电 磁 学
第一章 真空中的静电场
静电场—静止或低速( υ << c )电荷产生的电场。 §1 电荷 库仑定律 一.电荷 + - 二.电荷守恒 三.库仑定律 1.库仑定律
??
?
????? ??=r r r q q k F 2212
适用条件：
·点电荷—理想模型 ·真空
·电荷静止(或低速) 2.国际单位制(SI)中
·q —库仑(C)， F —牛顿(N) r —米(ｍ) ·实验定出，
k = 8.9880?109 N ?m 2/C 2
F 1 ? ?
F 2
q 1
r q 2
k
≈ 9?109 N ?m 2/C 2
·引入常数ε0 ，使 041πε=
k
·ε0—真空介电常数 k πε41
0=
ε0 = 8.85?10-12 C 2/N ?m 2 ·库仑定律：
???
????? ?
?=r r r q q F o 221241πε
§2 电场 电场强度 一.电场
1.电荷产生电场
2.电场性质
（1） 力的性质：对处于电场中的其他带电体有作用力； （2） 能量的性质：在电场中移动其他带电体时，电场力要对它作功。 二.电场强度
定义：o
q F
E
=
q 0—检验电荷(电量小、线度小) 三.点电荷场强公式
·求点电荷q (源电荷)在p 点(场点)产生的电场 ·在p 点放一检验电荷q 0，
·由库仑定律和场强
定义，有 q 0受力
??
?
????? ??=r r r qq F o 20241πε
p 点场强 o
q F E =
??
?
????? ??=
r r r q E o
241πε ――点电荷场强公式
§3 场强叠加原理 电场强度的计算 一.场强叠加原理
·源电荷:q 1 、 q 2、…、q i 、… ·p 点放检验电荷q 0， 则q 0受力
321F F F F ++=
·p 点场强 o
q F E =
+++=321E E E E
场强叠加原理：电场中某点的场强等于每个电荷单独在该点产生的场强的叠加(矢量和)。
空间某点的场强是空间所有电荷共同产生的。
二.电偶极子
电偶极子：一对靠得很近的等量异号的点电荷。
l << r ·电偶极矩: P = q l 方向由 -q 指向 +q
电偶极子在均匀电场中所受的力矩 F += qE ， F -=-qE
M =2[qE (l /2) sin θ ]
=PE sin θ M = P ? E
M 使得P 向θ 减小的方向转(使P 向和E 尽量一致的方向转)。
三.连续带电体的场强
点电荷场强积分法 解题步骤：
E -q q ·
·
p
d E
-q q p ? · ? l 0 r
E - E E + ·
·把Q→无限多d q
·由d q→d E(利用点电荷场强公式)
·由d E→E = ? d E(利用场强叠加原理)
电荷密度
·体电荷密度ρ：单位体积的带电量
·面电荷密度σ：单位面积的带电量
·线电荷密度λ：单位长度的带电量
[例1]一半径为R、带电量为Q的均匀带
电细圆环，求其轴线上任一点的场
强。
d q
d q'
解：·把Q分成无限多d q
·如图d q产生的场强为d E
·由对称性分析知，所有d q产生的d E⊥相互抵消
·整个圆环产生的场强
3
020||4)(4cos r Qx
r x r dq dE dE E πεπεθ====?
?? ·特例：当x >>R 时，有2
04r
Q E πε≈
圆环 → 点电荷 可见，点电荷并非真正的“点”。
[例2] 求半径为R ，面电荷密度为σ的均匀带电圆盘在轴线上任一点产生的场强。
解:
·注意积分元d q 的取法 ·结果：
???
