n xym
mn xy n ?÷ （4） 22
1642168282
m m m m m m m ---÷?++++
（5）x
y y x x y y x -÷-?--9
)()()(32
4．先化简，再求值：
232
282421x x x x x x x x x +--+??÷? ?+++??．其中4
5x =-
15.2.1分式的乘除（三）
学教目标：
1.能应用分式的乘除法，乘方进行混合运算。
2．能灵活应用分式的乘除法法则进行分式的乘除乘方混合运算。
3．在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，体会学习数学的兴趣。学教重点：掌握分式乘除法法则及其应用
学教难点：掌握分子分母是多项式的分式的乘除法混合运算
学教过程：
一、温故知新：
1.忆一忆（1）a n表示_______个_____相乘。
（2）a m
·a n=______; （a m）n=____ (ab)n=______a m÷a n=_______其中a≠0
2比一比：．观察下列运算：
则
__________
3归纳：分式的乘方法则：公式：
文字叙述：
请同学们叙述分数乘方乘除混合运算顺序：
分式乘方乘除混合运算法则顺序：
二、学教互动：
1.例（把书中P14例5整理在下面）
例2．计算
（1）
3
2
2
3
a b
c
??
- ?
??
（2）
234
22
x y y
y x x
??????
?÷-
? ? ?
??
????
例3．计算（1）
23
3
24
b b b
a a a
-
??????
÷?-
? ? ?
??????
（2）
23
3
2
x y x z y z
z y x
??????
??
? ? ?
??
??
??
三、拓展延伸
1．下列分式运算，结果正确的是（）
A.n m m n n m =?3454 B bc ad d c b a =?
C . 2
22
2
42b a a b a a -=???
??- D 333
4343y x y x =???
? ?? 2．已知：x x 1
=，求9
633962
2+++÷-+-x x x x x x 的值. https://www.doczj.com/doc/f218579896.html,
3.已知a 2+3a +1=0,求 （1）a +a 1; （2）a 2+21
a
;
4．已知a,b,x,y 是有理数，且()02
=++-b y a x ，
求式子b
a b by ax a y x b bx ay a +-++÷++-+2
222的值.
四.课堂检测：
1．化简x x x x
x ÷+++1
22
2的结果为 2．若分式
4
3
21++÷
++x x x x 有意义，则x 的取值范围是 3．有这样一道题：“计算222211
1x x x x x x x
-+-÷--+的值，其中2004x =”甲同学把“2004x =”
错抄成“2040x =”，但他的计算结果也正确，你说这是怎么回事？
4.计算
（1）???
?
??-???? ??-÷-b
a a
b a b 4242
（2）-()
4
4
2
5
mn m n n m -÷???
? ??-???? ??
15.2.2分式的加减（一）
学教目标：
1、 经历探索分式加减运算法则的过程，理解其算理
2、 会进行简单分式的加减运算，具有一定的代数化归能力
3、不断与分数情形类比以加深对新知识的理解 学教重点：同分母分数的加减法 学教难点：通分后对分式的化简 学教关键点：找最简公分母 学教过程：
一、温故知新：阅读课本P 15—16
1.计算并回答下列问题
（1）12345555+++= （2）=--313234 （3）=-4132 （4）111
234
++=
2.类比分数的加减法，分式的加减法法则是：
同分母的分式相加减：
异分母的分式相加减：先 ，化为 分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。 分式加减的结果要化为
3、把上述的结论用式子表示出来 _____________________
二、学教互动
1.例1计算.（把书中的例6整理在下面）
2对应练习：
（1）b a a +2+b a ab b ++22 （2）y x x -23－y
x y
x -+2
（3）
2
1
422
-+-a a a （4）a 3+a a 515-
3例2. 计算： （1）．21y x --311y x +-－1y x - (2)6386
577575x x x x x x
--+-+
---
a c
a b +224)3( 1
12)4(2++-a a a
三、拓宽延伸 1、填空题 (1)
374x x x -+= ； (2) 542332a b
a b b a
+
+--= ； （3）
_______=-+-x
y y
y x x （4）式子
2652143x y x +-的最简公分母___________ 2、在下面的计算中，正确的是（ ） A.
a 21+
b 21 =)(21b a + B.a b ＋
c b =ac
b
2 C.a c －a c 1+=a 1 D.b a -1＋a
b -1=0 3、计算 的结果是( )
A B C D
4、 计算：
（1）252x x - （2）12-x ＋x x --11
5．.老师出了一道题“化简：23224
x x
x x +-+
+-” 小明的做法是：
原式22222
2(3)(2)2628
4444
x x x x x x x x x x x +--+----=-==----； 小亮的做法是：
原式2
2
(3)(2)(2)624x x x x x x x =+-+-=+-+-=-； 小芳的做法是： 原式32313112(2)(2)222
x x x x x x x x x x +-++-=
-=-==++-+++． 其中正确的是（ ）
()b a b
a a +-+2
.3m n n m 2+-m n n m 2++m
n n
m n m m 222+--+m n n m 23+-m
n n m 23++
A ．小明
B ．小亮
C ．小芳
D ．没有正确的
四、反馈检测：1、化简x
y y x y x ---2
2的结果是( ) (A) y x -- (B) x y - (C) y x - (D) y x +
2、甲、乙2港分别位于长江的上、下游，相距s km ，一艘游轮往返其间，如果游轮在静水中的速度是a km/h ，水流速度是b km/h ，那么该游轮往返2港的时间差是多少？
3、 计算：a c a b +224)1( 1
1
2)2(2
++-a a a
（3）
1123
----x x x x (4)
16
24432---x x
15.2.2分式的加减（二）
学教目标：
1、分式的加减法法则的应用。
2、经历探索分式加减运算法则的过程，理解其算理
3、结合已有的数学经验解决新问题，获得成就感。 学教重点：异分母分式的加减混合运算及其应用。 学教难点：化异分母分式为同分母分式的过程； 学教过程：
一、温故知新：阅读课本P 16 1、对比计算并回答下列问题 计算 ①
111234++= ②=-4
132 2．①、异分母的分数如何加减？②、类比分数，猜想异分母分式如何加减？ 你能归纳出异分母分式加减法的法则吗？
3．什么是最简公分母？ 4.下列分式
22(1)x x --，3
23(1)x x --，5
1
x -的最简公分母为（ ） A ．（x-1）2 B ．（x-1）3 C ．（x-1） D ．（x-1）2（1-x ）
5.议一议
有两位同学将异分母的分式加减化成同分母的分式加减.
