杨辉三角（1） 目的要求 1．了解有关杨辉三角的简史，掌握杨辉三角的基本性质。 2．通过研究杨辉三角横行的数字规律，培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力。 3．通过小组讨论，培养学生发现问题。探究知识、建构知识的研究型学习习惯及合作化学习的团队精神。 内容分析 本课的主要内容是总结杨辉三角的三个基本性质及研究发现杨辉三角横行的若干规律。 杨辉三角的三个基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质，它是研究杨辉三角其他规律的基础。杨辉三角横行的数字规律主要包括横行各数之间的大小关系。组合关系以及不同横行数字之间的联系。 研究性课题，主要是针对某些数学问题的深入探讨，或者从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究。目的在于培养学生的创新精神和创造能力。它要求教师给学生提供研究的问题及背景，让学生自主探究知识的发生发展过。从问题的提出、探索的过程及猜想的建立均主要由学生自主完成，教师不可代替，但作为组织者，可提供必要指导。 教师首先简介杨辉三角的相关历史，激发学生的民族自豪感和创造欲望，然后引导学生总结有关杨辉三角的基本知识（研究的基础）及介绍发现数字规律的主要方法（研究的策略），并类比数列的通项及求和，让学生对n阶杨辉三角进行初步的研究尝试活动，让学生充分展开思维进入研究状态。 以下主要分小组合作研究杨辉三角的横行数字规律，重点发现规律，不必在课堂上证明。 教学过程 （一）回顾旧知 1．用电脑展示贾宪三角图、朱泄杰的古法七乘方图、帕斯卡三角图（附后），同时播放用古代民族乐器演奏的音乐。
教师介绍杨辉三角的简史：北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》（1961年）记载并保存了“贾宪三角”，故称杨辉三角。元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。 2．用电脑展示15阶杨辉三角或事先印好15阶杨辉三角分发给学生。对照杨辉三角，回顾高二下学期学过的杨辉三角的构造及基本性质，并由学生叙述。 1°与二项式定理的关系：杨辉三角的第n行就是二项式 n b a) (+展开 式的系数列 } {R N C。 2°对称性：杨辉三角中的数字左、右对称，对称轴是杨辉三角形底边 上的“高”，即 r n n r n c C- =。 3°结构特征：杨辉三角除斜边上1以外的各数，都等于它“肩上”的 两数之和，即 r n r n n r n C c C 1 1- - - + =。 （二）分组研究杨辉三角横行规律（将全班学生按前后排四或五人一组分成若干研究小组） 1．介绍数学发现的方法：杨辉三角中蕴涵了许多优美的规律。古今中外，许多数学家如贾宪、杨辉、朱世杰、帕斯卡、华罗庚等都曾深入研究过，并将研究结果应用于其他工作。他们研究的方法可以归纳为：
杨辉三角与二项式系数的性质 教学反思 本节课有以下几点值得一提： 一、目标定位准确 本节课，在充分挖掘教学内容的内在联系，了解学生已有知识基础，充分分析学情后，确定的教学目标：理解、领悟二项式系数性质；渗透数形结合和分类讨论思想；灵活有效地运用赋值法.应该说具有具体而又准确，科学而有效的特点.随着课堂的实践得到了落实，并且将“知识目标”、“能力目标”、“情感目标”融为一体. 教学目标基本符合学生“认识规律”，以递进的形式呈现：观察分析、归纳猜想、抽象概括，提炼上升；特殊——一般——特殊到一般…，课堂实践表明，这些目标，在师生共同努力及合作下是完全可以达到的. 二、突出主体地位 1．放手发动学生 把课堂还给学生，一直是课改的大方向，也是新课标的原动力之一. 还给学生什么呢？教师作了很好的诠释： 一是给“问题”，当然问题有预设的，也有生成的，符合从学生“思维最近发展区”出发这一根本教学原则. 二是给“时间”，这体现了教师的先进教学理念，即便是教学难点“中间项系数最大”这一组合数计算讨论过程仍由学生尝试. 当然，n=6，7时，离散型函数的图象起了直观引领，奠基的重要作用. 不为完成任务所累，不为主宰课堂所困. 三是给“机会”，让学生展示自主探索，合作交流的成果，极大地保护和激发了学生学习的热情和积极性，参与程度和激情得到了空前的提高. 2．彰显理性数学 本节课，无论是对称性，增减性（最大值），及二项式系数和的逐步生成，学生都能从“特殊到一般”的认识规律，归纳猜想到结论. 但数形结合的函数思想，组合数两个性质的运用，两个计数原理的巧妙“会师”，奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，反馈升华例示中赋值法再现. 这正是“数学演绎”、“理性数学”的精华，让学生找到内化和建构的多种途径.
