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二次型化为标准形的几种方法

二次型化为标准形的几种方法
二次型化为标准形的几种方法

二次型化为标准形的几种方法

摘要:二次型是代数学要研究的重要内容,我们在研究二次型问题时,为了方便,通常将二次型化为标准形。这既是一个重点又是一个难点,本文介绍了一些化二次型为标准形的方法:正交变换法,配方法,初等变换法,雅可比方法,偏导数法。正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤,并举出合适的例题加以说明。其中,偏导数法与配方法又相似,只是前者具有固定的步骤,而配方法需要观察去配方。

关键词:正交变换法配方法初等变换法雅可比方法偏导数法

Several Methods of Changing the Quadratic into the Standard

Abstract:Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observed to formula.

Keywords: orthogonal transform method match method elementary transformation jacobian method partial derivative method

1.引言

二次型是代数学中的一个极其重要的问题,这个问题不仅在数学上,而且在物理学,工程学,经济学领域都有广泛的应用。在研究时为了研究的方便,我们经常要化二次型为标准形,本文介绍了五种化二次型为标准形的方法,各种方法的解题思路步骤及依据在正文部分都有详细的说明,并且每种方法后面配有例题这样理解起来就会更加容易。正交变换法是常用的方法之一,需要求出特征值,特征值就是对应的平方项的系数;配方法需要通过观察依次对每项配方,直到各项全部配成平方为止;初等变换法用一系列的合同变换将二次型矩阵化成与之合同形式上又比较简单的对角矩阵;雅可比方法相对其他方法更为简便,但是它要求二次型矩阵的各阶顺序主子式都

不为零,然后通过固定的公式确定平方项的系数;偏导数法的实质与配方法是一样的,但是偏导数法有固定的步骤,相对更好实施。

2.正交变换法

由于实对称矩阵必定与对角矩阵合同,因此任何实二次型必定可以通过一个适当的正交线性变换将此实二次型化简成为不含混合项的形式。 定理1

[1]

任意一个实二次型11

n n

ij i j i j a x x ==∑∑,ij ji a a =都可以经过正交的线性替换变成平

方和2221122...n n

y y y λλλ+++其中平方上的系数12,...n λλλ就是矩阵A 的特征多项式的全部的根。 2.1解题步骤

1将实二次型表示成矩阵形式T AX f X =并写出矩阵A 。 ○2求出矩阵A 的所有特征值12,...n

λλλ,可能会出现多重特征值,分别记它们的重数为21,,n k k k (21n k k k +++ =n )

○3求出每个特征值所对应的特征向量2

1,,n ξξξ ,列出方程1()0E A X λ-=,能解出与1λ对应的1k 个线性无关的特征向量。同理,对其他的特征值2,,n λλ 也是采用此方

法求出与之对应的特征向量。因为21n k k k +++ =n ,所以一共能出n 个特征向量。

○4将所求出的n 个特征向量21,,n ξξξ 先后施行正交化,单位化得到2

1,,,n ηηη ,记为C =21)(,,T n ηηη

○5作正交变换X CY =,则得二次型f 的标准形f =2221122...n n

y y y λλλ+++ 例1用上面所述的方法化下面的二次型

2222

12341234121314232434,,,)264462(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x =+++-+--+-为标

准形。

解:(1)首先写出原二次型的矩阵

A =1132112332112311?? ?

? ? ???

-------- 由A 的特征多项式

E A λ-=1

132112332112311λλλλ?? ? ? ? ???

--------=(3)(7)(1)(1)λλλλ+--+ 从而得A 的特征值为1λ=-3,2λ=7,3λ=-1,4λ=1

(2)求特征向量,将1λ=-3带入1()0E A X λ-=中,得到方程

12341234

123412324320

423032402340

x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+=??-+-=??

-+-+=??-+-=? 解此方程可得出基础解系1α=(1,1,1,1)--,同样地,分别把2λ=7,3λ=-1,4λ=1 带入()0E A X λ-=中,解方程能够得出与2λ=7,3λ=-1,4λ=1对应的基础 解系依次为2α=(1,1,1,1)--,3α=(1,1,1,1)--,4α=(1,1,1,1) (3)将所求出的特征向量正交化,方法如下: 令

1α=1β=(1,1,1,1)--

2β=2α-

21111(,)

(,)

αββββ=(1,1,1,1)--

3β=3α-

3132121122(,)(,)

(,)(,)

αβαβββββββ-=(1,1,1,1)--

4β=4α-

434142123112233(,)(,)(,)

(,)(,)(,)

αβαβαββββββββββ--=(1,1,1,1)

(4)将已正交的向量组单位化,如下: 令

i

i i

ββη=

(i=1,2,3,4) 于是能够得到

1η=12(1,1,1,1)--,2η=12(1,1,1,1)--,3η=12(1,1,1,1)--,4η=12

(1,1,1,1)

所以

C =

12111111111111111

1??

? ? ?

???------ 于是所求正交变换为

1234x x x x ?? ? ? ? ? ???

=12111111111111111

1??

? ? ?

???

------1234y y y y ?? ? ? ? ? ???

原二次型化为

f =222

2123173y y y y +-+-

3. 配方法

配方法是解决这类问题时另一个常用方法,通过观察对各项进行配方,其实质就是运用非退化的线性替换。使用配方法化二次型为标准形时,最重要的是要消去像()i j x x i j ≠这样的交叉项,

其方法是利用两数的平方和公式和两数的平方差公式逐步的消去非平方项并构造新的平方项。

定理2[1] 数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和

222

1122...n n

d x d x d x +++的形式。 3.1解题思路

使用配方法化二次型为标准形时,视具体情况又可以将二次型分为下面两种不同的情形:

○1如果二次型含有i x 的平方项,那么先把含有i

x 的乘积项集中,然后再配方,再对其余的项同样进行,直到都配成平方项为止,写出前面过程所经过的所有非退化的线性替换,就将二次型化为标准形了。

○2如果所给二次型中不含有i

x 平方项,但是0ij a ≠()i j ≠,我们就可以用前面所提到的方法构造出平方项,可以先做出可逆的线性变换

........i i j

j i j

k k

x y y x y y x y =-??=+??