小明认为，只要把异分母的分式化成同分母的分式，异分母分式的加减问题就变成了同分母分式的加减问题。小亮同意小明的这种看法，但他俩的具体做法不同。
小明： a a a a a a a a a a a a a a a 413
41344124443413222=
=+=?+??=+ 小亮：a
a a a a a 413411241443413=
+=+??=+ 你对这两种做法有何评判？与同伴交流。
发现： 异分母的分式 转化 同分母的分式 的加减 通分 的加减
通分的关键是找最简公分母
二、 学教互动 ：
例1计算：注意：分子相加减时，如果被减式分子是一个多项式，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误：分式加减运算的结果要约分，化为最简分式（或整式）。 （1）
21
422
-+-a a a （2）a 3+a a 515- （3）
三、拓展延伸 1、填空 （1）
_______=-+-x
y y
y x x （2）式子
2652143x y x +-的最简公分母 16
24432---x x n m m 2-n m -n
m +
2、计算 的结果是( )A B C D
3．阅读下面题目的运算过程
33132--=-=-=---x x x x x 上述计算过程，从哪一步出现错误，写出该步代号___________. (1)错误的 原因_________. (2) 本题正确的结论_____________.
注意：1、“减式”是多项式时要添括号！2、结果不是最简分式的应通过约分化为最简分式或者整式。
4、观察下列等式：111122?
=-，222233?=-，33
3344
?=-，…… （1）猜想并写出第n 个等式； （2）证明你写出的等式的正确性; 四、反馈检测：
1、下列各式中正确的是( ) (A)
23515x x x +=； (B) b a b a
a b ab
--=
； (C)
444x y x y y x +=--； (D) 2211
111
x x x -=
--+ 2、计算 （1） 96261312--+-+-x x x x 2
2421)2(y x y x - （3） -
m
n n m 23+-m
n n
m 23++
15.2.2分式的加减（二）
学教目标：
1.灵活应用分式的加减法法则。
2会进行比较简单的分式加减乘除混合运算。
3．结合已有的数学经验解决新问题，获得成就感和克服困难的方法和勇气。 学教重点：分式的加减乘除混合运算及其应用。 学教难点：分式加减乘除混合运算。 学教过程： 一、温故知新：
阅读课本P 17-18
1．同分母的分式相加减：
异分母的分式相加减：先 ，化为 分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。分式加减的结果要化为 2．分数的混合运算顺序是： 你能猜想出分式的混合运算顺序吗？试一试
分式的混合运算顺序是： 二、 学教互动 ： 例1 计算
(1) 121
2122++++-x x x x (2) 2
121
112a a a a ++--+-
例2计算 （1）
4
1
16122
----x x x （2） 4412222+----+x x x x x x
三、拓展延伸 1.计算 (1)
58ax ay by bx --- (2)222(1)3
32212
a a a a a a a -+-
+++++
2．若)1)(1(3-+-x x x =1+x A +1
-x B
，求A 、B 的值.
3．．已知：0=++c b a ，求3)11()11()11(++++++b
a c a c
b
c b a 的值
第15章分式单元测试卷 一、选择题（共10小题）. 1．分式有意义的条件是（） A．x≠3B．x≠9C．x≠±3D．x≠﹣3 2．关于x的分式方程＝0的解为x＝2，则常数a的值为（）A．a＝﹣1B．a＝1C．a＝2D．a＝5 3．计算（x3y2）2?，得到的结果是（） A．xy B．x7y4C．x7y D．x5y6 4．若分式的值总是正数，a的取值范围是（） A．a是正数B．a是负数C．a＞D．a＜0或a＞5．分式可变形为（） A．B．﹣C．D．﹣ 6．若分式的值等于0，则x的值为（） A．±1B．0C．﹣1D．1 7．某工程公司开挖一条500米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么所列方程正确的是（） A．B． C．D． 8．某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资8000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元．根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用是（）A．1600元B．1800元C．2000元D．2400元 9．甲，乙两个工程队，甲队修路300米与乙队修路400米所用的时间相等，乙队每天比甲队多修10米．若可列方程＝表示题中的等量关系，则方程中x表示（）A．甲队每天修路的长度
B．乙队每天修路的长度 C．甲队修路300米所用天数 D．乙队修路400米所用天数 10．若关于x的一元一次不等式组无解，且关于y的分式方程 有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．7B．8C．14D．15 二、填空题（共6小题）. 11．化简：﹣＝． 12．计算：＝． 13．计算：+＝． 14．当x＝时，分式的值为0． 15．当x时，分式无意义；当x时，分式值为零． 16．若分式的值是负数，则x的取值范围是． 三、解答题 17．解分式方程：． 18．某校庆为祝建国70周年举行“爱国读书日”活动，计划用500元购买某种爱国主义读书，现书店打八折，用500元购买的爱国主义读本比原计划多了5本，求该爱国主义读本原价多少元？ 19．某中学为了创设“书香校园”，准备购买A，B两种书架，用于放置图书．在购买时发现，A种书架的单价比B种书架的单价多20元，用600元购买A种书架的个数与用480元购买B种书架的个数相同． （1）求A，B两种书架的单价各是多少元？ （2）学校准备购买A，B两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个A种书架？