1.3.2二项式系数的性质(第一课时) 学校：新塘中学 班级：高二A8班 教师：段建辉 ●教学目标 （一）知识与技能 1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和. 2.掌握“赋值法”，并会简单应用 （二）情感与价值观 1.树立由一般到特殊及特殊到一般的意识. 2.了解中国古代数学成就及地位．．．．．．．．．．．．． ●教学重点：二项式系数的性质 ●教学难点：二项式系数的最大值的理解与二项展开式中系数最大项有的求解. ●教学方法:发现法 ●授课类型：新授 ●教学情境设计： 一、复习回顾 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++L L . 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 二、引入 通项公式中的r n C ，我们称其为二项式系数.当n 依次取1，2，3…时， n b a )(+二项式系数，如下表所示：
表1 此表叫二项式系数表,早在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现了又叫杨辉三角.国外最早发现是在欧洲,叫帕斯卡三角，比中国晚了500年 下面我们可以利用“杨辉三角”来研究二项式系数的性质 三、探究 观察二项式系数表,根据提示的方法,寻找表中的规律. 【注意】 ?1）不要孤立的看、规律应该体现在联系之中 ?2）既要注意横向观察，也要注意纵向观察，横向观察是重点 ?3）可以结合函数图象或图表来研究，也可以和集合作联系 1、二项式系数表的规律 ①每行两端都是1 ②除1以外的每1个数都等于它肩上两个数的和（如何用数学知识解释？） 【提示】设这一数为r C 1-r n 和C r n ，由组合数知识可知： 1 1 01C C 02 C 12 C 2 2C 03 C 13 C 23 C 33 C 1 4C 0 4 C 3 4C 2 4C 4 4C 0 5C 1 5C 2 5C 35 C 4 5C 55 C
杨辉三角及其空间拓展 株洲市二中G0216 刘子儒郭时伟 摘要 本文首先对杨辉三角中特有的数学规律作了初步探索，发现了其奇偶排列的等边三角形现象。然后，在研究中，我们在空间杨辉三角的问题上迈出了第一步——由平面杨辉三角走向三维杨辉三角。我们在研究过程中推导出了三维杨辉三角数坐标公式，并总结出其与三项式系数的关系。在三维杨辉三角模型的基础上我们又续而导出四维杨辉三角和N维杨辉三角。经过努力的研究，最后归纳出了四维及N维杨辉三角数坐标公式。由此得出了N 项式展开项系数定理。在研究过程中我们还有机地结合现代计算机技术协助公式的推导，并将其付之实用，进一步完善了课题的研究。对此,还有几名著名的数学教授提出了宝贵的意见。 这些都是前人从未涉足过的领域，而这篇论文把这次研究的新颖性给淋漓尽致地体现出来了。 关键词：杨辉三角空间公式系数 杨辉三角，作为中国古代数学中的奇迹。在数学计算中，日常生活中，无时不刻地展示着自己的魅力。从古至今，从中国到外国，有无数的学者为之着迷。 但是，以往的学者们的研究只限于平面内的杨辉三角。如果考虑到空间上的拓展，那在学术上是突破性的。所以我们决定对杨辉三角进行全面、深刻地分析，将其拓展到三维、四维乃至N维。 研究杨辉三角，是在偶然中想到的。对于多次出现在数学课本上的“杨辉三角”，不对其有些想法才是奇怪了。而恰好我的母亲又叫“杨辉”。所以，小时候第一次在《十万个为什么》中看到时就留下了深刻的印象。再加上多次、再次地在高中数学课本中“相遇”，愈发觉得亲切。 一．杨辉三角的相关信息 看似简单的一个数字列表，却蕴藏着很深的奥秘。这无疑是我国古代劳动人民智慧的结晶，也集中地体现了数学的奥妙无穷。有了它，我们可以轻易地计算两个数的和的几次方，甚至用来开一个数的几次方。 杨辉（约十三世纪）字谦光，钱塘（今浙江杭州）人，是我国南宋时的数学家，杨辉的数学著作有《讲解九章算法》十二卷，流传至今的只是其中的一部分，其中“开方作法本源”载有二项式系数三角形，后人称为杨辉三角形，此外，他还著有《日用算法》二卷，《乘除通变算宝》三卷，《田亩比类乘除捷法》二卷、《续古摘奇算法》二卷等。
1． 3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质 教学目标： 知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。 过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。 情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。 教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 第一课时 一、复习引入： 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， （2）1 (1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ +. 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课： 1二项式系数表（杨辉三角） ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数 表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2．二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成 以r 为自变量的函数()f r 定义域是{0,1,2, ,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 （∵m n m n n C C -=）． 直线2 n r = 是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k ----+-+= =? ，