??=?,(1,2,,k n = 且,)k i j ≠ 代入到原二次型中,这时二次型中就含有平方项了,然后再按照上述○

1中的方法进行配方。

例2 用上述所给出的方法化二次型23(,,)f x x x =22

112223224x x x x x x +++为标准形,写

出所用的变换矩阵。

解:原二次型中含有i x 的平方项,先将含有1x 的项集中,利用平方和公式消去12x x , 然后对2x 配平方,消去23x x 项。此过程为

23(,,)f x x x =221122(2)x x x x +++222233(44)x x x x ++-2

3

4x ()()2

2

2

1223324x x x x x =+++-

于是作非退化的线性替换:

11221233y x x y x x y x =+??=-??=??1123

2233322x y y y x y y x y =-+??=-??=?

123x x x ?? ? ? ???=112012001-?? ?- ? ???123y y y ??

? ? ???

于是就得到

23(,,)f x x x =222

123

4y y y +- 所用的变换矩阵为

C =112012001-??

?- ? ???

且有

'C AC =100110001?? ?- ? ???110122020?? ? ? ???112012001-?? ?- ? ???=100010004?? ?

? ?-??

例3 将二次型23(,,)f x x x =121323422x x x x x x -++化为标准形,并写出所用的变换矩阵。 解:由于所给的二次型中无i x 平方项,就需要构造出平方项,令

112

2123

3x y y x y y x y

=+??

=-??=? 即

123x x x ?? ? ? ???=110110001?? ?- ? ???123y y y ??

? ? ???

代入到原二次型中有

23(,,)f x x x =12121231234()()2()2()y y y y y y y y y y -+-+++-

22

1213444y y y y =-++

此时就可以按照情形1中的步骤进行,将含有1y 的项集中,消去13y y 项,再分别对 2,3y y 配平方即可。 所以有

23(,,)f x x x =22

1213444y y y y -++

2222

113332

444y y y y y y =-++-+ ()2

22

133224y y y y =--++

作非退化线性替换

113

22332z y y z y z y =-??

=??=??11222331122y z z y z y z ?

=+??=??=?

?

123y y y ?? ? ? ???

=11022010001?? ?

? ? ? ???

123z z z ?? ? ? ???

于是能够得到

23(,,)f x x x =222

123

4z z z -++ 所用的变换矩阵为

C =110110001?? ?- ? ???1

10

2201

0001?? ?

? ? ?

??

?=111

2211122001??

? ?

?- ? ? ?

??? 且有

'C AC =11022

1

1011

12

2?? ?

?- ? ? ???021201110-?? ?- ? ???1

11

22111

2

2001??

? ?

?- ? ? ? ???=100040001-?? ? ?

??? 4.初等变换法

从以上配方法的过程可以看出,将一般二次型通过配方法化成标准形,实际上就是通过一系列的可逆线性替换将n 个元逐渐配方的过程,从上述例2,例3也可以看出,这个过程可以用矩阵的形式来表示,这就是将二次型化为标准形的第三种方法------初等变换法。这种方法的实质就是将二次型矩阵通过一系列的合同变换(即进行矩阵的初等行、列变换),一步一步地化成与它是合同的且在形式上又比较简单的矩阵,最后化成对角矩阵的过程。

定理3[1] 在数域P 上,任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵。 定理4[3] 对每个实对称矩阵A ,存在初等矩阵12S PP P 使得

2112T T T

s S P P P APP P =(diag 12,,n d d d )

根据初等矩阵的有关性质知,用初等矩阵左乘A 相当于对A 作一次初等行变换;

用初等矩阵右乘A 相当于对A 作一次初等列变换,再结合定理3知,对初等矩阵施行一个初等行变换,同时要对矩阵作一次相应的列变换,以保证每对变换作过以后得到的矩阵与原来的矩阵相合。 4.1解题步骤

○1写出二次型()12,n

f x x x 的矩阵A ,让A 与E 构造2n n ?矩阵A E ??

???

○2对A 进行初等行变换和相同的初等列变换,化成与A 合同形式上简单的矩阵,直至

将A 化成对角矩阵;但是对E 只进行其中的列变换。

3写出○2过程中所进行的一系列可逆线性变换X CY =化原二次型为 ()12,n f x x x ='Y DY

为理解方便,此过程可用图表示如下A E ?? ???A E ?????????→对进行同样的初等行、列变换对只进行其中的列变换

D C ?? ???

例4 用上述方法将二次型23(,,)f x x x =222

112132233

22243x x x x x x x x x +-+++ 解:首先写出二次型23(,,)f x x x 的矩阵

A =111122123-??

? ? ?-??

然后构造出63?矩阵

A E ?? ???=1

11122123100010001-?? ? ? ?- ?

? ? ? ???→1

110

130321

00010001-?? ? ? ? ? ? ? ? ???→10

001

303211

1010001?? ? ? ? ?- ? ? ? ??

?→100010037114013001??

? ? ?- ?- ? ?- ? ???

→ 1000100

0711*******??

? ?

?-

?- ?

?- ? ??

?

从上过程可以看出C =114013001-?? ?

- ? ???