一、选择题 1． 函数y =x 的取值范围是（ ） A ．x ≥﹣2 B ．x ≥﹣2且x ≠1 C ．x ≠1 D ．x ≥﹣2或x ≠1 2．把分式22 10x y xy +中的x y 、都扩大为原来的5倍，分式的值（ ） A ．不变 B ．扩大5倍 C ．缩小为 15 D ．扩大25倍 3．下列分式是最简分式的是（ ） A ．22a a ab + B ．63xy a C ．211x x -+ D ．211 x x ++ 4．计算2 21 93x x x +--的结果是（ ） A ． 13 x - B ． 13 x + C ． 13x - D ． 233 9 x x +- 5．分式 x 5 x 6 -+ 的值不存在，则x 的取值是 A ．x ?6=- B ．x 6= C ．x 5≠ D ．x 5= 6．计算32-的结果是（ ） A ．-6 B ．-8 C ．1 8 - D ． 18 7．如果 112111S t t =+，212111 S t t =-，则12 S S =（ ） A ． 1221t t t t +- B ． 21 21 t t t t -+ C ． 12 21 t t t t -+ D ． 12 12 t t t t +- 8．下列变形正确的是（ ）． A ． 1a b b ab b ++= B ．22 x y x y -++=- C ．22 2 ()x y x y x y x y --=++ D ． 231 93 x x x -=-- 9．已知有理式：4x 、4a 、1x y -、34x 、12 x 2、1 a ＋4，其中分式有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 10．下列各式中的计算正确的是（ ） A ．2 2b b a a = B ． a b a b ++=0 C ． a c a b c b +=+ D ． a b a b -+-=-1 11．人体中红细胞的直径约为0.000 007 7 m ，用科学记数法表示该数据为 （ ）
人教版八年级数学上册导学案 第十五章 分式 15.2.1分式的乘除 【学习目标】 1. 掌握分式的乘除运算法则，并利用法则进行运算及解决有关的简单的实际问题； 2．能应用分式的乘除法法则进行乘除混合运算。 3．在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，体会学习数学的兴趣。 【课前预习】 1．下列运算正确的是（ ）． A ．22423a a a += B ．222()m n m n -=- C ．331a a a a ??÷-?=- ??? D ．()326x x -=- 2．已知22439 x x x -÷--，这是一道分式化简题，因为一不小心一部分被墨水污染了，若只知道该题化简的结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是（ ） A ．3x - B ．2x - C ．3x + D ．2x + 3．计算21133 x x x ??-? ?+??的结果是（ ） A ．13x x - B ．13x x -- C ．13x x + D ．13x x +- 4．下列运算正确的是（ ） A ．2a 3?a 4＝2a 12 B ．（﹣3a 2）3＝﹣9a 6 C ．a 2÷a×1a ＝a 2 D ．a?a 3+a 2?a 2＝2a 4 5．化简211m m m m --÷的结果是 （ ） A ．m B ．1m C ．1m - D ．1m m -
6．若a 与()b -互为相反数，则221921992020a b ab +的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2020 7．化简221121a a a a a --÷++的结果是（ ） A ．12 B ．1a a + C ．1a a + D ．12 a a ++ 8．下列计算结果正确的有（ ） ①2313x x x x x ?=；②22323864a a b a b ???-=- ???；③222111 a a a a a a ÷=-+-；④1a b a b ÷?=；③()22221a b a b b a ab ????-?-÷= ? ????? ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9．222142x x x ÷--的计算结果为（ ） A ．2x x + B ．22x x + C ．22x x - D ．2(2) x x + 10．植树节时，某班学生平均每人植树6棵．如果单独由女生完成，每人应植树15棵，那么单独由男生完成，每人应植树（ ） A ．9棵 B ．10棵 C ．12棵 D ．14棵 【学习探究】 阅读课本，完成下列问题 1、约分：⑴233123ac c b a = ⑵ ()2xy y y x += ⑶ ()22y x xy x ++= ⑷() 222y x y x --= 2、分数的乘除： 32×54=()()()()??,75×92=()()()() ??，
第十五章分式 教材分析 本章的主要内容包括：分式的概念，分式的基本性质，分式的约分与通分，分式的加、减、乘、除运算，整数指数幂的概念及运算性质，分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法。 全章共包括三节： 15．1分式 15．2分式的运算 15．3分式方程 其中，15．1 节引进分式的概念，讨论分式的基本性质及约分、通分等分式变形，是全章的理论基础部分。11．2节讨论分式的四则运算法则，这是全章的一个重点内容，分式的四则混合运算也是本章教学中的一个难点，克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种运算法则及运算顺序。在这一节中对指数概念的限制从正整数扩大到全体整数，这给运算带来便利。11．3节讨论分式方程的概念，主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程。解方程中要应用分式的基本性质，并且出现了必须检验（验根）的环节，这是不同于解以前学习的方程的新问题。根据实际问题列出分式方程，是本章教学中的另一个难点，克服它的关键是提高分析问题中数量关系的能力。 分式是不同于整式的另一类有理式，是代数式中重要的基本概念；相应地，分式方程是一类有理方程，解分式方程的过程比解整式方程更复杂些。然而，分式或分式方程更适合作为某些类型的问题的数学模型，它们具有整式或整式方程不可替代的特殊作用。