研究性课题：杨辉三角 ●教学目标 (一)教学知识点 1.理解杨辉三角的性质 2.掌握有关杨辉三角的基本性质1 1 1C C C ,C C +++-=+=r n r n r n r n n r n . (二)能力训练要求 会应用杨辉三角的基本性质证明杨辉三角新的性质. (三)德育渗透目标 1.培养学生观察问题、分析问题、概括与归纳问题的能力.解决问题能力，让学生在探索过程体验数学活动，数学发现的成功的愉悦. 2.培养学生实际动手操作实践创新的能力，培养学生的创新精神，探索精神和应用能力，鼓励学生大胆猜想，相信科学. ●教学重点 杨辉三角新的性质的探索和发现是教学的重点.杨辉三角中蕴含着许多有趣的数量关系，研究和探索杨辉三角的一些性质，对于发现某些数学规律是大有裨益的.对于培养学生的创新思维能力也是不无帮助的. ●教学难点 杨辉三角新的性质的探索和发现是本节课教学难点。 ●教学方法 由于杨辉三角中的许多有趣的数量关系不是轻易发现的，而简单的告诉和求证又显得十分枯燥无味，学生的发现、探索精神和能力的培养受到了一定的限制，所以学生主动探索，发现和证明(失败时总结经验，另寻他路，重新启动，走向成功)的全程的尝试是最为主要的，这样不是被动的接受，而是主动的建构，学生的认知结构得到了较好的发展和培养，他们不仅学会了知识而且还学会了如何面对困难、克服困难，走向成功的高峰的非智力因素的调节作用，要求同学们不仅是个体参与，而且是集体参与，智力参与. ●教具准备 实物投影仪(多媒体课件) ●教学过程 Ⅰ.课题导入 上节课我们学习了杨辉三角中的有关性质，杨辉三角是我国古代数学的研究成果之一，它的发现远早于法国数学家帕斯卡，它和勾股定理，圆周率的计算等其他中国古代数学成就，显示了我国古代劳动人民的卓越智慧和才能。今天我们继续探索研究杨辉三角的有关性质. Ⅱ.讲授新课 一般的杨辉三角如下表.
有趣的杨辉三角形 【教学目的】 1．初步探索杨辉三角的基本性质及数字排列规律； 2．培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，重点培养创新能力； 3．了解我国古今数学的伟大成就，增强爱国情感． 【教学手段】 课堂教学，以学生自学为主，教师引导探索。 【教学思路】 →学生自学教材，然后思考几个问题。 →分组探讨杨辉三角的性质。 →展示学生探究成果 →教学小结 【自学教材】； 1．什么是杨辉三角？ 二项式（a+b）n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3．．．时，列出的一张表，叫做二项式系数表，因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三角．（表1） 例如，它的兩項的係數是1和1； ，它的三項係數依次是1、2、1； ，它的四項係數依次1、3、3、1。 2．杨辉——古代数学家的杰出代表 杨辉，杭州钱塘人。中国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷．其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界。 “杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．杨辉指出这个方法出于《释锁》 算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明 我国发现这个表不晚于11世纪． 在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的 （Blaise Pascal,1623年~1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就
《杨辉三角》教案 教学目标 1、知识目标： （1）了解杨辉及杨辉三角。 （2）初步认识杨辉三角中行列数字的特点与规律。 2、能力目标： （1）培养学生查阅资料，运用图表和数学语言的能力； （2）培养学生观察能力，提出问题，分析问题的能力，归纳能力与增强创新意识。 3、情感目标： （1）培养学生善于交流，乐于合作的团队精神； （2）在研究的过程中，培养学生不怕挫折，永不满足的意志品质，追求新知的科学态度； （3）通过了解我国古代的数学成就，培养学生的爱国主义精神，激发学生探索、研究数学的热情。 教学重难点： 引导学生从杨辉三角的行列数字中发现规律，得出结论，从而培养学生自主学习的能力。 教学方法： 以学生自己探索研究为主，教师重在点拨指导。 教学手段： 多媒体辅助教学，导学提纲