,最后作可逆线性替换X CY =,则

23(,,)f x x x ='Y 100010007??

?

? ?-??

Y

5.雅可比方法

此种方法是利用二次型的矩阵的顺序主子式(也即雅可比行列式)来确定 标准形中各平方项的系数 。这种方法较为简便,但是有条件限制,它需要二 次型的矩阵所有的顺序主子式必须都不为零。 5.1解题思路

设二次型,1

n

ij i

j

i j f a x x

==

∑,ij ji a a =,首先将二次型写成()12,n f x x x ='X AX 的形

式,写出矩阵A ,如果A 的顺序主子式i A ≠0(1,2,,)i n = ,即

1A =11a ,2A =

1112

2122

a a a a , 1n A -=

11

121,121222,11,1

1,21,1

n n n n n n a a a a a a a a a ------

n A =

11

12121

2221

2n n

n n nn

a a a a a a a a a

都不等于零,那么二次型()12,n f x x x 必可以化为如下的标准形:

()12,n f x x x =1A 2

1

y +2

1A A 22

y + +1

n n A A -2

n y 例5 用雅可比方法将二次型23(,,)f x x x = 222

112132233

22243x x x x x x x x x +-+++化为标准形。

解:首先写出二次型23(,,)f x x x 的矩阵A ,

A = 111122123-?? ? ? ?-??

然后分别求出A 的顺序主子式:

11A =,211112A ??== ???,31111227123A -?? ?

==- ? ?

-??

23(,,)f x x x 23222

1123

1

2

A A A y y y A A =+

+

222

123

7y y y =+-

6.偏导数法

偏导数法与配方法的实质是相同的,但是它是根据函数与其偏导数之间的关系这一原理,依据配方法提出的化二次型为标准形的新方法,配方法需要仔细观察然后进行配方,而这种方法具有固定的程序,可以按步骤一步一步进行计算。因此,能够提高准确性易于理解,同时求解过程也更加简单。 6.1解题思路

与配方法类似,运用此方法时,同样也要将二次型分两种情形来讨论。 情形1: 如果二次型()12,n f x x x 中含有i x 的平方项,即ii a ()1,2,,i n = 至少有一个不为零时,不妨设11a 不等于零,首先求出f 对1x 的偏导数1f x ??,则有11

12f

f x ?=?,再根据()12,n f x x x =

()2

111

1f g a +,通过计算对比可以得出g ,此时g 中已不含1x ,再求出g 对2x 的偏导数

2g x ??,记12

12g g x ?=?,此时()12,n f x x x =

()()2211'1122

11f g u a a ++,

(11a 为()12,n f x x x 中21x 的系数,'

22a 为g 中2

2

x 的系数),u 中已不含2x ,照这种程序继续运算,最终可将二次型化为标准形。

情形2 如果二次型()12,n f x x x 中不含i x 的平方项,即所有的含ii a ()1,2,,i n = 全等于零,但是至少有一1(1)j a j >不等于零,不妨设12a 不等于零,首先求出f 对1x 的偏导数

1f x ??,f 对2x 的偏导数2f x ??,令1112f f x ?=?,22

12f

f x ?=?,此时()12,n f x x x =

()()22

1212121f f f f a ???+--+?

?,其中?已不含12,x x 的项。观察?的结构,如果?中含有i x 的平方项,则按照情形1中的方法进行计算,如果?中仍然不含

i x 的平方项,则按照上述的步骤继续计算,直至将二次型化为标准型。

例6 用偏导数法化二次型23(,,)f x x x =222

12312232422x x x x x x x +-+-为标准形。

解:原二次型中含有i x 的平方项,符合情形1,首先求出f 对1x 的偏导数

1f x ??=1222x x +,11

12f

f x ?=?=12x x + 23(,,)f x x x =

()2

111

1f g a + =()2

12x x g ++

整理并与原二次型对比可得到

22

232342g x x x x =--

再求出g 对2x 的偏导数

2g x ??=()232x x -,12

12g g x ?=?=23x x - 23(,,)f x x x =

()()22

2113'1122

115f g x a a +- ()()2

2

2

122335x x x x x =++--

11222333y x x y x x y x =+??=-??=?112322333x y y y x y y x y =--???=+??=?

于是

23(,,)f x x x =222

123

5y y y +- 所用的变换矩阵为

111011001C --??

?= ? ???

且有

'C AC =100110111?? ?- ? ?-??110121014?? ?- ? ?--??111011001--??

?

? ???

=100010005?? ?

? ?-??

例7 用偏导数法化二次型23(,,)f x x x =121323422x x x x x x -++为标准形。 解:由于所给的二次型中无i x 平方项,符合情形2,分别求出f 对1x 的偏导 数

1f x ??,f 对2x 的偏导数2

f

x ?? 1f x ??=2342x x -+,2

f

x ??=1342x x -+ 1112f f x ?=

?=232x x -+,2132

122f

f x x x ?=

=-+? 23(,,)f x x x =

()()22

1212121f f f f a ???+--+?

? 整理上式并与原二次型作对比,可得?=2

3x

于是能得到

23(,,)f x x x =()()222

312123

1222224x x x x x x ??-----+?

?

=()()22

2

312123x x x x x x ---+-+

=222

123

y y y -++ 令

1123212

33y x x x y x x y x =--+??

=-???=?1

123212333111222111222x y y y x y y y x y ?

=-++??

?=--+??=?

??

可以得到所用的可逆矩阵为

111222*********C ??- ? ? ?=--

? ? ? ??

?

且有

'1111

10222220211

11110201222221101100

112

2C AC ????--

- ? ?-?? ? ? ?

? ?=---- ? ? ? ? ?