借助对分数的认识学习分式的内容，是一种类比的认识方法，这在本章学习中经常使用。解分式方程时，化归思想很有用，分式方程一般要先化为整式方程再求解，并且要注意检验是必不可少的步骤。 （二）本章知识结构框图 （三）课程学习目标 本章教科书的设计与编写以下列目标为出发点： 1．以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式。 2．类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则。 3．类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则。 4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系。 5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想。 （四）课时安排
分式化简、解分式方程和应用题三个重要问题 一、分式化简 1. 在分式的运算中，有整式时，可以把整式看做分母为1的式子，然后再计算。 2. 要注意运算顺序，先乘方、再乘除、后加减，同级运算从左到右（谁在前先 算谁）依次进行。有括号的先算括号里面的 3. 如果分式的分子分母是多项式，可先分解因式，再运算。 4. 注意分式化简题不能去分母. 1.先化简，再求值：23393 x x x ++--，其中1x =-． 2．先化简，再求值 4 421642++-÷-x x x x ，其中 x = 3 ． 3．先化简，再求值：22424412x x x x x x x -+÷--++-，其中x ＝2－2． 4.计算：2228224a a a a a a +-??+÷ ?--?? 5.化简: 35(2)482y y y y -÷+---
6.化简，： 2211()22x y x y x x y x +--++， 7.先化简，再求值：211122 x x x -??-÷ ?++??，其中2x =． 8.计算：22221(1)121 a a a a a a +-÷+---+． 二．分式方程： 解分式方程的步骤： 1、去分母，化分式方程为整式方程两边同乘 以最简公分母，分子要括起来， 2、解整式方程-------去括号、移项、合并同类项、系数化为1 3、检验-------带入最简公分母，若为零，则为増根，应舍去。 1、解分式方程： 2131 x x =--． 2、解方程223-=x x
3、解分式方程： 3131=---x x x 4、解方程： 22333x x x -+=-- 5、解方程 22111x x =--- 6、解方程： x x x -=+--23123. 7、解分式方程： 6122x x x +=-+ 8、 解方程33122x x x -+=--．
振兴初中八年级数学（下）导学案 课题：16、1、1 从分数到分式 课型：新课 课时： 主备人：李英 审核人： 编号;SX-8-1-1 学习目标：1、了解分式产生的背景和分式的概念以及分式与整式概念的区别与联系。 2、掌握分式有意义的条件，进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感。 3、以描述实际问题中的数量关系为背景，体会分式是刻画现实生活中数量关系的一类代数式。 重点： 分式的概念和分式有意义的条件。 难点： 分式的特点和分式有意义的条件。 一、预习新知： 1、 什么是整式？ 2、 下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？两者有什么区别？ a 21；2x+y ； 2y x - ；a 1 ；x y x 2- ；3a ；5 . 3、 阅读“引言”， “引言”中出现的式子是整式吗？ 4、 自主探究：完成p 2的“思考”，通过探究发现， a s 、s V 、v +20100、v -2060与分数一样，都是 的形式，分数的分子A 与分母B 都是 ，并且B 中都含有 。 5、 归纳：分式的意义： 。上面所看到的 a 1 、x y x 2-、a s 、s V 、v +20100、v -2060都是 。 我们小学里学过的分数有意义的条件是 。那么分式有意义的条件 是 。 二、课堂展示： 例1、在下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）、5x-7 ；（2）、3x 2-1 ；（3）123+-a b ；（4）、7 ) (p n m +；（5）、—5 ；（6）、1222-+-x y xy x 。 （7）、 72；（8）、c b +54 。 例2、p 3的“例1” 例3、x 为何值时，下列分式有意义？ （1）、1-x x ； （2）、1 5622++-x x x （3）、242+-a a ； 例4、x 为何值时，下列分式的值为0？ （1）、1 1 +-x x ；（2）、392+-x x ；（3）、112+-a a （4）11--x x 三、随堂练习： p 4的“练习” 四、课堂检测： 1、下列各式中，（1）y x y x -+（2）1 32+x （3）x x 13-（4）π22y xy x ++（5）14.3--πb a （6）0.整式是 ， 分式是 。（只填序号） 2、当x= 时，分式2 +x x 没有意义。3、当x= 时，分式112+-x x 的值为0 。 4、当x= 时，分式22x x +的值为正，当x= 时，分式1 1 32+-a a 的值非负。 5、甲,乙两人分别从两地同时出发,若相向而行,则a 小时相遇;若同而行则b 小时甲追上乙,那么甲的速度是乙 的速度的（ ）倍. Ａ. b b a + Ｂ.b a b + Ｃ.a b a b -+ Ｄ.a b a b +- 6、“循环赛”是指参赛选手间都要互相比赛一次的比赛方式．如果一次乒乓球比赛有x 名选手报名参加，比赛方式采用“循环赛”，那么这次乒乓球比赛共有 场 7、使分式6 3 ||2 ---x x x 没有意义的x 的取值是（ ）A.―3、B.―2、C. 3或―2、D. ±3 五、小结与反思：