课堂研究 一、引入 １、（有一位数学家说过：哪里有数，哪里就有美）用下列一些等式的优美规律来激发学生探究杨辉三角的兴趣 112=121 1+2+1=22 1112=12321 1+2+3+2+1=32 11112=1234321 1+2+3+4+3+2+1=42 ２、介绍杨辉（激发爱国热情） 杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家。在13世纪中叶活动于苏杭一带，其著作甚多。 他著名的数学书共五种二十一卷。著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷（1262年）、《乘除通变本末》三卷（1274年）、《田亩比类乘除算法》二卷（1275年）、《续古摘奇算法》二卷（1275年）。 杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总结和发展，有的还编成了歌决，如九归口决。他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的"纵横图"及有关的构造方法，同时"垛积术"是杨辉继沈括"隙积术"后，关于高阶等差级数的研究。杨辉在"纂类"中，将《九章算术》246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈不足、方程、勾股等九类。 他非常重视数学教育的普及和发展，在《算法通变本末》中，杨辉为初学者制订的"习算纲目"是中国数学教育史上的重要文献。二、学生自己观察归纳得出杨辉三角的一些特征
浅谈杨辉三角的奥秘及应用 摘要文中阐述了杨辉三角中蕴涵的一些优美的规律及利用杨辉三角在以其为背景的一些现实生活问题中的应用来培养解决问题的思维能力。 关键词杨辉三角，最短路径，错位，幂 0 引言 杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果。随着素质教育的提倡，新课程标准的颁布，生活中很多问题都与杨辉三角有着或多或少的联系，那如何解决这些以“杨辉三角”为背景的问题呢？这就需要我们对杨辉三角本身蕴涵着许多优美的规律进行探讨和研究。 1 杨辉三角与数字11的幂的关系 我们知道初中时老师要求我们背11的幂，11的1次幂、2次幂、3次幂还好背，后面就难起来了。后来我受到一位老师的启发，并且查看了这方面有关资料，发现杨辉三角与11的n次幂的关系非常密切。 假设y=11n 当n=0时： y=1； 当n=1时： y=11； 当n=2时：y=121； 当n=3时：y=1331； 当n=4时：y=14641； 以上是当n≤4时与扬辉三角的前5行多一致，接下来我们再来看一下当n≥5时的情况，如下： 当n=5时： 1 4 6 4 1 ? 1 1 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 当n=6时： 1 5 10 10 5 1 ? 1 1 1 5 10 10 5 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
…… 由上可知：11的n 次幂的各位数字（不含进位）与杨辉三角中的各数字完全相等（证 明还有待证明）即杨辉三角是11的幂按错位相加不进位的方法依次从小到大排列而成的图 形。如下图： 1 (110 ) 1 1 (111 ) 1 2 1 (112) 1 3 3 1 (113) 1 4 6 4 1 (114) 1 5 10 10 5 1 (115) 1 6 15 20 15 6 1 (116) …… 其实这个关系我们早就学习过了，只是用另一种方式表达而已。我们知道初中时老师教 我们记11的幂时，有一句口诀：头尾不变(即为1)，左右相加放中间。其实是错位相加，而 扬辉三角中头尾为1，中间的数是其肩上的两数之和，也是错位相加得到的。 2 杨辉三角与2的幂的关系 首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下： 1 ( 1 ) 1 1 ( 1+1= 2 ) 1 2 1 (1+2+1=4 ) 1 3 3 1 (1+3+3+1=8 ) 1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 ) 1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=3 2 ) 1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 ) …… 我们知道相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5， 6，…次幂，即杨辉三角第n 行中n 个数之和等于2的n-1次幂。 刚好与高中时学的杨辉三角的性质相符合，归纳如下： 1°与二项式定理的关系：杨辉三角的第n 行就是二项式n b a )(+展开式的系数列 }{R N C 。 2°对称性：杨辉三角中的数字左、右对称，对称轴是杨辉三角形底边上的“高”，即 r n n r n c C -=。
1.3.2杨辉三角周兰英 【教学目标】 知识与技能： 1、使学生了解杨辉及杨辉三角的有关历史，掌握杨辉三角的基本性质； 2、探索杨辉三角中行、列数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质之间联系，并能归纳这些数字规律； 3、会用数学归纳法及问题情景法证明发现的数字规律. 方法与过程： 1、培养学生独立思考与相互交流结合的意识，使学生基本掌握“观察——分析——猜想——证明”的科学研究方法； 2、利用简短的视频放映，向同学们简要介绍杨辉三角历史，提高同学们学习数学的乐趣，增强民族自豪感; 3、通过练习以及杨辉三角与纵横路线图，杨辉三角与弹子游戏，培养学生形成知识间相互联系的意识，并形成探究知识、建构知识的研究型学习习惯，为进一步学习作好准备. 情感、态度与价值观： 1、了解我国古代数学的伟大成就，培养学生的爱国主义精神． 2、在知识的应用中，培养学生数学应用和科学研究的意识和能力，以及乐于探索、勇于创新的科学精神. 【教学重点、难点】 重点：杨辉三角的性质的发现 难点：引导学生发现杨辉三角中的行、列的数字规律 【教学方法与教学手段】 引导探索——合作交流——发现 计算机辅助教学 【教学过程】 复习回顾 简要回顾二项式定理，通项以及二项式系数相关概念. 