??? ? ? ?

?????

=1000

1000

1-??

? ? ??

?

7.小结

化二次型为标准形的方法还有很多,上文中给出了五种化二次型为 标准形的方法,但这不是绝对的,同一个二次型除了例题中举出的方法,还 可以使用其他的方法,在这种情况下,要根据其特征,选择简便或熟悉的适 当方法,才能够提高解题效率。

二次型不仅是代数学研究的重要内容,而且它的应用也拓宽到物理学, 工程学,经济学等领域,随之也会出现越来越多的解决这类问题的方法,这

就需要同学们在学习中,善于发现知识间的联系并及时总结。

参考文献

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[10]Jane M.Day,Dan KalmanTeaching Linear Algebra:Issues and Resources[J].The College

Mathematics Journal.2001.

二次型的标准型

§2 标准形 一、二次型的标准型 二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型 2 222211n n x d x d x d +++ . (1) 定理1 数域P 上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平方和(1)的形式. 易知,二次型(1)的矩阵是对角矩阵, ().000000 ,,,212 1212 222211?????? ? ????????? ??=+++n n n n n x x x d d d x x x x d x d x d 反过来,矩阵为对角形的二次型就只包含平方项.按上一节的讨论,经过非退化的线性替换,二次型的矩阵变到一个合同的矩阵,因此用矩阵的语言,定理1可以叙述为: 定理2 在数域P 上,任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 定理2也就是说,对于任意一个对称矩阵A 都可以找到一个可逆矩阵C 使 AC C ' 成对角矩阵. 二次型),,,(21n x x x f 经过非退化线性替换所变成的平方和称为 ),,,(21n x x x f 的标准形. 例 化二次型 32312121622),,,(x x x x x x x x x f n -+= 为标准形. 二、配方法 1.,011≠a 这时的变量替换为

????? ????==-=∑=-. , , 222 11 1111n n n j j j y x y x y a a y x 令 ??? ? ? ? ? ? ?--=--100010 111 11121111 n a a a a C , 则上述变量替换相应于合同变换 11AC C A ' → 为计算11AC C ',可令 ()??? ? ? ??==nn n n n a a a a A a a 22221112,,,α. 于是A 和1C 可写成分块矩阵 ??? ? ??-=???? ? ?' =--11 1111111,n E O a C A a A ααα, 这里α'为α的转置,1-n E 为1-n 级单位矩阵.这样 .111 1 1111111 11 11111111 1111111 1111??? ? ??'-=???? ??-???? ? ?'-=???? ??-???? ??'? ??? ??'-=' --------αααααααααa A O O a E O a a A O a E O a A a E a O AC C n n n 矩阵αα'--1 111a A 是一个)1()1(-?-n n 对称矩阵,由归纳法假定,有 )1()1(-?-n n 可逆矩阵G 使 D G a A G ='-'-)(1 111αα 为对角形,令 ??? ? ??=G O O C 12,

化二次型为标准形的方法

化二次型为标准形的方法 内容摘要:高等代数作为我们数学专业的一门重要的基础课。它以线性空间为背景,以 线性变换为方法,以矩阵为工具,着重研究线性代数的问题。二次型式多元二次函数,其内容本属于函数的讨论范围,然而二次型用矩阵表示之后,用矩阵方法讨论函数问题,使得二次型的问题变得更加简洁明确,二次函数的内容也更加丰富多彩。而我们要讨论的是如何化二次型为标准形,也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。二次型是高等代数的重要内容之一,二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项,即二次型的标准形。下面介绍了一些化二次型为标准形的方法:配方法,交变换法,初等变换法,雅可比方法,偏导数法 关键词:二次型线性替换矩阵标准形 导言:二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题。二次型是学中 的一个极其重要的问题,这个问题不仅在数学上,而且在物理学,工程学,经济学领域都有广泛的应用。在研究时为了研究的方便,我们经常要化二次型为标准形。我们知道,任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定的,而任一实对称矩阵都可以化为一对角矩阵,相应的以实二次型都可以化为标准形,以下就是化二次型为标准形的几种方法,通过典型例题,体会二次型问题时的多样性和灵活性。 化二次型为标准形的方法 一. 配方法 配方法是解决这类问题时另一个常用方法,通过观察对各项进行配方,其实质就是运用非退化的线性替换。使用配方法化二次型为标准形时,最重要的是要消去像 ()i j x x i j ≠这样的交叉项,其方法是利用两数的平方和公式和两数的平方差公式逐步的消去非平方项并构造新的平方项。 定理:数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和 222 1122...n n d x d x d x +++的形。 1.如果二次型含有i x 的平方项,那么先把含有i x 的乘积项集中,然后再配方,再对 其余的项同样进行,直到都配成平方项为止,写出前面过程所经过的所有非退化的线性替换,就将二次型化为标准形了。 例1.上述所给出的方法化二次型23(,,)f x x x =22 1122 23224x x x x x x +++为标准形,写出所用的变换矩阵。