第15章检测题 (时间：120分钟 满分：120分) 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．使分式x －32x －1 有意义的x 的取值范围是( ) A ．x≥12 B ．x≤12 C ．x ＞12 D ．x≠12 2．下列分式运算中，结果正确的是( ) A ．a －3b 2÷a －2b 2＝1a B ．(－3x 4y )4＝－3x 4 －4y 3 C ．(2a a ＋c )2＝a 2c 2 D .b a ＋d c ＝bd ac 3．化简xy －2y x 2－4x ＋4 的结果是( ) A .x x ＋2 B .x x －2 C .y x ＋2 D .y x －2 4．已知a ＝2－2，b ＝(3－1)0，c ＝(－1)3，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞b D ．b ＞c ＞a 5．花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000037毫克，已知1克＝1000毫克，那么0.000037毫克可以用科学记数法表示为( ) A ．3.7×10－8克 B ．3.7×10－7克 C ．3.7×10－6克 D ．3.7×10－5克 6．化简(1－2x ＋1)÷1x 2－1 的结果是( ) A ．(x ＋1)2 B ．(x －1)2 C .1（x ＋1）2 D .1（x －1）2 7．分式方程1x －1－2x ＋1＝4x 2－1 的解是( ) A ．x ＝0 B ．x ＝－1 C ．x ＝±1 D ．无解 8．若分式2x －1 与1互为相反数，则x 的值为( ) A ．－2 B ．1 C ．－1 D ．2 9．(·北海)北海到南宁的铁路长210千米，动车运行后的平均速度是原来火车的1.8倍，这样由北海到南宁的行驶时间缩短了1.5小时，设原来火车的平均速度为x 千米/时，则下列方程正确的是 ( )
第十五章分式 本章的内容包括：分式、分式的运算、分式方程． 本章我们将类比分数学习分式，解一些分式方程，并学会解能化为一元一次方程的分式方程及利用分式的知识解决一些实际问题．在中考中，本章重点在考查分式有意义的条件、分式的化简与求值、分式方程及其应用． 【本章重点】 利用分式的基本性质进行约分和通分、分式的混合运算及列分式方程解决实际问题．【本章难点】 分式的混合运算及列分式方程解决实际问题． 【本章思想方法】 1．掌握类比思想．如：类比分数的概念及性质理解分式的概念及性质，类比分数的运算法则理解分式的运算法则．
2．掌握转化思想．如：把除法转化为乘法，把异分母分式加减法转化为同分母分式加减法，把分式方程转化为整式方程． 3．体会数学建模思想．如：在利用分式方程解决实际问题时，需根据实际问题建立数学模型，从而列出分式方程求解． 15．1分式2课时 15．2分式的运算5课时 15．3分式方程2课时
15．1分式 15．1.1从分数到分式(第1课时) 一、基本目标 【知识与技能】 1．理解分式的定义，能够根据定义判断一个式子是否是分式． 2．能够确定一个分式有意义、无意义的条件． 3．能用分式表示现实情境中的数量关系． 【过程与方法】 经历类比、探究的过程，理解分式的概念和分式有意义的条件，在此基础上，利用分式有意义的条件求分式中未知数的值． 【情感态度与价值观】 类比分数的概念理解分式的概念，养成类比思考的习惯，探究分式有意义的条件，形成缜密的思维方式． 二、重难点目标 【教学重点】 分式的概念及分式有意义、无意义的条件． 【教学难点】 利用分式有意义的条件求未知数的值．
1 分式化简、解分式方程与应用题三个重要问题 一、分式化简 1、 在分式的运算中,有整式时,可以把整式瞧做分母为1的式子,然后再计算。 2、 要注意运算顺序,先乘方、再乘除、后加减,同级运算从左到右(谁在前先 算谁)依次进行。有括号的先算括号里面的 3、 如果分式的分子分母就是多项式,可先分解因式,再运算。 4、 注意分式化简题不能去分母、 1、先化简,再求值:23393 x x x ++--,其中1x =-. 2.先化简,再求值 4 421642++-÷-x x x x ,其中 x = 3 . 3.先化简,再求值:22424412 x x x x x x x -+÷--++-,其中x ＝2－2. 4、计算:2228224a a a a a a +-??+÷ ?--?? 5、化简:35(2)482y y y y -÷+--- 6、化简,:2211()22x y x y x x y x +--++, 7、先化简,再求值:211122 x x x -??-÷ ?++??,其中2x =. 8、计算:22221(1)121 a a a a a a +-÷+---+. 二.分式方程: 解分式方程的步骤: 1、去分母,化分式方程为整式方程两边同乘 以最简公分母,分子要括起来, 2、解整式方程-------去括号、移项、合并同类项、系数化为1
2 3、检验-------带入最简公分母,若为零,则为増根,应舍去。 1、解分式方程:2131 x x =--． 2、解方程223-=x x 3、解分式方程: 3131=---x x x 4、解方程:22333x x x -+=-- 5、解方程 22111x x =--- 6、解方程:x x x -=+--23123、 7、解分式方程: 6122x x x +=-+ 8、 解方程33122x x x -+=--. 三.列分式方程——基本步骤: ① 审—仔细审题,找出等量关系。 ② 设—合理设未知数。 ③ 列—根据等量关系列出方程(组)。 ④ 解—解出方程(组)。注意检验 ⑤ 答—答题。 列方程解应用题 1、为加快西部大开发,某自治区决定新修一条公路,甲、乙两工程队承包此项工程。如果甲工程队单独施工,则刚好如期完成;如果乙工程队单独施工就要超过6
人教版 八年级数学 第15章 分式 同步训练 一、选择题 1. 计算(－2a b2 )3的结果是( ) A.2a6b2 B ．－8a3b2 C.8a3b6 D ．－8a3b6 2. 把分式方程2 x ＋4 ＝1x 转化为一元一次方程时，方程两边需同乘( ) A ．x B ．2x C ．x ＋4 D ．x (x ＋4) 3. 下列各式中是最简分式的是 ( ) A . B . C . D . 4. 下列分式中，最简分式是 ( ) A . B . C . D . 5. 将分式3a a2－b2 通分后分母变成2(a －b)2(a ＋b)，那么分子应变为( ) A ．6a(a －b)2(a ＋b) B ．2(a －b) C ．6a(a －b) D ．6a(a ＋b)
6. 若把分式3xy x－y (x，y均不为0)中的x和y的值都扩大为原来的3倍，则分式的值() A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的1 3 C．不变D．扩大为原来的6倍 7. 把通分后，各分式的分子之和为() A.2a2+7a+11 B.a2+8a+10 C.2a2+4a+4 D.4a2+11a+13 8. A，B两地相距m米，通信员原计划用t小时从A地到达B地，现因有事需提前n小时到达，则每小时应多走() A.米 B.米 C.米 D.米 9. 关于x的方程+=0可能产生的增根是() A.x=1 B.x=2 C.x=1或x=2 D.x=-1或x=2 10. 若m+n-p=0，则m-+n--p+的值是. 二、填空题 11. 当x＝________时，分式x－2 2x＋5的值为0.
