专题十 立体几何
1.【2015高考安徽，理5】已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）
（A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 （B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行
（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 （D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 【答案】D
【解析】由A ，若α，β垂直于同一平面，则α，β可以相交、平行，故A 不正确；由B ，
若m ，n 平行于同一平面，则m ，n 可以平行、重合、相交、异面，故B 不正确；由C ，若α，β不平行，但α平面内会存在平行于β的直线，如α平面中平行于α，β交线的直线；由D 项，其逆否命题为“若m 与n 垂直于同一平面，则m ，n 平行”是真命题，故D 项正确.所以选D.
【考点定位】1.直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用.
【名师点睛】空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是
画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.
2.【2015高考北京，理4】设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α?．“m β∥”是“αβ∥”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α?．若“m β∥”，则平面、αβ可能相交也可能平行，不能推出//αβ，反过来若//αβ，m α?，则有m β∥，则“m β∥”
是“αβ∥”的必要而不充分条件.
考点定位：本题考点为空间直线与平面的位置关系，重点考察线面、面面平行问题和充要条
件的有关知识.
【名师点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系及充要条件，本题属于基础题，本题以空间线、面位置关系为载体，考查充要条件．考查学生对空间线、面的位置关系及空间面、面的位置关系的理解及空间想象能力，重点是线面平行和面面平行的有关判定和性质.
3.【2015高考新课标1，理6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）
(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛
【答案】B
【考点定位】圆锥的性质与圆锥的体积公式
【名师点睛】本题以《九章算术》中的问题为材料，试题背景新颖，解答本题的关键应想到
米堆是1
4
圆锥，底面周长是两个底面半径与
1
4
圆的和，根据题中的条件列出关于底面半径的
方程，解出底面半径，是基础题.
4.【2015高考陕西，理5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．24
π+ D．34
π+
【答案】D
【解析】由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1，母线长为2，所以该几何体的表面积是
()1
211222342
ππ???++?=+，故选D ． 【考点定位】1、三视图；2、空间几何体的表面积．
【名师点晴】本题主要考查的是三视图和空间几何体的表面积，属于容易题．解题时要看清楚是求表面积还是求体积，否则很容易出现错误．本题先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体各个面的面积即可．
5.【2015高考新课标1，理11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r =（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 【答案】B
【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为221
42222
r r r r r r πππ?+?++?=2254r r π+=16 + 20π，解得r =2，故选B.
【考点定位】简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式
【名师点睛】本题考查简单组合体的三视图的识别，是常规提，对简单组合体三三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状，再根据“长对正，宽相等，高平齐”的法则组合体中的各个量.
6.【2015高考重庆，理5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A 、13π+
B 、23π+
C 、 123π+
D 、2
23
π+
【答案】A
【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，21111
12(12)12323
V ππ=??+?????=+，选A .
【考点定位】组合体的体积.
【名师点晴】本题涉及到三视图的认知，要求学生能由三视图画出几何体的直观图，从而分析出它是哪些基本几何体的组合，应用相应的体积公式求出几何体的体积，关键是画出直观图，本题考查了学生的空间想象能力和运算求解能力.
7.【2015高考北京，理5】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）
正(主)视图
11俯视图
侧(左)视图
2
1
A
．2+ B
．4+ C
．2+ D ．5 【答案】C
=,三棱锥表面积
表2
S=+.
考点定位：本题考点为利用三视图还原几何体及求三棱锥的表面积，考查空间线线、线面的位置关系及有关线段长度及三角形面积数据的计算.
【名师点睛】本题考查三视图及多面体的表面积，本题属于基础题，正确利用三视图还原为原几何体，特别是有关数据的还原，另外要利用线面垂直的性质，判断三角形的形状，特别是侧面PAB的形状为等腰三角形，正确求出三个侧面的面积和底面的面积.
8.【2015高考安徽，理7】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）
（A）1（B）2
（C）1+（D）
【答案】B
【解析】由题意，该四面体的直观图如下，,ABD BCD ??是等腰直角三角形，,ABC ACD
??是
等
边
三
角
形
，
则
11
1,6022BCD ABD ABC ACD S S S S ????======
，所以四面
体的表面积2122BCD ABD ABC ACD S S S S S ????=+++=?+=+ B.
【考点定位】1.空间几何体的三视图与直观图；2.空间几何体表面积的求法.