2020年化二次型为标准型的方法

作者:旧在几 作品编号:2254487796631145587263GF24000022 时间:2020.12.13 化二次型为标准型的方法 二、 二次型及其矩阵表示 在解析几何中,我们看到,当坐标原点与中心重合时,一个有心二次曲线的一般方程是 2 2 ax 2bxy cy f ++=. (1) 为了便于研究这个二次曲线的几何性质,我们可以选择适当的角度θ,作转轴(反时针方 向转轴) '''' x x cos y sin y x sin y cos θθθθ ?=-? ?=+?? (2) 把方程(1)化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。 (1)的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看,所谓化标准方程就是用变量的线性替换(2)化简一个二次齐次多项式,使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现,而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。 设P 是一数域,一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的二次齐次多项式 22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++ 称为数域P 上的一个n 元二次型,或者在不致引起混淆时简称二次型。 设12n x ,x ,...,x ;12n y ,y ,...,y 是两组文字,系数在数域P 中的一组关系式 11111221n n 22112222n n 33113223n n n n12n22nn n x c y c y ...c y x c y c y ...c y x c y c y ...c y ...........x c y c y ...c y =++??=++?? =++???=++?? (4) 称为由12n x ,x ,...,x 到12n y ,y ,...,y 的一个线性替换,。如果ij c 0≠,那么线性替换(4)就称为非退化的。 在讨论二次型时,矩阵是一个有力的工具,因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另 ij ji a =a ,i

化二次型为实用标准型的方法

化二次型为标准型的方法 二、 二次型及其矩阵表示 在解析几何中,我们看到,当坐标原点与中心重合时,一个有心二次曲线的一般方程是 2 2 ax 2bxy cy f ++=. (1) 为了便于研究这个二次曲线的几何性质,我们可以选择适当的角度θ,作转轴(反时针方 向转轴) '' '' x x cos y sin y x sin y cos θθ θθ ?=-??=+?? (2) 把方程(1)化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。 (1)的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看,所谓化标准方程就是用变量的线性替换(2)化简一个二次齐次多项式,使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现,而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。 设P 是一数域,一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的二次齐次多项式 22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++ 称为数域P 上的一个n 元二次型,或者在不致引起混淆时简称二次型。 设12n x ,x ,...,x ;12n y ,y ,...,y 是两组文字,系数在数域P 中的一组关系式 11111221n n 22112222n n 33113223n n n n12n22nn n x c y c y ...c y x c y c y ...c y x c y c y ...c y ...........x c y c y ...c y =++??=++?? =++???=++?? (4) 称为由12n x ,x ,...,x 到12n y ,y ,...,y 的一个线性替换,。如果ij c 0≠,那么线性替换(4)就称为非退化的。 在讨论二次型时,矩阵是一个有力的工具,因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另 ij ji a =a ,i

化二次型为标准型的方法

化二次型为标准型的方法 二、二次型及其矩阵表示 在解析几何中,我们看到,当坐标原点与中心重合时,一个有心二次曲线的一般方程 ax 2 +2bxy+ cy 2 = f . 为了便于研究这个二次曲线的几何性质,我们可以选择适当的角度。,作转轴(反时针方 把方程(1)化成标准方程,在二次曲面的研究中也有类似的情况. (1)的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看,所谓化标准方程就是用变量 的线性替换(2)化简一个二次齐次多项式,使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几 何中出现,而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最 基本的性质。 设P 是一数域,一个系数在数域P 上的X“X2,...,Xn 的二次齐次多项式 f (X],x^,???,Xn ) = a.eX.2 +2a“X]X, +... + 2a.x.x n +... + 2a. x ?x n +... + a n x n 2 J x n ii I i i * in i n 匕 .n 二 n nil n 称为数域P 上的一个n 元二次型,或者在不致引起混淆时简称二次型。 设x p x 2,...,x n ; y,,y 2,…,yn 是两组文字,系数在数域P 中的一组关系式 x 1=c I1y I +c 12y 2+...c ln y n x 2=c 2iyi +c 22y 2+-c 2nyn X 3=C 3iyi +C 32y2+-C 3ny n (4) /n =C niy2+C n2y2+-C nnyn 称为由X|,X2,...,Xn 到力必,…,yn 的一个线性替换,。如果|cJ #。,那么线性替换(4)就 称为非退化的。 在讨论二次型时,矩阵是一个有力的工具,因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另 , i

化二次型为实用标准形地几种方法

化二次型为标准形的几种方法 摘要 二次型是代数学要研究的重要容,我们在研究二次型问题时,为了方便,通常将二次型化为标准形.这既是一个重点又是一个难点,本文介绍了一些化二次型为标准形的方法:正交变换法,配方法,初等变换法,雅可比方法,偏导数法.正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤,并举出合适的例题加以说明.其中,偏导数法与配方法又相似,只是前者具有固定的步骤,而配方法需要观察去配方. 关键词:正交变换法配方法初等变换法雅可比方法偏导数法

reduce the quadratic forms to the standard forms Abstract:Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observed to formula. Keywords:orthogonal transform method match method elementary transformation jacobian method partial derivative method

02 第二节 化二次型为标准型

第二节 化二次型为标准形 若二次型),,,(21n x x x f 经可逆线性变换化为只含平方项的形式 ,2 222211n n y b y b y b 则称之为二次型),,,(21n x x x f 的标准形. 由上节讨论知,二次型AX X x x x f T n ),,,(21 在线性变换CY X 下,可化为.)(Y AC C Y T T 如果AC C T 为对角矩阵 n b b b B 21 则),,,(21n x x x f 就可化为标准形,222 2211n n y b y b y b 其标准形中的系数恰好为对角阵B 的对角线上的元素,因此上面的问题归结为A 能否合同于一个对角矩阵. 内容分布图示 ★ 二次型的标准性 ★ 用配方法化二次型为标准形 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 用初等变换化二次型为标准形 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理 3 4 ★ 用正交变换化二次型为标准形 ★ 例7 ★ 例8 ★ 二次型与对称矩阵的规范形 ★ 例9 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-2 ★ 返回 内容要点: 一、用配方法化二次型为标准形. 定理1 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形. 拉格朗日配方法的步骤: (1) 若二次型含有i x 的平方项,则先把含有i x 的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量

