江苏省淳中2008-2009学年度高二第一学期阶段测试
数学试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：160分 命题人：杨芸 高航）
（方差公式：222
2
12()()()n x x x x x x s n
-+-+
-=
）
一．填空题（每题5分，共70分） 1．集合{3,2},{,},{2},a A B a b A
B A B ====若则 ▲
2．某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有__ ▲ ______学生。
3．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为：x ，y ，10，11，9．已知这组数据
的平均数为10，方差为2，则｜x －y ｜的值为 ▲ 4．有下列四个命题：
①“若x+y=0 , 则x ,y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q ≤1 ,则x 2
+ 2x+q=0有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；
其中真命题为___________▲__________(写出序号即可) 5．已知1
sin cos (0)5
αααπ+=
<<，则tan α＝ ▲ 6. 如图所示，在一个边长为)0(,>>b a b a 矩形内画一个梯形，梯形上、 下底分别为a 3
1
与a 21，高为b ，向该矩形内随机投入一点，则所投 的点落在梯形内部的概率为____▲_____
7．已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为2
3
，且过点（2，0），则椭圆的标准方程为____________▲_______________
8．△ABC 中，若90C ∠=，4AC BC ==，则BC AB ?= ▲ .
9如下图所示,程序执行后的输出结果为__▲___ _______________
a
b
第10题
（第9题） 10．上图给出的是计算1111
24650
+++???+的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件________▲______
第（11题）
11．如图：程序运行后输出的结果为________▲_______
12．已知条件:|1|2,p x +>条件:,q x a >且p ?是q ?的充分不必要条件，则a 的取值范围是 ___▲_____ 13．已知1F 、2
F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于Ａ、
Ｂ两点，若△2ABF 是正三角形，则椭圆的离心率是_______▲__________
14．有五条线段长度分别为7,5,4,2,1，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为____▲____
二、解答题（本题共6题，共90分） 15．（本小题满分14分）
将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，问： （1）两数之和为8的概率；
（2）两数之和是3的倍数的概率； （3）两数之积是6的倍数的概率；
（4）以第一次向上点数为横坐标x ，第二次向上的点数为纵坐标y 的点(x,y)在直线x-y=3的下方区域的概率。
16．（本小题满分14分） 已知函数R ),0,0)(sin()(∈<<>+=x A x A x f π??的最大值是1，其图像经过点
)2
1,3(πM ．
（1）求)(x f 的解析式；
（2）已知），（、2
0π
βα∈，且13
12,53==）（）
（βαf f ，求）（βα-f 的值．
17．（本小题满分15分）
命题甲：“方程x 2
+mx+1=0有两个相异负根”,命题乙：“方程4x 2
+4(m －2)x+1=0无实根”，这两个命题有且只有一个成立，试求实数m 的取值范围。
18．（本小题满分15分）
已知向量(sin ,cos ),(1,2)m A A n ==-,且0.m n ?= (Ⅰ)求tan A 的值；
(Ⅱ)求函数()cos 2tan sin (f x x A x x =+∈R )的最值并指出当x 为何值时取得最值.
19．（本小题满分16分）
定义在R 上的奇函数()f x 有最小正周期4，且()0,2x ∈时，3()91
x x f x =+。
⑴求()f x 在[]2,2-上的解析式；
⑵判断()f x 在()0,2上的单调性，并给予证明；
⑶当λ为何值时，关于方程()f x λ=在[]2,2-上有实数解？ .
20．（本小题满分16分）
椭圆22
22:1(0)x y G a b a b
+=>>的两个焦点为1(,0)F c -、2(,0)F c ，M 是椭圆短轴的一个端
点，且满足120FM F M ?≤ （1）求离心率e 的取值范围；
（2）当离心率e 取得最小值时，点N （0,3）到椭圆上的点的最远距离为 求此时椭圆G 的方程；
参考答案
一．填空题（每小题5分）
1．｛1，2，3｝ 2． 3700 3． 4 4．①③
5．
4
3
- 6．
5
12
7．
222
211
4164
x y x
y
+=+=
或 8．16
-
9． 0 10．50
n>（不惟一）11． 0 12．1
a≥
13．
3 14．
1
5
二．解答题
15（本小题满分14分）
解：（1）两数之和为6的概率为5
36
；…………………4分
（2）两数之和是3的倍数的概率为1
3
；…………………8分
（3）此问题中含有36个等可能基本事件，记“向上的两数之积是6的倍数”为事件A，则由下面的列表可知，事件A中含有其中的15个等可能基本事件，所以P（A）
=155
3612
=，…………………12分
30253630202424201612151818151296810126543
121086412345626543
21积
6
5
4
3
2
1
（4）此问题中含有36个等可能基本事件，记“点(x,y)在直线x-y=3的下方区域”为事件B ，则由下列的列表可知，事件B 中含有其中3个基本等可能基本事件，∴P （B ）=
31
3612
= …………………16分 0-1-1-201-1-2-30121230-1-2-3-401234
-5-4-3-2-10
第一次与
第二次的差
第
2
次第一次
12345
654321
65
4
3
2
1
16（本小题满分14分） 解：（1）依题意知 A=1 1
sin 332f ππφ????=+=
? ?????
