2015年考研数学一真题 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，其二阶导数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点0x =．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C ） 2．设211 23 ()x x y e x e = +-是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce '''++=的一个特解，则 （A ）321,,a b c =-==- （B ）321,,a b c ===- （C ）321,,a b c =-== （D ）321,,a b c === 【详解】线性微分方程的特征方程为2 0r ar b ++=，由特解可知12r =一定是特征方程的一个实根．如果21r =不是特征方程的实根，则对应于()x f x ce =的特解的形式应该为()x Q x e ，其中()Q x 应该是一个零次多项式，即常数，与条件不符，所以21r =也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得 213212(),a b =-+=-=?=，同时*x y xe =是原来方程的一个解，代入可得1c =-应该选（A ） ３．若级数 1 n n a ∞ =∑ 条件收敛，则3x x ==依次为级数 1 1() n n n na x ∞ =-∑的 （Ａ）收敛点，收敛点 （Ｂ）收敛点，发散点 (Ｃ）发散点，收敛点 （Ｄ）发散点，发散点 【详解】注意条件级数 1 n n a ∞ =∑条件收敛等价于幂级数 1 n n n a x ∞ =∑在1x =处条件收敛，也就是这个幂级数的 收敛为1，即11lim n n n a a +→∞=，所以11()n n n na x ∞ =-∑的收敛半径1 11lim ()n n n na R n a →∞+==+，绝对收敛域为02(,) ，显然3x x ==依次为收敛点、发散点，应该选（B ） ４．设D 是第一象限中由曲线2141,xy xy == 与直线,y x y ==所围成的平面区域，函数(,)f x y 在
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案 一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、设函数()f x 在∞∞（-,+）连续，其2阶导函数()f x ''的图形如下图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】(C) 【考点】拐点的定义 【难易度】★★ 【详解】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异号，因此，由()f x ''的图形可知，曲线()y f x =存在两个拐点，故选(C). 2、设21123x x y e x e ?? =+- ?? ?是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce "+'+=的一个特解，则（） （A ）3,1, 1.a b c =-=-=- （B ）3,2, 1.a b c ===- （C ）3,2, 1.a b c =-== （D ）3,2, 1.a b c === 【答案】(A) 【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法 【难易度】★★ 【详解】 211,23 x x e e -为齐次方程的解，所以2、1为特征方程2+0a b λλ+=的根，从而()123,122,a b =-+=-=?=再将特解x y xe =代入方程32x y y y ce "-'+=得： 1.c =-
3、若级数 1 n n a ∞ =∑条件收敛，则x = 3x =依次为幂级数()1 1n n n na x ∞ =-∑的： （A ）收敛点，收敛点 （B ）收敛点，发散点 （C ）发散点，收敛点 （D ）发散点，发散点 【答案】(B) 【考点】级数的敛散性 【难易度】★★★ 【详解】因为 1 n n a ∞=∑条件收敛，故2x =为幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的条件收敛点，进而得 ()11n n n a x ∞ =-∑的收敛半径为1，收敛区间为()0,2，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故 () 1 1n n n na x ∞ =-∑的收敛区间仍为()0,2，因而x = 3x =依次为幂级数()1 1n n n na x ∞ =-∑的收敛 点、发散点. 4、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则 (,)D f x y dxdy =?? （A ） 12sin 21 4 2sin 2(cos ,sin )d f r r rdr π θπθθθθ?? （B ）24 (cos ,sin )d f r r rdr π πθθθ? （C ） 13sin 21 4 2sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθ θθθ?? （D ）34 (cos ,sin )d f r r dr π πθθθ? 【答案】(D) 【考点】二重积分的极坐标变换 【难易度】★★★ 【详解】由y x =得，4 π θ= ；由y =得，3 π θ= 由21xy =得，2 2cos sin 1, r r θθ== 由41xy =得，2 4cos sin 1, r r θθ==
2015年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题及答案解析 一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的。） (1)下列反常积分中收敛的是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D。 【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。 ； ； ； ， 因此(D)是收敛的。 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数在(-∞,+∞)内 (A) (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B 【解析】这是“”型极限，直接有 , 在处无定义， 且所以是的可去间断点，选B。 综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数().若 (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】易求出 再有 于是，存在此时. 当，， = 因此，在连续。选A 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限 (4)设函数在(-∞,+∞)内连续，其 二阶导函数的图形如右图所示， 则曲线的拐点个数为 A O B (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】在(-∞,+∞)内连续，除点外处处二阶可导。的可疑拐点是的点及不存在的点。 的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧，对应的点就是的拐点。
虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是的拐点。 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点 (5)设函数满足则与依次是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D 【解析】先求出 令 于是 因此 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分 (6)设D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，函数在 D上连续，则 (A) (B) (C) (D) 【答案】 B
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. 1、设函数()f x 在∞∞（-,+）连续，其2阶导函数()f x ''的图形如下图所示，则曲线()y f x =的 拐点个数为（） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 2、设21123x x y e x e ?? =+- ?? ?是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce "+'+=的一个特解，则（） （A ）3,1, 1.a b c =-=-=- （B ）3,2, 1.a b c ===- （C ）3,2, 1.a b c =-== （D ）3,2, 1.a b c === 3、若级数 1 n n a ∞=∑条件收敛，则x =3x =依次为幂级数()1 1n n n na x ∞ =-∑的： （A ）收敛点，收敛点 （B ）收敛点，发散点 （C ）发散点，收敛点 （D ）发散点，发散点 4、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则 (,)D f x y dxdy =?? （A ） 1 2sin 21 4 2sin 2(cos ,sin )d f r r rdr π θπθθθθ?? （B ）24 (cos ,sin )d f r r rdr π πθθθ? （C ） 13sin 21 4 2sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθ θθθ?? （D ）34 (cos ,sin )d f r r dr π πθθθ?
考研数学真题及解析 与 x = 3 依次为幂级数∑ n a (x -1) 的 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答．题．纸． 指定位置上. (1) 设函数 f (x ) 在 (-∞, +∞) 内连续，其中二阶导数 f ''(x ) 的图形如图所示，则曲 线 y = f (x ) 的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设 y = 1 e 2 x + (x - 1 )e x 是二阶常系数非齐次线性微分方程 2 3 y '' + ay ' + by = ce x 的一个特解，则 ( ) (A) a = -3, b = 2, c = -1 (B) a = 3, b = 2, c = -1 (C) a = -3, b = 2, c = 1 (D) a = 3, b = 2, c = 1 (3) 若级数 ∑ a n 条件收敛，则 x = n =1 ∞ n n n =1 ( ) (A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 (4) 设 D 是第一象限由曲线2xy = 1， 4xy = 1与直线 y = x ， y = 面区域，函数 f ( x , y ) 在 D 上连续，则 ?? f ( x , y ) dxdy = D 3x 围成的平 ( ) ∞ 3
?π ? ?π ?π ? ?π 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 (A) π 3 d θ 1 sin 2θ 1 f (r cos θ , r sin θ )rdr 4 2 s in 2θ (B) π 3 d θ ? sin 2θ 1 f (r cos θ , r sin θ )rdr 4 2 s in 2θ (C) π 3 d θ 1 sin 2θ 1 f (r cos θ , r sin θ )dr 4 2 s in 2θ (D) π 3 d θ ? sin 2θ 1 f (r cos θ , r sin θ )dr 4 2 s in 2θ ?1 1 1 ? ?1 ? (5) 设矩阵 A = 1 2 a ? ， b = d ? ，若集合Ω= {1, 2}，则线性方程组 ? ? 1 4 a 2 ? d 2 ? ? ? ? ? Ax = b 有无穷多解的充分必要条件为 ( ) (A) a ?Ω, d ?Ω (B) a ?Ω, d ∈Ω (C) a ∈Ω, d ?Ω (D) a ∈Ω, d ∈Ω (6) 设二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 在正交变换为 x = Py 下的标准形为2 y 2 + y 2 - y 2 ， 其中 P = (e 1 , e 2 , e 3 ) 下的标准形为 ( ) ，若Q = (e 1 , -e 3 , e 2 ) ，则 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 在正交变换 x = Qy (A) 2 y 2 - y 2 + y 2 (B) 2 y 2 + y 2 - y 2 (C) 2 y 2 - y 2 - y 2 (D) 2 y 2 + y 2 + y 2 (7) 若 A,B 为任意两个随机事件，则 ( ) (A) (C) P ( A B ) ≤ P ( A ) P ( B ) P ( A B ) ≤ P ( A ) P ( B ) 2 (B) (D) P ( A B ) ≥ P ( A ) P ( B ) P ( A B ) ≥ P ( A ) P ( B ) 2