进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止, 经过可逆线性变换, 就得到标准形; (2) 若二次型中不含有平方项, 但是)(0j i a ij ,则先作可逆变换 ),,,2,1(j i k n k y x y y x y y x k k j i j j i i 且 化二次型为含有平方项的二次型, 然后再按(ⅰ)中方法配方. 注:配方法是一种可逆线性变换, 但平方项的系数与A 的特征值无关. 因为二次型f 与它的对称矩阵A 有一一对应的关系,由定理1即得: 定理2 对任一实对称矩阵A ,存在非奇异矩阵C ,使 B AC C T 为对角矩阵. 即任一 实对称矩阵都与一个对角矩阵合同. 二、用初等变换化二次为标准型 设有可逆线性变换为CY X ,它把二次型AX X T 化为标准型BY Y T ,则 B AC C T . 已知任一非奇异矩阵均可表示为若干个初等矩阵的乘积, 故存在初等矩阵s P P P ,,,21 ,使 s P P P C 21 , 于是 s P P EP C 21 s T T T s T P P AP P P P AC C 2112. 由此可见, 对n n 2矩阵 E A 施以相应于右乘s P P P 21的初等列变换, 再对A 施以相应于左乘T s T T P P P ,,,21 的初等行变换, 则矩阵A 变为对角矩阵B , 而单位矩阵E 就变为所要求的可 逆矩阵C . 三、用正交变换化二次型为标准形 定理 2 若A 为对称矩阵,C 为任一可逆矩阵,令,AC C B T ,则B 也为对称矩阵,且).()(A r B r 注: (1) 二次型经可逆变换CY X 后,其秩不变,但f 的矩阵由A 变为;AC C B T (2) 要使二次型f 经可逆变换CY X 变成标准形,即要使AC C T 成为对角矩阵, 即 .),,,(2 222211212121n n n n n T T y b y b y b y y y b b b y y y ACY C Y

二次型化为标准形的几种方法

2015届本科毕业论文 题目:二次型化为标准型方法 所在学院:数学科学学院 专业班级:数学与应用数学11-2班 学生姓名:赵江南 指导教师:艾合买提 答辩日期:2015年5月5日

目录 1 引言.............................................. 错误!未定义书签。 2 关于二次型定义 ................................... 错误!未定义书签。 3 二次型化为标准型的方法 ........................... 错误!未定义书签。 正交变换法 ...................................... 错误!未定义书签。 . 配方法 ......................................... 错误!未定义书签。 . 初等变换法 ..................................... 错误!未定义书签。 . 雅可比方法 ..................................... 错误!未定义书签。 . 偏导数法 ....................................... 错误!未定义书签。 4. 小结 ............................................ 错误!未定义书签。参考文献 .......................................... 错误!未定义书签。致谢 .............................................. 错误!未定义书签。

化二次型为标准型的方法

化二次型为标准型的方法 二次型及其矩阵表示 在解析几何中,我们看到,当坐标原点与中心重合时,一个有心二次曲线的一般方程 ax" + 2bxy+ cy' =f . (1) 为了便于研究这个二次曲线的几何性质,我们可以选择适当的角度作转轴(反时针方 X = X cos&-y sin& ? ? y = X sin0+y cos0 把方程(1)化成标准方程。在二次曲而的研究中也有类似的情况。 (1)的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看,所谓化标准方程就是用变量 的线性替换(2)化简一个二次齐次多项式,使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几 何中出 现,而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最 基本的性质。 向转轴) (2) 设P 杲一数感,一个系数在数域P I :的X|.X2,?…Xn 的二次齐次多项式 f(XpXx ???,Xn)= a…xf +2apX]X 》+???+ 2d]nX]Xn +a"X 分2 +??? + 2a*nXjXn +??? + annXn2 称为数域P 上的一个n 元二次型,或者在不致引起混淆时简称二次型。 设X|,X2■…,x…: y^y, y…是两组文字,系数在数域P 中的一组关系式 X| =勺』|+匂汙2+???5 人 X2=C2.yi+c…y,+...c,…y… X3=C3y +。32『2+…(3"九 (4) 1/"=5』2+%九+…5肌 称为由XpX2 x…到yid?人的一个线性替换八如果 G H0,那么线性替换(4)就 称为非退化的。 在讨论二次型时,矩阵是一个有力的工具,因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另 那二ivj ?由于XjXj=XjXi ,所以 f(X|,X2,???,x…) = a]]X/ + 2di2X|X2+??? + 2a]nX|Xn +3,2X2"+... + 2a2…X2Xj, + n n =工工a/iXj i —1 它的系数排成一个n*n 矩阵

化二次型为标准型

化二次型为标准型公司内部档案编码:[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

第二节 化二次型为标准形 若二次型),,,(21n x x x f 经可逆线性变换化为只含平方项的形式 ,2 222211n n y b y b y b +++ 则称之为二次型),,,(21n x x x f 的标准形. 由上节讨论知,二次型AX X x x x f T n =),,,(21 在线性变换CY X =下,可化为.)(Y AC C Y T T 如果AC C T 为对角矩阵 ? ?????????? ?=n b b b B 21 则),,,(21n x x x f 就可化为标准形,2222211n n y b y b y b +++ 其标准形中的系数恰好为 对角阵B 的对角线上的元素,因此上面的问题归结为A 能否合同于一个对角矩阵. 内容分布图示 ★ 二次型的标准性 ★ 用配方法化二次型为标准形 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 用初等变换化二次型为标准形 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理3 ?4 ★ 用正交变换化二次型为标准形 ★ 例7 ★ 例8 ★ 二次型与对称矩阵的规范形 ★ 例9 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-2 ★ 返回 内容要点: 一、用配方法化二次型为标准形. 定理1 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形. 拉格朗日配方法的步骤: (1) 若二次型含有i x 的平方项,则先把含有i x 的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止, 经过可逆线性变换, 就得到标准形;