， 又4333πππφ<+< ； ∴
53
6π
πφ+=
即 2
π
φ= 因此 ()sin cos 2f x x x π??
=+= ??
?
； （2）
()3cos 5f αα==
，()12cos 13
f ββ== 且 ,0,2παβ??∈ ???
∴ 4sin 5α=
，5sin 13
β= ()()3124556
cos cos cos sin sin 51351365
f αβαβαβαβ-=-=+=?+?= ； 17（本小题满分15分）
解：由甲得240
m m ?=->?>?，则2m >
由乙知，'2216(2)1616(43)0m m m =--=-+<， 则
由于有且只有一个命题成立，
所以甲为真乙为假，或甲为假乙为真；
则221313m m m m m >≤????
<<≤≥??
或或 解得312m m ≥<≤或
18（本小题满分15分） （Ⅰ）由题意得
m n =sin A -2cos A =0,
因为cos A ≠0,所以tan A =2. 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知tan A =2得
2213
()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22
f x x x x x x =+=-+=--+ 8分
因为x ∈R,所以[]sin 1,1x ∈-. 9分
当1sin 2x =
，即522,66
x k x k k Z ππ
ππ=+=
+∈或 f (x )有最大值3
2
， 12分
当sin x =-1，即32,2
x k k Z π
π=+∈时， f (x )有最小值-3， 15分
19．（本小题满分16分）
解：（1）当(2,0x ∈-时，(0,2x -∈，由于()f x 是奇函数，则
33()()9191
x x x x f x f x --=--=-=-++，又(0)(0)(0)f f f =-=-，因此(0)0f =，因为
(2)(24)(2),(2)(2),(2)(2)(2)0f f f f f f f f -=-+=-=-=-=-=所以
3(2,0)91()0
2,0,23(0,2)
91
x x x x x f x x x ?-∈-?+??==-???∈?+?
（2）任取12,(0,2)x x ∈，且12x x <
12121233()()9191x x x x f x f x -=-++122112(331)(33)
(91)(91)
x x x x x x --=
++
因为12,(0,2)x x ∈，所以12(331)x
x
->0，又12x x <，则21(33)x
x
->0
12(91)(91)x
x
++>0，
所以12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >因此()f x 在（0，2）上是单调减函数
（3）()f x λ=在[2,2]-上有实数解等价于左右两边范围相同，只需求出函数在
[2,2]-上的值域即可
当(0,2)x ∈时，()f x =391x
x +=133
x x
-+，由于3(1,9)x ∈，所以33x x -+82(2,
)9∈，此时()f x 91(,)822∈，同理当(2,0)x ∈-时，19
()(,)282
f x ∈--，而当2,0,2x =-时，()0f x =
综上得{}
19
91(,)0(
,)282
822
λ∈-
- 20（本小题满分16分）
解：（1）不妨设(0,)M b ，则22
12
0FM F M c b =-+≤
所以22c b ≥得到222
c a c ≥-，222
2,21,2
c a e e ≥≥≥
因此
12
e ≤<
（2）当2
e =
时，222a b = 设(,)P x y 是椭圆上任意一点，则2
PN 2
2
(3)x y =+-=22
2
2(1)(3)y a y b
-+-
=22
2
22(1)(3)y b y b
-+-
=22629y y b --++
对称轴为3y =-，且b y b -≤≤
所以①若3b -≤-，即3b ≤，则当y b =-时，2
PN 最大，即
222max 62950PN b b b =-+++=解得3b =-±均不合条件
②若3b -≥-即3b ≥，则当3y =-时，2
PN 最大，即
22max 9182950PN b =-+++= 解得216b =，232a =
椭圆G 的方程为
22
13216
x y +=