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)下列反常积分中收敛的是（） （A ） 2 +∞ ? （B ）2 ln x dx x +∞ ? (C)2 1 ln dx x x +∞ ? (D)2 x x dx e +∞ ? (2)函数2 0sin ()lim(1)x t t t f x x →=+在(,)-∞+∞内（） （A ）连续 （B ）有可去间断点 （C ）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 (3)设函数1cos ,0 ()0,0x x f x x x α β?>?=??≤? (0,0)αβ>>，若()f x '在0x =处连续，则（） （A ）1αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ (4) 设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（） （A ）0 (B)1 (C)2 (D)3 (5).设函数(u v)f ，满足22 (,)y f x y x y x +=-，则 11 u v f u ==??与1 1 u v f v ==??依次是（） （A ） 12,0 (B)0，12（C ）-12,0 (D)0 ,-12 (6). 设D 是第一象限中曲线21,41xy xy == 与直线,y x y =围成的平面区域，函数 (,)f x y 在D 上连续，则(,)D f x y dxdy ??=（）
（A ） 12sin 214 2sin 2(cos ,sin )d f r r dr π θπθ θθθ?? （B ）24 (cos ,sin )d f r r dr π πθθθ? （C ） 13sin 214 2sin 2(cos ,sin )d f r r dr π θπθ θθθ?? （D ）34 (cos ,sin )d f r r dr π πθθθ? (7)．设矩阵A=211112a 14a ?? ? ? ???，b=21d d ?? ? ? ??? ,若集合Ω=}{1,2，则线性方程组Ax b =有无穷多个解的 充分必要条件为（） （A ）,a d ?Ω?Ω (B),a d ?Ω∈Ω (C),a d ∈Ω?Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω (8)设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为222 1232,y y y +-其中123P=(e ,e ,e )，若 132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为（ ） (A):2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C) 2221232y y y -- (D) 222123 2y y y ++ 二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．． 指定位置上. (9) 设223 1arctan ,3t x t d y dx y t t ==?=?=+? 则 （10）函数2 ()2x f x x =在0x =处的n 阶导数() (0)n f = （11）设函数()f x 连续，2 ()(),x x xf t dt ?= ? 若(1)?1=，'(1)5?=，则(1)f = （12）设函数()y y x =是微分方程'' ' 20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取值3，则()y x = （13）若函数(,)z z x y =由方程231x y z e xyz +++=确定，则(0,0)dz = （14）设3阶矩阵A 的特征值为2，-2,1，2B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B = 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分） 设函数()ln(1)sin f x x x bx x α=+++，2 ()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，
Page 1 of 102015年考研数学二真题与解析 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．下列反常积分收敛的是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ）2? 2ln x dx x +∞?21ln dx x x +∞?2x x dx e +∞?【详解】当且仅当时才收敛，所以（A ）是发散的；21p dx x +∞? 1p >2+∞?（B ）是发散的；22212ln (ln )|x dx x x +∞+∞==+∞? （C ）是发散的；221ln ln ln dx x x x +∞+∞==+∞?事实上，对于（D ），应该选（D ）．22213()|x x x dx x e e e +∞ -+∞-=-+=?2．函数在内（ ）2 01sin ()lim x t t t f x x →??=+ ??? (,)-∞+∞（A ）连续 （B ）有可去间断点（C ）有跳跃间断点 （D ）有无穷间断点 【详解】220010 sin lim sin ()lim ,t x t x t x x t t t f x e e x x →?→??=+==≠ ???函数在处没有定义，而，所以应该选（B ）．0x =00 1lim ()lim x x x f x e →→==3．设函数 ，若在处连续，则（ ）100000cos ,(),(,),x x f x x x αβαβ?>?=>>??≤? ()f x '0x =（A ） （B ） （C ） （D ）1αβ->01αβ<-≤2αβ->02 αβ<-≤【详解】当时，，当时，，0x >1111()cos sin f x x x x x ααβββαβ---'=+0x <0()f x '=10011000cos (),()lim lim cos x x x x f f x x x αβαβ ++--+→→''===
2015年考研数学一真题及答案解析
2 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 一、选择题：1:8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上。 (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数 () ''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个 数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】（C ） 【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.