化二次型为标准型的方法样本

化二次型为标准型的方法 一、 绪论 高等代数是数学专业的一门重要基础课。该课程以线性空间为背景, 以线性变换为方法, 以矩阵为工具, 着重研究线性代数的问题。二次型式多元二次函数, 其内容本应属于函数讨论的范围, 然而二次型用矩阵表示之后, 用矩阵方法讨论函数问题使得二次型的问题变得更加简洁明确, 二次型的内容也更加丰富多彩。本文的中心问题是如何化二次型为标准形, 也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。 二次型是高等代数的重要内容之一, 二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项, 即二次型的标准型。二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、 二次曲面的化简问题, 其理论也在网络、 分析、 热力学等问题中有广泛的应用。将二次型化为标准型往往是困惑学生的一大难点问题, 而且它在物理学、 工程学、 经济学等领域有非常重要的应用, 因此探索将实二次型化为标准型的简单方法有重要的理论与应用价值。 我们知道, 任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定, 而任一实对称矩阵都能够化成一对角矩阵, 相应的任一实二次型都能够化为标准型。在高等代数课本中介绍了将实二次型化为标准型的两种方法: 配方法和正交变换法; 另外, 由于任意矩阵能够利用初等变换化为对角矩阵, 因此也可用初等变换法将二次型化为标准型。 经过典型例题, 更能体会在处理二次型问题时的多样性和灵活性, 我们应熟练掌握各种方法。 以下就是几种方法的简单介绍, 而且又提出了一种新的方法: 雅可比喻法。我们在解决二次型问题时可对它们灵活应用。 二、 二次型及其矩阵表示 在解析几何中, 我们看到, 当坐标原点与中心重合时, 一个有心二次曲线 的一般方程是 22ax 2bxy cy f ++=.

用初等变换化二次型为标准型

莆田学院数学与应用数学系“高等代数选讲”课程论文 题目:用矩阵的初等变换化实二次型为标准形 姓名:廖丹 学号:410401141 莆田学院数学与应用数学系 数学与应用数学专业2004级 2007年6月20日

用矩阵的初等变换化实二次型为标准形 041数本 410401141 廖丹 摘要:本文介绍两种特殊方法:一种是用正交变换化实二次型为标准形,另一种是连续用第三种初等行变换快速将二次型化为标准形. 关键词:初等变换 第三种初等阵 非异阵 实二次型标准形 1.数域下任意一个实二次型X AX ',总可以经过非奇异变换X PY =使得21n i i i X AX d y ='=∑,其中i d 为实数,通常的方法是采用配方法或初等变换法,然而传统的方法 最大的缺点是不易求矩阵P .下面介绍一种特殊方法,能够快速将原二次型化为标准形,一举求出非异阵P . 定义1.1以()ij k T 表示将单位矩阵的j 行(列)的k 倍加到i 行(列),所得到的第三种初等阵. 定理1.2设A 是n 阶实对称阵,P 是有限个第三种初等阵()ij k T ,1i >的乘积.且 1 10d a P A A ??'= ???其中a 是1n -维行向量,1A 是1n -阶阵,则必有100d P AP A ?? '= ??? . 证明:由于P 是()ij k T 的乘积,且1i >,根据矩阵的乘法规则,用P 右乘P A '时,P A '的第一列元素不变,从而1 10 d P AP A β?? '= ??? ,即A 是实对称的. ∴ P AP '亦为实对称阵 ∴ 0β= 这个定理实质上就给出矩阵A 化标准形,求出变换矩阵P 的一种方法,只要连续使用第三种初等变换即可把A 化为上三角形.现作矩阵(),A E 找出P '使

化二次型为标准型的方法

化二次型为标准型的办法 二、 令狐采学 三、 二次型及其矩阵暗示 在解析几何中,我们看到,当坐标原点与中心重合时,一个 有心二次曲线的一般方程是 22ax 2bxy cy f ++=. (1) 为了便于研究这个二次曲线的几何性质,我们可以选择适当的角度θ,作转轴(反时针标的目的转轴)'' '' x x cos y sin y x sin y cos θθ θθ ?=-??=+?? (2) 把方程(1)化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。 (1)的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看,所谓化标准方程就是用变量的线性替换(2)化简一个二次齐次多项式,使它只含平方项。二次齐次多项式不单在几何中呈现,并且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。 设P 是一数域,一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的二次齐次多 项 式 222 12n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++ 称为数域P 上的一个n 元二次型,或者在不致引起混淆时简称二次型。

设12n x ,x ,...,x ;12n y ,y ,...,y 是两组文字,系数在数域P 中的一组关系式 11111221n n 22112222n n 33113223n n n n12n22nn n x c y c y ...c y x c y c y ...c y x c y c y ...c y ...........x c y c y ...c y =++??=++?? =++???=++?? (4) 称为由12n x ,x ,...,x 到12n y ,y ,...,y 的一个线性替换,。如果ij c 0≠,那么线性替换(4)就称为非退化的。 在讨论二次型时,矩阵是一个有力的工具,因此把二次型与线性替换用矩阵来暗示。另ij ji a =a ,i