【名师点睛】三视图是高考中的热门考点，解题的关键是熟悉三视图的排放规律：长对正，
高平齐，宽相等.同时熟悉常见几何体的三视图，这对于解答这类问题非常有帮助，本题还应注意常见几何体的体积和表面积公式.
9.【2015高考新课标2，理9】已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C
【考点定位】外接球表面积和椎体的体积．
B
O
A
C
【名师点睛】本题以球为背景考查空间几何体的体积和表面积计算，要明确球的截面性质，正确理解四面体体积最大时的情形，属于中档题． 10.【2015高考山东，理7】在梯形ABCD 中，2
ABC π
∠=
，//,222AD BC BC AD AB === .
将梯
形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） （A ）
23π （B ）43π （C ）53
π
（D ）2π 【答案】C
【解析】直角梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为：221
5
121133
V V V πππ=-=??-???=圆柱圆锥学优高考网 故选C.
【考点定位】1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积.
【名师点睛】本题考查了空间几何体的结构特征及空间几何体的体积的计算，重点考查了圆柱、圆锥的结构特征和体积的计算，体现了对学生空间想象能力以及基本运算能力的考查，此题属中档题.
11.【2015高考浙江，理8】如图，已知ABC ?，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ?折成
A CD '?，所成二面角A CD
B '--的平面角为α，则（ ）
A. A DB α'∠≤
B. A DB α'∠≥
C. A CB α'∠≤
D. A CB α'∠≤
【答案】B. 【解析】
试题分析：设ADC θ∠=，设2AB =，则由题意1AD BD ==，在空间图形中，设A B t '=，
在A CB '?中，2222222112cos 22112
A D D
B AB t t A DB A D DB '+-+--'∠===
'???， 在空间图形中，过A '作AN DC ⊥，过B 作BM DC ⊥，垂足分别为N ，M ， 过N 作//NP MB ，连结A P '，∴NP DC ⊥，
则A NP '∠就是二面角A CD B '--的平面角，∴A NP α'∠=，
在Rt A ND '?中，cos cos DN A D A DC θ''=∠=，sin sin A N A D A DC θ'''=∠=， 同理，sin BM PN θ==，cos DM θ=，故2cos BP MN θ==， 显然BP ⊥面A NP '，故BP A P '⊥，
在Rt A BP '?中，2
2
2
2
2
2
2
(2cos )4cos A P A B BP t t θθ''=-=-=-，
在A NP '?中，222cos cos 2A N NP A P A NP A N NP α''+-'=∠='?2222sin sin (4cos )
2sin sin t θθθθθ
+--=
?
【考点定位】立体几何中的动态问题
【名师点睛】本题主要考查立体几何中的动态问题，属于较难题，由于ABC ?的形状不确定，
'A CB ∠与
α的大小关系是不确定的，再根据二面角的定义即可知A DB α'∠≥，当且仅当AC BC =时，
等号成立
以立体几何为背景的创新题是浙江高考数学试卷的热点问题，12年，13年选择题压轴题均考
查了立体几
何背景的创新题，解决此类问题需在平时注重空间想象能力的培养，加强此类问题的训练. 【2015高考湖南，理10】某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=
新工件的体积
原工件的体积
）（ ）
A.89π
B.16
9π
【答案】A. 【解析】
试题分析：分析题意可知，问题等价于圆锥的内接长方体的体积的最大值，设长方体体的长，宽，高分别为x ，y ，h ，长方体上底面截圆锥的截面半径为a ，则2
2
2
2
4)2(a a y x ==+，如下图所示，圆锥的轴截面如图所示，则可知
a h h a 222
21-=?-=，而长方体的体积)22(222
222
2a a h a h y x xyh V -==+≤=
322162(
)327a a a ++-≤?=
，当且仅当y x =，32
22=?-=a a a 时，等号成立，此时利用率为ππ9821312716
2
=
??，故选A.
【考点定位】1.圆锥的内接长方体；2.基本不等式求最值.
【名师点睛】本题主要考查立体几何中的最值问题，与实际应用相结合，立意新颖，属于较
难题，需要考
生从实际应用问题中提取出相应的几何元素，再利用基本不等式求解，解决此类问题的两大
核心思路：一
是化立体问题为平面问题，结合平面几何的相关知识求解；二是建立目标函数的数学思想，
选择合理的变
量，或利用导数或利用基本不等式，求其最值.