一．本节知识点 1.杨辉三角：(a+b)1 …………………………………………………1 1 (a+b)2………………………………………………1 2 1 (a+b)3……………………………………………1 3 3 1 (a+b)4…………………………………………1 4 6 4 1 (a+b)5………………………………………1 5 10 10 5 1 (a+b)6………………………………………1 6 15 20 15 6 1 第行 1 (1) 第行 1 (1) 杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？（至少两点） 2.二项式系数的性质（用式子表示） （1）（对称性） （2）当为偶数时，最大；当为奇数时，最大（增减性与最大值） （3）（各二项式系数的和） 二、简单介绍杨辉——古代数学家的杰出代表
《杨辉三角》教案1 【教学目标】 1. 使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律； 2．能运用函数观点分析处理二项式系数的性质； 3.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用。 【教学重难点】 教学重点：二项式系数的性质及其应用； 教学难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。 【教学过程】 一、复习引入 1、二项式定理：________________________________________________； 二项式系数：______________________________________________； 2、( 1+x) n=________________________________________________； 二、杨辉三角的来历及规律 练一练：把( a+b) n（n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P37的表格，为了方便，可将上表改写成如下形式： (a+b)1 …………………………………………………1 1 (a+b)2 (121) (a+b)3 (1331) (a+b)4 (14641) (a+b)5 (15101051) (a+b)6 (1615201561) …………………………… 爱国教育，杨辉三角因上图形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们称它为杨辉三角。杨辉，我国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多。“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（Blaise Pascal, 1623年~1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。
2019-2020学年高一数学 杨辉三角与二项式系数(二)作业 1.(a+b)n 展开式中第四项与第六项的系数相等，则n 为（ ） A .8 B .9 C .10 D .11 2.二项式(1-x)4n+1的展开式系数最大的项是（ ） A .第2n+1项 B .第2n+2项 C .第2n 项 D 第2n+1项或2n+2项 3.10110-1的末尾连续零的个数是（ ） A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 4.若n 为奇数，777712211---+???+++n n n n n n n C C C 被9除所得的余数是（ ） A .0 B .2 C .7 D .8 5.5 n +13 n (n N ∈)除以3的余数是（ ） A .0 B .0或1 C .0或2 D .2 6.数(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（ ） A .1.23 B .1.24 C .1.33 D .1.44 7.!20123181920!417181920!21920C 0 4?????????+???+???+?+ 的值是（ ） A .217 B .218 C .219 D .220 8.(1-2x)15的展开式中的各项系数和是（ ） A .1 B .-1 C .215 D .315 9. 在(ax+1)7的展开式中，(a>1)，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项，则a 的值是 。 10.设112131)13(x x + 展开式中各项系数和为A ，而它的二项式系数之和为B ，若A+B=272，那么展开式中x 2项的系数是 。 11.关于二项式(x 1)2007有下列四个命题： ①该二项展开式中非常数项的系数和是1； ②该二项展开式中系数最大的项是第1004项； ③该二项展开式中第6项为200162007x C ； ④当x=2008时，(x 1)2007 除以2008的余数是2007。 其中正确命题的序号是 。 12.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如下图所示的01三角数表，从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 行全行的数都为1的是第 行。 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 …… ……… ……… ……… 13.用二项式定理证明6363+17能被16整除.