化二次型为标准型的方法

化二次型为标准型的方法 一、绪论 高等代数是数学专业的一门重要基础课。该课程以线性空间为背景,以线性变换为方法,以矩阵为工具,着重研究线性代数的问题。二次型式多元二次函数,其内容本应属于函数讨论的范围,然而二次型用矩阵表示之后,用矩阵方法讨论函数问题使得二次型的问题变得更加简洁明确,二次型的内容也更加丰富多彩。本文的中心问题是如何化二次型为标准形,也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。 二次型是高等代数的重要内容之一,二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项,即二次型的标准型。二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题,其理论也在网络、分析、热力学等问题中有广泛的应用。将二次型化为标准型往往是困惑学生的一大难点问题,而且它在物理学、工程学、经济学等领域有非常重要的应用,因此探索将实二次型化为标准型的简单方法有重要的理论与应用价值。 我们知道,任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定,而任一实对称矩阵都可以化成一对角矩阵,相应的任一实二次型都可以化为标准型。在高等代数课本中介绍了将实二次型化为标准型的两种方法:配方法和正交变换法;此外,由于任意矩阵可以利用初等变换化为对角矩阵,因此也可用初等变换法将二次型化为标准型。 通过典型例题,更能体会在处理二次型问题时的多样性和灵活性,我们应熟练掌握各种方法。 以下就是几种方法的简单介绍,并且又提出了一种新的方法:雅可比方法。我们在解决二次型问题时可对它们灵活应用。 二、 二次型及其矩阵表示 在解析几何中,我们看到,当坐标原点与中心重合时,一个有心二次曲线的一般方程是 2 2 ax 2bxy cy f ++=. (1) 为了便于研究这个二次曲线的几何性质,我们可以选择适当的角度θ,作转轴(反时针方 向转轴) '' '' x x cos y sin y x sin y cos θθ θθ ?=-??=+?? (2) 把方程(1)化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。 (1)的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看,所谓化标准方程就是用变量的线性替换(2)化简一个二次齐次多项式,使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现,而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。 设P 是一数域,一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的 二次齐次多项式22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++ 称为数域P 上的一个n 元二次型,或者在不致引起混淆时简称二次型。 设12n x ,x ,...,x ;12n y ,y ,...,y 是两组文字,系数在数域P 中的一组关系式

化二次型为标准型的方法

如对您有帮助,请购买打赏,谢谢您! 化二次型为标准型的方法 一、绪论 高等代数是数学专业的一门重要基础课。该课程以线性空间为背景,以线性变换为方法,以矩阵为工具,着重研究线性代数的问题。二次型式多元二次函数,其内容本应属于函数讨论的范围,然而二次型用矩阵表示之后,用矩阵方法讨论函数问题使得二次型的问题变得更加简洁明确,二次型的内容也更加丰富多彩。本文的中心问题是如何化二次型为标准形,也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。 二次型是高等代数的重要内容之一,二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项,即二次型的标准型。二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题,其理论也在网络、分析、热力学等问题中有广泛的应用。将二次型化为标准型往往是困惑学生的一大难点问题,而且它在物理学、工程学、经济学等领域有非常重要的应用,因此探索将实二次型化为标准型的简单方法有重要的理论与应用价值。 我们知道,任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定,而任一实对称矩阵都可以化成一对角矩阵,相应的任一实二次型都可以化为标准型。在高等代数课本中介绍了将实二次型化为标准型的两种方法:配方法和正交变换法;此外,由于任意矩阵可以利用初等变换化为对角矩阵,因此也可用初等变换法将二次型化为标准型。 通过典型例题,更能体会在处理二次型问题时的多样性和灵活性,我们应熟练掌握各种方法。 以下就是几种方法的简单介绍,并且又提出了一种新的方法:雅可比方法。我们在解决二次型问题时可对它们灵活应用。 二、 二次型及其矩阵表示 在解析几何中,我们看到,当坐标原点与中心重合时,一个有心二次曲线的一般方程是 22 ax 2bxy cy f ++=. (1) 为了便于研究这个二次曲线的几何性质,我们可以选择适当的角度θ,作转轴(反时针方 向转轴) ''''x x cos y sin y x sin y cos θθθθ?=-??=+?? (2) 把方程(1)化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。 (1)的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看,所谓化标准方程就是用变量的线性替换(2)化简一个二次齐次多项式,使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现,而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。 设P 是一数域,一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的 二次齐次多项式22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++ 称为数域P 上的一个n 元二次型,或者在不致引起混淆时简称二次型。 设12n x ,x ,...,x ;12n y ,y ,...,y 是两组文字,系数在数域P 中的一组关系式

02 第二节 化二次型为标准型学习资料

02第二节化二次型 为标准型

第二节 化二次型为标准形 若二次型),,,(21n x x x f 经可逆线性变换化为只含平方项的形式 ,2 222211n n y b y b y b +++ 则称之为二次型),,,(21n x x x f 的标准形. 由上节讨论知,二次型AX X x x x f T n =),,,(21 在线性变换CY X =下,可化为.)(Y AC C Y T T 如果AC C T 为对角矩阵 ? ?????????? ?=n b b b B 21 则),,,(21n x x x f 就可化为标准形,222 2211n n y b y b y b +++ 其标准形中的系数恰好为对角阵B 的对角线上的元素,因此上面的问题归结为A 能否合同于一个对角矩阵. 内容分布图示 ★ 二次型的标准性 ★ 用配方法化二次型为标准形 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 用初等变换化二次型为标准形 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理3 -4 ★ 用正交变换化二次型为标准形 ★ 例7 ★ 例8 ★ 二次型与对称矩阵的规范形 ★ 例9 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-2 ★ 返回 内容要点: 一、用配方法化二次型为标准形. 定理1 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形. 拉格朗日配方法的步骤: (1) 若二次型含有i x 的平方项,则先把含有i x 的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止, 经过可逆线性变换, 就得到标准形; (2) 若二次型中不含有平方项, 但是)(0j i a ij ≠≠,则先作可逆变换

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