12.【2015高考浙江，理2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）
A.38cm
B. 312cm
C.
3323cm D. 3
403
cm
【答案】C.
【考点定位】1.三视图；2.空间几何体的体积计算.
【名师点睛】本题主要考查了根据三视图判断空间几何体的形状，再计算其体积，属于容易题，在解题过程中，根据三视图可以得到该几何体是一个正方体与四棱锥的组合，将组合体的三视图，正方体与锥体的体积计算结合在一起，培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力，会利用所学公式进行计算，体现了知识点的交汇.
13.【2015高考福建，理7】若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α ，则“l m ⊥ ”是“//l α 的 （ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α?；若//l α，又m 垂直于平面
α，则l m ⊥，所以“l m ⊥ ”是“//l α 的必要不充分条件，故选B ．学优高考网
【考点定位】空间直线和平面、直线和直线的位置关系．
【名师点睛】本题以充分条件和必要条件为载体考查空间直线、平面的位置关系，要理解线线垂直和线面垂直的相互转化以及线线平行和线面平行的转化还有平行和垂直之间的内部联系，长方体是直观认识和描述空间点、线、面位置关系很好的载体，所以我们可以将这些问题还原到长方体中研究．
14.【2015高考新课标2，理6】一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A ．
81 B ．71 C ．61 D ．5
1
【答案】D
【解析】由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，，
设正方体棱长为a ，则11133111326A A B D V a a -=?=，故剩余几何体体积为33315
66
a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为5
1
，故选D ．
【考点定位】三视图．
C
B
A
D
D
1
C 1
B 1
A 1
【名师点睛】本题以正方体为背景考查三视图、几何体体积的运算，要求有一定的空间想象能力，关键是能从三视图确定截面，进而求体积比，属于中档题．
【2015高考上海，理6】若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ． 【答案】
3
π
【解析】由题意得：1
:(2)222rl h r l h ππ?=?=?母线与轴的夹角为3
π
【考点定位】圆锥轴截面
【名师点睛】掌握对应几何体的侧面积，轴截面面积计算方法.如 圆柱的侧面积 rl S π2=，圆柱的表面积 )(2l r r S +=π ，圆锥的侧面积 rl S π=，圆锥的表面积 )(l r r S +=π ，球体的表面积 24R S π=，圆锥轴截面为等腰三角形.
【2015高考上海，理4】若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为，则a = ． 【答案】4
【解析】2
3644a a a =?=?= 【考点定位】正三棱柱的体积
【名师点睛】简单几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类简单几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握平几面积计算方法.柱的体
积为V Sh =,区别锥的体积13V Sh =；2，正六边形的面积为2
6.
15.【2015高考四川，理14】如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相
垂直，动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点。设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则θcos 的最大值为 .
【答案】
2
5
281161
81455
2y y t t
+=≥++-，当1t =时取等号.
所以
2cos 5θ==≤=，当0y =时，取得最大值.
z y
x
F M
E Q
P
D C
B
A
【考点定位】1、空间两直线所成的角；2、不等式.
【名师点睛】空间的角与距离的问题，只要便于建立坐标系均可建立坐标系，然后利用公式求解.解本题要注意，空间两直线所成的角是不超过90度的.几何问题还可结合图形分析何时取得最大值.当点M 在P 处时，EM 与AF 所成角为直角，此时余弦值为0（最小），当M 点向左移动时，EM 与AF 所成角逐渐变小，点M 到达Q 点时，角最小，从而余弦值最大. 16.【2015高考天津，理10】一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为
3m .
侧视图俯视图
正视图
【答案】83
π
【解析】由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为1，高为2的圆柱，两端是底面半径为1，高为1的圆锥，所以该几何体的体积22181221133
V πππ=??+????=. 【考点定位】三视图与旋转体体积公式
.
【名师点睛】主要考查三视图与旋转体体积公式及空间想象能力、运算能力.识图是数学的基本功，空间想象能力是数学与实际生活必备的能力，本题将这些能力结合在一起，体现了数学的实用价值，同时也考查了学生对旋转体体积公式的掌握与应用、计算能力. 17.【2015
高考浙江，理
13】如图，三棱锥
A BCD -中，
3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线
AN ，CM 所成的角的余弦值是 ．
【答案】
8
7
.