12. 若a＝2b≠0，则a2－b2 a2－ab的值为________． 13. 若式子1 x－2和 3 2x＋1 的值相等，则x＝________． 14. 分式方程的解是． 15. 约分：a2＋2ab a2b＋2ab2 ＝________． 16. 请你写出一个分母是二项式且能约分的分式:. 17. 拓广应用已知关于x的分式方程k x＋1＋ x＋k x－1 ＝1的解为负数，则k的取值范围 是________________． 三、解答题 18. 如图①，“惠民一号”玉米试验田是半径为R m(R>1)的圆去掉宽为1 m的出水沟剩下的部分；如图②，“惠民二号”玉米试验田是半径为R m的圆中间去掉半径为1 m的圆剩下的部分，两块试验田的玉米都收了450 kg. (1)哪块试验田的玉米的单位面积产量高？ (2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
一、选择题 1．若分式的值为0，则x 的值为 A ． B ． C ．D．不存在 2．如图，设k= 甲图中阴影部分面积 乙图中阴影部分面积 （a＞b＞0），则有（）甲乙 甲
（A ）k ＞2 （B ）1＜k ＜2 （C ） 121< 8．分式 (a 、b 均为正数)，字母的值都扩大为原来的2倍，则分式的值( ) A ．扩大为原来的2倍 B ．缩小为原来的 C ．不变 D ．缩小为原来的 9．若分式2 1 1 x x -+的值为零，则x 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．±1 10．使代数式726 x x --有意义的x 的取值范围是( ) A ．x≠3 B ．x ＜7且x≠3 C ．x≤7且x≠2 D ．x≤7且x≠3 11．分式 （a ，b 均为正数），字母的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A ．扩大为原来2倍 B ．缩小为原来倍 C ．不变 D ．缩小为原来的 12．如果把 223y x y -中的x 和y 都扩大5倍，那么分式的值（ ） A.扩大5倍 B.不变 C.缩小5倍 D.扩大10倍 13．无论x 取何值，总是有意义的分式是（ ） A ． 21 x x + B ． 2 21 x x + C ． 3 31 x x + D ． 21x x + 14．如果为整数，那么使分式 2 22 21 m m m +++的值为整数的的值有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 15．无论a 取何值，下列分式总有意义的是( ) A ． 2 1 a a + B ． 21 1 a a -+ C ． 21 1 a - D ． 11 a + 16．下列式子：2222 2213,, ,,,x y a x x a b a xy y π----其中是分式的个数( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 17．若分式 的值为0，则x 的值是（ ） A ．3 B -3 C ．4 D ．-4 18．已知115ab a b =+，117bc b c =+，116ca c a =+，则 abc ab bc ca ++的值是（ ） A ． 121 B ．122 C ．123 D ．124 19．已知实数 a ， b ，c 均不为零，且满足 a ＋ b ＋c=0，则 222222222 111 b c a c a b a b c ++ +-+-+-的值是（ ） 第十五章 分 式 15．1 分 式 15．1.1 从分数到分式 1．了解分式的概念，理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件． 2．能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件． 重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件． 难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件． 一、自学指导 自学1：自学课本P127－128页，掌握分式的概念，完成填空．(5分钟) 总结归纳：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式，分 式A B 中，A 叫做分子，B 叫做分母． 点拨精讲：分式是不同于整式的另一类式子，它的分母中含有字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性． 自学2：自学课本P128页“思考与例1”，理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件．(5分钟) 总结归纳：分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠0时，分式A B 才有意义；当B ≠0，A ＝0时，分式A B ＝0. 点拨精讲：分式的分数线相当于除号，也起到括号的作用． 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟) 课本P128－129页练习题1，2，3. 小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟) 探究1 当x 取何值时：(1)分式12x 2x －3有意义？(2)分式12x 2x 2＋3有意义？(3)分式3x 2x －1无意义？(4) 分式12x |x|－3无意义？(5)分式|x|－22x ＋4的值为0？(6)分式x 2－9x －3 的值为0? 解：(1)要使分式12x 2x －3有意义，则分母2x －3≠0，即x ≠32；(2)要使分式12x 2x 2＋3有意义，则分 母2x 2＋3≠0，即x 取任意实数；(3)要使分式3x 2x －1无意义，则分母2x －1＝0，即x ＝1 2；(4)要使分 式 12x |x|－3无意义，则分母|x|－3＝0，即x ＝±3；(5)要使分式|x|－22x ＋4的值为0，则有? ????|x|－2＝02x ＋4≠0，即x ＝2；(6)要使分式x 2－9 x －3的值为0，则有? ????x 2 －9＝0x －3≠0，即x ＝－3. 学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟) 人教八年级数学上册第15章分式同步练习及（含答案） 15.1.1 从分数到分式 一﹨选择题 1． 下列各式①3x ，②5x y +，③12a -，④2x π-（此处π为常数）中，是分式的有（ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①②③④ 2． 分式21x a x +-中，当x a =-时，下列结论正确的是（ ） A ．分式的值为零 B ．分式无意义 C ．若12a ≠-时，分式的值为零 D ．若12 a =-时，分式的值为零 3． 下列各式中，可能取值为零的是（ ） A ．2211m m +- B ．