?????+-=
21
2
2)(12x R x E o
εσ (1)当x << R
o
E εσ2=
圆盘 →“无限大”均匀带电平板
x
(2)当x >>R 302r q
E πε≈
圆盘 → 点电荷 §4 电通量，高斯定理 一.电力线 1.画法
（1）电力线上某点的切向和该点场强方向一致；
（2）通过垂直于E 的单位面积的电力线的根数等于该点E 的大小。 2.性质
（
1）两条电力线不能相交；
（2）电力线起自正电荷(或无穷远处)止于负电荷(或无穷远处)电力线有头有尾，不是闭合曲线。 二.电通量
1.定义：通过某面积S 的电通量等于通过S 的电力线的条数。
(1) 均匀电场， S 是平面，且与电力线垂
直电通量
Φ = ES (2) 均匀电场， S 是平面，与电力线不垂
直
Φ = ES ⊥
= ES cos α n E
Φ = E ? S
·α是S 的法线和电力线的夹角
·面积作为矢量：大小为S 方向沿法向n
S = S n
(3)S 是任意曲面，
E 是非均匀电场 ·把S 分成无限 多d S ·通过d S 的通量 d Φ = E ? d S
·通过整个曲面的电通量 S d E S
??=Φ
2.通过闭合曲面的电通量 d E S
?=Φ
·规定：闭合面的法线指向面外。 ·电力线穿出 E
处， α—锐角 电通量d Φ > 0。
·电力线穿入处，
α—钝角，
电通量d Φ < 0。
·闭合面的电通量为穿过整个闭合面的电 力线的净根数。
三.高斯定理
·高斯定理是静电场的一个重要定理，反映场和源的关系。
1.高斯定理： 真空中静电场内，通过任意 闭合曲面 的电通量等于该曲面所包围的电量的代数和的1/ε0倍。
0/ε?
∑=?S
q S d E 内
2.证明
(1)q —点电荷， S —球面 (以q 为中心，半径为r ) ??=?S S dS r
q
S d E )4(
2
πε
?=
S
dS r
q 2
04πε22
044r r
q ππε=
＝0
εq
=
高斯定理成立。
(2) q —点电荷，
S '—任意闭合
曲面 (包围q )
0/εq S d E S d E S
S =?=???'
高斯定理成立。
(3) q —点电荷， S '—任意闭合 曲面 (不包围q ) 进出S '的电力线
的条数相等，净通量为零，
高斯定理成立。
推论：对任意连续电荷分布亦正确。 三.用高斯定理求电场分布
·高斯定理的应用：分析静电场问题；求静电场的分布。
?'
=?S S d E 0
·求电场分布的步骤： (1)对称性分析； (2)选合适的高斯面；
(3)用高斯定理计算 。
[例1]求半径为R 带电量为Q 的均匀带电球面的电场分布。 解：先求球面外的场强
(1)对称性分析：根据带电体的对称性定性分析待求场强的大小和方向的特点。
·p 点E 的方向特点：
带电体有球对称性，在其上对称地取两个点电荷 d q 、d q ' d q →d E ， d q '→d E '
? ? ? q 1、q 2
q 3
S
?S
·
p
由
d E 、d E '，其合场强沿r 向，
整个球面是由这样一对对的电荷组成的，整个球面在p 点产生的场强沿r 向。 ·E 的大小特点：
距中心同样远的点(如p 点和p '点)的场强大小相同。 (2)选合适的高斯面
·选高斯面的目的是为了能用高斯定理求出p 点的E ，
即由 ?S E ?d S = ?S E d S cos θ = Q /ε0
? E = ……
·由对称性分析，高斯面应选过p 点的同心球面。 (3)计算
由
0/εQ EdS S d E S
S
==???
有 0/εQ dS
E S =?
2
04r Q
E πε=
)(R r ≥
同样可求球面内有
E = 0 )(R r ≤
场强分布曲线
E
[例2] 求无限长均匀带电圆柱面(线电荷密度λ)的电场分布。
解:柱面外 (1) 对称性分析
p 点的场强沿径向； 距中心同远处场强相同。(亦可把圆柱面看作无限长带电直导线的组合，由直导线的结果作对称性分析) (2)选高斯面：选S 为高h 半径为r 的同轴圆柱面。 (3)计算 由
0/εq S d E S
=??