【考点定位】异面直线的夹角.
【名师点睛】本题主要考查了异面直线夹角的求解，属于中档题，分析条件中出现的中点，
可以考虑利用
三角形的中位线性质利用平移产生异面直线的夹角，再利用余弦定理的变式即可求解，在复
习时应了解两
条异面直线夹角的范围，常见的求异面直线夹角的方法等知识点.
18.【2015江苏高考，9】现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为
【解析】由体积相等得：2222
1145+28=4833
r r r ππππ????????+???=
【考点定位】圆柱及圆锥体积
【名师点晴】求空间几何体体积的常用方法 (1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．
(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．
(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体．
19.【2015高考新课标2，理19】（本题满分12分）
如图，长方体1111ABCD A B C D -中,=16AB ，=10BC ，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11C D 上，114A E D F ==．过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解析；
【考点定位】1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角．
D
D 1
C 1
A 1
E F
A B
C
B 1
A 1
A
B 1B
D 1D
C 1
C
F
E H
G
M
【名师点睛】根据线面平行和面面平行的性质画平面α与长方体的面的交线；由交线的位置可确定公共点的位置，坐标法是求解空间角问题时常用的方法，但因其计算量大的特点很容易出错，故坐标系的选择是很重要的，便于用坐标表示相关点，先求出面α的法向量，利用
sin cos ,n AF θ=<>
求直线AF 与平面α所成角的正弦值．
20.【2015江苏高考，16】（本题满分14分）
如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知BC AC ⊥，1CC BC =，设1AB 的中点为D ，
E BC C B =11 .求证：（1）C C AA DE 11//平面；
（2）11AB BC ⊥. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】
试题分析（1）由三棱锥性质知侧面11BB C C 为平行四边形,因此点E 为1B C 的中点，从而由三
A
B C
D E A 1
B 1
C 1
角形中位线性
又因为C C A ⊥B ，1CC ?平面11CC B B ，C B ?平面11CC B B ，1C CC C B = ， 所以C A ⊥平面11CC B B ．
又因为1C B ?平面11CC B B ，所以1C C B ⊥A ．
因为1C CC B =，所以矩形11CC B B 是正方形，因此11C C B ⊥B ． 因为C A ，1C B ?平面1C B A ，1C C C A B = ，所以1C B ⊥平面1C B A ． 又因为1AB ?平面1C B A ，所以11C B ⊥AB ． 【考点定位】线面平行判定定理，线面垂直判定定理
【名师点晴】不要忽视线面平行的判定定理中线在面外条件．证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线, 常利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行. 证明线面垂直时，不要忽视面内两条线为相交线这一条件．证明直线与平面垂直的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．
21.【2015高考安徽，理19】如图所示，在多面体111A B D DCBA ，四边形11AA B B ，
11,ADD A ABCD 均为正方形，E 为11B D 的中点，过1,,A D E 的平面交1CD 于F.
（Ⅰ）证明：1//EF B C ；
（Ⅱ）求二面角11E A D B --余弦值
.
【答案】（Ⅰ）1//EF B C ；
【解析】
试题分析：（Ⅰ）证明：依据正方形的性质可知11////A B AB DC ，且11A B AB DC ==，，从
而11A B CD 为平行四边形，则11//B C A D ，根据线面平行的判定定理知1//B C 面1A DE ，再由线面平行的性质定理知1//EF B C .（Ⅱ）因为四边形11AA B B ，11ADD A ，ABCD 均为正方形，所以11,,AA AB AA AD AD AB ⊥⊥⊥，且1AA AB AD ==，可以建以A 为
原点，分别以1,,AB AD AA
为x 轴，y 轴，z 轴单位正向量的平面直角坐标系，写出相关的点的坐标，设出面1A DE 的法向量1111(,,)n r s t = .由1111,n A E n A D ⊥⊥
得111,,r s t 应满足的方程组11110.50.50
r s s t +=??-=?，(1,1,1)-为其一组解，所以可取1(1,1,1)n =- .同理
11A B CD 的法向量2(0,1,1)n =
.所以结合图形知二面角1E A D B --的余弦值
为1212||||||n n n n ?==? 试题解析：（Ⅰ）证明：由正方形的性质可知11////A B AB DC ，且11A B AB DC ==，所以