211m m -+ C ．211m m +- D ．211 m m ++ 4． 使分式21 a a -无意义，a 的取值是（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 5. 下列各式中，无论x 取何，分式都有意义的是（ ） A ．121x + B ．21x x + C ．231x x + D ．2 221 x x + 6. 使分式||1 x x -无意义，x 的取值是（ ） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．±1 7.下列各式是分式的是 （ ） A ．9x+4 B.x 7 C.209y + D. 5 x y + 8. 下列各式中当x 为0时，分式的值为0的是 （ ） A. B. C. D. x 7 二﹨填空题 9．________________________统称为整式． x x 57+x x 3217-x x x --221 10.甲种水果每千克价格a 元，乙种水果每千克价格b 元，取甲种水果m 千克，乙种水果n 千克，混合后，平均每千克价格是_________． 11.下列各式a π，11x +，15x+y ，22a b a b --，-3x 2，0?中，是分式的有___________；是整式的有___________；是有理式的有_________． 12． 梯形的面积为S ，上底长为m ，下底长为n ，则梯形的高写成分式 为 ． 13． 下列各式11x +，1()5x y +，22 a b a b --，23x -，0?中，是分式的有______ _____；是整式的有___ ______． 14． 当x =_______ ___时，分式 x x 2121-+无意义；当x =______ ____时，分式2134 x x +-无意义． 15． 当x =____ __时，分式3 92--x x 的值为零；当x =______ ____时，分式2212 x x x -+-的值为零. 16． 当x =___ ___时，分式 436x x +-的值为1；当x ___ ____时，分式271 x -+的值为负数． 17. 当x 时，分式2132x x ++有意义；当x 时，分式2 323 x x +-有意义. 18. 当x_______时，分式 15x -+的值为正；当x______时，分式241 x -+的值为负． 19．若把x 克食盐溶入b 克水中，从其中取出m 克食盐溶液，其中含纯盐________． 20．李丽从家到学校的路程为s ，无风时她以平均a 米/?秒的速度骑车，便能按时到达，当风速为b 米/秒时，她若顶风按时到校，请用代数式表示她必须提前_______出发． 21．永信瓶盖厂加工一批瓶盖，甲组与乙组合作需要a 天完成，若甲组单独完成需要b 天，乙组单独完成需_______天． 三﹨解答题 22．已知234x y x -=-，x 取哪些值时： （1）y 的值是正数；（2）y 的值是负数；（3）y 的值是零；（4）分式无意义． 第十五章 分式 15.1 分式 15.1.1 从分式到分式 1、一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 2、与分式有关的条件 （1）分式有意义：分母不为0（0B ≠） （2）分式无意义：分母为0（0B =） （3）分式值为0：分子为0且分母不为0（???≠=0 0B A ） （4）分式值为正或大于0：分子分母同号（???>>00B A 或? ??<<00B A ） （5）分式值为负或小于0：分子分母异号（???<>00B A 或???><0 0B A ） （6）分式值为1：分子分母值相等（A=B ） （7）分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 例1．若24 x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞4 B ．x≠4 C ．x≥4 D ．x ＜4 【答案】B ． 【解析】 试题解析：由题意得，x-4≠0， 解得，x≠4， 故选B ． 考点：分式有意义的条件． 考点：分式的基本性质． 例2．要使分式1(1)(2) x x x ++-有意义，则x 应满足 （ ） A ．x≠-1 B ．x≠2 C ．x≠±1 D ．x≠-1且x≠2 【答案】D ． 【解析】 试题分析：∵（x+1）（x ﹣2）≠0，∴x+1≠0且x ﹣2≠0，∴x≠﹣1且x≠2．故选D ． 考点：分式有意义的条件． 例3．下列各式：，，，，中，是分式的共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C ． 【解析】 试题分析：，，中分母中含有字母，因此是分式．故分式有3个．故选C ． 考点：分式的定义． 例4．当x= 时，分式0． 【答案】1 【解析】 试题分析：由题意得：210x -=，且x+1≠0，解得：x=1，故答案为：1． 考点：分式的值为零的条件． 15.1.2 分式的基本性质 1、分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：A A B C B C ?=?，C B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：B B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。 例1 x 、y 都扩大到原来的10倍，则分式的值（ ） A ．扩大100倍 B ．扩大10倍 C ．不变 D 【答案】C ． 【解析】 x 、y 都扩大到原来的10 故选C ． 2b a -x x 3+πy +5b a b a -+)(1y x m -x x 3+b a b a -+)(1y x m - 1 分式化简、解分式方程和应用题三个重要问题 一、分式化简 1. 在分式的运算中，有整式时，可以把整式看做分母为1的式子，然后再计 算。 2. 要注意运算顺序，先乘方、再乘除、后加减，同级运算从左到右（谁在前先 算谁）依次进行。有括号的先算括号里面的 3. 如果分式的分子分母是多项式，可先分解因式，再运算。 4. 注意分式化简题不能去分母. 1.先化简，再求值：23393 x x x ++--，其中1x =-． 2．先化简，再求值 4 421642++-÷-x x x x ，其中 x = 3 ． 3．先化简，再求值：22424412x x x x x x x -+÷--++-，其中x ＝2－2． 4.计算：2228224a a a a a a +-??+÷ ?--?? 5.化简: 35(2)482y y y y -÷+--- 2 6.化简，： 2211()22x y x y x x y x +--++， 7.先化简，再求值：211122 x x x -??-÷ ?++??，其中2x =． 8.计算：22221(1)121 a a a a a a +-÷+---+． 二．分式方程： 解分式方程的步骤： 1、去分母，化分式方程为整式方程两边同乘 以最简公分母，分子要括起来， 2、解整式方程-------去括号、移项、合并同类项、系数化为1 3、检验-------带入最简公分母，若为零，则为増根，应舍去。 