河北省二十冶综合学校高中分校高考数学总复习 杨辉三角与 二项式系数的性质教案 教学目标：掌握二项式系数的四个性质。 教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题。 教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题。 一，复习1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++. 2．二项展开式的通项公式： 二、讲解新课： 1二项式系数表（杨辉三角） 课本32页探 究： ，。 2．二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变 量的函数()f r 定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性： ，
。 （2）增减性与最大值: , . . （3）各二项式系数和： ∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++， 令 ，则0122n r n n n n n n C C C C C =+++ +++ 三，课堂小练 （1）20)(b a +第 项的二项式系数最大，最大是 。 （2）19)(b a +第 项的二项式系数最大，最大是 。 （3）n x )21(+的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，求展开式中二项式系数最大的项是 。 注意：二项式系数最大的项不一定是系数最大的项。 （4）=++++77372717C C C C 。 三、讲解范例： 例1．在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 说明：由性质（3）及例1知021312n n n n n C C C C -++=++=. 例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求：
二项式系数的性质(第一课时) 学校：新塘中学 班级：高二A8班 教师：段建辉 ●教学目标 （一）知识与技能 1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和. 2.掌握“赋值法”，并会简单应用 （二）情感与价值观 1.树立由一般到特殊及特殊到一般的意识. 2.了解中国古代数学成就及地位．．．．．．．．．．．．． ●教学重点：二项式系数的性质 ●教学难点：二项式系数的最大值的理解与二项展开式中系数最大项有的求解. ●教学方法:发现法 ●授课类型：新授 ●教学情境设计： 一、复习回顾 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++L L . 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 二、引入 通项公式中的r n C ，我们称其为二项式系数.当n 依次取1，2，3…时， n b a )(+二项式系数，如下表所示： 表1 此表叫二项式系数表,早在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现了又叫杨辉三角.国外最早发现是在欧洲,叫帕斯卡三角，比中国晚了500年 11 01C C 02 C 12 C 2 2C 0 3 C 13 C 23 C 33 C 1 4C 0 4 C 3 4C 2 4C 4 4C 05 C 15 C 25 C 35 C 45 C 55 C
下面我们可以利用“杨辉三角”来研究二项式系数的性质 三、探究 观察二项式系数表,根据提示的方法,寻找表中的规律. 【注意】 ?1）不要孤立的看、规律应该体现在联系之中 ?2）既要注意横向观察，也要注意纵向观察，横向观察是重点 ?3）可以结合函数图象或图表来研究，也可以和集合作联系 1、二项式系数表的规律 ①每行两端都是1 ②除1以外的每1个数都等于它肩上两个数的和（如何用数学知识解释） 【提示】设这一数为 r C 1-r n 和C r n ，由组合数知识可知： ③与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 ④中间的数值最大 2、二项式系数的函数观点 n b a )(+展开式的二项式系数依次是：C n 0 , C n 1…C n r …C n n . 从函数角度看，r n C 可看成是以r 为自变量的函数)(r f y = 其定义域是：｛0,1,2…n ｝ 当n=5及n=6时，分别作出其图象 图1 图2 据图可分析出函数r n C r f =)(，图象的对称轴是2 n r = 3、二项式系数的性质 据图1,2和表1可得出二项式系数的性质 【1】对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）． 直线2 n r = 是图象的对称轴． [典型问题] .已知5 15C =a ，9 15C =b ，那么10 16C =__________；