3 (2)设211()23 =+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微 分方程 '''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( ) (A) 3,2,1 =-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1 ===a b c 【答案】（A ） 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知，212x e 、13 x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程 20 r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =?=，从而原方 程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 一、选择题：1:8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线 ()=y f x 的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】（C ） 【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）. (2)设211 ()23 = +-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( ) (A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】（A ） 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知，212x e 、13 x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =?=，从而原方程变为
32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ） (3) 若级数 1 ∞ =∑n n a 条件收敛，则 = x 3=x 依次为幂级数1 (1)∞ =-∑n n n na x 的 ( ) (A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ） 【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。 【解析】因为 1 n n a ∞ =∑条件收敛，即2x =为幂级数 1 (1) n n n a x ∞ =-∑的条件收敛点，所以 1 (1) n n n a x ∞ =-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2)。而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故 1 (1) n n n na x ∞ =-∑的收 敛区间还是(0,2)。 因而x = 3x =依次为幂级数1 (1)n n n na x ∞ =-∑的收敛点，发散点.故选（B ）。 (4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x = ，y =围成的平面区 域，函数(),f x y 在D 上连续，则 (),D f x y dxdy =?? ( ) (A) ()1 3sin 214 2sin 2cos ,sin d f r r rdr π θπθ θθθ?? (B) ( )34 cos ,sin d f r r rdr π πθθθ? (C) ()13sin 214 2sin 2cos ,sin d f r r dr π θπθ θθθ?? (D) ( )34 cos ,sin d f r r dr π πθθθ? 【答案】（B ） 【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D 的图形，
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题解析 一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. (1)设{}n x 是数列,下列命题中不正确的是 ( ) (A) 若lim →∞ =n n x a ,则 221lim lim +→∞ →∞ ==n n n n x x a (B) 若221lim lim +→∞ →∞ ==n n n n x x a , 则lim →∞ =n n x a (C) 若lim →∞ =n n x a ,则 331lim lim +→∞ →∞ ==n n n n x x a (D) 若331lim lim +→∞ →∞ ==n n n n x x a ,则lim →∞ =n n x a 【答案】(D) 【解析】答案为D, 本题考查数列极限与子列极限的关系. 数列()n x a n →→∞?对任意的子列{} k n x 均有()k n x a k →→∞,所以A 、B 、C 正确； D 错(D 选项缺少32n x +的敛散性),故选D (2) 设函数()f x 在(),-∞+∞连续,其2阶导函数()f x ''的图形如右图所示,则曲线()=y f x 的拐点个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C) 【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是()f x ''不存在的点或()0f x ''=的点处产生.所以()y f x =有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点；二阶导函数 ()f x ''符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知，拐点个数为2，故选C. (3) 设 (){} 2 222,2,2= +≤+≤D x y x y x x y y ,函数(),f x y 在D 上连续,则
https://www.doczj.com/doc/f718331651.html,/ 2015年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题及答案解析 一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的。） (1)下列反常积分中收敛的是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D。 【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。 ； ； ； ， 因此(D)是收敛的。 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数在(-,+)内 (A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B 【解析】这是“”型极限，直接有 , 在处无定义， 且所以是的可去间断点，选B。 综上所述，本题正确答案是B。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数， ().若在处连续，则 (A) (B) (C) (D)【答案】A