1、解分式方程： 2131 x x =--． 2、解方程223-=x x 3 3、解分式方程：313 1=---x x x 4、解方程：22 333x x x -+=-- 5、解方程22 1 11x x =--- 6、解方程：x x x -=+--23 123. 7、解分式方程：6 122x x x +=-+ 第十五章分式导学案 16.1.1 从分数到分式 1、能判断一个代数式是否为分式 2、能说出一个分式有意义的条件 3、会求分式值为零时，字母的取值 会求分式有意义时，字母的取值范围 求分式值为零时，字母的取值 1.自主探究：什么是整式？ 2.完成 P127--128 页思考后回答问题： 一般的，整式A除以整式 ____________ B，可以写成的形 式。如果 B 中含有 __ A 式子A就叫 _ ，其中 A叫___ ， B叫 ___ 。 B 3.分式有意义的条件是什么？分式的值为O的条件是什么？ 4.我的疑惑： 1.下列哪些代数式是整式，哪些代数式是分式？ ① b ② 2a+b ③ - 2 ④ 2x ⑤ a ⑥ 2 ⑦ x- z 2a 3x 3 3 x 5 y 整式有：；分式有： 2.（对照例 1 ）解答： 已知：分式x 2 3x 4 1）当x 取何值时，分式没有意义？ 3.当 x 为何值时，下列各式有意义？2 ）当 x取何值时，分式有意义？ 4. 当 x 取何值时，分式的值为 0？ 2x 2x 5x ，，2. 2 x 4 x 1 x21 、质疑导学： 1 ．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 2x 1 时 , 分式 2x 1 无意义 .4. 当 ___ 3x 4 4x 3 __时 , 分式 x 的值为 1.6. 当 时 , 分式 x 有意义 . 8x 6 ___时 , 分式 1 的值为正 . x5 归纳小结： 1. 判别分式的方法： 9x+4, 7 , 9 y x 20 整式有： 2. 当 x 取什么值时，下列分式有意义？ m4 5 8y 3 1 x9 x1 x （ 3） 2x 1 x3 （ 2） 2 1） 1 （ 4） 1 ） 2） 3） 需要的条件为（ 1） 2） 1 、式子① 2 ② x y x5 1 2a A. ①②③⑥ B . ①③⑤ 2、分式有意义的条 件 3. 分式的值为零所 1 ⑤ ＋4 1a C. ①③ D. ① ② y 中，是分式的有 （ 2 、分式 x a 中，当 3x 1 A ．分式的值为零 a 时，下列结论正 确的是 （ B . 1 C. 若 a 时 , 分式的值为零 3 分式无意义 1 D. 若 a 时 , 分式的值为零 3 五、学后反思 ： 时分式 2 x 的 值 为负 1 16.1.2 分式的基本性质（ 1 ） 第十五章 分式 15．1分式 15.1.1从分数到分式 教学目标 1． 了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 重点难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 一、课堂引入 1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：，，，. 2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为小时，逆流航行60千米所用时间小时， 所以=. 3. 以上的式子，，，，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不 同点？ 二、例题讲解 P128例1. 当x 为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．．满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 三、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, , , , ， 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 3. 当x 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) 四、布置作业 课本P133习题15.1第1、2、3题 7 10a s 33 200s v v +20100v -2060v +20100v -2060v +20100v -2060a s s v x 7209y +54-m 238y y -91-x 1-m m 3 2 +-m m 112+-m m 4522--x x x x 235-+2 3+x x x 57+x x 3217-x x x --2 21 第十五章分式 §15.1.1从分数到分式 一、 教学目标 1.了解分式概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、教学过程 （一）让学生填写[思考]，学生自己依次填出：，，，. （二）问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为小时，逆流航行60千米所用时间 小时，所以=. （三） 以上的式子，，，，有什么共同点？它们与分数有什 么相同点和不同点？ 可以发现，这些式子都像分数一样都是 （即A ÷B ）的形式.分数的分子A 与分母B 都是整数，而这些式子中的A 、B 都是整式，并且B 中都含有字母. [思考]引发学生思考分式的分母应满足什么条件，分式才有意义？由分数的分母不能为零，用类比的方法归纳出：分式的分母也不能为零.注意只有满足了分 式的分母不能为零这个条件，分式才有意义.即当B ≠0时，分式 才有意义. （四）例题讲解 例1. 当x 为何值时，分式 有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解出字母x 的取值范围. (补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．．满足两个条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. （五）随堂练习 1.判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, , , , ， 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 7 10a s 33 200s v v +20100v -2060v +20100v -2060v +20100v -2060a s s v B A x 720 9y +5 4-m 2 38y y -9 1-x 1 -m m 32+-m m 112+-m m 4 5 22--x x x x 235-+2 3+x 2 31 2-+x x《分式》全章导学案
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