“杨辉三角”与二项式系数的性质 学习目标： 1掌握二项式定理和二项式系数的性质。 2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 学习重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 学习难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．二项式定理及其特例： （1）， （2）. 2．二项展开式的通项公式： 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论 对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 41二项式系数表（杨辉三角） 展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式 系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 5．二项式系数的性质： 展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数，定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）． 直线是图象的对称轴．
（2）增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两 项，取得最大值． （3）各二项式系数和： ∵， 令，则 二、讲解范例： 例1．设， 当时，求的值 解：令得： ， ∴， 点评：对于，令即可得各项系数的和的值；令即，可得奇数项系数和与偶数项和的关系 例2．求证：． 证（法一）倒序相加：设① 又∵② ∵，∴， 由①+②得：， ∴，即． （法二）：左边各组合数的通项为 ，
∴． 例3．已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大． （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项 解：令，则展开式中各项系数和为， 又展开式中二项式系数和为， ∴，． （1）∵，展开式共项，二项式系数最大的项为第三、四两项， ∴，， （2）设展开式中第项系数最大，则， ∴，∴， 即展开式中第项系数最大，． 例4．已知， 求证：当为偶数时，能被整除 分析：由二项式定理的逆用化简，再把变形，化为含有因数的多项式∵， ∴，∵为偶数，∴设（）， ∴ （）， 当=时，显然能被整除， 当时，（）式能被整除， 所以，当为偶数时，能被整除
教学设计说明 1.3.2“杨辉三角”中的一些秘密
课题：1.3.2“杨辉三角”中的一些秘密 一、教学内容解析： 本课题来自人教A版选修2—3第一章后的“探究与发现”。杨辉三角蕴含了丰富的数字规律和数学思想方法，所以它是一个很有价值的探究性课题。 杨辉三角是一个特殊的数阵。探究杨辉三角中的数字规律,有利于巩固学习二项式系数的性质，并对进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形有重要的作用。对杨辉三角的研究，可以让学生通过总结，得到研究一般数阵的方法。 同时通过欣赏分形、斐波那契数列等有趣的数学内容，学生由此发现数学之美，激发对数学的学习兴趣。另外，通过组织不同形式的探究，可以让学生学会观察、归纳等探究方法，体验数学当中发现和创造的历程，培养创新精神，也有利于学生理解数学知识，培养数学应用意识。 二、教学目标设置： 1、知识与技能： 1、从不同的角度，研究杨辉三角所蕴含的规律，并用组合数表示； 2、通过本节课的研究，归纳出杨辉三角的研究方法； 3、将杨辉三角的研究方法拓展为对一般数阵的研究方法。 2、过程与方法： 1、通过探究杨辉三角的数字规律，学会观察和分析问题，运用联系、类比的观点看待问题，从而解决问题，并能培养学生“从特殊到一般”进行归纳猜想的能力； 2、通过自主探究与合作交流，养成发现问题、探究知识、建构知识的学习习惯； 3、通过从不同角度探究问题，体会再发现再创造的过程，发展创造性思维。 3、情感态度与价值观： 1、以历史文化的实例引入，激发学生的学习兴趣，提升学生的民族自豪感； 2、通过归纳性思维的训练，养成踏实细致，严谨科学的学习习惯； 3、通过探索杨辉三角中的数字规律，形成独立思考、合作交流等良好的学习习惯，以及勇于批判、敢于创新的精神。 三、学生学情分析： 知识结构：学生已经学习过组合数的定义和性质以及二项式系数的性质，并对杨辉三角有一定的了解。 能力结构：作为正始中学高二创新班的学生已经具备了一定的综合分析问题的能力，适时的问题引导就能建立知识之间的相互联系，解决相关问题。但是，他们对于规律的归纳还有一定的困难，需要适当的引导。 四、教学策略分析： 因为发现杨辉三角中的部分数字规律有一定的难度，本节课采用的是学生自主探究为主，教师引导探究为辅的探究课类型。为了让学生感受数学的趣味性，本节课具体采用的是自主探究与合作交流相结合的探究方式。探究时采用个人独立思考后小组合作互动的方式，重点在于发现数阵中的规律，使学生通过思维碰撞，擦出智慧的火花，达到共同完成建构知识的目的；也使不同层次的学生都学有所获，让学生体会发现和创造的趣味感，发展学生的创造性思维。 多媒体辅助教学的应用，节省时间，增大信息量，增强直观形象性。提倡学习方式的多样化，本节课从情境引入→发现数字规律→利用组合数表述结论→证明结论，始终坚持让学生主动参与，亲身实践。在学生合作、师生互动中，学生真正成为知识的发现者和研究者。在这样的课堂中，不仅学生对本节课的知识结构有一个清晰的认识，而且对所用到的数学方法和涉及到的数学思想得以领会。 五、教学过程： 【教学目标】 1、从不同的角度，研究杨辉三角中所蕴含的规律，并用组合数表示； 2、通过杨辉三角的研究，总结归纳出杨辉三角的研究方法； 3、将杨辉三角的研究方法拓展为对一般数阵的研究方法。