https://www.doczj.com/doc/f718331651.html,/ 【解析】易求出 ， 再有 不存在，， 于是，存在，此时. 当时，， = 不存在，， 因此，在连续。选A 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限 (4)设函数在(-,+)内连续，其 二阶导函数的图形如右图所示， 则曲线的拐点个数为 A O B (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】在(-,+)内连续，除点外处处二阶可导。的可疑拐点是的点及不存在的点。 的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧 异号，对应的点就是的拐点。 虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是的拐点。 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点 (5)设函数满足，则与依次是 (A)(B) (C)(D) 【答案】D 【解析】先求出 令 于是 因此
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题解析 一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线 ()=y f x 的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】（C ） 【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）. (2)设211()23 = +-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则( ) (A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】（A ） 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知，21 2x e 、13 x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程2 0r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =?=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）
2015年考研数学一真题及答案（完整版） 一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线 ()=y f x 的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】（C ） 【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）. (2)设211 ()23 = +-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( ) (A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】（A ） 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知，212x e 、13 x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1 为特征方程2 0r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =?=，从而原方程变为
32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ） (3) 若级数 1 ∞ =∑n n a 条件收敛，则 3=x 与3=x 依次为幂级数 1 (1) ∞ =-∑n n n na x 的 ( ) (A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ） 【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为 1 n n a ∞ =∑条件收敛， 即2x =为幂级数1 (1) n n n a x ∞ =-∑的条件收敛点，所以 1 (1) n n n a x ∞ =-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故 1 (1) n n n na x ∞ =-∑的收敛 区间还是(0,2).因而3x =与3x =依次为幂级数1 (1) n n n na x ∞ =-∑的收敛点，发散点.故选（B ）. (4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，3y x =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则 (),D f x y dxdy =?? ( ) (A) ()1 3sin214 2sin2cos ,sin d f r r rdr π θπθ θθθ?? (B) ()1sin 2314 2sin 2cos ,sin d f r r rdr π θπθθθθ?? (C) ()13sin 214 2sin 2cos ,sin d f r r dr π θπθ θθθ?? (D) ()1sin 2314 2sin 2cos ,sin d f r r dr π θπθ θθθ?? 【答案】（B ）
2015年考研数学（一）试题解析 一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线 ()=y f x 的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】（C ） 【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）. (2)设211 ()23 = +-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则( ) (A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】（A ） 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知，212x e 、13 x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解， 所以2,1为特征方程2 0r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =?=，从而原方 程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ） (3) 若级数 1 ∞ =∑n n a 条件收敛，则 3= x 与3=x 依次为幂级数1 (1)∞ =-∑n n n na x 的 ( ) (A) 收敛点，收敛点