0/εq S d E S d E S d E =?+?+????侧面
下底
上底
左端第一、二项为零 ?侧面 E cos θ d S = q /ε0 E ?侧面d S = h λ/ε0 E (2πrh ) = h λ/ε0
E
r
E 02πελ
=
)(R r ≥
圆柱面内
[例3] 求均匀带电的无限大平板(面电荷密度σ)产生的电场。 解：(1)对称性分析：
E 的方向：垂直板面向外
大小：距板同远处E 大小相同 (2)高斯面：如图圆柱面
(3)计算
由0/εq S d E S
=??
0/εq S d E S d E S d E =?+?+????侧面
右底左底
E = 0 ， (r < R )
E
E ?左底d S +E ?右底d S + 0 = q /ε0 E (2S 底) = S 底σ/ε0
2εσ=
E
说明：
(1)高斯面选择原则：
·高斯面上各点E 大小相等，且处处垂直于高斯面(如例1)； 或 · 部分面上通量为零，其它部分高斯面上各点E 相等，且处
处垂直于高斯面(如例2、例3)。
(2)仅当带电体上电荷分布具有某种对称性时(如板类、柱类、球类)才能用高斯定理求出其产生的电场分布。 (3)求电场的方法：
方法一：点电荷场强积分法 方法二：用高斯定理求场强
·利用场强叠加原理，可求出更多带电体的电场分布。
第二章 电势
本章从功能角度研究静电场的性质。 §1 静电场的保守性 环路定理 一.静电力作功的特点 1.点电荷的电场
·在点电荷q 的电场中，把另一点电荷q 0由a 点→b 点(沿路径L )过程中，电场力作的功
可见，电场力作的功只取决于被移动电荷的起、终点的位置，与移动的路径无关。
2.点电荷系的电场
·在点电荷系q 1、q 2、…的电场中，移动q 0，有
其中，每一项均与路径无关， ?A a →b 也与路径无关。
·对连续带电体的场强同样可得此结论
静电力作功与路径无关，静电场是保守力场。 二.环路定理
·
在静电场中，沿闭合路径移动
q 0，电场力作
功
静电场的环路定理
?=?L
L d E 0
在静电场中，电场强度沿任意闭合路径的线积分等于零。 三.电势能 1.电势能的差
·静电力是保守力，可引入电势能的概念。 ·由保守力作功和势能增量的关系有
q 0在电场中a 、b 两点电势能之差等于 把q 0自a 点移至b 点过程中电场力所作的功。
·电势能应属于q 0和产生电场的源电荷系统共有。 2.电势能
·选标准点(势能零点)，且取W 标 = 0 ·q 0在电场中某点a 的电势能为
b
a L 2
l d E a
a
??=标标
0q W
即把q 0自a →“标准点”的过程中电场力作的功。 ·选择标准点的原则：当(源)电荷分布在有限范围内时，标准点一般选在无穷远。
[例] 求点电荷q 0在点电荷q 的电场中某点的电势能
§2 电势差和电势 一.电势差
a 、
b 两点的电势差即把单位正电荷自a →b 过程中电场力作的功。
·一个常用的公式 A a →b = q 0(U a - U b ) 二.电势
电场中某点的电势等于把单位正电荷自该点→“标准点”过程中电场力作的功。
点电荷场的电势 r q
U 04πε=
三.电势叠加原理
·源电荷：由若干带电体组成，各自在场点p
产生的电场为E 1、E 2、…
·场点p 的电势
电场中某点的电势等于各电荷单独在该产生的电势的叠加(代数和)。
·注意：必须是同一个标准点。空间某点的电势是空间所有电荷共同产生的。 四.电势、电势差的计算 1.方法一：场强积分法(由定义) 步骤：(1)先算场强 (2)选择合适的路径L (3)分段积分(计算)
[例1]求半径R 带电量为Q 的均匀带电球面电场的电势分布。 ∞
解:(1)球面内任一点a ·球面内外场强已求出 ·标准点选无限远，路径选L
· 分段积分
R Q
U a 04πε=
，（r<=R ）
·可见，球面内是一等势空间， 其电势等于球面上的电势。 ·注意：积分是在路径上进行
(2)球面外任一点b R r r Q
U b ≥=,40
πε
2.方法二：电势叠加法