1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质（二） 班级 姓名 1.(a+b)n 展开式中第四项与第六项的系数相等，则n 为（ ） A .8 B .9 C .10 D .11 2.二项式(1-x)4n+1的展开式系数最大的项是（ ） A .第2n+1项 B .第2n+2项 C .第2n 项 D 第2n+1项或2n+2项 3.10110-1的末尾连续零的个数是（ ） A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 4.若n 为奇数，77771221 1---+???+++n n n n n n n C C C 被9除所得的余数是 （ ） A .0 B .2 C .7 D .8 5.5 n +13 n (n N ∈)除以3的余数是（ ） A .0 B .0或1 C .0或2 D .2 6.数(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（ ） A .1.23 B .1.24 C .1.33 D .1.44 7.! 201 23181920!417181920!21920C 0 4?????????+ ???+???+?+ 的值是（ ） A .217 B .218 C .219 D .220 8.(12x)15的展开式中的各项系数和是（ ） A .1 B .-1 C .215 D .315 9. 在(ax+1)7的展开式中，(a>1)，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项，则a 的值是 。 10.设11 2 1 3 1)1 3(x x + 展开式中各项系数和为A ，而它的二项式系数之和为B ，若A+B=272，那么展开式中x 2项的系数是 。 11.关于二项式(x 1)2007有下列四个命题： ①该二项展开式中非常数项的系数和是1； ②该二项展开式中系数最大的项是第1004项； ③该二项展开式中第6项为2001 62007x C ； ④当x=2008时，(x 1)2007除以2008的余数是2007。 其中正确命题的序号是 。 12.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如下图所示的01三角数表，从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 行全行的数都为1的是第 行。 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 …… ……… ……… ……… 13.用二项式定理证明6363+17能被16整除.
1.3.2“杨辉三角”中的一些秘密 一：引经据典，步入新课 师：(展示图片)今天这节课，我们从一幅图画开始，大家认识这两个图案吗？这是我们华夏传说中的河图、洛书。“河出图，洛出书，圣人则之”，伏羲根据河图演绎了八卦，大禹依据洛书划分了九州。由此可以说河图、洛书是我们华夏文化的起源。可你们知道吗，河图、洛书其实也是世界上最古老的数阵。 什么是数阵呢？将数字按照一定顺序组合成图形就是数阵。 今天这节课，我们就一起来研究一下数阵。当然，对于一个新的内容，我们需要一个研究的载体。所以，我们从一个特殊的三角数阵开始。 大家认识这个数阵吗？(生:杨辉三角)在古代，我们称它为“开方作法本源图”。而在现代，它还有另外一个名字——杨辉三角。 杨辉三角在整个数学史中扮演着重要的角色：北宋的贾宪用它手算高次方根；元朝的朱世杰用它研究高阶等差级数（垛积术）；牛顿用它算微积分；华罗庚老先生思路更广，差分方程，无穷级数都谈到了。 那么，我们又能从杨辉三角中探寻到哪些秘密呢？让我们一起来研究一下。 二：复习回顾，总结已知 师：杨辉三角在我们学习二项式系数的性质时已经有所接触。那么,我们已经学习过杨辉三角的哪些性质呢？我请一位同学来回答一下。 学生1：杨辉三角中每一个数都是二项式系数。 贾宪在他的《开方作法本源图》中写道：“左衺乃积数,右衺乃隅算,中藏者皆廉”。用今
天的话来讲，就是说杨辉三角中的每一个数都是二项式系数，而二项式系数都可以写成组合 数。从而我们就可以把杨辉三角写成以下的形式，其中第n 行第r 个数可以写成11,--=r n r n C a ： 这对我们今天的研究非常重要。 师：还有吗？ 学生1：杨辉三角中每一个数都是两肩上数之和。 师：非常好！杨辉三角中每一个数都是两肩上数之和，用组合数表示就是：r n r n r n C C C =+---111，这个结论最早是由南宋时期的杨辉所发现的，所以称之为杨辉恒等式。 还有吗？ 学生1：没了。 师：那我请你的同桌来补充一下。 学生2：杨辉三角每一行数字之和是2的n 次。 师：很好，杨辉三角每一行之和为2的n 次用组合数来表示就是： n n n n n r n n n n C C C C C C 2......1210=+++++- 学生2：并且杨辉三角是左右对称的：r n n r n C C -= 师：以上几个性质，是我们已经知道的。接下来我们就要研究一下杨辉三角的其他性质了。 三：小组合作，共探新知