2015年考研数学一真题 一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分． １．设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，其二阶导数()f x ''的图形如右图 所示，则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为 （A ）0（B ）1（C ）2（D ）3 【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点0x =．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C ） 2．设211 23 ()x x y e x e = +-（A ）321,,a b c =-==-（B ）a =（C ）321,,a b c =-==（D ）3a =【 21=即得 a x xe =是原来方程的一个解，代入可得1c =-应该选（A ） 3 =依次为级数1 1()n n n na x ∞ =-∑的 （Ａ）收敛点，收敛点（Ｂ）收敛点，发散点 (Ｃ）发散点，收敛点（Ｄ）发散点，发散点 【详解】注意条件级数 1 n n a ∞ =∑条件收敛等价于幂级数 1 n n n a x ∞ =∑在1x =处条件收敛，也就是这个幂级数的收敛为1， 即11lim n n n a a +→∞=，所以11()n n n na x ∞ =-∑的收敛半径1 11lim ()n n n na R n a →∞+==+，绝对收敛域为02(,)，显然3x x ==依次为收敛点、发散点，应该选（B ） ４．设D 是第一象限中由曲线2141,xy xy ==与直线,y x y ==所围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上 连续，则 (,)D f x y dxdy =??（）
2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 一、选择题： 1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符 合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 ．．． (1) 设函数 f ( x)在,内连续，其中二阶导数 f ( x) 的图形如图所示，则曲线 y f ( x)的拐点的个数为() (A)0(B)1(C)2(D)3 【答案】（C） 【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函 数异号。因此，由f(x) 的图形可得，曲线 y f ( x) 存在两个拐点.故选（ C） . (2) 设y 1 e2x(x1)e x是二阶常系数非齐次线性微分方程y ay by ce x的一 23 个特解，则() (A)a3,b2, c1 (B)a3, b2, c1 (C)a3,b2, c1 (D)a3, b2, c 1 【答案】（A ） 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此 类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一 种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 1 e 2 x、1e x为二阶常系数齐次微分方程y ay by 0 的解，所以【解析】由题意可知， 2,1 23
为特征方程 r 2ar b 0 的根，从而a (12)3，b 1 2 2 ，从而原方程变为 y 3y 2 y ce x，再将特解 y xe x代入得c1.故选（A） (3) 若级数a n条件收敛，则x 3 与x 3 依次为幂级数na n ( x1)n的() n 1n 1 (A)收敛点，收敛点 (B)收敛点，发散点 (C)发散点，收敛点 (D)发散点，发散点 【答案】（B ） 【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。 【解析】因为a n条件收敛，即 x 2 为幂级数a n ( x 1) n的条件收敛点，所以a n ( x 1)n n 1n 1n 1 的收敛半径为1，收敛区间为(0, 2)。而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故na n (x 1)n的收 n 1 敛区间还是 (0, 2)。因而 x3与 x 3 依次为幂级数na n ( x 1)n的收敛点，发散点.故选（B）。 n 1 (4) 设D是第一象限由曲线 2 xy 1， 4 xy 1与直线 y x ，y3x 围成的平面区 域，函数 f x, y在 D 上连续，则f x, y dxdy() D 1 (A)3d sin2f r cos , r sin rdr 1 42sin2 1 (B)3d sin 2f r cos, r sin rdr 1 42sin 2 1 (C) 3 d sin2f r cos, r sin dr 1 42sin 2 1 (D) 3 d sin2f r cos , r sin dr 1 42sin 2
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案 一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. 1、设函数()f x 在∞∞（-,+）连续，其2阶导函数()f x ''的图形如下图所示，则曲线()y f x =的 拐点个数为（） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】(C) 【考点】拐点的定义 【难易度】★★ 【详解】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异号，因此，由()f x ''的图形可知，曲线()y f x =存在两个拐点，故选(C). 2、设21123x x y e x e ?? =+- ?? ?是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce "+'+=的一个特解，则（） （A ）3,1, 1.a b c =-=-=- （B ）3,2, 1.a b c ===- （C ）3,2, 1.a b c =-== （D ）3,2, 1.a b c === 【答案】(A) 【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法 【难易度】★★ 【详解】 211,23 x x e e -为齐次方程的解，所以2、1为特征方程2+0a b λλ+=的根，从而
()123,122,a b =-+=-=?=再将特解x y xe =代入方程32x y y y ce "-'+=得： 1.c =- 3、若级数 1 n n a ∞=∑条件收敛，则x =3x =依次为幂级数()1 1n n n na x ∞ =-∑的： （A ）收敛点，收敛点 （B ）收敛点，发散点 （C ）发散点，收敛点 （D ）发散点，发散点 【答案】(B) 【考点】级数的敛散性 【难易度】★★★ 【详解】因为 1 n n a ∞ =∑条件收敛，故2x =为幂级数 () 1 1n n n a x ∞ =-∑的条件收敛点，进而得 ()11n n n a x ∞ =-∑的收敛半径为1，收敛区间为()0,2，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故 () 1 1n n n na x ∞ =-∑的收敛区间仍为()0,2， 因而x =3x =依次为幂级数()1 1n n n na x ∞ =-∑的收敛点、发散点. 4、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则 (,)D f x y dxdy =?? （A ） 1 2sin 21 4 2sin 2(cos ,sin )d f r r rdr π θπθθθθ?? （B ）24 (cos ,sin )d f r r rdr π πθθθ? （C ） 13sin 21 4 2sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθ θθθ?? （D ）34 (cos ,sin )d f r r dr π πθθθ? 【答案】(D) 【考点】二重积分的极坐标变换 【难易度】★★★ 【详解】由y x =得，4 π θ= ；由y =得，3 π θ= 由21xy =得，2 2cos sin 1, r r θθ==